9–_____ Письма высылать по адресу: 603950, ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина,... 504, ННГУ, мехмат, ЗМШ. Вместе ...

Ваш регистрационный номер 9–_____ (указывайте его в левом верхнем углу конверта).
Письма высылать по адресу: 603950, ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6, комн.
504, ННГУ, мехмат, ЗМШ. Вместе с решенным заданием не забудьте выслать конверт с
заполненным на Ваше имя адресом. Сроки выполнения заданий: Задание 1- декабрь; Задание
2 - январь; Задание 3 - февраль; Задание 4 – март; Задание 5 – апрель.
Телефоны для справок: 465-80-25; 462-33-20 (с 1100 до 1500 ).
Задания и решения смотрите на сайте: http//mm.unn.ru (Математическая школа)
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 9-го КЛАССА
(2014-2015 учебный год)
Задание 1
2,00000000003
2,00000000004
или
?
2
1,00000000003  2,00000000003
1,00000000042  2,00000000004
2) Составить две прогрессии, арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх
членов, такие, что если сложить одноименные члены обеих прогрессий, получатся числа 31,
21, 17, 16.
1) Что больше
3) Решить уравнение x  14  8 х  2 
4) Уравнение ax 2  bx  7  0 , где a<0,
уравнение
ax 8  bx 4  7  0 .
5) Медиана DM треугольника DEF
образованных при пересечении стороны
треугольника DEF.
x  7  6 x  2  7.
имеет одним из своих корней число x=4. Решите
равна половине стороны EF. Один из углов,
EF биссектрисой DL, равен 63 градуса. Найти углы
Задание 2
1) Вместо звездочек подставьте цифры так, чтобы семизначное число 70*0*07 делилось на
19.
2) Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, а ученик – на 2 детали меньше.
Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе – на 1 час быстрее.
Из какого количества деталей состоит заказ?
3) Решить уравнение 6  х  6  х .
4) При каких значениях а неравенство имеет единственное решение?
x 2  a  11x  11a  2a 2  3  x  0
5) В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса CD. Из
точки D проведены прямые DF перпендикулярно DC и DE параллельно AC, причём точка F
принадлежит основанию треугольника или его продолжению, а E лежит на BC. Биссектриса
угла B пересекает прямую DE в точке M, DM=1,5. Найти FC.
Задание 3
1) Найти сумму 29 первых членов последовательности, если an  n3n  5  2n  1 .
2) Имеются три не сообщающихся между собой резервуара, к каждому из которых может
быть подключен любой из трех шлангов. После подключения всех шлангов одновременно
начинается заполнение резервуаров. Как только какой-либо резервуар наполняется,
соответствующий шланг отключается. Заполнение закончено, если наполнены все три
резервуара. Первый резервуар имеет объем V и может быть заполнен первым шлангом за 3
часа, вторым – за 4, третьим – за 5 часов. Объем третьего резервуара не меньше объёма
второго. При самом быстром способе подключения заполнение закончится через 6 часов.
Если б все резервуары сообщались, заполнение окончилось бы через 4 часа. Найти объемы
второго и третьего резервуаров.
 x  y  2 x  4 y  2  4
3) Решить систему 
.
 x  2 y  2 x  2 y  2 2  2
4) Корни уравнения x 2  ax  b  1  0 являются натуральными числами. Докажите, что
a 2  b 2 - составное число.
5) Найти диагонали четырехугольника, образованного биссектрисами внутренних углов
параллелограмма со сторонами 10 и 4.
Задание 4
1) Постройте график функции y  x x  4   2 .
2) Имеются три сплава. Первый сплав содержит 60% алюминия, 15% меди и 25% магния,
второй – 30% меди и 70% магния, третий – 45% алюминия и 55% магния. Из них необходимо
приготовить новый сплав, содержащий 20% меди. Какое наименьшее и какое наибольшее
процентное содержание алюминия может быть в этом новом сплаве?
 xyz
 x y 2

 xyz
 1,2 .
3) Решить систему 
yz
 xyz  1,5
 z  x
1
 3
2
 x  ay 3  a  1
4) Найти все значения а, при которых система 
2
 x 3  ax 2 y  xy2  1
имеет хотя бы одно решение и всякое её решение удовлетворяет уравнению x+y=0.
5) В параллелограмме площадью 25/3 лежат две окружности радиуса 1, касающиеся друг
друга и трех сторон параллелограмма каждая. Найти отрезки сторон параллелограмма от
вершин до точки касания.
Задание 5
1) Садовник должен в течение четырёх дней посадить 11 деревьев. Сколькими способами он
может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?
2) Группа студентов, состоящая из 25 человек, получила на экзамене оценки 2, 3, 4 и 5.
Сумма полученных оценок равна 87, причём «четверок» больше, чем «пятерок», но меньше,
чем «троек». Кроме того, число «четвёрок» делится на 4, а число «пятёрок» - нечётное.
Определить, сколько каких оценок получили студенты группы.
3) Решите систему уравнений
 x 2  xy  y 2  13
 2
2
 x  xz  z  7
 y 2  yz  z 2  19

4) Найдите такие вещественные числа a, b, p, q, чтобы равенство
2 x  120  ax  b20  x 2  px  q 10
выполнялось при любых х.
5) Две окружности радиусов 8 и 6 касаются друг друга внутренним образом в точке А.
Отрезок АВ является диаметром большей окружности. Хорда BD большей окружности
касается меньшей окружности в точке С. Найти биссектрису угла BAD.