Математика № 1 - - Волжский институт строительства и

Федеральное агентство по образованию
Волжский Институт Строительства и Технологий
(филиал) государственного образовательного Учреждения
высшего профессионального образования
«Волгоградский Государственный Архитектурно-Строительный Университет»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
по дисциплине
МАТЕМАТИКА
для студентов 1 курса специальности НТС
сокращённой заочной формы обучения
Волжский 2011
Номер варианта задания выбирается по последней цифре номера зачетной книжки студента.
Например, если зачетная книжка имеет номер 07185, то следует выполнить вариант № 5. Если последняя цифра равна 0, то следует выполнить вариант № 10.
Вопрос по контрольной работе преподавателю вы можете задать по адресу:
kamnevagal@mail.ru
Рекомендации по оформлению контрольной работы
-
-
Работа может быть выполнена в обычной школьной тетради.
Не допускаются исправления в решении, имеющем ошибки. Повторное решение задания,
выполненного с ошибками, вместе с условием следует записать с новой страницы после
слов: «Работа над ошибками».
Титульный лист контрольной работы оформляется следующим образом:
Образец оформления титульного листа
Федеральное агентство по образованию
Волжский Институт Строительства и Технологий
(филиал) государственного образовательного Учреждения
высшего профессионального образования
«Волгоградский Государственный Архитектурно-Строительный Университет»
Контрольная работа № 1
по дисциплине
МАТЕМАТИКА
Студент:. . . . . . . . . . . .. Иванов Иван Иванович
Группа: . . . . . . . . . . . . НТС – 1 / 11 СЗ
Зачетная книжка № . . .
Вариант . . . . . . . . .. . . . .
Преподаватель. .. . . . . . . .________________.
Волжский 2011
Задание № 1
Дана система линейных алгебраических уравнений
a1,1 · x1 + a1,2 · x2 + a1,3 · x3 = b1
a2,1 · x1 + a2,2 · x2 + a2,3 · x3 = b2
a3,1 · x1 + a3,2 · x2 + a3,3 · x3 = b3
Доказать совместность этой системы и решить её тремя способами:
 по правилу Крамера,
 методом Гаусса.
Исходные данные приведены в столбцах таблицы 1 по вариантам.
Вариант
a1,1
a1,2
a1,3
a2,1
a2,2
a2,3
a3,1
a3,2
a3,3
b1
b2
b3
№1
3
4
2
2
-4
-3
1
5
1
8
-1
0
№2
5
8
-1
2
-3
2
1
2
3
7
9
1
№3
3
1
1
1
-4
-2
-3
5
6
21
-16
41
№4
2
-1
5
5
2
13
3
-1
5
4
2
0
Таблица 1
№5 №6 №7
1
7
1
1
-5
2
-1
0
1
4
4
3
-3
11
-5
1
0
3
2
2
2
1
3
7
-1
4
-1
-2
34
4
1
-36
1
1
-20
8
№8
1
1
-1
8
3
-6
-4
-1
3
1
2
-3
№9
1
-2
3
2
3
-4
3
-2
-5
6
20
6
№ 10
4
-3
2
2
5
-3
5
6
-2
8
11
13
Задание № 2
Найти производные y’x заданных функций. Функции приведены в строках таблицы 2 по вариантам.
Таблица 2
Функция, заданная
Вариант
Сложная функция
неявно
параметрически
№1
x
y = x · ln(1+e )
x + sin(2·y) = 1 – sin x
x = sin2t; y = cos2t.
№2
y = ln(x) / x2
x·sinx + y·cosy = 10 + y2
x = 2t; y = ln t3
№3
y = arccos(1/x)
x2·tgx + y·siny = 10x
x = sin3 t; y = t 3
№4
y = ln(sinx)/cosx
№5
y = tg2x
sin3x + cos3y = 2y
x = sin2 t; y = t 1/3
№6
y = ln2(x3)
y3 + siny – cosx = 3/x
x = tg2 t; y = cos2t
№7
y = sin3(x2)
y3 – x·lnx + lny + 2·x = 1
x = e2t ; y = arcsin(t2)
№8
y = tg(x1/2)
x·arcsiny + y·arcsinx = x
x = ln2 t; y = sin(2t)
№9
y = arctg (x1/2)
№ 10
y = e-3x
2
2
x·sinx + y2 + ctgy = 1
x = tg t, y = ln t.
x·ex + y·cosy = 100
x = arctg t; y = t2
x2·sinx + ctgy = 2sinx;
x = ctg t; y = ln2 t.
Задание № 3
Решить задачу на экстремум. Условия задач приведены в строках таблицы 3.
Таблица 3
Задача
Вариант
№1
№2
№3
№4
№5
№6
№7
№8
№9
№ 10
При каких линейных размерах открытая сверху цилиндрическая банка вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?
Кровельщик должен изготовить открытый желоб наибольшей вместимости с сечением в
виде равнобокой трапеции. Дно и бока желоба имеют ширину 30 см. Какова ширина желоба наверху?
Из круглого бревна диаметра 30 см нужно изготовить балку с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно b, а высота равна h. При каких размерах балка
будет иметь наибольшее сопротивление на изгиб? Замечание. Считать, что сопротивление на изгиб пропорционально bh2.
Из квадратного листа картона со стороной a требуется сделать открытую прямоугольную
коробку наибольшей вместимости, вырезав по углам квадраты и загнув выступы получившейся крестообразной фигуры. Найти размеры такой коробки и её объём.
Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать V литров. При каких
размерах на изготовление бака потребуется наименьшее количество жести?
Полосу жести шириной a=60 см нужно согнуть для получения открытого цилиндрического желоба (сечение желоба представляет собой часть окружности). Каким должен быть
центральный угол α этой окружности, чтобы вместимость желоба была максимальной?
Замечание: площадь сегмента находится по формуле S = R2 · (α -sin α)/2.
Нужно изготовить открытый цилиндрический бак заданного объёма V, причём стоимость
квадратного метра материала, из которого изготовляется дно бака, равна P рублей, а стоимость материала, идущего на стенки бака равна Q рублей. При каком отношении радиуса
дна к высоте бака затраты на материал будут наименьшими?
Из прямоугольного листа металла со сторонами а = 2 метра и в = 3 метра нужно сделать
открытый сверху ящик максимального объёма, вырезая одинаковые квадраты по углам и
загибая металл так, чтобы образовать бока ящика. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов?
Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы с трёх сторон она была огорожена проволочной сеткой заданной длины L, а четвёртой стороной примыкала к длинной
кирпичной стене. При каких размерах площадки её площадь будет наибольшей?
При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая бочка вместимости V будет
иметь наименьшую полную поверхность?
ЛИТЕРАТУРА
1.
Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, матема-
тическому программированию с решениями: Учебное пособие. – М.: Издательско-торговая корпорация
«Дашков и Кº», 2005. – 2005. – 432 с.
2. Пискунов С.П. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1. М., 1964. – 544 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть I, II.
4. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под редакцией Б.П. Демидовича. – М.:
Главная редакция физико-математической литературы, 1968. – 472 с.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.:
Наука, Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1986. -544 с.