Восстановление динамики дипольного момента по его полю. Эпп

Восстановление динамики дипольного момента по его полю.
Эпп Владимир Яковлевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры теоретической физики,
Янц Юлия Геннадьевна, аспирантка кафедры теоретической физики.
Томский государственный педагогический университет, г. Томск, Россия, epp@tspu.edu.ru,
yanz@tspu.edu.ru.
Решена обратная задача для электромагнитного поля, генерируемого электрическим
дипольным моментом. Предполагается что поле, создаваемое произвольно изменяющимся
диполем, известно. Получены формулы, позволяющие найти зависимость дипольного
момента от времени и его положение в пространстве. Результаты могут быть
использованы для исследования процессов, происходящих в твердом теле после пролета
каналирующих частиц (кильватерный след), исследования колебаний решетки кристалла,
процессов образования дислокаций или трещин в твердом теле, - во всех случаях, когда
требуется восстановить динамику дипольного излучателя по создаваемому им
электромагнитному полю. Исследованы случаи, когда решение обратной задачи имеет
особенности.
1.
Введение.
Поле, создаваемое зависящим от времени дипольным электрическим моментом изучено
довольно хорошо. Известны выражения для напряженностей электрического и магнитного
поля (см. например, [2]). В учебнике [1] представлено Фурье-разложение для электрического и
магнитного поля диполя. Тем не менее, ряд вопросов в этой области остается не изученными,
например, задача восстановления динамики диполя по создаваемому полю – обратная задача
для поля диполя.
Обращение к данной теме связано с тем, что в последнее время возникают задачи, в
которых требуется найти источник электромагнитных волн, если само поле известно.
Например, в Институте мониторинга сибирского отделения российской академии наук
проводятся следующие эксперименты. Ученые воздействуют нормированным ударом на
образцы и измеряют электромагнитное поле микротрещин. При этом по измеряемым
электромагнитным полям определяют местоположения трещин.
Другим примером является генерация электромагнитного сигнала при землетрясениях.
Электромагнитные предвестники возникает на стадии интенсивного растрескивания в
процессе разрушения земной коры. На стадии лавинного трещинообразования, процесса
разрушения среды, большая совокупность трещин, генерируя электромагнитные волны
синхронно. Совокупность таких трещин представляют собой крупномасштабный источник
излучения электромагнитных волн. Так как мощность излучения определяется отношением
размера излучателя к длине волны, то крупномасштабный источник обеспечивает
возможность регистрации излучения на значительном расстоянии от него. В то же время,
расстояния малы в сравнение с характерной длиной волны. Обратная задача для поля диполя
решена в работе [4]. Полученное решение обладает особенностью в случае, если вектор
напряженности магнитного поля в точке наблюдения параллелен скорости изменения этого
вектора. В настоящей работе мы кратко представим решение обратной задачи в другом виде.
2. Решение обратной задачи.
r
Напряженности электрического E и магнитного H полей, создаваемых дипольным
электрическим моментом p определяются формулами:
1
E  3  n,  n, p    3n n , P '  P ' ,
(1)

r 
1
H  3  n , P '  ,
(2)
r
где
dp
ct
P  p  p' , p ' 
,  ,
(3)
d
r




1
r
- единичный вектор, r - радиус-вектор, соединяющий дипольный момент с точкой для
r
r
c - скорость света.
которой записаны формулы для E и H , r - модуль радиус–вектора,
Штрихом обозначены производные по приведенному времени  . Условия обратной задачи
предполагают, что электромагнитное поле создается дипольным электрическим моментом.
r
Напряженности E и H полей известны как функции времени. Требуется найти источник
этого электромагнитного поля, т. е. вектор дипольного момента p как функцию времени и
радиус-вектор r .
Решение обратной задачи, полученное в работе [4], и имеет следующий вид:
H , H 


,
(4)
n 
H , H 


n
r
r
n , C , A  
n ,  B, C  






r c r r r c r r r ,




 n ,  A, B    n , C , A 
r
r r
1r r r
r

p  t   e  p  r  n , H   n  n , E  e dτ
,

2




r r
r r
τ
3
0
τ
1
(5)
(6)
ct
- безразмерное время, p0  p0 x  np0 x - произвольный постоянный вектор,
r
A  H   n, E  , B  H   n, E  , C  H - известные векторы, H1   H  t dt .




где  
Как видно из формулы (4), полученное решение обладает особенностью при  H , H   0 .


r
Рассмотрим другой вариант решения обратной задачи. Два вектора E и H в формулах (1)
и (2) определяются одним вектором p и его производными. Следовательно, между векторами
r
H и E и их производными существует функциональная зависимость. Нетрудно проверить,
что эта зависимость имеет вид:
H 2   n , E2  ,
(7)
где
r
r2
H2  H  H  2 H ,
(8)
c
c
r
r2
(9)
E2  E  2 E .
c
c
Таким образом, мы имеем векторное уравнение (7), которое позволяет, в принципе, выразить
r
вектор r через производные от известных векторов H и E . Эту задачу можно разбить на
вычисление единичного вектора n и модуля вектора r из уравнения E2 H 2  0 , которое


является уравнением третьего порядка на r :
3
 
2

 
 
r
r
r
(10)
  EH    EH  EH  EH  EH  EH  0 .
c
c
c
Последнее уравнение может иметь один или три действительных корня в зависимости от вида
r
функций H и E . В случае трех корней критерием выбора правильного решения является
условие r  const . Уравнение (10) выражает связь между производными от напряженностей
r
E и H полей в некоторой точке пространства и расстоянием до источника. Наличие такой
связи обусловлено тем, что формулы (1) содержат слагаемые, убывающие с расстоянием с
разными степенями r . Так, в дальней (волновой) зоне преобладает слагаемое,
пропорциональное второй производной по времени от вектора дипольного момента. В
2
ближней зоне электрическое поле пропорционально дипольному моменту, а магнитное поле производной от дипольного момента. Соответственно, в уравнении (10) слагаемое,
пропорциональное вторым производным от напряженностей полей содержит r 3 , и чем ниже
степень производной, тем ниже степень r . Таким образом, соотношение между производными
по времени от напряженностей полей в некоторой точке пространства позволяет, в принципе,
определить расстояние до источника.
Если известен модуль радиус-вектора r , то n единичный вектор можно найти из
уравнения (7):
 E2 H 2   E2 E2 2  H 2 2

.
(11)
n
E2 2
Знак плюс или минус выбирается так, чтобы вектор Умова – Пойнтинга образовывал острый
угол с направлением n .
Чтобы вычислить вектор p , найдем проекцию вектора E на плоскость, ортогональную
вектору n . Для этого умножим уравнение первое из уравнений (1) слева и справа векторно на
n . В результате получим:
 n  En    1  n  p  p '  p ''  n   .
(13)

   r3  
r
Подставляя выражение для H , найдем:
p  r 3  n  nE   H  ,
(14)


где p  p  n  pn  проекция вектора p на плоскость, ортогональную n . Параллельную


вектору n составляющую найдем, умножая E скалярно на n . Интегрируя полученное
уравнение:
En  2r 3  np    np '   ,
по  , имеем:
1
(15)
 np   e  p0  r 3  En e d  .
2


Здесь p0 - произвольная постоянная.
Решение уравнений (1) относительно дипольного момента имеет вид:
1


p  r 3  n  nE   H   ne   p0  r 3  En e d 
(16)


2


Можно показать, что это решение эквивалентно решению (7).
Таким образом, был рассмотрен другой способ решения обратной задачи, при котором
получено эквивалентное решение, и выявлена новая особенность решения при E2 H 2  0 .
 
 


 


Литература
1. Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю.П. Электродинамика. М.: Высшая школа. 1990. С. 129.
2.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука. 1988, т. 2. С. 231.
3.Ласуков В.В., Фурса Т.В. Зависимость амплитуды электрического сигнала от
пространственного расположения наполнителя при механическом возбуждение бетона
//Письма в ЖТФ, 2000, том 26, вып.6. С. 36.
4.Epp V., Janz J., The inverse problem for the dipole field, Nucl. Instr. and Meth. B (2008),
doi:10.1016/j.nimb.2008.
5. Мастов Ш.Р., Ласуков В.В. Теоретическая модель генерации электромагнитного сигнала в
процессе хрупкого разрушения //Физика земли 1989 №6. С. 38.
3
Reconstruction of dynamic for the dipole field
V. Epp and J. Janz
Tomsk State Pedagogical University, Tomsk, Russia
An inverse problem for an electromagnetic field generated by a dipole is solved. It is assumed
that the field of an arbitrary changing dipole is known. Obtained formulae allow calculating the
position and dynamics of the dipole being the source of the field. The derived results can be used in
investigations on radiative process in solids caused by changing of the charge distribution. For
example generation of electromagnetic field caused by oscillations of atoms or electron gas at the
trace of a channeling in crystal particle, or fields arising at solids cracking or dislocation formation in any case when one is interested in the details of dipole field source.
4