Теоретическая механика. Часть 2. Кинематика точки.
advertisement
Министерство образования Российской Федерации
Южно-Уральский государственный университет
Филиал в г. Златоусте
Кафедра технической механики
531(07)
К142
А. И. Казанцева
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Часть 2
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Учебное пособие для самостоятельного изучения студентами
Челябинск
Издательство ЮУрГУ
2002
УДК 531(075)
Казанцева А.И. Теоретическая механика: В 6 частях. Часть 2. Кинематика точки и твердого тела: Учебное пособие для самостоятельного изучения студентами.
— Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2002. — 66 с.
Учебное пособие предназачено для самостоятельного изучения разделов теоретической механики «Кинематика точки», «Кинематика твердого тела». Пособие
состоит из теоретической и практической частей. В разделе «Ответы и решения»
даны примеры решения задач и анализ типичных ошибок, допускаемых студентами при их решении.
Пособие предназначено для студентов всех технических специальностей.
Ил. 68, список лит. — 4 назв.
Одобрено учебно-методической комиссией филиала ЮУрГУ в г. Златоусте.
Рецензенты: В.С. Карманов, Л.Н. Родионова.
© Издательство ЮУрГУ, 2002.
2
ВВЕДЕНИЕ
Программированное обучение базируется на достижениях кибернетики, как
науки об общих закономерностях процессов управления и передачи информации,
и представляет собой совокупность методов и средств оптимизации массового
обучения на основе последовательного осуществления принципа программного
управления. Главной задачей высшей школы в повышении качества обучения является программированное обучение, прежде всего, как система управления самостоятельной работой студентов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Основные требования к такой системе
Увеличение числа часов на самостоятельную работу студентов во время,
регламентированное расписанием.
Обеспечение всех студентов учебниками и учебно-методическими пособиями.
Самостоятельная работа в аудитории должна проходить под контролем
преподавателя.
Самостоятельная работа как аудиторная, так и домашняя должна сопровождаться самоконтролем студентов в процессе обучения и достаточно частым и эффективным контролем преподавателя по отдельным этапам изучаемого курса.
Должна быть представлена возможность изучения курса в темпе, определяемом индивидуальными способностями каждого студента.
Система должна обеспечить логическую связь между всеми формами учебного процесса: лекции, практические занятия, самостоятельная работа дома
и в аудитории.
Тема 1. ПРЕДМЕТ КИНЕМАТИКИ И ЕЕ ЗНАЧЕНИЕ В ТЕХНИКЕ
Кинематика изучает движение тел, независимо от причин, вызывающих и изменяющих эти движения (т.е. геометрические свойства движения). Кинематика
является как бы вспомогательным, подготовительным этапом в изучении движений в динамики. Но вместе с тем кинематика имеет и самостоятельное значение.
Результаты, полученные в кинематике, находят широкое применение в технике.
Методы и приемы кинематики используются при определении траекторий,
скоростей и ускорений точек звеньев механизмов, при изучении преобразования
одного движения в другое, при создании механизмов с наперед заданными кинематическими характеристиками.
Особенно возросло значение кинематики (как и всей механики) в настоящее
время в связи с использованием космического пространства, с постройкой космических кораблей. Расчеты, основанные на законах механики, позволили устано3
вить геометрические формы кораблей, вычислить траекторию искусственных
спутников Земли, космических кораблей настолько точно, что предсказанные задолго координаты спутника или корабля на небесной сфере, хорошо совпадают с
наблюдаемыми. В конечном итоге развитием механики определяется уровень сегодняшнего машиностроения.
Краткий исторический очерк
Сведения древних ученых по кинематике были очень скудными. Первыми
объектами, движение которых стали изучать люди, были небесные тела: звезды,
планеты. Наблюдения за движением звезд велись с 3000 г. до н.э. Но настоящей
кинематики там еще не было: изучалось не движение планеты как искомого материального или геометрического объекта, а только различные особенности, явления, характеризующие движение рассматриваемой планеты. Настоящая кинематика появилась только у греков (IV в. до н.э.), когда стали строиться различные
модели движений для каждой планеты в отдельности. Но все эти теории — теория
планетных движений Птолемея, механизм эксцентриков Гиппарха и др. — были
построены на понятии равномерного движения. Понятия «ускорение» в то время
не было.
Термин «ускорение» появляется лишь в 19 в., когда кинематика выделилась из
динамики. Название «кинематика» (от греческого слова «кинема» — движение)
дано этому разделу в 1834 г. знаменитым физиком и математиком Ампером. Важность геометрического изучения законов движения отмечал еще Даламбер (1717–
1783), но лишь Ампер (1775–1836) обосновал необходимость этого изучения.
Дальнейшее развитие основ кинематики связано с именами Шаля, Эйлера, Пуансо, Кориолиса.
В 1862 г. французским механиком Резалем (1828–1896) создан курс «Чистая
кинематика», в котором даны аналитические методы изучения законов движения.
С появлением этого курса кинематика окончательно утвердилась как самостоятельный раздел механики.
Философия курса
Как уже отмечалось, механика, а следовательно, и кинематика изучает простейшую форму движения — механическое движение. Движение в широком
смысле слова есть форма существования материи. Кроме механического движения существуют и другие виды движения — биологическое, химическое и т.д.
Механическое движение является простейшей формой движения и составной частью остальных, более сложных форм движения материи. Всякое движение происходит в пространстве и во времени. Пространство и время представляют собой
формы существования материи. Они объективно реальны, т.е. существуют независимо от нашего сознания и не являются продуктом человеческой мысли. Обе
эти формы неотделимы от материи. Без материи пространство и время — пустая
4
абстракция. В классической механике пространство рассматривается как трехмерное евклидово пространство: все измерения в нем производятся на основании
методов евклидовой геометрии. За единицу измерения длины принимают 1 м.
Время в классической механике считается абсолютным, т.е. одинаковым во всех
системах отсчета, во всех точках пространства, оно протекает «…само по себе,
независимо от чего бы то ни было внешнего» (Ньютон). С математической точки
зрения время является непрерывно меняющейся величиной, в зависимости от которой изменяются все другие величины.
Отчет времени ведется от некоторого начального момента, выбираемого в
каждой задаче особо. Число секунд, прошедшее от некоторого начального момента до рассматриваемого, определяет данный момент времени t. Разность между
двумя моментами времени называют промежутком времени.
За единицу времени принимают секунду. Пространство и время неразрывно
связаны с материей и между собой, как учит диалектика. В классической же механике, отвлекаясь от действительности, считают пространство и время независящими как от материи, так и друг от друга. Эта абстракция делает выводы классической механики, как следует из теории относительности, приближенными. Но
практика показывает, что эти выводы достаточно точны для движений, происходящих со скоростями, значительно меньшими, чем скорость света.
Система отсчета
Механическим движением называют изменение с течением времени положения тел относительно друг друга, т.е. всякое движение можно наблюдать и изучать относительно какого-либо тела, которое называют телом отсчета. Систему
координат, связанную с телом отсчета, относительно которого рассматриваем
изучаемое движение, называют системой отсчета.
Понятие «система отсчета» было введено Коперником. Он первый признал
необходимость системы отсчета при изучении движения.
В кинематике движение тел изучается чисто с геометрической точки зрения и
связь между движением и движущими силами не рассматривается. Поэтому в кинематике безразлично, как движется та система отсчета, относительно которой
рассматриваем движение данного тела.
Кинематика изучает движение абсолютно твердых тел, которые можно рассматривать как совокупность точек. При движении тела точки его в общем случае
движутся различно. Для полного изучения тела надо знать движение всех его точек. Поэтому сначала нужно изучить движение одной точки, а потом перейти к
изучению движения всего тела. Раздел, в котором изучают движение точки, называется «Кинематика точки»; раздел, в котором изучается движение тела, называется «Кинематика твердого тела».
5
Кинематика точки
Раздел «Кинематика точки» рассчитан на 6 академических часов самостоятельной работы студентов.
Критерий успешного изучения раздела — правильные ответы на все вопросы
самоконтроля, а также ответы на вопросы текущего контроля (по всему разделу)
перед контрольной работой.
Изучив раздел, студент должен:
знать три способа задания движения точки, определение скорости и ускорения
при каждом из этих способов;
уметь практически применять знания при выполнении домашних заданий и
контрольных работ; задавать движение, отыскивать траекторию, скорость, ускорение точки, анализировать движение точки, переходить от одного способа задания к другому;
помнить формулы для отыскания скорости и ускорения точки при каждом
способе задания движения ее.
Способы задания движения точки
Кинематически задать движение точки — это, значит, указать такой способ, с
помощью которого можно определить положение движущейся точки в выбранной
системе отсчета в любой момент времени.
Рассмотрим три способа задания движения точки: естественный, координатный и векторный.
Естественный способ
Пусть некоторая точка М (рис. 1) движется по криволинейной траектории АВ.
Траекторией точки называется линия, которую описывает точка при своем движении.
Чтобы определить движение
этой точки, задать одну лишь траекторию недостаточно, нужно знать
еще положение точки на траектории
в любой момент времени. Для этого
выберем на траектории какую-либо
произвольную точку О за начало отсчета и установим положительный
(+) и отрицательный (–) отсчет расстояний на траектории. Положение
точки М на траектории в любой момент определится ее расстоянием OM = S от
начала отсчета О. Расстояние OM = S от начала отсчета называется дуговой координатой. С течением времени точка будет занимать на траектории различные по-
6
ложения, и, следовательно, ее расстояние OM = S будет меняться с течением времени, т.е. S представляет некоторую однозначную функцию времени:
S = f(t).
(1)
Равенство (1) называется законом движения точки по траектории.
Вывод. Таким образом, при естественном способе движение точки задается:
1) траекторией точки;
2) началом отсчета на траектории;
3) законом движения точки по траектории.
Примечание. Не следует путать координату S с длиной пути П, пройденного
точкой за соответствующий промежуток времени. Координата S может с течением времени и уменьшаться, и увеличиваться, а путь П только увеличиваться.
Координатный способ
Естественный способ нагляден, но траектория точки не всегда известна.
Именно поэтому наиболее удобен координатный способ.
Рассмотрим движение точки М относительно
неподвижной прямоугольной системы отсчета. Положение точки М (рис. 2) в этой системе в любой
момент времени вполне определится тремя координатами ее x, y, z. С течением времени координаты точки меняются, так как точка движется в этой
системе отсчета. Следовательно, x, y, z представляют собой некоторые однозначные функции аргумента t:
x f1 t
y f 2 t .
(2)
z f3 t
Уравнения системы (2) называются уравнениями движения точки в декартовых координатах и определяют положение точки. Если точка движется в плоскости, то, взяв эту плоскость за плоскость OXY (рис. 3), получим два уравнения:
x f1 t
y f 2 t .
(3)
Если же точка движется по прямой, то, приняв
эту прямую за ось OX (рис.4), получим одно
уравнение движения:
x = f1(t).
(4)
В случае прямолинейного движения координатный способ совпадает с естественным способом задания движения точки, уравнение (4) является также
и законом движения точки, так как дуговая координата S совпадает с абциссой x точки.
7
Уравнения (2) и (3) можно рассмотреть
как уравнения траектории точки в параметрической форме, где параметром служит
время t. Для получения уравнения траектории в обычном виде, как зависимости, связывающей координаты точки, следует из
уравнений движения (2) и (3) исключить переменную t — время. Тогда в случае
пространственного движения точки ее траектория выразится совокупностью двух
уравнений вида
φ1 (x,y,z) = 0; φ2 (x,y,z) = 0,
а в случае плоского движения траектория выразится одним уравнением вида
φ (x,y) = 0.
Математический смысл исключения t: чтобы найти линию пересечения двух
поверхностей, заданных системами (2) и (3), нужно решить их совместно.
Траекторию точки можно найти и графически, построив по заданным уравнениям движения точки ряд ее последовательных положений и соединив их плавной
кривой.
Вывод. Таким образом, при координатном способе движение точки вполне
определяется ее уравнениями движения.
Пример. По заданным уравнениям движения точки найти ее траекторию. Исследовать движение точки.
Движение точки задано координатным способом:
x 5 cost (м) .
y 3 5 sin t (м) .
;
y 3 5
x 5
Чтобы найти траекторию, нужно исключить из приведенных выше уравнений
переменную t. Для этого преобразуем их:
x 5 cos t x 2 25 cos 2 t
;
,
y 3 5 sin t y 32 25 sin 2 t
возведем в квадрат и сложим:
x2 + (y – 3)2 = 25 — окружность радиусом
r = 5 см (рис. 5) с центром в точке О1 (О,3).
Построим ее. Исследуем движение точки.
Прежде всего, выясним, вся ли окружность будет траекторией или только часть
ее. Для этого нужно выяснить область изменения координат точки х, у.
х, у — это ограниченные функции sin и
cos, поэтому
5 x 5 5 x 5
;
.
5 y 3 5 2 y 8
8
Через точки х = 5 и х = – 5 проводим прямые параллельно оси ОY, а через точки оси у = – 2 и у = 8 — параллельно оси ОХ. Вся окружность лежит в нашей области определения, траекторией точки будет вся окружность. Теперь найдем положение точки в начальный момент М0 при t0 = 0:
x0 5
M0 (5;3).
;
y0 3
Определим направление движения точки по траектории. При возрастании t х
убывает, у возрастает в начале движения. Следовательно, точка движется по
окружности в направлении, противоположном движению часовой стрелки.
Движение точки полностью исследовано. Мы выяснили, что заданная точка
движется по всей окружности, описывая ее в направлении, противоположном ходу часовой стрелки.
Переходим к третьему способу задания движения точки.
Векторный способ
Рассмотрим движение точки М (рис. 6) относительно неподвижной прямоугольной системы координат. Положение точки М относительно выбранной системы отсчета вполне
определяется ее радиус-вектором OM = r .
Точка движется, в различные моменты времени
она занимает в системе отсчета различные положения, которые будут соответственно определяться различными значениями вектора r ,
т.е. r можно представить как векторную
функцию времени:
r f t .
(5)
Уравнение (5) называют законом движения точки в векторной форме.
Переход от координатного к векторному способу задания движения точки
и обратно
От координатного способа легко можно перейти к векторному и обратно от
векторного к координатному. Так как проекции радиус-вектора r на оси x, y, z —
rх, rу, rz равны координатам точки x, y, z, т.е. rх = x, rу = y, rz = z, то r всегда можно
выразить через координаты:
r rxi ry j rz k или r xi yj zk ,
где i, j, k — орты прямоугольной системы.
9
(6)
Из формулы (6) видно, что если известны в каждый момент x, y, z, то известен
r . Следовательно, задание векторной функции r f t равносильно заданию трех
скалярных функций x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t).
Векторный способ используется обычно при доказательстве теорем кинематики и динамики. При решении задач кинематики пользуются координатным и естественным способами.
Рассмотрим еще один пример. Кривошип ОА = 0,8 м вращается так, что
угол φ изменяется по закону φ = 10t;
длина шатуна АВ = ОА. Найти траекторию средней точки М шатуна, а также
движение ползуна В.
Уравнения движения точек М и В
не заданы. Их нужно составить самим,
используя данные задачи. Выберем неподвижную систему отсчета ОХY
(рис. 7) и определим координаты точек
М и В функциями времени. Так как
функцией времени является угол φ = 10t, то через него и выразим координаты xМ,
yМ, xВ:
AB
3
xM OK KN OA cos
cos OA cos
2
2
;
yM MN MB sin
xM 120 cos10t (м)
.
y M 40 cos10t (м)
Это уравнения движения точки М.
Теперь найдем траекторию точки М. Для этого из уравнений движения исключим переменную t:
x2
x
2
cos
10
t
cos10t
2
120
120
;
y
y2
2
sin 10t
sin 10t
2
40
40
——————
x2
y2
2 1 — эллипс.
2
120 40
Траекторией точки М является эллипс, центр его в начале координат О, полуоси: а = 120; в = 40. Теперь перейдем к точке В. Ее траектория известна, она все
время движется по оси ОХ, значит, для нее уВ = 0 и нужно отыскать только хВ:
хB = 2·ОК = 2·ОА cosφ, т.е. хB = 160 cos10 t (м) — уравнение или закон движения
точки В.
Задача решена.
10
Контрольные вопросы
№1
Точка М движется по окружности радиусом R с центром С (О;а). Положение точки определяется углом, изменяющимся по закону φ =2t (рис. 8).
Задать движение точки координатным способом
(время t в секундах).
1. x = R cos 2t; y = a + R sin 2t.
2. O1M = S = 2tR.
3. r = R sin 2t i + R cos 2t j .
№2
Точка М движется по окружности радиусом R с центром С (О; а). Положение точки измеряется углом, изменяющимся по закону φ = 2t (рис. 9).
Задать движение точки естественным способом
(время t в секундах).
1. r = R cos 2t i + (R sin 2t+a) j .
2. x = R cos 2t; y=a+R sin 2t.
3. S = O1M = 2tR..
№3
Составить уравнение движения точки Д, если
линейка ВС остается все время перпендикулярной
стержню ОА (рис. 10), φ = kt; ВС = 2а.
1. хД = а sin 2kt cos kt; уД = а sin 2kt sin kt.
2. Нет верного ответа.
3. хД = а cos kt; уД = а sin kt.
№4
По заданному в векторной форме уравнению
движения точки определить его траекторию:
r = 6 cos2t j + t k .
1. х = 6 cos 2у; z = 0.
2. у = 6 cos 2z; х = 0.
3. у = 6 cos 2z; х = 0; – ∞ ≤ z < + ∞.
4. у = 6 cos 2z; х = 0;
0 ≤ z < ∞.
№5
Какой будет траектория точки, если ее уравнения движения таковы:
x = a cos2 t; y = a sin2 t?
11
1. Прямая х + у = а (отрезок ее).
2. Окружность х2 + у2 = а2 (часть ее).
x2 y 2
3. Эллипс 2 2 1 (часть его).
a a
№6
Движение точки задано: x = 2t; y = 12t2. Траекторией
ее является часть
1) прямой;
2) параболы;
3) окружности.
№7
Точка М движется по окружности радиусом 4 м. Положение точки на окружности определяется углом φ =
10t рад.
Задать движение точки естественным способом:
x
4 cos10t (м)
1. yM 4 sin 10t (м) .
M
2. S = O1M = 40t (м).
3. r = 4 cos 10t i + 4 sin 10t j .
№8
В механизме эллипсографа ползуны А и В соединены стержнем АВ и движутся при вращении кривошипа ОС по взаимно перпендикулярным направляющим ОХ и ОY (рис. 12). Составить уравнение движения ползунов А и В, если угол φ = 3t:
1. xA = 2 l sin 3t; yB = 2 l cos 3t.
2. xA = yB = 2 l cos 3t.
3. xA = yB =2 l sin 3t.
4. xA = 2 l cos 3t; yB = 2 l sin 3t.
№9
Точка М (рис. 13) движется по окружности радиусом 4 м. Положение точки на окружности определяется углом φ = 10t рад.
Задать движение точки координатным способом
(время t в секундах):
1. O1M = S = R φ = 40t (м).
2. xM = 4 cos 10t (м); yM = 4 sin 10t (м).
3. r = 4 cos 10t i + 4 sin 10t j .
12
№10
Найти закон движения стержня, если диаметр эксцентрика d = 2r, а ось вращения О (рис. 14) находится от оси
диска С на расстоянии ОС = а, ось ОХ направлена по
стержню, начало отсчета — на оси вращения (φ = kt).
1. x = a sin kt + r 2 a 2 cos2 kt ; y = 0.
2. x = a cos kt; y = a sin kt.
3. x = a cos kt +
r 2 a 2 sin 2 kt ; y = 0.
Тема 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ВЕКТОРА.
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
Переменный вектор — это вектор, меняющийся с течением времени как по
величине, так и по направлению. Например, радиус-вектор точки r . Рассмотрим,
как дифференцировать переменный вектор.
Пусть имеем переменный вектор ā, изменяющийся (по величине и направлению) с течением времени по определенному закону ā = f (t) — векторная функция времени. Пусть в моменты t0, t1, t2,… ā имеет значения ā0, ā1, ā2,…. Поместим
начало всех векторов в одну точку О (рис. 15). Соединим их концы А, А1,
А2,…плавной линией, называемой годографом.
Определение. Линия, описанная концом переменного вектора, начало которого находится в неподвижной
точке, называется годографом этого переменного вектора. Например, годографом радиус-вектора r является
траектория точки.
Рассмотрим теперь два каких-либо близких момента
времени: t0 и t1 = t0 + ∆t, где ∆t — малый промежуток
времени. В начальный момент t0 вектор имел значение
ā = OA , в момент t1 – ā1 = OA 1. Соединив точки А и А1,
получим ∆OAA1; ā1 = ā + AA 1 или AA 1 = ā1 – ā = ∆ā,
следовательно, AA 1 = ∆ā является приращением вектора
ā за промежуток времени ∆t. Разделив ∆ā на ∆t, получим
1
a
новый вектор AB
, отличающийся от ∆ā лишь скалярным множителем
,
t
t
совпадающим по направлению с ∆ā. Будем уменьшать промежуток ∆t, перейдем к
a
пределу. В пределе вектор AB
займет положение вектора AC . Так как при
t
13
A1→A и ∆t→0 секущая АВ превратится в касательную, то вектор AC , являющийся
предельным положением вектора AB , будет направлен по касательной к годоda
a
lim
lim AB AC .
графу вектора ā. Это и будет искомый вектор:
dt t 0 t A1 A
Следовательно, производная от переменного вектора по времени есть предел
отношения приращения переменного вектора за промежуток времени ∆t к этому
промежутку при ∆t→0. Видно, что операция векторного дифференцирования аналогична дифференцированию скалярной функции, но производная от переменного вектора по времени — новый вектор, направленный по касательной к годографу дифференцируемого вектора.
Частный случай. Дифференцирование единичного вектора
Рассмотрим единичный вектор ā0 ==1, меняющийся в плоскости. Его годографом будет окружность радиусом R = ā0 = 1 (рис. 16).
Пусть ā0 и ā0′ два близких положения этого
вектора, соответствующих моментам t и t + ∆t,
за промежуток времени ∆t вектор ā0 повернется на угол ∆φ и получит приращение ∆ā0. Изda0
вестно, что искомая величина
— это ноdt
da0
a0
lim
вый вектор
, направленный по
t 0 t
dt
касательной к годографу ā, то есть к окружности. Теперь найдем его величину:
a0
a0 S
a0
da0
S
R
d
lim
lim
lim
1 lim
lim
lim
,
t 0 t
t 0 t
t 0 t
t 0 t
S 0 S
t S 0 S
dt
dt
где ∆S = AA1 ; ∆S = ∆φ R; R = ā0 = 1 — радиус окружности; ∆φ — угол поворота;
∆S — дуга, соответствующая ∆ φ (∆S > 0).
da0
Введем единичный вектор касательной 0 . Тогда вектор
, направленный
dt
тоже по касательной, можно представить в виде произведения его модуля и единичного вектора 0 :
da0 d
0 .
(2)
dt
dt
Вывод. Производная единичного вектора перпендикулярна этому вектору,
направлена в сторону увеличения угла поворота и равна производной от угла поворота вектора по времени.
Примечание. Дифференцирование векторов подчиняется теоремам и правилам
дифференциального исчисления.
14
Скорость точки
Важным параметром, характеризующим движение, является скорость перемещения точки.
Определение. Скорость точки есть вектор, характеризующий быстроту и
направление движения.
Выясним, как определяется этот вектор при каждом известном способе задания движения. Начнем с естественного способа.
1. Определение скорости при естественном способе задания движения
Пусть некоторая точка М (рис. 17) описывает криволинейную траекторию,
двигаясь по ней по закону S = f(t), S = OM — дуговая координата этой точки, соответствующая моменту времени t, a S1 = OM 1 — дуговая координата, соответ
ствующая моменту времени t1 = t + ∆t тогда MM1 = OM 1 – OM = S1 – S = ∆S —
приращение дуговой координаты за бесконечно малый промежуток ∆t. Соединим
М с М1 и установим направление на отрезке ММ1 от М к М1. Вектор MM 1, начало
которого совпадает с положением точки М в начале данного промежутка, а конец
— с ее положением М1 в конце этого промежутка, называется перемещением точки за данный промежуток времени ∆t.
Построим новый вектор
MK = MM 1 /∆t, назовем его средней
скоростью:
vcр = MK = MM 1 /∆t.
Чем меньше ∆t, тем точнее средняя
скорость представит быстроту перемещения. Поэтому будем уменьшать ∆t,
точка М1 будет приближаться к М, перейдем к пределу. В пределе вектор vcр ,
направленный по секущей, займет положение касательной к траектории в точке М. Это предельное положение вектора
vcр = MK обозначим через ML .Он и определит истинную мгновенную скорость
точки или скорость точки в данный момент времени v = ML .
Определение. Предел средней скорости при ∆t→0 называется истинной скоростью точки или скоростью точки в данный момент времени t.
ММ 1
vср lim
lim MK ML .
Итак, v lim
t 0
t 0 t
M1 M
Направление вектора v = ML известно, найдем его величину:
15
v lim
t 0
MM 1
t
lim
MM 1
S 0 t 0
v
MM 1
S
S dS
lim
1 lim
;
S 0 S
t 0 t
S
t
dt
MM 1
длина
lim
время ; S 0 S
1,
так как MM 1 — хорда, стягивающая дугу ∆S, предполагая ∆S 0,
dS
S ;
dt
v S 0 .
v
(3)
(4)
Вывод. При естественном способе задания движения скорость v точки определится первой производной от дуговой координаты по времени v = S . Направлен вектор скорости по касательной, проведенной в данной точке траектории в
сторону движения точки.
Примечания.
1. Если производная S положительна в данный момент времени, то скорость
точки в этот момент времени направлена в сторону возрастания дуговой координаты, если отрицательна — в сторону убывания.
2. Так как движущаяся точка может изменять направление движения по траектории, то путь П, пройденный точкой за промежуток времени (0; t), определяется
как сумма длин дуг отдельных участков, на каждом из которых скорость сохраняет свой знак.
Следовательно, П = S1 – S0 + S2 – S1 +…+ S – Sn,
где S1, S2,…, Sn — значения дуговой координаты в моменты t1, t2,…, tn, в которые
скорость v изменяет свой знак.
3. Точкой, поставленной над какой-либо величиной, будем обозначать производную по времени от этой величины, двумя точками — вторую производную от
этой величины. Такое обозначение производных по
времени ввел впервые Ньютон.
Пример. Точка движется по окружности радиусом 30 м по закону ОМ = S = 40π cos πt /3 (S — в
метрах, t — в секундах). Определить скорость точки в момент t = 2 с. За начало отсчета взята точка
О, положительный отсчет дуговых координат —
против хода часовой стрелки.
Найдем значение дуговой координаты в момент
t1 = 2 с:
ОМ1 = S1 = π 40 cos 2π/3 = 40 π (–1/2) = –20 π.
Определим угол φ1 (рис. 18), соответствующий
16
данной дуге S = φ R:
φ = S1/R = 20π/30 = 2π/3, так как S < 0, то отсчитаем
ОМ1 по часовой стрелке.
Вычислим скорость. Ее величина в момент t:
dS
v
S ; S = – 40π sin t;
dt
3
в момент t1 = 2 с: v1 = S |t1 = – 40π sin2π/3 =
= – 40π 3 /2 = – 20π 3 м/с.
Знак минус говорит о том, что точка движется в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.
2. Определение скорости точки при векторном способе задания ее движения
Пусть движение точки М (рис. 19) задано векторным способом: r f t , положение точки в момент t определено радиус-вектором r , в момент t = t + ∆t радиус-вектором r 1. Тогда r1 r r — есть приращение радиус-вектора за промежуток времени ∆t. Построим вектор ML dr dt . Так как годографом радиусвектора r является траектория точки М, то производная dr dt будет (по определению производной от переменного вектора) новый вектор, направленный по касательной к годографу радиус-вектора r , то есть к траектории точки. Теперь
найдем модуль вектора ML :
r
r S
r
dr
S
S dS
ML
lim
lim
lim
1 lim
lim
v,
S 0 S
t 0 t
t 0 t
dt t 0 t S 0 S t
dt
где ∆S = MM1 .
Сравнивая вектор ML с вектором v ,
определенным выше естественным способом,
приходим к выводу о том, что скорость точки
при векторном способе находят как производную от радиус-вектора по времени.
Итак, v = ML = dr dt ;
v = dr dt .
(5)
3. Определение скорости точки при координатном способе задания ее движения
Пусть движение точки задано координатным способом:
x f1 t
y f 2 t .
z f3 t
17
Чтобы найти скорость с помощью этих
уравнений, воспользуемся разложением радиус-вектора r (рис. 20) по неподвижным осям
координат r xi yj zk и определением
скорости при векторном способе задания v =
dr dt .
Так как x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t); i = const;
j = const; k = const; то
dr dx
dy
dz
v
i
j k .
dt dt
dt
dt
Мы уже условились производные по вреdz
dy
dx
z , то y ;
x ;
мени обозначать точкой над этой величиной, поэтому
dt
dt
dt
гда
v xi yj zk .
(6)
Полученное равенство есть разложение вектора v по неподвижным осям, следовательно, коэффициенты при ортах в нем будут не что иное, как проекции вектора v на неподвижные оси:
; vy = y ; vz = z .
v { vx; vy; vz}; vx = x
Зная проекции вектора на оси, нетрудно найти величину и направление его:
v vx2 v y2 vz2 x 2 y 2 z 2 ,
(7)
/v; cosβ = y /v; cosγ = z /v.
cosα = vx/v = x
Частный случай
2
2
Плоские движения точки: v x y ;
/v; cosβ = y /v.
cosα = x
dx
x .
Прямолинейное движение: v
dt
(8)
(9)
Переход от координатного способа задания движения точки
к естественному
Пусть движение точки задано координатным способом:
x f1 t
y f 2 t .
z f3 t
18
От координатного способа можно перейти к естественному, т.е. определить
траекторию и закон движения точки.
Мы уже знаем, как найти траекторию: нужно из заданных уравнений движения исключить переменную t. Затем найти закон движения. Для этого воспользуемся определением скорости при естественном способе, как dS/dt, а скорость с
помощью уравнения движения мы знаем как найти: v x 2 y 2 z 2 = v(t).
Зная v, представим ее в виде v = dS/dt, разделим переменные и найдем S.
dS = v(t) dt;
S
t
t
S0
0
0
dS v(t ) dt ; S S 0 v(t ) dt ;
t
S S 0 v(t ) dt
(10)
0
— закон движения точки.
Так с помощью уравнений движения нашли траекторию и закон движения
точки.
Равномерное движение
Определение. Равномерным движением точки называется такое движение, при
котором точка за любых два равных промежутка времени проходит равные отрезки пути.
Так за промежуток времени ∆t1, точка прошла путь ∆S1, за ∆t2 = ∆t1
∆S2 = ∆S1.
Тогда скорость vcр = ∆S1/∆t1 = ∆S2/∆t2
= const; v = tlim
vcр = const, но v =
0
S dS
, тогда dS = v dt .
t 0 t
dt
Можно найти закон равномерного
движения:
lim
S
t
S0
0
dS v dt (v = const);
S = S0 + v t
(11)
— закон равномерного движения.
Построим график равномерного движения. Это прямая линия. Видно
(рис. 21), что ∆t1 = ∆t2; ∆S1 = ∆S2.
Контрольные вопросы
№11
Точка движется вдоль траектории согласно закону S = 5 + 6 t + t3 м.
19
Определить дуговую координату точки, если скорость точки равна 9 м/с.
1. S = (9 3 + 5) м.
2. Нет верного ответа.
3. S = 12 м.
4. S = 7 м.
№12
Точка движется вдоль траектории S = t2/2 – 4 t + 6 м.
Вычислить скорость точки к моменту времени, когда она пройдет путь 10,5 м
от начального положения.
1. v = 5 м/с.
2. v = 5 м/с.
3. v = – 5 м/с.
4. v = 37 м/с.
№13
Точка движется вдоль траектории S = 3t – t2/2 – 3 м.
Определить положение и путь, пройденный точкой, когда модуль скорости
точки достигает минимальной величины.
1. S = 1,5 м; П = 4,5 м.
2. Задача не имеет решения, так как нет такого положения точки на траектории, где бы скорость точки достигала минимальной величины.
3. S = 1,5 м; П = –1,5 м.
4. S = 1,5 м; П = 1,5 м.
№14
Oпределить закон движения точки вдоль траектории, если даны уравнения ее
движения в декартовых координатах: x = et cos t ; y = et sin t; z = et.
1. S = 3 (et – 1).
2. S = 2 (et – 1).
3. S = et 3 .
4. S = 3 (et + 1).
№15
Найти на какую длину опускается стержень, опирающийся своим концом о
круговой контур радиусом r = 0,3 м кулака, движущегося поступательно со скоростью v = 0,05 м/с (рис. 22). Время
опускания стержня t = 3 с. В начальный момент стержень находится в
наивысшем положении.
1. h = 0,26 м.
2. Нет верного ответа.
20
3. h = 0,15 м.
4. h = 0,04 м.
№16
Определить модуль скорости точки по заданному в векторной форме ее уравнению движения: r = sin t3 i + cos t3 j .
1. v = 0.
2. v = 3t2 м/с.
3. v = 1 м/с.
№17
Начальное положение точки задано координатами x0 = 2 м, y0 = 0. Точка движется так, что проекция вектора скорости точки на ось ОХ постоянна и равна vx =
2 м/с, а проекция на ось ОY меняется по закону vy = (– 4πt/3) cos πt2/3.
Определить положение точки в момент времени t = t1 = 2 с.
1. Нет правильного ответа.
2. х = 4 м; y = 4 м.
3. х = 6 м; y = – 4 3 м.
4. х = 6 м; y = 3 м.
№18
Движение точки задано уравнениями: x = t м; y = sin t2 м.
Определить величину скорости точки в ее наивысшем положении на траектории.
1. v = 0.
2. Задача не имеет решения.
3. v = 1 м/с.
4. Нет верного ответа.
№19
Точка М (рис. 23) движется по окружности радиусом
4 м. Положение точки на окружности определяется углом
φ = 10t рад.
Найти скорость точки по модулю.
1. v = 4 м/с.
2. v = 40 м/с.
3. v = 60 м/с.
№20
21
Вычислить расстояние П, пройденное точкой за 3 с, если скорость ее задана
уравнением v = t2 – 3t + 2 м/с.
1. П = 6 м.
2. П = 1,5 м.
3. П = 1
5
м.
6
Тема 3. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
Движение точки с неизменной по величине и направлению скоростью (прямолинейное равномерное) встречается на практике сравнительно редко. В большинстве случаев скорость точки при движении изменяется.
Определение. Величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости как по модулю, так и по направлению, называется ускорением.
Выясним, что такое ускорение.
Пусть точка, движущаяся по некоторой криволинейной траектории АВ
(рис. 24), занимает в момент времени t
положение М, в момент t1 = t + ∆t — положение М1. Обозначим скорости точки в
эти моменты через v и v 1.
Перенесем начало вектора v 1 в точку
М и соединив концы v и v 1, получим
треугольник, достроим его до параллелограмма. Тогда MC представит собой вектор, равный разности v 1 – v = ∆ v .
MC = ∆ v называется приращением вектора скорости за промежуток времени ∆t.
Построим теперь новый вектор MД = ∆ v /∆t.Назовем его средним ускорением
a ср = ∆ v /∆t = MД . Вектор MД отличается от MC скалярным множителем 1/∆t.
Следовательно, его направление совпадает с направлением MC . Будем уменьшать промежуток ∆t. При ∆t→0 a ср будет стремиться к некоторому определенному пределу, который называется истинным ускорением точки или ускорением в
данный момент времени — a :
v dv
a lim aср lim
;
t 0
t 0 t
dt
a dv dt .
(1)
Определение. Ускорение точки в данный момент времени есть вектор a , равный производной от вектора скорости по времени. Вектор ускорения всегда
22
направлен в сторону вогнутости траектории, что следует из геометрического построения его.
Действительно,
a lim a ср lim МД МЕ .
t 0
M1 M
MЕ направлен в сторону вогнутости.
Построим годограф вектора скорости. Известно, что производная от переменного вектора по времени есть новый вектор, направленный по касательной к годографу дифференцируемого вектора. Следовательно, вектор
a dv dt определится в каждый момент как
вектор, направленный по касательной к годографу вектора скорости (рис. 25), подобно тому, как вектор v направлен по касательной к
годографу r . Но положение a относительно траектории не находят так просто,
как v . Ни модуль, ни направление a из формулы a dv dt определить непосредственно нельзя. Способы определения a теперь и рассмотрим.
В зависимости от того, каким способом задано движение точки, ускорение ее
отыскивается по-разному.
Чтобы не нарушать принятого порядка, начнем снова с естественного способа
задания движения точки.
1. Определение ускорения точки при естественном способе
Ускорение точки при естественном способе отыскивается по его проекциям на
естественные оси координат. Рассмотрим, что это за система координат, и чем она
отличается от неподвижной системы координат.
Естественная система координат
Траектория точки, в общем случае, представляет собой кривую, не лежащую в
одной плоскости.
Проведем через точку М (рис. 26), движение которой мы рассматриваем в
данный момент, касательную к траектории Мτ и будем определять положительное
направление касательной единичным вектором 0 = 1, направленным по касательной в сторону возрастания дуговой координаты S. Вектор 0 — единичный
орт касательной. Возьмем на траектории вторую точку М′, близкую к точке М, и
построим единичный вектор касательной 0 . Перенесем вектор 0 параллельно
самому себе в точку М и проведем плоскость через два пересекающихся вектора
0 и 0 . Затем точку М′ будем неограниченно приближать к точке М.
23
Тогда плоскость, определяемая векторами 0 и 0 , будет поворачиваться около
прямой τ0, стремясь к некоторому предельному положению. Это предельное положение плоскости 0 М 0 определяет соприкасающуюся плоскость траектории в точке
М. Далее проведем через точку М плоскость, перпендикулярную касательной 0 ;
эта плоскость называется нормальной
плоскостью траектории в точке М. Всякая прямая, проведенная через точку М в
нормальной плоскости, будет перпендикулярна М 0 и называется нормалью.
Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью
траектории в точке М. За положительное направление главной нормали принимается направление от точки М в сторону вогнутости траектории. Единичный вектор
(орт) главной нормали обозначим n 0 .
Нормаль, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Единичный вектор бинормали (орт) b0 , его направление выбирается
так, чтобы 0 ; n 0 ; b0 образовали правую систему осей, т.е. b0 = 0 n 0 .
Плоскость, проходящая через 0 и b0 , называется спрямляющей плоскостью.
Полученные три плоскости — соприкасающаяся, нормальная, спрямляющая
— образуют так называемый естественный трехгранник, а три оси, направленные
по ребрам этого трехгранника, — касательная, нормальная, бинормальная, —
имеющие начало в точке М, и называются естественными осями. Эта новая система координатных осей будет двигаться по траектории вместе с точкой М, поэтому положение этой системы в пространстве будет меняться с течением времени. Этим новая система отличается от прежней неподвижной системы отсчета.
Введем еще одно новое понятие — кривизна кривой, радиус кривизны.
Пусть мы имеем некоторую кривую. Возьмем на
ней
две близкие точки А и В (рис. 27), длину дуги
AB обозначим через ∆S. Проведем в точках А и В
касательные к данной кривой. Угол, обозначенный
этими касательными, называется углом смежности,
измеряется он в радианах, обозначается ∆φ. Отношение ∆φ/∆S называется средней кривизной кривой на
участке АВ. Будем приближать В к А. Предел, к которому стремится средняя кривизна при ∆S → 0, называется кривизной данной кривой в точке A:
d
k lim
;
S 0 S
dS
d
k
.
(2)
dS
24
Кривизна кривой не постоянна и меняется от точки к точке. Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны и обозначается через ρ:
ρ = 1/ k = dS/d;
ρ = 1/k.
(3)
Если отложить на главной нормали к траектории от точки в сторону вогнутости отрезок, равный радиусу кривизны траектории в данной точке, то можно
определить центр кривизны траектории.
Например, если траекторией точки является окружность радиусом R (рис. 28),
отложив на ней две точки M, M1 и проведя
в них касательные, найдем угол смежности
∆φ, который будет равен углу MOM1, но
MM1 = ∆S и ∆S = R ∆φ и, следовательно, ρ
1
lim
. Та= R, т.к. k lim
S 0 S
0 R
R
ким образом, окружность — это кривая
постоянной кривизны, радиус кривизны ее
равен радиусу самой окружности, и если
от точки M отложить в сторону вогнутости
отрезок, равный ρ (MO = ρ), то найдем
центр кривизны этой кривой, т.е. центр
окружности — точку O.
Для прямой линии ∆φ = 0 и k = 0;
ρ = 1/ k = ∞.
Теперь найдем ускорение. Для этого
рассмотрим движение точки M. Проведем
с началом в точке M (рис. 29) оси естественного трехгранника. Нужно найти
проекции ускорения точки на эти оси.
Представим вектор скорости v в виде
произведения его модуля v и единичного
вектора 0 : v = v 0 .
Вектор ā есть d v /dt, поэтому возьмем
от v производную по времени:
dv dv
d
a
0 v 0 .
dt
dt
dt
Найдем d 0 /dt по определению производной от единичного вектора, это будет вектор, перпендикулярный вектору 0 и
равный dφ/dt, где dφ — угол, образованный 0 и 0 ′, т.е. угол смежности. Он же
будет углом поворота единичного вектора 0 за время ∆t. Следовательно,
d 0 d
d dS
d dS
v
n0
n0
n0 kvn0 n0 ,
dt
dt
dt dS
dS dt
25
где dS = MM1 . Этот вектор будет направлен по главной нормали, потому что он
должен быть перпендикулярным 0 и лежать в соприкасающейся плоскости. О
том, что d 0 /dt находится в соприкасающейся плоскости видно из уравнения
dv0
0
lim
t 0 t
dt
по определению производной от переменного вектора, но приращение 0 за ∆t:
∆ 0 = 0 ′ – 0 лежит в пределе в соприкасающейся плоскости, значит d 0 /dt лежит в ней же.
Подставив значение d 0 /dt, получим
dv
v2
a 0 n0 .
(4)
dt
Это есть разложение вектора ускорения по подвижным осям и, следовательно,
коэффициенты при ортах — 0 ; n 0 ; b0 определяют проекции ускорения на эти
оси: aτ = dv/dt; an = v2/ρ; ab = 0.
Зная проекции вектора на оси, найдем величину и направление его:
2
2
2
dv v
a a a ;
(5)
dt
tg ψ = aτ/an.
(6)
Вектор ā можно представить как сумму двух
векторов: (d v /dt) 0 = āτ; (v2/ρ) n 0 = ān, называемых касательным и нормальным ускорениями
(рис. 30): āτ направлен по касательной, об этом говорит 0 и равен dv/dt; ān направлен по нормали,
об этом говорит n 0 и равен v2/ρ, так как āτ перпендикулярен ān, ā = āτ + ān. По модулю
2
2
n
2
2
2
dv v
2
2
a a an , приходим к тому
dt
же результату. Оба вектора āτ, ān и их сумма ā лежат в соприкасающейся плоскости.
Вывод. Итак, если задано движение точки естественным способом, то ускорение ее отыскиваем по проекциям на естественные
оси координат:
aτ = dv/dt; но v = dS /dt = S ; aτ = d2S /dt2 = S .
Зная скорость и радиус кривизны (траектория и закон движения вам известны), находим an = v2/ρ и a a2 a n2 ; tg ψ = aτ/an.
Теперь перейдем к векторному способу.
26
2. Определение ускорения точки при векторном способе
Если известны r f t , и ā = d v /dt , то учитывая, что v = d r / dt, получаем
ā = d2r/dt2 = r .
Вывод. Вектор ускорения определяется второй производной от радиус-вектора
по времени. Эту формулу мы будем применять при доказательстве теорем кинематики и динамики. Пользуясь ею, определим ускорение точки при координатном
способе.
3. Ускорение точки при координатном способе
Ускорение при координатном способе определяем по его проекциям на неподвижные оси координат.
Пусть движение точки задано координатным способом:
x = f1(t); y= f2(t); z= f3(t).
Запишем разложение вектора r по неподвижным осям: r xi yj zk и дважды продифференцируем это равенство:
dv d 2 r
dr
a
2 xi yj zk ;
v
xi yj zk ;
dt
dt
dt
a xi yj zk .
(7)
Это равенство есть ни что иное, как разложение вектора ускорения по неподвижным осям координат. Коэффициенты при ортах i ; j ; k определяют проекции на неподвижные оси: ax = x ; ay = y ; az = z .
Зная проекции вектора на оси, найдем его величину и направление:
a ax2 a y2 az2 x2 y2 z2 ;
(8)
cos α = ax /a = x /a; cos β = y /a; cos γ = z /a.
2
2
При плоском движении точки a x y ;
(9)
cos α = x /a; cos β = y /a.
При прямолинейном a = ax = x .
(10)
Вывод. При координатном способе движения точки ускорение ее отыскиваем
по его проекциям на неподвижные оси координат. Эти проекции равны вторым
производным от координат движущейся точки по времени.
Нахождение an и aτ с помощью уравнений движения
Пусть нам даны уравнения движения точки:
x = f1(t); y= f2(t); z= f3(t).
Нужно найти an и aτ этой точки: an = v2/ρ; aτ = dv / dt.
Это соответственно касательное и нормальное ускорения точки.
27
Возьмем скорость точки по проекциям на неподвижные оси:
v
a
тогда
x 2 y 2 z 2 ;
dv
xx yy zz
.
dt
x 2 y 2 z 2
(11)
2
2
2
Теперь определим полное ускорение этой точки: a x y z и, зная, что
a a2 a n2 , найдем an a 2 a2 ,
an
x2 y2 z2
xx yy zz2
x 2 y 2 z 2
.
(12)
Теперь можно найти ρ = v2/an.
Частные случаи движения точки
1. Ускоренное движение. Это движение, при
котором абсолютная величина скорости с течением времени возрастает.
Проекции на касательную ось (рис. 31)
ускорения и скорости при этом движении имеют
одинаковый знак: aτ > 0; vτ > 0; (или aτ < 0;
vτ < 0); ā = āτ + ān; угол ψ откладывается по движению, aτ направлен в сторону вектора
скорости v .
2. Замедленное движение. Это
движение, при котором абсолютная
величина скорости с течением времени
убывает.
Проекции на касательную скорости и ускорения имеют разные знаки:
aτ < 0; vτ > 0 (aτ > 0; vτ < 0); āτ
направлен в сторону, противоположную скорости (рис. 32), ā = āτ + ān; угол
ψ откладывается против движения.
3.
Равномерное
дви
жение.
Это
движе28
ние, при котором абсолютная величина скорости не изменяется (рис. 33).
aτ = 0, v = const; ā = ān; ψ = 0.
4. Прямолинейное движение точки.
ρ = ∞; an = 0; a = aτ = dv/dt; при v > 0:
а) a > 0 — ускоренное движение (или v < 0; a < 0) (рис. 34);
в) a < 0 — замедленное движение (или v < 0; a > 0) (рис. 35);
с) a = 0 — равномерное, v = const (рис. 36).
Вывод. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по модулю, нормальное — по направлению.
5. Равнопеременное движение. Это движение, при котором aτ = const. Оно
может быть равноускоренным, если aτ > 0 (при v > 0), и равнозамедленным, если
aτ < 0 (при v > 0).
Найдем закон этого движения. Так как aτ = dv / dt, то
v
t
v0
0
dv a dt ; v = v0 + aτ t;
v = v0 ± a τ t
(13)
— закон изменения скорости.
S
t
t
a t 2
Но v= dS /dt; dS /dt = v0 ± aτ t, то dS v0 dt a tdt ; S – S0 = v0 t ±
;
2
S0
0
0
a t 2
S = S 0 + v0 t ±
(14)
2
— закон равнопеременного движения точки, или при S0 = 0
a t 2
v v0
t
t
t;
S = v0 t ±
= (2 v0 ± aτ t) = [v0 + (v0 ± aτ t)] =
2
2
2
2
v v0
t
S=
(15)
2
— другой вид этого закона.
Контрольные вопросы
№21
Движение точки задано уравнениями: x = 10t 2 ; y = 5t,
(x, y — в метрах, t — в секундах).
29
Определить расстояние, пройденное точкой за 5 с.
1. S = a t2/ 2 = 253/2 = 37,5 м.
2. S = vt = 155 = 75 м.
3. Оба ответа не верны.
№22
Точка М движется по кривой по закону S = 6t2 м. Найти тот момент времени,
когда v = 12 м/с составляет с ускорением угол α =30, и ускорение ее в этот момент равно:
1) a = 12 м/с2; t = 1 с.
2) a = 8 3 м/с2, t = 1 с.
3) a = 8 3 м/с2; t = 2 с.
№23
Точка М движется по окружности радиусом 4 м. Положение точки на окружности определяется углом φ =
10t рад (рис. 37).
Найти ускорение точки.
1. a = aτ = d2S /dt2.
2
2
2. a x y .
3. a = v2/R.
4. a a2 a n2 .
Укажите неверный ответ.
№24
Точка М движется по окружности радиусом r. Положение точки определяется
углом φ = 2t. На каком чертеже ускорение этой точки указано верно (рис. 38–40).
№25
Точка движется ускоренно по прямой. Чему равно ее ускорение?
1. a = v2/ρ.
2. a = dv/dt.
30
3. a = d2S/dt2.
4. ā = d v /dt.
Укажите неверный ответ.
№26
Точка движется по криволинейной траектории ускоренно. Чему равно ее
ускорение?
1. a = dv/dt.
2. ā = d v /dt.
3. a = v2/ρ.
4. a = d2S/dt2.
№27
Точка движется по закону S = a sin t.
Каким будет движение точки в момент t = π/3 с?
1. Ускоренным.
2. Равномерным.
3. Замедленным.
2
№28
Точка М движется по окружности радиусом 1 м по закону S = t2 + 1 м.
Чему равно ее ускорение в момент t1 = 0,5 с?
1. a = 2 м/с2.
2. a = 1 м/с2.
3. a = 5 м/с2.
№29
Точка движется из состояния покоя с aτ = d = const по окружности радиусом r.
В какой момент ее нормальное ускорение будет равно касательному?
1. t =
2. t =
r
.
d
d
.
r
3. t = d r.
№30
Как движется точка, если касательное ускорение ее всегда равно нулю, а нормальное по модулю постоянно (a ≠ 0)?
1. По прямой.
2. По окружности ускоренно.
3. По окружности равномерно.
№31
Движение точки задано уравнениями: x = a cos t2 c; y = a sin t2 c; z = a t2 c.
31
Определить характер движения точки.
1. Ускоренно.
2. Равноускоренно.
3. Замедленно.
4. Равномерно.
№32
Движение точки задано уравнениями:
x 3t 2 (м)
.
1
y t (м)
2
Как направлен ā? Чему равен он?
1. a = dv /dt; где v
x 2 y 2 .
2
2
2. ā || OX; где a x y .
2
2
3. aOX ; где a x y .
№33
Какой угол составляет вектор ускорения с вектором скорости при замедленном криволинейном движении?
1. Тупой.
2. Острый.
3. Прямой.
№34
Точка М движется по кривой по закону S = 2t3 м. Найти ее ускорение в тот
момент, когда угол между скоростью и ускорением равен 45, а ρ = 24 м (кроме
t = 0).
1. a = 24 м/с2.
2. a = 24 2 м/с2.
3. a = 12t м/с2.
№35
Движение точки задано уравнениями: x = t + cos t (м); y = sin t (м).
Определить скорость точки в тот момент, когда радиус кривизны траектории
достигает минимальной величины.
1. v= 2 м/с.
2. v = 2 м/с.
3. v = 0.
4. Нет верного ответа.
32
Тема 4. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Простейшие виды движения твердого тела
Раздел «Простейшие виды движения твердого тела» рассчитан на 4 академических часа самостоятельной работы студентов.
После изучения раздела студент должен:
знать основную задачу кинематики твердого тела, простейшие виды движения
твердого тела и свойства этих движений, кинематические характеристики тела и
его отдельных точек;
уметь практически применять знания при решении задач, вычислять скорость
и ускорение любой точки тела в любой момент времени, находить закон движения тела и кинематические характеристики всего тела;
помнить формулы для отыскания закона движения тела, кинематических характеристик тела и точек его.
Изучив кинематику точки, перейдем к изучению кинематики твердого тела.
Простейшими движениями твердого тела являются поступательное и вращательное.
Изучим свойства поступательного и вращательного движений твердого тела.
Предварительно сделаем несколько общих замечаний, относящихся ко всей
теме «Кинематика твердого тела». В кинематике, как и в статике, все тела рассматривают как абсолютно твердые, т.е. такие, расстояние между двумя точками
которых при всех условиях остаются неизменными.
Основные задачи кинематики твердого тела:
1) определение положения самого тела и его кинематических характеристик в
любой момент времени в выбранной системе отсчета;
2) изучение движения и характеристик каждой точки тела.
Поступательное движение твердого тела
Определение. Поступательным движением твердого тела называется такое
движение, при котором всякая прямая, проведенная в теле, во все время движения
остается параллельной самой себе.
Например, движение кузова автомобиля на прямолинейном участке пути,
движение поршня двигателя.
Однако, неверно думать, что при поступательном движении все точки тела
движутся только по прямым. Траекториями точек тела при его поступательном
движении могут быть какие угодно кривые. Например, рассмотрим четырехзвенный механизм, состоящий из двух
33
кривошипов АВ и СД, равной длины и спарника ВС, длина которого равна АД
(рис. 41). При всех положениях механизма фигура АВСД остается параллелограммом, и, следовательно, ВС || АД. Значит движение ВС — поступательное, хотя
точки В и С его (а следовательно, и все точки) движутся по окружностям.
Примечание. Термин «поступательное движение» неприменим к отдельной
точке, понятие «движется, оставаясь параллельно само себе» не применимо к точке, не имеющей размеров.
Основные свойства поступательного движения выражаются теоремой о поступательном перемещении твердого тела. При поступательном движении твердого тела все точки его описывают одинаковые траектории и имеют в каждый
момент равные скорости и ускорения.
Пусть мы имеем твердое тело, совершающее поступательное движение относительно системы отсчета OXYZ.
Возьмем в теле две произвольные точки A и B. Положение этих точек в выбранной системе отсчета определится rA и rB . Видно (рис. 42), что
rB = rA + АВ.
(1)
При движении тела вектор АВ не изменяется ни по модулю, ни по направлению. По
модулю он не изменится потому, что тело абсолютно твердое, а по направлению не изменяется потому, что тело движется поступательно
и прямая АВ, по определению этого движения,
перемещаясь, остается параллельной самой себе. Из равенства (1) видно, что вектор rB отличается в каждый момент от rA на постоянный
вектор AB , следовательно, положение точки В
в любой момент можно получить, сместив
точку А на величину, равную постоянному вектору AB , и траектория точки В
может быть получена путем параллельного переноса траектории точки А на вектор AB .
Таким образом, мы доказали, что траектории точек А и В одинаковы. Теперь
докажем, что в каждый момент эти точки имеют равные скорости и ускорения.
Для этого равенство (1) продифференцируем по времени:
d rB / dt = d rA / dt + d( AB )/dt, но AB = const и d( AB )/dt = 0,
а d rB /dt = v B и d rA /dt = v A (из кинематики точки), следовательно,
vB = v A .
(2)
Дифференцируя еще раз, получаем
d v B /dt = d v A /dt, но d v B / dt = āB, а d v A /dt = āA (это известно из кинематики
точки),
ā B = ā A.
(3)
34
Теорема доказана. Так как точки A и B выбраны произвольно, то доказанная
теорема будет справедлива для любых точек тела.
Следствие. Поступательное движение твердого тела вполне определяется
движением какой-либо одной его точки, например, точки A. Уравнение движения
этой точки называются уравнениями поступательного движения тела:
xA = f1(t); yA = f2(t); zA = f3(t) или rA f t .
(4)
Обычно за точку, определяющую поступательное движение тела, принимают
его центр тяжести.
Вывод. Основная задача кинематики твердого тела при поступательном движении сводится к основной задаче кинематики точки. Траекторию, скорость и
ускорение этой точки, отыскиваемых по уравнениям (4) и общих для всех точек
тела, называют траекторией, скоростью и ускорением поступательного движения
тела. Векторы скорости и ускорения тела можно изобразить приложенными в любой точке тела. Это свободные векторы.
Вращательное движение твердого тела и его кинематические
характеристики
Определение. Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором две его точки остаются неподвижными. Прямая, проходящая
через эти две точки, тоже неподвижна и называется осью вращения. Примерами
такого движения являются: вращение двери вокруг своей
оси, вращение ротора динамо-машины.
Основная задача кинематики твердого тела прежде всего
заключается в том, чтобы определить:
1) положение тела в выбранной системе отсчета;
2) кинематические характеристики тела.
1. Определение положения тела
Итак, пусть мы имеем тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z (рис. 43), являющейся осью вращения. Проведем две плоскости через ось вращения: плоскость I — неподвижную и плоскость II — подвижную, связанную с телом и вращающуюся вместе с ним. Тогда положение плоскости II относительно неподвижной плоскости I (с ней и связана наша система отсчета) будет определено двухгранным углом между этими плоскостями — φ. Этот
угол называется углом поворота, измеряется в радианах и отсчитывается от неподвижной плоскости против часовой стрелки. При вращении тела вокруг оси z этот
угол будет меняться с течением времени по определенному закону в зависимости
от характера вращательного движения, т.е.
φ = φ (t).
(5)
35
Уравнение (5) выражает закон вращательного движения. Если это уравнение
задано, можно вычислить угол φ для любого момента времени, а следовательно,
определить положение подвижной плоскости относительно неподвижной в этот
момент. Но так как подвижная плоскость связана с данным телом, то значением
указанного угла будет определяться и положение самого вращающегося тела.
Вывод. Положение вращающегося твердого тела в любой момент времени
вполне определится его углом поворота.
Примечание. Иногда угол поворота тела (особенно в технике) выражают числом оборотов — N, тогда угол φ в радианах, соответствующий N оборотам, равен
φ = 2πN.
(6)
2. Кинематические характеристики вращающегося тела
Кинематическими характеристиками тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, являются угловая скорость и угловое ускорение.
Угловая скорость
Угол φ с течением времени, в зависимости от характера вращения, может изменяться быстро или медленно. Величина, характеризующая быстроту изменения
угла поворота φ, и называется угловой скоростью. Пусть за некоторый промежуток времени ∆t тело повернулось на угол ∆φ. Отношение ∆φ и ∆t получило название средней угловой скорости:
ωср = ∆φ/∆t.
Угловой скоростью тела в данный момент времени t называется величина, к
которой стремится значение ωср, когда промежуток времени ∆t стремится к нулю:
d
lim ср lim
; .
(7)
t 0
t 0 t
dt
Вывод. Угловая скорость тела в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени.
Знак угловой скорости
Угловая скорость может быть и положительной и отрицательной величиной.
Знак ее зависит от знака ∆φ. Если тело вращается в сторону увеличения угла поворота φ (против часовой стрелки), то ∆φ > 0 и ω > 0, если в сторону уменьшения
(по часовой стрелке) ∆φ < 0 и ω < 0.
Размерность угловой скорости
За единицу измерения угловой скорости принимается угловая скорость такого
вращения, при котором тело за 1 с поворачивается на 1 рад; ω = 1 с–1.
В технической системе единиц угловая скорость определяется числом оборотов в минуту (n об/мин).
Равномерное вращение тела
36
Определение. Равномерным вращательным движением тела называется вращение с постоянной угловой скоростью ω = const.
Найдем закон такого вращения. Для этого воспользуемся определением угловой скорости:
ω = dφ / dt; dφ = ω dt; при ω = const;
t
0
0
d dt ;
φ = φ0 + ωt
(8)
— закон равномерного вращения или, при φ0 =0,
φ = ωt.
(9)
Воспользуемся этим законом и найдем зависимость между n об/мин и ω с–1 по
уравнению (9): ω = φ / t, угол поворота φ за один оборот равен 2π рад; тело совершило n оборотов и φ = 2π n, этот поворот делается за 1 мин = 60 с. Следовательно,
ω = 2πn/60 = πn/30,
ω = πn/30.
(10)
Формула (10) позволит перевести угловую скорость из оборотов в минуту в
радианы в секунду.
Угловое ускорение
Вращение с постоянной угловой скоростью на практике встречается редко. В
большинстве случаев угловая скорость с течением времени меняется. Величина,
характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, и
называется угловым ускорением.
Пусть за промежуток времени ∆t угловая скорость изменилась на ∆ω. Отношение ∆ω/∆t называется средним угловым ускорением тела за промежуток времени. Будем обозначать его через εср:
εср = ∆ω/∆t.
Уменьшим ∆t и перейдем к пределу. Предел этого отношения, когда ∆t → 0,
называют угловым ускорением тела в данный момент времени или истинным
ускорением — ε:
d
lim ср lim
t 0
t 0 t
dt
или, учитывая ω = , получим ε = .
Вывод. Угловое ускорение тела в данный момент равно первой производной
от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота тела по
времени:
ε = = .
(11)
Размерность углового ускорения
Единицей углового ускорения является 1 с–2, размерность [ε] = [ω]/ [t], в технической системе 1 об/мин2.
Знак углового ускорения
37
Угловое ускорение тела, как и угловая скорость, является алгебраической величиной. Знак углового ускорения зависит как от направления вращения тела, так
и от характера изменения угловой скорости (возрастание или уменьшение ее). Если тело вращается ускоренно в положительном направлении, то
dω > 0 и ε = dω/dt > 0,
в отрицательном направлении dω < 0, ε < 0,
при замедленном вращении тела в положительном направлении dω < 0 и ε < 0,
а в отрицательном dω > 0 и ε > 0.
Следовательно, при ускоренном вращении в любом направлении ω и ε имеют
одинаковые знаки, при замедленном — разные.
Равнопеременное вращение тела
Равнопеременным называется такое вращение тела, при котором угловое
ускорение остается постоянным:
ε= dω/dt = const.
Если ε > 0, то движение тела равноускоренное, ε < 0 — равнозамедленное
(ω > 0).
Найдем уравнение этого движения, считая, что в момент
t = 0; φ = φ0; ω = ω0; ω > 0.
t
0
0
d dt;
При ε = dω/dt = const
ω = ω0 ± εt
(12)
— закон изменения угловой скорости, т.е. при равнопеременном вращении угловая скорость тела за одинаковые промежутки времени изменяется на одну и ту же
величину.
По определению ω = dφ/dt; dφ/dt = ω0 ± εt.
Интегрируя, находим
t
t
0
0
0
2
d 0 dt tdt; φ – φ0 = ω0 t± εt2/2;
φ = φ0 + ω0 t± εt /2
(13)
— закон равнопеременного вращения.
При ε > 0 — равноускоренное вращение.
При ε < 0 — равнозамедленное вращение, или же при φ0 = 0
φ = ω0 t± εt2/2 = t (2ω0 ± εt)/2 = t [ω0 + (ω0 ± εt)]/2 = (ω0 + ω)t/2
φ = (ω0 + ω)t/2
(14)
— второй вид этого закона.
Примечание. Все формулы, полученные в кинематике точки при равноускоренном движении точки, переходят в формулы для равномерного и равнопеременного вращения тела, если в них вместо S, v и aτ подставить соответственно φ,
ω и ε.
Контрольные вопросы
№36
38
Чем определяется положение поступательно движущегося тела?
1. Положением одной какой-либо его точки.
2. Положением двух его точек.
3. Углом поворота.
№37
Как пишется закон равномерного вращения тела?
1. φ = ω t + φ0.
2. φ = εt2/2.
3. φ = ω0 + εt.
4. φ = ω0 t± εt2/2.
№38
Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило скорость с
400 до 200 об/мин за 30 с. Определить число оборотов, совершенное колесом за
это время.
1. N = 50 об.
2. N = 150 об.
3. N = 250 об.
№39
Маховик вращается со скоростью 600 об/мин. Вращаясь равнозамедленно, он
остановился, сделав 50 оборотов. Найти время движения.
1. t = 10 с.
2. t = 5 с.
3. t = 10/3 с.
№40
В период разгона из состояния покоя угловое ускорение ротора турбины за
время t1 равномерно убывает от начального значения ε0 до нуля, после чего ротор
вращается равномерно.
Определить максимальную угловую скорость ротора.
1. ωmах = ε0 t1.
2. ωmах = ε0 t1/2.
3. Нет верного ответа.
№41
В период разгона маховик вращается вокруг своей оси по закону φ = 8π t3.
Определить угловую скорость и угловое ускорение маховика в тот момент, когда
он сделает 4 оборота.
1. ω = 24π с–1; ε = 0.
2. ω = 4π/30 с–1; ε = 0.
3. ω = 8π с–1; ε = 8π с–2.
4. ω = 24π с–1; ε = 48π с–1.
39
№42
При пуске в ход гирокомпаса угловое ускорение его ротора возрастает от нуля
пропорционально времени. По прошествии 5 мин ротор вращается со скоростью
18 000 об/мин. Сколько оборотов сделал ротор за это время?
1. N = 90 000 об.
2. N = 45 000 об.
3. N = 30 000 об.
№43
По заданному уравнению вращения тела φ = t2 – 3t определить угловую скорость, угловое ускорение и характер вращения тела в момент t1 = 1 с.
1. ω = 1 с–1; ε = – 2 с–2 — замедленное.
2. ω = – 1 с–1; ε = – 2 с–2 — ускоренное.
3. ω = 1 с–1; ε = + 2 с–2 — равноускоренное.
4. ω = – 1 с–1; ε = + 2 с–2 — равнозамедленное.
№44
Основная задача кинематики твердого тела:
1) определить положение тела в выбранной системе отсчета;
2) вычислить кинематические характеристики тела;
3) определить положение тела в выбранной системе отсчета, кинематические
характеристики всего тела, а затем каждой его точки.
№45
Простейшими видами движения твердого тела являются:
1) поступательное и вращательное движения;
2) плоскопараллельное движение.
Тема 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ
ТВЕРДОГО ТЕЛА И ИХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Изучив движение всего тела в целом и установив кинематические характеристики его, перейдем к изучению движения и кинематических
характеристик каждой точки тела.
Рассмотрим движение какой-либо точки М
вращающегося тела (рис. 44). Эта точка при
вращении тела будет описывать окружность в
плоскости, перпендикулярной оси вращения, и
с центром О, лежащим на оси вращения. Рас40
стояние от точки до оси вращения называется радиусом вращения. Обозначим
его через R (OM = R). Выберем за начало отсчета дуговых координат точку O1,
лежащую в плоскости I, а за положительное направление — направление вращения тела. Тогда
S = OM = R φ.
Найдем скорость точки
vM = S = R = R ω.
Называется эта скорость линейной скоростью точки. Изобразим траекторию
точки М в плоскости нашего листа. Получим такое изображение (рис. 45), где вектор vM направлен по касательной к траектории точки М.
Вывод. Линейная скорость точки пропорциональна радиусу вращения и
направлена перпендикулярно ему. Для различных точек тела при вращательном
движении скорости будут различны. Распределение скоростей таких точек можно
увидеть на рис. 46 (для точек прямой MM1).
Определим ускорение точки М (линейное). Так как точка М движется по кривой, то ускорение ее будет складываться из касательного и нормального:
ā = āτ + ān.
Изобразим траекторию точки М и расставим эти векторы (рис. 47). Вектор āτ
направлен, как и v , перпендикулярно радиусу вращения, а ān — по радиусу к оси
вращения. ā cоставляет с радиусом угол α, tg α = |aτ|/an. Найдем величину этих
векторов (из кинематики точки):
an = v2/ρ; aτ = dv/dt; a a2 a n2 .
Подставив в эти формулы v = R ω, получим aτ = d(R ω)/dt = R (dω/dt) = R ε;
an = v2/R = R2ω2/R = R ω2; a
R 2 R 2 2
R 2 4 ;
tg α = |ε|/ω2;
aτ = R ε;
an = R ω2;
a R 2 4 .
41
(12)
(13)
(14)
Вывод. Линейное ускорение точки пропорционально радиусу вращения и составляет с ним угол α, tg α = |ε|/ω2.
Для различных точек вращающегося тела ускорения различны. Распределение
ускорений показано на рис. 48 (для точек прямой MM1).
Угловая скорость и угловое ускорение тела как векторные величины
Доказательство некоторых теорем кинематики и динамики, если рассматривать угловую скорость и угловое ускорение как векторные величины, можно
упростить. Вектор (рис. 49), изображающий угловую скорость, строят на оси
вращения, направляя его вдоль оси в ту сторону, чтобы, глядя с его конца, видеть
вращение происходящим против часовой стрелки. Начало его можно поместить в
любой точке оси, — вектор скользящий. Модуль | | = |dφ/dt| = | | равен абсолютной величине угловой скорости.
Вектор = d /dt.
Если взять орт оси z — k , то ω = φ k и = (d / dt) k или = k , т.е. вектор
углового ускорения направлен, как и , по оси z и равен по модулю | |. Точку
приложения можно поместить в любую точку оси вращения, — скользящий
вектор.
Вектор может совпадать по направлению с , может не совпадать. Если
вращение ускоренное, то оба вектора направлены в одну сторону (рис. 50), если
замедленное — в разные (рис. 51).
Пользуясь векторными понятиями угловой скорости и углового ускорения,
выразим линейную скорость и линейное ускорение в виде векторных произведений.
Выражение линейной скорости и ускорения в виде векторных
произведений
42
Пусть мы имеем тело, вращающееся около неподвижной оси. Изобразим его
угловую скорость и угловое ускорение в виде векторов и . Начало их поместим в точку О оси вращения. Возьмем в теле любую точки М. Проведем из точки
О радиус-вектор точки М — r . Угол между осью z и r обозначим через α. Покажем, что вектор линейной скорости точки М v r .
В этом нетрудно убедиться, вспомнив определение векторного произведения
двух векторов. Векторное произведение двух векторов есть новый вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат два данных вектора, и равен по модулю произведению их модулей на синус угла между ними. Вектор r (рис. 52)
перпендикулярен плоскости ΔOMO1 и равен ωr sin α = ωR (R = r sin α из ΔOMO1).
Вектор линейной скорости v = ω R, и направлен перпендикулярно R, т.е. плоскости ΔOMO1 в ту сторону, чтобы поворот и r происходил против часовой
стрелки. Следовательно, векторы r и v равны, что и требовалось доказать.
v r
(15)
— основная формула кинематики или формула Эйлера.
Вектор линейного ускорения получим как производную
от вектора скорости по времени:
ā = dv/dt = d( r )/dt = (d /dt) r + (d r /dt) =
= r + v ,
так как d /dt = ; d r /dt = v .
Вектор ā равен сумме двух векторов. Покажем, что r
— есть āτ, v — ān — векторы касательного и нормального ускорений. Вектор r равен по модулю εr sin α = εR
и направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат
и r , т.е. плоскости ΔOMO1, следовательно, r есть вектор, перпендикулярный радиусу вращения и равный произведению углового ускорения на радиус вращения, т.е. этот
вектор равен āτ.
Вектор v по модулю равен ωv sin β, нo β = 90 и ωv sin β = ωv = ω2R, так
как v = ω R.
Направлен он перпендикулярно плоскости, в которой лежат и v , т.е. по радиусу к центру (рис. 53).
Итак, v = ān; r = āτ; ā = āτ + ān;
āτ = r ;
(16)
ān = v .
(17)
Пример. На шкив радиусом R = 0,5
м навернут торс, к свободному концу
которого подвешен груз А (рис. 54).
Груз опускается из состояния покоя
равноускоренно
с
ускорением
2
aA = 2 м/с и приводит во вращение
43
шкив. Найти закон вращательного движения шкива, угловую скорость, угловое
ускорение его в произвольный момент времени t, а также скорость vM и ускорение āM точки М, лежащей на ободе шкива. Груз движется равноускоренно, значит,
можно найти его скорость vA = aAt = 2t м/с. Скорость груза равна скорости точек
обода, т.е. vM = vA = 2t, тогда ω = vM /R = 4t c–1, угловое ускорение ε = dω/dt = 4 c–1,
т.е. ε = const и вращение шкива равноускоренное. ω0 = 0 и потому закон вращения:
φ = ε t2 /2 = 2 t2.
Ускорение āМ = āτM + ānM, но aτM = R ε = 2 м/с, anM = R ω2 = 0,5∙16 t2 = 8 t2 м/с2,
тогда a R 2 4 = 1 16t 2 м/с2.
Рядовая зубчатая передача
Вращательное движение широко распространено в различных машинах и механизмах. Вращение может передаваться на расстояние посредством гибких связей (ременные передачи) или непосредственным соприкосновением (фрикционные или зубчатые передачи). В ременных и фрикционных передачах используются силы трения, а в зубчатых — механическое зацепление. В каждом из этих видов передач имеется ведущее звено, которое сообщает движение, и ведомые звенья, которые получают движение от ведущего звена. Рассмотрим рядовую зубчатую передачу или рядовое соединение зубчатых колес.
Соединение зубчатых колес, у которых все валы вращаются в неподвижных
подшипниках, называется рядовым соединением или рядовой зубчатой передачей
(рис. 55).
Расстояние между двумя соседними зубьями называют шагом зубчатой передачи h:
z
2R1 2R2 R1
1,
h
;
R2 z2
z1
z2
где R1, z1 — радиус и число зубьев I колеса; R2, z2 — радиус и число зубьев II колеса.
Рядовая передача характеризуется передаточным числом. Передаточное число i1,2 зубчатой передачи равно отношению угловой скорости ведущего колеса ω1 к угловой
скорости ведомого ω2. i1,2 = ω1/ω2.
Передаточное число может быть выражено отношением радиусов колеса, т.к. vA = ω1 R1 и
vA = ω2 R2, тогда ω1 R1 = ω2 R2 или
i1, 2
1 R2
z 2 R2
R
z
, но 2 2 и i1, 2
.
2 R1
z1 R1
R1 z1
44
Если в зацеплении находится n колес, то передаточное число такой передачи
равно произведению передаточных чисел сцепленных пар:
m z2 z4 zn
i1n = i12 i23 … i(n–1)n; или i1n 1
,
z1 z3 zn 1
где m — число внешних зацеплений.
При внутреннем зацеплении (рис. 56) передаточное число положительно, при
внешнем — отрицательно.
Контрольные вопросы
№46
Зубчатый редуктор состоит из трех зубчатых колес
(рис. 57). Первое колесо имеет диаметр 0,2 м и делает
7 200 об/мин. Второе колесо — 4 000 об/мин, а третье —
600 об/мин. Определить диаметры второго и третьего колеса.
1. d2 = 0,36 м; d3 = 2,4 м.
2. d2 = 0,18 м; d3 = 1,2 м.
3. Нет верного ответа.
№47
Колесо радиусом 0,8 м, вращающееся в период разгона равноускоренно из состояния покоя, совершило за некоторое время 750 оборотов. Определить время
разгона, если скорости точек на ободе достигли при этом 200 м/с.
1. t = 6 с.
2. t = 3 с.
3. t = 18,8 с.
4. t = 37,7 с.
№48
Колесо радиусом 0,5 м, вращаясь равноускоренно, имеет через 10 с угловую
скорость n = 120 об/мин (n0 = 0). Определить ускорение точки А обода колеса в
момент t = 1 мин.
1. аА = 0,6 м/с2.
2. аА = 80 м/с2.
3. аА = 2 880 м/с2.
№49
Рукоятка ОА (рис. 58) вращается по закону φ = 5t. Определить, за какое время груз поднимается на высоту 5 м, если r1 =
0,2 м; r2 = 0,3 м; r3 = 0,15 м.
1. t = 0,1 с.
2. t = 10 с.
3. t = 4,4 с.
45
№50
Вращение тела вокруг неподвижной оси задано уравнением φ = 1,5t2 – 4t.
Определить скорость и ускорение точки тела, отстоящей от оси вращения на 0,2 м
в момент t1 = 2 с.
1. v = 2 м/с; а = 1,4 м/с2.
2. v = 0,4 м/с; а = 0,8 м/с2.
3. v = 2 м/с; а = 0,6 м/с2.
4. v = 0,4 м/с; а = 1 м/с2.
№51
Чему равно линейное ускорение точки вращающегося тела?
1. а = R ε.
2. а = R ω2.
3. a R 2 4 .
4. а = R ε + R ω2.
№52
Маховик радиусом R = 1,2 м вращается равномерно, делая n = 90 об/мин.
Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.
1. v = const = 3,6π м/с; a = 0.
2. v = const = 3,6π м/с; a = const = 10,8π2 м/с2.
3. v ≠ const; a = const = 10,8π2 м/с2; v = at = 10,8π2 м/с/
№53
Груз B приводит во вращение вал радиусом r
и сидящую на одной оси с валом шестерню 1 радиусом r1 (рис. 59). Движение груза начинается
из состояния покоя и происходит с постоянным
ускорением a. Определить закон вращения шестерни 2 радиусом r2.
r1 a
t.
1. 2
r r2
r1 a
2. 2
.
r r2
3. 2
r1 a 2
t .
2r r2
№54
Как распределятся ускорения точек вращающегося тела при его равномерном
вращении (рис. 60–62)?
46
№55
Диск вращается вокруг неподвижной оси в течение некоторого промежутка
так, что ускорения всех точек составляют с их скоростями одинаковые углы, равные 45˚. Определить угловую скорость диска как функцию времени, если в момент t = 0 она была равна ω0.
1. ω = ω0/(1 – ω0 t).
2. ω = ω0/(ω0 t –1).
3. ω = ω0/(1 + ω0 t).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Способы задания движения точки
№1
Движение точки при координатном способе задается ее координатами, которые выражаются функциями времени. В выбранной системе отсчета точка М будет иметь координаты
xM R cos
,
yM R sin a
где φ = 2t. Подставив значение φ, получим
xM R cos 2t
.
yM R sin 2t a
Верен ответ 1.
Ответ 2 задает движение этой точки естественным способом, ответ 3 — векторным. Следовательно, они здесь не являются верными.
№2
При естественном способе движение точки задается дуговой координатой
S = О1М, которая выражается функцией времени. В данной задаче известен угол
φ = 2t, через него и выразим дугу О1М. S = R φ = 2tR; S = О1М = 2Rt — закон движения данной точки М.
Ответ 3 верен, 1 и 2 неверны, они задают движение векторным и координатным способами, а не естественным.
№3
1. Верно.
2. Неверно.
3. Неверно найдены уравнения движения точки Д. Их просто определить, если
OC BC sin
, тогда
найти
OД ОС cos
47
x Д a cos kt
x Д ОД cos OC cos2 2a sin cos2 a sin 2 cos
.
, но
y Д a sin kt
y Д ОД sin OC cos sin 2a sin 2 cos a sin 2 sin
1.
2.
3.
4.
№4
Неверный. Вы перепутали название координатных осей.
Неверный. Ответ неполный. Вы не указали область изменения координат.
Неверный. Неверно указана область изменения координаты z. Так как z = t,
а всегда t ≥ 0, то условие – ∞ ≤ z <∞ невыполнимо.
Верный. Действительно, так как t ≥ 0, а по условию координата z зависит
линейно от t, то обязательно z ≥ 0.
№5
Верен ответ 1.
Чтобы найти уравнение траектории точки, нужно из уравнений ее движения
исключить переменную t — время. В данном случае достаточно сложить левые и
правые части данных уравнений: x = a cos2t; y = a sin2 t; x + y = a — траектория
— прямая линия (рис. 63, отрезок ее, т.к. x ≤ a; y ≤ a; |cos
t| ≤ 1; |sin t| ≤ 1).
Ответ 2 получен неверно, возводить в квадрат x и y
не следует. Ответ 3 такой же, как и ответ 2.
x2 y 2
1 , т.е. x2 + y2 = a2 — неверно.
a2 a2
№6
Исключим переменную из первого уравнения t = x/2,
подставим во второе y = 12 x2/4 = 3 x2, это уравнение параболы (рис. 64). Так как t > 0, то x и y должны быть
больше нуля. Траектория — правая часть параболы. Верен ответ 2. Остальные неверны. Вы ошиблись в расчетах, проверьте их снова.
№7
Чтобы задать движение точки естественным спосо
бом, нужно дуговую координату S = OM выразить
функцией времени. Учитывая, что S = Rφ, имеем
S = OM = 10t 4 = 40t (м).
Верен ответ 2. Ответ 1 задает движение координатным способом, ответ 3 — векторным. Они для данного случая неверны.
№8
48
Чтобы найти уравнение движения ползунов А и В, нужно их координаты xA и
yA выразить функциями времени: xA = ОА = 2l cos φ = 2l cos 3t (из ΔОАС), а
yB = OB = 2l sin φ = 2l sin 3t (из ΔОАВ) (см. рис. 11).
Это и будут уравнения движения ползунов А и В.
Верен ответ 4.
Остальные ответы неверны. Ответ 1 — координаты перепутаны, а 2 и 3 будут
верны только в момент, когда φ = 45˚.
№9
Чтобы задать движение точки М координатным способом, нужно ее координаты выразить функциями времени. Это можно сделать, учитывая, что φ = 10 t.
Рассмотрим ΔОМК, ОК = xM = r cos φ = 4 cos 10t (м),
МК = yM = r sin φ = 4 sin 10t (м).
Это и будут уравнения движения точки М. Верен ответ 2. Ответы 1 и 3 неверны. Ответ 1 задает движение точки естественным способом, а 3 — векторным.
№10
Верен ответ 3. Стержень движется так же, как точка А его. Ее закон движения
будет и законом движения стержня. Найдем этот закон. Точка А движется только
по оси x, и ее положение определяется одной координатой
2
2
2
2
2
2
x = OA = OC cos φ + r OC sin = a cos kt + r a sin kt .
Ответ 2 определяет движение точки С. В ответе 1 sin и cos переставлены. Эти
ответы неверны.
Скорость точки
№11
1. Неверно. Вы, видимо, находили ответ, используя неверную формулу
v = (S – S0)/t = (5 + 6t + t3 – 5)/t = 6 + t2 для v = const, затем vt t1 = 9, 6 + t2 =9,
t = t1 = 3 с; S1 =5 + 6 3 + 3 3 = (5 + 9 3 ) м.
Скорость равна производной по времени от дуговой координаты:
v = dS/dt = 6 + 3t2.
2. Неверно. Вы, видимо не знаете, чему равна скорость точки при естествен dS
, либо невеv
ном способе движения в данный момент времени: t t1 =
dt t t1
рен был сам ход решения задачи. Либо вообще не знаете, как решать эту задачу. Надо было найти, используя приведенную выше формулу скорости точки,
момент времени t1, когда скорость достигает 9 м/с, а затем для найденного момента дуговую координату: 6 + 3 t2 = 9, t1 = 1 с, St1 = 5 + 6 + 1 = 12 м.
3. Верно, St1 = 12 м.
49
4. Вы нашли путь, который прошла точка к моменту времени, когда скорость
равна 9 м/с, П = |S – S0| = 7 м; но П ≠ S.
№12
1. Неверно. Вы неверно определяете момент времени, соответствующий
пройденному пути. Здесь надо было воспользоваться формулой пути П:
П = |S1 – S0| + |S2 – S1|; S0 = 6 м;
S1 = – 2 м — значение дуговой координаты в момент времени t1 = 4 c, в который скорость изменяет свой знак, а S2 = 0,5 м — значение дуговой координаты в тот момент времени (t1), когда точка пройдет путь, который задан.
Положить П = 10,5 м, а не S =10,5 м. 10,5 = |– 2 – 6| + | S2+ 2|; S2 = 0,5 м.
t2 – 8t + 12 – 1 = 0; t2,3 = 4 ± 16 11 = 4 ± 5 c/
2. Верно v = S = (t – 4)|t1 = 4 + 5 – 4 = 5 м/с. Вас могло смутить, что при
прохождении момента времени, соответствующего пройденному точкой пути, получается два значения t2 = 4 + 5 с, t3 = 4 – 5 с. Надо брать
t2 = 4 + 5 с, так как t3 < t1, где t1 = 4 с момент времени, когда точка меняет
знак на противоположный и скорость после t1 = 4 с стала больше нуля, т.е.
движение точки идет в сторону возрастания S.
3. Неверно. Смотрите объяснение к ответу 1. t3 < t1 не учли.
4. Неверно. Смотрите объяснение к ответу 1. П ≠ |S – S0|.
1.
2.
3.
4.
№13
Верно. Действительно, v = 3 – t. Очевидно, минимальная величина v = 0, что
соответствует t = t1 = 3 с. Тогда
S1 = St=3c = 1,5 м, П = |S1 – S0|, где S0 = St=0 = – 3 м, П = 4,5 м.
Неверно. Вас могло смутить, как найти минимальный модуль скорости
v = 3 – t. Используя производную от скорости по времени и приравняв ее 0,
вы ничего не добьетесь, так как dv/dt = – 1 = const. Здесь, очевидно, что |v| =
0, это соответствует t = t1 = 3 с.
Неверно. Вы, наверное, нашли путь, пройденный точкой. Смотрите пояснения к ответу 1.
Неверно. Путь, пройденный точкой вдоль траектории, равен значению дуговой координаты S только тогда, когда начальное положение точки совпадает с началом отсчета, и точка движется за данный промежуток времени в
одном направлении.
№14
S x y z dt et 3dt 3 et 1, и
t
1. Верно. Действительно,
2
0
2
2
t
0
вы его верно решили, так как
х = et (cos t – sin t); y = et (sin t + cos t); z = et.
50
2. Неверно. К такому ответу вы пришли, если находили S по неверной формуле
t
e sin
t
t 2
S x y z dt
2
2
2
0
2
t cos2 t et dt 2 et 1.
2
0
Чтобы найти верный ответ, надо было воспользоваться формулой перехода
от координатного способа задания движения к естественному:
S x 2 y 2 z 2 dt 3et t0 3 et 1.
t
0
3. Неверно. Ответ совершенно неверен. Вы забыли о пределах
3et t0 3et
4. Вы допустили ошибку в решении определенного интеграла.
№15
2
2
Верен ответ 4. xc r S , где S = vt — путь, пройденный кулаком за 3 с,
S = 3∙0,05 = 0,15 м;
xc = 0,09 0,0225 = 0,2598 0,26 м и h = r – xc = 0,3 – 0,26 = 0,04 м.
Остальные ответы не верны.
№16
2
2
1. Неверно. Модуль | r | = x y = 1 = const; | v | ≠ d| r |/dt = 0;
dr dr
2
2
2
|v | =
;
= | v | = x y z .
dt
dt
dr
dr
2
2
2
2. Верно. Действительно, | v | =
; |v | =
= x y z = 3t2;
dt
dt
x = 3t2 cos t3; y = –3 t2 sin t3; z = 0.
3. Неверно. | v | ≠ x y z = 1; | v | =
ли производные от координат.
2
2
2
x 2 y 2 z 2 или вы неверно взя-
№17
1. Неверно. Вы либо пользуетесь неверной формулой y = vy t, либо допускаете
ошибку в расчетах, либо вообще не знаете, как решать задачу, тогда смотрите пояснение к ответу 2.
2. Неверно. Во-первых, x = x0 + vx t, во-вторых, y ≠ vy t, а
t
y 4t cos t 2 dt , так как vy = dy/dt; x = 6 м, y =
3
0
3
3 м.
3. Неверно. Смотрите пояснение к ответу 2 и сделайте верный расчет.
4. Верно. x = 2 + 2∙2 = 6 м.
51
t
y 4t cos t 2 dt 2 sin t 2 02 2 sin 3 м.
3
3
3
3
0
№18
1. Неверно.
2. Неверно. Задача имеет решение. Точка достигает наивысшего положения на
траектории, когда t = t1 =
2
с. Это следует из того, что уравнение траекто-
риии: y = sin x2 и ymax = 1, при этом x2=
, t1= x =
2
2
с.
3. Верно. v = x y 1 2t cost |t1 = 1 м/с; x = 1; y = 2t cost2.
4. Неверно. Вы допустили ошибки в расчете. Ошибки могли быть допущены
при вычислении траектории точки, либо при определении момента времени, соответствующего наивысшему положению точки на траектории, либо
неверно нашли скорость точки.
2
2
2
№19
Чтобы найти скорость точки M, нужно знать ее движение. Зададим его дуговой
координатой: S = OM = r φ = 40 t м, тогда v = dS/dt = 40 м/c.
Верен ответ 2. Остальные неверные. Вы, видимо, задали движение этой точки
x r cos 4 cos10t
,
координатным способом верно:
y r sin 4 sin 10t
2
2
2
2
но скорость нашли неверно, v = x y ≠ x y (в ответе 1), или же ошиблись в расчете (ответ 3).
№20
t
Найдем закон движения точки: S = vd t = t3/3 – 3t2/2 + 2t (м).
0
Найдем скорость с моменты t1 = 1 с, t2 = 2 с, t3 = 3 с, чтобы выявить те моменты, где скорость меняет знак:
vt1 = 1 – 3 + 2 = 0, vt2 = 4 – 6 + 2 = 0, vt3 = 9 – 9 + 2 = 2.
В моменты t1 и t2 точка меняет направление движения.
Найдем значения дуговой координаты в моменты t0, t1, t2, t3. St0 = 0, St1 = 5/6 м,
St2 = 2/3 м, St3 = 1,5 м.
Путь П = |St1 – St0| + |St2 – St1| + |St3 – St2| = 5/6 + 1/6 + 5/6 = 11/6 м.
Верен ответ 3. Ответ 2 дает другое значение дуговой координаты St3, а не путь.
Ответ 1. Неверно использован закон движения S vt = 32 = 6 м/с, так как
v const.
52
Ускорение точки
№21
Найдем скорость точки: vx = x = 10 2 ; vy = y = 5; v = 200 25 225 = 15 м/с.
Точка движется с постоянной скоростью S = vt = 155 = 75 м.
Верен ответ 2.
S ≠ aτ t2/2 = 37,5 м, так как aτ = dv/dt = 0; a = aτ ≠ v/t = 3.
Ответ 1 неверен.
Утверждение 3 высказано неверно, так как среди приведенных ответов есть
верный ответ — 2.
№22
Зная закон движения точки S = 6t2,найдем ее
скорость v = S = 12t, в данный момент 12t = 12;
2
2
t = 1 с, тогда ā = āτ + ān или a = a an ;
aτ = S = 12 м/с. an = aτ tg 30˚ (из векторного треугольника (рис. 65) аn = 12 3 /3 = 4 3 м/с2;
a = 2 an = 8 3 м/с2.
Верен ответ 2.
Ответ 1. Время найдено верно, а ускорение —
нет: a ≠ dv/dt = 12 м/с2.
Ответ 3. Верно найдено ускорение, а время нет, ошибка в расчете.
№23
Здесь неверным будет ответ 1, так как точка движется по окружности и a ≠ aτ.
Остальные ответы верны a = an = v2/R.
Здесь S = φ r = 40t; v = S = 40 = const; aτ = 0 или
2
2
a = a an = an = v2/R. = 1600/4 = 400 м/с2.
Ответ 2 получим, если зададим движение точки координатным способом:
x 4 cos10t (м)
y 4 sin 10t (м)
2
2
2
2
тогда v = x y = 40 м/с; a = x y = 400 м/с2.
№24
На рис. 38 показан вектор āτ, на рис. 39 — ā полное, но при ускоренном движении, а здесь оно равномерное.
Ответы 1 и 2 неверны.
O
M
Верным будет ответ 3 (рис. 40), так как S =
= 2tr; v = S = const = 2r; aτ = 0;
an = a = v2/ R = 4r2/r = 4r и направлено по радиусу к центру окружности.
53
№25
Так как точка движется по прямой, то an = 0; a = a = dv/dt или ā = āτ = d v /dt;
d 2S
a = aτ = v S = 2 , но a ≠ an= v2/ρ, неверен ответ 1, его следует указать, остальdt
ные означают одно и то же касательное, в данном случае, и полное ускорение.
№26
Точка движется по кривой ускоренно, следовательно, ее ускорение
ā = āτ + ān= d v /dt.
Верен ответ 2, a = dv/dt = = d2S/dt2 только в прямолинейном движении, a = v2/ R
в криволинейном, но равномерном движении. Здесь остальные ответы неверны.
№27
Движение точки задано естественным способом S = a sin2 t. Чтобы выяснить,
каким оно будет в момент t1 = π/3 с, найдем v и aτ в этот момент.
v = S = 2a sin t cos t = a sin 2t; v|t1 = a sin 2π/3 = a 3 /2
и aτ = v S = 2a cos 2t|t1 = 2a cos 2π/3 = 2a cos (π – π/3) = 2a cos π/3 = 2a/2 = a.
v и aτ имеют равные знаки, движение точки ускоренное. Верен ответ 1. Чтобы
были верны ответы 2 и 3, нужно, чтобы aτ было меньше 0 или aτ = 0, чего здесь не
наблюдается к моменту t1 = π/3 с, следовательно, эти ответы неверны.
№28
При движении точки по окружности ее ускорение ā = āτ + ān.
aτ = S =2 м/с2; an = v2/R; v = S = 2t; vt1 = 1 м/с; an = 1 м/с2; āτ ān;
a = a an = 5 м/с2.
Верен ответ 3. Ответы 2 и 1 неполные. Ответ 1 определяет только касательное
ускорение, 2 — нормальное.
2
2
№29
Точка движется по окружности равноускоренно. Следовательно, v = dt — ее
dv
v 2 d 2t 2
скорость, тогда an=
; aτ = = d.
dt
r
r
d 2t 2 2 r
r
В искомый момент aτ = an; d =
;t = ;t=
с.
r
d
d
Верен ответ 1. Остальные неверны. Ошибка в счете.
№30
Верен здесь ответ 3. Чтобы aτ = dv/dt = 0, нужно, чтобы v была const, а
a = an = v2/ρ и не было равно нулю, точка должна перемещаться по кривой с постоянной скоростью. Для того, чтобы an было еще и постоянно, ρ должно быть
const. Кривая, у которой ρ = const, — окружность, для нее ρ есть радиус самой
окружности.
54
Ответ 1 будет верен при условии, что an = 0 (прямолинейное движение), а ответ 2 — только в случае, когда aτ ≠ 0.
Здесь они оба места не имеют.
№31
1. Неверно. Ответ нужно уточнить. Так как точка движется с постоянным
aτ = 2 2 a > 0, то движение равноускоренное.
x 2at sin t 2 ;
dv d 2 2
d
2
х у z
2 2at 2a 2 , где y 2at cost 2 ;
aτ =
dt dt
dt
z 2at.
v = 2at 2 > 0
2. Верно. aτ = 2a= const, aτ > 0, v > 0.
3. Неверно. aτ > 0, aτ = const, смотрите пояснения к первому ответу.
4. Неверно. aτ ≠ 0.
№32
2
2
По заданным уравнениям движения найдем a = x y = 6 м/с2; a = const;
a y y 0
, так как ay = 0, то а ║OX.
ax x 6
Верен ответ 2.
Ответ 3. Величина a найдена верно, а направление — нет.
Ответ 1. Величина a и направление находятся неверно. Если найти траекторию
точки, исключив t, то видим, что x = 12 y2 — парабола, точка движется по кривой
и a ≠ aτ = dv/dt, так ускорение здесь искать нельзя, нужно пользоваться формула2
2
2
2
ми a = a an ; aτ = dv/dt; v = x y ; an= v2/ρ, но ρ неизвестен. Этим способом ускорение не найти.
№33
Движение по кривой замедленно, āτ и v имеют
разные знаки, направлены они по касательной к
траектории в противоположные стороны (рис. 66).
ā = āτ + ān и составляет тупой угол с вектором v .
Верен ответ 1, ответ 2 верен для ускоренного
движения по кривой, а ответ 3 — для равномерного движения по кривой.
№34
При естественном способе задания движения
ускорение точки ā = āτ + ān; aτ = S = 12 t м/с2;
an = v2/ρ; v = S = 6t2; an = 36t4/24 (м/с).
55
Если угол между скоростью и ускорением равен 45˚ (рис. 67), то aτ = an, в этот
момент 36t4/24 = 12t; t3 = 8t; t1 = 0; t2 = 2 с, тогда aτ = 24 м/с2; an = 24 м/с2 (t1 = 0 исключено условием задачи). a = 24 2 м/с2.
Верен ответ 2. Ответ 1 определяет только величину составляющих aτ и an, а ответ 3 неверен, так как a ≠ dv/dt.
№35
1. Неверно. Путь решения задачи верен, но неверно найдено ρmin.
ρ = 2 2 1 sin t , ρmin = 0 и при t = (π/2 + 2πn) c v = 0. По ρmin ≠ 2 2 и при
t=πn v≠ 2
2. Неверно. Ответ соответствует ρmax:
ρ = 2 2 1 sin t и ρmax = 4 м, при t = –π/2 + 2π n с.
3. Верно. v = 0.
4. Неверно. Вы, очевидно, запутались в расчетах, либо неверен ход решения
2
2
задачи. Он имеет следующий вид: v = x y = 2 2 sin t ;
где х 1 sin t ;
y cost.
2
2
a = x y = 1 м/с2, где х cost;
y sin t.
dv
cost
1 sin 2 t 1 sin t
.
, a τ2 =
dt
2(1 sin t )
2
2 2 sin t
1 sin t
1 sin t
2
2
an = a a 1
,
2
2
v2
aτ =
ρ=
an
2 2 1 sin t , ρmin = 0, при t =
2
+ 2π n, что соответствует v = 0.
Поступательное и вращательное движение тела
№36
Верен ответ 1.
При поступательном движении твердого тела все точки его движутся в любой
момент времени по одинаковым траекториям и имеют равные скорости и ускорения. Поэтому, зная положение одной какой-либо точки этого тела в выбранной
системе отсчета, мы сможем определить положение остальных точек его и их кинематические характеристики.
Остальные ответы неверные. Углом поворота задается вращательное движение, а отрезок, соединяющий две заданные точки, определит положение плоской
фигуры, движущейся в своей плоскости.
№37
56
Равенство 1 выражает закон равномерного вращения. Равномерное вращение
— это вращение с постоянной угловой скоростью. Учитывая это, имеем
t
0
0
ω = const; ω = dφ/dt; ω dt d .
При φ0 = 0, φ = ωt; при φ0 ≠ 0; φ = φ0 + ωt. 2 и 4 равенства представляют равнопеременное вращение (при ε = const), а равенство 3 записано неверно.
φ ≠ ω0 + εt, но ω = ω0 + εt — закон изменения угловой скорости в равнопеременном вращении, а не угла поворота.
№38
Запишем закон равнозамедленного движения:
N=
400 200 1
n0 nt
1
= 150 об., t = 30 с = мин.
t;N=
2
2
2
2
Ответ 2 верен.
Ответ 1 неверен. Вы неверно записали закон данного вращения.
N=
n 0 nt
400 200 1
= 50 об.
t =
2
2
2
Ответ 3 тоже неверен. Вы верно перевели угловую скорость в радианы в секунду ω0 = π n0/30 = 40π/3 c–1 и ωt = πnt/30 = 20π/3 c–1.
Верно и дальше ωt = ω0 – εt; t = 30 с; ε = (ω0 – ωt)/t = 20π/(3 30) = 2π/9 c–1;
φ = ω0 t + εt2/2 = 400π + 100π = 500π; N = φ/2π = 250 об.
Здесь неверно записан закон вращения (вместо равнозамедленного — равноускоренное вращение).
Ответ 3 неверен.
№39
Закон вращения нам известен ε = const, ε < 0, N = 50 об.
Следовательно, φ = 2π N = 100π рад. Известно, что
ωt = 0, ω0 = πn0 /30 = π 600/30 = 20 π c–1.
Чтобы найти t, воспользуемся законом равнопеременного вращения:
φ= (ω0 + ωt)t/2; t = 2φ/ω0 = 200π /20π = 10 с.
Верен ответ 1. Остальные неверны. Вы ошиблись, записав не тот закон движения φ = ωt; t = φ/ω = 100π /20π = 5 с. Здесь φ ≠ ωt, так как ω ≠ const.
Ответ 2 неверен. Ответ 3 неверен. Вы записали закон равноускоренного, а не
равнозамедленного движения:
φ = ω0 t + εt2/ 2; но ω0 = εt; φ = ω0 t + ω0t/ 2 = 3ω0t/ 2; t = 2φ/300 = 10/3 с.
Нужно было записать ωt = ω0 – εt = 0; φ = ω0t – εt2/ 2 = ω0t/ 2;
t = 2φ/ω0 = 200π /20π = 10 с.
Можно было решить так.
№40
57
Верен ответ 2. Действительно, ε = ε0 – kt (по условию), где k = const. В момент
t1 ε = 0, найдем k из этого условия: ε0 – kt1 = 0, k = ε0 /t1. Тогда ε = dω/dt = ε0 – ε0t/t1,
откуда ω = ε0 t – ε0 t2/ 2t1;. В момент t1 ε = dω/dt = 0, следовательно,
ω = ωmax = ε0 t1 – ε0 t21/ 2t1 = ε0 t1/2.
Ответ 1. Неверно считается ω ≠ ε0 t1, так как ε ≠ ε0; ε = ε0 – kt; ε ≠ const.
№41
Верен ответ 4. По заданному закону движения находим угловую скорость и
угловое ускорение в любой момент времени: ω = dφ/dt = 24π t2; ε = dω/dt = 48π t.
Найдем тот момент времени t1, к которому маховик сделал четыре оборота.
Для этого вычислим угол поворота φ = 2π N; N = 4 об.; φ = 2π 4 = 8π рад.
Для любого момента φ = 8π t3 в некоторый момент t1 φ = 8π t31 = 8π; t1 = 1 с;
ωt1 = 24π c–1; εt1 = 48 π c–2.
Остальные три ответа неверны. В первом ответе
ω = dφ/dt = 24π t2; ωt1 = 24π c–1; εt1 = dωt1/dt = 0
— ошибка в вычислении углового ускорения ε = dωt /dt, а не dωt1 /dt, где ωt — в
любой момент времени вычисляется и берется от нее производная.
Во втором ответе вместо N = 4 об. берем n, определяющее число оборотов в
минуту, и считаем по формуле ω = πn /30. Неверно применяется формула.
В третьем ответе ω считается как φ/t и ε = ω/t, т.е. применяются формулы для
равномерного и равнопеременного вращения, хотя ни то ни другое места здесь не
имеют.
№42
Верен ответ 3. По условию ε2 = kt = dω/dt;
0
0
dt d ;
1 n 600 c–1, при t1 = 5 мин 60 = 300 c, n = 18 000 об/мин;
30
N
2
kt 2
= ω; k 2 1 ;
2
t1
d
kt 2
=
;
dt
2
5
3
k 2
21t13
kt
d 2 t dt; 6 ; N 2 t 2 6 2 30 000 об.
0
0
1
В ответах 1 и 2 неверно использованы законы равномерного и равнопеременного вращений: φ ω t , так как ω const, φ 18 000 5 = 90 000 об.;
φ (ω0 + ωt)t/2 = 18 0005/2 = 45 000 об., так как ε const.
№43
Верен ответ 4. Остальные ответы неверны. Действительно, 2t 3 ;
ωt1=1 = 2 – 3 = – 1 с–1; ε = = 2 с–2. ω 0; ε 0.
Вращение тела равнозамедленное.
№44
Верным является ответ 3. Первых два ответа — неполные.
№45
58
Верным является ответ 1. Поступательное и вращательное движения являются
основными и простейшими видами движений твердого тела. Плоскопараллельное
движение является сложным движением и в любой момент рассматривается как
совокупность двух простейших видов движения твердого тела — поступательного
и вращательного.
Скорость и ускорение точки вращающегося тела
№46
Используя передаточное число данного зацепления, определим радиусы второго и третьего колеса:
d
1 r3 2r3 d3
7200 0,2
; d 3 1 d1
2,4 м; 2 3 ;
3
600
3 d2
3 r1 2r1 d1
d 600 2,4
d2 3 3
0,36 м.
2
4000
Верен ответ 1. В ответе 2 вместо диаметров указаны радиусы. Заключение 3
неверно, так как верный ответ есть — 1.
№47
Верен ответ 4. Зная скорость точек на ободе в момент разгона, найдем
ωt = v/r =200 / 0,8 = 250 с–1, ω0 = 0.
Выразив угол поворота в радианах: φ = 2π N = 2π 750 = 1500π, найдем t, зная
закон равноускоренного вращения: φ= (ω0 + ωt)t/2,
t = 2 φ/ω = 2 1500π /250 = 12π c =37,7 с.
Верен ответ 4. В ответе 3 неверно записан закон вращения
φ ≠ ωt; t ≠ φ/ω = 12π c = 18,8 с.
В ответах 1, 2 угол φ считается в оборотах, а ω — в радианах в секунду
t = 2φ /ω ≠ 2 750 / 250 = 6 с (ответ 1);
t ≠ φ/ω = 750 / 250 = 3 с (ответ 2).
Эти ответы неверны.
№48
ε = const; ω0 = 0; ωt = = πn /30 = = π 120/30 = 4π c–1; t = 10 c; ωt = ω0 – εt;
ε = 4π/10 = 2π/5 c–2; ωt = εt1 = 2π/5 60 = 24π c–1; t1 = 10 c;
2
2
1
4
a A R 0,5 24 0,5 2
24 3 2 6 0,04 24 2 12 2 2
25
5
2412 π2 2880 м/с2.
Верен ответ 3. В ответе 1 найдено касательное ускорение
2
4
2
0,6 м/с–2.
5
В ответе 2 — нормальное ускорение в момент t =10 с:
aA R 0,5
59
an = R ω2 = 0,516π2 80 м/с2.
№49
Зная φ, можно найти угловую скорость рукоятки: ω = ω1 = =5 c–2;
ω2 =
1r1
r2
1 r2
;
2 r1
5 0,2 10 = с–1; ω = ω = 10 с–1; v = ω r = 10 0,15 = 0,5 м/с.
3
2
M
3 3
3
0,3
3
3
Так как v = const, то путь SM = vM t, тогда время подъема t = S/v = 5/0,5 = 10 с.
Верен ответ 2. В ответе 1 v = 50 см/с не перевели в 0,5 м/с и
t = S/v ≠ 5/50 = 1/10 с. Этот ответ неверен. Ответ 3 неверен. Неверно взято от
r
ношение 1 1 ;
2 r2
r 5 0,3 15
2,25
15
5 2 40
4,4 с.
ω2 ≠ 1 2
0,15 =
;t≠
;v≠
r1
0,2
2
2
2
2,25 9
№50
Зная закон вращательного движения: φ = 1,5 t2 – 4t, можно найти ω = = 3t – 4
и ε = = 3 с–2, t1 = 3 2 – 4 = 2 с–1.
Теперь найдем vt = r t1 = 0,2 2 = 0,4 м/с и at1 = r 2 t41 0,2 9 16 1 м/с.
Верен ответ 4. В ответах 2 и 3 вместо полного ускорения вычислено нормальное an = rω2 = 0,24 = 0,8 м/с2 и касательное aτ = rε = 0,23 = 0,6 м/с2 ускорения.
В ответе 1 вместо геометрической суммы an и aτ найдена их арифметическая
сумма 0,8 + 0,6 = 1,4 м/с2.
Скорость определена верно в ответах 2, 4, а в ответах 1 и 3 вместо линейной
скорости точки найдена угловая скорость тела.
№51
Линейное ускорение точки вращающегося твердого тела
равно геометрической сумме двух ускорений: касательного āτ
(рис. 68), нормального ān; aτ = Rε; an = Rω2; ā = āτ + ān —
2
2
2
4
полное ускорение, а по величине a a a n R , т.е.
верен ответ 3. Ответ 1 определяет только aτ, второй — an. Эти
оба ответа неточны. Ответ 4 неверен, так как āτ ān, то
a a2 an2 , но a ≠ aτ + an, т.е. a ≠ Rε+ Rω2.
№52
Маховик вращается с постоянной скоростью ω = πn /30 = 3π c–1. Скорость точек обода v = ωR = 1,2 м 3π c–1 = 3,6π м/с.
Ускорение точек обода будет только нормальное
an = ω2R = 9π2 1,2 = 10,8π2 м/с2.
60
Верен ответ 2. Ответ 1 неверен, так как при v = 3,6π = const ускорение точек
обода равно an = 10,8π2 и не равно нулю, а aτ = 0, но a = an ≠ 0.
В ответе 3 ускорение найдено верно: an = Rω2 = 10,8π2 м/с2, но вы забыли, что
ускорение нормальное, а не касательное и ищете v = at по формуле, где a = aτ , а
не an. Скорость найдена неверно. Ответ 3 неверен.
№53
Здесь известен закон движения груза B: SB = at2/2, так как он движется по прямой с постоянным ускорением. Перемещение груза B — SB будет равно перемещению точек, лежащих на ободе вала, а они перемещаются по дуге окружности
радиусом r, следовательно, угол, соответствующий этой дуге, φ = S/r = at2/2r —
это будет закон вращения вала, угол φ представлен функцией времени. Но вал с
шестерней сидят на одной оси и их закон вращения одинаков φ1 = φ = at2/2r.
Соответственно найдем
r
r atr d 2 atr1
at 2 r1
ω1 = 1 = at/r, но 1 2 ; 2 1 1 1 ;
; 2
.
2 r1
r2
rr2
2r2 r
dt
rr2
Верен ответ 3. Ответ 1 определяет ω2, 2 — ε2 — кинематические характеристики шестерни 2, а не закон вращения ее. Поэтому их нельзя считать верными.
№54
Верен ответ 2, так как ω = const; ε = 0; aA = aB = aC = aД = 0;
aAп = aBп = aCп = aД = Rω2; aE = aA/2= Rω2/2.
Ускорения всех точек, кроме точки Е, одинаковы; направлены по радиусам к
центру вращения.
Остальные ответы неверны.
№55
Верен ответ 1, так как tg α = |aτ|/an = 1 (α = 45 по условию), то |aτ| = an, значит,
t
d
0
1 1
Rε = Rω2; ε = ω2,но ε = dω/dt = ω2, откуда 2 dt ;
= t; ω =
1 0t
0
0
0
(для t 1/ω; ω 0 — вращение ускоренное).
Остальные ответы неверны.
Ошибки допущены при интегрировании и подстановке пределов.
61
ЛИТЕРАТУРА
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для втузов. —
М.: Высшая школа, 2001.
2. Яблонский А.И. Курс теоретической механики. — М.: Высшая школа,
1977.
3. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие для вузов /
Н.А. Бражниченко, В.Л. Кан, Б.Л. Минцберг. — М.: Высшая школа, 1974.
4. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике: Учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1981.
62
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ……………………………………………………………………………3
Тема 1. Предмет кинематики и ее значение в технике …………………………3
Краткий исторический очерк …………………………………………………….4
Философия курса ………………………………………………………………….4
Система отсчета …………………………………………………………………5
Кинематика точки ………………………………………………………………….6
Способы задания движения точки ………………………………………………..6
Переход от координатного к векторному способу задания движения точки
и обратно ………………………………………………………………...…………9
Контрольные вопросы ……………………………………………………………11
Тема 2. Дифференцирование переменного вектора. Скорость точки ………...13
Скорость точки …………………………………………………………………15
Переход от координатного способа задания движения точки
к естественному…………………………………………………………………...18
Равномерное движение …………………………………………………………19
Контрольные
вопросы…………………………………………………………20
Тема 3. Ускорение точки ……….……………………………………………..…22
Определение ускорения точки при естественном способе ………..…………..23
Определение ускорения точки при векторном способе ………………..27
Определение ускорения точки при координатном способе ……………….27
Нахождение an и aτ с помощью уравнений движения ………………………28
Контрольные вопросы ……………………………………………………………30
Тема 4. Кинематика твердого тела
Простейшие виды движения твердого тела ..…………………………………33
Поступательное движение твердого тела ………………………………33
Вращательное движение твердого тела и его кинематические
характеристики …………………………………………………………………...35
Контрольные вопросы …….……………………………………………………39
Тема 5. Определение движения точек вращающегося твердого тела
и его кинематические характеристики …………………………………..……40
Угловая скорость и угловое ускорение тела как векторные величины …….42
Выражение линейной скорости и ускорения в виде векторных
произведений ………………………………………………………………….….43
Рядовая зубчатая передача ………………………………………………………44
Контрольные вопросы……….……………………………………………………45
Ответы и решения
Способы задания движения точки ………………………………………………47
Скорость точки ………………………………………..…………………………50
Ускорение точки …………………………………………………………………53
Поступательное и вращательное движения тела ……………………………57
Скорость и ускорение точки вращающегося тела ……………….…………..…59
Литература ………………………………………………………………………..62
63