Пример. Пусть Тогда и

1
АНАЛИЗ-2
Оглавление
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ............................................................................................................. 3
1
Общие определения ........................................................................................................................... 3
2
Предел и непрерывность .................................................................................................................... 3
3
Частные производные......................................................................................................................... 4
4
Дифференциал..................................................................................................................................... 5
4.1
Определение дифференцируемости......................................................................................... 5
4.2
Достаточное условие дифференцируемости ............................................................................ 6
4.3
Производная сложной функции................................................................................................. 7
5
Неявные функции ................................................................................................................................ 7
6
Градиент. Производная по направлению ......................................................................................... 8
7
Формула Тейлора ..............................................................................................................................10
8
Экстремумы........................................................................................................................................11
9
Метод наименьших квадратов.........................................................................................................13
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .................................................................................................................16
10
Первообразная и неопределенный интеграл.............................................................................16
10.1
Простейшие свойства неопределенного интеграла. .............................................................16
10.2
Таблица основных интегралов .................................................................................................17
10.3
Задачи .........................................................................................................................................17
11
11.1
12
Замена переменной в неопределённом интеграле...................................................................18
Метод интегрирования функций вида 𝑨𝒙 + 𝑩𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 и 𝑨𝒙 + 𝑩𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 (a≠ 0).
18
Интегрирование по частям в неопределённом интеграле........................................................19
12.1
Метод интегрирования функций вида 𝒆𝜶𝒙𝑷𝒏𝒙, 𝒔𝒊𝒏 𝜶𝒙 𝑷𝒏𝒙, 𝒄𝒐𝒔 𝜶𝒙 𝑷𝒏(𝒙). ...................19
12.2
Метод интегрирования функций вида 𝒍𝒏𝒌𝒙 𝑷𝒏(𝒙):..............................................................19
12.3
Задачи .........................................................................................................................................20
13
Интегрирование рациональных дробей .....................................................................................20
13.1
Интегрирование иррациональных выражений ......................................................................21
13.2
Интегрирование тригонометрических выражений ................................................................22
13.3
Задачи .........................................................................................................................................23
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ......................................................................................................................24
14
14.1
Определение определенного интеграла ....................................................................................24
Интегральные суммы ................................................................................................................24
2
14.2
Свойства определённого интеграла ........................................................................................26
15
Формула Ньютона-Лейбница .......................................................................................................27
16
Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле .....................28
16.1
17
17.1
18
Задачи .........................................................................................................................................29
Несобственные интегралы............................................................................................................29
Задачи .........................................................................................................................................31
Приложение определённого интеграла к вычислению геометрических величин .................32
18.1
Площадь плоской фигуры .........................................................................................................32
18.2
Полярные координаты ..............................................................................................................32
18.3
Площадь криволинейного сектора ..........................................................................................32
18.4
Объём тела .................................................................................................................................33
18.5
Длина дуги .................................................................................................................................34
18.6
Задачи .........................................................................................................................................35
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ................................................................................................36
19
Основные понятия .........................................................................................................................36
20
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям .........................................................37
20.1
Уравнение размножения и гибели. .........................................................................................37
20.2
Уравнение движения точки на оси ..........................................................................................39
20.3
Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка ..........40
21
Методы решения некоторых дифференциальных уравнений первого порядка ...................40
21.1
Уравнения с разделяющимися переменными .......................................................................40
21.2
Однородные уравнения............................................................................................................41
21.3
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка ...............................................42
21.4
Уравнение в полных дифференциалах....................................................................................43
22
Линейные уравнения. ..................................................................................................................44
23
Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ..............................46
23.1
Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ...46
23.2
Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
47
23.3
Метод вариации постоянных ...................................................................................................49
24
Системы дифференциальных уравнений....................................................................................50
24.1
Метод исключения ....................................................................................................................51
24.2
Линейные системы с постоянными коэффициентами ...........................................................52
3
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1 Общие определения
Функция двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) сопоставляет каждой точке 𝑃(𝑥, 𝑦) некоторой области 𝐷 на
плоскости число 𝑧 по какому-либо закону. Примеры: 1) 𝑧 = 𝑥𝑦 – площадь прямоугольника со
сторонами 𝑥, 𝑦. Здесь область 𝐷 задается неравенствами 𝑥 > 0, 𝑦 > 0. 2) 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 расстояние от точки 𝑃(𝑥, 𝑦) до начала координат. Здесь Р – любая точка, и D – вся плоскость Oxy.
Графиком функции двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) называется поверхность в пространстве 𝑂𝑥𝑦𝑧,
состоящая из точек 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) таких, что 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) и (𝑥, 𝑦) пробегает всю область допустимых
значений функции 𝑓
Линия уровня С функции двух переменных 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) задается уравнением 𝐶 = 𝑓(𝑥, 𝑦).
Например, линии уровня 𝐶 функции 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 не пусты лишь, если 𝐶 ≥ 0 и представляют из
себя концентрические окружности радиуса √𝐶 с центром в начале координат. Линии уровня
функции 𝑧 = 2𝑥 − 3𝑦 -- пучёк прямых, параллельных прямой 𝑦 =
2𝑥
.
3
Функция трех переменных 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) сопоставляет каждой точке 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) из некоторого тела
𝑉 число. Например, 𝑇 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) -- температура тела в точке 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Поверхность уровня С функции 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) задается уравнением 𝐶 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
2 Предел и непрерывность
Пусть функция 𝑓(𝑥, 𝑦) определена в окрестности точки (𝑥0 , 𝑦0 ).
Определение. Число 𝐴 называется пределом функции 𝑓(𝑥, 𝑦) при 𝑥 → 𝑥0 , 𝑦 → 𝑦0 (записываем как
𝐴=
lim 𝑓(𝑥, 𝑦)), если для любого ε>0 найдется 𝛿 > 0 , что как только
𝑥→𝑥0 ,𝑦→𝑦0
|𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿,
{ |𝑦 − 𝑦0 | < 𝛿 ,
(𝑥, 𝑦) ≠ (𝑥0 , 𝑦0 ),
то |𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐴| < 𝜀.
Функция 𝑓(𝑥, 𝑦) непрерывна в точке (𝑥0 , 𝑦0 ), если
lim
𝑥→𝑥0 ,𝑦→𝑦0
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ). По другому это
можно сформулировать так: полное приращение функции
Δ𝑓 = 𝑓(𝑥0 + Δ𝑥, 𝑦0 + Δ 𝑦) − 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 )
стремиться к нулю, если Δ 𝑥 → 0 и Δ𝑦 → 0.
Свойства пределов и свойства непрерывных функций те же самые, что и для функции одной
переменной. Алгебраические операции, а также подстановка функции в функцию не выводят за
класс непрерывных функций.
4
Пусть 𝐷 область на плоскости. Точку Р назовем внутренней точкой области 𝐷, если найдется
кружок достаточно малого радиуса с центром в точке Р, целиком лежащий в 𝐷. Точку 𝑄 назовем
внешней точкой области 𝐷, если найдется кружок достаточно малого радиуса с центром в точке 𝑄,
не пересекающийся с 𝐷. Точку 𝑅 назовем граничной для области 𝐷, если каждый кружок с
центром в точке 𝑅 пересекается как с 𝐷 так и с дополнением 𝐷. Совокупность всех граничных
точек называется границей области 𝐷 и обозначается
𝜕𝐷.
Граничная точка
D
Внешняя точка
Внутренняя точка
Если 𝜕𝐷 ⊂ 𝐷, то область называют замкнутой, а если
ни одна точка из границы не входит в D, то D
называют открытой. Бывают не замкнутые и не
открытые области. Аналогичные определения
внутренних внешних, граничных точек; замкнутости и
открытости можно сформулировать в общем случае
для подмножеств n-мерного координатного
пространства.
Область (тело) называют ограниченной, если
ограничены сверху расстояния точек этой области
(тела) до начала координат. Иными словами: область ограничена, если ее можно вместить в круг
достаточно большого радиуса.
ТЕОРЕМА Вейерштрасса. Пусть функция 𝑓(𝑥, 𝑦) непрерывна в ограниченной и замкнутой области
D. Тогда функция 𝑓 ограничена и более того, достигает своего наибольшего и наименьшего
значений:
∃ 𝑥𝑚𝑖𝑛 , 𝑥𝑚𝑎𝑥 ∈ 𝐷: ∀ 𝑥 ∈ 𝐷 ⇒ 𝑓(𝑥𝑚𝑖𝑛 ) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥 ).
Область 𝐷 называется связной, если любые две точки области можно соединить непрерывной
кривой.
Теорема Больцано-Коши. Пусть 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) -- непрерывная функция на связной области 𝐷, и 𝐶1 =
𝑓(𝑥1 , 𝑦1 ); 𝐶2 = 𝑓(𝑥2 , 𝑦2 ) -- два каких-либо значения этой функции. Тогда для любого 𝐶 ∈ [𝐶1 , 𝐶2 ]
найдется точка (𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 ) ∈ 𝐷 значение в которой равно С.
Как найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданной области? Методом линий
уровня найдем такие значения функции 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 в круге 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4 (Ответ 𝑧𝑚𝑎𝑥 = 2√2, 𝑧𝑚𝑖𝑛 =
−2√2.) Далее будет указан метод вычисления наибольших и наименьших значений средствами
дифференциального исчисления.
3 Частные производные
Частные приращения по 𝑥 и по 𝑦 функции 𝑓(𝑥, 𝑦) определяются так:
Δ𝑥 𝑓 = 𝑓(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦); Δ𝑦 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
(1)
Сумма частных приращений, вообще говоря, не равна полному приращению, по определению
равному Δ𝑓: = 𝑓(𝑥 + Δ𝑥, 𝑦 + Δ𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
5
Частной производной по 𝑥 называется предел отношения частного приращения по 𝑥 к
приращению переменной 𝑥, если последнее (приращение) стремиться к нулю:
𝑓 ′ 𝑥 (𝑎, 𝑏) = lim
Δ𝑥→0
Δ𝑥 𝑓
Δ𝑥
(2)
𝜕𝑓
По другому частная производная обозначается как 𝜕𝑥 (𝑎, 𝑏). Техника вычисления частных
производных такая же, как и «обычных» производных. Найдем частные производные от функции
𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 :
𝜕𝑧
𝑥
𝜕𝑧
𝑦
𝜕𝑧
3 𝜕𝑧
4
(3, −4) = ;
=
;
=
;
(3, −4) = − .
𝜕𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝜕𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝜕𝑥
5 𝜕𝑦
5
𝜕2 𝑓
′′
Аналогично определяются частные производные высших порядков. Производная 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝑓𝑥𝑦
называется смешанной.
Теорема о равенстве смешанных производных. Две смешанные производные одного порядка и
отличающиеся друг от друга лишь порядком дифференцирования равны при условии
непрерывности этих производных.
Например,
𝜕5 𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑥𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕5 𝑧
𝜕𝑥 3 𝜕𝑦 2
4 Дифференциал.
4.1 Определение дифференцируемости
Определение. Функция 𝑓(𝑥, 𝑦) называется дифференцируемой в точке(𝑎, 𝑏), если ее полное
приращение можно представить в виде суммы линейной функции от 𝛥𝑥 и 𝛥𝑦 и величины
бесконечно малой высшего порядка относительно Δ𝑟 = √Δ𝑥 2 + Δ𝑦 2 :
Δ𝑓 = 𝐴 ⋅ Δ𝑥 + 𝐵 ⋅ Δ𝑦 + 𝑜(Δ𝑟)
(1)
Тогда эта линейная часть 𝐴 ⋅ Δ𝑥 + 𝐵 ⋅ Δ𝑦 называется дифференциалом и обозначается 𝑑𝑓.
Замечание. Нетрудно видеть, что если 𝛼 и 𝛽 бесконечно малые величины относительно Δ𝑥 →
0, Δ𝑦 → 0, то величина 𝛼 ⋅ Δ 𝑥 + 𝛽 ⋅ Δ𝑦 есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с
Δ𝑥
Δ𝑦
Δ𝑟. Действительно, величины Δ𝑟 и Δ𝑟 ограничены по модулю единицей, и произведение б.м.
функций 𝛼 и 𝛽 на них суть б.м. величины (см. «Введение в анализ»). Отсюда вытекает, что
отношение
(𝛼⋅Δ 𝑥+𝛽⋅Δ𝑦)
Δ𝑟
есть б.м. величина и тем самым числитель есть о-малая величина по
сравнению со знаменателем. Верно и обратное утверждение – любая 𝑜(Δ𝑟) представима в виде
𝛼 ⋅ Δ 𝑥 + 𝛽 ⋅ Δ𝑦, где 𝛼 и 𝛽 -- бесконечно малые величины.
ТЕОРЕМА 1. Если функция дифференцируема в точке (𝑎, 𝑏), то существуют частные производные в
этой точке и 𝑑𝑓 = 𝑓𝑥′ (𝑎, 𝑏)Δ𝑥 + 𝑓𝑦′ (𝑎, 𝑏)Δ𝑦.
6
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Полагаем в (1) Δ𝑦 = 0. Получаем Δ𝑥 𝑓 = 𝐴Δ𝑥 + 𝑜(Δ𝑥). Делим получившееся
соотношение на Δ𝑥 и затем устремляем Δ𝑥 к нулю:
𝜕𝑓
Δ𝑥 𝑓
𝑜(Δ𝑥)
(𝑎, 𝑏) = lim
= lim (𝐴 +
)=𝐴+0=𝐴
Δ𝑥→0 Δ𝑥
Δ𝑥→0
𝜕𝑥
Δ𝑥
𝜕𝑓
Аналогично доказывается, что 𝐵 = 𝜕𝑦 (𝑎, 𝑏) □
Замечание. Взяв 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 находим 𝑑𝑥 = 1 ⋅ Δ𝑥 + 0 ⋅ Δ𝑦 = Δ𝑥. Аналогично, 𝑑𝑦 = Δ𝑦. Итак,
приращение и дифференциал независимой переменной суть одно и то же. В связи с этим
замечанием и теоремой 1 дифференциал приобретает окончательный вид
𝑑𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑓
⋅ 𝑑𝑥 +
⋅ 𝑑𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(4)
Для функции n переменных вид дифференциала следующий
𝑛
𝑑𝑓 = ∑
𝑖=1
Пример. Пусть 𝑧 = 2𝑥 2 − 𝑦 2 + 3𝑥𝑦. Тогда
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑓
⋅ 𝑑𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖
= 4𝑥 + 3𝑦;
(5)
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −2𝑦 + 3𝑥 и
𝑑𝑧 = (4𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (3𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦
Это функция четырех переменных. Фиксируем точку (1,2). Значение функции 𝑧 в ней равно
𝑧(1; 2) = 2 − 4 + 6 = 4, а дифференциал равен 𝑑𝑧/(1;2) = 10𝑑𝑥 − 𝑑𝑦. Пользуясь этим, найдем
приближенно значение 𝑧(0.9; 2.05). Имеем:
𝑧(0.9; 2.05) = 𝑧(1; 2) + [𝑧(0.9; 2.05) − 𝑧(1; 2)] ≈ 4 + 𝑑𝑧/(1;2) (−0.1; 0.05)
= 4 + 10 ⋅ (−0.1) − 0.05 = 2.95
(Точное значение равно 2 ⋅ (0.9)2 − (2.05)2 + 3 ⋅ 0.9 ⋅ 2.05 = 2,9525)
Приближенные вычисления, основанные на понятии дифференциала, используют формулу Δ𝑓 ≈
𝑑𝑓.
4.2 Достаточное условие дифференцируемости
ТЕОРЕМА 2. Если 𝑓𝑥′ , 𝑓𝑦′ существуют и непрерывны в окрестности точки (𝑎, 𝑏), то функция 𝑓(𝑥, 𝑦)
дифференцируема в этой точке.
Доказательство. Выберем окрестность точки (𝑎, 𝑏) в форме прямоугольника, со сторонами
параллельными координатным осям и такую малую, что бы в ней существовали и были
непрерывны частные производные 𝑓𝑥′ и 𝑓𝑦′ . Применим теорему Лагранжа: для пары (𝑥, 𝑦) из
выбранной окрестности найдутся числа 𝜉𝑥 ∈ (𝑥, 𝑎); 𝜈𝑦 ∈ (𝑦, 𝑏) такие, что
Δ𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑦) + 𝑓(𝑎, 𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥′ (𝜉𝑥 , 𝑦)Δ𝑥 + 𝑓𝑦′ (𝑎, 𝜈𝑦 )Δ𝑦
Здесь Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑎, Δ𝑦 = 𝑦 − 𝑏. Так как функции 𝛼 ≔ 𝑓𝑥′ (𝜉𝑥 , 𝑦) − 𝑓𝑥′ (𝑎, 𝑏) и 𝛽 ≔ 𝑓𝑦′ (𝑎, 𝜈𝑦 ) − 𝑓𝑦′ (𝑎, 𝑏)
бесконечно малы при Δ𝑥 → 0, Δ𝑦 → 0 в силу непрерывности частных производных и предельных
соотношений lim 𝜉𝑥 = 𝑎, lim 𝜈𝑦 = 𝑏, то
Δ𝑥→0
Δ𝑦→0
7
Δ𝑓 = (𝑓𝑥′ (𝑎, 𝑏) + 𝛼)Δ𝑥 + (𝑓𝑦′ (𝑎, 𝑏) + 𝛽)Δ𝑦 = 𝑓𝑥′ (𝑎, 𝑏)Δ𝑥 + 𝑓𝑦′ (𝑎, 𝑏)Δ𝑦 + 𝛼Δ𝑥 + 𝛽Δ𝑦
будет искомым разложением вида (3). □
4.3 Производная сложной функции
ТЕОРЕМА 3. Пусть 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) --дифференцируемые функции, а 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет непрерывные частные
производные в области 𝐷. Тогда имеет место формула
𝑑 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))
𝜕𝑓 𝑑𝑥 𝜕𝑓 𝑑𝑦
=
⋅
+
⋅
𝑑𝑡
𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡
(𝟔)
Доказательство. Придадим приращение Δ𝑡 переменной 𝑡. Тогда 𝑥 и 𝑦 получат свое приращение
Δ𝑥 = 𝑥(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑥(𝑡) и Δ𝑦 = 𝑦(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑦(𝑡), а значит получит приращение и функция 𝑓.
Согласно теореме 2, функция 𝑓 дифференцируема и Δ𝑓 = 𝑓𝑥′ Δ𝑥 + 𝑓𝑦′ Δ𝑦 + 𝛼Δ𝑥 + 𝛽Δ𝑦 для
некоторых б.м. 𝛼 и 𝛽. Поделим последнее соотношение на Δ𝑡, а затем перейдем к пределу при
Δ𝑡 → 0.
Δ𝑓
Δ𝑥
Δ𝑦
Δ𝑥
Δ𝑦
= 𝑓𝑥′ ⋅
+ 𝑓𝑦′ ⋅
+𝛼⋅
+𝛽⋅
Δ𝑡
Δ𝑡
Δ𝑡
Δ𝑡
Δ𝑡
Так как lim 𝑓𝑥′ ⋅
Δ𝑡→0
Δ𝑥
Δ𝑡
= 𝑓𝑥′ ⋅ 𝑥 ′ (𝑡), lim 𝑓𝑦′ ⋅
Δ𝑡→0
Δ𝑦
Δ𝑡
= 𝑓𝑦′ ⋅ 𝑦 ′ (𝑡), lim α ⋅
Δ𝑡→0
Δ𝑥
Δ𝑡
= 0 ⋅ 𝑥 ′ (𝑡) = 0 и lim 𝛽 ⋅
Δ𝑡→0
Δy
Δ𝑡
=0⋅
𝑦 ′ (𝑡) = 0, то формула (6) следует. □
Следствие. Пусть функции 𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑓(𝑥, 𝑦) имеют непрерывные частные производные.
Тогда
𝜕𝑓 𝜕𝑓 ′ 𝜕𝑓 ′
=
⋅𝑥 +
⋅𝑦
𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝑢 𝜕𝑦 𝑢
𝜕𝑓 𝜕𝑓 ′ 𝜕𝑓 ′
=
⋅ 𝑥𝑣 +
⋅𝑦
𝜕𝑦 𝑣
{ 𝜕𝑣 𝜕𝑥
(7)
или, в матричном виде
𝜕𝑓
𝑥′
(𝜕𝑢) = ( 𝑢′
𝜕𝑓
𝑥𝑣
𝜕𝑣
𝑦𝑢′
)
𝑦𝑣′
𝜕𝑓
𝜕𝑥
⋅ 𝜕𝑓
(𝜕𝑦)
(8)
5 Неявные функции
Рассмотрим уравнение
𝐹(𝑥, 𝑦) = 0,
(1)
задающее на плоскости Oxy некоторую кривую 𝛾. Предполагается, что функция 𝐹 имеет
непрерывные частные производные. Пусть точка Р(𝑎, 𝑏) удовлетворяет уравнению (1). Тогда
ставиться задача – найти непрерывную функцию 𝑦 = 𝑓(𝑥) такую, что 𝐹(𝑥, 𝑓(𝑥)) = 0 тождественно
8
в окрестности точки 𝑎 и 𝑓(𝑎) = 𝑏. Геометрически это значит, что мы локально в окрестности
точки (𝑎, 𝑏), хотим представить кривую 𝛾 как график некоторой функции одной переменной.
ТЕОРЕМА о неявной функции. Пусть 𝐹, 𝐹𝑥′ , 𝐹𝑦′ определены и непрерывны в окрестности точки
(𝑎, 𝑏), причем 𝐹𝑦′ (𝑎, 𝑏) ≠ 0. Тогда уравнение (1) определяет (неявную) функцию 𝑦 = 𝑓(𝑥) такую,
что 𝐹(𝑥, 𝑓(𝑥)) = 0 тождественно в окрестности точки 𝑎 и 𝑓(𝑎) = 𝑏. При этом функция 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝐹′
дифференцируема в достаточно малой окрестности точки 𝑎 и 𝑓𝑥′ = − 𝐹𝑥′ в этой окрестности. В
𝑦
частности,
𝑓
′ (𝑎)
𝐹𝑥′ (𝑎, 𝑏)
=− ′
𝐹𝑦 (𝑎, 𝑏)
(2)
Пример. Соотношение 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 в окрестности точки (0,1) задает функцию 𝑦 = √1 − 𝑥 2 а в
окрестности точки (0,-1) задает функцию 𝑦 = −√1 − 𝑥 2 . В окрестности точки (1,0) это
соотношение не задает никакой функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), но зато задает функцию 𝑥 = √1 − 𝑦 2 .
6 Градиент. Производная по направлению
Пусть 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) – функция (=скалярное поле), определенная в окрестности точки 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑐), и
𝒏 = cos 𝛼 𝒊 + cos 𝛽 𝒋 + cos 𝛾 𝒌 -- направление в этой точке, т.е. вектор единичной длины с
направляющими косинусами. Производной по направлению n скалярного поля f в точке P
называется число
𝜕𝑓
𝑓(𝑎 + cos 𝛼 ⋅ Δr, 𝑏 + cos 𝛽 ⋅ Δr, 𝑐 + cos 𝛾 ⋅ Δr) − 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐)
= lim
Δ𝑟→0
𝜕𝑛
Δ𝑟
(1)
ФОРМУЛА
𝜕𝑓 𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝑷) ⋅ cos 𝛼 + (𝑷) ⋅ cos 𝛽 + (𝑷) ⋅ cos 𝛾
=
𝜕𝑛 𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(2)
вытекает из правила дифференцирования сложной функции. Правая часть ее есть
скалярное произведение вектора n на вектор
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑃) =
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝑷) ⋅ 𝒊 +
(𝑷) ⋅ 𝒋 +
(𝑷) ⋅ 𝒌
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(3)
который называется градиентом скалярного поля f в точке P. Точнее правая часть в (2)
есть проекция градиента на направление 𝒏.
𝜕𝑓
𝜕𝑛
grad f
A
n
|AB|=
B
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Производная по направлению в точке P меняется в зависимости от направления
от −|𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑃)| до |𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑃)|. При этом наибольшего значения она достигает в направлении
градиента, а наименьшего – в противоположном направлении.
9
Итак, еще раз
𝜕𝑓
= 𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑓(𝑃) ⋅ 𝒏
𝜕𝑛
1
(4)
𝑥
ПРИМЕР. Пусть 𝑧 = 𝑥/𝑦. Тогда 𝑧𝑥′ = 𝑦, 𝑧𝑦′ = − 𝑦2 . Фиксируем точку Р(4,2). Тогда 𝑧𝑥′ (𝑃) = 1/2,
1
2
𝑧𝑦′ (𝑃) = −1. Следовательно, 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑧(𝑃) = 𝑖 − 𝑗. Пусть задано направление вектором 𝒂 = 3𝒊 −
𝒂
3
4
𝜕𝑧
1
3
4
3
4
4𝒋. Перейдем к орту этого вектора – 𝒏 = |𝒂| = 5 𝑖 − 5 𝑗. Тогда 𝜕𝒏 = (2 𝑖 − 𝑗) ⋅ (5 𝑖 − 5 𝑗) = 10 + 5 =
1.1
В частном случае 𝒏 = 𝒊 производная по направлению n дает частную производную по x.
Аналогично для 𝒏 = 𝒋, 𝒏 = 𝒌.
Уравнение 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶 задает поверхность уровня. Пусть С = 𝑓(𝑎, 𝑏, 𝑐), т.е. рассмотрим
поверхность уровня, проходящую через точку P. Обозначим эту поверхность уровня 𝛾.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть точка P фиксирована, а 𝑅, 𝑆 ∈ 𝛾 причем точки P,R,S не лежат на одной
прямой и тем самым определяют плоскость 𝜋(𝑃, 𝑅, 𝑆) называемую секущей. Предел секущих
плоскостей при условии 𝑅, 𝑆 → 𝑃; 𝑅, 𝑆 ∈ 𝛾 называется касательной плоскостью поверхности 𝛾
ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Градиент перпендикулярен поверхности уровня.
Доказательство. Пусть (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) -- какая-либо кривая, лежащая на поверхности уровня
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐶, т.е. выполняется тождественно по 𝑡 равенство 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) = 𝐶.
Дифференцируя его по 𝑡, находим
𝜕𝑓 ′ 𝜕𝑓 ′ 𝜕𝑓 ′
𝑥 +
𝑦 +
𝑧 =0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Отсюда следует, что градиент 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 перпендикулярен касательной к кривой (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) и
тем самым перпендикулярен к касательной плоскости к поверхности уровня в виду
произвольности этой кривой.□
СЛЕДСТВИЕ. Уравнение касательной плоскости к поверхности уровня, проходящей через точку P
имеет вид
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝑷) ⋅ (𝑥 − 𝑎) +
(𝑷) ⋅ (𝑦 − 𝑏) +
(𝑷) ⋅ (𝑧 − 𝑐) = 0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
(5)
В частности, уравнение касательной плоскости к графику функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) в точке P(a,b,c) , где
c=f(a,b) имеет вид
𝑧 − 𝑓(𝑎, 𝑏) =
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝑷) ⋅ (𝑥 − 𝑎) +
(𝑷) ⋅ (𝑦 − 𝑏)
𝜕𝑥
𝜕𝑦
(6)
ПРИМЕРЫ 1. Найдем уравнение касательной плоскости к графику функции 𝑧 = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 в точке
𝑃(0; 𝜋; −1). Имеем:
𝑧𝑥′ (0; 𝜋) = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 ∣(0;𝜋) = −1; 𝑧𝑦′ (0; 𝜋) = −𝑒 𝑥 sin 𝑦 ∣(𝑜;𝜋) = 0; 𝑧(0; 𝜋) = −1
откуда по формуле (6) получаем: 𝑧 − (−1) = (−1)(𝑥 − 0) + 0 ⋅ (𝑦 − 𝜋) или 𝑥 + 𝑧 + 1 = 0.
10
2. Найдем уравнение касательной плоскости и нормальный вектор к поверхности 𝛾, заданной
уравнением 𝑥𝑦 − 𝑧 2 = 1 в точке 𝑃(1; 2; 1). Имеем:
(𝑥𝑦 − 𝑧 2 − 1)′𝑥 = 𝑦 ∣ _((1; 2; 1) = 2; (𝑥𝑦 − 𝑧 2 − 1)′𝑦 = 𝑥 ∣ _((1; 2; 1) = 1;
(𝑥𝑦 − 𝑧 2 − 1)′𝑧 = −2𝑧 ∣ _((1; 2; 1) = −2;
Отсюда получаем вектор нормали 𝒏 = 𝟐𝒊 + 𝒋 − 𝟐𝒌 и уравнение касательной плоскости (см. (5))
имеет вид 2(𝑥 − 1) + (𝑦 − 2) − 2(𝑧 − 1) = 0 или 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 − 2 = 0.
7 Формула Тейлора
Выведем формулу Тейлора функции 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) в точке 𝑃(𝑎, 𝑏) исходя из формулы Тейлора
функции одной переменной:
1 ′′
(𝑎, 𝑏 + Δ𝑦)Δ𝑥 2 + 𝛼 ⋅ Δ𝑥 2 =
𝑓(𝑎 + Δ𝑥, 𝑏 + Δ𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏 + Δ𝑦) + 𝑓x′ (𝑎, 𝑏 + Δ𝑦)Δ𝑥 + 𝑓xx
2
1 ′′
′′ (𝑎,
(𝑎, 𝑏)Δ𝑦 2 + 𝛽 ⋅ Δ𝑦 2 + 𝑓𝑥′ (𝑎, 𝑏)Δ𝑥 + 𝑓𝑥𝑦
= 𝑓(𝑎, 𝑏) + 𝑓𝑦′ (𝑎, 𝑏)Δ𝑦 + 𝑓𝑦𝑦
𝑏)Δ𝑥Δ𝑦 + 𝛾Δ𝑦Δ𝑥
2
1 ′′
(𝑎, 𝑏)Δ𝑥 2 + 𝜌Δ𝑥 2
+ 𝑓𝑥𝑥
2
Здесь 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜌 -- бесконечно малые величины. Переставляя слагаемые и учитывая, что 𝛼Δ𝑥 2 +
𝛽Δ𝑦 2 + 𝛾Δ𝑦Δ𝑥 + 𝜌Δ𝑥 2 есть бесконечно малая высшего порядка малости по сравнению с Δ𝑟 2
получаем формулу Тейлора функции двух переменных до членов второго порядка
включительно:
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝑃) ⋅ Δ𝑥 +
(𝑃) ⋅ Δ𝑦 +
𝜕𝑥
𝜕𝑦
1 𝜕2𝑓
𝜕2𝑓
𝜕2𝑓
(𝑃) ⋅ Δx ⋅ Δy +
(𝑃) ⋅ Δ𝑦 2 ) + 𝑜(Δ𝑟 2 ) (1)
+ ( 2 (𝑃) ⋅ Δ𝑥 2 + 2
2 𝜕𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑦 2
𝑓(𝑎 + Δ𝑥, 𝑏 + Δ𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏) +
𝜕2 𝑓
𝜕2 𝑓
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение 𝜕𝑥 2 (𝑃) ⋅ Δ𝑥 2 + 𝜕𝑥𝜕𝑦 (𝑃) ⋅ 𝛥𝑥 ⋅ 𝛥𝑦 +
𝜕2 𝑓
(𝑃)
𝜕𝑦 2
⋅ Δ𝑦 2 называется вторым
дифференциалом функции f в точке P. Это есть квадратичная форма двух переменных.
ПРИМЕР. Разложим по формуле Тейлора функцию 𝑧 = 5𝑥 2 𝑦 + 𝑦 4 + 𝑥𝑦 + 3 в окрестности точки
Р(1,1). Считаем:
𝑧𝑥′ (𝑃) = 10𝑥𝑦 + 𝑦|𝑃 = 11; 𝑧𝑦′ (𝑃) = 5𝑥 2 + 4𝑦 3 + 𝑥|𝑃 = 10;
′′ (𝑃)
′′ (𝑃)
′′ (𝑃)
𝑧𝑥𝑥
= 10𝑦|𝑃 = 10; 𝑧𝑥𝑦
= 10𝑥 + 1|𝑃 = 11; 𝑧𝑦𝑦
= 12𝑦 2 |𝑃 = 12
Тогда
5𝑥 2 𝑦 + 𝑦 4 + 𝑥𝑦 + 3 =
1
= 10 + 11(𝑥 − 1) + 10(𝑦 − 1) + (10(𝑥 − 1)2 + 22(𝑥 − 1)(𝑦 − 1) + 12(𝑦 − 1)2 )
2
+ 𝑜((𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 1)2 )
11
Пользуясь этим разложением, вычислим приближенно 𝑧(1,1; 0,9) -1
1
𝑧(1,1; 0,9) ≈ 10 + 11 ⋅ 0.1 + 10 ⋅ (−0.1) + (10 ⋅ 0.01 − 22 ⋅ 0.01 + 12 ⋅ 0.01) = 10.1 + ⋅ 0
2
2
= 10.1
Точное значение функции 𝑧 в точке (1.1; 0.9) равно 10.0911
8 Экстремумы
Точка 𝑃(𝑎, 𝑏) называется точкой локального максимума (минимума) функции 𝑓(𝑥, 𝑦), если
найдется окрестность 𝑈 этой точки такая, что 𝑓(𝑄) ≤ 𝑓(𝑃) (𝑓(𝑄) ≥ 𝑓(𝑃)) для любой 𝑄 ∈ 𝑈.
Локальный экстремум – это либо локальный максимум, либо локальный минимум.
Необходимое условие экстремума. В точке экстремума все частные производные равны нулю
(если они существуют). Более того, производная по любому направлению равна нулю в такой
точке.
Действительно, если 𝑃(𝑎, 𝑏) является для функции 𝑓(𝑥, 𝑦) локальным максимумом, то 𝑎 есть
локальный максимум функции одной переменной 𝑔(𝑥) ≔ 𝑓(𝑥, 𝑏). Применим необходимое
условие экстремума функции одной переменной и получим 𝑔′ (𝑎) = 0. Это равносильно
𝜕𝑓
𝜕𝑓
равенству 𝜕𝑥 (𝑃) = 0. Аналогично доказываются равенства 𝜕𝑦 (𝑃) = 0.
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
Из формулы 𝜕𝑛 = 𝜕𝑥 cos 𝛼 + 𝜕𝑦 cos 𝛽 вытекает, что производная по любому направлению 𝒏 =
cos 𝛼 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠 𝛽𝒋 равна нулю. □
Точка 𝑃, в которой все частные производные, а значит и производная по любому направлению
равны нулю, называется стационарной. Точка O(0,0) для функции 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 является
локальным и даже глобальным минимумом. Точка O для функции 𝑧 = −𝑥 2 − 𝑦 2 является
локальным и даже глобальным максимумом. Точка O для функции 𝑧 = 𝑥 2 − 𝑦 2 является
стационарной, но не экстремальной. Такого рода стационарную точку будем называть седловой,
так как по одному направлению, а именно по направлению оси OX , функция z имеет эту точку
как точку локального минимума, а по другому направлению – по оси OY , эта же точка будет
локальным максимумом.
Пример 1. Найдем все стационарные точки функции 𝑧 = 𝑥𝑦 +
50
𝑥
+
20
𝑦
50
. Имеем: 𝑧𝑥′ = 𝑦 − 𝑥 2 и
20
𝑧𝑦′ = 𝑥 − 𝑦2 . Приравнивая частные производные к нулю, и исключая 𝑦 из системы, получим 𝑥 −
20𝑥 4
502
= 0. Отсюда, учитывая, что 𝑥 ≠ 0 в силу ОДЗ, находим 𝑥 3 =
502
20
50
= 5 ⋅ 25 и 𝑥 = 5, 𝑦 = 52 = 2.
Итак, получили единственную стационарную точку 𝑃(5,2). Заметим, что на границе области
𝐷: 𝑥 > 0, 𝑦 > 0 функция 𝑧 обращается в бесконечность. То же самое верно и при 𝑥 → +∞, а также
при 𝑦 → +∞. Следовательно, минимум достигается в какой-то внутренней точке области 𝐷.
Перейдем к выводу достаточных условий экстремума функций многих переменных.
12
ЛЕММА. Квадратичная форма 𝐴Δ𝑥 2 + 2𝐵Δ𝑥Δ𝑦 + 𝐶Δ𝑦 2 положительно определена, т.е. принимает
только положительные значения для всех (Δ𝑥, Δ𝑦) ≠ (0,0), если и только если выполнены
условия.
𝐴
𝐴>0и |
𝐵
𝐵
| > 0.
𝐶
(1)
В случае
𝐴 <0и |
𝐴
𝐵
𝐵
| > 0. (2)
𝐶
эта квадратичная форма отрицательно определена, т.е. принимает только отрицательные
значения при всех (Δ𝑥, Δ𝑦) ≠ (0,0).
Квадратичная форма Φ(Δ𝑥, Δ𝑦) положительно определена, если и только если противоположная
𝑎 𝑏
форма −Φ(Δ𝑥, Δ𝑦) отрицательно определена. Кроме того, матрица (
) удовлетворяет
𝑏 𝑐
−𝑎 −𝑏
условиям (1) тогда и только тогда, когда матрица (
) удовлетворяет условиям (2). Отсюда
−𝑏 −𝑐
вытекает, что достаточно рассмотреть случай положительно определенной квадратичной формы.
Предположим, что неравенства (1) выполнены. Тогда соотношение
𝐴Δ𝑥 2 + 2𝐵Δ𝑥Δ𝑦 + 𝐶Δ𝑦 2 = 𝐴 (Δ𝑥 +
2
𝐵
𝐴𝐶 − 𝐵2 2
Δ𝑦) +
Δ𝑦 , (3)
2𝐴
4𝐴
полученное путем выделения полного квадрата показывает, что форма положительно
определена, ибо 𝐴 > 0 и
𝐴𝐶−𝐵2
4𝐴
𝐵
> 0 и при этом Δ𝑥 + 2𝐴 Δ𝑦 = 0 = Δ𝑦 лишь в том случае, когда Δ𝑥 =
0 = Δ𝑦.
Наоборот, пусть форма 𝐴Δ𝑥 2 + 2𝐵Δ𝑥Δ𝑦 + 𝐶Δ𝑦 2 положительно определена. Подставляя в нее
Δ𝑥 = 1, Δ𝑦 = 0 получаем, что 𝐴 > 0. Тогда соотношение (3) имеет место и при Δ𝑦 = 2√𝐴, Δx =
−B/√A получаем значение формы равное 𝐴𝐶 − 𝐵2 , которое также должно быть
положительным.□
Достаточное условие экстремума. Пусть Р – стационарная точка функции 𝑓(𝑥, 𝑦), т.е.
𝜕𝑓
(𝑃)
𝜕𝑦
𝜕𝑓
(𝑃)
𝜕𝑥
= 0,
= 0. Обозначим
𝐴=
𝜕2𝑓
𝜕2𝑓
𝜕2𝑓
(𝑃);
(𝑃);
(𝑃).
𝐵
=
𝐶
=
𝜕𝑥 2
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑦 2
Если выполнено условие (1), то P – точка локального минимума. Если же выполнено условие (2),
𝐴 𝐵
то P – точка локального максимума. Если же определитель |
| меньше нуля, то Р -- седловая
𝐵 𝐶
точка, и экстремума в этой точке нет.
Доказательство. Применим формулу Тейлора и разложим функцию 𝑓 в окрестности точки 𝑃:
1
𝑓(𝑎 + Δ𝑥, 𝑏 + Δ𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏) + (𝐴Δ𝑥 2 + 2𝐵Δ𝑥Δ𝑦 + 𝐶Δ𝑦 2 ) + 𝑜(Δ𝑥 2 + Δ𝑦 2 )
2
13
Допустим, что выполнено условие (1). Величина 𝑜(Δ𝑥 2 + Δ𝑦 2 ) не может изменить знака
1
2
квадратичной формы (𝐴Δ𝑥 2 + 2𝐵Δ𝑥Δ𝑦 + 𝐶Δ𝑦 2 ) при достаточно малых Δ𝑥, Δ𝑦. Отсюда следует,
что 𝑓(𝑎 + Δ𝑥, 𝑏 + Δ𝑦) − 𝑓(𝑎, 𝑏) ≥ 0 при таких же достаточно малых Δ𝑥, Δ𝑦. Это и означает, что
𝑃(𝑎, 𝑏) есть локальный минимум. Аналогично разбирается случай, когда выполняется условие (2).
Если же 𝐴𝐶 − 𝐵2 < 0, то из соотношения (3) видно, что квадратичная форма 𝐴Δ𝑥 2 + 2𝐵Δ𝑥Δ𝑦 +
𝐶Δ𝑦 2 принимает значения разных знаков. Более точно, при Δ𝑦 = 0, Δ𝑥 ≠ 0 ее знак совпадет со
𝐵
знаком 𝐴, а при Δ𝑥 = − 2𝐴 Δ𝑦 ≠ 0 ее знак совпадает со знаком (𝐴𝐶 − 𝐵2 )/4𝐴, который
противоположен знаку 𝐴. То же самое будет происходить и с приращением 𝑓(𝑎 + Δ𝑥, 𝑏 + Δ𝑦) −
𝑓(𝑎, 𝑏) при достаточно малых Δ𝑥, Δ𝑦.
Продолжение примера 1. Вернемся к функции 𝑧 = 𝑥𝑦 +
50
20
+ 𝑦.
𝑥
Мы нашли стационарную точку
𝑃(5,2). Вычислим второй дифференциал в этой точке:
′′
𝑧𝑥𝑥
50 ′
100 ′′
100 4 ′′
20 ′
40 ′′
40
′′
(𝑃) = 3 = ; 𝑧𝑥𝑦
(𝑃) = 3 = 5
= (𝑦 − 2 ) = 3 ; 𝑧𝑥𝑥
= 1; 𝑧𝑦𝑦
= (𝑥 − 2 ) = 3 ; 𝑧𝑦𝑦
𝑥 𝑥
𝑥
5
5
𝑦 𝑦 𝑦
2
и 𝑑2 𝑧(𝑃) = 0.8𝑑𝑥 2 + 2𝑑𝑥𝑑𝑦 + 5𝑑𝑦 2. Это положительно определенная форма, ибо 0.8 > 0 и 0.8 ⋅
5 − 12 = 3 > 0. Следовательно, 𝑃 -- локальный минимум. Мы знаем большее : 𝑃 -- глобальный
минимум в области 𝐷: 𝑥 > 0, 𝑦 > 0. Без исследования функции 𝑧 на границе области 𝐷, нельзя
получить этот факт.
кроме последней – получим матрицу в определителе (10)).
9 Метод наименьших квадратов
Постановка задачи. По таблице данных
𝑥
𝑦
𝑎1
𝑏1
𝑎2
𝑏2
………….
…………..
𝑎𝑛
𝑏𝑛
где 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 -- попарно различные аргументы, найти функцию 𝑦(𝑥) из некоторого заданного
класса функций (линейных, квадратичных, тригонометрических многочленов и т.п.) такую, что
величина невязки
𝑛
𝑆 = ∑(𝑏𝑖 − 𝑦(𝑎𝑖 ))2
(1)
𝑖=1
достигала бы наименьшего значения. Решим эту задачу для класса линейных функций. Тем самым
надо найти значения параметров u и v функции 𝑦(𝑥) = 𝑢𝑥 + 𝑣 так, что
𝑛
𝑆(𝑢, 𝑣) = ∑(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 𝑢 − 𝑣)2
(2)
𝑖=1
достигает наименьшего значения. Пользуемся необходимым условием экстремума:
14
𝜕𝑆
= −2 (∑(𝑎𝑖 𝑏𝑖 ) − 𝑢 ∑ 𝑎𝑖2 − 𝑣 ∑ 𝑎𝑖 ) = 0
𝜕𝑢
𝑖
𝑖
𝑖
𝜕𝑆
= −2(∑ 𝑏𝑖 − 𝑢 ∑ 𝑎𝑖 − 𝑣𝑛) = 0
𝜕𝑣
𝑖
𝑖
А именно, обозначим
𝒂 = (𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ); 𝒃 = (𝑏1 , … , 𝑏𝑛 ); 𝟏(𝑛) = (1, … ,1)
Тогда предыдущая система переписывается так
𝒂𝟐 𝑢 + 𝒂 ⋅ 𝟏(𝑛) 𝑣 = 𝒂𝒃;
{
𝒂 ⋅ 𝟏(𝑛) ⋅ 𝑢 + 𝑛𝑣 = 𝒃 ⋅ 𝟏(𝑛) .
(3)
Решая ее методом Крамара, получим
𝑢=
1
⋅ | 𝒂𝒃
Δ 𝒃 ⋅ 𝟏(𝑛)
𝒂 ⋅ 𝟏(𝑛) | ; 𝑣 = 1 ⋅ | 𝒂𝟐
Δ 𝒂 ⋅ 𝟏(𝑛)
𝑛
𝒂𝒃 | , где Δ = | 𝒂𝟐
𝒃 ⋅ 𝟏(𝑛)
𝒂 ⋅ 𝟏(𝑛)
𝒂 ⋅ 𝟏(𝑛) |
𝑛
Отсюда находим u и v. Это будет минимум, так как
𝐴=
𝜕2𝑆
𝜕2𝑆
𝜕2𝑆
2
=
2
∑
𝑎
>
0;
𝐵
=
=
2
∑
𝑎
;
𝐶
=
= 2𝑛
𝑖
𝑖
𝜕𝑢2
𝜕𝑢𝜕𝑣
𝜕𝑣 2
𝑖
𝑖
2
откуда 𝐴𝐶 − 𝐵2 = 4𝑛 ∑𝑖 𝑎𝑖2 − (2 ∑𝑖 𝑎𝑖 )2 = 4 ∑𝑖(𝑎𝑖 − 𝑎𝑗 ) > 0 и применимо достаточное условие
экстремума функции двух переменных.
ПРИМЕР.
𝑥
𝑦
0.1
-2
0.2
3
0.3
1
0.4
5
Здесь
𝒂 = (0.1,0.2,0.3,0.4); 𝒂2 = 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 = 0.3; 𝒂 ⋅ 𝟏𝒏 = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1
𝒃 = (−2,3,1,5); 𝒃 ⋅ 𝟏𝒏 = −2 + 3 + 1 + 5 = 7; 𝒂𝒃 = 0.1 ⋅ (−1) + 0.2 ⋅ 3 + 0.3 ⋅ 1 + 0.4 ⋅ 5 = 2.8
1
(4 ⋅ 2.8 − 1 ⋅ 7) = (11.2 − 7) ⋅ 5 = 4.2 ⋅ 5 = 21;
0.2
1
𝑣 = 0.2 (0.3 ⋅ 7 − 2.8 ⋅ 1) = −0.7 ⋅ 5 = −3.5. Итак, 𝑦 = 21𝑥 − 3.5 -- наилучшая линейная функция
Δ = 4 ⋅ 0.3 − 12 = 0.2; 𝑢 =
в смысле метода наименьших квадратов (см. рис.) .
15
𝑦 = 21𝑥 − 3.5
0.1
0.2
Рис 1. Построение прямой методом наименьших квадратов
16
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
10 Первообразная и неопределенный интеграл
Решаем дифференциальное уравнение
𝑦 ′ = 𝑓(𝑥)
(1)
𝑑𝑦
на интервале (𝑎, 𝑏). Так как 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 , то уравнение (1) можно переписать в дифференциалах:
𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
(2)
Любое решение такого уравнения называется первообразной функции 𝑓(𝑥). По-другому, функция
𝐹(𝑥) называется первообразной функции 𝑓(𝑥) на интервале (𝑎, 𝑏), если 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) для всех 𝑥 ∈
(𝑎, 𝑏). Случаи 𝑎 = −∞ и/или 𝑏 = +∞ не исключаются. Ясно, что если 𝐹(𝑥) первообразная, то и
𝐹(𝑥) + 𝐶 также первообразная. Наша задача – найти все решения уравнения (1). Функция двух
переменных 𝐹(𝑥, 𝐶) называется общим решением уравнения (1) или неопределенным
интегралом функции 𝑓(𝑥), если при подстановке вместо 𝐶 любого числа получаем частное
решение уравнения (1) и любое частное решение уравнения (1) получается таким образом.
Неопределённый интеграл обозначается ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥. Функция 𝑓(𝑥) называется подинтегральной,
дифференциал 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 называется подинтегральным выражением, а ∫ -- знак интеграла
(растянутая латинская буква S, первая буква слова Sum – сумма). Возникает вопрос о
существовании первообразной и неопределенного интеграла. В разделе «Определенный
интеграл», § Формула Ньютона-Лейбница будет доказано, что первообразная непрерывной
функции всегда существует.
Лемма. Пусть 𝐻′(𝑥) = 0 тождественно для всех 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Тогда 𝐻(𝑥) -- константа на этом
интервале.
Доказательство. Обозначим 𝐶 = 𝐻(𝑥0 ) для какой-либо точки 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏). Возьмём произвольную
точку 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) и к разности 𝐻(𝑥) − 𝐻(𝑥0 ) применим теорему Лагранжа: 𝐻(𝑥) − 𝐻(𝑥0 ) =
𝐻′(𝑐)(𝑥 − 𝑥0 ) = 0 для некоторой точки 𝑐 ∈ (𝑥, 𝑥0 ) ⊆ (𝑎, 𝑏). Отсюда 𝐻(𝑥) = 𝐶 и лемма доказана.□
Теорема о первообразных. Две первообразных одной и той же функции, определенной на
интервале, отличаются на константу.
Доказательство. Пусть 𝐹(𝑥) и 𝐺(𝑥) -- первообразные функции 𝑓(𝑥). Тогда (𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥))′ =
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 0 откуда, по лемме 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) = 𝐶 -- константа. Следовательно, 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥) + 𝐶.
□
Следствие. Если 𝐹(𝑥) -- первообразная функции 𝑓(𝑥), то ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, где C
пробегает множество действительных чисел.
10.1 Простейшие свойства неопределенного интеграла.
1. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:
∫ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
17
2. Константу можно выносить за знак интеграла:
∫ 𝑎 ⋅ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎 ⋅ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
3. Производная от интеграла равна подинтегральной функции.
4. Дифференциал от интеграла равен подинтегральному выражению.
1
5. (Линейная замена переменных) Если ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, то ∫ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 𝑎 𝐹(𝑎𝑥 + 𝑏) +
𝐶 (здесь 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0 ).
10.2 Таблица основных интегралов
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
+𝐶
𝑛+1
(𝑛 ≠ 0)
В частности,
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶; ∫ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥2
𝑑𝑥
1
2
𝑑𝑥
+ 𝐶; ∫ 2 = − + 𝐶; ∫ √𝑥𝑑𝑥 = √𝑥 3 + 𝐶; ∫
= 2√𝑥 + 𝐶
2
𝑥
𝑥
3
√𝑥
Для исключительного случая 𝑛 = 1 имеем:
∫
𝑑𝑥
= ln |𝑥| + 𝐶
𝑥
Далее
∫ 𝑒 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1 𝑘𝑥
𝑒 +𝐶
𝑘
f(x)
𝑥 𝜆 (λ ≠
0)
1
𝑥
𝑎𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
1
cos2 𝑥
1
sin2 𝑥
F(x)
𝑥 𝜆+1
𝜆+1
ln 𝑥
𝑎𝑥
ln 𝑎
− cos 𝑥
sin 𝑥
𝑡𝑔 𝑥
−𝑐𝑡𝑔 𝑥
f(x)
F(x)
1
sin 𝑥
1
cos 𝑥
1
𝑥 2 + 𝑎2
1
𝑥 2 − 𝑎2
𝑥
ln |𝑡𝑔 |
2
𝑥 𝜋
ln |𝑡𝑔 ( + )|
2 4
1
𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑎
𝑎
1
𝑥−𝑎
ln |
|
2𝑎 𝑥 + 𝑎
(высокий логарифм)
𝑡
2. Найти а) ∫ √1 + 2𝑥 𝑑𝑥
− ln |cos 𝑥| ln |sin 𝑥|
1
√𝑥 2 + 𝐴
√𝑎2 − 𝑥 2
ln |𝑥 + √𝑥 2 + 𝐴|
(длинный логарифм)
(𝑥−1)2
√𝑥
ctg 𝑥
1
10.3 Задачи
1. Найти а)∫(3𝑥 − 2)4 𝑑𝑥; б) ∫ sin 2 𝑑𝑡 ; в) ∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥; г) ∫
𝑡𝑔 𝑥
𝑑𝑥
arcsin
𝑥
𝑎
18
3. Решить дифференциальное уравнение 𝑦 ′ = 𝑥 − 𝑥 2 с условием 𝑦(0) =
1
6
4. Решить дифференциальное уравнение 𝑦′′ = sin 𝑥 с условиями 𝑦(0) = 0; 𝑦 ′ (0) = 1
5. Решить дифференциальное уравнение 𝑦 ′′′ = 0
11 Замена переменной в неопределённом интеграле
Определение неопределенного интеграла распространим на более общий случай: полагаем по
определению ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥. Таким образом, например
3
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 3 = ∫ 𝑥 2 ⋅ 3𝑥 2 𝑑𝑥 = 3∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 = 5 𝑥 5 + 𝐶.
Теорема. Пусть 𝑢 = 𝑢(𝑥) -- дифференцируемая функция. Тогда
∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 |𝑢=𝑢(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑢(𝑥))𝑢′(𝑥) 𝑑𝑥
(1)
Доказательство. Пусть ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶. Тогда
′
𝐹(𝑢(𝑥))𝑥 = 𝐹𝑢′ (𝑢) ⋅ 𝑢𝑥′ = 𝑓(𝑢) ⋅ 𝑢′(𝑥) = 𝑓(𝑢(𝑥))𝑢′(𝑥),
что и требовалось доказать.□
В частном случае, когда 𝑢(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, (𝑎 ≠ 0) получаем линейную замену переменных (см.
свойство 5, §1). Применение формулы (1) "слева на право" и будет означать замену переменной .
Применение формулы (1) в обратном направлении, "справа налево" называется занесением под
знак дифференциала.
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑒 𝑥
Примеры. А. ∫ 1+𝑒 2𝑥 = ∫ 1+𝑒 2𝑥 = {𝑢 = 𝑒 𝑥 } = ∫
𝑑𝑢
1+𝑢2
= arctg 𝑢 + 𝐶 = arctg 𝑒 𝑥 + 𝐶
cos 2𝑥 − 1
sin 2𝑥 1
𝑑𝑥 =
− 𝑥+𝐶
2
4
2
1
1
= sin 2(arccos 𝑥) − arccos 𝑥 + 𝐶 = 2𝑥√1 − 𝑥 2 − arccos 𝑥 + 𝐶
2
2
Б. ∫ √1 − 𝑢2 𝑑𝑢 = {𝑢 = cos 𝑥} = ∫ sin 𝑥 ⋅ (− sin 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫
11.1 Метод интегрирования функций вида
𝑨𝒙+𝑩
𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+𝒄
и
𝑨𝒙+𝑩
√𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+𝒄
(a≠ 0).
1. Выделяем в числителе производную квадратного трехчлена:
𝐴𝑥 + 𝐵 = 𝑀(2𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑁, где 𝑀 =
𝐴
,
2𝑎
𝑁=𝐵−
𝐴𝑏
2𝑎
2. Тогда
∫
𝐴𝑥 + 𝐵
2𝑎𝑥 + 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑥 = 𝑀 ∫ 2
𝑑𝑥 + 𝑁 ∫ 2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎𝑥 2
(2)
3. Для вычисления первого интеграла в (2) применяем занесение под знак дифференциала:
2𝑎𝑥 + 𝑏
𝑑(𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)
∫ 2
𝑑𝑥 = ∫
= ln|𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐| + 𝐶
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
19
Для вычисления второго интеграла выделяем в квадратном трехчлене полный квадрат и
линейной заменой переменных сводим его к табличному.
Таким же методом вычисляются и интегралы вида ∫
𝑑𝑥
𝑑(𝑥+2)
𝐴𝑥+𝐵
√𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐
𝑑𝑥
1
Примеры. А. ∫ 𝑥 2 +4𝑥+13 =  (𝑥+2)2 +32 = 3 arctg(𝑥 + 2) + 𝐶
Б. ∫
2𝑥−7
√𝑥 2 −6𝑥+8
𝑑𝑥 = ∫
2𝑥−6
√𝑥 2 −6𝑥+8
𝑑𝑥 − ∫
1
√𝑥 2 −6𝑥+8
𝑑𝑥 = ∫
𝑑(𝑥 2 −6𝑥+8)
√𝑥 2 −6𝑥+8
−∫
𝑑𝑥
√(𝑥−3)2 −1
= 2√𝑥 2 − 6𝑥 + 8 −
ln(𝑥 − 3 + √𝑥 2 − 6𝑥 + 8) + 𝐶
12 Интегрирование по частям в неопределённом интеграле
Теорема. Для дифференцируемых функций 𝑢(𝑥) и 𝑣(𝑥) имеет место соотношение
 𝑢(𝑥) 𝑑𝑣(𝑥) = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) −  𝑣(𝑥) 𝑑𝑢(𝑥) (1)
Доказательство. Интегрируя левую и правую часть формулы (𝑢𝑣)′ = 𝑢𝑣′ + 𝑣𝑢′, получаем:
𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) + 𝐶 =  𝑢𝑣′ 𝑑𝑥 +  𝑣𝑢′ 𝑑𝑥
Так как по определению  𝑢𝑣′ 𝑑𝑥 =  𝑢 𝑑𝑣 и  𝑣𝑢′ 𝑑𝑥 =  𝑣 𝑑𝑢, то формула (1) следует.□
𝑥 𝑑𝑥
Пример. ∫ arctg 𝑥 𝑑𝑥 = {𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥, 𝑣 = 𝑥} = 𝑥 arctg 𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑 arctg 𝑥 = 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 − ∫ 1+𝑥2 =
1
𝑑 𝑥2
1
𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 − ∫
= 𝑥 arctg 𝑥 − ln (1 + 𝑥 2 ) + 𝐶.
2 1+𝑥 2
2
12.1 Метод интегрирования функций вида 𝒆𝜶𝒙 𝑷𝒏 (𝒙),
𝒔𝒊𝒏 𝜶𝒙 𝑷𝒏 (𝒙), 𝒄𝒐𝒔 𝜶𝒙 𝑷𝒏 (𝒙).
Здесь и далее 𝑃𝑛 (𝑥) – многочлен степени n. Метод интегрирования состоит в занесении
экспоненты или гармоники под знак дифференциала, а затем применяется формула
интегрирования по частям. Повторяем эту процедуру n раз.
Пример.
∫ 𝑒 −𝑥 (𝑥 2 − 4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 2 − 4𝑥 + 1)𝑑(−𝑒 −𝑥 )
= 𝑒 −𝑥 (4𝑥 − 1 − 𝑥 2 ) + ∫ 𝑒 −𝑥 (2𝑥 − 4)𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑥 (4𝑥 − 1 − 𝑥 2 ) + ∫(2𝑥 − 4) 𝑑(−𝑒 −𝑥 )
= 𝑒 −𝑥 (4𝑥 − 1 − 𝑥 2 )+𝑒 −𝑥 (2𝑥 − 4) + ∫ 𝑒 −𝑥 ⋅ 2𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑥 (6𝑥 − 5 − 𝑥 2 ) − 2𝑒 −𝑥 + 𝐶
= 𝑒 −𝑥 (6𝑥 − 7 − 𝑥 2 ) + 𝐶
12.2 Метод интегрирования функций вида 𝒍𝒏𝒌 𝒙 𝑷𝒏 (𝒙):
Для интегрирования таких функций заносим многочлен под знак дифференциала и применяем
формулу интегрирования по частям. Процедуру повторяем k раз.
Пример. ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑(ln 𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶.
20
1
∫ ln2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln2 𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑 ln2 𝑥 = 𝑥 ln2 𝑥 − ∫ 𝑥 ⋅ 2 (ln 𝑥) ⋅ 𝑑𝑥 = 𝑥 ln2 𝑥 − 2∫ ln 𝑥 𝑑𝑥
𝑥
2
= 𝑥 ln 𝑥 − 2𝑥 ln 𝑥 + 2𝑥 + 𝐶.
12.3 Задачи
2
1. Вычислить, применяя занесение под знак дифференциала а) ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ; б) ∫
∫
1
𝑥
𝑥2
е𝑥𝑝 ( )+7
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥; в)
𝑑𝑥
2. ∫ √4 − 𝑥 2 𝑑𝑥 (применить подстановку 𝑥 = 2 sin 𝑡)
3. Вычислить, применяя формулу интегрирования по частям а) ∫ 𝑥 2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ; б)
∫(2𝑥 − 5) sin 𝑥 𝑑𝑥; в) ∫ 𝑥 ln2 𝑥 𝑑𝑥; г)∫ arctg 𝑥 𝑑𝑥
4. * Вычислить ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥, ∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥
13 Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется функция вида
deg 𝑄, то рациональную дробь
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥)
,
𝑄(𝑥)
где 𝑃(𝑥)и 𝑄(𝑥) – многочлены. Если deg 𝑃 <
называют правильной. В противном случае ее называют
неправильной.
Следующие рациональные дроби называют простейшими
𝐴
(1 тип) 𝑎𝑥+𝑏 , 𝑎 ≠ 0, 𝐴 ≠ 0
𝐴
(2 тип) (𝑎𝑥+𝑏)𝑛 , 𝑛 > 1, 𝑎 ≠ 0, 𝐴 ≠ 0
𝐴𝑥+𝐵
(3 тип) 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 , 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0, (𝐴, 𝐵) ≠ (0,0)
(4 тип)
𝐴𝑥+𝐵
,
(𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐)𝑛
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0, 𝑛 > 1, (𝐴, 𝐵) ≠ (0,0)
Теорема 1. Любую дробь можно разложить в сумму многочлена и правильной рациональной
дроби.
𝑃(𝑥)
Доказательство. Пусть 𝑄(𝑥) – неправильная рациональная дробь. Поделим числитель на
знаменатель с остатком: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) ⋅ 𝐷(𝑥) + 𝑅(𝑥). Здесь 𝐷(𝑥), 𝑅(𝑥)-- многочлены, причем
deg 𝑅 < deg 𝑄. Тогда
𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) ⋅ 𝐷(𝑥) + 𝑅(𝑥)
𝑅(𝑥)
=
= 𝐷(𝑥) +
𝑄(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑄(𝑥)
Дробь 𝑅(𝑥)/𝑄(𝑥) правильная в силу неравенства deg 𝑅 < deg 𝑄 . □
Теорема 2. Любую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших.
2
Примеры. А. Разложим (𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3) в сумму простейших
21
2
𝐴
𝐵
𝐶
=
+
+
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 𝑥 − 1 𝑥 − 2 𝑥 − 3
Отсюда следует, что 2 = 𝐴(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) + 𝐶(𝑥 − 1)(𝑥 − 2). Подставляя в это
соотношение 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, 𝑥 = 3 находим сразу 𝐴 = 1; 𝐵 = −2; 𝐶 = 1. Итак
∫
(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
2𝑑𝑥
𝑑𝑥
−2𝑑𝑥
𝑑𝑥
=∫
+∫
+∫
= ln |
|+𝐶
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)
(𝑥 − 2)2
𝑥−1
𝑥−2
𝑥−3
36+20𝑥
Б. Разложим рациональную дробь 𝑓 = (𝑥−1)(𝑥 2 −1)2 в сумму простейших. Разложение этой дроби с
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
неопределенными коэффициентами имеет вид 𝑥−1 + (𝑥−1)2 + (𝑥−1)3 + 𝑥+1 + (𝑥+1)2
Умножая на общий знаменатель, получаем соотношение
36 + 20𝑥 = 𝐴(𝑥 2 − 1)2 + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)2 + 𝐶(𝑥 + 1)2 + 𝐷(𝑥 − 1)3 + 𝐸(𝑥 − 1)3 (𝑥 + 1)
Подставляя сюда 𝑥 = 1, находим 56 = 4𝐶, откуда 𝐶 = 14. Подставляя 𝑥 = −1 находим 𝐷 =
16
(−2)3
= −2. Приравнивая коэффициенты при 𝑥 4 , 𝑥 3 , 𝑥 2 получаем систему
{
0=𝐴+𝐸
0 = 𝐵 + 𝐷 + 𝐸(1 − 3) = 𝐵 − 2 − 2𝐸
0 = −2𝐴 + 𝐵(−1 + 2) + 𝐶 − 3𝐷 + 𝐸(−3 + 3) = −2𝐴 + 𝐵 + 14 + 6
Отсюда 𝐸 = −𝐴 и 2𝐴 + 𝐵 = 2; −2𝐴 + 𝐵 = −20. Складывая равенства последней системы,
получаем 2𝐵 = −18 и 𝐵 = −9. Тогда 𝐴 =
2−𝐵
2
=
11
2
= −𝐸 и
11
11
14
9
2
2
𝑓=
−
+
−
− 2
(𝑥 − 1)3 (𝑥 − 1)2 𝑥 − 1 (𝑥 + 1)2 𝑥 + 1
Следовательно,
∫
36 + 20𝑥
7
9
11
2
11
𝑑𝑥 = −
+
+ ln|𝑥 − 1| +
− ln |𝑥 + 1| + 𝐶
(𝑥 − 1)(𝑥 2 − 1)2
(𝑥 − 1)2 𝑥 − 1 2
𝑥+1 2
13.1 Интегрирование иррациональных выражений
Далее 𝑅 -- рациональная функция одной или нескольких переменных.
𝑚
𝑟
Интегралы вида  𝑅 (𝑥, 𝑥 𝑛 , . . . , 𝑥 𝑠 ) 𝑑𝑥, где m/n,...,r/s -- рациональные числа с общим
знаменателем k, сводятся к интегралу от рациональной функции заменой
𝑘
𝑥 = 𝑧 𝑘 ⇔ 𝑧 = √𝑥
𝑘𝑚
𝑟
𝑟𝑘
Тогда 𝑑𝑥 = 𝑘𝑧 𝑘−1 𝑑𝑧, 𝑥 𝑚/𝑛 = 𝑧 𝑛 , . . . , 𝑥 𝑠 = 𝑧 𝑠 суть рациональные выражения, следовательно,
после подстановки, получается интеграл от рациональной дроби:
∫ 𝑅 (𝑧 𝑘 , 𝑧
𝑘𝑚
𝑘𝑟
𝑛 ,...,𝑧 𝑠
) 𝑧 𝑘−1 𝑑𝑧
𝑘
Вычислив этот интеграл (см. пар. 4) и сделав обратную замену 𝑧 = √𝑥, получим ответ.
Аналогично, интегралы вида
22
𝑚
𝑟
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛
𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠
 𝑅 (𝑥, (
) ,...,(
) ) 𝑑𝑥
𝑐𝑥 + 𝑑
𝑐𝑥 + 𝑑
где ad-bc≠ 0, а k имеет тот же смысл как и выше, сводятся к интегралам от рациональной дроби
заменой
𝑘 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑏 − 𝑑 ⋅ 𝑧 𝑘
= 𝑧𝑘 ⇔ 𝑥 = 𝑘
⇔𝑧 = √
𝑐𝑥 + 𝑑
𝑧 𝑐−𝑎
𝑐𝑥 + 𝑑
Примеры. А. Вычислим интеграл
∫
𝑡 2 ⋅ 6𝑡 5 𝑑𝑡
𝑡 2 ⋅ 3𝑡 4 𝑑𝑡 2
3𝑢3 𝑑𝑢
√𝑥𝑑𝑥
6]
2]
[𝑥
[𝑢
=
=
𝑡
=
∫
=
∫
=
=
𝑡
=
∫
3
1 + 𝑡2
1 + 𝑡2
1+𝑢
1 + √𝑥
3𝑑𝑢
3
= ∫ 3(1 − 𝑢 + 𝑢2 )𝑑𝑢 − ∫
= 3𝑢 − 𝑢2 + 𝑢3 − ln |1 + 𝑢| + 𝐶
1+𝑢
2
3
3
3
3
= 3 √𝑥 − √𝑥 2 + 𝑥 − ln(1 + √𝑥 ) + 𝐶
2
Б. Вычислим интеграл
∫√
𝑥−1
𝑥−1
𝑧2 + 1
𝑧2 + 1
𝑧2 + 1
𝑧2 + 1
𝑑𝑥 = {
= 𝑧2; 𝑥 =
=
∫
𝑧
𝑑
=
𝑧
−
∫
𝑑𝑧
}
𝑥+1
𝑥+1
1 − 𝑧2
1 − 𝑧2
1 − 𝑧2
1 − 𝑧2
𝑧2 + 1
2𝑑𝑧
𝑧2 + 1
𝑧+1
=𝑧
+
∫
𝑑𝑧
−
∫
=
𝑧
+
𝑧
−
ln
|
|+𝐶
1 − 𝑧2
1 − 𝑧2
1 − 𝑧2
1−𝑧
𝑥−1
√𝑥 − 1 + 1
2 √𝑥 + 1
2𝑧
𝑧+1
𝑥+1
=
− ln |
− ln ||
|+𝐶 =
|| + 𝐶
2
𝑥−1
1−𝑧
1−𝑧
𝑥
−
1
1−
1−√
𝑥+1
𝑥+1
𝑥−1
2𝑥 + 2√𝑥 2 − 1
√𝑥 + 1 + √𝑥 − 1
= √𝑥 2 − 1 − ln |
|+𝐶 =√
− ln
+𝐶
𝑥+1
2
√𝑥 + 1 − √𝑥 − 1
= √𝑥 2 − 1 − ln (𝑥 + √𝑥 2 − 1) + 𝐶
Более простой метод интегрирования (но требующий догадки) этой же функции таков:
𝑥−1
𝑥−1
𝑥
𝑑𝑥
1 𝑑(𝑥 2 − 1)
∫√
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥 − ∫
= ∫
− ln (𝑥 + √𝑥 2 − 1)
𝑥+1
√𝑥 2 − 1
√𝑥 2 − 1
√𝑥 2 − 1 2
√𝑥 2 − 1
= √𝑥 2 − 1 − ln (𝑥 + √𝑥 2 − 1) + 𝐶
13.2 Интегрирование тригонометрических выражений
Интегралы вида ∫ 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥) 𝑑𝑥 сводятся к интегралам от рациональной функции
универсальной заменой
𝑧 = tg
Тогда
𝑥
⇔ 𝑥 = 2arctg 𝑧
2
23
𝑥
𝑥
2 sin 2 ⋅ cos 2
𝑥
𝑥
2𝑧
sin 𝑥 = 2 sin ⋅ cos =
=
;
2
2
2
2 sin 𝑥/2 + cos 𝑥/2 1 + 𝑧 2
𝑥
𝑥
2
cos 2 − sin2
2
2 = 1 − 𝑧 ; 𝑑𝑥 = 2𝑑𝑧
cos 𝑥 =
𝑥
𝑥
2
1 + 𝑧2
sin2 2 + cos2 2 1 + 𝑧
поэтому получаем интеграл от рационального выражения
В частных случаях  R(sin x) cos x dx,  R(cos x) sin x dx и R(sin2x, cos2x, tg x, ctg x) dx лучше
пользоваться заменами 𝑧 = cos 𝑥 , 𝑧 = sin 𝑥 и 𝑧 = tg 𝑥 соответственно.
Примеры. А.
2𝑑𝑧
𝑑𝑥
2𝑑𝑧
𝑑(𝑧 + 1)
2
1
+ 𝑧2 = ∫
∫
{𝑧 = tg 𝑥} = ∫
= 2∫
=−
+𝐶
2
2
2𝑧
(𝑧 + 1)
1 + sin 𝑥
1 + 𝑧 + 2𝑧
𝑧+1
1+
1 + 𝑧2
2
=− 𝑥
+𝐶
tg 2 + 1
Б.
cos 4 4𝑥 𝑑 sin 4𝑥
1
1
1
1
= [𝑧 = sin 4𝑥] = ∫(1 − 𝑧 2 )2 𝑑𝑧 = 𝑧 − 𝑧 3 + 𝑧 5 + 𝐶
4
4
4
6
20
1
1 3
1
= sin 4𝑥 − sin 4𝑥 + sin5 4𝑥 + 𝐶
4
6
20
∫ cos5 4𝑥 𝑑𝑥 = ∫
13.3 Задачи
𝑥 3 −4𝑥+7
1. Вычислить интеграл ∫ 𝑥 2 −3𝑥+2 𝑑𝑥
𝑑𝑥
2. Вычислить а) ∫ 𝑥 3 −𝑥 б) ∫
3.
1
(𝑥+1)(𝑥 2 +9)
Найти а) ∫(𝑥 + 3)/√𝑥 − 1 𝑑𝑥; б) ∫
𝑑𝑥
𝑑𝑥
√𝑥+1
𝑑𝑥
4. Вычислить ∫ 1+sin 2𝑥
𝑑𝑥
5. Вычислить ∫ 4 cos 𝑥+3 sin 𝑥+5
6. Вычислить
𝑑𝑥
7. Вычислить а) ∫ sin3 𝑥 𝑑𝑥; б) ∫ sin 𝑥 cos 5 𝑥 𝑑𝑥; в) ∫ 1+sin2 𝑥; г) ∫ sin4 𝑥 𝑑𝑥
24
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
14 Определение определенного интеграла
14.1 Интегральные суммы
Пусть функция 𝑓(𝑥) определена на отрезке [𝑎, 𝑏] и неотрицательна. Фигура, заданная
неравенствами 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥) называется криволинейной трапецией (см. рис. 1).
Вычислим площадь криволинейной трапеции. Идея вычисления состоит в том, чтобы нарезать эту
трапецию на узенькие вертикальные полоски, площадь каждой полоски считать как площадь
прямоугольника, а затем сложить получившиеся результаты. Мы получим приближенный ответ.
Для получения точного ответа надо брать
полоски все уже и уже и перейти к
пределу, когда максимальная ширина
полоски стремится к нулю. Вычислим
таким образом площадь под экспонентой
𝑦 = 𝑒 𝑥 , если 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏. Возьмём
равномерное разбиение отрезка [a,b]:
a
b
𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 <. . . < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏;
𝛥𝑥𝑖 = 𝛥𝑥 = (𝑏 − 𝑎)/𝑛 ; 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖 𝛥 𝑥
Тогда
Рис. 1 Криволинейная трапеция
𝑆𝑛 = 𝑒 𝑎 𝛥 𝑥 + 𝑒 𝑎+𝛥𝑥 𝛥 𝑥 + ⋯ +
𝑒 𝑎+(𝑛−1)𝛥𝑥 𝛥 𝑥 = 𝑒 𝑎 (1 +
𝑒 𝛥𝑥 +. . . +𝑒 (𝑛−1)𝛥𝑥 )𝛥𝑥 =
𝑒 𝑎 (1 − 𝑒 𝑛𝛥𝑥 )
𝑒 𝑎 (1 − 𝑒 𝑏−𝑎 )
(𝑒 𝑏 − 𝑒 𝑎 )𝛥𝑥
=
𝛥
𝑥
=
𝛥
𝑥
=
→
𝑒𝑏 − 𝑒𝑎
1 − 𝑒 𝛥𝑥
1 − 𝑒 𝛥𝑥
𝑒 𝛥𝑥 − 1 𝛥 𝑥→ 0
Здесь использована формула суммы геометрической прогрессии, а также эквивалентность
бесконечно малых 𝑒 Δ𝑥 − 1 ∼ Δ𝑥 при Δ𝑥 → 0. Так как функция ex непрерывна, то доказано, что
S=eb-ea.
Перейдем к точным определениям. Разбиением отрезка [𝑎, 𝑏] называется семейство точек 𝑥𝑗 ∈
[𝑎, 𝑏] таких, что
𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 <. . . < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏
(1)
Параметром разбиения (обозначим его 𝜆) называется наибольшее из приращений Δ𝑥𝑖 ≔ 𝑥𝑖 −
𝑥𝑖−1 когда индекс 𝑖 пробегает от 1 до n. Пусть 𝑓(𝑥) - функция, определенная на отрезке [𝑎, 𝑏] и
𝜉𝑖 - какие-либо (отмеченные) точки из отрезков [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. Тогда
𝑛
𝐼 = 𝑓(𝜉1 )Δ𝑥1 +. . . +𝑓(𝜉𝑛 )Δ𝑥𝑛 = ∑ 𝑓(𝜉𝑗 )Δ𝑥𝑗
𝑗=1
называется интегральной суммой.
(2)
25
Определение. Определённым интегралом функции 𝑓(𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏] называется предел
интегральных сумм, если параметр разбиения стремиться к нулю:
𝑏
𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝜉𝑗 )Δ𝑥𝑗
𝜆→0
𝑎
(3)
𝑗=1
𝑏
Если 𝑎 = 𝑏, то по определению полагаем ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0. Если же 𝑎 > 𝑏, то считаем по
определению
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 .
𝑎
𝑏
Функция 𝑓(𝑥) называется подинтегральной, 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 называется подинтегральным выражением.
Число 𝑎 называется нижним пределом интегрирования, а 𝑏 – верхним пределом интегрирования.
Так как предел не всегда существует, то и определенный интеграл на отрезке [𝑎, 𝑏] существует не
от любой функции. Необходимым условием существования интеграла является
ограниченность функции 𝑓(𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏]. Действительно, если функция 𝑓(𝑥)
неограничена, например, сверху, то при любом разбиении, каков бы ни был малый его параметр,
найдутся отмеченные точки (𝜉𝑖 ) такие, что интегральная сумма (2) больше чем любая наперед
заданная величина. Следовательно, конечного предела интегральные суммы иметь не могут.
Функцию 𝑓(𝑥), заданную на отрезке [𝑎, 𝑏], для которой предел (3) существует, назовем
интегрируемой (по Риману) на этом отрезке. Сумма интегрируемых функций есть интегрируемая
функция и произведение интегрируемой функции на число есть также интегрируемая функция.
𝑏
Более того, отображение, сопоставляющее функции 𝑓(𝑥) интеграл ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 линейно. Это
значит, что если 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) интегрируемы, то для любых чисел 𝛼, 𝛽 линейная комбинация 𝛼𝑓(𝑥) +
𝛽𝑔(𝑥) также интегрируема на отрезке [𝑎, 𝑏] и
𝑏
𝑏
𝑏
∫ 𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
(4)
𝑎
Заметим, что из определения интеграла, у которого нижний предел больше или равен верхнему
вытекает, что равенство (4) справедливо вне зависимости от расположения точек 𝑎 и 𝑏 на
числовой прямой.
На существование и на значение определенного интеграла не влияет изменение значения
функции 𝑓(𝑥) в конечном числе точек.
Адитивность интеграла. Пусть 𝑎 < 𝑐 < 𝑏. Тогда функция 𝑓(𝑥) интегрируема на отрезке [𝑎, 𝑏] в
том и только том случае, когда она интегрируема на [𝑎, 𝑐] и на [𝑐, 𝑏]. В этом случае
𝑏
𝑐
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 (5)
𝑎
𝑎
𝑐
Если точки 𝑎, 𝑏, 𝑐 расположены произвольно на числовой прямой и каждый из интегралов в (5)
существует, то равенство (5) имеет место.
26
Доказательство. Если 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 , то интегральную сумму на отрезке [𝑎, 𝑏] можно разбить на две
интегральные суммы – на отрезке [𝑎, 𝑐] и на отрезке [𝑐, 𝑏]. Формула (5) вытекает по существу из
свойства: предел суммы равен сумме пределов.
Рассмотрим случай 𝑐 < 𝑎 < 𝑏 расположения точек 𝑎, 𝑏, 𝑐. Тогда по условию и доказанному выше
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
имеет место равенство ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 . Перенося ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 в левую часть и
𝑎
𝑐
𝑏
𝑐
𝑏
заменяя − ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 на ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 получаем ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, что совпадает с
(5). Аналогично разбираются другие случаи расположения точек 𝑎, 𝑏, 𝑐.□
Теорема 2. Кусочно-непрерывная функция интегрируема на любом отрезке.
14.2 Свойства определённого интеграла
Монотонность интеграла. Если 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) для всех 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] и 𝑎 ≤ 𝑏, то
𝑏
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ ∫𝑎 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 .
Действительно, в этом случае ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝜉𝑖 )Δ𝑥𝑖 ≤ ∑𝑛𝑖=1 𝑔(𝜉𝑖 )Δ𝑥𝑖 и переходя к пределу 𝜆 → 0 в этом
неравенстве (см. раздел «Введение в анализ»), получаем искомое соотношение между
интегралами.
Как свойство отметим одно простое равенство, вытекающее из определения определенного
интеграла:
𝑏
∫ 𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎
(1)
𝑎
Оценка интеграла. Если 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 на отрезке [𝑎, 𝑏] и 𝑎 ≤ 𝑏, то
𝑏
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
(2)
𝑎
𝑏
𝑏
𝑏
Действительно, ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ≤ ∫𝑎 𝑀 𝑑𝑥 = 𝑀 ∫𝑎 𝑑𝑥 = 𝑀(𝑏 − 𝑎). Здесь мы последовательно
применили монотонность интеграла, его линейность и равенство (1). Аналогично доказывается
первое из неравенств в (2).
Например, 2
функции
1
√7
1
√1+𝑥 3
≤
1
√1+𝑥 3
≤ 1 на отрезке [0; 3], что следует из монотонности функции 𝑥 3 а значит и
. Отсюда,
1
2√7
⋅3=
3
2√7
3
≤∫
0
𝑑𝑥
√1 + 𝑥 3
≤1⋅3=3
Теорема о среднем. Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏], то найдётся точка 𝑐 ∈
[𝑎, 𝑏] такая, что
𝑏
𝑏
1
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐)(𝑏 − 𝑎) ⇔ 𝑓(𝑐) =
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏−𝑎
𝑎
𝑎
(3)
27
1
𝑏
Величина 𝑏−𝑎 ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 называется интегральным средним функции 𝑓(𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏].
Доказательство. По теореме Вейерштрасса, функция 𝑓(𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏] достигает своего
наибольшего значения 𝑀 = 𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥 ) и наименьшего значения 𝑚 = 𝑓(𝑥𝑚𝑖𝑛 ). Здесь 𝑥𝑚𝑎𝑥 , 𝑥𝑚𝑖𝑛 -некоторые точки отрезка [𝑎, 𝑏]. Применяя оценку интеграла (2), выводим
𝑏
1
𝑓(𝑥𝑚𝑖𝑛 ) = 𝑚 ≤
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝑀 = 𝑓(𝑥𝑚𝑎𝑥 ).
𝑏−𝑎
𝑎
Интегральное среднее оказывается промежуточным значением между наименьшим и
наибольшим значениями. Применим теорему Больцано-Коши о промежуточном значении к
непрерывной функции 𝑓(𝑥) и найдем точку 𝑐 между 𝑥𝑚𝑖𝑛 и 𝑥𝑚𝑎𝑥 (значит 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏]) такую, что
1
𝑏
𝑓(𝑐) = 𝑏−𝑎 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 .□
Пример. Пусть
1, если 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑓(𝑥) = {
2, если 1 < 𝑥 ≤ 2
(4)
Тогда интегральное среднее функции (4) на отрезке [0; 2] равно
2
1
2
1
1
1
1 2 ⋅ (2 − 1) 3
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 2𝑑𝑥 = +
=
2−0
2
2
2
2
2
0
0
1
Однако точки 𝑐 ∈ [0; 2] такой, что 𝑓(𝑐) = 3/2 нет. Причина этого – разрыв функции 𝑓(𝑥) в точке 1.
15 Формула Ньютона-Лейбница
𝑥
Интеграл вида 𝛷 (𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 называют интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема. Пусть 𝑓(𝑥) непрерывна на отрезке [𝑎, 𝑏]. Тогда Φ(𝑥) есть первообразная функции
𝑓(𝑥):
′
𝑥
(∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡) = 𝑓(𝑥)
𝑎
(1)
𝑥
для любого 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏).
Доказательство. Пусть 𝑥, 𝑥 + Δ𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Тогда по теореме о среднем
𝑥+Δ𝑥
𝑥
𝑥+Δ𝑥
ΔΦ = Φ(𝑥 + Δ𝑥) − Φ(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 − ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝜉Δ𝑥 ) ⋅ Δ𝑥
𝑎
𝑎
𝑥
ΔΦ
для некоторой точки 𝜉Δ𝑥 ∈ (𝑥, 𝑥 + Δ𝑥). Следовательно, Δ𝑥 = 𝑓(𝜉Δ𝑥 ) → 𝑓(𝑥) при Δ𝑥 → 0, ибо в
этом случае 𝜉Δ𝑥 → 𝑥, а функция 𝑓(𝑥) непрерывна.□
28
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть 𝐹(𝑥) -- первообразная функции 𝑓(𝑥). Тогда
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) =: 𝐹(𝑥)|𝑏𝑎
(2)
𝑎
Доказательство. Для функции 𝑓(𝑥) имеем в распоряжении две первообразных 𝐹(𝑥) и 𝛷 (𝑥) =
𝑥
∫𝑎 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 . По теореме о первообразных (см. § 10 ) найдется константа 𝐶 такая, что
𝑥
∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑥) + 𝐶
(3)
𝑎
Подставим в соотношение (3) вместо 𝑥 сначала 𝑎 и получим 𝐶 = −𝐹(𝑎), а затем подставим 𝑥 = 𝑏
в (3) – получим
𝑏
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) + С = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎),
𝑎
что и требовалось доказать.
𝑏
Пример. ∫𝑎 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 |𝑏𝑎 = 𝑒 𝑏 − 𝑒 𝑎 (см. пример вычисления площади в начале §14).
16 Замена переменной и интегрирование по частям в определённом
интеграле
Замена переменной. Пусть 𝜑 ∶ [ ,  ] → [𝑎, 𝑏] -- дифференцируемое отображение c непрерывной
производной и такое, что 𝜑(𝛼) = 𝑎, 𝜑(𝛽) = 𝑏, а 𝑓(𝑥) -- непрерывная функция, заданная на
отрезке [𝑎, 𝑏]. Тогда
𝑏
𝛽
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝜑 (𝑡))𝜑 ′(𝑡) 𝑑𝑡 .
𝑎
(1)
𝛼
Доказательство. Пусть 𝐹(𝑥) -- первообразная функции 𝑓(𝑥). Тогда по формуле замена
переменной в неопределенном интеграле функция 𝐹(𝜑(𝑡)) есть первообразная функции
𝑓(𝜑 (𝑡))𝜑 ′(𝑡). Применим формулу Ньютона-Лейбница дважды:
𝑏
𝛽
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝜑(𝛼)) − 𝐹(𝜑(𝛽)) = ∫ 𝑓(𝜑 (𝑡))𝜑 ′(𝑡) 𝑑𝑡
𝑎
-- что и требовалось доказать. □
Пример 1. Вычислим площадь верхнего полукруга радиуса R.
𝛼
29
0
𝑅
∫ √𝑅 2
−
𝑥 2 𝑑𝑥
0
2
= ⟨𝑥 = 𝑅 cos 𝑡⟩ = ∫ 𝑅 sin 𝑡 𝑑(𝑅 cos 𝑡) = −𝑅 ∫ sin2 𝑡 𝑑𝑡 =
−𝑅
𝜋
𝜋
𝜋
= 𝑅 2 ∫(1 − cos 2𝑡)/2 𝑑𝑡 =
0
𝜋𝑅 2
2
Интегрирование по частям. Пусть u и v -- дифференцируемые функции на отрезке [𝑎, 𝑏]. Тогда
𝑏
𝑏
∫ 𝑢(𝑥) 𝑑𝑣(𝑥) =
𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)|𝑏𝑎
− ∫ 𝑣(𝑥)𝑑𝑢(𝑥)
𝑎
(2)
𝑎
Доказательство. Соотношение (𝑢𝑣)′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑣′𝑢 проинтегрируем от 𝑎 до 𝑏 b получим
𝑏
𝑏
𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)|𝑏𝑎 = ∫𝑎 𝑣(𝑥)𝑑𝑢(𝑥) + ∫𝑎 𝑢(𝑥) 𝑑𝑣(𝑥), что эквивалентно (2).
Пример 2. Вычислим
𝑏
𝑆(𝑏): = ∫ 𝑥𝑒
𝑏
−𝑥
𝑏
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑(−𝑒
0
−𝑥
)=
−𝑥𝑒 −𝑥 |𝑏0
0
+ ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −𝑏𝑒 −𝑏 + (−𝑒 −𝑏 + 𝑒 0 )
0
= 1 − (𝑏 + 1)𝑒 −𝑏
Заметим, что 𝑆(𝑏) → 1 при условии 𝑏 → +∞ .
16.1 Задачи
Найти определенный интеграл
𝜋/2
1. ∫0
2.
3.
dx
1+cos x
2
+∞
∫0 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
4 𝑑𝑥
∫0 √1+2𝑥
𝑒 ln2 𝑥
4. ∫1
5.
𝑥
9 𝑑𝑥
∫0 𝑥+1
√
𝑑𝑥
17 Несобственные интегралы
Пусть функция 𝑓(𝑥) задана на полуинтервале [𝑎, 𝑑), где 𝑎 < 𝑑, а величина 𝑑 может быть как
конечным числом, так и +∞. Предположим, что 𝑓(𝑥) интегрируема на любом отрезке [𝑎, 𝑏], 𝑎 ≤
𝑏 < 𝑑. Полагаем по определению
𝑑
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏→𝑑−0
𝑎
𝑎
(1)
30
и называем это число несобственным интегралом. В случае, когда предел (1) существует, то
говорим, что соответствующий интеграл сходится; в противном случае будем говорить, что он
расходится.
Несобственный интеграл (1) применяется в двух типичных ситуациях.
+∞
1) Пусть 𝑑 = +∞ . Тогда ∫𝑎
𝑏
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏→+∞
2) Пусть d∈ ℝ и функция 𝑓(𝑥) неограничена на полуинтервале [𝑎, 𝑑) .
Если 𝑓(𝑥) ≥ 0 на полуинтервале [𝑎, 𝑑), то несобственный интеграл равен площади
неограниченной фигуры -- криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции
𝑓(𝑥), снизу – осью Ох и слева – вертикальной прямой 𝑥 = 𝑎 (см. рис. 1)
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑎
+∞
Рис.1 Несобственный интеграл ∫𝑎
𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Отметим, что если функция 𝑓(𝑥) на самом деле интегрируема на отрезке [𝑎, 𝑑] (это означает, в
частности, что 𝑑 ∈ ℝ ), то коллизии обозначений не возникает -- несобственный интеграл в
смысле (1) будет равен определенному интегралу функции 𝑓 на отрезке [𝑎, 𝑑].
Аналогично определяется несобственный интеграл для функций, определенных на полуинтервале
(𝑐, 𝑏], где 𝑐 < 𝑏 и 𝑐 ∈ ℝ ∪ {−∞ }:
𝑏
𝑑
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎→𝑐+0
𝑐
(2)
𝑎
+∞
В примере § 16 мы фактически вычислили несобственный интеграл ∫0
𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 1.
Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов. Пусть 𝐹(𝑥) -- первообразная
непрерывной функции 𝑓(𝑥) на интервале (c,d). Предположим, что существуют пределы
𝐶 = lim
𝑥→ 𝑐+0
𝐹(𝑥) ;
𝐷 = lim 𝐹(𝑥)
𝑥→ 𝑑−0
𝑑
Тогда несобственный интеграл ∫𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 сходится, причём
𝑑
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐷 − 𝐶
𝑐
(5)
(4)
31
Равенство (5) вытекает из формулы Ньютона-Лейбница для обычных интегралов и соотношений
(4).
Пример. Вычислим
+∞
∫
−∞
𝑑𝑥
=
+1
lim arctg 𝑏 −
𝑥2
lim arctg 𝑐 =
𝑏→ +∞
𝑐→ −∞
𝜋
𝜋
− (− ) = 𝜋
2
2
Предложение об "эталонных" интегралах . Пусть a>0.
+∞ 𝑑𝑥
1. Интеграл ∫𝑎
2. Интеграл
сходится тогда и только тогда, когда p>1.
𝑥𝑝
𝑎 𝑑𝑥
∫0 𝑥 𝑝 сходится
тогда и только тогда, когда p<1.
1
1
Доказательство. 1. Если 𝑝 > 1, то первообразная (1−𝑝)𝑥𝑝−1 подинтегральной функции 𝑥 𝑝 имеет
конечный предел 0 при 𝑥 → +∞ . По формуле Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов,
+∞ 𝑑𝑥
получаем, что интеграл ∫𝑎
𝑥𝑝
1
сходится и равен (𝑝−1)𝑎𝑝−1 .
Если 𝑝 = 1, то первообразной подинтегральной функции служит ln 𝑥 , который не имеет
конечного предела на +∞. Для 𝑝 < 1 то же самое можно сказать о первообразной
𝑥 1−𝑝
.
1−𝑝
Аналогично, прямыми вычислениями доказывает второе утверждение.
Примеры
+∞ 𝑑𝑥
𝑥√𝑥
3
2
сходится, так как здесь 𝑝 = > 1.
1. Интеграл ∫1
1/𝑒 𝑑𝑥
𝑥𝑙𝑛2 𝑥
+∞
2. Докажем, что интегралы ∫0
и ∫𝑒
1/𝑒
1/𝑒
0
0
𝑑𝑥
𝑥 ln2 𝑥
сходятся и вычислим их. Имеем
−1
𝑑𝑥
𝑑 ln 𝑥
𝑑𝑧
1 −1
∫
=
∫
=
∫
=
−
= 1.
|
𝑥𝑙𝑛2 𝑥
ln2 𝑥
𝑧2
𝑧 −∞
+∞
Интеграл ∫𝑒
𝑑𝑥
𝑥 ln2 𝑥
−∞
также сходится, ибо занесение под знак дифференциала
+∞ 𝑑𝑡
замена 𝑡 = ln 𝑥 превращают его в интеграл ∫1
𝑡2
𝑑𝑥
𝑥
= 𝑑(ln 𝑥) и
, который сходится согласно предложению об
эталонных интегралах и равен 1.
𝑒
Интегралы ∫1
𝑑𝑥
𝑥 ln2 𝑥
1
𝑑𝑥
и ∫1/𝑒 𝑥 ln2 𝑥 расходятся, так как такая же замена приводит их к несобственным
1 𝑑𝑡
эталонным интегралам ∫0
17.1 Задачи
1.
+∞ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥
∫0
1+𝑥 2
𝑡2
0 𝑑𝑡
и ∫−1 𝑡 2 , с 𝑝 = 2 < 1.
32
18 Приложение определённого интеграла к вычислению
геометрических величин
18.1 Площадь плоской фигуры
Пусть криволинейная трапеция задана так: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥) с непрерывной функцией
𝑓(𝑥). Тогда площадь S этой криволинейной трапеции равна
𝑏
S = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
Пусть теперь криволинейная трапеция задана так: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, −𝑓(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 0 с непрерывной
функцией 𝑓(𝑥). Тогда площадь S этой криволинейной трапеции равна
𝑏
𝑆 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
Рассмотрим теперь криволинейную трапецию 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥) с непрерывными
функциями f(x) и g(x). Тогда площадь S этой криволинейной трапеции равна
𝑏
𝑆 = ∫𝑎 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
18.2 Полярные координаты
Пусть P -- точка на декартовой плоскости 𝑂𝑥𝑦. Обозначим через r=r(P) расстояние от P до начала
координат и назовём это число полярным радиусом. Через 𝜑 =𝜑 (P) обозначим угол, на который
надо повернуть ось 𝑂𝑥 до совмещения с направлением вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑃; эту величину назовём
полярным углом. Полярный угол не определен для начала координат. Пара (𝑟, 𝜑 ) называется
полярными координатами точки P. Ясно, что
𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 ,
𝑦
𝑦
𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝜑 = arcsin 𝑟 , если 𝑥 ≥ 0 и 𝑟 ≠ 0 𝜑 = 𝜋 – arcsin 𝑟 , если 𝑥 < 0
18.3 Площадь криволинейного сектора
Обозначим через K криволинейный сектор -- фигуру на плоскости, заданную системой
неравенств
 ≤ 𝜑 ≤ ,
0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑓(𝜑 ) (1)
(𝑓(𝜑 ) -- непрерывная функция.) Найдём площадь S(K) этого сектора. Для этого обозначим через
S(τ ) площадь сектора заданного также как и в (1), но с  =τ . Тогда
𝑑𝑆 = 1 / 2 𝑟 2 𝑑𝜏 = 1 / 2 𝑓 2 (𝜏 )𝑑𝜏
Отсюда
33
1 
𝑆 = ∫ 𝑓 2 (𝜑) 𝑑𝜑
2 
18.4 Объём тела
Пусть в пространстве задано тело V и ось Ox; причём тело расположено в полосе a≤ x≤ b.
Предположим, что известна площадь сечения тела плоскостью 𝜋𝑥 перпендикулярной оси Ox и
проходящей через точку x. Обозначим эту площадь S(x). Обозначим через V(x) объем левой части
тела V, отсекаемого плоскостью 𝜋𝑥 . Тогда δV -- объем слоя от x до 𝑥 + 𝛥𝑥. Отсюда 𝑑𝑉 = 𝑆(𝑥)𝑑𝑥.
Значит
𝑏
𝑏
𝑉 = 𝑉(𝑏) − 𝑉(𝑎) = 𝑉(𝑏) = ∫ 𝑑𝑉 = ∫ 𝑆(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
Следствие (принцин Кавальери) Если два тела имеют одинаковые площади сечения на
одинаковой высоте, то объёмы этих тел совпадают.
В частности, если V -- тело вращения, т.е. получено вращением криволинейной трапеции 𝐹: 𝑎 ≤
𝑥 ≤ 𝑏; 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥), то сечение 𝑉 плоскостью, проходящей через x и параллельной
координатной плоскости OYZ есть круг радиуса 𝑓(𝑥). Следовательно, S(x)=π f(x)2 в этом случае и
объём тела вращения
𝑏
𝑉 = 𝜋 ∫𝑎 𝑓(𝑥)2 𝑑𝑥
Определенную выше криволинейную трапецию F можно вращать и относительно оси Oy. При
этом надо наложить дополнительное условие 0≤ a. Обозначим через V(x) объём вращения вокруг
оси Oy части этой трапеции 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑡). Тогда dV можно представлять как
площадь кольца с внутренним радиусом x, толщиной dx и высотой равной f(x). Тем самым 𝑑𝑉 =
2𝜋 𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 ⋅ 𝑓(𝑥) Отсюда получаем, что объём тела вращения вокруг оси Oy равен
𝑏
𝑉 = 2𝜋 ∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
Примеры 1. Объём шара радиус R. Шар представляем как тело вращения полукруга -R≤ x≤ R;
0 ≤ 𝑦 ≤ √𝑅 2 − 𝑥 2 вокруг оси Ox. Тогда
𝑅
𝑅
2
2
𝑉шара = 𝜋 ∫(𝑅 − 𝑥 )𝑑𝑥 = 2𝜋 ∫(𝑅 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 2𝜋 (𝑅 2 ⋅ 𝑅 − 𝑅 3 / 3) = 4𝜋
−𝑅
0
𝑅3
.
3
Пример 2. Объём "обобщенного конуса" с площадью основания S и высоты H. Пусть вершина
конуса имеет координату 0, а основание имеет координату H. Обозначим площадь сечения
плоскостью 𝜋𝑥 через 𝑆(𝑥). Тогда
𝑆(𝑥)
𝑆
𝑥2
= 𝐻2 , откуда 𝑆(𝑥) =
𝐻
𝑉кон = ∫
0
𝑆𝑥 2
.
𝐻2
Следовательно,
𝑆𝑥 2
𝑆𝐻 3 𝑆𝐻
𝑑𝑥
=
=
𝐻2
3𝐻 2
3
3. Объём обобщённого цилиндра с площадью основания S и высоты H. В обозначениях
предыдущего примера имеем S(x)=S. Отсюда
34
𝐻
𝑉цил = ∫ 𝑆 𝑑𝑥 = 𝑆𝐻
0
18.5 Длина дуги
Кривой γ в пространстве называется отображение
𝑥 = 𝑥(𝑡),
𝑦 = 𝑦(𝑡),
𝑧 = 𝑧(𝑡) (1)
𝒓 = 𝒓(𝑡),  ≤ 𝑡 ≤ . Здесь t называется параметром. Точка 𝑃(𝑥( ), 𝑦( ), 𝑧( )) называется
началом кривой γ , а точка 𝑄(𝑥( ), 𝑦( ), 𝑧( )) называется концом. Если P=Q, то кривая γ
называется замкнутой. Кривая γ называется непрерывной, если функции 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)
непрерывны. Кривая называется гладкой, если существуют непрерывные производные
𝑥′(𝑡), 𝑦′(𝑡), 𝑧′(𝑡), причём они не равны 0 одновременно. Кривая γ называется кусочно-гладкой,
если её можно разбить на конечное число гладких кусков.
Примеры. 1. Отрезок прямой
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑝; 𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑞; 𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑟,  ≤ 𝑡 ≤ 
(𝑝2 + 𝑞 2 + 𝑟 2 ≠ 0)
2. Окружность 𝑥 = 𝑅 cos 𝑡 , 𝑦 = 𝑅 sin 𝑡. Считая а) 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 , б) 0 ≤ 𝑡 ≤ 4𝜋 , в) 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋
получим разные кривые.
3. Винтовая линия радиуса R и с шагом H
𝑥 = 𝑅 cos 𝑡 ,
𝑦 = 𝑅 sin 𝑡 ,
𝑧=
𝐻
𝑡
2𝜋
4. Цепная линия - график функции 𝑦 = 𝑐ℎ 𝑥.
5. Периметр квадрата - пример кусочно гладкой, но не гладкой кривой
Длина кривой. Пусть 𝑃1 , 𝑃2 , . . . , 𝑃𝑛 -- точки пространства. Тогда кривую
𝛾 = 𝑃1 𝑃2 + 𝑃2 𝑃3 +. . . +𝑃𝑛−1 𝑃𝑛
(2)
назовём ломаной, а число ℓ (𝛾 ) = |𝑃1 𝑃2 | + |𝑃2 𝑃3 |+. . . +|𝑃𝑛−1 𝑃𝑛 | назовём длиной этой ломаной.
Пусть (1) -- произвольная кривая, и  = 𝑡0 < 𝑡1 <. . . < 𝑡𝑛 =  -- разбиение. Обозначим 𝑃𝑖 =
(𝑥(𝑡𝑖 ), 𝑦(𝑡𝑖 ), 𝑧(𝑡𝑖 )). Тогда ломаную 𝑃1 𝑃2 + 𝑃2 𝑃3 +. . . +𝑃𝑛−1 𝑃𝑛 назовём вписанной в 𝛾. Длиной
кривой 𝛾 называется предел длин вписанных ломаных, если максимум длин звеньев стремиться к
0.
Теорема. Пусть 𝛾 -- кусочно-гладкая кривая. Тогда
𝛽
2
2
2
Длина(𝛾) = ∫ √(𝑥 ′ (𝑡)) + (𝑦 ′ (𝑡)) + (𝑧 ′ (𝑡)) 𝑑𝑡
(3)
𝛼
Доказательство. Обозначим через 𝑙(𝜏 ) -- длину кривой (1) с отрезком изменения параметра от 
до τ. Тогда
𝑑𝑙(𝜏 ) = |𝒓(𝜏 ) − 𝒓(𝜏 + 𝑑𝜏 )| = √𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2 = √(𝑥 ′ )2 + (𝑦 ′ )2 + (𝑧 ′ )2 𝑑𝑡
35
Отсюда следует результат.
Следствие. Если 𝑦 = 𝑓(𝑥) -- дифференцируемая функция с кусочно непрерывной производной на
отрезке [𝑎, 𝑏], то длина дуги графика этой функции на данном отрезке будет равна
𝑏
ℓ = ∫ √1 + (𝑓 ′ (𝑥))2 𝑑𝑥
(4)
𝑎
Примеры. 1. Длина отрезка PQ равна
𝛽
∫ √ 𝑝2 + 𝑞 2 + 𝑟 2 𝑑𝑡 = ( −  )√𝑝2 + 𝑞 2 + 𝑟 2 = |𝑃𝑄|
𝛼
2. Длина окружности
2𝜋
𝑙1 = ∫ √𝑅 2 sin2 𝑡 + 𝑅 2 cos 2 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑅
0
3. Длина одного витка винтовой линии
2𝜋
𝐻 2
𝐻 2
ℓ = ∫ √𝑅 2 + ( ) 𝑑𝑡 = 2𝜋𝑅√1 + (
)
2𝜋
2𝜋𝑅
0
4. Длина цепной линии
𝑏
b
∫ √1 + sh2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ ch 𝑥 𝑑𝑥 = sh 𝑥|𝑏𝑎 = sh 𝑏 − sh 𝑎.
𝑎
a
18.6 Задачи
1. Найти момент инерции цилиндра массой 𝑀 и радиуса 𝑅 относительно его оси.
2. Найти координаты центра тяжести параболического сегмента, ограниченного
линиями у = 4— 𝑥 2 , у = 0.
3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций 𝑦 = sin 𝑥, 𝑦 =
cos 𝑥, 𝑥 = 0
4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной
параболами 𝑦 = 𝑥 2 ; 𝑦 = √𝑥.
5. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной лемнискатой 𝑟 2 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜙
36
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
19 Основные понятия
Ранее неоднократно мы встречались с уравнениями с одним неизвестным; при этом корнем или
решением такого уравнения служило число, при подстановке которого вместо неизвестного,
уравнение превращалось в верное числовое равенство. В этом разделе мы будем решать
уравнения, неизвестным в которых является функция. В разделе «Неопределенный интеграл» мы
фактически занимались решением уравнения
𝑦 ′ = 𝑓(𝑥)
(1)
Требовалось найти такую функцию-первообразную 𝐹(𝑥), производная которой тождественно
равна 𝑓(𝑥). Мы видели, что решений у уравнения (1) бесконечно много, и все они отличаются
друг от друга на константу (теорема о первообразных). Эту множественность решений можно
обозревать и с другой точки зрения. Фиксируем значение первообразной в определенной точке:
𝐹(𝑥нач ) = 𝑦нач .
(2)
Считаем 𝑥нач , 𝑦нач начальными условиями. Тогда для непрерывной функции 𝑓(𝑥), заданной на
интервале (𝑎, 𝑏) и начальных условий 𝑥нач , 𝑦нач c условием 𝑥нач ∈ (𝑎, 𝑏) существует и единственно
решение 𝑦 = 𝐹(𝑥) уравнения (1), удовлетворяющее соотношению (2). Более того, ответ задается
формулой
𝑥
𝐹(𝑥) = 𝑦нач + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
(3)
𝑥нач
Сформулирована теорема существования и единственности для дифференциального уравнения
самого простого вида. Рассмотрим теперь уравнение вида
𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)
(4)
Его полное название – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в
нормальной форме. Обыкновенное, так как неизвестная функция 𝑦(𝑥) зависит лишь от одной
переменной, в отличии, например, от уравнения Лапласа
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
𝜕2 𝑢
+ 𝜕𝑦2 = 0. Первого порядка – так
как старшая производная, входящая в уравнение (4) имеет первый порядок. Нормальная форма
записи дифференциального уравнения означает, что старшая производная выражена через
младшие производные, а также саму неизвестную функцию, а также переменную. Таким образом,
𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ ) (5)
есть дифференциальное уравнение второго порядка в нормальной форме, а
𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛−1) )
(6)
есть общий вид дифференциального уравнения n-го порядка в нормальной форме. Решение
уравнений вида (4), (5), (6) составляет основную задачу данного раздела. При этом функция 𝐹(𝑥)
называется (частным) решением уравнения (4) или (6), если при подстановки вместо 𝑦 в это
уравнение получаем тождество.
37
2
3
Пример. Функция 𝐹(𝑥) = 0 также как и функция 𝐹(𝑥) = √|𝑥 3 | будут решениями
дифференциального уравнения 𝑦 ′ = 3√𝑦 c одним и тем же начальным условием 𝐹(0) = 0
Задача решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями (например,
найти решение 𝑦 = 𝐹(𝑥) уравнения (4) c условием (2)) называется задачей Коши. Начальные
(𝑛−1)
′
условия для уравнения (6) задаются рядом чисел 𝑥нач , 𝑦нач , 𝑦нач
, … , 𝑦нач
и выглядят так
(𝑛−1)
′
𝐹(𝑥нач ) = 𝑦нач , 𝐹 ′ (𝑥нач ) = 𝑦нач
, … , 𝐹 (𝑛−1) (𝑥нач ) = 𝑦нач
(7)
Теорема существования и единственности. Если в дифференциальном уравнении первого
порядка(4) функция 𝑓(𝑥, 𝑦) вместе со своей частной производной 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) непрерывны в области,
содержащей (𝑥нач , 𝑦нач ) как свою внутреннюю точку, то найдется интервал (𝑥нач − 𝛿, 𝑥нач + 𝛿) для
которого, существует и единственно решение
𝑦: (𝑥нач − 𝛿, 𝑥нач + 𝛿) → ℝ задачи Коши.
Общая теорема для уравнения n-го порядка (6)
гласит, что если функция 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 (𝑛−1) )
вместе со всеми своими частными
производными по второй, третьей и т.д. по n-ой
переменной непрерывны в пространственной
области 𝐷 ⊆ ℝ𝑛+1, содержащей точку
D
𝑦нач
𝑥нач
(𝑛−1)
′
(𝑥нач , 𝑦нач , 𝑦нач
, … , 𝑦нач ), то локальное
решение задачи Коши существует и
единственно.
Рис. 1. Существование и единственность
интегральной кривой
В примере выше нарушена единственность
решения задачи Коши, так как производная
( 3√𝑦)
𝑦
′
=
1
3
3 √𝑦 2
не будет непрерывной в начале
координат.
20 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
20.1 Уравнение размножения и гибели.
Биологический закон: при благоприятных условиях скорость размножения бактерий (или других
микроорганизмов) пропорциональна их количеству N(t). Это приводит к дифференциальному
уравнению:
𝑑𝑁
=𝑘⋅𝑁
𝑑𝑡
(1)
Легко проверить, что при любом значении постоянной C функция 𝑁(𝑡) = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 будет решением
этого уравнения. Подставляя в это соотношение 𝑡 = 0, находим, что 𝐶 = 𝑁(0).
Предположим, что в начальный момент времени 𝑡0 = 0 (минут) имелось 𝑁0 = 100 бактерий.
Допустим также, что из экспериментов мы нашли, что k=0,1. Сколько будет бактерий через час?
38
𝑁(60) = 100𝑒 0.1⋅60 ≈ 38742,5(шт)
Приведем ещё три примера, приводящие к дифференциальному уравнению такого же типа:
а) Пусть M(t) -- масса радиоактивного вещества в момент времени t. Из физики известно, что
скорость его убывания пропорциональна наличному количеству. Получаем:
𝑑𝑀
𝑑𝑡
= −𝑘𝑀.
Следовательно, 𝑀(𝑡) = 𝑀(0)𝑒 −𝑘𝑡 . Периодом полураспада называют время 𝑇 по происшествию
которого масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Найдем период полураспада из
соотношения 𝑀(𝑇) = 𝑀(0)/2. Получим 𝑇 =
ln 2
.
𝑘
б) Скорость изменения температуры тела пропорциональна разности температур тела и
окружающей среды. Считая, что температура окружающей среды постоянна и равна 𝑇1 , а
температура тела в момент t равна T(t), получаем дифф. уравнение
𝑑𝑇
= −𝛾(𝑇 − 𝑇1 ),
𝑑𝑡
(2)
где γ >0 -- коэффициент пропорциональности. Заменяя 𝑧(𝑡) = 𝑇(𝑡) − 𝑇1 сводим последнее
дифференциальное уравнение к виду 𝑧 ′ = −𝛾𝑧 решение которого мы уже знаем: 𝑧(𝑡) = 𝑧(0)𝑒 −𝛾𝑡 .
Отсюда получаем зависимость температуры от времени
𝑇(𝑡) = 𝑇1 + (𝑇(0) − 𝑇1 )𝑒 −𝛾𝑡
(3)
Графики функций (2) при различных значениях 𝑇(0) называются интегральными кривыми.
Вид их указан на рис. 2
Дифференциальное уравнение вида
𝑑𝑦
=𝜆⋅𝑦
𝑑𝑥
T1
(4)
называется уравнением размножения и
гибели. Мы доказали, что все решения
уравнения (4) исчерпываются функциями
вида 𝑦 = 𝐶𝑒 𝜆𝑥 .
Задача. Браконьер убил кабана.
Обходчик, обнаруживший труп кабана,
измерил его температуру – она оказалась
Рис. 2 Интегральные кривые д. уравнения (2)
31o. Через час обходчик снова измерил
температуру. Она оказалась 29o. Предполагая, что температура воздуха не изменялась и была
равной 21o, найти за сколько времени до момента первого измерения температуры было
совершено преступление.
Замечание. Температуру живого кабана принять равной 37o.
Решение. Считаем, что скорость охлаждения тела в среде пропорциональна разности между
температурой тела и температурой среды. Обозначая через 𝑥(𝑡) - температуру кабана в момент
39
𝑑𝑥
времени t, получаем дифференциальное уравнение 𝑑𝑡 = −𝑘(𝑥 − 𝑎) (*), где a - температура
воздуха. Время измеряется в часах и начальные условия таковы: x(0)=31; x(1)=29. Как мы знаем,
общее решение уравнения (*) таково: ln(x-a)=-kt+C. Подставляя значения t=0,1 получаем систему
для определения C и k:
ln(31 − 21) = 𝐶 и ln(29 − 21) = −𝑘 + 𝐶
Отсюда k=0,22314 и t=-1/k ln{x-21/31-21}. Подставляя сюда x=37, находим время t≈ -2,10630.
Ответ: Преступление совершено за 2 часа 6 мин до момента первого обхода
20.2 Уравнение движения точки на оси
Пусть материальная точка массой m движется вдоль оси Ox, занимая в момент времени t,
положение 𝑥(𝑡), имея мгновенную скорость 𝑣(𝑡) и ускорение 𝑤(𝑡). Согласно второму закону
Ньютона произведение 𝑚𝑤 равно сумме действующих сил на точку. Это представляет из себя
дифференциальное уравнение второго порядка:
𝑚⋅𝑤 =𝐹⇔𝑚
𝑑2 𝑥
= 𝐹(𝑡, 𝑥, 𝑥 ′ )
𝑑𝑡 2
(5)
Считаем, что нам известны положение 𝑥0 и скорость 𝑣0 в начальный момент времени 𝑡0 = 0.
Рассмотрим частные случаи.
А. Свободное движение. Это случай F=0. Тогда 𝑥(𝑡) = 𝑣0 𝑡 + 𝑥0 -- равномерное движение.
Б. Равноускоренное движение. Это случай, когда F=a -- константа. Тогда 𝑥(𝑡) =
𝑎𝑡 2
2
+ 𝑣0 𝑡 + 𝑥0 .
В. Уравнение колебаний. Пусть на точку действует только сила упругости пружины, которая по
закону Гука равна 𝐹 = −𝑘𝑥, где k>0 -- коэффициент жесткости пружины. Получаем уравнение
свободных колебаний
𝑚𝑥 ′′ = −𝑘𝑥 ⇔ 𝑥 ′′ + 𝜔2 𝑥 = 0, где 𝜔 = √𝑘/𝑚
(6)
Можно проверить, что 𝐶1 cos 𝜔𝑡 + 𝐶2 sin 𝜔𝑡 = 𝐴 ⋅ sin(𝜔𝑡 + 𝜑) есть целое семейство решений
этого уравнения. Более того, если задано положение точки 𝑥0 и скорость 𝑣0 = 𝑥 ′ (𝑡0 ) в начальный
момент времени 𝑡0 , то положение ее в любой момент времени строго определено. Это значит,
что найдутся единственные константы 𝐶10 , 𝐶20 такие, что
𝐶10 cos 𝜔𝑡0 + 𝐶20 sin 𝜔𝑡0 = 𝑥0 ; −𝐶10 𝜔 sin 𝜔𝑡0 + 𝐶20 𝜔 cos 𝜔𝑡0 = 𝑣0
Если на материальную точку кроме упругой силы действует и сила сопротивления вязкой среды,
𝐹𝑐 , причем она пропорциональна скорости и направлена в противоположную к скорости сторону:
𝐹𝑐 = −𝜆 𝑣 (λ >0 – коэффициент вязкости), то получаем уравнение колебаний с учетом
сопротивления:
𝑚 ⋅ 𝑥 ′′ = −𝑘𝑥 − 𝜆𝑥 ′ или 𝑥 ′′ +
𝑘 ′ 𝜆
𝑥 + 𝑥=0
𝑚
𝑚
Если на материальную точку кроме силы упругости и силы сопротивления действует еще и
вынуждающая сила 𝐹в (𝑡), зависящая от времени, то получаем уравнение вынужденных
колебаний :
40
𝑚𝑥 ′′ + 𝜆𝑥 ′ + 𝑘𝑥 = 𝐹в (𝑡)
(7)
Уравнение колебаний мы решим в параграфе 15.
20.3 Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения
первого порядка
Дано дифференциальное уравнение первого порядка
𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦).
(1)
Пусть D - область определения функции 𝑓(𝑥, 𝑦). В каждой точке (x,y)∈ D нарисуем отрезок с
коэффициентом наклона равным 𝑓(𝑥, 𝑦). Получим поле направлений на области D. Кривая γ
будет интегральной кривой, т.е. графиком решения уравнения (1) тогда и только тогда, когда в
любой точке P∈ γ она касается соответствующего направления. Тем самым поле направлений
помогает качественно оценить вид решений, не решая дифференциального уравнения.
Пример. Рассмотрим уравнение 𝑦 ′ = 𝑦 2 + 𝑥 2 (не решаемое в квадратурах). Нарисуем поле
направлений.
интегральная кривая
Геометрическую интерпретацию можно применить для приближенного решения дифф.
уравнения.
21 Методы решения некоторых дифференциальных уравнений
первого порядка
Определение. Общим решением дифференциального уравнения 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) (*) в области 𝐷 ∈
ℝ2 называется такая функция y=𝜑 (x,C), что
1) для любого значения константы C, 𝜑(𝑥, 𝐶) -- решение дифференциального уравнения (*);
2) для любых начальных условий (𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝐷 найдется константа 𝐶0 такая, что 𝜑(𝑥0 , 𝐶0 ) = 𝑦0 .
Например, 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑥 -- общее решение дифференциального уравнения y'=y на всей декартовой
плоскости, а 𝑦 = 𝑒 𝑥 -- частное решение, или решение задачи Коши с начальным условием 𝑥нач =
0, 𝑦нач = 1.
21.1 Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦)
(1)
41
называется уравнением с разделяющимися переменными. Метод решения этого уравнения
следующий:
а) разделяем переменные и получаем уравнение в дифференциалах :
𝑑𝑦
𝑔(𝑦)
= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥;
𝑑𝑦
б) интегрируем уравнение в дифференциалах  𝑔(𝑦) =  𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (константу C записываем лишь
одну) -- получаем общее решение в неявном виде;
в) выражаем y через x и C -- получаем общее решение в явном виде.
Заметим, что такой же метод решения применим и дифференциальному уравнению в
дифференциалах, имеющему вид
𝐴(𝑥)𝐵(𝑦)𝑑𝑥 + 𝐷(𝑥)𝑀(𝑦)𝑑𝑦 = 0
Пример. Решим дифференциальное уравнение, описывающее протекание химической взрывной
реакции -- 𝑥 ′ = 𝑘𝑥(𝑡)2 . Здесь x(t) -- количество вещества, -- продуктов взрыва в момент времени
t, а k>0 -- коэффициент пропорциональности. Методом, изложенном выше, разделяем
переменные
𝑑𝑥
𝑥2
1
𝑥
= 𝑘𝑑𝑡, интегрируем -- − = 𝑘𝑡 − 𝐶 и находим общее решение 𝑥 =
𝑥(0) = 𝑥0 > 0, то 𝑥(𝑡) =
𝑥0
1−𝑘𝑥0 𝑡
1
𝐶−𝑘𝑡
. Если
и количество вещества становиться бесконечным за конечное
время 1/𝑘𝑥0 .
21.2 Однородные уравнения
Так называются уравнения вида
𝑦
𝑦′ = 𝑓 ( )
𝑥
(2)
𝑦
Метод решения: а) переходим к новой неизвестной функции 𝑢 = 𝑥 . Тогда 𝑦 = 𝑢𝑥, 𝑦′ = 𝑢 + 𝑢′𝑥 и
уравнение (2) переписывается так: 𝑢′𝑥 + 𝑢 = 𝑓(𝑢) (*). А это уравнение с разделяющимися
переменными.
б) Решаем вспомогательное уравнение (*). Пусть 𝑢 = 𝜑(𝑥, 𝐶) есть его общее решение.
в) Тогда 𝑦 = 𝑥𝜑(𝑥, 𝐶) -- общее решение исходного уравнения.
Пример (форма прожектора). Найдем форму прожектора. Нам нужно решить
дифференциальное уравнение
𝑦 ′ = √1 +
𝑦2 𝑦
+
(3)
𝑥2 𝑥
Заменяя 𝑢 = 𝑦/𝑥, получим 𝑢 + 𝑥𝑢′ = √1 + 𝑢2 + 𝑢, откуда
𝑑𝑢
√1+𝑢2
=
𝑑𝑥
.
𝑥
Интегрируя, получаем 𝑢 +
√1 + 𝑢2 = 𝐶𝑥. Перенося u в право, и возводя в квадрат, имеем:
1 + 𝑢2 = 𝑢2 − 2𝐶𝑥𝑢 + 𝐶 2 𝑥 2 , откуда 1 = −2𝐶𝑦 + 𝐶 2 𝑥 2 и 𝑦 =
-- семейство парабол с фокусом в начале координат.
𝐶𝑥 2
1
−
2
2𝐶
42
21.3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Так называются уравнения вида
𝑦′ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
(4)
Если P(x), Q(x) непрерывны, то условия теоремы существования и единственности выполнены.
Метод решения
а) Решаем сначала уравнение 𝑦′ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 0 без правой части как уравнение с разделяющимися
переменными. Получаем общее решение в виде y(x)=C u(x), где 𝑢(𝑥) -- одна из первообразных
функции – 𝑃(𝑥).
б) Общее решение уравнения (4) ищем в виде y=C(x)u(x), где C(x) -- функция, подлежащая
определению. Такой приём называется методом вариации постоянных.
в) Подставляя 𝐶(𝑥)𝑢(𝑥) в (4), имеем:
𝐶′(𝑥)𝑢(𝑥) + 𝐶(𝑥)𝑢′(𝑥) + 𝑃(𝑥)𝐶(𝑥)𝑢(𝑥) = 𝑄(𝑥)
𝑄(𝑥)
Второе и третье слагаемые в левой части дают 0, ибо 𝑢′ + 𝑃(𝑥)𝑢 = 0. Отсюда 𝐶 ′ (𝑥) = 𝑢(𝑥)
г) Решая это уравнение, т.е. интегрируя, находим
𝐶(𝑥) = ∫
𝑄(𝑥)
𝑑𝑥
𝑢(𝑥)
д) Подставляя это в 𝑦 = 𝐶(𝑥)𝑢(𝑥), получаем общее решение исходного уравнения.
Пример. Сила тока 𝑗(𝑡) в электрической цепи с омическим сопротивлением R и коэффициентом
самоиндукции L удовлетворяет дифф. уравнению
𝐿
𝑑𝑗
+ 𝑅𝑗 = 𝐸,
𝑑𝑡
(5)
где E -- электродвижущая сила. Найдём зависимость j(t) при условии, что 𝐸 = 𝐸0 sin 𝜔 𝑡. Полагая
сначала E=0 находим 𝑗(𝑡) = 𝐶𝑒 −𝛼𝑡 , где 𝛼 = 𝑅/𝐿. Тогда решение исходного уравнения ищем в
виде 𝐶(𝑡)𝑒 −𝛼𝑡 . Функцию C(t) находим из уравнения 𝐶 ′ (𝑡) =
𝑒 𝛼 𝑡 sin 𝜔 𝑡 равен 𝑒 𝛼𝑡
(𝛼 sin 𝜔𝑡−𝜔 cos 𝜔𝑡 )
𝛼 2 +𝜔2
𝐸0
𝐿
⋅ 𝑒 𝛼 𝑡 sin 𝜔 𝑡. Интеграл функции
(см. глава «Определенный интеграл», последний
параграф). Отсюда
𝑗(𝑡) =
𝐸0 𝛼 sin 𝜔𝑡 − 𝜔 cos 𝜔𝑡
⋅
+ 𝐶𝑒 −𝛼𝑡
𝐿
𝜔2 + 𝛼2
(6)
В частности, в установившемся режиме (время t велико) амплитуда колебаний будет равна
𝐸0
𝛼2
𝜔2
√
+
=
𝐿 𝜔2 + 𝛼2 𝜔2 + 𝛼2
𝐸0
𝐿√𝜔 2 +
𝑅2
𝐿2
=
𝐸0
√𝐿2 𝜔 2 + 𝑅 2
43
При 𝐿 = 0 надо вместо уравнения (5) решать уравнение 𝑅𝑗 = 𝐸 ( закон Ома). Получаем 𝑗(𝑡) =
𝐸0
sin 𝜔𝑡
𝑅
21.4 Уравнение в полных дифференциалах
Дифференциальное уравнение вида
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
(1)
называется уравнением в дифференциалах. Заметим, что (1) действительно дифференциальное
уравнение первого порядка, ибо оно может быть переписано для области D, в которой N(x,y)≠ 0
как
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑀
𝑁
= − . Наоборот, любое дифференциальное уравнение первого порядка может быть
записано в дифференциалах.
Уравнение (1) назовём уравнением в полных дифференциалах, если в рассматриваемой области
существует функция 𝑢(𝑥, 𝑦), называемая потенциалом, дифференциал которой равен левой части
уравнения, т.е. 𝑑𝑢 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦.
Уравнение в полных дифференциалах может быть переписано в виде du(x,y)=0 общим решением
которого являются эквипотенциальные кривые, задаваемые соотношением u(x,y)=C. Докажем
это. Пусть 𝑦(𝑥) -- неявно заданная уравнением 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐶 функция. Тогда 𝑢(𝑥, 𝑦(𝑥)) = 𝐶.
Вычисляя дифференциал левой и правой части, получим:
𝜕𝑢
𝑑𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝑑𝑦
𝜕𝑦
= 0, следовательно 𝑀𝑑𝑥 +
𝑁𝑑𝑦 = 0.
С другой стороны, пусть (𝑥0 , 𝑦0 ) -- начальные условия. Тогда возьмем константу 𝐶0 = 𝑢(𝑥0 , 𝑦0 ) и
определим функцию 𝑦(𝑥) как неявно заданную уравнением 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐶0 . Получим решение
задачи Коши с заданными начальными условиями. Доказано, что 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐶 – общее решение.
Теорема. Пусть 𝑁, 𝑀, 𝑁𝑥′ , 𝑀𝑦′ непрерывны в некоторой односвязной области D. Тогда (1) будет
уравнением в полных дифференциалах в том и только том случае, когда в этой области
выполнено условие
𝜕𝑀 𝜕𝑁
=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
(2)
Доказательство части "и только том случае" следует из теоремы о смешанных производных:
𝜕𝑀
𝜕2𝑢
𝜕2𝑢
𝜕𝑁
=
=
=
.
𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥
Пусть верно (2). Ищем функцию 𝑢(𝑥, 𝑦) из условия
𝑢𝑥′ = 𝑀; 𝑢𝑦′ = 𝑁
(3).
Выберем начальную точку (𝑥н , 𝑦н ) ∈ 𝐷. Из первого уравнения системы (3), интегрируя на отрезке
𝑥
[𝑥н , 𝑥], находим: 𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫𝑥 𝑀 𝑑𝑥 + 𝜑 (𝑦). Тогда
н
𝑥
𝑥
𝑢𝑦′ = ∫ 𝑀𝑦′ 𝑑𝑥 + 𝜙 ′(𝑦) = ∫ 𝑁𝑥′ 𝑑𝑥 + 𝜙 ′(𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) − 𝑁(𝑥н , 𝑦) + 𝜑 ′(𝑦)
𝑥н
𝑥н
44
Следовательно, второе уравнение системы (3) получает вид 𝜑 ′(𝑦) = 𝑁(𝑥н , 𝑦), откуда находим
𝑦
𝜑(𝑦) = ∫𝑦 𝑁(𝑥н , 𝑦)𝑑𝑦. Окончательно получаем формулу вычисления потенциала
н
𝑦
𝑥
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ∫ 𝑁(𝑥н , 𝑦)𝑑𝑦
𝑥н
(4)
𝑦н
Пример. Найдем общий интеграл уравнения (𝑥 + 𝑦 − 1)𝑑𝑥 + (𝑒 𝑦 + 𝑥)𝑑𝑦 = 0. Во-первых
проверим, что это уравнение в полных дифференциалах
𝜕(𝑥 + 𝑦 − 1)
𝜕(𝑒 𝑦 + 𝑥)
=1=
𝜕𝑦
𝜕𝑥
Возьмём 𝑥н = 0, 𝑦н = 0. Тогда
𝑦
𝑥
𝑢(𝑥, 𝑦) = ∫(𝑥 + 𝑦 − 1)𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 =
0
Откуда
𝑥2
2
0
𝑥2
+ 𝑦𝑥 − 𝑥 + 𝑒 𝑦 − 1
2
+ 𝑦𝑥 − 𝑥 + 𝑒 𝑦 = 𝐶 -- общее решение в неявном виде.
22 Линейные уравнения.
Задача Коши для уравнения n-го порядка. Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го
порядка в нормальной форме
𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , . . . , 𝑦 (𝑛−1) )
(1)
(𝑛−1)
Начальным условием для уравнения (1) называется строка чисел (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑦0′ , . . . , 𝑦0
).
Теорема существования и единственности. Пусть функция 𝑓 вместе со своими частными
производными по всем переменным, кроме быть может первой, непрерывны в некоторой
(𝑛−1)
области D пространства ℝ𝑛+1 , содержащей точку (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑦0′ , . . . , 𝑦0
) . Тогда существует
решение 𝑦 = 𝜑 (𝑥) уравнения (1) такое, что
(𝑛−1)
𝜑 (𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝜑 ′(𝑥0 ) = 𝑦0′ , . . . , 𝜑(𝑛−1) (𝑥0 ) = 𝑦0
(2)
Задача Коши для уравнения (1) как раз и состоит в том, что бы найти решение, удовлетворяющее
заданным начальным условиям, т.е. для которого верно (2).
Дифференциальное уравнение вида
𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) +. . . +𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥)
(3)
называют линейным неоднородным уравнением или линейным уравнением с правой частью.
Если правая часть равна нулю, т.е. если уравнение имеет вид
𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) +. . . +𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 0,
(4)
45
то его называют линейным однородным уравнением. Заметим, что для существования и
единственности решения задачи Коши достаточно потребовать непрерывности функций
𝑎0 (𝑥), 𝑎1 (𝑥), . . . , 𝑎𝑛−1 (𝑥), 𝑏(𝑥). Непрерывность этих функций в дальнейшем предполагается и
особо не оговаривается.
В частности дифференциальные линейные уравнения (неоднородное и однородное) второго
порядка имеют вид:
𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥);
𝑦 ′′ + 𝑝(𝑥)𝑦 ′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0
(5)
(6)
Теорема 1. Сумма двух решений уравнения (6) снова будет решением, и произведение решения
на число также будет решением.
Доказательство. Пусть 𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥) -- решения уравнения (6), а 𝜆 -- число. Тогда
′′
′
(𝑦1 (𝑥) + 𝑦2 (𝑥)) + 𝑝(𝑦1 (𝑥) + 𝑦2 (𝑥)) + 𝑞(𝑦1 (𝑥) + 𝑦2 (𝑥))
= [𝑦1′′ (𝑥) + 𝑝𝑦1′ (𝑥) + 𝑞𝑦1 (𝑥)] + [𝑦2′′ (𝑥) + 𝑝𝑦2′ (𝑥) + 𝑞𝑦2 (𝑥)] = 0 + 0 = 0;
(𝜆𝑦1′′ )(𝑥) + 𝑝(𝜆𝑦1′ )(𝑥) + 𝑞(𝜆𝑦1 )(𝑥) = 𝜆 ⋅ 0 = 0
откуда следует, что 𝑦1 (𝑥) + 𝑦2 (𝑥), 𝜆 ⋅ 𝑦1 (𝑥) суть также решения уравнения (6) □
Теорема 2. Пусть 𝜑 (𝑥, 𝐶1 , 𝐶2 , . . . , 𝐶𝑛 ) -- общее решение однородного уравнения (6), а 𝑦ч (𝑥) -частное решение неоднородного уравнения (5). Тогда 𝑦ч (𝑥) + 𝜑 (𝑥, 𝐶1 , . . . , 𝐶𝑛 ) есть общее
решение неоднородного уравнения (5).
Доказательство. Если 𝑦1 (𝑥) есть частное решение однородного уравнения (6), то
ℒ(𝑦ч (𝑥) + 𝑦1 (𝑥)) = ℒ(𝑦ч (𝑥)) + ℒ(𝑦1 (𝑥)) = 𝑏(𝑥) + 0 = 𝑏(𝑥).
Это доказывает, что 𝑦ч (𝑥) + 𝑦1 (𝑥) есть частное решение неоднородного уравнения (5). Наоборот,
предположим, что 𝑔(𝑥) есть частное решение неоднородного уравнения (5). Тогда, полагая
𝑦1 (𝑥) ≔ 𝑔(𝑥) − 𝑦ч (𝑥), получим
ℒ(𝑦1 (𝑥)) = ℒ(𝑔(𝑥)) − ℒ(𝑦ч (𝑥)) = 𝑏(𝑥) − 𝑏(𝑥) = 0,
т.е. 𝑦1 (𝑥) – решение однородного уравнения (6), причем 𝑔(𝑥) = 𝑦ч (𝑥) + 𝑦1 (𝑥). □
Пример. Рассмотрим уравнение 𝑦 ′′ −
𝑦′
𝑥
= 𝑥 и сопоставим ему однородное уравнение 𝑦 ′′ −
𝑦′
𝑥
=
𝑚
0. Будем искать решения этого однородного уравнения в виде степенной функции 𝑦 = 𝑥 .
Подставляя, получим
𝑚(𝑚 − 1)𝑥
𝑚−2
𝑚𝑥 𝑚−1
−
= 0 ⇒ 𝑚(𝑚 − 1) − 𝑚 = 0 ⇒ 𝑚2 − 2𝑚 = 0 ⇒ 𝑚1 = 0, 𝑚2 = 2
𝑥
Итак, мы нашли два решения 1 и 𝑥 2 уравнения 𝑦 ′′ −
𝑦′
𝑥
= 0. По теореме 1 получаем, что
пространство решений этого уравнения включает в себя все функции вида 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 2 . Более того,
эта комбинация будет общим решением однородного уравнения 𝑦 ′′ −
𝑦′
𝑥
= 0. Действительно,
какие бы допустимые начальные условия 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑦0 ′ мы ни взяли, всегда можно найти константы
𝐶1 и 𝐶2 такие, что
46
𝐶1 + 𝐶2 𝑥02 = 𝑦0 ; 𝐶1 ⋅ 1′ + 𝐶2 (𝑥 2 )′ /𝑥=𝑥0 = 𝑦0′ .
Частное решение неоднородного уравнения 𝑦 ′′ −
𝑦′
𝑥
= 𝑥 будем искать также в виде степенной
функции 𝑎𝑥 𝑚 . Подставляя, получим
𝑎 ⋅ 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 − 𝑎
𝑚𝑥 𝑚−1
= 𝑥 ⇒ 𝑎[ 𝑚(𝑚 − 1) − 𝑚]𝑥 𝑚−2 = 𝑥 ⇒ 𝑚 − 2 = 1 и 𝑎[𝑚2 − 2𝑚] = 1
𝑥
Это дает единственное решение
𝑥3
.
3
Применяя теорему 2, получаем, что
𝑥3
+ 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 2
3
есть общее решение заданного уравнения. Предположим, что нам дополнительно известны
начальные условия 𝑥0 = 1; 𝑦0 = 1; 𝑦0′ = 5/3. Тогда, составляя систему уравнений
13
3𝑥 2
5
+ 𝐶1 + 𝐶2 ⋅ 12 = 1; (
+ 0 + 𝐶2 ⋅ 2𝑥)
=
3
3
3
𝑥=1
и решая ее, получим 𝐶1 = 𝐶2 = 1/3, откуда следует, что функция
Коши уравнения 𝑦 ′′ −
𝑦′
𝑥
1+𝑥 2 +𝑥 3
3
есть решение задачи
= 𝑥 c начальными условиями 𝑥0 = 1; 𝑦0 = 1; 𝑦0′ = 5/3.
для двух функций, которую можно использовать для понижения порядка однородного
дифференциального уравнения, у которого известно одно решение.
Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного
дифференциального уравнения. Пусть 𝑦1 , 𝑦2 —не пропорциональные решения. однородного
линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Тогда 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 есть общее решение
этого уравнения.
Доказательство.
23 Линейные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
23.1 Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
Решим дифференциальное линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами:
𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 0
(1)
(Здесь p и q – числа). Ищем решение в виде 𝑒 𝑘𝑥 . Эта функция будет решением (1) тогда и только
тогда, когда 𝑘 – корень уравнения
𝑘 2 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = 0
Уравнение (2) называется характеристическим.
(2)
47
Действительно, подставляя в (1) вместо 𝑦 функцию 𝑒 𝑘𝑥 , получаем 𝑒 𝑘𝑥 (𝑘 2 + 𝑝𝑘 + 𝑞) = 0. Так как
экспонента никогда не равна 0, то на нее можно сократить, и мы приходим к квадратному
уравнению (2).
Случай 1. 𝐷 = 𝑝2 − 4𝑞 > 0.
Тогда уравнение (2) имеет два различных действительных корня 𝑘1 , 𝑘2 и 𝑒 𝑘1 𝑥 , 𝑒 𝑘2 𝑥 будет Ф.С.Р.
уравнения (1). Тем самым 𝐶1 𝑒 𝑘1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑘2 𝑥 -- общее решение дифференциального уравнения (1).
Случай 2. D=0.
Тогда характеристическое уравнение (2) имеет один корень 𝑘1 и при этом 2𝑘1 + 𝑝 = 0 .
Подставляя в (1) функцию 𝑥𝑒 𝑘1 𝑥 , что
′′
′
(𝑥𝑒 𝑘1 𝑥 ) + 𝑝(𝑥𝑒 𝑘1 𝑥 ) + 𝑞𝑥𝑒 𝑘1 𝑥 = 0
и тем самым 𝑥𝑒 𝑘1 𝑥 также будет решением, не пропорциональным решению 𝑒 𝑘1 𝑥 ,
Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид
𝑒 𝑘1 𝑥 (𝐶1 + 𝐶2 𝑥)
Случай 3. D<0. Тогда характеристическое уравнение (2) имеет два комплексно сопряженных
решения 𝑘1,2 = 𝑎 ± 𝑏√−1 (𝑏 ≠ 0). Можно проверить, что 𝑒 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 ; 𝑒 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 -- два
непропорциональных решения уравнения(1). Отсюда 𝑒 𝑎𝑥 (𝐶1 cos 𝑏𝑥 + 𝐶2 sin 𝑏𝑥) -- общее решение.
Пример. Уравнение 𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ + 13𝑦 = 0 имеет характеристическое уравнение вида 𝑘 2 + 6𝑘 +
13 = 0, у которого есть пара комплексно сопряженных корней −3 ± 2√−1. Следовательно,
общее решение заданного дифференциального уравнения будет 𝑒 −3𝑥 (𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sin 2𝑥)
23.2 Неоднородные линейные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами
Решаем уравнение
𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥),
(3)
где правая часть 𝑓(𝑥) имеет специальный вид, а 𝑝 и 𝑞 по-прежнему суть числа. Мы применяем
теорему, согласно которой общее решение уравнения (3) есть сумма общего решения
однородного уравнения (1) и частного решения (обозначим его 𝑦 ∗ (𝑥)) уравнения (3). Так как
общее решение однородного уравнения мы научились находить (случаи 1,2,3 выше), то осталось
выяснить в каком виде и как находится какое-либо частное решение неоднородного уравнения
(3).
Предположим, что 𝑓(𝑥) есть функция вида 𝑒 𝛼𝑥 𝑃𝑛 (𝑥)
(здесь 𝑃𝑛 (𝑥) – многочлен степени n).
Случай а) Число 𝛼 не является корнем характеристического уравнения (2).
Тогда частное решение можно найти в виде 𝑦 ∗ = 𝑄𝑛 (𝑥)𝑒 𝛼𝑥 , где 𝑄𝑛 (𝑥) -- многочлен степени n.
Случай б). Число 𝛼 совпадает ровно с одним корнем характеристического уравнения (2).
48
Тогда частное решение можно найти в виде 𝑦 ∗ = 𝑥𝑄𝑛 (𝑥)𝑒 𝛼𝑥 , где 𝑄𝑛 (𝑥) -- многочлен степени n.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, после подставновки 𝑦 ∗ в уравнение (3),
находим коэффициенты многочлена 𝑄𝑛 .
Случай в). Число 𝛼 -- двукратный корень характеристического уравнения.
Тогда частное решение можно найти в виде 𝑦 ∗ = 𝑥 2 𝑄𝑛 (𝑥)𝑒 𝛼𝑥 , где 𝑄𝑛 (𝑥) -- многочлен степени n,
Подведем итог и сформулируем вид частного решения, применимый сразу для всех трех случаев
а), б), в). Для этого определим число 𝑠 – кратность показателя 𝛼 в характеристическом уравнении
– число корней (2), с которыми совпадает 𝛼. По другому, это наибольшее неотрицательное целое
число, такое, что (𝑥 − 𝛼)𝑠 делит 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 . Возможные значения суть 0, 1 или 2. Существует и
третий способ определения 𝑠 -- это наименьший порядок производной квадратного трехчлена
𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞, для которой 𝑠 не является корнем.
Примеры. Для уравнения 𝑦′′ + 4𝑦′ + 3𝑦 = 𝑥 корни характеристического уравнения 𝑘 2 + 4𝑥 + 3 =
0 суть числа −1 и −3 общее решение однородного есть 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑒 −3𝑥 . Показатель 𝛼 равен 0,
ибо 𝑥 = 𝑒 0𝑥 𝑥. Кратность 𝑠 = 0, ибо 0 не совпадает ни с -1 ни с -3. Частное решение ищем в виде
𝑦 ∗ = 𝐴𝑥 + 𝐵. Подставляя это в исходное уравнение, находим 4𝐴 + 3(𝐴𝑥 + 𝐵) = 𝑥, откуда 𝐴 =
1
,𝐵
3
4
1
4
= − 9. Итак 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑒 −3𝑥 + 3 𝑥 − 9
-- общее решение.
Уравнение 𝑦′′ − 7𝑦′ + 6𝑦 = (𝑥 − 2)𝑒 𝑥 имеет корни 1 и 6, 𝛼 = 1, откуда видим, что кратность 𝑠 =
1 и частное решение надо искать в виде 𝑒 𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥). Используя формулу (1),
составляем уравнение для многочлена 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥:
(𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥)′ (2 − 7) + (𝐴𝑥 2 + 𝐵)′′ = 𝑥 − 2
1
9
Вычисляя производные, получим −10𝐴𝑥 − 5𝐵 + 2𝐴 = 𝑥 − 2, откуда 𝐴 = − 10 , 𝐵 = 25 и
𝑦 = 𝐶2 𝑒 7𝑥 + (−
1 2
9
𝑥 + 𝑥 + 𝐶1 ) 𝑒 𝑥
10
25
-- общее решение заданного уравнения.
Пусть теперь 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥)𝑒 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑒 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥, где 𝑃(𝑥) и 𝑄(𝑥) -- многочлены, наибольшая
степень которых равна n.
Случай г) Комплексное число 𝑎 + √−1 𝑏 не является корнем характеристического уравнения (3).
Тогда частное решение можно найти в виде
𝑦 ∗ = 𝑈(𝑥)𝑒 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 + 𝑉(𝑥)𝑒 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥
где 𝑈(𝑥) и 𝑉(𝑥) -- многочлены степени n с неопределенными коэффициентами.
Случай д) Комплексное число 𝑎 + √−1 𝑏 (b≠ 0) есть корень характеристического уравнения. Тогда
частное решение можно найти в виде
𝑦 ∗ = 𝑥 𝑈(𝑥)𝑒 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 + 𝑥𝑉(𝑥)𝑒 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥
где 𝑈(𝑥) и 𝑉(𝑥) -- многочлены степени n с неопределенными коэффициентами.
49
Примеры. Частное решение уравнения 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 5𝑦 = 2 cos 𝑥 ищем в виде 𝐴 cos 𝑥 + 𝐵 sin 𝑥,
ибо комплексное число √−1 не является корнем уравнения 𝑥 2 + 2𝑥 + 5 = 0. Общее решение
имеет вид
2
1
𝑦 = 𝑒 −𝑥 (𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sin 2𝑥) + cos 𝑥 + sin 𝑥
5
5
Частное решение уравнения 𝑦′′ + 4𝑦 = cos 2𝑥 ищем в виде 𝑥(𝐴 cos 2𝑥 + 𝐵 sin 2𝑥) , ибо
комплексное число 2𝑖 является корнем уравнения 𝑥 2 + 4 = 0. Общее решение уравнения имеет
вид
1
𝑦 = 𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sin 2𝑥 + 𝑥 sin 2𝑥
4
23.3 Метод вариации постоянных
Решаем неоднородное линейное уравнение
𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥)
(1)
вообще говоря с переменными коэффициентами. Предположим, что нам удалось найти Ф.С.Р.
однородного уравнения 𝑦 ′′ + 𝑝𝑦 ′ + 𝑞𝑦 = 0 , тогда общее решение этого уравнения будет 𝐶1 𝑦1 +
𝐶2 𝑦2 .
Решение уравнения (1) ищем в виде 𝑦 = 𝐶1 (𝑥)𝑦1 + 𝐶2 (𝑥)𝑦2 , где 𝐶1 (𝑥), 𝐶2 (𝑥) неизвестные
функции, подлежащие определению. Имеем
𝑦 ′ = 𝐶1 (𝑥)𝑦1′ + 𝐶1′ (𝑥)𝑦1 + 𝐶2′ (𝑥)𝑦2 + 𝐶2 (𝑥)𝑦2′
Положим 𝐶1′ 𝑦1 + 𝐶2′ 𝑦2 = 0 (*). Тогда, с учетом этого, вычислим вторую производную:
𝑦′′ = 𝐶1 𝑦1′′ + 𝐶2 𝑦2′′ + 𝐶1′ 𝑦1′ + 𝐶2′ 𝑦2′
Подставляя 𝑦′ и 𝑦′′ в (1), получим
𝐶1 𝑦1′′ + 𝐶2 𝑦2′′ + 𝐶1′ 𝑦1′ +𝐶2′ 𝑦2′ + 𝑝(𝐶1 𝑦1′ + 𝐶2 𝑦2′ ) + 𝑞(𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 ) = 𝑓(𝑥)
или
𝐶1 (𝑦1′′ + 𝑝𝑦1′ + 𝑞𝑦1 ) + 𝐶2 (𝑦2′′ + 𝑝𝑦2′ + 𝑞𝑦2 ) + 𝐶1′ 𝑦1′ + 𝐶2′ 𝑦2′ = 𝑓(𝑥)
Так как 𝑦1′′ + 𝑝𝑦1′ + 𝑞𝑦1 = 0 и 𝑦2′′ + 𝑝𝑦2′ + 𝑞𝑦2 = 0, то приходим к уравнению
𝐶1′ 𝑦1′ + 𝐶2′ 𝑦2′ = 𝑓(𝑥)
Вместе с (*), получаем систему, из которой находятся функции 𝐶1 (𝑥), 𝐶2 (𝑥) интегрированием:
{
Пример 1. Решим 𝑦′′ −
𝑦′
𝑥
𝐶1′ (𝑥)𝑦1 + 𝐶2′ (𝑥)𝑦2 = 0;
𝐶1′ (𝑥)𝑦1′ + 𝐶2′ (𝑥)𝑦2′ = 𝑓(𝑥)
(2)
= 𝑥. Общее решение однородного уравнения будет иметь вид: 𝐶1 𝑥 2 +
𝐶2 . (Заметим, что определетель Вронского не равен 0 ни в одной точке, где функции 1/x, x
непрерывны). Решение уравнения ищем в виде 𝐶1 (𝑥)𝑥 2 + 𝐶2 (𝑥). Функции 𝐶1 , 𝐶2 находим из
системы
50
𝐶1′ 𝑥 2 + 𝐶2′ = 0; 𝐶1′ ⋅ 2𝑥 + 𝐶2′ ⋅ 0 = 𝑥,
откуда
1
1
𝐶1′ (𝑥) = ; 𝐶2′ (𝑥) = − 𝑥 2
2
2
следовательно
𝐶1 (𝑥) =
𝑥
𝑥3
+ 𝐶1 ; 𝐶2 (𝑥) = − + 𝐶2
2
6
Тогда общее решение исходного уравнения будет
𝑥
𝑥3
𝑥3
( + 𝐶1 ) 𝑥 2 − + 𝐶2 =
+ 𝐶1 𝑥 2 + 𝐶2
2
6
3
Принцип суперпозиции. Частное решение 𝑦 ∗ уравнения 𝑦′′ + 𝑝𝑦′ + 𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) можно
представить в виде суммы 𝑦 ∗ = 𝑦1∗ + 𝑦2∗ , где 𝑦1∗ и 𝑦2∗ есть частные решения уравнений 𝑦′′ + 𝑝𝑦′ +
𝑞𝑦 = 𝑓(𝑥) и 𝑦′′ + 𝑝𝑦′ + 𝑞𝑦 = 𝑔(𝑥).
Пример 2. Решим уравнение 𝑦 ′′ − 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑒 𝑥 . Общее решение соответствующего ему
однородного уравнения будет 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 . Частное решение неоднородного ищем в виде 𝑦 ∗ =
𝑦1∗ + 𝑦2∗ , где 𝑦1∗ есть частное решение уравнения 𝑦 ′′ − 𝑦 = 𝑥 2 (1н), 𝑦2∗ есть частное решение
уравнения 𝑦 ′′ − 𝑦 = 𝑒 𝑥 (2н). Следовательно, 𝑦1∗ = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 и 𝑦2∗ = 𝐷𝑥𝑒 𝑥 . Подставляя 𝑦1∗ в
уравнение (1н), получим 2𝐴 − 𝐴𝑥 2 − 𝐵𝑥 − 𝐶 = 𝑥 2 , откуда 𝐴 = −1, 𝐵 = 0, 𝐶 = −2 . Подставляя 𝑦2∗ в
1
уравнение (2н), получим 𝐷𝑥𝑒 𝑥 + 2𝐷𝑒 𝑥 − 𝐷𝑥𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 , откуда 𝐷 = 2. Окончательно, получаем
общее решение
𝑦 = (𝐶1 + 𝑥/2)𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 − 𝑥 2 − 2.
24 Системы дифференциальных уравнений
Скорость роста культуры микроорганизмов пропорциональна их количеству 𝑁(𝑡) и количеству
питательных веществ 𝑀(𝑡) (коэффициент пропорциональности равен k). Скорость убывания
питательных веществ пропорциональна наличному количеству микроорганизмов с
коэффициентом пропорциональности p. Найти зависимости N и M от времени.
Условие задачи непосредственно переформулируются на языке дифференциальных уравнений и
приводят к системе двух дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями:
𝑑𝑁
𝑑𝑀
= 𝑘𝑁𝑀;
= −𝑝𝑁
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(1)
Решим систему (1), пытаясь исключить функцию 𝑁(𝑡) из системы. Дифференцируя второе
уравнение, находим
𝑑2 𝑀
𝑑𝑁
= −𝑝
= −𝑝𝑘𝑁𝑀
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
51
1
Из второго же уравнения находим 𝑁 = − 𝑝 ⋅
𝑑𝑀
.
𝑑𝑡
Тогда
1 𝑑𝑀
𝑀′′ = −𝑝𝑘 (− )
⋅ 𝑀 = 𝑘𝑀 ⋅ 𝑀′
𝑝 𝑑𝑡
Обозначая 𝑧(𝑀) = 𝑀′, сводим последнее уравнение к такому:
𝑑𝑧
⋅ 𝑧 = 𝑘𝑀𝑧.
𝑑𝑀
Если 𝑧 = 0, то 𝑀 = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑁 = 0. Это соответствует случаю, когда количество питательных
веществ не изменяется в виду отсутствия микроорганизмов. Предположим, что 𝑧 ≠ 0. Тогда
𝑘𝑀, откуда 𝑧 =
𝑘𝑀 2
2
𝑑𝑧
𝑑𝑀
=
+ 𝐶. Из второго уравнения системы (1) видим. что 𝑧 = 𝑀′ < 0. Отсюда
вытекает, что константа С обязана быть отрицательной и ее можно записать в виде –
некоторого числа 𝑎 > 0. Тогда
𝑑𝑀
𝑀 2 −𝑎2
1
2
= 𝑘𝑑𝑡 и ln
𝑀+𝑎
𝑀−𝑎
= 𝑘𝑡 + 𝐶. Следовательно,
𝑀+𝑎
𝑀−𝑎
𝑘𝑎 2
2
для
= 𝑐 ⋅ 𝑒 2𝑘𝑡 и
окончательно
𝑀=𝑎⋅
𝑐𝑒 2𝑘𝑡 + 1
1
𝑎 2𝑘𝑐𝑒 2𝑘𝑡 (𝑐𝑒 2𝑘𝑡 − 1) − 2𝑘𝑐𝑒 2𝑘𝑡 (𝑐𝑒 2𝑘𝑡 + 1)
4𝑎𝑘𝑐𝑒 2𝑘𝑡
′
;
𝑁
=
−
⋅
𝑀
=
−
⋅
=
(𝑐𝑒 2𝑘𝑡 − 1)2
𝑐𝑒 2𝑘𝑡 − 1
𝑝
𝑝
𝑝(𝑐𝑒 2𝑘𝑡 − 1)2
Заметим, что зависимость между функциями 𝑀 и 𝑁 можно получить значительно проще, деля
первое уравнение в системе (1) на второе – получим
находим 𝑁 = −
𝑘
𝑀2
2𝑝
𝑑𝑁
𝑑𝑀
𝑘
𝑝
= − 𝑀, откуда, разделяя переменные,
+ 𝐶 – семейство парабол на фазовой плоскости (𝑀, 𝑁).
Рассмотрим нормальную систему из n обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка.
𝑑𝑦1
= 𝑓1 (𝑥, 𝑦1 , . . . , 𝑦𝑛 )
𝑑𝑥
𝑑𝑦2
= 𝑓2 (𝑥, 𝑦1 , . . . , 𝑦𝑛 )
𝑑𝑥
……………………….
𝑑𝑦𝑛
{ 𝑑𝑥 = 𝑓𝑛 (𝑥, 𝑦1 , . . . , 𝑦𝑛 )
(2)
Задача Коши для этой системы -- найти решение 𝒚(𝑥) = (𝑦1 (𝑥), … , 𝑦𝑛 (𝑥)), удовлетворяющее
начальным условиям 𝑥0 , 𝑦10 , . . . , 𝑦𝑛0 .
24.1 Метод исключения
Примеры. 1. Решим систему
𝑑𝑦
𝑑𝑧
= 𝑦 + 𝑧 + 𝑥;
= −4𝑦 − 3𝑧 + 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Дифференцируя первое уравнение, находим:
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 ′ +𝑧 ′ + 1 = −3𝑦 − 2𝑧 + 3𝑥 + 1. Из первого
же уравнения выражаем 𝑧 = 𝑦′ − 𝑦 − 𝑥 и подставляя это в последнее соотношение получаем
дифференциальное уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией: 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 =
5𝑥 + 1. Общее решение этого уравнения имеет вид 𝑦 = (𝐶1 + 𝐶2 𝑥)𝑒 −𝑥 + 5𝑥 − 9. Тогда
52
𝑧 = 𝑦′ − 𝑦 − 𝑥 = (𝐶2 − 2𝐶1 − 2𝐶2 𝑥)𝑒 −𝑥 − 6𝑥 + 14
2.Решим систему
𝑥 ′ = 𝑥 2 + 𝑦 2 ; 𝑦 ′ = 2𝑥𝑦
1
1
Находим (𝑥 + 𝑦)′ = (𝑥 + 𝑦)2 ; (𝑥 − 𝑦)′ = (𝑥 − 𝑦)2 . Отсюда 𝑥+𝑦 = 𝐶1 − 𝑡; 𝑥−𝑦 = 𝐶2 − 𝑡
Следовательно,
1
1
1
1
1
1
𝑥=− (
+
);𝑦 = (
−
)
2 𝑡 − 𝐶1 𝑡 − 𝐶2
2 𝑡 − 𝐶2 𝑡 − 𝐶1
или 𝑥 2 − 𝑦 2 = 2𝐶𝑦 -- семейство гипербол.
24.2 Линейные системы с постоянными коэффициентами
Замечание о собственных числах и собственных столбцах 𝑛 ×-матрицы 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )
Решаем системы вида
𝑑𝑦1
= 𝑎11 𝑦1 +. . . +𝑎1𝑛 𝑦𝑛
𝑑𝑥
𝑑𝑦2
= 𝑎 𝑦1 +. . . +𝑎2𝑛 𝑦𝑛
𝑑𝑥… … …21
……………….
𝑑𝑦𝑛
{ 𝑑𝑥 = 𝑎𝑛1 𝑦1 +. . . +𝑎𝑛𝑛 𝑦𝑛
(1)
где 𝑎𝑖𝑗 -- действительные числа. Будем искать решение в виде
𝑦1 = 𝛼1 𝑒 𝑘𝑥 ,
𝑦2 = 𝛼2 𝑒 𝑘𝑥 , . . . , 𝑦𝑛 = 𝛼𝑛 𝑒 𝑘𝑥
(2)
Тогда (2) -- решение (1) в том и только том случае, когда k - собственное число, а (𝛼1 , . . . , 𝛼𝑛 )⊤ -собственный вектор матрицы 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ). Рассмотрим только один случай -- все собственные числа
действительны и попарно различны -- 𝑘1 , . . . , 𝑘𝑛 . Пусть 𝒑𝟏 , . . . , 𝒑𝒏 -- собственные вектора
(столбцы), соответствующие этим собственным числам. Тогда общее решение имеет вид
𝑦1
𝑦
( …2 ) = 𝐶1 𝑒 𝑘1 𝑥 𝒑1 + 𝐶2 𝑒 𝑘2 𝑥 𝒑2 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑒 𝑘𝑛 𝑥 𝒑𝑛
𝑦𝑛
𝑑𝑥
(3)
𝑑𝑦
Пример. Решим систему 𝑑𝑡 = 2𝑥 + 𝑦, 𝑑𝑡 = 𝑥 + 2𝑦; 𝑥(0) = 1, 𝑦(0) = 3. Матрица 𝐴 =
2 1
(
) имеет собственные числа 𝑘1 = 1, 𝑘2 = −3 и собственные вектора 𝒑1 = (1, −1)⊤ ; 𝒑2 =
1 2
(1,1)⊤ . Следовательно, общее решение этой системы имеет вид
𝑥
𝐶 𝑒 𝑡 + 𝐶2 𝑒 −3𝑡
1
1
(𝑦) = 𝐶1 𝑒 𝑡 ( ) + 𝐶2 𝑒 −3𝑡 ( ) = ( 1 𝑡
)
−1
1
𝐶1 𝑒 − 𝐶2 𝑒 −3𝑡
Подставляя начальные условия, получаем систему:
1 = С1 + С2
⇒
{
3 = С1 − С2
𝐶1 = 2 и 𝐶2 = −1
53
Ответ: 𝑥 = 2𝑒 𝑡 − 𝑒 −3𝑡 ; 𝑦 = 2𝑒 𝑡 + 𝑒 −3𝑡