Вестник кафедры

Вестник кафедры
проектной деятельности учащихся
Выпуск 2
Сборник содержит сведения об особенностях проектной
деятельности учащихся, словарик «проектных терминов», а
также темы проектных работ учащихся школы №174 в 20032004 учебном году.
Сборник представляет интерес в первую очередь для
тех, кто руководит проектной деятельностью учащихся, а
также для самих учащихся.
ЧТО ТАКОЕ ПРОЕКТ
Понятие «проект» прочно вошло в школьную жизнь, но
еще не осмыслено до конца. Однако ясно одно: проект как
вид деятельности перспективен, многогранен, эффективен.
Что же такое проект? Проект – это метод обучения, который
может быть использован при изучении любого предмета,
может применяться на уроках и во внеклассной работе.
Проект формирует большое количество умений и навыков и
дает школьникам необходимый опыт деятельности. Проект –
это форма организации учебного процесса. Он может стать
альтернативой классно-урочному обучению. Кроме того,
проект – это философия результатов и достижений.
Но внедряя метод проектов в образовательную практику
школы, следует помнить о тех проблемах, которые
возникнут на этом пути. В этом выпуске «Вестника» мы
попробуем охарактеризовать некоторые «тонкие места»
проектной деятельности учащихся.
Основные требования к учебному проекту
1. Работа над проектом всегда направлена на разрешение
конкретной проблемы – исследовательской,
информационной, практической.
2. Планирование действий по разрешению проблемы.
Наиболее важной частью плана является
пооперационная разработка проекта, в которой
приводится перечень конкретных действий с указанием
результатов, сроков и ответственных.
3. Поиск информации, которая затем обрабатывается,
осмысливается и представляется участниками
проектной группы.
4. Результатом работы над проектом является его продукт,
который создается участниками проектной группы.
2
5. Презентация и защита готового проекта.
6. Создание проектной папки, в которой собраны все
рабочие материалы, в том числе черновики, отчеты и др.
Таким образом, любой проект, независимо от типа, имеет
одинаковую структуру:
Проект проблема конечный продукт презентация продукта
Обязательное требование: каждый этап над проектом
должен имеет свой конечный продукт!!!
3
КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКТОВ
ПО ДОМИНИРУЮЩЕЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ
Практико-ориентированный проект нацелен на
решение социальных задач, отражающих интересы
участников проекта или внешнего заказчика. Эти проекты
отличаются четко обозначенным с самого начала
результатом деятельности участников, который может быть
использован в жизни класса, школы, района, города и др.
Форма конечного продукта при этом разнообразна – от
учебного пособия до пакета рекомендаций. Ценность проекта
- в реальности использования продукта на практике и его
способности решить заданную проблему.
Исследовательский проект по структуре напоминает
научное исследование. Он включает в себя обоснование
актуальности выбранной темы, постановку задачи,
обязательное выдвижение гипотезы с последующей ее
проверкой, обсуждение и анализ полученных результатов.
При выполнении проекта должны использоваться методы
современной науки: лабораторный эксперимент,
моделирование, социологический опрос и др.
Информационный проект направлен на сбор
информации о каком-либо объекте или явлении с целью
анализа, обобщения и представления информации для
широкой аудитории. Такие проекты требуют хорошо
продуманной структуры и возможности ее коррекции по
ходу работы. Выходом проекта часто является публикация в
СМИ, в т.ч. в сети Internet.
Творческий проект предполагает максимально
свободный и нетрадиционный подход к его выполнению и
презентации результатов. Это могут быть альманахи,
театральные постановки, спортивные игры, произведения
4
изобразительного и прикладного искусства, видеофильмы,
радиопередачи и др.
Ролевой проект. Разработка и реализация подобного
проекта наиболее сложна. Участвуя в нем, проектанты берут
себе роли литературных или исторических персонажей,
выдуманных героев с целью создания различных социальных
или деловых отношений через игровые ситуации. Результат
проекта остается открытым до самого конца.
ПО КОМПЛЕКСНОСТИ
Монопроекты реализуются, как правило, в рамках
одного учебного предмета или одной области знания.
Руководителем такого проекта выступает учительпредметник. Монопроекты могут быть литературнотворческими, естественнонаучными, экологическим,
лингвистическими, культуроведческими, спортивными,
историческими, географическими, музыкальными.
Интеграция осуществляется лишь на этапе подготовки
продукта к презентации: например компьютерная верстка
альманаха, музыкальное оформление спортивного праздника.
Межпредметные проекты выполняются только во
внеурочное время и под руководством нескольких
специалистов в различных областях знания. Они требуют
глубокой содержательной интеграции уже на этапе
постановки проблемы. Например, проект по теме «История
дуэли и ее отражение в русской литературе» требует
одновременно исторического, литературного,
культурологического и психологического подходов.
5
ПО ХАРАКТЕРУ КОНТАКТОВ
 Внутриклассные
 Внутришкольные
 Региональные (в пределах одной страны)
 Международные
Последние два типа проектов являются
телекоммуникациооными, поскольку требуют
взаимодействия участников в сети Internet и, следовательно,
задействования средств современных компьютерных
технологий.
ПО ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ
Мини-проекты могут укладываться в один урок или
часть урока. Их разработка наиболее продуктивна для курса
иностранного языка.
Краткосрочные проекты требуют выделения 4-6
уроков,
которые
используются
для
координации
деятельности групп учащихся. Основная работа по сбору
информации, изготовлению продукта и подготовке
презентации выполняется вне урока.
Недельные проекты выполняются в группах в ходе
проектной недели. Их реализация занимает примерно 30-40
часов и целиком проходит с участием руководителя проекта.
При осуществлении недельного проекта возможно сочетание
классных форм работы с внеклассными.
Долгосрочные проекты могут выполнятся как в
группах, так и индивидуально. Весь цикл реализации
годичного проекта – от определения темы до презентации –
выполняется во внеурочное время.
6
ПРОВЕДЕНИЕ ПРОЕКТНОЙ НЕДЕЛИ
Проектная неделя, как правило, проводится в мае
месяце. К началу проектной недели оформляется стенд
«Проектная неделя», содержащий следующую информацию:
 Правила внутреннего распорядка в ходе проектной
недели;
 Полный перечень проектов с указанием руководителей,
консультантов, состава проектных групп, кабинетов
школы для работы;
 График защиты проектов;
Примерный
график
работы
научно-практической
конференции:
 1 день – торжественное открытие проектной недели;
 2 – 4 день – защита проектов;
 5 день – работа объединенного жюри по подведению
итогов проектной недели;
 6 день – общее собрание, награждение победителей;
По итогам проведенных обсуждений, на основе сданных
описаний
проектов
и
аналитической
записки,
подготовленной
заведующим
кафедрой
проектной
деятельности учащихся готовится отчет по итогам проектной
недели, который может стать предметом для коллективного
анализа на очередном педагогическом совете.
Продукт проектной
деятельности может иметь
следующие формы:
 Web – сайт
 Анализ данных социологического опроса
 Атлас, карта
 Видеофильм
 Выставка
 Газета, журнал
7









Игра
Коллекция
Модель
Мультимедийный продукт
Театральная постановка
Справочник
Сравнительно-сопоставительный анализ
Учебное пособие
Экскурсия
ОФОРМЛЕНИЕ ПРОЕКТНОЙ ПАПКИ
Грамотно составленная проектная папка позволяет
организовать работу ученика, создать удобный коллектор
информации и справочник для работы над проектом,
объективно оценить ход работы над завершенным проектом,
сократить время поиска информации при проведении в
дальнейшем других, близких по теме, проектов
В состав проектной папки входят:
 Паспорт проекта
 План выполнения проекта
 Промежуточные отчеты
 Вся собранная информация по теме
 Результаты исследования и анализа
 Записи всех идей, гипотез и решений
 Эскизы, чертежи, наброски продукта
 Материалы к презентации
 Другие рабочие материалы и черновики
8
Паспорт проектной папки
Название
проекта______________________________________________
Руководитель
проекта______________________________________________
Консультанты проекта
______________________________________________
Предметный
цикл________________________________________________
Автор(ы)
проекта______________________________________________
Тип проекта (реферативный, информационный,
исследовательский, творческий, практико-ориентированный,
ролевой)
Цели
проекта______________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
Задачи
проекта______________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
Проблемные
вопросы_____________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
Необходимое
оборудование_________________________________________
Предполагаемый продукт
проекта______________________________________________
9
Оценка содержания
проекта______________________________________________
Оценка презентации
проекта______________________________________________
Руководитель проекта должен представить аннотацию, в
которой следует указать актуальность проекта, его
значение на уровне школы и социума, личностную
ориентацию автора проекта, воспитательный аспект и
краткое содержание работы.
ВИДЫ ПРЕЗЕНТАЦИЙ
Презентации учебных проектов могут быть проведены в
виде:
 Деловой игры
 Демонстрации видеофильма
 Диалога исторических или литературных персонажей
 Иллюстрированного сопоставления фактов, документов,
событий, эпох, цивилизаций
 Научной конференции
 Отчета исследовательской экспедиции
 Пресс-конференции
 Путешествия
 Экскурсии
 Рекламы
 Ролевой игры
 Соревнования
 Телепередачи
10
СИСТЕМА ОЦЕНКИ ПРОЕКТНЫХ РАБОТ
При подведении итогов научно-практической конференции
следует учитывать, что оценка проектов происходит по
предметным секциям и предполагает присуждение не только
1, 2, 3 место, но и номинаций « Лучшее исследование», «
Лучшая презентация», «Лучший проект» и др. Жюри должно
обязательно включать в свой состав специалистов по всем
предметам, отраженным в проектах данной секции.
Желательно было бы обнародовать рейтинговые оценки всех
представленных проектов, чтобы свой итоговый балл видели
все участники проектной деятельности. Оцениваться должна
не столько презентация, сколько качество проекта в целом.
Критерии оценки должны быть известны всем проектантам
задолго до защиты.
Примерные критерии оценки







Самостоятельность работы над проектом
Актуальность и значимость темы
Полнота раскрытия темы
Оригинальность решения проблемы
Артистизм и выразительность выступления
Раскрытие содержания проекта на презентации
Использование средств наглядности, технических
средств
 Ответы на вопросы
Не следует забывать, что всегда существует опасность
переоценить результат проекта и недооценить сам процесс.
Чтобы оценка получилась максимально объективной,
участникам
необходимо
внимательно
отнестись
к
составлению, преподавателям к оценке проектной папки.
11
При выполнении исследовательского проекта важно
избежать его превращения в реферат. Мало изучить какие-то
работы и грамотно изложить их содержание, - необходимо
выработать и представить собственную точку зрения на
источники информации, определить цель исследования и его
методику. Одним из наиболее непростых является вопрос о
реализации воспитательных задач в ходе проектной
деятельности. Следует помнить, что в философии
образования, основанной на проектной деятельности,
основные моральные принципы основываются на действии,
они должны быть «пережиты».
12
ОБЩЕУЧЕБНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ, КОТОРЫЕ
ФОРМИРУЮТСЯ В ХОДЕ ПРОЕКТНОЙ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ.
Рефлексивные умения:
 Умение осмысливать задачу, для решения которой
недостаточно знаний
 Умение отвечать на вопрос: чему нужно научиться для
решения поставленной задачи?
Поисковые (исследовательские ) умения:
 Умение самостоятельно изобретать способ действия
 Умение находить информацию
 Умение находить несколько вариантов решения
проблемы
 Умение выдвигать гипотезы
 Умение устанавливать причинно-следственные связи
Умения и навыки работы в сотрудничестве:
 Навыки коллективного планирования
 Умение взаимодействовать с любым партнером
 Навыки делового партнерского общения
 Умение находить и исправлять ошибки
Менеджерские умения и навыки:
 Умение проектировать процесс
 Умение планировать деятельность
 Умение принимать решения и прогнозировать их
последствия
 Навыки анализа собственной деятельности
Коммуникативные умения:
 Умение инициировать учебное взаимодействие со
взрослыми
 Умение вести дискуссию
 Умение отстаивать свою точку зрения
13
 Умение находить компромисс
 Навыки интервьюирования, устного опроса и др.
Презентационные умения и навыки:
 Навыки монологической речи
 Умение держаться во время выступления
 Артистические умения
 Умение использовать средства наглядности при
выступлении
 Умение отвечать на незапланированные вопросы
14
ПОНЯТИЙНЫЙ СЛОВАРИК «ПРОЕКТНЫХ
ТЕРМИНОВ»
Актуальность
исследования
–
характеристика
исследовательского этапа проекта, которая определяется
необходимостью
в
дополнении
существующих
теоретических данных, потребностями в новых методах,
потребностью практики. Следует объяснить, почему данную
проблему нужно в настоящее время изучать.
Вопросы
проекта
–
форма
постановки
задач,
предполагающая ответы участников проектной группы для
уяснения и раскрытия ими темы проектов.
Выход проекта (продукт проектной деятельности) –
разработанное участниками проекта в ходе его выполнения
реальное средство решения стоящей проблемы; результат
проектной деятельности.
Групповой проект – совместная учебно-познавательная,
исследовательская, творческая или игровая деятельность
учащихся, имеющих общую проблему, согласованные
методы и способы ее решения.
Дизайн
(дизайн-спецификация) важнейшая
разновидность проектной деятельности, имеющая целью
формирование эстетических функциональных качеств
предметной среды (например, изготовление изделия,
соединяющего в себе красоту и функциональность).
Долгосрочный проект – проект продолжительностью от
одной учебной четверти и более.
Задачи проекта – комплекс мер, необходимых для
достижения цели проекта. Постановка задач основывается на
делении цели на подцели, в результате чего может быть
сформулировано несколько задач.
Защита проекта – процесс представления результатов
проектной работы и презентации проекта, включающий
15
этапы вопросов-ответов и дискуссии. Актуален, как правило,
для исследовательских проектов.
Игровой (ролевой) проект – проект, в котором изначально
определены
лишь
роли
участников
и
правила
взаимоотношений между ними, тогда как структура, форма
продукта и результаты остаются открытыми.
Индивидуальный (персональный) проект – проект,
выполняемый одним учеником под руководством педагога.
Информационный проект - проект, в котором акцент
поставлен на работу с информацией и презентацию
продукта.
Исследовательский проект – проект, в котором
выдвигается и проверяется гипотеза с использование
современных научных методов.
Консультант – педагог или специалист, выполняющий
работу эксперта и организующий доступ к необходимым
источникам информации. Консультант
привлекается к
участию
в проекте, если по отдельным вопросам компетенции
руководителя недостаточно (например, по межпредметному,
телекоммуникационному или международному проекту).
Координация – способ управления работой проектной
группы учащихся; может быть открытой или скрытой.В
последнем случае руководитель проекта выступает в
качестве одного из участников.
Краткосрочный проект – проект продолжительностью от 1
до 6 уроков.
Монопроект - проект в рамках одного учебного предмета.
Оппонент – учащийся или преподаватель, который во время
защиты проекта выступает с возражениями по его
содержанию, чтобы выявить возможные противоречия или
другие противоречия представляемой работы.
16
Проектная папка – подборка рабочих материалов и
оформленных результатов работы над проектом.
Практико-ориентированный проект – проект, нацеленный
на решение социальной проблемы прикладного характера.
Презентация проекта – процесс публичного представления
заказчику или общественности результатов проектной
деятельности.
Проблема – сложный теоретический или практический
вопрос, требующий изучения, разрешения.
Проект – 1) Реалистичный замысел, план о желаемом
будущем, а также совокупность документов для создания
какого-либо продукта. Содержит в себе рациональное
обоснование и конкретный способ осуществления. 2) Метод
обучения, основанный на постановке социально значимой
цели и ее практическом достижении. В отличие от
проектирования, проект как метод обучения не привязан к
конкретному содержанию и может быть использован при
изучении любого предмета, а также межпредметного курса.
Проектирование – 1) Процесс разработки проекта с
фиксацией результата в какой-либо форме. Основные этапы
проектирования: обоснованный выбор будущего продукта;
разработка проекта и его документальное оформление;
макетирование и моделирование; оформление; защита
проекта. 2) Возможный элемент содержания образования.
Как правило, является разделом образовательной области
«Технология».
Проектная деятельность – форма учебной деятельности,
структура которой совпадает со структурой учебного
проекта.
Результаты проекта – 1) выход проекта; 2) проектная
папка; 3) педагогический результат, выражающийся в
развитии личностной и интеллектуальной сферы ученика,
17
формировании у него определенных общеучебных умений и
навыков.
Руководитель проекта – педагог, непосредственно
координирующий проектную деятельность группы или
индивидуального исполнителя проекта.
Среднесрочный проект – проект продолжительностью от
одной недели до одного месяца.
Структура проекта – последовательность этапов учебного
проекта. Включает в себя постановку социально значимой
проблемы, планирование деятельности по ее разрешению,
поиск необходимой информации, изготовление проектного
продукта и его презентацию, оценку и анализ проведенного
проекта.
Творческий проект – проект, центром которого является
творческий продукт.
Телекоммуникационный (учебный) проект – групповой
проект, выполненный при помощи средств компьютерной
телекоммуникации.
Учебный проект – проект, осуществляемый учащимися под
руководством
педагога
и
имеющий
не
только
прагматическую, но и педагогическую цель.
Цель проекта – модель желаемого конечного результата
проектной деятельности.
Этапы проекта – основные периоды работы над проектом.
18
ТЕМЫ ПРОЕКТНЫХ РАБОТ В 2003-2004 УЧЕБНОМ
ГОДУ
Математика, физика, информатика
1. Изучение избранных теорем планиметрии (теоремы
Чевы, Птолемея, Менелая, Аполлония
2. Кривые 2 порядка. Уравнения, геометрическое место
точек, построение
3. Делимость. Алгоритм Евклида
4. Изучение теории сравнений по одному модулю
5. Решение логических задач средствами булевой
алгебры.
6. Создание алгоритма обучающих программ.
7. Методы решения логических задач средствами
двоичной арифметики
8. Определение двоичной системы счисления и методы
ее использования.
9. Определение троичной системы счисления и методы
ее использования
10. Плавание тел переменного объема Игры в Delphi
11. Программирование в Delphi
12. Классические задачи комбинаторики. Генерация
комбинаторных объектов.
13. Перебор с возвратом. Некоторые классические
задачи.
14. Идеи метода динамического программирования.
Некоторые классические задачи
15. Метод ветвей и границ. Некоторые классические
задачи
16. Метод решета. Некоторые классические задачи
17. Арифметика многоразрядных целых чисел.
18. Алгоритмы на графах. Поиск в графе
19
19. Алгоритмы на графах. Связность. Эйлеровы циклы.
Гамильтоновы циклы
20. Простейшие алгоритмы сортировки
Химия
21. Изучение способов повышения коррозионной
стойкости стальных изделий
22. Исследование некоторых факторов, определяющих
скорость коррозии металлов и сплавов
23. Изучение процесса нанесения гальванических
покрытий на диэлектрики
24. Изучение пространственной геометрии
аллотропных модификаций простых веществ
25. Создание наглядных моделей молекул некоторых
органических веществ
26. Исследование некоторых особенностей процессов
электроосаждения драгоценных металлов
27. Изучение некоторых способов декоративной
обработки изделий из различных материалов
28. Изучение некоторых особенностей электролиза без
выделения металлов
29. Изучение некоторых способов разделения
гетерогенных смесей
История
30. Из истории налогообложения в России в 18-19 вв
31. Малоизвестные факты русско-турецкой войны
1854-1856 гг
32. Судьбы реформ и реформаторов России 19-20 вв.
33. Хроника строительства новой школы
34. «Дом, в котором я учусь» (рассказ о нас и наших
учителях).
Литература
35. Москва православная в русской литературе
20
36. Образ преподобного Сергия Радонежского в
литературе и искусстве
37. Абрамцево и его окрестности (разработка историколитературной экскурсии)
38. Донской монастырь. Некрополь Донского
монастыря (разработка историко-литературной
экскурсии
39. Разработка тематических кроссвордов по
литературе.
40. Планета Антуана де Сент-Экзюпери
41. Изображение утопического общества в романе
И.Ефремова «Час быка».
42. Разработка экскурсии по Москве М.А.Булгакова
43. Мистические и сказочные мотивы в произведениях
м.А.Булгакова и братьев Стругацких
44. Музыкальность поэзии Б.Л.Пастернака
45. Неологизмы в поэзии футуристов
46. Роман - фэнтези « Тайна древних» (творческая
работа
47. Отражение трагической судьбы В.Шаламова в его
произведениях
48. Дневник ученика школы. Лирические зарисовки
(творческая работа)
49. Основные тенденции развития современного
театрального искусства
50. Дуэль и ее изображение в русской литературе
51. История Франции 16 века на страницах
художественных произведений ( на примере
трилогии А.Дюма «Королева Марго», «Графиня де
Монсоро», « Сорок пять»)
52. Сказочные мотивы в поэме Н.В.Гоголя «Мертвые
души».
21
53. Сопоставительный анализ переводов сонетов
В.Шекспира Б.Л.Пастернака и С.Я.Маршака
Лингвистика
54. Разработка сценария праздника русского языка
55. Ономастика как раздел языкознания
56. Разработка тематических кроссвордов по русскому
языку.
57. Окружающая среда и ее защита глазами
англоязычных народов
58. Вклад американских писателей в мировую
художественную литературу
59. Знакомьтесь - Австралия (разработка маршрута
заочного путешествия по Австралии).
60. Основные жанры британской музыки 20 века
61. Канада знакомая и незнакомая
Искусство
62. Методы изображения состояний природы.
63. Что мы знаем о жанрах изобразительного
искусства?
64. «Украшение и фантазия» (изготовление
праздничных открыток).
65. «Сказки в картинках» (иллюстрации к русским
народным сказкам).
66. «Эти удивительные бабочки» (различные
технологии изготовления бабочек ).
67. «Баю-баюшки -баю» (создание коллекции детских
колыбельных песен)
68. «Потешные» прогулки по Москве (разработка
экскурсии).
69. История развития органной музыки(создание
историко-музыкальной композиции)
70. Спор о происхождении египетских пирамид
22
71. Прогулки по музыкальной Москве (разработка
экскурсии)
72. Из истории женского рукоделия (выставка детских
работ по бисероплетению и вышиванию).
Правоведение
73. Развитие трудового законодательства в России
(проблемно-исторический обзор)
74. Права и обязанности несовершеннолетних детей в
современном семейном законодательстве
75. Правовые особенности организации труда
несовершеннолетних
76. Трудные случаи наследования по закону
77. Трудные случаи наследования по завещанию
78. Особенности составления трудового договора
79. Защита прав потребителей в современном
российском законодательстве
80. Имущественные права и обязанности супругов в
современном российском законодательстве
География, биология
81. Составление плана Белгородской крепости по
повести А.С.Пушкина «Капитанская дочка» и
сравнение природы этой местности с описанием в
повести А.С.Пушкина
82. Климат Земли, его особенности, современные
изменения климата
83. Особенности природных зон России и их изменения
в результате хозяйственной деятельности человека
84. Формирование рельефа Европейского Севера на
примере Псковской и Новгородской областей
85. Генетика вчера, сегодня, завтра
86. Биология 21 века
87. Биотехнология, ее роль на современном этапе
23
ПРИМЕРЫ ПРОЕКТОВ ИЗ ПРАКТИКИ РАБОТЫ
ШКОЛЫ
Средняя школа №174
с углубленным изучением химии
г. Москвы
«РЕГЕНЕРАЦИЯ
СЕРЕБРА»
(секция химии и биологии)
Научные руководители:
учителя химии
Александрова Н.Б.
Сорокина К.Н.
Клоков Д.Ю.
Выполнили ученики
10»б» класса
Андреев И.
Мерзляков А.
Полыковская Е.
Москва, 2003
24
План работы
1. Введение
2. Теоретическая часть.
 Причины необходимости регенерации серебра
в промышленности и лабораториях
 Способы извлечения серебра
3. Экспериментальная часть
4. Заключение
5. Список использованной литературы
25
Введение
Цель данной работы: выяснение причин необходимости
регенерации серебра в промышленности и лабораториях и
ознакомление с основными проблемами этого процесса.
Осуществление
процесса
регенерации
серебра
в
лабораторных условиях. Приобретение навыков работы с
лабораторным оборудованием
Как известно, драгоценные металлы обладают рядом
важных специфических свойств (высокой химической
стойкостью,
электропроводностью,
отражательной
способностью, износостойкостью и др.). что приводит к
широкому применению этих металлов в радиотехнической,
приборостроительной, электронной и других отраслях
промышленности. Кроме того, благородные металлы
обладают прекрасными защитно-декоративными свойствами,
что способствует большому спросу на них в ювелирной,
часовой
и
медицинской
промышленности.
Электролитическое осаждение этих металлов позволяет
резко сократить их потребление по сравнению с
использованием деталей, целиком изготовленных из
драгоценных металлов. Значение электролитического
осаждения их возрастает в связи с уменьшающимися
мировыми запасами драгоценных металлов.
Объем использования драгоценных металлов в
промышленности огромен: это покрытия электрических
контактов, применение в производстве печатных плат, в
производстве
оптических
зеркал,
в
получении
неокисляющихся покрытий в различных средах.
Серебряные покрытия в промышленности из всех
драгоценных металлов занимают первое место. Серебро
обладает высокой электропроводностью и химической
устойчивостью, особенно в условиях действия щелочных
26
растворов
и
большинства
органических
кислот.
Гальванические серебряные покрытия применяются, в
основном, для улучшения электропроводящих свойств
токонесущих деталей, защиты химической аппаратуры и
приборов от коррозии, а также для декоративной отделки
изделий.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Причины необходимости регенерации серебра в
промышленности и лабораториях.
Можно
выделить
четыре
основных
случая
необходимости извлечения серебра в промышленных и
лабораторных условиях:
1) в случае брака покрытия на посеребренных изделиях;
2) из ванн с непроточной промывной водой;
3) в случае выхода из строя электролита серебрения;
4) из кислых травильных растворов (в случае нанесения
электролитического покрытия на серебряное изделие).
Следует
остановиться
подробнее
на
причинах
возникновения каждого из них.
1. Брак покрытия
На серебрёных деталях иногда наблюдается образование
пузырей или отслаивание покрытия. Часто эти недостатки
обнаруживаются лишь при эксплуатации изделий. В
большинстве случаев причина их заключается в
27
неправильной предварительной обработке деталей, которые
подвергаются серебрению.
Причиной этих недостатков могут быть также дефекты
самого металла, например риски, поры, усадочные раковины,
остатки шлака и т.д., возникающие при изготовлении
изделий. В поры и раковины основного (покрываемого)
металла попадают агрессивные растворы, которые вызывают
его коррозию. Особого внимания требуют места пайки.
Серебро может не осаждаться на этих местах. Если в порах
основного металла остается электролит, то в дальнейшем при
выдержке его во влажной атмосфере на поверхности серебра
образуются пятна величиной с булавочную головку.
Причиной образования пятен –может быть также
применение некачественных полировочных паст.
В большинстве случаев подлежащие серебрению металлы
менее благородны, чем серебряное покрытие. В связи с этим
возникает опасность осаждения серебра при погружении
деталей в электролит за счет контактного обмена. В таком
случае
катодно
осаждаемое
серебряное
покрытие
недостаточно прочно пристает к основному металлу.
Следствием этого является образование пузырей и
отслаивание серебра. Иногда эти недостатки наступают лишь
после продолжительной выдержки.
2. Ванны с непроточной промывкой
Особое значение при гальваническом серебрении имеет
промывка. Так как с деталями после процесса
электрохимического или химического серебрения всегда
уносится из ванны часть электролита, то ввиду высокой
стоимости серебра применяют сначала промывку в ваннах с
непроточной водой, которая после обогащения электролитом
переливается в ванну серебрения или поступает на
регенерацию серебра из раствора.
28
Из ванн серебрения уносится с гладкими деталями 0,6мл
электролита, а с профилированными – 1,6мл на каждый 1дм2
обрабатываемой поверхности. Количество уносимого
серебра зависит от различных факторов, которые можно
объединить в три группы:
1) Форма и состояние поверхности деталей.
Значительное количество электролита уносится из
ванны полыми деталями и деталями с загнутыми краями;
2) Состав и физические свойства электролита.
От состава электролита зависят его физические
свойства: плотность, вязкость и поверхностное натяжение
раствора. С повышением плотности снижаются потери за
счет уноса электролита, в то время как с увеличением
вязкости толщина прилипшей пленки возрастает. На
состав и физические свойства электролита влияет не
только
природа
неорганических
соединений,
относящихся к основным компонентам раствора, но и
наличие в электролите различных добавок (например,
блескообразователей),
являющихся,
как
правило,
сложными органическими веществами и, в большинстве
случаев,
снижающих
поверхностное
натяжение
электролита.
3) Условия работы.
С увеличением скорости выгрузки деталей из ванны
серебрения растет количество уносимого раствора.
3. Выход из строя электролита серебрения
В ванне, используемой для серебрения длительное время,
накапливаются карбонаты калия. Карбонат калия вводится в
электролит серебрения для увеличения электропроводности
раствора и улучшения структуры покрытия. При избытке
карбонатов в электролите, во-первых, может наступить
солевая пассивация, во-вторых, осадки серебра получатся
29
чрезвычайно мягкими и качество покрытия ухудшится,
поэтому избыток карбонатов необходимо удалять. Если
вместо карбоната калия в электролите находится карбонат
натрия, то его избыток можно удалить с помощью
вымораживания.
Соли
натрия
обладают
меньшей
растворимостью и при охлаждении в осадок в первую
очередь будет выпадать Na2CO3. Однако, карбонаты калия
невозможно удалить с помощью вымораживания. От них
можно избавиться с помощью цианида бария, что, однако,
очень дорого из-за цены этого вещества и неизбежных
потерь серебра при фильтровании осадка. Более простой
способ состоит в частичной замене ванны. При очень
большой (>100 г/л) концентрации карбонатов вместо
трудоёмкого их удаления рациональнее извлекать серебро из
ванны в металлическом виде.
4. Кислые травильные растворы.
При нанесении гальванических покрытий на изделия из
серебра детали подвергают предварительной обработке.
Одной из операций подготовки является снятие с
поверхности металла, на который будет осаждаться
покрытие, неорганических загрязнений (солевых, оксидных и
гидроксидных пленок). Как правило, травление серебряных
изделий осуществляют в азотной кислоте. Понятно, что в
процессе травления в раствор переходят не только
неорганические
пленки,
покрывающие
поверхность
серебряных деталей, но и часть самого металла. В связи с
этим возникает проблема извлечения серебра из кислых
травильных растворов.
30
Способы извлечения серебра
Теперь давайте ознакомимся со способами извлечения
серебра, применяемыми в промышленности и в
лабораториях. Они, в свою очередь, зависят от причин, в
связи с которыми необходима регенерация.
1. Рассмотрим случай, когда мы имеем некачественное
серебряное покрытие на изделии. Во-первых, необходимо
удалить серебряное покрытие с детали, переведя
металлическое серебро в раствор.
Для удаления серебра с медных изделий служит раствор,
состоящий из смеси концентрированных серной и азотной
кислот, взятых в массовом соотношении 19 к 1,2. Перед
растворением изделие должно быть совершенно сухим.
Раствор нагревают до 800С.
Вместо смеси обеих кислот можно применять
концентрированную серную кислоту с добавлением нитрата
натрия (70 г/л) при 800С.
Для полного удаления забракованных серебряных
покрытий детали завешивают в электролит, состоящий из
раствора цианистого калия с концентрацией 50-70г/л, и
подвергают анодному растворению. В качестве катодов
могут быть использованы угольные или графитовые
пластины.
При анодном растворении серебра в цианистом кали,
возможно, и
растворение меди или медного подслоя
деталей, поэтому после использования цианистого
электролита находящееся в нём серебро может быть
извлечено в виде AgCl путём осторожного подкисления
электролита малыми дозами HCl в вытяжном шкафу
(выделяется ядовитый газ циановодород). Ввиду высокой
опасности указанной операции её выполнение может быть
поручено только квалифицированным исполнителям.
31
Серебро осаждается в виде белого творожистого осадка
хлорида, которому дают отстояться не менее суток.
Проверку на полноту осаждения серебра производят
добавлением соляной кислоты к отфильтрованной пробе
раствора. Осадок хлористого серебра фильтруют через
плотную бязевую ткань, промывают и сушат при 105-1200С.
Возможно также извлечение серебра из цианистых
щелочных электролитов путём введения эквивалентного
количества цинковой пыли или стружки.
Со
стальных
изделий
серебро
удаляют
электролитическим путём в растворе, содержащем цианид
натрия (75 г/л) и едкий натр (20 г/л). Изделия завешивают на
анод, а в качестве катода служат стальные листы, на которых
осаждается серебро, необходимое для получения хлорида
серебра. Рабочее напряжение ~ 4 В.
На изделиях из коррозионной стали под слоем серебра
обычно находится никелевый подслой, который с трудом
растворяется во время анодной обработки в цианидном
растворе. Более практично после грубого удаления серебра в
растворе для анодной обработки перенести промытые
изделия в 50%-ную азотную кислоту, где наступает полное
удаление никеля и остатков серебра. Поверхность
коррозионной стали не подвергается никаким изменениям.
2. Извлечение серебра из ванн с непроточной промывной
водой, которые служат для улавливания солей серебра,
уносимых на поверхность деталей, можно производить
посредством выпаривания воды и разрушения остатка
цианидов соляной кислотой, как описано выше.
В производстве практикуют извлечение серебра из
промывных вод фильтрованием через колонки, заполненные
ионообменными
(анионитными)
смолами,
которые
адсорбируют серебро, золото и прочие тяжелые металлы.
32
После насыщения смолу сжигают, а серебро извлекают из
золы азотной кислотой с последующим осаждением его
хлоридами.
3. В случае выхода из строя электролита, по причине
накопления избыточного количества карбонатов калия модно
использовать следующий способ регенерации серебра. В
ванну с электролитом помещают две пластины из
коррозионно-стойкой стали, одну из них соединяют с
положительным полюсом источника тока, вторую - с
отрицательным, и пропускают ток плотностью ~0.5А/дм2. На
катоде осаждается серебро, слабо соединённое с
коррозионно-стойкой сталью. Анод покрывается тёмным
шламом, который необходимо через некоторое время
удалять стальной щеткой.
Таким способом можно утилизировать ~80% Ag.
Оставшееся в ванне серебро можно выделить химически,
добавляя
небольшими
порциями
при
постоянном
перемешивании алюминиевый порошок. Оседающий
серебряный шлам, отфильтровывают, тщательно промывают
5% NaOH (для удаления избытка алюминия), затем чистой
водой и сушат. Вместо алюминиевого порошка можно
использовать цинковую пыль.
Серебро, осажденное на электродах из коррозионностойкой стали и полученное в виде порошка, может служить
в качестве сырья для подготовки ванны серебрения.
4. Из кислых травильных растворов серебро извлекается в
виде хлорида серебра добавлением соляной кислоты
AgNO3 + HCl  AgCl + HNO3
Раствор рекомендуется сильно разбавлять водой и
добавлять соляную кислоту до тех пор, пока не прекратится
33
выпадение осадка. Полученный осадок можно использовать
для – приготовления электролита.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Целью нашей работы являлась отработка методики
регенерации серебра с деталей, имеющих некачественное
серебряное покрытие. Метод подразделяется на три
основных этапа:
1. Растворение некачественного серебряного покрытия в
концентрированной азотной кислоте.
2. Перевод серебра из раствора в хлорид с помощью
насыщенного раствора хлорида натрия.
3. Восстановление хлорида серебра цинком.
ПРИБОРЫ И МАТЕРИАЛЫ
1. Модельный раствор, полученный растворением
некачественно посеребрённой медной детали в
азотной кислоте
2. Поваренная соль (NaCl)
3. Цинковая стружка
4. 2-3 литра горячей дистиллированной воды
5. Серная кислота
6. Стакан термостойкий(2)
7. Стеклянная палочка
8. Выпаривательная чашка
9. Газовая горелка
10. Треножник
11. Асбестовая сетка
34
ХОД РАБОТЫ
1. Растворение некачественного серебряного покрытия.
Бракованную посеребрённую деталь помещают в
концентрированную азотную кислоту:
Ag+2HNO3=AgNO3+NO2+H2O
При этом выделяется ядовитый бурый газ, вызывающий
отёк лёгких, поэтому процесс необходимо проводить под
тягой! Растворение проводят до полного снятия серебра с
изделия. Затем деталь извлекают из ванной и тщательно
промывают. Полученный раствор идет на дальнейшую
регенерацию.
2.
Приготовление насыщенного раствора NaCl. К
~200мл горячей дистиллированной воды (в термостойком
стакане) добавляют поваренную соль при перемешивании
стеклянной палочкой. Растворение проводят до тех пор,
пока NaCl не перестанет растворяться.
3.
Выпадение осадка хлорида серебра. В процессе
снятия серебряного покрытия часть медной основы также
перешла в раствор вместе с серебром (медь прекрасно
растворяется в концентрированной азотной кислоте),
поэтому необходимо перевести серебро в нерастворимое
соединение. Для этого модельному раствору, полученному
в ходе первой операции (в термостойком стакане)
приливают полученный горячий насыщенный раствор
поваренной соли. Выпадает белый творожистый осадок.
Продолжают приливать NaCl до полного выпадения осадка.
Нужно остерегаться избытка NaCl, так как осадок может
раствориться,
образовав
растворимое
комплексное
соединение – дихлораргентат натрия Na[AgCl2]. Правильная
35
реакция – Ag++NaCl=AgCl+Na+;
Ag++2NaCl=Na[AgCl2]+Na+ .
при
избытке
–
4. Промывание раствора хлорида серебра. Так как на
осадке могут остаться соединения меди и натрия, его
необходимо тщательно промыть. Как только хлорид
серебра полностью осядет на дно стакана, раствор
аккуратно сливают (декантируют). Затем к осадку
приливают горячую воду и содержимое стакана
перемешивают стеклянной палочкой. После отстаивания
воду сливают. Эту процедуру выполняют до помутнения
раствора. Это означает, что среда раствора стала
нейтральной, так как в нейтральной среде хлорид серебра
гидролизуется по катиону (AgCl+H2O=AgOH+HCl).
Гидролиз подавляется добавлением 2-3-х капель H2SO4.
Затем жидкость сливают. Осадок промыт.
5. Восстановление серебра цинком. К полученному на
предыдущей стадии осадку хлорида серебра приливают
горячую дистиллированную воду, подкисляют серной
кислотой и добавляют цинковую стружку. Начинает
выпадать тёмно-серый порошок – серебро. При
перемешивании стеклянной палочкой реакция пойдёт
быстрее, так как увеличивается площадь соприкосновения.
Когда весь белый осадок исчезнет, непрореагировавший
цинк вынимают и раствор сливают. Идёт процесс –
2AgCl+Zn=ZnCl2+2Ag.
6. Промывание и сушка серебра. Полученное серебро не
менее трёх раз промывают горячей водой. Порошок серебра
выкладывают в выпаривательную чашку и сушат на газовой
горелке. После сушки порошок можно проверить – при
растирании на бумаге серебро блестит. Плавят серебро на
ацетиленовой горелке с температурой около 1300 К.
36
Заключение
Таким образом, в ходе данной работы мы пришли к
следующим выводам:
1. Регенерация серебра является неотъемлемой частью
производства на предприятиях и в лабораториях, имеющих
дело с серебром и нанесением гальванических серебряных
покрытий, так как серебро является дорогим металлом и его
потери нежелательны. В любом из этих методов при
квалифицированном исполнении теряется не более 1%
серебра.
2. В данной работе был произведен анализ причин, из-за
которых возникает проблема регенерации серебра в
промышленных и лабораторных условиях. К таким причинам
относятся:
- брак серебряных покрытий;
- унос части электролита серебрения с покрываемой
деталью в ванны непроточной промывки (ванны
улавливания);
- выход из строя электролита серебрения;
- травление серебряных изделий (в случае, когда
покрытие наносится на серебряную деталь).
3. В ходе проделанной работы была освоена методика
извлечения серебра, полученного путем растворения
некачественного серебряного покрытия с медной детали, и
последующей переработкой до металлического серебра,
которое может быть использовано, например, для
приготовления нового электролита серебрения. Данный
способ подходит не только для медных деталей, но и для
изделий из медных сплавов.
4. В процессе работы были приобретены навыки работы в
химической лаборатории.
37
Список исползованной литературы
1. Буркат Г.К., «Серебрение, Золочение, палладирование и
родирование», 1984.
2. Вирбилис С.,
«Гальванотехника
Справочник, 1990.
для
мастеров»,
3. Гальванотехника, справочник под редакцией Ф.Ф.
Ажогина 1987.
4. Крузенштерн А.,
металлов», 1974.
«Гальванотехника
драгоценных
5. Ямпольский А.М., Ильин В.А., «Краткий справочник
гальванотехника», 1981.
38
Средняя школа №174
с углубленным изучением химии
г. Москвы
ЛИНИИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
( СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ)
Научный руководитель:
учитель математики
Волкова А. А.
Выполнили ученицы
10 «г» класса
Родионова А.
Колесникова О.
Москва 2003
39
План работы
1.Введение (цели и задачи работы)
2. Классификация линий второго порядка
 Эллипс
 Оптические свойства эллипса
 Гипербола
 Оптические свойства гиперболы
 Парабола
 Оптические свойства параболы

3. Полярная система координат
4. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
5. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
6. Заключение (итоги и выводы работы)
7. Список использованной литературы
40
Введение
В курсе школьной программы линии второго порядка
зачастую изучаются в несколько упрощенной форме.
Обычно говорится о параболе, гиперболе и окружности без
ссылок на то, откуда получаются такие уравнения и какими
свойствами обладают их функции. А ведь они играют
немаловажную роль не только в математике, но и в других
науках, к примеру, в физике.
Эта работа позволит желающим чуть глубже познакомиться
с основными линиями второго порядка, их свойствами и
особенностями.
Главной задачей, которую мы поставили перед собой
при создании этого проекта, стала систематизация знаний по
линиям второго порядка. В этой работе представлены общие
сведения о линиях второго порядка, а также основные
свойства и интересные факты, касающиеся частных случаев
линий, то есть эллипса, гиперболы и параболы. Также мы
хотели изложить тему на доступном уровне, для широкого
круга читателей по возможности наглядно.
Вопрос, касающийся темы нашей работы, то есть
уравнений и линий второго порядка, достаточно важен с
точки зрения знакомства с азами аналитической геометрии.
Этот проект поможет разобраться в тонкостях свойств
известных вам функций, а также в их происхождении и
значении.
41
Классификация линий второго порядка
Мы будем рассматривать линии второго порядка на
плоскости. Такую линию можно задать уравнением второго
порядка общего вида:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,
(1)
в котором коэффициенты A, B и C не равны нулю
одновременно.
Мы хотим исследовать, что представляет собой
произвольная линия второго порядка. Для этого мы
зададимся некоторым уравнением (1), причем не будем
относительно него предполагать ничего, кроме того, что А, В
и С не равны одновременно нулю. Найдем множество точек,
которые удовлетворяют уравнению (1), не предполагая
заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью
мы будем менять декартову систему координат так, чтобы
уравнение стало возможно проще. С самого начала будем
считать систему координат декартовой прямоугольной, так
как при переходе прямоугольной системе общий вид
уравнения (1) не изменится.
При повороте базиса декартовой прямоугольной
системы координат на угол φ старые координаты x, y будут
связаны с новыми координатами x’, y’ формулами перехода:
x=x’cosφ–y’sinφ, y=x’sinφ+y’cosφ.
В новых координатах уравнение (1) примет вид:
A(x’cosφ–y’sinφ)2 + 2B(x’cosφ–y’sinφ)(x’sinφ+y’cosφ) +
C(x’sinφ+y’cosφ)2 +
+ 2D(x’cosφ–y’sinφ) + 2E(x’sinφ + y’cosφ) + F=0
42
Нас будет интересовать член с произведением x’y’ в
преобразованном уравнении.
Можно легко подсчитать, что коэффициент:
B’ = –A sinφ cosφ + B (cos2φ–sin2φ) +C sinφ cosφ.
Если В = 0, то поворачивать систему координат не будем.
Если же В ≠ 0, то выберем угол φ так, чтобы B’ обратилось в
нуль. Это требование приведет к уравнению 2B cos2φ = (A–
C) sin2φ для φ.
Если А = С, то cos2φ = 0 и можно положить φ = π/4.
Если же А ≠ С, то выбираем φ = ½ arctg [2B/(A–C)].
Для нас сейчас важно то, что хоть один такой угол всегда
существует.
После поворота системы координат на этот угол
рассматриваемое уравнение заменится на уравнение:
A’x’2 + C’y’2 + 2D’x’+2E’y’+F’=0 (2)
Выражения для коэффициентов уравнения (2) через
коэффициенты уравнения (1) и угол φ получить нетрудно, но
они нам не нужны. Важно только, что за счет поворота
системы координат произвольное уравнение второго порядка
можно привести к виду (2).
Теперь B’ = 0, а остальные коэффициенты мы по-прежнему
считаем произвольными.
Сформулируем следующее вспомогательное
Предложение 1. Если в уравнение (2) входит (с ненулевым
коэффициентом) квадрат одной из координат, то при
помощи
переноса
начала
координат
вдоль
соответствующей оси можно обратить в нуль член с
первой степенью этой координаты.
В самом деле, пусть, например, A’ ≠ 0. Перепишем (2) в виде
A’ (x’2 + 2D’x’/A’ + (D’/A’)2 ) + C’y’2 + 2E’y’ + F’ – D’2/A’ =0.
Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый
формулами x’’ = x’ + D’/A’, y’’ = y’, то уравнение (2)
43
приведется к виду A’x’’2 + C’ y’’2 +2E’y’’ + F’’ = 0.
Предложение доказано.
1. Предположим, что в уравнении (2) A’C’ ≠ 0, т.е. A’ и C’
оба отличны от нуля. Согласно предложению 1 уравнение
может быть приведено к виду:
A'x"2 + C' y"2 + F" = 0.
(2')
Могут быть сделаны следующие предположения
относительно знаков коэффициентов в этом уравнении.
1) Коэффициенты A’ и C’ имеют один и тот же знак.
Тогда для знака F’’ имеются три возможности:
a) Знак F’’ противоположен знаку A’ и C’.
x"2
+
a2
y"2
=
b2
1,
(3)
Перенесем F’’ в правую часть равенства и
разделим на него. Уравнение примет вид:
где а2 = -F"/A', b2 = -F"/С'.
Мы можем считать, что в этом уравнении a≥b.
В самом деле, если a<b, то можно сделать
дополнительную замену координат:
х*= y", y* = x". (4)
Определение. Линия, которая в некоторой
декартовой прямоугольной системе координат
может быть задана уравнением (3) при условии a≥b,
называется каноническим уравнением эллипса.
При a=b уравнение (3) есть уравнение окружности
радиуса a. Таким образом, окружность есть частный
случай эллипса.
b) Знак F" совпадает со знаком A' и C'. Тогда,
аналогично предыдущему, мы можем привести
x"2
a2
+
y"2
b2
=
-1.
(5)
уравнение к виду
44
Этому уравнению не удовлетворяют координаты
ни одной точки. Уравнение, которое приводится
к
каноническому
виду
(5),
называется
уравнением мнимого эллипса.
c) F" = 0. Уравнение имеет вид:
а2x"2 + с2y"2 = 0. (6)
Ему удовлетворяет только одна точка х"=0, у"=0.
Уравнение, приводящееся к каноническому виду
(6), называется уравнением пары мнимых
пересекающихся прямых. Основанием для такого
названия служит сходство с приведенным ниже
уравнением (8).
2) Предположим, что в уравнении (2') коэффициенты А' и
С' имеют разные знаки. Относительно свободного
члена возможны два предположения.
a) F"=0. в случае необходимости делая замену (4),
мы можем считать, что знак F" противоположен
x"2
a2
y"2
x"2
+
a2
y"2
= 1,
b2
b2
=
1,
(7)
знаку А", тогда уравнение приводится к виду:
где а2 = -F"/A', b2 = F"/С'.
Определение. Линия, которая в некоторой
декартовой прямоугольной системе координат
может быть задана уравнением (7), называется
гиперболой, а уравнение (7) – каноническим
уравнением гиперболы.
b) F"=0. Уравнение имеет вид:
а2x"2 – с2y"2 = 0.
(8)
его левая часть раскладывается на множители:
(ax" – cy")(ax" + cy")
45
и, следовательно, обращается в нуль тогда и
только тогда, когда равен нулю хоть один из
множителей. Поэтому линия с уравнением (8)
состоит из двух прямых, которые пересекаются в
начале координат. Таким образом, мы имеем
пару пересекающихся прямых.
2. Допустим теперь, что А'С'=0 и , следовательно, один из
коэффициентов А' или С' равен нулю. В случае
необходимости делая замену (4), мы можем считать, что
А'=0. заметим, что С'≠0, так как иначе порядок
уравнения(2) понизился бы. Используя предложение 1, мы
приведем уравнение линии к виду:
С'у"2 + 2D'х' + F" = 0.
a) Допустим, что D'≠0. сгруппируем члены
следующим образом:
С'у"2 + 2D' (х' - F"/2D') = 0.
Теперь очевидно, что, перенеся начало координат
вдоль оси абсцисс в соответствии с формулами
перехода х* = х' + F"/2D', у* = у', мы приведем
уравнение к виду:
С' у*2 + D'х* = 0,
или
у*2 = 2рх*,
(9)
где р = –D'/C'. Мы можем считать, что p>0, т.к. в
противном
случае
можно
сделать
дополнительную замену координат, изменяющую
направление оси абсцисс.
Определение. Линия, которая в некоторой
декартовой прямоугольной системе координат
может быть задана уравнением (9) при условии
46
p>0, называется параболой, а уравнение (9) –
каноническим уравнением параболы.
b) Допустим теперь, что D' = 0, т.е. уравнение имеет
вид:
С'у"2 + F" = 0.
Если знаки С' и F" противоположны, то, разделив
на С', мы можем записать:
у"2 – а2 ≡ (у' – а)(у' + а) = 0.
Обращение в нуль каждого из множителей
определяет прямую и вся линия представляет
собой пару параллельных прямых.
Если знаки С' и F" совпадают, то, разделив на С',
мы приводим уравнение к каноническому виду
у"2 + а2 = 0.
(10)
этому уравнению не удовлетворяет ни одна
точка.
Уравнение,
приводящееся
к
каноническому виду (10), называется уравнением
пары мнимых параллельных прямых.
Может случиться, что F"=0. Тогда уравнение
линии равносильно у"2 =0. линия второго
порядка представляет собой прямую. Левая часть
уравнения (1), приводящегося к каноническому
виду у"2 =0, представляет собой квадрат
линейного многочлена, и поэтому уравнение
эквивалентно линейному. Такое уравнение носит
название уравнения пары совпавших прямых.
Соберем вместе полученные результаты.
Пусть в декартовой системе координат задано уравнение
второго порядка
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0.
Тогда существует такая декартова прямоугольная система
1.
x2
a2
+
y2
b2
=
1,
47
координат, в которой это уравнение принимает один из
следующих девяти канонических видов:
3. а2х2 + с2у2 = 0,
x2
4.
2.
x2
—
a2
a2
+
y2
=
b2
y2
b2
=
1,
–1,
5. а2х2 – с2у2 = 0,
6. у2 = 2рх,
7. у2 – а2 = 0,
8. у2 + а2 = 0,
9. у2 = 0.
В соответствии с этим существует семь классов линий
второго порядка:
1) эллипсы,
3) точки (пары мнимых пересекающихся прямых),
4) гиперболы,
5) пары пересекающихся прямых,
6) параболы,
7) пары параллельных прямых,
9) прямые (пары совпавших прямых).
Уравнению 2) мнимого эллипса и уравнению 8) пары
мнимых параллельных прямых не удовлетворяет ни одна
точка.
Эллипс
Эллипсом мы назвали линию,
которая в некоторой
декартовой прямоугольной
системе координат определяется
y
каноническим уравнением:
2
x2
a22
а
+
+
b22
b
= 1
(1)
48
при условии a≥b. Система координат, о которой говорится в
определении, называется канонической.
Из уравнения (1) сразу следует, что для всех точек эллипса |
x | ≤ а и | y | ≤ b, т.е. эллипс лежит внутри прямоугольника со
сторонами 2a и 2b.
Точки пересечения эллипса с осями канонической системы
координат, имеющие координаты (a,0), (-a,0), (0,b) и (0,-b),
называются вершинами эллипса. Расстояния от начала
координат до вершин a и b называются соответственно
большой и малой полуосями эллипса.
Поскольку в каноническое уравнение (1) входят только
квадраты координат, это уравнение обладает следующим
свойством: если координаты (х, у) какой-либо точки М ему
удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты (-х, у),
(х, -у) и (х, -у) точек М1, М2 и М3.
b
M1
M
e2
-a
0
M3
e1
a
M2
-b
Отсюда вытекает такое предложение.
Предложение 1. Для эллипса оси канонической системы
координат являются осями симметрии, а начало
канонической системы – центром симметрии.
49
Центр симметрии называют просто центром эллипса.
Внешний вид эллипса (1) проще всего описать, сравнив его с
окружностью радиуса а с центром в центре эллипса.
Уравнение этой окружности напишем в виде
При каждом х таком, что | x | < а, найдутся две точки
окружности с ординатами ±а√1 – x2/а2 и две точки эллипса с
ординатами ±b√1 – x2/а2. Пусть точке окружности
соответствует точка эллипса с ординатой того же знака.
Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/а.
Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к
оси абсцисс, при котором ордината каждой точки
уменьшается в одном и том же отношении b/a.
a
b
0
a
Эллипс как сжатие окружности.
Здесь b/a=1/2.
С эллипсом связаны две замечательные точки,
называемые его фокусами. Пусть по определению
c2 = a2 – b2
(2)
и с≥0. Фокусами называются точки F1 и F2 с координатами
соответственно (с,0) и (-с,0) в канонической системе
координат.
50
Для окружности с=0 и оба фокуса совпадают с центром.
Ниже мы будем предполагать, что эллипс не является
окружностью.
Отношение ε = с/а называется эксцентриситетом эллипса.
Отметим, что всегда ε<1.
Предложение 2. Расстояние от произвольной точки М
(х,у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является
линейной функцией от ее абсциссы х:
r1 = | F1M | = a – ε x
r2 = | F2M | = a + ε x
(4)
Доказательство. Очевидно, что
r1 = √ (x - c)2 + y2
M (x,y)
r2
F2 (-c,0)
r1
0
F1 (c,0)
Подставим сюда выражение y2, найденное из уравнения
эллипса. Мы получим
r1 = √ x2 – 2xc + c2 + b2  b2x2/a2
51
r1 = √ а2 – 2xc + с2x2/a2
Преобразуем подкоренное выражение, учитывая равенство
(2):
Мы видим, что под корнем стоит квадрат линейного
двучлена, т.е. r1 = | a – εx |. Так как ε < 1 и х  а, имеем a – εx
 0. Мы доказали первое из равенств (4). Второе
доказывается аналогично.
Предложение 3. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе,
необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до
фокусов равнялась большой оси эллипса 2а.
Необходимость условия очевидна: если
равенства (4) почленно, то увидим, что:
r1 + r2 = 2a. (5)
мы
сложим
Докажем достаточность. Пусть для точки М (х, у)
выполняется условие (5). Тогда:
√ (x – c)2 + y2 = 2а – √ (x + c)2 + y2 .
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем
подобные члены:
хс + а2 = а  (х + с)2 + у2.
(6)
Это равенство также возведем в квадрат и приведем
подобные члены, используя равенство (2). Мы придем к
равенству, равносильному уравнению эллипса (1).
С эллипсом также связаны две замечательные прямые,
называемые его директрисами. Их уравнения в канонической
системе координат:
х = а/ε и х = – а/ε (7)
52
K2
d2
M
d1
r1
r2
-a/ε
-a
K1
F2
0
F1
a
a/ε
Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от
центра, будем считать соответствующими друг другу.
Предложение 4. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе,
необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния
до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы
равнялось эксцентриситету эллипса ε.
Докажем это предположение для фокуса F2 (-с, 0).
Обозначим расстояние от произвольной точки М (х, у) до
директрисы с уравнением х = – а/ε через d2. Тогда, (согласно
формуле нахождения расстояния от произвольной точки до
прямой):
d2 = х + а/ε = 1/ε (εx – a),
что только множителем 1/ε отличается от выражения (4) для
r2.
Обратно, пусть для какой-нибудь точки плоскости r2/d2 = ε,
т.е.
√ (x + c)2 + y2
х + а/ε
=ε
53
Учитывая, что ε = с/а, это равенство легко привести к виду
(6), из которого, как мы знаем, вытекает уравнение эллипса.
Для другого фокуса предложение вытекает из симметрии
эллипса относительно оси ординат канонической системы
координат.
Получим теперь уравнение касательной к эллипсу,
заданному каноническим уравнением. Известно, что угловой
коэффициент прямой, которая касается графика функции в
какой-либо точке (х0, у0), равен производной этой функции в
точке х0. Пусть у0≠0. Через точку (х0, у0) на эллипсе проходит
график функции f(х), целиком лежащей на эллипсе. (Для у0>0
– это график функции f1(x) = b √ 1 – x2/a2, а для у0<0 – это
график функции
f1(x) = –b √ 1 – x2/a2. Не уточняя знак у0, обозначим через
f(x) подходящую функцию.)
Для функции f(x) выполнено тождество
x2
(f(x))2
+
a2
1
=
b2
Дифференцируя его по х, находим
2x
a2
2ff'
+
b2
0
=
Подставляя х = х0, f (x0) = y0 и решая относительно f' (x0),
получаем, в силу у0≠0:
f' (x0)
=
–
b2
x0
a2
y0
Теперь мы можем написать уравнение касательной в точке
(х0, у0):
54
у
=
–
b2 х 0
b2 х02
х + у0 +
a2 у0
a2 у0
Для упрощения это уравнение можно преобразовать к виду:
х х0
a2
у у0
+
b2
1
=
(8)
При выводе уравнения мы исключили вершины эллипса (а,
0) и (-а, 0), положив у0≠0. Для этих точек уравнение (8)
превращается соответственно в уравнения х = а и х = -а,
которые определяют касательные в вершинах. Проверить это
можно, заметив, что в вершинах х как функция от у достигает
экстремума.
Оптические свойства эллипса
Теорема. Касательная к эллипсу в произвольной его точке М0
является биссектрисой внешнего угла М0 треугольника
F1M0F2, имеющего своими вершинами фокусы F1 и F2 эллипса
и данную точку M0.
Доказательство. Рассмотрим уравнение касательной к
эллипсу
х2
а2
+
у2
= 1
b2
В данной на нем точке М
0 (х0,ууу0):
хх
0
а2
+
0
b2
- 1 = 0.
Отношение расстояний h1 и h2 от фокусов F1 (-c, 0) и F2 (c, 0)
эллипса до касательной в точке M0 (x0, y0) равно отношению
55
модулей результатов подстановки координат фокусов F1 и F2
в левую часть уравнения касательной:
h1 : h2 = |– cx0/a2 – 1| : |cx0/a2 – 1| = |1 + ex0/a| : |1 – ex0/a| =
= |a + ex0| : |a – ex0| = r1 : r2.
Отметим, что результаты подстановок – cx0/a2 – 1 и cx0/a2 – 1
координат фокусов F1 (-c, 0) и F2 (c, 0) в левую часть
уравнения касательной – числа одного знака:
- cx0/a2 – 1 = - ex0/a – 1 = - (ex0 + a)/a = - r1/a < 0,
cx0/a2 – 1 = ex0/a – 1 = - (a – ex0)/a = - r2/a < 0,
поэтому оба фокуса F1 и F2 расположены по одну сторону от
касательной к эллипсу в произвольной его точке.
y
Обозначим через Р1 и
Р2
основания
P
Q
перпендикуляров,
M
h
опущенных из фокусов
P
r
r
эллипса
на
h
F
0
F
x
касательную к нему,
FP
FM
=
проведенную
в точке
FP
FM
М0. Тогда ∆ F1P1M0 ~
∆F2P2M0, так как оба
они прямоугольные, и
по доказанному
1
0
1
1
1
2
2
2
2
1 1
1
0
2 2
2
0
поэтому
<F1M0P1 = <F2M0P2,
следовательно,
<F1M0P1 = <P1М0Q,
где Q лежит на продолжении отрезка F2M0 за точку M0.
Из этой теоремы непосредственно вытекает способ
построения касательной к эллипсу в произвольной его точке.
56
Доказанной
теореме
можно дать следующее
физическую
интерпретацию: если
поместить в один из
F
F
фокусов
эллипса
0
x
источник света, то
лучи после отражения
от эллипса соберутся в
другом фокусе, так как
световой луч отражается от эллипса, как от касательной,
проведенной к эллипсу, в точке падения луча. Слово фокус
по латыни означает «очаг».
y
1
2
Гипербола
Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой
декартовой системе координат определяется каноническим
уравнением:
(9)
x2
a2
–
y2
b2
=
1
Система координат, о которой говорится в определении,
называется канонической.
Из уравнения (9) сразу вытекает, что для всех точек
гиперболы |х| ≥ а, т.е. все точки гиперболы лежат вне
вертикальной полосы шириной 2а (см рисунок 6.)
Ось абсцисс канонической
системы
пересекает
гиперболу в точках (а,0) и (а,0), называемых вершинами
гиперболы. Ось ординат не
M
M1
-a
a
0
57
M3
M2
пересекает гиперболу. Числа a и b называются
соответственно вещественной и мнимой полуосями
гиперболы.
В точности также, как и для эллипса, верно следующее
Предложение 6. Для гиперболы оси канонической системы
координат являются осями симметрии, а начало
канонической системы – центром симметрии.
Центр симметрии называется центром гиперболы.
Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение
с произвольной прямой, проходящей через начало
координат.
Уравнение
прямой
возьмем
в
виде
y = kx, поскольку мы уже знаем, что прямая х=0 не
пересекает гиперболу. Абсциссы точек пересечения
находятся из уравнения
x2
a2
–
k2x2
b2
=
1
или, если b2 – a2k2 > 0,
x = ±
ab
√b2
– a2k2
Это позволяет указать координаты двух точек пересечения:
(ab/v, abk/v) и (-ab/v, -abk/v),
где обозначено v=(b2 – a2k2)1/2. В силу симметрии достаточно
проследить за движением первой из точек при изменении k.
Числитель
дроби
ab/v
y=bx/a
постоянен,
а
знаменатель
b
принимает
наибольшее
значение
при
k=0.
a
0
Следовательно,
наименьшую
абсциссу
имеет
точка
с
y=-bx/a
58
координатами (а,0). С ростом k знаменатель убывает и
абсцисса х растет, стремясь к бесконечности, когда k
приближается к числу b/a. Прямая y=bx/a с угловым
коэффициентом b/a не пересекает гиперболу (является
наклонной
асимптотой),
и
прямые
с
большими
коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая
с меньшим положительным коэффициентом пересекает
гиперболу.
Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального
положения по часовой стрелке, то k будет убывать, пока
прямая не займет положения с угловым коэффициентом –b/a.
К прямой y=-bx/a относится все, что сказано о y=bx/a: она не
пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее,
от непересекающих.
Определение. Прямые с уравнениями y=bx/a и y=-bx/a в
канонической системе координат называются асимптотами
гиперболы.
Из приведенных выше рассуждений следует, что гипербола
имеет вид, изображенный на рисунке 7. Гипербола состоит
из двух отдельных кусков, называемых ее ветвями.
Запишем уравнения асимптот в виде bx–ay=0 и bx+ay=0.
Расстояния
от точки М (х,у) до асимптот равны
соответственно (формула нахождения расстояния от точки
до прямой):
h1 =
|bx – ay|
√a2+b2
h2 =
|bx + ay|
√a2+b2
Если точка М находится на гиперболе, b2x2 – a2y2=a2b2 и
59
|b2x2 – a2y2|
h1h2 =
a2 + b2
=
a2b2
a2 + b2
Предложение 8. Если точка движется по гиперболе так,
что ее абсцисса по абсолютной величине неограниченно
возрастает,
то расстояние от точки до одной из
асимптот стремится к нулю.
Действительно, хотя бы одно из расстояний h1 или h2 при
этих
условиях
должно
неограниченно возрастать, и,
если бы предложение было
a
бы неверно, произведение не
b
c
было бы постоянным.
F
F
2
1
С гиперболой связаны две
замечательные
точки,
называемые ее фокусами.
Введем число c, положив по
определению
c2 = a2 + b2 (10)
и с > 0.
Фокусами
гиперболы называются точки F1 и F2 с
координатами соответственно (с,0) и (-с,0) в канонической
системе координат. Отношение ε=с/а, как и для эллипса,
называется эксцентриситетом. У гиперболы всегда ε>1.
r2
r1
F2
0
r'2
M'
F1
r'1
r2 – r1 = 2a, r'2 – r'1 = 2a
Предложение 9. Расстояния от
произвольной точки М (х, у),
лежащей на гиперболе, до
каждого
из
фокусов
следующим образом зависит
от ее абсциссы х:
r1 = |F1M| = |a – εx|,
60
r2 = |F2M| = |a – εx|.
(11)
Доказательство этого утверждения почти дословно совпадает
с доказательством предложения (2).
Равенства (11) можно записать подробнее:
для x≥a (правой ветви гиперболы)
r1 = εx – a, r2 = εx + a;
для x≥-a (левой ветви гиперболы)
r1 = a – εx, r2 = -εx – a.
Мы видим, что для правой ветви гиперболы r2 – r1 = 2a, а для
левой
r1 – r2 = 2a. В обоих случаях
| r1 – r2 | = 2а.
(12)
Это доказывает необходимость условия в следующем
предложении.
Предложение 10. Для того чтобы точка лежала на
гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность ее
расстояний до фокусов по абсолютной величине равнялась
вещественной оси гиперболы.
Для доказательства достаточности условия его нужно
представить в виде:
±√ (x – c)2 + y2 = 2a ± √ (x + c)2 + y2 и воспользоваться
условием (10).
Доказательство для гиперболы аналогично доказательству
этого же свойства для эллипса.
С гиперболой связаны две прямые линии, называемые ее
директрисами. Их уравнения в канонической системе
координат:
x=a/ε и x=-a/ε.
(13)
61
Директрисы гиперболы лежат ближе к центру, чем вершины,
и, следовательно, не пересекают гиперболу. Директрису и
фокус, лежащие по одну сторону от центра, будем считать
соответствующими друг другу.
Предложение 11. Для того, чтобы точка лежала на
гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношения ее
расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей
директрисы равнялось эксцентриситету гиперболы ε.
Докажем
это
предложение
для
a/ε
d
фокуса F2. Обозначим
M
расстояние
от
произвольной точки
0
F
F
гиперболы М (х, у) до
r'
директрисы
с
d '
M'
уравнением
x=-a/ε
через
d2.
Тогда,
согласно формуле нахождения расстояния от точки до
прямой, имеем:
d2 = |x + a/ε| = 1/ε |εx + a|, что только множителем 1/ε
отличается от r2 (11).
2
2
1
2
2
Уравнение касательной к гиперболе выводится так же, как и
соответствующее уравнение (8) для эллипса. Оно будет
иметь вид:
х х0
a2
–
у у0
b2
=
1
62
Оптические свойства гиперболы
Теорема. Касательная к гиперболе в произвольной ее точке
является биссектрисой внутреннего угла М0 треугольника
F1M0F2, имеющего своими вершинами фокусы гиперболы и
данную точку М0.
Доказательство. Опустим из фокусов F1 и F2 перпендикуляры
F1P1 и F2P2 на касательную. Так же как для эллипса
доказывается, что
F1P1
y
M0
P2
F1
0
P1
=
F2P2
F2
x
F 1M 0
F 2M0
поэтому ∆ F1M0P1 ~ ∆
F2M0P2, и, следовательно,
< F1M0P1 = < F2M0P2.
Результаты подстановок
координат фокусов F1 (-c,
0) и F2 (c, 0) в выражение
х0х
а2
—
у0у
b2
— 1
- числа разных знаков, откуда следует, что фокусы
гиперболы лежат по разные стороны от любой касательной к
ней.
y
Указанное геометрическое свойство
позволяет
точке
построить
касательную
к
гиперболе
в
F
F
0
x
произвольной точке М0: точку М0
соединяем с фокусами F1 и F2
гиперболы и угол F1M0F2 делим
пополам; биссектриса этого угла и является касательной к
гиперболе в точке М0.
1
2
63
Доказанной теореме можно дать оптическое истолкование,
аналогичное тому, какое было дано для эллипса.
Парабола
 Параболой
называется
y
геометрическое
место
точек, для каждой из
d
M
P
которых расстояние до
r
некоторой фиксированной
точки
плоскости,
D 0
F
x
называемой фокусом, равно
расстоянию до некоторой
фиксированной прямой, не
проходящей через фокус, и
называемой директрисой.
 Расстояние от фокуса параболы до ее директрисы
называется параметром параболы.
 Эксцентриситет
параболы
принимается
равным
единице.
Опустим из фокуса F перпендикуляр на директрису d и точку
пересечения этого перпендикуляра с директрисой параболы
обозначим буквой D. Введем на плоскости декартову
прямоугольную систему координат, поместив начало
координат О в середине отрезка FD, принимая за ось Ох
прямую DF, с положительным направлением от О к F.
Расстояние FD от фокуса F до директрисы d обозначим
буквой p (параметр параболы). В выбранной системе
координат фокус F имеет координаты (p/2, 0), а уравнение
директрисы будет иметь вид:
x = - p/2
(1)
Пусть М (х, у) – произвольная точка плоскости. Обозначим
через r расстояние MF от точки М до фокуса параболы, а
64
через d - расстояние МР от точки М до директрисы этой
параболы.
Точка М (х, у) лежит на данной параболе тогда и только
тогда, когда r = d. Так как
r = √ (x – p/2)2 + y2, а d = |x+p/2|,
То уравнение параболы имеет вид
√ (x – p/2)2 + y2 = |x+p/2|.
(2)
Это уравнение эквивалентно следующему:
(x – p/2)2 + y2 = (x+p/2)2.
или
y2 = 2xp.
(3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением
параболы.
1. Исследование формы параболы
Так как ордината у в каноническое уравнение параболы
входит во второй степени, то ось Ох является осью
симметрии параболы:
y2 = 2xp.
(1)
Точка пересечения параболы с ее осью симметрии
называется вершиной параболы. Парабола (1) имеет только
одну вершину (0, 0). Из уравнения (1) следует, что х ≥ 0, так
как р > 0, а х = у2/2p.
Разрешая уравнение y2 = 2pх относительно у и беря для у
√2xp,
лишь неотрицательныеy =значения
Видим, что полуинтервал [0, +∞) у – возрастающая функция
lim y = +∞.
х, причем
x  +∞
65
Всякая прямая пересекает параболу не более чем в двух
точках (так как прямая определяется уравнением первой
степени, а парабола – уравнением второй степени).
Далее, найдем связь уравнения параболы, полученного нами
y2 = 2xp с известной записью уравнения параболы y = аx2 .
Повернем плоскость чертежа вокруг оси (биссектриси
первого координатного угла) на 180°. Тогда ось Ох совпадет
х = 2уp,
с Оу и ось Оу совпадет с Ох. Парабола займет новое
положение. Ее новое уравнение получим из старого,
переставив в нем у на место х и х на место у. Оно теперь
будет
2
y
или
у = x2/2p.
y
x
y
Из этого уравнения, употребляя
обозначение
0
x
x
а = 1/2p,
имеем
у = ах2.
2. Касательная к параболе
Если парабола задана уравнением
у = ах2,
а ≠ 0,
(1)
То уравнение касательной к ней в точке (х0, у0) имеет вид
у + у0 = 2ах0х.
(2)
66
Если парабола задана уравнением
y2 = 2xp,
(3)
То уравнение касательной к ней в точке (х0, у0) имеет вид
уу0 = р(х0 + х).
Полагая в уравнении (2) х = 0,
находим точку В (0, - у0),
пересечения касательной к
Р
М
параболе (3) с ее осью
симметрии.
x
0
Отсюда вытекает следующий
способ
построения
В
касательной к параболе в
данной на ней точке М0.
Опускаем из точки М0 перпендикуляр М0Р на ось симметрии
параболы т откладываем на оси симметрии параболы отрезок
ОВ = ОР. Прямая М0В – касательная к параболе в точке М0.
y
0
Оптические свойства параболы
y
М
F
0
Q
x
D
В
Теорема. Касательная к параболе
является биссектрисой угла FMD
между фокальным радиусом MF
точки касания и перпендикуляром
MD, опущенным из нее на
директрису.
MD = FM, MD = MQ + QD = y0 +
QD.
67
Но
y0 = OB, QD = OF,
следовательно,
MD = OB + OF = FB.
Поэтому ∆BFM равнобедренный, и значит,
<FMB = <FBM;
но <FMB = <BMD, следовательно,
<FMB = <BMD.
Эта теорема имеет следующее оптическое истолкование:
если в фокусе F параболического зеркала поместить
источник света, то лучи, отразившись от зеркала, образуют
пучок
параллельных
лучей.
Указанное
свойство
параболического зеркала применяется при устройстве
зеркальных прожекторов.
Полярная система координат
Кроме прямоугольной (или декартовой) системы координат,
для определения положения точки на плоскости очень часто
пользуются полярными координатами. То есть положение
точки М плоскости определяется
M
расстоянием r от точки М до
r
неподвижной
точки
О
–
φ
полярным радиусом и углом φ,
O
x
который вектор ОМ образует с
неподвижной
осью
Ox,
M
полярным углом.
Эти r и φ называются полярными
координатами точки М. То обстоятельство, что точка М
имеет координаты r и φ, записывается так: М (r; φ).
Точка О называется полюсом, прямая Оx – полярной осью.
1
2
68
Задание r и φ вполне определяет положение точки М, при
этом угол φ может быть любым числом интервала (-∞; +∞),
величина r неотрицательна.
Однако обратная задача – нахождение координат r и φ по
заданной точке – задача неопределенная. Так как, если за
полярные координаты точки М можно взять (r; φ), то с таким
же успехом можно взять и (r; φ – 2π) и вообще угол φ можно
изменить на любой кратный 2π.
Но эту обратную задачу можно сделать определенной,
ограничив возможность выбора r и φ некоторыми
добавочными условиями, например, обусловить, что φ
находиться в интервале 0≤φ<2π.
y
Теперь одновременно с полярной
системой координат рассмотрим
M
декартову. Пусть начало координат
совпадает с полюсом и ось абсцисс –
с полярной осью.
r
у
Если (х; у) – прямоугольные, а (r; φ)полярные координаты точки М, то
φ
получаем, что х и у есть проекции
0
x
x
вектора ОМ на оси Ох и Оу =>
х = r cos φ,
y = r sin φ.
Это формулы перехода от прямоугольных координат к
полярным.
69
Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
Пусть L – какая-нибудь из линий
y
второго
порядка:
эллипс,
M
гипербола или парабола (в
Q
случае, если L – гипербола, мы
P
r
S
имеем в виду лишь одну ее
φ
ветвь).
N
D 0
F
x
Будем называть фокальной осью
линии L ту из ее осей
симметрии, которая проходит
через фокус линии L.
Введем полярную систему координат, совмещая полюс с
фокусом F линии L (в случае гиперболы мы берем фокус,
ближайший к вершине рассматриваемой ветви); пусть D –
основание перпендикуляра, опущенного из фокуса F на
директрису, соответствующую этому фокусу (в случае
параболы – просто на директрису). Полярную ось
расположим на прямой DF, причем ее положительное
направление примем от D к F. Обозначая через r расстояние
от произвольной точки М линии L до фокуса F, а через d –
расстояние от той же точки M до директрисы,
соответствующей этому фокусу; будем иметь
r/d = e,
(1)
где e – эксцентриситет линии L.
Находим
d = QM = DF + FN = DF + r cosφ.
Проведем через фокус F перпендикуляр к фокальной оси
линии L, и пусть Р – одна из точек пересечения этого
перпендикуляра с линией L. Так как соотношение (1) верно
для всех точек линии L, в частности и для точки Р, то
FP/SP = e,
откуда
70
SP = FP/e.
Половина длины фокальной хорды (то есть хорды,
проходящей через фокус перпендикулярно к фокальной оси)
называется фокальным параметром.
В том случае, когда линия L – парабола, FP = PS,
следовательно, фокальный параметр p = DF, то есть
параметр параболы равен расстоянию от фокуса этой
параболы до ее директрисы. В этом случае величина p
совпадает с параметром параболы.
Таким образом,
SP = p/e,
и, следовательно,
d = p/e +r cosφ.
Отсюда и из равенства (1) находим полярное уравнение
линии виде
p
r=
.
(2)
1 – e cos φ
Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
Рассмотрим поверхность прямого кругового конуса,
неограниченно простирающуюся по обе стороны от его
вершины.
Плоскость, проходящая через вершину конуса, может
занимать относительно этого конуса следующие три
положения:
1. иметь с конусом только одну общую точку (вершину
конуса);
2. касаться конуса вдоль его образующей;
3. пересекать конус по двум различным его образующим.
71
Поэтому плоскость, не проходящая через вершину конуса,
может занимать относительно конуса следующие три
возможных положения:
1. пересекать все образующие конуса;
2. быть параллельной только одной образующей конуса;
3. быть параллельной двум образующим конуса.
1
2
3
Теорема. Плоскость, не проходящая через вершину прямого
кругового конуса, пересекает его по эллипсу, если она
пересекает все образующие конуса (1), по параболе, если она
параллельна только одной образующей конуса (2), и по
гиперболе, если она параллельна двум образующим конуса
(3).
Доказательство.
Пусть плоскость π,
не
проходящая
через
вершину
кругового конуса (и
не
S
π`
A
P
перпендикулярная
α
ее оси), пересекает
h
к
F
β
поверхность
C
B
π
M
кругового конуса
по
линии
С.
Впишем в этот конус сферу, касающуюся плоскости π.
Обозначим через F точку прикосновения сферы с
72
плоскостью π, через S - окружность, по которой сфера
касается конической поверхности, а через π` - плоскость, в
которой лежит окружность S. Возьмем на линии С
произвольную точку М и проведем через нее образующую
конуса; точку пересечения этой образующей с плоскостью π`
обозначим через А. Пусть Р – проекция точки М на плоскость
π`, а В – проекция точки Р на прямую к, по которой
пересекаются плоскости π` и π (тогда МВ  к).
Имеем MF = MA (как отрезки касательных проведенных из
точки М к одной и той же сфере) и далее:
MP = MA sin α = MF sin α, MP = MB sin β,
где α – угол образующих конической поверхности с
плоскостью π`, а β – острый угол между плоскостями π` и π.
Из последних соотношений находим
π
π
MF/MB = sin β/sin α,
π
то есть все точки линии С принадлежат
β
либо эллипсу Г, либо гиперболе Г, либо
β
α
β
параболе
Г; F
–
фокус,
к –
π`
соответствующая
этому
фокусу
директриса,
а
sin β/sin α = e – эксцентриситет.
 Если плоскость π пересекает все
образующие конической поверхности, то α>β => sin β >
sin α, эксцентриситет е<1 (эллипс).
 Если α = β, то есть плоскость π параллельна только
одной образующей, то эксцентриситет е = 1 (парабола),
 Если α<β, то плоскость π параллельна двум
образующим и эксцентриситет е>1 (гипербола).
Докажем, что и обратно: любая точка линии Г принадлежит
линии С; тогда можно утверждать, что линия С совпадает с
линией Г, то есть что сечение С прямого кругового конуса
плоскостью, не проходящей через ее вершину, есть или
эллипс, или парабола, или гипербола.
73
В самом деле, предположим, что на линии Г есть точка М, не
лежащая на линии С. Проведем через точку М прямую,
лежащую в плоскости π и пересекающую коническую
поверхность в двух различных точках Р и Q;
точки Р и Q лежат очевидно на линии С, а по
доказанному, следовательно, и на линии Г. Мы
пришли к противоречию, заключающемуся в
том, что линия MPQ пересекает линию Г
(эллипс, параболу, гиперболу) в трех
B
F
различных точках М, Р и Q.
F
М
Надо отметить, что второй фокус F1 эллипса
или
гиперболы
A
является
точкой
F
прикосновения
к
B
плоскости
π
второй
сферы
вписанной
в
коническую
поверхность
и
касающейся
A
плоскости π.
M
F
При этом для любой точки линии С,
плоскость которой пересекает все
образующие, имеем MF = MA, MF1
= MB и MF1 + MF = AB = const, а для любой точки линии С,
плоскость которой параллельна двум образующим
конической поверхности, MF = MA, MF1 = MB и MF1 – MF =
AB = const.
1
1
74
Заключение
Таким образом, мы видим, что линии второго порядка
можно встретить во многих областях математики, а также
физики. Они играют немаловажную роль и в стереометрии, и
в алгебре, и в оптике. Знание основных свойств функций
эллипса, гиперболы и параболы упрощает решение многих
задач и помогает найти более изящный способ получения
ответа.
Список использованной литературы:
А И. М. Виноградов, Аналитическая геометрия, М., 1992
П. С. Моденов, Аналитическая геометрия, М., 1993
75
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Бычков А.В. Метод проектов в современной школе .- М.,
2000
2. Гузеев В.В. «Метод проектов» как частный случай
интегральной технологии обучения // «Директор
школы», - 1995. - № 6
3. Гузеев В.В. развитие образовательной технологии. – М.,
1998
4. Петряков П.А. Метод проектов в преподавании
образовательной области «Технология». – Вел.
Новгород, 2000. Лицейское и гимназическое
образование, 2002. - № 9
5. Метод проектов в технологическом образовании
школьников. – СПб, 2001
6. Новые педагогические и информационные технологии в
системе образования. // Под ред. Е.С.Полат. – М., 2000
7. Переверзев Л. Проектный подход и требования к
учителю // «Школа и производство», 2002. - №1. – с.14 16
8. Полат Е.С. Как рождается проект. – М., 1995
9. Полат Е.С. Метод проектов на уроках иностранного
языка //»Иностранные языки в школе» , 2000. - №№2,3
10.Полат Е.С. Технология телекоммуникационных
проектов //»Наука и школа», 1997. - №4
11.Проектная работа учащихся. Специальное приложение
к журналу «Лицейское и гимназическое образование»,
2002. - №9
12.Развитие детского творчества через технологические
проекты. Сб. проектов для 5 – 6 кл. – Н.Новгород, 2000
76