1.8. Классификация погрешностей вычислений. Корректность

1.8. Классификация погрешностей вычислений. Корректность вычислительных задач
и алгоритмов. Понятия устойчивости и обусловленности.
Причины возникновения погрешностей:
1) приближённость математической модели;
2) погрешность входных данных;
3) погрешность метода решения;
4) погрешность машинного округления.
Первые два вида — устранимые, последние два — неустранимые.
Пусть x — неизвестное точное значение, x* — приближённое значение.
Def. 1. Δ(x*) = |x – x*| — абсолютная погрешность.
Def. 2. δ(x*) = Δ(x*) / |x*| — относительная погрешность.
Сами погрешности неизвестны, рассматривают их оценки сверху   x*  и   x*  .
Пусть x* — приближённое условие задачи, y* — её приближённое решение.
Def. 3. Задача называется вычислительно устойчивой, если  >0  >0 | Δ(x*)≤  Δ(y*)≤
(непрерывность решения по входным данным).
Здесь δ (не путать с δ из Def. 2), по существу, представляет собой   x*  , а ε —   y*  .
Def. 4.  
Def. 5.  
  x*     
 y*
— абсолютное число обусловленности.
  
 y*
— относительное число обусловленности.
 x*
Задача хорошо обусловлена, если число обусловленности порядка 1 или меньше. Если оно >> 1,
то задача плохо обусловлена. Обусловленность задачи — «чувствительность» погрешности
решения к погрешности входных данных. Бесконечно плохо обусловленная задача —
вычислительно неустойчива.
Def. 6. Задача называется корректной, если:
1) её решение существует и единственно;
2) она вычислительно устойчива.
Пример 1. Задача вычисления ранга матрицы:
1 0
1 0
*
A
,
A


 0  .
0 0


rA  1, rA*  2.
Задача вычислительно неустойчива.
Пример 2. Нахождение корней многочлена (x – 1)4 – ε. Кратные корни снижают обусловленность
(при ε = 0 есть один 4-кратный корень; при малых, но ненулевых ε есть 4 однократных корня).
Пример 3. Пусть a — набор из N элементов (точный), a* — его приближение.
N
N
n 1
*
n 1
S   an , S *   an* .
 a
  nmax
1; N
S S
*
   S  
*
  S*  
 
an  an* .
N a
S
 S * 
  a* 
SS
N
   an  an*   N   a*   N a   a*     S *  .
*
n 1
  a*     S *  .
 N ,  
  S* 
  a* 
N

N a
S

 an
n 1
N
.
 an
n 1
Пусть x  10, N  10, an 
10
 

xn
n!

xn
n!
n 1
10
n 1

ex
e x
xn
.
n!
 e2 x  e 20
 плохая обусловленность.
Пример 4.
b
b
I   f  x  dx, I   f *  x  dx.
*
a
*
 f
  xmax
 a;b 
 I

*
 
a
f x f*x .
b
I I
 I * 
 f * 
*
  f  f
a
*
  x  dx
b
  f  x   f  x  dx    f
*
a
b
*
 a dx   b  a    f *     I *  .
 b  a.
Задача хорошо обусловлена по абсолютному числу, но плохо — по относительному (пример входа
с большим относительным числом обусловленности — sin).