Френкель А

1
Философские проблемы математики
Материалы для выполнения учебных заданий
Новосибирск
2006
2
УДК
ББК
Ф
Философские проблемы математики: Материалы для выполнения учебных
заданий. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2006.
Составитель
Д-р филос. наук, профессор Л.С. Сычева
«Материалы» содержат статьи по философии математики, излагающие
современные взгляды на философские проблемы математики, такие, как природа
математического знания, способ бытия математических объектов, формирование
нового знания в математике, отношение математики и других наук, различие чистой и
прикладной математики. Материалы предназначены для студентов и магистрантов
механико-математического факультета для углубленного изучения философских
проблем их науки, а также для аспирантов ММФ, готовящихся к сдаче кандидатского
экзамена «История и философия науки». Каждая статья снабжена вопросами, ответы на
которые будут способствовать лучшему пониманию рассматриваемых вопросов.
3
СОДЕРЖАНИЕ
Философия математики
Френкель А., Бар-Хиллел И. Философские замечания
Целищев В.В. Поиски новой философии математики
Способ бытия математических объектов
Розов М.А. Способ бытия математических объектов
Коллинз Р. Социальная реальность объектов математики и естествознания
Розов Н.С. Природа «упрямой реальности» в философии естествознания и математики
Сычева Л.С. Проблема реальности математических объектов
Формирование нового знания в математике
Григорян А.А. Социокультурные и метафизические круги и их преодоление в развитии
математики
Веркутис М.Ю. Рефлексивная симметрия как механизм новаций в условиях неведения
Отношение математики и других наук
Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках
Возникновение математики
Нидам Дж. Общество и наука на Востоке и на Западе
Различие чистой и прикладной математики
Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я Г. О различии некоторых подходов в чистой и
прикладной математике
4
Философские проблемы математики
Книга А. Френкеля (математик, один из авторов важной системы аксиом
Цермело-Френкеля для теории множеств) и И. Бар-Хиллела (специалист в области
семиотики) представляет собой полный обзор результатов, полученных в основаниях
теории множеств к 1958 году. Приведенный в хрестоматии параграф 8 из главы Y
содержит изложение философских проблем, связанных с обоснованием математики, и
различных точек зрения на их решение. Основное внимание направлено на
исследование вопроса об онтологическом статусе множеств. Рассматриваются
решения, предложенные платонистами, неономиналистами, неоконцептуалистами.
Рассмотрены также попытки осознать математику как эмпирическую науку,
качественно никак не выделяемую из других эмпирических наук, когда доказывается,
что формальные науки менее «формальны», чем принято думать, а также попытка
Куайна, которая исходит из того, что эмпирические науки не столь уж «эмпиричны».
Целищев Виталий Валентинович, директор Института философии и права СО
РАН, логик, доктор философских наук, выпустил несколько книг по философии
математики. В первой главе книги «Философия математики», приведенной в
хрестоматии, дает сводку направлений в философии математики, более подробно
характеризует структурализм, номинализм, реализм. Анализирует платонизм как
представление о том, что математические объекты существуют вне и независимо от
человеческого сознания, существуют не в материальном мире, а в мире идеальных
сущностей. Если платонизм как «рабочая» вера математика не вызывает у математиков
никаких сомнений, то в философском отношении платонизм отягощен массой
неприятных аспектов. Реакцией на философски затруднительную позицию платонизма
является эпистемологизация математики, т.е. переход от рассмотрения традиционных
вопросов о природе математических объектов и математической истины к
исследованию вопросов математического познания.
Френкель А., Бар-Хиллел И.
Философские замечания.
Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966. Глава Y, § 8.
Стр.398-416.
Во многих местах этой книги, когда нам приходилось касаться некоторых
щекотливых «философских» вопросов, мы прерывали изложение замечанием, что
проблема эта будет освещена «позже». Теперь наступил последний срок выплаты
накопившихся долгов. Вряд ли читатель после чтения этого заключительного
параграфа проникнется ощущением, что все возникшие перед ним проблемы получили
теперь свое окончательное разрешение. Почти никаких окончательных суждений он
здесь не встретит; единственно, в чем мог бы состоять прогресс, так это в самой
формулировке некоторых из этих проблем, а также различных точек зрения на них, что
могло бы способствовать лучшему пониманию их существа.
5
Первая из этих проблем — это онтологический статус множеств; не того или
иного конкретного множества, а множеств вообще. Под словом «множество» обычно
понимают то, что философы называют универсалиями (universals); таким образом,
интересующая нас сейчас проблема есть частный случай давно известной и широко
обсуждавшейся классической проблемы об онтологическом статусе универсалий. Три
основных ответа на общую проблему универсалий, идущие еще от средневековых
дискуссий, известны под именами реализма, номинализма
и концептуализма. Мы
будем рассматривать здесь не сами по себе эти направления мысли в их традиционных
версиях (1), а только их современные аналоги, известные как платонизм (2),
неономинализм и неоконцептуализм (впрочем, приставку 'нео' мы будем, как правило,
опускать, так как здесь у нас не будет случая обсуждать старинные версии). Мы
рассмотрим затем еще одну позицию, согласно которой вся эта проблема онтологического статуса универсалий вообще и онтологического статуса множеств в частности
есть не что иное, как метафизическая псевдопроблема.
Платонисты убеждены, что для каждого правильно определенного одноместного
условия существует, вообще говоря, соответствующее множество (или класс),
состоящее из всех тех и только тех предметов, которые удовлетворяют этому условию,
и что это множество само является предметом с таким же полноправным
онтологическим статусом, как и его члены. Если бы только не антиномии, то лучшим
отражением интуитивной позиции платонистов должно было бы быть идеальное
исчисление К (стр. 172) или что-нибудь в этом роде; главная особенность такого рода
систем — это ничем не ограниченная схема аксиом свертывания. Будучи
вынужденными считаться с реальной ситуацией, платонисты допускают, хотя и с
неохотой, что их представления о том, что такое правильно определенное условие,
могут оказаться недостаточно четкими, и заявляют о своей готовности наложить на
употребление схемы аксиом свертывания некоторые ограничения, вроде тех, что
приняты в теории типов или в теории множеств цермеловского толка. Однако в
глубине души они надеются, что рано или поздно кому-нибудь удастся показать
достаточность гораздо менее радикальных мер предосторожностей. Может, конечно,
случиться, что некоторые платонисты придут к убеждению (или другие сумеют
убедить их) в том, что в мире, в котором они живут, предметы действительно
расслоены (are really stratified) на типы и порядки, тогда они примут теорию типов не в
качестве удобного соглашения, а в качестве описания реальной ситуации.
Неономиналисты заявляют, что они вообще не могут понять, что имеют в виду те,
кто говорит о множествах, — такие разговоры для них могут представлять собой лишь
6
facon de parler (манера выражаться). Единственный язык, на понимание которого они
претендуют,— это исчисление индивидов (calculus of individuals), построенное как
прикладное
функциональное
исчисление
первого
порядка.
Многие
обороты,
используемые как в научном, так и в повседневном языке, зависящие, prima facie (на
первый взгляд), от термина 'множество', номиналисты без особого труда точно
переводят на свой ограниченный язык. Такое, скажем, обычное выражение как
«множество предметов а есть подмножество предметов b» они переводят как «для всех
x, если х есть а, то х есть b». Некоторые другие обороты и выражения представляют
большие трудности для такого перевода. На языке теории множеств легко выразить тот
общепринятый способ образования понятий, посредством которого какое-либо
асимметричное
и
интранзитивное
отношение
порождает
новое
отношение
наследственности (the ancestral) (5) (которое оказывается уже транзитивным).
Например, исходя из допущения, что в области целых чисел уже имеется отношение
'быть на единицу больше’ (но пока не просто 'быть больше'), определяют: х больше,
чем у, если и только если х отлично от у и х принадлежит всем множествам, содержащим у и все целые числа, на единицу большие любого их члена. Воспроизведение
такого способа образования понятий в исчислении индивидов часто требует больших
ухищрений, в ряде же случаев эта задача по-видимому, вообще невыполнима (6).
Известно, что выражения типа «кардинальное число множества а есть 17» (или «... не
более 17», или «... не менее 17», или «... лежит между 12 и 21» и т. п.) легко выразимы в
функциональном исчислении первого порядка с равенством. Однако такое выражение,
как «кошек больше, чем собак» уже вызывает значительные трудности, и хотя в данном
и любых других конкретных случаях эти трудности все же преодолимы, нет общего
метода номиналистического истолкования выражения «предметов а больше, чем
предметов b» (7). Трудности, возникающие при попытках выразить всю классическую
математику в номиналистических терминах, производят впечатление непреодолимых
— и так оно, по всей вероятности, и есть. Поскольку речь идет о канторовской теории
множеств, теории трансфинитных кардинальных чисел и подобных им теориях, то
номиналисты только рады избавиться от этих теорий и с равнодушием относятся к
понесенным «потерям». Зато к тем разделам математики, которые находят применение
в других науках, номиналисты относятся со здоровым уважением, и многие из них
готовы скорее подвергнуть сомнению собственную философскую интуицию, нежели
принести в жертву хотя бы часть такой рабочей математики. Есть только два
заслуживающих внимания выхода из возникающих затруднений: либо продолжать
пользоваться всеми нужными частями математики в надежде, по-видимому, не
7
слишком обоснованной (8), что в конце концов удастся получить их адекватную
переформулировку в номиналистических терминах, либо объявить всю высшую
математику неинтерпретируемым исчислением, пользование которым, несмотря на
отсутствие интерпретации, оказывается возможным благодаря тому обстоятельству,
что его синтаксис формулируется (или может быть сформулирован) на вполне
понятном
номиналистическом
метаязыке
(9).
Насколько
успешно
неинтерпретированное (и непосредственно не интерпретируемое) исчисление может
выполнять
возлагаемую
на
него
задачу
согласования
интерпретированных
предложений эмпирического характера — вопрос пока еще далеко не ясный, несмотря
на большие усилия, потраченные на его решение многими учеными, занимавшимися
проблемами философии науки (10). Здесь
явственно усматривается близость к
формалистической (гильбертовской) позиции, согласно которой определенная часть
математики, в основном рекурсивная
арифметика, считается интерпретируемой,
а остальная часть — неинтерпретированным исчислением, используемым в качестве
средства
преобразования
осмысленных
предложений
в
другие
осмысленные
утверждения, причем этот статус «идеальных» частей математики сравнивается со
статусом «идеальных» точек в аффинной геометрии.
От такой точки зрения остается всего один шаг до принятия философии «какбудто» („As-if "philosophy"); Генкин (11) указывает, что финитистски настроенный
номиналист, т.е. тот, кто верит, что мир (который для него представляется всегда в виде
некоторой однородной области индивидов, причем природа этих индивидов роли не
играет) состоит лишь из конечного числа элементов, вполне мог бы допустить, что
существование бесконечного числа предметов есть полезный обман (pretense) (раньше
в таких случаях говорили 'фикция' (fiction)). Он, конечно, видит, что уж если быть
готовым к фикциям, то с таким же успехом можно было бы согласиться с фикцией о
существовании универсалий и пользоваться в полном объеме платонистским языком,
отрицая в то же время, что тем самым приходится принимать онтологические
соглашения, связываемые обычно с таким языком; однако он чувствует, что между
этими двумя фикциями есть существенное различие, вследствие которого последовательный номиналист охотнее согласится с первой фикцией, чем со второй;
Генкин признает при этом, что никакого объективного критерия для такого различения
фикций ему неизвестно. Конечно, он прав, говоря, что такой образ действий, при
котором использование языков форм не предполагает принятия онтологических
допущений, производит несколько легкомысленное впечатление и нуждается поэтому в
дальнейших разъяснениях (12).
8
Имеются и такие авторы, которых не привлекает ни сочная растительность
платонистских джунглей, ни суровый пустынный ландшафт неономинализма. Им
больше нравится жить в тщательно распланированных и хорошо обозримых садах
неоконцептуализма. Они претендуют на понимание того, что такое множество, хотя и
предпочитают пользоваться метафорой построение (или придумывание (inventig}), а не
любимой метафорой платонистов выбор (или открытие); эти метафоры заменяют
собой более старую антитезу: существование в сознании— существование в некотором
внешнем (реальном или идеальном) мире. Неоконцептуалисты готовы допустить, что
любое
вполне
определенное
и
ясное
условие
действительно
определяет
соответствующее множество — коль скоро в этом случае они могут «построить» это
множество, исходя из некоторого запаса множеств, существование которых либо
интуитивно очевидно, либо гарантировано предварительными построениями,— но не
согласны принимать никаких аксиом или теорем, в силу которых им пришлось бы
согласиться с существованием каких бы то ни было множеств (13), не характеризуемых
конструктивным образом. Поэтому они не допускают множеств, соответствующих
непредикативным условиям (за исключением, конечно, тех случаев, когда можно
доказать, что такое условие можно заменить равносильным ему предикативным), и
отрицают справедливость (validity) теоремы Кантора в ее наивной, абсолютной
интерпретации, в силу которой множество всех подмножеств любого данного
множества имеет мощность большую, чем мощность самого этого множества.
Абсолютное понятие несчетности
объявляется лишенным смысла, хотя и может
случиться, что какое-либо бесконечное множество окажется не перечислимым с
помощью некоторых данных средств.
Конечно, в номиналистически интерпретируемой теории множеств, при которой
'  ' интерпретируется как 'является членом', заключено contradictio in adiecto (14 противоречие по определению). Но мы говорили уже, что некоторые номиналисты
согласны пользоваться теорией множеств как неинтерпретированным исчислением,
выполняющим чисто трансформационные функции. И платонисты, и концептуалисты
настаивают на том, что теория множеств (как и вообще математика) должна быть
интерпретируемой и понимаемой сама по себе и не использовать никаких
неинтерпретируемых исчислений. Расходятся же эти два направления в своем
понимании того, что такое «понимаемость» (intelligibility).
Нечего и говорить, что каждое из этих больших философских направлений
распадается на множество более специальных, что границы их неопределенны и что
часто бывает очень трудно отнести какого-либо автора с полной определенностью к
9
одному из них. Логицизм обычно считают одной из разновидностей платонизма;
однако сам Рассел на протяжении своей шестидесятилетней философской деятельности
не раз высказывал идеи, носящие концептуалистский и даже номиналистический
характер (15). Разветвленная теория типов имеет явственный концептуалистский
привкус; что же касается аксиомы сводимости, то она, конечно, является
платонистской. Когда он выступил со своей бесклассовой теорией (no-class theory),
многие расценили ее (особенно это относится к члену венского кружка Гансу Хану в
начале 30-х годов (16); впрочем, пожалуй, некоторое время так был настроен и сам
Рассел) как чисто номиналистическую, продолжающую традиции бритвы Оккама. (Это
было, однако, явным недоразумением, объясняемым отчасти двусмысленностью
употребляемого Расселом термина 'пропозициональная функция': в значениях
'открытая формула' и в то же время 'аттрибут' (attribute). Фактически Рассел показал,
каким образом можно обойтись без употребления классов, заменив их «пропозициональными функциями»; но эти функции были не чем иным, как аттрибутами
(свойствами или отношениями), т. е. по меньшей мере такими же «универсалиями»,
какими являлись сами классы; Рассел отдавал себе отчет в двусмысленности этого
своего словоупотребления, но заблуждался, полагая, что оно имеет чисто языковую
природу (17). Гёделя теперь принято считать платонистом; но первые его работы
испытали сильное влияние гильбертовской школы и даже Сколема, настроенного еще
более
решительно
концептуалистски.
Гёделевский
постулат
конструктивности
(стр.153), имеющий очевидную концептуалистскую направленность, в качестве
такового получил признание и одобрение концептуалистов; но сам Гёдель отказывается
рассматривать его в качестве истинного теоретико-множественного утверждения
(statement). Гильберт — отец современного формализма; но его метаматематика в
сильной степени концептуалистична, а взгляд, согласно которому математические
понятия высших ступеней абстракции имеют «идеальную» природу, вообще трудно
отнести с определенностью к какому-либо из обычных направлений. Лоренценовский
операционизм следует охарактеризовать как некий переходный оттенок в смеси концептуализма и номинализма породы «как-будто», но характеристика эта лишь в малой
степени вскрывает нам все отпугивающие стороны его позиции. Куайн, начинавший
как логицист, в течение многих лет пытался защищать номиналистическую позицию,
но теперь он чувствует, что, устав от своих донкихотских попыток номиналистской
реконструкции, может впасть в концептуализм, успокаивая при этом «свою
пуританскую совесть сознанием, что не совсем уж погряз в платинистской скверне
(18)» (19). Для первых работ Тарского характерна идущая от Лесневского позиция,
10
характеризуемая самим Тарским как интуиционистский формализм; но теперешняя его
позиция уже не такова (20). Если раньше он испытывал затруднения, связанные с
обоснованием оперирования над бесконечными множествами предложений, то теперь
он, не проявляя видимых угрызений совести,
вводит
в
рассмотрение
языки,
множества индивидных констант которых имеют любую мощность.
Было бы легко, даже слишком легко, продолжать в том же духе. Лишь очень
немногие
современные
логики
и
математики
последовательно
и
неуклонно
придерживались в течение всей своей жизни одной и той же философской линии.
Говоря об исключениях из этого правила, можно назвать Брауэра, всю жизнь
являющегося искренним и бескомпромиссным концептуалистом (позиция эта, между
прочим, не помешала ему доказать несколько «классических» теорем топологии),
Чёрча, проповедующего прямолинейный (хотя отнюдь не догматический) платонизм, и
Гудмена, до сих пор не поддавшегося концептуалистским соблазнам и стойко
исповедующего самый крайний номинализм, который если и меняется в чем-либо со
временем, то разве что в сторону еще большей радикальности. Следует, правда,
отметить, что номинализм его несколько особой марки и имеет мало общего с
классическим номинализмом. Номинализм этого рода можно было бы назвать чисто
синтаксическим номинализмом; Гудмен настаивает на том, что единственной законной
формой языка является некоторое функциональное исчисление первого порядка, но без
каких бы то ни было ограничений, по крайней мере официально принятых им, на
онтологический статус самих индивидов, до которых ему нет решительно никакого
дела; в качестве таковых можно рассматривать хотя бы сообщения с того света, или
числа, или множества, вернее «множества», поскольку про такие множества нельзя
сказать, что они содержат какие-либо члены. Короче говоря, девиз Гудмена таков: он
ничего не имеет против множеств, он только не может понять, что значит множество
чего-либо (21) .
Для большинства авторов, занимавшихся основаниями математики, характерно
поразительное непостоянство философских позиций. С их точки зрения, эти изменения
воззрений вполне естественно объяснять эволюцией мышления в сторону большей его
зрелости и считать более поздние позиции более обоснованными, нежели ранние,
независимо от того, в какую именно сторону произошел сдвиг.
В то же время вполне естественно, что в глазах некоторых мыслителей все эти
причудливые блуждания служат подтверждением той точки зрения, что ни одна из
рассмотренных трех основных онтологических концепций объективно не имеет никакого отношения к проблеме оснований, независимо от того, что думают по этому
11
поводу приверженцы этих концепций и насколько сильны в этом отношении их
чувства. Сторонники такого образа мыслей пришли к выводу, что теории множеств
следует оценивать не по их онтологиям (в смысле Куайна), а по их плодотворности.
Существуют или нет непредикативные множества — на этот вопрос не следует ждать
ответа ни от теоретических рассуждений, ни от (иррациональной?) веры, основывающейся на интуиции или свободе совести. Получившие столь широкое
распространение противоположные мнения были вызваны совместным рассмотрением
и смешением двух совершенно различных вопросов: первый из них — можно ли
доказать, или опровергнуть, или доказать неразрешимость некоторых определенных
экзистенциальных предложений в некоторой данной теории; другой вопрос — следует
ли принять всю эту теорию. Можно ли доказать в Z существование множества,
являющегося объединением (множеством-суммой) трех данных множеств,— это
серьезный вопрос, легко решаемый, как мы знаем, положительно. Можно ли доказать в
Z несуществование нетривиального недостижимого числа — это еще более серьезный
вопрос, причем настолько трудный, что мы не умеем на него ответить. По отношению
же к системе Z # на тот же самый вопрос тривиальным образом следует дать
отрицательный ответ. А для некоторых других теорий ответ может оказаться
положительным, иногда получаемым тривиально, иногда требующим глубоких
рассуждений. Следует ли принять систему Z , или B , или Z # , или Т*, или ML , или  ,
или что вам еще угодно, - это уже другой, очень серьезный вопрос, но, конечно, вопрос
совершенно иного рода. Сущность его в практическом решении, основанном на таких
(теоретических) соображениях, как правдоподобность непротиворечивости, удобство
для
проведения
выводов,
эффективность
построений
классического
анализа,
педагогические соображения, а может быть, наличие стандартной модели, и т. п.
Смешение этих двух совершенно различных вопросов
приводит к такого
рода
псевдопроблемам, как, скажем, существуют ли несчетные множества (как таковые, в
абсолютном смысле, а не в рамках данной теории), провоцирующим бесплодные
псевдотеоретические дискуссии или создающим впечатление, что ответ на такого рода
вопрос могут подсказать только интуиция и философские убеждения, основываясь на
которых платонист ответит на этот вопрос ясным «да», а концептуалист и номиналист
столь же ясным «нет», поскольку интуиции, из которых они при этом исходят,
совершенно различны.
Самый выдающийся представитель этой четвертой, антионтологической, точки
зрения — Карнап. В одной из своих последних работ (22) он ввел для обозначения двух
названных нами вопросов термины: внутренняя проблема {question) существования и
12
внешняя проблема существования. Правда, Карнап не занимается непосредственным
приложением этого различения к проблемам оснований теорий множеств; но нам
представляется, что такое приложение осуществляется совсем легко и прямо, и мы
надеемся, что не исказим точку зрения самого Карнапа на обсуждаемый сейчас вопрос.
Точка зрения эта также не свободна от своих собственных трудностей. Мы не
будем обсуждать их здесь. Считаем только необходимым сказать, что наше изложение
могло породить несколько преувеличенное представление о степени расхождения
позиций Куайна и Карнапа. Верно, что Куайн часто повторял, принять какую-либо
теорию можно, лишь связав себя некоторыми абсолютными онтологическими
соглашениями; верно, что Карнап как раз это самое отрицал. И тем не менее далеко не
ясно, до какой степени это расхождение не является чисто (или преимущественно)
словесным (23).
Мы уже говорили (гл. III, стр. 216), что некоторые неоконцептуалисты отвергают
не только непредикативные способы образования понятий, но и более широкий класс
методов неопределенного (в смысле Карнапа) образования понятий; если говорить об
этом в терминах метаязыка, речь идет об отказе от языков с неограниченной
квантификацией. Сторонники такой позиции (среди них можно назвать Пуанкаре,
Брауэра, Витгенштейна, Кауфмана, Сколема и Гудстейна) приходят к своему отказу от
таких трансфинитных операций под влиянием того соображения, что не существует
разрешающей процедуры, которая позволяла бы решать вопрос об истинности
квантифицированных предложений. Отождествляя осмысленность с эффективной
проверяемостью (effective verifiability) (24), они немедленно приходят к заключению,
что выражения, содержащие неограниченные кванторы, вообще говоря, бессмысленны.
Философские аспекты этой позиции более чем сомнительны. Наиболее
распространенные возражения против нее состоят в том, что принятие ее изуродовало
бы математику, точно так же, как принятие аналогичной позиции в отношении
эмпирических предложений изуродовало бы эмпирическую науку. Нельзя, однако, не
признать, что теории, удовлетворяющие ее требованиям, обладают определенной
привлекательностью. Скажем, арифметика, исходящая из отношений (или операций),
эффективно разрешимых в каждом конкретном случае, и запрещающая использование
неограниченных кванторов при образовании дальнейших своих понятий, остается на
всех стадиях своего развития интуитивно прозрачной, это, безусловно, одна из самых
надежных и наименее подверженных сомнениям теорий, имеющих дело с бесконечной
предметной областью. Понятно, что Гильберт должен был стремиться доказать
формальную непротиворечивость математики именно в этой весьма интуитивной
13
рекурсивной арифметике (recursive number theory). Сколему удалось в рамках этой
теории развить значительную часть классической арифметики, а Гёдель превосходно
показал достаточность ее средств для арифметизации элементарного синтаксиса любой
формальной системы (25).
В четко определенных языках, хотя они и подчиняются правилам классической
пропозициональной логики, те употребления принципа исключенного третьего, против
которых возражают интуиционисты и которые часто ответственны за возникновение
антиномий (26), остаются в стороне как раз потому, что они не могут быть
сформулированы. Неограниченная общность предложений выразима с помощью
свободных
переменных;
что
же
касается
неограниченных
экзистенциальных
предложений, то они вообще не могут быть выражены в таком языке: утверждать
‘F(х)’- значит утверждать, что все х суть F, но утверждать ‘~ F(x)’ — значит утверждать
вовсе не то, что не все х суть F, а то, что все х суть не F или что никакое х не есть F.
Тот факт, что запрещение обычных (неограниченных) кванторов не приводит к
таким тяжелым ограничительным последствиям, каких можно было бы ожидать, можно
проиллюстрировать следующим, довольно тривиальным примером. Пусть в некоторой
теории натуральных чисел уже определен двуместный предикат ‘D’ («делит»); тогда
можно дать обычное определение одноместного предиката ‘Р’ («есть простое»),
скажем, следующим образом:
P( x)  df x  1 & ( Ay)[ D( y, x)  ( y  1  y  x)].
Вся хитрость теперь состоит в замене ‘(Ау)’ на ‘(Ау)’х (читается: ‘для всех у от 0
до х включительно’). Вообще всякий раз, когда мы, вводя какое-нибудь разрешимое
свойство, хотим заменить неограниченные кванторы ограниченными, нам нужно
только найти какую-нибудь верхнюю границу рассматриваемых чисел.
Поэтому и было предложено (27) считать один из определенных языков, а именно
Язык I Карнапа, «в известном смысле» осуществлением наиболее
концептуалистских
тенденций,
иногда
именуемых
решительных
‘финитистскими’
или
‘конструктивистскими’. Некоторые авторы (например, Сколем или Гудстейн)
согласились бы, пожалуй, с такой формулировкой их взглядов, но интуиционисты не
согласились бы, хотя, быть может, лишь по той причине, что они вообще считают, что
интуицию нельзя адекватно выразить посредством какой бы то ни было формализации.
Отдельно стоит сказать о Лоренцене, который решительнейшим образом
отвергает непредикативное образование понятий и в то же время с полной
определенностью допускает неограниченную квантификацию (28), отказываясь иметь
дело с затруднениями, связанными с критерием верифицируемости. Он не
14
придерживается концептуалистической философии, множества для него — это всегонавсего пропозициональные формы (29), условия со свободными переменными, а вовсе
не внеязыковые сущности, соответствующие этим формам, как для настоящего
концептуалиста. Но Лоренцен не является и синтаксическим номиналистом и уже тем
более платонистом. Не примыкает он и к последователям Карнапа. Математика для
Лоренцена — не лингвистическая неинтерпретированная схема, оцениваемая в
зависимости от ее плодотворности и т. п., а интерпретированная теория схематических
операций над неинтерпретированными исчислениями.
Несмотря на многочисленные расхождения, философия математики Карри (30)
ближе всех связана с философией Карнапа. Подобно Карнапу, Карри отвергает любые
онтологические допущения (commitments) (31) и в качестве критерия для оценки
математических теорий настойчиво выдвигает их приемлемость (acceptability}(32). Он
называет свою концепцию эмпирическим формализмом, подчеркивая этим ее отличие
от гильбертовской версии формализма, с которой она и в самом деле значительно
расходится; более уместным был бы, пожалуй, термин прагматический формализм.
Утверждение Карри, что формалистское (предлагаемое им) определение математики не
нуждается ни в каких предварительных философских допущениях и что разговор о
философских различиях было бы разумнее вести в терминах «приемлемости», вполне
согласуется с теперешней точкой зрения Карнапа, а проводимое Карри различение
между обсуждением вопроса об истинности какого-либо данного математического
предложения (statement) в данной системе и вопроса о приемлемости этой системы в
целом, по-видимому, равносильно карнаповскому различению внутренней и внешней
проблем существования.
В отличие от гильбертовского формализма Карри с пренебрежением относится к
доказуемой непротиворечивости, отводя более важную роль приемлемости. Это
различие позиций, по-видимому, не столь уж принципиально, поскольку и сам
Гильберт не считал, что непротиворечивость является достаточным условием
приемлемости (33). Что же касается интуитивной очевидности, то это, по мнению
Карри, роскошь, без которой математика может превосходно обойтись. «Поскольку
дело касается приемлемости для физики, анализ не более нуждается в доказательствe
непротиворечивости, чем в интуитивной очевидности» (34).
Наконец,
аргументы
Карри
в
защиту
терпимости
(tolerance)
допросах
приемлемости (35) отражают, вероятно намеренно, знаменитый карнаповский принцип
терпимости (36). Всякому, кто настаивает, основываясь на своей интуитивной
убежденности, что raison d'etre имеют лишь математические системы определенного
15
рода, стоит еще раз как следует подумать, не тормозит ли его нетерпимость научный
прогресс, а не пытаться втиснуть науку в узкую колею единственного пути,
обещающего надежду. В некоторых случаях конструктивность является необходимым
условием приемлемости математической теории — так, сажем, обстоит дело с
метаматематикой или с машинной математикой; поэтому теории конструктивного
(theories of the conctructible} (термин этот, в противовес употребляемому в следующей
фразе, недавно предложен Гейтингом (37)) стоят того, чтобы их изучали математики с
любыми философскими убеждениями; и их действительно изучают математики с
совершенно различными убеждениями, равно как и те, что обходятся без всяких
философских
убеждений.
Что
же
касается
утверждения,
согласно
которому
единственная законная математика — конструктивная математика (constructible
mathematics}, то очень мало шансов, что оно убедит кого-либо из тех, кто не разделяет
особой точки зрения интуиционистов.
В наши намерения не входило давать здесь полную сводку всех существующих
направлений философии математики. Все же будет уместно сделать еще несколько
замечаний на эту тему.
Мы совсем пока не говорили о той концепции математики, согласно которой
математика рассматривается как эмпирическая наука, качественно никак не выделяемая
из других эмпирических наук. Мы не говорили об этом до сих пор по той причине, что
просто не можем себе представить, каким образом можно было бы обосновать веру в
то, что «источником и окончательным raison d'etre понятия числа, как натурального,
так и действительного, является опыт и практическая применимость» (38), хотя именно
эту веру исповедует Мостовский, и аналогичные заявления можно встретить также в
других, весьма многочисленных
сочинениях,
начиная
еще с Джона Стюарта
Милля. Разумеется, можно было также считать, что за такого рода заявлениями не
скрывается ничего большего, нежели тривиальная констатация того факта, что опыт
привел человечество к математике. Трудно, однако, согласиться с этой тривиализацией;
совершенно непонятно, например, как из такого истолкования можно «сделать вывод,
что имеется только одна арифметика натуральных чисел, одна арифметика
действительных чисел и одна теория множеств» (39). Но какой же еще смысл может
иметь заявление, что источник бесконечных множеств заключается в опыте? (У нас
нет особых возражений против того взгляда, что окончательный raison d'etre понятий
числа и множества лежит в их практической применимости, но мы решительно не
понимаем, как из этого можно извлечь единственность арифметики и теории
множеств.)
16
Эту попытку игнорировать качественное отличие формальных наук (логики и
математики) от реальных (эмпирических) наук, представляющуюся нам недостаточно
обоснованной, не следует смешивать с другой недавней попыткой, предпринятой
Куайном (40) и другими, игнорировать границу между этими науками. Последняя
отличается от первой тем, что основным ее тезисом является не столько утверждение,
что формальные науки менее «формальны», нежели принято думать, сколько
утверждение, что эмпирические науки не столь уж «эмпиричны». В защиту этой точки
зрения приводятся довольно убедительные аргументы, но выводы, которые можно
сделать из этих аргументов, вовсе не предопределены с необходимостью. С таким же (а
пожалуй, даже с большим) успехом можно прийти к заключению, что в эмпирической
теории следует различать теоретическую подтеорию и экспериментальную подтеорию,
так что математика — или требующиеся к данному случаю ее разделы — составляла
бы вместе с некоторой конкретной теоретической подтеорией исчисление, хотя
непосредственно и не интерпретированное, но получающее частичную и косвенную
интерпретацию
с
помощью
специальных
правил
соответствия,
связывающих
теоретические термины с почерпнутыми из наблюдения и опыта понятиями
экспериментальной подтеории (41).
За последнее время было предпринято немало попыток истолкования некоторых
метаматематических теорем, например теоремы Лёвенгейма — Сколема или теоремы
Гёделя о неполноте в качестве доводов, опровергающих одни онтологические
воззрения и поддерживающих другие. Эти попытки, по нашему мнению, к успеху не
привели. Свои сомнения по этому поводу, касающиеся теоремы Лёвенгейма —
Сколема, мы уже выражали раньше (гл. II, стр. 138—139). Что же касается теоремы
Гёделя, то мы склонны признать точку зрения Майхилла (42), глубоко критикующего
доводы,
основанные
на
различии
понятий
«доказуемое»
и
«истинное»,
и
присоединиться к его утверждению, что доводы эти вовсе не опровергают
номиналистическую позицию (но никоим образом не разделяем майхилловской
интерпретации ограничительных теорем Гёделя, Чёрча и др., носящей психологический
характер). Вообще мы считаем маловероятным, что какие бы то ни было
математические и метаматематические результаты смогут окончательно опровергнуть
какую-либо из онтологических позиций, хотя и вполне возможно, что в качестве
факторов иррациональной природы они смогут оказывать значительное влияние на
готовность принять какую-либо из этих позиций. Если кому-нибудь будет угодно
заключить отсюда, что ни одна онтологическая концепция, ввиду неопровержимости
17
каждой из них, не имеет никакого значения для математики (именно для математики, а
не для математиков), мы не станем ему особенно возражать.
Теперь нам легче оценить — хотя, пожалуй, и не решить — выдвинутую выше
(стр. 379—382) проблему. Мы видели тогда, что непополнимость некоторых
логистических систем может иногда быть истолкована как неаксиоматизируемость
некоторых формализованных теорий. Но если такое истолкование для арифметических
теорий было вполне естественным, то по отношению к теориям множеств оно внушает
сомнения. Дело в том, что существует по крайней мере одна формализованная
арифметика, полная относительно ясного и естественного понятия общезначимости
(validity), а именно арифметика Сколема; что же касается теорий множеств, то ничего
подобного о них сказать нельзя.
В каком же тогда смысле существует, если только этому действительно придается
смысл, единственное в своем роде понятие множества (натурального числа),
подчиняющееся единственной настоящей Теории Множеств (соответственно Арифметике Натуральных Чисел), неполными приближениями к которой являются имеющиеся
аксиоматические теории множеств (арифметики)? Мы уже знаем, что некоторые
эмпирические реалисты, например Мостовский, ответили бы на этот вопрос
заявлением, что множества и натуральные числа существуют и (приблизительно) том
же смысле, в каком существуют животные или камни, и что Теория Множеств и
Арифметика единственны опять-таки в том же самом смысле, в каком единственны
Зоология (43) и Минералогия. Возможно, что другие представители эмпирического
реализма проводили бы здесь различие, утверждая реальность и единственность только
для чисел и арифметики, но не для теории множеств. Мы уже признались в своей
неспособности понять любую из этих позиций.
Все платонистски настроенные реалисты убеждены в единственности чисел — не
как эмпирических сущностей, а как платонистских идей — и их теории (т.е.
арифметики- 44). (Для интересующих нас целей не существенно, какие термины
используются для обозначения специфической «формы бытия» этих сущностей, в
отличие от формы бытия животных и камней. Некоторые авторы употребляют в таких
случаях различные поясняющие эпитеты, другие проводят различие между «бытием»
(being), «существованием» различного рода («existence», «subsistence»), «реальностью»
(reality) и т. п.) Например, Гёдель полагает, «что допущение таких объектов [классов и
общих понятий] столь же законно, как и допущение физических тел, и имеются столь
же веские основания верить в их существование» (45). Однако не ясно, следует ли из
этой точки зрения единственность классов и понятий, или же различные, возможно
18
даже несовместимые между собой, системы таких сущностей могли бы выполнить
задачу «получения удовлетворительной системы математики». Мы не убеждены, что
расстояние
между
прагматическим
платонизмом
Гёделя
и
прагматическим
формализмом Карнапа и Карри так уж велико, как это принято считать. Действительно
ли так глубока пропасть между следующими двумя позициями: верой в существование
множеств,
обосновываемой
удовлетворительной
обосновываемым
их
системы,
тем,
что
необходимостью
и
эта
принятием
теория
для
получения
некоторой
способствует
некоторой
теории
множеств,
получению
некоторой
удовлетворительной системы?
Концептуалисты и номиналисты имеют мало оснований верить в однозначную
определенность понятия множества, хотя большинство концептуалистов верят в
однозначную определенность натурального ряда чисел, который служит им в качестве
основы для их построений. Но сами построения вовсе не обязательно должны
осуществляться однозначным образом.
Для антионтологистов вся эта проблема вообще не возникает. Источник веры в
единственность Теории Множеств совершенно ясен. В неэлементарные теории
повсеместно проникают теоретико-множественные понятия, и если сама теория
множеств
понимается
неэлементарная
как
теория
элементарная
может
тогда
аксиоматическая
рассматриваться
как
теория,
то
всякая
объединение
двух
элементарных теорий: элементарной теории множеств и некоторой элементарной
теории,
специфичной
для
рассматриваемой
дисциплины.
Решающее
понятие
«абсолютной модели» неэлементарной теории, т. е. такой модели, в которой теоретикомножественные
понятия
получают
их
однозначно лишь в той же мере, в какой
стандартную интерпретацию, определена
однозначно
определена
стандартная
интерпретация этих понятий. Поэтому верно утверждение, что понятие абсолютной
модели «получит более глубокое значение только тогда, когда будут решены трудные
проблемы оснований теорий множеств, благодаря чему математики могут единодушно
принять один способ обоснования этой теории» (46). Но мы не видим пока решительно
никаких оснований верить в единственность решения проблем оснований теории
множеств, которое привело бы всех математиков к принятию одной такой теории в
качестве подлинной (47) Теории Множеств. Прагматическая необходимость такой веры,
мотивируемая тем, что в случае отказа от нее возник бы хаос, когда каждый математик
говорил бы о своей собственной теории множеств, более чем сомнительна. Для того
чтобы быть хозяевами положения, нам вполне достаточно прагматического критерия
приемлемости. Наличие многих конкурирующих между собой теорий множеств, по,
19
крайней мере до тех пор, пока они не вносят существенных перемен в каждодневную
деятельность математиков и физиков, вряд ли настолько опасно, чтобы оправдывать
навязывание какого бы то ни было credo в этом отношении. Поскольку вера в
объективную реальность (что бы под этим ни подразумевалось) и обусловленная ею
однозначная определенность понятия множества и самой теории множеств — это
всего
лишь своего рода успокоительные средства, вовсе не приводящие к
догматическому отказу от каких-либо предложенных теорий множеств (заметим, что
даже
Мостовский
самым
недвусмысленным образом заявляет, что «у нас нет
критериев, которые могли бы указать на правильный выбор из этих многих систем
[теорий множеств] (48)), такой метафизический акт веры оказывается совершенно
безобидным, даже в известном смысле полезным. Но часто всего один шаг отделяет
веру в существование объективного критерия, с помощью которого можно было бы
однозначным образом решить спор между конкурирующими теориями, от веры, что
этот критерий уже найден, и от присвоения права предать анафеме все эти теории,
кроме как разве что какой-нибудь одной, во имя
некой земной или небесной
реальности. И многие предпочитают беспокойную свободу рабскому спокойствию.
Во
взглядах
на
то,
каким
образом
можно
было
бы
достигнуть
удовлетворительного обоснования теории множеств, все еще имеется большое
расхождение, и громадное количество возникающих в этой связи проблем еще далеко
не решено. И все же подавляющее большинство математиков отказывается считать, что
идеи Кантора были всего лишь болезненным бредом. Несмотря на то что основания
теории множеств все еще довольно шатки, эти математики продолжают с успехом
применять понятия, методы и результаты теории множеств в большей части разделов
анализа и геометрии, и даже отчасти в арифметике и алгебре, твердо веря в то, что
работы по обоснованию теории множеств приведут в конце концов к реабилитации
теории множеств в полном (или по крайней мере почти полном) ее классическом
объеме. Эта позиция отнюдь не исключает готовности интерпретировать теорию
множеств совсем не так, как это обычно делается, что соответствует, очевидно,
существующей потребности в пересмотре интерпретации логики и математики
вообще.
Примечания
1. Доступное описание этих классических точек зрения, выполненное с
современных позиций, см. в статьях Штегмюллера, 56—57, где представлены также и
некоторые из новейших направлений.
20
2. Этот термин (в принятом здесь нами смысле) впервые употреблен, повидимому, Бернайсом, 35. Был ли (да и вообще мог ли быть) платонистом сам Платон
— вопрос спорный. Ср., например, рецензию П. Хенле на книгу Гудмена, 51, в Journal
of Symbolic logic, 17 (1952), 130—133.
3. Манеру выражаться (франц.). — Прим. перев.
4. На первый взгляд (лат.). —Прим, перев.
5.То есть —для какого-либо данного бинарного отношения R —такое отношение
между х и у, которое равносильно наличию цепочки x1 , x2 ,..., x k (k  2) , где x1  x,
x k  y и для всех i, 1  i  k  1, R( xi , xi 1 ) ; см., например, Гудстейн, 57, стр. 138
русского издания, т- Прим. перев.
6. Ср. Гудмен — Куайн, 47; Гудмен, 51, 56; Куайн, 53.
7. См. Гудмен, 51, стр. 37 и сл.
8. О причинах безнадежности нахождения для (какой-нибудь формы) аксиомы
бесконечности
такой интерпретации, которая
удовлетворила
бы финитистски
настроенных номиналистов, см. Генкин, 53а, стр. 27.
9. Ср. Гудмен — Куайн, 47.
10. Подробное обсуждение современного состояния очень близкого вопроса
— статуса теоретических понятий в эмпирических науках — см. у Карнапа, 56, и в
упоминавшейся выше (стр. 385, примечание 2) статье Хемпела.
11. Генкин, 53а, стр. 28.
12. См. Карнап, 50а, 56, Алстон, 58, Иссман, 58. Можно ожидать, что материалы
готовящегося к печати сборника “The philosophy of Rudoff Carnap» — The Library of
Living philosophers — внесут существенный вклад в такого рода необходимое
разъяснение.
13. Обсуждение этого вопроса, так же как и всего круга проблем, рассматриваемых в данном пункте, см. у Бета, 56, стр. 41 и ел
14. Противоречие по определению; противоречивое свойство (лат.).— Прим.
перев.
15. Подобные случая могут быть объяснены эволюцией науки: номиналистические
тенденции в
свое
время
привели к
логицизму, а впоследствии
логицизм уже стал рассматриваться как разновидность платонизма, и т. п.—
Прим. ред.
/
16. *Хан, 7, 9, 10.
17. Ср. Куайн, 53, стр. 122—123.
21
18. Куайн, 53, стр. 129 [буквально: «... не вкусил лотоса с платонистами» (идиома
lotus-eater («поедатель лотоса») имеет два значения: 1) праздный мечтатель, 2) человек,
живущий в свое удовольствие. — Перев.].
19. Куайн, 53, стр. 129.
20. Ср., например, Тарский, 56, стр. 62.
21. [Курсив добавлен при переводе; в оригинале
э
sets-of '. — Перев.]
Чрезвычайно ясное описание этого оттенка номинализма и убедительная защита его
непривычных утверждений от всяческих нападок изложены в статье Гудмена, 56.
22. См. Карнап, бОа.
23. Ср. между собой последние параграфы книги Карнапа, 50а, и вторую статью
из сборника Куайна, 53 (стр. 46) .
24. Аналогичное отождествление, касающееся эмпирических предложений, идёт
еще от Пирса и в качестве верификационного критерия-смысла играло важнейшую
роль в начальной стадии развития логического эмпиризма. Об истории этого вопроса
см., например, *Карнап, 18.
25. Классическим изложением этой теории может служить книга Гудстейна, 57. Не предполагается никакой предварительной основы, даже пропозиционального исчисления. Ср. также Гудстейн, 54; по поводу стоящей за
этой теорией философии см. Гудстейн, 52.
26. Уже отмечалось, что ответственность за возникновение антиномий лежит
(если принимается положительное исчисление предикатов) не на употреблениях закона
исключенного третьего, а на неограниченном употреблении аксиом свертывания. —
Прим. ред.
27. См. Карнап, 37, стр. 46.
28. Лоренцен, 55, стр. 6.
29. Или, еще вернее, они получаются в результате акта абстракции от
эквиполлентных
пропозициональных
форм
—
всем
эквиполлентным
формам
соответствует одно и то же множество.
30. Взгляды Карри претерпевали с годами значительные изменения. Кроме того,
многие из его работ были опубликованы (из-за второй мировой войны) гораздо позднее
времени их написания, иногда уже после опубликования более поздних сочинений. Эти
обстоятельства (а также многократные изменения в терминологии) осложняют оценку
вклада Карри в разработку проблем обоснования математики. Наш беглый очерк
основывается главным образом на книге Карри, 51 (написанной еще в 1939 г.),
содержание которой было впоследствии изложено более сжато в статье Карри, 54.
22
31. Карри, 51, стр. 31.
32. Карри, 51, стр. 59 и сл.
33. Ср. Гильберт, 25, стр. 163 [стр. 340 русск. изд. Здесь Гильберт говорит
буквально следующее: «... если, помимо доказательства непротиворечивости, может
иметь смысл еще вопрос о законности некоторого мероприятия, то таким вопросом
может
быть
только
вопрос
о
том,
сопровождается
ли
это
мероприятие
соответствующим успехом или нет. Действительно, успех здесь необходим;
является высшей
уместно
делать
инстанцией,
из
подобных
перед которой
высказываний
принципиальном различии позиций» Карри
и
он
преклоняется каждый». Насколько
заключения
«о
не
столь
уж
Гильберта, предоставляем судить
читателю. — Перёв.].
34. Карри, 51, стр. 62.
35. Карри, 51, стр. 64.
36. Карнап, 37, стр. .51.
37. На Коллоквиуме по конструктивным проблемам математики (Амстердам,
1957).
38. Мостовский, 55, стр. 16 [стр. 13 русск. изд.. — Перевод. }•
39. Там же.
40. Locus classicus, посвященное этому вопросу, — Куайн, 53, I.
41. Такова точка зрения Карнапа, 56.
42. Майхилл, 52а; ср. Тюркетт, 50.
43. Отметим, что даже Рассел одно время выражался в том же духе, Так, в книге
*Рассела, 5 (стр. 169), мы читаем: «Логика связана с реальным миром так же точно, как
зоология, несмотря на присущие ей большую абстрактность и большую общность».
Разумеется, последняя оговорка возбуждает некоторые сомнения в серьезности
расселовской манеры выражаться, oт которой он, во всяком случае, очень скоро
отказался.
44. То есть арифметики. — Прим. перев.
45. Гёдель, 44, стр. 137; ср. также статью 47, уже цитированную нами на стр.
119—120, гл. II. Пояснение в квадратных скобках принадлежит не Геделю, а авторам
настоящей книги, — Перев.]
46. Мостовский, 55, стр. 12 [стр. 11 русск. изд. — Перев.].
47. оригинале 'the'. — Прим. перев.
48. Мостовский, 55, стр. 19 [стр. 17 русск. изд.; пояснение в квадратных скобках
принадлежит авторам — Перев.].
23
Вопросы для понимания
1.
Каков онтологический статус множества как математического объекта?
2.
Что значит ответить на вопрос об онтологическом статусе множества?
3.
Как платонисты решают этот вопрос? Какую роль при этом играют
аксиомы свертывания?
4.
Как решают вопрос об онтологическом статусе множеств неоплатонисты?
К каким чисто математическим трудностям приводит признание только исчисления
индивидов? От каких математических теорий должны отказаться те, кто не признает
существование множеств?
5.
Какие два выхода из затруднений неоплатонистов называют авторы
книги?
6.
Как понимают множество неоконцептуалисты? Какие множества они
считают существующими?
7.
Какие «метафоры» по отношению к множествам признают названные
выше направления?
8.
Как, по-вашему, почему многие математики, высказав ту или иную
методологическую
программу,
ей
не
следовали
в
своих
математических
исследованиях?
9.
Согласны ли Вы с точкой зрения, что «теории множеств следует
оценивать не по их онтологиям (в смысле Куайна), а по их плодотворности»
10.
К каким следствиям ведет отказ от непредикативных способов
образования понятий? Отказ от языков с неограниченной квантификацией?
11.
Рассмотрите плюсы и минусы концепции Карри, который отвергает
любые онтологические допущения и в качестве критерия для оценки математических
теорий выдвигает их приемлемость.
12.
Приведите аргументы «за» и «против» концепции математики, согласно
которой математика рассматривается как эмпирическая наука, качественно никак не
выделяемая из других эмпирических наук.
13.
В каком смысле существует «единственное в своем роде понятие
множества (натурального числа), подчиняющееся единственной настоящей Теории
Множеств
(соответственно
Арифметике
Натуральных
чисел),
неполными
приближениями к которой являются имеющиеся аксиоматические теории множеств
(арифметики)»?
24
14.
Как Вы думаете, почему «несмотря на то, что основания теории множеств
все еще довольно шатки, математики продолжают с успехом применять понятия,
методы и результаты теории множеств в большей части разделов анализа и геометрии,
и даже отчасти в арифметике и алгебре»?
25
В.В. Целищев
Поиски новой философии математики
В.В. Целищев. Философия математики. Новосибирск, «Наука». 2002. Стр. 6-48.
Философия математики есть философия в ее чистейшем состоянии, свободном от
всяких мирских соображений, философия без всякого подслащивания в виде претензий
на Важность для Повседневных Проблем.
Поль Бенацерраф
ВВЕДЕНИЕ
Философия долгое время ассоциировалась с математикой, и было бы весьма
прискорбно игнорировать это важное историческое обстоятельство. Дело в том, что
многие философские аргументы, используемые в тех областях философии, которые
имеют приложения, в значительной степени «прокатаны» при обсуждении тех проблем,
которые так и или иначе связаны с философией математики. Например, обсуждение
таких фундаментальных этических проблем, как Формы Справедливости, Благо и
других категорий восходит к проблеме существования абстрактных объектов, которая
наиболее успешно и конструктивно обсуждалась и обсуждается во все той же
философии математики.
С другой стороны, написание таких книг и апелляция через них к потенциальному
читателю всегда проблематичны, поскольку сама область исследований просто
зачастую непонятна. Все знают о математике, некоторые знают о философии, но не так
много тех, кто имеет представление о философии математики. Известный философ
математики П. Мэдди, говорит, что ее признание в обществе образованных людей в
том, что она является философом математики, приводит к некоторому замешательству
— всем более или менее понятно, что такое математика, менее ясно, что такое
философия, но философия математики?..
Известно, что сами работающие математики спокойно обходятся без философии
(кроме, может быть, некоторых выдающихся, которых беспокоят вечные философские
вопросы). Известно также, 6
что подавляющее число философов находятся в счастливом неведении
относительно тех проблем, которые обсуждаются в математике. Так что эти проблемы
могут касаться только весьма узкого круга читателей. Эта ситуация вполне понятна и
на обыденном уровне. Для того чтобы читать работы по философии математики,
требуется знание не только философии, но и некоторое представление о математике, в
26
частности, о математической логике, а также способность следить за математической
аргументацией.
Обычному
читателю
философских
книг
будут
непонятны
математические и логические детали, работающему математику будет непонятна возня
вокруг «тривиальных» философских положений.
Необходимость разбираться в технических деталях представляет одну из причин
того, что часто философии математики отказывают в статусе подлинной философии,
которая должна заниматься «реальными» и «жизненными» проблемами. Так,
математик Ж-.К. Рота утверждает, что «...философы этого века больше, чем когда-либо
страдали от диктата определенности. Иллюзия окончательного ответа, который не смог
быть получен на протяжении двух с половиной тысяч лет в Западной философии,
обернулась в нынешнем веке рабской имитацией математики» (1). Далее он говорит:
«Снобическое разбрасывание по страницам философских статей символов просто
удивляет математиков. Ситуацию можно уподобить тому, как если бы вы
расплачивались в магазине долларами из настольной игры Монополия» (2).
Этому мнению противостоит мнение известного философа и математика X.
Патнэма:
«Орды
интеллектуалов
жалуются,
что
философия
стала
слишком
"технической", что она "отреклась" от реальных проблем, и т.п. ...Но печальным
фактом остается то, что добротная философия есть и всегда была трудна, и что гораздо
легче выучить имена немногих философов, чем прочитать их книги. Тот, кто находит
философию слишком "технической" сегодня, не смог бы найти времени или желания
уследить за длинной цепью аргументов Сократа, или же прочитать одну из Критик
Канта» (3).
Чем
занимается
философия
математики?
Прежде
всего,
такими
фундаментальными вопросами, как «Что такое математика?», «Какого рода знанием
является математическое знание?», «Какова специфика математических объектов?» Все
эти вопросы традиционны для философии математики, но сейчас на первый план
выходит вопрос о том, каким образом люди, с их ограниченным чувственным видением
мира, входят в контакт с идеальными объектами математики и получают знание
математических истин об этих объектах. Заранее нужно отметить важный факт по
поводу того, как понимается философия математики разными научными сообществами.
Философы и математики, занятые основаниями математики, имеют одну точку зрения,
а работающие математики — другую. Философы заинтересованы в поиске
философских категорий, которые позволили бы объяснить природу математических
объектов, т.е. открыть нечто большее о математических объектах, чем это делается в
математических теориях. Для этой цели соотносятся математические объекты,
27
например
множества,
и
философские
категории,
например
универсалии.
Математические утверждения об объектах математики анализируются в терминах
теории познания, а математические теории оцениваются как свидетельства в пользу той
или иной философской концепции. При таком подходе осуществляется сведение
проблем о природе специфических математических объектов к общефилософским
проблемам.
Работающие математики совсем по-другому рассматривают проблемы оснований
математики, не считая важными те вопросы, которые считаются таковыми
философами.
Здесь
взгляды
на
природу
математических
утверждений
и
математических объектов в сильнейшей степени зависят от степени интереса
математиков к теоретико-познавательным проблемам. Следует признать, что существуют две ориентации, которые можно назвать ориентацией работающего математика и
ориентацией философского логика. Обе позиции превосходно охарактеризованы Р.
Мартином:
«Внимание математика приковано главным образом к математической структуре,
и его интеллектуальный восторг вызывается открытием того, что данная теория
проявляет такие-то и такие-то структуры, или открытием, что одна структура
"моделируется" другой, или открытием некоторых других структур, и показом того, как
они соотносятся с уже изученными структурами... Математик удовлетворен работой с
некоторыми "сущностями" или "объектами" ("множествами", "числами", "функциями",
"пространствами", "точками"), и он не исследует их внутренний характер или
онтологический статус. Философский логик, с другой стороны, более чувствителен к
онтологии и будет особенно заинтересован в том, какого рода сущностями они
являются в действительности... Он не удовлетворяется тем простым фактом, что такието и такие-то сущности проявляют такую-то и такую-то математическую структуру. Он
хотел более глубоко исследовать, что это за сущности и как они соотносятся с другими
сущностями... Он также хотел бы знать, выступают ли эти сущности как sui generis, или
же они в некотором смысле сводимы (или построены в терминах) к другим, вероятно,
более фундаментальным» (4).
Учитывая все вышесказанное, ясно, что эта книга обращена к философам, и
только к ним. Дело в том, что многие вещи, кажущиеся тривиальными математикам, в
сильнейшей степени озадачивают философов. В качестве типичного примера можно
указать теорию трансфинитных чисел Кантора. В обычном учебнике по математике,
где есть глава с изложением теории множеств, основные результаты этой теории
излагаются на нескольких страницах. Между тем философам известно, что при
28
создании теории Кантор огромное значение придавал метафизическим и даже
теологическим соображениям о бесконечности. Поэтому для философа математики
интерес представляет, скажем, логика теории Кантора, ее генетическая структура, и
если прибегнуть к крайностям, можно сказать, что философа интересует как раз то, что
совсем не интересует математика.
Однако для понимания проблем философии математики и их решений требуется
знание деталей. Степень детализации при изложении таких вопросов — дело тонкое, и
зависит от многих вещей. Одним из тезисов этой книги является то, что зачастую
невнимание к этим деталям приводит к существенным искажениям интерпретации
формализмов, и больше того, к необоснованным философским заключениям. Поэтому
технические детали приводятся, по большей части, там, где следует опасаться именно
такой напасти.
В книге избегались «избитые» вопросы философии математики, в частности,
обсуждение тезисов классических школ философии математики XX в., а именно
логицизм, интуиционизм, формализм, потому что по выражению X. Патнэма «ничего
из этого уже не работает». Больше того, содержание книги практически ограничено
обсуждением проблем, концентрирующихся вокруг двух тем. Это теория множеств
Кантора и ее аксиоматизация, а также теорема Левенгейма — Сколема. Хотя обе темы
хорошо известны, в традиционных изложениях философии математики они зачастую
избегаются, уступая место таким темам, как парадоксы теории множеств и способы их
решения в логицизме, интуиционизме и формализме, теорема Геделя о неполноте,
формализация математики и пр. Между тем показательно, что теория Кантора, которая
часто рассматривается в традиционных курсах лишь как повод для разговора о парадоксах, совсем по-другому рассматривалась теми же классиками в области оснований
математики. Б. Рассел, который одновременно с Э. Цермело предложил выход из
парадоксов теории множеств (Рассел предложил в 1908 г. теорию типов, а Цермело в
том же году — аксиоматическую теорию множеств), уже после публикации Principia
Mathematica, в работе Наше познание внешнего мира 1914 г. значительнейшее место
уделил тем следствиям, которые теория Кантора имела для философии. Что касается
теоремы Левенгейма — Сколема, то она вообще обойдена вниманием философов, в то
время как она породила в последнее время целое философское направление, а именно
так называемый внутренний реализм X. Патнэма, направление, которое оказало
большое влияние на дискуссии о природе реальности и ее «схватывании» языком.
Наконец, еще одно соображение, которым руководствовался автор книги, избегая
«избитых» тем вроде парадоксов, их значимости для ситуации в математике. В
29
большинстве учебников приводится распространенная история о том, что теория
множеств возникла как результат наивной интуиции, которая привела к парадоксам,
вследствие чего интуиция объявлялась ненадежной, и существующие аксиоматизации
теории множеств исторически возникли как реакция на парадоксы. Многие
исследователи опровергают эту точку зрения (5). История с парадоксами касается
логического
понятия
множества,
которое
использовалось
Расселом
в
чисто
философской программе. А в математике применяется комбинаторное понятие
множества, и собственно математические исследования Кантора касались этого
понятия, связанного с обобщенным понятием функции как полностью произвольного
соответствия. Эта точка зрения принимает совсем четкий вид у Геделя: «Более близкий
взгляд показывает, что теоретико-множественные парадоксы не причиняют особых
неприятностей. Они представляют серьезнейшую проблему, однако не для математики,
а скорее для логики и эпистемологии» (6). Поворот в философии математики скорее к
математической практике, а не традиционным философским программам, знаменует
собой натурализацию этой дисциплины. Поворот этот прослеживается очень зримо на
работах одного из ведущих специалистов в области оснований математики П. Мэдди.
Если в книге Математический реализм (7), опубликованной в 1990г., она
придерживается реализма, считая его доминирующим взглядом в философии математики то в новой книге Натурализм в математике (8) 1997 г. она отказывается от
философских тенет и исповедует принцип «максимизации», согласно которому
математик может постулировать любые виды объектов и изучать их, не вопрошая, «а
существуют ли эти объекты?». Так что стратегия, принятая в нашей книге по философии математики, и заключающаяся в том, что мы избегаем традиционных вопросов об
истине математических утверждений и о существовании математических объектов,
имеет свои резоны. Между тем краткую сводку этого традиционного материала можно
найти в некоторых Прелюдиях к главам; этот нетрадиционный способ преподнесения
материала также имеет свои резоны.
С философской точки зрения философия математики претерпела в известной
степени «эпистемологический поворот», напоминающий «лингвистический» поворот в
аналитической философии полувеком ранее. В значительной степени именно эти
тенденции будут фоновыми при рассмотрении различного рода проблем. В целом это
книга о взаимоотношениях математики и философии (или математиков и философов).
На этот счет имеются самые разные мнения. Цеховые интересы и предпочтения
проявляются тут с удивительным непониманием противоположной стороны. Так, по
поводу Б. Рассела с его логицистской программой ныне говорят, что в конце концов Б.
30
Рассел был все-таки философом, а по поводу Я. Брауэра говорят о его философских
«чудачествах». Об увлечении К. Геделя последние четыре десятка лет его жизни
философией И. Канта и Э. Гуссерля говорят со смешанным чувством уважения к достижениям логика и недоумения по поводу странностей гения. Этот перечень можно
продолжать достаточно долго, и всякий раз мы сталкиваемся с тем, что превосходно
выразил Ж.-К. Рота в статье Математика и философия: история взаимного
непонимания ( 9).
Рота говорит о том, что математика имеет дело, во-первых, с фактами, как и
любая другая наука. Во-вторых, математика имеет дело с доказательствами, которые
кодифицируются в аксиоматических системах. В этом, по его выражению, проявляется
двойная жизнь математики, вполне успешная жизнь, вызвавшая зависть философии.
Во-первых, философия имеет дело со способами описания мира, а во-вторых,
философия опирается на аргументацию. Но по поводу методов аргументации среди
философов никогда не было согласия. «Отношения философов с богиней Разума всегда
были ближе к вынужденному сожительству, чем к романтической связи между богиней
Разума и математиками» (10).
Попытка устранить неясности в философской аргументации с помощью
математики давно превратилась в мощную индустрию. Однако по ходу того, как
основная «производительная сила» этой индустрии — математическая логика —
становилась все более математической дисциплиной, стало закрадываться сомнение в
том, насколько формальный аппарат логики, а также математические теоремы могут
быть правильно интерпретированы философски. Именно этим вопросам и посвящена
данная книга.
ПРЕЛЮДИЯ К ГЛАВЕ 1
В момент возникновения Науки математика и религия были партнерами. От их
союза произошли два отпрыска, Платонизм и Основания, с притязаниями на знатность.
(Математические истины суть вечные истины в уме Бога; интуиция, способность
человека взаимодействовать с этими истинами может дать неоспоримые основания.)
После Канта этот союз распался, и религия была изгнана из страны Науки. Одна из
главных защитниц Оснований, Евклидова геометрия, была вытеснена своими
молодыми кузенами — Неевклидовыми геометриями, и была ущемлена Анализом и
Арифметизацией. Их дитя, Множество, обещало защитить отпрысков, но не смогло по
причине своей нетвердости. Вопреки усилиям трех защитников — Лог(ицизма),
Инт(уиционизма) и Форм(ализма), Основания умерли. Платонизм выжил, и несмотря
31
на то, что его теологические претензии гражданами государства Науки были преданы
анафеме, доминирующая философия продолжала предоставлять ему убежище. По ходу
всей истории гуманистическое меньшинство пыталось свергнуть Платонизм с его
притязаниями. Математика не должна, по заверениям гуманистов, подчиняться диктату
Платонизма. Она должна жить своей собственной жизнью, подчиняясь лишь
установленным самой правилам. С некоторыми заметными гуманистическими
исключениями (среди них Аристотель, Локк, Вит-тгенштейн, Лакатос, Китчер)
доминирующая тенденция включает традиционную и современную философию математики.
Р. Херш. Что же такое математика, на самом деле? (Hersh R. What is
Mathematics, Really! — Oxford: University Press, 1997)
ГЛАВА 1
ПОИСКИ НОВОЙ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ
1. Философские программы в математике
Философия математики как отдельная ветвь философии родилась сто лет назад.
Исследования в области оснований математики и математической логики, начатые в
конце XIX — начале XX в., были связаны с грандиозными философскими
программами, а именно с логицизмом, интуиционизмом и формализмом.
С тех пор традиционным описанием проблем философии математики стало
описание того состояния оснований математики и ее философии, которое явилось
естественным завершением попыток преодолеть кризис в основаниях математики,
развившийся в начале XX в. Этот уже почти хрестоматийный материал хорошо
известен читателю даже в самом простом нетехническом преподнесении, например,
через превосходную книгу М. Клайна (1), не говоря уже о массе более технических
изложений (2). Существует много других книг, в которых излагается материал, в той
или иной мере связанный с достижениями в математической логике и основаниях математики, и во всех этих книгах фигурируют одни и те же имена и одни и те же проблемы
— логицизм Г. Фреге и Б. Рассела, интуиционизм Я. Брауэра и А. Рейтинга, формализм
Д. Гильберта и Дж. Фон Неймана.
Поначалу эта связь философии и математики казалась необходимой, но со
временем росло разочарование в выполнимости этих программ, и к 1960-м годам в
настроениях математиков и логиков стала превалировать усталость. В этом отношении
весьма симптоматично замечание А. Мостовского в работе Тридцать лет исследований
32
в области оснований математики: «Философские цели трех школ не были достигнуты,
и, судя по всему, мы не ближе к полному пониманию математики, чем основатели этих
школ» (3). Многие исследователи полагают, что сами программы не имеют и не имели
прямого отношения к основаниям математики и математической логике, а
возникновение программ обязано философским талантам и интересам основателей
школ. Больше того, другие исследователи полагают, что сами философские программы
появились в результате случайных исторических совпадений, в частности того, что такие люди, как Рассел, будучи одинаково компетентными в математике и философии,
связали теорию типов как математическую программу с логицизмом как философской
программой. По крайней мере, среди философов подобного рода связь закрепилась
надолго, и потребовалось значительное время для того чтобы ощутить необходимость в
ревизии таких «заблуждений». Другим примером может служить интуиционизм
Брауэра,
философские
основания
которого
кажутся
весьма
далекими
от
конструктивистской математики. Наконец, вступающие в область философии
математики встречаются с явным затруднением, пытаясь примирить мнения о
формализме Гильберта с его знаменитым лозунгом «Никто не может изгнать нас из рая,
созданного для нас Кантором» (рая, естественно, платонистского). Характерно в этой
связи свидетельство Хао Вана: «интерес философов к основаниям математики возник
как результат той исторической случайности, что Рассел и Фреге правильно или неправильно связали некоторые области математики с философией... Тем не менее, с
устойчивостью этого интереса следует считаться, хотя и сожалея о бедности
философии»(4).
Определенная стагнация в этой области философии может быть оценена в
сравнении с философией науки. В 30—40-х годах XX в. философия науки направлялась
логическими позитивистами, влияние которых ослабло лишь с появлением новых идей
о решающей роли научной практики и исторических изысканий в науке. Р. Херш
говорит, что «философия математики запоздала со своими Поппером, Куном,
Лакатосом и Фейерабендом. Она запоздала с анализом того, что делают сами
математики, и с соответствующими философскими рассмотрениями» (5).
В цитированном выше отрывке А. Мостовский продолжает уже с большим
оптимизмом: «Вопреки этому, нельзя отрицать, что активность этих школ принесла
огромное число новых важных открытий, которые углубили наше познание математики
и ее отношение к логике. Как часто случается, побочные продукты оказались более
важными, чем исходные цели основателей трех школ». Но возможно, именно это
обстоятельство явилось причиной отсутствия прогресса в философии математики,
33
потому что проблемы, бывшие собственно философскими, перестали быть таковыми,
перейдя в разряд «технических», чисто математических или логических. Быть может,
исследования в области философии математики, точнее, оснований математики,
действительно должны быть в высшей степени техническими исследованиями, а само
появление традиционных классических направлений было обязано тому, что «отцыоснователи» сумели соотнести (быть может, и не совсем обоснованно) математические
и философские проблемы, как это сделал Рассел, увязав поиски спасения от парадоксов
с логицизмом. Кстати, такого рода процессы происходили непрерывно, например, в 60е годы XX в. одним из аспектов такой технизации философии явилась алгебраизация
логики, связанная с развитием теории моделей, когда к удивлению философов, всегда
считавших логику своей вотчиной, многие ее положения стали алгебраическими
теоремами.
Современными свидетельствами усталости и недовольства могут служить
признания двух ведущих философов математики. Недавно видный философ и
математик X. Патнэм опубликовал статью с характерным названием Почему ничего из
этого не работает (имея в виду традиционно главные направления в философии
математики). Далее, видный логик Я. Хинтикка отмечает, что «подобно Деррида, я
верю, что современная философия... созрела для деконструкции» (6). Нет никаких
сомнений, какую часть современной философии Хинтикка хочет деконструировать,
если иметь в виду вышедшую годом ранее его книгу Принципы математики
ревизированные (7)', название которой, по его признанию, есть аллюзия к работе
Рассела Принципы математики 1903 г., в которой изложены многие программные
идеи в области оснований математики.
Известный математик Ж-.К. Рота идет еще дальше и дает объяснение тому факту,
что философия пошла по неверному пути вообще, ассоциировав себя с математикой.
Философия, подобно математике, опирается на аргументацию, поскольку обе науки
используют логику. Но в отличие от общепринятых стандартов у математиков
стандарты аргументации у философов оказались весьма различными. Рота утверждает,
что заключения философов часто диктуются эмоциями, и разум в этих заключениях
играет лишь вспомогательную роль, а поиски философией окончательного ответа на
свои вопросы вылились в рабскую имитацию математики. Апелляция к математической логике, которая и представляет собой главную основу философии
математики, оказалась несостоятельной, потому что логика больше не является частью
философии. Математическая логика является процветающей частью математики, и она
прекратила свои связи с основаниями математики. «Ценой допущения логики в
34
математическую область было гигиеническое очищение даже от следов философии»
(8).
Другими словами, философия математики оказалась в глубоком кризисе, начиная
с 50—60-х годов XX в., когда были исчерпаны ресурсы традиционных подходов к
пониманию оснований математики. И хотя традиционное преподнесение проблем этой
области философских исследований опиралось (да и опирается сейчас) на три великих
направления, существует глубокий скепсис относительно возможностей самой
дисциплины. И тем не менее, по мнению ряда авторитетных исследователей,
дисциплина выжила, поскольку старые проблемы были заменены новыми (9).
2. Сводка направлений в философии математики
Действительно, не все так безнадежно, и в уже цитированной выше работе X.
Патнэм дает краткий перечень устаревших и новых взглядов в философии математики:
логицизм (математика есть логика в чужом одеянии);
логический позитивизм (математические истины суть истины благодаря правилам
языка);
формализм (теория множеств и неконструктивная математика суть просто
«идеальное» — и само по себе не несущее смысла — расширение «реальной» —
конечной и комбинаторной — математики);
платонизм (согласно Геделю, реально существуют математические объекты, и
человеческий ум имеет способность, отличающуюся в некоторой степени от
восприятия, с помощью которой он приобретает все лучшую интуицию относительно
поведения таких объектов);
холизм (В. Куайн полагал, что математика должна рассматриваться не как
отдельная наука, а как часть всей науки, и необходимость квантификации над
математическими объектами в случае достаточно богатого языка для эмпирических
наук есть наилучшее свидетельство в пользу «постулирования множеств с той же
степенью обоснования, какую мы имеем при всяком онтологическом постулировании»;
множества и электроны рассматривались Куайном на пару как нечто такое, что нужно
постулировать в процессе научного исследования);
квазиэмпирический
реализм
(идея, о том, что
есть
нечто аналогичное
эмпирическому исследованию в чистой математике);
модализм (мы можем переформулировать классическую математику таким
образом, что вместо разговора о множествах, числах и других объектах будем просто
утверждать возможность или невозможность определенных структур);
35
интуиционизм (принятие математических утверждений как значимых, и в то же
время отказ от реалистических посылок относительно истин, например бивалентности).
Патнэм полагает, что следует отказаться от первых четырех направлений и
продолжать
исследования,
которые
представляют
собой
определенную
смесь
последних четырех направлений. Другие исследователи считают перспективными
направления, которые в той или иной степени пересекаются с этими последними, но в
некотором смысле (в другой классификации) являются самостоятельными. Так, Дж.
Кетланд говорит о дополнении списка Патнэма еще тремя направлениями, полагая при
этом, что в целом этот список, состоящий из 11 направлений, покрывает все
направления в философии математики (10):
номинализм (программа X. Филда);
структурализм (программа С. Шапиро и М. Резника);
натурализм (программа П. Мэдди).
Само многообразие направлений не должно вызывать удивления, поскольку это
довольно распространенное явление в современной аналитической философии.
Действительно, важнейшим отличием описания того, что собой представляет
нынешняя философия математики по сравнению с классической, является почти полная
бесполезность устойчивой классификации. В этом отношении ситуация в философии
математики похожа на ситуацию в аналитической философии вообще. Дж. Пассмор
выразил свое ощущение этой ситуации такими словами: «Буйное, плохо вмещающееся
в какие-либо рамки, невероятно разнообразное в целях и методах — можно ли
надеяться описать, хоть и кратко, но в то же время с достаточным охватом англоамериканское философское предприятие? Ответ на этот вопрос — невозможно. Столь
много философов творят в наше время, столь много проблем поднято ими, и поэтому
полнота больше не представляется разумной амбицией. Более скромное название моей
книги, скажем Некоторые последние философские споры, слишком кратко описанные,
было бы более подходящим названием в современном стиле» (11).
Далее будет представлено краткое описание новых направлений в философии
математики, которые появились за последнее время, будучи реакцией на «усталость» от
классических направлений. Описание не претендует на полноту и очерчивает эти
направления в самых общих чертах.
3. Структурализм, номинализм, натурализм
Из вышеперечисленных направлений рассмотрим только те, которые широко
обсуждаются в нынешней литературе по философии математики. Прежде всего следует
рассмотреть структурализм как одно из самых важных направлений современной
36
философии математики. Ранним влиятельнейшим идеологом этого направления
выступил Н. Бурбаки. Основными нынешними представителями структурализма
являются П. Бенацерраф (12), С. Шапиро (13) и М. Резник (14).
А. Структурализм
Платонистская посылка о существовании независимых от человеческого сознания
четко определенных объектов является весьма уязвимой с точки зрения современной
философии
математики.
В
частности,
критике
подвергается
платонистское
утверждение о том, что имеется единственная последовательность абстрактных
объектов, которые представляют собой натуральные числа. Отказ от этого утверждения
характерен для широко известного направления, называемого структурализмом.
Правда, при обсуждении этого направления следует иметь в виду две вещи. Во-первых,
сам термин «структурализм» является настолько широким, что его надо понимать здесь
в специальном смысле философии математики. Но даже и здесь этот термин имеет
расширительное
значение
благодаря
программе
Н.
Бурбаки.
Во-вторых,
это
философское направление еще не приобрело окончательных очертаний, и скорее, это
некоторая перспективная программа исследований.
Структурализм является реакцией на проблему неединственности представления
математических объектов. Проблема может быть описана так: платонисты утверждают,
что математика говорит об объектах, но мы ничего не можем знать об этих объектах,
кроме того, что они соотносятся друг с другом определенным образом. Если
математические объекты должны иметь некоторые свойства сами по себе, тогда эти
свойства скрыты от математиков и не важны для них. Например, какие конкретные
объекты мы можем назвать натуральными числами?
Начиная с работ Фреге, Рассела и Уайтхеда, числа считаются множествами. В
этом смысле можно было бы сказать, что натуральными числами мы можем назвать
множества. При этом множества могут трактоваться как те самые объекты, которые
требуются для платонистской картины. Для этого надо, чтобы редукция натуральных
чисел к множествам была единственной, т.е. каждому натуральному числу должно
соответствовать определенное множество. Но как раз это условие не может быть
выполнено. Бенацерраф первым указал на это обстоятельство. Аргументация
Бенацеррафа опиралась на тот факт, что теоретико-множественное моделирование
чисел не является единственным. Существуют известные версии перевода чисел во
множества Фреге — Рассела, фон Неймана, Цермело и др. Эта ситуация приводит к
вопросу, чем же на самом деле являются числа, и вопрос этот относится не к
математике, а к философии, будучи типичным онтологическим вопросом. В конце
37
концов, «философия математики... есть онтология математических объектов»15. Однако
такие вопросы не оказывают на математику никакого влияния. «Особенность
математики состоит в том, что она рассматривает только некоторые существенные
свойства ее объектов, считая остальные не относящимися к делу. Один из этих
несущественных вопросов — об онтологии формальной системы... мы должны принять
нечто аналогичное принципу терпимости Карнапа в отношении онтологических
вопросов» (16).
Продемонстрируем неединственность теоретико-множественной экспликации
понятия числа. Э. Цермело предложил следующую экспликацию натуральных чисел. В
качестве 0 берется пустое множество Ø, а в качестве операции последующего элемента
Sx — единичное множество, членом которого является предыдущий элемент, т.е. Sx
есть {х}. Натуральный ряд чисел в теоретико-множественной версии Э. Цермело
выглядит так:
0
Ø
1
{Ø}
2
3
...
{{ Ø }}
{{{ Ø }}}
…
Таким образом, числа являются множествами определенного рода. Такой вывод
следует из наличия вполне удовлетворительной экспликации чисел. Число 3 «в
реальности» есть множество {{{ Ø }}}.
Дж. фон Нейман предложил в качестве 0, как и в версии Цермело, пустое
множество Ø, a Sx определил как х  {х}. Тогда натуральный ряд выглядит следующим
образом:
0
Ø
1
2
{ Ø } {Ø, { Ø }}
3
…
{ Ø, { Ø }, (Ø, { Ø }}} ...
Таким образом, теперь число «три» оказывается множеством {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}.
Ясно, что множество {{{Ø}}} отлично от множества {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}. Больше того,
в теории чисел имеются такие утверждения, которые переводятся в истинное
теоретико-множественное утверждение в версии фон Неймана, и в ложное утверждение
в версии Цермело, например «3  5».
Можно предположить, исходя из онтологических соображений о природе числа,
что лишь одна из теоретико-множественных версии числа является правильной. Но как
выделить некоторое множество, о котором можно с уверенностью сказать, что именно
оно, и никакое другое, указывается некоторым числом? Оказывается, по всем
математическим параметрам версии равноправны, и нет никаких аргументов, которые
38
могли бы указать на «правильную» версию. Следовательно, ни одна версия не имеет
никаких преимуществ перед другими. Остается заключить, что отличающие условия
всех версий правильны, и тогда мы просто не можем сказать абсолютно, что же такое
числа. Во всяком случае, мы можем заключить, что числа вовсе не должны быть
множествами.
На вопрос о том, почему числа не могут считаться определенными множествами,
в общем дается два ответа. Один из ответов, предлагаемых в структурализме, состоит в
том, что числа вообще не объекты, и поэтому цифры как сингулярные термины
сопоставляются с различными множествами без оглядки на то, как сопоставляются
числа и множества. Знаки, представляющие цифры, не указывают на абстрактные
объекты-числа и функционируют в знаковой системе независимым образом. Реальный
мир представлен в науке теоретическими схемами, и любой вариант реализма в
отношении теорий утверждает истинность предложений теории об объектах этой
теории, а также то, что термины теории указывают на эти объекты. Объектами в
реалистической схеме могут быть как материальные предметы, так и абстрактные
объекты платонистского толка.
Цель аргументации Бенацеррафа может состоять в том, чтобы отвергнуть
платонизм, показав возможность математики без предположения о существовании
абстрактных объектов. Главная проблема для Бенацеррафа в этом случае — объяснить,
как знаки-цифры выполняют все то, что делают по платонистской версии математики
числа. Рассмотрим понятие объекта с точки зрения его функционирования в системе.
Главный признак существования объекта — наличие у элементов структуры системы
знаков свойств, независимых от свойств структуры. Объект можно отличить от других
объектов, если имеются процедуры его индивидуализации, которые не должны
зависеть от роли, которую объект играет в рамках структуры. Аргумент Бенацеррафа
состоит в том, что числам нельзя приписать подобную индивидуальность, потому что,
будучи представлены в системе цифрами, они не известны нам помимо цифр. Но
цифры являются частью структуры, и их индивидуальность не есть индивидуальность
объекта, поскольку роль знака в системе определяется особенностями структуры
системы.
Действительно, «быть числом 3 — это не больше и не меньше, чем иметь
предшествующими числами 2 и 1, и возможно, 0, и иметь последующие числа 5, 6 и т.д.
И быть числом 4 — значит не больше и не меньше, чем иметь в качестве
предшествующих чисел 1, 2 и 3, и последующими 5 и 6 и т.д. ...Любой объект может
сыграть роль числа 3, то есть, любой объект может быть третьим элементом некоторой
39
профессии. Особенностью числа 3 является как раз то, что .. .оно представляет собой
отношение, которое любой член прогрессии имеет к остальной части прогрессии» (17).
Числа, с этой точки зрения, вообще не объекты, а знаки специфической знаковой
системы с определенными законами. Все свойства чисел, определяемые этими
законами, принадлежат знаковой системе, и среди свойств нет таких, которые
характеризовали бы нечто, выходящее за рамки взаимоотношений элементов структуры. Природа элементов структуры не имеет никакого значения. Определение чисел, по
Бенацеррафу, есть совокупность некоторых условий, относящихся не к элементам
структуры, а к отношениям, определенным на ней. «Если мы отождествим абстрактную
структуру с системой отношений... мы получим арифметику, разрабатывая свойства
отношения меньше-чем, или всех систем объектов (то есть, конкретных структур),
обнаруживающих эту абстрактную структуру» (18). Итак, индивидуальность знака в
системе определяется его функциями в системе, т.е. по природе своей определяется
структурой в системе. А вот индивидуальность объекта, как уже было сказано выше, не
зависит от структуры. При этом структура понимается как система отношений на
совокупности объектов.
Теперь центр тяжести переносится на понятие структуры. Почти всеми
признается, что математика состоит из структур. Но что такое структура с
онтологической и эпистемологической точек зрения? И является ли это понятие более
простым или удобным, или более фундаментальным, чем понятие абстрактного
объекта? Это тот самый вопрос, который пытаются разрешить М. Резник и С. Шапиро в
целой серии влиятельных статей и книг. Н. Бурбаки полагал, что понятие структуры
является более фундаментальным, чем все остальные понятия математики. Сходным
образом формулируются посылки Резника и Шапиро. Если структура понимается как
область объектов с определенными отношениями между ними, т.е. как структура,
изучаемая в математической логике, то тогда нужно иметь в виду, что в
математической логике структура определяется теоретико-множественным образом. Но
в этом случае следует весьма радикальное заключение, что теория множеств
представляет собой дисциплину наравне с другими ветвями математики, но никак не
основанием всей математики, т.е. теория множеств изучает одну из множества
возможных структур. Например, арифметика — исследование не натуральных чисел, а
«натуральных структур». Все это означает, что в этом случае нам нужно определение
структуры, которое само не является теоретико-множественным понятием. Шапиро
описывает структуру как «возможную систему объектов, находящихся в определенных
отношениях друг к другу, когда игнорируются те свойства объектов, которые
40
несущественны для этих отношений». Например, в аксиоматической теории множеств
Цермело — Френкеля игнорируется все, кроме отношения членства в множестве.
Отметим,
что
это
лишь
описание
понятия
структуры,
а
не
определение.
Структуралисты в философии математики избегают давать подобные определения,
поскольку само понятие структуры не очень подходит на роль базисного
онтологического понятия, и в то же время не снимает эпистемологические проблемы.
Понятие структуры не решает, а скорее, «рассасывает» эти проблемы в духе
виттгенштейновской терапии.
Несмотря
на
определенный
радикализм,
структурализм
является
лишь
модификацией того, что Ч. Чихара назвал «буквалистской точкой зрения». Буквализм
состоит в том, что экзистенциальные утверждения математики не отличаются по своей
структуре от экзистенциальных утверждений эмпирических наук. Обоснование этого
тезиса состоит в том, что математические утверждения делаются в терминах
экзистенциальных кванторов логики первого порядка, и поэтому буквально и прямо
утверждают существование математических сущностей. И поскольку структура
математических утверждений в понимании структуралистов остается именно такой,
перед ними встают все те же проблемы, которые они предпочли бы видеть
«рассосанными». Действительно, «буквализм» такого структуралиста, как Резник,
заключается в двух идеях. Во-первых, логическая форма математических утверждений
должна пониматься буквально, и, во-вторых, семантика математических утверждений
должна быть семантикой естественных наук. В противном случае нельзя будет
говорить об истинности математических утверждений, а без этой посылки невозможно
ничего сказать о математических объектах. Эти проблемы могли бы быть
игнорированы, если бы не общепринятое, разделяемое и структуралистами, убеждение
в том, что математические утверждения истинны.
Б. Номинализм
Подлинно радикальным взглядом в этом отношении является номинализм X.
Филда, который полагает математические утверждения ложными19. X. Филд считает,
что математических объектов не существует, что стандартная математика ложна, но
при этом он стремится сохранить математическую практику. Для этого он снабжает
физическую реальность значимой математической структурой и описывает физические
версии
анализа.
Математические
утверждения
типа
«континуум-гипотезы»
оказываются утверждениями об областях пространства и времени.
Такая позиция возможна лишь при некоторой сильной версии номинализма.
Техническим средством выражения такого номинализма является так называемая
41
теорема консервативности, суть которой в том, что любое номиналистическое
заключение, которое может быть выведено с помощью математики из номиналистической теории, может быть сделано без помощи математики, с одним лишь
использованием логики. Таким образом, в математической практике делается указание
на математические сущности, но нет необходимости верить в существование таких
вещей, поскольку указание подобного рода не требует признания математических
утверждений истинными. Филд полагает математические теоремы просто ложными, а
математические объекты — полезными фикциями, которые в теоретическом смысле
вполне устранимы.
Теория Филда не только радикальна, но и в значительной степени парадоксальна,
так как соединяет в себе логицизм и номинализм. Логицизм виден в самой «теореме
консервативности», согласно которой математический вывод можно в принципе
заменить более длинным логическим выводом. Под номиналистической теорией Филд
понимает теорию, в которой кванторные переменные ограничены нематематическими
сущностями. Другими словами, нелогический словарь номиналистической теории не
пересекается со словарем математической теории и, значит, абстрактные объекты
математики избегаются. Более точно, пусть N— номиналистическая теория первого
порядка, a ZF—теория множеств Цермело — Френкеля. Тогда может быть показано,
что если N+ZF дает S, тогда N дает S.
Тезис Филда состоит в том, что математика является консервативным
расширением номиналистических истин. Но значит ли это, что математика лишь
«добавка», позволяющая сократить длинные логические выкладки, которые в принципе
могли бы быть получены и без математики? Другими словами, верно ли, как Филд
полагает,
что
использование
математики
есть
уступка
физиологической
и
психологической ограниченности человека?
Это определенно неверно, потому что консервативные расширения несут все-таки
новую информацию. Сами методы расширения, хотя бы и консервативного, таковы, что
позволяют делать обобщения, которые не могут быть сделаны в расширяемой области.
Действительно, консервативность подобного рода характерна для различных областей
математики. Так, Г. Такеути показал, что аналитическая теория чисел, использующая
полностью комплексное поле, есть консервативное расширение над элементарной
теорией чисел20. Хотя этот результат интересен и важен, никто не считает
аналитические методы устаревшими. Аналитическая теория позволяет делать такие
классификации, которые не могут делаться элементарной теорией. Эта большая
выразительная сила является причиной того, что доказательства в аналитической
42
теории чисел выглядят «проще». То же относится к первому доказательству теоретикочисловой теоремы о распределении простых чисел. («Первое доказательство» было
дано Ж. Адамаром и Ш. Валле-Пуссеном, последующие даны П. Эрдешем и А.
Селбергом
без
использования
дзета-функции;
эти
последние
доказательства
«элементарны», хотя этот смысл элементарности отличается от того, какой имеется в
виду в доказательствах Такеути.)
Номиналистическая
программа
в
первую
очередь
является
программой
онтологической. Номиналисты не признают абстрактных объектов, полагая, что
реальным существованием обладают лишь физические объекты, или более точно,
единичные конкретности (в противоположность универсалиям). Вклад в упрощение,
который вносится консервативным расширением, может быть оспорен Филдом на том
основании, что, скажем, упрощение теории распределения простых чисел дается ценой
увеличения в онтологии. Комплексные числа несчетны, а целые — счетны. Номиналист
признает счетные совокупности (скорее, даже конечные), и никак не признает
несчетные. Но онтологические соображения вряд ли играют какую-либо роль в
математике, где «более простые доказательства» являются подлинным вкладом в
теорию. Кроме того, для того чтобы отказаться от приобретений, полученных в ходе
консервативного расширения, требуются какие-то дополнительные мотивы, кроме
установления самого факта консервативности расширения.
Филд понимает это обстоятельство, и считает, что апелляция к исходному ядру,
которое
подвергается
номиналистическая
консервативному
переформулировка
расширению,
будет
«разумно
будет
успешной,
привлекательной».
если
Дж.
Таппенден отмечает в этой связи, что «любая теория может быть заменена
эквивалентной "номиналистической" подтеорией: для этого надо просто убрать (с помощью грубой силы или с помощью теоремы Крэйга) все предложения, кроме тех,
которые
удовлетворяют
подходящим
образом
выбранному
словарю.
Но
результирующая теория будет столь дезорганизована, что от нее не будет никакой
практической пользы. Не может быть выведено никакого философского следствия из
наблюдения, что хорошая теория в принципе может быть заменена практически
бесполезной теорией, как бы эта последняя теория ни была привлекательной
философски» (21). Таким образом, номиналистическая программа Филда оказывается
не столь привлекательной.
В. Квазиэмпирический реализм
43
Квазиэмпирический реализм представляет собой широкое направление, в
значительной степени связанное с натурализацией математики, которая в свою очередь
связана с натурализацией эпистемологии. Не претендуя на общность, можно
проиллюстрировать квазиэмпирический реализм реалистической программой П. Мэдди. Она считает, что предполагаемые платонистскими сущности могут быть доступны
обычному восприятию. На этом мы остановимся чуть позже.
Мэдди полагает, что математики имеют чувственный контакт с множествами в
математическом смысле, а не просто с совокупностями материальных вещей.
Стандартная точка зрения состоит в том, что множества являются абстрактными
объектами, что и позволяет математикам рассматривать такие объекты, как пустое
множество, в качестве базиса для построения всей иерархии множеств. Таким образом,
речь идет о возможности причинного указания на абстрактные объекты, что
напоминает с первого взгляда крайний платонизм К. Геделя.
Однако
позиция
Мэдди
более
эмпирична.
При
указании
на
объект
подразумевается стандартная семантика, а именно, что указание осуществляется
сингулярным термином, или же собственным именем, в то время как предикаты, или
общие термины, не указывают объектов, а истины о них, обозначая род объектов.
Мэдди полагает, что, имея некоторый эмпирический опыт в отношении материальных
совокупностей, мы образуем общий термин, родовое понятие, которое указывает на
множество
как
абстрактный
объект.
Тогда возникает
важнейший
вопрос о
пространственно-временной локализации указываемого общим термином объекта.
Мэдди полагает, что абстрактные сущности математики подобны физическим
сущностям, и поэтому возможен прямой перцептуальный доступ к ним. Мэдди
отличает совокупность физических вещей, скажем, груду камней, от множества тех же
самых камней. Отличие состоит в том, как соотносится камень с грудой камней, и как
он соотносится с множеством камней. Каждый камень сделан из физического
материала, который и образует части физической совокупности. Но никакой камень не
является членом физической совокупности, потому что физическая совокупность не
имеет членов. Здесь Мэдди апеллирует к идее, что множество (и членство в нем) есть
результат деятельности сознания, образования в уме концепции множества. Камень
является членом множества, и именно отношение членства делает его таковым. И в
этом смысле множество абстрактный объект, а физическая совокупность — нет. Но из
такой трактовки следует чрезвычайно важный вывод квазиэмпирического толка:
множество камней локализовано точно в том месте, в котором локализована
физическая совокупность. Это в высшей степени непривычная трактовка понятия
44
абстрактного объекта. Физические совокупности не имеют членов, в то время как
множество определяется отношением членства. Именно по этой причине множество
является
абстрактным
объектом,
который,
тем
не
менее,
предполагается
локализованным в том же месте пространства, в котором локализована физическая
совокупность.
Следует еще раз подчеркнуть, что подобная трактовка множеств возможна за счет
эпистемологических трактовок восприятия, развитых в самое последнее время. Так,
согласно одному из определений, субъект Р воспринимает объект К в месте H, если и
только если, во-первых, имеется объект, принадлежащий виду К в месте H, во-вторых,
Р приобретает перцептуальное знание о виде К, и, в-третьих, объект в месте H включен
в процесс порождения состояния перцептуальной веры подходящим причинным
образом. Не входя в подробности этого определения, отметим, что оно является лишь
одним из нескольких подходов к определению перцептуального восприятия, и не ясно,
в какой степени трактовка Мэдди множеств как перцептуально воспринимаемых
объектов будет оправданной при других определениях восприятия. Действительно, при
других определениях возникает основное препятствие пути принятия платонизма, т.е.
тезиса о реальном существовании абстрактных объектов, поскольку причинная связь
между ними и субъектом представляется невозможной. В трактовке же Мэдди при
таком определении восприятия нет существенного различия между восприятием груды
камней и множества камней. Хотя восприятие множества камней является актом
ментальным, а восприятие груды камней — актом чувственным, трудно провести грань
между двумя когнитивными способностями человека. Это нарушает традиционную для
философии дихотомию между чувственным и рациональным, и единственным
способом отказа от этой дихотомии для Мэдди представляется постулирование
специальной когнитивной способности к определению именно «множеств» в отличие
от груды.
Ч. Чихара резко критикует точку зрения Мэдди, согласно которой мы можем
буквально «видеть» множества (22). Первым контрпримером служит случай
единичного множества. Пусть в помещении имеется один физический предмет, скажем,
камень. С точки зрения здравого смысла, в этом помещении ничего больше нет, однако
с точки зрения Мэдди существует еще множество, единственным членом которого
является камень. Множество есть абстрактный объект, а камень — физический объект,
и согласно Мэдди оба расположены в одном и том же месте. Традиционно множество
рассматривается как универсалия, лишенная локализации во времени и пространстве.
45
Универсалия с локализацией в пространстве представляет значительные трудности для
философии.
Поскольку порождение множеств осуществляется замыканием единичного
множества (далее в книге об этом будет сказано более пространно), вместо одного
камня и одного множества мы имеем один камень и бесконечное число множеств.
Однако в пользу такого взгляда нет эмпирических свидетельств. Больше того, такой
взгляд противоречит интуиции, и имеет просто неправдоподобные следствия. Еще
более трудным становится понимание позиции Мэдди в случае бесконечных множеств,
которые невозможно сопоставить с конечными физическими совокупностями. Перед
Мэдди встает в высшей степени традиционная проблема понимания природы
математической абстракции. Квазиэмпирический подход Мэдди ставит целью сделать
более приемлемым с философской точки платонизм, который является «рабочей
философией математика».
4. Платонизм как философия работающего математика
Платонизм,
безусловно,
является
философией
большинства
работающих
математиков, а также многих людей, успешно применяющих математику в
естественных науках. Подобно мольеровскому герою, всю жизнь не осознававшему,
что он говорит прозой, эти люди часто не осознают, что являются платонистами.
Ситуация более точно выражена в книге Дэвиса и Херша (23) Математический опыт:
работающие математики являются платонистами в рабочие дни, а по выходным они
являются формалистами. Для Р. Пенроуза «абсолютность математической истины и
платонистское существование математических концепций представляет собой одно и
тоже. Существование множества Мандельброта есть особенность его абсолютной
природы» (24). Платонистское сознание работающих математиков зачастую не
осознается ими как специфически философский взгляд, потому что лежащие в его
основе представления абсолютно естественны и просты. Вполне естественно, что
существует огромное число математических истин, некоторые из которых открыты, а
большая часть остается неоткрытой. Работа математиков заключается в расширении
круга открытых истин. Математические объекты существуют вне и независимо от
человеческого сознания. Больше того, они существуют не в материальном мире, а в
мире идеальных сущностей. Если платонизм как «рабочая» вера математика не
вызывает у него никаких сомнений, то в философском отношении платонизм отягощен
массой неприятных аспектов. Прежде всего, весьма проблематично понятие
46
существования в нематериальном мире, которое присуще широкому спектру
философских учений, известных под названием «идеализм». Исторически, идеализм
как оформленное Пифагором и Платоном философское учение мотивировался математикой. «Увлеченность Пифагора математикой положила начало ... теории
универсалий. Когда математик доказывает свою теорему о треугольниках, то он
говорит не о какой-либо конкретной фигуре, где-то нарисованной, он говорит о том,
что существует в его голове. Так начинает проявляться различие между умственным и
чувственным. Более того, доказанная теорема верна без оговорок и на все времена.
Отсюда всего лишь один шаг к точке зрения о том, что только умственное — реально,
совершенно и вечно, в то время как чувственное — кажущееся, несовершенное и
скоротечное» (25). «Я полагаю, что математика является главным источником веры в
вечную и точную истину, как и в сверхчувственный интеллигибельный мир. Геометрия
имеет дело с точными окружностями, но ни один чувственный объект не является
точно круглым... Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление
имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать
еще один шаг вперед и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли
более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Мистические доктрины по
поводу соотношения времени и вечности также получают поддержку от чистой
математики, ибо математические объекты, например, числа (если они вообще реальны),
являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут быть в свою
очередь истолкованы как мысли Бога» (26). Из этих цитат Рассела видно, сколь
«тяжелые» для философии следствия имеет математика. Именно их этих посылок
выросли философские представления о природе математики, известные под названием
«платонизм». Сама по себе философия платонизма вызывает множество возражений
опять-таки чисто философского толка. Но коль скоро математика играет важнейшую
роль в этой философии, возникает вопрос, в какой степени математика ответственна за
те неприемлемые по философским основаниям положения, которые свойственны
платонизму.
В частности, платонизм в области математики утверждает существование
другого, нематериального, мира, населенного математическими объектами. Возникают
вопросы о том, где находится этот мир, как войти в соприкосновение с ним, как может
наш язык указывать на объекты этого мира, если они не являются чувственно
воспринимаемыми объектами. Платонисты настаивают на том, что люди имеют
внечувственное осознание математических структур, называемое часто интуицией
47
математика, и что при помощи интуиции мы входим в контакт с математическими
сущностями.
Вся эта картина в высшей степени затруднительна для ее восприятия
натуралистически настроенным умом. Натурализм предполагает, что человеческое
познание опирается на разного рода когнитивные способности человека, которые
выработаны в процессе эволюции, и поэтому любые познанные структуры
объективного мира должны иметь естественное происхождение. А с точки зрения
платониста
математика
изучает
не
этот
мир,
а
мир
внепространственных,
вневременных, не созданных сознанием сущностей, который недоступен нашим
чувствам. Эта метафизическая картина призвана объяснить существование и
применение математики, и такое объяснение вполне устраивает многих математиков,
если не всех, за исключением тех, кто чувствителен к философским затруднениям. А
они в случае платонизма огромны, и возникает вопрос, в какой степени для объяснения
природы математики необходим платонизм.
Реакция против платонизма принимает различные формы. Есть возражения,
основанные на том, что платонизм есть результат склонности математиков к
вневременным и внепространственным сущностям, что идет вразрез с естественными
науками, где изучаются сущности, находящиеся в пространстве и во времени. Больше
того, некоторые философы полагают, что такая страсть математиков имеет некоторый
нормативный характер, выражающий в известной мере ценности математиков. Так, Р.
Нозик утверждает: «Некоторые математики имеют предрассудки, выражающиеся в
предпочтении неизменных и вечных математических объектов и структур, которые
изучаются ими. Хотя эта традиция имеет почтенный возраст, трудно понять, почему
неизменное или вечное более ценно или значимо, почему длительность сама по себе
должна быть важной. Рассматривая эти вещи, люди говорят о вечном и неизменном, и
этот разговор включает (кроме Бога) числа, множества, абстрактные идеи, само
пространство-время. Неужели лучше быть одной из этих вещей? Это странный вопрос:
как может быть конкретный человек абстрактным объектом? Можно ли хотеть стать
числом 14 или Формой Справедливости или пустым множеством? Хотел ли кто-нибудь
иметь такое существование, которое приписывается множеству?» (27).
Другие
философы
возражают
платонизму
на
том
основании,
что
он
бессодержателен уже по своей постановке вопроса. Так, А. Сломан скептически
оценивает позицию платонизма Р. Пенроуза. «Все, что он говорит, состоит в том, что
математические истины и концепции существуют независимо от математиков, и что
они открываются, а не изобретаются. Это лишает платонизм всякого содержания...
48
Хотя многие люди полагают платонизм как чем-то мистическим, или антинаучным, так
же горячо, как Пенроуз защищает платонизм, такие разногласия на самом деле пусты.
Нет никакой разницы, существуют ли математические объекты до их открытия или нет.
Спор этот, как и всякий спор в философии, зависит от ошибочного предположения, что
существует
четко
определенная
концепция
(например,
"существование
математического объекта"), которая может быть использована с целью постановки
вопроса, на который можно дать определенный ответ. Мы все знаем, что означает
существование единорогов, или вполне разумный вопрос о существовании простого
числа между двумя заданными целыми числами. Но нет смысла спрашивать,
существуют ли все целые числа, или существуют ли они независимо от нас, и все дело
в том, что понятие существования весьма плохо определено» (28).
Такие точки зрения резко контрастируют с мнением математиков, исповедующих
платонизм. Например, Ш. Эрмит писал: «Я верю, что числа и функции в анализе не
являются произвольными продуктами нашего сознания: Я верю, что они существуют
вне нас, обладая той же необходимостью, какой обладают вещи объективной реальности; и мы обнаруживаем или открываем их, или изучаем точно так же, как это
делают физики, химики и зоологи» (29).
Избегая крайностей, следует признать, что коль скоро платонизм есть успешное с
точки зрения математического сообщества объяснение природы математики и
математической практики, все, что может сделать аргументативная философия, это
исследовать, в какой степени математика ответственна за столь странный взгляд как
платонизм. Кроме того, несмотря на странности платонизма, следует понять, в какой
степени платонизм неизбежен, и есть ли ему жизнеспособные альтернативы в
объяснении природы математики.
Термин «платонизм» настолько устоялся в философии математики, что едва ли
кто-либо из вновь приходящих в эту область знает, что, несмотря на близость
идеологии
работающих
математиков
философии
Платона,
сам
термин
«математический платонизм» был введен в обиход относительно недавно, а именно П.
Бернайсом в 1934 г. в статье О платонизме в математике (30).
Между тем более правильно говорить не о платонизме в математике, а о реализме
в математике. Подобное терминологическое уточнение важно, потому что фактически
философские доктрины, ассоциирующиеся с математикой, напрямую связаны с
многими логико-философскими доктринами, в частности, с различными теориями
истины, значения, и в целом, с теориями соотношения языка и мира. Поэтому всякому
обсуждению собственно платонизма должно предшествовать обсуждение концепции
49
реализма. Этот подход тем более правилен, что модная ныне проблематика
противопоставления реализма и так называемого антиреализма имеет прямое отношение к философии математики.
Обсуждение реализма в математике следует начать с того, что все мы, независимо
от наших философских убеждений, верим в элементарные математические истины.
Поскольку математика успешно применяется для счета и других расчетов, мы
полагаем, что математические истины отражают факты в мире. Больше того, сама
структура языка подводит нас к такому выводу: если математические истины есть
истины в общем понимании этого слова, тогда это должны быть истины о чем-то в
мире. Тогда встает вопрос о том, о чем же говорит математика, и вряд ли у кого-либо
есть сомнения в том, что математика говорит о реальных объектах. В частности, ее
объекты — числа, множества, функции, пространства и пр. — существуют вполне
реально. И математика изучает эти объекты точно так же, как естественные науки
изучают свои, например, как физик изучает атомы. В свое время подобное кредо
реализма категорично было выражено Расселом в отношении логики: «логика имеет
дело с реальным миром в той же степени, что и зоология, хотя с его наиболее
абстрактными и общими чертами» (31). Естественность реалистического взгляда в
математике объясняется тем, что «основная поддержка реалистическому подходу к
математике состоит в инстинктивной уверенности большинства из нас, пытавшихся
решить математическую проблему, в том, что мы думаем о "реальных объектах", будь
то множества, числа и т.п.» (32).
Проблема реализма разрабатывается в рамках эпистемологии. В настоящее время
существует
два
подхода
к
эпистемологии.
Один
следует
традиционному
картезианскому идеалу теории познания, которая представляет собой исследование
знания и обоснования знания, априорное по отношению к естественной науке. При
таком подходе теория познания ищет основания науки, что выходит за пределы
компетенции самой науки, на основе стандартов чистого разума. Другой подход
известен под названием «натурализованной эпистемологии»; в ней исследование
знания и способов познания становится частью самой науки.
Натурализация эпистемологии имеет большое значение для разрешения споров по
поводу реализма. Установление того, что существует реально, — дело не
спекулятивных рассуждений, а самых новых научных теорий. Таким образом, при
обсуждении реалистической программы в математике нам не следует углубляться в
традиционные споры о существовании или несуществовании универсалий, или
абстрактных объектов. Нам следует опереться на современные теории. Правда, при
50
этом на нас ложится дополнительное бремя демонстрации того, что математика
подобна естественным наукам. Эта последняя точка зрения находит свое лучшее
выражение в аналогии, используемой многими философами — как сторонниками
платонизма, так и его противниками. Так, Куайн полагает, что с точки зрения
натурализованной эпистемологии, мы считаем существующими физические объекты
среднего размера по той причине, что такая онтология дает нам наиболее простое
объяснение природных явлений, описываемых физическими теориями. Точно так же,
полагает он, мы должны принять в качестве существующих множества, поскольку
такое решение упрощает наши математические теории. Действительно, такое
предположение выглядит вполне правдоподобно в свете редукции всех математических
объектов к множествам33.
В таком случае теорией, на которую мы будем ориентироваться при исследовании
реализма в математике, будет теория множеств. Этот выбор стандартен в
исследованиях по философии математики, и не требует особого оправдания. Следует
учесть, что именно теория множеств ставит перед философами наиболее острые
проблемы. Понимание концепции множества, по сути своей, и представляет собой
целую программу исследований, вокруг которой концентрируются многие важнейшие
философские проблемы. Реализм в теории множеств означает убеждение в том, что
теоретико-множественные утверждения имеют истинностные значения. В качестве
лакмусовой бумажки в этом вопросе обычно берется континуум-гипотеза. Реалист
полагает, что истинность или ложность ее является делом объективным, даже если
(Боже сохрани) мы никогда не узнаем этого (34).
5. Эпистемологизация философии математики
Видимо, следует сказать, что преодоление стагнации в философии математики в
последние два десятка лет было связано с общефилософскими тенденциями. Главным
обстоятельством тут является то, что философия математики есть часть философии, и
на ней отражаются все те тенденции, которые свойственны всей философии.
Философия даже относительно элементарных ветвей математики — это такая
дисциплина, в которой ясно фокусируются теории о природе языка, знания, указания и
истины. Именно это обстоятельство делает исследования в философии математики
важным видом философского исследования. Стало очевидно, что традиционная
философия математики столкнулась с дилеммами, обусловленными современной
теорией познания, и, стало быть, мы имеем дело с эпистемологическим уклоном в
философии математики.
51
Возможны два представления того, что было сделано в философии математики в
последнее время. Одно пыталось увязать новые исследования с традиционными
направлениями —логицизмом, формализмом и интуиционизмом, т.е. представить
новые направления как реакцию на традиционные. Другое связано непосредственно с
эпистемологической тенденцией, вызванной к жизни постановкой важной проблемы П.
Бенацеррафом в его работе Математическая истина (35).
Дилемма формулируется следующим образом: если математика представляет
собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные
способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он
может познавать математические объекты? Апелляция к познанию чувственных
объектов подразумевает совершенно определенную концепцию познания —так называемую причинную теорию познания. Можно возразить, что это не единственная теория,
и тогда дилемма теряет смысл. Однако можно переформулировать дилемму таким
образом, что она не будет опираться на специфическую теорию познания. Дилемма
ставит перед нами выбор: либо отрицать, что математика говорит о числах, либо
предполагать некоторые неестественные способности человека в отношении сбора
информации.
Поскольку
обе
возможности
не
выглядят
привлекательными,
предпринимались различные попытки разрешить дилемму. Многие исследователи
соглашаются, что при обсуждении эпистемологических вопросов приходится решать и
главный онтологический вопрос о существовании математических сущностей, и решать
его надо так, чтобы не нужно было жертвовать стандартной математикой, как это
происходит при традиционном номиналистическом подходе. Но как нам кажется,
эпистемологический вызов философии математики, инициированный Бенацеррафом,
принят в качестве того, что можно назвать локальной парадигмой этой области
философии.
Превосходно «эпистемологический поворот» в философии математики выразил
У. Харт: «Во время заката чувственных данных и аналитичности эпистемология как
будто потеряла гордое место центра посткритической философии и, вероятно,
современной философии вообще. С подъемом семантики и возрождением онтологии
эпистемология как будто закатилась. Фреге ниспровергнут, и почти все чувствуют, что
древность более уместна, чем современность. Но даже если эпистемология заслуживает
пару пинков, тем не менее, она остается полноправным гражданином философской
республики. Причины этого очевидны. Некоторые из самых глубоких проблем
философии состоят из примирения естественных, но несовместимых эпистемологии и
онтологии. Например, не случайно, что есть проблемы других умов и проблема
52
соотношения ума и тела. Но нигде такой конфликт не является более древним, чем в
философии математики. Для сочувствующего читателя Менона или Пира или же
середины Государства должно быть ясно, как Платон героически сражается в поисках
правдоподобной эпистемологии для теории форм. Платонизм кажется ясным, когда вы
думаете
о
математической
истине,
но невозможным,
когда
вы
думаете
о
математическом познании. И конечно, эпистемология не умерла в нашем веке; она
просто изменилась. Причинность, холизм, и натурализация вытеснили чувственные
данные и аналитичность. Так что надо приветствовать переформулировку основных
положений эпистемологии математики. Интеллектуальным долгом является не только
прогресс в области математической логики, но прогресс в эпистемологии математики»
(36).
Эпистемологизация математики может рассматриваться в первую очередь как
реакция на философски
затруднительную
позицию платонизма. Традиционно
платонизм считался спорным онтологически, т.е. как доктрина о существовании вне и
независимо от разума объектов, обитающих в сфере идеального. Эпистемологическое
возражение против платонизма, сформулированное четко Бенацеррафом, делает упор
на невозможности эпистемологического доступа к такого рода объектам. Другими
словами, если мы признаем математическое знание истинным, и его объекты
существующими, тогда непонятно, как мы получаем это знание, не имея чувственного
контакта с этими объектами. В такого рода аргументации, конечно, важно, что
собственно имеется в виду под познанием объектов. Таким образом, мы имеем
некоторые очертания эпистемологического подхода к опровержению платонизма.
В некотором смысле вся история философии математики связана с борьбой
против платонизма, и поскольку это предприятие нельзя назвать особенно успешным,
возникают сомнения относительно того, можно ли вообще найти решение этой
проблемы, т.е. можно ли считать, что есть серьезные аргументы за или против
платонизма. Причем ситуация тут несимметричная, поскольку платонизм является
«намеренной» философией математиков, в то время как антиплатонизм — результат по
большей части (если исключить интуиционизм) философских исследований. Поэтому
каждый антиплатонистский шаг подразумевает собственную стратегию и классификацию альтернативных решений. В этой связи весьма интересным представляется
подход М. Балагера, который полагает, что тщательный анализ технических
аргументов не дает оснований считать, что они решительно свидетельствуют в пользу
платонизма или антиплатонизма (37). В следующем ниже обзоре эпистемологических
аргументов мы существенно опираемся на эту работу.
53
Балагер полагает, что работа Бенацеррафа Математическая истина, которая, по
общему признанию, вызвала к жизни эпистемологические программы опровержения
платонизма, явилась не больше, чем инспирацией, поскольку в ней были спутаны
различные проблемы. В частности, Бенацерраф сделал упор на несовместимости
семантики Тарского для математических языков с причинной теорией познания.
Недостаток такого подхода состоит в том, что математические языки могут обладать и
другой семантикой, например, подстановочной (38), а причинная теория познания не
является единственной или выделенной среди других теорий (39). Тем не менее, полезно представить аргументацию Бенацеррафа в следующем виде:
1. Люди существуют в пространстве и времени.
2. Если существуют абстрактные математические объекты, то они существуют
вне пространства и времени.
Следовательно, согласно причинной теории познания,
3. Если существуют абстрактные математические объекты, тогда человеческие
существа не могут иметь к ним познавательного доступа.
Следовательно,
4. Если математический платонизм верен, тогда человеческие существа не могут
иметь к ним познавательного доступа.
5. Человеческие существа имеют-таки математическое знание.
Следовательно,
6. Математический платонизм не верен.
Это несколько дотошный анализ аргументации Бенацеррафа можно было бы
заменить одним пунктом 3, который концентрируется вокруг более общей проблемы,
как познаются абстрактные объекты. Причинная теория познания утверждает, что для
того, чтобы субъект А знал р, необходимо наличие причинной связи между А и р,
подходящим образом установленной. Поскольку установление причинной связи между
субъектом и абстрактными объектами проблематично, аргументация сторонников
платонизма направлена против причинной теории познания. Проблематичность эта не
усматривается мистически настроенными мыслителями, например, К. Геделем, но в
целом ее осознает большинство философов-платонистов.
Как указывает Балагер, разговор о причинной теории познания лишь усложняет
ситуацию, поскольку можно обойтись без нее, считая, что заключение (6) прямо
следует из посылок (1) и (2). Действительно, человеческие существа и абстрактные
объекты не пересекаются, обитая в разных мирах, что соответствует интуиции. Однако
факт познания математических объектов налицо, поскольку мы имеем не только
54
стройные (хочется сказать, непротиворечивые) математические теории, но и крайне
успешное применение математики в естественных науках. Это так называемый
аргумент о необходимости (indispensability) математики, который играет важную роль в
защите платонизма (40). Заключение (3) можно подвергнуть сомнению тремя разными
путями. Во-первых, можно объявить ложной посылку (1). Это значит, что человеческие
существа могут иметь доступ к абстрактным объектам, что утверждал, как уже было
сказано выше, К. Гедель. Взгляды Геделя по этому поводу крайне туманны, а их
интерпретация основывается на часто приводимой цитате из дополнения ко второму
изданию его статьи Что такое континуум-гипотеза?: «...объекты трансфинитной
теории множеств ... не принадлежат к физическому миру и даже их косвенная связь с
физическим опытом является очень неопределенной (главным образом потому, что теоретико-множественные концепции играют незначительную роль в современных
физических теориях). Но вопреки их отдаленности от чувственного опыта, мы имеем
нечто подобное ощущению и в случае объектов теории множеств, что видно из факта,
что аксиомы вынуждают нас признать их истинность. Я не вижу никаких резонов для
того, чтобы испытывать меньшее доверие к этому виду восприятия, т.е. к
математической интуиции, чем к чувственному восприятию, которое побуждает нас к
построению физических теорий и ожиданию, что будущие чувственные восприятия
будут согласованы с ними... Следует заметить, что математическая интуиция не должна
рассматриваться
как
способность
получения
непосредственного
знания
соответствующих объектов. Скорее, как и в случае физического опыта, мы образуем
наши идеи об этих объектов на основании чего-то еще, что дано нам непосредственно.
Только это нечто не есть ощущения, и не главным образом ощущения. То, что это
нечто помимо ощущений действительно дано нам непосредственно, следует из того
факта, что даже наши идеи касательно физических объектов содержат конституенты,
качественно отличные от ощущений или просто их комбинаций, например, идея самого
объекта, в то время как, с другой стороны, в нашем мышлении мы не можем создать
качественно новых элементов, и можем лишь воспроизвести и скомбинировать только
то, что дано. Очевидно, что "данное" в математике близко соотносится с абстрактными
элементами, которые содержатся в наших эмпирических идеях» (41). Эта длинная цитата приведена здесь полностью для того, чтобы можно было убедиться в некоторой
расплывчатости видения проблемы Геделем (кстати, тут видно влияние философии
Гуссерля, которого Гедель изучал особенно тщательно).
Сразу следует отметить, что сейчас мало кто считает точку зрения Геделя
приемлемой, полагая ее странной и
слишком метафоричной. Более точная
55
формулировка его представлений включает следующие утверждения: во-первых,
математическая
интуиция
аналогична
чувственному
восприятию;
во-вторых,
математическая интуиция включает информационный обмен между абстрактными математическими сущностями и людьми; в-третьих, тезис (1) ложен.
С точки зрения здравого смысла попытка объявить ложным утверждение о том,
что человеческие существа не выходят за пределы пространства и времени, отдает
мистикой. И действительно, «Гедель разделял с Эйнштейном определенный
мистический поворот мысли... Я спросил его [Геделя], верит ли он, что Ум есть везде, в
противоположность локализованным мозгам отдельных людей. И Гедель ответил:
"Конечно. Это основное мистическое учение"» (42).
Абсолютный Ум, или отдельные умы, имеют нематериальный, и стало быть,
внепространственный и вневременной характер. Тогда возражение платонизму на
основе причинной, или какой-либо другой теории познания, сводящееся к тому, что
трудно представить себе поток информации от абстрактных объектов к человеческим
существам, становится как будто менее серьезным, поскольку человеческие существа
заменены нематериальными умами. Однако такая замена не спасает платонизм, потому
что передача информации, которая является процессом причинным, от абстрактных
объектов к нематериальным умам не менее загадочна по сравнению с передачей
информации от абстрактных объектов к человеческим существам.
Таким образом, крайний платонизм в версии Геделя неправдоподобен, и
объяснение интуиции как средства познания следует искать на другом пути. Недаром
Гедель значительную часть времени уделил изучению философии Канта и Гуссерля, в
работах которых интуиция занимает важное место. Другими словами, идея контакта с
другими мирами не проходит. Впрочем, несмотря на то, что эти идеи исходили от столь
авторитетного ученого, как Гедель, их никто не принимал и не принимает всерьез.
С точки зрения логики вполне возможна защита платонизма путем признания
ложным пункта (2), т.е. отказ от утверждения, что абстрактные математические
объекты существуют вне пространства и времени. Именно такова позиция П. Мэдди,
описанная выше. На сегодняшний день Мэдди отказалась от своего в достаточной мере
радикального реализма в пользу натурализма. Менее радикальным решением в
выработке стратегии защиты платонизма является признание (1) и (2) с одновременным
отказом от того, что из этих утверждений следует (3), а именно, что если существуют
абстрактные математические объекты, тогда человеческие существа не могут иметь к
ним познавательный доступ. Большая часть исследователей придерживается именно
56
такой стратегии. Наиболее основательная аргументация в этом направлении
представлена В. Куайном.
6. Плюрализм и консенсус
Прекрасной иллюстрацией тех трудностей, которые возникают перед желающим
дать четкую классификацию направлений и концепций современной философии
математики, является понимание основного термина — «реализм». С. Шапиро дает
такую сводку: «Реалист говорит, что "числа существуют". Антиреалист говорит: "числа
не существуют". Тут страсти нешуточные. Оппонентов часто называют "теологами",
"скептиками" — весьма оскорбительные слова на современном жаргоне. Я хочу
понимать эти направления как рабочие программы. Реализм может иметь много
смыслов. Один — что математические объекты существуют независимо от
математиков. Это реализм в онтологии. Другой — что утверждения различных
областей математики имеют объективные бивалентные истинностные значения
независимо от конвенций, языка и правил математиков, и что основная часть
утверждений компетентных математиков истинна. Это — реализм в истинностных
значениях. Нет общего согласия относительно соотношения этих двух видов реализма.
Мэдди и Гедель — реалисты в обоих смыслах. Даммит — антиреалист в обоих
смыслах. Хеллман и Чихара — антиреалисты в онтологии и реалисты в истинностных
значениях. Единственный человек — реалист в онтологии и антиреалист в
истинностных значениях — это Теннант» (43).
Перечисленные выше старые и новые направления в философии математики не
исчерпывают всех подходов, поскольку все они принадлежат некоторому «канону»,
который превосходно ощущается аналитическими философами. Однако есть и
радикально другие подходы к философии математики, и среди них следует выделить
философа Ф. Китчера и математика Р. Херша.
Для Китчера математические утверждения суть совокупность операций,
выполняемых идеальным субъектом (44). Он полагает математику цепью непрерывных
концептуальных конструкций и в этой связи развивает эволюционную модель
математического познания. Таким образом, ключевой дисциплиной при подобного
рода исследованиях предстает история математики, из которой следует извлечь
некоторые рациональные принципы, управляющие концептуальными изменениями по
ходу развития математики. Ясно, что философия Т. Куна занимает в позиции Ф.
Китчера самое значительное место. Кроме того, Китчер прибегает в объяснении
математического познания к причинной теории указания Крипке — Патнэма, согласно
которой значение термина прослеживается через цепь изменений к некоторому
57
исходному акту употребления термина. Рано или поздно эта цепь упирается в
перцептуальное познание наших предшественников-предков. В этом ключе, утверждая
важность психологии, Китчер отказывается от эпистемологической ориентации в
исследовании природы математических истин. Если обычная позиция в философии
математики состоит в том, чтобы обосновать знание этих истин, то Китчер полагает,
что большая часть людей уже знает значительную часть математических истин, и
задача философского исследования состоит в том, чтобы понять, как мы получаем это
знание.
Несмотря на новые программы, все эти направления находятся в русле, если
можно так выразиться, классической философии математики. Между тем возможен
более радикальный взгляд на философию математики, который, как считает Р. Херш,
больше соответствует духу того, что делают работающие математики. Он полагает, что
в повороте философии математики к практике некоторые философы высказали новые
взгляды, суть которых состоит в следующем.
• Математика является человеческим предприятием и, стало быть, частью
человеческой культуры. Значит, математика не есть описание абстрактных концепций
Фреге и вневременной объективной реальности.
• Математическое знание погрешимо. Подобно науке, математика прогрессирует
через ошибки и их исправление (Лакатос).
• Существуют различные версии доказательства и строгости в зависимости от
времени, места и
множества других вещей. Использование компьютеров в
доказательстве есть нетрадиционная версия строгости.
• Эмпирические свидетельства, числовое экспериментирование, вероятностные
доказательства помогают нам решать, во что верить в математике. Аристотелевская
логика является не самым лучшим способом решения этих проблем.
•
Математические объекты суть специальный вид социально-культурно-
исторических объектов. Мы можем выделить математику из литературы или религии.
Тем не менее математические объекты являются общими культурными идеями,
подобно литературным персонажам или религиозным концепциям (45).
Следует сказать несколько больше относительно того, что же представляет собой
так называемая гуманистическая математика. В целом ее можно отнести к новому
модному направлению в философии — социальному конструированию, хотя
гуманистическая математика является менее радикальным взглядом по сравнению с
социальным конструированием (46). Дело в том, что признание математики просто
человеческой активностью, с точки зрения гуманистической математики, вообще не
58
имеет отношения к философии математики. Последняя усматривает скрытый смысл за
пределами
социально-историко-культурного
неизменной
онтологии
математических
контекста,
объектов
и
который
проявляется
вневременном
в
характере
математических истин. Но если, как это утверждает гуманистическая математика,
математическое познание погрешимо, тогда истина и онтология в математике
изменяются по ходу познания.
Конфликт между гуманистической математикой и классической философией
математики достаточно глубок, поскольку отражает не только недовольство стагнацией
в философии математики, но и попытки радикального отделения философии от
математики вообще. Р. Херш говорит, что зачастую нет смысла философствовать по
поводу математики, ища в ней скрытый смысл. Все, что есть в математике, — это
деятельность работающих математиков, и поиски философов по поводу того, что такое
математика, не имеют отношения к деятельности математиков. Философия тут берет
ложный след.
Итак, в философии математики создалась следующая ситуация. С одной стороны,
хотя есть признание стагнации в классической философии математики и даже
признание того, что «ничего из этого не работает», существует ряд направлений,
призванных придать философии математики новое дыхание. С другой стороны, есть
полное отрицание значимости классической философии математики, обоснованное
убеждением, что философская оценка математической деятельности бесплодна:
математическая деятельность не имеет в себе скрытого смысла, искомого философией,
и сама философия неправильно следует в своих собственных стандартах строгости, на
которых основывается философия математики, за этой самой математикой. Ясно, что с
классической философией математики что-то не так, но в поисках нового дыхания этой
фундаментальной области философии требуется ответить на упреки гуманистической
математики. Таким ответом является эпистемологический поворот в исследованиях по
основаниям математики и в целом в философии математики.
Теперь рассмотрим радикальный тезис о том, что философия не имеет отношения
к математике. С этой точки зрения математика живет своей собственной жизнью
независимо от каких-либо философских рассмотрений. Взгляды относительно статуса
математических объектов или утверждений ничего не вносят в математику и являются
худшей софистикой, бормотаньем и вмешательством посторонних. Надо признать, что
большинство математиков вообще не интересуются философией, онтологией или
семантикой. Ну а те математики, которые исповедуют философию, часто входят в противоречие со своей собственной практикой.
59
В этом отношении близким взглядом является натурализм, характеризуемый
Куайном как «отказ от первой философии» и «осознание того, что только в рамках
самой науки должна описываться и идентифицироваться реальность». Мэдди
применяет натурализм к математике, также утверждая, что математика должна быть
изолирована от традиционных философских исследований. Ну и все проблемы в
математике должны решаться математиками как математиками. Как быть с такой
радикальной точкой зрения?
Известно, что многие знаменитые математики были философами. Так, Гедель
утверждал, что его реализм был важным фактором открытия полноты первопорядковой
логики и неполноты арифметики. Например, теорема полноты есть следствие
некоторых результатов Сколема. Но Сколем не сделал этого шага. Почему? Потому что
оба имели различные ориентации в онтологии. Но это лишь немногие счастливые
примеры среди моря примеров отрицательного отношения математиков к философии.
Р. Херш продолжает атаковать философию математики еще более яростно,
настаивая на том, что даже подразумеваемая философия работающего математика, а
именно платонизм, ущербна в самой основе. Характерным подтверждением такой
позиции является следующее его высказывание: «Проблема состоит в том, что Платонизм оставил Бога, но продолжает считать Математику мыслями Бога». Херш полагает,
что «традиционная философия осознает только передовой фронт математики». Но
нельзя понять передовой фронт без того, чтобы понять ее фон. Внутренний участник
событий мог бы: 1) помочь лучшему пониманию мешанины в математике и сформулировать проблемы под правильным углом зрения с учетом контекста, с новой
возможностью решить их; 2) показать, что нет нужды философствовать по поводу
математики, ища скрытый смысл в ней; 3) дать философский ответ на то, что есть
математика. Однако пролегомены (1) не должны быть терапевтическими по отношению
к (2) и не должны делать позитивного вклада в (3). Херш сам предпочитает заниматься
в основном (3). Внутренний участник может дать ответ на (1), но вряд ли на (2) и (3).
Большая часть внутренних участников являются повседневными платонистами, а по
выходным — формалистами, что вносит философскую путаницу (47).
Большинство
внутренних
участников
(от
Декарта
до
Гильберта)
были
осведомлены о «задворках» математики, но их, в отличие от Херша, интересовал
вопрос не о том, что такое математика, а о том, как мы объясняем объективность
математических вер и надежность математического размышления. Социальный
характер математики является тривиальным обстоятельством, свойственным всему
человеческому знанию.
60
В подобного рода рассмотрениях важное место занимает позиция работающего
математика, или, более фундаментально, математическая практика. Любое обсуждение
философии науки требует обращения к научной практике. Но для философских целей
понятие
практики
часто
принимает
нужную
форму
в
угоду
философским
предпочтениям. Поэтому желательно заранее сформулировать, что представляет собой
научная практика, или, более точно, какова структура научной практики, которая
является предметом философского анализа. В случае математики суть практики отнюдь
не сводится к доказательству, хотя традиционно считалось, что математик доказывает
истины. Само понятие доказательства представляет собой цепь аргументов, значимость
которых варьировалась в зависимости от той же самой математической практики.
Научная практика имеет много компонентов: язык, теоретические принципы, примеры
теоретической и экспериментальной работы, принятые методы размышления, техника
разрешения проблем, оценка важности вопросов, метанаучные взгляды на природу
научного поиска. Ф. Китчер рассматривает математическую практику как предприятие,
включающее в себя пять компонентов: язык, множество принятых предложений,
множество принятых способов рассуждения, множество принятых в качестве важных
вопросов и множество метаматематических взглядов (стандарты доказательства и
определения, а также утверждения о сфере и структуре математики) (48).
Таким образом, традиционные взгляды на философию математики претерпевают
значительное изменение. Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени
математика связана с философией, следует найти какой-то порядок, который смог бы
дать точку опоры в будущей философии математики, если ей суждено выжить. На мой
взгляд, таковой является эпистемологическая ориентация на вопросы математического
познания, а не на традиционные вопросы о природе математических объектов и
математической истины.
Литература
К Введению
' Rota G.-C. The Pernicious Influence of Mathematics upon Philosophy/I SyntheseSS:
165—178,1991 —P. 167.
2
Ibid. — P. 168—169
3
Putnam H. Review of the Concept of a Person II Philosophical Papers. Mind,
Language and Reality. — Cambridge: University Press, 1975. — Vol. 2. — P. 132—133.
4
5
Martin R. Intension and Decision. — N.Y., 1964. — P. 42.
См., например: Lavine Sh. Understanding the Infinite. — Cambridge: Harvard
University Press, 1994.
61
6
Godel K. What is Cantor's Continuum Problem? II Philosophy of Mathematics / Ed.
P. Benacerraf, H. Putnam. — Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1964. — P. 262.
7
Maddy P. Realism in Mathematics. — Oxford: University Press, 1990.
8
Maddy P. Naturalism in Mathematics. — Oxford: University Press, 1997.
9
Rota G.-C. Mathematics and Philosophy: Story of Misunderstanding II Review of
Metaphysics. — 1990. — Vol. 44, N 174, Dec.
10 Rota О -С Mathematics and Philosophy. — P. 260.
К главе 1
1
Клайн М. Математика: утрата определенности. — М.: Мир, 1984.
2
См., например: Korner S. The Philosophy of Mathematics. — L.: Hutchinson,
3
Mostowski A. Thirty Years of Foundational Studies // Acta Philosophica Fennica, t'
Fasc. 17. — Helsinki, 1965. — P. 8.
Хао Ван. Процесс и существование II Математическая логика и ее примене- {
4
ние. — М., 1965.
5
Hersh R. A Fresh Winds in the Philosophy of Mathematics II Amer. Math. Monthly.
— 1995. — Aug.-Sept. — P. 590—591.
6 Hintikka Ja. Lingua Universalis vs Calculus Ratiocinator. — Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers, 1997. — P. 2.
7
Hintikka Ja. Principles of Mathematics Revisited. — Cambridge: University Press,
8
Hintikka Ja. Principles of Mathematics Revisited.
9
Maddy P. Philosophy of Mathematics: Prospects for the 1990s II Synthese 88. —
1996.
1991.— P. 155—164.
10 www.math.psu.edu/simpson/fom/posting/006/msg00142.html
11 Passmore J. Recent Philosophers. — N.Y.: Open Court, 1991.
12
13
Benacerraf P. What Numbers Could Not Be II Philos. Rev. — 1965. — Vol. 74, № 1.
Shapiro S. Philosophy of Mathematics. Structure and Ontology. — Oxford:
University Press, 1997.
14
Resnik M. Mathematics as a Science of Patterns. — Oxford: Clarendon Press, 1997.
15
Beth Е. Mathematical Thought. — Dordrecht: Reidel, 1965. — P. 176.
20
16
Curry H. Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics. — Amsterdam,
1970.— P. 30—31.
17
Benacerraf P. What Numbers Could Not Be. — P. 23.
18
Ibid.
62
19
Field H. Science without Numbers. — Princeton: University Press, 1980.
20
Takeuti G. Two Applications of Logic to Mathematics. — Princeton: University Press,
21
Tappenden J. Recent Works in Philosophy of Mathematics II J. Philosophy. —
1977.
2001. — Vol. 97. — P. 488—497.
22
Chihara Ch. Constructibility and Mathematical Existence. —Oxford: University
Press, 1990.
23
Davis Ph., Hersh R. The Mathematical Experience. —Penguin, 1983. —P. 321.
24
Penrose R. The Emperors New Mind. — L : Vintage, 1990. — P. 147.
25
Рассел Б. Мудрость Запада. — М.: Республика, 1998. — С. 5р—51.
26
Рассел Б. История западной философии. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1997.—
С. 51.
28
Barrow J. Pi in the Sky. — P. 273.
29
Ibid. — P. 259.
1U1U.---- Г. £.J7.
"
30
См.: Philosophy of Mathematics I Ed. P. Benacerraf, H. Putnam. — Engiewood
Cliffs: Prentice-Hall, 1964.
31
Рассел Б. Введение в математическую философию. —М.: Гнозис, 1996. — С.
155—156.
32
Moschovakis Y. Descriptive Set Theory. — Amsterdam: North Holland, 1980. — P.
33
Quine W.V.O. Epistemology Naturalized II Ontological Relativity and Other Essays.
605.
— Harvard: University Press, 1969.
34
Maddy P. Mathematical Realism //Midwest Studies in Philosophy. — 1988. — Vol.
12. — P. 275.
35
Benacerraf P. Mathematical Truth II J. Philosophy. — 1973. — P. 403—419.
36
Из рецензии на кн.: Mathematical Knowledge by M. Steiner, Ithaka. — Cornell:
University Press, 1975. — 164 p. — Rec. W.D. Hart //J. Philosophy. —1977. —Vol. 74, N2,
febr. — P. 118—129.
37
BalaguerM. Platonism and Antiplatonism in Mathematics. —Oxford: University
Press, 1998.
38
См.: Целищев В.В., Бессонов А.В. Две интерпретации логических систем. —
Новосибирск: Наука, 1979.
63
39
По поводу причинной теории познания см.: Goldman A.I. A Causal Theory of
Knowledge II Essays on Knowledge and Justification / Ed. G. Pappas, M. Swain. — Cornell:
University Press, 1978.
40
Сводка результатов этого крайне объемного материала может быть найдена в
кн.: Colyvan M. The Indispensability of Mathematics. — Oxford: University Press, 2001.
41
Godel К. What Is Cantor 's Continuum Problem? II Philosophy of Mathematics / Ed.
H. Putnam, P. Benacenaf. — Cambridge: University Press, 1964. — P. 271—272.
42
Rucker R. Infinity and the Mind. — Bantam Books, 1983. — P. 183.
43
Shapiro S. Mathematics and Philosophy of Mathematics /I Philosophia Mathematica.
— 1994. — Vol. 2, N 3. — P. 148—160.
44
Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge.— Oxford: University Press,
45
Rec. Philosophy of Science. — 1966. — N 3. — P. 501—502: Hersh R. What is
1983.
Mathematics, Really?- Oxford: University Press, 1997.
46
По поводу социального конструирования см.: Hacking I. The Social Construction
of What? — Harvard: University Press, 1999.
47
Hersh R. Mathematics has a Front and a Back II Synthese P- 127-133.
Вопросы для понимания
1.
Назовите философские программы в области оснований математики и
логики, начатые в конце XIX - начале XXв. Дайте их характеристику (М. Клайн.
Утрата определенности. М., 1984, гл. X, XI).
2.
Какие мнения А. Мостовского и Хао Вана приводит автор статьи о
причинах возникновения программ? Можно ли дать другое объяснение обращения
математиков к философии?
3.
Какую параллель проводит Р. Херш между развитием философии науки и
философии математики?
4.
Какие новые открытия принесли математике исследования по основаниям
математики? Что такое алгебраизация логики? Приведите еще факты, когда побочные
продукты исследования оказались более важными, чем исходные цели?
5.
Согласны ли вы с тем, что стандарты аргументации в философии часто
диктуются не столько разумом, сколько эмоциями?
64
Можно ли считать неудачей (кризисом) развитие исследований по
6.
философии математики на том основании, что оно закончилось их превращением из
философских в сугубо математические?
разделу 2
Назовите 8 направлений в философии математики, которые приводит Х.
7.
Патнэм. Почему Патнэм считает, что от первых четырех следует отказаться?
Только ли для современной аналитической философии и философии
8.
математики характерно многообразие направлений? Объясняется ли это тем, что в этих
сферах
работает
много
философов?
Или
возможно
какое-то
другое,
более
принципиальное объяснение?
Раздел 3.
9.
Дайте характеристику структурализма как одного из направлений в
современной
философии
математики.
Назовите
причины
возникновения
структурализма.
10.
В чем уязвимость платонистской посылки о существовании независимых
от человеческого сознания четко определенных объектов?
11.
Структурализм
как
реакция
на
проблему
неединственности
представления математических объектов, в частности, числа.
12.
Приведите версии перевода чисел во множества (Фреге-Рассела, фон
Неймана, Цермело). Покажите связь неединственности перевода чисел во множества и
вопроса – чем же на самом деле являются множества?
13.
Правы ли те, кто считает, что онтологические вопросы («чем же на самом
деле являются числа») не оказывают на математику никакого влияния?
14.
В чем содержание принципа терпимости Карнапа и как может помочь
введение аналога этого принципа в отношении онтологических вопросов? НАЙТИ
принцип терпимости Карнапа и СДЕЛАТЬ ссылку
15.
Какие ответы даются на вопрос, почему числа не могут считаться
определенными множествами?
16.
Первый ответ – числа вообще не объекты; знаки, представляющие цифры,
не указывают на абстрактные объекты - числа и функционируют в знаковой системе
независимым образом. Поясните.
17.
Нечто может быть объектом, если есть процедура его индивидуализации.
Но цифры – часть структуры и их индивидуальность не есть
индивидуальность
объекта, поскольку роль знака в системе определяется особенностями структуры
системы.
65
Числа с этой точки зрения – вообще не объекты, а знаки специфической
18.
знаковой системы с определенными законами. Все свойства чисел, определяемые
этими законами, принадлежат знаковой системе, и среди свойств нет таких, которые
характеризовали бы нечто, выходящее за рамки взаимоотношений элементов
структуры. (стр. 24). Структура – это система отношений на совокупности объектов.
«Математические
19.
утверждения
истинны»-
считает
большинство
математиков. Х. Филд – «Математические утверждения ложны», математических
объектов не существует; эти объекты – полезные фикции, в теоретическом смысле
вполне устранимые), стандартная математика ложна. Но необходимо сохранить
математическую практику. Следствия этой точки зрения – нужно дать физические
версии
анализа.
Математические
утверждения
типа
«континуум-гипотезы»
оказываются утверждениями об областях пространства и времени. (стр. 26). Как можно
назвать такую позицию (которая сохраняет математику ради практических целей)?
20.
Теорема консервативности – любое номиналистическое заключение,
которое может быть выведено с помощью математики из номиналистической теории,
может быть сделано без помощи математики, с одним лишь использованием логики,
(но логический вывод более длинный, чем чисто математический (см. Френкель) (стр.
26) Номиналистическая теория – теория, в которой кванторные переменные
ограничены нематематическими сущностями. Нелогический словарь не пересекается со
словарем математической теории, т.е. абстрактные объекты математики избегаются.
21.
истин
и
Филд – математика – консервативное расширение номиналистических
использование
математики
–
лишь
уступка
физиологической
и
психологической ограниченности человека. Согласны ли Вы с этим?
22.
Приведите опровержение этого тезиса.
23.
Номиналистическая программа как онтологическая – непризнание
абстрактных объектов – реальным
существованием обладают только физические
объекты, единичные конкретности, в противоположность универсалиям. От каких
результатов математики должны отказываться неономиналисты?
24.
Квазиэмпирический реализм. «П. Мэдди считает, что математики имеют
чувственный контакт с множествами в математическом смысле, а не просто с
совокупностями материальных вещей». Мэдди полагает, что абстрактные сущности
математики
подобны
физическим
сущностям,
и
поэтому
возможен
прямой
перцептуальный доступ к ним. Как Мэдди отличает совокупность физических вещей
(груду камней) от множества тех же самых камней?
25.
Как Ч. Чихара критикует Мэдди?
66
раздел 4
26.
Дайте
характеристику
платонизма
как
философии
большинства
работающих математиков. Согласны ли Вы с тем, что платонизма придерживается
большинство?
27.
Чем отягощен платонизм в философском отношении?
28.
Существует ли треугольник, для которого доказывается теорема «в
голове математика»?
29.
Рассел о чистой математике как источнике идеализма в философии.
30.
Какие вопросы о нематериальном мире, населенном математическими
объектами, порождает платонизм? Как может наш язык указывать на объекты этого
мира, если они не являются чувственно воспринимаемыми объектами?
31.
Согласны ли вы с тем, что люди имеют внечувственное осознание
математических структур - интуицию. И что при ее помощи мы входим в контакт с
математическими сущностями?
32.
Согласны ли вы с натуралистически настроенным умом, что любые
познанные структуры объективного мира должны иметь естественное происхождение?
33.
«С точки зрения платониста математика изучает не этот мир, а мир
внепространственных, вневременных, не созданных сознанием сущностей, который
недоступен нашим чувствам». Обсудите сказанное
34.
Назовите возражения против платонизма. Выразите отношение к
высказыванию Эрмита. (стр. 34)
35.
Если математические истины есть истины в общем понимании этого
слова, тогда это должны быть истины о чем-то в мире. Вопрос – о чем говорит
математика?
36.
Что значит утверждение «числа, множества, функции, пространства и пр.
– существуют вполне реально»?
37.
О каких двух подходах в эпистемологии говорит автор? Подобна ли
математика естественным наукам?
Раздел 5
38.
Сформулируйте и поясните дилемму П. Бенацеррафа (стр. 37)
39.
Что такое причинная теория познания?
40.
Согласно Бенацеррафу, сформулированная им дилемма ставит перед
нами выбор: «либо отрицать, что математика говорит о числах, либо предполагать
некоторые неестественные способности человека в отношении сбора информации».
Ваше отношение.
67
41.
Что такое Эпистемологизация философии математики?
42.
Платонизм (как доктрина о существовании вне и независимо от разума
объектов, обитающих в сфере идеального) ведет (по мнению Бенацеррафа) к тому, что
эпистемологический доступ к таким объектам невозможен. Поясните.
43.
Прочитайте слова К. Геделя (стр. 41-42). Проанализируйте.
Раздел 6.
44.
Какой различный смысл вкладывают философы в понятие «реализм» в
математике (и вообще в науке, см. Я. Хакинг«Представление и вмешательство». М.,
Логос. 1998, раздел Что такое научный реализм. Стр. 35-45)
45.
В чем суть эволюционной модели познания Ф. Китчера? Что такое
математическая практика по Китчеру? См. также Китчер Ф. Математический реализм //
Методологический анализ оснований математики. М., Наука, 1988, стр. 5-36, или книгу
-
Веркутис М.Ю. Формирование нового знания в математике – рефлексивные
преобразования и рациональные переходы. Новосибирск, 2004, стр.
46.
)
Рассмотрите точку зрения, что философия не имеет отношения к
математике.
47.
Проанализируйте вывод, который делает автор книги, В.В. Целищев:
«Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени математика связана с
философией, следует найти какой-то порядок, который смог бы дать точку опоры в
будущей философии математики, если ей суждено выжать. На мой взгляд, таковой
является эпистемологическая ориентация на вопросы математического познания, а не
на традиционные вопросы о природе математических объектов и математической
истины» (стр. 48). Как бы вы могли интерпретировать надежду (совершенно
обоснованную) на то, что обращение к философии науки поможет навести порядок в
философии математики.
68
Способ бытия математических объектов
Если в первом разделе хрестоматии рассмотрены постановка и решения вопроса в
основном о способе бытия множества как математического объекта, то в данном
разделе вопрос ставится в более общем виде – каков способ бытия любых
математических объектов, где и как они существуют. М.А. Розов решает этот вопрос
путем выявления тесной связи названной проблемы с аналогичными
фундаментальными проблемами современных гуманитарных наук – где и как
существуют такие объекты, как слово или литературные герои. В статье показано, что
объекты математики такие, например, как натуральные числа, – это некоторые роли
соответствующих обозначений, которые воспроизводят себя по принципу нормативных
систем. Это и есть их «устройство» или способ их бытия. Сказанное означает
независимость математических объектов от индивидуального человеческого сознания,
ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой
человечества и противостоят отдельному человеку или целому поколению как явление
не менее объективное, чем язык. Но, будучи явлением культуры, они и развиваются не
по законам естественнонаучных объектов, а вместе с культурой и по ее законам.
Аналогичную точку зрения проводит Р. Коллинз, американский философ, автор
фундаментальной монографии «Социология философий», ((фрагмент эпилога которой
представлен в хрестоматии)), где он строит и изучает сети личных связей как
вертикальные (учитель-ученик), так и горизонтальные (кружки единомышленников).
Коллинз развивает социальную концепцию творчества и выступает против
платонистской трактовки математики – т.е. против того, что математические истины
существуют в некотором особом царстве, никак не соотносящемся с человеческой
деятельностью по формулированию математических утверждений. Он говорит, что
математика имеет социальную природу в том смысле, что она неизбежно является
дискурсом в некотором социальном сообществе (математики включены в сеть
учителей) и математические объекты столь же реальны, сколь реален обыденный,
соразмерный человеку мир действия.
Соглашаясь с отказом Коллинза от наивного реализма и платонизма и признавая
социальную сконструированность знания, Н.С. Розов полагает, что необязательно
сводить, подобно Коллинзу, реальность объектов естествознания к лабораторному
оборудованию, а реальность математических объектов – к коммуникативным
операциям. Он занимает позицию, названную им генеративным виртуализмом, что
включат в себя а) чисто ментальный характер математических миров; б) потенциал
бесконечного развертывания; в) жесткость, «упрямство», отсутствие произвольности в
следствиях заданных конструкций.
В статье Л.С. Сычевой показано, как можно попытаться снять трудности
философии математики, связанные с вопросом, где и как существуют математические
объекты (в частности дилемму Бенацеррафа, рассмотренную в работе В.В. Целищева –
если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей
и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только
чувственные объекты, то, как он может познавать математические объекты?) на базе
представлений о том, что числа – это роли обозначений и существуют как социальные
эстафеты, развитых в статье М.А. Розова.
69
М. А. Розов
СПОСОБ БЫТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
– Методологические проблемы развития и применения математики. Сборник
научных трудов. М., 1985. С. 20–26.
Онтологический статус математических объектов или, что то же самое, способ их
бытия – это одна из проблем философии математики, которая, начиная еще с Платона,
породила огромную литературу. Мы не претендуем в этой маленькой заметке на анализ
существующих здесь дискуссий и точек зрения, а ограничимся рядом соображений,
цель которых показать тесную связь названной проблемы с аналогичными
фундаментальными проблемами современных гуманитарных наук. Впрочем, на
наличие такой связи в принципе уже указывали и сами математики (1).
В качестве отправного пункта для рассуждения возьмем точку зрения Р. Л.
Гудстейна на природу натуральных чисел. Гудстейн сопоставляет арифметику с
шахматами и пишет: «...шахматный король – это одна из ролей, которую фигура играет
в шахматной партии, – роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же различные роли,
которые цифры играют в языке, это и есть числа. Арифметические правила, аналогично
шахматным правилам, формулируются в терминах дозволенных преобразований
числовых знаков» (2).
Шахматные фигуры можно сделать из дерева или из
пластмассы, цифры можно писать карандашом на бумаге или вырезать на камне...
Материал не имеет значения, все определяют правила «ходов», которые и задают роли.
Приведенную точку зрения не трудно обобщить, ибо большинство окружающих нас
предметов тоже выполняют определенные роли в нашей жизни и практической
деятельности, роли, которые отнюдь не заданы однозначно самим материалом этих
вещей, но предполагают наличие некоторых правил, обычаев, традиций... Да и сами мы
постоянно играем определенные социальные роли.
Мы сталкиваемся здесь с двумя разными подходами к одному и тому же явлению.
Можно играть в шахматы, углубляясь в анализ позиций, и совершенно не
интересоваться тем привычным, но, вообще-то говоря, удивительным фактом, что
обыкновенные деревяшки вступают друг с другом на доске в многообразные
отношения, напоминая чем-то актеров на сцене. Мы как бы попадаем в этом случае во
власть некоего «гипноза» шахматной игры и «грезим» наяву, наблюдая, как борются
друг с другом деревянные фигурки. Но можно посмотреть на все и с другой точки
зрения, поставив вопрос о механизмах этого «гипнотического» воздействия, о
70
причинах возникновения самой шахматной иллюзии. Это другой подход, неинтересный
для шахматиста, но принципиально важный для философа, для гносеолога.
Аналогичным образом можно впадать в иллюзию искусства, сопереживая героям
художественного произведения, а можно ставить вопрос о способе бытия этого мира,
который удивительным образом вырастает со страниц книги. Мы подходим здесь к
традиционной проблеме литературоведения: что такое литературное произведение,
каков его онтологический статус? (3). Применительно к математике эту проблему
достаточно четко поставил еще Платон. Ему было ясно, что геометр, рисуя на песке
четырехугольник и проводя диагональ, говорит при этом о каком-то другом
четырехугольнике и о другой диагонали. Что же собой представляют эти идеальные
геометрические объекты? (4). Речь при этом идет не о свойствах этих объектов, не о
способах их построения, а о способе их бытия.
Разницу выделенных подходов можно проиллюстрировать с помощью следующей
аналогии. В калейдоскопе мы наблюдаем смену различных узоров, но ничего не узнаем
при этом о строении калейдоскопа. Иными словами, нам не ясен при этом способ бытия
или механизм существования этих узоров. Напротив, разобрав калейдоскоп, мы
получаем возможность описать его устройство, но не наблюдаем при этом никаких
узоров. Выяснение способа бытия математических объектов, как и другие указанные
нами аналогичные проблемы, требуют разборки «калейдоскопа».
Но вернемся к ролевой концепции натуральных чисел. С шахматами дело
обстоит, казалось бы, просто, ибо роли фигур заданы здесь достаточно четкими
правилами ходов, и трудно представить себе шахматы без этих правил. Но так ли в случае арифметики? Натуральные числа и навыки счета появились в практике человека
много тысячелетий тому назад, чуть ли не на заре развития человечества (5), а
аксиоматизация арифметики – это дело второй половины XIX века. «До XIX века, – пишет Н. Бурбаки, – ученые, по-видимому, не пытались определить сложение и
умножение натуральных чисел иначе, чем путем прямого обращения к интуиции» (6).
Но тогда возникает принципиальный вопрос: чем задана роль числовых знаков в языке
в условиях отсутствия явно сформулированных правил?
Вопрос этот не новый, и прежде всего он уводит нас в лингвистику, в проблему
выяснения механизмов существования самого языка. Очевидно, что носитель языка
может и не знать правил грамматики. Как же он говорит? Можно ли считать, что те
правила, которые формулирует грамматика, до этого как бы существуют имплицитно,
т. е. в скрытом виде, в сознании говорящего? Как он приобрел эти правила, если они не
являются врожденными? Все эти вопросы породили немало дискуссий и точек зрения
71
(7).
Мы сформулируем здесь одно из возможных решений, которое будет иметь
принципиальное значение для всего дальнейшего обсуждения.
Ребенок заимствует язык непосредственно из той языковой среды, в которой он
развивается. Но это значит, что у него нет никаких иных путей усвоения языка, кроме
как воспроизведения образцов речевого поведения, которые демонстрируют ему
взрослые. Мы можем отвлечься от конкретных физиологических или психологических
механизмов такого воспроизведения. Важно следующее: так называемые имплицитные
правила грамматики существуют для ребенка только в виде конкретных образцов,
ребенок усваивает язык, подражая взрослым. Речевое поведение воспроизводится и
передается от поколения к поколению как своеобразная эстафета, и подражание – это
механизм передачи эстафетной палочки.
Системы, которые воспроизводят себя на уровне подражания, на уровне
процессов-эстафет, мы будет называть нормативными системами (8). К их числу
относится не только язык, не только речь, но в конечном итоге и все остальные виды
человеческой деятельности, включая и деятельность в рамках науки. Шахматы – это
тоже нормативная система. Во-первых, правила игры не могут быть сформулированы
без языка, а во-вторых, далеко не весь шахматный опыт вербализуется в виде правил.
Социальные процессы-эстафеты напоминают волну, которая бежит по поверхности
водоема, вовлекая в движение все новые частицы жидкости. Обычаи и традиции,
научные школы, литературные направления – это частные случаи такого рода «волн».
Они давно стали объектом специального исследования в гуманитарных науках, но в
основном в плане диахронии, а не синхронии, в плане анализа исторической
преемственности, а не при выяснении способа бытия отдельных социальных явлений.
Мы возвращаемся к двум способам описания, о которых уже говорилось выше.
Можно описывать шахматы путем формулировки правил ходов, а можно говорить о
традиции комбинационной игры или о традициях советской шахматной школы. Это
два, казалось бы, совершенно разных типа подхода, два разных предмета исследования.
Но мы забываем при этом, что сами шахматы как таковые с их правилами ходов
воспроизводят себя только как нормативная система, т. е. существуют только в рамках
определенных процессов-эстафет. Эти процессы есть механизм существования шахмат,
способ их бытия. Возвращаясь к основной теме нашей статьи, можно сказать, что
эстафеты – это способ бытия и математических объектов. А два вида описания, если
продолжить
аналогию
с
волной,
напоминают
следующее:
можно
описать
распространение круговых волн на воде от упавшего камня, а можно выделить
отдельную частицу жидкости и описать ее траекторию. Фиксируя правила шахматных
72
ходов или правила оперирования с числовыми знаками, мы описываем не социальную
«волну», а только то «возмущение», которое она вызывает в нашей деятельности,
перекатываясь от поколения к поколению.
Соотношение двух видов описания имеет принципиальное значение для
гуманитарных наук. Начнем с примера. Допустим, что историк математики изучает
«Начала» Евклида и хочет описать способы рассуждения древнегреческого геометра.
Он легко обнаружит, что Евклид в своих доказательствах исходит из некоторых
допущений, которые нигде в явной форме не сформулированы. Как он должен
поступить? Первый путь – сформулировать эти допущения, т. е. те правила, по
которым действовал Евклид. Но сделав так, историк получит новую аксиоматику,
может быть, аналогичную аксиоматике Гильберта, и не столько опишет работу
Евклида, сколько продвинет геометрию вперед. Второй путь – предположить, что
Евклид действовал вовсе не по правилам, а просто воспроизводил существующие в его
время образцы математических рассуждений. Но каково содержание этих образцов?
Описать их – это значит сформулировать некоторые правила или допущения, которых у
Евклида не было, а простое указание делает описание почти бессодержательным.
Вопрос упирается в следующее: можно ли объединить два типа описания, насколько
правила, которые мы формулируем, адекватно передают содержание образцов?
Ответ предполагает уточнение того, что мы понимаем под воспроизведением
социальных образцов. Известно, что акты подражания имеют место уже у животных,
было бы, однако, большой ошибкой рассматривать человеческую способность действовать по образцам как чисто биологическое подражание. Животные за редким
исключением сильно ограничены в своем выборе как способов действия, так и
объектов оперирования. Что касается человека, то он, вообще говоря, имеет здесь
огромное количество степеней свободы. Проиллюстрируем возникающие в связи с
этим трудности на примере так называемых остенсивных определений. Представьте
себе, что вам указали на предмет, имеющий форму раковины, и сказали: «Это
пепельница». Что обозначает введенное таким образом слово и как вы должны его в
дальнейшем употреблять, следуя образцу? Вероятно, словом «пепельница» вы должны
обозначать все то, что похоже на продемонстрированный предмет, но в том-то и дело,
что на него в том или в другом отношении похоже почти все. Слово может обозначать
предмет, стоящий на столе, определенный цвет или материал, форму раковины,
функциональное назначение и многое, многое другое. Это значит, что отдельно взятый
образец не задает четкого множества возможных реализаций или, что то же самое,
соответствующая нормативная система не является стационарной.
73
Чем же тогда объяснить, что в обществе мы сталкиваемся с достаточно
устойчивыми традициями, что шахматисты не нарушают правила игры, что, используя
язык, мы в основном понимаем друг друга? Объяснить это можно социальным
контекстом, тем, что человек имеет дело не с изолированными образцами, а с
множеством взаимосвязанных образцов. Именно социальный контекст и ограничивает
наши степени свободы. В приведенном примере с пепельницей мы не будем, скажем,
использовать новое слово для обозначения цвета, ибо соответствующее обозначение
уже есть, не будем обозначать предмет, стоящий на столе, ибо уже имеем для этого
другие языковые средства ... Сказанное означает, что стационарность нормативных
систем – это социальный, а не биологический феномен. Впрочем, если быть точным, то
можно говорить только об относительной стационарности.
Вернемся теперь к поставленному вопросу. Описывая содержание образца, мы
стремимся сформулировать некоторое правило деятельности, т. е. задать четкое,
насколько это позволяет стационарность системы языка, множество возможных
реализаций. Суть, однако, в том, что сам образец этого множества не задает. Мы,
следовательно, приписываем ему отсутствующие у него характеристики. Можно,
разумеется, брать не отдельный образец, а некоторую их систему, но и в этом случае
указанная трудность имеет место, если, конечно, мы не сталкиваемся с идеальным
случаем абсолютно стационарной нормативной системы. Думается, однако, что таких
систем вообще не существует. А это значит, что стремление максимально точно
описать содержание образцов неминуемо связано с некоторым искажением этого
содержания (9).
Конкретные трудности, которые при этом возникают, можно проиллюстрировать
на примере фиксации языковых норм. Очевидно, что для такой фиксации нам
необходим определенный языковый материал, т. е. определенный набор текстов. Но
чем больше текстов мы соберем, тем больше они будут «размазаны» во времени и тем
меньше наши правила будут соответствовать реальному употреблению языка, ибо сам
язык изменяется. Казалось бы, надо, наоборот, ограничить набор текстов, сузив одновременно и отрезок времени. Но, как уже отмечалось, отдельно взятые образцы не
задают
множества
возможных
реализаций.
«Неадекватность
кодификации
литературной норме, – пишет В. А. Ицкович, – объясняется ... ретроспективностью
кодификации,
ее
ориентацией
на
образцы
хронологически
удаленные
от
современности» (10).
Вернемся теперь к математическим объектам и подведем некоторые итоги.
Основная наша мысль в том, что объекты математики такие, например, как
74
натуральные числа,– это некоторые роли соответствующих обозначений, которые воспроизводят себя по принципу нормативных систем. Иными словами, математические
объекты существуют как нормативные системы. Это и есть их «устройство» или способ
их бытия. Сказанное выше означает их независимость от индивидуального человеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры,
всей практикой человечества и противостоят отдельному человеку или целому
поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но будучи явлением
культуры, они и развиваются не по законам естественно-научных объектов, а вместе с
культурой и по ее законам.
Здесь стоит вернуться к аналогии с калейдоскопом, ибо ее необходимо
существенно дополнить. Наблюдение узоров и разборка калейдоскопа – это два
несовместимых эксперимента, однако, описания устройства и узоров вполне
совместимы. Не так в гуманитарных науках, ибо выделенные выше два типа описаний
выступают как несовместимые, но дополнительные. Указание на образцы не дает
возможности точного прогнозирования характера деятельности, а по возможности
точное описание того, что и как делается, не соответствует полностью содержанию
образцов. Последние могут быть описаны различным образом в разных культурных
контекстах и в этом плане потенциально бесконечны по своему содержанию. Сказанное
означает, в частности, что аксиоматизация и формализация математики, связанная с
заменой непосредственных образцов, задающих те или иные роли, строгими
«правилами» – это есть перестройка и самого объекта математики. Впрочем, скорей
всего, мы имеет здесь нечто подобное развитию языка. Кодификация последнего в виде
различного рода словарей, учебников и грамматических справочников, конечно, влияет
на его развитие, но отнюдь не исключает роль непосредственных образцов речевой
деятельности.
Потенциальная
бесконечность
содержания
образцов
невольно
вызывает
ассоциации с некоторыми аспектами интуиционистского понимания математики.
Излагая метафизику интуиционистов, X. Карри отмечает, что они постулируют, в
частности, следующую характерную черту своей изначальной интуиции: «она не может
быть адекватно описана никакими заранее составленными правилами: доказательство
справедливо,
когда
оно
является
построением,
отдельные
шаги
которого
непосредственно очевидны; независимо от того, каковы данные правила, можно найти
правильное доказательство, которое не согласуется с этими правилами» (11).
Мы не собираемся полностью присоединяться к метафизике интуиционизма, но в
данном конкретном пункте она допускает вполне рациональную экспликацию в рамках
75
введенных представлений. И суть дела не в характере «изначальной интуиции», а в
нестационарности нормативных систем и в невозможности вполне адекватно и точно
описать содержание образцов деятельности. Но в этом, как нам представляется, залог
вечной молодости математики.
1 См., напр., Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965, с. 19.
2 Гудстейн Р. Л. Математическая логика. М., 1961, с. 22.
3 См., напр.: Уэллек Р. и Уоррен О. Теория литературы. М., 1978, с. 154–172.
4 Платон. Государство. – Соч., т. 3, ч. 1, М., 1971, с. 318.
5 Фролов Б. А. Числа в графике палеолита. Новосибирск, 1974.
6 Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963, с. 36.
7 См., напр.: Хомский Н. Аспекты теории синтаксиса. М., 1972; Слобин Д., Грин,
Дж. Психолингвистика. М., 1976; Кейсер С., Хиллс И. Что мы, собственно, делаем,
когда говорим. – В кн.: Распознавание образов. М., 1970.
8 Розов М. А. Проблемы эмпирического анализа научных знаний. Новосибирск,
1977.
9 Розов М. А. Информационно-семиотические исследования: процессы – эстафеты
и принцип дополнительности. – НТИ, серия 2, № 2, 1984.
10 Ицкович В. А. Очерки синтаксический нормы. М., 1982, с. 13.
11 Карри X. Основания математической логики. М., 1969, с. 30.
Вопросы для понимания
1. В чем суть вопроса о способе бытия математических объектов?
2. Покажите однотипность вопросов о способе бытия числа, литературного
произведения, шахматной фигуры.
3. В чем состоит «гипноз» шахматной игры или иллюзия искусства, когда мы
сопереживаем героям драматической постановки, хотя артист на сцене вовсе
не убивает героя?
4. Какие два вида описания выделяет М.А. Розов при исследовании шахмат,
узоров калейдоскопа, чисел?
5. В чем различие постановки вопроса о способе бытия числа и шахматной
фигуры? чем задана роль числовых знаков в языке в условиях отсутствия явно
сформулированных правил?
76
6. Очевидно, что носитель языка может и не знать правил грамматики. Как же он
говорит? Можно ли считать, что те правила, которые формулирует
грамматика, до этого как бы существуют имплицитно, т. е. в скрытом виде, в
сознании говорящего? Как он приобрел эти правила, если они не являются
врожденными?
7. Какое
возможное
решение
предлагает
автор
статьи,
которое
имеет
принципиальное значение для всего дальнейшего обсуждения?.
8. Что такое воспроизведение социальных образцов? Чем они отличаются от
актов подражания у животных?
9. Как Вы понимаете тезис о том, что отдельно взятый образец не задает четкого
множества возможных реализаций
10. Какова роль контекста в стационарности нормативных систем (социальных
эстафет)?
11. Какое решение вопроса об «устройстве» или способе бытия математических
объектов предлагается в статье?
12. Как Вы понимаете тезис о том, будучи явлением культуры, «математические
объекты» и развиваются не по законам естественно-научных объектов, а
вместе с культурой и по ее законам»?
13. Поясните тезис: «аксиоматизация и формализация математики, связанная с
заменой непосредственных образцов, задающих те или иные роли, строгими
«правилами» – это есть перестройка и самого объекта математики» (стр. 74)
Приведите примеры.
77
Р. Коллинз
СОЦИАЛЬНАЯ
РЕАЛЬНОСТЬ
ОБЪЕКТОВ
МАТЕМАТИКИ
И
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
Данная работа представляет собой фрагмент эпилога из книги Р. Коллинза "Социология философий: Глобальная теория интеллектуального изменения". Новосибирск,
2002, стр. 1114 - 1131. (Collins R. Sociology of philosophies: A global theory of intellectual
change. - Cambridge (Mass.); London (England): Belknap Press of Harvard Univ. Press,
1998). Публикуется с любезного разрешения автора. Перевод с англ. Н.С.Розова.
ФИЛОСОФИЯ НАУКИ № 2 (10) 2001
Социологический реализм
<.. > Социально-конструктивистская теория интеллектуальной жизни далека от
того, чтобы быть антиреалистской, и предоставляет нам целое изобилие реальностей.
Социальные сети существуют, и существуют их материальные основы - церкви и
школы, а также аудитории и покровители, которые кормили и одевали интеллектуалов,
и
существуют
экономические,
политические
и
геополитические
процессы,
составляющие внешнюю сферу причинности. Эти последовательные уровни контекста,
в котором существовали умы философов, не разделены между собой какими-то
жесткими границами. Нет критерия для произвольной остановки, с тем, чтобы сделать
признание такого рода: "Я согласен, что социальная реальность существует. Однако
мир материальной природы не существует". Это все одно целое, все принадлежит к
континууму in medias res (среди вещей).
Выводы, к которым мы приходим, следуя эмпирическому пути in medias res,
усиливают полученные априорные следствия из социологического cogito. При
движении
в
обоих
направлениях
социальный
конструктивизм
ведет
к
социологическому реализму.
Фактически никто и не сомневается в реальности мира обыденного опыта, вопрос о том, может ли эта банальная реальность быть доказана в соответствии со
строгими стандартами аргументации, поднимался только в специализированных
интеллектуальных сетях. Да и сами интеллектуалы, будучи "не на службе", всегда
возвращаются к признанию реальности обычного пространственно-временного мира.
Социологический реализм показывает, что даже на самом высоком уровне рефлексии в
интеллектуальном споре можно поддерживать банальный реализм. Отсюда не следует,
что тем самым утверждается существование любого типа онтологической реальности.
78
Есть несколько видов реализма и антиреализма, и давайте теперь посмотрим, что
предполагается в социологическом реализме относительно областей, выходящих за
пределы обычной повседневности.
Социологический реализм утверждает, что существуют ментальные и физические
реальности в соразмерных человеку времени и пространстве. Проблемы возникают,
когда делаются утверждения о реальностях, лежащих за пределами |этого соразмерного
человеку мира. Сюда относятся объекты науки (если это целостности или структуры,
не наблюдаемые невооруженным глазом и не позволяющие оперировать ими просто с
помощью рук), понятия математики, сама по себе концептуальная или абстрактная
реальность — идеи и в особенности универсалии, а также разум, рассматриваемый как
некая целостность или субстанция. Относительно такого рода вещей было выработано
множество разнообразных позиций, направленных как на отрицание их реальности, так
и на утверждение их реальности более высокой степени, чем обыденный опыт. Эти
позиции, отрицающие банальную реальность или выходящие за ее пределы, были
продуктом интеллектуальных сетей, в которых борьба за новшества в аргументативном
пространстве внимания вновь и вновь толкала за пределы соразмерного человеку мира.
Математика как коммуникативные операции
Математика есть социальный дискурс. Этот факт неизбежен, если мы прямо
рассмотрим имеющуюся данность. Перед нами математический аргумент очень
небольшой технической сложности:
а = bх + су,
(1)
a-bx-cy = 0.
(2)
Данная последовательность суждений истинна и осмысленна для меня лишь
постольку, поскольку я знаю, что означают эти символы, и знаю допустимые операции
по преобразованию этих символов, такие, что уравнение (1) становится уравнением (2).
Символы, как и любая иная форма дискурса, предполагают коммуникацию.
Приведенное скромное суждение из области математической абстракции предполагает,
что у меня был контакт с сетью учителей, которые, без сомнения, на много связующих
звеньев отстоят от тех, кто создал данную область математики. Давайте возьмем
пример из области более высокой абстракции [Kline, 1972, р.1128].
Если Ал - это компонент ковариантного тензора ранга 2, то его ковариант,
производный в отношении к xl, можно представить как
Aik ,l 
n
n
Aik


kl, jAij .

il
,
j
A



ik
x l
j 1
j 1
79
Теперь сеть математиков становится более ограниченной. На некотором уровне
она сводится к сети активно работающих математиков, создающих исследовательский
фронт математических истин.
Для сравнения рассмотрим утверждение, сделанное в китайской математике алгебре эпохи Сун (см. рисунок). Трудность заключается не только в том, что мы, если
принадлежим к западному миру, не знаем отдельных символов, подобно тому, как
представители этого западного мира обычно не могут понять уравнения 4 + 5 = 9, если
оно записано так:
Трудность состоит в том, что мы не знаем операций, определяющих, как работать
с этими знаками. Китайская математика представлялась на счетной доске, разделенной
на квадраты <. . .>. Сунская алгебра, названная "методом небесного элемента", была
набором процедур представления выражений, обозначающих константы и неизвестные,
возведенные в различные степени, путем помещения числовых знаков на конкретные
места доски, окружающие центральный элемент. Например, в общепринятой
европейской системе обозначений рамка в середине первого правого столбца может
быть записана так: ху2-120у-2ху+2х2+2х. Китайские иероглифы между рамками
представляют в словесной форме некое рассуждение (читается сверху вниз и справа
налево), объясняющее, как одно алгебраическое выражение может быть преобразовано
в другое. Таков словесный способ хранения математических результатов. В живой
практике математик использует набор стандартных процедур манипулирования
фишками на этой доске - процедур, состоящих в преобразовании одного выражения в
другое. Физические операции и символическая структура (а не просто отдельные
символы) отличаются от картезианских правил переноса выражений из одной стороны
относительно знака равенства (=) в другую. Сходство заключается в общей форме
данной практики, позволяющей выводить строки математических выражений одну из
другой.
80
Приверженец
платонизма
сказал
бы,
что
форма
данного
утверждения
нерелевантна, что вывод одного математического выражения из другого верен
независимо от того, записан ли он в виде словесного рассуждения на латыни, в виде
посткартезианских символов, в виде сунской алгебры или еще каким-либо образом.
Однако платонизм - это лишь теория. В нем предполагается то, что должно быть
доказано - что математические истины существуют в некотором особом царстве, никак
не соотносящемся с человеческой деятельностью по формулированию математических
утверждений. Это можно показать с помощью квазиматематического cogito: если я
отрицаю, что математическое утверждение должно существовать в форме какого-то
конкретного типа дискурса, то в самом этом высказывании я представляю утверждение
в некотором дискурсе. Если я отступаю назад, утверждая, что математика должна быть
трансцендентной, поскольку может быть переведена с одного языка на другой, то я
основываю мое утверждение на существовании переводов - операций, соединяющих
между собой несколько дискурсов. Это не только не позволяет избежать дискурса, но
добавляет еще один его вид [1].
Математика имеет социальную реальность в том смысле, что она неизбежно
является дискурсом в некотором социальном сообществе. Это может показаться какимто минимальным уровнем реальности. Тем не менее, не следует думать, что
81
социальный дискурс не имеет никакого объективного, твердого качества, того типа
сильного принуждения, который соответствует понятию истины. Чтобы показать,
почему математический дискурс имеет это качество, мы должны исследовать
отличительные характеристики математических сетей.
Математические сети исторически связаны с математиками предшествующих
эпох. Дело здесь не только в генеалогической преемственности, типичной для всех
интеллектуалов, занимающихся творчеством, когда центральная сеть знаменитых
творцов одного поколения порождает следующие поколения тех, кто будет делать
открытия. Математики особым образом сосредоточены на своей истории, поскольку
главный путь математического открытия состоит в разработке темы методами, уже
использовавшимися в математике предшествующих уровней, в создании такой
символической системы, которая делает явными некоторые ранее молчаливо
предполагавшиеся операции, а также в изучении следствий на этом более высоком
уровне абстрактного символизма. В алгебре обобщаются правила арифметики и
формулируются методы, которыми могут решаться целые классы арифметических
задач. На последующих высших уровнях алгебры разрабатываются общие правила,
касающиеся разрешимости различных типов алгебраических уравнений. Сходные
последовательности имели место в математическом анализе, теории чисел, геометрии и
разнообразных смешанных областях.
В ходе таких последовательных шагов создаются новые понятия, в которых
обобщаются и суммируются целые классы результатов предыдущей работы.
Общепринятые алгебраические символы для неизвестных х, у могут означать какое
угодно число; на более высоком уровне знак функции f(x) пригоден для обозначения
целых выражений какой угодно формы. Еще более высокую абстракцию представляют
собой функции функций; таковыми являются группы, кольца, поля и т.д. Это не означает, что абстрагируемое непременно считается, в конечном счете, числом, неизвестным
или
операцией.
На
более
высоком
уровне
операции
обычной
арифметики
абстрагируются как класс операций, которые могут отбираться и разрабатываться
различными способами, что приводит к возникновению альтернативных арифметик,
альтернативных алгебр, или, короче говоря, к появлению высшей математики.
Математика - это самая историчная из дисциплин в том смысле, что ее главной
темой являются углубление, движение вспять к тому, что считалось само собой
разумеющимся в работе предшественников. Алгебра не только предполагает
арифметику, равно как и высшие уровни алгебры, математического анализа и т.д. не
только предполагают ранее исследованные более низкие уровни абстракции в
82
соответствующих областях. В каждой точке истории математики символическая
система последней относится к типам операций, разработанным на более раннем
уровне ее развития. Невозможно избежать исторического накопления прошлых результатов, заключенных в значении любого математического выражения. Сама история
математики воплощена в этом символизме.
После Декарта механизм обращения с уравнениями состоял в процедурах
переноса символов из одной стороны уравнения в другую и перегруппировки членов до
тех пор, пока уравнение не примет форму того, что уже следует решать или доказывать.
Ключ к использованию такого метода - это обратимость. Результаты выполнения
операций могут быть взяты как начальные точки через приписывание им символов,
которыми также можно оперировать в данном уравнении. Символические обозначения
неизвестных чисел х, у, удовлетворяющих конкретным уравнениям, рассматриваются,
как будто они уже известны. Таким же образом выражения любого иного класса,
включающие то, что должно быть найдено, представляются как некие позиции в
уравнении. Работе данного механизма не мешает наше незнание какого-то конкретного
факта. Метод символизации целых классов, включающих прошлые результаты,
будущие результаты, возможно, даже недостижимые или невозможные результаты,
позволяет приводить в движение процедуры преобразования уравнений и приходить к
заключениям о том, как соотносятся между собой члены этих уравнений.
В некотором смысле такой способ символизации - это реификация, или
овеществление. При этом используемые элементы рассматриваются как вещи,
поскольку они символизируются подобно символическому обозначению вещей. Это
дает видимую твердость данному х или данной функции f(x), что является еще одной
попыткой относиться к математическим объектам, как будто они являются реальностями в платоновском смысле. Однако эта реификация носит лишь временный характер
и осуществляется ради реализации технологии преобразования уравнений. Данная
система символизации принадлежит к продолжающейся истории. Это видно как при
движении назад, в прошлое, так и при движении вперед, в будущее: назад, поскольку
самый очевидный референт (обозначаемый объект) символической позиции есть нечто
того типа, который уже был обнаружен на более конкретном уровне. Так, х может быть
заменен числом, являющимся решением некоторой арифметической задачи; для f(х)
может быть представлен пример конкретного алгебраического выражения. Поскольку
данная система символизации имеет абстрактный и общий характер, она обращена
вперед к охватывающим областям математики - не только ко всем конкретным
неизвестным, которые могли бы быть заменены каким-либо символом, но и к
83
внешнему пространству абстрактных возможностей во всем семействе родственных
операций. На этом пути разработка новой системы символизации, что всегда означает
появление новых систем практики, процедур оперирования группами символов,
обнаруживает
новые
области
для
открытий,
новые
математические
уровни,
подлежащие изучению. Таким образом, последовательные порядки символизации
обращены не только вспять к той предшествующей работе, на которой они основаны,
но также и вперед - к новым типам проблем.
Итак, математика социальна в двух смыслах, второй из которых еще сильнее
первого: каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения
элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую
сеть учителей и исследователей, делающих открытия. Символы и процедуры, составляющие математику, рефлексивным образом воплощают историю этой творческой сети
на всем протяжении до самых ее ранних связей, а рефлексия над собственными
прошлыми операциями - это само здание высшей математики.
Следует подчеркнуть другой аспект, еще более ярко показывающий, что
математика насквозь социальна. Предметом математики являются операции, а не вещи.
Это не та область, где исследуется, какие типы вещей существуют в этом мире, либо в
каком-то ином мире за пределами этого. Вернемся к нулевому уровню математики числам. Поскольку некое число может считаться существительным в предложении,
постольку легко полагать число вещью. Однако первоосновой числа является просто
счет, а он состоит в выполнении жестов, словесных или иных, относительно чего-либо
при произнесении последовательности "1, 2, 3 ...". Ответом на вопрос "сколько?"
является число, на котором человек останавливается, когда завершает свое указание
жестами на то, что подсчитывает. Числа изначально являются деятельностью (или
операцией) перечисления.
В этом отношении числа сходны с другими символами, составляющими
человеческий дискурс. Универсальность чисел происходит из их унивeрcaльнoro
использования, а вовсе не из какого-то характера объектов, для которых они
используются. Перечисление - это процесс разделения и указания. Оно может быть
применено к чему угодно: к материальным объектам, среди которых могут быть
очевидные разделения, но также к вещам, чьи контуры расплывчаты и изменчивы (к
облакам, например), либо же к таким "вещам", которые вообще вещами не являются, но
могут быть операциями, абстракциями или воображаемыми предметами. Перечисление
- это операция, делающая элементы (единицы) эквивалентными друг другу через их
подсчет, и они становятся единицами, поскольку к ним относятся как к таковым. Это не
84
означает, что числа иллюзорны. Они реальны как операции, выполняемые
человеческими существами, как деятельность, осуществляемая в каком-то времени и
месте. Они также могут быть обобщены и перенесены из одной ситуации в другую,
поскольку являются операциями, которые могут применяться вновь и вновь. Общность
чисел происходит из того, что они суть операции человеческого дискурса.
Операции математики социальны начиная от элементарного уровня счета и далее.
Дело не просто в том, что мы учимся считать всегда у кого-то другого и что умение
считать широко распространено в большинстве обществ. Здесь следует применить
принципы социологии мышления. Счет может быть явной социальной деятельностью:
я считаю эти вещи, находящиеся перед нами, я предлагаю и вам тоже их посчитать или
же согласиться с результатами моего счета, поскольку при выполнении тех же самых
процедур вы придете к тому же заключению [2]. Поскольку понятийное мышление
интериоризировано из внешнего дискурса и становится осмысленным лишь потому,
что предполагает внешнюю аудиторию, мой счет "про себя" - это также операция в
некоторой социальной рамке. Вывод, сделанный ранее, можно в данном случае еще раз
повторить: счет ведет к появлению универсалий, ибо осуществляется в некоторой
универсальной позиции - позиции любого человека вообще, который следует данному
соглашению, или конвенции, в дискурсе.
То, что было сказано о счете, можно сказать и о любых более абстрактных
формах математики. Арифметика обобщает результаты счета: сложение дает правила
сокращения операций, указывая, например, что будет при подсчитывании одной
группы вещей, затем другой группы, затем при подсчете их всех и т.д. Элементарная
алгебра обобщает результаты решения различных типов арифметических задач. Такова
цепочка обобщения и рефлексии от одной формы математики к другой, от операций
подсчета к изучению операций над операциями и к дальнейшим замысловатым
ступеням абстрактной математики. На каждом своем уровне математика исследует и
классифицирует операции. Она делает операции эквивалентными друг другу,
рассматривая их как эквивалентные, подчиняя их какому-то систематическому набору
операций более высокого порядка. Мы делаем эквивалентными числа в некоторой
системе счета, вводя соглашения об их сложении и вычитании. Для математики
смешать яблоки с апельсинами не составляет проблемы: математик придумывает
какое-нибудь новое понятие для того, что является в них эквивалентным. Причем вовсе
не обязательно, чтобы этот эквивалент был "естественным", понятием в вещах (например, "фрукт"), - достаточно того, чтобы эквивалентность придавалась операциями,
введенными для обращения с этими предметами. Если счет состоит в осуществлении
85
ряда жестов, которые тем самым представляют нечто как ряд, то арифметика состоит в
выполнении жестов по отношению к числовым операциям, элементарная алгебра - в
выполнении жестов по отношению к арифметическим операциям, высшая алгебра - в
выполнении жестов по отношению к элементарным алгебраическим операциям,
рассматриваемым как эквивалентные.
Эти жесты в сообществе математиков делаются совместно. Некто становится
членом такого сообщества,
усваивая конвенции относительно коммуникации.
Социальная структура математики имеет вид пирамиды. В основании находится
огромное сообщество тех, кто использует конвенции счета и арифметики. На каждой
более высокой ступеньке располагаются сообщества все более специализирующихся и
эзотерически мыслящих математиков - сети, в которых коммуникативные операции и
конвенции более низкого уровня берутся в качестве предмета абстрагирования и
рефлексивного обобщения.
Математические объекты реальны в том же смысле, в каком реально человеческое
общение. Это реальность процессов деятельности реальных человеческих существ,
выполняемой во времени и локализованной в пространстве. И это вдвойне мощная,
упрямая реальность социального, - широко распространенных соглашений (конвенций)
дискурса, т.е. деятельности, выполняемой сообща, которая и составляет сообщество как
раз из тех людей, кто принимает эти условные (конвенциональные) операции. Можно
даже сказать, что это втройне мощная реальность, поскольку сеть математиков - это то,
что выросло вокруг главной деятельности по конструированию способов построения
метаопераций, предметом которых являются предыдущие операции того же
сообщества.
Устоявшийся в течение долгого времени взгляд на математику как на царство
платонистских идеалов ошибочен. Некоторые греческие философы и математики
утверждали,
что
объекты
математики
должны
быть
идеальными,
поскольку
доказываемые в них истины о геометрических фигурах относятся к идеальным
окружностям и прямым, а не к несовершенным линиям, начерченным на песке [3].
Другие утверждали идеальность математики, используя в качестве объекта критики
эмпиризм: числа - это не вещи, наблюдаемые нами в мире, поскольку именно с помощью чисел мы можем вещи перечислять. В обеих линиях аргументации делается одна и
та же ошибка (то же относится и к полагающим, что математика возникает на основе
индукции из опыта восприятия вещей) - допускается, что реальность должна состоять
либо из субстантивных вещей, либо из самостоятельных идей. Однако математические
объекты не являются ни теми, ни другими, они суть символы действий - операций
86
математического дискурса. Универсалии и идеалы - это деятельность социального
дискурса, и они столь же реальны, сколь реален этот дискурс. Иными словами, они
столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир действия. Нет
нужды приписывать их какому-то иному миру.
Другая ошибка - считать математику состоящей из тавтологий. Тождественность
между элементами в разных сторонах математического уравнения - это не тот же тип
тождественности, которая устанавливается при приписывании чему-либо имени, это не
пустая тавтология, примером которой может служить объяснение "тяжести" как
"стремления к падению". Математическая эквивалентность и словесная тавтология
yкoренены в различных языковых играх — в разных системах операций. Произвольные
тавтологии обыденного языка никуда не ведут, тогда как математическая процедура это машина по получению открытий. Механизм математических уравнений действует
во многих направлениях, как отметил Фреге, говоря о различении смысла и
отнесенности
к
предмету
(референции).
Устанавливающие
эквивалентность
математические конвенции приводят к обнаружению последовательных классов
абстрактных операций, свойства которых могут изучаться. Конвенции произвольны, но
математическое открытие состоит в исследовании неких устойчивых структур, или
паттернов,
обнаруживаемых
при
принятии
разнообразных
типов
конвенций.
Математика - это особая область эмпирических открытий, причем в той мере, в какой
"эмпирическое", или "опытное", означает изучение опыта во времени. Именно
исследовательский опыт математической сети - вот что предполагается в принимаемых
этой сетью конвенциях относительно символических обозначений.
Теории о том, что математика должна быть неким трансцендентным царством
платонистских объектов или, по крайней мере, собранием априорных истин,
заключенных в тавтологиях, привлекательны, поскольку помогают объяснить
ощущение того, что математика - это нечто достоверное, что ее результаты обладают
такой высокой степенью неопровержимости и истинности, какую только люди могут
достичь. Эту достоверность можно объяснить особым социальным характером
математических сетей. Поскольку содержание математики выстроено в некую цепь во
времени, постольку от самых высоких и утонченных абстракций и до обычных
операций счета, все это здание внутренне скреплено самым тесным образом. Дело не
только в том, что результаты лениво переходят от одного поколения к другому как
некая устоявшаяся традиционная парадигма, которую никто не удосуживается
поставить под вопрос. Напротив, данная связность глубока и неизбежна, поскольку
темы все более абстрактной математики были внутренними моделями операций
87
предыдущего периода развития математики. В математике, в ее процедурах использования символических обозначений воплощена ее собственная история, причем в
такой степени, которая не обнаруживается ни в какой иной области. Самый наивный
практикующий математику приходит к тем же результатам, что и любой другой,
поскольку каждый, кто учится следовать данным конвенциям, может повторить эту
цепь аргументации. Математика достоверна, поскольку она надежно воспроизводима,
что означает воспроизводимость в цепи социальных конвенций.
Объекты науки быстрых открытий
Социальный конструктивизм в социологии науки обычно ассоциируется с
антиреалистской позицией относительно предметов, или сущностей, науки (entities of
science). Давайте посмотрим, до какой степени это оправданно. Деятельность в области
естественных наук (естествознания), а может быть, даже и само это название
существовали в интеллектуальных сетях многих частей мира с древних времен. На
протяжении большей части истории <...> эти сети подчинялись закону малых чисел,
разделяясь
на
противостоящие
позиции
в
рамках
астрономии,
медицинской
физиологии и даже математики. Для сетей, в которых осмыслялись предметы науки,
они составляли множественные и конкурирующие реальности. В поколениях
европейских ученых между 1500 и 1700 гг. некая ветвь интеллектуальных сетей
претерпела такую реорганизацию, что характер науки изменился: она стала наукой
быстрых открытий, которая, в конечном счете, достигла высокого уровня согласия. В
данной сети внимание сместилось к цепи открытий, продвигающих науку вперед.
Споры стали более скоротечными, редко выходящими за пределы одного поколения.
Разделение между противостоящими позициями, соответствующее закону малых
чисел, было сведено к временным разногласиям на исследовательском фронте, которые
постоянно оказывались позади по мере смещения внимания к переднему краю
открытий.
То, что здесь описано, - это уровень социальной реальности данных сетей ученыхестествоиспытателей. Сеть относится к предметам науки лишь постольку, поскольку
они являются теми содержаниями, которые утверждаются, принимаются, оспариваются
и транслируются благодаря поддержке сети. Сеть ученых в период революции быстрых
открытий была по большей части ветвью существовавшей издавна философской сети.
Постепенно отделяясь от философов, естественнонаучная сеть становилась в своей
собственной области двойной сетью: с одной стороны, сетью интеллектуалов цепочками учителей и учеников; с другой стороны — цепочками исследовательского
оборудования, которое модифицировалось с каждым новым поколением.
88
Носителями генеалогий исследовательской технологии являются сети людей,
именно люди из линз делают телескопы и микроскопы, а потом оптическое и
спектрографическое лабораторное оборудование. Оба этих типа сетей как бы
паразитируют друг на друге. Быстрое развитие исследовательского оборудования от
одной модификации к другой - вот ключ к тому способу быстрых открытий, которому
так доверяют ученые-естественники. Они чувствуют, что открытия возможны при
определенной ориентации исследования, поскольку предшествующие поколения исследовательского
оборудования
позволили
выявить
феномены,
доступные
для
интеллектуальной работы человеческой сети. В самом выгодном положении находится
та часть научной сети, у которой есть ближайший доступ к предыдущему поколению
оборудования, с помощью которого делались успешные открытия. Такие люди могут
усовершенствовать или модифицировать данное оборудование, продвигая тем самым
прошлый фронт открытий. Это относится и к приросту мелких открытий в рамках
успешной парадигмы, что обычно происходит при небольших модификациях или
расширении применения существующей технологии, и к масштабным новым фронтам
открытий,
появляющихся
обычно
при
совмещении
разных
линий
развития
оборудования или при изобретении совершенно новой исследовательской технологии
(усовершенствование электрической батареи и ее совмещение с оборудованием для
химических опытов, а затем с астрономическим оборудованием и т.д.) [4]. Для этого
процесса нет видимого предела во времени. Комбинаторные перекрестные смешения
генеалогий
исследовательского
оборудования,
по-видимому,
будут
вести
к
продолжению генерирования явлений для научных открытий до тех пор, пока будут
существовать социальные сети, продвигающие развитие этих генеалогий оборудования.
Линии преемственности исследовательского оборудования реальны в том же
смысле, в каком реален во времени и пространстве весь мир соразмерных человеку
объектов. Это линии преемственности материальных вещей. Иногда дается такая
интерпретация:
научные
эксперименты
являются
воплощенными
теориями,
а
исследовательское оборудование имеет в первую очередь ментальную реальность. Это
существенное преувеличение. Генеалогия оборудования реализуется во времени сетью
ученых-интеллектуалов, которые как бы выращивают и скрещивают между собой
элементы
своего
технологического
"урожая",
чтобы
получить
эмпирические
результаты, которые могут быть "привиты" к текущей линии интеллектуальной
аргументации. Это вовсе не означает, что ученые всегда экспериментируют в свете
теорий, дающих приемлемые толкования тому, что делается с помощью используемого
оборудования. Наладка и модификация оборудования, скрещивание его с другим или
89
изобретение нового оборудования - все это может делаться при самом малом обращении к теоретическим темам, которые затем развертываются из уже полученных
результатов и представляют собой ретроспективную теоретическую интерпретацию
того, что, собственно, с помощью этого оборудования и делается. Независимо от того,
имеют ли интеллектуалы-естественники ясную и защищаемую теоретическую
концепцию своего оборудования или нет, они вовлекаются в практическую телесную
деятельность всегда, когда это оборудование используют. Сеть ученых-естественников
действует в самом банальном материальном пространственно-временном мире, а
обсуждаемые ими и передаваемые в качестве содержания своей науки теоретические
сущности или предметы укоренены в этом соразмерном человеку мире людских тел и
исследовательского оборудования.
Чем же тогда является реальность теоретических предметов науки? Будучи
невидимыми структурами или субстанциями, они подвержены всем философским
неприятностям, которые всегда возникают, когда кто-то пытается сделать шаг за
пределы вещей (in medias res) в царство совершенной точности и непрерывной
субстанциональности. Тем не менее, это не делает данные предметы непременно
иллюзорными или нереальными. Теоретические конструкты могут обладать твердыми,
упрямыми качествами, как и части мира банальной действительности, поскольку они
соединены с ней, по крайней мере, двумя путями. Во-первых, они являются реальным
центром внимания и с течением времени становятся центром согласия в реальных сетях
ученых. Это социальный консенсус вполне определенного типа, он ориентирован на
линии открытий относительно упрямой реальности, поскольку, во-вторых, научные
предметы
также
основаны
на
материальных
генеалогиях
исследовательского
оборудования. Хотя научные предметы имеют свою интеллектуальную сторону, у них
также есть и неинтеллектуальная сторона - те явления, что возникают из поведения
самого этого оборудования.
Оба
эти
соединения
с
банальной
реальностью
соразмерного
человеку
материального опыта простираются во времени, для обоих можно указать поколения
предшественников, и оба они несут в себе прошлый опыт предыдущих поколений, а
кроме того в них обоих предполагаются исследовательские практики, которые в
будущем вновь будут работать. Это особенно существенно для генеалогии
оборудования, ибо исследовательские технологии подвергались как раз таким
манипуляциям и изменениям, чтобы они давали воспроизводимые результаты.
Устойчивость научных предметов в интеллектуальном плане являет собой эквивалент
той
стабильности,
которая
создана
практикой
работы
с
применением
ис-
90
следовательского
оборудования.
Эту
устойчивость
можно
рассматривать
как
стабильность во взаимодействии между телами экспериментаторов и оборудованием.
Совершенство оборудования и стабилизация теоретического предмета или сущности
(скажем, электрона) зиждятся на таком способе изменения генеалогии оборудования,
что обращаться с оборудованием становится все легче и легче Особенно высокий
уровень устойчивости достигается тогда, когда стандартизованное оборудование или
какой-либо его "отпрыск" выходят из лаборатории: электрические цепи становятся той
проводкой, которая используется миллионами людей в повседневной жизни, детекторы
электромагнитных волн становятся радиоприемниками. Когда это происходит,
социальная сеть, осваивающая данный теоретический предмет, придает ему на вид
безупречную реальность. Специализированная интеллектуальная сеть, склонная к
созданию эзотерики вне повседневного мира, уже перестает здесь оказывать влияние:
электричество становится так тесно связанным с само собою разумеющимися
реальностями человеческих тел и окружающих их соразмерных вещей, что кажется уже
продолжением повседневной реальности.
И действительно, в некотором смысле так оно и есть. Хотя мы редко осознаем
этот факт, но электрические выключатели, детекторы радиоволн и прочие приборы
являются современным этапом долгого пути предшествующего развития той техники,
начало которого относится к генеалогиям лабораторного оборудования. Именно эта
длинная цепь, простирающаяся как назад, так и вперед во времени, делает некоторые
научные сущности столь устойчивыми, - они так тесно и многообразно связаны с
повседневной действительностью, что уже трудноотделимы от нее.
Эта устойчивая реальность, обретенная некоторыми предметами науки, в
большей мере происходит из их материальной укорененности в оборудовании, чем из
теоретической концептуализации. Электричество стало широко распространенной
практической реальностью примерно с 1850 г. [5], притом, что в центре
исследовательской
сети
теоретическая
интерпретация
электричества
менялась
несколько раз. Таким же образом от поколения к поколению менялись концепции
Нового времени и современности об элементарных составляющих химии и физики: от
атомов перешли к электронным орбитам, от них - к последующим новым и новым
упорядочиваниям семейств субатомных частиц и античастиц, наконец - к струнам.
Изучение стандартных учебников, написанных с интервалом в 30 лет, дает модель
продолжающейся эволюции, и нет никакого разумного основания предполагать, что
сегодняшние сущности будут когда-то в будущем приняты как нечто большее, чем
грубые приближения [6]. Эта историческая текучесть концептуальных построений
91
науки является как раз тем, что мы и должны ожидать от конкурентных
интеллектуальных сетей. Устойчивость и упрямая реальность "электричества",
"бактериальной инфекции" и других знакомых теперь сущностей гарантируются их
укорененностью в генеалогиях материальной практики, получившей распространение
среди неинтеллектуалов. Высшая реальность, приписываемая концепциям науки
быстрых
открытий,
происходит
из
того
способа,
которым
двойственные,
паразитирующие друг на друге сети этого сообщества, генеалогии [лабораторного]
оборудования и люди-интеллектуалы, породили третью ветвь - такие генеалогии
оборудования, которые обосновались вне идейного состязания интеллектуалов,
беспрестанно сдвигающих фронт своего поиска. Значение имеет уже не то, как в
данный момент на этой эзотерической интеллектуальной границе толкуется "электричество", - это некритично используемое слово служит маркером для устойчивой и
упрямой реальности повседневной жизни, [в которой электричество широко, постоянно
и надежно используется].
Социальная конструкция предметов, или сущностей, науки обусловливает, по
крайней мере, квазиреализм. Хотя не все научные предметы как интеллектуальные
конструкты имеют такие же притязания на то, чтобы считаться реальными, некоторые
из них настолько тесно переплетены с соразмерной человеку обыденной реальностью,
что между ними трудно провести границу. При том, что эпистемологическое
оправдание
таких
научных
предметов
более
сложно,
чем
утверждение
неопровержимых реальностей непосредственного социального опыта, реальности двух
этих типов, по крайней мере, находятся между собой в близком родстве.
Как возможно то, что математика столь часто оказывается применимой к
естественному, нечеловеческому, несимволическому миру?
Почему она стала
настолько полезной в естествознании? Это будет уже не столь таинственным, как
только мы осознаем всю силу того факта, что математика зарождается в социальных
сетях, являющихся частью природного мира. Отличительная черта сети практикующих
математику состоит в том, что они сосредоточивают свое внимание на чистых
бессодержательных формах человеческих коммуникативных операций - на жестах
обозначения единиц как эквивалентных и составления их них ряда, на операциях более
высокого порядка, с помощью которых рефлексивно изучаются сочетания этих
операций. Первичные операции - счет, измерение - берут свое начало в жестах,
направленных на обычные, соразмерные человеку телесные объекты и процессы
деятельности в пространственно-временной реальности. Подобная деятельность имеет
такое же качество реальности, как и что-либо иное на уровне этого банального
92
обыденного мира. Абстрактная математика, рефлексивно возникающая на основе таких
операций, остается
частью
природного мира. Фактически
это эмпирическое
исследование некоторого аспекта данного природного мира, той его части, которая
состоит в коммуникативной деятельности математиков по созданию новых форм
оперирования своими же предыдущими операциями. Математика возникает in medias
res (среди вещей), и в ней утверждается гладкая непрерывность от одного уровня ее
собственной абстрактности к другому. Нет жесткой границы между объектами
математики и миром естествознания. Применимость в науке математических процедур
не должна восприниматься как нечто удивительное.
Высокий уровень согласия относительно объектов естествознания появляется
только в сетях быстрых открытий; они же, в свою очередь, составлены из
паразитирующих друг на друге генеалогий исследовательского оборудования и
аргументативной сети интеллектуалов-естественников. Математизированная наука
быстрых
открытий
манипулирования
добавляет
сюда
формальными
третью
символами,
сеть
-
преемственную
представляющими
собой
линию
классы
коммуникативных операций. Математика не дарует нам какой-то магический глаз, с
помощью которого мы видим объекты, трансцендентно существующие за пределами
феноменальной поверхности опыта, - невидимые сущности научных теорий.
Математика соединена с другими двумя сетями в том же самом феноменальном мире
опыта.
С одной стороны, измерения, проводимые с помощью исследовательского
оборудования,
превращаются
в
математические
реальности,
поскольку
люди
используют последние в качестве маркеров - в том же смысле, что элементарная
математическая операция счета есть социальная процедура указания жестом на
единицы опыта (тем самым установленные в качестве эквивалентных друг другу). Как
сказал бы Сёрль [Searle, 1992], в исследовательском оборудовании нет гомункулуса.
Именно люди-математики - вот кто использует это оборудование как средство
расширения их собственной способности делать жесты. Это жесты, одновременно
обращенные и к нечеловеческому миру, и к социальному сообществу, которое
выстроило
некий
репертуар
надежных
методов
превращения
одного набора
символических жестов в иной.
С другой стороны, генеалогия математических техник соединена с сетью
интеллектуалов-естественников, в которой создаются осмысленные предметы и
аргументы, составляющие знакомое людям содержание естествознания. Генеалогии
оборудования производят явления в мире опыта, а интеллектуалы-естественники
93
превращают эти явления в интерпретации, полезные для ведения аргументации и
привлечения сети к исследованию дальнейших тем. "Невидимый" мир сущностей
науки порождается интеллектуалами, а не непосредственно оборудованием. Математическая техника становится значимой для ученых-естественников, поскольку позволяет
им придавать особенно устойчивый характер, по крайней мере, части их аргументации.
Но данная часть аргументации является именно той устойчивой и упрямой
реальностью определенных сетей рефлексивных коммуникативных операций, которая
и стала ранее для математиков предметом их исследовательской деятельности.
Кристаллически-жесткая социальная реальность математиков образует как бы хребет
аргументации научных коалиций, которую они ведут в своих социальных переговорах.
Математика - это мост: ее общность с сетью естествознания состоит в том, что
она также имеет характер социального бытия, ее общность с генеалогиями
оборудования - в том, что она также является преемственной линией развития техник.
Поскольку линия математической техники -- это линия преемственности открытий,
касающихся процессов пространственно-временной реальности (т.е. математических
операций), постольку она прекрасно совмещается с порождаемыми при помощи
оборудования феноменами, являющимися такими многомерными процессами, формы
которых не могут быть интерпретированы на низких уровнях абстракции и рефлексии,
характерных для обычной грамматики типа "существительное - прилагательное глагол" или для обыкновенной арифметики. (Вот почему изучение высшей алгебры кватернионов, векторов, матриц - было столь плодотворным для развития современной
физики.) Здесь мы вновь обнаруживаем социальную реальность математики, которая
соединяется
без
каких-либо
видимых
швов
с
нечеловеческой
природной
действительностью феноменов, порождаемых с помощью оборудования.
Главной социальной сетью в науке остается сеть людей-интеллектуалов. Наука,
если быть последовательными, имеет своим конечным результатом слова и образы.
Чисто математический замысел, такой как, например, теория струн, не обретает
полную, социально принятую "реальность", пока не появится словесная интерпретация
его основных моментов, переводящая их в знакомые, обозначаемые существительными
"предметы", или "сущности", в обыденном языке считающиеся высшей реальностью.
Однако здесь мы должны отметить, что математика также укоренена в словах [7]. Это
напоминание о том, что "математика" является двумя сетями в одной сети —
генеалогией техник и человеческой сетью, причем последняя, с одной стороны, умеет
работать с данными техниками, а с другой стороны, вовлечена в обычный
интеллектуальный контекст постановки аргументов и контраргументов. Вербальный
94
дискурс - это наиболее надежный каркас, основное вместилище интеллектуальной
жизни. Если математика действительно является важным мостом между человеческими
и нечеловеческими сетями, составляющими науку, то это происходит потому, что сами
математики суть гибриды, имеющие все человеческие черты, начиная от словесного
дискурса и кончая своими собственными специальными формами освобожденной от
содержания рефлексивности.
Математика одновременно эмпирична и концептуальна. Она охватывает опытные
наблюдения во времени и пространстве, причем данный опыт всегда конкретен и
ситуационно локализован. При этом математика имеет дело с универсальным и общим,
с теми моделями, которые действительно неопровержимым образом обнаруживаются
среди универсальных понятий, поскольку темой математики является чистая общность
человеческих коммуникативных операций. Таковы действия, устанавливающие
эквивалентность между вещами и надстраивающие их друг над другом. Данная тема
универсальна, поскольку включает операции полагания вещей как универсалий.
Одновременно эта тема является эмпирической, возникающей в опыте и применяемой
к опыту, поскольку делать математику - значит совершать деятельность во времени и в
некоторой социальной сети. Универсальные черты математики обнаруживаются
эмпирически через труд математиков, изучающих различные системы операций. Тема
математики - это система коммуникативных соглашений (конвенций) между
математиками. То, что они открывают в данной сфере, является объективной, упрямой
реальностью. Если мы говорим, что она социально конструируется, то это
эмпирическое изучение устойчивых и упрямых качеств социальной конструкции.
Математическая реальность столь реальна именно потому, что она целиком социально
сконструирована. <...>
Примечания
<...> 1. Я не обсуждаю здесь вопрос, всегда ли может быть выполнен такой перевод фактически. Дело лишь в том, что перевод не является чем-то вне дискурса. В
социальном опыте перевод - это соединение двух сетей. Аргумент Куайна, состоящий в
том, что есть множественность различных возможных переводов между языками,
возможно, не вполне применим к математическим переводам по причинам, которые
далее будут ясны.
2. Если фактически мы не приходим к одной и той же сумме, то предполагаем,
что кто-то из нас ошибся - неверно выполнил данную операцию; иными словами, мы
оба не следовали данному соглашению, или конвенции, [о самой операции - порядке
ведения счета].
95
3. Сравнительная социология сетей проливает свет на то, как возникает эта концепция математики. В греческих сетях фракция Платона была альянсом между математиками и философами, творчество которых исходило из напряженного противостояния с фракциями эмпирицистов, материалистов и скептиков-релятивистов. В последующих платонических и неоплатонических религиях были разработаны взаимоподдерживающие аргументы на основе концепции трансцендентного Бога, иерархии уровней всеобщности и математического платонизма. Позже это сочетание понятий было
воспринято главными течениями христианской, исламской и еврейской философии, а в
эпоху секуляризации европейской мысли оно оставалось доступным в качестве традиционной философии математики. В Индии и Китае такого рода математический
платонизм не возник даже в условиях преобладания идеалистической философии в
Индии в послебуддийский период. Причиной этому был факт (обоснованный в главе
10) очень малых пересечений математических и философских сетей в Индии и Китае, в
противоположность Греции и Западу.
4. Поскольку математика - это также некая генеалогия технических приемов,
взлет которой можно считать собственной математической революцией быстрых открытий
в
период
между
Тартальей
и
Декартом,
развитие
математико-
экспериментальных парадигм в науке Нового времени стало еще одним типом
гибридизации генеалогий различных техник. Преемственные линии математики
разветвлялись и по-разному соединялись между собой, что приводило к появлению
богатого экологического мира математических "видов" (в смысле эволюционной
биологии - "species"), которые различными путями скрещивались со сходным же
образом скрещенными "видами" из генеалогий исследовательского оборудования.
5.
Это произошло потому, что появление телеграфа (1837 г.), а затем
электромоторов,
телефонов,
электрического
освещения
и
прочего
сделало
электричество частью обыденной реальности. Прежде электричество имело более
ограниченную лабораторную реальность для исследователей, с тех пор как в 1740-х
годах была изобретена лейденская банка и особенно с появления вольтовой
электролитической ванны (1799г.), надежно дававшей постоянный ток. В течение
промежуточного периода, до того как лабораторное оборудование стало широко
распространяться в повседневной жизни, было множество популярных интерпретаций
реальности электричества (например, интерпретация Месмера, а также религиозные
толкования), лишенных того ощущения нормальной обыденности, которое позже стало
относиться к электричеству.
96
6. Есть некое непрерывное "семейное сходство" между соседними поколениями
развития таких понятий, хотя именно то, что составляет данную непрерывность, оказывается не раскрытым ни вообще, ни каким-либо специальным образом. Кун утверждал, что даже в крупных концептуальных сдвигах, называемых им парадигмальными
революциями, сохранялась математика [Kuhn, 1961]. Как мы видели в предыдущем
разделе, математику следует рассматривать как некую практическую систему приемов
для получения открытий относительно формальных интеллектуальных операций. Это
опять же означает, что сохраняющееся при смене поколений - это не сами по себе идеи,
но непрерывность еще одной генеалогии исследовательского "оборудования".
Математическая непрерывность и обоснованность естественно-научных предметов
(сущностей) - это еще один случай непрерывности практической пространственновременной деятельности. Вновь мы видим некий эпистемологический разрыв между
данной надежной, материально существующей, но скрытой практикой, вербальными
конструкциями и соразмерным человеку воображением, включающим овеществленные
(реифицированные) существительные и субстанции, приписанные теоретическим
естественнонаучным предметам.
7. Каждая математическая статья начинается со словесно выраженного заглавия и
углубляется в словесные объяснения, пусть эзотерические, неких проблем до
погружения в свою символизацию и соответствующее преобразование формул. В
другом отношении успешная математика становится частью словесного дискурса,
посредством которого математики обобщают свои прошлые достижения и указывают
на будущие темы. Данные, иллюстрирующие этот момент в математических журналах,
приведены в работе автора "Статистика против слов". [Collins, 1984]. <...>
Литература
Collins R. Statistics versus words // Sociological Theory. - San Francisco: Jossey-Bass,
1984.
Kline M. Mathematical thought from ancient to modem times. - N.Y.: Oxford
University Press, 1972.
Kuhn Th. S. The function of measurement in modern physical science // Quantification:
A history of the meaning of measurement in the natural and social sciences / Ed. H. Woolf.Indianapolis: Bobbs-Merrill, 1961.
Searle J.R. The rediscovery of mind. - Cambridge, Mass.: MIT Press, 1992.
Вопросы для понимания
97
1.
Что
такое
реализм
как
философское
направление?
Что
такое
социологический реализм?
2.
Что означает платонизм в понимании природы математики?
3.
«Математика имеет социальную реальность в том смысле, что она
неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе». Как признание
того, что математика является дискурсом, заставляет усомниться в платонизме?
4.
Какие два смысла тезиса «математика социальна» называет Коллинз?
5.
Почему математика, по мнению Коллинза, не является ни царством
платонистских идеалов, ни царством субстантивных вещей?
6.
Почему неверно считать математику состоящей из тавтологий?
7.
Как Коллинз объясняет высокую достоверность математики?
8.
Покажите, что неверно ассоциировать «социальный конструктивизм в
социологии науки» с антиреалистской позицией относительно предметов, или сущностей, науки.
9.
«Чем же тогда является реальность теоретических предметов науки?»
10.
Что такое «устойчивая реальность» науки? Назовите, на основании каких
соображений Коллинз считает электричество устойчивой реальностью?
11.
Что такое квазиреализм?
12.
Как возможно то, что математика столь часто оказывается применимой к
естественному, нечеловеческому, несимволическому миру?
Почему она стала
настолько полезной в естествознании?
13.
«Абстрактная математика, рефлексивно возникающая на основе таких
операций, остается
частью
природного мира. Фактически
это эмпирическое
исследование некоторого аспекта данного природного мира, той его части, которая
состоит в коммуникативной деятельности математиков по созданию новых форм
оперирования своими же предыдущими операциями». Поясните сказанное.
14.
«Применимость
в
науке
математических
процедур
не
должна
восприниматься как нечто удивительное». Как Коллинз обосновывает эту точку
зрения?
15.
Как Коллинз объясняет, что «математика одновременно эмпирична и
концептуальна»?
98
Н.С.Розов
ПРИРОДА
"УПРЯМОЙ
РЕАЛЬНОСТИ"
В
ФИЛОСОФИИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И МАТЕМАТИКИ
ФИЛОСОФИЯ НАУКИ № 2 (10) 2001
Крупным событием философской и научной жизни на рубеже XX и XXI вв.
явилась книга Рэндалла Коллинза "Социология философий: Глобальная теория
интеллектуального изменения " [1]. В первую очередь это громадный компендиум
главных мировых философских традиций, развивавшихся на протяжении 25 столетий.
Детально
проанализированы
древнегреческая
и
эллинистическая,
древняя
и
средневековая китайская, древняя и средневековая индийская, средневековая японская,
еврейская и арабская философские традиции, европейская традиция периодов средневековья, Нового времени, ХГХ в. XX век представлен неопозитивизмом и Венским
кружком, немецкой и французской экзистенциальной философией, англо-американской
ветвью. Кроме того, развитие философского мышления показано в контексте смежных
интеллектуальных традиций богословия, оккультизма, естествознания, математики и
логики, при этом особое внимание уделено структурным факторам внешнего
социального контекста.
Главным предметом исследования являются не учения и не философы, но сети
личных связей между ними, как вертикальные (учитель — ученик), так и
горизонтальные (кружки единомышленников, соперничающие между собой). На
основе изучения множества биографических источников Коллинз выстроил несколько
десятков "сетевых карт" - схем личных знакомств между философами и учеными для
всех рассмотренных им традиций. Этими картами охвачено 2670 мыслителей.
Обширность эмпирического материала не подавляет, поскольку он осмыслен в единой
стройной теоретической схеме.
Это единство социологической теории, применяемой к разным эпохам и
культурам, следует подчеркнуть особо, поскольку оно находится в прямом
противоречии с до сих пор модным среди отечественных ученых
цивилизационным подходом, подразумевающим уникальность, несравнимость,
смысловую замкнутость каждой крупной культурной традиции (то, что Коллинз
называет "партикуляризмом").
Основные понятия теории Коллинза представим как баланс общего и особенного.
С одной стороны, везде с интеллектуалами происходит "одно и то же": идет
99
кристаллизация групп (фракций), мыслители и их группировки ищут и используют
организационные
основы,
спорят
между
собой,
что
составляет
основу
интеллектуальных ритуалов с обменом культурным капиталом и эмоциональной
энергией, формулируют интеллектуальные позиции, соперничают между собой за
пространство внимания, делятся или объединяются, заимствуют и распространяют
вовне свои идеи, комментируют классиков, переживают периоды расцвета творчества и
времена идейного застоя, образуют соответствующие интеллектуальные сети (те
самые связи личных знакомств между мыслителями), • завоевывают долговременные
интеллектуальные репутации при
условии непрерывности спора во многих
поколениях, достигают все более высоких уровней абстракции и рефлексии, развивая
космологические, метафизические, эпистемологические и другие последовательности.
С другой стороны, везде и во все времена это происходит по-разному. Уникальность
отнюдь не игнорируется, но Коллинз показывает, каким именно образом эти
неповторимые конфигурации складываются из принципиально общего состава
"ингредиентов" интеллектуального творчества.
Обратимся к проблеме реальности объектов познания, которой посвящен эпилог
книги, имеющий заглавие "Социологический реализм". Специфика позиции Коллинза
состоит в том, что он, с одной стороны, твердо и убедительно отстаивает тезис о
социальной природе всякого познания (в том числе математического и естественнонаучного), а с другой стороны, из своей версии социального конструктивизма делает не
скептические и релятивистские, но вполне реалистские выводы.
Свои рассуждения Коллинз начинает с расширенной, по сути, социологической
трактовки cogito. Утверждать "я мыслю" - значит утверждать, что существуют время,
пространство, язык, понятия с универсальными значениями, сообщество людей,
способных понимать такие высказывания. Далее, это предполагает существование
преемственности идей и аргументации, а также носителей данной преемственности уходящих в глубь времен сетей из таких людей и сообществ. От этих сетей делается
ход к существованию организаций, поддерживающих интеллектуальные сообщества
(школы, академии, монастыри, патронаж, университеты и т.д.), и остального
социального и физического мира, соразмерного человеку. Результаты такого
использования cogito практически совпадают с реализмом здравого смысла, - здесь
особенно сложных проблем Коллинз не видит. Трудности возникают при выходе за
пределы соразмерного человеку мира - в мир теоретических естественно-научных
(атомы, микрочастицы, эфир, поля, струны и т.д.) и математических объектов (числа,
геометрические фигуры, алгебраические структуры, множества).
100
В публикуемом в этом номере журнала фрагменте видно, каким образом Коллинз
пытается модифицировать свой принцип социологического cogito применительно к
объектам этих двух типов. Он отвергает наиболее привычные позиции — натурализм
(окультуренный наивный реализм) для естествознания и платонизм для математики.
Оба этих отрицания, когда они делаются не с априорно идеалистических, а с
реалистских позиций, открывают весьма любопытные эпистемологические и онтологические перспективы. В этом пространстве сам Коллинз намечает собственную
доктрину - "социологический реализм". В дальнейших рассуждениях попробуем
воспользоваться открывшимся концептуальным пространством, но не привязываться к
достаточно узкой позиции самого Коллинза.
В рамках социологического реализма, предложенного Коллинзом, реальность
объектов естествознания обосновывается через реальность соразмерных человеку
лабораторного оборудования, соответствующих надежно воспроизводимых феноменов
и интеллектуальных сетей (причем сети оборудования и сети людей как бы
паразитируют друг на друге). Реальность оборудования и работающих на нем людей
обосновывается через расширенное понимание cogito (см. выше) и через универсальность принципа in medias res (лат. "среди вещей").
Основное несогласие в таком подходе вызывает то, что предмет познания здесь
практически сводится к средству познания (сетям оборудования и людей). Примем в
качестве
предпосылки
весьма
общую
познавательную
установку
-
искать
субстанциональное в объекте, пользуясь максимально широким спектром подходов и
средств его познания, обобщая соответствующие (возможно, весьма различные)
результаты и отвлекаясь от специфики отдельных средств и подходов. Приложение
этой установки к тезису Коллинза дает два любопытных результата. Во-первых, выйти
за пределы обозначенных Коллинзом сущностей не удается: невозможно представить
себе естествознание без сетей оборудования (связанного, как минимум, в генетическую
сеть, или генеалогию, указывающую на происхождение одних приборов от других) и
без интеллектуальных сетей (людей, связанных между собой, как минимум,
отношением "учитель - ученик"). Даже чистое собирательство и наблюдение за
природой предполагают ту или иную систематизацию, которая является особым
символическим "оборудованием". Во-вторых, внесение максимального разнообразия (в
порядке мыслительного эксперимента) в сети оборудования и сети ученыхестественников оставляет одно существенное единство - некие инварианты в целях
познания и воспроизводимых феноменах. Действительно, имеет смысл сопоставлять
только те научные сообщества и сети, которые заняты изучением примерно одной
101
области (будь то небесные светила, приливы и отливы, падение тел, свойства веществ,
устройство растений или поведение животных).
Отсутствие надежно воспроизводимых феноменов указывает на практическое
отсутствие достигнутых знаний о предметной области. Оставляем для рассмотрения
только такие сообщества и сети, в которых знания существуют, а соответственно
существуют и группы воспроизводимых феноменов. Совершенно ясно, что в
независимых сетях (например, в европейском и китайском естествознании до контактов
в XVII-XVIII вв.) должны появляться разные феномены, которые получены с помощью
разного оборудования и осмысливаются в разных концептуальных кодах. Здесь
коллинзовская зависимость феноменов естествознания от сетей оборудования и от
людских сетей проявляется особенно четко. Однако анализ на этом не должен
останавливаться.
Именно
кардинальное
различие
феноменов,
получаемых
относительно одной и той же предметной области (например, человеческого организма
или небесных светил), всегда вызывает острый интерес к причинам этого различия, к
попыткам обобщения существенных черт в разных традициях и отвлечения от артефактов,
связанных с местной
культурной, символической, технологической
спецификой.
Иначе говоря, при неизбежной зависимости естественно-научного познания от
сетей оборудования и интеллектуальных сетей (ученых) кардинальную роль в проблеме
реальности объектов естествознания играет общность воспроизводимых феноменов,
выявляемая поверх специфических различий локальных сетей. Источником этой
общности и будем считать "упрямую реальность" объектов естествознания.
Здесь
обнаруживается
хорошо
известное
в
натурфилософии
глубокое
затруднение. В сердцевине любого естественно-научного открытия всегда лежат
человеческие понятия. Кроме того, в развитых областях естествознания такими
понятиями являются весьма изощренные математические конструкции, относительно
которых достоверно известно, кто и когда изобрел их самих или их ключевые
составляющие.
Поставим соответствующий и весьма традиционный для натурфилософии вопрос
так: почему внечеловеческий и беспонятийный внешний мир объектов действует
согласно человеческим понятиям? Тот же вопрос можно поставить более поэтично"
откуда Природа знает формулы собственных законов? Если она их не знает, то почему
с таким завидным постоянством эти законы в Природе выполняются?
Оставим пока эти вопросы без ответа и обратимся к самой математике, точнее, к
проблеме
онтологического
статуса
математических
объектов.
Здесь
Коллинз
102
полемизирует с платонизмом и предлагает следующее обоснование их реальности. Все
то, что происходит в математике, происходит только среди тех, кто с математикой
знаком (ход от универсальности платонизма к интеллектуальным сетям). "Вещность"
математических объектов (например, чисел, переменных, функций) иллюзорна: то, что
кажется "идеальной вещью", является лишь обозначением операции или комплекса
допустимых операций (ход от платонистской реификации к операциям, совершаемым
людьми). Далее, сами новые математические понятия и конструкции не возникают
ниоткуда, — они являются обобщениями, расширениями, свертками многих
предшествующих уровней математических операций. В корне же таких операций лежат
вполне материальные жесты, например подсчет предметов одним человеком в присутствии другого (пусть даже воображаемого другого). Такие операции социальны,
материальны и соразмерны человеку, соответственно они подпадают под действие
расширенного cogito. От реальности этого корня Коллинз ведет реальность и
последующих разветвляющихся математических миров.
Прежде чем спорить с заявленной позицией, подчеркнем ценность исходной
установки -установки на преодоление традиционного математического платонизма (от
Пифагора и Платона через Декарта, Лейбница и Канта к Фреге, Кантору и Расселу).
Суть этой широко распространенной и часто неосознаваемой установки хорошо
выражена в следующем пассаже из Н.Бурбаки: «Каковы бы ни были философские
оттенки, в которые понятие математических объектов окрашивалось у того или иного
математика или философа, имеется по крайне мере один пункт, в котором они
единодушны: это то, что эти объекты нам даны и не в нашей власти приписывать им
произвольные свойства, так же как физик не может изменить какое-либо природное
явление. Правду сказать, составной частью этих воззрений, несомненно, являются
реакции психологического порядка, в которые нам не следует углубляться, но которые
хорошо знакомы каждому математику, когда он впустую тратит силы, стараясь
поймать доказательство, беспрестанно, как ему кажется, ускользающее. Отсюда
до приравнивания этого сопротивления обстоятельствам, которые противопоставляет
нам внешний мир, - один шаг; и даже сегодня не один математик, афиширующий
непримиримый формализм, в глубине души охотно подписался бы под следующим
признанием Эрмита: "Я полагаю, что числа и функции Анализа не являются произвольным созданием нашего ума; я думаю, что они существуют вне нас с такой же
необходимостью, как и предметы объективной реальности, и мы их встречаем или
открываем и изучаем их так же, как физики, химики, или зоологи"» [2].
103
Платонистская установка, столь привычная и, вероятно, по-своему полезная для
практикующих математику, должна быть поставлена под вопрос в философии
математики
по
следующей
причине.
Математический
платонизм
заслоняет
сложнейшую онтологическую проблему специфики математических объектов и
специфики
их
пресловутого
"упрямства",
заставляющего
отвергнуть
их
рядоположенность другим объектам воображения, с которыми мы можем обращаться
произвольно. Если платонистский мир математики существует так же, как мир частиц,
волн и полей для физика, мир веществ для химика и мир животных для зоолога, то
проблем нет — просто учись входить в этот мир (читай: учись математике) и исследуй
выбранную область.
Другой сомнительной стороной математического платонизма является его плохая
совместимость с историей математики. В последней более или менее хорошо осознаны
большие этапы создания крупных частей математического знания. Платонизм же
подразумевает только обнаружение предсуществующего.
Проблема состоит в том, как вырваться из крепких объятий платонизма, не утеряв
при этом неоспоримую реальность "упрямства" математических объектов. Претензии к
версии решения этой проблемы Коллинзом ему уже высказывались: абстрагирование и
обобщение операций не означают отсутствия нового самостоятельного содержания на
новом уровне абстракции. Кроме того, математика не апеллирует к примитивным
коммуникативным операциям, каждый раз дискурс ведется на релевантном уровне
абстракции. Если бы математика основывалась на изучении коммуникативных
операций, она являлась бы одной из социальных наук, что с очевидностью неверно. К
этой критике я добавлю такое возражение: само рассуждение Коллинза базируется на
специфической предпосылке, состоящей в том, что оправдание реальности абстрактных
объектов возможно только при выведении их из социальных, материальных,
соразмерных человеку явлений. Данная предпосылка вовсе не очевидна и никак не
обоснована.
Объекты математики имеют свою "твердую", или "упрямую", реальность (в
отличие от обычных воображаемых объектов, доступных для индивидуального
произвола), поскольку их свойства и связи, а также соответствующие явления
(например, наличие или отсутствие решений задачи, доказуемость или недоказуемость
теоремы) надежно воспроизводимы в умах обученных математиков и в их общении.
Коллинзовский смысл данного тезиса заключается в жесткой привязанности
математических миров (как вместилищ соответствующих объектов) к сообществам и
сетям математиков. Такой вывод, по всей видимости, неизбежен. Далее начинается
104
расхождение. Дело не в сводимости математических объектов ко все более и более
простым и конкретным операциям, а в пределах возможного и невозможного каждой
заданной области математического мира. Эти пределы задаются в исходных понятиях,
явных и неявных аксиомах и определениях, которые вовсе не обязательно сводимы к
каким-то примитивным операциям.
Проведем
аналогию
с
шахматами.
Современные
гроссмейстеры
противопоставляют друг другу в своей игре разнообразные шахматные идеи
стратегического и тактического характера. Эти идеи имеют смысл и возможность
реализации как в широких рамках правил шахматной игры (некий аналог теории
множеств и фундаментальных логических законов в математике), так и в более узких
рамках шахматной традиции, вплоть до пространства каждой конкретной партии (аналог математической задачи). Сводить, подобно Коллинзу, содержание сложнейших
(или гениально простых - для знатоков) математических идей к операциям счета - все
равно что сводить содержание современных шахматных идей к войсковым единицам
(коннице, пехоте, офицерам), из абстрагирования и символизации которых родилась
когда-то в Индии шахматная игра. Пользуясь метафорой того же Коллинза, можно
сказать, что математика и шахматы давно вырвались из порождавших их конкретных
структур, подобно тому как воздушный шар вырывается из пут, держащих его у
поверхности земли.
Для уяснения сути "упрямства" математических объектов используем еще одну
метафору - порождаемые лабиринты. Допустим, что задание некой совокупности
объектов со свойствами, связями и правилами взаимодействия (например, правила
заполнения или незаполнения клеток в некоторой бесконечной сетке) автоматически
порождает некий невидимый лабиринт. Его можно обнаружить либо эмпирическим
путем, выявляя в каждом месте наличие или отсутствие перегородок, либо
теоретически - через оперирование исходными данными. Пока нет сообщества,
обученного правилам работы с такими лабиринтами, нет и лабиринтов. Зато обученный
человек, которому заданы порождающие лабиринт условия, сталкивается с этим
лабиринтом уже как с независимо от него существующим миром, подобным миру физика, химика или зоолога.
Почему же шахматы и шашки, карты, кости, раскладывание пасьянсов, игры в
"лабиринты" и "стратегии" считаются досужим времяпрепровождением, а математика серьезнейшей наукой, царицей наук? Дело здесь, видимо, в специфике направленности
поисков, в специфике направленности развития и интерпретируемости. В играх при
фиксированном уровне абстракции объектов и операций интерес задается либо случай-
105
ностью расклада (карты, кости, пасьянс, стохастический элемент в компьютерных
играх), либо борьбой и непредсказуемостью поведения противника (шахматы, шашки).
В математике объекты сходны с игровыми объектами в своей глубинной онтологии.
Разница же заключается в том, что в математике каждый уровень абстракции
исследуется целиком в своих обязательных аспектах (это касается и теории
вероятностей, систематически исследующей закономерности в случайных процессах), а
далее интерес обращается не на варьирование переменных при том же уровне
абстракции, а на принципиальное изменение самих исходных объектов и правил
(обычно в сторону обобщения, абстрагирования и расширения) и на исследование
обязательных аспектов нового появившегося "лабиринта" - математического мира.
Благодаря систематически растущей абстракции растут и области интерпретации
математических конструкций, что влечет за собой возможности практического
применения огромного накопленного разнообразия математических аппаратов.
Особую жесткость, цельность и красоту математическому зданию придают
систематическое накопление и эффективное использование "сверток" - краткого
обозначения сложных, ранее доказанных выводов (теорем и т.д.). Воспользуемся вновь
метафорой лабиринта. Допустим, удалось доказать, что из каждого пункта типа А
можно попасть в любой пункт типа Б менее чем за и ходов. Далее представим
лабиринт, составленный из множества ранее уже рассмотренных лабиринтов, где существуют пункты типа
АН
Б. Теперь в решении задач относительно проходимости в
большом лабиринте уже не нужно каждый раз заново рассматривать проходимость
между пунктами типа А и Б в малых лабиринтах.
Здесь просто используется свертка, смысл которой выражается примерно так: в
рамках любого малого лабиринта от любого А до любого Б требуется менее чем п
ходов. Систематическое и надежное использование таких сверток и составляет ту
самую "машинерию" математического открытия, о которой столь много говорит
Коллинз.
В данном контексте целесообразно вновь обратиться к синтетическим априорным
суждениям Канта, поскольку их существование и роль в математике для многих
философов (в том числе и для такого крупного авторитета, как Б. Рассел [3])
продолжают служить доводом в пользу платонизма. Вспомним классическое
рассуждение Канта. Число 12 аналитически не заложено в сумме 5+7. Утверждение
5+7=12 синтетично, т.е. дает расширение знания, а не просто проясняет уже
имеющееся. В то же время в отличие от эмпирических (апостериорных) суждений оно
априорно, так как, по Канту, "выражает необходимость одних только понятий" [4].
106
Ясно, что кантовская "необходимость понятий" означает примерно то же, что и
"упрямство математических объектов" в нашем рассуждении. Мы не вольны считать
сумму 5 и 7 каким-либо угодным нам числом, но с необходимостью приходим к
согласию с упрямым математическим фактом: данная сумма равна 12. Любопытно, что
Кант показывает эту необходимость буквально "по-коллинзовски": "В самом деле, беру
сначала число семь и затем, для получения понятия пяти, прибегая к помощи
созерцания пальцев своей руки, присоединяю постепенно к числу 7 с помощью этого
образа единицы, ранее взятые для составления числа 5, и таким образом вижу, как
возникает число 12" [5]. Однако совершенно ясно, что дело здесь не в способе "созерцания", а в наличии весьма сложного понятия числового ряда и его использовании
вкупе с операцией сложения. Числовой ряд - это и есть тот самый невидимый
"лабиринт", образованный порождающими правилами прибавления единицы и
десятичной системы записи чисел. Операции сложения, вычитания и прочие, на них
основанные, аналогичны "ходам" в лабиринте и "сверткам" уже проложенных "ходов".
Следует
обратить
внимание
также
на
лицо,
ведущее
счет:
это
вовсе
не
трансцендентальное "Я", не Разум и не совокупное Человечество, но представитель
(например, сам автор рассуждения - Кант) сообщества, знакомого с числовым рядом и
элементарной арифметикой, т.е. тот, кто имеет ментальный "доступ" к лабиринту.
Кантовскую "синтетичность" следует интерпретировать как нетождественность
"порождения" "включению". Исходные правила порождают числовой ряд и
соотношения между числами (в нашей метафоре - невидимый лабиринт и наличие
ходов между пунктами), но не включают в себя всю эту совокупность элементов в
качестве своих предикатов. Кантовскую "априорность" следует освободить от платонического
универсального
ограниченный
характер:
"ноуменализма"
для
и
математического
придать
мира,
ей
более
заданного
частный
и
конкретной
математической конструкцией, и для сообщества математически образованных людей,
умеющих с этой конструкцией обращаться и в этом математическом мире проводить
разрешенные операции. Тут-то и возникает закономерное и ожидаемое платоновскокантовско-расселовское возражение: как ни ограничивайте ваши миры и сообщества, а
2+2=4, 5+7=12 и т. д. всегда, везде, для всех и вообще независимо от нас - в
"настоящем" мире (идеальном, ноуменальном или реальном - выбирайте по вкусу).
В данном пункте, вместо того чтобы продолжать отстаивать социальный
конструктивизм человеческого знания вообще и математического в частности
(например, указывать на множественные системы исчисления, альтернативные
геометрии и т.д.), я пойду навстречу и задамся вопросом: чем в действительности
107
вызвано столь широкое и эффективное применение математики, почему такой
обширный круг явлений и операций успешно описывается (и даже управляется) с
помощью математической экспликации? Как видим, такого рода вопросы смыкаются с
проблемой философии естествознания, которую мы оставили нерешен-i ной: почему
естественные, независимые от человека явления Природы ] происходят в прямом или
весьма близком соответствии с законами, сформулированными людьми в человеческих
понятиях, в том числе в сложных и изощренных математических понятиях?
Вначале обратим внимание на то, что в Природе происходит далеко не все, что
способна описать математика. Далее, согласимся, что в Природе существуют какие-то
(пока неопределенные) упорядоченности, т.е. повторяющиеся явления и устойчивые
связи между ними. При отсутствии таковых (полном хаосе) ни один прибор никогда бы
не показал никаких воспроизводимых феноменов, однако такие феномены существуют.
Теперь
вопрос
переформулируется
следующим
образом:
почему
природные
упорядоченности имеют место в соответствии с отдельными понятийными (в
частности, математическими) конструкциями?
При такой постановке проблемы решение уже проясняется. Природе ничего не
нужно "знать". В ней нет ни понятий, ни истин, ни формул, ни чисел (на заметку
исследователям фундаментальных постоянных физики). В Природе есть какие-то
явления и упорядоченности явлений (с той поправкой, что в выделении и отделении
явлений друг от друга уже заключается первичная концептуализация). Все остальное,
что можно сказать о Природе, тем более является искусственным символическим
порождением интеллектуальных сообществ и сетей (с последующим "паразитическим"
наслоением лабораторного оборудования). Зато эти символические системы, особенно
концептуальные конструкции и самая точная, абстрактная и рафинированная их часть математика, в процессе развития интеллектуальных сетей стали настолько широкими и
гибкими, что оказалось возможным имитировать в упорядоченности концептуальных
миров (в том числе математических) упорядоченность явлений Природы.
Взлет экспериментального и математического естествознания, традиционно
связываемый с именами Галилея, Декарта и Ньютона, начался тогда, когда удалось
найти
такие
понятийные
объекты
формулы),
которые
математические
понятийные
же
упорядоченности,
("квазивещи")
надежно
наделенные
и
и
правила
(в
воспроизводимо
любопытным
частности,
порождают
свойством.
Оно
заключается в прямом соответствии такой концептуальной упорядоченности с упорядоченностью опять же надежно воспроизводимых явлений, получаемых с помощью
108
лабораторного оборудования и встроенной в него измерительной техники. Такую
принципиальную структуру имеет каждое действительное открытие в естествознании.
Как же теперь быть с универсальностью истин типа 2+2=4? Во-первых, следует
еще и еще раз повторить, что без операций счета и измерения, проводимых разумными
существами (возможно, с помощью приборов), никаких чисел в Природе нет. Вовторых, если в интеллектуальном сообществе появляются конструкции числового ряда
и операции над числами, то 2+2=4 действительно имеет универсальную значимость
относительно любых систем исчисления и арифметических традиций (при внимании,
обращенном на математические сущности, а не на частные знаковые системы). Втретьих, такого рода "априорные истины" прямо зависят от весьма жестких
предпосылок, которые принимает (обычно неосознанно) всякий, кто ведет счет, отдельности, устойчивости, некой эквивалентности объектов счета (попробуйте
сложить быстро смешивающиеся облака или мерцающие блики на воде). Наша вера в
надежность и универсальность истин арифметики вне самого математического мира
абстракций зиждется на действительном наличии во внешнем мире разнообразных и
обширныx областей с отдельными, устойчивыми и обладающими минимальной
эквивалентностью объектами (от звезд до деревьев, домов, людей и книжек на полке),
на относительной устойчивости значений измеряемых величин и т.д.
Итак, оказывается возможным совместить отказ от наивного реализма и
платонизма с социальной сконструированностью знания, но необязательно при этом
сводить, подобно Коллинзу, реальность объектов естествознания к лабораторному
оборудованию, а реальность математических объектов - к коммуникативным
операциям.
Выработанную
позицию
относительно
естествознания
обозначим
как
транссетевой реализм. Здесь под сетями подразумеваются долговременные сети
(генеалогии) трех коллинзовских типов: интеллектуальные сети ученых, генеалогии
оборудования
(цепи
происхождения приборов
от
других
приборов) и
сети
надстраивающихся понятий и теорий. Приставка "транс" означает здесь "сквозь":
познание Человеком Природы хотя и осуществляется при необходимом посредстве
указанных сетей, но содержание знания в конце концов задается не спецификой сетей,
а сквозь них - явлениями и порядками самой Природы. Согласно метафоре Коллинза,
мечтать о независимости познания от социальной (сетевой) сконструированное™ - все
равно что мечтать о видении без помощи глазного яблока. Все же в своем социологическом реализме Коллинз свел реальность объектов познания к его средствам, так
сказать, интерпретировал видимое глазом в терминах структур глазного яблока.
109
Транссетевой реализм, не соскальзывая к наивному реализму и платонизму,
восстанавливает реальность внешнего мира, проникающего к нам как с помощью
социальных, технических и понятийных сетей, так и сквозь них.
Совсем другая позиция требуется для понимания сущности математических
объектов. Здесь транссетевой реализм был бы равнозначен платонизму. Для
математики изложенная выше позиция должна быть обозначена скорее как
генеративный виртуализм. Здесь виртуализм указывает: а) на чисто ментальный
характер математических миров; б) на потенциал бесконечного развертывания; в) на
жесткость,
"упрямство",
отсутствие
произвольности
в
следствиях
заданных
конструкций. "Генеративный" ("порождающий", ср.: генеративная грамматика у Н.
Хомского)
означает
здесь
фундаментальную
роль
порождающих
исходных
математических понятий (с соответствующими виртуальными объектами) и правил
оперирования ими (аксиом).
Вероятно, в заявленной позиции есть свои затруднения и противоречия.
Перспективы, открытые смелым социологическим прозрением Коллинза, достаточно
широки и приглашают исследователей к новым поискам. По крайней мере, здесь была
продемонстрирована их возможность.
Примечания
1. Collins R. The sociology of philosophies: A global theory of intellectual change. Cambridge (Mass); London (England): Belknap Press of Harvard University Press, 1998.
2.. Бурбаки Н. Теория множеств. – M.: Мир, 1965. - С.317.
3. См.: Рассел Б. История западной философии: В 2 т. - М.: Мир, 1993.
4. См.: Кант И. Критика чистого разума. - М., 1994 - С 37-40
5. Там же - С.39.
Вопросы для понимания
1. Какие основные понятия вводит Р. Коллинз для исследования
интеллектуальных сетей?
2. Как в модели Коллинза задается реальность объектов естествознания?
3. Какое
понимание
реальности
математических
объектов
Коллинз
противопоставляет платонизму? Стр. 28
4. Какие аргументы против платонизма в понимании математических
объектов называет Н.С. Розов?
110
5. Признавая
представления
Коллинза
о
жесткой
привязанности
математических миров к сообществам и сетям математиков, чему в
модели Коллинза возражает Н.С. Розов?
6. В чем состоит метафора порождаемого лабиринта, предложенная Н.С.
Розовым? Как с помощью этой метафоры он объясняет отличие
математики от шахмат, шашек, пасьянсов и т.п.?
7. Как Н.С. Розов отвечает на вопрос «чем в действительности вызвано
широкое
и
эффективное
применение
математики,
…почему
естественные, независимые от человека явления Природы происходят в
прямом и весьма близком соответствии с законами, сформулированными
людьми в человеческих понятиях, в том числе математических»?
111
Л.С. Сычева
Проблема реальности математических объектов
Основное, что будет нас интересовать в данной статье – с помощью каких средств
рационально
рассматривать
вопрос
о
реальности
математических
объектов.
Многовековые споры о том, где и как существуют эти объекты, обусловил наше
обращение к другим средствам изучения этой проблемы, чем это традиционно имело
место – к сравнительно новой концепции знака и знания, предложенной в рамках
теории социальных эстафет М.А. Розовым. Математические объекты при этом
сближаются с гуманитарными, и именно такое их рассмотрение позволяет, как
представляется, наметить выход из дилеммы, сформулированной П. Бенацеррафом:
«если мы признаем математическое знание истинным, и его объекты существующими,
тогда непонятно, как мы получаем это знание, не имея чувственного контакта с этими
объектами» (Цит по 13, с. 39).
Общеизвестно, что вопрос о том, где и как существуют математические объекты,
ставится давно. Еще Платон и Аристотель обсуждали вопросы о том, что такое число,
что такое общее. Платон, как известно, противопоставлял понятия как единственно
действительные
сущности
чувственному
бытию.
В
главе
9
первой
книги
«Метафизики» Аристотель от имени всей платоновской школы говорит, что «ни один
из способов, какими мы доказываем, что эйдосы существуют, не убедителен» (1, стр.
86). Он полагает, что следует, по-видимому считать невозможным, чтобы отдельно
друг от друга «существовали сущность и то, сущность чего она есть; как могут
поэтому идеи, если они сущности вещей, существовать отдельно от них?» (1, стр.88).
«Не дается также никакого объяснения, как существует или может существовать то, что
... идет после чисел – линии, плоскости и тела, и каков их смысл» (1, стр.91).
Более подробно аргументы Аристотеля против теории самостоятельного
существования идей вообще, и математических объектов, в частности, мы уже излагали
(12). Отметим лишь, что и в наши дни воспроизводятся и воззрения Платона, и их
критика. Так, в недавно вышедшей книге В.В. Целищева «Философия математики»,
которая базируется на детальном анализе имеющейся западной литературы по
философии математики,
читаем: «Прежде всего, весьма проблематично понятие
существования в нематериальном мире, которое присуще широкому спектру
философских учений, известных под названием «идеализм». Исторически, идеализм,
как оформленное Пифагором и Платоном философское учение, мотивировался
математикой» (13, стр. 31). Автор книги ставит вопрос, в какой степени математика
112
ответственна за те неприемлемые по философским основаниям положения, которые
свойственны платонизму: «В частности, платонизм в области математики утверждает
существование другого, нематериального, мира, населенного математическими
объектами. Возникают вопросы о том, где находится этот мир, как войти в
соприкосновение с ним, как может наш язык указывать на объекты этого мира, если
они не являются чувственно воспринимаемыми объектами. Платонисты настаивают на
том, что люди имеют внечувственное осознание математических структур, называемое
часто интуицией математика, и что при помощи интуиции мы входим в контакт с
математическими сущностями». (13, с. 32-33).
Ссылаясь на Бенацеррафа, В.В. Целищев формулирует следующую дилемму:
«если
математика
представляет
собой
исследование
объективных
идеальных
сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только
чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты?» (13, с.37).
Он подчеркивает, что дилемма ставит перед нами выбор – либо отрицать, что
математика говорит о числах, либо предполагать некоторые неестественные
способности человека в отношении сбора информации. Он совершенно справедливо
признает, что обе возможности не выглядят привлекательными.
Однако зададим вопрос – почему рассматриваются только две возможности?
Почему надо безоговорочно признавать, что когнитивные способности человека
позволяют ему познавать только чувственные объекты? Почему признание чисел как
объектов исследования необходимо требует неестественных способностей человека в
отношении сбора информации? Ведь кроме естественных наук и математики есть еще
одна группа наук – гуманитарные, методы исследования которых позволяют изучать
такие «объекты», как язык (вообще тексты), литературные герои, прошлое, не
являющиеся «чувственными» объектами в полном смысле?
Подчеркнем, что В.В. Целищев совершенно прав, когда он приводит слова У.
Харта (и присоединяется к ним), что надо приветствовать переформулировку основных
положений эпистемологии математики, надо осуществить эпистемологический поворот
в философии математики
(13, с. 38).
Однако, рассматривая эпистемологические
проблемы, он снова возвращается к позиции П. Бенацеррафа, уже приведенной нами
выше, который считает, что невозможен эпистемологический доступ к математическим
объектам.
Действительно, математические объекты отличаются от растений, животных,
горных пород, которые ученые приносят в лабораторию и с которыми они вступают «в
чувственный контакт» - взвешивают, изучают форму, цвет и т.д. Однако нельзя сказать,
113
что математические объекты совершенно не даны человеку в его чувственном опыте –
человек видит математические знаки, отличает интеграл от дифференциала, одно число
от другого и т.д. Однако каждый согласится, что способы действия с математическими
объектами не определяются чувственным обликом этих объектов. Для исследования
проблем, поставленных В.В. Целищевым, воспользуемся его советом осуществить
эпистемологический поворот и обратимся к теории социальных эстафет, которую
развивает М.А. Розов (11), а также к его статьям «К методологии анализа феномена
идеального» (8) и «Способ бытия математических объектов» (7) . В последней статье
он приводит ряд соображений, цель которых - показать тесную связь названной
проблемы
с
аналогичными
фундаментальными
проблемами
современных
гуманитарных наук и замечает, что на наличие такой связи в принципе уже указывали и
сами математики (2, с. 19). Именно в сближении проблем философии математики и
гуманитарных наук, в использовании в философии математики средств для анализа
семиотических объектов гуманитарных наук, в частности, теории социальных эстафет,
мы видим эпистемологический поворот, который следует совершить, чтобы попытаться
выйти из дилеммы, сформулированной П. Бенацеррафом.
В статье «К методологии анализа феномена идеального» М.А. Розов
вводит
принцип персонификации, т.е. показывает, что отношение человека к вещи – это всегда
отношение «человек – человек»: «Можно сформулировать общий принцип, согласно
которому любое отношение человека к окружающим объектам всегда опосредовано его
отношением к другому человеку. За отношением «человек – вещь» всегда скрывается
отношение «человек – человек» в качестве исходного и определяющего. Назовем это
утверждение принципом персонификации. Каждый из нас живет в окружении многих
привычных вещей, которые он использует строго определенным образом. Может
показаться, что способ употребления, способ действия прежде всего определяется
свойствами самой вещи, что с ней просто нельзя обходиться иначе. Но это не так.
Запустите в свою квартиру стадо обезьян и вы убедитесь, что знакомые вам предметы
гораздо более полифункциональны, чем вы думали раньше. И если вы не переворачиваете свой письменный стол, не раскачиваетесь на люстре и не используете книжный
стеллаж в качестве шведской стенки, то это вовсе не потому, что названные предметы
сами не допускают столь безобразный способ их употребления. Они допускают, но это
не принято. Иными словами, ограничивают нас не вещи, а нормативные системы, в
рамках которых мы живем, т. е. другие люди. Способ действия с предметом не
вытекает непосредственно из его физических, химических и прочих свойств. Эти
свойства, конечно, ограничивают круг возможных действий, но оставляют его всегда
114
практически бесконечным. И в этом плане нет никакой существенной разницы между
письменным столом и фигурой на шахматной доске. В обоих случаях мы имеем дело с
определенным материалом, но письменный стол и ферзь – это не материал сам по себе,
а функция, которая закреплена за этим материалом и «записана» в нормативной
системе общества» (8, с. 69). Отсутствие однозначного соответствия объективных
свойств вещи и способов ее использования порождают, по М.А. Розову, в конечном
счете, феномен идеального. Он приводит слова Платона из «Государства» о геометрах
«Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их
мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы
свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для
той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое
относится и к произведениям ваяния и живописи: от них падает тень, и возможны их
отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно
видеть не иначе как мысленным взором» (5, С. 318). Работая с чертежом и строя свои
утверждения, геометр не обращает внимания на неровности линий, на то, что
диагональ проведена не до конца, и на многие другие небрежности исполнения. Этих
небрежностей для него как бы не существует. Иначе говоря, поведение геометра и его
утверждения не могут быть выведены из особенностей того объекта, с которым он
непосредственно действует, он действует как бы с чем-то других. И Платон вводит
представление об особых идеальных объектах. Основная мысль статьи М.А. Розова
следующая: «Идеальное – это феномен определенной точки зрения, определенной
позиции, точнее, это феномен неполноты выделения исследуемой системы. Стоит нам
ограничить себя анализом отношения «человек–предмет», «человек – вещь», стоит
забыть принцип персонификации, и сразу оказывается, что поведение человека не
выводимо из объективной ситуации, а иногда прямо ей противоречит. Оперируя непосредственно с конкретным, чувственно данным предметом, человек в то же время
действует как бы с чем-то другим. Видимый предмет точно одевается невидимыми
гранями, которые определяют поведение человека. Это другое и есть идеальное, ибо в
рамках выделенной системы его никак нельзя определить, кроме как через противопоставление материальной вещи. Но стоит расширить систему, раздвинуть ее
рамки, и станет ясно, что человеческое поведение детерминировано другими людьми,
обществом в целом, что оно глубоко социально по своей природе, и что феномен
идеального – это только эхо или тени, подлинные причины которых не попали в поле
нашего зрения» (8, с. 71).
115
В более поздних работах М.А. Розов различает атрибутивные свойства объектов,
т.е. такие свойства, которые вытекают из их материала, и неатрибутивные, способы
действия с которыми определяются не их материалом, а чем-то другим. Семиотические
объекты неатрибутивны, т.е. способы действия с ними определяются не их материалом,
а традициями, эстафетами, в которые включены знаки, в том числе – математические.
Рассматривая вопрос о способе бытия математических объектов, М.А. Розов
обращается к аналогии чисел и шахмат, которую использует Р.Л. Гудстейн
«...шахматный король – это одна из ролей, которую фигура играет в шахматной партии,
– роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же различные роли, которые цифры играют
в языке, это и есть числа. Арифметические правила, аналогично шахматным правилам,
формулируются в терминах дозволенных преобразований числовых знаков» (3, с. 22)
Шахматы как таковые с их правилами ходов воспроизводят себя только как
нормативная система, т. е. существуют только в рамках определенных процессовэстафет. Эти процессы есть механизм существования шахмат, способ их бытия.
Эстафеты – это способ бытия и математических объектов – делает вывод М.А. Розов:
«объекты математики такие, например, как натуральные числа,– это некоторые роли
соответствующих обозначений, которые воспроизводят себя по принципу нормативных
систем. Иными словами, математические объекты существуют как нормативные
системы. Это и есть их «устройство» или способ их бытия. Сказанное выше означает их
независимость от индивидуального человеческого сознания, ибо они в своем бытии
обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противостоят
отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем
язык. Но будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественнонаучных объектов, а вместе с культурой и по ее законам» (7, с. 30).
Представления о математике как социальной науке, развивает также Р. Коллинз в
Эпилоге своей книги «Социология философий» (4), где автор выстроил сети личных
связей между философами и учеными, как по вертикали (учитель-ученик), так и по
горизонтали (кружки единомышленников, соперничавших между собой). Сети,
которые представлены в книге, включают и математиков, ибо философы часто были и
математиками и наоборот. Кроме того, из всех научных дисциплин сообщество
математиков
функционирует
наиболее
продолжительно.
Коллинз
пишет,
что
математика социальна в двух смыслах: 1) каждый, кто причастен к математике, даже на
уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму
социального дискурса и некоторую сеть учителей и исследователей, делающих
открытия; 2) предметом математики являются операции, а не вещи. Он считает, что
116
«второй аспект еще более ярко показывает, что математика насквозь социальна» (4, с.
1120). «Операции математики социальны, начиная от элементарного уровня счета и
далее. Дело не просто в том, что мы учимся считать всегда у кого-то другого и что
умение считать широко распространено в большинстве обществ. Счет может быть
явной социальной деятельностью: я считаю эти вещи, находящиеся перед нами, я
предлагаю и вам тоже их посчитать или же согласиться с результатами моего счета,
поскольку при выполнении тех же самых процедур, вы придете к тому же заключению»
(4, с. 1121).
Коллинз специально подчеркивает, что предметом математики являются
операции, а не вещи. Математика не является областью, где исследуется, какие типы
вещей существуют в этом мире, либо в каком-то ином мире за пределами этого. Он
говорит, что легко полагать число вещью, ибо оно может считаться существительным в
предложении. Однако первоосновой числа является просто счет, а он состоит в
выполнении жестов, словесных или иных, относительно чего-либо при произнесении
последовательности «1, 2, 3 …», число изначально является деятельностью (или
операцией)
перечисления.
Предлагая
понимание
математических
объектов,
существенно отличающееся от традиционного, Коллинз приводит объяснение того, что
устоявшийся в течение долгого времени взгляд на математику как на царство
платонистских идеалов ошибочен. Один аргумент - объекты математики должны быть
идеальными, поскольку доказываемые в них истины о геометрических фигурах
относятся к идеальным окружностям и прямым, а не к несовершенным линиям,
начерченным на песке. Другой – числа – это не вещи, наблюдаемые нами в мире,
поскольку именно с помощью чисел мы можем вещи перечислять. «В обеих линиях
аргументации делается одинаковая ошибка: допускается, что реальность должна
состоять либо из субстантивных вещей, либо из самостоятельных идей. Однако
математические объекты не являются ни теми, ни другими, они суть символы действий
– операций математического дискурса. Универсалии и идеалы – это деятельность
социального дискурса, и они столь же реальны, сколь реален этот дискурс. Иными
словами, они столь же реальны, сколь реален обыденный, соразмерный человеку мир
действия. Нет нужды приписывать их какому-то иному миру» (4, с. 1123).
Апелляция Коллинза к миру человеческих действий при анализе вопроса о
сущности математических объектов, к человеческому общению, к сетям коммуникаций
созвучна и мнению Гудстейна (число – это роль, которую играет соответствующая
цифра), и представлениям Розова, во-первых, в некоем глобальном смысле – что
решение вопроса, где и как существуют объекты математики, нужно искать в области
117
гуманитарного познания,
а во-вторых, совпадает и конкретное видение сути
математических объектов – а именно тот и другой автор видит эту суть в
коммуникациях между людьми. Коллинз называет это сетями, Розов – эстафетами.
Однако есть и различие. М.А. Розов различает непосредственные эстафеты,
которые являются воспроизведением образцов, находящихся в поле восприятия
человека, и опосредованные – заданные описанием транслируемого действия. Суть
теории социальных эстафет состоит именно в утверждении о том, что в основе всей
Культуры, прежде всего языка, простейших (основных) производственных действий
лежит
непосредственное
воспроизведение
опыта.
Впоследствии
наряду
с
непосредственными образцами, определяющими действия человека, появляются и
правила, однако обычно человек, владеющий языком, может и не знать правил (а
говорить при этом верно), да и все правила невозможно сформулировать. Все это
перекликается с идеями неявного знания М. Полани. Существенно, что в эстафетах
М.А. Розов выделяет, во-первых, транслируемое содержание, и, во-вторых, собственно
эстафету – от кого кому происходит передача образца (способа действия). Коллинз
описывает сети передачи опыта, но не говорит о содержании того, что идет по сетям. В
этом смысле сети математиков ничем по типу не будут отличаться от сетей историков
или кого-то еще. Теория же социальных эстафет позволяет поставить вопросы о
появлении опосредованных эстафет, о формулировании норм (грамматических, правил
в математике и т.д.), а также о том, все ли правила выявлены в каждом случае. Обычно
выявлены не все правила языка, правила математических рассуждений и т.д. Иначе
говоря, даже после выявления некоторых правил, еще остается существенной роль
образцов рассуждений. Возникает вопрос о стационарности эстафет, который М.А.
Розов решает, обращаясь к социальному контексту. Каждый предмет, который мы както называем, похож в том или ином отношении на остальные – по цвету, по форме,
материалу или чем-то еще. Но человеку, которому указали на предмет и назвали его
«пепельницей», уже известна таблица цветов, известны формы и т.д. Иначе говоря,
человек имеет дело не с изолированными образцами, а с множеством взаимосвязанных
образцов. «Именно социальный контекст и ограничивает наши степени свободы.
Стационарность нормативных систем – это социальный, а не биологический феномен и
если быть точным, то можно говорить только об относительной стационарности» (7, с.
23).
Воспользуемся еще одним понятием – понятием социальный куматоид. Это
некоторое устройство социальной памяти, для которого характерно наличие
инвариантов – программ, в рамках которых организуется деятельность большого числа
118
людей. Программы – это инварианты, а люди все время меняются, представляя собой
некий поток, некий постоянно обновляющий себя материал, программы же остаются
неизменными. Программы могут представлять собой четко сформулированные и
записанные инструкции или неявное знание, которое передается от человека к человеку
путем воспроизведения непосредственных образцов, т.е. путем эстафет.
Любое слово, любой математический объект – это куматоиды. Представив
математический объект как куматоид, можно сформулировать программу его
исследования, а именно – можно поставить задачу выяснить, какая программа связана с
каждым из объектов, как эта программа складывалась, сформулированы ли, например,
правила действия с числами, или люди действуют по образцам, что изменяется тогда,
когда появляются правила.
Так, в статье Ю.В. Пушкарева (6) проанализирована
история формирования понятия интеграл. Возникновение метода интегрирования
связывают с именем Архимеда, который предложил формулу вычисления объема шара
новым методом. Пушкарев показал, как происходил переход от представлений об
интегралах как средствах вычисления площадей и объемов к анализу их как
полноправных объектов математики, которые интересны и важны сами по себе, а не
только как средства решения задач механики (в работах Ньютона) или астрономии (у
Кеплера). В статье исследована роль рефлексивных преобразований в становлении
интегрального исчисления, роль программно-предметных комплексов дисциплин в
возникновении математического анализа, значение ценностных установок в этом
процессе. Все эти вопросы важны для изучения механизмов новаций в математике и
сформулированы в рамках эстафетной модели науки (11, гл. 4). Так выполненный
анализ формирования и видоизменения математического знания вполне отвечает
вполне определенной эпистемологической ориентации, о необходимости которой
говорит В. В. Целищев: «Среди хаоса мнений и предположений о том, в какой степени
математика связана с философией, следует найти какой-то порядок, который смог бы
дать точку опоры в будущей философии математики, если ей суждено выжить. На мой
взгляд, таковой является эпистемологическая ориентация на вопросы математического
познания, а не на традиционные вопросы о природе математических объектов и
математической истины» (13, с. 48). Фактически В.В. Целищев считает, что надо
перейти от обсуждения сугубо философских вопросов, касающихся математики, таких,
которые с неизбежностью всегда будут порождать споры в силу самой природы
философии, для которой характерно наличие точек произвольного выбора (9), к
изучению эпистемологической специфики математики, фактически приближающейся
по характеру работы к научной дисциплине, многие утверждения которой могут быть
119
верифицированы или фальсифицированы фактами истории науки, или, говоря словами
И. Лакатоса, когда история науки выступает как пробный камень методологии науки.
Эстафетная модель науки, предложенная М.А. Розовым как развитие модели науки Т.
Куна
(10)
предоставляет
богатые
возможности
такой
эпистемологической
переориентации.
Литература
1.
Аристотель. Метафизика. Соч. Т. 1. М., 1976.
2.
Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965.
3.
Гудстейн Р. Л. Математическая логика. М., 1961, с. 22.
4.
Коллинз Р. Философия социологий. Новосибирск, Сибирский хронограф.
5.
Платон. Государство. Соч. Т3(1). М., 19
6.
Пушкарев Ю.В. Становление интегрального исчисления как новой
2002.
реальности в математике // Гносеологический анализ представлений о реальности в
науке. Новосибирск, НГУ. 2004.
7.
Розов М.А. Способ бытия математических объектов // Методологические
проблемы развития и применения математики. Сборник научных трудов. М., 1985. С.
20–26.
8.
Розов
М.А.
К
методологии
анализа
феномена
идеального
//
Методологические проблемы науки. Новосибирск, НГУ, 1981.
9.
Розов М.А. Философия и проблема свободы человека // Философская
культура личности и научно-технический прогресс. Новосибирск, НГУ, 1987.
10.
Розов М.А. К построению модели науки // На теневой стороне.
Материалы к истории семинара м.А. Розова по эпистемологии и философии науки в
Новосибирском Академгородке. Новосибирск, 2004.
11.
Степин В.С., Горохов В.Г., Розов М.А. Философия науки и техники. М.,
12.
Сычева Л.С. Представления о реальности в древнегреческой и
1995.
средневековой философии // Гносеологический анализ представлений о реальности в
науке. Новосибирск, НГУ. 2004.
13.
Целищев В.В. Философия математики. Новосибирск, «Наука». 2002.
120
Вопросы
1. Согласны ли Вы с тем, что для ответа на вопрос, где и как существуют
математические объекты, можно попробовать сближать это объекты не с
объектами естествознания, а с объектами гуманитарных наук?
2. Какие представления об идеальном развивает М.А. Розов? (можно
воспользоваться его статьей: Розов М.А. К методологии анализа
феномена идеального // Философия. Материалы для выполнения учебных
заданий по философии. Новосибирск, 2003, стр. 109-114).
3. Стремясь познать суть математических объектов, Р. Коллинз апеллирует
к миру человеческих действий, М.А. Розов – к социальным эстафетам. В
чем сходство и различие их подходов?
4. Что
такое
социальный
куматоид?
Что
дает
для
понимания
математических объектов представление их как куматоидов?
5. Что такое эпистемологический поворот в философии математики?
121
Формирование нового знания в математике
В данном разделе две статьи. Первая из них – статья А.А. Григоряна посвящена
анализу социокультурных и метафизических запретов в развитии математики.
Григорян использует идеи известного французского математика А. Гротендика и
показывает,
что
возникновению
нового
в
математике
часто
препятствуют
метафизические представления, которые запрещают тот или иной вид исследования.
Автор анализирует три высказывания Аристотеля: «О случайном не может быть знания
через доказательство», «Актуально-бесконечного не существует», «Математические
науки чужды движению, за исключением тех, которые относятся к астрономии»,
которые характеризовали социокультурный контекст развития греческой математики, в
рамках которой не могли возникнуть такие теории, как теория вероятностей, анализ
бесконечно малых и теория геометрических преобразований на плоскости и в
пространстве, хотя соответствующий уровень развития математики (математической
техники) и имевшиеся проблемы делали возникновение упомянутых теорий вполне
вероятным.
Вторая статья – М.Ю. Веркутиса посвящена анализу возникновения новых
объектов исследования в математике в условиях неведения, т.е. когда ученые вообще
не имели представлений о возможности таких объектов, как группы, неевклидова
геометрия. Они при этом решали традиционные задачи (разрешимость уравнений выше
пятой степени в радикалах, доказательство пятого постулата Евклида) и в ходе этой
деятельности
«натолкнулись»
на
новые
объекты.
В
случае
возникновения
представлений о группах Галуа ввел группы в качестве средства для отбора тех
уравнений, которые все же разрешимы в радикалах.
Открытие Лобачевским
неевклидовой геометрии – более сложный случай, но в каждом из них существенную
роль играют рефлексивные преобразования деятельности – перенос центра тяжести с
решения исходной задачи на тот результат, который получился непреднамеренно. В
работе Лобачевского осознание того, что в конечном итоге ими была решена не
исходная задача, а совсем другая – играет решающую роль в создании новой
геометрии.
122
Григорян А. А.
Социокультурные и метафизические круги и их преодоление в развитии
математики
Стили в математике: социокультурная философия математики. Под ред.
Барабашева А.Г. Санкт-Петербург, РХГИ, 1999. с.353-374.
Несколько лет назад, выступая на одном из заседаний Всероссийского семинара
по
философии
математики,
я
говорил
о
«социокультурных
запретах»,
препятствовавших возникновению математических теорий на тех или иных этапах
развития математики. В качестве примера приводились три высказывания Аристотеля:
«О случайном не может быть знания через доказательство», «Актуально-бесконечного
не существует», «Математические науки чужды движению, за исключением тех,
которые относятся к астрономии». Я утверждал, что эти слова характеризуют тот
социокультурный (и/ или, метафизический) контекст развития греческой математики, в
рамках которой не могли возникнуть такие теории как теория вероятностей, анализ
бесконечно малых и теория геометрических преобразований на плоскости и в
пространстве, хотя соответствующий уровень развития математики (математической
техники) и имевшиеся проблемы делали возникновение упомянутых теорий вполне
вероятным. Речь разумеется не шла о том, что философия в лице Аристотеля
«запрещала» возникновение математических теорий, на самом деле Аристотель лишь
констатировал
сложившийся
социокультурный
контекст
развития
математики,
признававшийся, по всей видимости, и теми учеными, которые будучи математикамипрофессионалами стояли достаточно далеко от метафизических дискуссий того
времени. Однако само выражение «социокультурные запреты» вызвало достаточно
резкие возражения вследствие предполагаемой им жестко детерминированной
взаимосвязи
между
социокультурным
контекстом
и
фактическим
развитием
математики. Эти возражения показались мне в достаточной мере справедливыми по
двум причинам. Во-первых, существуют историко-математические факты (например,
математическая деятельность Демокрита), которые свидетельствуют о том, что
«социокультурные запреты» не обладают непререкаемым авторитетом, и, во-вторых,
преодоление социокультурных ограничений часто бывает обусловлено не столько
изменениями
социокультурного
контекста,
сколько
существенно
внутриматематическими причинами.
Более подходящим термином (или более удачной метафорой) в контексте этих
размышлений
представляется
понятие
«круга»
(социокультурного
и/или
123
метафизического), введенное выдающимся французским математиком А. Гротендиком
в его философско-математическом эссе «Урожаи и посевы. Размышления о прошлом
математика». Остановимся на его идеях несколько подробнее.
По мнению Гротендика, большинство математиков ограничивают себя жесткими
понятийными рамками, затворившись во Вселенной, обустроенной раз и навсегда, а
именно в том универсуме, который они нашли тогда, когда принимались за свои
научные изыскания.
Получив в наследство
большой, красиво обустроенный
математический дом со всеми удобствами, гостиными, кухнями, мастерскими и
общедоступными инструментами, они и не задумываются, почему и как были задуманы
и изготовлены инструменты, которыми они пользуются, почему комнаты размещены и
благоустроены так, а не иначе (1). При этом Гротендик замечает, что подобная
ситуация не является специфичной лишь для математики. С подобным положением дел
можно столкнуться в любой из сфер человеческой деятельности с незапамятных
времен.
Но существуют математики, к числу которых Гротендик (и, надо сказать, не без
оснований) относит и себя самого, чьим призванием является беспрестанная жажда
строительства новых домов. И как бы прекрасно и гармонично не были устроены
имеющиеся вселенные, этим ученым претит дальнейшее благоустройство построенных
трудами предшественников (или даже ими самими) математических дворцов, они
стремятся к открытию новых, непривычных миров. К такого типа математикам
Гротендик относит прежде всего Галуа, Римана и Гильберта. Среди своих
современников Гротендик причисляет к их числу одного из своих учителей Ж. Лере.
Говоря о математиках, не принадлежащих к числу избранных, Гротендик
отмечает, что им часто удавалось получать значительные, порой очень красивые
результаты, однако эти результаты находились в рамках уже завершенного контекста.
Эти ученые, не подозревая о том, так и остались узниками «кругов невидимых и
властных», установленных в качестве своеобразных границ для математической
Вселенной в данную эпоху и в данной среде. Они и не помышляли о том, чтобы
затронуть эти границы. Для того чтобы переступить их, считает Гротендик, ученый
должен был бы вновь обрести дарованную ему при рождении способность быть одному
(2). Другими словами, способность самостоятельно анализировать проблемы, не
доверяя вербально или по умолчанию общепринятым представлениям, способность не
становиться добровольным узником тех кругов, которые в каждую эпоху ограничивают
горизонт творчества. В процессе познания Вселенной (в том числе и ее
«математического среза»), утверждает Гротендик, только невинность, и ничто другое,
124
наделяет нас реформаторской властью. Это та первоначальная невинность, которая
дана человеку от рождения, которая порой неявно обитает в каждом из нас, являясь
зачастую объектом нашего же презрения и тайного страха. Одна лишь невинность, по
убеждению Гротендика, объединяет смирение и смелость, благодаря которым человек
оказывается способным проникнуть в суть «вещей», и, с другой стороны, проникнуться
ими, впустив их внутрь себя. Эта власть (а отнюдь не особый «дар», подобный
исключительной способности рассудка усваивать и управляться легко и ловко с огромной массой известных идей, технических приемов и фактов, а также и не
честолюбие, поддержанное непреклонной волей к успеху) позволяет перешагнуть
«круги невидимые, но властные», ограничивающие наш творческий горизонт. Это
преодоление часто не вполне осознается именно благодаря осуществляющей его
невинности.
Но какова природа этих кругов, о которых говорит французский математик?
Отмечая наиболее важные темы своего математического творчества, Гротендик
заявляет, что каждая из них является воплощением единого широкого видения, которое
может быть обозначено как новая геометрия. «Новизна» этой геометрии заключается в
обеспечении синтеза двух миров, до ее появления хотя и тесно взаимосвязанных друг с
другом, но все же отдельных, различных: мира «арифметического» и мира
непрерывных величин. В «новой геометрии» эти два мира, некогда отдельные,
сливаются в один, сметая существовавшие ранее границы. При этом идею топоса,
стоящую в центре «новой геометрии», Гротендик рассматривает как свидетельство
фундаментального изменения наших представлений о пространстве. Дело в том, что до
появления понятия топоса (конец 50-х годов) эволюция представлений о пространстве
происходила в рамках природы самой непрерывности. И лишь идея топоса охватила в
общетопологической интуиции как традиционные топологические пространства,
олицетворяющие
мир
непрерывных
величин
вместе
с
многообразиями
(«пространствами») абстрактной алгебраической геометрии, так и бесконечное
множество структур другой природы, до тех пор считавшихся принадлежащими миру
арифметическому («дискретные» или «разрывные» системы). Показательно, что
Гротендик сравнивает появление новой геометрии с возникновением теории
относительности Эйнштейна прежде всего потому, что обе концепции демонстрируют
фундаментальное изменение наших представлений о пространстве (соответственно о
«математическом» и «физическом» пространстве), а также из-за того, что эти
концепции
охватывают
в
едином
видении
множество
ситуаций,
ранее
воспринимавшихся совершенно изолированно друг от друга. Продолжая сравнение с
125
развитием современной физики, Гротендик указывает на квантовую механику, в
которой материальная точка классической физики уступает место «вероятностному
облаку», что символизирует еще более, чем у Эйнштейна, фундаментальное изменение
самого способа восприятия явлений. Другими словами, круги, ограничивающие
горизонт мышления ученого и преодолеваемые учеными-первооткрывателями, имеют
преимущественно метафизическую природу (представления о пространстве, времени и
т.п.). Кроме того, очень часто можно говорить об укорененности этих метафизических
представлений в социокультурном контексте развития науки.
Следует отметить, что выявление социокультурных и метафизических кругов и
анализ процесса их преодоления в развитии науки затруднены настолько, насколько
близко находится исследователь к рассматриваемому им фрагменту истории науки. И
это не является удивительным, ведь мы сами зачастую являемся пленниками
предрассудков, унаследованных от не столь отдаленных времен, что, разумеется, не
способствует адекватному их выявлению и характеризации. Поэтому вернемся к
анализу ситуаций, упомянутых в начале данной статьи.
Круг № 1: «О случайном не может быть знания через доказательство», или
почему теория вероятностей не возникла вплоть до XVII в.
В историко-математической литературе является общепринятым связывать
возникновение теории вероятностей как науки со второй половиной XVII века. При
этом считается, что исходным пунктом развития теории послужила переписка между
двумя выдающимися математиками Нового времени Ферма и Паскалем. Эта переписка
относится к 1654 г. и содержит главным образом решение задач на разделение ставки,
связанных с рядом азартных игр.
В письмах, впервые опубликованных в Тулузе в 1697 г., как Паскаль, так и Ферма
неявным образом пользовались такими фундаментальными теоретико-вероятностными
представлениями, как зависимость и независимость событий, теоремами сложения и
умножения вероятностей (не определяя еще самого понятия «вероятность»). Было
введено также и такое важное понятие будущей теории вероятностей, как
математическое ожидание случайного события (в данном случае выигрыша в игре).
Еще до опубликования этих писем, примерно в 1656—1657 гг., Гюйгенс,
узнавший о том, что такие корифеи новой математики, как Ферма и Паскаль, серьезно
заняты задачей на разделение ставки, подключился к этим исследованиям и в 1657 г.
опубликовал работу «О расчетах в азартной игре» — первое увидевшее свет сочинение
126
по теории вероятностей. В предисловии к этому изданию можно прочитать следующие
примечательные строки: «Чем более трудной является задача определения при помощи
рассуждений того, что кажется неопределенным и подчинено случаю, тем более наука,
которая достигает результата, представляется удивительной. Во всяком случае, я полагаю, что при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не
только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой
теории (курсив мой. —А. Г.)» (3). Значение этой небольшой работы Гюйгенса трудно
переоценить. И не случайно, что первая часть работы Я. Бернулли «Искусство
предположений», появление которой знаменует окончательное становление новой
теории, представляет собой перепечатку и тщательный комментарий упомянутой
работы Гюйгенса.
Таковы вкратце историко-научные факты, из которых следует вывод о том, что
становление теории вероятностей как науки происходило во второй половине XVII в.
(основные теоретико-вероятностные результаты были получены Я. Бернулли в 90-х гг.
XVII столетия) (4). В связи с этими фактами интересно было бы разобраться в таком
вопросе: является ли возникновение математической науки о случайном именно в XVII
в. «случайным событием»? Правомерность этого вопроса обусловлена, с одной
стороны, достаточно высоким уровнем развития математики в античности, а с другой
стороны, имеющимися сведениями о распространенности как в античности, так и
позднее, азартных игр, послуживших в XVII в. источником первых теоретико-вероятностных проблем. Можно ли предположить, что, сумей какой-либо любитель азартных
игр в античности (вроде вошедшего в историю теории вероятностей кавалера де Мере)
привлечь внимание крупных математиков своего времени к задачам на разделение
ставки, то наука о случайном могла бы возникнуть намного раньше, чем это произошло
на самом деле? Подобное предположение нельзя отметать с порога и потому, что для
античности характерно пристальное внимание к проблемам необходимости и
случайности, возможности и действительности.
Одним
из
первых
философов
античности,
рассмотревших
проблему
необходимого и случайного был Демокрит. Следует отметить, что реконструкция его
позиции затруднена ввиду большого количества зачастую противоречивых сведений
поздних авторов, которые характеризуют точку зрения Демокрита по этой проблеме.
Уже само по себе такое многообразие мнений говорит о том, что проблема случайного
отнюдь не относилась к маргинальным проблемам античной философии.
Проблема необходимости и случайности занимает одно из центральных мест в
философской системе Аристотеля. Философ предваряет изложение своей точки зрения
127
обзором мнений предшественников и современников. «Некоторые сомневаются,
существует случай или нет. Они утверждают, что ничего не происходит случайно, но
что есть некоторая определенная причина для всего того, относительно чего мы
говорим, что оно произошло спонтанно и случайно... Но и вот что удивительно: многое
и происходит и существует случайно и спонтанно; эти мудрецы хорошо знают, что
каждое [из этих событий] можно свести к какой-нибудь причине возникновения, как
говорит древняя теория, отрицающая случай, и тем не менее часть [этих событий], по
мнению всех людей, происходит случайно, а часть — неслучайно» (5). Примечательно,
что здесь Аристотель считает своим долгом соотнести точку зрения философов со
здравым смыслом — «мнением всех людей». И не случайно, что точка зрения самого
Аристотеля в снятом виде включает в себя «философию здравого смысла».
«Уничтожение случая, - пишет Аристотель, — влечет за собой нелепые последствия.
Есть многое, что совершается не по необходимости, а случайно... Если в явлениях нет
случая, но все существует и возникает из необходимости, тогда не пришлось бы ни
совещаться, ни действовать для того, чтобы, если поступить так, было одно, а если
иначе, то не было этого» (6). Подобная взвешенная точка зрения, признающая как
необходимость, так и случайность, вряд ли преобладала в античности. Большинство
античных мыслителей скорее были бы солидарны со Стобеем, утверждавшим, что
«люди измыслили идол [образ] случая, чтобы пользоваться им как предлогом,
прикрывающим их собственную нерассудительность» (7). Демокриту приписывается
тождественное по смыслу высказывание: «Люди сотворили себе кумир из случая как
прикрытие для присущего им недомыслия» (8).
В целом философско-методологические представления, так или иначе связанные с
теоретико-вероятностными рассуждениями, их значимостью и статусом, можно
разделить на три большие группы. Первая гpyппa представлений — назовем их
онтологическими — отвечает на вопросы о природе случайного, его месте в структуре
реальности, о взаимоотношении случайного и необходимого. Вторая группа
представлений
отвечает
на
вопросы
теоретико-познавательного
характера
(гносеологические представления). (Возможно ли, и если да, то при каких условиях
достижение абсолютно достоверного знания? Имеет ли ценность для науки и
философии знание, не обладающее абсолютной достоверностью? Каков статус так
называемого вероятного знания?) Третья группа представлений — методологические
представленная — связаны с характеризацией самой теории вероятностей, выявлением
ее места в системе научного знания, определением ее предмета, критериев истинности
теоретико-вероятностных утверждений и т. п.
128
Можно
показать,
что
отличия
гносеологических
представлений,
господствовавших в античности, от возникших в рамках философии и науки Нового
времени, позволяют понять причины как отсутствия науки о случайном в античности (и
средневековье), так и ее возникновения и бурного развития в ХVII—ХVIII вв.
Для античной философской традиции характерна принципиальная дихотомия
между знанием (episteme) и мнением (doxa). При этом под знанием понималась система
абсолютно достоверных (истинных) утверждений, доказанных по образцу евклидовой
геометрии (с соблюдением требований евклидовой строгости — утверждения
выводятся из очевидных аксиом). Достижение достоверного знания, описывающего ту
или иную область материи или духа, объявлялось единственной целью науки. За
рассуждениями
же,
которые
не
удовлетворяли
критериям
доказательства
геометрического типа, не признавали статуса научности. Выводы, связанные с
подобными рассуждениями, относили к разряду мнения. Согласно Аристотелю, «предмет знания и знание отличаются от предмета мнения и от мнения, ибо знание
направлено на общее и основывается на необходимых [положениях]; необходимое же
есть то, что не может быть иначе. Многое же, хотя и истинно и существует, но может
быть иным. Ясно поэтому, что о нем нет науки» (9).
Очевидно,
что
в
рамках
такой
гносеологической
позиции
невозможно
представить себе возникновение науки о случайном, ибо оно не есть то, «что не может
быть иначе». Это справедливо даже в том случае, если случайности придается статус
объективного существования, что, как мы видели, имеет место у Аристотеля.
Именно Аристотель, как никто другой, убеждает нас в том, что в условиях
господства античных гносеологических представлений о достоверности знания,
становление теории вероятностей как науки было невозможным. Признание
объективности случая не могло навести Аристотеля на мысль о необходимости науки о
случайном потому, что он резко «противопоставил логику истины, свойственную
теоретическому знанию, логике вероятного и правдоподобного, присущей случайным
спорам и обыденной практике» (10). «О случайном или преходящем, — писал
Стагирит, — нет знания через доказательство... Если случайное... не есть ни то, что
бывает большей частью, ни необходимое, то для него не может быть доказательства»
(11).
Средневековая европейская философия, основывавшаяся на
переработанной
существования
концепции
знания,
не
Аристотеля,
также
обладающего
чертами
не
допускала
абсолютной
теологически
возможности
достоверности,
завершенности, окончательности. Соответственно этому и в Средние века случайность,
129
вероятность не стали объектом научного исследования, несмотря на то, что в трудах
схоластов нашли место интересные философские рассуждения о природе случайного.
Любопытно, что в Средние века (начиная с X—XI вв.) в связи с распространением
азартных игр, с использованием игральных костей в различных рукописях встречаются
подсчеты количества различных исходов при их бросании. Более того, в 1494 г. в
Венеции был издан труд Луки Пачоли (1445 — ок. 1514г.) — «Сумма знаний по
арифметике,
геометрии,
отношениям
и
пропорциональности»,
в
котором
рассматриваются, в частности, задачи о справедливом разделе ставки между двумя
игроками, когда игра прервана до того, как один из играющих выиграл определенное
число партий или очков согласно условиям игры. Однако в отличие от Паскаля и
Ферма, рассматривавших подобные задачи в XVII в., Пачоли пытался решать их без
использования вероятностных соображений (позднее предложенные им решения были
признаны неверными) (12).
Таким образом, задачи, решение которых в XVII в. привело к возникновению
теории вероятностей, в условиях отсутствия соответствующих гносеологических
предпосылок не сыграли той роли, которую им предстояло сыграть позднее. Более
того,
гносеологический
пласт
философско-методологических
представлений
о
случайном лишь препятствовал возникновению науки о случайном — теории
вероятностей.
Но за счет чего был преодолен этот круг? Как показывает анализ, прежде всего
вследствие
вполне
определенных
социокультурных
и
соответствующих
им
метафизических метаморфоз.
«Новый Органон» Бэкона в качестве новой гносеологической позиции,
противостоящей перипатетизму, не снимал противопоставления «знание — мнение» в
аристотелевском смысле. Однако у Бэкона нет пропасти между episteme и doxa.
Напротив, достижение абсолютно достоверного знания «форм» связывается Бэконом с
постепенным преобразованием данных опыта из области мнения в сферу знания
посредством разработанных им процедур индуктивного метода. Исследовательская
программа Бэкона стала программой созданного в 1660 г. Лондонского королевского
общества.
Однако на пути реализации указанной программы члены Королевского общества
столкнулись со значительными трудностями. Исследовательская практика навязывала
убеждение в том, что максимально достижимый результат в опытном естествознании
— это хорошо обоснованная гипотеза. В дальнейшем эта гипотеза может уточняться за
счет привлечения новых фактов, степень ее обоснованности может повышаться, при
130
этом, однако, никогда не достигая уровня достоверности в аристотелевском смысле. Из
этой ситуации может быть два выхода: устремиться по пути, указанному скептиками; и
воздержаться от научных суждений или переосмыслить само понятие достоверности.
Члены Королевского общества выбирают второй путь.
Надо отметить, что на становление вероятностных аспектов гносеологии членов
Королевского общества существенное влияние оказали философско-методологические
воззрения Декарта (13). В свете принципиальных отличий декартовского рационализма
от английского эмпиризма сам факт упомянутого влияния как нельзя лучше
характеризует торжество вероятностной гносеологии XVII — начала XVIII вв.
Согласно Декарту, абсолютно достоверное знание возможно лишь о том, что
полностью подчинено сознанию. Это — знание, удовлетворяющее критериям ясности и
отчетливости для разума и ограниченное пределами математики (в частности,
созданной Декартом аналитической геометрии) и метафизическими истинами типа
cogito ergo sum. Физический мир, однако, недоступен для абсолютно достоверного
познания. Физическое познание, убежден Декарт, — это сфера более или менее
вероятных гипотез, следствия из которых должны согласовываться с опытом, хотя
последнее не гарантирует их абсолютной истинности. Предельно достижимый уровень
достоверного
в
сфере
опытного
естествознания
—
это
уровень
моральной
достоверности, «достаточный для того, чтобы управлять нашими нравами при равной
достоверности вещей, в которых мы обычно не сомневаемся, касательно правил нашего
поведения, хотя и знаем, что в смысле абсолютном эти правила могут быть и неверны»
(14). Любопытно, что Р. Бойль, находившийся под влиянием идей декартовского
гипотетизма, полагал, что моральная достоверность достижима на пути согласования
или соединения нескольких вероятных суждений (15).
Проблемы сравнения гипотез по их большей или меньшей вероятности, оценки
вероятности гипотезы, полученной на основе соединения или согласования двух иди
нескольких вероятных гипотез, численной оценки вероятности морально достоверной
гипотезы, поставленные в связи со становлением новой, вероятностной гносеологии,
настоятельно
требовали
создания,
с
одной
стороны,
соответствующего
математического аппарата для необходимых вычислений, и, с другой стороны,
построения основ новой, вероятностной логики научного познания. Необходимость
создания вероятностной логики вскоре была зафиксирована Лейбницем, также
испытавшим существенное влияние картезианства. «Я уже не раз говорил, — писал
Лейбниц в «Новых опытах о человеческом разумении...», — что нужен новый раздел
логики, который занимался бы степенями вероятности, так как Аристотель в своей
131
«Топике» ничего не дал по этому вопросу» (16).
Таким образом, для создания вероятностной логики оказалось необходимым
возникновение математической науки об «оценке случайностей», или исчисления
(теории) вероятностей. При этом просто и ясно сформулированные и в то же время
достаточно содержательные (в свете целей исчисления вероятностей) задачи, связанные
с азартными играми, стали стартовыми проблемами для становления новой теории.
Отметим, что вероятностный круг был абсолютно невидим для античных
математиков, они не осознавали в этом отношении какого-либо запрета или
ограничения, препятствующего их научным исследованиям. Это справедливо потому,
что данный круг носил исключительно внешний относительно математики характер.
Социокультурные основания теоретического знания античности предопределили
невозможность появления не только каких-либо вероятностных понятий, но и вообще
каких-либо
научных
проблем,
при
решении
которых
такие понятия
могли
понадобиться. Другими словами, ни одному из античных математиков и в голову не
могло прийти рассматривать какую-либо проблему, включающую какие-либо аспекты
понятия «случайного». Естественно, что преодоление этого круга произошло без какихлибо сверхусилий со стороны математиков. Более того, становление вероятностной
гносеологии Нового времени, её укорененность в социокультурном контексте
теоретического знания существенным образом подталкивало математиков к разработке
необходимого математического аппарата для создания казавшейся крайне необходимой
вероятностной логики.
Круг № 2: «Математические науки чужды движению, за исключением тех,
которые относятся к астрономии»
За этими словами Стагирита стоит более фундаментальное представление, если
угодно более фундаментальный метафизический круг, существенно ограничивавший
античное математическое мышление. Речь идет о признании фундаментальных
различий
физического
и
математического
существования,
физического
и
математического мышления. Физические объекты могут изменяться (в частности,
находиться в движении), оставаясь при этом самими собой, математические же
объекты существуют в дискретном пространстве состояний, более точно, каждый из
математических объектов тождественен своему единственному и уникальному
состоянию, которое в принципе не может быть подвержено какому-либо изменению.
(17) Ясно, что никакого представления о переменной величине любой природы
132
(арифметической или геометрической) в античности просто не могло возникнуть.
Кроме того, несмотря на наличие собственно математических предпосылок вряд ли
возможно
было
преобразований
возникновение
(движений).
чего-то
Греческие
подобного
математики
теории
знали
геометрических
о
возможности
доказательства теорем с помощью движения и наложения (вспомним хотя бы про
теоремы, доказанные Фалесом). Движения и наложения использовались даже в
«Началах», однако можно вполне определенно утверждать, что Евклид старается
избегать этого там, где это только возможно. И хотя с современной точки зрения
решение проблемы об удвоении куба Архитом Тарентским с помощью так называемых
«механических приспособлений» (а на самом деле с помощью представлений о
непрерывном преобразовании геометрических объектов) является вполне приемлемым,
греческие математики в большинстве своем были на стороне Платона, высмеивавшего
подобные доказательства, отказывая им в принадлежности к математике. Здесь следует
отметить, что данный круг, по-видимому, не имел значения для доплатоновской (может
быть, допифагорейской) математики. Но затем, несмотря на его чисто метафизическую
природу, он стал осознаваться математиками как один из аспектов требований
строгости математических рассуждений, отступление от которых являлось крайне
нежелательным. Таким образом, в отличие от вероятностного круга, круг № 2 оказался
укорененным в математике, что обусловило значительные трудности в процессе его
преодоления. В свете сказанного, на основании чисто умозрительных соображений
можно встать на точку зрения тех историков науки, которые отрицают факт существования так называемой «античной геометрической алгебры». Построение алгебры
предполагает представление о возможности преобразования (трансляции) одних
величин в другие. Но круг № 2 отрицал такую возможность для математических
величин. Появление же алгебры в рамках «арабской» математической традиции
следует
объяснять,
социокультурным
по-видимому,
контекстом
принципиально
(данная
проблема
иным
метафизическим
заслуживает
специального
и
и
тщательного исследования).
Другой характерный пример. Со времени открытия Менехма античные
математики понимали, что при пересечении конуса плоскостями под различными
углами наклона последовательно появляются все конические сечения. Однако это не
могло служить основанием для объединения данных кривых в один род. В своем
трактате о конических сечениях Апполоний, стараясь давать единые доказательства
ряда общих свойств (разумеется далеко не всех) конических сечений, пользуется
соображениями, связанными с так называемым «методом площадей», а не с
133
представлениями о преобразовании этих геометрических образов друг в друга.(3десь,
разумеется стоит упомянуть и о третьем круге античной математики («Актуально
бесконечного не существует»), о которым будет идти речь ниже. Не случайно Харди,
говоря о проективной геометрии Дезарга, отмечал что она знаменует первое в истории
введение актуальной бесконечности в математику. Ведь именно введение бесконечно
удаленных точек и прямых позволили Дезаргу говорить о непрерывном изменении
геометрических образов, возникающих при пересечении конуса плоскостью под
разными углами наклона.)
Оборотной стороной данного метафизического круга был принципиально
качественный характер физики Аристотеля. Поскольку «математические науки чужды
движению», движение не может быть описано с использованием математики (небесные
движения занимают особое, уникальное положение, поэтому для астрономии греческая
наука делает исключение).
Преодоление данного круга (в европейской математической традиции) начинается
в позднем средневековье с попыток сближения математического и физического
существования.
Я
имею
в
виду
прежде
всего
философско-математическую
деятельность мыслителей Оксфордского и Парижского университетов. Именно в
Оксфорде Р. Гроссетест и Р. Бэкон впервые в Средние века настаивают на
необходимости математизации знания, при этом существенно отходя от античной
(пифагорейско-платоновской) традиции, выдвигая принципиальной важности идею
количественной
структуризации
античных натурфилософских представлений
о
движении. В том же направлении развиваются исследования и в Сорбонне.
«Английские (Т. Брадвардин, Р. Суайнсхед и др.), а также французские (особенно Н.
Орем) ученые XIV в., — отмечал А. П. Юшкевич, — предпринимают смелую попытку
подвергнуть с помощью инфинитезимальных идей квантификации квалитативную в
своей основе натурфилософию перипатетиков. Прежде всего - и это оказалось особенно
важным для дальнейшего — по новому осмысливаются те разделы «Физики»
Аристотеля, в которых рассматриваются соотношения между силой и движением,
силой и сопротивлением; иными словами перестраивается перипатетическая механика;
вслед за тем математическому рассмотрению подвергаются любые виды изменения
непрерывных, а частью и кусочно-разрывных измеримых величин или, в терминологии
перипатетиков, интенсификации — усиления и ремиссии — ослабления всякого рода
«форм» или качеств — теплоты, цвета и т.д., но также доброты, греховности и т.п., переменная интенсивность которых зависит от их экстенсивности — распределения
интенсивностей на конечных или бесконечных интервалах в пространстве либо
134
времени. К категории форм относится и простейшее механическое движение, т.е.
пространственное
преодолевают
перемещение» (18).
пропасть,
лежащую
Таким
между
образом,
средневековые
математикой
и
ученые
естествознанием,
преодолевают круг, во власти которого находилось античное мышление. Математика в
их представлении не описывает лишь мир вечных и неизменных чисел и
геометрических форм, а также и небесных движений, она способна внести свой вклад в
понимание закономерностей «форм» изменяющихся. Иными словами, в новом
социокультурном контексте математика низвергается с пьедестала «вечности», уступая
место теологии, толкующей о действительно вечном и абсолютном. От этого, с одной
стороны,
выигрывает
естествознание,
разумеется
не
сразу,
но
предпосылки
математического естествознания складываются уже тогда, достаточно упомянуть, что в
Оксфорде и Париже «формируется идея о переменности — течении (fluxus) величин, о
мгновенных скорости и ускорении, для которых вводятся соответствующие, даже
латинские, термины и в совершенно отвлеченном, не связанном с физикой плане,
доказывается основной закон и другие свойства равномерно ускоренного движения»
(19). И, с другой стороны, что для нас особенно важно, допуск в математику
представлений об изменении, движении способствует преодолению кругов невидимых,
но властных, препятствовавших самой возможности появления математики, имеющей
дело с изменяющимися, перетекающими друг в друга переменными величинами.
Преодоление
метафизических
представлений,
принципиально
разводящих
математическое и естественнонаучное (механическое и физическое) мышление,
приводит в конце концов к становлению эмпиристской философии математики,
ставшей краеугольным камнем нового метафизического круга, долгое время препятствовавшего, в частности, появлению и признанию неевклидовых геометрий. В то же
время радикальный отказ от эмпиристской философии математики привел к
образованию очередного круга, в рамках которого современная математика находится
и поныне.
Здесь следует указать на принципиальные различия в преодолении кругов,
доставшихся в наследство от античности (круги № 1 и № 2) и «эмпиристского»
метафизического круга. В первых двух случаях именно изменения социокультурного и
метафизического контекста (процесс, происходивший независимо от развития
математики) освобождали математическое мышление от невидимых, но властных
ограничений. Эмпиристские же запреты преодолеваются изнутри самой математики,
вследствие, в частности, построения интерпретаций непривычных неевклидовых
образов на евклидовых объектах, а также понимания того, что новые математические
135
образы оказываются чрезвычайно полезными при решении математических проблем,
возникших независимо от новых понятий и концепций. То же самое происходило (и
происходит сейчас) когда антиэмпиристский круг местами рвался под натиском
математического
физическими
мышления,
изобретательно,
соображениями.
Правда,
как
но
незаконно
правило,
пользовавшегося
строгие
приверженцы
математической нравственности восстанавливали статус кво (вспомним, например
деятельность
ученика
Вейерштрасса
Шварца,
давшего
строгое
обоснование
незаконнорожденному «принципу Дирихле», а также обобщенные функции Дирака и
Хевисайда, получившие вскоре после своего появления законный математический
статус). Сам факт поиска таких оправданий свидетельствует о прагматизме
математиков нового и новейшего времени, принципиально чуждом математикам
античности (достаточно сравнить осторожные высказывания Архимеда по поводу
квадрирования криволинейных фигур и прагматизм ученых, отраженный в словах
Даламбера по поводу нестрогих инфинитезимальных методов: «Идите вперед,
уверенность
придет
потом!»).
И
даже
в
период
полного
преобладания
антиэмпиристской философии математики, использование официально запретных
способов рассуждения в математике не прекращается. Более того, в последние годы Э.
Виттен с помощью интегралов Фейнмана совершенно удивительным образом находит
новые инварианты для трехмерных многообразий и т.д. Безусловно, в будущем
интегралы Фейнмана будут формализованы, но сейчас их использование требует
огромной физической интуиции и опыта. Ю. И. Манин пишет по этому поводу: «В
предыстории интегрального исчисления важное место занимает замечательный труд
Кеплера «Стереометрия винных бочек». Интегралы, выражающие объемы тел
вращения, полезных в народном хозяйстве, были вычислены в этой работе до
появления общего определения интеграла. Математическая теория великолепных
интегралов Фейнмана, которые физики пишут в огромных количествах, все еще не
далеко ушла от стереометрии винных бочек. С точки зрения математики, каждое такое
вычисление есть заодно определение того, что «вычисляется», либо построением текста
в формальном языке, грамматика которого заранее не описана. В процессе таких
вычислений физик спокойно делит или умножает на бесконечности (точнее, на нечто,
что если бы оно было определено, оказалось бы бесконечным); суммирует бесконечные
ряды бесконечностей, предполагая при этом, что 2—3 члена ряда дают хорошее
приближение ко всему ряду, и вообще живет в царстве свободы, нарушая все
«моральные нормы» (20). Нo можно ли в таком случае утверждать, что статус
социокультурных и метафизических кругов, начиная со второй половины XIX века,
136
радикально изменился? Можно ли сказать, что они потеряли былую жесткость и
непререкаемость в глазах математического сообщества? Для того, чтобы прояснить эту
ситуацию обратимся к третьему из указанных в начале статьи кругов.
Круг № 3: «Актуально бесконечного не существует»
Аксиома Евдокса об «архимедовых» величинах («Говорят, что величины имеют
отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга» (21))
предназначена не только для легализации отношений между несоизмеримыми
отрезками, но также и для того, чтобы исключить из математики как актуально
бесконечно малые, так и бесконечно большие величины. Таким образом, в лице
Евдокса, греческая математика сознательно ограничивает множество объектов,
оперирование с которыми является допустимым. Другими словами, данный круг
возникает изнутри математики в качестве средства, позволявшего застраховаться от
парадоксов бесконечного, (возможность появления которых для греческих математиков
стала очевидной в свете апорий Зенона Элейского. Одними из наиболее интересных
объектов, оставшихся за границами этого круга, были роговидные углы. Поскольку
роговидные углы (например, угол, образованный окружностью и касательной к ней)
меньше любого, сколь угодно малого прямолинейного угла, постольку они оказались
под запретом, несмотря на то, что греческим математикам были известны ряд их
свойств. Особенность данного круга как раз и состоит в его совершенно отчетливой
осознанности математиками-профессионалами, что вело к использованию «запретных
объектов» и связанных с ними рассуждений в качестве эвристического средства
получения новых результатов. Подчеркнем, что истинность полученных «незаконным»
путем результатов не подвергалась сомнению. Доказательство в этих случаях было
равносильно соблюдению необходимых формальностей, поскольку оперирование (не
только в качестве эвристического средства, но и в контексте обоснования) актуально
бесконечно малыми (неделимыми), впервые имевшее место в «любительских», с точки
зрения математика-профессионала, работах Демокрита считалось признаком дурного
тона. При этом статус инфинитезимальных рассуждений оценивался выше тех, которые
основывались на «механических» аналогиях, поскольку выход за пределы круга № 3 не
выводил за пределы математики (в отличие от выхода за пределы круга № 2), хотя мог
признаваться допустимым лишь в контексте открытия новых фактов, но никак не в
контексте их обоснования. Заметим, что круг № 3, сформировавшийся, как уже было
отмечено изнутри математики (в отличие от круга № 2, имевшего метафизическую
137
природу
и
круга
№
1,
сформированного
сочетанием
метафизических
и
социокультурных предпосылок (?!)), прекрасно вписывался в социокультурный
контекст развития античной математики и, разумеется подпитывался этим контекстом.
Это очень хорошо известно, и наиболее ярко, хотя и далеко не всегда корректно об
этом писал О. Шпенглер. Однако изменение социокультурного контекста отнюдь не
вело автоматически к преодолению этого круга в развитии математики (как это было с
«вероятностным» кругом). «Я протестую..., — писал Гаусс Шумахеру, — против
пользования бесконечною величиною как завершенною, что в математике никогда не
позволено. Бесконечность есть лишь некий fa on de parler [способ выражаться], причем
в действительности имеют в виду границы, к которым определенные отношения
подходят как угодно близко, в то время как другим запрещается расти без
ограничения» (22). О глубокой укорененности в математике инфинитезимального круга
(особенно той его части, которая относится к актуально бесконечно малым),
существовавшего в течение достаточно долгого периода времени практически
независимо от изменений, происходивших в социокультурном и метафизическом
контексте развития математики, очень красноречиво свидетельствуют колебания
Галилея, которыми он делится как в своих опубликованных работах, так и в письмах к
своему знаменитому ученику Кавальери. Как считает П. П. Гайденко, и с ней, повидимому; следует согласиться, Галилей фактически пользуется представлением об
актуально бесконечно малых в своей механике. Так, говоря о причине сопротивляемости некоторых материалов разрыву, Галилей упоминает о мельчайших пустотах,
замечая, что «хотя эти пустоты имеют ничтожную величину и, следовательно,
сопротивление каждой из них легко превозмогаемо, но неисчерпаемость их количества
неисчислимо увеличивает их сопротивляемость» (23). Как не без оснований считает П.
П. Гайденко, «неисчислимость количества ничтожно малых пустот — это в сущности
бесконечное множество бесконечно малых, можно сказать пустот, а можно сказать, сил
сопротивления. Потом окажется, что этот метод суммирования бесконечно малых —
неважно чего: моментов времени, частей пространства, моментов движения и т. д. —
является универсальным и необычайно плодотворным инструментом мышления» (24).
Говоря о новых возможностях, открывающихся перед мышлением, принимающем
понятие актуально бесконечно малого (он не просто говорит о возможностях
применения этого понятия, но реализует эти возможности, вводя, например, понятие о
мгновенной скорости), Галилей осознает парадоксальность природы неделимых. Это
приводит его к колебаниям относительно вопроса о возможности допущения актуально
бесконечно малых (неделимых) в математику. И хотя в «Беседах о математических
138
доказательствах» Галилей не отрицает этой возможности, позднее, когда Кавальери
создает свою геометрию неделимых, он высказывается против представлений своего
ученика. «Хотя письмо Галилея к Кавальери и не сохранилось, но по некоторым
высказываниям самого Галилея и по ответу Кавальери на письмо Галилея можно
судить о том, что именно понятие суммы бесконечно малых Галилей считал
теоретически несостоятельным» (25). И действительно, признавая, что в целом
философия науки Галилея бесконечно далека от представлений Аристотеля, Галилей,
подобно Стагириту, настаивает на необходимости для математиков оставаться в рамках
инфинитезимального круга. «Бесконечность, — писал Галилей в одной из своих работ,
— должна быть вовсе исключена из математических рассуждений, так как при
переходе к бесконечности количественное изменение переходит в качественное,
подобно тому, как если мы будем самой тонкой пилой... размельчать тело, то как бы
мелки ни были опилки... каждая частица имеет известную величину, но при
бесконечном размельчении получится уже не порошок, а жидкость, нечто качественно
новое, причем отдельные частицы вовсе исчезнут» (26). Одним из доводов Галилея
против признания актуально бесконечно малых в математике было его убеждение в
том, что различные бесконечные множества не могут находиться между собой в какомлибо из отношений (равенства, больше, меньше), ибо это приводит к неустранимым
парадоксам. Но для Кавальери, стоящего перед проблемами нахождения площадей и
объемов, эта парадоксальность неделимых постулируется и закрепляется в качестве
основополагающего положения. «Я решился признать тот факт, — отвечал на письмо
Галилея Кавальери, — что одно бесконечное может быть больше другого, за прочнейшее основание геометрии» (27). Таким образом, пользуясь парадоксальным
представлением об актуально бесконечно малом в механике, Галилей не соглашался с
подобным прагматическим компромиссом в математической концепции Кавальери.
Даже Кантор (в конце XIX в. (!)) подчеркивал, что к идее введения актуальной
бесконечности в математику он пришел почти против своей воли, вступая в конфликт с
ценными для него традициями. Изучая свойства тригонометрических рядов, он
обнаружил, что понятия предельной точки и иррациональных чисел требуют введения
и использования совершенно новых и непривычных представлений—так он пришел к
общему понятию и классификации бесконечных множеств (вновь «прагматические»
соображения являются существенным фактором преодоления ограничений!). Именно
укорененностью «инфинитезимального» круга в самой математике (относительно
независимо от социокультурного контекста) можно объяснить не только длительный
период игнорирования идей проективной геометрии (от пионерских работ Дезарга и
139
Паскаля в XVII в. до появившихся лишь в XIX веке работ Понселе), но и насколько
чрезвычайно яростную, настолько и ничем логически не обоснованную атаку самого
Кантора на ученых, пытавшихся ввести в математику актуально бесконечно малые
величины.
В
письме
Виванти
от
13
декабря
1893
г.
он
называет
их
«инфинитезимальными бациллами холеры в математике», бумажными величинами, не
обладающими «никаким другим существованием, кроме как на бумаге, исписанной их
открывателями и приверженцами» (28), добавляя, что место этих величин — в корзине
для бумаг. Более того, основываясь на теории порядковых чисел, Кантор пытался
доказать, что актуально бесконечно малые не могут существовать в принципе. Об
абсолютной нелогичности этой деятельности Кантора свидетельствуют следующие
слова
Цермело:
«Несуществование
«актуально
бесконечно
малых
величин»
недоказуемо в той же мере, как и несуществование канторовских трансфинитов, и в
обоих случаях ошибочное умозаключение одно и то же; оно состоит в том, что новым
величинам приписываются некоторые, не могущие быть присущими им, свойства
обычных «конечных величин» (29). Любопытно, что сам Кантор задолго до Цермело,
используя практически те же аргументы убедительно показывал тщетность попыток
доказательства невозможности существования актуально бесконечных чисел, не
замечая, что эти же доводы показывают тщетность его собственных усилий
относительно доказательства абсурдности актуально бесконечно малых. «Все так
называемые доказательства абсурдности актуально бесконечных чисел ошибочны, —
писал Кантор, — как может быть показано в каждом отдельном случае и вытекает так
же из общих соображений. Причина заключается главным образом в том, что в этих
доказательствах стоящим под вопросом числам заранее приписываются, а точнее —
навязываются все свойства конечных чисел, в то время как, наоборот, бесконечные
числа, если они вообще мыслимы в какой-либо форме, вследствие их противоположности конечным числам должны образовать совершенно новый род чисел,
строение которого целиком зависит от природы вещей и является предметом
исследования, но не нашего произвола или нашей предубежденности» (30). К чести
Кантора следует отметить, что позднее (о чем свидетельствует сравнительно недавно
обнаруженное письмо к Лассвицу) он «отказался от категоричности своего прежнего
мнения и допустил возможность того, что в дальнейшем исследователям удастся дать
строгое определение бесконечно малых величин» (31). Однако вряд ли обосновано
предположение, что это мнение Кантора, будь оно высказано в одной из его печатных
работ, нашло бы поддержку, достаточную для признания концепций, появившихся в
конце XIX века, о которых в первой четверти XX века известный историк математики
140
Г. Вилейтнер счел необходимым заметить следующее: «И действительно, Веронезе (G.
Veronese) в 1894 г. ...построил вполне последовательную систему бесконечно малых
величин различных порядков. Еще раньше этого (Гальфен, Halphen, 1877), бесконечно
малые различных порядков элементы кривой с успехом применялись в теории особых
точек алгебраических кривых. Однако дух времени не благоприятствовал, да и сейчас
не благоприятствует такого рода исследованиям (выделено мною.
- А. Г.)» (32).
Пытаясь объяснить факт непризнания упомянутых концепций, Вилейтнер отмечает:
«Причина лежит в том, что математика, начиная с Вейерштрасса (1860 г.) стала на путь
все
усиливавшейся
«арифметизации».
Иными
словами,
она
отказывается
от
геометрической наглядности и во имя полной строгости заковывает себя в логически
безупречную арифметическую форму» (33). Несомненно, факт арифметизации анализа,
а также стремление ученых оставаться в рамках строгости, заданной эталонными
работами Вейерштрасса, трудно переоценить. Однако нельзя не отметить, что введение
в математику актуально бесконечно малых сдерживал тот самый круг № 3
(«инфинитезимальный круг»), который был настолько глубоко укоренен в самой
математике, что даже изменение социокультурного и метафизического контекстов не
означало его автоматического преодоления (как это было с «вероятностным кругом»,
имевшим внешние по отношению к математике характер и происхождение). Как уже
отмечалось, его частичное преодоление в работах Кантора было обусловлено прежде
всего прагматическими соображениями (настоятельной необходимостью введения
общего понятия и классификации бесконечных множеств в связи с его исследованиями
тригонометрических рядов). Заметим здесь же, что у Кантора были схоластические
предшественники,
рассуждавшие
о
равенстве
или
неравенстве
бесконечных
последовательностей, причем равенство фактически определялось через взаимно
однозначное соответствие. При этом все они придерживались представления о числе
как совокупности единиц. Именно это представление подпитывало формирование
инфинитезимального круга в античности, и средневековые ученые, естественно,
разделяли его. Но определяющим для них было убеждение в самопротиворечивости
актуальной бесконечности. Поэтому опыт установления взаимно однозначных
соответствий, выявление способности бесконечных множеств стоять во взаимно
однозначном соответствии со своим подмножеством использовалось средневековыми
мыслителями в качестве еще одного подтверждения этого фундаментального
убеждения. В частности, Дунс Скот отмечал, что если рассматривать отрезок как
актуально бесконечную
совокупность
его составляющих
точек, то
придется
согласиться с равенством таких, например, отрезков, как сторона и диагональ квадрата,
141
что, по его мнению, абсурдно. Подобные примеры приводит в своем трактате о
континууме и Брадвардин, отмечая, что представление о континууме, составленном из
неделимых (т. е. из точек) приводит к неразрешимым парадоксам. В отличие от своих
схоластических предшественников, перед Кантором стояли конкретные математические проблемы, необходимость решения которых толкала его к выходу за пределы
привычных представлений. Поэтому он использует известные схоластам конструкции
не
для
демонстрации
констатации
самопротиворечивости
необходимых
ему
свойств
актуально
актуально
бесконечного,
бесконечных
а
для
множеств.
Последующие метафизические и методологические обоснования законности операций
с актуально бесконечными объектами выглядят у Кантора скорее лишь как ad hoc
аргументы, что косвенно подтверждается упомянутым фактом резкого неприятия
создателем наивной теории множеств актуально бесконечно малых величин. И лишь с
появлением нестандартного анализа А. Робинсона (60-е годы XX века) начался процесс
окончательного преодоления инфинитезимального круга, связанный с достижением
полной уверенности в том, что средствами нестандартного анализа можно получить все
теоремы, справедливые в рамках классического анализа, нисколько не нарушая при
этом общепринятых норм строгости математических доказательств. Как известно, А.
Робинсон,
используя
достижения
современной
математической
логики
и
в
значительной мере созданной им самим теории моделей, построил свой нестандартный
анализ на основе введения системы гипердействительных чисел, включающих в себя
«стандартные» действительные числа и актуально бесконечно малые, которые
определяются у него в духе Лейбница. А именно: положительное бесконечно малое
есть число, которое меньше любого действительного числа, но больше нуля, а
отрицательное бесконечно малое — это число, большее любого отрицательного
действительного числа, но меньшее нуля. В то время как математики XVII—Х1Х вв.
считали, что поскольку актуально бесконечно малые не удовлетворяют аксиоме
Архимеда и, следовательно, не могут быть приняты как полноправные математические
объекты, Робинсон сознательно поставил себя вне рамок инфинитезимального круга,
обретя, пользуясь метафорой Гротендика, первоначальную невинность, наделившую
его реформаторской властью. При этом Робинсон исходил из того, что хотя, в отличие
от эпсилон-дельта формализма, интуитивные представления Лейбница, братьев
Бернулли и Эйлера не получили в свое время строгого обоснования, полученные ими
на основе этих представлений результаты выдержали испытание временем. И не
случайно, что сам Робинсон рассматривал свою деятельность не только как
продолжающую традиции инфинитезималистов
XVII—XIX вв., но даже как
142
оправдание и объяснение их представлений и методов. Важно и то, что
непосредственно в процессе разработки нестандартного анализа Робинсон не
преследовал каких либо прагматических целей, т.е. не имел в виду необходимость
решения тех или иных конкретных математических проблем. Более того, создается
впечатление, что работая над созданием теории моделей, Робинсон уже имел
программу преодоления инфинитезимального круга, возникшую во многом в процессе
тщательного изучения истории классического анализа (первые самостоятельные научные результаты были получены Робинсоном в области гидро- и аэродинамики) (34).
Несомненно, что преодоление данного круга облегчалось для Робинсона тем, что его
укорененность в математике не подпитывалась социокультурным или метафизическим
контекстами развития математики. Более того, формалистская философия математики,
на позиции которой Робинсон перешел (будучи ранее платоником) в процессе
разработки нестандартного анализа стимулирует подобные исследования. Тем не
менее, наличие жесткой критики
нестандартного анализа как
«формального
ухищрения» и «унижения смысла» (35). намекает на существование других кругов,
невидимых, но властных, которые ограничивают горизонт современной математики,
подобно тому, как это происходило практически на всех предшествующих этапах ее
развития (36).
Примечания
1 См.: ГротендикА. Урожаи и посевы. Размышления о прошлом математика. М.,
1995. Выпуск 0. С. 29.
2 См.: Там же. С. 22.
3 Цит. по: Майстров Л. Е. Развитие понятие вероятности. М., 1980. С. 56.
4 См.: Юшкевич А. П. Биография Я. Бернулли // Бернулли Я. О законе больших
чисел. М., 1986. С. 157.
5 Лурье С. Я. Демокрит. Л., 1970. С. 213—214.
6 Материалисты Древней Греции / Под общ. ред. М. А. Дынника. М., 1955. С. 70.
7 Там же. С. 69.
8 Лурье С Я. Демокрит. С. 216.
9 Аристотель. Соч.: В 4 т. М., 1978. Т. 2. С. 312.
10 Вернан Ж.-П. Происхождение древнегреческой мысли. М., 1988. С. 69.
11. Аристотель. Соч.: В 4 т. Т. 2. С. 308—309.
12 См.: Майстров Л, Е. Развитие понятия вероятности. С. 28—29.
13 См: Lauden L. The clock methaphor and probabilism: The impact of Decartes in
English methodological thought. 1650—1665 // Annals of science. N. Y. L., 1966. Vol. 22. P.
143
93—104.
14. Декарт Р. Избранные произведения. М., 1950. С. 541.
15 Подробнее о становлении вероятностной гносеологии Нового времени см.
обзор Л. М. Косаревой (Вероятностная концепция естественнонаучного знания в
гносеологии XVII века // Современные исследования по истории и методологии науки.
М., 1987).
16. Лейбниц Г. В. Соч.: В 4 т. М., 1983. Т. 2. С. 479.
17 Я полагаю, что это представление разделяли работающие математики
античности, которые вряд ли вдавались в более изощренные метафизические
различения того же Аристотеля или Платона.
18 Юшкевич А. П. Математика и ее история в ретроспективе // Закономерности
развития современной математики: методологические аспекты. М., 1987. С. 61—62.
19 Там же. 6. 62.
20 Манин Ю. И. Математика и физика. М., 1980. С. 59.
21 Евклид. Начала. М.— Л., 1948. С. 142.
22 Цит. по: Пуркерт В., Ильгаудс Х. И. Георг Кантор. Харьков, 1991. С. 31.
23 Галилей. Избранные труды: В 2 т. М., 1964. Т. 2. С. 131.
22 Гайденко П. П. Эволюция понятия науки (XVII—XVIII вв.) М., 1980. С. 73.
25 Там же. С. 135.
26 Цит. по: Кавалъери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи
неделимых непрерывного. М.—Л., 1940. С- 37.
27 Цит. по: Там же. С. 46.
28 Цит. по: Там же. С. 67.
29 Цит. по: Там же. С. 67—68.
30 Цит. по: Там же. С. 67.
31 Пуркерт В., Йлъгаудс X. И. Георг Кантор. С. 68.
32 Вилейтнер Г. Как рождалась современная математика. М.—Л., 1927. С. 109.
33 Там же. С. 109— 110.
34 Е. А. Зайцев заметил, что потребность в строгом обосновании операций с
актуально бесконечно малыми величинами достаточно естественна для ученого,
имеющего богатый опыт исследований в области гидро- и аэродинамики.
35 Bishop Erret. The crisis in contemporary mathematics // Historia mathe-matica.
1975. № 2. P. 513—514.
,
36 В настоящей статье метафора «круга» использовалась для обоснования
«ограничительного» характера социокультурного и метафизического контекстов
144
развития математики. Разумеется, значение этого контекста не сводится к налагаемым
им ограничениям. Однако для характеризации его конструктивной роли, возможно,
лучше использовать куновское понятие «парадигмы». Впрочем, сам Т. Кун, насколько
мне известно, не применял это понятие для описания развития математики.
КОММЕНТАРИИ
В. Я. Перминов
А. А Григорян, на мой взгляд, дал нам пример правильного подхода к анализу
социокультурного влияния на развитие науки. Когда пытаются доказать, что аксиомы
логики или арифметики зависят от типа культуры, то это, конечно, чепуха и
дискредитация самой идеи социокультурного влияния, ибо ничего подобного быть не
может. А. А. Григорян выявляет те стороны научного прогресса, которые
действительно зависят от социокультурного контекста. Мы видим, что появление
новых научных понятий и теорий связано с мировоззренческим фоном и существенно
ограничивается им. Такого рода факты важны для философии науки, и против такого
рода социокультурного анализа науки нельзя возражать.
Но автор, к сожалению, прекращает анализ там, где он становится действительно
интересным в философском плане. Изложение в своей основе сводится к анализу
фактов. Но мы, очевидно, нуждаемся в их объяснении. Как возникают эти
«метафизические» круги и как они разрушаются? В статье есть только отдельные
намеки на объяснение, но серьезного теоретического подхода нет. Идут ли эти
метафизические ограничения от самой науки (можно допустить, к примеру, что
древние греки ограничили себя идеей конечной величины просто потому, что не дошли
еще до определений и алгоритмов, связанных с бесконечными множествами), или они
идут от философских представлений о мире, господствующих в данную эпоху, или они
порождаются непосредственно некоторыми сторонами общественной практики. В этом
важно разобраться, так как главная задача философии состоит не в констатации
исторических фактов, а в их объяснении. Это было бы интересным и потому, что здесь,
как
мне
кажется,
намечается
путь
к
исследованию
реального
механизма
взаимодействия метафизики и науки в истории науки, о котором мы имеем до сих пор
довольно смутное представление.
Вопросы для понимания
1.
Что понимает А.А. Гротендик под невидимыми, но властными кругами,
ограничивающими деятельность многих математиков?
2.
Когда возникло математическое изучение случайного?
145
3.
Какие взгляды на случайность характерны для древнегреческой философии?
4.
Согласны ли Вы с тем, что философско-методологические представления о
случайном препятствовали возникновению науки о случайном – теории
вероятностей?
5.
Какие социокультурные и метафизические метаморфозы способствовали, по
мнению А.А. Григоряна, преодолению этого круга в Новое время?
6.
Почему А.А. Григорян считает, что этот круг был абсолютно невидимым для
античных математиков, внешним?
7.
Что делает второй круг, рассмотренный Григоряном («Математические
науки чужды движению, за исключением тех, которые относятся к
астрономии») более фундаментальным, существенно ограничивающим
античное математическое мышление?
8.
Каким образом средневековые ученые преодолевают пропасть, лежащую
между математикой и естествознанием, а, следовательно, «круг», во
власти которого находилось античное мышление?
9.
Что такое эмпиристская философия математики, которая стала краеугольным
камнем
нового
метафизического
круга,
долгое
время
препятствовавшего, в частности, признанию неевклидовых геометрий?
10.
В чем Григорян видит принципиальные различия в преодолении кругов,
доставшихся от античности, и «эмпиристского» метафизического
круга?
11.
Дайте характеристику третьего круга, который рассматривается в статье, как
внутреннего.
12.
Каковы
отношения
между
осознанным
запретом
математиков
на
использование актуально бесконечно малых и больших величин и
использованием этих «запретных объектов» как эвристических средств
получения новых результатов?
13.
Что
свидетельствует
о
глубокой
укорененности
в
математике
инфинитезимального круга (в частности, актуально бесконечно малых)
и как он преодолевался?
14.
Покажите, что изменение социокультурного и метафизического контекстов
не вело к автоматическому преодолению этого круга, как это было с
«вероятностным кругом». Рассмотрите в этом контексте нестандартный
анализ Робинсона.
146
М.Ю. Веркутис
РЕФЛЕКСИВНАЯ СИММЕТРИЯ КАК МЕХАНИЗМ НОВАЦИЙ В НАУКЕ В
УСЛОВИЯХ НЕВЕДЕНИЯ
Науковедение 2002, №3, стр. 136-146.
В
литературе,
посвящённой
жизни
и
творчеству
Николая
Ивановича
Лобачевского, нередко можно встретить характеристики его как “Коперника”, или как
“Колумба” геометрии (1, с. 111). Выдающийся знаток научного наследия Лобачевского
В.Ф. Каган даже вполне аргументировано доказывал, что Лобачевский для геометрии –
это больше, чем Коперник для астрономии (2, с. 58 - 59). Как бы то ни было, но
первооткрыватели неевклидовой геометрии, - Гаусс, Бойяи и Лобачевский - отлично
сознавали, что они столкнулись в своём творчестве с целым новым миром, к которому
никто до них не проложил путей. “Из ничего я создал целый мир”, - писал Янош Бойяи
своему отцу. Но как создаются, открываются новые миры в математике? Можно ли
здесь говорить о некоторой ситуационной логике, логике открытия в смысле Пойя,
Поппера и Лакатоса?
Для ответа на этот вопрос обратимся к различению незнания и неведения, которое
проводит М.А. Розов (3, с. 116 – 118). Незнание – это движение учёного в рамках
проблемного поля, заданного прошлыми достижениями, когда переход к новому
знанию можно представить как ответ на вопросы, характер которых определяется тем
или иным уровнем развития данной науки. Вопросы фиксируют область незнания.
Ученый может сказать: “Я не знаю того-то”. То, чего не знает в данном случае ученый
– это какие-то вполне определенные объекты и их характеристики, например, может
быть не известен химический состав какого-либо вещества или расстояние между
какими-то городами. Существенно, что фиксируя вопросы, на которые неизвестны
ответы, можно построить достаточно развернутую программу, нацеленную на
получение и фиксацию нового знания, можно выявить некоторую перспективу
развития данной науки в той ее части, которая зависит от уже накопленных знаний (3,
с.117). О вопросах в сфере незнания можно получить некоторое представление, если
вспомнить, что говорит о типах экспериментов, которые обычно ставятся в рамках
нормальной науки, Т. Кун. Он называет целые группы задач, например, определение
положения звезд и звездных величин, периодов затмения двойных звезд и планет в
астрономии; вычисление удельных весов и сжимаемостей материалов, длин волн и
спектральных интенсивностей, электропроводностей и контактных потенциалов в
физике и т.п. (4, с. 47). М.А. Розов подчеркивает, что “незнание – это область нашего
целеполагания, область планирования нашей познавательной деятельности. Строго
147
говоря, - это явная или неявная традиция, использующая уже накопленные знания в
функции образцов” (3, с. 117)
Совершенно иначе обстоит дело с неведением. Область неведения нельзя
зафиксировать вопросами, опирающимися на те или иные научные положения. Она
находится за пределами существующего уровня развития науки и определяемого этим
уровнем возможного горизонта научной деятельности. К этому случаю относится,
например, открытие сумчатых в Австралии, которое никак не предопределялось
уровнем развития биологии того времени. Оно было безотносительно к любым из
положений биологической науки, к её понятийному аппарату. Но как можно ввести в
математику понятие, не имеющее отношения ни к каким другим её понятиям? Чтобы
иметь математическое содержание, это понятие должно быть референциально связано с
миром математических объектов, с математической традицией. И тем не менее в
математике, совершая неожиданные для себя открытия, ученые тоже сталкиваются с
областью неведения, а не только с областью незнания. В свою очередь область
неведения как-то опосредованно связана с имеющимися традициями. Действиям
ученых в ситуации неведения и посвящена статья.
Известный отечественный философ и методолог науки Б.С. Грязнов для
обозначения неожиданных открытий применял греческое понятие – поризм (см. 4,
с.114 - 115). Так в античной науке называли утверждение, которое получалось как
непредвиденное следствие, как промежуточный результат. Грязнов приводит пример из
математики, а именно – пример отрицательных и комплексных чисел, которые
получаются в системе математического знания, как он пишет, чисто логическим путём,
но открыты были как промежуточные результаты решения некоторого класса
математических задач. О типичности для математики таких открытий, по существу,
писал американский историк науки М. Кроу, когда формулировал свои десять
“законов” развития математики. Его первый “закон” гласил: новые математические
понятия часто возникают вопреки намерениям их творцов (6, p.162). Действительно,
хотя в математике и осуществляется всё целенаправленно, в рамках конкретных
программ, но не всегда именно то, на что эти программы направлены. Реализация
программы вполне может натолкнуться на побочный результат, представляющий
самостоятельный интерес. Классический пример этого – так впечатлившее древних
греков открытие иррациональных величин. Сознательный поиск иррациональных
величин был для греков психологически невозможен. Особенно это касается
пифагорейской математики с её культом числа, числовых отношений. Но на
иррациональности, реализуя не относящиеся напрямую к этому программы,
148
натолкнулись именно пифагорейцы1. Отыграв назад, однако, мы, пожалуй, смогли бы
сформулировать “за греков” не выходящую за рамки их науки программу поиска
отрезков геометрических фигур, невыразимых рациональными отношениями. В
математическом материале, с которым имели дело древние греки, имелись все
предпосылки для формулировки программы такого поиска. Не было лишь
соответствующей установки сознания. Но, чтобы сформулировать программу поиска
сумчатых, мы не смогли бы отыграть назад ни к каким идеям биологической науки.
Основная идея статьи – в случае с открытием неевклидовой геометрии Бойяи и
Лобачевским мы имеем дело со сферой неведения, а средство проникновения в эту
сферу в данном случае – рефлексивная симметрия (3, с. 165 - 171). М.А. Розов
отмечает, что невозможен целенаправленный поиск неведомых явлений; неведение
открывается только побочным образом. На вопрос – что должен делать ученый для
обнаружения новых видов животных или каких-то новых, неведомых явлений – М.А.
Розов отвечает – продолжать делать то, что он делал и до этого, т.е. работать в рамках
уже существующих программ. Именно это последнее и происходит, как мы увидим
дальше, в случае открытия неевклидовой геометрии – Лобачевский (и Бойяи) сначала
решал традиционную для геометрии задачу – доказательство пятого постулата
Евклида. Однако затем он понял, что решил совсем другую задачу – обнаружил “новый
мир” - геометрию, совсем непохожую на евклидову. Интрига здесь заключается в том,
что и Лобачевский, и Бойяи включились в решение давно поставленной задачи, и шли
при этом тем же самым путем, каким шли и их предшественники. Вопрос состоит в
том, что же привело их к открытию нового мира? Чего не сделали их предшественники,
многие из которых реально доказали ряд теорем новой геометрии, но не считаются (и
справедливо) ее творцами?
Рассмотрим детально, насколько это возможно, что позволило Лобачевскому и
Бойяи прийти к созданию гиперболической геометрии. Наиболее доступным для
анализа является, конечно, творчество Николая Ивановича Лобачевского. Но начинать
такое исследование надо с теории параллельных линий Евклида. Предыстория
неевклидовой геометрии широко известна. Мы изложим её кратко, опираясь, главным
образом, на работы В.Ф. Кагана (2; 7).
Открытие иррациональности 2 традиция приписывает пифагорейскому математику
первой половины V века до н.э. Гиппасу. Существует несколько реконструкций
первоначального доказательства иррациональности. Так, К. фон Фриц полагал, что
Гиппас открыл иррациональности при построении додекаэдра (см.[14], с.82).
Достаточно убедительной является концепция венгерского историка математики
А.Сабо (см.[15]), в которой показывается, что подходы к открытию несоизмеримостей
были намечены в процессе решения одной из проблем музыкальной теории пропорций.
1
149
1.
Теория параллельных линий Евклида основывается, во-первых, на
определении параллельных линий и, во-вторых, на особом постулате. Первой книге
“Начал” предпосланы двадцать три определения, относящихся к первичным, по
мнению Евклида, математическим понятиям. Евклид даёт определение точке, линии,
прямой, поверхности, плоскости и т.д. Наконец он доходит до последнего двадцать
третьего определения, согласно которому две прямые, расположенные в одной
плоскости и никогда между собой не встречающиеся, называются параллельными. В 27
и 28 предложениях первой книги Евклид даёт доказательство некоторых достаточных
условий, при которых две прямые были бы параллельны. В частности, из этих
предложений вытекает, что две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей
прямой, никогда не встретятся, как бы далеко мы их не продолжили. Отсюда легко
видеть, что если мы из некоторой точки опустим перпендикуляр к прямой, а также
проведём через неё же другую прямую, под прямым углом к этому перпендикуляру, то
две эти прямые будут параллельны. Поэтому через точку, лежащую вне прямой всегда
можно провести прямую параллельную данной (предложение 31). Но будет ли такая
прямая
единственной?
Утверждение
её
единственности
является
одной
из
эквивалентных формулировок пятого постулата Евклида. Смысл этого постулата
заключается в отрицании существования прямой линии, параллельной данной и вместе
с тем, находящейся не под прямым, а под тупым или острым углом к
соответствующему перпендикуляру.
В первой книге начал Евклидом устанавливается четыре аксиомы и пять
постулатов. Аксиомы Евклид называет “общими достояниями ума”. Это истины,
которые признаются всяким человеком, которыми неизбежно руководствуются не
только в научном, но и в любом другом рассуждении (к примеру, вторая евклидова
аксиома утверждает, что если к равным прибавить равные, то получатся равные).
Напротив, постулаты – это положения специальной дисциплины, которые не
обязательно должны восприниматься безоговорочно, но которые нужно всё равно
принять, подчиняясь внешнему авторитету, чтобы уже дальнейшие рассуждения не
вызывали никаких возражений (7, с.43). Так, своим первым постулатом Евклид требует
признания того, что от точки к точке всегда можно провести прямую линию. Столь же
просто формулируются и воспринимаются следующие три постулата Евклида. Резко
контрастирует с ними лишь последний, пятый постулат. Он не так прост в восприятии,
довольно тяжеловесно выражен и, самое главное, многим не казался настолько
очевидным, чтобы его принятие без доказательства было оправдано. Приводим его
дословную формулировку: всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с
150
ними внутренние односторонние углы, составляющие (вместе) меньше двух прямых,
эти прямые при неограниченном продолжении пересекаются с той стороны, с которой
эти углы составляют меньше двух прямых. Евклидом строго доказываются гораздо
более простые предложения. Особая роль пятого постулата заключалась не только в его
относительной сложности и неочевидности, но и в том, какое место он занимал в
общей системе евклидовой геометрии. Тогда как первые четыре постулата Евклид
начинает применять практически с первых предложений своей геометрии, то
необходимость в постулате о параллельных возникает у него довольно поздно, лишь
при доказательстве 29-го предложения первой книги. Таким образом, первая книга
евклидовых “Начал” распадается на две части: первые 28 её предложений не зависят от
постулата о параллельных, последующие же предложения (29-48) либо доказываются
непосредственно при помощи пятого постулата, либо при помощи тех положений,
которые были доказаны с использованием этого постулата раньше. Более того, таким
образом можно разбить на две части весь геометрический материал “Начал”.
Значительная часть его совершенно не зависит от постулата о параллельных.
Совокупность относящихся сюда предложений принято называть абсолютной
геометрией. Но большая часть предложений геометрии на этот постулат опирается. Их
совокупность принято называть собственно евклидовой геометрией. Поэтому строгое
доказательство постулата о параллельных, сведение его к другим постулатам и
аксиомам позволило бы резко повысить “доказательную силу” всей геометрической
системы Евклида. Теория параллельных была в центре внимания греческих геометров
ещё до Евклида. Рассуждения о параллельных линиях можно найти уже в “Аналитике”
Аристотеля. Но так как попытки безупречного обоснования этой теории успеха не
имели, Евклид, как пишет об этом В.Ф. Каган (2, с.111 - 112), разрубил гордиев узел,
связанный с пятым постулатом, и принял содержащееся в этом постулате утверждение
без доказательства. Но многочисленные комментаторы евклидовых “Начал” очень рано
возродили попытки доказать постулат о параллельных линиях.
Многочисленные попытки доказательства пятого постулата не прекращались со
времён античности вплоть до первой четверти 19-го века. Выдающиеся геометры и
простые любители геометрии сломали на этом поприще не мало копий. Но общий
результат был плачевен. Чаще всего попытки доказать постулат страдали одним очень
серьёзным недостатком: явно или неявно они опирались на допущения, эквивалентные
доказываемому постулату. В подобную ошибку, к примеру, впадали в античности неоплатоник Прокл, в средние века - азербайджанский математик Насир-Эддин, в
новое время - знаменитый французский геометр Лежандр. Наибольший интерес, с
151
точки
зрения
предыстории
неевклидовой
геометрии,
представляют
попытки
доказательства пятого постулата, предпринятые в первой половине 18-го столетия
иезуитом Саккери в Италии, а во второй половине того же столетия - философом и
математиком Ламбертом в Германии.
Геометрия
Лобачевского-Бойяи
или
гиперболическая
геометрия
-
это
теоретическая система, которая образована на основе геометрии Евклида. При этом
Лобачевский, как и Бойяи, принимал всю аксиоматику Евклида за исключением пятого
постулата - постулата о параллельных; он также принимал те предложения евклидовой
геометрии, в доказательстве которых не было необходимости использовать этот
постулат, т.е. всю абсолютную геометрию. Если мы хотим, исходя из этих условий,
построить новую геометрическую систему, то первое, что необходимо - это выяснить
логические следствия отказа от постулата о параллельных. Известно, что одной из
эквивалентных формулировок постулата о параллельных является утверждение о том,
что сумма углов в треугольнике равна двум прямым (гипотеза прямого угла). После
отказа от постулата остаются две возможности - сумма углов в треугольнике больше
двух прямых (гипотеза тупого угла) и сумма углов в треугольнике меньше двух прямых
(гипотеза острого угла). Гипотеза тупого угла была легко опровергнута уже до
Лобачевского. Значит, ему было необходимо принять гипотезу острого угла. Что он и
сделал. Но это логическая реконструкция первых шагов создания неевклидовой
геометрии. Она предполагает вполне определённое намерение построить новую
геометрическую систему. Фактически же эти шаги впервые были предприняты совсем
с другой целью, не с целью составить конкуренцию Евклиду, а наоборот, с целью более
строгого обоснования его геометрической системы. Начиная с Саккери и Ламберта,
основным способом, которым пытались освободить геометрию от постулата о
параллельных, было доказательство от противного: исходили из допущения,
противоположного постулату (а именно - из гипотезы острого угла) и стремились
прийти к противоречию с уже установленными предложениями, тем самым доказывая
постулат. Но ни историки математики, ни специалисты по философии математики не
исследовали, что именно привело Лобачевского и Бойяи к открытию нового мира. Так,
известный специалист в области философии математики А.Г. Барабашев пишет: "В
литературе по философским проблемам математики, затрагивающей вопрос создания
неевклидовой
гиперболической
геометрии
(геометрии
Лобачевского),
глубоко
укоренилась точка зрения о том, что эта геометрическая конструкция возникла в
результате … простого удлинения доказательных рассуждений, строящихся с заменой
постулата
о
единственности
параллельных
на
постулат
о
множественности
152
параллельных (т.е. на гипотезу острого угла - М.В.). Такие рассуждения имели своей
целью доказать справедливость постулата о единственности параллельных от
противного: показать, что обратное утверждение ложно, ибо приводит к противоречию.
Подобные доказательства начали строить ещё комментаторы Евклида; рассуждения
усложнялись, становились всё более хитроумными, и, наконец, Лобачевский, Бойяи и
Гаусс поняли, что диковинная конструкция внутренне непротиворечива (8, с.77 - 78).
Итак, в этих словах А.Г. Барабашева зафиксировано широко распространенное
объяснение появления новой геометрической системы - она возникла в результате
"простого удлинения доказательных рассуждений" от противного!
Покажем, что дело не в “простом удлинении” рассуждений, а в ином их осознании
– таком, которое не было осуществлено предшественниками Лобачевского – Саккери,
Ламбертом и другими, доказавшими много теорем неевклидовой геометрии, но не
ставшими, тем не менее, ее творцами. Для этого обратимся к некоторым
представлениям гносеологической концепции М.А. Розова, в частности к его анализу
механизмов научных новаций. В качестве таких механизмов им были рассмотрены
рефлексивно-симметричные преобразования. Эти преобразования тесно связаны с
явлением рефлексивной симметрии, которое подробно разбирается во многих его
работах (см., например, 3; 9; 10). При определении рефлексии М.А. Розов идет по пути
задания ее функций в рамках научного знания, т.е. говорит о рефлексирующих
системах (3, с. 153 - 164). Это такие системы, которые могут оценивать собственное
состояние и, на основе этого инициировать его изменение. Так, рефлектирующей
системой является человек, когда своим вниманием он запускает механизмы изменения
содержания собственного мышления, изменяя тем самым состояние своего сознания.
Изменения состояний могут как отражаться, так и не отражаться на поведении
системы. Нас будет интересовать главным образом тот случай, когда рефлексия ведёт к
изменению поведения человека, изменению характера его деятельности.
У мыслящих субъектов надо строго различать действия и деятельность.
Деятельность - это действия с фиксированной целью. Поэтому деятельность есть
продукт рефлексии. Ведь рефлексия подразумевает оценку ситуации (в той мере, в
какой эта ситуация отражается в мышлении) и, как следствие, может вызывать
целенаправленное изменение поведения. При этом одни и те же действия могут
означать разную деятельность. Рассмотрим пример, проанализированный М.А.
Розовым(9, с.225). Допустим, человек подходит к окну и опускает шторы. Может быть,
он хочет, чтобы яркое солнце не слепило ему глаза; может быть, его волнует то, что он
виден из улицы или из окон соседнего дома; может быть, он боится, что в комнате
153
скоро станет слишком жарко и т.п. Осознавая свои действия различным образом, он
осуществляет всякий раз иную деятельность. Сами действия остаются инвариантом.
Связанные же с ними виды деятельности М.А. Розов называет попарно симметричными
(там же). При этом он исходит из следующих представлений. Используя понятие
рефлексии в его узком значении, связанном только с целеполаганием, М.А. Розов
предлагает называть рефлексивными такие преобразования одной деятельности в
другую, которые инициируются различными осознаниями наших целевых установок
(или, другими словами, сменой нашей рефлексивной позиции) (см. 10, с. 88). Если в
результате таких преобразований ничего не меняется, кроме самой целевой установки
(рефлексивной позиции), то М.А. Розов называет их рефлексивно-симметричными (см.
3, с.167 – 171; 9, с.222 - 237; 10, с.87 -90). Поэтому рефлексивно-симметричными будут
называться и такие два акта деятельности, которые отличаются друг от друга только
осознанием результата и взаимно друг в друга преобразуются путём изменения нашей
рефлексивной позиции (9, с. 225).
Какое всё это имеет отношение к математике? Покажем, что самое прямое.
Действительно, жизнь бодрствующего – это всегда направленность на что-то, как на
цель или средство, на важное или не важное, на интересное или безразличное и т.д. Не
являются, конечно, исключением и математики. Так же как и другим людям, им
свойственна не только та или иная интенциональная направленность на различные
виды деятельности, но и способность переключаться с одной деятельности на другую.
Какой же должен быть характер этих “переключений”, чтобы можно было обеспечить
своеобразные эстафеты от одних математических теорий к другим? Предположим, что,
осуществляя некоторые действия, мы рассматриваем результат “А” как основной, а
результат “Б” как побочный. Смена рефлексивной позиции может заключаться в том,
что “А” и “Б” меняются местами, т.е. “Б” становится основным продуктом, ради
которого осуществляются действия, а “А” переходит в разряд побочных результатов (9,
с. 225). Если теперь примем, что “Б” – группа Галуа, а “А” –уравнения выше пятой
степени, то смена рефлексивной позиции будет тождественна смене референции
знания. Здесь мы имеем дело с рефлексивной симметрией: действительно, деятельность
Галуа можно описать двумя попарно симметричными способами: как решение
проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах (введение понятия
“группы” в этом случае – побочный результат) и как введение им в математику понятия
группы (а вопрос о разрешимости уравнений в радикалах – уходит в тень). Фактически
изменение рефлексивной позиции было осуществлено не Галуа, жизнь которого
оказалась очень коротка, а другими математиками 19 века. Но нам важен сам
154
гносеологический механизм, способный привести к изменению направленности
математической деятельности. А этим механизмом здесь является рефлексивносимметричное преобразование. С помощью этих преобразований оказываются
возможными переключения с одной математической деятельности на другую,
позволяющие сохранять, через общие им понятия, преемственность между старыми и
новыми математическими программами.
О механизмах можно говорить, поскольку переходы от одной математической
теории к другой не связаны с субъективным произволом. Так как эти переходы не
носят
логического
характера,
то,
видимо,
оправданно
говорить
здесь
о
гносеологических механизмах развития математики. Остаётся вопрос, что запускает
такие
механизмы?
Какие
причины
могут
привести
к
столь
резкой
смене
направленности математической деятельности?
3. В деятельности Лобачевского мы встречаем рефлексивно-симметричное
преобразование в самом чистом виде. Выполняя работу по опровержению гипотезы
острого угла, учёные в то же время незаметно для себя открывали новую
математическую теорию. Поставленная цель (опровергнуть гипотезу острого угла)
оказалась недостижимой, но полученные при попытке её достижения результаты
оказались значимыми в совершенно ином контексте – Лобачевский (а также Бойяи и
Гаусс) открыли принципиально новую геометрию, существование которой невозможно
было предположить в рамках традиционных математических программ.
И Гаусс, и Лобачевский, и Бойяи начинали свои исследования с попыток
опровержения гипотезы острого угла. Но, как мы постараемся показать, мнение о том,
что для открытия новой геометрии им понадобилось лишь “удлинить доказательные
рассуждения” от противного и осознать значение “диковинной конструкции” слишком упрощенно. Многие теоремы, полученные в результате простых рассуждений
от противного, вошли в состав геометрии Лобачевского-Бойяи, но они не были тем
центром, вокруг которого она кристаллизировалась. Саккери и Ламберт, которые, как
мы упоминали выше, впервые дали развёрнутые попытки доказательства постулата о
параллельных с помощью опровержения гипотезы острого угла, не смогли осуществить
рефлексивно-симметричные преобразования своей деятельности в сторону создания
новой математической теории не только в силу каких-либо субъективных причин, но и
по вполне объективным обстоятельствам. Новая теория вовсе не “вывелась” внутри
старой, как птенец из яйца, в результате рассуждений от противного, а лишь
использовала эти рассуждения, как строительный материал для построения своего
здания. Саккери и Ламберт заблудились, идя по дорожке этих рассуждений. Чтобы мог
155
сработать
механизм
рефлексивной
симметрии,
необходимо
было
не
просто
механически удлинять цепочки выводов, а натолкнуться на вполне определённые
результаты, оставшиеся для них неизвестными. Рассмотрим это более подробно.
Итальянский математик иезуит Саккери издал в 1733 году замечательную работу
"Евклид, очищенный от всех пятен; опыт установления самых первых начал всей
геометрии". Она пользовалась определённым успехом у современников, но ко времени
Лобачевского была практически забыта. Вопрос о постулате о параллельных занимал в
этой книге одно из центральных мест. Саккери первым в истории математики приходит
к мысли, что для доказательства постулата о параллельных достаточно опровергнуть
гипотезу острого угла. Этой гипотезе он посвящает обширное исследование,
занимающее более 80 страниц. После ряда подготовительных рассуждений, которые
Саккери проводит с безупречной строгостью, он показывает, что при гипотезе острого
угла две непересекающиеся прямые, расположенные в одной плоскости, либо имеют
общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга
в обе стороны, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и
неограниченно сближаются в другую. Саккери пришёл к тем геометрическим образам,
с которых, столетие спустя, начнёт развёртывать свою геометрическую систему
Лобачевский (как известно, Лобачевский не был знаком с работами Саккери). Но
поглощённый своей задачей опровержения гипотезы острого угла, Саккери, теоремой
XXXI, внезапно обрывает “тонкую нить безупречных рассуждений”, делая из
полученных положений вывод о противоречивости такой геометрической конструкции.
Саккери допускает элементарную ошибку, связанную с некорректными утверждениями
о бесконечно удалённой точке. Очевидно, чувствуя слабость этих утверждений, он
пытается дать ещё одно опровержение гипотезы острого угла, но снова впадает в
ошибку, на этот раз связанную с весьма характерной для 18 века неточностью
применения метода бесконечно-малых (более подробный анализ ошибок Саккери
можно найти в статье С.А. Яновской - 11, с. 59 - 64). Заканчивая свои рассуждения,
итальянский математик не смог скрыть своего удивления по поводу тех усилий,
которые ему пришлось предпринять, прежде чем, как ему казалось, опровергнуть
рассматриваемую гипотезу. Если гипотеза тупого угла опровергалась довольно просто
("при гипотезе тупого угла дело ясно, как свет божий" (цит. по 7, с. 147)), то
опровергнуть гипотезу острого угла удаётся только с помощью длинной цепи
тончайших рассуждений.
Итак, Саккери выводит из сделанного допущения около 40 теорем, из которых
два приводят к кажущемуся противоречию с предыдущими предложениями.
156
Оставшиеся
же
теоремы,
по
существу,
являются
утверждениями
геометрии
Лобачевского - Бойяи. И, тем не менее, никто из исследователей работ Саккери и не
пытается говорить, что итальянский математик, пусть сам того и не сознавая, открыл
новую геометрическую систему. В лучшем случае речь идёт о предвосхищении начал
неевклидовой геометрии. Заключается ли дело здесь лишь в том, что Саккери запутался
и не продолжил цепочку выводов? Анализ исследований И.Г. Ламберта, шедшего по
стопам Саккери, заставляет в этом сильно сомневаться.
Немецкий философ и математик И.Г. Ламберт в середине шестидесятых годов 18
века занимался Евклидом и заинтересовался теорией параллельных линий. Уже после
его смерти, в литературном архиве Ламберта была найдена посвящённая этому вопросу
статья. Она никогда им не публиковалась, т.к. те результаты, к которым немецкий
философ в ней пришёл, видимо, не могли его удовлетворить (7, с. 148). Ламберт в своей
работе так же очень подробно останавливается на гипотезе острого угла. При этой
гипотезе сумма углов в треугольнике меньше двух прямых. Разница между двумя
прямыми углами и суммой углов в треугольнике называется дефектом треугольника.
Ламберт показывает, что величина дефекта треугольника пропорциональна его
площади. А отсюда прямо вытекает, что существует треугольник с предельной, самой
большой площадью, т.е. площадь треугольника не может быть сколь угодно велика.
Более того, из этого следует, что должна существовать абсолютная единица длины,
определяемая чисто геометрически, без помощи эталона. Её можно было бы
определить, например, с помощью высоты предельного равнобедренного треугольника,
которая больше высоты всякого другого равнобедренного треугольника. Подобия и
пропорциональности фигур тогда не существовало бы вовсе. Ни одна фигура не могла
бы быть представлена иначе, как в абсолютной своей величине. Указывая ряд
абсурдных утверждений, к которым приводит гипотеза острого угла, Ламберт
сохраняет достаточную ясность мышления, чтобы заметить, что все они не дают
логического доказательства, не вступают в противоречие ни сами с собой, ни с какимилибо предложениями абсолютной геометрии. Его поражает стройность выводов, но он
не может понять её причины. Перед Ламбертом предстало богатство, с которым он не
знал, что делать и поэтому был вынужден прервать свои исследования. Ламберт не
впал в заблуждение по поводу полученных результатов, подобно Саккери, но не смог и
продвинуться дальше. Он останавливается примерно на том же рубеже, что и Саккери.
"Простое удлинение доказательных рассуждений" завело его в тот же тупик, что и
итальянского математика. Им обоим чего-то не хватало для продвижения вперёд.
Разумеется, они оба не сознавали действительного смысла своих действий по выводу
157
следствий из гипотезы острого угла, не осуществляли над своей деятельностью
никаких рефлексивно-симметричных преобразований (как пишет В.Ф. Каган, - "авторы
были беспомощны перед полученными ими результатами"(2, с. 254)), но даже и те
учёные, которые такие преобразования осуществляли, не обязательно продвигались
много дальше. Речь здесь идёт в первую очередь о корреспонденте Гаусса Фердинанде
Швейкарте.
Правовед по образованию, Швейкарт на досуге охотно занимался математикой.
Идя по пути Саккери и Ламберта, по пути планомерного вывода всех следствий из
гипотезы
острого
угла,
Швейкарт
также
пришёл
к
исходным
положениям
гиперболической геометрии. Но в отличие от них, он, как это видно из его заметки,
предназначенной для Гаусса (см. 7, с. 470 - 471), прямо признавал и существование
иной, неевклидовой геометрии. По Швейкарту, существует двоякая геометрия:
геометрия в узком смысле слова и звёздная (астральная). Треугольники последней
геометрии имеют ту особенность, что сумма трёх их углов не равна двум прямым.
Далее он упоминает примерно те же положения астральной геометрии, что мы находим
и у Ламберта. Швейкарт осознал, что он имеет дело с новой геометрической системой,
но это вовсе не помогло ему продвинуться сколько-нибудь существенно дальше
Саккери и Ламберта. Швейкарт сообщил о своих исследованиях своему племяннику
Тауринусу, молодому математику. Тауринус так же не смог ничего сделать для
развития астральной геометрии. Свои усилия он направил на опровержение гипотезы
острого
угла,
получив
при
этом
некоторые
новые
результаты,
впрочем,
непринципиального характера. Поэтому Тауринус может быть поставлен в один ряд с
Саккери и Ламбертом. Лишь "на берегах Волги и в глуши Венгрии в двадцатых годах
XIX столетия получил новое и неожиданное решение вопрос, который более чем за
2000 лет перед этим был поставлен учёными Афин и Александрии" (1, с. 124). Что же
позволило Лобачевскому и Бойяи пройти до конца по тому пути, по которому шли,
хотели они того или не хотели, Саккери, Ламберт, Швейкарт и Тауринус?
4. Даже такой выдающийся знаток творчества Лобачевского, как В.Ф. Каган,
описывает создание русским математиком неевклидовой геометрии в выражениях, не
слишком отличающихся, по сути, от стандартной точки зрения, прозвучавшей в словах
А.Г. Барабашева в приведённой выше цитате. Так, В.Ф. Каган пишет: "Гений
Лобачевского сказался в том, что он не поддался … предубеждению; напротив, смело
развивая следствия, вытекающие из отрицания пятого постулата, он создал новую
геометрическую систему … Он имел решимость отказаться от связующей силы
сложившихся геометрических представлений …" (7, с. 152). Но откуда смелость и
158
решимость при движении в никуда? Откуда воля продолжать движение? Несомненно, в
самом начале работы над проблемой постулата о параллельных перед Лобачевским
предстали те же разрозненные диковинные результаты, которые мы находим,
например, в сочинении Ламберта. Значит, был какой-то момент, когда эти странные
результаты оказались осознаны им как часть единого целого, новой теоретической
системы. При этом речь не может идти о некотором случайном осознании, как это,
скорее всего, было в случае Швейкарта. Лобачевский увидел реальные контуры новой
геометрии, новой целостности. Возможно, здесь уместно применить представление о
переключении гештальта, которое Т. Кун использовал в своей трактовке научных
революций.
Психологи пользовались представлением о переключении гештальта, главным
образом, в опытах, связанных с изменением зрительного восприятия. Томас Кун
пришёл к выводу, что нечто, подобное этим переключениям, происходит в сознании
учёных после научных революций. Их восприятие научной картины мира изменяется
так, что одна целостность сменяется другой (4, с. 151 - 180). Сдвиг восприятия, сдвиг
научного видения возникает в результате научных открытий. Но и сами эти открытия
нередко требуют такого сдвига. Так, Аристотель и Галилей рассматривали одни и те же
факты, но под разным углом зрения. То же самое можно сказать и о Саккери и
Лобачевском. Что изменило точку зрения Лобачевского и позволило ему продолжить
движение в столь необычном направлении?
На пути Лобачевского к его замечательному открытию можно выделить
несколько этапов. Начало серьёзных размышлений русского математика, относящихся
к основаниям геометрии, по-видимому, почти совпадает с началом его педагогической
деятельности. До нас дошли записи лекций по элементарной геометрии, читанные
Лобачевским студентам Казанского университета с 1815 по 1817 год (так называемые
"Записки Темникова"). Каждый год при изложении своего курса, Лобачевский давал
различные способы обоснования теории параллельных линий. В то время интерес к
теории параллельных был особенно высок. Это было связано, главным образом, с
выходящими тогда неоднократными переизданиями знаменитого учебника геометрии
Лежандра. В этих переизданиях Лежандр предпринял многочисленные попытки дать
доказательство пятого постулата Евклида. Но, в конце концов, они оказывались
недостаточными. Неудивительно, что Лобачевский тоже попытался испробовать свои
силы на этом поприще. В курсе 1815 года Лобачевский дал оригинальное, в духе
Лежандра, доказательство постулата о параллельных. Но уже к следующему году он в
нём разочаровался и попробовал изложить теорию параллельных с помощью
159
переосмысления самого понятия параллельности. При этом он исходил из понятия о
направлении, как основном, и пытался определить параллельные линии, как
простирающиеся в одном направлении. Но и это его не удовлетворило, и в 1817 году он
дал ещё одно доказательство, основанное, на этот раз, на рассмотрении бесконечных
частей плоскости. Таким образом, Лобачевский постепенно разочаровался не только в
своих попытках доказательства постулата о параллельных, но и, видимо, в попытках
его доказательства вообще. К этому надо прибавить ещё одно немаловажное
обстоятельство: Лобачевский не только занимался обоснованием теории параллельных,
но он стал размышлять и об основаниях геометрии в целом.
В тех же тетрадях лекций по геометрии, в которых мы встречаем различные
попытки доказательства пятого постулата Евклида, мы находим и различные попытки
обоснования геометрии (1, с. 134 - 136). Лобачевский пытался дать себе отчёт в тех
первичных понятиях, из которых исходит геометрия. Так, в одной из тетрадей
геометрия определяется как наука о пространстве: "геометрическое тело есть часть
полного пространства, простирающаяся во все стороны, но вместе с тем ограниченная".
Поверхность есть граница тела, граница поверхности есть линия, граница линии точка. Далее Лобачевский делает попытку определить свойства пространства. В другой
тетради он уже избегает слова "пространство", но вводит вместо него понятие
"протяжение". Именно протяжения, по мнению Лобачевского, составляют предмет
геометрии. Соответственно, протяжение одного измерения называется в геометрии
линией, а протяжение двух измерений - поверхностью. Связь же между протяжениями
различных измерений устанавливается движением. Линия происходит от движения
точки, поверхность - от движения линии, а тело - от движения поверхности. Наконец, в
третьей тетради Лобачевский вместо понятия "протяжение" вводит, как основное,
понятие "прикосновение тел". Через прикосновение двух тел Лобачевский определяет
поверхность, линию, точку. И такой подход к основаниям геометрии оказался у
Лобачевского окончательным. Его он проводит во всех своих зрелых работах. Этот
подход
наиболее
соответствует
тем
гносеологическим
установкам,
которых
Лобачевский придерживался в отношении геометрии. Для него геометрия - опытная
наука. И он стремится рассматривать её как учёный-эмпирик. Основными понятиями
геометрии не могут быть ни пространство, ни протяжение, ни поверхность, ни линия и
т.п., потому что они существуют только в воображении. Ясное же понятие, по мнению
Лобачевского, может быть соединено только с теми словами, которым можно указать
прямые референты в реальном мире. Поэтому в предисловии к "Новым началам
геометрии…" (12) он формулирует следующую точку зрения: "В природе нет ни
160
прямых, ни кривых линий, нет плоскостей и кривых поверхностей, в ней находим одни
тела, так что всё прочее создано нашим воображением, существует только в теории".
Лобачевский считает, что с помощью чувств мы познаём в природе одни только тела.
Это факт, от которого нельзя отвернуться, и поэтому он предлагает считать основным
объектом геометрии тело, а основными отношениями между телами
- их
прикосновение. Все остальные понятия должны быть определены через эти основные.
Таким образом, главным злом в основаниях геометрии Лобачевский, в конце
концов,
стал
считать
"темноту",
"отвлечённость"
начальных
геометрических
абстракций и направил свои усилия на то, чтобы возвратиться от них к тем понятиям,
которые "непосредственно соединены с представлениями тел в нашем уме, к которым
наше воображение приучено, которые можно поверять в природе прямо, не прибегая
наперёд к другим, искусственным и посторонним" (12, с. ).
Возвратимся теперь к постулату о параллельных. Вдумываясь всё более и более в
начальные понятия геометрии, Лобачевский начал, по-видимому, отчётливо сознавать,
что неудачи в доказательстве пятого постулата не случайны. Он пришёл к выводу, что
в самих понятиях, с которыми имеет дело геометрия, ещё не заключается той истины,
которую хотим доказать (12, с. 147). Поэтому Лобачевский начинает “Пангеометрию”
следующими словами: “Понятия, на которых основывают начала геометрии,
недостаточны, чтоб отсюда вывести доказательство теоремы: сумма трёх углов
прямолинейного треугольника равна двум прямым ... Недостаточность начальных
понятий для доказательства приведённой теоремы принудила геометров допускать
вспомогательные положения, которые как ни просты кажутся, тем не менее
произвольны и, следовательно, допущены быть не могут” (13, с. 137). Итак, постулат
Евклида не обоснован ни логически, ни эмпирически! Возможно, что опыты
Лобачевского по тотальному эмпирическому обоснованию геометрии были реакцией
русского математика на то странное обстоятельство, что все попытки строго
логического доказательства постулата о параллельных терпели неизбежный крах. Но
положительного результата, в этом отношении, не дали и они. Постепенно
Лобачевский понял ограниченность эмпирического метода в геометрии. Поскольку
геометрические свойства пространства зависят от физических свойств тел и могут,
следовательно, меняться с изменением этих физических свойств, то ничего не стоит,
как стал считать русский математик, и аргументация к тому, что следствия из
евклидовой теории параллельных совпадают с результатами самых точных измерений.
Ведь “за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений”
(12) может быть действительной совсем иная геометрия. Поэтому по-прежнему
161
оставались две возможности – гипотеза прямого и гипотеза острого угла. Хотя, может
быть, Лобачевский и более, чем кто-либо, ясно сознавал, что они обе произвольны и
необоснованны. Пойти дальше Саккери и Ламберта гениальный русский математик
смог лишь после одного неожиданного открытия.
Впервые новая теория параллельных была публично изложена Лобачевским 11
февраля 1826 года в докладе, прочитанном на заседании физико-математического
отделения Казанского университета. Текст доклада до нас не дошёл, но известно, что
все его основные идеи вошли в первое сочинение Лобачевского по геометрии,
напечатанное при его жизни - “О началах геометрии” (1830). В этой работе, как
Саккери и Ламберт, Лобачевский рассматривает следствия гипотезы острого угла. Но в
основном лишь постольку, поскольку это необходимо ему для обоснования
удивительного открытия: геометрия, возникающая при принятии гипотезы острого
угла, заключает в себя собственно евклидову геометрию как частный случай! “Другое
предположение и одно, которое до сих пор допускали Геометры, - пишет Лобачевский,
- заключается также в этом общем (гипотезе острого угла – М.В.), с тем ограничением,
что линии должно рассматривать бесконечно малыми ...” (14, с. 199). Поэтому
геометрия Евклида является предельным случаем новой геометрической системы.
Итак, работа в рамках обоснования евклидовой геометрии привела к результату,
который прямо показывает на то, что мы вышли за рамки этой геометрии. Мы работаем
уже в какой-то иной математической программе. Таким образом, существовала
некоторая поворотная точка, после которой стало абсолютно ясно, что, развивая
гипотезу острого, угла мы имеем дело уже не со странными разрозненными фактами, а
с фрагментами иной геометрии. После этого почти с необходимостью должно было
произойти, говоря языком психологии, переключение гештальта. Должен был
сработать механизм рефлексивно-симметричных преобразований.
Для того, чтобы рассмотреть этот вопрос подробнее, обратимся ещё к одной
работе Лобачевского. Речь идёт о небольшой работе “Геометрические исследования по
теории параллельных линий” (1840). В ней в наиболее ясной и логически совершенной
форме гениальным русским математиком были изложены идеи новой геометрии. По
выражению В.Ф. Кагана, она является “одним из наиболее блестящих перлов
математической литературы” (7, с. 277). Именно по ней Гаусс, а вслед за ним и другие
западные математики познакомились с творчеством Лобачевского.
По содержанию “Геометрические исследования ...” можно разбить на три
основные части. В первой части (главы I-V) Лобачевский даёт перечень некоторых
положений абсолютной геометрии, которые он будет в дальнейшем использовать.
162
После этого он встаёт на точку зрения гипотезы острого угла и выводит из неё ряд
следствий. Во второй части (главы VI-VIII) он после необходимых подготовительных
предложений вводит понятия о предельной линии и предельной поверхности и
доказывает теорему, что геометрия предельной поверхности формально совпадает с
евклидовой планиметрией. Наконец, в третьей части (главы IX-XI) Лобачевский
излагает
неевклидову
тригонометрию.
Неевклидова
тригонометрия
завершает
синтетическое развёртывание новой геометрической системы. “После этого, - пишет
Лобачевский, - всё прочее в геометрии будет уже аналитикой” (14, с. 260). Таким
образом, переход от первой части, развивающей новую геометрию до уровня Саккери и
Ламберта, к третьей части, в которой выводятся ключевые формулы неевклидовой
тригонометрии,
предполагает
вторую
часть,
в
которой
впервые
появляются
геометрические образы, которых не существует в евклидовой геометрии – предельные
линии и поверхности. Именно с этими образами связано то “возрождение евклидовой
планиметрии в недрах неевклидовой геометрии, к которому с различных точек зрения
пришли все (курсив мой – М.В.) творцы неевклидовой геометрии” и которое
“составляет наиболее важный момент в её развитии” (2, с.405).
Нам сложно по изданным геометрическим работам Лобачевского в точности
судить о том, как он пришёл к открытию предельных поверхностей. А каких-либо
набросков его геометрической системы, могущих осветить интересующий нас вопрос,
по-видимому, не сохранилось. Зато до нас дошли многочисленные рукописные тетради
Бойяи (см.1, с. 120 - 121). Из них видно, что ещё в 1820 году он пришел к мысли
рассматривать круг с бесконечно большим радиусом и поставил теорию параллельных
линий в связь с вопросом, является ли этот круг (т.е. предел, к которому стремятся
круги при увеличении радиуса до бесконечности) прямой или же иной линией. Видимо
он считал, что какая-то из этих альтернатив ведёт к опровержению гипотезы острого
угла. Должно было пройти три года, прежде чем эта гениальная мысль позволила ему
начать обработку “неевклидовой геометрии” и ещё два года для того, чтобы закончить
её. Как и Бойяи, Лобачевский, по всей видимости, пришёл к идее предельной линии и
предельной поверхности, пытаясь отыскать те следствия гипотезы острого угла,
которые
могли
бы
её
опровергнуть.
Попробуем
на
интуитивном
уровне
реконструировать возможный ход рассуждений.
Возьмём некоторую совокупность параллельных прямых линий собственно
евклидовой геометрии. Проведём линию, к которой все эти параллельные будут
расположены под прямым углом (ортогонально). Эта линия будет называться
ортогональной траекторией пучка параллельных прямых. Очевидно, что ортогональной
163
траекторией пучка параллельных прямых в евклидовой плоскости является прямая
линия. Это логическое следствие пятого постулата Евклида. Действительно, проведём
прямую линию ортогонально одной из линий пучка параллельных, тогда, в силу пятого
постулата, она будет ортогональна всем этим линиям. А так как к одной точке нельзя
опустить два различных перпендикуляра, то прямая линия будет единственной
ортогональной траекторией пучка параллельных прямых. Если П – постулат о
параллельных, а А – утверждение об ортогональности прямой линии пучку
параллельных прямых, то в собственно евклидовой геометрии истинна следующая
формула: П > А. Но что будет ортогональной траекторией пучка параллельных прямых
при принятии гипотезы острого угла (т.е. при ¬П )? В этом случае параллельные
прямые неограниченно сближаются. Поэтому их можно представить, как сходящиеся в
бесконечно удалённой точке. Тогда пучок таких параллельных можно рассматривать
как радиусы окружности с бесконечно удалённым центром. Несомненно этот образ
посещал Бойяи в 1820 году. Но обратимся снова к собственно евклидовой геометрии.
Рассмотрим в ней окружность и пучок прямых линий, проходящих через её центр. Эти
прямые будут ортогональны окружности. Она будет для них ортогональной
траекторией. Будем теперь рассматривать окружность всё большего и большего
радиуса. При радиусе окружности, стремящемся к бесконечности, любая конечная её
дуга будет сколь угодно близко приближаться к соответствующему отрезку прямой
линии, т.е. дуги как бы “выпрямляются”, их кривизна может быть сделана меньше
любой заданной величины. В этом смысле говорят, что в евклидовой плоскости с
увеличением радиуса окружность неограниченно приближается к прямой линии. Такая
прямая будет называться предельной линией. Поэтому предельной линией называют и
ортогональную траекторию пучка параллельных прямых неевклидовой геометрии. Но
будет ли она прямой линией и здесь? Положительный ответ на этот вопрос приводит к
опровержению гипотезы острого угла. Действительно, в этом случае было бы
справедливо, что ¬П > А. Но из А следует П. Если пучок параллельных линий в
евклидовой плоскости ортогонален некоторой прямой, то любая прямая, которая не
была бы ей ортогональна, в то же время не будет параллельна ни одной линии из этого
пучка. Она пересечёт его, что эквивалентно пятому постулату Евклида. Тогда
получается, что ¬П > А > П. И цель многовековых усилий достигнута.
Если это и был замысел Бойяи, то он потерпел крушение. Предельной линией
пучка параллельных прямых в случае принятия гипотезы острого угла является не
прямая линия, но некоторая кривая – орицикл, как её называет Лобачевский. Но здесь
основателей
неевклидовой
геометрии и ждало
неожиданное открытие. Если
164
предельную линию – орицикл вращать вокруг одной из её осей, то получается
своеобразная поверхность, которую Лобачевский называет предельной сферой или
просто предельной поверхностью. Оказалось, что в пространстве Лобачевского
предельная поверхность несёт на себе двумерную евклидову геометрию! Когда мы
отказываемся от евклидовой геометрии на плоскости, она не прекращает своего
существования. И хотя она не выполняется на гиперболической плоскости (плоскости
пространства Лобачевского), но она переходит на другую поверхность – на предельную
поверхность. Сумма углов треугольника на предельной поверхности всегда равна двум
прямым. На ней будет справедливо каждое предложение евклидовой планиметрии,
если под прямой разуметь предельную линию.
Итак, на некотором частном фрагменте геометрии, возникающей при принятии
гипотезы острого угла, справедлив пятый постулат Евклида! Отсюда и вытекает, что
новая геометрическая система является более общей, по сравнению с собственно
евклидовой геометрией, и включает её в себя, как частный случай. Так впервые был
осуществлён радикальный выход из евклидовой программы развития геометрии. До
этого тень александрийского математика неотступно висела почти над каждым
творческим усилием европейских геометров. После этого стало почти неизбежным
переосмысление всего геометрического материала, полученного с помощью вывода
следствий из гипотезы острого угла. Стало почти неизбежным переключение гештальта
и рефлексивно-симметричные преобразования. Но замечательно и то, что открытие
предельных
поверхностей
придало
не
только
психологическую
уверенность
первооткрывателям новой геометрии, но и ключ к её дальнейшему развитию.
Вместе с восстановлением евклидовой геометрии в неевклидовом пространстве
сохраняются и все средства евклидовой планиметрии и прежде всего её тригонометрия.
С древности существовал известный приём для построения тригонометрии сферы. В
евклидовом пространстве мы, исходя от плоскости, надлежащей проекцией её на сферу,
получаем сферическую тригонометрию. Подобным образом действует в нашем случае
и Лобачевский. Проектируя “предельные треугольники” на плоскость, он приходит к
тригонометрии прямолинейного треугольника в гиперболической плоскости. Именно
после
этого
“всё
прочее
в
геометрии
стало
уже
аналитикой”.
Располагая
тригонометрией гиперболической плоскости, Лобачевский получил возможность
построить
в
своей
“воображаемой
геометрии”
аналитическую
геометрию,
дифференциальную геометрию, вести интегральные вычисления – довести созданную
им геометрию до тех высот, до которых в течении трёх тысячелетий поднималась
классическая геометрия Евклида (2, с. 276 - 277).
165
Если учесть, что Гаусс в его письме отцу Иоанна Бойяи Вольфангу Бойяи от 6
марта 1832 года прямо пишет о том, что он уже давно не просто пришёл к тем же
результатам, что и его сын, но и тем же самым путём (1, с. 121), то можно со всей
ответственностью утверждать, что существовала вполне однозначная, жёсткая логика
открытия гиперболической геометрии, хотя это и не была логика математического
вывода.
Литература
1.
Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский. М., 1992
2.
Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М., 1963
3.
Розов М.А. Наука как традиция // Степин И.С., Горохов В.Г., Розов
М.А. Философия науки и техники. М., 1995, - с.70-190
4.
Кун Т. Структура научных революций. М. Прогресс, 1977. 300 с.
5.
Грязнов Б.С. Логика. Рациональность. Творчество. М., 1982.
6.
Crowe M. Ten “laws” concerning patterns of change in the history of
mathematics //Hist. Math., 1975, vol. 2, pp.161-166
7.
Каган В.Ф. Основания геометрии, Ч.I, М.-Л., 1949
8.
Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания. М.,
9.
Розов
1983
М.А.
История
науки
и
проблема
её
рациональной
реконструкции //Философия науки. Проблема рациональности. М., 1995, - с.216-242
10.
Розов М.А. Классификация и теория как системы знания //На пути к
теории классификации. Новосибирск, 1995, -с.81-127
11.
Яновская
С.А.
О
мировоззрении
Лобачевского
//
Историко-
математические исследования. Вып. 3, М., 1950
12.
Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений, т.1. М.-Л., 1946
13.
Лобачевский Н.И. Три сочинения по геометрии. М., 1956
14.
Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений, т.2. М.-Л., 1949
Вопросы для понимания
1.
Назовите особенности «нового мира», которым является неевклидова
геометрия.
2.
Что такое незнание и неведение?
3.
Что Б.С. Грязнов называет поризмом?
166
Назовите
4.
10
«законов»
развития
математики
(Веркутис
М.Ю.
Формирование нового знания в математике: рефлексивные преобразования и
рациональные переходы. Новосибирск, 2004. стр. 87-88)
Каким должна быть деятельность ученых для обнаружения новых,
5.
неведомых явлений?
Какую традиционную для геометрии задачу решали Лобачевский и
6.
Бойяи, когда они «натолкнулись» на новый неведомый мир неевклидовой геометрии?
Чего не сделали их предшественники, многие из которых реально
7.
доказали ряд теорем новой геометрии, но справедливо не считающиеся ее творцами?
Как устроены «Начала» Евклида? Назовите аксиомы и постулаты
8.
Евклида. Что такое абсолютная геометрия?
В чем специфика V постулата Евклида? Почему его стремились доказать
9.
еще в Древней Греции?
10.
Что такое гипотеза острого угла? Тупого?
11.
Возникла ли геометрия Лобачевского «путем простого удлинения
доказательных рассуждений» от противного?
Как понимает рефлексию М.А. Розов? Что такое системы с рефлексией?
12.
Рефлексивно-симметричные преобразования деятельности?
Как можно объяснить открытие Галуа (введение понятия группы),
13.
используя представления о рефлексивной симметрии?
Как связаны опровержение гипотезы острого угла и построение
14.
совершенно новой геометрии, существование которой невозможно было предположить
в рамках традиционных математических программ?
Расскажите об исследованиях Саккери, Ламберта, Швейкарта. Почему
15.
они не открыли неевклидову геометрию?
Что такое переключение гештальта в модели научных революций Т.
16.
Куна?
17.
Как связаны научная и педагогическая деятельность Лобачевского?
18.
Какую роль в открытии новой геометрии Лобачевским играл его интерес
к основным понятиям геометрии?
19.
Какой математический факт, установленный Лобачевским, сыграл
решающую роль в осознании им того, что открыта новая геометрия?
167
Отношение математики и других наук
Данный раздел содержит статью известного американского физика-теоретика ХХ
века, лауреата нобелевской премии Евгения Вигнера. Он говорит о чрезвычайной
эффективности математики в естественных науках как о чем-то загадочном, не
поддающемся рациональному объяснению. Для обоснования этого тезиса он кратко
отвечает на вопросы, что такое математика, что такое физика, каким образом
математика входит в физические теории и, наконец, почему успехи математики в
физике кажутся нам столь непостижимыми. При этом математика определяется
Вигнером как наука о хитроумных операциях, производимых по специально
разработанным правилам над специально придуманными понятиями. В конце статьи
Вигнер пишет: «Математический язык удивительно хорошо приспособлен для
формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и
которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться,
что и в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им»
(стр. 197 ИЗМЕНИТЬ).
Е. Вигнер
НЕПОСТИЖИМАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИКИ В ЕСТЕСТВЕННЫХ
НАУКАХ
Вигнер Е. Этюды о симметрии. М., 1971. Стр. 182-198.
«...по-видимому, здесь есть какая-то тайна, которую нам еще предстоит раскрыть».
Ч. С. Пирс
Рассказывают такую историю. Встретились, как-то раз два приятеля, знавшие
друг друга еще со студенческой скамьи, и разговорились о том, кто чем занимается.
Один из приятелей стал статистиком и работал в области прогнозирования изменения
численности народонаселения. Оттиск одной из своих работ статистик показал
бывшему соученику. Начиналась работа, как обычно, с гауссова распределения.
Статистик растолковал своему приятелю смысл используемых в работе обозначений
для истинных показателей народонаселения, для средних и т. д. Приятель был немного
недоверчив и отнюдь не был уверен в том, что статистик его не разыгрывает.
168
— Откуда тебе известно, что все обстоит именно так, а не иначе? — спросил он.
— А это что за символ?
— Ах, это, — ответил статистик. — Это число π.
— А что оно означает?
— Отношение длины окружности к ее диаметру.
— Ну, знаешь, говори, да не заговаривайся, — обиделся приятель статистика. —
Какое отношение имеет численность народонаселения к длине окружности?
Наивность восприятия друга нашего статистика вызывает у нас улыбку. Тем не
менее, когда я слушал эту историю, меня не покидало смутное беспокойство, ибо
реакция приятеля была не чем иным, как проявлением здравого смысла. Еще большее
замешательство я испытал через несколько дней, когда один из моих студентов
выразил удивление по поводу того, что для проверки своих теорий мы отбираем лишь
крайне незначительное число данных (2).
«Представим себе,— сказал студент,— что мы хотим создать теорию, пригодную
для описания явлений, которыми мы до сих пор пренебрегали, и непригодную для
описания явлений, которые казались нам имеющими первостепенное значение. Можем
ли мы заранее утверждать, что построить такую теорию, имеющую мало общего с
существующей ныне, но тем не менее позволяющую объяснять столь же широкий круг
явлений, нельзя?» Я вынужден был признать, что особенно убедительных доводов, исключающих возможность существования такой теории, нет.
Две рассказанные истории служат иллюстрациями двух главных тем моего
доклада. Первой — о том, что между математическими понятиями подчас возникают
совершенно неожиданные связи и что именно эти связи позволяют нам удивительно
точно и адекватно описывать различные явления природы. Второй — о том, что в силу
последнего
обстоятельства
(поскольку
мы
не
понимаем
причин,
делающих
математические понятия столь эффективными) мы не можем утверждать, является ли
теория, сформулированная на языке этих понятий, единственно возможной. Мы
находимся в положении, несколько аналогичном положению человека, держащего в
руках связку ключей и пытающегося открыть одну за другой несколько дверей. Рано
или поздно ему всегда удается подобрать ключ к очередной двери, но сомнения
относительно взаимно однозначного соответствия между ключами и дверями у него
остаются.
Большая часть того, что будет здесь сказано, не отличается новизной; в той или
иной форме аналогичные идеи, по-видимому, приходили в голову многим ученым. Моя
основная цель заключается в том, чтобы рассмотреть эти идеи с нескольких сторон. Во-
169
первых,
обратить
внимание
на
чрезвычайную
эффективность
математики
в
естественных науках как на нечто загадочное, не поддающееся рациональному
объяснению. Во-вторых, показать, что именно эта сверхъестественная эффективность
математических понятий поднимает вопрос о единственности физических теорий. Для
обоснования тезиса о непостижимо важной роли, которую математика играет в физике,
я постараюсь кратко ответить на вопросы: что такое математика и что такое физика?
Затем мы рассмотрим, каким образом математика входит в физические теории и,
наконец,— почему успехи математики в физике кажутся нам столь непостижимыми.
Гораздо меньше будет сказано по второму тезису о единственности физических теорий.
Обстоятельный ответ на этот вопрос потребовал бы огромной работы как в области
теории, так и в области эксперимента; к этой работе мы по существу до сих пор .еще и
не приступали.
ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИКА?
Кто-то сказал, что философия — это злоупотребление специально разработанной
терминологией (3). Следуя духу этого высказывания, я мог бы определить математику
как науку о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным
правилам над специально придуманными понятиями. Особенно важная роль при этом,
разумеется, отводится придумыванию новых понятий. Запас интересных теорем в
математике быстро иссяк бы, если бы их приходилось формулировать лишь с помощью
тех понятий, которые содержатся в формулировках аксиом. Но это еще не все. Понятия
элементарной математики, и в частности элементарной геометрии, были, бесспорно,
сформулированы для описания объектов, заимствованных непосредственно из
реального
мира.
Аналогичное
утверждение
относительно
более
сложных
математических понятий, в том числе понятий, играющих важную роль в физике, повидимому, неверно. Например, правила действий над парами чисел были, очевидно,
специально придуманы так, чтобы мы могли получать результаты, совпадающие с
результатами действий над дробями. С правилами же этих действий мы знакомились,
ничего
не
зная
о
«парах
чисел».
Правила
действий,
производимых
над
последовательностями, т. е. над иррациональными числами, также относятся к
категории правил, которые были сформулированы так, что воспроизводили правила
действий над уже известными нам величинами. Более тонкие математические понятия
— комплексные числа, алгебры, линейные операторы, борелевские множества и т. д.
(этот список можно было бы продолжать почти до бесконечности) — были задуманы
как подходящие объекты, с помощью которых математик мог продемонстрировать
гибкость своего ума, способность воспринимать формальную красоту. Действительно,
170
определение этих понятий и ясное понимание того, в каких интересных и тонких
рассуждениях их можно было бы использовать, служит первым свидетельством
остроумия придумавшего их математика. О глубине идеи, заложенной в формулировке
нового математического понятия, можно судить лишь впоследствии по тому, насколько
искусно удается использовать это понятие. Великий математик полностью владеет всем
арсеналом допустимых приемов мышления и, действуя подчас весьма рискованно,
балансирует на самой грани допустимого. Уже одно то, что его безрассудство не завело
его в пучину противоречий, само по себе чудо. Трудно поверить, что дарвиновский
процесс естественного отбора довел наше мышление до такой степени совершенства,
которой оно, судя по всему, обладает. Однако это не наша тема. Основная мысль, к
которой нам еще предстоит вернуться, состоит в другом: не вводя других понятий,
кроме содержащихся в аксиомах, математик смог бы сформулировать лишь весьма
ограниченное число интересных теорем, и новые понятия он вводит именно так, чтобы
над ними можно было производить хитроумные логические операции, которые
импонируют нашему чувству прекрасного сами по себе и по получаемым с их
помощью результатам, обладающим большой простотой и общностью (4).
Особенно яркой иллюстрацией сказанного служат комплексные числа. Ничто в
имеющемся у нас опыте, очевидно, не наводит на мысль о введении этих величин. Если
же мы спросим у математика о причинах его интереса к комплексным числам, то он с
негодованием укажет на многочисленные изящные теоремы в теории уравнений,
степенных рядов и аналитических функций в целом, обязанных своим появлением на
свет введению комплексных чисел. Математик отнюдь не склонен отказываться от
наиболее прекрасных творений своего гения (4).
ЧТО ТАКОЕ ФИЗИКА?
Физик видит свою задачу в открытии законов неодушевленной природы. Чтобы
смысл этого утверждения стал ясным, необходимо проанализировать понятие «закон
природы».
Окружающий нас мир поразительно сложен, и самая очевидная истина
заключается в том, что мы не в состоянии предсказать его будущее. В известном
анекдоте лишь оптимист считает будущее неопределенным, тем не менее в данном
случае оптимист прав: будущее непредсказуемо. Как заметил однажды Шредингер,
«чудо, что, несмотря на поразительную сложность мира, мы можем обнаруживать в его
явлениях определенные закономерности» (5).
Одна из таких закономерностей, открытая Галилеем, состоит в том, что два камня,
брошенные в один и тот же момент времени с одной и той же высоты, упадут на землю
171
одновременно. Именно о таких закономерностях и идет речь в законах природы.
Галилеева закономерность стала прототипом широкого класса закономерностей.
Удивительной же ее следует считать по двум причинам.
Во-первых, удивительно, что эта закономерность наблюдается не только в Пизе и
не только во времена Галилея, но и в любом другом месте земного шара; она была и
будет верной всегда. Это свойство закономерности есть не что иное, как известное
свойство инвариантности. Некоторое время назад [7] я уже имел случай заметить, что
без принципов инвариантности, аналогичных тем, которые вытекают из приведенного
выше обобщения замеченного Галилеем опытного факта, физика не могла бы
существовать.
Вторая удивительная особенность закономерности, открытой Галилеем, состоит в
том, что она не зависит от многих условий, от которых в принципе могла бы зависеть.
Закономерность наблюдается безотносительно к тому, идет ли дождь или нет,
проводится ли эксперимент в закрытой комнате или камень бросают с Пизанской
падающей башни и кто бросает камень — мужчина или женщина. Закономерность
остается верной, если двое разных людей одновременно бросают с одинаковой высоты
два камня. Существует, очевидно, бесчисленное множество других условий, не
существенных
для
выполнимости
открытой
Галилеем
закономерности.
Несущественность столь многих обстоятельств, которые могли бы играть роль в
наблюдаемом явлении, мы также называем инвариантностью [7]. Однако эта
инвариантность носит несколько иной характер, чем предыдущая, поскольку ее нельзя
сформулировать в качестве общего принципа.
Исследование условий, влияющих и,
наоборот, не влияющих на свободное падение тел, явилось частью первых экспериментальных исследований поля силы тяжести. Лишь искусство и изобретательность
экспериментатора позволяют ему выбирать явления, зависящие от сравнительно узкого
круга достаточно легко реализуемых и воспроизводимых условий (7). В рассматриваемом нами примере наиболее важным шагом послужило то обстоятельство, что
Галилей ограничил свои наблюдения сравнительно тяжелыми телами. И вновь мы
должны признать, что, не будь явлений, зависящих лишь от небольшого, легко
обозримого числа условий, физика не могла бы существовать.
Хотя обе названные выше особенности замеченной Галилеем закономерности и
представляются весьма важными с точки зрения философа, они не были особенно
удивительными для Галилея и не содержат в себе никакого закона природы. Закон
природы содержится в утверждении: время, в течение которого тяжелое тело падает с
заданной высоты, не зависит от размеров, материала и формы падающего тела. В
172
рамках ньютоновского второго «закона» это утверждение эквивалентно утверждению о
том, что сила тяжести, действующая на падающее тело, пропорциональна его массе, но
не зависит от его размеров, материала и формы.
Проведенный выше анализ преследовал одну цель — напомнить, что
существование «законов природы» не столь уж естественно и самоочевидно и что
способность человека тем не менее открывать законы природы еще более удивительна
(8). Автор уже имел возможность некоторое время тому назад [11] (9) обратить
внимание читателей на иерархию «законов природы» — последовательность слоев,
каждый из которых содержит более широкие и общие законы природы, чем
предыдущий, а открытие его означает более глубокое по сравнению с уже известными
слоями проникновение в строение Вселенной. Однако в интересующем нас случае
наиболее важным является то, что все эти законы природы вместе со всеми, пусть даже
самыми далекими следствиями из них, охватывают лишь незначительную часть наших
знаний о неодушевленном мире. Все законы природы — это условные утверждения,
позволяющие предсказывать какие-то события в будущем на основе того, что известно
в данный момент, причем для предсказания будущего некоторые аспекты состояния
мира
в
данный
момент
(практически
подавляющее
большинство
условий,
определяющих это состояние) несущественны. Несущественность здесь понимается в
смысле второй особенности, упоминавшейся при анализе открытой Галилеем
закономерности (10).
Законы природы хранят молчание относительно всего, что касается состояния
мира в данный момент, например существования Земли, на которой мы живем и на
которой Галилей проводил свои эксперименты, существования Солнца и всего, что нас
окружает. Отсюда следует, что законы природы можно использовать для предсказания
будущего лишь в исключительных обстоятельствах, а именно лишь тогда, когда
известны все существенные (для предсказания будущего) условия, определяющие
состояние мира в данный момент. Отсюда же следует, что создание машин,
функционирование которых физик может предвидеть заранее, является наиболее
эффектным его достижением. В этих машинах физик создает ситуацию, при которой
все существенные параметры известны и поведение машины предсказуемо. Примерами
таких машин могут служить радары и ядерные реакторы.
Глинная цель, которую мы преследовали до сих пор, — показать, что все законы
природы представляют собой некие условные утверждения и охватывают лишь очень
небольшую часть наших знаний об окружающем мире. Так, классическая механика наиболее известный прототип физической теории — позволяет указывать по известным
173
координатам и скоростям любых тел вторые производные от координат этих тел по
времени, но ничего не говорит о существовании самих тел и значениях их координат и
скоростей в данный момент времени. Истины ради следует упомянуть и о том, что, как
стало известно лет тридцать назад, даже условные утверждения, в форме которых мы
выражаем законы природы, не являются абсолютно точными, поскольку представляют
собой лишь вероятностные законы. Опираясь на них и используя то, что нам известно о
состоянии неодушевленного мира в данный момент, мы можем лишь заключать более
или менее разумные пари о его будущих свойствах. Вероятностный характер законов
природы не позволяет нам высказывать никаких категорических утверждений, даже
если ограничиться категорическими утверждениями, содержание которых обусловлено
состоянием мира в данный момент. Вероятностный характер «законов природы» проявляется и в случае машин, и его нетрудно обнаружить, по крайней мере в ядерных
реакторах, работающих в режиме очень малой мощности. Тем не менее область знаний,
охватываемая
законами
природы,
подвержена
дополнительным
ограничениям,
вытекающим из вероятностного характера этих законов (11) (в дальнейшем эти
ограничения не будут играть для нас никакой роли).
РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЯХ
Освежив в памяти наиболее существенные черты математики и физики, мы
можем теперь лучше разобраться в той роли, которую математика играет в физических
теориях.
В своей повседневной работе физик использует математику для получения
результатов, вытекающих из законов природы, и для проверки применимости условных
утверждений этих законов к наиболее часто встречающимся или интересующим его
конкретным обстоятельствам. Чтобы это было возможным, законы природы должны
формулироваться на математическом языке. Однако получение результатов на основе
уже существующих теорий — отнюдь не самая важная роль математики в физике.
Исполняя эту функцию, математика, или, точнее, прикладная математика, является не
столько хозяином положения, сколько средством для достижения определенной цели.
Математике, однако, отводится в физике и другая, более «суверенная» роль. Суть
ее содержится в утверждении, сделанном нами при обсуждении роли прикладной
математики: чтобы стать объектом применения прикладной математики, законы
природы должны формулироваться на языке математики. Утверждение о том, что
природа выражает свои законы на языке математики, по существу было высказано 300
лет назад (12). В наши дни оно верно более чем когда-либо. Чтобы продемонстрировать
всю важность использования математических понятий при формулировке законов
174
физики,
достаточно
вспомнить,
например,
аксиомы
квантовой
механики,
сформулированные в явном виде великим математиком фон Нейманом [14] и в неявном
виде великим физиком Дираком [13]. В основу квантовой механики положены два
понятия: понятие состояний и понятие наблюдаемых. Состояния — это векторы в
гильбертовом
пространстве;
наблюдаемые
—
самосопряженные
операторы,
действующие на векторы состояния: Возможные значения наблюдаемых определяются
собственными значениями этих операторов и т. д., но мы предпочитаем остановиться
на этом и не перечислять математических понятий, развитых в теории линейных
операторов.
Разумеется, для формулировки законов природы физики отбирают лишь
некоторые математические понятия, используя, таким образом, лишь небольшую долю
всех имеющихся в математике понятий. Правда, понятия выбираются из длинного
списка математических понятий не произвольно: во многих, если не в большинстве,
случаях необходимые понятия были независимо развиты физиками, и лишь
впоследствии было установлено их тождество с понятиями, уже известными
математикам. Однако утверждать, как это нередко приходится слышать, будто так
происходит потому, что математики используют лишь простейшие из возможных
понятий, а последние встречаются в любом формализме, было бы неверно. Как мы уже
видели, математические понятия вводятся не из-за их логической простоты (даже
последовательности пар чисел — понятия далеко не простые), а потому, что они
особенно легко поддаются тонким логическим операциям и облегчают проведение
глубоких и блестящих рассуждений. Не следует забывать, что гильбертово пространство квантовой механики — это комплексное гильбертово пространство с
эрмитовым
скалярным
произведением.
Для
неподготовленного
ума
понятие
комплексного числа далеко не естественно, не просто и никак не следует из физических
наблюдений. Тем не менее использование комплексных чисел в квантовой механике
отнюдь не является вычислительным трюком прикладной математики, а становится
почти необходимым при формулировке законов квантовой механики. Кроме того, повидимому, не только комплексным числам, но и так называемым аналитическим
функциям суждено сыграть решающую роль в формулировке квантовой теории. Я
имею в виду быстро развивающуюся теорию дисперсных соотношений.
Невольно создается впечатление, что чудо, с которым мы сталкиваемся здесь, не
менее удивительно, чем чудо, состоящее в способности человеческого разума
нанизывать один за другим тысячи аргументов, не впадая при этом в противоречие, или
два других чуда — существование законов природы и человеческого разума,
175
способного раскрыть их. Из всего, что мне известно, больше всего похоже на
объяснение плодотворности использования математических понятий в физике
замечание Эйнштейна: «Мы с готовностью воспринимаем лишь те физические теории,
которые обладают изяществом». Может показаться спорным, что понятия математики,
постижение которых требует напряженной работы мысли, обладают изяществом.
Замечание Эйнштейна в лучшем случае отражает определенные особенности теории, в
которую мы готовы поверить, и не затрагивает внутренней непротиворечивости теории.
Рассмотрению последней проблемы посвящается следующий раздел нашего доклада.
ТАК ЛИ УЖ УДИВИТЕЛЕН УСПЕХ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ?
Почему физик использует математику для формулировки своих законов природы?
Это можно объяснить тем, что физик довольно безответственно относится к своим
действиям. В результате, когда он обнаруживает связь между двумя величинами,
напоминающую какую-нибудь связь, хорошо известную в математике, он тотчас же
делает вывод, что обнаруженная им связь и есть именно та связь, поскольку никакие
другие связи того же типа ему неизвестны. В своем докладе я вовсе не собираюсь
опровергать выдвигаемое против физика обвинение в том, что он ведет себя несколько
безответственно. В какой-то мере этот упрек справедлив. Важно заметить, однако, что
математическая формулировка полученных физиком зачастую не слишком точных
экспериментальных данных приводит в огромном числе случаев к удивительно
точному описанию широкого класса явлений. Это свидетельствует о том, что
математический язык служит не только средством общения, но и является
единственным языком, на котором мы можем говорить. Правильно будет сказать, что
математический язык отвечает существу дела. Рассмотрим несколько примеров.
Первый пример встречается особенно часто — это движение планет. Законы
свободного падения были надежно установлены в результате экспериментов,
проведенных
главным
образом в Италии. Эти эксперименты не могли быть очень
точными в том смысле, как мы понимаем точность сегодня, отчасти из-за
сопротивления воздуха, отчасти из-за того, что во времена Галилея еще не умели
измерять короткие промежутки времени. Тем не менее не удивительно, что в
результате этих исследований итальянские физики узнали о том, как движутся тела
сквозь атмосферу. Затем Ньютон сопоставил закон свободного падения тел с
движением Луны, заметив, что параболическая траектория падающего камня на Земле
и круговая орбита Луны на небе, являются частными случаями одного и того же
математического объекта — эллипса. Ньютон постулировал свой закон всемирного
тяготения, опираясь на единственное и в те времена весьма грубое численное
176
совпадение. С философской точки зрения сформулированный Ньютоном закон
тяготения противоречил и духу того времени и самому Ньютону. С точки зрения эксперимента закон всемирного тяготения был основан на весьма отрывочных
наблюдениях. Математический язык, на котором этот закон был сформулирован,
использует понятие второй производной, а те из нас, кто хоть раз пытался провести
соприкасающуюся окружность к какой-нибудь кривой, знают, что понятие второй
производной не слишком наглядно. Закон всемирного тяготения, который Ньютон, не
желая того, установил и который он мог проверить лишь с точностью около 4%, при
проверке оказался правильным с точностью до 0,0001% и настолько тесно
ассоциировался с представлением об абсолютной точности, что физики лишь недавно
осмелились вновь заняться исследованием пределов его точности [15]. На пример с
законом Ньютона ссылались и ссылаются многие авторы. Мы не могли не привести его
первым как фундаментальный пример закона, формулируемого с помощью простых с
точки зрения математика понятий и обладающего точностью, лежащей далеко за
пределами всякого разумного ожидания. Воспользуемся этим примером для того,
чтобы еще раз сформулировать наш основной тезис: во-первых, закон всемирного
тяготения (отчасти потому, что в его формулировку входит понятие второй
производной) прост лишь для математика, но отнюдь не для обыкновенного
здравомыслящего человека и даже не для первокурсника, если тот не обладает
математическими способностями; во-вторых, закон всемирного тяготения — это
условный закон с весьма ограниченной сферой применимости. Он ничего не говорит ни
о Земле, притягивающей те камни, которые бросал Галилей, ни о круговой форме
лунной орбиты, ни о планетах солнечной системы. Объяснение всех этих начальных
условий остается на долю геолога и астронома, и задача, стоящая перед ними, отнюдь
не легка.
Вторым примером служит обычная элементарная квантовая механика. Последняя
берет свое начало с того момента, когда Макс Борн заметил, что некоторые правила
вычислений, разработанные Гейзенбергом, формально совпадают с давно известными
математикам правилами действий над матрицами. Борн, Иордан и Гейзенберг
предложили заменить матрицами переменные, отвечающие координатам и скоростям в
уравнениях классической механики [16, 17]. Они применили правила матричной
механики к решению нескольких сильно идеализированных проблем и пришли к
весьма удовлетворительным результатам, однако в те времена не было разумных
оснований надеяться, что построенная ими матричная механика окажется верной и при
более реальных условиях. Сами авторы надеялись, что предложенная ими «механика в
177
основном окажется верной». Первым, кто несколькими месяцами позже применил
матричную механику к решению реальной задачи — атому водорода, — был Паули.
Полученные им результаты оказались в хорошем согласии с экспериментом. Такое
положение дел вызывало удовлетворение, но было еще объяснимым, поскольку при
выводе своих правил Гейзенберг исходил из проблем, в число которых входила старая
теория атома водорода. Чудо произошло лишь тогда, когда матричную механику или
математически эквивалентную ей теорию применили к задачам, для которых правила
Гейзенберга не имели смысла. При выводе правил Гейзенберг предполагал, что
классические уравнения движения допускают решения, обладающие определенными
свойствами периодичности. Уравнения же движения двух электронов в атоме гелия
(или еще большего числа электронов в более тяжелых атомах) не обладают этими
свойствами, и правила Гейзенберга в этих случаях неприменимы. Тем не менее
основное состояние гелия, вычисленное несколько месяцев спустя Киношитой в
Корнелльском университете и Бэзли в Бюро стандартов, в пределах точности наблюдений, составлявшей около 0,0000001, находилось в согласии с экспериментальными
данными. В этом случае мы поистине извлекли из уравнений нечто такое, что в них не
закладывали.
Аналогичная ситуация возникла и при изучении качественных особенностей
«сложных спектров», т. е. спектров тяжелых атомов. Я вспоминаю один разговор с
Иорданом, который сказал следующее: «Когда были получены качественные
закономерности спектров, последняя возможность изменить основы матричной
механики состояла в том, чтобы обнаружить противоречие между правилами,
выведенными из квантовой механики, и правилами, установленными в результате
экспериментальных исследований». Иначе говоря, Иордан понимал, насколько беспомощными мы оказались бы (по крайней мере временно), если бы в теории атома
гелия неожиданно возникло противоречие. Теорию атома гелия в то время
разрабатывали Келлнер и Хилераас. Используемый ими математический формализм
был слишком ясен и незыблем, и, не произойди упомянутое выше чудо с гелием,
кризис был бы неизбежен. Разумеется, физика сумела бы так или иначе преодолеть этот
кризис. Верно и другое: физика в том виде, как мы знаем ее сегодня, не могла бы
существовать, если бы постоянно не повторялись чудеса, подобные чуду с атомом
гелия, которое, по-видимому, следует считать наиболее удивительным, но далеко не
единственным событием во всей истории развития элементарной квантовой механики.
Перечень таких чудес можно было бы неограниченно продолжать. Квантовая механика
178
достигла многих почти столь же удивительных успехов, и это вселяет в нас
уверенность в том, что она, как мы говорим, верна.
В качестве последнего примера рассмотрим квантовую электродинамику, или
теорию лэмбовского сдвига. В то время как ньютоновская теория тяготения еще
обладала наглядными связями с опытом, в формулировку матричной механики опыт
входит лишь в утонченной и сублимированной форме правил Гейзенберга. Квантовая
теория лэмбовского сдвига, основные идеи которой выдвинул Бете, была разработана
Швингером. Это чисто математическая теория, и единственный вклад эксперимента в
нее состоял в доказательстве существования предсказываемого ею измеримого
эффекта. Согласие с вычислениями оказалось лучше 0,001.
Предыдущие три примера (число их можно было бы увеличить почти до
бесконечности) призваны были продемонстрировать эффективность и точность
математической формулировки законов природы с помощью специально отобранных
«удобных в обращении» понятий; выяснилось, что «законы природы» обладают почти
фантастической точностью, но строго ограниченной сферой применимости. Я
предлагаю назвать закономерность, подмеченную на этих примерах, эмпирическим
законом эпистемологии. Вместе с принципами инвариантности физических теорий
эмпирический закон эпистемологии служит прочным основанием этих теорий. Не будь
принципов инвариантности, физические теории нельзя было бы подкреплять
экспериментом. Не будь эмпирического закона эпистемологии, нам не хватило бы
мужества и уверенности — эмоциональных предпосылок, без которых нельзя было бы
успешно исследовать «законы природы». Сакс, с которым я обсуждал эмпирический
закон эпистемологии, назвал его догматом веры физика-теоретика и был, несомненно,
прав. Однако то, что он назвал нашим догматом веры, подкрепляется примерами из
практики, куда более многочисленными, чем три примера, приведенные в нашем
докладе.
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
Эмпирическая
природа
сделанных
выше
замечаний
представляется
мне
самоочевидной. Они явно не принадлежат к числу «логически необходимых», и, чтобы
доказать это, вовсе не нужно указывать на то, что они применимы лишь к очень
незначительной части наших знаний о неодушевленном мире. Было бы нелепо считать,
будто существование простых с точки зрения математика выражений для второй
производной от координат по времени самоочевидно, в то время как аналогичных
выражений для самой координаты или скорости не существует. Тем большее удивление
вызывает та готовность, с которой чудесный дар, содержащийся в эмпирическом
179
законе эпистемологии, был воспринят как нечто само собой разумеющееся.
Способность человеческого разума нанизывать, оставаясь «правым» (т. е. не впадая в
противоречие), цепочки из 1000 и более аргументов — дар, не менее удивительный.
Каждый эмпирический закон обладает тем неприятным свойством, что пределы
его применимости неизвестны. Мы уже убедились в том, что закономерности в
явлениях
окружающего
нас
мира
допускают
формулировку
с
помощью
математических понятий, обладающую сверхъестественной точностью. С другой
стороны, в окружающем нас мире имеются и такие явления, рассматривая которые, мы
не уверены, что между ними существуют какие-либо точные закономерности. Такие
явления мы называем начальными условиями. Вопрос, который возникает в этой связи,
состоит в следующем: не сольются ли различные закономерности, т. е. различные
законы природы, которые будут открыты, в единое непротиворечивое целое или, по
крайней мере, не обнаружат ли они асимптотическую тенденцию к такому слиянию? В
противном случае мы всегда могли бы указать законы природы, не имеющие между
собой ничего общего. Именно так, по крайней мере, обстоит дело с законами
наследственности и законами физики. Может случиться даже так, что следствия из
некоторых законов природы будут противоречить друг другу, но мы не захотим
отказаться ни от одного из законов, поскольку каждый из них в своей области
достаточно убедителен. Обнаружив противоречие между отдельными законами
природы, мы можем покориться такой ситуации и потерять интерес к разрешению
конфликта между различными теориями. Мы можем разочароваться в поисках
«абсолютной истины», т. е. непротиворечивой картины, образующейся при слиянии в
единое целое маленьких картинок, отражающих различные аспекты природы.
Обе альтернативы полезно проиллюстрировать на примере. В современной
физике существуют две теории, обладающие огромной мощью и представляющие
большой интерес: квантовая теория
и теория относительности. Своими корнями
названные теории уходят во взаимно исключающие группы явлений. Теория
относительности применима к макроскопическим телам, например к звездам.
Первичным в теории относительности считается явление совпадения, т. е. в конечном
счете столкновения частиц. Сталкиваясь, частицы определяют или, по крайней мере,
должны были бы определять (если бы они были бесконечно малыми) точку в
пространстве-времени.
Квантовая
теория
своими
корнями
уходит
в
мир
микроскопических явлений, и с ее точки зрения явление совпадения или столкновения,
даже если оно происходит между частицами, не обладающими пространственной
протяженностью, нельзя считать первичным и четко локализованным в пространстве-
180
времени. Обе теории — квантовая теория и теория относительности — оперируют
различными математическими понятиями: первая — понятием четырехмерного
риманова
пространства,
вторая
—
понятием
бесконечномерного
гильбертова
пространства. До сих пор все попытки объединить обе теории оканчивались неудачей,
т. е. не удавалось найти математическую формулировку теории, по отношению к
которой квантовая теория и теория относительности играли бы роль приближений. Все
физики считают, что объединение обеих теорий принципиально возможно и нам
удастся в конце концов достичь его. Однако нельзя исключать и другую возможность
— что нам не удастся построить теорию, объединяющую квантовую механику и
теорию относительности. Приведенный пример показывает, что ни одну из названных
возможностей — объединение двух теорий и конфликт между ними — нельзя
отбрасывать заранее.
Чтобы получить хотя бы намек, какую же из двух альтернатив нам следует, в
конце концов, ожидать, притворимся чуточку более невежественными, чем мы
являемся в действительности, и опустимся на более низкий уровень знания. Если,
оставаясь на этом уровне знания, мы будем в состоянии обнаружить возможность
слияния наших теорий, то можно с уверенностью сказать, что и на истинном уровне
наших знаний такое слияние также окажется возможным. С другой стороны,
обнаружив конфликт на более низком уровне знаний, мы не сможем исключить
возможность
существования
непримиримо
конфликтующих
теорий
и
после
возвращения на истинный уровень наших знаний. Уровень знания и степень нашего
интеллектуального
развития
изменяются непрерывно,
и
маловероятно,
чтобы
сравнительно слабая вариация этой непрерывной функции изменяла имеющуюся в
нашем распоряжении картину мира, внезапно превращая ее из несогласованной в
последовательную (13).
Высказанной только что точке зрения противоречит тот факт, что некоторые
теории, ошибочность которых нам заведомо известна, позволяют получать удивительно
точные результаты. Если бы мы знали немного меньше, то круг явлений, объясняемых
этими «ложными» теориями, казался бы нам достаточно большим для того, чтобы
уверовать в их «правильность». Однако эти теории мы считаем «ошибочными» именно
потому, что, как показывает более тщательный анализ, они противоречат более
широкой картине, и, если таких теорий обнаружено достаточно много, они непременно
вступают в конфликт друг с другом. Не исключена и другая возможность: теории,
которые мы, опираясь на достаточно большое, по нашему мнению, число
подтверждающих фактов, считаем «верными», на самом деле являются «ошибочными»
181
потому, что противоречат более широкой, вполне допустимой, но пока еще не
открытой теории. Если бы дело обстояло именно так, мы должны были бы ожидать
конфликта между нашими теориями, когда число их превысит определенный уровень и
они будут охватывать достаточно широкий круг явлений. В отличие от уже
упоминавшегося догмата веры физика-теоретика эту мысль следовало бы назвать
«кошмаром» теоретика.
Рассмотрим несколько примеров «ошибочных» теорий, дающих, вопреки своей
ошибочности, удивительно точное описание различных групп явлений. Если не быть
чересчур придирчивым, то некоторые подробности, относящиеся к этим примерам,
можно опустить. Успех первых основополагающих идей Бора в теории строения атома
был весьма ограниченным, как, впрочем, и успех эпициклов Птолемея. Теперь мы
находимся в более выгодном положении и можем точно указать все явления, которые
допускают описание в рамках этих примитивных теорий. Мы не можем утверждать
ничего подобного о так называемой теории свободных электронов, которая дает
удивительно точную картину свойств большинства, если не всех, металлов,
полупроводников и изоляторов. В частности, теория свободных электронов объясняет
тот факт (который так и не удалось объяснить на основе «настоящей теории»), что
удельное
сопротивление
изоляторов
может
в
1026
превосходить
удельное
сопротивление металлов. Более того, не существует экспериментальных данных,
которые бы убедительно показали, что сопротивление конечно при условиях, когда,
согласно теории свободных электронов, оно должно было бы обращаться в
бесконечность. Тем не менее мы убеждены, что эта теория представляет собой лишь
грубое приближение и при описании явлений, происходящих в твердых телах, ее
должна была бы заменить более точная картина.
Достигнутые к настоящему времени успехи позволяют считать, что ситуация с
теорией свободных электронов несколько тревожна, но отнюдь не свидетельствует о
каких-то непреодолимых противоречиях. Теория свободных элементов заставляет нас
сомневаться в другом: насколько мы можем доверять численному совпадению между
теорией и экспериментом как показателю правильности теории. К такого рода
сомнениям мы привыкли.
Гораздо больше трудностей и сомнений возникло бы, если бы в один прекрасный
день нам удалось построить теорию сознания или разработать теоретическую
биологию, столь же непротиворечивую и убедительную, как и существующие ныне
теории неодушевленного мира. Если говорить о биологии, то законы наследственности
Менделя и последующее развитие генетики вполне можно считать зачатками такой
182
теории. Более того, не исключено, что кому-нибудь удастся обнаружить некий
абстрактный аргумент, свидетельствующий о конфликте между такой теорией и
общепринятыми основами физики. Аргумент этот может быть столь абстрактным, что
упомянутый конфликт нельзя будет разрешить в пользу одной из теорий с помощью
эксперимента. Такая ситуация сильно пошатнула бы нашу веру в существующие
теории и в реальность создаваемых нами понятий. Мы испытали бы чувство глубокого
разочарования в поисках того, что я назвал «абсолютной истиной». Причина, по
которой подобную ситуацию нельзя считать заранее исключенной, состоит в том, что
нам в принципе неизвестно, почему наши теории «работают» так хорошо. Их точность
может еще не свидетельствовать об их правильности и непротиворечивости. Автор
данного доклада убежден, что нечто подобное возникает при попытке сравнить
современные законы наследственности с физическими законами.
Я хотел бы закончить более радостной нотой. Математический язык удивительно
хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар,
который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить
за него судьбу и надеяться, что и в своих будущих исследованиях мы сможем попрежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или
плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые
головоломные проблемы.
Я хотел бы поблагодарить Поляни, который давно уже оказывает глубокое
влияние на мою точку зрения в связи с проблемами эпистемологии, и Баргмана за
дружескую критику, способствовавшую достижению ясности. Я очень признателен
также Шимони, просмотревшему рукопись данного доклада и обратившему мое
внимание на статьи Пирса,
ЛИTEPATУPA
1. Dubislav W., Die Philosophic der Mathematik in der Gegenwart, Junker und
Dunnhaupt Verlag, Berlin, 1932.
2. Polanyi M., Personal Knowledge, University of Chicago Press, Chicago, 1958, p.
188.
3. Hilbert D., Abhandl. Math. Sem., Univ. Hamburg, 157 (1922).
4. Hilbert D., Gesammelte Werke, Springer Verlag, Berlin, 1935.
5. Schrodinger E., Uber Indeterminismus in der Physik, J. A. Barth, Leipzig, 1932.
6. Dubislav W., Naturphilosophie, Junker und Dunnhaupt, Verlag, Berlin, 1933, Kap. 4.
7. Wigner E., Proc. Amer. Phil. Soc., 93, 521 (1949). (Статья первая данной книги.)
8. Deutsch M., Daedalus, 87, 86 (1958).
183
9. Peirce C. S., Essays in Philosophy of Science, The Liberal Arts Press, New York,
1957, p. 237.
10. Schrodinger E., What is Life?, Cambridge University Press, Cambridge, 1945, p.
31. (Имеется перевод: Шредингер Э. Что такое жизнь с точки зрения физики?, ИЛ,
1947.)
11. Wigner E., Proc. Amer. Phil. Soc., 94, 422
(1950).
(Статья 12 данной
книги.)
12. Margenau H., The Nature of Physical Reality, McGraw-Hill, New York, 1950, ch.
8.
13. Dirac P. A. M., Quantum Mechanics, 3rd Ed., Clarendon Press, Oxford, 1947.
(Имеется перевод: Дирак П.А.М., Принципы квантовой механики, Физматгиз, М.. 1960)
14. von Neumann J., Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer
Verlag, Berlin, 1932. (Имеется перевод: Иоганн фон Нейман, Математические основы
квантовой механики, изд-во «Наука», М., 1964.)
15. Dicke R. H,, Amer. Sci., 25 (1959).
16. Born M., Jordan P., Zs. Phys., 34, 858 (1925).
17. Born M., Heisenberg W., Jordan P., Zs. Phys., 35, 557 (1926).
Примечания
1. Доклад прочитан 11 мая 1969 г. в Нью-Йоркском университете на
Курантовских математических лекциях. Опубликован в журнале: Соmm. Риге аnd Арpl.
Маth„ 13, 1 (1960).
2. Речь идет о замечании Вернера, в то время студента Принстонского
университета,
3. Приведенное замечание принадлежит Дубиславу [1].
4. Поляни [2] (на стр. 188) говорит следующее: «Все упомянутые выше трудности
проистекают единственно из нашего нежелания понять, что математику как науку
нельзя определить, не признав ее наиболее очевидного свойства — того, что она
интересна».
5. В этой связи читателю будет небезынтересно ознакомиться с весьма
красочными замечаниями Гильберта об интуиционизме, который пытается «подорвать
и обезобразить математику» (см. [3, 4]).
6. См. работу Шредингера [5], а также работу Дубислава [6].
7. В этой связи см. также яркий очерк Дейча [8]. Шимони обратил мое внимание
на аналогичную мысль у Пирса [9].
184
8. Шредингер [10] говорит, что второе чудо также может выходить за рамки
человеческого понимания.
9. См. также работу Маргенау [12].
10. Автор считает излишним напоминать о том, что приведенная выше формулировка закона Галилея не исчерпывает полностью содержания выполненных
Галилеем наблюдений но выяснению законов свободного падения тел.
11. См., например, работу Шредингера [5],
12. Его приписывают Галилею.
13. Эту мысль я написал после больших колебаний. Я убежден, что в
эпистемологических дискуссиях полезно отказаться от представления об исключительно высоком положении уровня человеческого интеллекта на абсолютной шкале.
В ряде случаев полезно рассматривать достижения, доступные и при уровне развития,
свойственном отдельным видам животных. Я полностью отдаю себе отчет в том, что
идеи, приведенные в тексте доклада, очерчены слишком бегло и не подвергались
достаточно критическому обсуждению, чтобы их можно было считать надежными.
Вопросы для понимания
1.
Какие две главных темы своего доклада называет Е. Вигнер?
2.
Вигнер определяет математику так - «Я мог бы определить математику
как науку о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным
правилам над специально придуманными понятиями. Особенно важная роль при этом,
разумеется, отводится придумыванию новых понятий. Запас интересных теорем в
математике быстро иссяк бы, если бы их приходилось формулировать лишь с помощью
тех понятий, которые содержатся в формулировках аксиом». Как по Вашему
«придумываются» новые понятия в математике? Придумываются ли они?
3.
«Комплексные числа, алгебры, линейные операторы, борелевские
множества и т. д. (этот список можно было бы продолжать почти до бесконечности) —
были задуманы как подходящие объекты, с помощью которых математик мог
продемонстрировать гибкость своего ума, способность воспринимать формальную
красоту» (стр. 3). Согласны ли вы с тем, что названные выше понятия были задуманы
математиками? И что они были задуманы для демонстрации гибкости своего ума?
4.
«Новые понятия математик вводит именно так, чтобы над ними можно
было производить хитроумные логические операции, которые импонируют нашему
чувству прекрасного сами по себе и по получаемым с их помощью результатам,
185
обладающим большой простотой и общностью». (4). Назовите другой возможный
механизм возникновения новых математических понятий (см. напр. Веркутис М.Ю.
Формирование нового знания в математике: рефлексивные преобразования и
рациональные переходы, гл. 4 (4.1 и 4.2 о механизмах возникновения теории множеств
и неевклидовой геометрии)
5.
«Ничто в имеющемся у нас опыте, очевидно, не наводит на мысль о
введении этих величин». Стр. 3-4. Так ли это? Как исторически были введены
комплексные числа? Если в понятие опыта включить опыт решения уравнений, тогда
ответ о возникновении комплексных чисел будет совсем иным.
6.
В чем видит физика свою задачу? Какие принципы, характерные для
законов природы, называет Вигнер? Какую закономерность (связанную с бросанием
камней) открыл Галилей? Что удивительного видит Вигнер в закономерности,
открытой Галилеем?
7.
«существование «законов природы» не столь уж естественно и
самоочевидно и способность человека, тем не менее, открывать законы природы еще
более удивительна (8). Как Вигнер понимает законы природы? Согласны ли Вы с этим?
8.
Какую роль играет математика в физике?
9.
Почему Вигнер говорит об использовании математики в физике как о
чуде?
Почему
10.
физик
использует
математику для формулировки своих законов природы?
11.
В чем суть эмпирического закона эпистемологии, о котором говорит
Вигнер? На каких примерах использования математики в физике этот закон подмечен
Вигнером?
О каких двух альтернативных отношениях между теориями в физике говорит
Вигнер?
12.
Какие примеры теорий, ошибочность которых нам заведомо известна,
позволяют получать удивительно точные результаты?
13.
насколько
Теория свободных элементов заставляет нас сомневаться в другом:
мы
можем
доверять
численному
совпадению
между
теорией
и
экспериментом как показателю правильности теории. К такого рода сомнениям мы
привыкли.
14.
«нам в принципе неизвестно, почему наши теории «работают» так
хорошо. Их точность может еще не свидетельствовать об их правильности и
непротиворечивости. Автор данного доклада убежден, что нечто подобное возникает
186
при попытке сравнить современные законы наследственности с физическими
законами». Согласны ли Вы с этими утверждениями?
15.
«Математический
язык
удивительно
хорошо
приспособлен
для
формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и
которого не заслуживаем». (стр. 15). Действительно ли нельзя понять удивительную
эффективность математики?
187
Возникновение математики
Основная проблема статьи Дж. Нидама - почему современная наука, какой мы ее
знаем с семнадцатого столетия, с Галилея, не развилась ни в китайской, ни в индийской
цивилизации, а возникла именно в Европе. Наряду с этим обсуждается вопрос - почему
между I веком до н. э. и XV веком н. э. китайская цивилизация была более высокой,
чем западная, с точки зрения эффективности приложения человеческих знаний к
нуждам человеческой практики. Ответы на эти вопросы автор ищет, прежде всего, в
социальных,
духовных
и
экономических
структурах
Западной
и
Восточной
цивилизаций. Он хочет уйти от таких объяснений причин возникновения «греческого
чуда», как а) чистая случайность и б) расизм (представление о том, что определенная
группа народов, в данном случае «европейская раса», обладает каким-то врожденным
превосходством, выделена среди всех других групп народов). Он подчеркивает дух
активизма древних греков, с одной стороны, и – принцип невмешательства, «ву вей»,
характерный для Китая. Народный герой греков – мореплаватель, тогда как в Китае –
специалист-гидролог. Китаец – это, прежде всего крестьянин, а не скотовод или
мореплаватель. Крестьянин, если он сделал все, что положено, вынужден ждать
урожая, тогда как скотоводство и мореплавание развивают склонности к командованию
и подчинению. «Принцип невмешательства трудно было бы согласовать со
специфически западным «вмешательством», которое естественно для народа пастухов
и
мореплавателей.
Принцип
невмешательства
мешал
меркантильному образу
мышления занять ведущее место в цивилизации. Именно поэтому он не был в
состоянии
объединить
технику
высокого
мастерства
с
учеными
методами
математического и логического мышления. Этап научного развития от Леонардо да
Винчи до Галилея не был пройден естествознанием Китая, его, возможно, и нельзя
было пройти. В средневековом Китае систематическое экспериментирование велось в
больших масштабах, чем в древней Греции или в средневековой Европе, но, пока
существовал «бюрократический феодализм», математика не могла объединиться с
эмпирическими наблюдениями природы, а эксперимент — дать нечто фундаментально
новое. Дело в том, что эксперимент требует слишком активного вмешательства, и, хотя
к такому вмешательству приходилось терпимо относиться в ремесле и торговле более
терпимо даже, чем в Европе, получить философскую санкцию в Китае активному
вмешательству было, видимо, труднее» (стр.
наст издания).
Нидам подробно характеризует бюрократический феодализм, сложившийся в
Китае, и его отличия от экономического и государственного устройства средневековой
Европы и высказывает надежду, что когда-нибудь доступные анализу различия между
188
социально-экономическими формациями Китая и Западной Европы объяснят и
превосходство китайской науки и техники в средние века и возникновение
современной науки только в Европе.
Дж. Нидам
Общество и наука на Востоке и на Западе
Наука о науке. М., 1966. Стр. 149-177.
Когда в 1938 году у меня возникла мысль написать систематический,
убедительный и объективный труд по истории научной мысли и техники в областях,
находившихся под влиянием китайской культуры (1), я считал, что основной
проблемой будет вопрос о том, почему современная наука, какой мы ее знаем с
семнадцатого столетия, с Галилея, не развилась ни в китайской, ни в индийской
цивилизации, а возникла именно в Европе. Но годы шли, и по мере того, как
обнаруживались новые факты о китайской науке и о китайском обществе (2), я начал
уяснять, что есть еще и второй вопрос не меньшей важности: вопрос о том, почему
между I веком до н. э. и XV веком н. э. китайская цивилизация была более высокой,
чем западная, с точки зрения эффективности приложения человеческих знаний к
нуждам человеческой практики.
Ответы на эти вопросы, мне кажется, нужно искать, прежде всего, в социальных,
духовных и экономических структурах различных цивилизаций. Сравнение Китая и
Европы особенно поучительно и наглядно потому, что здесь исключен климатический
фактор; в широком смысле климатические условия области влияния китайской
культуры близки к климатическим условиям Европы. О Китае никто не мог бы сказать,
как это иногда делают в отношении Индии, что чересчур жаркий климат препятствует
развитию современной науки (3). Хотя природные, географические и климатические
условия, бесспорно, играют большую роль в формировании специфических черт
культуры, я не склонен считать, что именно это является определяющим для индийской
культуры. В случае с Китаем такая гипотеза вообще не имела бы почвы.
С самого начала я весьма скептически относился к ценности «физиоантропологических» или «расово-духовных» факторов любого сорта, которые находят
поддержку у достаточно широкого круга людей. Все то, что я узнал за последние
тридцать лет, с момента моих первых личных контактов с китайскими друзьями и
коллегами, только укрепило меня в этом скептицизме. Китайцы оказались именно
такими, какими их увидел много столетий назад Джованни из Монтекорвино, di nostra
189
qualita, то есть такими же, как мы. Я считаю, что огромные исторические различия
между культурами могут найти объяснения только в рамках социологических
исследований и что когда-нибудь проблема будет решена именно на этом пути. Чем
более глубоко я погружаюсь в детали исторических достижений китайской науки и
техники до того времени, когда наука и техника Китая, как и другие этнические потоки
культуры, стали вливаться, в море современной науки, тем больше я убеждаюсь в том,
что причины именно европейского происхождения науки можно искать в особенностях
социальных и экономических условий, которые преобладали в Европе в эпоху
Ренессанса. Эти «причины не имеют отношения ни к складу китайского разума, ни к
специфике китайской духовной и философской традиции. Во многих отношениях как
раз эти стороны китайской культуры ближе к современной науке, чем мировоззренческие нормы христианства. Подобная точка зрения может считаться марксистской или
любой другой, но для меня она убеждение, основанное на опыте жизни и исследований.
Учитывая сказанное, мы, как историки науки, обязаны рассмотреть некоторые
существенные особенности военно-аристократического феодализма Европы, в недрах
которого мог бы зародиться торговый и промышленный капитализм вместе с
Ренессансом и Реформацией, и рассмотреть такие особенности других видов феодализма (если таковые действительно обнаруживаются), которые были бы характерны
для средневековой Азии. С точки зрения науки нам, если мы хотим решить проблему,
во всяком случае, нужно иметь нечто особенное, нечто отличающееся от условий в
Европе. Именно поэтому я никогда не симпатизировал тому частному течению
марксистской мысли, которое ищет жестких и универсальных формул для всех этапов
общественного развития, через которые «должны пройти» все цивилизации.
Уже самый ранний из этих этапов, первобытный коммунизм, порождает
множество споров. За некоторыми заметными исключениями (Гордон Чайлд,
например), западные антропологи и археологи отвергают, как правило, концепцию
первобытного коммунизма. Вместе с тем мне всегда казалось весьма существенным для
исследования и разумным считать, что до появления классовой дифференциации
существовала какая-то исходная нерасчлененная форма общества, и по ходу изучения
древнего китайского общества я обнаруживаю, что черты такого нерасчлененного
общества просматриваются время от времени через многовековой туман. Нет какихлибо фундаментальных трудностей и на другом конце исторической цепи, на этапе
перехода от феодализма к капитализму, хотя, конечно, переход этот невероятно сложен
в деталях и требует еще большой исследовательской работы. Остается, в частности,
ускользающим от наблюдения сам механизм связи между социально-экономическими
190
изменениями и подъемом современной науки, которую можно было бы определить как
успешное
приложение
экспериментальному
математизированных
исследованию
природы.
гипотез
к
Независимо
систематическому
от
теоретических
склонностей и предубеждений все современные историки с необходимостью
вынуждены признавать, что подъем современной науки происходил pari passu, из
одного корня с Ренессансом, Реформацией и подъемом капитализма (4), что существует
интимнейшая связь между социально-экономическими изменениями, с одной стороны,
и успехами «новой или экспериментальной» науки — с другой, хотя эти тонкие
отношения весьма сложно поймать сачком определений. Об этом можно бы говорить
весьма много, например о жизненно важной для науки роли «высокого ремесленного
мастерства», его объединения с учеными-схоластами того периода (5), но настоящая
статья не место для такого разговора; мы ищем нечто другое. Пока для нас
существенно одно — возникновение и развитие науки произошло в Европе, а в других
районах этого не случилось.
При сравнении состояний Европы и Китая наиболее важными и вместе с тем
наиболее темными проблемами являются следующие: а) насколько и в каком именно
отношении китайский средневековый феодализм (если этот термин применим для
Китая) отличался от европейского феодализма; б) прошел ли Китай (или соответственно Индия) через «рабовладельческий строй» того типа, который имел место в
Греции классического периода и в Риме. Вопрос, конечно, не столько в том,
существовал ли институт рабства, это совсем другая проблема, а в том, основывалось
ли общество на этом институте рабства.
В молодости, когда я еще работал в биохимии, на меня большое впечатление
произвела книга Карла Виттфогеля «Экономика и общество Китая», которую он написал в тот период, когда был еще более или менее ортодоксальным марксистом в
догитлеровской Германии (6). Виттфогеля особенно интересовало развитие концепции
«азиатского бюрократизма» или, как его теперь называют китайские историки,
«бюрократического феодализма». Концепция взята из работ Маркса и Энгельса,
которые основывали ее на свидетельствах XVII века, собранных французом Франсуа
Бернье, врачом могольского императора Индии Ауренгзеба (7). Маркс и Энгельс
говорили об «азиатском способе производства». Как в различных контекстах они
определяли этот термин и как его должно определять в наше время — это сегодня
является предметом оживленной дискуссии почти во всех странах. В широком смысле
речь идет о возникновении бюрократического в своем существе государственного
аппарата, которым управляла ненаследственная элита. Государственный аппарат
191
опирался на большое число сравнительно автономных крестьянских общин,
сохранивших черты рядовой организации с незначительной или вовсе отсутствующей
дифференциацией труда между сельским
хозяйством и
ремеслом.
Форма
эксплуатации состояла главным образом в сборе налогов для централизованного
государственного аппарата, то есть для императорского двора и многочисленных
представителей государственной бюрократии. Необходимость
государственного
аппарата оправдывалась двойной его функцией: с одной стороны, государство
обороняло весь район (сначала древнее «феодальное» государство, а позднее всю
Китайскую империю), а с другой — государство организовывало общественные работы
и руководило ими. Без риска впасть в противоречие можно сказать, что во всей
китайской истории организационная функция была важнее военной, и как раз эту
особенность Китая сумел подметить Виттфогель. Топографическая специфика страны и
потребности сельского хозяйства с самого начала вынуждали вести гидрологические
работы в крупных масштабах, чтобы, во-первых, регулировать большие реки для
зашиты от наводнений и тому подобных неприятностей, во-вторых, использовать воду
для ирригации, особенно в районах заливного выращивания риса, и, наконец, для
создания разветвленной сети каналов, по которым можно было бы доставлять
налог в виде зерна на сборные пункты, а оттуда — в столицу. Во все времена
величайшим национальным героем Китая оставался специалист-гидролог. Все эти
потребности, кроме налоговой эксплуатации, вынуждали использовать подневольный
труд, и можно сказать, что единственной повинностью автономной крестьянской
общины по отношению к государственному аппарату была выплата налога и питание
занятого на общественных работах населения, когда общинам приходилось
выделять людей на эти работы 2. Кроме этого, государственная
бюрократия
брала на себя функцию общей организации производства, то есть отвечала за
широкую сельскохозяйственную политику, что теперь дает повод оправдывать
существование государственного аппарата в обществах этого типа как «высшее
экономическое
командование».
Среди
государственных деятелей только
прославленных
в
древности
великих
в Китае мы обнаруживаем руководителей
инженерных и сельскохозяйственных работ, таких, как Шу Кун, Шу Ту, Шу Нун.
Не следует также забывать и о том, что «национализация» производства соли и
железа (единственные продукты, которые приходилось перевозить, так как они
производились не везде) была предложена в V веке до н. э. и практически проведена в
жизнь во II веке до н. э. Еще во времена Ханьской династии существовало
государственное производство алкогольных напитков, и есть много других примеров
192
государственных монопольных производств при следующих династиях.
Если внимательнее приглядеться к деталям, то проясняются и некоторые новые
аспекты. Выясняется, например, что продукт крестьянского труда был не в личной, а
в общинной собственности, что теоретически вся земля империи принадлежала
императору и только ему одному. Сначала существовало что-то близкое к
фамильной собственности на землю, но этот институт не развился в Китае ,в
формы, сравнимые с феодальным поместным владением Запада: китайское общество
не сохранило систему первородства. перехода собственности
к старшему сыну.
Поэтому все земельное имущество должно было дробиться на участки всякий раз,
когда менялся глава семьи. И еще, в китайском обществе совершенно отсутствует идея_
города-государства. Города строились преднамеренно, как узловые пункты единой
административной сети, хотя впоследствии, несомненно, некоторые из них стихийно
вырастали в торговые центры. Каждый город был укрепленной крепостью, которой
владел принц или сам император, представленный гражданским губернатором и его
военным советником. Поскольку экономическая функция в китайском обществе всегда
была значительно важнее военной, не приходится удивляться тому, что гражданский
губернатор был обычно более уважаемым лицом, чем военный советник — начальник
гарнизона.
И
наконец,
рабы,
вообще
говоря,
не
использовались
в
сельскохозяйственных работах и лишь ограниченно использовались в ремесле. На
протяжении многих веков рабство носило в основном домашний, можно даже сказать
«патриархальный» характер.
В более поздних и высокоразвитых формах, каким мы его застаем в Танский и
Сунский периоды, «азиатский способ производства» складывается в социальную
систему, которая хотя и была «феодальной» в том смысле, что большая часть богатства
приобреталась в результате эксплуатации крестьянства (11), но вместе с тем носила
ярко выраженный бюрократический, а не военно-аристократический характер. Нельзя
недооценивать силу гражданской традиции в китайской истории. Императорская власть
осуществлялась не через иерархию имеющих поместья баронов, а через развитую и
гибкую сеть гражданских служб, которая известна на Западе как «мандаринат» —
институт,
не
использующий
наследственную
передачу имущества
и
власти.
Мандаринат обновлялся с каждым новым поколением, и после тридцати лет изучения
китайской культуры я могу сказать только одно: именно этот институт в значительно
большей степени, чем другие, помогает понять суть и смысл китайского общества. Я
считаю, что как раз мандаринат делает в принципе возможным анализ того, почему
«бюрократический феодализм» в Азии сначала способствовал росту знания о природе и
193
применению этого знания на пользу людям, а затем стал препятствовать подъему
капитализма и современной науки, тогда как европейская форма феодализма
действовала как раз наоборот, если иметь в виду разложение феодализма и становление
нового,
основанного на
товарном производстве
общества.
Товарный
способ
производства, как основа государственности, никогда не мог бы возникнуть в
китайской цивилизации, поскольку основные концепции мандарината исключали не
только Принцип наследственного аристократического феодализма, но и систему
ценностей богатого купечества. Накопление капитала в китайском обществе могло,
конечно, иметь место, но использование капитала в промышленных частных предприятиях
постоянно
подавлялось
ученой
бюрократией,
поскольку
это
была
единственная форма социальной активности, которая могла бы угрожать их
привилегиям. Поэтому купеческие гильдии Китая никогда не достигали статуса и силы
купеческих гильдий в городах-государствах европейской цивилизации.
Множество фактов позволяет утверждать, что социально-экономическая система
средневекового Китая была во многих отношениях более рациональна, чем та же
система средневековой Европы. Еще во II веке до н. э. возникла вместе с древней
традиционной «рекомендацией выдающихся талантов» система государственных
экзаменов на занятие должностей. Экзамены привели к тому, что более двух
тысячелетий мандаринат поглощал все лучшие умы нации, причем такой нации,
которая занимает половину континента. Это совершенно непохоже на европейскую
ситуацию, где лучшие умы не имели особой склонности появляться на свет в семьях
феодалов, и того менее — в узкой группе старших сыновей феодалов. Конечно,
некоторые черты бюрократизма были и в средневековом европейском обществе, такие,
как институт округов, где можно было дослужиться до генерал-губернаторского чина, а
также широко распространенный обычай использовать епископов и духовных лиц в
качестве администраторов от имени короля, но все это не идет ни в какое сравнение с
тем
постоянным
выкачиванием
административных
талантов,
которое
было
реализовано в китайской системе.
Более того, дело не ограничивалось простым выдвижением административных
талантов на соответствующие бюрократические посты. Конфуцианское учение
пользовалось в Китае таким влиянием, что представители других групп населения в
значительной мере осознавали b признавали свою меньшую значимость в общем
порядке вещей. Когда я недавно рассказывал об этом в университетской среде, мне
задали интереснейший вопрос: «Как могло случиться, что на протяжении всей
китайской истории военные мирились с тезисом о собственной неполноценности по
194
сравнению с гражданскими властями?» Ведь, в конце концов, «власть меча» была
непререкаемым аргументом в других цивилизациях. Ответ, видимо, следует искать в
том, что имперские дары распределялись бюрократией (13), что в Китае развит культ
буквы (14), что в Китае с древних времен широко распространено убеждение: меч
может завоевать, но удержать завоеванное может только разум. Есть любопытная
легенда о первом императоре династии Хань, который проявлял пренебрежение к
дворцовому ритуалу, разработанному придворными философами, пока один из
философов не заявил: «Можно завоевать империю верхом на коне, но управлять
империей с седла нельзя». После этого император восстановил вce обряды и церемонии
пышного придворного этикета (15). В древние времена выдающийся деятель Китая мог
быть одновременно и гражданским чиновником и военным. Но важно то, что военные
чувствовали и признавали свою неполноценность; многие из них были неудачниками
из среды гражданских чиновников. Конечно, и в Китае сила становилась верховным
авторитетом и высшей санкцией, как и во всех обществах, но все дело в том, о какой
силе идет речь, о моральной или о чисто физической? Китайцы всегда считали, что
только моральная сила способна к длительному действию, и то, что завоевано силой
физической, удержать может лишь сила моральная.
Одним из существенных факторов китайской жизни была высокая культура
устной и письменной речи (16). Доказано, что в древнем Китае прогресс
наступательного оружия — арбалет — зашел много дальше, чем прогресс в защитной
броне.
Древность
знает
множество
случаев,
когда
вооруженный
арбалетом
простолюдин или крестьянин убивал феодала — ситуация, мало похожая на
европейскую, где рыцарь в тяжелом вооружении пользовался в средние века всеми
преимуществами неуязвимого человека. Возможно, что как раз сравнительная
беззащитность человека заставила конфуцианство подчеркивать роль убеждения.
Китайцы — это наши виги, которым «нужна не сила, а доказательства». Китайского
крестьянина, например, трудно было силой заставить подняться на защиту границ
государства по той простой причине, что он мог бы для начала пристрелить своего
принца. Но когда философам, патриоты они или софисты, удавалось убедить
крестьянина в том, что воевать за империю необходимо, тогда крестьянин шел в поход.
Отсюда постоянное присутствие в классических и исторических китайских текстах
того, что можно было бы назвать «пропагандой» (не обязательно в плохом смысле) и
что создает своего рода «персональное уравнение» («personal equation»), для которого
историк должен дать свое собственное решение. В самом этом факте нет ничего
специфически китайского, предубеждения и предвзятости— общемировое явление,
195
которое можно обнаружить и у Иосифа Флавия и у Гиббона, но синологу всегда
приходится держаться настороже: пропагандистские акценты указывают, как правило,
на уязвимые места цивилизованного гражданина.
В этой связи интересен еще один довод, а именно тат факт, что китаец есть
прежде, всего крестьянин, а не скотовод или мореплаватель (17). Скотоводство и мореплавание развивают склонности к командованию и подчинению. Ковбои или пастухи
гоняют своих животных, капитаны отдают приказы команде, и пренебрежение к
приказу может стоить жизни любому на корабле. Но крестьянин, если он сделал все,
что положено, вынужден ждать урожая. Одна из притч китайской философской
литературы высмеивает человека из царства Сун, который проявлял нетерпение и
недовольство, глядя, как медленно pacтyт злаки, и принялся тянуть растения, чтобы
заставить их вырасти скорее (18). Сила всегда признавалась малоперспективным
образом действий, поэтому именно гражданское убеждение, а не военная мощь,
считалось нормальным путем ведения дел. Все сказанное о положении солдата по
отношению к позиции гражданского чиновника имеет силу и для противопоставления:
гражданский чиновник — купец. Богатство само по себе ценилось мало. Оно не имело
моральной силы. Оно могло дать удобства, но не мудрость, поэтому богатство в Китае
сравнительно мало способствовало росту престижа. Единственной мечтой любого
купеческого сына было стать ученым, пройти имперские экзамены и высоко подняться
по бюрократической лестнице. В течение многих поколений это стремление приводило
в действие всю бюрократическую систему. Я не уверен, что в наше время это
стремление исчезло. Оно, видимо, живет, хотя и в новой, более высокой форме. В
конце концов партийный работник, положение которого не зависит от случайностей
рождения, как и в древности, равно презирает и аристократическую утонченность и
меркантилизм. В каком-то смысле социализм, как дух неугнетенной справедливости,
был заключен в бутылке средневекового китайского бюрократизма (19). Древние китайские традиции было бы легче согласовать с будущим научным миром
международного братства, чем традиции Европы.
Между 1920 и 1932 годами в Советском Союзе вели широкую дискуссию о том,
что понимал Маркс под «азиатским способом производства», но на Западе почти не
знают об этой дискуссии, поскольку ее материалы никогда не переводились. Если
сохранилась хоть одна копия русских отчетов, то было бы крайне желательно издать
материалы дискуссии на западных языках. У нас не было возможности изучить
результаты дискуссии, но победу, видимо, одержали те, кто возражал против какихлибо отклонений от принятой последовательности: первобытный коммунизм —
196
рабовладельческое общество — феодализм — капитализм — социализм.
догматизма, которая преобладала в социальных науках
личности,
под
Атмосфера
влиянием
культа
несомненно, сыграла некоторую роль и в этой дискуссии (20). Сейчас
появилось новое поколение авторов, которые выражают беспокойство
английских
марксистов по поводу того, что «феодализм» становится бессодержательным термином (21). «Очевидно, — говорят они, — что социально-экономическая формация,
имеющая равную силу и для Руанда-Урунди и для Франции 1788 года, для Китая 1900
года и для норманнской Англии, рискует потерять какое-либо специфическое
содержание и стать бесполезной в научном анализе». Подразделения действительно необходимы. Примечательная черта этих новых работ в том, что их авторы, видимо, мало
знают о взглядах Маркса и Энгельса. «Азиатский способ,— говорит один из них,—
устаревший термин, который давно уже вышел из употребления» (22). И вместе с тем
тот же автор весьма дельно ставит и анализирует проблему задержанного развития ряда
азиатских и африканских государств и рекомендует «реабилитировать
«азиатский
способ» Маркса или даже несколько «способов», с тем чтобы стало возможным
различение
по
региональным
особенностям».
Он
же
рекомендует
термин
«протофеодальный» для обозначения исходной простой формации, которая затем
развивается различными путями.
Когда в современной марксистской литературе упоминают Виттфогеля, то всегда
это делается с антипатией. Происходит это потому, что в гитлеровский период
Виттфогель эмигрировал в США, где работает до сих пор, и многие годы был активным
участником интеллектуальной холодной войны. Те авторы, которые рассматривают его
недавнюю книгу «Восточный деспотизм» (23) как пропагандистский выпад против
прошлого и настоящего России и Китая, во многом, безусловно, правы. Виттфогель
сейчас занят тем, что стремится все злоупотребления власти, идет ли речь о
тоталитарном или любом другом режиме, приписать принципу бюрократизма. Но сам
факт, что он стал противником идей, которые разделяются мною и многими другими,
не меняет того обстоятельства, что именно Виттфогель выдвинул когда-то эти идеи и
блестяще обосновал их. Поэтому я восхищаюсь его первой книгой и отвергаю последнюю. Виттфогель во многом, вероятно, утрирует и упрощает, но я все же не
думаю, что его теория «гидравлического общества» («hudraulic society») ошибочна в
своем существе. Я тоже считаю, что огромный размах общественных работ
(регулирование стока рек, ирригация, строительство каналов) имел в китайской
истории и ту социальную функцию, что по ходу строительства нарушались границы
отдельных феодальных и дофеодальных владений. Это неизбежно приводило к
197
coсpeдоточению власти в центре, то есть к возникновению над раздробленной массой
«родовых» деревенских кланов (24) единого бюрократического аппарата. Я считаю, что
мелиорация играла важную роль в становлении китайского феодализма именно как
феодализма «бюрократического». Конечно, с точки зрения историка науки и техники
не имеет особого значения, в каких именно деталях китайский феодализм отличался от
европейского. Важно лишь, чтобы отличие было достаточно большим (я убежден, что
таким оно и было), чтобы объяснить полное подавление капитализма и науки в Китае и
успешное их развитие на Западе.
Что же до бюрократии как таковой, то просто неумно раскладывать все
социальное зло у ее порога. Напротив, в течение столетий бюрократия была великим
инструментом социальной организации людей. Более того, и в будущих столетиях
бюрократия никуда от нас не уйдет, если человечество намеренно сохраниться.
Фундаментальная проблема состоит не в уничтожении, a в гуманизации бюрократий, с
тем чтобы использовать лишь нужную часть ее организующей силы на благо людям.
Но так или иначе бюрократия всегда будет существовать. Современные общества
основаны на науке и технике, и чем больше будет устанавливаться эта взаимная связь,
тем более организованной и совершенной будет бюрократия. Неправомерно сравнивать
бюрократическую
систему,
развившуюся
на
базе
подъема
науки,
с
любой
предшествующей бюрократической системой, которая когда-либо существовала.
Современная наука дает нам большой арсенал средств от телефона до вычислительной
машины, которые теперь и только теперь могут помочь процессу гуманизации
бюрократии. В своей целевой части этот процесс во многом может ориентироваться на
то, что существенными сторонами входит в конфуцианство, даосизм, раннее
христианство, а также и в марксизм.
Термин
«восточный
деспотизм»
напоминает
спекулятивные
построения
французских физиократов восемнадцатого столетия, на которых большое впечатление
произвела социально-экономическая структура Китая, какой она представлялась в то
время (25). Эта структура была для физиократов, конечно, «просвещенным деспотизмом», который им очень нравился, а не угрюмым и ужасающим плодом
воображения Виттфогеля. Последнюю книгу Виттфогеля синологи всего мира приняли
с неодобрением, поскольку в ней во многих случаях тенденциозно подобраны факты.
Нельзя, например, говорить о том, что в средневековом Китае не было просвещенного
общественного мнения. Напротив, ученая прослойка и ученая бюрократия создавали
весьма широкое и действенное общественное мнение. Бывали случаи, когда император
мог сколько угодно приказывать, а бюрократия не подчинялась (26). Теоретически
198
император мог считаться абсолютным правителем, но на практике его власть была
ограничена традициями и обычаями, которые век за веком находились под
воздействием конфуцианской интерпретации исторических текстов. Китай всегда был
«однопартийным» государством, и правящей партией в стране была более двух
тысячелетий конфуцианская партия. По моему мнению, термин
«восточный
деспотизм» в устах Виттфогеля не более оправдан и правомерен, чем тот же термин в
устах французских физиократов; я никогда не пользуюсь этим термином. Вместе с тем
есть много марксистских терминов, старых и новых, которые я также затрудняюсь
принять. В некоторых работах, например, «идеальная государственная структура»
противопоставляется «реальному субстрату» независимых крестьянских деревень.
Такое
противопоставление
не
кажется
мне
оправданным,
поскольку
работа
государственного аппарата в своей области столь же реальна, как и работа крестьянина
на поле. Не нравится мне и термин «автономный», когда его прилагают к крестьянской
общине; он, как мне представляется, верен лишь в ограниченном смысле. Истина же
состоит в том, что нам крайне нужно создать совершенно новую систему терминов,
поскольку здесь мы имеем дело с общественными структурами, которые далеко
отходят от известных на Западе форм. При разработке новой системы терминов я бы
предложил использовать китайские корни, а не настаивать на приложении греческих и
латинских корней к общественным явлениям, которые резко отличаются от известных
нам из собственной истории. Для бюрократии мог бы оказаться полезным термин
«куанляо». Если бы у нас была более адекватная терминология, мы могли бы
проанализировать и некоторые другие проблемы. Я имею в виду тот примечательный
факт, что японское общество было Значительно ближе к западноевропейскому
социальному стандарту, и как раз оно оказалось более приспособленным к развитию
современного капитализма. Сам этот факт давно уже признан историками, но в
недавних исследованиях вскрывается, похоже, конкретный механизм, благодаря
которому японское военно-аристократическое феодальное общество могло породить
капитализм, а китайское бюрократическое общество было не в состоянии это сделать
(27).
Теперь я должен сказать нечто, хотя и не очень многое, о «рабском обществе».
Исходя из моего собственного знакомства с китайской археологией и литературой, что
в данном случае имеет значение, я не склонен считать, что китайское общество, даже в
периоды Шен и Чжоу, было основано на рабском труде в том самом смысле, в каком
это можно применить к западным античным культурам. Здесь я, к сожалению,
расхожусь с некоторыми современными китайскими учеными, на которых глубокое
199
впечатление произвела «одноколейная» гипотеза стадийного развития общества,
укрепившаяся в марксистской теории за последние двадцать или тридцать лет.
Проблема все еще остается весьма спорной и требующей обсуждений; мы не можем
сказать, что достигли определенности хотя бы в одном из ее аспектов. Несколько лет
назад в Кембридже был собран симпозиум по рабству в различных цивилизациях. В
ходе обсуждений всем участникам пришлось согласиться, что реальные формы рабства
в китайском обществе весьма отличаются от форм, известных в других странах. Господство клана и семейного долга делает сомнительной саму возможность считать когонибудь в подобной цивилизации «свободным» в западном смысле термина. Но, с
другой стороны,— и это противоречит убеждению многих — трудовое рабство в Китае
было весьма редким явлением (28). Фактом остается то, что ни западные синологи, ни
сами китайские ученые, никто пока еще не знает достаточно полно, каким был статус
холопских или полухолопских групп в различные периоды китайской истории, а таких
резко различающихся групп было много. Здесь еще нужны глубокие исследования, но,
как мне кажется, уже теперь ясно, что ни в экономической, ни в политической области
трудовое рабство не было основой всего социального механизма китайского общества в
том смысле, в каком рабский труд был некогда основой социальности на Западе (29).
Хотя вопрос о рабовладельческом базисе общества имеет некоторое значение
лишь в тех пределах, в которых он проясняет положение науки и техники в античной
Греции и Риме, он не так уж важен для проблемы происхождения современной науки
на Западе в период позднего Ренессанса, что, собственно, и было первоначально
центральным пунктом моих исследований. Но будь такое рабство в Китае, оно
наложило бы свой отпечаток на все достижения китайского общества в приложении
знания о природе к человеческим нуждам в течение четырнадцати столетий нашей эры
и четырех или пяти столетий до нашей эры. Но ничего этого нет. Разве не удивительно,
что Китаю нечего показать, что шло бы в сравнение с галерами рабов в Средиземноморье? Парус (а пользовались им весьма искусно) был универсальным движителем на
всех китайских кораблях с древнейших времен. У Китая просто нет свидетельств
массового применения рабочей силы, сравнимых, например, с гигантскими стройками
древнего Египта. К тому же, и это тоже весьма примечательно, до сих пор не
обнаружено ни единого серьезного случая отказа в Китае от изобретений из-за страха
перед безработицей. Если китайская рабочая сила была действительно такой огромной,
какой она кажется большинству, то трудно понять, почему бы ей не проявляться время
от времени в концентрированных формах. С другой стороны, для древних времен
китайской культуры мы обнаруживаем множество примеров применения орудий,
200
облегчающих человеческий труд, причем возникали эти орудия значительно раньше,
чем в Европе. Примером может служить тачка, которую в Европе не знали до XIII века,
а в Китае она известна с III века н. э., причем она определенно появилась века на два
раньше. Вполне может оказаться, что как бюрократический аппарат объясняет
невозможность самозарождения науки современного типа в китайской культуре, так и
отсутствие массового рабского труда может объяснить значительные достижения
китайской культуры в развитии чистого и прикладного знания в первые века нашей
эры.
Среди европейских социологов нового поколения в настоящее время делаются
серьезные попытки заново проанализировать проблему «азиатского способа производства» (30). Частично это можно объяснить важностью подобных идей для
понимания африканских обществ, которые сейчас возникают под названием слаборазвитых стран. Совершенно не ясно, применимы ли к этим обществам те
ограниченные категории, которые считаются сегодня традиционными. Но наибольшим
стимулом дискуссии было, пожалуй, опубликование в 1939 году в Москве работы
самого
Маркса,
написанной
в
1857—1858
годах
и
озаглавленной
«Докапиталистические формы производства». Эта рукопись — одна из подготовительных работ к «Капиталу» и включена в его «Основные черты критики
политической экономии», сборник статей, который опубликован вторым изданием в
Германии в 1952 году (31). К большому несчастью, этот текст Маркса не был известен
участникам дискуссии двадцатых-тридцатых годов. Именно этот документ дает глубокое я систематическое изложение идей «азиатского способа производства». Один из
важных вопросов заключается в том, считали ли Маркс и Энгельс «азиатский способ
производства» чем-то качественно отличным от того или иного классически
выделенного типа общества в остальных частях мира, или же они считали его только
количественной модификацией одного из этих типов. Не совсем ясно, видели ли они в
«азиатском способе» переходную структуру (которая была бы в определенных условиях
способна
к
долговременной
стабилизации)
или
же
рассматривали
«бюрократизм» как особый, четвертый, фундаментальный тип общества. Был ли
«азиатский способ производства» простой вариацией классического рабства или
классического феодализма? Некоторые китайские историки со всей определенностью
говорят об «азиатском способе» как о специфической разновидности феодализма. Но
Маркс и Энгельс иногда говорят о нем так, как если бы считали «азиатский способ
производства» чем-то качественно отличным и от рабского и от феодального способа
201
производства. Возникает также вопрос, насколько концепция «бюрократического
феодализма» применима к Америке до появления Колумба или для других обществ
вроде средневекового Цейлона. В последние годы к этой проблеме не раз возвращался
Виттфогель, но без значительных результатов (работ по Цейлону у него нет), а молодые
социологи исследуют проблему уже в другом плане (32).
Я не сомневаюсь, что работы молодых социологов прольют новый свет на
проблему первоначально ускоренного, а затем замедленного развития китайской науки
и техники. Этим заняты, в частности, мои французские друзья Жан Шено и Андре
Одрикот, и то, о чем я буду говорить ниже, основано на ряде их идей. Представляется
ясным, что изначальное превосходство китайской науки и техники, которое длилось
много столетий, должно находиться в какой-то связи с рациональным, гибким и
чувствительным социальным механизмом, который имеет структуру «азиатской
бюрократии». Этот тип общества функционирует в основном на «ученом» уровне, то
есть ключевые позиции в обществе занимают ученые, а не военные. Центральная
власть в таком обществе во многом полагается на «автоматическое» функционирование
деревенских обществ и, вообще говоря, стремится сократить до минимума
вмешательство государства в дела общин. Выше я уже говорил о фундаментальных
психологических различиях между крестьянином-землепашцем, с одной стороны, и
скотоводом или мореплавателем —с другой. Это различие четко выражено в китайских
терминах «вей» и «ву вей». «Вей» означает приложение силы или силы воли,
уверенность в том, что вещи, животные и даже другие люди сделают то, что им
приказано делать. «By вей» выступает противоположностью первого: оставляет вещи в
покое, позволяет природе идти своим путем, извлекает пользу из природы вещей без их
изменения, дает знание о том, как обойтись без вмешательства. Термин «ву вей» —
великий лозунг и неписаное правило даосизма всех столетий (33). Как раз этот принцип
невмешательства выражен в знаменательной фразе, которую довелось слышать
Бертрану Расселу во время поездки в Китай: «Производство без владения, действие без
самоутверждения, развитие без господства» (34). «By вей», отсутствие вмешательства,
хорошо согласуется с «самодвижением» крестьян и крестьянских общин. Даже когда
древнее «азиатское» общество уступило место «бюрократическому феодализму»,
концепция «ву вей» не потеряла силы. Китайская политическая практика и
деятельность правительственных органов долгое время основывались на этом
принципе невмешательства, который был унаследован от древнего общества, от
простой пары противоположностей «деревни — князь». На всем протяжении китайской
истории лучшим магистратом считался тот, который меньше других вмешивался в
202
гражданские дела, и во всей истории главной задачей кланов и родов считалось
улаживать свои дела домашним порядком, не прибегая к услугам суда (35). Вполне
возможно, что общество такого типа поощряло наблюдательное отношение к природе.
Человек в таком обществе старался бы проникнуть как можно глубже в механику
естественного мира и использовать содержащиеся в природе источники энергии, до
минимума сводя свое вмешательство в природные механизмы, применяя «действие на
расстоянии». Концепции этого в высшей степени утонченного способа мысли всегда
стремились достигать результатов экономными средствами, и, естественно, поощряли
изучение природы по близким к Бэкону мотивам. Здесь, видимо, и кроется причина
таких достижений раннего периода, как сейсмограф, литейное производство,
использование гидроэнергии.
Можно, таким образом, сказать, что эта основанная на невмешательстве
концепция человеческой деятельности была первоначально благоприятной для
развития науки. Например, склонность к «действию на расстоянии» могла оказать
большое влияние на разработку ранних теорий волн, на открытие природы приливов,
на
знание
отношений
между
минеральными
частицами
и
растениями
в
геоботаническом плане, а также на науку о магнетизме. Часто забывают, что одним из
существенных обстоятельств зарождения науки во времена Галилея было знание
магнитной полярности, склонения и т. п. В отличие от геометрии Евклида и
астрономии Птолемея наука о магнетизме попала в Европу извне (36). Никто не
упоминал о магнетизме в Европе до конца семнадцатого столетия, и заимствование
идей магнетизма из китайских работ несомненно. Если китайцы независимо от вавилонян были величайшими естествоиспытателями среди всех древних народов, то
причиной этого могло оказаться как раз стимулирующее действие принципа невмешательства, который взлелеян даосистской поэзией, использующей символику воды и
вечной женственности (37).
Но если невмешательство, как характерная черта отношения «деревни — князь»,
дало несколько концепций, благоприятных для прогресса науки, то в нем содержалась
и исходная ограниченность. Принцип невмешательства трудно было бы согласовать со
специфически западным «вмешательством», которое естественно для народа пастухов
и
мореплавателей.
Принцип
невмешательства
мешал
меркантильному образу
мышления занять ведущее место в цивилизации. Именно поэтому он не был в
состоянии
объединить
технику
высокого
мастерства
с
учеными
методами
математического и логического мышления. Этап научного развития от Леонардо да
Винчи до Галилея не был пройден естествознанием Китая, его, возможно, и нельзя
203
было пройти. В средневековом Китае систематическое экспериментирование велось в
больших масштабах, чем в древней Греции или в средневековой Европе, но, пока
существовал «бюрократический феодализм», математика не могла объединиться с
эмпирическими наблюдениями природы, а эксперимент — дать нечто фундаментально
новое. Дело в том, что эксперимент требует слишком активного вмешательства, и, хотя
к такому вмешательству приходилось терпимо относиться в ремесле и торговле более
терпимо даже, чем в Европе, получить философскую санкцию в Китае активному
вмешательству было, видимо, труднее.
Есть и еще одно обстоятельство, которое в средневековом китайском обществе
способствовало росту естествознания на этапе, предшествовавшем Ренессансу. Традиционное
общество
взаимосвязанным,
в
причем
Китае
было
в
государство
высшей
несло
степени
ограниченным
ответственность
за
и
нормальное
функционирование всего социального организма, хотя эта ответственность и
выполнялась с минимальным вмешательством. Полезно напомнить, что древнее
определение идеального правителя предписывало ему просто сидеть лицом на юг и
распространять свою добродетель во всех направлениях, с тем чтобы «десять тысяч
вещей» автоматически хорошо самоуправлялись. Как мы уже неоднократно показывали, государство оказывало мощную поддержку научному познанию (38). Хранение
записей астрономических наблюдений, полученных за тысячелетия, например, было
государственным
энциклопедии,
делом.
причем
сельскохозяйственные.
На
не
Удачно
средства
только
государства
литературные,
проводились
публиковались
но
выдающиеся
и
для
большие
медицинские
того
и
времени
экспедиции. Можно напомнить о геодезической экспедиции VIII века, в которой
исследовалась дуга меридиана от Индокитая до Монголии, или об экспедиции для
нанесения на карту неба созвездий Южного полушария, на которой были отмечены
звезды до 20° от южного небесного полюса (39). Все это указывает на организованный
и коллективный характер науки в Китае, тогда как в Европе наука была обычно
частным делом, поэтому в течение многих столетий она отставала. И все же государственная наука и медицина Китая не смогли, когда пришло время, сделать тот
качественный скачок, который произошел в западной науке в шестнадцатом и начале
семнадцатого столетия.
Некоторые ученые Азии с предубеждением и подозрением относятся к идее
«азиатского способа производства» и «бюрократического феодализма», поскольку они
связывают эту идею со своего рода «застоем», который, по их мнению, пытаются
навязать истории их стран. Во имя права азиатских и африканских народов на прогресс
204
они проецируют это чувство недовольства в прошлое, пытаются на примерах
собственной истории воссоздать то самое движение науки по этапам, которое прошла
наука на Западе, на ненавистном Западе, который столько времени душил их. Мне
представляется крайне важным рассеять это тягостное недоразумение. Я считаю, что
нет никаких причин априорно принимать, что Китай и другие древние цивилизации
обязаны были пройти через те самые стадии общественного развития, что и
европейский Запад. В самом деле, термин «застой» никак не может оказаться
применимым к Китаю, а если такое словоупотребление и имело место на Западе, то
происходило это в силу элементарного непонимания. Как я уже писал в другом месте
(40), в традиционном китайском обществе наблюдался постоянный общий и научный
прогресс, и прогресс этот был насильственным путем прерван, когда в Европе после
Ренессанса
начался
экспоненциальный
рост
науки.
Китай
можно
назвать
гомеостатичным, кибернетичным, если хотите, но застойным он никогда не был. В
некоторых случаях со всей убедительностью можно показать, что фундаментальные
открытия и изобретения заимствованы Европой у Китая. Таковы теория магнетизма,
экваториальные небесные координаты, экваториальная установка инструментов для
астрономических наблюдений (41), количественная картография, технология литья
металлов (42), детали возвратно-поступательного механизма паровой машины
(принцип
двойного
действия,
преобразование
вращательного
движения
в
поступательное) (43), механические часы (44), стремя и конская сбруя, не говоря уже о
порохе и всем, что из этого следует (45). Эти многообразные изобретения и открытия
оказали революционизирующее влияние на Европу, но социальный порядок
бюрократического феодализма в Китае им пошатнуть не удалось. Природная
нестабильность
европейского
общества
может
поэтому
противопоставляться
гомеостатичному равновесию в Китае, причем последнее, по моему мнению, говорит о
более рациональной организации общества. Нам следовало бы рассмотреть проблему
отношения общественных классов в Китае и в Европе. На Западе классовое разграничение проявлялось довольно четко, но для Китая эта - более сложная проблема,
что связано с ненаследственным характером бюрократии. Анализ классовой структуры
Китая — дело будущего.
В последние десятилетия многих начинает интересовать история науки и техники
в великих неевропейских цивилизациях, особенно в Китае и Индии. Интерес проявляют
ученые, инженеры, философы, востоковеды, но в гораздо меньшей степени (и это
характерно) историей других цивилизаций интересуются историки науки. Возникает
вопрос, почему именно среди историков проблемы Китая и Индии не пользуются
205
особой популярностью? Есть естественная трудность: недостаток лингвистической
подготовки и плохое знание особенностей соответствующих культур усложняет
использование оригинальных источников. К тому же увлечение событиями XVIII и
XIX веков в Европе может целиком захватить человека. Все это так, но есть, мне
кажется, и более глубокая причина.
Изучение великих цивилизаций, в которых не развились стихийно современная
наука и техника, ставит проблему причинного объяснения того, каким способом современная наука возникла на европейской окраине старого мира, причем поднимает эту
проблему в самой острой форме. В самом деле, чем большими оказываются
достижения древних и средневековых цивилизаций, тем менее приятной становится
сама проблема. На протяжении последних тридцати лет историки науки в западных
странах
проявляли
тенденцию
отвергать
социальные
теории
происхождения
современной науки, и это имело кое-какие основания в начале двадцатого столетия.
Форма, в которую такие теории облекались, была, бесспорно, несколько вульгарной
(46), из чего, правда, никак не следует, что эти теории не могли быть разработаны более
глубоко. Следует считаться и с тем, что эти гипотезы производили впечатление
неустановившихся и необоснованных в тот период, когда сама история науки начинала
складываться в фактологическую научную дисциплину. Большинство историков всегда
готовы согласиться, что наука оказывает влияние на общество, но лишь немногие
допускают мысль о том, что общество тоже влияет на науку. Прогресс науки им
представляется независимым благородным движением в определениях имманентного
развития или автономной филиации идей, теорий, логических и математических
методов, практических открытий, которые, подобно факелу, передаются от одного
великого человека к другому. Историки в своем большинстве или «имманентники»,
или «автономисты», которые рассматривают развитие науки по Кеплеру: «Прислал
господь человека, и имя ему...» (47)
Изучение других цивилизаций ставит поэтому перед традиционной исторической
мыслью ряд серьезных психологических трудностей. Наиболее очевидный и естественный способ объяснения загадки науки представляется таким, который вскрыл бы
фундаментальные различия в социально-экономической структуре и в степени
стабильности между Европой и азиатскими цивилизациями. Эти различия призваны
были бы объяснить не только загадку европейского возникновения науки, но и
европейского возникновения капитализма вместе с протестантизмом, национализмом и
всем тем, чему нет параллелей в других цивилизациях. Мне кажется, что подобное
объяснение можно довести до большой степени вероятности. В нем никоим образом
206
нельзя пренебрегать факторами из мира идей (язык и логика, религия и философия,
теология, музыка, гуманизм, восприятие времени и движения), но при всем том
объяснение должно опираться на глубокий анализ определенного общества, его
укладов, мотивов, нужд, трансформаций. С имманентной или автономной точек зрения
такое объяснение нежелательно, и историки инстинктивно противятся изучению
других цивилизаций.
Но если, с одной стороны, отрицается состоятельность или даже возможность
социологического анализа причин «научной революции» позднего Ренессанса, которые
повели к возникновению современной науки, если социологический подход считают
слишком революционным анализом «научной революции» и, с другой стороны,
желают в то же самое время
объяснить
людям, почему европейцы оказались
способными сделать то, чего китайцам и индийцам не удалось, то здесь волей-неволей
возникает неизбежная
расизм, каким
дилемма.
Одно
решение — чистая случайность, второе —
бы неприятным он ни представлялся. Приписывать происхождение
науки чистому случаю значит прямо заявить о банкротстве истории как формы
просвещения человеческого разума. Подчеркивание
географических особенностей и
различий климата не дает выхода из тупика, поскольку сразу же возникают проблемы
городов-государств, морской торговли, сельского хозяйства
и т. п., то есть те самые
конкретные факты, с которыми автономист не желает иметь дела. «Греческое чудо»,
как и сама «научная революция», обречены в этом случае оставаться вечными
загадками. Единственной альтернативой такому объяснению от чистого случая выступает доктрина о том, что определенная группа народов, в данном
случае
«европейская раса», обладает каким-то врожденным превосходством, выделена среди
всех других групп народов. Нет смысла возражать против научного изучения
человеческих рас, против естественной антропологии, сравнительной гематологии и
других научных дисциплин. Но доктрина европейского превосходства
ничего общего с наукой и есть обыкновенный
расизм, явление
не
имеет
политическое.
Боюсь, что европеец-автономист втайне сочувствует формуле: «Лишь мы люди, и
мудрость родилась вместе с нами». Но поскольку расизм (в открытой форме, во всяком
случае) не пользуется уважением среди мыслящих соотечественников и совершенно
неприемлем в международном плане, автономист просто чувствует себя в неприятном
положении, и это положение следует ожидать, будет становиться со временем все
более неприятным (48). Именно поэтому я радуюсь растущему интересу к проблемам
связи науки и общества в последние столетия европейской истории, радуюсь
растущему размаху исследований социальных структур других цивилизаций, а также
207
научным описаниям того, чем они отличаются друг от друга в своей основе.
В целом я считаю, что если и существует какое-либо объяснение загадки науки,
то как раз доступные анализу различия между социально-экономическими формациями
Китая и Западной Европы когда-нибудь объяснят и превосходство китайской науки и
техники в средние века и возникновение современной науки только в Европе.
Узколобые ортодоксии любого сорта вряд ли способны здесь помочь: идти следует
туда, куда ведут факты. И самим активным пропагандистом такого рода социальноисторических исследований является в Англии последние сорок лет Бернал. Я счастлив
тем, что мне не раз приходилось бывать в его компании и разговаривать с ним перед
второй мировой войной, во время его работы в Кембридже. С глубоким признанием я
пользуюсь случаем внести свой личный вклад в этот том — коллективный подарок
Берналу от его друзей.
1.
В 1953 году начата и до настоящего времени
публикация семитомного труда
(1964)
продолжается
«Наука и цивилизация в Китае»
(«Science, and
Civilisation in China», Cambridge Univ. Press), в котором, кроме меня, принимают
участие Вань Линь, Лю Гуэй-тянь, Хо Пинь-ю, Кеннет Робинсон и Чао Тянь-цин. В
этих книгах читатель может найти детали и документы. Ссылки на книгу даются
сокращением НЦК.
2. В настоящей статье нет ссылок на китайские источники, но я должен сразу
сказать, что нет таких слов, которые выразили бы мою
китайским
признательность
многим
ученым и филологам за их труды и личную помощь. Здесь я упоминаю
лишь некоторых: Хоу
Вай-лу, Шу Ши-ляна, Го Мо-жо,
Куо Пэн-тао,
Ли Шу-хуа,
Шин Шень-ханя, Тао Мэн-хоу, Чан Фей-суня, By Сю-шуаня, Вэнь И-до.
3. См. Е. Huntington, Mainsprings of Civilisation, New York, 1959.
4. Для имманентной школы историографии (см. также прим. на стр. 175)
камнем преткновения
является
вопрос
об исторической причинности. Подозревая
во всем экономический детерминизм, ученые этой школы настаивают на том, что
научная революция, поскольку она есть революция научных идей, не может
быть «производна от» каких-то других социальных движений, таких как Реформация
или подъем капитализма. Возможно, что для данного момента мне следовало бы
принять формулировку типа «неразрывно связано с…». Имманентники всегда
представляются мне разновидностью манихейцев — очень уж им
не хочется
признавать, что ученые имеют плоть, едят, пьют, вступают в гражданские отношения
208
со своими современниками, и практические проблемы современников не остаются
для них тайной. Еще меньше готовы имманентники
признать,
что
научные
вклады не всегда делаются осознанно.
5. На этом особенно настаивал и много труда вложил в эту проблему Эдгар
Цильзель. Важность этого фактора признал Кромби, специалист по средним векам,
которого вряд ли можно заподозрить в, марксизме (A. C. С г о m b i e, The Relevance of
the Middle Ages to the Scientific Movement, «Perspectives in Mediaeval History»,
Chicago,
1963, p. 352). См. также его работу «Количественные понятия в
средневековой физике» (А. С. С г о m b i e, Quantification in
Mediaeval
Physics,
«Quantification», New York, 1961, p, 13).
6. К. A. W i 11 f о g e 1, Wirtschaft und Gesellschaft Chinas, Leipzig, 1931. Меня
многому научила также прекрасная небольшая работа Г. Вильгельма
(сына
известного синолога Рихарда Вильгельма) «Общество и государство в Китае» (Н.
W i I h e 1 m, Gesellschaft und Staat in China, Peiping, 1944). Весьма огорчительно то, что
эта немарксистская работа долгое время была совершенно недоступна для западных
ученых и что ее не переводили на английский язык.
7. F. В e r n i e r, The History of the Late Revolution of the Empire of the Great Mogul,
Calcutta, 1909. Первоначально опубликована на французском языке в Париже (1671
год), много раз переиздавалась. (См. известное
письмо
Маркса
Энгельсу
от
2
июня 1853 года.)
8. Да Юй или Юй Великий — один из легендарных древних правителей, которого
считают предшественником известной из истории Китая династии Шан (конец
второго тысячелетия до н.э.).
9. Сегодня они не должны выделять людей, но оплачивают стоимость дневного
труда, а работы производятся людьми в свободное время {A. L. Strong, Letter from
China, 1964, No 15). Этот принцип рационального и максимального использования
рабочей силы известен в китайской истории более двух тысячелетий. Конкретные
сроки выполнения работ всегда были функцией «высшего экономического
командования».
1 0 . С м . Н. F, Schurmann, The Economic Structure of the Yuan Dynasty,
Cambridge, Mass., 1956, p. 146.
11. Из этого вовсе не следует, что ремесло и торговля были в средние века
развиты слабо. Напротив, в XII—XIII веках, особенно в южной части Сунской
империи, ремесло и торговля находились в таком расцвете, что удивляться приходится
скорее прочности и устойчивости бюрократических государственных форм.
209
12. Любопытное побочное явление этого можно обнаружить в книге Лю Гуэйтяня и Нидама «Китай и возникновение экзаменов в медицине» (Lu Gwei-Djen, I.
Needham, China and the Origin of (Qualifying) Examinations in Medicine, «Proc. Roy. Soc.
Med.», 1963, 56, p. 63).
13. Сюда же следует добавить высокий моральный стандарт конфуцианства,
которое в течение многих веков оказывало сильнейшее влияние на мандаринат.
14. Когда я впервые приехал в Китай, у каждой пагоды можно было еще видеть
печи для торжественной кремации любого исписанного листа бумаги,
15. НЦК, т. I, стр. 103.
16. Этот аргумент впервые выдвинул Криль (Н. G. Creel), и, когда я изложу его
более полно, он получит название «довод Криля».
17. 1 Впервые эта особенность осознана и отмечена Андре Одрикотом (Andre
Haudricourt).
18. ЦНК, т. 2, стр. 576.
19. Конечно, средневековый мандаринат был такой же частью системы
эксплуатации, как и феодализм или капитализм на Западе, но как ненаследственная
элита он отличен от аристократизма и меркантилизма Европы.
20. В последние десятилетия советские синологи создали много выдающихся
социологических
исследований
по
азиатским
культурам, в которых, однако,
концепция «азиатского способа производства» не упоминается.
21. См. работу Саймона в: «Marxism Today», 1962, 6.
22. См. там же.
23. К. A. Wittfogel, Oriental Despotism, Yale, 1957. См. мою рецензию («Science
and Society», 1959, 23, p. 58). Среди множества критических статей о Виттфогеле
можно упомянуть интересную работу Ли: О. Lee, Traditionelle Rechtsgebrauche und
der
Begriff d. Orientalischen Despotismus, «Zeitschr. f. verg. Rechtswiss»
1964 66, p.
157.
24. Относительно уклада и обычая деревень см. интереснейшие замечания
Дедьера в работе «Китайская теория революции» (V. Dedijer, The Chinese Theory of
Revolution, в: «The Times» 18 November 1963).
25. См. работу Маверика «Китай — модель Европы». (L. A. Maverick, China a
Model for Europe, Anderson, San Antonio, Texas, 1946), где дается перевод книги Ф.
Кесне «Китайский деспотизм» (F. Quesnay, Le Despotisme de la Chine, Paris, 1767).
26. Cм. Liu Tzu-Chien, An Early Sung Reformer, Fan Chung-Yen, в: «Chinese
Thought and Institutions», Chicago, 1957, p. 105.
210
27.
См.,
современного
например,
капитализма
недавнюю
и восточная
монографию
Азия»
Якобса
«Возникновение
(N. Jacobs, The Origin of Modern
Capitalism and Eastern Asia, Hongkong, 1958), которая ценна также списком источников.
Автор—социолог веберианского толка, который совершает чудеса ловкости, чтобы
обойтись без ссылок на Маркса и Энгельса. Кафедра истории экономики и науки
Гонконгского университета занимает, видимо, изолированную пагоду из слоновой
кости (см. особенно стр. 147).
28. См. Е. G. Pulleyblank, The Origins and Nature of Chattel-Slavery in China, в:
«Journ. Econ. and Soc. Hist. of the Orient”, J958, 1, p. 185.
29. Проблема продолжает оживленно дискутироваться, как это можно видеть,
например, по работе Т. Покоры «Существовало ли в Китае рабовладельческое
общество?» (Т. Р о k о г a, Existierte in China eine Sklavenhaltergesellschaft? в: «Archiv.
Orientalni»; 1963, 31, p. 353) и по работе Вельскопфа «Проблемы периодизации древней
истории» (Е. W е 1 s k о р f, Probleme der Periodisierung d. alten Geschichte; die
Einordnung des alten Orients und Altamericas in die Weltgeschichtliche Entwicklung, в:
«Zeitschr. f. Geschichtswiss.», 1957, 5, p. 296). Вельскопф считает, что известный
синолог Эркес идет неоправданно далеко в отрицании рабства в древнем Китае, а в
более поздних трудах переходит в другую крайность. См. работы Эркера «Проблема
рабства в Китае» и «Развитие китайского общества с древности до настоящего
времени» (Е. Е г k e s, Das Problem der Sklaverei in China, Akad. Verlag, Berlin, 1952; Е. E
r k e r, Die Entwicklung der Chinesischen Gesellschaft von der Urzeit bis zur Gegenwart,
Akad. Verlag, Berlin, 1953). Прекрасное собрание материалов о рабстве в период Хань
дано в работе Уильбура «Рабство в Китае периода первой Ханьской династии» (С. М.
Wilbur, Slavery in China during the Former Han Dynasty, в: «Fild Museum of Nat. Hist.
Pubs.», Anthropol. ser.. 1943, 34, 1—490, Pub., № 525).
30. 1 См. обзор Шено «Азиатский способ производства. Новый этап дискуссии»
(J. С h e s n e a u x, Le Mode Production Asiatique; une nouvelle Etape de la Discussion,
«Eirene», 1964).
Среди множества работ, посвященных этой дискуссии, следует упомянуть работы
Токея «Земельная собственность в эпоху Чжоу» и «К проблеме азиатского способа
производства» (F. Tokei, Les Conditions de la Propriete foneiere a L'Epoque des Tcheou в:
«Acta Antiqua Acad. Sclent. Hungar», 1958, 6, N 3—4; «Mode de Production Asiatique» в:
«Centre d'Etudes et de Rech. Marxistes», Paris, 1963). См. также М. Godelier, La Notion de
Mode de Production Asiatique, Paris, 1964.
31. К. Marx,
Grundrisse der
Kritik
der
Politischen Okonomie, Dietz Verlag,
211
Berlin, 1952.
32. О ситуации на Цейлоне, где объем гидрологических работ был также
велик, но мандарината не появилось см. Е. L е а с h, Hydraulic Society in Ceylon в:
«Past and Present», 1959, № 15, р . 2.
33. НЦК, т. 2, стр. 564.
34. Тaм же, стр. 164.
35. Об одной из темных сторон этого обычая рассказывает Куо Ю-шоу в очерке
биографического характера (К и о Y и - S h о и, La Lune sur le Fleuve Perle, Paris, 1963).
36. Cм. J.
N e e d h a m, The Chinese Contribution to the Development of the
Mariner's Compass в: «Scientia», 1961. 55, p. 1.
37. НЦК, т. 2, стр. 57.
38. НЦК, тт. 2, 3, 4, 6. См. также J. Needham, Poverties and Triumphs of the Chinese
Scientific Tradition, «Scientific Change», London, 1963.
39. См. А. В е е г, Н о Р i n g – Yu, L u G w e i – D j e n , J. N e e d h a m, E. G. Р и
11 е у b 1 a n k, G. J. T h o m p s o n, An Eight-century Meridian Line; I-Hsing's Chain of
Gnomons and the Prehistory of the Metric System, в: «Vistas in Astronomy», 1961, 4, p. 3.
40. Cм. J. N e e d h a m, China's Scientific Influence on the World, «The Legacy of
China», Qxford, 1964,
41. См. J. N е е d h a m, The Peking Observatory in 1280 and the Development of
the Equatorial Mounting, «Vistas in Astronomy», 1955, 1, p. 67.
42. Cм. J. N e e d h a m, The Development of Iron and Steel Technology in China,
London, '1958.
43.
Cм. J.
N e e d h a m,
Classical Chinese Contributions to Mechanical
Engineering; его же: The Pre-Natal History of the Steam-engine, «Trans. Newcomen Soc.»
(in the press).
44. Cм. J. Needham, Wang Ling, D. Price в: «Heavenly Clockwork», Cambridge,
1960.
45. Некоторые из многообразных влияний китайских изобретений и открытий на
европейскую
науку
в
период
до
Ренессанса
прослежены
«Средневековая технология и социальные изменения»
(L.
в
работе
White,
Уайта
Mediaeval
Technology and Social Change, Oxford, 1962).
46. Термин «вульгаризация» прилагают обычно к известному докладу Б. Гессена
на II Международном конгрессе по истории науки в Лондоне в 1931 году (Б. М. Г е с с е
н, Социально-экономические корни механики Ньютона, Государственное техникотеоретическое издательство, М.-Л., 1933). Доклад действительно был выдержан в
212
упрощенно грубоватом, кромвелевском стиле. Но уже через шесть лет Мертон в своей
замечательной монографии .«Наука, техника и общество в Англии XVII века» (R. К. М
е г t o n, Science, Technology and Society in Seventeenth — Century England, «Osiris»,
1938, 4, p. 360—362) дал более обстоятельную и сложную интерпретацию того же
явления. Многим мы обязаны также работам Цильзеля, часть из них публиковалась в
журнале «Journal of the Hist. of Ideas.».
47. Хотя в некоторых вопросах Дж. Агасси явно ошибается, он продолжает
развивать свою тему в работе «К историографии науки» (J. Agassi, Towards a
Historiography of Science, Mouton, The Hague, 1963). Историк-«индуктивист», по его
словам, занят в основном вопросом, кого и за что следует почитать. Не больше
нравятся ему и историки-«конвенционалисты». Сама по себе эта критика мало меня
трогает, но все же удивительно, что Агасси так мало использует работу Вальтера
Пагеля, которая подкрепила бы многие его аргументы. В вопросе об автономии науки
Агасси занимает особую позицию, причем марксизм он рассматривает как одну из
ошибок индуктивистов. Он считает, что борьба школ является основной движущей
силой научного развития. Судя по его письму из Гонконга, контакты с китайской
культурой оказали на него значительное влияние.
48. Дирек Прайс, сотрудничество с которым я очень ценю, хорошо знает историю
вкладов азиатских стран в европейскую науку, но в своей книге «Наука со времен
Вавилона» (D. J. de S. Price, Science since Babylon, Yale, Univ. Press, 1961), он следует
наитию Эйнштейна и выступает в пользу случайного стечения обстоятельств,
породивших греческую цивилизацию и науку в эпоху Ренессанса. Холл в работе
«Возвращение к Мертону» (A. R. Hal1, Меrton Revisited, «History of Sciences” 1963, 2, p.
1) еще раз выступает с нападками на то, что он называет «экстерналистской»
историографией науки, но умалчивает о проблеме азиатского вклада в науку. Если бы
он принял несколько более широкую точку зрения, его рассуждения о европейской
ситуации могли бы стать более убедительными. Кромби (в цит. работе) показывает
глубокое понимание тех медленных социальных сдвигов, которые дали возможность
идейным движениям позднего средневековья и Ренессанса произвести на свет науку в
европейском районе культуры. Но даже он не уделяет достаточного внимания
сопутствующим экономическим факторам.
Вопросы для понимания
1. Какие отличия китайского средневекового феодализма от европейского
феодализма называет Д. Нидам?
213
2. Что такое «мандаринат» в Китае и как он помогает понять суть и смысл
китайского общества?
3. Какие аргументы приводит Нидам в пользу своего тезиса о том, что
социально-экономическая система средневекового Китая во многих
отношениях была более рациональна, чем та же система средневековой
Европы?
4. Китаец, по мнению Нидама, это, прежде всего крестьянин, а не скотовод
или мореплаватель. Какие качества требуют от людей эти занятия?
5. Что такое азиатский способ производства как разновидность феодализма?
6. Что означает термин даосизма «ву вей»? какова роль этого принципа в
развитии науки?
7. Какую деятельность в традиционном китайском обществе поддерживало
государство в области естествознания?
8. Какие открытия и изобретения заимствовались Европой у Китая?
9. Достаточно ли, по Вашему мнению, только социально-экономического
анализа для объяснения того, почему наука возникла в Европе, но не в
Китае, Индии?
10. Какие же ответы Дж. Нидам дает на вопросы, поставленные в начале
статьи – «почему современная наука, какой мы ее знаем с семнадцатого
столетия, с Галилея, не развилась нив китайской, ни в индийской
цивилизации, а возникла именно в Европе?» и «Почему между I веком до
н.э. и XY веком н.э. китайская цивилизация была более высокой, чем
западная, с точки зрения приложения человеческих знаний к нуждам
человеческой практики»?
214
Различие чистой и прикладной математики
В книге И.И. Блехмана, А.Д. Мышкиса, А.Г. Пановко очень глубоко,
скрупулезно и убедительно проанализировано различие чистой и прикладной
математики. Очень жаль, что невозможно было поместить здесь всю книгу! В
приведенной главе авторы рассматривают различие в чистой и прикладной математике
понятия «существования», «числа», проблемы бесконечности, понятия функции,
устойчивости относительно параметров, представлений о математической строгости.
Авторы убедительно показывают, что прикладная математика вовсе не является
«недоматематикой», которая со временем возвысится до нормального математического
уровня.
Специфика математического решения прикладных задач состоит по их
мнению в следующем: «прежде всего, здесь принципиально недостижима
доказательность того же уровня, что в чисто математических исследованиях, хотя
бы потому, что математическая модель реального объекта может описывать лишь
существенные в том или ином смысле черты этого объекта, но никогда не
претендует и не должна претендовать на его п о л н о е описание. С другой стороны, к решению прикладных задач предъявляются требования, которые в чисто
математических исследованиях считаются второстепенными: прикладная задача
должна быть решена не только п р а в и л ь н о ,
но и с в о е в р е м е н н о ,
э к о н о м н о по затраченным усилиям, решение должно быть д о с т у п н ы м для
существующих
вычислительных
средств
и
пригодным
для
ф а к т и ч е с к о г о использования, точность решения должна соответствовать
задаче и т. п.» В конце параграфа авторы приводят богатую подборку высказываний
известных математиков о специфике чистой и прикладной математики.
Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г.
Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. Киев, 1976. Стр. 26 – 55; 64-67.
6. Что включать в математику? Что такое прикладная математика? Вообще, существует ли она? Эти
вопросы сейчас вызывают порой ожесточенную дискуссию. Любопытно, что термин «прикладная
математика» стал сейчас чрезвычайно модным (особенно среди неспециалистов).
Кажется, что наиболее распространенная точка зрения на понятие «прикладная математика»
среди математиков состоит в том, что прикладной математики вообще нет. Впрочем, разные
математики вкладывают в эти слова совершенно различное содержание в зависимости от того, что
они, математики, включают в самое математику (1).
Одни считают, что математикой нужно называть лишь чисто дедуктивные построения.
Все, что лежит вне таких построений, к математике и к математикам отношения не имеет и не
должно называться математикой, даже прикладной (2). Ныне эта точка зрения редко высказывается
вслух, но «неофициально» она еще довольно распространена; между прочим, она представляется
«удобной» многим преподавателям математики у нематематиков.
215
В действительности названная точка зрения, неправомерно и значительно
суживающая границы Великой Науки Математики, приносит вред в первую очередь
самой математике (и, конечно, делу подготовки молодых математиков). Вот что пишут по
этому поводу М. Кац и С. Улам: «Попытки — к сожалению, довольно частые —
изолировать «чистую» математику от всей остальной научной деятельности и
заставить ее вариться в собственном соку могут лишь обеднить и математику, и
прочие науки» [1, с. 234].
Та же мысль высказывалась Ф. Клейном: «Чисто логические концепции должны
составить, так сказать, т в е р д ы й с к е л е т о р г а н и з м а М а т е м а т и к и ,
сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но самое жизнь математики,
важнейшие наведения и ее продуктивность относятся преимущественно к ее
п р и л о ж е н и я м , т. е. к взаимным отношениям ее абстрактных объектов со
всеми другими областями. Изгнать приложения из математики — это то же, что
искать живое существо с одной только костной основой, без мускулов, нервов и
сосудов» [2, с. 44].
Процитируем, наконец, и А. Пуанкаре: «Физика не только дает нам
(математикам. — Авт.) повод к решению проблем; она еще помогает найти к
этому средства. Это происходит двояким путем. Во-первых, она дает нам
предчувствия решения; во-вторых, подсказывает нам ход рассуждений» [3, с.
108] .
Здесь в сущности выражена вторая точка зрения, на наш взгляд гораздо более
приемлемая; она заключается в том, что в сферу действия математики вводятся
также и практические методы решения задач, приходящих извне математики
(приближенные методы, применение математических машин и т. п.).
Однако еще более нам импонирует самая широкая — третья — точка зрения,
согласно которой математика не только охватывает дедуктивные области, но и
включает в с е математические сущности — математические объекты, методы и
идеи, встречающиеся как в теоретической математике, так и в приложениях:
имеются в виду построение математических моделей, математический эксперимент,
индуктивные или другие рациональные (§ 3) рассуждения математического
характера и т. п.
В весьма интересной книге Д. Пойа [4, с. 309] говорится: «Пределы математики
— это вся область доказательных рассуждений, относящихся к любой науке,
достигнувшей того уровня развития, при котором относящиеся к этой науке
понятия могут быть выражены в абстрактной, логико-математической форме».
Хочется добавить, что при этом в понятие доказательности не следует вкладывать
узко догматическое содержание.
Конечно, приверженцам этой точки зрения, которая представляется нам
наиболее прогрессивной и плодотворной для математики (и, что довольно
существенно, также для математиков), приходится поступиться «теоретикомножественным единством» математики, оставив его лишь за неким «ядром»
математики.
7. Точки зрения на прикладную математику. Прежде всего с огорчением
отметим, что, по мнению некоторых математиков, заниматься приложениями
вообще зазорно. По этому поводу Ф. Клейн писал: «К сожалению... все еще
встречаются университетские преподаватели, которые не находят достаточно
презрительных слов по адресу всякого занятия приложениями. С высокомерием,
которое сказывается в таких взглядах, должно бороться самым решительным образом.
Всякое дельное достижение, относится ли оно к теоретической или к прикладной
области, следовало бы ценить одинаково высоко, представляя каждому возможность
заниматься теми вещами, к которым он чувствует наибольшую склонность. Тогда
каждый проявит себя тем более разносторонним образом, чем большим числом
216
талантов он обладает: величайшие гении, каковы Архимед, Ньютон, Гаусс, всегда
охватывали равномерно и теорию и практику [5, с. 314].
Приведем еще слова Р. Куранта: «На самом деле между «чистой» и «прикладной»
математикой невозможно провести четкую грань. Поэтому-то в математике не должно
быть разделения на касту верховных жрецов, поклоняющихся непогрешимой
математической красоте и внимающих только своим склонностям, и на работников,
обслуживающих их. Подобная «кастовость» — в лучшем случае симптом человеческой
ограниченности» [6, с. 27]. На вреде такого снобизма останавливается также Н. Бейли
в своей полезной книге [7, с. 138] в связи с приложениями математики к биологии и
медицине.
В. В. Новожилов пишет: «К сожалению, теоретик до сих пор нередко рассматривает
«прикладника» как математика второго сорта, как ученого, который не способен
работать предельно строго, разменивается на частности в ущерб общности. Легко
обнаруживая у «прикладников» промахи в строгости рассуждений, теоретик часто
остается равнодушным к их основному достоинству — умению с достаточной для
практических целей точностью решать такие актуальные задачи, которые он сам
строгими методами решить не может» [8].
В этих цитатах достаточно ярко освещена психологическая сторона вопроса. Но
независимо от этого нужно подчеркнуть, что ныне все чаще признается объективное
существование прикладной математики. Однако и за подобным признанием скрываются
различные точки зрения.
Так, некоторые считают, что прикладная математика — это «ширпотребная», в дурном
смысле, часть математики, существующая в виде логически недоработанного и
несовершенного (возможно, из-за низкой математической культуры специалистов в этой
области) набора некоторых приемов, рецептов и правил. Указанные недостатки
прикладной математики должны быть преодолены, в результате чего эта
«недоматематика» возвысится до нормального математического уровня. Иногда подобная
точка зрения является реакцией на те, отнюдь не редкие, работы, в которых
математическое легкомыслие приводит к прямым ошибкам (мы ниже будем подробно
говорить о таких ошибках), или, что гораздо хуже, на те работы, в которых
математическая малограмотность «компенсируется» ссылками на прикладную
значимость результатов. К сожалению, эта точка зрения порой проникает и в сознание
прикладников, вызывая у них некий комплекс неполноценности. Это, в свою очередь,
приводит к самым нелепым (часто комическим) наукообразным упражнениям.
Думается, что эта наивная, но распространенная точка зрения, если она не является
проявлением снобизма, основана на тяжелом непонимании истинной ситуации. В самом
деле, как с этой точки зрения можно объяснить то, что физики, инженеры-теоретики и
другие специалисты, среди которых, бесспорно, имеется немало неглупых людей,
применяя математику, упорно уклоняются от строго дедуктивного языка? И хотя в
институтах их систематически учат этому языку, они (себе во вред?) предпочитают
переучиваться, переходя на язык прикладной математики и перестраивая весь
образ математического мышления. В действительности такая перестройка порой
напоминает ломку, так как при этом отбрасываются многие «чистые» определения,
теоремы и приемы, на которых категорически настаивает чисто дедуктивный образ
мышления. По нашему мнению, такая перестройка вполне естественна и
единственное объяснение ее состоит в том, что она необходима. Ниже мы
постараемся доказать, что отсутствие категорического требования о формальнологическом совершенстве в приложениях математики неизбежно и представляет
собой не признак слабости, а источник особой с и л ы прикладной математики.
217
Другая точка зрения отождествляет прикладную математику с вычислительной
и машинной математикой. Эта точка зрения представляется узкой и создающей
одностороннюю ориентацию.
Остановимся теперь на точке зрения, высказанной в нашей статье [9]. Мы
исходили из того, что математическое решение прикладных задач обладает
серьезной спецификой. Прежде всего, здесь принципиально недостижима
доказательность того же уровня, что в чисто математических исследованиях, хотя
бы потому, что математическая модель реального объекта может описывать лишь
существенные в том или ином смысле черты этого объекта, но никогда не
претендует и не должна претендовать на его п о л н о е описание. С другой стороны, к решению прикладных задач предъявляются требования, которые в чисто
математических исследованиях считаются второстепенными: прикладная задача
должна быть решена не только п р а в и л ь н о , но и с в о е в р е м е н н о ,
э к о н о м н о по затраченным усилиям, решение должно быть д о с т у п н ы м для
существующих
вычислительных
средств
и
пригодным
для
ф а к т и ч е с к о г о использования, точность решения должна соответствовать
задаче и т. п. В этом же духе пишут И. Бабушка, Э. Витасек и М. Прагер в своей очень
интересной книге [10, с. 9]: «...сегодня задача считается решенной только в том случае,
если имеется эффективный метод, дающий требуемый результат с достаточной
точностью за приемлемый отрезок времени». В книге Н. С. Бахвалова [11, с. 14],
написанной с глубоким пониманием реальных прикладных ситуаций, говорится, в
частности: «Лучше найти удовлетворительное решение задачи, но в срок, чем
получить полное решение задачи к тому времени, когда оно станет бесполезным».
Наилучшее выполнение всех этих порой противоречащих друг другу
требований мы условно назвали оптимальностью решения (по отношению к
приложениям), хотя и предупредили, что на данном этапе развития науки единую
функцию цели было бы указать затруднительно. Исходя из этого, было
предложено определение прикладной математики как науки об оптимальных, грубо
говоря, практически приемлемых методах решения математических задач, возникающих
вне математики. Таким образом, прикладная математика — это математика,
опосредствованная практикой, это как бы составная дисциплина наподобие биохимии
или теплотехники. Развитие этой дисциплины определяется как расширением круга
приложений, так и изменением конкретного содержания понятия оптимальности решения
задачи; в частности, это содержание существенно изменилось под влиянием современных
вычислительных средств. Само собой разумеется, что если мы ищем оптимальное
решение, то это не значит, что мы должны отвергать решения, лишь приблизительно отвечающие требованию оптимальности. Значительная часть реальных решений,
которыми мы пользуемся, как раз и есть решения, в данное время в какой-то мере
удовлетворяющие этому требованию.
По данному поводу можно напомнить известный афоризм: «Чистая математика делает
то, что можно, так, как нужно, а прикладная — то, что нужно, так, как можно» (3) . Он в
целом правильно передает тенденции, хотя слово «нужно» здесь употреблено в различных
смыслах. Имея в виду только второй смысл, скажем, что ниже делается попытка
показать, что прикладная математика призвана делать то, что нужно, так, как нужно.
Представляется привлекательной и точка зрения, устно высказанная Л. В.
Овсянниковым: прикладная математика — это наука о математических моделях; более
подробно можно сказать — о построении, исследовании, интерпретации и оптимизации
математических моделей. Это определение, выделяющее объект науки, на наш взгляд,
отнюдь не противоречит предыдущему, которое имеет более функциональный характер.
Таким образом, если проводить аналогию — в целом, довольно далекую — между
218
математикой и языком, то чистая и прикладная математика будут напоминать грамматику
и семантику соответственно.
Дискуссии о том, образует ли прикладная математика самостоятельную науку,
представляются несколько схоластическими из-за многозначности выражения
«самостоятельная наука». Возможно, что более правильно говорить не о науке, а об
определенном а с п е к т е математики, возникающем при ее приложениях, так сказать, о
результате своеобразного «проецирования» математики на цивилизацию; важно, что при
таком проецировании математика приобретает качественно новые черты. Это
проецирование, эти черты и определяют прикладную математику.
Поэтому мы будем пользоваться словами прикладная математика как рабочим
термином, определенным последними из приведенных выше точек зрения, оставив
вопрос о самостоятельности существования прикладной математики как науки
философам (4). В отличие от этого, говоря о чистой математике, мы будем, в первую очередь, иметь в виду «ортодоксальную» математику от Вейерштрасса до Бурбаки,
основанную на наивной теории множеств. Подчеркнем, что выделение чистой и
прикладной математики никак не имеет абсолютного характера, так как это по
существу различные аспекты науки, сохраняющей важнейшие черты единства (прежде
всего, в основном предмете изучения — структурах, но и не только в этом). В каждом из
этих аспектов возникают свои глубокие активно взаимодействующие идеи. (Поэтому
представляется неудачным говорить не о «чистой», а о «теоретической» математике.)
Однако это взаимодействие далеко от оптимального!
Основное внимание мы уделим более конкретным вопросам: каковы характерные
черты, возникающие при приложении математики; в чем специфика метода
рассуждений прикладной математики, в частности, какие рассуждения признаются в
ней доказательными, и т. д. Обсуждение этих вопросов может сказаться полезным, даже
жизненно актуальным и в исследованиях совершенно конкретного характера.
Приведем в заключение яркие слова Р. Куранта [6, с. 27], говорящие о различии
подхода к проблемам чистой и прикладной математики и служащие своеобразным
введением к нашему последующему изложению.
«Одна и та же математическая проблема может быть решена по-разному;
приверженец строгого математического подхода (а стремление к таковому временами
возникает у всякого человека, склонного к научному мышлению) требует
бескомпромиссного совершенства. Он не допускает никаких пробелов в логике мышления
и в решении поставленных задач, а достигнутый результат, по его мнению, должен быть
венцом неразрывной цепи безупречных рассуждений. И если сторонник такого подхода
сталкивается с трудностями, которые ему кажутся непреодолимыми, то он скорее
попытается переформулировать задачу или даже поставить другую, родственную ей,
трудности которой он может преодолеть («то, что можно — так как нужно».— Авт.).
Существует и другой обходной путь: заново определить то, что считалось «решением
проблемы»; в действительности подобная процедура иногда представляет собой
довольно общепринятый предварительный шаг к подлинному решению исходной
задачи.
В исследованиях прикладного характера все выглядит по-иному. Прежде всего,
поставленную задачу нельзя с такой легкостью видоизменить или обойти. Здесь
требуется другое: дать правильный и надежный с общечеловеческой точки зрения
ответ. В случае необходимости математик может пойти на компромисс: он должен
быть готов внести догадки в цепь рассуждений, а также допустить известную
погрешность в числовых значениях. Однако даже задачи в основном практического
направления, например, о течениях с ударными волнами, могут потребовать
фундаментального математического исследования, чтобы установить, корректно ли
поставлена такая задача. В прикладных исследованиях могут понадобиться и
доказательства чисто математических теорем существования, поскольку уверенность в
219
том, что имеется решение, может гарантировать достоверность используемой
математической модели. (На самом деле это несколько сложнее и мы будем об этом далее
говорить.— Авт.) И, наконец, в прикладной математике доминируют аппроксимации
(приближения) — без них невозможно обойтись при переносе реальных физических
процессов на математические модели.
Обращение с реальностью, преобразованной в абстрактные математические модели,
и оценка точности достигаемых при этом соответствий требуют интуитивных навыков,
совершенствуемых опытом. Часто необходимо как-то преобразовать исходную
математическую проблему, которая оказывается слишком сложной для решения
современными методами. Это отчасти объясняет характер интеллектуального риска и
удовлетворение, которое испытывают математики, работающие с инженерами и
естествоиспытателями над решением реальных задач, возникающих всюду, куда
проникает человек в своем стремлении к познанию природы и управлению ею».
§ 2. О РАЗЛИЧИИ НЕКОТОРЫХ ПОДХОДОВ В
ЧИСТОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ
1. Предварительные замечания. Имеется много математических понятий и утверждений,
которые в чистой и прикладной математике трактуются одинаково или почти одинаково
и потому могут быть более или менее непосредственно перенесены из чистой математики
в прикладную — конечно, если они представляют интерес для последней. К их числу
относятся разнообразные тождественные преобразования, понимаемые в широком смысле,
например к таким преобразованиям можно отнести и формулу Грина; многие другие
однозначно понимаемые формулы, например формулы дифференцирования или формула
для решения квадратного уравнения; утверждения типа «все решения данного
уравнения положительны», «данная задача не может иметь более одного решения» и т.
д.
Однако имеются понятия и утверждения, трактовки которых в чистой и в прикладной
математике принципиально различаются. Здесь мы остановимся именно на случаях,
когда понятия и утверждения чистой математики не приемлемы для прикладной
математики и вынуждают последнюю искать свои пути, в свою очередь, неприемлемые с
точки зрения чистой математики; сюда же примыкает важный вопрос о понятии
строгости.
2. «Существование» в чистой и прикладной математике. В чистой математике (как
было сказано в конце п.1.7, здесь имеется в виду ее общепринятый «наивный» уровень)
понятию «существование» долгое время вообще не давалось ни определений, ни
пояснений; как бы подразумевалось, что его содержание и так каждому ясно. Самими
собой понятными считались выражения типа (а) «решение этой задачи существует», или
(б) «в множестве М существует по крайней мере один элемент х0, обладающий свойством
α». Д. Гильберт разъяснил содержание термина «существование» (в рамках чистой
математики).
По
Гильберту,
«существование»
тождественно
логической
непротиворечивости. Тем самым термину было приписано вполне ясное содержание,
причем одновременно обнаружилась и определенная бедность этого содержания с
прикладной точки зрения. Отметим, что еще Г. Кантор в «Теории множеств» говорил,
что под существованием математических объектов можно понимать лишь отсутствие
противоречий в понятиях об этих объектах. Потом эту мысль развил А. Пуанкаре:
«...слово «существовать» может иметь только один смысл, оно означает именно
отсутствие противоречия» (Пуанкаре А. Математика и логика. В кн.: Новые идеи в
математике, 10. Пг., 1915, с. 6). Д. Гильберт положил эту трактовку в основу своей
системы логики.
Для прикладника математический объект всегда представляет собой схематизацию
реального, например физического, объекта. Поэтому голое утверждение о существовании
математического объекта, например утверждение «решение данной задачи существует»,
220
обычно для прикладной математики совершенно недостаточно. В лучшем случае оно
может иметь какое-либо вспомогательное, промежуточное значение, либо может иметь
наводящий характер для «подлинного» утверждения о существовании, в котором
математический объект фактически конструируется с приемлемой точностью, например,
в случае (а) находится решение, а в случае (б) указывается элемент х0 (5).
Разумеется, доказательство теоремы о существовании всегда служит вдохновляющим
фактором для исследователя в его поисках конструктивного решения (6); отсутствие
такого доказательства может вообще удержать наиболее осторожных исследователей
пессимистического склада от фактического конструирования решения.
Однако в целом можно сказать, что неконструктивное доказательство существования
не обладает большой ценностью для прикладника, а отсутствие такого доказательства
неспособно его обезоружить в поисках фактического решения. Многое зависит от способа
доказательства теоремы о существовании. Пусть, например, бесконечное множество М
достаточно простой структуры служит математической моделью реального (конечного!)
объекта R с неопределенно или просто достаточно большим числом элементов.
Например, множество натуральных чисел может служить моделью упорядоченной
дискретной реальной совокупности, состоящей из к о н е ч н о г о , но неопределенно
большого числа элементов. Аналогичная ситуация возникает, когда мы какой-либо
реальный объект неопределенно большой или просто достаточно большой
протяженности во времени или в пространстве заменяем при исследовании на объект
бесконечной протяженности.
Если утверждение «в М существует по крайней мере один элемент х0, обладающий
свойством α», доказано с помощью прямого конструирования этого элемента, то обычно
бывает сравнительно просто разобраться, что отвечает этому утверждению в R. Но если
оно получено путем приведения к логическому противоречию противоположного
утверждения («каждый элемент М не обладает свойством α»), то ситуация оказывается
более сложной. Так, элемент из R, который должен был бы отвечать х0, может
оказаться в той «неопределенной дали», где примененная математическая схематизация
теряет свою отчетливость.
Отметим, что известные возражения интуиционистов против применения закона
исключенного третьего (7) к бесконечным множествам (см., например, [12; 13]) имеют
основания, по-видимому, до некоторой степени сходные с приведенными. Упрощенно
говоря, интуиционисты считают, что математический объект признается существующим,
только если он фактически указан.
Неконструктивные утверждения о существовании могут получаться также при
применении закона исключенного третьего к конечным множествам. Правда, если
элементов у множества немного - а свойство α, которым должен обладать искомый
элемент х0, легко проверяемо, то эффективное построение этого элемента можно осуществить хотя бы с помощью простого перебора или какого-либо иного метода, на указание
которого может вдохновить чистая теорема существования. Но если названные условия
нарушены, то утверждение становится менее конструктивным, причем такая неконструктивность может дойти до полной.
Приведем пример. Одним из первых начал применять неэффективные доказательства
существования для конечных множеств П. Дирихле на основании выдвинутого им
утверждения, которое теперь называется принципом Дирихле. Этот принцип, легко
вытекающий из закона исключенного третьего, гласит, что если п предметов разложено по
т ящикам, причем п > т, то по крайней мере в одном из ящиков будет более одного
предмета. Так, с помощью принципа Дирихле легко доказывается, что в городе с
полумиллионным населением в любой момент всегда существуют по крайней мере два
человека с одинаковым числом волос (для этого надо к одному классу — «ящику» —
отнести людей с одинаковым числом волос). Но ведь установление этого факта никак не
221
помогает персонифицировать эту пару «равноволосых» людей; более того, по отношению к
любому прошедшему моменту такая персонификация вряд ли возможна когда-либо в
будущем, хотя теорема о существовании равноволосых пар установлена!
Между прочим, утверждение типа «среди первых 100 натуральных чисел существует
число п, обладающее свойством α», уже имеет прикладное содержание, если число 100 в
рассматриваемой реальной задаче является на самом деле конечным, т. е. до него
можно фактически добраться. Если задача состоит в отыскании числа, обладающего
свойством α, то приведенное утверждение содержит не менее «0,01 полного решения»,
которое можно получить хотя бы с помощью перебора (в реальной возможности такого
перебора и состоит «истинная конечность» числа 100 в рассматриваемой ситуации), если не
представится ничего лучшего. Впрочем, возможны и реальные задачи, для которых
утверждение, приведенное в начале абзаца, служит полным решением.
Итак, мы видим два принципиально различных взгляда на понятие существования
математического объекта: в прикладной математике он существует как математическая
модель реального объекта, принципиально идентифицируем и конструируем, тогда
как в чистой математике он существует как идея, не противоречащая принятой системе
аксиом. Интересно отметить, какой метаморфозе подвергается понятие существования,
переходя из естественных наук в чистую математику и превращаясь при этом из
служебного понятия в объект изучения! Здесь проявляется общий тезис о том, что
одни и те же слова могут иметь для различных людей далеко не одинаковый смысл.
Различные группы людей как бы говорят на хотя и значительно взаимосвязанных, но не
идентичных и порой сильно отличающихся друг от друга языках. Игнорирование этого
служит постоянным источником недоразумений.
В заключение приведем две цитаты из книги Р. Куранта и Г. Роббинса [14, с. 136—137
и 139], относящиеся к описанной выше проблеме существования.
«Когда речь идет о доказательстве существования объекта определенного типа, то
есть существенное различие между тем, чтобы построить осязаемый пример объекта,
и тем, что из несуществования объекта можно вывести противоречивые заключения. В
первом случае получается осязаемый объект, во втором ничего, кроме противоречия».
«Вопросы, рассматриваемые в математической логике, в конечном счете упираются в
один основной вопрос: что понимать под существованием в математике? К счастью,
существование самой математики не зависит от того, найден ли удовлетворительный
ответ на этот вопрос. Школа «формалистов», во главе которой стоял великий математик
Гильберт, утверждала, что в математике «существование» означает «свободу от
противоречия». Если принять эту точку зрения, то очевидной и необходимой задачей
является как раз построение системы постулатов, из которых всю математику можно
было бы вывести путем логической дедукции, и доказательство того, что эти постулаты
не могут привести ни к какому противоречию. Недавние результаты Геделя и других как
будто бы показывают, что такая программа, по крайней мере, в той форме, в какой она
была намечена самим Гильбертом, не может быть осуществлена (8). Весьма
многозначительно то обстоятельство, что гильбертова теория формализованного
построения математики существенно опирается на интуитивные процедуры. Тем или
иным путем, в открытой или скрытой форме, даже прикрытая самым безупречным
формалистическим, логическим, аксиоматическим одеянием, конструктивная интуиция
всегда остается самым жизненным элементом в математике».
3. Проблема бесконечности. Мы уже затронули выше эту важнейшую проблему,
которая также по-различному трактуется в прикладной и чистой математике. Реальные
объекты всегда конечны, поэтому бесконечный математический объект (бесконечная
последовательность, бесконечный интервал и т. п.) может появиться в результате
упрощающей математической схематизации, когда «далекие» элементы, участки теряют
свою индивидуальность, их влияние сходит на нет (9). Таковы понятия упругого
222
пространства (полупространства и т. д.) или бесконечно длинной балки на упругом
основании в теории упругости, или понятие об установившемся режиме вынужденных
колебаний (или автоколебаний), на который не влияют начальные условия. Реальное
количество элементов или реальный размер интервала, дающие возможность перехода к
математической бесконечности, в различных задачах даже при изучении одного и того же
объекта весьма различны; они зависят от «скорости затухания» влияния далеких элементов
и принятой оценки существенности этого влияния. Поэтому такая бесконечность
является, по существу, незавершенной и притом счетной: в дискретном случае количество
«конечных» элементов, которые имеют «персональное» значение, может в аналогичных
рассмотрениях и даже в процессе одного и того же рассмотрения меняться, бесконечное
множество может при этом заменяться на конечное и обратно. Аналогичные метаморфозы
в непрерывном случае происходят со временем установления, пограничным слоем и т. д.
Другой тип бесконечности в прикладной математике появляется в результате
схематизации конечной системы, в которой каждый элемент потерял индивидуальное
значение. При такой схематизации дискретность заменяется на непрерывность, суммы —
на интегралы и т. п. Интересно, что в некоторых конкретных примерах число
элементов в системе, обеспечивающее возможность такой упрощающей замены, может
оказаться весьма небольшим. В качестве примера сошлемся на задачу о вычислении
наибольшего прогиба круглой пластинки, нагруженной в середине и свободно
опертой в n точках на контуре, которые расположены в вершинах правильного nугольника. Расчеты показывают, что уже при п = 5 эту систему опор можно с
достаточной точностью заменить на кольцевую шарнирную опору вдоль всего контура.
Таким образом, в рассматриваемой задаче уже 5 ≈ ∞.
Таким образом, результаты, полученные в терминах актуально (завершенно)
бесконечных множеств, при переводе на язык приложений нуждаются в тщательном
анализе.
Имеется еще одно существенное отличие в подходе чистой и прикладной математики к
бесконечному: речь идет о понятии бесконечно малого. Как известно, чистая математика
уже давно отвергает концепцию актуальной бесконечно малой, а современные математические курсы для математиков вообще обходятся без упоминания этого понятия. В то же
время все дифференциальные законы прикладных дисциплин выводятся и трактуются на
уровне актуальных бесконечно малых, причем стихийно, без явных формулировок
выработались навыки действий с такими величинами, например представления о том,
когда можно, а когда нельзя отбрасывать величины высшего порядка малости и т. п.
Например, при рассмотрении криволинейного движения материальной точки для
построения вектора скорости можно малый (точнее, актуальный бесконечно малый)
участок траектории заменить на малый прямолинейный отрезок, отбросив малые
высшего порядка, определяющие искривление этого участка. Однако в динамике при
рассмотрении действующих на точку сил уже приходится удерживать малые 2-го
порядка, а малый участок траектории можно заменить на дугу окружности. Если же
изучается кручение траектории в пространстве, то начинают играть роль даже
величины 3-го порядка малости по сравнению с длиной участка траектории.
Впрочем, отсутствие развернутого исчисления бесконечно малых и сейчас может
привести в более сложных ситуациях к недоразумениям и даже к прямым ошибкам.
Иногда думают, что вывод и трактовку дифференциальных законов можно сделать
«вполне строгими» с помощью «строгого» (на ε-уровне) перехода к пределу. На самом
деле положение существенно сложнее: такой переход невозможен уже из-за квантовых и
молекулярных свойств, в силу которых рассматривать физические величины,
уменьшенные сверх некоторых разумных границ, вообще лишено смысла. В связи с
этим физики вводят «физически» или «практически» бесконечно малые величины,
допустимые при рассмотрении физических дифференциальных законов, впрочем, не давая
223
этому понятию определения на уровне чистой математики. Строгий (в смысле чистой
математики) предельный переход производится на самом деле в некоторой
математической модели физической картины, однако правила построения этой модели не
являются в этом же смысле строгими. Иногда просто говорят, что такая модель получается
в результате осреднения реальной картины по областям физически бесконечно малых
размеров, но такую оговорку чистая математика, конечно, не может признать строгой.
В качестве типичного примера рассмотрим определение плотности в точке
неоднородного тела
m
 ( A)  lim
,
(1)
( V ) A V
где (ΔV) означает малую область, содержащую точку A, a ΔV — объем этой области, а
прочие обозначения очевидны. Ясно, что реально (ΔV) не должна безгранично
уменьшаться, ее размеры должны быть существенно больше межмолекулярных
расстояний, хотя и существенно меньше характерных конечных размеров, на которых
плотность может заметно измениться. Применяя для области таких размеров букву d
вместо Δ, приходим к формулам

dm
,
dV
dm  dV ,
в которых dm и dV представляют собой физически бесконечно малые величины, т. е.
величины, удовлетворяющие описанным оценкам; эти величины можно рассматривать
как переменные или как постоянные. Формулу (1) можно понимать в смысле чистой
математики, если реальное вещество, состоящее из частиц, предварительно заменить с
помощью осреднения и «сглаживания» результата на математическую сплошную среду.
Физические бесконечно малые, имеющие совершенно иные масштабы протяженности,
возникают при рассмотрении плотности населения на Земле или плотности распределения
звезд во Вселенной. Конечно, и здесь можно применить осреднение, хотя в первом примере оно
выглядело бы несколько странно...
Примененные выше выражения «существенно больше», «существенно меньше», «заметное
изменение» не имеют точного чисто математического смысла, это типичные рациональные
понятия (§ 3). В большинстве теоретических рассуждений эти понятия и не нуждаются в
полном уточнении, достаточно иметь уверенность в том, что величина выбирается с
необходимым «запасом прочности», который может понадобиться в этих рассуждениях. Во
многих случаях переход к величинам высшего или низшего порядка означает по традиции
попросту увеличение или уменьшение не менее чем в 10 раз, хотя в ряде случаев такой
коэффициент, как бы меняющий качество величины, имеет существенно иное значение. Какиелибо обоснованные общие соображения о выборе этого коэффициента пока отсутствуют и
трудно себе представить, на что они могли бы опираться.
Итак, рассуждения, связанные с выводом или интерпретацией дифференциальных
законов, имеют всегда не чисто дедуктивный, а рациональный характер.
4. Прикладная математика и число. Даже к такому первичному математическому
понятию, как число, чистая и прикладная математика относятся по-разному: первая —
как к преимущественно логическому объекту, а вторая — как к порядковому индексу или
к количественной мере реальной дискретной совокупности (натуральное число) или
непрерывной протяженности (вещественное число). Это различие подхода особенно ярко
проявляется при рассмотрении весьма, даже в определенном смысле чрезмерно, больших
224
или малых чисел. Проблемы, возникающие при этом, непосредственно связаны с
проблемой бесконечности (п. 3) и частично затрагивались выше.
Будем рассматривать сначала натуральные числа, истолковывая такое число как
мощность — количество элементов реального множества. Если первые числа имеют
отчетливо выраженную индивидуальность, то по мере увеличения индивидуальность
чисел постепенно теряется, конечно, для разных классов задач с разной скоростью. При
этом имеется в виду не формальная, а реальная индивидуальность: например, число 1010
имеет отчетливую формальную индивидуальность, однако трудно представить себе
р е а л ь н у ю задачу, в которой множество с 1010 элементами отличалось бы от
множества с 1010 + 1 элементами. По-видимому, в быту такая потеря индивидуальности
постепенно начинается с нескольких десятков, в более точных научных и технических
расчетах — с нескольких сотен или тысяч, редко дальше; исключение по понятным причинам составляют некоторые финансовые расчеты. Таким образом, реальное большое
число становится как бы представителем семейства близких ему чисел (На этом вопросе
останавливается П. К. Рашевский в своей очень интересной дискуссионной статье [15]).
Еще большие формально выписанные числа вообще полностью теряют всякий
10
реальный смысл. Рассмотрим, например, число N = 1010 . Нетрудно убедиться в том, что
никакая реальная совокупность не может иметь число элементов, сравнимое с N, т. е. в
любой реальной задаче N будет равнозначно бесконечности. По-видимому, можно даже
10
сказать, что в прикладной математике 1010 как окончательный результат является не

числом, а символической картинкой, наподобие   . Осознание реальной
недостижимости формально построенных чрезмерно больших чисел привело в
последние годы к возникновению нового течения в математической логике — ультраинтуиционизма (см., например, [16, § 1.2]). Характерно название первой
10
работы в этом направлении Д. ван Данцига: «Является ли 1010 конечным
числом?» Впрочем, позже мы укажем, что числа вида N могут играть
промежуточную роль, подобно мнимым числам, которые порой появляются в
промежуточных выкладках, хотя окончательные значения физических величин
должны быть вещественными.
Конечно, сколько-нибудь точно указать рубеж, отделяющий «истинные» числа
от чисел, являющихся следствием принятой системы обозначений и имеющих лишь
ограниченное промежуточное значение, невозможно. Обычно указывается по
этому поводу интервал от 10100 до 10200 (см., например, весьма интересную книгу
Э. Бореля [17, гл. VI]). По современным представлениям, наибольшая протяженность во Вселенной имеет порядок 10 10 световых лет, т. е. 10 28 см. С другой
стороны, наименьшие реальные значения длин, вероятнее всего, не менее 10–15—
10–20 см (см., например, [18]). Поэтому значение (1028: 10 –20)3 = 10144 наверняка
значительно превосходит число элементарных частиц во Вселенной. Для любых
реальных условий отношение наибольшего реального интервала времени к наименьшему вряд ли превосходит 10 40 В «Арифметике» Л. Магницкого указаны
наименования чисел до 1030, ибо «довлеет числа сего к вещам всем мира всего»
(довлеет — значит достаточно). С другой стороны, существенно более современный
автор Р. Эшби пишет [19]: «Все материальное не может выражаться числом,
превышающим 10100».. Однако здесь указаны с а м ы е д а л е к и е рубежи,
возникающие только в астрофизике; в технике вряд ли могут встретиться
отношения реальных величин больше 1020.
Число N, формально определенное выше, на самом деле не сравнимо с
10
реальными числами. В самом деле, по правилам арифметики N : 10100 = 1010 100 .
Однако в силу упомянутой выше реальной неопределенности больших чисел
можно положить 10 10 — 100 = = 1010, откуда N : 10100 = N. Отсюда мы видим, в
225
частности, что применение самых мощных ЭЦВМ нисколько не приближает нас к
овладению числом N. А. Н. Колмогоров предлагал [20] подразделять натуральные
числа на принципиально различные классы малых, средних и больших чисел (к
последним относится и N); при этом проблема, которую нельзя решить с помощью
«среднего» перебора, находится «за пределами машины на любой сколь угодно высокой
ступени развития техники и культуры».
Таким образом, при применении к прикладной математике тео рем
существования (см., в частности, п. 1), предельных переходов, оценок, полученных
в чистой математике, надо все время иметь в виду осмысленные диапазоны
значений рассматриваемых величин. Иногда при этом приходится пересматривать
привычные представления; например, теоретически lim lg lg x   , однако lg lg10100
x 
= 2.
Выше уже упоминалось, что формальные чрезмерно большие числа могут иметь
вспомогательное, промежуточное значение в реальных задачах. Так, известно, что в
статистической термодинамике температура порции газа вводится с помощью ее
энтропии, которая по определению равна логарифму числа квантовых состояний этой порции. Простые оценки показывают, что для 1 л кислорода в нормальных условиях это
24
число приближенно равно N1 = 1010 , т. е. несравнимо больше введенного выше числа N;
другими словами, N1 : N = N1. Конечно, это не противоречит оценке «самого большого
реального числа», так как множество всех квантовых состояний никак нельзя считать
физически реализованным; это множество в принципе ненамного отличается от
множества всех натуральных чисел, хотя и создает иллюзию завершенности. Сама
энтропия S = ln N1 тоже очень велика, но имеет порядок числа молекул в системе;
поэтому энтропия в расчете на одну частицу, а также и температура газа имеют уже
конечные значения.
Хотя описанный подход к понятию энтропии сейчас является не только возможным,
но даже необходимым, трудно отделаться от чувства досады из-за того, что отправной
точкой в данном рассуждении послужило нереализуемое число N1. Быть может, имеются
другие подходы, при которых все отправные точки имеют непосредственный физический
смысл.
Отметим, что в чистой математике, например в теории чисел, рассмотрение как угодно
больших натуральных чисел является довольно привычным делом. Порой ощущается как
бы своеобразная гордость за возможность конструктивного проникновения в область
чисел, недоступных непосредственному воображению, причем к этому проникновению
привлекаются ЭЦВМ. Так, с помощью ЭЦВМ доказана простота числа 219937 — 1 — это
самое большее из известных простых чисел к 1971 году. Еще один пример мы заимствуем
из яркой книги [21, с. 123—124]. Дж. Литлвуд в 1914 г. доказал, что существует
натуральное М, для которого число простых чисел, не превосходящих М, будет больше
M
dx
0 ln x , однако доказательство Литлвуда не давало возможности оценить значение М;
известно было только, что М > 107. И вот в 1937 г. Скьюис получил «оценку» М <
29
1 01 0
10100
1010
, которая затем была «улучшена» (10) до М < 1010 . Можно привести и ряд
других аналогичных примеров. Однако думается, что эта конструктивность имеет
примерно тот же характер, как, например, в теории трансфинитных чисел; грубо говоря,
на основании формальных аналогий как бы условливаются называть некоторые
логические следствия из принятой системы аксиом конструктивными, в отличие от
прикладной математики, конструктивность в которой должна быть в той или иной степени
связана с конструированием или распознаванием и т. п. реального объекта.
226
Естественно, что те же вопросы возникают при рассмотрении формально
10
определенных чрезмерно малых положительных чисел. Так, выражение 1010 ,
полученное в прикладной задаче в качестве окончательного ответа, равно нулю, причем не
приближенно, а точно (11), так как это «число» несравнимо меньше любого реального
положительного числа. Малые, получающиеся при сравнении реальных величин, обратны
большим, но реальным числам, о которых говорилось выше. В практических расчетах
такие малые часто появляются из-за неадекватного выбора единицы сравнения,
например, если выражать массу электрона в тоннах и т. п. «Истинная» малость, которая
еще что-то значит по сравнению с единицей, — грубо говоря, которую еще можно
добавлять к единице, — определяется осмысленной относительной точностью величин, т.
е. в конечном счете уровнем измерительной техники. Сейчас выше всего — до 10–12 —
доходит относительная точность измерения времени и длины; точность измерения
многих других величин существенно ниже. Этим определяются те малые, указание
которых осмысленно в окончательном ответе.
Конечно, в дальнейшем эта точность будет повышена, но отнюдь не беспредельно, так
как этому противоречат молекулярные и квантовые свойства, в частности принцип
неопределенности; вряд ли эта точность в обозримом будущем превысит 10–20.
Точность промежуточных вычислений, естественно, должна превышать точность
окончательного ответа, но не так уж значительно; необходимый запас точности в простых
случаях можно подсчитать, исходя из правил приближенных Вычислений. При
вычислениях на ЭЦВМ нет смысла специально загрублять степень точности промежуточных вычислений, если она оказывается избыточной. Поэтому такие вычисления
производят с естественной точностью, свойственной ныне применяемым ЭЦВМ; обычно
она близка к 10–10 и для подавляющего большинства вычислений оказывается достаточной. В редких случаях применяется удвоенная точность, близкая к 10–20.
Таким образом, не только бесконечные десятичные дроби, формально допускаемые чистой
математикой, но даже дроби со слишком большим числом значащих цифр лежат за
пределами прикладной математики. Заметим в качестве курьеза, что, как отмечено в
превосходной книге М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения
(«Мир», М., с. 429), в 1961 г. на машине ИБМ-7090 примерно за 9 ч было вычислено
число π с 100625 верными знаками. Мы предлагаем читателю самому решить вопрос о
том, какая наивысшая точность π может понадобиться при решении реальных
геометрических задач.
Иррациональные числа, такие, как
2 , π и т. п., в прикладной математике
определяются отнюдь не своими «полными» десятичными разложениями.
Итак, математический континуум (числовая прямая) при чрезмерном продвижении в
область малого становится неадекватным физическому (На этом, в частности,
останавливается М. Борн в книге «Физика в жизни моего поколения». ИЛ, М., 1963, с.
312). Конечно, это замечание нельзя рассматривать как упрек по адресу теории
вещественного числа! В с я к а я логическая схема не вполне адекватна
описываемому ею объекту и это в том или ином должно проявиться. Теория
вещественного числа логически достаточно проста, основанный на ней математический
анализ внутренне согласован и имеет огромное число приложений, следствий, правильно
описывающих реальность. Ценность этой теории не вызывает сомнений.
Однако здесь, как и при проведенном выше рассмотрении чрезмерно больших чисел,
проявляется важная черта, свойственная всякой чисто дедуктивной теории.
Содержательная дедуктивная теория отталкивается от той или иной реальной структуры
и заменяет ее некоторой формальной структурой, которую затем развивает по
формально-логическим законам. Так как эти две структуры не вполне эквивалентны, то в
дедуктивной теории наряду с выводами, адекватными реальности, могут появиться своего
рода «монстры» — паразитные результаты, имеющие характер чисто логических
227
следствий и не допускающие реальной интерпретации; при этом на получение
выводов второго рода могут затрачиваться усилия. И если не привлекать соображений,
лежащих за пределами возводимой теории, то нет возможности различать эти два типа
следствий.
В этом состоит, возможно, основная трудность в развитии чистой математики. В связи со
все большей разветвленностью изучаемых логических структур, все больше
увеличивается объем, а возможно, также и доля результатов паразитного характера,
которые из-за отсутствия внутреннего критерия паразитности нет возможности отсечь.
К тому же такое отсечение всегда сопряжено с некоторым риском: не раз оказывалось,
что вопросы, казавшиеся ранее сугубо отвлеченными, в дальнейшем приобретали
реальное значение; здесь приходится полагаться на интуицию. В качестве
примеров можно сослаться на такие, первоначально чисто абстрактные построения, как
комплексные числа, матрицы, неэвклидовы геометрии, гильбертово пространство.
(Впрочем, паразитные следствия могут возникнуть не только в математике. Таковы,
например, бесконечно большие скорости при решении некоторых задач гидромеханики
или бесконечно большие напряжения в некоторых задачах теории упругости.) С этой
особенностью связана трудность оценки актуальности математических исследований,
так как трудно указать иной критерий ценности работы, помимо непротиворечивости. В
отличие от чистой математики прикладная математика не имеет строго дедуктивного
характера, и одним из важнейших ее направлений является постоянное уточнение
области приложения логических конструкций.
5. Замечание о невозможных событиях. Из п. 4 вытекает существенный вывод,
относящийся к предсказанию, основанному на подсчетах или оценках вероятностей.
Известно, что если формально подсчитанная вероятность некоторого события
оказывается положительной, хотя бы чрезмерно малой в смысле п. 4, то такое событие
часто объявляют хотя и крайне мало вероятным, но все же возможным. Думается, что
такая терминология противоречит разумному применению слова «возможность»; следуя
ей, пришлось бы признавать возможным всякий вздор, вроде того, что дважды два —
пять. Действительно, в качестве прописного примера заведомой истины обычно
приводится равенство 2 × 2= 4. Однако можно формально оценить вероятность того, что
на самом деле 2 × 2 = 5, а стандартное утверждение 2 × 2 = 4 есть результат постоянно
повторяющейся арифметической ошибки. Примем для этого, что каждый человек при
выполнении умножения в пределах первого десятка может с вероятностью 10–6 ошибочно
уменьшить ответ на 1, что соответствует нескольким ошибкам подобного рода за всю его
жизнь. Поэтому, если принять, что за всю историю человечества 1010 людей выполняли
умножение 2 X 2 по 106 раз за свою жизнь каждый, то вероятность того, что они всякий
раз ошибочно, независимо друг
от друга, уменьшали ответ на 1, равна (106 )10 ≈ 10 10 . Этот подсчет можно
уточнить, но ясно, что при любом разумном уточнении результат получится формально
положительным и, по-видимому, не далеким от приведенного.
В качестве «более вероятного» события укажем на пример в книге Дж. Литлвуда [21, с.
117]. Пусть с чемпионом мира играет в шахматы человек, который совершенно не знает
правил игры, но знает только, что, делая очередной ход, он должен либо переставить
одну из своих фигур на какое-либо — безразлично какое — свободное поле, либо перед
этим снять какую-нибудь фигуру противника. Какова вероятность того, что этот «игрок»
не только ни разу не нарушит шахматных правил, но и случайно будет попадать на столь
хорошие ходы, что в конце концов победит? По проведенной в книге оценке, она не
меньше 10–122.
16
17
228
Думается, что возможными, но крайне мало вероятными следует считать события с
вероятностью, скажем, 10–6—10–9; это вероятность выпадения только гербов при 20—30
бросаниях идеальной монеты. Отметим одно любопытное психологическое
обстоятельство. Почему мы при бросании монеты крайне удивляемся, видя, как герб
выпал 20 раз подряд, и не удивляемся, видя, что герб и решетка выпали, например, в
последовательности грггррргрррггргррргр? Ведь вероятности обоих этих событий
одинаковы, они равны 2–20. Конечно, если мы заранее предсказываем вторую
последовательность, и она реализуется, то это в высшей степени удивительно; но,
казалось бы, что выпадение 20 гербов мы не предсказывали заранее? Думается, что
здесь дело в подсознательных экстраполяционных навыках: наиболее простые
закономерности чередования событий являются в нашем сознании как бы заранее
зафиксированными, эталонными. Для случая бросания монеты такими эталонными
чередованиями служат гггггг..., рррррр..., гргргр... и другие сходные
последовательности, которых совсем не так много. Поскольку мы всегда готовы к
обнаружению
эталона, мы естественно удивляемся, если он появляется, когда
интуитивно ощущаемая вероятность появления весьма мала.
Аналогичная ситуация может возникнуть при обнаружении закономерности на
основе единичного испытания, в результате которого произошло (заранее не
предсказанное) весьма мало вероятное событие.
По мере уменьшения вероятности эпитеты, характеризующие степень
неожиданности, надо усиливать. Что же касается событий с вероятностью 10–200 и тем
17
более 10 10 , лишь формально положительной, то их естественно относить к полностью
невозможным. Словом, дважды два — всегда четыре, а не умеющий играть в шахматы
никогда не выиграет у чемпиона мира (12).
Отметим, что подобной точки зрения на возможность и невозможность в конце своей
жизни стал придерживаться и Э. Борель [17], изменив свою первоначальную
терминологию по этому поводу.
6. О понятии функции. Как известно, в XVIII в., когда возникло это понятие, функция
мыслилась заданной обязательно с помощью формулы; говоря на современном языке,
допускалось рассмотрение только аналитических выражений. В дальнейшем такой
подход оказался недостаточным, прежде всего, в связи с рассмотрением кусочноаналитических (в частности, кусочно-линейных) функций. Эти рассмотрения и общий
переход к теоретико-множественным взглядам привели в XIX в. к принятому сейчас в
чистой математике определению функции как п р о и з в о л ь н о г о закона
соответствия между независимыми и зависимой переменными. Такой подход оказался
полезным для логического обоснования математики, хотя с точки зрения приложений
подобное определение является слишком аморфным, расплывчатым.
Право на существование получили такие функции, как, например, функция
Дирихле D(х), равная 0 для иррациональных и 1 для рациональных значений х, а
также другие подобные функции, которым трудно придать другой смысл, кроме
формально логического. Функция D(х) не только не имеет графика в обычном понимании, но, что самое трудное, ее значение не может быть определено даже с грубым
приближением, если значение х известно с какой угодно высокой точностью. Однако в
приложениях функция не есть дезорганизованная толпа значений, а представляет собой
рабочий организм. Сейчас, когда период увлечения патологическими примерами в
основном прошел, стала особенно ясной роль аналитических функций.
Все же логический анализ понятия функции, проведенный в XIX в., не прошел
бесследно и для приложений. Так, функции, заданные несколькими формулами
(кусочно-аналитические функции), часто встречаются в приложениях и более не
вызывают замешательства; простейшим примером может служить единичная функция
Хевисайда
229
0 ( x  0),
e( x )  
1 ( x  0),
которая появляется при описании внезапного включения какого-либо воздействия или
перехода из одной среды в другую и т. п. С помощью единичной функции легко
записать любую кусочно-аналитическую функцию: например, функцию, равную f1 (х)
при х < а и f2 (х) при х > а, можно записать единой формулой:
f ( x)  f1 ( x)e(a  x)  f 2 ( x)e( x  a).
Место подобных функций стало еще более ясным после введения в XX в. обобщенных
функций — импульсной дельта-функции Дирака δ(х) = е'(х) и связанных с ней
функций (см., например, [22, гл. VI]), которые сразу же нашли прочное место в
приложениях (более того, они и возникли именно в связи с формулировкой прикладных
задач).
Отметим, что в теории случайных процессов типа броуновского движения важную роль
играют непрерывные, но нигде не дифференцируемые и потому не аналитические
функции, описывающие траектории частиц. Однако эти траектории непредсказуемы и
неповторяемы, и потому такие функции имеют только статистическое, а не
индивидуальное значение.
Таким образом, можно сказать, что сейчас в прикладной математике такое
индивидуальное значение имеют вообще т о л ь к о аналитические, кусочноаналитические и простые обобщенные функции.
Для XX в. характерен еще один подход к понятию функции, общий как для чистой,
так и для прикладной математики, именно как к элементу функционального пространства,
например пространства Гильберта, т. е. как к члену функционального коллектива. Такой
подход имеет во многих задачах разнообразные теоретические и прикладные
преимущества, на которых мы здесь не будем останавливаться.
7. Устойчивость относительно изменения параметров. Имеется еще одно важное
обстоятельство, которое может послужить препятствием для переноса понятий и методов
чистой математики в прикладную. Оно происходит из возможности лишь приближенного
задания всех непрерывных параметров, входящих в формулировку любой прикладной
задачи.
Пусть речь идет, например, о методе решения какой-либо прикладной задачи. Для того
чтобы считать этот метод эффективным, необходимо, чтобы он обладал известной
универсальностью, точнее, сохранял свою силу при изменении (хотя бы достаточно
малом) параметров задачи: это свойство метода можно назвать устойчивостью (13).
Здесь понятие устойчивости трактуется в широком смысле, как свойство сохранения
всех существенных черт при малых отклонениях в постановке задачи. В п. II. 2.7 мы еще
вернемся к этому общему понятию.
Однако, как отлично известно читателю, многие методы в алгебре, в чистом анализе, в
теории аналитических функций нередко опираются на конкретные арифметические и
функциональные соотношения типа равенств между участвующими параметрами, т. е. в
указанном смысле неустойчивы. Приведем три примера.
В 1971 г. на одном из вступительных экзаменов в Московский авиационный институт
было предложено решить уравнение
x 2  4 x  16 2 x  20  0,
которое приводится к полному уравнению 4-й степени. Составители задачи
предполагали, что экзаменующиеся путем анализа делителей свободного члена
полученного уравнения сначала найдут два целочисленных корня x1,2 = 2, после чего дело
сведется к решению квадратного уравнения. Этот ход выкладок, конечно, не универсален — достаточно заменить коэффициент 20 на 21 или 20,1 и т. д. и описанный прием
становится неприменимым. К сожалению, последнее обстоятельство школьникам
обычно не разъясняется и многие из них остаются в ошибочной уверенности, что владеют
230
общим методом решения уравнений четвертой степени. Трудно сказать, чего здесь
больше — пользы от знания описанного весьма специального приема или вреда от
убеждения в его универсальности.
Вот еще пример того же рода, относящийся к технике интегрирования
дифференциальных уравнений. В известном справочнике Э. Камке указан способ
решения дифференциального уравнения
3 y ' 2 4 xy' y  x 2  0,
основанный на замене 3у = х2 (u 2  1) , в результате которой получается весьма простое
уравнение 4 (хи' + и)2 = 1. Но эта подстановка приводит к успеху лишь в случае, когда
коэффициенты имеют только выписанные выше значения, и совершенно непригодна при
произвольных изменениях этих коэффициентов.
Рассмотрим, наконец, так называемый третий случай интегрируемости системы
уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном поле
тяготения. Если принять указанную точку за начало координат, оси которых направлены
вдоль главных осей инерции тела, и обозначить через х0, у0, z0 координаты центра
тяжести, а через А, В, С — соответствующие моменты инерции тела, то названному
случаю отвечают сугубо специальные соотношения: А = В =2С, z 0 = 0, не
выделяющие сколь-нибудь интересную или типичную ситуацию. Установленная
для этого случая интегрируемость уравнения движения с помощью ультраэллиптических функций исчезает при любом нарушении выписанных соотношений.
Можно сказать, что используемый здесь метод неустойчив в указанном выше
смысле.
В приведенных примерах рассмотрены случаи вырождения, не имеющие ясной
мотивировки и, таким образом, приводящие к нецелесообразным специализациям.
Выше речь шла об устойчивости математических м е т о д о в . Однако столь же
содержательным и осмысленным является понятие устойчивости математической
м о д е л и ; коротко говоря, устойчивой является такая модель, малые изменения
параметров которой не вызывают существенных качественных изменений ее
свойств (В качественной теории дифференциальных уравнений близкое понятие
называется грубостью (структурной устойчивостью)). Эта
устойчивость
представляет собой одно из важнейших необходимых условий адекватности
математической модели реальной картине.
Означает ли сказанное выше, что сугубо специализированный анализ частных и
вырожденных случаев вообще не представляет никакой ценности? Нет, не
означает, если не ограничиваться т о л ь к о этим анализом. Дело в том, что
анализ специального случая часто несет определенную информацию о всех
случаях, достаточно близких к рассмотренному. В частности, такое решение может
быть принято за нулевое приближение при решении смежных (в отношении
параметров) задач методом возмущений.
Так, пусть в алгебраическом уравнении первого примера свободный член равен
20,1, а не 20. Тогда мы можем принять, что его корни мало отличаются от корней
исходного уравнения; например, корень, близкий к значению х = 2, можно
найти из соотношения
(2  ) 2  4(2  )  16 2(2  )  20,1  0,
где Δ — искомая поправка к значению х = 2. Полагая, что Δ мало по сравнению
с единицей и удерживая только члены второго порядка малости (линейные члены
в этом примере взаимно уничтожаются), найдем Δ l,2 = ± 0,05 i = 0,224 i, т. е.
искомая пара корней равна x l,2 = 2 ± 0,224i. При необходимости можно
продолжить итерации и найти дальнейшие приближения. (Впрочем, и с учетом
этого замечания весь класс смежных уравнений, которые могут быть решены
таким путем, представляется практически мало интересным.)
231
Примерно таким же образом обстоит дело и в других вырожденных случаях.
Короче говоря, результаты применения неустойчивого метода приобретают
некоторую ценность, если устойчива математическая модель.
В некоторых случаях из разбора вырожденных объектов оказывается возможно сделать
«устойчивые» выводы о невырожденных ситуациях: так, хорошо известно, что из анализа
точек покоя на фазовой плоскости можно сделать вывод о характере в с е х фазовых
траекторий. Кроме того, само собой разумеется, что строгое решение всякой
изолированной задачи (даже полученное неустойчивым методом) является полезным
эталоном для проверки точности каких-либо приближенных, но устойчивых методов
решения задач того же класса.
Таким образом, специализации, приводящие к изучению вырожденных случаев, могут
быть и целесообразными, приносящими существенную пользу. В особенности это
относится к достаточно широким классам практически важных случаев, которые
формально следует считать вырожденными по самой постановке физической задачи.
Вообще, в рамках какой-либо общей ситуации, включающей произвольные параметры,
различают разные степени вырождения; степень вырождения равна количеству
независимых числовых равенств, связывающих эти параметры. Степень вырождения
называется также коразмерностью вырожденной ситуации, т. е. размерностью,
недостающей до полной. Всякое функциональное равенство, если есть функциональные
параметры, приводит к бесконечной степени вырождения.
В сущности любой, даже весьма широкий класс случаев можно считать
вырожденным по отношению к еще более широкому классу.
Так, например, потенциальность системы есть по сравнению с общим случаем
признак ее вырожденности (даже коразмерности ∞), так как для потенциальности
правые части соответствующей системы дифференциальных уравнений должны
удовлетворять определенным соотношениям типа равенств. Но дело в том, что рассматриваемый тип вырожденности физически осмыслен и охватывает широкий класс важных
задач. При этом изучаемые методы должны быть устойчивыми относительно малых
возмущений в классе по т е н ц и а л ь н ы х систем.
Другим примером содержательного анализа может служить случай действия
периодического возбуждения на механическую систему. Конечно, это тоже
вырожденный случай, так как реальное воздействие на механическую систему не может
быть точно периодическим как из-за наличия разного рода возмущений, так и из-за
ограниченности времени этого воздействия. Тем не менее в подавляющем большинстве
практических случаев оказывается возможным пользоваться результатами исследования,
проведенного в предположении точной периодичности воздействия. Эта возможность,
которая часто принимается без специального анализа, зависит от времени установления,
а также от структуры и величины возможных возмущений.
Одной из важных задач прикладной математики является широкий анализ подобных
возможностей для разных классов задач.
В этой связи следует признать бесспорную ценность анализа первых двух
интегрируемых случаев вращения твердого тела вокруг неподвижной точки:
1) x0  y0  z0  0,
2 ) A  B , x0  y0  0.
(2)
Это также вырожденные случаи (коразмерности 3), но они очень близки многим
реальным ситуациям. В первом случае центр тяжести тела совпадает с неподвижной
точкой, а во втором случае тело обладает осевой симметрией и его центр тяжести
располагается на одной вертикали с неподвижной точкой. Анализ этих двух случаев
вследствие адекватности математической модели позволил осуществить ряд
полезнейших технических устройств гироскопического типа, в которых, разумеется, не
достигается абсолютно точное выполнение условий (2). Можно сказать, что эти
232
вырожденные случаи выделяются не столько формальным свойством интегрируемости,
сколько их подлинной практической важностью.
Эйлерова теория упругой устойчивости также в сущности относится к вырожденным
системам (отсутствие «неидеальностей»), но ее ценность неоспорима. Эти вырожденные
случаи позволяют предсказать свойства реальных систем, если «неидеальности» достаточно малы, как это в самом деле часто бывает.
Таким образом, исследование вырожденных случаев становится полноценным в
прикладном отношении только при отчетливом понимании характера вырождения и при
наличии соображений, говорящих о возможности осмысленных «устойчивых» выводов из
этого исследования. К сожалению, это требование в ряде работ (особенно, чисто
математических) опускается, и есть немало работ, посвященных особым случаям высокой
степени вырожденности, общетеоретическое и прикладное значения которых
сомнительны.
Заканчивая на этом обсуждение вопроса об устойчивости относительно изменения
параметров, приведем пример неустойчивости математических понятий.
Пусть, например, речь идет о вынужденных колебаниях системы со слабой
нелинейностью. Как известно, в таких задачах большое значение имеет соизмеримость
или несоизмеримость частоты возбуждения и частоты свободных малых колебаний. Но
свойства соизмеримости и несоизмеримости неустойчивы, ибо они могут нарушаться при
столь угодно малом изменении параметров системы. Как же быть в реальных условиях?
Обычно выводы, полученные для соизмеримых частот, считают верными с определенной
точностью и в тех случаях, когда отношение частот (возможно, формально
иррациональных) близко к отношению небольших натуральных чисел (1 : 1 , 2 : 1, 2 : 3
и т. п.); если же отношение частот равно отношению больших натуральных чисел, то
применяются результаты исследования несоизмеримого случая. Таким образом,
логически точное, но неустойчивое понятие соизмеримости, переходя в прикладную
математику, трансформируется в несколько расплывчатое, но устойчивое понятие
«практической соизмеримости».
В целом, из сказанного выше следует, что неустойчивость методов, моделей и даже
самих математических понятий (относительно изменения параметров) требует изменения
подходов при решении прикладных задач.
8. О формальных и неформальных понятиях, об интуитивной убедительности.
Различие между чистой и прикладной математикой существенно проявляется в требованиях
к однозначной определенности применяемых понятий и утверждений. Одним из основных
принципов чистой математики является то, что все свойства любого изучаемого понятия
должны вытекать только из его формального определения, они как бы потенциально
заключены в этом определении (На этом, в частности, подробно останавливается Г.
Штейнгауз в яркой книге [23]. Впрочем, говоря об особенностях математического
метода, автор, как это широко распространено, имеет в виду только чистую
математику). Соответственно все утверждения должны включать только формально
определенные понятия, логические соотношения между которыми полностью
предопределяют справедливость или ложность каждого такого утверждения. В
частности, в чистой математике все свойства решений задачи потенциально полностью
предопределяются ее формулировкой. Любое изменение формулировки означает переход
к новой задаче (конечно, в некоторых случаях эта новая задача может оказаться
равносильной предыдущей), поэтому исследование задачи не должно привлекать
добавочных предположений и других уточнений, которых не было в ее формулировке.
В отличие от этого, в прикладной математике понятия и утверждения часто имеют
такой же характер, как в нематематических дисциплинах и даже в обыденной жизни.
Прежде всего, могут применяться понятия, вообще не имеющие формального определения
233
или имеющие определение, не обладающее полной логической четкостью; об этом мы
подробнее скажем в § 3. Но даже если применяется, казалось бы, чисто математическое
понятие, то за ним все время скрывается тот неформальный объект, который оно
идеализирует: оно как бы служит меткой этого объекта и потому включает в себя больше,
чем содержится в формальном определении понятия. Например, когда в прикладном
исследовании говорится «произвольная функция», то подразумевается «произвольная
функция, встречающаяся в данной области приложений» (этим и объясняются различные
подходы к понятию функции, о которых говорилось в п. 6) и т. п. (14). Это дает
возможность в процессе исследования по мере необходимости привлекать
дополнительные сведения о рассматриваемых понятиях (см. п. 3.2в)…
Со сказанным непосредственно связан вопрос об интуитивной убедительности
рассуждения или утверждения. Это, конечно, неформальное понятие и как таковое оно
безусловно отвергается чистой математикой при окончательном изложении результата.
В то же время в прикладной математике именно интуитивная убедительность является
важным критерием правильности; мы вернемся к этому вопросу в § 3. В. В. Налимов (в
работе Логические основания прикладной математики. Изд-во Московского ун-та, М.,
1971, препринт № 24) писал: «Высказывания, сделанные на математическом языке в
прикладных задачах, всегда и прежде всего должны обладать интуитивной убедительностью — это является их обоснованием. Здесь особенно четко проходит линия
разграничения между чистой и прикладной математикой». В отличие от этого в строго
построенной дисциплине чистой математики «интуиция была и остается источником, но
не конечным критерием истины» [28, с. 316].
9. О различии тенденций в процессе решения. Следующее различие в подходе к
решению математической задачи, возникшей из приложений, у чистого математика и у
прикладника имеет в значительной мере психологический характер. Чистого математика
интересует обычно математический аппарат, применяемый для решения этой задачи, сам по
себе, независимо от ее реальной интерпретации. Он склонен максимально возможно
обобщить условие задачи, не обращая внимания на то, имеет ли это обобщение
физический смысл. Наиболее привлекательными для чистого математика оказываются
трудные в математическом отношении задачи и неожиданные, изящные решения, причем
соответствующий метод решения может иметь в глазах математика большую ценность,
чем сама исходная задача. Поэтому иногда, чтобы получить элегантное решение или
просто решение, находящееся на вполне дедуктивном уровне, постановка задачи
видоизменяется так, что ее реальный интерес значительно уменьшается или даже
полностью пропадает. Довольно типичной является также такая картина: некоторый
вопрос, сугубо промежуточный для исходной прикладной задачи, начинает
самостоятельно изучаться на дедуктивном уровне, причем направление этого изучения
теряет всякую связь с исходной задачей. Часто бывает, например, так. Обнаружено, что
для некоторого практически важного события А достаточным (но заведомо не
необходимым) является признак В. Этот признак изучается самостоятельно, причем по
чисто математическим причинам основное внимание привлекают условия С, необходимые
(но недостаточные) для В. Далее могут изучаться условия достаточные для С и т. д. Но в
каком отношении эти условия находятся к событию A?
Естественно, что тенденции прикладника в решении математической задачи должны
быть существенно иные. (Мы пишем «должны быть», поскольку прикладники порой
становятся на позиции чистых математиков.) Главным для него является реальное
следствие из этого решения, формальные обобщения не представляют особой ценности.
Столкнувшись с трудной математической задачей, прикладник предпочитает не искать
элегантное решение («Элегантность — для портных», — сказал по этому поводу А.
Эйнштейн (по свидетельству Э. Белла) и не решать произвольную формально близкую
задачу, а попытаться так видоизменить математическую формулировку исходной задачи,
234
чтобы ее решение оказалось возможным и еще лучше — простым (см. п. 12).
Проблема различия тенденций отчетливо видна в математической статистике, где
происходит как бы непрерывная конкуренция прикладного и теоретического
направлений. В. В. Налимов пишет по этому поводу [25, с. 4—5]: «Математическая
статистика, или, точнее, ее теоретические основы, развиваются, как правило,
математиками, совсем плохо знающими эксперимент. Их логические концепции часто
оказываются мало понятными экспериментатору. Сложный, вполне современный
математический аппарат, делающий задачи статистики столь привлекательными для
математиков, часто только отпугивает экспериментаторов. С позиций экспериментатора
нередко наиболее важными и интересными оказываются те аспекты математической
статистики, которые с позиций математика кажутся совсем второстепенными.
Математики, занимающиеся разработкой математической статистики, подчас бывают
совсем мало озабочены возможностью практического применения их идей и методов».
Аналогично высказывается Т. Мак Рей по поводу применения математики к
проблемам управления предприятиями [26, с. 28] «Если научное управление удалится в
математическую раковину, оно превратится в отрасль математики, а не управления. В
настоящий момент имеется тревожная тенденция в этом направлении».
10. О математической строгости. Думается, из предыдущего ясно вытекает — это
хочется подчеркнуть еще раз,— что нет и не может быть ни абсолютной строгости, ни
абсолютной точности. Уровень строгости различен в различных областях знания и вообще
человеческой деятельности; он меняется с развитием этих областей, стихийно
складываясь (в редких случаях более сознательно, например, в математической логике) в
связи с их задачами и методами. Это полностью относится и к математике. Общий тезис об
относительности знания проявляется не только в изменении областей познанного и
непознанного, но также и в изменении характера самого познания — в том, что
п р и з н а е т с я познанным, какие средства рассуждения при этом допускаются и т. п.
Это общее положение приобретает особенную актуальность при сравнении методов
рассуждения в чистой и прикладной математике.
Формулировка и доказательства Евклида — эти высшие достижения античной
строгости и точности — оказались недостаточными в современной чистой математике,
хотя уровень их строгости в школьном курсе и сейчас, по-видимому, чрезмерен. Евклид не
уточнял понятие «между», он считал его само собой разумеющимся и всякий раз, когда
современный геометр сослался бы на аксиомы порядка, аксиому Паша (15), аксиомы
непрерывности, Евклид рассуждал на основании здравого смысла. Это не приводило его к
противоречиям, и соответствующие логические пробелы, обнаруженные более чем через
две тысячи лет, оказались несущественными при построении античной геометрии,
равно как несущественны они в школьном курсе математики.
Математику XVIII в. не приходило в голову, что такое, например, утверждение, как
теорема Жордана о том, что простая замкнутая линия разбивает плоскость на две части,
может требовать доказательства. Он свободно обходился без современных уточнений
понятий «линия», «поверхность» и т. п., поскольку наглядное представление об этих
понятиях было вполне достаточно для решения ставившихся в то время задач. Вполне
достаточно такое наглядное представление и сейчас для прикладной математики, а
также для школы (16).
Подобно этому современная чистая математика, основанная на наивной теории
множеств, не уточняет важнейшее, центральное для всей этой науки понятие
«существует», считает его «само собой разумеющимся»; манипулирует с понятием
завершенной бесконечности на основании «здравого смысла» и т. п. Эти логические
пробелы оказались несущественными при построении грандиозного здания чистой
математики, они, как это выяснилось э м п и р и ч е с к и , не приводят к противоречиям.
Привычка к этим пробелам привела к тому, что многие их вообще перестали замечать,
что и привело к ложному представлению об абсолютной строгости чистой математики.
235
По этому поводу И. С. Сокольников [27, с. 13] писал: «Понятие строгости зависит
всецело от условностей, диктуемых господствующим вкусом, которому и дано на
определенный хронологический период утверждать меру требовательности в определении
степени математической строгости. Плодотворные интуитивные концепции преобразуются
обычно в строгие формы либо путем четко выраженного соглашения о том, какие понятия
следует относить в категорию концепций, допускающих определение, и какие остаются
неопределимыми, либо путем введения в математические теории новых формально
логических процессов, по возможности свободных от противоречий».
Добавим, что в одном хронологическом периоде в разных разделах математики могут
быть разные понятия строгости в соответствии с традициями и целями этих разделов.
Так было в период научного Возрождения с геометрией и математическим анализом,
позже ослабленные требования строгости были в теории вероятностей; сейчас
различные уровни строгости имеются в математической логике, в основной части чистой
математики и, как мы увидим в § 3, в прикладной математике.
Утверждение об абсолютной строгости и точности допускает также
следующее курьезное, конечно, не решающее возражение. В п. 4 была оценена
вероятность того, что равенство 2 × 2 = 4 есть результат арифметической ошибки.
Тем же способом можно оценить вероятность и того, что все утверждения чистой
математики содержат подобные ошибки; эта вероятность с точки зрения чистой же
математики положительна.
Математическая логика находится, конечно, на существенно более высоком
уровне строгости, чем основная часть чистой математики. Однако и этот уровень
не является абсолютным. Более того, чтение вводных глав иных книг по
математической логике может произвести впечатление, что интуиция в ней играет
большую роль, чем в «наивной» чистой математике; но дело просто в том, что
многие вопросы, которые в чистой математике считаются само собой
разумеющимися, а на самом деле основаны на интуиции, в математической логике
специально обсуждаются. Но и в логике многое остается «само собой
разумеющимся», хотя грань необъясненного отодвигается вглубь. Так, это
относится уже к первым словам курса «рассмотрим», «пусть» и т. п., которые
должны быть одинаково поняты всеми читателями, но насколько универсально
понятие «понятности»? Однако эти пробелы не мешают математической логике
развиваться и успешно решать естественно возникающие в ней проблемы, многие
из которых оказываются существенными для математики в целом.
Еще более важно обратить внимание на следующее. Уровень строгости и весь
образ мышления математической логики, несомненно, не пригоден для чистой
математики в целом, задачи которой выходят за рамки логики, хотя на некоторые
из них достижения логики должны существенно повлиять; достаточно вспомнить,
например, выдающиеся результаты о неразрешимости, полученные в последнее
время. Так, П.С. Новиков доказал невозможность построения алгоритма для
решения одной из центральных проблем теории групп – так называемой проблемы
тождества слов. С.И. Адян установил неразрешимость классической проблемы о
построении алгоритма, позволяющего для любых двух групп, заданных своими
образующими и определяющими соотношения между ними, выяснить, изоморфны
эти группы или нет. А.А. Марков доказал неразрешимость знаменитой проблемы
топологии о построении алгоритма, с помощью которого можно было установить,
эквивалентны ли топологически (т.е. гомеоморфны ли) два заданных тела (точнее,
полиэдра). Ю.В. Матиясевич сделал то же для десятой проблемы Гильберта о
построении алгоритма, позволяющего для любого алгебраического уравнения с
любым числом неизвестных и целочисленными коэффициентами выяснить, имеет
ли это уравнение, по крайней мере, одно целочисленное решение.
236
И в то же время припоминается волнение и крайнее недоумение слушателей на
заседании Московского математического общества во время доклада по
математической логике, когда докладчик заявил: «Все функции непрерывны».
Позже, когда выяснилось, что он имел в виду конструктивно определенные
функции, которые только и признаются конструктивной логикой, волнение утихло.
Подумать только, что стало бы с современной чистой математикой, если бы из
нее были исключены разрывные функции!
Подобным образом уровень строгости и весь образ мышления чистой
математики, как уже не раз говорилось (и не раз будет повторено в дальнейшем),
хотя и применяются в прикладной математике, но не могут ее полностью
удовлетворить. Даже когда задача полностью сформулирована на чисто
математическом языке, проведение ее исследования на чисто дедуктивном уровне
в подавляющем большинстве случаев противоречит принципу оптимальности, ука занному в п. 1.7, а во многих случаях просто невозможно.
Поэтому математик-прикладник не только имеет право, но обязан выбирать
уровень строгости и образ мышления, адекватный решаемым им задачам и
принципу оптимальности. Эти уровень строгости и образ мышления определяются
сочетанием дедуктивных и рациональных рассуждений. К обсуждению последних
мы обратимся в следующем параграфе.
11. Примеры. Первые три примера иллюстрируют различие подходов к вопросу
о существовании в чистой и прикладной математике. Прежде чем перейти к их
изложению, отметим следующее. До сих пор говорилось о причинах, которые
порой препятствуют непосредственному применению «чистых» результатов в
прикладной математике. Вероятно, имеются и другие причины, хотя
представляется, что перечисленные пока главнейшие. Вместе с тем во многих
случаях «чистое» рассуждение удается перестроить так, что оно становится
приемлемым и для прикладной математики: скажем, бесконечную конструкцию
заменить на конечную, неэффективное доказательство существования — на
эффективное, конструктивное (Доказательство существования некоторого объекта
естественно называть конструктивным в прикладном отношении, если из него вытекает
точная или приближенная конструкция этого объекта, применимая для некоторого
разумного класса реальных примеров). Хотя получающиеся при этом решения могут
оказаться далекими от оптимальных — об этом нередко чистая математика не
заботится — но все же это уже решения, которые можно постараться улучшить,
а если это не получится, то все-таки это лучше, чем ничего. Если же
доказательство превратить в эффективное никак не удается, то все-таки оно может
послужить дополнительным стимулом к эффективному построению решения (както приятней строить решение, если доказано его существование), либо усилить
уверенность в правильности другой конструкции решения, полученной без «чистого» обоснования (это означает, что «чистое» доказательство может служить одним из
рациональных доводов в защиту правильности решения)…
12. Еще цитаты. В заключение параграфа приведем высказывания различных
авторов, непосредственно примыкающие к изложенному материалу, в основном к
материалу пп. 8—10 (и частично к § 3).
X. Розенброк и С. Стори, говоря о математическом решении прикладных задач, в
своей полезной книге [28, с. 29—30] пишут: «Инженер или математик прежде всего
должен помнить, что он использует математику для описания реального мира.
Чистый математик никогда не делает этого, а этому искусству учат редко. Любая
последовательность математических символов, которую записывает математикприкладник, является в действительности последовательностью физических
утверждений. Если бы утверждение было на английском языке, то автор серьезно
рассматривал бы, верно оно или нет. Он должен быть таким же скрупулезным в
237
проверке справедливости утверждения, которое он сделал в математических
символах.
Главное в данном случае (и оно же является источником больших трудностей) то, что
математик-теоретик начинает с формулировки задачи, которую он потом не подвергает
сомнению. Его единственной целью на протяжении последующих манипуляций
является обоснование своих аргументов. Ни одну важную задачу в технике нельзя
поставить таким образом. Любое формулирование технической задачи является
условным, и если некоторое следствие формулировки задачи неверно или неприемлемо,
то задача должна быть переформулирована. Если любой промежуточный шаг в
математической аргументации отображает физически неверное положение, то результат,
полученный с помощью строгих рассуждений из, по-видимому, обоснованной точки
зрения, будет, тем не менее, ошибочным.
Математик-прикладник, следовательно, должен учитывать как математическую, так
и физическую сторону задачи, связывая одну с другой. Каждая возникающая
математическая трудность должна вызывать подозрение — свойственна ли она
физике, или вызвана ошибкой в формулировании, или просто является математической
трудностью, которую можно избежать другой формулировкой?»
Д. Хорафас [29, с. 13]: «В самом широком плане математику можно разделить на
две области. Ученые, работающие в одной из них, имеют дело с символами, их
комбинациями и свойствами в формализованном виде. Математики, ведущие
исследования в другой области, интересуются значением символов, т. е. смысловым
содержанием теории, связанной с реальным миром». Это и есть схематическое
определение чистой и прикладной математики. Мы бы добавили, что при этом здесь дело
не в области приложений: прикладная математика изучает методы привлечения
неформальных соображений к решению формализованных задач, а конкретной
областью приложений определяются классы этих задач и этих соображений. Было бы
интересно провести сравнительный в этом отношении анализ различных областей
приложения математики (механики, физики, химии, техники, биологии, экономики и т.
д.). При этом выявятся как специфика этих областей, так и то общее, что характерно
для приложения к ним математики.
М. Кац и С. Улам [1, с. 167—168]: «Некоторые из современников Хевисайда
критиковали его за использование формальных приемов без ясного понимания их
содержания и смысла. Говорят, что в ответ своим критикам Хевисайд как-то сказал:
«Должен ли я отказаться от хорошего обеда лишь потому, что не понимаю процессов
пищеварения?» Подобным образом можно было бы критиковать шестиклассника,
который учится пользоваться дробями, не понимая лежащей в основе теории.
Мы остановились на этом потому, что здесь хорошо видна одна из сильных (надо
было бы сказать «ведущих» и т. п.— Авт.) тенденций современной математики:
игнорировать и отвергать все, что не формализовано логически. Именно эта тенденция
(начинающая проникать в начальное и среднее обучение) в большой степени
ответственна за растущее отделение математики от физики. Физик, применяющий
математические методы, вполне может положиться на внутреннюю согласованность
своих построений и, что самое важное, на совпадение полученных результатов с
экспериментом. Подобно шестикласснику, он будет рад воспользоваться
рациональными числами, не зная во всех подробностях, как их можно объединить в
формальную систему, и, подобно Хевисайду, будет счастлив жонглировать операторами,
не дожидаясь, когда логика даст ему разрешение на это». Кстати, именно Хевисайду
удалось найти решения практически важных задач в случаях, когда применить
логически полностью обоснованную в то время методику оказалось затруднительно.
Позже аналогичная история произошла с обобщенными функциями (п. 6), которые
физики ввели и начали использовать раньше, чем математики дали им формально
совершенное обоснование.
238
Г. Ван Трис пишет в предисловии к своей книге [30, с. 11—12]: «Уровень
математической строгости книги невысок, хотя в большинстве разделов полученные
результаты могут быть доказаны и строго, если мы будем просто более скрупулезны в
наших выкладках. Мы намеренно приняли такой подход с тем, чтобы обилием деталей не
обременять существенные идеи и сделать материал удобочитаемым для той
инженерной аудитории, которая найдет его полезным. К счастью, почти во всех
случаях мы можем удостовериться, что наши выводы являются интуитивно логичными.
Следует заметить, что эта способность проверять выводы интуитивно была бы
необходима, даже если бы выкладки были весьма строгими, поскольку наша конечная
цель — получить ответ, который соответствует некоторой рассматриваемой физической
системе. Не представляет труда найти физические задачи, в которых правдоподобная
(но неадекватная, см. § II.1.—Авт.) математическая модель и корректные
математические методы приводят к нереалистическому решению исходной задачи».
Л. де Бройль [31, с. 326]: «Математический язык является чисто дедуктивным, он
позволяет строго выводить следствия из посылок. Эта строгость, являющаяся его
силой, является также его слабостью, поскольку она замыкает его в круг, за пределы
которого он не может выйти. Математическое рассуждение должно установить
следствия, которые уже содержатся в посылках, не будучи еще очевидными;
следовательно, оно не может дать в своих выводах ничего более того, что содержится
неявно в исходных гипотезах... Итак, не чистые дедукции, а смелые индукции и
оригинальные представления являются источниками высокого прогресса науки».
X. Розенброк и С. Стори [28, с. 17, 31 и 41]: «Мы не против математической
строгости и, признавая, что математика имеет свои собственные внутренние законы
развития, возражаем против позиции, которая концентрирует внимание на математических тонкостях, возникающих при постановке задачи и несущественных в
определенном смысле, и в то же время игнорирует действительные трудности».
«Инженер должен не гнаться за строгостью как вещью в себе и избегать большой
борьбы за общность и краткость. Слишком, общая формулировка обычно сводит
решение к задаче, менее легкой и менее полезной. Краткость (или «элегантность») - это
хорошо, однако часто она получается только за счет искусственности». «Инженер... не
позволяет ставить в один ряд все те проблемы, которые представляют какой-либо
интерес. Математические выкладки оправдываются в его глазах их практическим
успехом таким же образом, как и физические теории, к которым эта математика
применяется. Вследствие этого различия в подходе аксиоматический метод мало
привлекателен для инженера. Он соглашается признать, что 2+2 = 4, потому что это
приводит к полезным результатам, и не чувствует необходимости доказывать это
утверждение с помощью ряда менее очевидных аксиом. В то же время не возражает
против введения новых фактов в задачу по мере решения. Если новый факт верен, то он
не может быть источником ошибок в результате».
Аналогичные мысли высказал Н. Бейли [7, с. 144] в связи с приложениями
математики к биологии: «Вполне возможно, что для решения уравнений нужны
некоторые дополнительные условия или допущения, либо их трудно решить именно в
той форме, в какой они представлены. В этом случае математик может ввести
дополнительные ограничения или произвести некоторые изменения, позволяющие
решить эти уравнения. Но может оказаться, что произведенные им изменения не
соответствуют духу первоначальной биологической задачи, и в результате будет
затрачено много сил на сложные, но бесполезные математические расчеты в поисках
точного решения ошибочной задачи. Для того чтобы математик узнал, что именно в
конечном счете допустимо с точки зрения биологии, он должен проявить интерес к
самой биологической задаче и познакомиться с ней во всех деталях».
В своей эмоциональной речи на конференции Американской ассоциации экономистов
президент этой ассоциации В. Леонтьев, говоря о резко возросшем увлечении
239
формальными схемами экономики, в частности, сказал [37, с. 101 - 104]: «Некритическое увлечение математическими формулами часто ведет к тому, что за внушительным фронтом алгебраических символов скрываются положения легковесные с
точки зрения сущности предмета». Он приводит слова одного из недавних президентов
Общества эконометриков: «...есть что-то скандальное в зрелище, которое представляет
такое большое количество людей, занятых оттачиванием анализа экономических
ситуаций, относительно которых у них нет никаких оснований полагать, что они когдалибо будут иметь место в действительности... Это неудовлетворительное состояние
дел, в котором есть даже что-то бесчестное». И добавляет: «Увлеченность
воображаемой, а не данной в наблюдениях реальностью привела к искажению
неофициальной шкалы ценностей, по которой в наших академических кругах
оценивают научные достижения. Эмпирический анализ оценивается теперь ниже, чем
формальное математическое доказательство... И все это происходит, несмотря на то,
что в очень многих случаях сложный статистический анализ осуществляется на базе
массива данных, точное значение и надежность которых неизвестны автору или,
напротив, так хорошо известны, что в самом конце он предупреждает читателя не
принимать всерьез фактическую сторону выводов данного «упражнения» ... не
удивительно, что экономисты младшего поколения, особенно те, которые заняты
преподавательской деятельностью и теоретическими исследованиями, по-видимому,
вполне удовлетворены нынешним состоянием дел: они могут демонстрировать свою
доблесть (и, между прочим, делать карьеру), создавая все более сложные
математические модели и изобретая все более изощренные методы статистических
преобразований, совершенно не принимая участия в эмпирических исследованиях.
Время от времени раздаются жалобы на отсутствие необходимых первичных данных,
но в них не заметно особой тревоги».
В. В. Налимов [25, с. 195]: «За рубежом нередко кафедры математической
статистики занимают ученые, хорошо подготовленные в области математики, но не
имеющие вкуса к эксперименту. Им нужно как-то проявить свою деятельность. Нужно
давать темы для дипломных и диссертационных работ. Появляются проблемы,
сформулированные в терминах прикладных задач, но в действительности не имеющие
прикладного значения. Разработка этих проблем требует высокого математического
мастерства и может служить хорошим основанием для поддержания престижа на
высоком уровне. Однако найденные решения не имеют большой ценности с позиций
математики, так как они носят очень частный характер. Их пытаются представить как
глубокую теоретическую разработку практически важной проблемы. Но на самом деле
они не имеют прикладного значения из-за нереалистичности в постановке задачи. Так
возникает ненужная теоретизация».
М. Кац и С. Улам [1, с. 210—211 ]: «Никакая из рассматривающихся до сих пор
формальных систем не дает адекватного воплощения того представления о бесконечном, которого бессознательно придерживаются математики: можно даже отважиться на гипотезу, что такая формальная система вообще невозможна:». «Работа
над основаниями всей математики в целом привела к отрицательному результату, ибо
она выявила слабые стороны аксиоматического метода. (Мы бы не сказали, что это
отрицательный результат.— Авт.) В теории множеств она породила серьезные
сомнения в существовании формальных систем, способных дать такое описание,
которое отвечало бы представлению математика о множествах». Противопоставляя
этому конструктивные результаты работы над основаниями геометрии, Кац и Улам
заключают: «Трудно избежать искушения и не сделать из этого вывод, что существует
какое-то неопределяемое глубокое различие между проблемой аксиоматизации
отдельной ветви математики, обязанной своим происхождением внешним стимулам, и
проблемой аксиоматизации внутренних процессов мышления».
240
С. А. Яновская [35, с. 249]: «...математическая, или логическая, «строгость» с а м а
п о с е б е отнюдь не является еще гарантией истинности и надежности науки.
Нетрудно привести примеры, где строгая последовательность выводов могла принести
— и действительно принесла — только вред прогрессивному развитию науки».
В. В. Налимов [25]: «Если математика в прикладных задачах выступает в роли языка,
то математические структуры этого языка естественно рассматривать как грамматику
этого языка. Можно задать вопрос — нужно ли хорошо знать грамматику тому, что
хочет воспользоваться языком в чисто прагматических целях? По-видимому, не нужно,
во всяком случае, на обыденном языке можно разговаривать, не зная его грамматики».
Дж. Коул [38, с. 9]: «Настоящая книга написана в основном с точки зрения математикаприкладника: внимание в ней в значительно большей степени уделено выявлению
основополагающих идей теории возмущений, чем вопросам математической строгости;
при этом использовались самые разнообразные средства. В частности, для выяснения
существа различных вопросов часто приходилось обращаться к физическим
рассуждениям. Они обычно помогают правильно поставить задачу и найти нужные
приближения».
Примечания
1.
При перечислении точек зрения в пп. 6 и 7 использованы, в частности,
устные высказывания М. А. Красносельского.
2.
Вот одно из наиболее крайних выражений этой позиции: «Математика
есть создание чистого разума и поэтому не н уждается в связях с
другими сферами деятельности человека» (Л. Морделл. Размышления
математика. «знание», М., 1971, с. 28).
Приведем еще высказывание Ж. Дьедонне по этому поводу: «...в
принципе современная математика в основе своей не и м е е т к а к о й л и б о у т и л и т а р н о й цели, а представляет собой интеллектуальную
дисциплину, практическая польза которой сводится к н у л ю ...математик
в своих исследованиях никогда не руководствуется мыслью о степени
полезности полученных результатов в будущем (что, впрочем, и
невозможно предсказать), скорее он руководствуется желанием
проникнуть в понимание математического явления, как явления,
з а к а н ч и в а ю щ е г о с я на с е б е с а м о м ... математика — не более
чем «роскошь», которую может позволить себе цивилизация» (цитируется
по Сойер У. Путь в современную математику. «Мир», М., 1972, с. 18).
Грустно, что это говорит человек, являющийся одним из руководителей
группы «Бурбаки», оказывающей значительное влияние на лицо всей
современной чистой математики...
3. В связи с этим приведем слова Дж. Диксона: «Если мощные математические
методы не позволяют получить результат (иногда это бывает), то все равно нужно
продолжать поиск. Имейте в виду, что при инженерном анализе н е о б х о д и м о
получить числовой результат любым способом».
4. Дополнительное осложнение возникает в связи с тем, что понятия «прикладное
исследование», «прикладной раздел» и т. п. являются относительными; это порой
приводит к различным недоразумениям, например, к тому, что прикладниками
(соответственно теоретиками) называют себя люди, которые друг друга отнюдь
таковыми не считают. Целый ряд исследований, книг и т. д. можно назвать как
прикладными (если они рассматриваются с еще более абстрактных позиций), так и
241
чисто математическими (скажем, с позиций инженера). Конечно, такая относительность
понятия «прикладного» имеет место также в физике, механике и других дисциплинах.
5. Н. С. Бахвалов [11, с. 11]: «...есть разница в подходе «чистого» и «прикладного»
математика к решению какой-либо проблемы. На языке первого понятие решить задачу
означает доказать существование решения и предложить процесс, сходящийся к
решению. (Даже последнее иногда считается необязательным. — Авт.) Сами по себе
эти результаты полезны для прикладника, но, кроме этого, ему нужно, чтобы процесс
получения приближения не требовал больших затрат, например, времени или памяти
ЭВМ. Ему важно не только то, что процесс сходится, но и то, как быстро он сходится».
6. Впрочем, Дон Кихот не очень заботился о предварительном доказательстве
соответствующей теоремы о существовании врагов, а сразу бросался в бой.
7.
Этот закон гласит, что для каждого утверждения, осмысленного в
рассматриваемой ситуации, верно либо оно само, либо его отрицание. Обозначив
буквой p это утверждение, можем написать: верно (p или (не p)). Закон исключенного
третьего близок, хоть и не равносилен, закону двойного отрицания: из (не (не p))
вытекает p, а также закону противоречия: неверно (p и (не p)). В дальнейшем,
упоминая закон исключенного третьего, мы будем иметь в виду все три закона. Чистая
математика (за исключением некоторых ветвей математической логики) пользуется
ими без ограничений.
8. К. Гедель доказал, что любая достаточно обширная теория, вытекающая по
определенным правилам математической логики из некоторой системы аксиом, всегда
неполна; это означает, что в терминах такой теории можно сформулировать
предложение, справедливость или ложность которого нельзя доказать в рамках этой
теории, т.е. пользуясь только исходными аксиомами. Эту справедливость или
ложность можно принять в качестве добавочной аксиомы, присоединив которую к
исходным, можно построить более детализованную теорию, которая, однако, будет
опять неполной, и т.д. Формальная непротиворечивость достаточно обширной теории
также не может быть доказана в рамках этой теории.
9. Отметим, что само по себе рассмотрение непрерывных переменных еще не вводит в
прикладную математику бесконечности, так как область изменения таких переменных
выступает в приложениях не как набор точек, а как первичный объект (например,
интервал времени).
10. Мы не удержались поставить это слово в кавычки, хотя самого Скьюиса они,
вероятно, обидели бы.
11. Будучи вырванными из контекста, эти слова могут вызвать негодование; мы
надеемся, что наши читатели не соблазнятся легкой возможностью высказать
тяжелый упрек. Позже мы будем говорить о том, что выражения «точно» и даже
«абсолютно точно» сами в определенном смысле имеют относительный характер; см.,
например, рассмотрение равенства 2 × 2 = 4 в п. 4,
10
Несколько утрируя, можно сказать, что если 2 × 2 = 4, то 10 10  0 .
12. Тем, кто возражает: «Но встречаются же крайне маловероятные события:
например, на днях я и мой старинный знакомый, которого я не видел 20 лет, независимо
взяли в театр билеты на соседние места», надо ощутить полную несравнимость
вероятностей этого и указанных выше событий. Не следует уподобляться свахе из
«Последней жертвы» А. Н. Островского, которая о каждом женихе говорила: «У него
миллион», и простодушно пояснила: «Для меня все, что больше тысячи, то миллион».
242
13. Параметр — это не обязательно скаляр, это может быть вектор или даже
элемент функционального пространства. Например, для дифференциального
dx
 f ( x, t ) всю правую часть можно рассматривать как функциональный
уравнения
dt
параметр. Поэтому метод, применяемый к реальной задаче, описываемой указанным
дифференциальным уравнением, должен быть устойчивым относительно произвольной
достаточно малой вариации правой части.
14. В книге [35, с. 52—53] приведен остроумный пример того, как утверждение,
истинное в смысле формальной логики, в житейском звучании становится ложным, так
как в обыденной жизни мы за логическими терминами видим больше, чем содержится в
их формальном определении: «Представим себе, что один из наших знакомых на
вопрос, когда он уедет из города, ответит, что он собирается сделать это сегодня, завтра
или послезавтра. Если мы впоследствии убедимся в том, что еще до нашего вопроса им
было уже решено уехать в тот же день, у нас, вероятно, создается впечатление, что мы
были намеренно введены в заблуждение и что он солгал нам».
15. Аксиома Паша состоит в том, что если на плоскости прямая не проходит через
вершины некоторого треугольника и пересекает какую-либо из его сторон, то она
пересечет и какую-либо из других сторон этого треугольника.
16. Яркое описание исторического уточнения понятия многогранника содержится в
книге И. Лакатоса [36]. Сравнивая это уточнение с затачиванием карандаша, автор
пишет (с. 73): «Во-первых, ни один карандаш не является абсолютно острым (и если мы
переострим его, то он сломается), и, во-вторых, затачивание карандаша не является
творческой математикой». Отметим одну из высказываемых им точек зрения (с. 76): «Не
все предложения будут или истинными, или ложными. Есть и третий класс, который я
хотел бы теперь назвать «более или менее строгими». Говоря подробно об эволюции
понятия строгости, автор отмечает (с. 80): «Различные уровни строгости отличаются
только местом, где они проводят линию между строгостью анализа доказательства и
строгостью доказательства, т. е. местом, где должен остановиться критицизм».
Литература
1. Кац М., Улам С. Математика и логика. Ретроспектива и перспективы. М.,
Мир, 1971.
2. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1. Гостехиздат,
м., 1935.
3. Пуанкаре А. Ценность наук. М., 1906 ИЗМЕНИТЬ ГОД
4. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия,
изучение и преподавание. «Наука», М., 1970.
5. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 2. Гостехиздат,
М – Л., 1935.
6. Математика в современном мире. «Мир», М., 1967.
7. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. «Мир», М., 1970.
8. Новожилов В.В. Этажи математики. «Известия», 17 января 1971.
9. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г., Правдоподобность и
доказательность в прикладной математике. «Инж. Журн. Механика
243
твердого тела», 1967, 2, 196-202.
10. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения
дифференциальных уравнений. «Мир», М., 1969.
11. Бахвалов Н.С. Численные методы, 1. «Наука», М., 1973.
12. Вейль Г. О философии математики. 1934 ИЗМЕНИТЬ
13. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. Интуиционизм
– теория доказательства. Гостехиздат. М., М. – Л., 1936.
14. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. Гостехиздат, М. – Л., 1947.
15. Рашевский П.К. О догмате натурального ряда. «Усп. Матем. наук», 1973,
28, 4, 243-246.
16. Петров Ю.А. Логические проблемы абстракций
осуществимости. «Наука», М., 1967.
бесконечности и
17. Борель Э. Вероятность и достоверность. Физматгиз, М.,1961.
18. Гинзбург В.Л. Какие проблемы физики и астрофизики представляются
сейчас особенно важными и интересными? «Усп. Физич. наук», 1971, 103,
1, 87-119.
19. Эшби Р. Несколько замечаний. В кн.: Общая теория систем. «Мир», М.,
1966, 171-178.
20. Колмогоров А.Н. Автоматы и жизнь. «Техника молодежи», 1951, 10, 19.
21. Литлвуд Дж. Математическая смесь. Физматгиз, М., 1962.
22. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. «Наука»,
М., 1972.
23. Штейнгауз Г. Задачи и размышления. «Мир», М., 1974
24. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. ИЛ, М., 1957.
25. Налимов В.В. Теория эксперимента. «Наука», М., 1971.
26. McRae T. Analytikal management. N. Y., 1970.
27. Сокольников И.С. Тензорный анализ. Теория и применение в геометрии и
механике сплошных сред. «Наука», М., 1971.
28. Розенброк Х., Стори С. Вычислительные методы для инженеров-химиков.
«Мир», М., 1968.
29. Хорафас Д.н. Системы и моделирование.»Мир», М., 1967.
30. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции, 1, «Сов. Радио», М.,
1972.
31. Бройль Л. Де По тропам науки. ИЛ, М., 1962.
32. Морделл Л. Размышления математика. «Знание», М., 1971.
244
33. Сойер У. Путь в современную математику. «Мир», М., 1972
34. Диксон Дж. Проектирование систем: изобретательство, анализ и принятие
решений. «Мир», М., 1969.
35. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. ИЛ, М.,
1948.
36. Лакатос И. Доказательства и опровержения. «Наука», М. 1967.
37. Леонтьев В. Теоретические допущения и ненаблюдаемые факты. «США –
экономика, политика, идеология», 1972, 9,
38. Коул Дж. Методы возмущения в прикладной математике. М., Мир, 1972.
Вопросы для понимания
1.
Приведите аргументы «за» и «против» точек зрения – а) к математике
относятся только чисто дедуктивные построения; б) к математике относятся и
практические методы решения задач, приходящих извне математики; в) математика
охватывает как дедуктивные области, так и приложения (построение математических
моделей,
математический
эксперимент,
индуктивные
и
иные
рациональные
рассуждения и т.д.)
2.
Есть ли объективные основания считать прикладную математику
«недоматематикой»? Надо ли ждать, что когда-либо она возвысится до нормального
математического уровня? Что заставляет физиков, инженеров-теоретиков и других
специалистов отказываются от дедуктивных методов в математике и переходить на
язык прикладной математики, перестраивая весь образ математического мышления?
3.
В чем состоит специфика математического решения прикладных задач?
4.
Как понимают «существование» математического объекта в чистой и
прикладной математике?
5.
Приведите примеры, когда в прикладных исследованиях понятие
бесконечности существенно меняет смысл по сравнению с чистой математикой.
6.
Как по-разному трактуют число в чистой и прикладной математике?
7.
Что такое паразитные результаты в чистой математике?
возрастает их доля в математике? Можно ли без риска отсекать эти результаты?
Почему
245
8.
События с какой положительной вероятностью считаются в прикладной
математике невозможными?
9.
Функция как произвольный закон соответствия между зависимыми и
независимой переменной. Чем такое понимание функций в чистой математике не
устраивает прикладную математику?
10.
Поясните утверждение, что неустойчивость методов, моделей и даже
самих математических понятий (относительно изменения параметров) требует
изменения подходов при решении прикладных задач.
11.
Как задаются понятия в чистой и прикладной математике?
12.
Какова роль интуитивной убедительности (интуиции) в чистой и
прикладной математике?