Задания для получения допуска к зачету и экзамену по

Задания для получения допуска к зачету и экзамену по
математике за 3 семестр
Решите следующие контрольные работы:
Контрольная работа №1
Элементы линейной алгебры.
№1. Решите методом сложения систему уравнений:
№2. Решите систему уравнений:
Контрольная работа №2
Основы теории пределов.
Вычислите пределы:
а)
б)
ж)
з)
в)
г)
и)
к)
д)
л)
е)
м)
н)
о)
п)
р)
.
Контрольная работа №3
Производная и ее приложения.
№1. Найдите производную функции:
а)
е)
б)
ж)
в)
з)
г)
и)
д)
к)
л)
.
№2. Найдите вторую производную функции:
а)
в)
б)
;
г)
.
№3. Исследовать функцию на экстремум:
а)
;
б)
в)
.
№4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а)
г)
;
б)
;
д)
;
в)
е)
+2;
№5. Найдите значение производной при данном значении аргумента:
а)
, y’ ;
г)
,
;
б)
,
y’
в)
,
y’
д)
;
,
е)
;
,
Контрольная работа №4
Интеграл и его приложения.
№1. Найдите интегралы:
а)
;
г)
б)
;
д)
в)
е)
;
;
;
;
;
.
№2. Вычислите определённый интеграл:
а)
д)
;
б)
;
;
е)
в)
;
г)
;
;
ж)
№3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)
,
;
г)
,
б)
и ось 0X; д)
,
в)
и ось 0X;
е)
,
;
;
;
.
Контрольная работа №5
Дифференциальные уравнения.
№1. Найдите общее решение дифференциального уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами:
1)
.
5)
.
2)
.
6)
.
3)
.
7)
.
4)
.
№2. Решите дифференциальное уравнение:
. Найдите его частное
решение, если при
.
№3. Найдите частное решение дифференциального уравнения
, если при
будет
.
№4. Найдите общее решение дифференциального уравнения:
.
№5. Найдите частное решение дифференциального уравнения:
, если
при
будет
и
.
№6. Найдите частное решение дифференциального уравнения
,
если
при
.
№7. Найдите общее решение дифференциального уравнения:
.
№8. Решите дифференциальное уравнение:
и найдите его частное
решение, если при
будет
и
.
Выполните итоговый тест №1
1. Четвертый член числового ряда
а)-1/5; б)-1/9; в)1/7;
2. Вычислите
равен
г)-1/7.
1  2 x  3x
4  3x  x 2
2
lim
x 
а)  ;
(1) n

n 1 2n  1

б)¼;
в)-2;
г)0.
3. Вычислите 3 250  4
а) 100; б)1000; в)20; г)10.
2
4. Вычислите  4 x 3 dx .
1
а)15;
б)36;
в)x 4 ;
г)1.

 (3sin x  x)dx 
5.
0


0
0

а) 3 sin xdx   xdx ;
0
б) 3  (sin x  x)dx ;
в)  (3sin x  x)dx .

0
6. Функция y=sin 8x. Найдите производную.
а) y   8 sin 8 x ; б) y  8 cos 8 x ;
в) y   cos 8 x .
7. Решением неравенства 3 2 x  81 является промежуток
а)(-  ;2  ; б)(-  ;2); в)  2;+   ; г)(-2;2).
8. Вычислите log 3 1
а)1/3; б)3; в)0; г)2.
9. Решите уравнение cos 2x =1/2
а) (-1)n10º+60ºn; б) 60º+360ºn; в) ±30º+180ºn; г) 30º+360ºn.
10. Наименьший положительный период функции y=sin x равен
а) π;
б) 2π;
в) 4π;
г) π/2.
11. Функция y=3х-соs8x. Найдите вторую производную.
а)3;
б) y  8 cos 8 x ;
в) y   cos 8 x ; г) y  64 cos 8 x ;
3
9
12. Представьте в виде степени выражение 6 4  6 4
27
16
а) 6 ; б) 6 ;
3
в) 36 ;
3
13. Значение выражения
а) 3;
б)15;
в) 75;
14. Если
а)2x;
 f ( x)dx 
б)x;
15. Вычислите
а)1; б)
27
16
г) 36 .
5 log5 15 равно
г) 5.
2
x
 C , то функция f (x) равна
2
в)x/2;
4
1

9
9
5
5
; в) ; г)2.
9
9
г)1.
Поставьте в соответствие (Задания 16-20)
16.
1) Четная функция y=f(x)
2) Нечетная функция y=f(x)
а) f(-x)=-f(x);
б) f(-x)= f(x).
17.
1) Функция f(x) возрастает
2) Функция f(x) убывает
18.
1) Первый замечательный предел
а) x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ;
б) x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .
sin x
 1;
а) lim
x 0
x
1
(1  ) x  e .
б) lim
x 
x
2) Второй замечательный предел
19.
1) (sin x)´
2) (cos x)´
3) (xn)´
4) (ln x)´
5) (x)´
а) 1;
б) cos x;
в) n xn-1;
г) –sin x;
д) 1/x.
20.
1)  x n dx
а)  cos x  C ;
2)
3)
4)
dx
б) sin x  C ;
x
в) ln x  C ;
x
 e dx
 sin xdx
г) e x  C ;
5)  cos xdx
д)
x n 1
C.
n 1
21.Установите соответствие между общим членом ряда и его четвертым
членом
n
n 1
1
2. an  1
n
2n
3. an 
2n
1. a n 

4/5


4/3
3/4
22. Четвертый член числового ряда




(1) n

n 1 2n  1

равен
-1/5
-1/9
-1/7
1/7
23.Абсолютная погрешность округления числа 1,8 до целых равна
 0
 0,1
 0,2
 -0,2

24. Вычислите
lim
x 




1  2 x 2  3x
4  3x  x 2

¼
-2
0
25. Укажите два промежутка, которому принадлежат значения предела
x 2  2x
lim
x
x 0
  3;3
  2;1
  2;0
 0;3
26. Укажите пару (x;y), находящихся в отношении y=cos x.
 (1;1)
 (0;-1)
 (1;0)
 (0;1)
27. Даны множества А= 1,2,3,4,8,12 и В= 0;2;4;6;8;10. Установите соответствие
между следующими подмножествами и необходимыми для их получения
операциями над множествами А и В:
1. 2;4;8
 А-В(разность)
2. 0;1;2;3;4;6;8;10;12
 А  В(объединение)
3. 1;3;12
 А  В(пересечение)
2
x
28. Функция y  x  e . Найдите производную.
 y  2 xex  x 2 e x
 y  2 xex
29. Функция y=sin 8x. Найдите производную.
 y   8 sin 8 x
 y  8 cos 8 x
 y   cos 8 x
30. Дана функция y  x 3  3x  4 . Укажите соответствие между производными
функции в соответствующих точках и их значениями.
1. y0
 9
2. y1
 -3
3. y2
 0
31. y  для y  x 2  3x  1 имеет вид:
 y   2
 y   1
 y   0
32. y=Cx+4 будет решением дифференциального уравнения y   1 , если С=…
 1
 -1
 0
 4
33. Дифференциальным уравнением в частных производных будет уравнение
 xdy  ydx


u
u
 x
0
x
y
x
y 
y
y
34. Дифференциальное уравнение cos y  dx  x 2  dy  0 сводится к уравнению
 cos y  dx  x 2  dy

dx
dy

2
cos y
x
35. Решением дифференциального уравнения y   x  0 является функция
x2
2
y 1

y


yx
36. Установите соответствие между дифференциальными уравнениями и их
решениями
1. y   y  0
 y  (C1  C2  x)  e  x
2. y   2 y   y  0
 y  C1e x  C2 e  x
3. y   y  0
 y  C1 cos x  C2 sin x
37. Установите соответствие между (x;y) и угловыми коэффициентами
касательных к функции у=x 3 .
1. (-3;-27)
 3
2. (1;1)
 12
3. (2;8)
 27
38. Если общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами будет функция y  C1e 2 x  C2 e3 x , то
корни характеристического уравнения имеют вид:
 k1  2  3i; k2  2  3i
 k1  2; k2  3
39. В результате подстановки y  u ( x)  v( x) уравнение y  y  e x примет вид:
 u v  uv  e x
 uv  u(v  v)  e x
40. Установите соответствие между f и f  .
1. f=x+sin x
 f=1-cos x
2. f=1+sinx
 f=1+cosx
3. f=x-sin x
 f=cos x
41. Общее решение уравнения y   2 sin x имеет вид:
 y  2 cos x  C
 y  2 sin x  C1  C2
 y  2 sin x  C1 x  C2
42. Если
 2x
 x
 x/2

x2
f ( x)dx 
 C , то функция f (x) равна
2
43. Множество первообразных для функции y=2x имеет вид:
 2
 x 2 +C
 x2
3
44. Вычислите  (2 x  2)dx
1
 14
 16
 12
45. В результате подстановки величины t=3x+2 интеграл
виду
dt
t2
1 dt
3  t
1 dt
3  t2
 3


2
46. Вычислите  4 x 3 dx .
1
 36
 15
 x4

47.  (3sin x  x)dx 
0

dx
сводится к
3x  2

 3  (sin x  x)dx
0

0
 (3sin x  x)dx



0
0
 3 sin xdx   xdx
48. Установите соответствие между рядами и их названиями

1.
n
n 1
2
1
4

(1) n1

2n
n 1

xn
3. 
n 1 2n  3


знакочередующийся
2.
знакоположительный
 степенной
49. По цели сделано 10 выстрелов, зарегистрировано 7 попаданий.
Относительная частота попадания в цель равна
 0,5
 0,3
 0,7
50. Если вероятность попадания в мишень 0,3, то вероятность промаха равна
 0,7
 1,3
 0,5
Выполните итоговый тест №2
1. Дана последовательность
(1) n  2 n
an 
n 1
Расположите элементы последовательности в порядке возрастания их
порядковых номеров.
 -2
 -1
 4/3
2. Установите соответствие между общим членом ряда и его четвертым
членом
n
n 1
1
2. an  1
n
2n
3. an 
2n
1. a n 

4/5

4/3
 3/4
3. Четвертый член числового ряда




-1/5
-1/9
-1/7
1/7
(1) n

n 1 2n  1

равен
4. Абсолютная погрешность округления числа 1,8 до целых равна
 0
 0,1
 0,2
 -0,2
5. Измерены величины А=250,6±0,1 В=0,5±0,1 С=7,1±0,1 Д=35,2±0,1
Большая относительная погрешность получена при измерении величины
 В
 С
 А
6. Множества А=(4;7;13) и В=(0;2;4;6;8;10;12;14) пересекаются.
Количество элементов множества, являющегося пересечением множеств А и
В равно…
 1 число
 2 числа
 3 числа
7. Вычислите
lim
x 




1  2 x 2  3x
4  3x  x 2

¼
-2
0
8. Укажите два промежутка, которому принадлежат значения предела
x 2  2x
lim
x
x 0
  3;3
  2;1
  2;0
 0;3
9. Укажите пару (x;y), находящихся в отношении y=cos x.
 (1;1)
 (0;-1)
 (1;0)
 (0;1)
10. Выберите истинное утверждение:
 Множество рациональных чисел является подмножеством множества
иррациональных чисел.
 Множество целых чисел является подмножеством множества
действительных чисел.
 Отрезок 1;12 является подмножеством промежутка 1;10 .
 Интервал (-4;0) является подмножеством отрезка  3;1 .
11. Даны множества А= 1,2,3,4,8,12 и В= 0;2;4;6;8;10. Установите соответствие
между следующими подмножествами и необходимыми для их получения
операциями над множествами А и В:
1. 2;4;8
 А-В(разность)
2. 0;1;2;3;4;6;8;10;12
 А  В(объединение)
3. 1;3;12
 А  В(пересечение)
2
x
12. Функция y  x  e . Найдите производную.
 y  2 xex  x 2 e x
 y  2 xex
13. Функция y=sin 8x. Найдите производную.
 y   8 sin 8 x
 y  8 cos 8 x
 y   cos 8 x
14. Дана функция y  x 3  3x  4 . Укажите соответствие между производными
функции в соответствующих точках и их значениями.
1. y0
 9
2. y1
 -3
3. y2
 0
15. y  для y  x 2  3x  1 имеет вид:
 y   2
 y   1
 y   0
16. y=Cx+4 является решением дифференциального уравнения y   1 , если
С=…
 1
 -1
 0
 4
17. Дифференциальным уравнением в частных производных будет уравнение
 xdy  ydx


u
u
 x
0
x
y
x
y 
y
y
18. Дифференциальное уравнение cos y  dx  x 2  dy  0 сводится к уравнению
 cos y  dx  x 2  dy

dx
dy

2
cos y
x
19. Решением дифференциального уравнения y   x  0 является функция
x2
2
y 1

y


yx
20. Установите соответствие между дифференциальными уравнениями и их
решениями
1. y   y  0
 y  (C1  C2  x)  e  x
2. y   2 y   y  0
 y  C1e x  C2 e  x
3. y   y  0
 y  C1 cos x  C2 sin x
21. Установите соответствие между (x;y) и угловыми коэффициентами
касательных к функции у=x 3 .
4. (-3;-27)
 3
5. (1;1)
 12
6. (2;8)
 27
22. Если общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами будет функция y  C1e 2 x  C2 e3 x , то
корни характеристического уравнения имеют вид:
 k1  2  3i; k2  2  3i
 k1  2; k2  3
23. В результате подстановки y  u ( x)  v( x) уравнение y  y  e x примет вид:
 u v  uv  e x
 uv  u(v  v)  e x
24. Установите соответствие между f и f  .
1. f=x+sin x
 f=1-cos x
2. f=1+sinx
 f=1+cosx
3. f=x-sin x
 f=cos x
25. Общее решение уравнения y   2 sin x имеет вид:
 y  2 cos x  C
 y  2 sin x  C1  C2
 y  2 sin x  C1 x  C2
26. Общее решение уравнения y  5 y  6 y  0 имеет вид:
 y  C1e3 x  C2 e 2 x
 y  C1e 3 x  C2 e 2 x
 y  e3 x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x)
27. Если
 2x
 x
 x/2

x2
f ( x)dx 
 C , то функция f (x) равна
2
28. Множество первообразных для функции y=2x имеет вид:
 2
 x 2 +C
 x2
3
29. Вычислите  (2 x  2)dx
1
 14
 16
 12
30. В результате подстановки величины t=3x+2 интеграл

dx
сводится к
3x  2
виду
dt
t2
1 dt
3  t
1 dt
3  t2
 3


2
31. Вычислите  4 x 3 dx .
1
 36
 15
 x4

32.  (3sin x  x)dx 
0

 3  (sin x  x)dx
0

0
 (3sin x  x)dx


0
0
 3 sin xdx   xdx
33. Приближенное значение интеграла
5
 xdx ,
вычисленное по формуле
0
прямоугольников
b
 f ( x)dx  h( f ( x )  f ( x )  ...  f ( x )) ,
0
a
i=0,1,2,3,4, равно числу
 10
 15
 12,5
1
4
где
h=1,
x i =a+ih,