Методы решения тригонометрических уравнений и их систем

Программа элективного курса для учащихся 11 класса
«МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
И ИХ СИСТЕМ»
Пояснительная записка
В преподавании любой дисциплины нельзя учить всех одному и тому же, в одинаковом
объёме и содержании, в первую очередь, в силу разных интересов, а затем и в силу способностей, особенностей восприятия, мировоззрения. Необходимо предоставлять учащимся
возможность выбора дисциплины для более глубокого изучения.
В курсе алгебры и начал анализа рассматриваются некоторые основные методы решения
тригонометрических уравнений, которых может быть недостаточно для подготовки и
успешной сдачи ЕГЭ по математике. Программа элективного курса «Методы решения тригонометрических уравнений и их систем» предлагает углубленное изучение методов школьного курса, расширение списка методов за счет освоения новых и изучения некоторых методов решения уравнений с обратными тригонометрическими функциями.
Курс ориентирован на расширение базового уровня знаний учащихся по математике, является предметно-ориентированным и дает учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами тригонометрии, с весьма распространенными методами решения тригонометрических задач, проверить свои способности к математике. Вопросы,
рассматриваемые в курсе, выходят за рамки обязательного содержания. Вместе с тем, они
тесно примыкают к основному курсу. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет оценить свои возможности по математике.
Программа элективного курса «Методы решения тригонометрических уравнений и их систем» рассчитана на 17 часов. Курс может быть рассмотрен в 11 классе при подготовке к
экзамену по математике. Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение,
способствует развитию логического мышления учащихся, систематизации знаний при подготовке к выпускным экзаменам.
Для реализации данного курса используются различные формы организации занятий,
такие как лекция и семинар, групповая, индивидуальная, работа в парах, исследовательская
деятельность учащихся, практикумы и консультации. Доминантной же формой учения
должна стать исследовательская деятельность ученика, которая может быть реализована как
на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Все занятия должны
носить проблемный характер и включать в себя самостоятельную работу. Успешность усвоения курса определяется преобладанием самостоятельной творческой работы ученика. Такая
организация занятий способствует реализации развивающих целей курса.
Результатом предложенного курса должно быть успешное решение заданий ЕГЭ по теме
«Тригонометрические уравнения и их системы».
Итоги реализации данной программы подводятся в форме зачетных работ, защиты собственного проекта по теме, практических и самостоятельных работ, тестов, КИМов
Цели курса:
1. На основе коррекции базовых математических знаний учащихся систематизировать,
расширить и углубить знания в решении тригонометрических уравнений и систем.
2. Совершенствовать математическую культуру и творческие способности учащихся посредством личностно – ориентированного подхода.
3. Закрепить теоретические знания; развить практические навыки и умения. Умение
применять полученные навыки при решении нестандартных задач в других дисциплинах.
4. Создать условия для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации, полученных ранее знаний; подготовить к итоговой аттестации в форме
ЕГЭ.
Задачи курса:
1. Сформировать представление о новых методах решения тригонометрических уравнений
и их систем.
2. Дать представление об уравнениях с обратными тригонометрическими функциями и
некоторых методах их решения.
3. Формирование у учащихся целостного представления о теме, ее значения в разделе математики, связи с другими темами.
4. Формирование поисково-исследовательского метода.
5. Формирование аналитического мышления, развитие памяти, кругозора, умение преодолевать трудности при решении более сложных задач.
6. Осуществление работы с дополнительной литературой.
7. Акцентировать внимание учащихся на единых требованиях к правилам оформления
различных видов заданий, включаемых в итоговую аттестацию за курс полной общеобразовательной средней школы.
8. Реализация индивидуализации обучения; удовлетворение образовательных потребностей школьников по алгебре. Формирование устойчивого интереса учащихся к предмету.
9. Подготовить учащихся к ЕГЭ по математике, а также к обучению в ВУЗе.
10. Обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения
задач. Развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в
незнакомой ситуации.
11. Развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной
работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.
Виды деятельности на занятиях:
лекция учителя, беседа, практикум, консультация, индивидуальная работа, работа в группах,
в парах, исследовательская работа, работа на компьютере.
Формы контроля.
1. Текущий контроль: практическая работа, самостоятельная работа.
2. Тематический контроль: тест.
3. Итоговый контроль: итоговый тест или зачетная работа, защита проектной работы.
Особенности курса:
1. Краткость изучения материала.
2. Практическая значимость для абитуриента.
3. Нетрадиционные формы изучения материала.
.
2
Требования к математической подготовке учащихся:
1. Знать тригонометрические формулы и уметь применять их при преобразовании тригонометрических выражений;
2. Решать тригонометрические уравнения с использованием различных методов по заданному алгоритму и в нестандартной ситуации;
3. Логично и полно излагать решение.
Планируемые результаты
Изучение данного курса дает учащимся возможность:
1. - повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;
2. - освоить основные приемы решения задач;
3. - овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;
4. - овладеть и пользоваться на практике техникой сдачи теста;
5. - овладеть навыком самостоятельной работы с таблицами и справочной литературой,
6. составления алгоритмов решения типичных задач;
7. - познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;
8. - повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;
9. - научиться анализировать результаты, делать умозаключения, представлять результат
своей деятельности, участвовать в дискуссии;
10. - познакомиться с возможностями использования различных источников информации,
электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов, в ходе подготовки к
итоговой аттестации в форме ЕГЭ.
3
Тематический план элективного курса
«Методы решения тригонометрических уравнений и их систем» 34 часов.
Название
раздела
Методы
1-2
Всего
Тео-
Название темы
часов
рия
Основные тригонометрические формулы. Тригоно-
2
1
1
решения
метрические уравнения. Общие положения (повторе-
тригоно-
ние).
метриче-
3-4
Решение уравнений разложением на множители.
2
1
1
5-6
Решение уравнений преобразованием суммы триго-
2
1
1
4
2
2
2
1
1
13-14 Задачи, требующие отбора корней.
2
1
1
15-16 Решение уравнений, содержащих тригонометриче-
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
23-26 Системы тригонометрических уравнений.
4
1
3
27-28 Графический подход при решении тригонометриче-
2
1
1
29-30 Тригонометрические уравнения с параметром.
2
1
1
31-32 Итоговое занятие.
2
2
33-34 Зачет
2
2
ских
уравне-
Практика
нометрических функций в произведение и произведе-
ний.
ния – в сумму.
7-10
Однородные уравнения и уравнения, к ним сводящиеся, метод вспомогательного аргумента.
11-12 Решение уравнений с использованием ограниченности функций y=sinx и y=cosx.
ские функции под знаком радикала.
17-18 Использование условий равенства тригонометрических функций.
19-20 Решение тригонометрических уравнений со сложным
аргументом.
21-22 Методы решения уравнений, содержащих обратные
тригонометрические функции.
Системы
уравнений, способы решения.
ских уравнений.
4
Литература для учителя.
Авдонин Н.И. 30 уроков репетитора по математике (по материалам вступительных экзаменов в ВУЗы). Учебное пособие. – Н. Новгород; издательство «Век», 1997.
Авдонин Н.И. Математика 2000: Предварительное тестирование (по материалам предварительного тестирования перед вступительными испытаниями 2000г. в ННГУ). – Н. Новгород,
2000.
Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. - М.: Наука, 1976.
Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравнства. Москва, «Просвещение»,1989.
Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и
математического анализа: Методические рекомендации и дидактические материалы: пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1990.
Зильберберг Н.И. Алгебра –9. Для углубленного изучения математики. Учебное пособие. –
Псков: Издательство псковского областного института усовершенствования учителей, 1993.
Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Задачи повышенной трудности по алгебре
и началам анализа. – М.: Просвещение, 1995.
Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия – М.: Просвещение, 1991.
Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. – М.: Просвещение, 1991.
Олежник С.Н. и др. Уравнения и неравенства: Нестандартные методы решений. Учебнометодологическое пособие 10-11 кл. – М.: Дрофа, 2001.
Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие – М.:Илекса, 2008
Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. – М.: Просвещение,
1989.
Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение задач. – М.:
просвещение, 1991.
Литература для учащихся.
1.А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа.10-11кл. Учебник. Задачник.Мнемозина.2005г.
2.АверьяновД.И., Алтынов П.И., Баврин Н.Н.. Математика: большой справочник для
школьников и поступающих в вузы. Москва: Дрофа, 1999г.
3.Учебно-тренировочные тесты ЕГЭ под редакцией Ф.Ф. Лысенко. Ростов-на-Дону. Издательство «Легион» .2004-2007г.
4.Сборник тестовых заданий по алгебре к государственной (итоговой) аттестации в новой
форме. Выпуск 15. Под редакцией Е.А. Семенко. Краснодар.2006
5. Тестовые контрольные задания по алгебре и началам анализа.
Семенко Е.А., Фоменко М.В., Белай Е.Н., Ларкин Г.Н.Краснодар. 2006 г.
6.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для
10 класса средней школы: М., 1989 г.
5
Содержание занятий
Занятие 1. Основные тригонометрические формулы. Тригонометрические уравнения.
Общие положения (повторение) (2ч).
Цель: повторить основные тригонометрические формулы.
Основные тригонометрические тождества. Повторить формулы корней простейших
тригонометрических уравнений.
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
1
.
2
2.sin x(2sinx- 2 )=0.
3
3.sin²x=
4
1.cos 2x=-


4.sin(4x+ ) 
4
2
5.tg3x=3
tg 2 x
0
6.
cos 2 x
7.tg x(3tg²x+1)=0
x 
8.tg(  )  3
2 4
1
9.
2

sin( 4 x  )
6
Занятие 2. Решение уравнений разложением на множители (2ч).
Цель: создание условий для формирования умений решать уравнения разложением на множители.
При решении тригонометрических уравнений можно пользоваться всеми известными
способами разложения на множители алгебраических выражений. Это вынесение общего
множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения, тригонометрических формул.
Пример 1. 2 2 sin x cos x  1  2 sin x  2 cos x .
Перегруппируем члены уравнения:
(2 2 sin x cos x  2 sin x)  (2 cos x  1)  0
Выносим общий множитель
2 sin x за скобки, получим
2 sin x( 2cos x-1) + ( 2cos x-1)=0  (2cos x-1)(
2 sin x+1)=0.
6
2 cos x  1  0,

2 sin x  1  0,
Имеем совокупность 
равносильную исходному уравнению.



 2n; x  (1) m ( )  m  (1) m 1  m, n, m  Z
4
4
Итак, Х=± 3
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
1. sin22x+sin24x=1,
5
2. 4sin3x+3 3 cos(
-2x)=10sin(5π-x)
2
3. sin4x=3cos2x
Занятие 3. Решение уравнений преобразованием суммы тригонометрических функций
в произведение и произведения – в сумму (2ч).
Цель: создание условий для формирования умений решать уравнения преобразованием суммы тригонометрических функций в произведение и произведения – в сумму.
Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций в произведение. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
1.cos9x-cos7x+cos3x-cos x=0,
2. sin5xcos3x=sin6xcos2x,
3. cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0.
Занятие 4-5. Однородные уравнения и уравнения,
к ним сводящиеся, метод вспомогательного аргумента (4ч).
Цель: создание условий для формирования умений решать уравнения вида asinx +bcos x=0,
a*sin2x+bsin x*cos x+c*cos2x=0, asin2x+bsin xcos x+c cos2x=d,d≠0, a sin x +b cos x=c,(ab≠0).
К однородным уравнениям относятся стандартные однородные уравнения относительно sin x и cos x:
asinx +bcos x=0 - однородное уравнение первой степени относительно sin x и cos x,
a*sin2x+bsin x*cos x+c*cos2x=0 - однородное уравнение второй степени относительно
sin x и cos x и тригонометрические уравнения, однородные относительно других тригонометрических функций.
Уравнения, сводящиеся к однородным.
I.Рассмотрим уравнение asin2x+bsin xcos x+c cos2x=d,d≠0.
7
Уравнение не является однородным, однако, применяя основное тригонометрическое тождество sin2x+cos2x=1, то есть полагая d=d*(sin2x+cos2x), мы приведем его к однородному уравнению.
II. Уравнение вида a sin x +b cos x=c,(ab≠0).
1 способ.
Уравнение приводится к однородному, если применить формулы двойного угла для sin x и
cos x.
Уравнение примет вид :
x
x
x
x
x
x
Asin x+bcos x=c  2asin cos +b(cos2 -sin2 )=c(sin2 + cos2 ).
2
2
2
2
2
2
Приводя подобные члены, получим однородное уравнение второй степени относительно
x
x
sin2 и cos2 :
2
2
x
x
x
x
(c+b)sin2 -2asin cos +(c-b)cos2 =0.
2
2
2
2
2 способ.
Использование формулы дополнительного угла:
a
b
a sin x +b cos x= a 2  b 2 sin(x+α), где cosα=
, sinα=
.
a2  b2
a2  b2
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
1. sin22x+6sin2xcos2x+5cos22x=0.
2. 3cos2x-5sin2x-sin2x=0,
3. cos2x= 3 sin2x-1,
х
4. 3cos2 2 -5cos x-2sin x=4,
5. 5sin2x-4sinxcosx-cos2x=4.
Занятие 6. Решение уравнений с
использованием ограниченности функций y=sinx и y=cosx (2ч).
Цель: создание условий для формирования умений решать уравнения с использованием
ограниченности тригонометрических функций.
Решение уравнений с использованием ограниченности функций y=sinx и y=cosx следует из свойств, что | sin t|≤1 и |cost|≤1.
Рассмотрим пример, решите уравнение: sin3xcos4x=1.
Из свойств функций sin t и cos t следует, что | sin t|≤1 и |cost|≤1. Следовательно, произведение sin3xcos4x может быть равно единице тогда только тогда, когда
sin 3 x  1

cos 4 x  1 ,
sin 3 x  1

cos 4 x  1
Решение каждой из систем приводит к уравнениям в целых числах.
8

 2т, т  Z .
2
Задания для самостоятельной работы:
Имеем в итоге х=-
Решить уравнения:
1.cos x+cos5x=2,
2.cos43x-sin22x=1,
3.cos xcos( 2 x)=1,
4.sin x sin2x sin3x=0,8,
х х 2  1
5.2sin =
,
2
х
Занятие 7. Задачи, требующие отбора корней (2ч).
Цель: создание условий для формирования умений выбирать из полученной серии решений,
лишь часть, удовлетворяющую некоторому дополнительному условию.
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
1.Из всех решений уравнения 4sin2x(1+cos2x)=1-cos2x указать те, которые принадлежат
промежутку [
 3
2
;
2
].
25  4 x 2 (3 sin 2x  8 sin x)  0 .
2. Решить уравнение
3. Решить уравнение 0,5sin2x+cos2x=4cos 2x и указать какое-нибудь решение, удовлетворяющее неравенству πх-х2>0.
4. Найти нули функции у=2cos x+3sin x на отрезке [0;

].
2
5.Склоько корней имеет уравнение cos 2x-cos x=2-sin2x на отрезке
[-100π;100π]?
Занятие 8. Решение уравнений, содержащих
тригонометрические функции под знаком радикала (2ч).
Цель: создание условий для формирования умений решать различные виды уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.
В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений вида:
A( x)  B( x)
и
A( x)  B( x) , выполняем преобразования.
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
1.
1  cos x  sin x ;
9
2.
2 sin( 3x 

4
)  1  8 sin 2 x cos 2 2 x .
3. 1  4 sin x cos x  sin x  cos x
4.
1
1  cos 2 x  cos 2 x  cos x  cos x
2
Занятие 9. Использование условий равенства
тригонометрических функций (2ч).
Цель: сформировать умение использовать условие равенства тригонометрических функций
для решения уравнений.
Метод основан на следующих утверждениях:
1.cos x=cos y  x=±y+2πn;
2.sin x=sin y  x=(-1)my+πm;

 x  y  n,



3. tg x=tg y   x   k ,
2



 y  2  m;
 x  y  n,

4.ctg x=ctg y   x  k ,
 y  m,

которые следуют из определения тригонометрических функций и способов решения простейших тригонометрических уравнений. Рассмотрим пример.
Решите уравнение sin10x=sin5.

10x=(-1)n5+πm, x=(-1)n0,5+ m, m  Z .
10
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
1.sin x=sin5x,
2. . 2 cos13x=cos5x+sin5x,,
3.tg2x=tg x,
4.sin t2-sin t=0,
5. 1+sin2x=(cos3x+sin3x)2,
6. sin x2=sin8x,
7.tg(π ctg x)=ctg(π tg x),
8 ctg
х
3
=ctg x.
2
4
9.sin2x+cos2x= 2 sin2x,
10
Занятие 10-11. Решение тригонометрических
уравнений со сложным аргументом (4ч)
Цель: Сформировать представление о способах решения тригонометрических уравнений, в
которых сложный аргумент – сложная функция от х.
Рассмотрим пример, решите уравнение: sin(sin(cosx – sinx))=0.
Решение: Имеем, что sin(cosx – sinx)=πn, nЄZ, но т.к.  1  sint  1, òî  1  πn  1 , откуда n=0. Далее решаем уравнение sin(cosx – sinx)=0. Оно равносильно уравнению cosx –
sinx=πк, к ЄZ, или уравнению sin( x 
влетворять двойному неравенству
нение sin( x 
Ответ: x 

4

4
)  0 , откуда x 

4
1 

4
)
k
2
2k
. Замечаем, что значения к должны удо2
 1 , откуда к=0. Итак, остается решить урав-
 m, m  Z .
 m, m  Z
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
1.
2 cos( x   )  1  0,
2. sin( 2 cos x)  0,
3.
2
1
cos(  cos x )  .
3
2
Занятие 12-13. Методы решения уравнений, содержащих
обратные тригонометрические функции (2ч).
Цель: Сформировать представление о способах решения тригонометрических уравнений,
содержащих обратные тригонометрические функции.
При решении уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, необходимо знать определения и свойства этих функций.
Решение уравнений, левая и правая части которых представляют собой одноименные
обратные тригонометрические функции различных аргументов, основано на свойстве монотонности. Справедливы следующие равносильные переходы:
 f ( x)  g ( x)
 f ( x)  g ( x)

1) arcsin f(x) =arcsin g(x)  
 f ( x)  1
 g ( x)  1
11
 f ( x)  g ( x)
 f ( x)  g ( x)

2) arccos f(x)=arccos g(x)  
 f ( x)  1
 g ( x)  1
3) arctg f(x)=arctg g(x)  f ( x)  g ( x)
4) arcctg f(x)=arcctg g(x)  f ( x)  g ( x)
Задания для самостоятельной работы:
Решить уравнения:
1. arcccos x arcsin x=
2
18
,
2. arcsin(x(x+y))+arccos(y(x+y))=π,
3. arcos(3x-4)=2arctg(5-3x),
4. arcsin 2x+arccos(6x-2)=
5
π,
6
5. 4arctg(x2-3x-3)-π=0,
6. arcsin3x=arccos4x,
7. 2arcsin x= arcsin
10х
,
13
8. arcsin x+ arcsin 2x=

,
4
9. (arcsin x)2+(arctg x)2=π2.
Занятие 14-15. Системы тригонометрических уравнений (4ч).
Цель: Сформировать представление о способах решения систем тригонометрических уравнений.
Задания для самостоятельной работы:
Решить систему уравнений:
 2 sin x sin y  cos x  0,
1. 
2
1  sin y cos x  2 cos y sin x
2.
5 sin 2 xtgy  12,

 5 sin 2 ytgx  6
Занятие 16. Зачет.
Решение уравнений и неравенств с использованием всех изученных методов.
Примерные задания к зачету.
1 
1.Найти корень, принадлежащий отрезку  ;4  (или произведение таких корней, если их не4 

сколько) уравнения sin(2πx) ctg =0.
х
12
2.Найти число положительных корней уравнения (ctg2
3. Решить уравнение arcsin 2x-arcsin x=

,
3

) 13х 2  2 х =0,
х
4. sin 5x+cos 5x=1
17
5. sin8x+cos8x= ,
32
6. (1-tgx)(1+sin2x)=1+tgx
 2 sin x  cos y  1,
2 sin x  3 cos y  2
7. 
Занятие 17. Итоговое занятие (2ч)
Семинар « Нестандартные тригонометрические уравнения и их системы, способы решения».
13