(МОУ СОШ № 23,г. Воскресенск, Московская обл.).

А.Н. Долгушин <dolgushin23fizika@yandex.ru>
МОУ СОШ № 23 с углубленным изучением отдельных предметов
п. Белоозерский, Воскресенский район, Московская область.
Решение задач с использованием производной.
Факультативный курс «Практикум решения физических задач», 11 – й класс.
Базовый уровень.
«Знать физику – значит уметь решать задачи» Э. Ферми.
Постоянный электрический ток.
Пример задачи. Дана электрическая цепь, содержащая источник с ЭДС и внутренним
сопротивлением r. К источнику подключено внешнее сопротивление R. При каком
значении сопротивления R полезная мощность будет максимальной? Определить ее
значение. [1].
Решение.
Аналитический способ:
1. Полезная мощность: P=I2R, величина тока в цепи определяется с учетом
закона Ома для полной цепи: I=E/(R+r). В итоге получаем выражение для
полезной мощности: P=E2R/(R+r)2.
2. Из последней формулы видно, что значение полезной мощности зависит от
величины внешнего сопротивления, поэтому исследуем полученную
зависимость, т.е. находим производную P’R=0 и приравниваем ее к нулю.
После преобразований получаем, что при совпадении внешнего
сопротивления с внутренним сопротивлением источника тока R=r, полезная
мощность принимает максимальное значение: Pmax=E2/4r.
Графический способ:
1. Известно, что полная мощность для замкнутой цепи, определяется суммой
полезной мощности, выделяющейся на внешнем сопротивлении и потерей
мощности, вызванной нагреванием источника тока: IE=Pп+I2r;
2. С учетом последнего равенства, строим график Pп(I)=IE-I2r. Видно, что
графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Если Pп(I)=0, то
можно определить точки пересечения параболы с горизонтальной осью:
IE-I2r=0, I=0 и I=E/r.
3. В силу симметрии параболы, ее вершина, а следовательно и максимальное
значение полезной мощности, приходится на значение силы тока, лежащее
посередине между 0 и E/r, а именно I= E/2r, тогда Pmax=(E/2r)E-(E/2r)2r=E2/4r.
4. Можно воспользоваться выражениями для координат вершины параболы:
Pп(I)=-I2r+IE, a=-r, b=E
xверш=-b/2a=E/2r, yверш=Pmax=(E/2r)E-(E/2r)2r=E2/4r.
Электромагнитные колебания.
Пример задачи. Емкость конденсатора, включенного в цепь переменного тока, равна 6
мкФ. Уравнение колебаний напряжения на конденсаторе имеет вид: U=50cos1000t, где все
величины выражены в СИ. Найдите амплитуду силы тока. (ЕГЭ).
Решение.
1. Заряд на обкладках конденсатора связан с его электроемкостью выражением:
q=CU, поэтому с учетом условия задачи закон изменения заряда на обкладках
конденсатора имеет вид: q=0,3.10-3cos1000t.
2. Для того чтобы найти закон изменения величины электрического тока, достаточно
найти производную: q’t=-0,3sin1000t. Величина, стоящая перед знаком
тригонометрической функции в уравнении изменяющейся величины, является ее
амплитудным значением, поэтому Imax=0,3 А.
Используемая литература:
1. Дмитриев С. Н., Васюков В. И., Струков Ю. А. Физика. Сборник задач для
поступающих в вузы. – М.: Демиург-Арт, 2001. 5-е, доп. изд.