Ко второй краевой задаче нелинейной теории упругости для

КО ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ДЛЯ СОСТАВНОГО КЛИНА ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СДВИГЕ
О. Б. Агаларян
Институт механики НАН РА, Ереван, Армения
В настоящей работе рассматривается задача продольного сдвига нелинейноупругого упрочняющегося по степенному закону составного тела, изготовленного из трех
клиньев, имеющих произвольные значения величин углов. Предполагается, что составное
тело находится в антиплоском напряженно-деформированном состоянии под действием
внешних нагрузок, приложенных на некотором расстоянии от вершин соединения, а
внешние грани жестко защемлены. Требуется определить поля напряжений и
перемещений в окрестности вершины соединения; найти асимптотический характер этих
полей и исследовать явления малой напряженности в окрестности угловой точки
соединения.
В декартовой системе координат (рис. 1а) определение напряженно-деформированного состояния составного тела сводится к решению следующей краевой задачи [1–3]:
i 
 xzi   yz

,
x
y
 xzi  
 yzi   xzi 

 0,
x
y
(1.1)
T    i 
T    i 
 xz ,  yzi  
 yz ,


(1.2)
(1.3)
W (1)  x, y   0 , y  k2 x, W (3)  x, y   0, y  k3 x,
где (1.1) – уравнения равновесия и совместности, (1.2) – нелинейная зависимость между
компонентами напряжений и деформаций, (1.3) – условия жесткого защемления внешних
гранях в окрестности вершины соединения, индексы i  1, 2, 3 соответствуют первому,
второму и третьему клиньям, k1  tg1 , k2  tg 1   2  , k3  tg 1  3  , 21 ,  2 , 3 – углы
раствора клиньев. На общих гранях OB и OC могут быть заданы различные условия, в
данном случае принимаются условия полного сцепления (непрерывности), то есть
W 1  x, y   W  2   x, y  ,
W  2   x, y   W 3  x, y  ,
при y  k1 x и   2 
при y  k1 x .
 1
 3
2

x
,
y


x
,
y

x
,
y


x
,
y








 yz
 yz
yz
yz
Ясно, что для полного решения краевой задачи необходимо также удовлетворить
граничным условиям на оставшейся части тела, однако их влияние на асимптотический
характер решения определяется с точностью до постоянного множителя. Применение
метода годографа к краевой задаче (1.1)–(1.3) приводит в плоскости деформации  xz ,  yz  к
построению решений новых краевых задач в полярной системе координат  , (рис. 1б)
относительно вводимых неизвестных функций i  ,  [2]
T    2 i  ,  1  i   ,  1  2  i   , 

 2
0
(1.4)
  
 2



 2
с соответствующим образом выводящимися граничными условиями. В каждой области
i координаты определяются через функции  i  ,  соотношениями
x  sin
i  ,  cos i

,

 
y  cos
i  ,  sin 1  , 
.




(1.5)
Заменяя линии OA, OA и OB, OB касательными, проведенными в точке O и
2
1
обозначая соответствующие углы с осью O  через 1  , 1  ,  2 ,  3, будем иметь
 yz1  b1 xz ,
 yz2  c1 xz ,
 xz1  a1 xz ,




c1  tg   1  2  , d1  tg   1   3  .
2
2

C
D 
 yz
1   3
O

A
'
2
 3
A
B
1
1
3
2
b1  tg 1  ,
1

y
2
a1  tg 1  ,
 yz3  d1 xz ,
x
1
O
 xz
2
1   2
A
 '2
 '2
D
B 
C
B
Рис. 1а.
Рис. 1б.
Как известно  4 , от этого характер распределения напряжений в окрестности угловой
точки не изменится. Из условий непрерывности компонент напряжений и перемещений на
общих гранях составного клина получим уравнения относительно a1 , b1 , c1 , d1
 1
k12 1  a12 
k13 1  b
2
1
2
 1
1  k1c1   k1  a1   1  c12 

 1
 1  k d   k

2
1 1
1
 b1   1  d
2
1
2
1  k1b1   k1  c1   0 ,

 1
 1  k b   k

2
1 1
1
 d   0,
где k12  B1 / B2 , k13  B1 / B3 , k1  tg 1 . С учетом этого и условий y  tg 1 x , y   tg 1 x
получим, что в области 1 необходимо решить уравнения (1.4) для неизвестной функции
1  ,  со следующими граничными условиями

1 sin 

cos




cos 1  sin 




В области 2 из условий

1
1 cos 1 
1
 tg 1 sin 

 ,   1 ,









1
1 cos 1 
2
  tg 1 sin 

,   1  .



  

y  tg 1 x , y  tg  1  2  x получим граничные условия


1 sin   2
1 cos  2 
1

 tg 1 sin 

cos
 ,    2














cos 1  sin   2  tg     sin   2  cos  2  ,        
1
2 
1
2


 

  
2


А в области 3 из условии y   tg 1 x , y   tg  1  3  x будем иметь


 3 sin   3
 3 cos  3 
1

  tg 1 sin 

,    3 
cos


 

  



cos  3  sin   3   tg     sin   3  cos  3  ,       
1
3 
1
3


 

  
2


Решение этих краевых задач при помощи метода разделения переменных
записываются
mki  
в
1
1  
2 

 4
виде


i

1   2  ki 2 
где
i  1, 2, 3 . Асимптотический характер компонент

определяется наименьшим значением   min ki  . Присоединяя к
напряжения
k

1  1  k12   m    sin    1 1   1
2
1
 
i
уравнениям (2.4) уравнения 1  0,  2  0, 3  0 , где
определителями соответствующих однородных систем
2
являются главными

           2k  m    cos   1         
 m    sin                     1  k   m    sin   1         
2k  m    cos    1         ,
 

   1  k k  m    cos    1            
2 


 1  k12  m 2   2  sin  1    2

 1  k12

 i  ,     mk  Aki  cos ki   Bki  sin ki   ,


k 1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1 2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
 

1
 1  k1k2   m 2   2  cos    1 2      11   2     
2 

 
2

1
  k2  k1  m    sin    1 1   2   2     
2 

 

1
  k2  k1   m 2   2  sin    1 2      11   2     
2 



 

1
 1  k1k2   m 2   2  cos    1 2      11   2     
2 

 
2

1
 1  k1k2  m    cos    1 1   2   2     
2 

 

1
  k1  k2   m 2   2  sin    1 2      11   2     
2 



 
2

1
  k2  k1  m    sin    1 1   2   2     ,
2 



(1.6)
 
2

1
 3  1  k1k3  m    cos    1 1   3   3     
2 



 

1
 1  k1k3   m 2   2  cos    1  3      11   3     
2 

 
2

1
  k3  k1  m    sin    1 1   3   3     
2 



 

1
  k3  k1   m 2   2  sin    1  3      11   3     
2 

 

1
 1  k1k3   m 2   2  cos    1  3      11   3     
2 

 
2

1
 1  k1k3  m    cos    1 1   3   3     
2 



 

1
  k1  k3   m 2   2  sin    1  3      11   3     
2 

 
2

1
  k3  k1  m    sin    1 1   3   3    
2 

получим для неизвестных величин a1 , b1 , c1 , d1,  систему из пяти трансцендентных
уравнений.
Нетрудно показать, что из этой системы выводятся результаты линейной теории
упругости, для этого достаточно положить Bi  Gi ,   1 . Таким образом, так как


предельный переход имеет место, то предположение, что  является вещественной
величиной, справедливо. На основании формул (1.5) и (1.6) для компонент напряжений и
перемещений нетрудно получить асимптотические формулы в окрестности угловой точки,
обобщающие известные формулы линейной теории упругости. В частности, для первого
клина в полярной системе координат  r,  эти выражения имеют вид [5]
m1

m1
m1 1


r


2
2
2
2
W 1  K
2  m1 1 m  1 sin    


m
sin





cos



 1   2  ,







2
1
1 
1

r
,





2


 K 2 m 




 r  m 1 2 2
 2
2
2
2
m
1

(1.7)
  z  r,   B2 
  m Sin   1    cos   1   cos   1  ,
K
m

 2 




 2
 r  m1 1 2 2
2
2
2  m 1 sin    .



r
,


B
m
sin





cos









 1
 
 rz
2
1
1 
K
m

2



 

 1 определяется из следящего уравнения    1   2  1   21 
 2







m sin  1    sin   1   1   2    cos  1    cos   1   1   2   0
2
2




.
Из выражения (1.7) следует, в частности, также, что для того, чтобы компоненты
напряжения принимали конечные значения, необходимо  устремить к бесконечности.
Осуществляя такой формальный предельный переход в системе (1.6) и исключая
неизвестные величины, получаем уравнение предельной поверхности, отделяющей в
геометрическом пространстве области с особенностью и без нее, то есть области малой
напряженности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. – М.: Наука, 1979.
2. Райс Дж. Напряжения, обусловленные острым вырезом в упрочняющемся
упругопластическом материале при продольном сдвиге // Прикл. мех. – 1967. – № 2.
3. Нейбер Г. Теория концентрации касательных напряжений в призматических телах
при произвольной нелинейной зависимости между напряжением и деформацией // Прикл.
мех. – 1961. – № 4.
4. Чобанян К.С. Напряжения в составных упругих телах. – Ереван: Изд-во АН
Армянской ССР, 1987.
5. Aгаларян О.Б. Асимптотическое поведение решения задачи продольного сдвига
нелинейно упругого тела в окрестности угловых точек // Изв. НАН Армении. Механика. –
2001. – Т. 54. – 3. – С. 3–13.