Применение МКЭ для расчета композитных оболочек с

УДК 539.3
ПРИМЕНЕНИЕ МКЭ ДЛЯ РАСЧЕТА КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК
С ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ НАКЛАДКАМИ
ПРИ ТЕМПЕРАТУРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
С. В. Плотникова, Г. М. Куликов
Тамбовский государственный технический университет, Тамбов, Россия
На основе теории оболочек c учетом поперечного обжатия предложена математическая
модель, описывающая термоэлектроупругое состояние многослойных анизотропных оболочек с
пьезоэлектрическими
накладками.
Разработан
смешанный
геометрически
точный
пьезоэлектрический элемент оболочки. Приведен численный пример, подтверждающий
состоятельность предложенной модели.
В процессе эксплуатации конструкций из композитных материалов в них могут
возникать деформации и напряжения, вызванные изменением температуры окружающей
среды. Эффективным методом компенсации таких деформаций является применение
пьезоэлектрических накладок, внедренных в тело конструкции или закрепленных на ее
поверхностях. В настоящее время активно разрабатываются аналитические и численные
методы расчета таких конструкций [1, 2]. Разработанный в [3] геометрически точный
пьезоэлектрический элемент оболочки, подверженной механическому нагружению,
превосходит по производительности аналогичные конечные элементы оболочки, так как
использует трехмерное аналитическое интегрирование, не требует численного обращения
матриц и позволяет использовать достаточно редкие конечноэлементные сетки. В данной
работе построен более общий термопьезоэлектрический элемент.
Рассмотрим оболочку, представляющую собой композитную основу с наклеенными
на лицевых поверхностях накладками из
пьезоэлектрического материала. На отсчетной
поверхности S выбираем криволинейную
ортогональную систему координат α1, α2, оси
которой совпадают с линиями главных
кривизн поверхности, e1 и e2 – единичные
векторы, направленные вдоль координатных
линий. Пусть e3 – единичный вектор,
направленный по нормали к отсчетной
Рис. 1. Композитная оболочка с
поверхности, α3 – координатная ось в
пьезоэлектрическими накладками
направлении
e3,
δk
–
координаты
поверхностей раздела k-го и k+1-го слоев, hb и ht – толщины нижнего и верхнего
пьезоэлектрических слоев (рис. 1).
Предположим, что оболочка разбита на два вида элементов: базовые, содержащие
только композитную основу, и пьезоэлектрические, которые наряду с композитной
основой содержат пьезоэлектрические слои. В качестве независимых перемещений
выбираем ui и ui – перемещения точек лицевых поверхностей S  и S  в направлениях
координатных осей отсчетной поверхности ( i  1, 2, 3 ), u3M – поперечные перемещения
точек серединной поверхности. Для тангенциальных перемещений используем линейную
аппроксимацию по толщине оболочки, а для поперечного перемещения – квадратичную
аппроксимацию. Полагаем также, что деформации распределены по толщине оболочки
согласно линейному закону. Предлагаемая модель позволяет избежать пуассоновского
запирания оболочки в поперечном направлении путем использования полных
определяющих соотношений пространственной теории упругости [4].
При построении матрицы жесткости пьезоэлектрических элементов используем
следующие определяющие уравнения термопьезоэлектроупругости:
  A  dT E  α,
D  d   E  p,
где   11 22 33 23 13 12 
вектор деформаций,
T
– вектор напряжений,   11 22 33 223 213 212  T –
D  D1 D2 D3  T
– вектор смещения электрического поля,
E  E1 E2 E3  – вектор напряженности электрического поля, A – матрица податливостей
материала, d – матрица пьезоэлектрических постоянных,  – матрица диэлектрических
T
постоянных, α  11 22 33 0 0 12 T – вектор коэффициентов термического расширения,
p  0 0 p3  – вектор пироэлектрических постоянных, θ – прирост температуры от
естественного состояния.
Предполагается, что электрический потенциал l 1 , 2  , где l  b, t , имеет
линейное распределение по толщине пьезоэлектрического слоя, в то время как
температура θ распределена линейно по толщине оболочки.
При реализации смешанного геометрически точного четырехузлового элемента
оболочки были использованы билинейные аппроксимации перемещений лицевых и
срединной поверхностей, электрических потенциалов и температуры. Для независимых от
перемещений деформаций и результирующих напряжений приняты упрощенные
аппроксимации [4].
В данной работе рассмотрена задача, когда на электроды на внешних поверхностях
пьезоэлектрических накладок подается заданное напряжение, а на поверхностях раздела
композитной основы и пьезоэлектрических слоев напряжение принимается равным 0. Для
таких задач конечно-элементное уравнение может быть записано в виде
t
b
K M V  K ME
 t  K ME
 b  FM  F ,
T
где V – вектор узловых перемещений на элементе,  l – вектор узловых потенциалов
l
l-го слоя, K M и K ME
– механическая и электромеханические матрицы жесткости, FM и F
– векторы механической и температурной нагрузок.
Углепластик AS4/3501:
E11=150 ГПа
E22=E33=9 ГПа
ν12= ν13= ν23=0,3
G12=G13=7,1 Гпа
G23=2,5 ГПа
α11= –1,1·10-6 0С-1
α22= α33=25,2·10-6 0С-1
Пьезокерамика G-1195:
E11= E22=E33=63 ГПа
ν12= ν13= ν23=0,3
G12= G13= G23=24,2 ГПа
α11=α22=α33=9·10-7 0С-1
d31=d32=2,54·10-10м/В
d33=3,74·10-10м/В
Рис. 2. Композитная пластина с 30 пьезоэлектрическими накладками
Для верификации предложенной модели был проведен расчет шестислойной
пластины, изготовленной из углепластика AS4/3501 с направлением укладки слоев
[0/±45]s. На лицевые поверхности пластины наклеены 30 накладок из пьезокерамики G1195 [1]. Пластина подвергается температурному нагружению: 500С на верхней
поверхности и –500С на нижней при начальной температуре окружающей среды 20 0С.
Геометрия
конструкции,
конечноэлементная сетка и свойства
материалов приведены на рис. 2.
Пластина шарнирно оперта вдоль
сторон, параллельных оси oy, а
стороны, параллельные оси ox,
свободны.
На рис. 3 приведены поперечные
перемещения средней линии пластины
при
отсутствии
электрического
воздействия, а также при воздействии
электрической нагрузки 31 В и 61 В,
приложенной к накладкам. Приведено
сравнение с результатами [1, 2],
полученными
с
использованием
трехмерного
изопараметрического
элемента и с помощью оболочечного Рис. 3. Поперечные перемещения центральной
линии композитной пластины
элемента, основанного на послойной
аппроксимации поля перемещений без учета поперечного обжатия.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки
РФ (проект № 2.1.1/660).
ЛИТЕРАТУРА
1. Ha S.K., Keilers C., Chang F.-K. Finite element analysis of composite structures
containing distributed piezoceramic sensors and actuators // AIAA Journal. – 1992. – Vol. 30. –
№ 3. – P. 772–780.
2. Lee H.-J. Finite element analysis of active and sensory thermopiezoelectric composite
materials // NASA – 2001. – TM-2001-210892.
3. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Geometrically exact four-node piezoelectric solid-shell
element // Mechanics of Advanced Materials and Structures. – 2008. – Vol. 15. – P. 199– 207.
4. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Finite rotation geometrically exact four-node solid-shell
element with seven displacement degrees of freedom // Computer Modeling in Engineering &
Sciences. – 2008. – Vol. 28. – № 1. – P. 15–38.