СИСТЕМА РАСЧЕТА РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯН ИЯ УПРУГОЙ СРЕДЫ, ОСЛ АБ ЛЕННОЙ
advertisement
С И С ТЕ МА Р А СЧ Е Т А Р А В НО В Е С НО Г О СО СТ О Я Н И Я У П Р У ГО Й СР Е ДЫ , О СЛ А Б Л Е Н Н О Й П Л О С КО Й С И ММ Е ТР И Ч Н О Й ТРЕЩИНОЙ В о л о ш ин А . Г. , С т уп ин а М. В . Донской государственный технический университет ВВЕДЕНИЕ Известно, что в настоящее время в промышленности находят широкое примене ние конструкции, содержащие оболочки, одной из главных причин разр ушения которых яв ляется наличие неоднородностей, например, трещин. Поэтому задача расчёта элементов конструкций , содержащих неоднородности достаточно широко встречаются в теории упругости и строительной механике [1÷3]. Задача о плоской трещине нормального разрыва в упр угом пространстве сведена к решению интегро-дифференциального уравнения, не содержащего оператора Лапласа [1]. Это уравнение позволило получить приближённое решение задачи в форме дв укратного интеграла по области Ω, занятой трещиной. При этом считается, что область Ω имеет две взаимно-ортогональные оси симметрии, а ограничивающий эту область контур L является достаточно гладким. Для уточнения полученного решения построен рекуррен тный процесс, аналогичный предложенному в [2]. Результаты вычислений свидетельствуют о его сходимости. Данное решение является обобщением результатов работы [3], где рассмотрена задача для трещины, кр уговой. форма которой в плане близка к ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение задачи о плоской трещине нормального разрыв а в упр угом пространстве в виде 2 xy ( , ) ( x) 2 ( y ) 2 p dd 2 ; ( x, y ) . ( x)( y ) Здесь трещины; нагрузки, (1) ( x, y ) const амплит уда раскрытия - интенсивность нормальной приложенной к берегам трещины; E[2(1 v 2 )] 1 , E – модуль Юнга, коэффициент Пуассона. Функция удовлетворяет очевидном у условию v ( x, y) |L 0; Непосредственное уравнения (1) и учёт приводит его к виду: – ( x, y ) (2) интегрирование симметрии задачи ( , ) ( x) 2 ( y ) 2 p dd 2 xy; ( x)( y ) (3) Если кривизна контура L, рассматриваемая к а к ф у н к ц и я д у г и S , п р и н а д л е ж и т H 1 ( L), то реш ение уравнения (3) имеет вид [1] ( x, y ) pa l ( x, y ) ( x, y ); 0, (4) l ( x, y ) 0 - у р а в н е н и е к о н т у р а L , где ограничивающего область трещины Ω, a – постоянная, имеющая размерность длины. При сделанных предположениях ( x, y ) относительно области Ω функция является четной ф ункцией по обеим переменным. С учетом этого, преобраз уем уравнение (3) к виду ( , ) H ( , , x, y)dd 2xy; (5) 1 ( R Q R Q R Q R Q ); 4 1 ( x) 2 2 ( y ) 2 ; Q ; ( x)( y ) H ( , , x, y ) R (6) М о ж н о п о к а з а т ь , ч т о H ( , , x, y ) я в л я е т с я четной функцией по ξ и η и нечетной – по x и y. ε – отношение характерных размеров трещины a и b в плане, соответственно, по осям Ox и Oy: b 1; a const интенсивнос ть нормальной нагрузки, приложенной к берегам трещины (рис унок 1); (рис. 1) РЕШЕНИЕ Для решения задачи в безразмерных величинах использована следующая замена переменных x ~ x, a y ~ p y , b~; b Итерационный процесс определения последовательных приближений ф ункции ( x, y ) с т р о и т с я п о с л е д у ю щ е й с х е м е n 1 ( x, y ) 0 ( x, y ) 1 1 l ( , ) H ( , , x, y )n ( , ) n ( , y )dd 2xy 1 l ( , ) H ( , , x, y )n ( , y ) n ( x, y )dd 2xy (n 0, 1, 2, ...) (7) 0 ( x, y ) 2xy l ( x, y ) H ( , , x, y )dd ; (8) ( x, y ) Из предположения о том, что удовлетворяет условию Гельдера по обеим переменным, можно сделать вывод, что выделение в (7) разностных множителей (в отличие от [2]) позволяет устранить сингулярн ую особенность по одной из переменных. Это приводит к повышению эффективности вычислительного процесса по схеме (7). 0 ( x, y) На осях симметрии функция принимает вид l ( , ) 0 ( x, 0) 4x 2 x x dd 2 2 2 2 2 2 ( x) ( x) (9) 1 l ( , ) 0 (0, y ) 4y 2 2 y y dd 2 2 2 2 2 2 ( y ) ( y ) 1 (10) Из (9) легко найти l ( , ) 0 (0, 0) 2 2 2 d d 2 3/ 2 ( ) 1 (11) Интегралы в (9) – (11) могут быть вычислены с использованием форм улы Адамара. Соотношения (9) и (10) получены соответств ующими предельными переходами (6). Предварительно произведена группировка слагаемых в (6), в рез ультате чего I l ( , ) H ( , , x, y )dd x 2 l ( , ) K ( , , x, y )d; ( 2 x 2 ) (12) где y y K ( , , x, y) ; ( x) R ( x) R ( x) R ( x) R Интеграл интегралов (12) представим в виде I I1 I 2 ; где I1 x 2 I 2 x 2 l ( , ) 2 x2 K1 ( , , x, y)d; l ( , ) 2 x2 K ( x, , x, y)d; суммы K1 ( ,, x, y) K ( ,, x, y) K ( x,, x, y); Учтём, что K ( x, , x, y ) 1 sign ( y) sign ( y); 2 1 sign ( y) sign ( y)d , 1 2 y 0 1 0 4 q q2 2 1 2 4 d 2 d ; 2 2 2 2 x 0 x Здесь также учтено, что область, занятая трещиной, является симметричной относительно обеих осей, ее контур задан уравнением l ( x, y) 1 x 2 n y 2 m ; где m,n – натуральн ые числа . При m=2, n=1 имеем I2 2xy ; Для повышения эффективности вычисления интеграла I1 , о б л а с т ь и н т е г р и р о в а н и я разобьем на две, выделив внут ри круг м а к с и м а л ь н о г о р а д и у с а 0 , т . е . 0 1 , где контур области 0 - определяется у р а в н е н и е м x y 1. В рез ультате для рассматриваемой области получим: 2 2 I1 I 3 I 4 ; где 1 I 3 4 x 2 d q0 ( ) 0 0 1 q ( ) 0 q0 ( ) I 4 4 x 2 d l ( , x) 2 x2 l ( , x) 2 x2 K1 ( , , x, y )d ; K1 ( , , x, y )d ; q( ) 1 4 ; q 0 ( ) 1 2 ; Выделим разностный в ы р а ж е н и е д л я I3 множитель в I3 I5 I0 ; q0 ( ) 1 I 5 4 x 2 d 0 1 q0 ( ) 0 0 1 I 0 4 x 2 d 0 1 1 2 0 0 d 2 x2 0 I 0 4 x 2 d 1 2 0 l ( , ) l 0 ( , ) l 0 ( , ) 2 x2 K 1 ( , , x, y )d ; K 1 ( , , x, y )d ; 1 2 x 2 K ( , , x, y )d 2 x2 1 2 x 2 2xy 2xyE(k ) K ( x , , x , y ) d ; 2 2 x где E(k) – полный эллиптический интеграл 2 -го рода, k 1 2 ; Итак, суммир уя пр оведённые рассуждения, получим: I I 5 I 4 2xyE(k ); (13) Подставляя выражение (13) в (8), получим начальное приближение 0 ( x, y ) 2xy ; I Вычисление функций (7) осуществлялось Рассчитывались ij( n) n ( xi , y j ) 0 xi , t j 1 , в n ( x, y) (n 1) по следующей значения узлах после (14) чего в схеме методике. ф ункций равномерной функция сетки n ( x, y) в интегралах (7) заменялась интерполяционным многочленом Лагранжа m m m m L( x, t ) ij( n ) i 0 j 0 k 0 q 0 k i q j ( x xk )( t t q ) ( xi xk )(t j t q ) , t y 4 1 x2 ; (15) ЗАКЛЮЧЕНИЕ Задача о плоской трещине нормального разрыва в упр уго м прос транстве решена на основе интегро-дифференциального уравнения (1). Нулевым приближением решения является уравнение (14). Для уточнения полученного решения построен рекуррентный процесс (7). ЛИТЕРАТУРА [1] Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упр угих телах. М.: Физмалит, 1993. 224 с. [2] Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Равновесие упругого слоя, ослабленного плоскими трещинами //ПММ.1984.Т. 48. Вып. 6. с. 1030 1038. [3] Рашидова Е.В., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Равновесная плоская симметричная трещина в неограниченной упр угой среде . В кн.: Одиннадцатая международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов -на-Дону, ЮФУ, 2007 г. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ Волошин Андрей Григорьевич, 1988, студент ДГТУ. Домашний адрес: ул. Орбитальная, 22, кв. 203. Контактный телефон: 89085077138. Ст упина Мария Валерьевна, 1989, ст удентка ДГТУ. Домашний адрес : ул. Ленина, 44/7, кв. 67. Контактный телефон: 89185042872. СВЕДЕНИЯ О НАУЧНЫХ РУКОВОДИТЕЛЯХ Соболь Борис Владимирович, заведующий кафедрой Информатика ДГТУ, профессор, д. т. н. Рашидова Елена Викторовна, преподаватель кафедры Информатика ДГТУ, доцент, к. физ. мат. наук. Vo loshin A.G ., St up in a M .V. T he sys tem of calculating equilibrium state of elastic environment weakened by flat symmetric crack. AN N O T AT IO N Flat crack’s problem of normal rupture in the elastic space is shown equivalent the decision o f Integra-differential equation [1]. This equation allows to get approximate decision of the problem as a double integral in area occupied by crack. W e assume that area has two m utual-orthogonal axes of sym m etry, and area’s boundary L is smooth enough. The recurrent process has been built to specify decisio n finally obtained. Results of calculations testify that recurrent process converges.
