УДК 531.8 Алюшин Юрий Алексеевич проф., д.т.н. Вержанский Петр Михайлович

УДК 531.8
Алюшин Юрий Алексеевич
проф., д.т.н.
Вержанский Петр Михайлович
доц., к.т.н.
Вьюшина Маргарита Николаевна
доц., к.т.н.
кафедра «Теоретическая и прикладная механика»
Московский государственный горный университет
ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
ПРИНЦИПОВ И ПЕРЕМЕННЫХ ЛАГРАНЖА ПРИ ИЗЛОЖЕНИИ
КУРСА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
FEATURES OF THE PRINCIPLES AND ENERGY LAGRANGE
VARIABLES WHEN PRESENTING COURSE OF THEORETICAL
MECHANICS
Успехи механики в значительной степени определяют современное
состояние науки и её роль в обеспечении благосостояния и безопасности
общества. Теоретическая механика является одним из разделов
фундаментальной подготовки специалистов в высших учебных заведениях,
формирует их мировоззрение, умение и навыки использования основных
законов природы при решении прикладных задач. «Кто не знаком с
законами механики, тот не может познать природу» (Г. Галилей).
Курс “Теоретическая механика” в совершенстве отработан трудами
выдающихся учёных на протяжении более 100 лет, обеспечен большим
количеством учебников, задачников, методическими пособиями,
программами контроля знаний и пр. И тем не менее установившаяся
методика изложения курса, как и всей механики, не лишена недостатков, к
основным из которых можно отнести использование аксиом статики и
связанную с этим некоторую неопределённость понятия «силы». До сих пор
продолжается полемика о целесообразности наиболее распространенного
порядка изложения: «статика – кинематика – динамика». Обобщённые силы
рассматриваются обычно в сокращённом объеме без энергетической их
интерпретации. Второй закон Ньютона можно трактовать не только как
определение нового понятия («Ньютоновы силы»), но и как закон,
устанавливающий связь между тремя различными понятиями (сила, масса и
ускорение). В любом случае введение понятия «сила» без анализа
кинематических и энергетических факторов движения некорректно, так как
опирается на другие понятия, что является причиной появления замкнутых
«циклов» рассуждений, подобных антиномиям.
Чрезмерное внимание векторным методам описания сопутствующих
движению явлений, изобилие теорем и понятий (центроиды, оксоиды,
многообразие видов ускорений и пр.) часто приводят к усложнению
3
понимания её основных положений. В принятых методиках изложения курс
“Теоретическая механика” нередко трактуют как механику абсолютно
твердых тел, не раскрывая её связи с другими разделами механики, в
частности механики сплошных сред.
Переход от кинематики к динамике в традиционном изложении имеет
свои методические недостатки из-за отсутствия анализа объективности и
субъективности различных кинематических характеристик движения.
Вместе с тем, по нашему мнению, в учебных курсах нельзя не
рассматривать современные проблемы механики (природа сил инерции,
точность формулировок законов Ньютона, роль «потенциальных» сил, не
производящих мощности, например в опорах шарнирно-рычажных
механизмов, переход от механики сплошных сред к механике абсолютно
твердых тел и пр.).
Кроме того, традиционное изложение слабо ориентирует студентов на
решение перспективных задач и активное использование ЭВМ, так как
множество (более 150) теорем и задачи, подобранные специально для
развития навыков применения этих теорем, приводят к ошибочному
убеждению о многовариантности алгоритмов решения задач механики.
Дальнейшему развитию и более глубокому усвоению механики в
процессе обучения в высшей школе может способствовать переход к более
широкому использованию энергетических принципов, которые составляют
основу всех других разделов физики. При этом многие проблемы могут
быть сняты, если воспользоваться в качестве основного метода описания
движения формой Лагранжа с энергетической интерпретацией
кинематических инвариантов, понятия сил и основных теорем механики [1].
Попытки перевода механики на энергетические принципы
предпринимались неоднократно, начиная с 19-го столетия. Однако,
традиционно распространенная концепция эйлерова описания движения
сплошной среды и связанных с ним характеристик не позволили получить
новых результатов.
До сих пор уравнения движения не получили должного отражения в
общем курсе механики. Это связано с тем, что для суперпозиции движений
использовалось векторное суммирование скоростей с последующим их
интегрированием по времени. При этом, как правило, поле скоростей
рассматривалось в переменных Эйлера, тогда как интегрирование
необходимо проводить при фиксированных переменных Лагранжа.
Шаговый (поэтапный) метод требует постоянного перехода к новым
переменным Лагранжа на каждом этапе, что приводит к усложнению
решений и снижению точности результатов.
Преимущества лагранжевой формы при описании общих
закономерностей движения, в том числе и определяющих соотношений
между силами и ускорениями абсолютно твердых тел, напряжениями и
деформациями или скоростями деформаций в механике деформируемого
твердого тела, обусловлена объективной особенностью физических
4
закономерностей, которые должны формулироваться не для точек
пространства наблюдателя, а для материальных частиц.
Другим, а возможно и главным, преимуществом формы Лагранжа
является возможность довольно простой формулировки общего принципа
суперпозиции движений. Не скоростей и ускорений, а именно уравнений
движения. Чтобы получить уравнения совмещенного движения, достаточно
заменить переменные Лагранжа внешнего (наложенного) движения на
переменные Эйлера внутреннего (вложенного) движения. Обоснованный в
общем случае [1, 2] принцип суперпозиции применим для любых
движений, включая пространственные, позволяет учитывать деформацию
элементов
рассматриваемой
материальной
системы,
допускает
многократное использование без ограничения количества вложенных или
наложенных движений. При этом использование единой системы отсчета
наблюдателя полностью снимает проблемы неинерциальных систем
координат.
Надо отметить, что если уравнения движения известны, тогда расчет
всех других кинематических, а затем энергетических и силовых
характеристик для тел или частиц, в соответствии с их определениями, не
представляет трудностей.
Предлагаемая методика изложения курса позволяет последовательно
естественно и логически обоснованно переходить к новым понятиям от
простейших кинематических (координаты, перемещения, скорости,
ускорения) к энергетическим и силовым. При этом различные виды энергии
можно рассматривать как соответствующие скалярные кинематические
инварианты, помноженные на некие скалярные коэффициенты, приводящие
их к единой (в частности, энергетической) размерности.
Переход к понятиям «обобщенных сил», в соответствии с
общепринятым определением, дает основание рассматривать их как
согласованные совокупности математических функций для описания
приращения того или иного вида энергии (или мощности как скорости
изменения соответствующих видов энергии) на приращениях (скоростях)
определенным
образом
выбранной
комбинации
обобщенных
кинематических координат.
В качестве последних могут фигурировать кинематические
инварианты или определяющие их параметры, в том числе линейные или
угловые координаты или их скорости (компоненты скорости), производные
от переменных Эйлера по переменным Лагранжа и пр. Соответственно
появляются сосредоточенные силы или моменты, компоненты других
векторов (количества движения и пр.), напряжения Лагранжа или Коши.
Но если в качестве обобщенного кинематического параметра принять
инвариантную скалярную величину, например квадрат скорости для
кинетической энергии или второй инвариант тензора деформации для
упругих материалов, в качестве обобщенной силы будут выступать такие
скалярные величины как масса или модуль упругости, которые, в
5
соответствии с общим определением, также следует рассматривать как
обобщенные силы.
Таким образом, определение «сил» становится корректным, при этом
существенно расширяется класс «обобщенных сил». Практически для
каждого вида энергии обобщенные силы могут быть представлены как
скалярные (если в качестве обобщенной координаты принят
соответствующий кинематический инвариант уравнений движения),
векторные (если в качестве обобщенных координат выбраны координаты
Эйлера или их скорости, в том числе Ньютоновы силы и количества
движения) или тензорные величины (если в качестве обобщенных
координат приняты производные от переменных Эйлера по переменным
Лагранжа или наоборот: напряжения Коши, Лагранжа и другие).
Рассматривая обобщенные силы при переходе от одного полюса,
смещения или скорости которого приняты за обобщенные кинематические
координаты, к другому, получаем правила преобразования сил, которые по
существу совпадают с аксиомами статики, получающими таким образом
конкретное энергетическое обоснование.
В конечном итоге, методика изложения механики с описанием
уравнений движения и основных закономерностей материальных систем с
применением переменных Лагранжа, как частные случаи, включает в себя:
а) механику материальной точки,
б) механику абсолютно твердых тел,
в) механику сплошной среды, а также ее инженерные приложения
(сопротивление материалов, механику жидкостей, газов и пр.).
Точнее говоря, механика точки получается как частный случай
механики абсолютно твердых тел, а механика абсолютно твердых тел как
частный случай механики деформируемых твердых тел или механики
сплошных сред, а все они являются частными случаями общей механики
материальных систем.
Использование в учебном процессе описанной методики ориентирует
студентов на совершенствование и оптимизацию машин. Особенно
актуальными рассматриваемые вопросы становятся в настоящее время с
учетом существенного роста сложности, многофункциональности
механизмов, требований к точности соблюдения режимов технологических
процессов и пр. Например, современные роторные комплексы включают в
себя до 1000 механизмов, предназначенных для подачи и обработки
исходных материалов, формообразующих, разделительных и отделочных
операций, контроля, маркировки и упаковки готовой продукции.
Для закрепления теоретического материала используются не только
рекомендуемый в традиционных учебниках и задачниках набор задач,
ориентированных на частные теоремы (формулы) и создающих мозаичную
картину механики, но и комплексный кинематический, а затем
энергетический и силовой анализ любых механических систем, в частности
шарнирно-рычажных и кулачковых механизмов.
6
Энергетический анализ позволяет показать, что суммарная энергия
движения и положения элементов механизма не остается постоянной не
только на этапах разгона и торможения, но и при постоянной скорости
вращения кривошипа. Это приводит к возникновению динамических
нагрузок как в узлах соединения смежных звеньев, так и на приводном
валу. Возникают возможности математической постановки задач о
снижении динамических нагрузок за счет перераспределения масс звеньев,
маховиков, балансиров, в том числе подвижных, других способов и
устройств.
Без использования понятия «сила» могут быть проанализированы
движения свободных тел, вращение волчка, маятниковые системы и пр.
Вместе с тем, переход на новую методику изложения и возможное
объединение различных разделов механических курсов приводят к новым
проблемам терминологического и редакционного характера. В частности,
первый закон Ньютона следует распространить на равномерное
вращательное движение, а второй – перевести в разряд понятий для
обобщенных сил инерции на линейных перемещениях полюса, выбранного
для конкретизации обобщенных кинематических параметров. Третий закон
«равенства действия и противодействия» должен быть уточнен и
сформулирован в соответствии с энергетическим принципом: поток энергии
(мощность) на двух сторонах произвольного сечения тела остается
постоянным (с возможной потерей части мощности за счет диссипативных
процессов, например на контактных поверхностях трения). При этом,
обобщенные силы в виде моментов пар сил изменяются на шарнирных
соединениях обратно пропорционально угловым скоростям смежных
звеньев, а обобщенные силы в виде сосредоточенных сил обратно
пропорциональны линейным скоростям соответствующих точек в
скользящих парах кулисных механизмов.
В соответствии с общепринятым определением, следует согласовать
знаки сил со знаками приращений энергии на приращениях
соответствующих обобщенных координат. В частности, это касается
направления гравитационных сил. Представляется целесообразным
введение дополнительного понятия «пассивных сил», которые не
производят мощности и могут возникать, например, в неподвижных опорах.
В шарнирных соединениях звеньев они могут быть направлены
ортогонально их скорости. Такие силы участвуют в реализации
«вращающих» моментов пар сил и образуют энергетически эквивалентную
совокупность активной и пассивной сил, последняя из которых, с учетом
наложенных кинематических связей, не должна производить мощности.
Недооценка «пассивных сил», в частности, при расчёте реакций в опорах по
общепринятой методике, может привести к нарушению кинематических
связей и поломке механизма.
К терминологическим трудностям можно также отнести
использование терминов «моменты инерции», которые логичнее заменить
7
математически обоснованными терминами «моменты сечений» и «моменты
масс» различного порядка.
В рекомендуемой методике недостаточно отражена история развития
механики, но это уже другой вопрос или, точнее, другая дисциплина, для
усвоения которой, при необходимости, следует выделить отдельные
учебные занятия, может быть факультативно.
Методика предполагает более простую модель механики и ее можно
рекомендовать как вводный или дополнительный раздел к общепринятой
программе курса, включающий в себя, в частности:
для бакалавров – энергетические основы механики, кинематический и
динамический анализ механизмов;
для инженеров-специалистов – дополнительную подготовку по
механике деформируемого твердого тела в области упругих и пластических
деформаций;
для магистров и аспирантов – углубленную подготовку по механике
материальных систем.
Универсальные энергетические принципы и новые инвариантные
характеристики движения в пространстве переменных Лагранжа позволяют
существенно упростить систему основных понятий, расширить класс
решаемых задач и повысить точность решений, в том числе при описании
движений материальных точек и абсолютно твёрдых тел, кинематическом и
динамическом анализе механизмов любой сложности, включая
пространственные
механизмы
с
деформируемыми
элементами,
оптимизации машин и технологических процессов, анализе устойчивости
движения и деформации.
Переход на новую технологию изучения механических дисциплин
способствует более глубокому пониманию фундаментальных законов
природы и эффективному использованию их при решении практических
задач развития и внедрения научно-технического прогресса.
В Московском государственном горном университете студенты
отдельных специальностей слушают обобщённый курс “Механика” с
описанием движения в форме Лагранжа, ориентированный на
энергетические принципы механики, который включает в себя разделы:
1. Кинематика.
1.1. Кинематика точки.
1.2. Кинематика системы материальных частиц. Уравнения в
переменных Эйлера и Лагранжа в общем случае плоскопараллельного
движения твердого тела.
1.3. Принцип суперпозиции уравнений движения в форме Лагранжа.
Уравнения пространственного движения твердого тела в форме Лагранжа.
1.4. Инвариантные кинематические характеристики движения
абсолютно твердых и деформируемых тел (модули векторов перемещения и
скорости, путь, инварианты тензоров деформации Лагранжа и др.).
1.5. Кинематические характеристики движения твердых тел
(мгновенный центр скоростей, мгновенный центр ускорений и др.).
8
1.6. Траектории
движения
частиц
и
их
кинематические
характеристики (кривизна, характеристики вдоль осей естественного
трехгранника и пр.).
2. Общее уравнение динамики и его энергетическая интерпретация
(все остальные известные «законы движения» можно рассматривать как
частные случаи этого обобщенного закона).
3. Геометрические и массовые (инерционные) характеристики
твёрдых тел.
4. Обобщённые силы положения, состояния, движения и внешних
воздействий.
4.1. Потенциальная энергия положения. Вес тела как обобщенная сила
приращения потенциальной энергии на линейных перемещениях полюса.
4.2. Кинетическая энергия движения твердого тела. Различные
варианты
выбора
обобщенных
кинематических
координат
и
соответствующие им обобщенные силы: масса тела, Ньютоновы силы,
количества движения.
4.3. Энергия деформации и способы ее представления через
скалярные, векторные и тензорные обобщенные кинематические
координаты. Модули упругости, поверхностные силы и напряжения как
разновидности обобщенных сил.
4.4. Энергия внешних воздействий и способы ее представления через
различные комбинации обобщенных сил (должны быть согласованы с
обобщенными силами, принятыми для описания приращений других видов
энергии, участвующих в исследуемом процессе).
5. Общее правило преобразования обобщенных сил на основе
энергетического тождества. Уравнения статики как следствие общего
уравнения динамики.
6. Общие теоремы динамики абсолютно твердых тел.
7. Деформируемые системы частиц. Определяющие уравнения и
характеристики упругих свойств. Необратимые деформации.
8. Приложения.
8.1. Движение абсолютно твёрдых тел (без применения понятия сил).
8.2. Структурный анализ механизмов и машин.
8.3. Кинематический анализ механизмов и машин.
8.4. Динамический анализ механизмов и машин.
8.4. Силы и деформации в упругих стержневых системах, балках и
рамах.
Главные преимущества предлагаемой методики отражаются
безусловно в ее приложениях, состав которых может быть значительно
расширен с учетом специфики конкретных специальностей и учебных
заведений. Подготовленные и изданные для этого соответствующие учебнометодические пособия [3, 4] позволяют успешно реализовать эту задачу.
Методика органично увязана с различными разделами высшей
математики, информатики и физики, ориентирована на эффективное
применение ЭВМ с использованием стандартных и специально
9
разработанных программных продуктов, что позволяет расширить класс и
повысить сложность анализируемых механических систем, способствует
более глубокому усвоению студентами знаний в области технических
дисциплин и приобретению практических навыков решения прикладных
инженерных задач.
Семилетний опыт успешного использования этой методики при
изложении курса теоретической механики для ряда специальностей МГГУ в
полной мере подтверждает эти выводы.
Литература.
1. Алюшин Ю.А. Механика твердого тела в переменных Лагранжа. –
М.: Машиностроение, 2012. – 192 с : ил.
2. Алюшин Ю.А. Принцип суперпозиции движений в пространстве
переменных Лагранжа. // Проблемы машиностроения и надёжности
машин. РАН, 2001. – №3. – С. 13-19.
3. Алюшин Ю.А. Кинематический анализ шарнирно-рычажных
механизмов с описанием движения в форме Лагранжа. // Электронная
библиотека МГГУ, 2012. – 19 с.
4. Алюшин Ю.А. Динамический анализ шарнирно-рычажных
механизмов. // Электронная библиотека МГГУ, 2012. – 23 с.
Аннотация.
Описана методика изложения курса «Теоретическая механика» с
использованием энергетических принципов механики и описания
движения в форме Лагранжа.
A technique for the presentation of the course "Engineering Mechanics"
with the use of energy and describe the principles of mechanics in Lagrange
form.
Ключевые слова.
энергетические основы механики, переменные Лагранжа, принцип
суперпозиции движений
energy principles of mechanics, the variables of Lagrange principle of
superposition of motions
10