ЕН.Ф.3.1 Физика Механика,молек.физ
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Мурманский государственный гуманитарный университет»
(ФГБОУ ВПО «МГГУ»)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
ЕН.Ф.5 ФИЗИКА: МЕХАНИКА, ТЕРМОДИНАМИКА,
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
ЕН.Ф.3.1. ФИЗИКА: МЕХАНИКА, ТЕРМОДИНАМИКА,
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
(ШИФР ДИСЦИПЛИНЫ И ЕЕ НАЗВАНИЕ В СТРОГОМСООТВЕТСТВИИ С ГОСУДАРСТВЕННЫМ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫМСТАНДАРТОМ И УЧЕБНЫМ ПЛАНОМ)
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА ПОДГОТОВКИ
СПЕЦИАЛИСТА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ(специальностям)
050202 - Информатика со специализацией «Системное администрирование учебных
компьютерных сетей»
050201 - Математика с дополнительной специальностью «Информатика»
(код и наименование специальности/тей)
Утверждено на заседании кафедры физики
информатики и информационных технологий
факультета физико-математического образования,
информатики и программирования
(протокол №7 от «23» января 2013 г.)
Зав. кафедрой физики, информатики и ИТ
___________________Н.Ю.Королева
РАЗДЕЛ 1. Программа учебной дисциплины.
1.1.Автор программы: к.п.н., доц. Коновалова И.П.
1.2.Рецензенты: д.п.н., проф. Шиян Н.В., к.ф-м.н., доц. Шолохов В.С.
1.3.Пояснительная записка:
Курс общей физики в педагогическом институте является важнейшим курсом блока
естественнонаучных дисциплин для будущего учителя математики или учителя
информатики с дополнительной специальностью физика в средней школе, в нем
органически сочетаются вопросы классической и современной физики, четко
определяются границы, в пределах которых справедливы те или иные физические
концепции, модели, теории. Курс физики формирует у студентов представление о
физике как науке, имеющей экспериментальную основу, знакомит с историей
важнейших физических открытий и возникновением теорий, идей, понятий,
формирует физическую картину мира, естественнонаучное миропонимание.
Цель изучения дисциплины – обеспечение фундаментальной физической подготовки,
позволяющей будущим специалистам ориентироваться в научно-технической
информации, использовать физические принципы и законы, а также результаты
физических открытий в тех областях техники, в которых они будут трудиться.
Изучение дисциплины должно способствовать формированию у студентов основ
научного мышления, в том числе: пониманию границ применимости физических
понятий и теорий; умению оценивать степень достоверности результатов
теоретических и экспериментальных исследований; умению планировать физический
и технический эксперимент и обрабатывать его результаты с использованием методов
теории размерности, теории подобия и математической статистики.
Изучение дисциплины на лабораторных и практических занятиях будет знакомить
студентов с техникой современного физического эксперимента, студенты научатся
работать с современными средствами измерений и научной аппаратурой, а также
использовать средства компьютерной техники при расчетах и обработке
экспериментальных данных. Студенты научатся постановке и выбору алгоритмов
решения конкретных задач из различных областей физики, приобретут начальные
навыки для самостоятельного овладения новыми методами и теориями,
необходимыми в практической деятельности современного инженера.
На практических занятиях студенты закрепляют и конкретизируют полученные
теоретические знания путем решения прикладных качественных и количественных
задач, получают навыки моделирования процессов и явлений.
На лабораторных занятиях студенты приобретают навыки в проведении измерений и
физических экспериментов.
Задачи: важнейшей задачей курса общей физики является формирование у студентов
определенной системы знаний о физической картине мира, правильного научного
мировоззрения, теоретического и творческого мышления и умения пользоваться
диалектическим методом. Изучение физики должно помочь студенту овладеть
системой умений и навыков, позволяющих передать полученные знания школьникам.
Также, в целях осуществления политехнической подготовки будущих учителей
математики-физики или информатики-физики в курсе необходимо раскрыть
взаимосвязь физики и техники, показать применений физических законов в
производстве.
Место курса в общей системе подготовки специалиста:
ЕН.Ф. Физика
Требования к уровню освоения содержания дисциплины:
должны знать: основные экспериментальные опыты, их авторов; основные понятия
физики, определения, явления, законы и формулы, которыми они описываются;
принципы действия различных приборов, механизмов, их устройство.
должны уметь: использовать полученные знания для объяснения явлений природы,
действия различных механизмов, приборов, устройств, применяемых на производстве,
в технике, и, особенно, в быту, в физическом кабинете; решать различные
практические и теоретические задачи, делать простые расчеты цепей; ремонтировать
приборы и устройства, применяемые в быту и физическом кабинете, конструировать и
создавать новые приборы, схемы и т.п.
Основными результатами изучения дисциплины должны являться:
Усвоение студентами системы знаний, включающей в себя описание физических
явлений, важнейшие законы движения материи, физические теории и фундаментальные
опытные факты.
Приобретение студентом умений и навыков практического применения усвоенных им
физических явлений.
Развитие умения наблюдать физические явления, выделять существенные и
отбрасывать несущественные факторы, устанавливать качественные и количественные связи
между разными сторонами физических явлений, применять полученные знания для анализа
новых явлений, предвидеть следствия, вытекающие из физических теорий.
Формирование культуры умственного труда, овладение навыками использования
современных средств измерений и обработки получаемой информации.
Ссылки на авторов и программы, которые использовались в подготовке.
Примерная программа дисциплины "Физика": Мерзляков В. П., кандидат физ.-мат. наук,
доцент.2001г, Программа обсуждена и одобрена на заседании учебно-методического
совета по направлению 540100 Естественнонаучное образование Учебно-методического
объединения
по
направлениям
педагогического
образования
на
базе
РГПУ им. А.И. Герцена
Программа «Физика»: Седов А.Н., доцент МЭИ (ТУ); Иванов Д.А., доцент МЭИ (ТУ).
Гладун А.Д. - профессор Московского физико-технического института (государственного
университета), Колоколов А.А.- доцент Московского государственного технологического
университета, Суханов А.Д. - профессор Российского университета дружбы народов,
Уханов Ю.И. - профессор Санкт-Петербургского государственного технического
университета
1.4.Извлечение из ГОС ВПО специальности (направления), включающее требования к
обязательному минимуму содержания дисциплины и общее количество часов.
Физические основы механики; колебания и волны;
ЕН.Ф.3
324
молекулярная физика и термодинамика; электричество и
магнетизм; оптика; атомная и ядерная физика; физический
практикум.
1.5. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
(для всех специальностей, на которых читается данная дисциплина)
Курс
Семестр
Трудоемкость
Всего аудит.
ЛК
ПР/СМ
ЛБ
Сам. раб.
Вид итогового
контроля (форма
отчетности)
Виды учебной работы
2
4
120
60
22
18
20
60
экзамен
3
5
120
60
24
16
20
60
экзамен
Шифр и наименование
специальности
050202 Информатика со специализацией
«Системное администрирование учебных
компьютерных сетей»
050201 Математика с дополнительной
специальностью «Информатика»
1
2
1
1
1
1
1
3
3
3
3
1
1
1
3
3
1
1
1
2
3
3
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
1
1
1
3
3
2
1
3
3
3
2
3
3
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
3
3
3
3
2
3
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
3
3
3
1
1
1
3
3
1
1
1
3
15
16
3
1
1
1
3
3
1
1
1
3
3
1
1
1
3
3
1
1
1
3
17
3
1
1
1
3
3
1
1
1
3
18
19
20
21
3
3
2
2
60
1
1
1
1
22
1
1
1
1
1
1
20
3
3
2
3
60
3
3
2
2
60
2
1
1
1
24
1
1
1
1
20
3
3
2
3
60
18
1
16
Сам.
раб
3
3
3
1
1
3
3
3
ЛБ
ПР/СМ
1
Всего
аудит.
1
1
1
Сам
раб.
1
2
1
ЛБ
ЛК
9
10
11
12
13
14
050201
ПР/СМ
5.
6
7
8
Введение
Кинематика материальной точки
Динамика материальной точки
Динамика системы материальных точек.
Законы сохранения
Механика твердого тела
Движение при наличии сил трения
Механика жидкостей и газов
Движение в неинерциальных системах
отсчета
Элементы СТО
Упругие силы
Колебания и волны
Акустика
Всемирное тяготение
Основы молекулярно - кинетической теории
газов. Идеальный газ.
Основы термодинамики.
Столкновения молекул и явления
переноса в газах.
Неидеальные (реальные) газы.
Уравнение Ван-дер-Ваальса
Второе начало термодинамики
Свойства жидкостей
Низкие температуры
Твердые тела
ИТОГО:
Вариант 2
050202
ЛК
1.
2.
3.
4.
Вариант 1
3
3
3
Всего
аудит.
№
п/п
1.6. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ:
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного
времени
Наименование раздела, темы
Количество часов (очная форма обучения)
1.6.2. Содержание разделов дисциплины ФИЗИКА:
1. Механика.
Введение. Предмет физики. Задачи и место физики в системе естественных наук, роль
физики в техническом прогрессе. Масштабы физических явлений. Взаимодействия в физике.
Взаимосвязь теории и эксперимента. Структура современной физики. Роль и место
физических методов исследования в решении проблем теплофизики и теплоэнергетики.
Физические основы механики. Кинематика поступательного и вращательного
движения. Механическое движение как простейшая форма движения материи. Кинематика
материальной точки. Закон движения, скорость, ускорение (нормальное, тангенциальное).
Принцип относительности Галилея. Кинематика вращательного движения. Связь линейных и
угловых кинематических величин.
Динамика поступательного
и вращательного движения. Закон инерции и
инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона. Виды взаимодействий. Характеристика
основных сил в динамике. Центр масс, приведенная масса. Основное уравнение динамики
вращательного движения. Момент силы. Момент импульса относительно точки и оси.
Момент инерции абсолютно твердого тела. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия
вращающегося тела. Теорема Кенига.
Законы сохранения в механике. Внешние и внутренние силы. Закон изменения
импульса материальной точки и системы тел. Закон сохранения импульса, его связь с
однородностью пространства. Энергия как универсальная мера различных видов движения и
взаимодействий. Способы передачи энергии. Общефизический закон сохранения энергии.
Механическая работа. Потенциальные и диссипативные силы. Потенциальная и кинетическая
энергии. Теорема об изменении кинетической энергии. Механическая энергия. Закон
сохранения механической энергии. Закон сохранения момента импульса и его связь с
изотропностью пространства.
Механические колебания. Линейный гармонический осциллятор. Дифференциальные
уравнения свободных, затухающих и вынужденных колебаний. Метод векторных диаграмм.
Энергия колебаний. Характеристики затухающих колебаний. Резонанс при вынужденных
колебаниях.
Релятивистская механика. Постулаты Эйнштейна. Релятивистская кинематика.
Собственное время. Преобразования Лоренца. Одновременность событий. Релятивистское
сокращение длин и сложение скоростей. Предельность скорости света. Релятивистская
динамика. Импульс и энергия в специальной теории относительности.
2. Молекулярная физика. Системы из многих частиц. Статистический и
термодинамический методы исследования. Наиболее вероятное распределение частиц в
пространстве. Принцип детального равновесия. Максвелловское распределение частиц по
скоростям. Барометрическое распределение. Кинетическая энергия молекул. Температура.
Распределение энергии по степеням свободы молекул. Идеальный газ. Внутренняя энергия
идеального газа. Уравнение состояния идеального газа Клапейрона–Менделеева.
Изопроцессы. Уравнение Пуассона. Молекулярно-кинетическая теория теплоемкостей
идеальных газов и ее ограниченность. Реальные газы. Взаимодействие молекул. Уравнение
Ван-дер-Ваальса. Изотермы Эндрюса. Критическое состояние. Эффект Джоуля – Томсона.
3. Термодинамика. Внутренняя энергия, теплота, работа. Первое начало
термодинамики. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам идеального
газа. Адиабатный процесс. Политропные процессы. Термодинамические циклы. Второе
начало термодинамики. Тепловые машины и их КПД. Вечные двигатели первого и второго
рода. Цикл Карно. Энтропия. Термодинамическая вероятность. Явления переноса. Длина
свободного пробега молекул. Диффузия. Коэффициент диффузии. Закон Фика и уравнение
диффузии. Время диффузии. Теплопроводность. Коэффициент теплопроводности. Закон
Фурье. Внутреннее трение. Формула Пуазейля. Связь коэффициентов переноса.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Наименование раздела
дисциплины.
Механика.
Термодинамика.
Молекулярная физика.
Кинематика материальной
точки.
Динамика материальной точки и
системы материальных точек.
Законы сохранения.
Механика твердого тела.
Движение при наличии сил
трения.
Механика жидкостей и газов.
Движение в неинерциальных
системах отсчета.
Элементы СТО
Упругие силы
Колебания и волны. Акустика.
Основы молекулярнокинетической теории газов.
Идеальный газ.
Основы термодинамики.
Столкновения
молекул
и
явления
переноса в газах.
Неидеальные (реальные) газы.
Уравнение Ван-дер-Ваальса
Второе начало термодинамики
Свойства жидкостей
Низкие температуры
Твердые тела
Форма
самостоятельной
работы
- вопросы к экзамену;
- подготовка к
контрольным работам,
тестированию
Кол-во
часов
2
2
Форма контроля
выполнения
самостоятельной
работы
- вопросы выносятся
на экзамен;
контрольные
работы,
- тесты
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
1.5.Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.5.1. Тематика и планы аудиторной работы студентов по изученному материалу
(планы последовательного проведения занятий: ПР, СМ, ЛБ) по предлагаемой
схеме:
№
Наименование и содержание практических
занятий (ПР)
Литература
Механика. Молекулярная физика.
Термодинамика.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
1. Сборник задач по курсу
Кинематика. Прямолинейное движение.
общей физике: Учебное для
Криволинейное движение. Вращательное
студентов педвузов/ под
движение. Колебательное движение.
ред. М.С. Цедрика – М.:
Динамика материальной точки и системы
Просвещение, 1989
материальных точек.
2. Волькенштейн
В.С.
Законы сохранения энергии, импульса и момента
Сборник задач по курсу
импульса.
общей физики.
Механика твердого тела. Динамика
3. Иродов И.Е.. Задачи по
вращательного движения твердого тела.
общей физике. М. Наука.
Равновесие твердого тела. Движение при наличии
1979, 1988 гг.
сил трения.
Механика жидкостей и газов. Гидро - и
аэростатика. Гидро - и аэродинамика
Неинерциальные системы отсчета. Силы
инерции.
Элементы специальной теории относительности.
Упругие свойства тел.
Механические колебания и волны. Колебания.
Волновое движение. Акустика.
Закон Всемирного тяготения
Основы молекулярно-кинетической теории газов.
Основное уравнение кинетической теории газов.
Газовые законы. Распределение Максвелла и
Больцмана. Барометрическая формула.
Явления переноса в газах. Средняя длина
свободного
пробега
молекул.
Число
столкновений.
Диффузия,
вязкость
и
теплопроводность газов.
Первое начало термодинамики. Теплоемкость.
Элементы газодинамики.
Второе начало термодинамики. Тепловые
двигатели и холодильные машины. Энтропия.
Реальные жидкости и газы.
Тепловые свойства твердых тел. Фазовые
переходы.
Колво
часов
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
Тематика теоретических семинаров:
(Самостоятельная аудиторная работа студентов над теоретическим курсом под руководством
преподавателя):
I. Механика
1. Кинематический способ описания движения
2. Динамические характеристики частицы и уравнение движения
3. Законы сохранения в механике
4. Преобразования Лоренца
5. Релятивистская динамика частицы
6. Вращательное движение твердого тела
7. Стационарное движение жидкости
8. Упругие деформации твердого тела
II. Электричество и магнетизм
1. Электростатика
2. Постоянный электрический ток
3. Магнитное поле
4. Статические поля в веществе
5. Уравнения Максвелла
6. Принцип относительности в электродинамике
Ш. Квантовая физика
1. Корпускулярно-волновой дуализм
2. Квантовые состояния
3. Уравнение Шредингера
4. Атом водорода и многоэлектронные атомы
5. Молекулы и природа химической связи
6. Электроны в кристаллах
7. Элементы квантовой электроники
8. Атомное ядро и ядерные реакции
Y. Термодинамика
1. Молекулярно-кинетическая теория
2. Элементы термодинамики
3. Функции распределения
4. Элементы физической кинетики
5. Распределение Гиббса
6. Порядок и беспорядок в природе
7. Кристаллы в тепловом равновесии
8. Диэлектрики и магнетики в тепловом равновесии
Тематика практических занятий (решение задач):
I. Механика
1. Кинематика частицы.
2. Динамика частицы.
3. Закон сохранения импульса.
4. Работа. Мощность.
5. Закон сохранения энергии.
6. Закон сохранения момента импульса.
7. Силы инерции.
8. Вращательное движение твердого тела.
9. Релятивистская динамика частицы.
10. Стационарное движение жидкости.
11. Упругие деформации твердого тела.
II. Электричество и магнетизм
1. Расчет электростатических полей.
2. Потенциальность электростатического поля.
3. Идеальный проводник в электростатическом поле.
4. Электроемкость проводников и конденсаторов.
5. Энергия электростатического поля.
6. Расчет электрических цепей постоянного тока.
7. Расчет постоянных магнитных полей.
8. Электромагнитная индукция и самоиндукция.
9. Энергия постоянного магнитного поля.
10. Электростатическое и магнитостатическое поля в веществе.
11. Система уравнений Максвелла. Волновое уравнение.
12. Принцип относительности в электродинамике.
13. Переходные процессы в электрических цепях.
IV. Квантовая физика
1. Экспериментальные основы квантовой механики: фотоэффект, опыт Франка и Герца,
энергетический спектр атома водорода.
2. Основные характеристики фотонов. Эффект Комптона.
3. Гипотеза де Бройля. Опыт Дэвиссона и Джермена. Дифракция микрочастиц.
4. Уравнение Шредингера. Стационарные состояния частицы.
5. Соотношение неопределенностей.
6. Туннельный эффект.
7. Гармонический осциллятор в квантовой механике.
8. Поглощение и испускание света атомами.
9. Характеристики лазерного излучения.
10. Модель свободных электронов кристалла.
11. Электропроводность полупроводников.
12. Энергетика ядерных реакций.
V. Термодинамика.
1. Модель идеального газа.
2. Явления переноса: диффузия, теплопроводность, вязкость.
3. Электрический ток в вакууме.
4. Плазма.
5. Первое начало термодинамики.
6. Условия термодинамического равновесия.
7. Фазовые превращения.
8. Распределение Максвелла.
9. Распределение Больцмана.
10. Энтропия и вероятность.
11. Функции распределения Бозе и Ферми.
12. Процессы релаксации.
13. Броуновское движение.
14. Колебательный спектр кристаллов.
15. Теплоемкость кристаллов.
16. Электронный ферми-газ в металле.
17. Термодинамика диэлектриков и магнетиков.
18. Ферромагнетизм.
Тематика лабораторных работ:
I. Механика
1. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника.
2. Определение ускорения свободного падения с помощью машины Атвуда.
3. Определение скорости пули баллистическим методом.
4. Определение коэффициента трения качения с помощью наклонного маятника.
5. Определение момента инерции твердых тел с помощью крутильных колебаний.
6. Изучение вращательного движения с помощью маятника Обербека.
7. Взвешивание на аналитических весах.
8. Упругий центральный удар шаров.
9. Определение скорости движения ружейной пули.
10. Изучение законов равноускоренного движения тел с помощью машины Атвуда.
11. Определение ускорения силы тяжести при помощи оборотного маятника.
12. Проверка основного закона динамики вращательного движения.
13. Определение плотности тела гидростатическим методом (механика).
14. Определение модуля Юнга по прогибу.
15. Измерение линейных размеров тел с помощью штангенциркуля и микрометра.
16. Измерение линейных размеров тел с помощью штангенциркуля и микрометра.
1. Изучение колебаний физического маятника.
2. Изучение движения гироскопа.
3. Измерение вязкости жидкости.
4. Измерение вязкости воздуха.
5. Течение жидкости в трубе переменного сечения.
6. Определение модуля Юнга и скорости звука в стержне.
17. Определение абсолютной и относительной влажности.
18. Определение СP/CV для газов методом Клемана-Дезорма.
19. Определение коэффициента динамической вязкости воздуха, длины свободного
пробега молекул воздуха, эффективного диаметра молекул воздуха.
20. Определение удельной теплоемкости вещества.
21. Определение удельной теплоты плавления льда.
22. Определение коэффициента линейного расширения твердых тел.
23. Определение коэффициента поверхностного натяжения по высоте поднятия жидкости
в капиллярных трубках.
24. Изучение статистических закономерностей на механической модели.
25. Определение вязкости жидкости по методу Стокса.
26. Изучение колебаний математического маятника и наблюдение параметрического
резонанса.
27. Изучение собственных колебаний струны.
28. Изучение капиллярных волн на поверхности воды.
II. Электричество и магнетизм
1. Определение отношения заряда электрона к его массе методом магнетрона.
2. Моделирование электростатических полей.
3. Измерение магнитного поля соленоида с помощью датчика Холла.
4. Изучение электрических цепей постоянного тока.
5. Изучение электронного осциллографа.
6. Изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора.
7. Изучение электромагнитной индукции.
8. Изучение самоиндукции и взаимной индукции.
9. Изучение электромагнитных процессов в простых линейных цепях при действии
гармонической Э.Д.С.
10. Изучение эффекта Холла в металлах и полупроводниках.
11. «Исследование различных способов включения потребителей (приемников)
электрической энергии»
12. «Изучение термоэлектрических явлений»
13. «Измерительные методы: метод компенсации и мост Уитсона»
14. «Измерение емкости конденсаторов»
15. «Ампервольтомметр (школьный) АВО-63»
16. «Определение удельного заряда электрона методом магнетрона»
17. «Изучение работы полупроводниковых выпрямителей»
18. «Определение магнитной индукции при помощи баллистического гальванометра»
19. « Снятие петли гистерезиса для стали»
20. «Снятие и анализ резонансных кривых последовательного и параллельного
колебательных контуров»
III. Электродинамика
2. Изучение затухающих колебаний в колебательном контуре.
3. Изучение вынужденных колебаний в колебательном контуре.
4. Изучение колебаний связанных гармонических осцилляторов.
5. Изучение собственных колебаний струны.
6. Изучение капиллярных волн на поверхности воды.
7. Измерение скорости звука в воздухе.
Термодинамика.
1. Определение коэффициента теплопроводности воздуха.
2. Определение коэффициента диффузии газов.
3. Определение отношения теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме
методом Клемана-Дезорма.
4. Изучение зависимости удельной теплоемкости твердых тел от температуры.
5. Изучение тройной точки вещества.
6. Изучение зависимости электропроводности металлов и полупроводников от температуры.
7. Изучение вольтамперных и температурных характеристик p-n перехода.
8. Определение работы выхода электронов по вольтамперным характеристикам
термоэмиссии.
9. Изучение вольтамперных характеристик газоразрядной плазмы.
10. Определение заряда электрона по дробному эффекту.
11. Получение и измерение вакуума.
12. Изучение поляризации сегнетоэлектриков.
13. Изучение гистерезиса ферромагнитных материалов.
Оптика
1. Определение фокусного расстояния собирательной и рассеивающей линз”.
2. “Определение показателей преломления жидкостей с помощью рефрактометров Аббе
и РЛ”.
3. «Изучение оптических приборов (микроскоп)»
4. “Определение длины световой волны с помощью дифракционной решетки”.
5. «Градуировка спектроскопа»
6. “Определение радиуса кривизны линзы при помощи колец Ньютона”
7. «Изучение законов поляризации света»
8. Определение длены волны лазерного излучения с помощью бипризмы Френеля.
9. Определение длины волны света с помощью колец Ньютона.
10. Изучение дифракции Фраунгофера на щели.
11. Изучение дифракционной решетки.
12. Изучение поляризованного света.
13. Определение показателя преломления стекла интерференционным методом.
14. Определение показателя преломления и дисперсии стеклянной призмы.
15. Изучение призменного монохроматора.
16. Изучение пространственной когерентности лазерного излучения.
17. Изучение малых деформаций и измерение показателя преломления с помощью
интерферометра Майкельсона.
Квантовая физика
1. Изучение спектра атома водорода.
2. Изучение внешнего фотоэффекта и определение постоянной Планка.
3. Определение потенциалов возбуждения методом Франка и Герца.
4. Изучение эффекта Комптона.
5. Изучение температурной зависимости электропроводности металлов и полупроводников.
6. Изучение характеристик p-n перехода.
7. Изучение эффекта Холла в полупроводниках.
8. Определение пробега альфа-частиц.
9. Изучение космических лучей.
10. Изучение спектров.
Атомная и ядерная физика
1. «Определение истинных температур и световой отдачи источников света с помощью
пирометра ЛОП-72»
2. «Исследование спектральных характеристик различных фотоэлементов с помощью
монохроматора МУМ»
3. «Определение постоянной Планка методом запирающего напряжения»
4. «Определение постоянной Ридберга по линиям водорода с помощью монохроматора
УМ-2»
1.6.Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.6.1. Рекомендуемая литература:
основная:
1. Айзерман, М. А.Классическая механика : [учеб. пособие для вузов и втузов] / М. А.
Айзерман. - Изд. 3-е. - М. : Физматлит, 2005. - 380 с.
2. Базаров И.П.Термодинамика:Учебник для вузов.-М.:ВШ,1991
3.
Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.:Высшая школа, 1989. – 608 с.
4. Детлаф, А. А. Курс физики: учеб. пособие для студ. Втузов/ А. А. Детлаф, Б. М.
Яворский.- 5-е изд., стер.- М.: Академия, 2005. гриф.
5. Иродов И.Е.Механика:Учеб.пос.для вузов.-М.,2001
6. Иродов, И. Е.Механика : основные законы / И. Е. Иродов. - 8-е изд., стер. - М. :
БИНОМ : Лаб. Базовых Знаний, 2006. - 309 с. : ил. - (Общая физика).
7. Ландау Л. Д.Теоретическая физика : учеб. пособие для студ. физ. спец. ун-тов : в 10 т. /
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц ; под ред. Л. П. Питаевского. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004 -.
Т. 1 : Механика. - 2007. - 224 с. - ISBN 978-5-9221-0819-5 [Гриф]
8. Павленко Ю. Г.Лекции по теоретической механике : учебник для студ. вузов, обуч. по
спец. "Механика", "Прикладная математика", "Физика", "Астрономия" / Ю. Г.
Павленко. - 2-е изд., перераб. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 392 с [Гриф МО]
9.
Савельев И.В. Курс общей физики, т.т.1-5. – М.: Наука, 1998.
10. Савельев И.В. Сборник задач и вопросов по общей физике. – М.: Наука, 1988. – 288
11. Серова Ф.Г.,Янкина А.А.Сборник задач по термодинамике:Учеб.пос.для вузов.М.:Просвещение,1976
12. Трофимова Т. И.Курс физики : учеб. пособие для инж.-техн. спец. вузов / Т. И.
Трофимова. - 13-е изд., стер. - М. : Академия, 2007. - 560 с
13. Э.Б. Абражевич, В.М.Белокопытов, И.В.Иванова и др. Сборник задач по общей физике. Под
ред. В.М.Белокопытова. – М.: Изд-во МЭИ, 1999. – 374 с.
дополнительная:
1. Болотина К.С. и др. Лабораторный практикум по курсу “Физика”. Оптика. Атомная
физика. – М.: Изд-во МЭИ, 1996. – 176 с.
2.
Болотина К.С. и др. Метрологические основы теплофизических экспериментов. – М.: Изд-во
МЭИ, 1986. – 64 с.
3. Волькенштейн В.С. Сборник задач по курсу общей физики. – М., 1990.
4. Геворкян Р.Г., Шепель В.В. Курс общей физики. – М., 1966 и поздние издания.
5. Гершензон А.М., Махов П.П. Курс общей физики. – М., 1979.
6. Данилова В.Ф. Физика. – М., 1999.
7. Кемпфер Ф. Путь в современную физику. – М., 1972.
8. Китайгородский А.И. Введение в физику. – М., 1973.
9. Ландсберг Г.С. Элементарный курс физики, ч.3.
10. Матвеев А.П. Механика и теория относительности. – М., 1976 и поздние издания.
11. Матвеев. Оптика.
12. Ремизов А.Н. Курс физики, электроники и кибернетики. – М., 1982.
13. Ремизов А.Н. Медицинская и биологическая физика. – М., 1999.
14. Ремизов А.Н., Исакова Н.Х., Максина А.Г. Сборник задач по медицинской и
биологической физике. – М., 1987.
15. Сивухин Д.В. Общий курс физики, т.т. 1-5. – М.: Наука, 1999.
16. Тимошин М.Г. и др. Лабораторные работы по курсу “Физика”. Электромагнетизм. – М.: Изд-
во МЭИ, 2000. – 140 с.
17. Уокер Дж. Физический фейерверк. – М., 1979.
18. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики, ч.3.
19. Школьный учебник физики.
20. Щербаков П.П. и др. Лабораторные работы по курсу “Физика”. Механика и молекулярная
физика. – М.: Изд-во МЭИ, 1987. – 140 с.
http://ferro.phys.msu.ru/study/estestv/kuprianov.html
1.7.Материально-техническое обеспечение дисциплины:
1.9.1.Перечень используемых технических средств: лабораторное оборудование лаборатории
«Механика. Молекулярная физика» (каб. № 2 ФМФ), лабораторное оборудование
лаборатории «Электричество и магнетизм» (каб. № 18 ФМФ), лабораторное оборудование
лаборатории «Оптика. Квантовая физика» (каб. № 5 ФМФ).
1.9.2. Перечень используемых пособий: методические разработки и пособия лаборатории
«Механика. Молекулярная физика» (каб. №2 ФМФ), методические разработки и пособия
лаборатории «Электричество и магнетизм» (каб. №18 ФМФ), методические разработки и
пособия лаборатории «Оптика. Квантовая физика» (каб. № 5 ФМФ)
Курс общей физики. Механика. Молекулярная физика и термодинамика: Электронный
задачник, компьютерный лабораторный практикум, компьютерные лекционные
демонстрации. / под ред. А.Н Седова. – М., МЭИ, 2000.
1.9.3.Перечень видео- и аудиоматериалов, программного обеспечения:
- компьютерные программы: «Открытая физика. 1.1», «Физика колебаний».
- Учебные кинофильмы по физике:
I. Физические основы механики
1. Состояние невесомости, 1ч., ч/б, 1975.
2. Законы сохранение в механике, 2ч., ч/б, 1976.
3. Деформация кристаллов, -ч.,цв., 1977.
4. Дефект массы, 1ч., ч/б, 1978.
5. Реактивное движение, 2ч., цв., 1978.
6. Измерение различных скоростей, 2ч., цв., 1979.
7. Работа и энергия, 1ч., ч/б, 1979.
8. Силы слухового трения, 1ч., ч/б, 1979.
9. Силы инерции при вращательном движении, 1ч., ч/б, 1979.
10. Основы гидро- и аэродинамики, 2ч., ч/б, 1981.
11. Закон сохранения импульса, 1ч., ч/б, 1981.
12. Закон сохранения момента импульса, 1ч., ч/б, 1981.
13. Закон сохранения и превращения энергии, 1ч., ч/б, 1981.
14. Распространение упругих волн, I и II разделы, 2ч., ч/б, 1981.
15. Движение в гравитационном поле, -ч., ч/б, 1982.
16. Движение центра инерции твердого тела, 1/2ч. (кинофрагмент), ч/б, 1976.
17. Свободные оси и главные оси инерции, 1/2 ч. (кинофрагмент), ч/б, 1976.
18. Гравитационное поле, 2ч., 1988.
19. Силы трения, 2ч., 1988.
II. Электричество и магнетизм
1. Электромагнитная индукция, 2ч., ч/б, 1977.
2. Электропроводность металлов и полупроводников, 2ч., цв., 1976.
3. Диамагнетизм и парамагнетизм, 1ч., ч/б, 1977.
4. Поле вблизи заряженных тел, 1ч., цв., 1979.
5. Магнитное поле движущихся зарядов, 2ч., ч/б, 1980.
6. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях, 1ч., ч/б, 1980.
7. Магнитные свойства вещества, 2ч., ч/б, 1980.
8. Сверхпроводимость, 2ч., ч/б, 1983.
9. Термоэлектрические и контактные явления, 2ч., ч/б, 1984.
III. Физика колебаний и волн
1. Затухающие колебания, 1ч., ч/б, 1978.
2. Сложение колебаний, 1ч., цв., 1978.
3. Волны, 2ч., ч/б, 1980.
4. Физические основы акустики, 2ч., цв., 1980.
5. Распространение упругих волн, I и II разделы, 2ч., ч/б, 1981.
6. Поляризация света, 2ч., цв., 1975.
7. Оптические явления в природе, 1ч., цв., 1976.
8. Полное внутреннее отражение, 1ч., цв., 1977.
9. Интерференция света, 2ч., цв., 1977.
10. Основы голографии, 2ч., цв., 1978.
11. Линза, 1ч., ч/б, 1979.
12. Отражение и преломление света, 1ч., ч/б, 1979.
13. Дифракция света, 2ч., цв., 1980.
14. Дисперсия света и рассеяние, 2ч., цв., 1980.
15. Лазеры, 3ч., цв., 1982.
16. Методы регистрации быстропротекающих физических процессов, 2ч., ч/б, 1983.
17. Двойное лучепреломление, 2ч., цв., 1984.
18. Вращение плоскости поляризации, 1ч., ч/б, 1986.
19. Визуализация инфракрасного излучения, 2ч., ч/б, 1987.
20. Нелинейная оптика, 2ч., цв., 1988.
IV. Квантовая физика
1. Фотоэффект, 1ч., цв., 1976.
2. Опыты Франка и Герца, 1ч., ч/б, 1976.
3. Опыты Штерна и Герлаха, 1ч., цв., 1976.
4. Эффект Мессбауэра, 2ч., 1978.
5. Физические основы квантовой теории, 3ч., цв., 1980.
6. Элементарные частицы,2ч., ч/б, 1984.
7. Взаимодействие элементарных частиц, 2ч., ч/б, 1984.
8. Тепловое излучение 2ч., ч/б, 1984.
9. Туннельный эффект, 2ч., цв., 1968.
V. Статистическая физика и термодинамика
1. Опыт Джоуля-Томсона, 1ч., ч/б, 1978.
2. Диффузионные явления, 2ч., цв., 1979.
3. Низкие температуры, 1ч., ч/б, 1980.
4. Сверхтекучесть гелия, 1ч., ч/б, 1980.
5. Явления переноса в газах, 2ч., ч/б, 1980.
6. Методы получения и измерения вакуума, 1ч., ч/б, 1981.
7. Основные газовые законы, 1ч., ч/б, 1981.
8. Жидкое состояние вещества, 1ч., ч/б, 1981.
9. Теплоемкость газов, 2ч., ч/б, 1982.
10. Физические явления в разряженных газах, 1ч., ч/б, 1982.
11. Вязкость газов и жидкостей, 1ч., ч/б, 1981.
12. Энтропия, 2ч., ч/б, 1985.
1.8.Примерные зачетные тестовые задания.
На кафедре
1.9.Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену).
Механика:
1. Представления Ньютона о свойствах пространства и времени.
2. Уравнение неразрывности струи, уравнение Бернулли.
3. Кинематика материальной точки: относительность движения, системы отсчета,
перемещение, скорость, ускорение.
4. Ламинарное и турбулентное течение жидкости. Число Рейнольдса.
5. Тангенциальное и нормальное ускорения.
6. Движение тел в вязкой жидкости. Лобовое сопротивление, подъемная сила, эффект
Магнуса.
7. Движение материальной точки по окружности. Угловая скорость, угловое ускорение.
8. Масса и основной закон динамики. Релятивистский импульс.
9. Кинематика гармонических колебаний.
10. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции в прямолинейно движущихся,
вращающихся НИСО.
11. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности
Галлилея.
12. Упругий и неупругий удары шаров.
13. Типы взаимодействий в природе. Понятие силы.
14. Применение уравнения Бернулли. Формула Торричелли.
15. Понятие массы. Второй закон Ньютона.
16. Виды механической энергии. Закон сохранения энергии.
17. Связь r , a, , .
18. Затухающие колебания. Декремент.
19. Работа силы. Мощность. Единицы измерения.
20. Вынужденные колебания. Резонанс.
21. Импульс. Закон сохранения импульса.
22. Продольные и поперечные волны. Фазовая скорость.
23. Свободные оси вращения. Гироскопический эффект. Применение гироскопического
эффекта в технике.
24. Энергия бегущей волны. Вектор Умова.
25. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.
26.Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца.
27. Сложение колебаний одного направления с одинаковыми и разными частотами.
28.Сила Архимеда. Закон Паскаля. Условия плавания тел.
29. Сложение взаимноперпендикулярных колебаний.
30. Жидкое трение.
31.Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.
32. Относительность одновременности в СТО.
33. Абсолютно твердое тело. Поступательное и вращательное движение абсолютно твердого
тела.
34. Относительность расстояний и промежутков времени в СТО
35.Система материальных точек. Центр масс, координаты центра масс. Движение центра
масс.
36.Ультразвук и его применение. Инфразвук.
37. Момент силы относительно центра, оси. Пара сил. Момент пары.
38. Интерференция волн. Стоячие волны.
39.Момент инерции твердого тела, определение момента инерции. Теорема Штейнера.
40.Природа звука. Источники и приемники звука. Эффект Доплера.
41.Предмет механики. Исторический обзор развития механики.
42. Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения. Определение гравитационной постоянной.
43.Третий закон Ньютона.
44.Потенциальное поле. Свойства потенциального поля.
45.Реактивное движение. Уравнения Мещерского и Циолковского.
46.Автоколебания. Колебания связанных систем.
47.Трение покоя, качения, скольжения.
48.Сила Кориолиса. Проявление действия силы Кориолиса.
49.Давление в покоящихся жидкостях и газах. Измерение давления.
50.Колебательные системы. Математический и физический маятники.
51.Закон Гука. Коэффициент Пуассона. Виды деформаций.
52.Напряженность и потенциал поля тяготения.
Молекулярная физика.
1
Идеальный газ. Давление газа. Температура
2
Уравнение состояния идеального газа.
Броуновское движение
3
Барометрическая формула. Понятие о
вероятности.
4
Функция распределения
5
Характеристические скорости
6
Внутренняя энергия идеального газа. Первое
начало термодинамики Теплоемкость.
7
Теплоемкость газов и число степеней
свободы молекул
8
Работа идеального газа при различных процессах
9
Явления переноса. Среднее число столкновений в единицу времени и средняя длина
свободного пробега молекул
10
Диффузия в газах. Нестационарная диффузия
11
Теплопроводность газов. Коэффициенты.
12
Отклонения свойств газов от идеальности.
Сжижение газов. Фазовый переход.
13
Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы
14
Межмолекулярные силы взаимодействия
в реальном газе
15
Теплоемкость неидеальных газов
16
Равновесные состояния. Обратимые и необратимые процессы. Квазистатические процессы
17
Взаимные превращения механической и тепловой энергии. Первое начало термодинамики
18
Цикл Карно. Холодильная машина
19
Доказательство теорем Карно.
20
Свободная энергия и энтропия.
21
Энтропия при обратимых и необратимых процессах.
22
Объемные свойства жидкостей
23
Условия равновесия на границе двух сред
24
Температурные свойства жидкостей
25
Сжижение газов эффект Джоуля-Томсона
26
27
Сверхнизкие температуры
Твердое тело
Молекулярная физика и Термодинамика:
1. Идеальный газ. Давление газа. Температура
2. Уравнение состояния идеального газа. Броуновское движение
3. Барометрическая формула. Понятие о
4. вероятности.
5. Функция распределения
6. Характеристические скорости
7. Внутренняя энергия идеального газа. Первое начало термодинамики. Теплоемкость.
8. Теплоемкость газов и число степеней свободы молекул
9. Работа идеального газа при различных процессах
10. Явления переноса. Среднее число столкновений в единицу времени и средняя длина
свободного пробега молекул
11. Диффузия в газах. Нестационарная диффузия
12. Теплопроводность газов. Коэффициенты.
13. Отклонения свойств газов от идеальности.
14. Сжижение газов. Фазовый переход.
15. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы
16. Межмолекулярные силы взаимодействия в реальном газе
17. Теплоемкость неидеальных газов
18. Равновесные состояния. Обратимые и необратимые процессы. Квазистатические процессы.
19. Взаимные превращения механической и тепловой энергии. Первое начало термодинамики
20. Цикл Карно. Холодильная машина
21. Доказательство теорем Карно.
22. Свободная энергия и энтропия.
23. Энтропия при обратимых и необратимых процессах.
24. Объемные свойства жидкостей
25. Условия равновесия на границе двух сред
26. Температурные свойства жидкостей
27. Сжижение газов эффект Джоуля-Томсона
28. Сверхнизкие температуры
29. Твердое тело
Оптика.
1. Поляризаторы и анализаторы. Закон Малюса. Рассмотреть разные случаи: источник света естественный или лазер.
2. Принципы, способы просветления линз, определение минимальных толщин
просветляющих линз.
3. Нормальная и аномальная дисперсия, поглощение света, электронная теория этих явлений.
4. Поляриметры - сахариметры: их назначение, устройство, действие, расчетные формулы.
5. Рассеивание света неоднородными (мутными) средами. Микро- и макроскопические
неоднородности. Закономерности рассеивания, законы Релея, Бугера-Ламберта.
6. Интерферометрический контроль качества поверхностей оптических деталей: схема
установки, возможные варианты интерферометрических картин, ее анализ, выводы.
7. Явление интерференции, ее проявления. Понятие о когерентности. Оптическая и
геометрическая разность хода, условия максимума и минимума.
8. Астрономические опыты по измерению скорости света: опыт Ремера, звездной аберрации,
их схемы, объяснение результатов, описание.
9. Интерференция света в тонких пленках в отраженном свете: ход лучей, подсчет разности
хода, условия максимума и минимума.
10.Земные методы определения скорости света: опыт Физо (или аналогичные), его схема,
описание принципа, расчетная формула.
11.Интерференция света в тонких пленках в проходящем свете: ход лучей, подсчет разности
хода, условия максимума и минимума.
12.Фундаментальные опыты СТО (экспериментальные основания СТО): опыты Физо и
Майкельсона, цель опытов, схема их осуществления, результаты и выводы.
13.Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля, свет за прозрачной
преградой, границы применимости закона прямолинейного распространения света. Зонная
пластинка Соре.
14.Поляризационные приборы: виды, используемые принципы, устройство, действие.
15.Дифракция Фраунгофера на щели: схема установки, разность хода, подсчет зон Френеля,
условия максимума и минимума.
16.Спектральные приборы: их принципы, схемы, вид даваемых спектров, их характеристики
(дисперсия, разрешающая способность), чем они определяются.
17.Современные представления о свете, его свойства. Основные энергетические и световые
величины, единицы их измерения.
18.Метод фотоупругости (интерференция поляризованных волн): схемы осуществления,
происходящие явления, наблюдаемая картина, где применяется.
19.Дифракция Фраунгофера от многих щелей. Дифракционная решетка. Получение
дифракционной картины (схема), подсчет разности хода, условия максимума и минимума.
20.Рефрактометры - приборы для измерения показателей преломления: принципы работы,
конкретная схема, действие.
21.Поляризация света при отражении и преломлении света. Закон Брюстера. “Бьющие” и
“скользящие ” колебания. Стопа Столетова.
22.Оптические инструменты: лупа, микроскоп, телескоп Галилея, труба Кеплера, их
оптические схемы, особенности схем, увеличение даваемое ими.
23.Интерференционные полосы (линии) равной толщины и наклона: в чем отличия, как
осуществляются (схемы).
24.Зеркала: плоские, вогнутые, выпуклые, их свойства и константы, построение изображений,
даваемых зеркалами во всевозможных случаях (4-5 случаев).
25.Дифракционные явления Френеля: на краю экрана, на круглом отверстии, на диске и т.п.
26.Тонкие линзы: виды, свойства, константы, роль окружающей среды, построение
изображений, получаемых с помощью линз во всевозможных случаях и средах (4-5
рисунков), их формулы.
27.Прибор Ньютона: устройство, ход лучей, подсчет разности хода, условия максимума и
минимума, различие картин в отражении и проходящем свете , требования к качеству
оптических деталей.
28.Понятие о голографии: особенности ее по сравнению с фотографией, схемы получения
голограммы и ее восстановления, свойства голограммы, ее применение.
29.Геометрическая оптика как предельный случай волновой. Законы отражения света,
преломления света, явление полного внутреннего отражения и обратное, полный конус
преломления, применение. Волоконная оптика.
30.Многолучевая интерференция: интерферометры Фабри-Перо, Люммера-Герке или
аналогичные, их схемы.
31.Поляризованный и неполяризованный свет. Линейная, круговая, эллиптическая
поляризация. Поляризация света при двойном лучепреломлении.
32.Методы наблюдения интерференции света: зеркала Френеля, опыт Юнга, зеркало Ллойда,
опыт Линнка, бипризма Френеля и др., их схемы, объяснение.
33.Интерференция линейно-поляризованных волн, пластинки /4, /2, . Схема метода
наблюдения интерференционной картины.
34.Поляризационные, интерференционные и абсорбционные фильтры - принцип действия,
области применения.
35.Искусственная анизотропия: фотоупругий эффект, эффект Керра, их применение.
Вращение плоскости поляризации, магнитное вращение.
36.Цвет неба, захода и восхода солнца, цвет мыльных шаров - дать подробное объяснение
этих явлений.
37.Недостатки оптических систем: сферическая и хроматическая аберрация, кома, дисторсия,
их устранение.
38.Интерферометр Майкельсона: устройство, действие, наблюдаемые интерференционные
картины, примеры применения для конкретных измерений.
39.Спектры испускания и поглощения, закон Бугера. Спектрометры, Спектральный анализ.
40.Компенсаторы (типа Солейля, Бабине) - их назначение, устройство, действие.
Полутеневой анализатор сахариметра - его устройство, действие, преимущества.
Электричество и магнетизм
1. Электрическое поле. Закон Кулона. Напряженность и потенциал электростатического
поля.
2. Принцип суперпозиции электростатических полей. Теорема Гаусса.
3. Электроемкость уединенного проводника.
4. Поток вектора напряженности. Конденсатор.
5. Энергия электростатического поля. Плотность энергии.
6. Сила тока, плотность тока. Закон Ома для однородного участка цепи в интегральной и
дифференциальной формах.
7. ЭДС. Закон Ома для полной цепи. Законы Кирхгофа.
8. Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля-Ленца.
9. Вектор магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа.
10. Сила Ампера. Сила Лоренца. Теорема о полных токах.
11. Энергия и плотность энергии магнитного поля.
12. Электромагнитная индукция. Самоиндукция. Взаимоиндукция. Закон электромагнитной
индукции Фарадея.
13. Ток смещения. Переменный ток. Импеданс.
14. Интегральный вид уравнений Максвелла.
15. Дифференциальный вид уравнений Максвелла.
16. Электромагнитные волны. Волновое уравнение.
17. Энергия электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга.
18. Движение частиц в электромагнитных полях.
19. Свободные электромагнитные колебания.
20. Вынужденные электромагнитные колебания.
Физика атомного ядра.
1. Тепловое излучение и его характеристики.
2. Закон Кирхгофа.
3. Закон Стефана – Больцмана, закон смещения Вина.
4. Квантовая энергия излучения. Формула Планка.
5. Фотоэффект. Закон фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.
6. Фотоны. Энергия и импульс фотона.
7. Давление света. Опыты Лебедева.
8. Тормозное рентгеновское излучение.
9. Характеристическое рентгеновское излучение. Закон Мозли.
10. Эффект Комптона.
11. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества. Волны де Бройля.
12. Модели атома Томпсона и Резерфорда.
13. Линейный спектр атома водорода.
14. Постулаты Бора. Спектр атома водорода по Бору.
15. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.
16. Описание микрочастиц с помощью волновой функции. Волновая функция и ее
физический смысл.
17. Принцип суперпозиции в квантовой механике.
28. Стационарное уравнение Шредингера.
19. Временное уравнение Шредингера.
20. Квантование энергии частицы в «потенциальной яме».
21. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.
22. Квантование энергии линейного гармонического осциллятора в квантовой механике.
Нулевая энергия и нулевые колебания.
23. Планетарная модель атома Резерфорда.
24. Постулаты Бора. Модель атома Бора.
25. Линейчатый спектр атома водорода. Формула Бальмера-Ридберга.
26. Квантовые числа электрона в атоме.
27. Спин электрона.
28. Магнитный момент электрона.
29. Принцип неразличимости тождественных частиц. Принцип Паули. Состояние электрона в
атоме.
30. Периодическая система элементов Менделеева.
31. Молекулы: понятие о химической связи.
32. Молекулярные спектры.
33. Спонтанное и вынужденное излучение. Лазеры.
34. Экспериментальные методы ядерной физики. Счетчики частиц.
35. Состав ядра. Заряд и массовое число ядра.
36. Протоны и нейтроны.
37. Изотопы и изобары.
38. Ядерные силы. Энергия связи ядра.
39. Модели ядра.
40. Ядерные реакции и их классификация. Эффективное сечение реакции.
41. Трансурановые элементы.
42. Деление ядер.
43. Цепные реакции деления.
44. Ядерные реакторы.
45. Реакции термоядерного синтеза.
46. Элементарные частицы, их характеристики.
47. Классификация элементарных частиц.
48. Частицы и античастицы.
49. Лептоны.
50. Фундаментальные взаимодействия.
1.10.
Комплект экзаменационных билетов (утвержденный зав. кафедрой до
начала сессии).
На кафедре
1.11.
Примерная тематика рефератов.
Общие характеристики электронных спектров сложных молекул.
Инфракрасные спектры сложных молекул.
Эффект Штарка.
Эффект Зеемана.
Приложение теории гармонического осциллятора в атомной, молекулярной и ядерной
физике.
6. Спектр атома гелия.
7. Оптические резонаторы.
8. Газовые лазеры.
9. Лазеры на твердом теле.
10. Полупроводниковые лазеры.
11. Химические лазеры.
12. Технологические применения лазеров.
13. Электрон.
14. Слабые взаимодействия.
15. Состав и характеристики атомного ядра. Ядерные модели.
16. Теория дейтона.
17. Мезонная теория ядерных сил.
18. Классификация элементарных частиц.
19. Кварки.
20. Лазерный термоядерный синтез.
21. Ускорители заряженных частиц.
22. Атомная энергетика сегодня и завтра.
23. Применение радиоактивных изотопов.
24. Классические представления о времени и пространстве.
25. Основная задача механики и ее решение.
26. Относительность движения. Влияние выбора оптимальной системы отсчета на
решение задач кинематики.
27. Значение и место Г. Галилея в становлении научного метода исследования природных
явлений.
28. Законы Ньютона - основа классической динамики.
29. Законы сохранения и их значение.
30. Реактивное движение и его практические применения.
31. Освоение космического пространства и полеты к другим планетам. Законы небесной
механики.
32. Работа и энергия в механике. Золотое правило механики.
33. Простые механизмы от античности до наших дней.
1.
2.
3.
4.
5.
34. Практическое применение механических колебаний.
35. Акустика. Звуки в природе и технике.
36. Применение ультразвука.
37. Специальная теория относительности о полетах к звездам.
38. Развитие представлений о строении вещества от древности до наших дней.
39. Тепловые процессы обратимые и необратимые. Закон сохранения энергии в тепловых
процессах.
40. Свойства кристаллов.
41. Вещество и поле. Свойства полей и их взаимодействие с веществом.
42. Источники тока.
43. Производство алюминия.
44. Гальванопластика.
45. Полупроводниковые приборы в современной технике.
46. Плазмотроны.
47. Производство, передача и использование электроэнергии.
48. Радиосвязь и ее виды.
49. Радиолокация.
50. Применение оптических приборов.
51. Лазеры.
52. Голография.
53. Спектральный анализ.
54. Применение рентгеновского излучения в медицине и технике.
55. Открытие радиоактивности.
1.12.
Примерная тематика курсовых работ.
I. Механика
1. Измерение коэффициента трения качения.
2. Гироскоп и его применение в технике.
3. Стохастические колебания при трении.
4. Динамическое виброгашение.
5. Граничное трение твердых тел.
6. Современные методы измерения силы трения и изнашивании тел при трении.
7. Газодинамические методы ускорения тел. Легкогазовые пушки.
8. Течение жидкости в узких щелях. Гидро- и газодинамические опоры.
9. Инерционный привод шпинделя в сверхточных металлорежущих станках.
II. Электричество и магнетизм
1. Измерение малых токов, напряжений и зарядов.
2. Магнитные цепи в технике.
3. Принцип действия индуктосина.
4. Поле постоянного магнита.
5. Электронная пушка Пирса.
6. Измерение мощности в электрических цепях.
7. Магнитная подвеска транспортных средств.
8. Электрические токи в атмосфере и грозы.
9. Электреты, их свойства, применение в технике.
10. Магнитные жидкости, их применение в технике.
11. Емкостный датчик механических перемещений.
12. Электромагнитные методы ускорения тел.
13. Индукционный метод ускорения.
14. Бесконтактные опоры, основанные на явлении сверхпроводимости.
15. Электростатический реактивный двигатель.
16. Принцип действия электромагнитных реактивных двигателей.
17. Электрическое и магнитное поля Земли.
III. Физика колебаний и волн
1. Механические автоколебания.
2. Нелинейные электрические цепи.
3. Принцип виброизоляции.
4. Методы дефектоскопии.
5. Разрешающая способность оптических приборов.
6. Акустическая модуляция света и ее использование в информационно-измерительной
технике.
7. "Парадоксы" спектрального разложения.
8. Лазерный интерферометр.
9. Резонансная кривая вынужденных нелинейных колебаний /расчет с приложением ЭВМ/.
10. Вычислительная томография и неразрушающий контроль в технике.
11. Спекл-интерферометрия.
12. Оптическая фурье-фильтрация.
13. Численный расчет дифракции света на круглом отверстии.
14. Растровый электронный микроскоп.
15. Эффект Допплера и его применение в технике.
16. Элементарная теория радуги.
17. Оптические методы измерения шероховатости поверхности.
18. Изгибные и крутильные колебания. Задача о флаттере.
IV. Квантовая физика
1. Применение лазеров в технологических процессах.
2. Принцип туннельной микроскопии.
3. Лазерное разделение изотопов в магнитном поле.
4. Принцип ЯМР - томографии.
5. Водородная энергетика.
6. Эффект Джозефсона и его применение в технике.
7. Устройство и принцип действия твердотельных лазеров.
8. Высокотемпературная сверхпроводимость.
9. Проблемы термоядерного синтеза.
10. Экситоны в полупроводниках.
11. Взаимодействие мощного лазерного излучения с атомами и молекулами.
12. Рекомбинационная неустойчивость тока в полупроводниках.
V.Термодинамика
1. Влияние шумов на точность измерений.
2. Дислокация и пластичность твердых тел.
3. Явление эффузии и молекулярные пучки.
4. Виды дислокаций в кристаллах.
5. Эффект Пельтье и его применение в технике.
6. Синтез алмаза и кубического нитрида Бора.
7. Оже-спектроскопия в вакуумной технологии.
8. Применение эффектов Зеебека, Пельтье и Томсона в энергетических системах космических
аппаратов.
9. Фазовые переходы второго рода.
10. Квантовые идеальные газы и их свойства.
11. Антиферромагнетики.
12. Применение жидких кристаллов в технике.
13. Теорема Нернста и ее следствия.
14. Диссипативные пространственные структуры.
15. Самоорганизация в физических системах.
16. Динамический хаос.
1.13.
Примерная тематика квалификационных (дипломных) работ.
НЕТ в учебном плане
1.14.
Методика(и) исследования (если есть). Нет в учебном плане.
1.15.
Балльно-рейтинговая система, используемая
оценивания знаний студентов по данной дисциплине.
Система оценивания – традиционная.
преподавателем
для
РАЗДЕЛ 2. Методические указания по изучению дисциплины (или ее разделов) и
контрольные задания для студентов заочной формы обучения.
Принципы отбора содержания и организации учебного материала
Отбор материала основывается на том, что физическое образование является
важнейшим элементом естественнонаучного образования и одной из составляющих
подготовки бакалавра. Содержательное наполнение дисциплины направлено на
формирование естественнонаучного мировоззрения и создание единой научной картины
окружающего мира, обусловлено задачами, которые рассматриваются в дисциплинах
естественнонаучного цикла, и необходимостью установления внутрипредметной и
межпредметных связей.
В основу программы положены принципы фундаментальности, интегрированности и
дополнительности. Лабораторно-практические занятия не дублируют лекции, а содержат
материал, ориентированный на практическое овладение физическими методами
исследования. В лекционном курсе главное место отводится общетеоретическим основам
физических знаний.
Самостоятельная работа студентов реализуется в виде:
подготовки к контрольным работам;
подготовки к семинарским занятиям;
оформления лабораторно-практических работ (заполнение таблиц, решение
задач, написание выводов);
выполнения индивидуальных заданий по основным темам дисциплины;
написание рефератов по проблемам дисциплины "Физика".
Основные понятия
Параметры состояния (материальной точки, системы: газа, жидкости), уравнения
движений, законы и их следствия, модели объектов и явлений.
Гипотеза, эксперимент, теория, область применимости; система отсчета, перемещение,
скорость, импульс, ускорение, уравнение движения, колебание, волна, акустика, спектр,
работа, мощность, давление, температура, статистическое распределение, начала
термодинамики, теплоемкость, энтропия,
электрический заряд, напряженность поля,
потенциал, электрический ток, законы Ома и Кирхгофа, магнитная индукция, силы Ампера и
Лоренца, электромагнитная индукция, уравнения Максвелла, электромагнитная волна,
интерференция, дифракция, оптические приборы, поляризация света, строение атома, ядро
атома, изотопы, ядерные силы, ядерная энергия.
Текущий контроль качества усвоения материала
Проверка качества усвоения знаний осуществляется в течение всех семестров как в
устной (отчеты по индивидуальным заданиям, работа на практических и семинарских
занятиях)., так и письменной форме (групповые самостоятельные и контрольные работы).
Итоговая аттестация
Экзамен в конце дисциплины, на котором проверяются знания теоретического
материала и практические навыки: а) работа с измерительными инструментами и приборами;
б) обработка результатов лабораторных работ и их анализ; в) решение прикладных задач; г)
применение физических законов для объяснений природных процессов и явлений.
Методические указания к программе «ФИЗИКА»
При изучении дисциплины не следует делать излишний акцент на будущей
профессионализации выпускника. Необходимо дать панораму наиболее универсальных
методов, законов и моделей современной физики, продемонстрировать специфику
рационального метода познания окружающего мира, сосредоточить усилия на формировании
у студентов общего физического мировоззрения и развитии физического мышления. Курс
"Физика" представляет собой целостный и фундаментальный курс, единый в своих частях и
демонстрирующий роль физики как основы всего современного естествознания. Необходимо
преодолеть распространенное расчленение физики на классическую и современную и дать
изложение всей дисциплины с точки зрения логики физики как науки. При этом следует
иметь в виду, что физика как наука и физика как учебная дисциплина отнюдь не
тождественные понятия.
Если курс физики в вузе начинается с I семестра, то целесообразно чтение
пропедевтического курса математики, в объеме и по содержанию достаточного для изучения
начальной части курса физики.
В основании современной естественнонаучной картины мира лежат физические
принципы и концепции. Физика составляет фундамент естествознания. Ее роль здесь трудно
переоценить. С другой стороны, она является теоретической базой, без которой невозможна
успешная деятельность выпускника вуза в области знаний "Технические науки".
Курс физики представляет собой единое целое. Всякого рода попытки разделить его
на части, некоторые из которых изучаются на других кафедрах, не имеют под собой ни
методических, ни научных, ни дидактических оснований. Они в корне противоречат идее
бакалавриата. Изучение целостного курса физики совместно с другими дисциплинами цикла
способствует формированию у студентов современного естественнонаучного мировозрения,
освоению ими современного стиля физического мышления. Целостность курса физики
является одной из фундаментальных предпосылок для воспитания образованного члена
общества.
Данная программа отражает современное состояние физики и ее приложений. В ней
естественным образом сочетаются макро- и микроскопические подходы. В ее разделах
вскрыты внутренние логические связи. Порядок расположения материала соответствует
современной структуре физики как науки и отражает мировой педагогический опыт.
Программа носит комплексный характер: в ней приведен минимальный перечень
рекомендуемых теоретических семинаров, лабораторных работ, практических занятий,
лекционных демонстраций, учебных кинофильмов, а также примерные темы курсовых работ.
Приоритетами курса являются:
- изучение основных физических явлений; овладение фундаментальными понятиями,
законами и теориями классической и современной физики, а также методами физического
исследования;
- овладение приемами и методами решения конкретных задач из различных областей
физики;
- ознакомление с современной научной аппаратурой, формирование навыков
проведения физического эксперимента, умения выделить конкретное физическое содержание
в прикладных задачах будущей деятельности.
На основе представленной программы для каждой специальности разработаны
конкретные рабочие программы. Рабочая программа включает в себя материал всех разделов
данной программы. Однако степень углубленного изучения отдельных подразделов,
содержание лекций, практических занятий, самостоятельной аудиторной работы под
руководством преподавателя определяется кафедрой физики с учетом числа часов,
отводимых на изучение физики, опыта и особенностей кафедры.
Существенно при этом, что на изучение первых трех разделов программы должно
затрачиваться не более половины времени, отводимого на курс физики в целом. Элементы
профессиональной направленности будущей деятельности выпускника могут быть отражены
в практических и лабораторных занятиях и в тематике курсовых работ.
Одним из принципиальных отличий программы дисциплины от традиционных курсов
является новый подход к организации самостоятельной работы студентов. Его основу
составляет самостоятельная аудиторная работа студентов над теоретическим курсом под
руководством преподавателя, осуществляемая в рамках теоретических семинаров. Учебное
время, отводимое на эти занятия, должно быть сравнимо с временем для проведения
практических занятий. Кроме того, в самостоятельную работу студентов входит подготовка к
практическим и лабораторным занятиям, работа практикумов, защит лабораторных работ,
сдачи домашних заданий.
Наилучшей гарантией глубокого и прочного усвоения физики является
заинтересованность студентов в приобретении знаний. Для поддержания интереса студентов
к физике следует использовать богатый и разнообразный материал ее специальных
приложений, лекционные демонстрации и аудиовизуальные средства. В курсе должны найти
отражение основные этапы сложного исторического развития физики как научной
дисциплины. Это означает, что все атрибуты процесса научного познания (анализ и синтез;
абстрагирование, идеализация, обобщения и ограничения; аналогия, моделирование,
формализация; историческое и логическое; индукция и дедукция) должны быть
использованы преподавателями.
РАЗДЕЛ 3. Содержательный компонент теоретического материала.
Лекции:
Тема 1. Введение. Место физики в системе наук о природе
План: Физика — одна из ведущих наук о природе. Эксперимент и теория в физических
исследованиях. Связь физики и других естественных наук. Роль физики и физических
методов в профессиональной деятельности специалиста - эколога. Физические методы
исследования, применяемые в естествознании. Математика - язык физики. Единицы
измерения. Международная система единиц СИ.
Вопросы для самопроверки
1. Чем эксперимент отличается от наблюдения?
2. Основные единицы СИ.
Тема 2. Кинематика
План: Механическое движение и его виды. Описание движения. Характеристики
поступательного и вращательного движения и их связь. Основная задача механики.
Классическая механика. Физические модели. Материальная точка. Кинематика материальной
точки.
Относительность положения тела в пространстве и движения. Системы координат.
Время и пространство в классической механике. Системы отсчета. Векторная форма
описания движения. Относительность скорости, инвариантность ускорения. Преобразования
Галилея. Классический закон сложения скоростей.
Вопросы для самопроверки
1. Механическое движение. Виды механического движения.
2. Различие между поступательным и вращательным движением.
3. Определения: траектория, тело, материальная точка.
4. Координаты материальной точки. Системы отсчета. Произвольность выбора
системы отсчета.
5. Относительные и инвариантные величины.
Тема 3. Динамика
План: Взаимодействие материальных тел. Инерциальные и неинерциальные системы
отсчета. Законы Ньютона. Инертность, масса, сила. Уравнения движения. Решение основной
задачи механики. Начальные условия.
Динамика вращательного движения. Момент импульса тела при вращении вокруг
неподвижной оси. Момент силы. Момент инерции. II закон Ньютона для вращательного
движения.
Фундаментальные взаимодействия в природе. Электромагнитные и ядерные силы, их
проявления (силы трения, упругости).
Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Открытие закона Ньютоном.
Гравитационная постоянная и ее смысл. Гравитационная и инертная масса. Сила тяжести.
Влияние вращения Земли и ее формы на силу тяжести, приложенную к телам,
расположенным на поверхности Земли. Вес тела. Перегрузка. Невесомость I, II, III
космические скорости, их расчет.
Вопросы для самопроверки
1. Взаимодействие тел. Сила.
2. Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона.
3. Проявления электромагнитного взаимодействия.
4. Гравитационная сила. Закон всемирного тяготения.
5. Освоение космоса.
Тема 4. Импульс тела. Работа и энергия. Законы сохранения в механических
процессах
План: Механическая работа и мощность. Энергия, виды механической энергии.
Замкнутые системы. Закон сохранения энергии. Работа и энергия при вращательном
движении.
Импульс тела. Закон сохранения импульса. Реактивное движение. Космические
полеты. Освоение космического пространства с помощью ракет.
Работы Циолковского, Цандера, Кондратюка. Значение законов сохранения для
формирования научной картины мира.
Вопросы для самопроверки
1. Различия между житейским и физическим понятием «работа».
2. Энергия. Виды энергии. Механическая энергия.
3. Содержание понятия «замкнутая система». Формулировка закона сохранения
энергии.
4. Импульс тела. Закон сохранения импульса. Примеры.
5. Значение и основные этапы освоения космоса.
Тема 5.
Основные положения специальной теории относительности
А.Эйнштейна
План: Предпосылки возникновения СТО. Постулаты СТО. Преобразования Лоренца.
Релятивистский закон сложения скоростей. Уравнения СТО. Энергия покоя.
Вопросы для самопроверки
1. 1.Пространство и время в механике Ньютона.
2. Представления о пространстве и времени в рамках СТО.
3. Закон сложения скоростей по Галилею и Эйнштейну. Эквивалентность при малых
скоростях.
4. Уравнения СТО.
5. Значение положения СТО об энергии покоя.
Тема 6. Гидро- и аэродинамика
План: Вязкость. Формула Ньютона. Стационарное течение жидкости или газа.
Ламинарное и турбулентное течение. Давление в движущихся жидкости и газе. Формула
Пуазейля. Уравнение Бернулли.
Твердое тело в потоке жидкости или газа. Число Рейнольдса.
Вопросы для самопроверки
1. Течение жидкости (газа), его виды.
2. Давление в потоке жидкости(газа). Действие инжекторов.
3. Движение твердого тела в потоке. Обтекаемая форма.
Тема 7. Колебания
План: Колебания. Условия существования колебаний. Колебательная система. Виды
колебаний, их физические характеристики. Гармонические колебания. Уравнение свободных
колебаний. Колебательная система с трением. Затухающие колебания. Логарифмический
декремент затухания. Частота затухающих колебаний.
Сложение колебаний. Свободные механические колебания модельных систем математического маятника, пружинного маятника. Силы, превращения энергии.
Вынужденные колебания. Резонанс, его проявления и использование. Автоколебательные
системы. Часы с маятником.
Вопросы для самопроверки
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Колебательные процессы в природе (примеры).
Свойства колебательной системы. Условия существования свободных колебаний.
Влияние трения на характер механических колебаний.
Свойства основных моделей механических колебательных систем.
Резонансные явления, использование и борьба с ними.
Применение автоколебаний.
Тема 8. Волны в упругой среде
План: Волна. Условия существования волны. Волновое уравнение. Характеристики
волны. Скорость распространения волн. Перенос энергии. Виды волн. Волна на шнуре,
плоская и сферическая волны. Продольные и поперечные волны. Суперпозиция волн.
Стоячие волны.
Волновые явления. Прямолинейное распространение в однородной среде. Отражение
и преломление волн на границе двух сред, принцип Гюйгенса-Френеля. Интерференция,
дифракция, поляризация. Эффект Доплера.
Звук. Громкость и высота звука, тембр. Скорость звука в различных средах. Акустика.
Инфразвук и ультразвук, их действие на живые и неживые объекты, использование в природе
и технике.
Вопросы для самопроверки
1. Волны в окружающем мире (примеры). Особенности волновых процессов.
2. Скорость волны.
3. Волновые явления, их законы.
4. Акустика. Соответствие и различия между акустическими величинами и
физическими характеристиками волны.
Тема 9.
Основные положения молекулярно-кинетической теории строения
вещества (МКТ)
План: Предмет и методы молекулярной физики. Основные положения МКТ и их
обоснование. Размеры и масса молекул. Тепловое движение. Статистический подход к
описанию явлений. Случайные величины. Среднее значения величин. Распределение
Максвелла. Термодинамические параметры состояния системы. Температура. Равновесные и
неравновесные состояния и процессы.
Вопросы для самопроверки
1. История зарождения атомизма.
2. Основные положения МКТ и их обоснование.
3. Микро- и макроскопические параметры состояния системы.
4. Средние значения микропараметров. Статистический подход к описанию
молекулярных систем.
5. Тепловое равновесие.
Тема 10. Газы
План: Идеальный газ (ИГ) как модельная термодинамическая система. 0сное
уравнение МКТ газов. Уравнение состояния идеального газа. Изопроцессы (изотермический,
изобарный, изохорный, адиабатический). Средняя скорость теплового движения молекул.
Барометрическая формуле.
Атмосфера Земли, как смесь газов. Отклонения от идеальности. Пары. Влажность.
Исследование атмосферы. Метеорология.
Вопросы для самопроверки
1. Особенности газообразного состояния вещества.
2. Модель «идеального газа». Отличия идеального газа от реального.
3. Уравнение состояния ИГ, его приложение к различным процессам.
4. Сфера практического приложения физики газов.
Тема 11. Термодинамика
План: Природа внутренней энергии вещества. Теплота и работа. Внутренняя энергия
вещества.
Передача теплоты от одной системы к другой. Тепловое равновесие.
Первый закон термодинамики (Закон сохранения энергии в тепловых процесах).
Уравнение теплового баланса Обратимые и необратимые процессы. Циклические процессы.
Тепловая машина, ее КПД. Виды тепловых машин (паровая машина, турбина, двигатели
внутреннего сгорания). Второй закон термодинамики.
Вопросы для самопроверки
1. Эквивалентность теплоты и механической работы.
2. I и II законы термодинамики.
3. Принципы построения тепловой машины.
4. Разновидности тепловых машин и их применение в хозяйстве.
5. Воздействие тепловых машин на окружающую среду.
Тема 12. Свойства жидкостей
План: Молекулярная структура жидкости. Поверхностное натяжение. Капиллярность,
ее проявление в природных явлениях и применение. Переход из жидкого состояния в
газообразное и обратно. Испарение и кипение. Удельная теплота парообразования.
Вопросы для самопроверки
1. Отличия в молекулярном строении жидкости.
2. Поверхностное натяжение и капиллярность: природа, проявления.
3.Изменение агрегатного состояния вещества: закономерности, значение.
Тема 13. Твердые тела
План: Твердые тела. Ближний и дальний порядок в расположении атомов.
Кристаллические решетки. Фазовые переходы между агрегатными состояниями вещества.
Удельная теплота плавления (кристаллизации). Виды деформации. Упругая и неупругая
деформация. Закон Гука. Диаграмма растяжения.
Вопросы для самопроверки
1. Дальний порядок расположения атомов. Кристаллы.
2. Виды кристаллических решеток.
3. Виды деформации.
4. Диаграмма растяжения. Упругая и неупругая деформация.
5. Прочность и твердость. Значение деформаций и их применение.
Тема 14. Электростатика
План: Понятие электрического заряда. Закон сохранения заряда. Взаимодействие
зарядов, закон Кулона. Определение электрического поля. Свойства электрического поля и
его наглядное изображение. Свойства поля. Силовая и энергетическая характеристики
электрического поля - напряженность и потенциал. Вектор электрической индукции. Поток
вектора электрической индукции, теорема Остроградского - Гаусса.
Взаимодействие поля с веществом. Диэлектрическая проницаемость вещества.
Проводники и диэлектрики.
Полярные и неполярные диэлектрики. Диэлектрическая проницаемость и
диэлектрическая восприимчивость. Напряженность поля в диэлектрике. Вектор
электрической индукции. Пьезоэлектрический и сегнето-электрический эффекты и их
применение.
Проводники в электрическом поле. Распределение заряда в проводнике.
Электростатическая защита.
Электрическая емкость. Емкость уединенного проводника, шара, плоскости.
Конденсатор. Энергия электрического поля.
Вопросы для самопроверки
1. Содержание основных понятий электростатики, таких, как поле, электрический
заряд и т.п.
2. Закон взаимодействия зарядов.
3. Электрические свойства вещества. Классификация веществ по электрическим
свойствам.
4. Взаимодействие поля и вещества.
5. Энергия электрического поля. Электроемкость.
Тема 15. Постоянный электрический ток
План: Определение электрического тока. Сила тока, плотность тока. Условия
существования тока. Источники тока, электродвижущая сила (ЭДС). Сторонние силы.
Напряжение. Свойства проводников. Сопротивление. Закон Ома для участка цепи и для
замкнутой цепи. Действие электрического тока на проводники. Работа и мощность
электрического тока. Закон Джоyля— Ленца. Превращение энергии в электрических цепях.
Параллельное и последовательное соединение проводников. Смешанное соединение
проводников. Вычисление электрических параметров разветвленных цепей. Законы
Кирхгофа.
Вопросы для самопроверки
1. Содержание понятия «электрический ток».
2 Условия существования электрического тока и его характеристики. 3.
Взаимодействие электрического тока с веществом. Сопротивление. Электрические
цепи. Виды соединения проводников. 5. Законы электрического тока (Джоуля Ленца, Ома, Кирхгофа). Расчет электрической цепи.
16. Электрический ток в различных средах
План: Проводники I и II рода. Типы проводимости. Электрический ток в металлах. Ток
в электролитах. Законы Фарадея. Применение.
Самостоятельный и несамостоятельный разряд в газах и его виды.
Ток в
полупроводниках. Собственная и примесная проводимость, р-п переход. Полупроводниковые
приборы. Ток в вакууме. Электровакуумные приборы.
Вопросы для самопроверки
1. Типы свободных носителей электрического заряда (типы проводимости).
2. Природа электрического тока в металлах. Применение.
3. Проводящие жидкости: особенности химического строения, особенности
протекания тока через жидкость. Электрохимические процессы и основанные на
них технологии.
4. Виды и условия газового разряда. Проявление в природе, использование в технике
и хозяйстве.
5. Полупроводники и их использование. Собственная и примесная проводимость.
Полупроводниковые приборы.
6. Солнечные батареи и перспективы их использования с точки зрения
природоохраны.
Тема 17. Магнитное поле
План: Взаимодействие электрических токов. Магнитное поле тока. Законы БиоСавара-Лапласа и Ампера. Сила Лоренца. Вектор магнитной индукции. Поток вектора
магнитной индукции через замкнутую поверхность Теорема о циркуляции вектора магнитной
индукции.
Гипотеза Ампера. Молекулярные токи. Диа-, пара- и ферромагнетизм. Вектор
намагниченности. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость. Ядерный
магнитный резонанс (ЯРМ). Электронный парамагнитный резонанс.
Вопросы для самопроверки
1. Содержание понятия «магнитное поле». Характеристики магнитного поля.
2. Действие магнитного поля на проводник с током.
3. Магнитные свойства вещества. Гипотеза Ампера.
4. Магнитное поле Земли.
5. Природа ферромагнетизма. Свойства и области применения ферромагнетиков.
Тема 18. Явление электромагнитной индукции
План: Опыты Фарадея. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея. Правило
Ленца. Само- и взаимная индукция. Индуктивность. Энергия магнитного поля.
Трансформатор.
ЭДС индукции при вращении витка в магнитном поле. Генератор.
Вопросы для самопроверки
1. Связь электрического и магнитного полей. Опыты Фарадея.
2. Энергия магнитного поля. «Перекачивание» энергии. Электромагнитная индукция.
3. Устройство, действие, применение трансформаторов.
Тема 19. Электрические колебания
План: Свободные электрические колебания. Колебательный контур. Собственная
частота колебаний. Затухающие колебания. Электрический резонанс и его применение.
Вынужденные электрические колебания. Переменный ток. Емкость и индуктивность в
цепях переменного тока. Реактивное сопротивление. Активное сопротивление цепи
переменного тока. Закон Ома. Мощность в цепи переменного тока. Трехфазная система,
промышленные цепи переменного тока.
Вопросы для самопроверки
1. Аналогия между механическими и электрическими свободными колебаниями и
колебательными системами.
2. Переменный ток - вынужденное электрическое колебание.
3. Особенности цепей переменного тока. Реактивное сопротивление, полное
сопротивление. Закон Ома.
4. Промышленное применение переменного тока.
Тема 20. Электромагнитные волны, их свойства и применение
План: Опыты Герца. Волновое уравнение. Скорость электромагнитных волн. Энергия
и импульс электромагнитного поля. Теорема Пойнтинга. Спектр и шкала электромагнитных
волн. Генерация электромагнитных волн различных частот. Свойства и практическое
применение различных частей спектра.
Световые волны. Электромагнитная природа света. Опыты по определению скорости
света. Дисперсия естественного света. Поляризация светя. Фотометрия.
Интерференция, дифракция света. Суперпозиция плоских волн. Монохроматическая
волна. Когерентность. Разность хода. Условия минимумов и максимумов. Стоячие волны.
Интерференция в тонких пленках. Просветление оптики. Дифракция на щели и непрозрачном
препятствии. Дифракционные решетки и их применение.
Вопросы для самопроверки
1. Свойства электромагнитных волн. Аналогия между механическими и
электромагнитными волнами.
2. Спектр электромагнитных волн. Свойства различных частей спектра.
3. Волновые явления, их проявление и использование у электромагнитных волн.
Тема 21. Геометрическая оптика
План: Отражение и преломление света на границе раздела двух диэлектрических сред.
Формула Френеля. Законы отражения и преломления. Линзы. Построения в линзах.
Оптические приборы.
Полное внутреннее отражение. Волоконная оптика. Рефракция в атмосфере. Радуга,
миражи.
Поляризованный свет. Плоскость поляризации, степень поляризации. Закон Малюса.
Поляризация света при отражении и преломлении. Угол Брюстера. Вращение плоскости
поляризации. Поляроиды.
Вопросы для самопроверки
1. Законы отражения и преломления. Призма. Линза.
2. Оптические приборы и их применение.
3. Внутреннее отражение. Световоды. Волоконная оптика и ее применение.
4. Распространение света в атмосфере. Рефракция. Радуга, миражи. Мониторинг
состояния атмосферы оптическими методами.
5. Поляризация света. Поляроиды. Применение поляризованного света.
Тема 22. Генерация света. Элементарная квантовая теория излучения света
План: Элементарная квантовая теория излучения света. Атом по Бору. Тепловое и
люминесцентное излучение. Природные и искусственные источники света.
Спонтанное и вынужденное излучение. Принцип работы и конструкция лазера.
Свойства лазерного излучения. Голография.
Спектральные закономерности излучения света веществом. Оптическая пирометрия.
Закон Стефана-Больцмана. Закон Кирхгофа, Вина. Абсолютно черное тело. Квантовый
характер излучения.
Вопросы для самопроверки
1. Излучение света веществом. Тепловое и люминесцентное излучение.
2. Источники света.
3. Вынужденное излучение. Лазер.
4. Распределение энергии в спектре излучения твердого тела.
5. Соотношение излучения и поглощения света веществом. Белое и черное тела.
Тема 23. Внешний фотоэффект
План: Взаимодействие фотонов с электронами. Фотоэффект. Законы фотоэффекта в
работах Столетова. Уравнение Эйнштейна. Эффект Комптона Давление света, опыты
Лебедева.
Гипотеза Л. де Бройля. Принцип неопределенности. Корпускулярно-волновой дуализм
частиц. Уравнение Шредингера. Волновая функция.
Вопросы для самопроверки
1. I
Взаимодействие света с веществом. Опыты Столетова. Законы фото-,4
эффекта.
2. Объяснение законов фотоэффекта Эйнштейном.
3. Квантово-волновой дуализм света. Гипотеза Планка.
4. Гипотеза Л. де Бройля. Уравнение Шредингера.
24. Строение атома по Бору - Резерфорду
План: Модели строения атома. Опыт Резерфорда. Постулаты Бора. Опыт франка и
Герца. Спектры испускания и поглощения света для атомов и молекул.
Радиоактивность. Строение атомного ядра. Нуклоны. Изотопы. Энергия вязи ядра.
Закон радиоактивного распада. Период полураспада. Правило смещения. Ядерные реакции.
Цепная реакция и ее применение. Атомная энергетика.
Элементарные частицы и их регистрация. Систематика элементар-ных частиц. Кварки.
Вопросы для самопроверки
1. Капельная модель строения атома Томсона.
2. Опыт Резерфорда. Планетарная модель атома. Элементарные частицы.
3. Обоснование планетарной модели атома Бором. Происхождение линейчатых
спектров.
4. Радиоактивность. Изотопы. Применение изотопов.
5. Закон радиоактивного распада. Правило смещения для α- и β-распада.
6. Цепная реакция деления урана, ее использование в различных целях.
7. Методы регистрации частиц. Дозиметрия. Действие радиоактивных излучений на
окружающую среду и важность защиты.
Лекционные демонстрации
I. Физические основы механики
1. Зависимость формы траектории от выбора системы отчета.
2. Поступательное и вращательное движения твердого тела.
3. Стробоскопическое измерение угловой скорости.
4. Демонстрация инерции тел /набор демонстраций/.
5. Равнопеременное движение по наклонной плоскости.
6. Взаимодействие двух тел /иллюстрация ко второму закону Ньютона.
7. Динамика вращательного движения /скатывание цилиндров с наклонной плоскости,
маятник Обербека.
8. Действие сил инерции:
поведение тел на ускоренно-движущейся тележке;
поведение тел на вращающейся платформе;
проявление центробежных сил и сил Кориолиса.
9. Движение тел на горке сложного профиля.
10. Закон сохранения импульса /упругое и неупругое столкновения шаров; отдача при
выстреле; баллистический маятник; реактивное движение.
11. Движение центра масс системы тел.
12. Закон сохранения энергии /маятник Максвелла, маятник Галилея/.
13. Закон сохранения момента импульса: по Хайкину; гироскоп; скамья Жуковского.
14. Демонстрация явления невесомости / опыты Любимова/.
15. Ламинарное и турбулентное течения.
16. Иллюстрация уравнения Бернулли.
17. Течение вязкой жидкости или газа.
II. Электричество и магнетизм
1. Приборы для измерения потенциала и заряда /электроскоп, электрометр,
электростатический вольтметр/.
2. Силовые линии электрического поля различных систем зарядов.
3. Исследование поля пламенным зондом или с помощью электропроводной бумаги
/напряженность, эквипотенциальные поверхности/.
4. Модели диэлектрика с полярными и неполярными молекулами.
5. Распределение зарядов и потенциала на поверхности проводника.
6. Поле вблизи поверхности проводника /силовые линии, истечение зарядов с острия, колесо
Франклина/.
7. Зависимость емкости конденсатора от его геометрических параметров и наличия
диэлектрика.
8. Энергия заряженного конденсатора /свечение лампы, работа двигателя/.
9. Падение потенциала вдоль проводника /однородного и неоднородного/.
10. Зависимость сопротивления металлов, полупроводников и изолятора /стекло/ от
температуры.
11. Тепловое действие тока; зависимость от параметров проводника; применение /нагревание
цепочки из различных металлов, модель плавкового предохранителя/.
12. Взаимодействие параллельных токов.
13. Отклонение электронного пучка магнитным полем.
14. Опыты Эрстеда.
15. Магнитное поле различных конфигураций /опыт с железными опилками/.
16. Закон Ампера.
17. Контур с током в однородном магнитном поле /момент сил, модель электродвигателя,
измерение индукции магнитного поля/.
18. Контур с током в неоднородном магнитном поле /взаимодействие катушек/.
19. Петля гистерезиса ферромагнетика.
20. Точка Кюри.
21. Опыты Фарадея.
22. Закон электромагнитной индукции /проверка формулы /.
23. Трансформатор Томсона /потокосцепление, работа трансформатора, тепловое и
механическое действия индукционных токов/.
24. Токи Фуко. Скин-эффект.
25. Закон самоиндукции /проверка формулы/.
26. Переходные процессы в цепи с индуктивностью.
27. Энергия магнитного поля /свечение лампы за счет энергии, запасенной в индуктивности/.
28. Индуктивность и емкость в цепи переменного тока. Фазовые и амплитудные
соотношения.
29. Затухающие электромагнитные колебания.
30. Наблюдение и исследование резонанса в колебательном контуре.
31. Вихревое электрическое поле /опыты с трансформатором Тесла или электропроводной
бумагой/
32. Круговая траектория электронов в магнитном поле.
33. Магнитная фокусировка.
34. Электронно-лучевые трубки с электростатическим и магнитным отклонением луча.
III. Физика колебаний и волн
1. Механическая модель волнового процесса.
2. Моделирование волновых процессов на экране осциллографа. /бегущая волна, стоячая
волна, фазовая и групповая скорости/.
3. Опыты с волновой ванной /круговые и прямолинейные волны, преломление, отражение,
интерференция и дифракция волн/.
4. Измерение групповой и фазовой скорости звука /методом отражения импульса и методом
акустического интерферометра/.
5. Стоячие волны на струне, пружине, линейке.
6. Резонансы газового столба.
7. Эффект Допплера на звуке.
8. Распространение и отражение электромагнитного импульса в кабеле.
9. Модели поляризации на математическом маятнике и на осциллографе.
10. Излучение и прием электромагнитных волн /поляризация, диаграмма направленности
диполя, отражение, стоячие волны, перенос энергии/.
11. Поперечность световой волны.
12. Зависимость длины волны от показателя преломления среды.
13. Законы отражения и преломления.
14. Проникновение волны через границу раздела двух сред при полном отражении.
15. Светящаяся струна. Светопровод.
IV. Квантовая физика
1. Излучение светлого и темного тела при одной температуре.
2. Спектр испускания и поглощения паров натрия.
3. Модель абсолютно черного тела.
4. Зависимость спектра испускания от температуры.
5. Фотоэффект /красная граница, работа выхода, знак выбиваемых зарядов, вольт-амперная
характеристика, фотореле/.
6. Модель рассеяния -частиц.
7. Опыт Франка и Герца.
8. Модель туннельного эффекта на УКВ.
9. Спектр водорода.
10. Тонкая структура спектральной линии.
11. Усиление света. Газовый лазер.
12. Одно- и двумерные стоячие волны.
13. Зависимость теплоемкости твердого тела от температуры.
14. Выталкивание переменного магнитного поля из проводника при охлаждении /модель
поведения сверхпроводника/.
15. Зависимость электропроводности полупроводника от температуры.
16. ТермоЭДС.
17. Эффект Пельтье.
18. Эффект Холла.
19. Вольт-амперная характеристика p-n перехода.
20. Фотодиод и светодиод.
21. Твердотельный лазер.
22. Капельная модель атомного ядра.
23. Счетчики частиц /счетчик Гейгера, модель искрового счетчика/.
24. Треки частиц в диффузионной камере.
25. Наблюдение реакции.
V. Статистическая физика и термодинамика
1. Модель газа с одно- и двухатомными молекулами.
2. Броуновское движение /под микроскопом или на модели/.
3. Адиабатическое сжатие и расширение /воздушное огниво и образование тумана/.
4. Модель случайного процесса /бросание игральной кости/.
5. Статистическое распределение /опыт с насыпанием пшена/.
6. Модель распределения Больцмана.
7. Зависимость давления от высоты /опыт с пламенем/.
8. Модель теплового двигателя /опыт Дарлинга или др./.
9. Вязкость газов.
10. Теплопроводность газов.
11. Диффузия газов /аммиак/; эффузия.
12. Распределение скоростей электронов при термоэмиссии.
Примеры некоторых лекций.
Лекция Кинематика.
Введение.
Физика как отдельная наука изучает наиболее общие законы формирования и развития
окружающей нас материи в ее наиболее примитивных формах, которые принято называть
неживой природой. Поэтому можно утверждать, что физика является фундаментом всех
естественных наук, в частности географии.
В ХIX и ХХ веках физика пережила бурный расцвет, физические знания и физический
метод исследования получили большую известность и нашли применения в различных
аспектах человеческой деятельности.
Сущность этого метода состоит в том, что в основу критической оценки всех
разработанных физических теорий положен эксперимент.
На ранних стадиях развития науки физики свои заключения строили на основе
реальных наблюдений различных природных явлений, например, таких как гроза
(Б. Франклин и Г.В. Рихман). Позднее человек научился искусственно воспроизводить эти
явления в лабораторных условиях – «ставить научные эксперименты». Ясно, что ни одна
лаборатория не в силах обеспечить полное воспроизведение всех природных условий
наблюдений какого-либо явления. Поэтому для правильной постановки того или иного
физического эксперимента необходимо провести правильный анализ изучаемого явления,
выделить его наиболее существенные связи с остальным миром. Таким образом изучение
явления или объекта всегда проводится в некотором приближении, когда исследователь
сознательно или неосознанно отбрасывает некоторые детали воспроизводимого явления.
Получив экспериментальные данные, наблюдатель для их объяснения создает на основе
имеющихся у него представлений путем синтеза рабочую гипотезу, которая может
объяснить не только один, но и целую группу подобных экспериментов. Важно отметить, что
осмысление результатов эксперимента идет в некотором упрощенном или, как принято
говорить, в модельном представлении, т.е. само явление заменяется его некоторым
упрощенным представлением или моделью.
Если разработанные представления оказываются справедливыми для достаточно
широкого класса явлений, то принято говорить о возникновении физической теории.
Отдельные положения этой теории носят названия физических законов1, при условии их
выполнения для всего класса изученных объектов и явлений.
Важной особенностью физической науки является использование количественных
характеристик отдельных свойств физических объектов. Эти характеристики определяются
путем измерений, и для установления взаимосвязи между различными физическими
параметрами применяется количественная логика, т.е. математика. Математика является
мощным средством для аналитического представления физических законов и следствий из
них. Любая физическая теория должна быть справедливой для всех явлений природы, в
противном случае теория носит лишь частный (ограниченный) характер. Если появляются
новые экспериментальные факты, которые не объясняются с точки зрения разработанной
теории, то это как раз и указывает на ограниченность теории. В этом случае становится
очевидной необходимость построения новой теории, в которой новый экспериментальный
материал находит свое естественное объяснение (пример – механика Ньютона и теория
относительности Эйнштейна). Здесь важно подчеркнуть тот факт, что критерием оценки
справедливости того или иного логического построения выступает эксперимент. Именно он
является своеобразным «верховным судьей», выносящим свой «приговор» относительно
какой-либо теории.
Однако цепочечная связь «эксперимент – гипотеза – закон – теория – эксперимент» не
означает, что физическая теория играет лишь описательную роль, и ее призвание состоит
только в объяснении проведенных экспериментов. Союз теории и эксперимента носит
творческий характер: атомная теория строения вещества получила всеобщее признание
задолго до того, когда стало возможно непосредственное наблюдение отдельных атомов.
Курс общей физики, который будет читаться два семестра, рассчитан на
формирование физического мировоззрения, создания естественно-научной базы для
правильного понимания всех явлений окружающего нас мира.
Традиционно рассмотрение общей физики начинается с раздела «Механика».
§ 1-1. Основные понятия кинематики.
Механическим движением называется изменение положения предмета относительно
заданной системы отсчета. Понятие системы отсчета включает в себя тело отсчета и систему
координат. Для большинства задач нашего курса достаточно ограничиться прямоугольной
системой координат и выбрать в качестве тела отсчета Землю. Простейшим объектом для
изучения механического движения может служить материальная точка2. Для описания
положения материальной точки
относительно выбранной системы отсчета принято
использовать векторное представление:
Y
A
у
rА
х
l
rB
В
Х
положение точки А описывается радиус - вектором rА,
проведенным из начала координат в точку А. Если
точка А движется, то кривая, соединяющая положения
точки в последующие моменты времени t 1, t2 ...tn (где
t1 t2.... tn), называется траекторией движения. При
движении
точки
конец
ее
радиус-вектора
перемещается вдоль траектории. Изменение радиус вектора с течением времени
В отличие от юридических законов, предписывающих те или иные правила поведения, физические законы
носят
описательный характер и отражают реальные соотношения между различными явлениями природы.
2
Материальной точкой можно считать любой объект, если его геометрические размеры малы по сравнению с
характеристическими расстояниями конкретной задачи.
1
Рис.1.Описание движения точки с
помощью радиус-вектора.
называется кинематическим законом движения: r = r ( t ). Координаты точки в этом случае
также являются функциями времени: х = х(t), у = у(t) (см.рис.1) и z = = z(t), которые можно
рассматривать как параметрические уравнения движения. Если за время t точка
переместилась из положения А в положение В (см.рис.1),
то радиус - вектор l, проведенный из А в В, называется перемещением точки за время t. Из
рис. 1 видно, что l = rB - rA = r. Для наиболее точного описания движения необходимо
выбирать время t как можно меньше. В этом случае кривая
траектории заменяется ломаной линией. Для
практических целей важно знать расстояние,
s
пройденное по траектории. Это расстояние принято
l
называть путем S. Очевидно, что длина ломаной
линии li , будет приближаться к длине пути, если
элементарное
перемещение
li
заменить
бесконечно
Рис.2. Длина пройденного пути.
t2
малым перемещением dli .( S = dl )
t1
Другой известной характеристикой механического движения точки служит скорость.
Средняя скорость v за промежуток времени t определяется как:
v =
l
.
t
( 1- 1 )
Ясно, что при таком определении скорости ее значение зависит от выбора величины
временного интервала t и , как следствие, от величины l . Однако при уменьшении
величины t отношение (1-1) стремится к некоторому пределу, который принято называть
скоростью материальной точки в данный момент времени:
v = lim
t 0
l
r
= lim
,
t0
t
t
( 1- 2 )
поскольку из рис.1 следует, что l = r. Другими словами можно сказать, что скорость
является первой производной радиуса-вектора по времени.
Важно отметить, что S = l i , и первая производная пути по времени дает лишь
S dS
=
.
t 0
t dt
абсолютное значение скорости: v lim
Как и любой вектор, вектор скорости можно представить в виде суммы составляющих
по координатным осям:
v = vxi + vy j + vzk ,
( 1-3 )
где i , j , k являются единичными векторами, направленными соответственно вдоль осей X,Y
и Z. С другой стороны радиус вектор r также можно представить в
виде суммы:
r = x i + y j + z k,
( 1-4 )
где x,y и z представляют собой проекции радиуса-вектора на направление соответствующих
координатных осей . Дифференцируя формулу ( 1-4 ) и
сравнивая результат
дифференцирования с выражением (1- 3 ), получим:
vx =
dz
dx
dy
= x ; vy =
= y и vz =
=z,
dt
dt
dt
(1- 5 )
которые означают, что скорости движения проекции точки вдоль координатных осей равны
проекциям вектора скорости на соответствующие оси. Из выражения (1-5) следует, что по
известной зависимости координат точки от времени (известному закону движения ) x(t), y(t) и
z (t) простым дифференцированием можно найти проекции vx , vy , vz вектора скорости на
координатные оси, а следовательно и сам вектор скорости в любой момент времени.
Величина вектора скорости (его модуль) как и величина любого вектора, находится как
корень квадратный из суммы квадратов соответствующих проекций:
v
v
2
x
v 2y v 2z .
( 1- 6 )
Несколько сложнее решается обратная задача - нахождение закона движения по заданной
зависимости вектора скорости от времени. Например, если известна зависимость от времени
проекции скорости vx (t) , то зависимость координаты х от времени x(t) находится путем
t
интегрирования x(t) = v x ( t )dt + х0 , где х0 - координата точки в начальный момент
0
времени ( при t = 0 ). Зависимость от времени других координат находится аналогичным
способом.
Кроме того, из формулы (1-3) вытекает, что скорость любого движения можно
представить как результат сложения трех прямолинейных движений вдоль координатных
осей X,Y и Z ,т.е. любое сложное движение можно представить как сумму прямолинейных
движений ( принцип суперпозиции движений ).
Примером применения этого принципа может служить вычисление так называемой первой
космической скорости, т.е. такой скорости, которою надо сообщить любому телу
параллельно земной поверхности, чтобы оно никогда не упало на Землю.
В пренебрежении сопротивлением воздуха задача
А vI t С
2
может быть решена следующим образом. Движение
gt / 2
тела, брошенного вдоль земной поверхности можно
RЗ
B
представить как сумму двух движений: равномерного
RЗ
горизонтального движения со скоростью бросания vI и
O
свободного
падения
тела к поверхности Земли с ускорением g (ускорением
свободного падения). За достаточно малый промежуток
времени t тело пройдет, двигаясь перпендикулярно
земному радиусу, расстояние АС = vI t. (см.рис.3) Если
Рис.3.
К
выводу
первой же за это
космической скорости.
время, находясь в свободном падении, тело опустится на расстояние ВС так, что ОВ = АО
=Rз, то очевидно, что тело сохранит неизменной свою высоту над поверхностью Земли. Из
АОС по теореме Пифагора следует:АО2 + АС2 = ОС2.В то же время АС = vI t, АО RЗ (RЗ радиус Земли), ОС = ОВ + ВС = R 3 + (1/2)g(t)2
( предполагается, что время t достаточно мало и проекцией скорости vI на направление АО
можно пренебречь). Заменяя стороны АОС на основании приведенных равенств, имеем:
(1- 7 )
R 2З v 2I ( t )2 R 2З R З g( t )2 g 2 ( t )4 / 4 .
После приведения подобных членов и сокращения обеих частей этого уравнения на ( t )
получим: v I R З g g (t ) / 4 . При t
приобретает такой вид:
2
2
2
2
0 выражение для первой космической скорости
v I gR З .
(1- 8 )
Как видно из вывода выражения для первой космической скорости, любое тело,
двигаясь вокруг Земли, находится в свободном падении, но уменьшение высоты полета при
свободном падении на Землю в точности компенсируется за счет приращения расстояния до
Земли при движении по касательной.
Однако случаи, когда тело сохраняет свою скорость неизменной, крайне редки.
Наоборот, в общем случае скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для
характеристики быстроты изменения скорости вводится понятие ускорения. Ускорением в
данный момент времени называется предел отношения приращения скорости к интервалу
времени, за который произошло это приращение:
d2r
v
=v= 2 r .
a lim
t 0
dt
t
(1- 9 )
Вектор ускорения можно также разложить по координатным осям:
а = аx i + ayj + az k .
( 1-10 )
Модуль вектора ускорения равен:
a ( a 2x a 2y a 2z ) .
( 1- 11 )
Прямым дифференцированием аналогично компонентам вектора скорости
можно найти, что компоненты вектора ускорения равны:
ax = vx = x ;
ay = vy = y ;
az = vz = z .
( 1-12 )
Если известны зависимость от времени вектора ускорения и начальное значение
вектора скорости, то вектор скорости в любой последующий момент времени путем
интегрирования. Например, для проекции v x :
a x (t )
t
dv x
; dv x a x ( t )dt и v x ( t ) 0 a x ( t )dt v x 0 ,
dt
( 1-13 )
где v x0 - проекция скорости на ось Х в начальный момент времени. Ранее указывалось, что по
известной зависимости v (t) можно найти закон движения. Следовательно, по известному
ускорению, зная начальные значения положения точки и ее скорости, можно найти ее закон
движения.
D
С точки зрения практики вектор ускорения
vA
B
vB
удобнее
представлять
в
виде
двух
составляющих, одна из которых направлена по
v
A
vn
E vt C
Рис.4. Нормальная и тангенциальная
составляющие изменения скорости.
касательной к траектории, а другая по
нормали, проведенной в точку касания. Пусть
за время t точка переместилась из А в В, и за
это время ее скорость изменилась от vA до vB
.
Для того, чтобы найти изменение v перенесем вектор vB в точку начала вектора vA. Тогда разность двух векторов vB - vA
может быть представлена в виде вектора v = DC. В свою очередь, вектор v можно представить тоже как сумму двух составляющих v = vn + vt , где вектор vt
находится как разность АС-АЕ ( АЕ=АD, АС= vB ), т.е. как разность модулей векторов vB и
vA. Вектор vn характеризует изменение направления вектора vA , т.к. vA = АЕ = АD.
Треугольник DAE равнобедренный, поэтому при уменьшении интервала времени t до нуля
(t
0)
угол
DAE
также
стремится
к
0,
а
АDЕ
900,
и vn оказывается перпендикулярным направлению скорости. В то же время ясно,
что направление вектора vt при t 0 приближается к направлению касательной в точке А.
Поэтому
a lim
t 0
v n
v t
v
.
lim
lim
t t 0 t t 0 t
(1- 14 )
Первое из слагаемых в (1- 14 ) называют нормальной составляющей ускорения или
просто нормальным ускорением, а второе - тангенциальным. Таким образом
v n
,
t
v t
.
a t lim
t 0
t
a n lim
t 0
(1- 15 )
(1- 16 )
Модуль полного ускорения определяется следующим выражением:
a a 2n a 2t .
( 1-17 )
§ 1 - 2. Кинематика вращательного движения.
vA
Частным примером нормального ускорения служит
центростремительное
ускорение,
возникающее
при
vA
v
равномерном движении точки по окружности. Если
vB
l
за малый промежуток времени t точка успевает
r
повернуться на угол , то как видно из рис.5, между
перемещением l , радиусом r , приращением v и
самой скоростью v можно записать следующее
соотношение:
Рис.5. К выводу
центростремительного
ускорения
l v
.
r
v
( 1-18 )
Из этого соотношения приращение скорости v равно:
v = v
l
.
r
( 1-19 )
Деля выражение ( 1-19 ) для приращения скорости на промежуток времени t, имеем:
v v l v 2
aц
.
t r t
r
(1- 20 )
Для случая вращательного движения полезными оказываются такие дополнительные
кинематические характеристики как угловая скорость и угловое ускорение. Величина
угловой скорости определяется как отношение угла , который описывает радиус-вектор
точки за время t, т.е.
v
r
s
.
t
( 1-21 )
При этом угловой скорости приписывается определенное
направление, которое определяется следующим образом:
направление отсчета угла определяется направлением
вращения, а направление определяется правилом
правого буравчика - оно совпадает с движением оси
буравчика, когда он вращается в направлении вращения
материальной точки ( см. рис.6 ). Вектор углового
ускорения определяется через изменение угловой
скорости вращения за время t.
Рис.6.К определению направления
угловой скорости.
При этом направление совпадает с направлением , если за время t происходит
увеличение скорости и направление противоположно вектору , если за время t угловая
скорость уменьшается. Таким образом
.
t
( 1- 22 )
При вращательном движении между линейной скоростью точки, направленной по касательной к окружности вращения существует определенная взаимосвязь.
Действительно
v
s r
r [ r ] ,
t
t
t
( 1-23 )
где квадратные скобки обозначают векторное произведение двух векторов - и r.
Как известно, два вектора могут быть перемножены двумя способами - скалярно и векторно.
Поскольку при скалярном произведении векторов получается число (скаляр), а скорость по
определению
вектор,
то
остается
только
векторный
способ перемножения векторов и r. Направление векторного произведения также
определяется по правилу правого буравчика: первый вектор ( в нашем случае -это вектор )
вращается по кратчайшему направлению к второму вектору ( в нашем случае - это радиус вектор r ); движение оси буравчика при таком вращении покажет направление векторного
произведения ( см. рис.6 ).
Лекция
Динамика материальной точки.
§ 2-1. Первый закон Ньютона.
Кинематика устанавливает законы движения материальной точки, но не указывает
причины вызвавшие это движение, а также факторы, влияющие на вариации кинематических
параметров движения. Законы Ньютона, сформулированные более 300 лет назад 3, явились
результатом обобщения большого количества наблюдений и экспериментов. Эти законы
имеют фундаментальное значение и в наше время. Первый закон утверждает, что
существуют такие системы отсчета, в которых всякое тело сохраняет состояние
покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействия со
стороны других тел не заставят его изменить это состояние. Свойство тела сохранять
свое состояние неизменным называют инерцией, а системы отсчета, в которых выполняется
этот закон, - инерциальными. Физический смысл закона состоит в том, что для механики
нет различия между состоянием покоя и равномерного прямолинейного движения. Он
подчеркивает
относительность
движения.
Строго
говоря,
этот закон является чистой абстракцией, но опыт всего человечества за прошедшие три с
лишним века подтверждает его справедливость. Причина изменения состояния тела, т.е.
появление ускорения связана с понятием силы. Сила - количественная мера воздействия на
выбранное нами тело со стороны других тел. Вообще говоря, это воздействие может быть
достаточно сложным, но в этом случае его можно разложить на так называемые простые
воздействия. Поэтому силой называют количественную меру простого воздействия на
тело со стороны других тел, в во время действия которого тело или его части получают
ускорения. Как показывает опыт, величина полученного ускорения зависит от свойств
взаимодействующих тел, от расстояния между ними и от их относительных скоростей. Силу
принято измерять ( в международной системе единиц СИ ) в Ньютонах ( Н ). На территории
нашей страны эта система единиц является Государственным Стандартом с 1977 года.
Однако до сих пор существуют метрические внесистемные единицы: грамм, килограмм и
тонна. Эти единицы используются при определении веса тела. 4 На практике для измерения
величины силы используют динамометр - тарированную ( градуированную) пружину,
снабженную шкалой.
§ 2-2. Второй закон Ньютона.
Опыт показывает, что одна и та же сила сообщает различным телам разные ускорения.
Более массивные тела приобретают меньшие ускорения. Для характеристики способности тел
противостоять действию силы используется понятие массы . Чем меньше ускорение, которое
получает
тело,
тем
больше
его
масса,
т.е.
ускорения тел обратно пропорциональны их массам:
a1 m 2
.
a2 m1
( 2-1 )
Приняв какую-либо массу за эталон, с помощью этого соотношения можно измерять
любую массу.
Величина ускорения, которое получает тело определенной массы, зависит от
величины силы, - чем больше сила F, тем больше ускорение ( а F ) , по другому a = k F, где
k - коэффициент пропорциональности. С учетом (2-1) имеем:
Трактат И. Ньютона «Математические начала натуральной философии» был опубликован в 1687 г.
Вес тела - это сила, с которой тело давит на подставку или растягивает нить подвеса. В быту силу в Ньютонах
измерять не принято.
3
4
a
kF
.
m
( 2-2 а )
F
.
m
( 2-2 б)
Выбор коэффициента пропорциональности зависит от выбора системы единиц. В
настоящее время во всех существующих системах единиц принято считать
k = 1, т.е.
a
Ускорение - вектор, масса - величина скалярная ( число ), поэтому сила тоже вектор,
направление которого совпадает с направлением ускорения. Если на тело действует
несколько сил, то ускорение тела пропорционально их геометрической сумме:
ma Fi .
( 2-3 )
i
Уравнение ( 2-3 ) представляет одну из форм записи второго закона Ньютона. В механике это
уравнение принято называть уравнением движения . Это уравнение - векторное, и его
можно заменить тремя скалярными, проектируя поочередно( 2-3 ) на оси координат X, Y и Z.
Второй закон Ньютона может быть сформулирован несколько другим способом с помощью
понятия импульса тела. Импульсом принято называть величину p = mv, где v - скорость
тела. В ньютновской механике предполагается, что масса тела постоянна и не зависит от
скорости, поэтому:
ma = m
dv d
dp
.
( mv )
dt dt
dt
( 2-4 )
С учетом ( 2-4 ) уравнение ( 2-3 ) принимает такой вид :
dp
Fi .
dt
i
( 2-5 )
§ 2-3. Третий закон Ньютона.
Понятие силы определено как мера взаимодействия тел, т.е. при рассмотрении
движения какого-нибудь тела учитывается только одна сторона этого взаимодействия. Ясно,
однако, что все тела надо рассматривать как равноправные, т.е. если второе тело
воздействует на первое, то и первое тело воздействует на второе. Третий закон Ньютона
устанавливает соотношение между этими воздействиями.
Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и направлены пр
одной прямой в разные стороны.
Пример: книга лежит на столе; она притягивается к Земле и вследствие этого давит на
стол. Однако книга не проваливается к центру Земли, т.к. стол со своей стороны действует на
книгу с силой равной по величине силе давления книге на стол. Эта сила со стороны стола
носит название реакции опоры. К самой книге приложено две силы: сила притяжения и сила
реакции опоры. Они равны по величине и противоположно направлены, т.е. их сумма равна
нулю, поэтому книга никуда не двигается.
§ 2-4. Природа механических сил.
Из кинематики известно, что знание величины и направления ускорения позволяет
вычислить значения радиуса - вектора материальной точки в любой последующий момент
времени, т.е. предсказать 5 положение точки. Законы динамики позволяют сделать это, если
известна правая часть уравнений (2-3) или (2-5). Другими словами, нужно уметь определять
силы, действующие на тело, положение которого требуется описать. Взаимодействие между
5
Это не имеет ничего общего с так называемыми «предсказаниями» оккультных «наук».
макроскопическими телами физика сводит к взаимодействию между элементарными
частицами. Таких элементарных частиц в настоящее время известно более сотни. Среди них
наиболее популярны электрон, протон и нейтрон. Для характеристики всех частиц вводятся
такие понятия как масса покоя, электрический заряд, собственный механический момент (
спин ), а также четность, странность, красивость, барионный заряд, цветовой заряд,
слабый заряд и т.д. Установлено, что между элементарными частицами существует четыре
фундаментальных взаимодействия: сильное, слабое, электромагнитное и гравитационное.
Сравнительные характеристики этих взаимодействий приведены в таблице 1.
Таблица 1.
Название
Относительная Частица,
Характеристика
взаимодействия
интенсивность
«переносящая»
частицы
взаимодействие
Сильное
1
-мезоны
m 250 mэлект
(глюоны)(8 типов ) разнообразные
Электромагнитное
10-2
фотон
E= h
-13
Слабое
10
W - частицы
Е 102 с2 m протон
Z - частицы
гипотетичны
-40
Гравитационое
10
гравитон
гипотетичен
В классической физике считается, что электромагнитное и гравитационное
взаимодействия осуществляются посредством поля. Поле - это особый вид материи,
характерный тем, что каждой точке пространства можно приписать определенное значение
поля. Физическое поле - непрерывно. Однако, современная физика, базирующаяся на
квантовых представлениях, считает дискретной любую физическую величину, которая
может изменяться только определенными порциями - квантами. Она приписывает полям
дискретный характер, когда изменение поля рассматривается как излучение или поглощение
некой частицы, распространяющейся с конечной скоростью
( не больше скорости света с). Другими словами, в квантовой физике взаимодействия
сводятся к обмену теми или иными частицами, переносящими квант действия. Если квант
действия электромагнитного поля хорошо известен под названием фотон, то квант
гравитационного взаимодействия остается по сих пор неоткрытым, хотя он уже получил
название гравитона.
Строго говоря, силы в механике могут быть сведены к этим двум взаимодействиям,
тем более, что два других типа описывают взаимодействия, существующие только в
микромире. В частности, сильное взаимодействие может объяснить наличие ядерных сил,
ответственных за устойчивость атомного ядра. Слабые взаимодействия возникают между
микрочастицами, обладающими так называемым слабым зарядом. До 1983 года этот тип
взаимодействия рассматривался только теоретиками, но в этом году экспериментально была
открыта W+ - частица с энергией 81 ГэВ ( Гига - 109, электрон - Вольт - единица измерения
энергии, равная 1,6•10 -19 Джоуля), так что слабое взаимодействие получило опытное
подтверждение.
Из таблицы 1 видно, что гравитационные силы являются слабейшими из всех
фундаментальных взаимодействий, однако они обладают свойствами аддитивности и
достигают значительных величин в космическом масштабе ( притяжение Луны, строение
Солнечной системы и т.п.). Величина гравитационной силы притяжения двух точечных масс
m1 и m2 определена Ньютоном и известна как закон всемирного тяготения:
Fг р ав G
m1m 2
,
r2
( 2-6 )
где r - расстояние между массами, а G = 6,67 10 -11 Н· м2/кг2 - гравитационная постоянная.
Чтобы подчеркнуть, что сила - вектор, закон записывают несколько иначе, рассматривая
силу, действующую на m2 со стороны m1:
F12 G
m1m 2
r12 ,
r123
( 2-7 )
откуда видно направление силы ( она направлена вдоль прямой, соединяющей
взаимодействующие массы). Модуль силы притяжения P тела массы m к Земле , которую
называют силой тяжести можно записать так:
PG
где величина g G
MЗ
m gm,
R 2З
( 2-8 )
MЗ
- ускорение свободного падения, МЗ- масса Земли, а RЗ - радиус
R 2З
Земли. Из выражения g видно, что оно не зависит от массы выбранного тела и поэтому
одинаково для всех тел в определенной точке земной поверхности.
N
Важно подчеркнуть различие двух понятий - силы тяжести и веса
тела: первая сила существует всегда, когда есть притягивающая
а
масса МЗ, тогда как вторая, представляющая меру воздействия
тела на подставку или нить подвеса, вообще говоря может
Р
изменяться. Для пояснения сказанного полезно рассмотреть
Рис.7. К определению показания весов, на которых стоит гиря. В неподвижном
состоянии на
веса тела.
гирю действует две силы - сила тяжести Р и сила реакции опоры (
весов )N, причем Р - N = 0. Если весы движутся
вниз с ускорением а (см рис.7), то уравнение второго закона Ньютона, записанное в
неподвижной системе координат6, имеет вид:
ma = P - N ,
( 2-9 )
откуда
N = P - ma = mg - ma = m( g - a ).
( 2-10 )
По третьему закону Ньютона сила реакции опоры N равна и противоположно направлена
силе давления гири на весы N , т.е. весу гири ( N = N ). Поэтому вес
гири
( 2-11 ) . Очевидно,
N = m (g - a).
что при а = g N = 0, т.е. все свободно падающие тела ничего не весят. Сила тяжести на
поверхности Земли не является постоянной по двум причинам: во-первых, Земля, как
известно не является идеальным шаром ( она сплюснута на
полюсах так, что на полюсах g больше, чем на экваторе); вовторых, вследствие суточного вращения Земли, на все тела на ее
r
поверхности (за исключением географических полюсов)
2
действует центростремительное ускорение aц = r соs,
направленное в ту же сторону, что и g. Поэтому (ср. с рис.7) вес
R
тел будет меньше там, где радиус вращения больше, т.е. на
экваторе тела имеют наименьший вес.
6
Положительное направление оси координат удобно направить вниз.
Кроме гравитационных сил в механике рассматриваются
упругие силы и силы трения, которые обусловлены
электрическими силами
Рис.8. Изменение радиуса
вращения.
. Силы упругости обусловлены деформациями. Деформации связаны с изменением взаимного
расположения молекул, образующих рассматриваемое тело, причем силы возникают лишь
тогда, когда деформации носят упругий характер. В этом случае справедлив закон Гука так,
что
( 2-12 ) д
Fуп р k ,
где обозначает величину упругой деформации, а к - коэффициент пропорциональности,
зависимый от свойств деформируемого тела и вида деформации. Частным примером
проявления упругих сил служат силы реакции опор, направление которых считается всегда
нормальным ( перпендикулярным ) к деформируемой поверхности. Другим примером
действия упругих сил могут служить так называемые силы связи ( силы натяжения ).
Рассмотрение сил трения можно ограничить двумя примерами : силами сухого и
силами вязкого трения7. Сила сухого трения скольжения известна из школьного курса
физики:
Fтр = - N, где
- коэффициент трения, характеризующий свойства
взаимодействующих поверхностей, а N - так называемая сила нормального давления . В
отличие от сил вязкого трения эта сила не зависит от скорости движения тела.
Сила
вязкого трения, напротив, зависит от величины скорости, причем степень зависимости
меняется по мере возрастания скорости. Для сравнительно небольших скоростей она может
быть представлена в таком виде:
Fвяз = - bv = - b
dr
.
dt
( 2-13 )
Величина коэффициента b зависит как от свойств самого тела, которое движется в
вязкой среде, так и от свойств среды. Иногда эту силу трения удобнее представлять в таком
виде:
Fвяз = - S
dv
,
dz
( 2-14 )
где S - площадь соприкосновения тела со средой, - коэффициент внутреннего трения среды,
а величина производной, входящей в выражение для силы, носит название градиента
скорости, описывающего быстроту изменения скорости слоев среды, увлекаемых телом, в
направлении, перпендикулярном направлению скорости тела.
Практически важное значение имеет сила трения покоя, возникающая между
соприкасающимися телами. Максимальную величину этой силы обычно оценивают по
формуле для силы трения скольжения, хотя в действительности они несколько отличаются
друг от друга.
§ 2- 5. Динамика вращательного движения материальной точки.
Специфика такого движения состоит в том, что для его описания
N
приходится прибегать к некоторым ухищрениям для выбора системы
v
отсчета, в которых можно записать уравнение движения. Если
mg
выбирать обычную неподвижную систему координат, то направления
r
скоростей и ускорения точки будут ежесекундно изменяться
относительно координатных осей, что не совсем удобно. Поэтому
7
Для упрощения изложения материала силы трения качения не рассматриваются .
Рис.9. Силы при оперируют с так называемой следящей системой координат, т.е. с такой
системой,
вращательном
начало которой неподвижно и совпадает в выбранный момент времени
движении.
с движущейся материальной точкой,
а направления ее осей совпадает с направлением скорости тела в этот момент времени и с
направлением радиуса вращения, проведенного в точку, где расположено тело в этот же
момент времени.
Важно отметить, что выбранная таким образом система
отсчета является неподвижной относительно инерциальной системы отсчета (например,
Земли), и в ней справедливы законы Ньютона.
Рассмотрим в качестве примера движение автомашины по выпуклому мосту, радиус
которого r (см. рис.9) .Направим одну из осей следящей системы координат к центру моста, а
другую - вдоль направления скорости v. Уравнение движения в этом случае имеет вид ( в
проекции на вертикальную ось):
maц = mg - N,
( 2-15 )
где через N обозначена сила реакции моста, а mg - сила тяжести. Решая это уравнение
относительно N, получаем :
v2
N = mg - maц = m(g ),
r
( 2-16 )
v2
откуда следует, что при
= g сила реакции моста будет равна 0 . Но это означает, что
r
автомашина в этот момент времени не оказывает никакого давления на мост, т.е. она
находится в состоянии невесомости.
Лекция
Y
m1
А
r1=
R
В
Динамика
системы
материальных
точек.
§ 3 - 1. Центр масс системы материальных точек.
Центром масс двух материальных точек А и В с массами m1 и m2
соответственно называется точка С, лежащая на отрезке, соединяющем
А и В, на расстояниях l1 и l2 от А и В, обратно пропорциональных
C
массам точек (см. рис.10.), т.е.
l1
l1 m 2
.
( 3-1 )
l2
l
m
2
r2
m2
X
1
Если положения точек А и В задаются радиус-векторами r1 и r2 , то
положение центра масс определяется радиусом - вектором R. Из рис.10
следует, что
R = r1 + l1 и R = r2 + l2 ,
( 3-2 )
Рис.10. К определению центра
масс.
Умножая первое из этих уравнений на m1, а второе - на m2 и складывая их, получим:
(m 1 m 2 )R = m 1 r1 m 2 r2 m 1 l1 m 2 l 2 .
( 3-3 )
Из рис.10 и равенства ( 3-1 ) следует, что m2l2 = - m1l1. С учетом этого соотношения из
выражения ( 3-3 ) можно определить значение радиуса - вектора R:
R=
m 1 r1 m 2 r2
.
m1 + m 2
( 3-4 )
Обобщая это выражение для произвольного числа материальных точек, получим:
n
R
m r
i i
i 1
n
m
i 1
,
( 3-5 )
i
n
где
m
i 1
i
= М - полная масса системы точек.
Скорость центра масс такой системы определяется дифференцированием ( 3-5 ):
n mr
i i
dR d
i 1
V
n
dt dt m
i
i 1
dr
mi i
dt
i 1
n
mi
n
i 1
n
m v
i 1
n
i
m
i 1
i
.
( 3-6 )
i
Величины mivi представляют собой импульсы отдельных точек, поэтому уравнение ( 3-6 )
можно переписать в следующем виде:
n
MV p i = Р,
( 3-7 )
i 1
где через Р обозначен суммарный импульс системы. Дифференцируя ( 3-7 ), находим
выражение для ускорения центра масс системы А:
dP
dV
M
MA .
dt
dt
( 3-8 )
§ 3 -2 Закон изменения импульса системы материальных точек.
Для простоты рассмотрим движение системы, состоящей из трех точек, на
каждую из которых действуют внутренние силы fik и внешние - Fi , где индекс i представляет
номер точки. Уравнения движения для каждой точки имеют вид:
dp 1
f12 f13 F1 ;
dt
dp 2
f 21 f 23 F2 ;
dt
dp 3
f31 f32 F3 ;
dt
( 3-9 )
Складывая эти уравнения, получим:
d
( p1 p 2 p 3 ) f12 f13 f 21 f 23 f 31 f 32 F1 F2 F3
dt
( 3-10 )
По третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны по величине и
противоположны по направлению ( например, f12 = -f21). Потому сумма всех внутренних сил
равна нулю, и
dP
F1 F2 F3 ,
dt
( 3-11 )
где через Р обозначен суммарный импульс системы. Обобщая ( 3-11 ) для любого числа
материальных точек, можно записать следующее выражение:
dP
Fi ,
dt
i
( 3-12 )
которое принято называть законом изменения импульса системы материальных точек. Как
видно из этого выражения,
изменение суммарного импульса определяется
равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему. Если же эта
равнодействующая равна нулю ( или на систему не действуют никакие внешние силы), то
суммарный импульс системы остается постоянным. Это следствие уравнения ( 3-12 )
называется законом сохранения импульса. Другим следствием рассмотренного закона
изменения импульса служит теорема о движении центра масс, которая утверждает, что
центр масс системы материальных точек под действием внешних сил движется как
материальная точка суммарной массы, к которой приложены все внешние силы, и
записывается в таком виде:
МА =
dP
Fi .
dt
i
( 3-13 )
Доказательство этого утверждения следует из сравнения определения ускорения центра
масс( 3-8 ) и выражения ( 3-13 ).
Примерами закона сохранения импульса могут служить отдача при стрельбе из
огнестрельного оружия, реактивное движение, перемещение осьминогов и т.п.
Лекция
Динамика твердого тела.
§ 4-1. Кинематические соотношения.
Твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко
скрепленных друг с другом. Отсутствие такого закрепления существенно затруднило бы
описание движения всего конгломерата точек. Для полного описания движения одной точки
необходимо знать ее три координаты, поэтому для N точек число необходимых координат , а
следовательно, и число уравнений для их определения составило бы 3N. Так как число N
может быть как угодно большим, то возможности строгого решения системы из 3N
уравнений
весьма
ограничены.
Кроме того характер движения тела как целого может быть различным. Обычно различают
поступательное, вращательное и плоское движения. При поступательном движении все точки
тела движутся по параллельным траекториям, так что для описания движения тела в целом
достаточно знать закон движения одной точки. В частности, такой точкой может служить
центр масс твердого тела. В этом случае задача описания движения тела решается с помощью
теоремы о движении центра масс. При вращательном движении все точки тела описывают
концентрические окружности, центры которых лежат на одной оси. Скорости точек на
любой из окружностей связаны с радиусами этих окружностей и угловой скоростью
вращения: vi = [ ri ]. Так как твердое тело при вращении сохраняет свою форму, радиусы
вращения остаются постоянными и
ai
dv i d
ri = [ ri] .
dt dt
( 4-1 )
§ 4-2. Определение момента силы.
Для описания динамики вращательного движения твердого тела необходимо ввести
понятие момента силы. При этом надо различать понятия момента силы
относительно точки и относительно оси. Если сила f
приложена к материальной точке А(см. рис.11),то моментом
силы М относительно произвольной точки О называется
векторное произведение радиуса-вектора r, проведенного из
точки О к точке А, и вектора силы:
М=[rf].
( 4-2 )
Модуль векторного произведения M = r f sin , а направление вектора М определяется правилом правого
буравчика: направление первого вектора r по кратчайшему
пути вращается к направлению второго вектора f, а движение
оси буравчика
M
O
f
r
A
Рис.11. Момент силы относительно точки.
при этом вращении показывает направление вектора М.
Моментом силы относительно произвольной оси z
называется векторное произведение радиуса-вектора r
и составляющей f силы f , приложенной в точке А:
М=[r f ],
( 4-3 )
где составляющая f представляет собой проекцию силы f на
плоскость, перпендикулярную оси z и проходящую через точку
А , а r - радиус- вектор точки А, лежащий в этой плоскости .
z Mz
f
f
O
f
r
А
Рис.12.
Момент
относительно оси.
силы
§ 4-3. Основное уравнение динамики вращательного движения.
О1
Пусть имеется твердое тело произвольной формы (см. рис 13),
которое может вращаться вокруг оси О1О2 . Разбивая тело на малые
элементы, можно заметить, что все они вращаются вокруг оси О1О2 в
ri
плоскостях, перпендикулярных оси вращения с одинаковой угловой
скоростью . Движение каждого из отдельных элементов малой
mi
массы m описывается вторым законом Ньютона. Для i -го элемента
имеем:
mi ai = m i
dv i
fi1+ fi2 + ..... +fiN + Fi ,
dt
( 4-4 )
О2
Рис.13 Вращение
твердого тела.
где fik ( k = 1,2, ...N) представляют собой внутренние силы взаимодействия всех элементов с
выбранным, а Fi - равнодействующая всех внешних сил, действующих на i - элемент.
Скорость vi каждого элемента вообще говоря может меняться как угодно, но поскольку тело
является твердым, то смещения точек в направлении радиусов вращения можно не
рассматривать. Поэтому спроектируем уравнение ( 4-4 ) на направление касательной и
умножим обе части уравнения на ri :
ri( mi ai )t= ri( m i
dv i
) t ri(fi1)t + ri(fi2)t + ..... +ri(fiN)t + ri(Fi)t .
dt
( 4-4a )
В правой части получившегося уравнения произведения типа ri(fi1)t представляют собой
(согласно ( 4-3)) моменты внутренних сил относительно оси вращения, т.к. ri и (f i)t взаимно
перпендикулярны. Аналогично произведения ri(Fi)t являются моментами внешних сил,
действующих на i-элемент.
1
Просуммируем уравнения движения по всем элементам, на
O1
которые было разбито тело.
(f12)
Сумму моментов внутренних сил можно разбить по парам
f12 r1 слагаемых, обязанных своим возникновением взаимодействию двух
элементов тела между собой. На рис.14 представлена пара,
состоящая из 1-го и 2-го элементов. Проводя плоскость через
линию, соединяющую эти элементы, параллельно оси вращения
l12
О1О2, нетрудно заметить, что моменты сил взаимодействия этих
элементов равны по величине и противоположно направлены, т.е.
они компенсируют друг друга. Действительно, силы f12 и f21 равны
f21
между собой; равны и их составляющие (f12) = (f21) . Кроме того
l21
8
(f21)
. равны и их плечи ( l12= l21 ), т. к. каждое из них
перпендикулярно проведенной плоскости. Поэтому моменты сил
2 r2
O2
Рис.14.
Компенсация
моментов
внутренних сил .
М1 = ( f12)
r1sin(900 - ) = (f12) l12 и M2 = (f21) r2 sin(900 - ) = (f21) l21 равны и
противоположно направлены. На основании этого можно сделать вывод, что при сложении
всех моментов внутренних сил они попарно уничтожатся. Суммарный момент всех внешних
сил обозначим Мi , где Mi = [ ri Fi].
Левая часть уравнения ( 4-4а ) с учетом (3 -7) представится в таком виде:
N
d
d d N
r
m
ri =
=
,
m i ri2 I
r
m
a
i
i
i
i i
dt
i 1
i 1
i
dt dt i1
N
( 4-5 )
N
где величину
I m i ri2 принято называть моментом инерции твердого тела
i 1
относительно заданной оси. Эта величина характеризует распределение массы тела
относительно определенной оси. Как следует из определения момента инерции - это
величина аддитивная. Момент инерции тела складывается из моментов инерции его
отдельных элементов, которые можно рассматривать как материальные точки, т.е.
N
I = ji , где ji = mi ri - момент инерции материальной точки.
2
i 1
При практическом вычислении моментов инерции вместо суммирования используется
интегрирование ( суммирование бесконечно малых величин). Если ось, относительно которой
вычисляется момент инерции, проходит через центр симметрии тела, то вычисление такого
интеграла представляет сравнительно несложную задачу, но в общем случае задачу решить
трудно. Для упрощения вычислений полезной оказывается теорема о параллельном переносе
Плечом силы называют величину r sin (cм. выражение (4-2) и обозначения рис.11.). Оно является
перпендикуляром, опущенным на линию действия силы.
8
осей инерции (теорема Гюйгенса - Штейнера), формулировка которой гласит, что момент
инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной
оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния
между осями, т.е.
Iпроиз = Iцм + m d 2 .
( 4-6)
Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно осей,
проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2.
Таблица 2.
Форма тела
Расположение
Величина
На основании изложенного уравнение (4-4а)
оси
момента
с учетом (4-5) приводится к виду:
инерции
d
( 4-7 )
I
Mi ,
Обруч
m R2
dt
Цилиндр
1
mR 2
2
Шар
2
mR 2
5
i
которое называется уравнением динамики
вращательного движения твердого тела или
уравнением моментов. Дело в том, что левую
часть этого уравнения можно представить по
другому,
т.к.
по
аналогии с правой частью величину
[riaimi]=[ ri
d( m i v i )
dp
d
] [ri i ] = [ri m i v i ]
dt
dt dt
Примечание: m- масса тела, R - его радиус
называют изменением момента импульса (радиус ri внесен под знак дифференцирования, т.к.
все точки вращаются по окружностям постоянного радиуса ) . Если
N
обозначить [ ri mi vi] = [ri pi] = Li , a cyмму
L
i 1
i
= L , то уравнение (4-7) можно за-
dL N
Mi .
dt i 1
писать так:
L
O
mv
r
A
( 4-8 )
Рис.15 поясняет определение момента импульса точечной
массы относительно точки О, который вычисляется также как
момент силы [ ri mi vi] = [ri pi] = Li . Направление момента
импульса определяется правилом правого буравчика - вектор r
вращается по кратчайшему пути к вектору mv, а направление
движения оси буравчика указывает направление вектора L .
Момент импульса относительно оси также определяется
аналогично моменту силы относительно оси:
Рис.15.Момент
импульса
материальной точки.
L=[r p ],
( 4-9 )
где значения r и р соответствуют обозначениям рис.12 ( с заменой f на р ). Для
вращательного движения точки L = [r mv] = [r mr] = mr 2 = Ii . Для твердого тела
L = I .
( 4-10 )
§ 4-4. Закон сохранения момента импульса.
Если правая часть уравнения (4-8) оказывается по каким - либо равной нулю суммарный момент сил равен нулю, то
dL
0 и L = const. Это случается, если система
dt
замкнута, т.е. внешние силы вообще не действуют, или если моменты внешних сил
компенсируют друг друга. Наконец, если внешние силы оказываются центральными - линии
действия всех сил пересекаются в одной точке. Весьма интересным представляется случай,
когда механический момент импульса при вращении тела имеет достаточно большую
величину ( по сравнению с моментом внешних сил ). Наиболее ярким примером этого служит
гироскоп ( см. рис 16 ).
Гироскопом принято называть достаточно массивное
тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии. Гироскоп
закрепляют в одной точке с помощью специального
L1
d
устройства - карданова подвеса . Если на гироскоп действуют
внешние силы ( груз mg на рис.),
M
L2 dL
то ось гироскопа начинает смещаться под воздействием
mg
момента силы ( см. ( 4-8 )), т.е. изменение момента импульса
Рис.16 Прецессия гироскопа. совпадает с направление М. За малый промежуток времени dt
ось гироскопа повернется на угол d так, что изменение момента импульса dL = L1 - L2 = Ld. В то же время из
уравнения ( 4-8 ) следует dL = M dt , или Ld = M dt , откуда можно придти к выводу, что
гироскоп начинает вращаться в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка с частотой,
которая называется частотой прецессии.
d M
.
dt
L
( 4-11 )
Если моменты внешних сил малы по сравнению с моментом импульса вращающегося тела,
то частота прецессии мала, и тело сохраняет ориентацию оси вращения в пространстве (
пример - жонглирование предметами в цирке).
Лекция Силы инерции.
§ 5-1. Неинерциальные системы отсчета.
Первый закон Ньютона утверждает, что состояния покоя и равномерного
прямолинейного движения принципиально неразличимы. Другими словами, - это
значит, что законы динамики имеют один и тот же вид в различных инерциальных системах
отсчета, т.е. скорость движения системы отсчета не влияет на форму записи законов
динамики. Физические утверждения или величины, вид или значения которых не зависят от
перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой называются инвариантами. В
этом смысле можно говорить, что законы Ньютона инвариантны при переходе от одной
инерциальной системы отсчета к другой. Однако ньютоновская механика в неявном виде
содержит более сильное утверждение. Так при рассмотрении задачи вычисления первой
космической скорости и описании движения автомобиля по выпуклому мосту в уравнениях
движения предполагалось, что силы, действующие на тела, имеют одну и ту же величину как
в неподвижной системе отсчета, так и в системе отсчета, связанных с самим телом.
Фактически это предполагает, что силы остаются инвариантными даже в системах,
движущихся с ускорением, т.е. в неинерциальных системах. То же самое можно сказать
относительно массы, хотя в действительности масса при скоростях, сравнимых со скоростью
света может изменяться:
m
m0
v2
1 2
c
,
( 5-1 )
где v - скорость тела, с - скорость света, а m 0 - так называемая масса покоя тела.
Выражение ( 5-1 ) может быть выведено из рассмотрения законов динамики в специальной
теории относительности, развитой Эйнштейном.9
Если силы и масса являются инвариантами в механике
z
Ньютона, то величина ускорения может быть раз-личной в
z
разных неинерциальных системах. Пусть
имеются две
Y Z , одна из которых (см. рис
системы
отсчета
XYZ
и
X
а
y 17.) XYZ - покоится, а другая - движется с некоторым
ускорением, т.е. является не-инерциальной. В силу
y
установленной инвариантности массы и сил в этих системах
имеем:
F
=
F
и
m
=
m
.
x
Если ускорение тела в «звездной» системе отсчета - а ,
а сама система движется относительно неподвижной системы
x
с ускорением а 0 , которое называют переносным ускорением,
Рис.17. Две системы отто общее ускорение тела относительно системы
XYZ
счета.
складывается из этих ускорений:
а= а0+а.
( 5-2 )
Кроме этого возможен еще один вклад в выражение полного ускорения.
v 3 v 2 v 1
v2v1
u
v1
m
Рис.18. «Движущийся
тротуар.»
Для пояснения рассмотрим так называемый «движущийся
тротуар» - систему параллельных движущихся с различной
скоростью дорожек (см рис.18.) Если тело движется
перпендикулярно дорожкам, то при переходе с одной дорожки
на другую его скорость будет изменяться. Быстрота изменения
скорости определяется двумя факторами: величиной различия
скоростей двух соседних дорожек и быстротой перехода тела с
одной дорожки на другую, т.е.
v dv
.
t 0
t dt
аК = lim
( 5-3 )
Теория базируется на постулате постоянства скорости света как максимально возможной скорости передачи
информации и преобразованиях Лоренца. В нашем курсе она изучаться не будет.
9
Это ускорение называется кориолисовым или поворотным. Направление этого ускорения
определяется направлением v = vi+1 - vi (i = 1, 2... ) - на рис.18 вправо по отношению к
вектору скорости u, т.е. перпендикулярно ему. Из курса метеорологии известно, что этот вид
ускорения проявляется во вращающихся системах координат. Величину кориолисова
ускорения во вращающейся системе координат
u2
направление
вращения
u1
u1
u2
A1
R1
можно определить из рассмотрения
рис.19. На нем
тело участвует в двух движениях: вращательном с угловой
скоростью , направленной от читателя перпендикулярно
листу, и равномерного со скоростью u, направленной по
радиусу вращения. Пусть за малый промежуток времени t
тело сместится вдоль радиуса на расстояние R = R2 - R1 и
при этом повернется на угол = t , занимая точки А1 и
А2 соответственно. Общее изменение скорости состоит из
двух слагаемых, одно из которых
u2
R2 A2
Рис.19.
Определение
величины ускорения Кориолиса.
связано с увеличением тангенциальной скорости вращательного движения при
переходе от меньшего радиуса R1 к большему R2 ,т.е. u1 = R = ( R2- R1 ).
Второе слагаемое u2, изображенное на рис 19 в правом верхнем углу, обусловлено
поворотом вектора u при переходе из положения А1 в положение А2:
u2= u = u t.
( 5-4 )
Направление слагаемого u1 как и на рис.18 направлено перпендикулярно u, т.е. вниз. При
стремлении t к нулю направление u2 также стремится к перпендикуляру к u. Поэтому при
t 0 оба слагаемых совпадают по направлению и
a K lim(
t 0
т.к. по смыслу u
R tu
) 2u ,
t
t
( 5-5 )
dR
. Оба сомножителя, входящие в правую часть выражения
dt
( 5-5 ), являются векторами. Ускорение аК - тоже вектор, поэтому в правой части
( 5-5 ) должно стоять векторное произведение. Порядок сомножителей в этом произведении
должен быть такой, чтобы само произведение было направлено вправо от направления u,
поэтому
a K 2[u ] .
( 5-6 )
Возвращаясь к рассмотрению ускорения тела в неподвижной системе отсчета, теперь можно
утверждать, что оно состоит из трех слагаемых:
а = а 0 + а + аК .
( 5- 7 )
§ 5-2. Второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета.
Как уже установлено, величина сил и масс являются инвариантами в механике
Ньютона, поэтому уравнения движения в неподвижной и неинерциальной системах отсчета
записываются следующим образом:
ma = m ( а 0 + а + аК ) = Fi ,
m a =
причем m = m , a
F = F
i
i
i
i
m a =
F
i
( 5- 8 )
i
,
( 5- 9 )
i
. Переписывая ( 5- 8 ), получим
F
i
- m a 0 - mа K
( 5- 10 )
i
или
m a =
F - m a 0 - m aK.
i
( 5- 10а)
i
Сравнивая уравнения ( 5- 9 ) и ( 5- 10а), можно заметить, что второй закон Ньютона сохранит
свой смысл, если члены (- m a 0 ) и (- m а K ) трактовать как некоторые
дополнительные силы, возникающие в неинерциальной системе отсчета и получившие
0
K
название сил инерции. ( f ине р ц ma 0 и f ине р ц ma K ). Первая из сил, стоящих в скобках
представляет собой так называемую переносную силу инерции, а вторая - силу инерции
Кориолиса. Примером проявления переносной силы инерции может служить поведение
пассажиров в переполненном автобусе при его резком торможении, когда какая-то
«непонятная сила» заставляет всех их дружно «валится» вперед по ходу движения. Сила
инерции Кориолиса объясняет такие явления как отклонение Гольфстрима к северо-востоку,
направление пассатов, дующих из области высокого давления в сторону экватора, рельеф
берегов рек, текущих в меридианальном направлении, отклонение снарядов, выпущенных из
огнестрельного оружия и т.п.10
Лекция
Работа и энергия.
§ 6-1. Определение работы силы.
Элементарной работой dA силы F на перемещении dl называется их скалярное
произведение ( см. рис.20):
dA = ( F dl ) = F dl cos .
( 6-1 )
F
Скалярное произведение ( 6-1 ) может быть представлено в
несколько ином виде:
dA = Fl dl
( 6-1 )
dl
или
dA = F dl F ,
( 6-1 )
Рис.20. Величина элегде Fl = F cos представляет собой проекцию силы на
ментарной работы.
направление перемещения, а dl F =l cos - проекцию перемещения на направление силы. В
декартовой системе координат величину элементарной работы ( по правилам записи
скалярного произведения ) можно записать так:
( 6-2 )
dA = Fx dx Fy dy Fz dz ,
где Fx , Fy , Fz - проекции силы на оси координат и dx dy dz - cоответствующие проекции
перемещения.
Существует правило, определяющее направление силы Кориолиса, которое гласит, что в северном
полушарии силы инерции стремятся отклонить тело вправо, если смотреть по ходу движения, а в южном влево. Следует по-мнить, однако, что это правило получено в некотором приближении. Более точное решение
задачи на вычисление полного выражения силы Кориолиса показывает наличие вертикальной составляющей
такой силы.
10
Для подсчета работы переменной силы на конечном перемещении необходимо
просуммировать все элементарные работы:
n
A ( Fdlcos ) i .
( 6-3 )
i 1
Если сила - непрерывная функция координат, то суммирование заменяется интегрированием,
и
A =
b
b
a
a
b
Fcosdl F dl Fdl
l
F
.
( 6-4 )
a
В качестве примера рассмотрим вычисление работы центральной силы,т.е.
силы, которая действует по прямой, соединяющей взаимодействующие тела (материальные
точки), и величина этой силы зависит только от расстояния. Пусть материальная точка А
действует на другую точку В центральной силой F. Точка В
перемещается из положения 1с радиусом-вектором r1 в
точку 2 , радиус-вектор которой - r2 ( см. рис.21 ). ВыF
1
бирая на этом участке траектории малое перемещение
B
dl , запишем выражение для элементарной работы:
r1
dA = F dl F ,
dl
r
dr
Из рис. 21 видно, что dl cos = dr представляет собой изменение
2 r2
радиуса
на
малом
перемещении
dl.
Поэтому
A
элементарная работа dA = F (r) dr, т.к. сила зависит тольРис.Работа центральной
силы.
ко от расстояния. Полная работа силы на участке траектории 1-2 находится суммированием
всех элементарных работ, т.е.
2
A12 F( r )dr U( r )
2
1
U( r2 ) U( r1 ) ,
( 6-5 )
1
где U( r ) - первоообразная для функции F ( r ).
Для силы тяготения, которая также является центральной силой, работа при увеличении
расстояния от земной поверхности от r1 до r2 согласно выражению ( 6-5 ) равна:
r2
A 12 G
r1
r
m1 m 2
dr
1
dr
Gm
m
Gm
m
1
2
1
2
2
r2
r
r r
2
1
2
1
Gm1 m 2 (
1 1
) . ( 6-6 )
r2 r1
Знак минус перед выражением интеграла соответствует тому, что при увеличении
расстояния от Земли приходится затрачивать работу, т.е. совершать отрицательную работу.
Очевидно, что полная работа против силы тяжести при изменении расстояния от RЗ ( где RЗ радиус Земли ) до бесконечности ( тело удаляется на бесконечно большое расстояние от
Земли, т.е. r2 ) равна:
А
В
1
С
Рис.
2
Работа
цен-
=-
Gm 1 M З
.
RЗ
( 6-7 )
Если работа силы не зависит от формы пути, а определяется
начальным и конечным положением материальной точки, то ее
величина на отрезке ВС ( см. рис.22 ) по пути 1 равна работе этой
же силы на пути 2, но работа А1 противоположна по знаку работе
А2 :
тральной силы по
замкнутому пути.
B
C
C
B
A 1 F( r )dr F( r )dr A 2 .
( 6-8 )
Тогда сумма работ по замкнутому пути равна А1+А2 = 0. В математике такая сумма
называется циркуляцией:
( 6-9 )
F(r)dr 0 .
Cилы, работа которых не зависит от формы пути и для которых выполняется условие (
6-9 ), получили название потенциальных. К потенциальным силам относятся упругие силы
F = - k x , т.к. работа этих сил, определяемая как
x2
x2
x1
x1
A y F ( x )dx kxdx
1
k ( x12 x 22 )
2
( 6-10 )
не зависит от формы пути, и для них также справедливо соотношение ( 6-9 ).
Примером непотенциальных сил являются силы трения, работа которых явно зависит
от формы траектории движения тела.
§ 6-2. Потенциальная энергия.
Пусть имеются две материальные точки С и D (см. рис.23.), взаимодействие
которых можно охарактеризовать центральными силами, и пусть
их взаимное положение (конфигурация) изменилось за счет того,
C
C D
D
что точка С переместилась в новое положение С, а точка D
осталась на месте. Тогда центральная сила FDC совершит
FDC
FCD
некоторую работу на отрезке СС, величину которой можно
обозначить А СС*.
Очевидно, что это не единственный
Рис. Изменение конспособ изменения
фигурации рас положения точек.
конфигурации расположения точек: та же самая конфигурация может быть достигнута, если
точка С вообще остается на месте, а точка D перемещается в новое
положение D* при условии, что DD* = CC*. В этом случае работу A DD* совершает сила FCD.
По третьему закону Ньютона
FCD
=
FDC , и А СС*= A DD* , т.к. работа
центральных сил, как было показано, зависит лишь от начального и конечного расположения
взаимодействующих точек.
Наконец, та же самая конфигурация может быть получена при обоюдном
перемещении точек С и D. В этом случае работу совершают обе силы FCD и FDC , но их
общая работа останется той же самой, если сумма перемещений точек по-прежнему равна
DD* или CC*. Полученный вывод можно распространить и на систему материальных точек:
суммарная работа всех потенциальных сил взаимодействия зависит лишь от начальной и
конечной конфигурации системы. Знак работы при этом может, вообще говоря, любым работа может как положительной так и отрицательной. Когда работа отрицательна, т.е. угол
между силой и перемещением равен 1800, то ее можно совершить лишь за счет внешнего
воздействия, и, наоборот, работа положительная ( направление перемещения совпадает с
направлением силы ) может совершаться системой без какого-либо внешнего воздействия.
Например, для сжатия пружины нужно приложить некоторое усилие, а сжатая пружина,
распрямляясь, сама способна совершить работу. В этом случае говорят, что положительная
работа совершается за счет «запаса» этой работы в самой системе. Если в системе
материальных точек действует несколько различных по своей природе потенциальных сил,
которые в этом случае называются внутренними, то общий «запас» положительной работы
складывается из « запасов» каждого из видов взаимодействия. Поскольку выбор начальной
конфигурации весьма условен, то можно утверждать, что практически любой конфигурации
соответствует определенный «запас» положительной работы. Величину «запаса»
этой работы при данной конфигурации системы материальных точек принято называть
потенциальной энергией U. При совершении системой положительной работы величина
потенциальной энергии уменьшается. Наоборот, если над системой внешние силы совершают
работу, которая считается отрицательной, то потенциальная энергия системы увеличивается.
Из этого следует, что
U = U2 - U1 = - A12 ,
( 6-11 )
т.е. изменение потенциальной энергии при некотором изменении конфигурации определяется
суммарной работой всех внутренних потенциальных сил , взятой с обратным знаком. Точка
начала отсчета потенциальной энергии может быть выбрана произвольно, т.к. для решения
практических задач важным оказывается не сама величина потенциальной энергии, а лишь ее
изменения. Например, можно считать, что камень, лежащий на поверхности Земли, имеет
нулевую потенциальную энергию, хотя если ему предоставить возможность падать к центру
Земли,
то
окажется, что ее потенциальная энергия совсем не равна нулю. Важно отметить, что любая
система стремится по возможности уменьшить свою потенциальную энергию. Поэтому
устойчивое состояние системы соответствует минимуму потенциальной энергии.
§ 6-3. Кинетическая энергия.
Если на тело массы m действует некоторая сила F, сообщая ему ускорение а,
то эта сила совершает определенную работу, которая связана с изменением скорости тела.
Величина элементарной работы определяется так же, как и ранее:
dA = F cosdl = ma cos d l,
где направление силы совпадает с направлением ускорения. Тогда acos = a t является проекцией ускорения на направление перемещения, т.е. тангенциальной
составляющей полного ускорения, которая характеризует изменение скорости по абсолютной
величине: a t
dv
. С учетом этого выражение для dA равно:
dt
dv
dA ma t d l = m d l.
dt
( 6-12 )
Пусть dt - промежуток времени, за который тело проходит отрезок dl . Тогда
dA = m
т.к.
dl
dv = mvdv ,
dt
( 6-13 )
dl
v - скорость тела за промежуток времени dt. Принимая во внимание, что в
dt
механике Ньютона масса не зависит от скорости, выражение
преобразовать к виду
( 6-13 ) можно
v2
mv 2
dA = m d (
)=d(
) = d T,
( 6-14 )
2
2
mv 2
где величина Т =
называется кинетической энергией тела. На конечном участке
2
траектории величина работы равна
mv 22 mv 12
mv 2
A = d(
)
= Т2 - Т1 = Т,
2
2
2
t
t2
1
( 6-15 )
т.е. изменение кинетической энергии тела за некоторый промежуток времени равно
суммарной работе, совершенной всеми силами, действующими на тело в этот же промежуток
времени.
§ 6-4. Закон изменения и сохранения механической энергии.
Полная механическая энергия системы материальных точек Е складывается из его
кинетической энергии Т и потенциальной энергии U, т.е.
Е = Т + U.
( 6-16 )
При движении точек внутри системы изменяются как скорости точек, так и их взаимное
расположение. Пусть скорость произвольной точки ( i - точки ) изменяется под действием сил
со стороны других точек. Полное изменение кинетической энергии i - точки в соответствии с
выражением ( 6-15 ) определяется работой
всех сил, действующих на эту точку - как внутренних так и внешних:
Ti =Ai .
( 6-17 )
Cложив выражения ( 6-17 ) для всех точек системы, получим:
n
n
i 1
i 1
Ti A i .
( 6-18 )
Левая часть этого уравнения является кинетической энергией всей системы, которую можно
обозначить Т, а правая часть есть общая работа всех сил, которую
можно представить как сумму трех слагаемых:
1. работы всех внутренних потенциальных сил - А внутр. пот ;
2. работы всех внутренних непотенциальных сил - А внутр. непот ;
3. работы всех внешних сил - А внеш . При этом надо учесть, что суммарная
работа всех внутренних потенциальных сил с обратным знаком равна изменению
потенциальной энергии системы U. Поэтому равенство ( 6-18 ) приобретает такой вид:
Т = - U + А внутр. непотен + А внеш . Перенося U в левую часть этого равенства и замечая,
что Т + U = Е, получим:
Е = А внутр. непотен + А внеш .
( 6-19 )
Выражение ( 6-19 ) представляет собой закон изменения механической энергии:
изменение полной механической энергии системы материальных точек за некоторый
промежуток времени равно суммарной работе всех внутренних непотенциальных и всех
внешних сил за этот промежуток времени.
Если система замкнута, т.е. на нее не действуют никакие внешние силы или сумма
всех внешних сил равна нулю, а все внутренние силы являются потенциальными, то Е = 0,
и выражение
Е = Т + U = const
( 6-20 )
представляет собой закон сохранения полной механической энергии .
В качестве примера применения этого закона рассмотрим вывод так называемой
второй космической скорости, под которой подразумевается скорость, которую необходимо
сообщить телу, чтобы оно оказалось способным преодолеть притяжение Земли. Для этого
используем выражение ( 6-7 ) для работы силы тяжести при удалении тела на бесконечно
большое расстояние от Земли:
А
=-
Gm 1 M З
.
RЗ
Т.к. гравитационные силы потенциальны, величина этой работы, взятая с обратным знаком,
определяет значение потенциальной энергии притяжения тела к Земле - А
= - U . Тогда из
закона сохранения энергии следует что, тело может преодолеть притяжение Земли, если ему
сообщить кинетическую энергию TII , которая равна потенциальной энергии притяжения:
mv 2II
M
M R
M
G З G З З G 2З R З gR З ,
2
RЗ
RЗ RЗ
RЗ
( g - ускорение свободного падения на поверхности Земли ), откуда следует, что вторая
космическая скорость VII равна:
VII 2gR З 11,2 кМ/С .
( 6-21 )
Лекция Колебания.
§ 7-1. Гармонические колебания.
Колебаниями называются такие изменения какой - либо физической величины, когда
эта величина через определенные промежутки времени принимает одни и те же значения.
Любое колебание может быть охарактеризовано такими параметрами:
1. амплитудой колебаний, т.е. величиной наибольшего отклонения от
положения равновесия,
2. периодом колебаний, т.е. временем одного полного колебания;
величина, обратная периоду называется частотой;
3. законом изменения колеблющейся величины со временем; гармоническое колебание происходит по закону синуса или косинуса;
4. фазой колебаний, характеризующей состояние колебаний в любой момент
времени.
Гармоническое колебание может быть представлено в трех видах: графическом,
аналитическом и векторным. Графическое представление колебаний изображено
х(t)
на рис.24. Аналитическое представление гармонических
t
колебаний не менее известно:
x (t) = A sin (t + ) ,
( 7-1 )
где - начальная фаза колебаний, а весь аргумент
синуса ( t + ) - фаза колебания, А -амплитуда
Рис.Графическое представколебаний, а = 2/ T - угловая частота колебаний ( Т ление колебаний.
период колебаний ).
Наконец, в векторном представлении колебание представляется в виде вектора,
длина которого пропорциональна амплитуде колебаний (см.
А
рис 25). Сам вектор вращается в плоскости чертежа с угловой
скоростью вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости и
проходящей через начало вектора колебания. Первоначальное
отклонение вектора от горизонтали изображает начальную
Рис.
Векторное фазу колебания. Этот вид представления колебаний особенно
представление колебаний.
удобен для сложения колебаний, когда результирующее колебание находится как векторная
сумма всех слагаемых, и будет использоваться во всем курсе.
§ 7-2. Сложение гармонических колебаний.
Наиболее простым примером является сложение двух одинаково направленных
гармонических колебаний одинаковой частоты, каждое из которые можно
представить в аналитическом виде x1(t) = A1sin (t + 1)
A
и x2(t) = A2 sin (t + 2) и векторном виде - см. рис.26.
2-1
A2
2
1
A1
Поскольку оба слагаемых вращаются с одинаковой частотой,
суммарный вектор также вращается с этой же частотой, т.е.
результатом суммы x1(t) и x2(t) будет гармоническое колебание
той же частоты, амплитуда которого находится как диагональ
параллелограмма А,
x1
x2
Рис. Сложение двух
колебаний.
построенного на векторах А1 и А2:
A 2 A12 A 22 2A1 A 2 cos( 2 1 ) ;
( 7-2 )
разность 2-1 определяется из рисунка 26. Величина начальной фазы результирующего
колебания определяется из величины тангенса этого угла:
tg
A y
A x
,
где А y и А х представляют собой проекции амплитуды суммарного колебания на оси Y и X
соответственно. Как следует из рисунка, значение А х равно сумме проекций на ось Х
каждого из слагаемых колебаний:
А х = Х2 + Х1 = А2 cos 2 + A1 cos 1 .
( 7-3 )
Аналогичное выражение может быть получено и для суммарной проекции на ось Y (
для простоты Y - проекции на рис.26 не показаны):
А y = Y2 + Y1 = A2 sin 2 + A1 sin 1 .
( 7-4 )
Тогда
tg
A 1 sin 1 A 2 sin 2
.
A 1 cos 1 A 2 cos 2
( 7-5 )
Таким образом определены основные параметры суммарного колебания: амплитуда,
частота и начальная фаза. Несколько сложнее найти сумму двух колебаний, если их частоты
отличаются друг от друга. Практически интересным является случай, когда это различие
незначительно, т.е. 1= 0 + и 2 = 0 - , причем 0 . Пусть для простоты амплитуды
обоих колебаний и их начальные фазы одинаковы. Тогда x1(t) = Asin(0 + )t и x2(t) =
Asin(0 - )t . Суммируя эти выражения, получим
x1(t)+ x2(t) = A{sin(0 + )t + sin(0 - )t} = [2Acost] sin 0t,
( 7-6 )
где величину, стоящую в квадратных скобках,
можно рассматривать как медленно меняющуюся
амплитуду. Результат суммы таких колебаний,
представленный на рис.27 ,
называется биениями. Примером биений является
известное «завывание» двигателей
многомоторных самолетов, при условии их
грамотной технической эксплуатации. Если
Рис. Биения.
амплитуды слагаемых колебаний неодинаковы, то картина наблюдающихся биений
отличается от предыдущей, т.к. теперь
суммарная амплитуда изменяется от значения
А1+
А2
до
минимума
А1
-А2.
Важно отметить, что в обоих случаях
суммарное
колебание
не
является
гармоническим, хотя оно и записывается в
виде произведения гармонических функций,
т.к. его амплитуда не остается постоянной и
медленно изменяется с течением времени.
Рис. Сумма колебаний с близкими (рис.28).
частотами разных амплитуд.
§ 7-3. Сложение перпендикулярных колебаний.
Пусть имеются два гармонических колебания одинаковой частоты, направления
колебаний которых взаимно перпендикулярны друг другу. Выберем начало
отсчета времени так, чтобы начальная
фаза одного из колебаний была равна
нулю. При таком условии колебания
можно записать так:
x = a sin t ,
y = b sin(t + ),
где величина представляет разность
фаз
обоих
колебаний.
Первое
уравнение можно переписать так:
x
sin t ; ( 7-7 )
a
тогда
как
второе
после
преобразования по формуле суммы
синусов двух углов принимает вид
в
д
Рис. Результат сложения двух взаимно
перпендикулярных колебаний одинаковой
частоты.
Из первого уравнения следует, что
sin t cos cos t sin
x2
cos t 1 sin t = 1 2 .
a
2
y
.(7-8)
b
( 7-9)
Заменяя в уравнении ( 7-8 ) sint и cost их эквивалентами из уравнений ( 7-7 ) и ( 7-9 ) ,
можно найти:
y x
x2
cos sin 1 2 ,
b a
a
или
y x
x2
cos sin 1 2
b a
a
( 7-10 )
Возводя обе части уравнения ( 7-10 ) в квадрат и учитывая, что sin2 + cos2 = 1,
получим:
x 2 y 2 2xy
2
cos sin 2 .
2
a
b
ab
( 7-11 )
Уравнение ( 7-11 ) является уравнением эллипса, оси которого повернуты относительно осей
координат (см. рис.29а). При sin = 0 и sin = эллипс вырождается в прямую ( рис.29 в и д
)
y
bx
.
a
( 7-12 )
При разности фаз между колебаниями оси эллипса совпадают с осями
координат ( рис.29 в ). Если частоты
складываемых колебаний отличаются
друг от друга, то форма кривой, которую
описывает радиус-вектор суммарного
колебания становится очень сложной и
зависит от соотношения складываемых
частот. Для некоторых соотношений
частот
складываемых
колебаний
получающиеся фигуры, называемые
фигурами Лиссажу, показаны
на рис.30 .
Рис. Фигуры Лиссажу.
§ 7-4. Понятие о разложении колебаний в ряд Фурье.
В математике существует так называемая теорема Фурье, согласно которой любой
периодический процесс x (t) с периодом Т может быть представлен в виде бесконечной
суммы
гармонических
колебаний
с
частотами,
кратными
величине
=2Т :
x(t) = A0 + A1sin(t +1) + A2sin (2t + 2 ) +A3 sin 3t + 3 ) +......., ( 7-13 )
которую принято называть рядом Фурье. Каждая из слагаемых суммы ( 7-13 ) представляет
собой отдельную гармонику, амплитуда и начальная фаза которой зависит от вида функции
х(t). Совокупность амплитуд и частот, на которые разлагается любое негармоническое
колебания, образуют спектр этого колебания. Графическое изображение спектра приведено
на рис
A4
Как видно из рисунка, каждая составляющая спектра
изображается в виде вертикальных линий, основание
A1
которых расположено в соответствующих местах
A3
оси час-тот , а длина каждой из линий
A2
пропорциональна величине амплитуды выбранной
A5
гармоники. Не следует думать, однако, что спектральное разложение имеет только математический
1
2
3
4
5 смысл.
Рис.Графическое
представление
спектра.
. В реальных физических процессах, зависящих от времени, всегда удается выделить
гармонические колебания, частота и амплитуда которых полностью соответствуют
гармоникам разложения в ряд Фурье11. Примером спектрального представления может
служить
разложение
импульса
длительности
,
когда
величина спектральной частоты определяется соотношением
спектр=
2
.
( 7-14 )
Лекция 8.
Дифференциальное уравнение колебаний.
§ 8-1. Свободные колебания.
Рассмотрим колебания груза массы m, висящего на пружине, жесткость которой k.
Направим ось координат Х вертикально вниз, причем за начало отсчета
примем точку О ( рис. 32),лежащую на одном уровне с центром масс
X
m, когда груз неподвижен. При этом пружина растянута на величину
по сравнению с недеформированном состоянием. Величина упругой
k
k
силы, действующей на массу m, равна k. В положении равновесия
mg - k = 0.
( 8-1 )
m
О
Если теперь сместить груз из положения равновесия, то он начнет
совершать колебательное движение. Колебания, которые происходят в
mg
х
системе, выведенной из положения равновесия и затем
предоставленной самой себе, называются свободными или
Рис.Колебания
собственными колебаниями, а частота, с которой происходят эти
груза на
колебания называется собственной
пружине.
частотой. Пусть в некоторый момент времени смещение груза равно х. Тогда второй закон
Ньютона в проекции на ось Х может быть записан в следующем виде: max = mg - k (x +)
или с учетом ( 8-1)
max = - kx .
( 8-2 )
В свою очередь, уравнение ( 8-2 ) можно записать иначе, если представить ускорение тела
через вторую производную смещения по времени ax = d2x/dt 2 и обозначить величину k/m =
20 :
d 2x
2
= - 0x .
2
dt
( 8-3 )
Уравнение ( 8-3 ) является дифференциальным уравнением второго порядка, однако его
решение можно просто угадать простым перебором всех элементарных функций, из которых
только функции синуса и косинуса удовлетворяют решению этого уравнения. Действительно,
если
смещение
x = A sin(0t + ),
( 8-4 )
то
скорость тела
и ускорение тела
dx
v A 0 cos( 0 t ) ,
dt
d 2x
A 20 sin( 0 t ) .
2
dt
( 8-5 )
( 8-6 )
Непериодическая физическая величина может быть представлена в виде интеграла Фурье, содержащего
бесконечно много спектральных составляющих.
11
Сравнение ( 8-4 ) и ( 8-6 ) показывает, что действительно ( 8-4 ) является решением уравнения
( 8-3 ). Величины А и остаются произвольными, для их определения необходимо
использовать начальные условия, т.е. значения смещения и скорости тела в начальный
момент времени. Например, если при t = 0 x (0)= 0, а v(0) = v0, то из ( 8-4 ) следует, что sin =
0 и = 0, a из ( 8-5 ) величина А = v0/0 .
При этих условиях решением уравнения ( 8-3) служит функция х(t) =
v0
sin 0 t .
0
Задание тех или иных начальных условий обычно определяется конкретными условиями
поставленной задачи.
§ 8-2. Затухающие колебания.
В реальной жизни любой колебательный процесс постепенно затухает из-за наличия
сил трения. Для колебаний груза на пружине существенную роль играет так называемое
вязкое трение, сила которого при малых смещениях оказывается пропорциональной величине
скорости тела:
Fтрен = - bv = - b
dx
.
dt
( 8-7 )
В этом случае второй закон Ньютона ( уравнение движения ) для груза, колеблющегося на
пружине, приобретает такой вид:
d2x
dx
m 2 b + mg - k (x +).
dt
dt
( 8-8 )
b
, это уравнение можно преобразовать так:
2m
d2 x
dx
2
20 x 0 ,
( 8-9 )
2
dt
dt
k
2
где по-прежнему 0
. Решение этого дифференциального уравнения может быть
m
Вводя обозначения
получено обычным способом, но можно показать, что уравнение ( 8-9 ) можно свести к
уравнению типа ( 8-3 ). Для этого достаточно ввести замену переменных x(t) = z (t)e - t.
Проводя операцию дифференцирования, имеем:
dx dz t
e ze t ;
dt dt
2
d x d 2 z t
dz
2 e 2 e t 2 ze t ,
2
dt
dt
dt
2
dx
dz
2 e t 2 2 ze t ;
dt
dt
20 x 20 ze t .
С учетом этого уравнение ( 8-9 ) может быть записано в таком виде:
d 2 z t
dz
dz
e 2 e t 2 ze t + 2 e t 2 2 ze t + 20 ze t = 0
2
dt
dt
dt
t
После сокращения на величину e и приведения подобных членов получаем:
d2 z
( 20 2 )z 0 .
( 8-10)
2
dt
Сравнивая полученное уравнение с выражением (8-3), нетрудно заметить их почти полную
идентичность; различие состоит лишь в том, что частота колебаний в
(8-10) определяется из формулы 3 0 . Таким образом решение уравнения
( 8-9 ) имеет вид:
( 8-11)
x(t ) Ae t sin( 3t ) ,
где как и ранее величины А и определяются из начальных условий. В большинстве случаев
0 и 3 0 . Решение ( 8-11) представляет уже негармоническое колебание, т.к. его
t
амплитуда А e уменьшается с течением времени. Относительное изменение амплитуды за
период колебания характеризуется декрементом затухания , величина которого находится
из выражения:
2
2
2
Ae t
e T ,
( t T )
Ae
( 8-12 )
т.е. декремент затухания равен относительному уменьшению амплитуды за время, равное
периоду колебания. Натуральный логарифм называют логарифмическим декрементом
затухания , т.е. = ln =Т .
§ 8-3. Энергетические соотношения в колебательных процессах.
Для груза, совершающего гармонические колебания, значение кинетической энергии
mv2/2 находится прямой подстановкой в величину кинетической энергии выражения для
скорости колебательного движения, определяемой выражением
( 8-5):
Екин =
1
1
mv 2 m 20 A 2 cos 2 ( 0 t ) .
2
2
( 8-13 )
Максимальное значение этой энергии, очевидно, равно
1
E max
m 20 A 2
кин
2
( 8-14 ) и
достигается в момент, когда тело проходит положение равновесия. Пройдя это положение
тело продолжает двигаться по инерции и вызывает деформацию пружины. При этом
кинетическая энергия движущегося тела переходит в потенциальную энергию
деформированной пружины Епот ( см. (6-10))12 :
Епот =
1 2 1
kx kA 2 sin 2 ( 0 t ) .
2
2
( 8-15 )
Максимальное значение этого вида механической энергии равно:
1
( 8-16 )
kA 2 .
2
k
2
При незатухающих колебаниях 0
, поэтому имеет место сохранение механической
m
max
max
энергии: Eпот Екин . В этом случае суммарная энергия сохраняет свою величину в любой
E max
пот
момент времени ( выражения ( 8-13 ) и ( 8-15 )):
1
1
1
kA 2 sin 2 ( 0 t ) m 20 A 2 cos 2 ( 0 t ) kA 2 ,
2
2
2
2
где учтено, что sin2 + cos2 = 1 и m 0 k .
( 8-17)
Напомним, что потенциальная энергия определяется неоднозначно, и начало отсчета этой энергии может быть
выбрано произвольно.
12
Если колебания являются затухающими, за каждый период колебаний суммарная энергия
колеблющегося тела уменьшается на величину работы против сил
трения. В этом случае колеблющееся тело или любая система, в которой происходят
колебания, характеризуется так называемым качеством или добротностью системы Q,
которая определяется как способность системы к превращениям одного вида механической
энергии в другой (т.е. кинетической в потенциальную или наоборот). Количественно
добротность определяется ( с точностью до коэффициента 2) как отношение максимальной
энергии упругой деформации (или максимальной кинетической энергии колеблющейся
системы) к средней величине
потерь энергии в системе за период. Известно, что среднее значение любой переменной
величины у за период определяется соотношением :
1T
у = y( t )dt .
T0
Мгновенное значение силы вязкого трения Fтрен= b
dx
b0A cos(0t +), тогда среднее
dt
значение работы Атрен за единицу времени против этой силы равно:
1T
A2 T 2
Атрен = b 0 A cos( 0 t )dx
b 0 cos 2 ( 0 t )dt 13 .
T0
T 0
1
Выразим cos2(0t + ) через функцию двойного угла: cos2 = (1+cos2) и подставим его в
2
выражение для Атрен :
b 20 2
b 20 2 T
b 20 2 T
A ,
Атрен =
A dt
A cos 2( 0 t )dt =
2
2T
2T
0
0
( 8-18)
поскольку значение второго интеграла в ( 8-18) равно нулю (среднее значение за период
любой гармонической функции равно 0, т.к. эта функция половину периода положительна, а
половину - отрицательна).
Очевидно, что за весь период Т на преодоление силы трения будет затрачена энергия
Wпотер = Атрен Т, и добротность колебательной системы может быть определена как:
Q 2
где 0
Wуп р
Wпоте р
(1 / 2)kA 2
k
2
0
(1 / 2)b 20 A 2 T
b 20
km
,
b
( 8-19)
k
. Из выражения ( 8-19) видно, что добротность системы определяется ее
m
упругими, инерционными и диссипативными14 свойствами. Можно сказать также, что
добротность - это число, показывающее за сколько периодов колебаний вся энергия,
запасенная в системе, будет превращена в работу против сил трения, т.е. в тепло.
Как правило, добротность механических систем довольно высока. Здесь уместно
вспомнить о звучании музыкальных инструментов: отдельная нота может звучать несколько
секунд, хотя частота колебаний составляет несколько килогерц.
x=Asin(0t+); dx = A0cos( 0t+ )dt
Силы трения иногда называют диссипативными силами, поскольку работа против них в конечном счете
превращается в тепло, т.е. рассеивается в пространство.
13
14
Колебания груза на пружине также могут продолжаться довольно долго, однако в последнем
случае существенно заметить, все рассмотренные случаи колебаний касались движения, где
изменялась
одна
координата,
в
то
время
как
известно,
что
для полного описания движения точки необходимо задать три координаты. Все эти
координаты считаются равноправными, поэтому, если по каким-то причинам в системе
возникают колебания в двух или трех направлениях, то первоначально запасенная энергия
станет равномерно распределяться между всеми направлениями колебаний; другими
словами, если груз будет совершать не строго вертикальные колебания вдоль одной прямой,
то его колебания затухнут быстрее.
§ 8-4. Колебания математического и физического маятников.
Из школьного курса физики известно, что математический маятник представляет собой
точечную массу, подвешенную на длинной невесомой и нерастяжимой нити. На первый
взгляд раскачивание такой системы связано с изменением
по меньшей мере двух координат сразу так, что для описания такого движения надо записывать второй закон Ньютона ( уравнение движения ) для каждой из координат в
отдельности, а затем искать связь между ними. Однако задача может быть упрощена, если
обратить внимание на то, что движение математического маятника происходит при
постоянной длине нити подвеса, т.е. его можно рассматривать как частный случай
вращательного движения, когда в качестве единственной переменной выбирается угол
отклонения от положения равновесия. В этом случае вместо уравнения движения в форме
второго закона Ньютона необходимо использовать основное уравнение динамики
вращательного движения:
I
d
M,
dt
( 8-20)
где I - момент инерции точечной массы относительно точки подвеса, М - момент
l
d
d 2
2
всех внешних сил, действующих на эту массу, и
dt
dt
- угловое ускорение массы, которое, в свою очередь,
определяется как вторая производная по времени от угла
отклонения от вертикали (см. рис. 33).
h
m
Момент инерции точечной массы m, находящейся на расстоянии
l от оси вращения, по определению равен
mg
2
Рис.33. Колебания ма- I = m l , а единственной силой, момент которой относительно
оси вращения отличен от нуля, является сила тяжести. Ее
тематического
момент относительно оси, проходящей через точку подвеса,
маятника.
равен M = mg h = mg lsin , и уравнение динамики вращательного движения принимает вид:
d 2
ml
mglsin ,
dt 2
2
или после сокращения обеих частей на величину ml :
( 8-21)
d 2
g
sin .
dt 2
l
( 8-22 )
Знак минус в уравнениях ( 8-21) и ( 8-22 ) появился потому, что направление отсчета угла
взято против часовой стрелки, тогда как момент силы тяжести стремится повернуть маятник
по часовой стрелке.
Для малых углов отклонения синус угла можно разложить в ряд Тэйлора по малому
параметру :
1 df(0)
1 d 2 f ( 0) 2 1 d 3 f ( 0) 3
x
x
x .....
f (x) = f (0) +
1! dx
2! dx 2
3! dx 3
Поскольку sin 0 = 0, то в разложении синуса исчезнут члены, содержащие f(0) и
вторую производную
d 2 f ( 0)
и синус угла равен:
dx 2
1 3
sin = - .....
6
Даже для углов отклонения около 300, т.е. 0,5 рад ( в математике угол обычно измеряется в
радианах; один радиан 570 ), вторая поправка в разложении синуса дает величину, чуть
большую двух процентов, поэтому с достаточной степенью точности функцию синуса
можно заменить его аргументом так, что уравнение
( 8-22 ) приобретает такой вид:
d 2 g
0,
dt 2 l
( 8-23 )
что полностью совпадает с уравнением движения груза на пружине. Поэтому нетрудно
придти к заключению, что частота колебаний математического маятника определится также,
как частота собственных колебаний груза на пружине:
0
О
l цм
g
.
l
( 8-24)
Если в качестве маятника используется тело произвольной
формы, то уравнение вращательного движения для такого
физического маятника записывается аналогично
уравнению для математического маятника:
d 2
I 2 mgl цм sin ,
dt
( 8-25)
где lцм обозначает расстояние, на котором расположен центр масс
тела от оси вращения (см.рис.34). Однако тетеперь момент инерции такого маятника требует специального
вычисления, которого в рамках нашего курса
производиться не будет. Частота собственных колебаний физического маятника равна:
mg
Рис.34. Физический
маятник.
=
mg
l цм .
I
( 8-26)
Лекция
Вынужденные колебания и волны.
§ 9-1. Уравнение вынужденных колебаний.
Вынужденными называются колебания, которые происходят под действием внешней
периодической силы. В этом случае частота колебаний не определяется параметрами самой
системы, а задается внешним источником. Для груза на пружине уравнение движения может
быть получено формальным введением в уравнение ( 8-8) еще одной - внешней
периодической силы F(t) = F0sin t :
m
d2x
dx
b + mg - k (x +) + F0sin t ;
2
dt
dt
( 9-1 )
после преобразований и обозначений, аналогичных прошлой лекции, получим:
d2x
dx
2
20 x f0 sin t,
2
dt
dt
где f0 =
( 9-2 )
F0
. Остальные обозначения сохраняют свой смысл. Т.к. груз колеблется с частотой
m
вынуждающей силы, решение дифференциального уравнения ( 9-2 ) может быть записано в
следующем виде: x(t) = A sin( t + ). Появление фазового сдвига между колебаниями груза и
внешним воздействием связано с определенной инерционностью системы, реагирующей на
внешнее воздействие с некоторым опозданием. Однако, для упрощения последующих
выкладок, удобнее изменить начало отсчета сдвига фаз: пусть колебания груза происходят по
закону
x(t)=
=Asint, а внешняя сила получает некоторое опережение по фазе, т.е.f0 sin(t -) =
= f (t) или заменяя на (- ) , f (t) = f0 sin(t +)
Тогда неизвестной величиной в выражении x(t) = Asint остается только амплитуда
колебаний. Для ее определения используем векторный способ решения уравнения (9-2).
Вычислим последовательно первую и вторую производные от х(t) и
подставим
эти
производные
в
(
9-2):
dx
A cos t
dt
A sin( t ) ;
2
=
d2 x
A 2 sin t ; после приведения подобных получим:
2
dt
2А
( 20 2 )A sin t 2A sin(t ) f 0 sin(t ) . ( 9-3 )
2
f0
A( 0 -2)
2
Рис.35.
Графическое
решение уравнения
(9-3).
и
Вспоминая, что колебания можно представлять в векторном виде,
рассмотрим уравнение ( 9-3 ) как векторное: два вектора, стоящие в
его левой части в сумме дают вектор в правой части (см.рис.35). Из
рисунка
по
теореме
Пифагора
следует:
2
2
2
2
2
2 2
2
4 A A ( 0 ) f 0 . Тогда
A
tg
f0
( ) 2 4 2 2
2
.
20 2
2
0
2
,
( 9-4 )
( 9-5 )
Из найденного выражения для амплитуды вынужденных колебаний ( 9-4 ) видно, что
величина А зависит от частоты вынуждающего воздействия. Для нахождения экстремального
значения этой амплитуды найдем производную знаменателя и приравняем ее к нулю:
2
2
2
4( 0 ) 8 0 , откуда следует, что «экстремальное» или резонансное значение
частоты определяется как:
рез 20 2 2 .
( 9-6 )
А
Если частота внешнего воздействия может изменяться, то в тот
А рез
момент, когда ее значение совпадает с рез , знаменатель ( 9-4 )
становится минимальным, а амплитуда вынужденных колебаний
достигает максимальной величины. На практике очень часто
A р ез
наблюдается, что
колеблющаяся система обладает слабым
2
затуханием и 0 . В этом случае рез 0 , т.е. значение
резонансной частоты совпадает с собственной частотой системы.
2
Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний до
максимума, когда частота внешнего воздействия приближается к
собственной частоте колебаний называется резонансом.
рез
Изменение амплитуды вынужденных колебаний в области
Рис.36.
Резонансная частот,
кривая.
близких к резонансной - резонансная кривая - показана на рис.36. Чтобы оценить
относительное изменение амплитуды при резонансе, необходимо знать величину амплитуды
на двух частотах - на резонансной и на частоте, достаточно далекой от рез. Рассматривая (94)
нетрудно
заметить, что такой «далекой» частотой удобно выбрать
0.В этом случае А0=
f0
.
20
На резонансной частоте при условии, что 0 и рез 0 , амплитуда колебаний равна
A р ез
A р ез 0
f0
km
, поэтому отношение выбранных амплитуд
= Q, т.е.
2 0
A0
2
b
амплитуда при резонансе увеличивается в Q раз ( Q - добротность системы). При достаточно
высокой добротности смещение отдельных частей системы может превышать пределы
допустимых деформаций, что приведет к разрушению системы. Особенно опасны такие
явления там, где разрушение колеблющейся системы может повлечь за собой гибель людей, например, на механическом транспорте. Вращение винтов, валов с определенной частотой
может вызвать резонансные колебания корпусов самолетов, судов и машин. Чтобы
предотвратить подобные явления, конструктора вынуждены заранее тщательно рассчитывать
как собственные частоты транспортных средств, так и возможные частоты, возникающие при
различных режимах работы двигателей.
Важной характеристикой резонансной кривой является так называемая ширина кривой.
Шириной резонансной кривой называют область частот, близких к резонансной частоте, на
которых относительное уменьшение «реакции» системы на внешнее воздействие не
превышает 30% ( точнее в 1/ 2 раза ) относительно
« реакции» на резонансной частоте (см. рис.36). Степень задаваемого ослабления носит
субъективный характер и связана со слухом человека. Многочисленные измерения показали,
что человек « на слух» различает громкости различных источников звука, если их амплитуды
отличаются на 30%. Если громкости отличаются на меньшую величину, то человек
воспринимает как одинаковые. Другими словами, все звуки при их резонансном усилении,
лежащие в области ширины резонансной кривой, будут казаться человеку звуками с
одинаковой громкостью. Это важно учитывать при конструировании и изготовлении
музыкальных инструментов.
§ 9-2. Волны.
Волной принято называть распространение в пространстве изменений какой-либо
физической величины. Изменения величины могут носить как периодический, так и
непериодический характер. Для того, чтобы эти изменения могли распространяться в
некоторой области пространства, необходимо наличие некоторых условий; в частности, в
каждой точке рассматриваемой области физическая величина должна иметь определенное
значение ( принято говорить, что величина имеет полевой характер). Кроме того должна
осуществляться взаимосвязь изменения физической величины в одной точке пространства с
изменением этой же величины в соседних точках. Скорость распространения изменения
определяется как природой изменяемой величины, так и свойствами среды, в которой
распространяется это изменение. При этом определенную роль играет направление
колебаний в волне. Если направление колебаний совпадает с направлением распространения
волны, то такие волны называют продольными. Если же колебания происходят в плоскости,
перпендикулярной направлению распространения волны,
то такие волны являются поперечными. Если относительное изменение величины (т.е.
изменение, деленное на саму величину) мало по сравнению с единицей, то такое изменение
называют возмущением физической величины. Примером
v
распространения возмущения могут служить волны на
t=0
X
поверхности воды, возникающие при бросании в воду
камешка. Образовавшиеся искажения поверхности воды (см.
рис 37) начнут распространяться во все стороны, образуя
v
t=
своеобразные кольцевые структуры. Возникшая волна
Х
достигнет некоторой точки, отстоящей на расстояние х от
x
x
Распространение места попадания камня в воду через время = , где v v
волны.
скорость
распространения возмущения по поверхности воды. Пусть в точке попадания камня в воду
профиль образовавшегося возмущения является некоторой функцией от времени f (t). Ясно,
что в любой точке поверхности, куда доходит образовавшееся возмущение, величина f (t)
будет зависеть не только от времени, но также и от расстояния, однако для упрощения
предположим, что возмущение сохраняет свою форму вне зависимости от пройденного
расстояния. Тогда в любой точке поверхности, отстоящей от начальной точки на расстояние
х, профиль возмущения f(t) будет изменяться во времени с некоторым запаздыванием на
величину = x/v , т.е. аргументом функции f(t) станет величина ( t - х/v ). Независимость
величины возмущения от координаты означает, что f(t) = f(t - х/v ) . Волны, для которых
имеет место последнее равенство называются плоскими. Если в начальной точке возмущение
изменяется по гармоническому закону, то такая волна называется синусоидальной.
Синусоидальная плоская волна записывается в таком виде:
Рис.37.
f (х, t) = Аsin(t -
x
x
) = Аsin (t ) = Asin (t - kx),
v
v
( 9-7 )
где k
2 2
- так называемое волновое число, a величина vT называется
v Tv
длиной волны. Аргумент синуса в уравнении ( 9-7 ) определяет фазу волны (x,t).
Поверхность, соединяющая все точки, фазы которых одинаковы, называется волновой
поверхностью или фронтом волны. Если волна плоская, то фронтом волны является плоская
поверхность. Волна, распространяющаяся во все стороны от точечного источника,
называется сферической; очевидно, что для такой волны волновая поверхность представляет
собой сферу. Если на какой-либо поверхности фаза постоянна, т.е. Ф(x,t) = const , скорость
перемещения координаты, для которой фаза постоянна можно определить дифференцируя
условие постоянства фазы:
dФ
dx
= 0 , откуда
k
dt
dt
dx
vфаз =
,
dt k
( 9-8 )
т.е. скорость распространения волны совпадает со скоростью распространения постоянной
фазы. Направление колебаний в распространяющейся волне может совпадать с направлением
волны - в этом случае волна называется продольной, но может быть и так, что
распространение волны происходит в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой
совершаются колебания; тогда волны называются поперечными. Например,
распространение
звука
это
продольные
волны.
Примером поперечных волн могут служить волны на поверхности воды.
§ 9-3. Энергия волны.
Распространение синусоидальной волны в пространстве сопровождается пе-реносом
энергии; в этом легко убедиться, вспомнив о разрушительной силе ударной волны при
взрывах. Известно также, что волны морского прибоя способны разрушать крепчайшие
каменные набережные. При изучении колебаний было установлено, что энергия
колебательного движения пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому можно считать,
что и в любом выбранном малом объеме пространства в области существования волны
сосредоточена колебательная энергия, величина которой также пропорциональна квадрату
амплитуды колебаний в волне. Для количественной характеристики энергии колебательного
движения в волне обычно относят величину этой энергии к единице объема среды, через
которую проходит волна. В этом случае принято говорить о плотности колебательной
энергии w. Т.к. волна связана с «переносом» колебаний в пространстве, причем скорость
этого «переноса» равна скорости распространения волны v, то плотность «перенесенной»
энергии через единичную площадку в единицу времени равна:
= v w.
( 9-9 )
Из ( 9-9 ) видно, что величина должна быть вектором, направление которого совпадает с
направление
скорости.
Впервые
этот
вектор
был
введен
профессором
Московского Университета Н.А. Умовым, поэтому вектор принято называть вектором
Умова.
Также как колебание произвольной формы можно представить в виде суммы
гармонических составляющих, так и любую несинусоидальную волну можно представить как
сумму синусоидальных волн различных частот. В определенных условиях эти
синусоидальные составляющие могут взаимодействовать между собой. В результате этого
амплитуды составляющих волн с одними определенными частотами могут уменьшиться,
тогда как амплитуда других составляющих возрастает. В целом это приводит к тому, что
несинусоидальная волна может существовать довольно долго. Впервые такую волну в
английских речных шлюзах наблюдал Д.С. Рассел в 1834 г. Он назвал это явление большой
уединенной волной (по- английски - это great solitary wave ). Второе слово этого названия
теперь вошло в обиход для обозначения устойчивых волновых структур - солитонов.
§ 9-4. Упругие волны в твердом теле.
х1
х2
Пусть имеется однородный стержень. Направим ось Х вдоль
стержня и выберем два сечения стержня, координаты которых
f1
f2
Х
(см.рис.38) равны х1 и х 2 соответственно так, что между
1
2
ними оказывается отрезок стержня длиной l0 = x2 - x1= х .
Под действием внешних сил в стержне произойдут упругие
деформации15, так что в новом - деформированном состоянии(х1+1) (х2+2)
выбранные сечения имеют координаты ( х1+1 ) и
Рис.38. Деформации в
( х2+2 ), т.е. первое сечение сместилось на величину
стержне.
1, а второе- на 2. Длина выбранного отрезка теперь равна (х2+2) - (х1+1) = l0 +
+(2- 1) = l0 + l, поэтому величина относительной деформации отрезка равна:
=
l
=
.
l
x
( 9-10 )
Чтобы написать уравнение движения для выделенного отрезка стержня необходимо
вычислить вторую производную смещения по времени. Как видно из выражения ( 9-7),
выражение для распространяющейся волны зависит от двух переменных, поэтому
вычисление производной от функции f (x,t) должно происходить несколько иначе, чем в
случае одной переменной. Производную от функции f (x,t) по одной из двух переменных
можно вычислять так же, как и в случае функции одной переменной, считая вторую
переменную при этом постоянной, но эта производная называется частной производной.
Например, если
f(x,y)= x5 y 5, то
f
f
5 x4 y5,
5 x5 y4 ( здесь и далее наклонные означают знак
x
y
частной производной).
С учетом этого для бесконечно малого отрезка величина относительной деформации
получается формальным предельным переходом к бесконечно малым величинам. Тогда
уравнение ( 9-10 ) приобретает такой вид:
.
x 0
x x
= lim
( 9-11 )
Если по стержню распространяется продольная упругая волна, то в нем действуют
попеременно внутренние силы растяжения и сжатия. Выбирая длину отрезка достаточно
малой
можно
добиться,
чтобы
на
его
концы
действовали
одинаковые
силы - сжатия или растяжения. Пусть для определенности это будут силы растяжения f1 и f2 (
см. рис.38). Второй закон Ньютона для элемента длины х можно написать, используя
теорему о движении центра масс:
ma ц.м. f 2 f1 .
( 9-12 )
Силы упругого растяжения представляем с помощью закона Гука:
15
Предполагается, что силы вызывают деформации, которые не выходят за пределы упругости.
=
1 f
,
x E S
( 9-13 )
где Е - модуль упругости модуль Юнга), S - площадь сечения стержня, а
- величина
x
относительной деформации. Величина = f/S называется упругим напряжением; масса m =
Sx , где - плотность стержня. Если смещение центра масс ц.м. , то уравнение ( 9-12 )
становится таким:
2 ц.м.
Sx
f 2 f1 2 S 1S .
t 2
Деля обе части последнего равенства на на величину объема Sx, получаем:
2 ц.м. 2 1
.
t 2
x
x
При переходе к бесконечно малым величинам последнее уравнение становится уравнением
для производных:
2 ц.м.
.
t 2
x
( 9-14 )
Правую часть ( 9-14 ) выразим через закон Гука ( 9-13 ), переходя к бесконечно малым
элементам :
= Е = Е
;
x
2
E 2.
x
x
С учетом последнего соотношения из ( 9-14 ) получаем:
2 ц.м.
2
E 2 .
x
t 2
( 9-15 )
Соотношение ( 9-15 ) называется волновым уравнением. Хотя оно получено для частного
случая продольных упругих волн, оно имеет достаточно общий вид. Его можно получить
сравнением вторых производных любой функции по координате и времени соответственно,
если эта функция зависит от аргумента вида = t -
x
.
v
Тогда первые производные функции сложного аргумента равны
f
f f
=
x x x
и
f
f f
соответственно, а
t
t
t
вторые производные равны:
2
2f
f f f
2 f 1 2 f
:
=
=
=
x 2 x x x x x x
2 x v 2 2
(9-16)
и
2
2f
2f
f
f f
2 f
=
; (9-17)
2
t 2
t t t t t t 2 t
где
=t-
1
x
;
1 ;
. Сравнивая (9-16) и (9-17), получим:
t
x
v
v
2f 1 2f
=
,
x 2 v 2 t 2
откуда следует, что скорость распространения продольных упругих волн равна:
v
Таким образом решением волнового
=t-
E
.
уравнения являются функции
от
аргумента
x
. Эти функции характеризуют плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х.
v
Лекция 10.
Элементы гидродинамики.
§ 10-1. Описание движения жидкости и газа.
В отличие от материальных точек, когда для описания их движения задавались
координаты этих точек, а затем определялись их скорости и ускорения, для описания
движения жидкости применяется несколько иной метод. Развитие этого метода связано с
практическими успехами гидро- и аэродинамики. Аналитические формулы, описывающие
движения тел в жидкости, очень громоздки, к тому же они содержат большое количество
параметров. На практике более эффективным оказался метод моделирования, когда
уменьшенные модели самолетов и судов в неподвижном состоянии помещались в
аэродинамические трубы или испытательные бассейны. При этом измерялись скорости и
ускорения потока жидкости или газа в различных точках испытываемой модели. При таком
методе описания движения жидкости или газа измеряется не скорость (ускорение) различных
частиц, а скорости и ускорения в некоторых фиксированных точках, через которые проходят
отдельные частицы (или отдельные выделенные малые объемы). Если в любой такой
выбранной точке значения скорости (или ускорения) не меняются с течением времени, то
такое движение называется стационарным.
Обычно различают два типа движения жидкости: ламинарное и турбулентное. При
ламинарном течении жидкость перемещается слоями, причем один слой скользит по другому,
но слои не перемешиваются между собой, в турбулентном же движении наиболее
характерным признаком является наличие вихрей.
Характер движения на первый взгляд зависит от величины скорости жидкости, но в
действительности важную роль играют и другие факторы, в частности, вязкость или
внутреннее трение. Это свойство органически присуще почти всем реальным жидкостям и
является следствием взаимодействия молекул между собой. При ламинарном движении слои
жидкости
с
трением
скользят
друг
по
другу.
Чем сильнее силы сцепления между частицами жидкости, тем больше различие скоростей
двух соседних слоев. Иначе говоря, степень быстроты изменения скорости слоев жидкости
при перемещении перпендикулярно ее движению характеризует величину силы трения
между слоями. Если же в жидкости движется твердое тело, то слой жидкости,
непосредственно к нему прилегающий, движется с ним вместе, следующий слой скользит по
первому слою с меньшей скоростью, следующий за вторым слой имеет еще меньшую
скорость и т.д. Слой же, граничащий со стенками, ограничивающими поток жидкости,
прилипает к стенкам так, что его скорость равна нулю. Величина силы трения при движении
тела в жидкости установлена еще Ньютоном, который нашел ее аналитическое выражение:
F
dv
S,
dz
( 10-1 )
где первый сомножитель характеризует вязкость жидкости (коэффициент вязкости), второй
отражает быстроту изменения скорости в направлении, перпендикулярным потоку
(производная по направлению), и третий представляет площадь соприкосновения жидкости и
тела, т.е. зависит от формы тела. Очевидно, что величина силы трения для каждого тела
имеет свою определенную величину, но конкретный учет всех особенностей тела связан с
серьезными математическими трудностями. Наиболее простой вид силы трения получается
при движении шара:
( 10-2 )
Fтр 6rv,
где r - радиус шара, v - его скорость, - коэффициент вязкости. Это выражение впервые
получено Стоксом и известно как формула Стокса.
Степень влияния вязкости на характер движения жидкости можно оценить, если
сравнить величину кинетической энергии движущегося тела с работой сил вязкого трения.
Эта оценка производится весьма приближенно, c точностью до численных коэффициентов.
Для обтекания вязкой жидкостью неподвижного шара
(см. рис. 39) величина кинетической энергии жидкости
оценивается в предположении, что объем жидкости, где
происходит возмущение потока, по своей величине примерно
равен объему шара, так что величина кинетической энергии
этого объема примерно равна:
mv 2
Екин =
жl3 v2,
2
( 10-3 )
Рис.39. Обтекание шара
жидкостью.
где l - линейные размеры шара. Для оценки величины работы силы вязкого трения
предположим, что площадь поверхности шара S l2, и изменение скорости от
значения v до нуля также происходит на расстоянии l, т.е. v v, z l и
Fтр
v 2
l vl ,
l
откуда следует, что работа силы трения Атр равна:
Атр Fтр l vl 2.
Сравнивая ( 10-3 ) и ( 10-5 ), нетрудно получить:
ж l 3 v 2 ж vl
E кин
= Re.
А тр
vl 2
( 10-4 )
( 10-5 )
( 10-6 )
Подобные рассуждения можно провести для тела любой формы, поэтому безразмерная
величина Re ( 10-6 ), получившая название числа Рейнольдса, позволяет оценить влияние
вязкости жидкости на характер ее движения. Если число Рейнольдса велико, то трением в
жидкости можно пренебречь и считать жидкость идеальной. Хотя введение числа
Рейнольдса проведено в некотором приближении, тем не менее по его величине можно
судить не только о роли трения, но и о характере движения жидкости. Так, например, при Re
1000 движение жидкости в трубах остается ламинарным, но при Re 2200 оно становится
турбулентным.
При малых значениях чисел Рейнольдса роль вязкости жидкости достаточно велика и
вихревого движения возникнуть не может.
§ 10-2. Уравнение неразрывности.
Как уже отмечалось, при стационарном движении жидкости (или газа) скорость ее
частиц не изменяется с течением времени. Для наглядности вводится понятие линии тока,
которые представляют собой линии, касательные к которым в любой точке совпадают по
направлению с вектором скорости в этой же точке. В случае стационарного движения линии
тока неподвижны и совпадают с траекториями частиц жидкости. Кроме того, для облегчения
изучения движения жидкости вводится понятие трубки тока. Эти трубки образуются так, что
линия тока, проходящая через какую-либо точку, лежащую на поверхности трубки тока,
целиком лежит на этой поверхности (см. рис.40). При стационарном течении жидкости
стенки трубки тока неподвижны. Жидкость, вошедшая в
трубку, в дальнейшем движется все время внутри ее. Поэтому
v1
S2
выделенную трубку можно рассматривать независимо от
остальной жидкости.
v2
Предположим, что выделенная трубка тока настолько
S S1
тонка, что в каждой точке ее поперечного сечения величину
скорости частиц жидкости можно быРис.40. Трубка тока.
ло бы считать одинаковой. Пусть в сечении S1(рис.40) скорость частиц жидкости равна v1. За
промежуток времени t через сечение пройдет объем жидкости V1=
= v1t S1. Если плотность жидкости в этом сечении равна 1, то через сечение проходит масса
m1 = 1V1 = 1v1t S1. Аналогично через сечение S2 за время t проходит масса m2 = 2v2t
S2 . При стационарном движении количество вещества, проходящее через сечения S1 и S2 ,
должно быть одинаковым, т.е. m1= m2. Поэтому 1v1t S1 = 2v2t S2. При несжимаемости
жидкости 1= 2 , откуда следует, что v1 S1 = v2 S2 , или в общем виде
v S = const .
( 10-7 )
Выражение ( 10-7 ) носит название уравнения неразрывности. Примером проявления
свойств жидкости, описываемых этим уравнением, может служить течение рек: в узких
местах скорость течения возрастает и, наоборот, в широких местах скорость течения
становится меньше.
§ 10-3. Уравнение Бернулли и его следствия.
Выделим в трубке тока (см.рис.41) элемент, ограниченный
S2
плоскими сечениями S1 и S2. Пусть скорости движения
S2
жидкости в этих сечениях равны v1 и v2 , а
давления р1 и р2 соответственно. За время t выделенный
элемент перемещается в направлении, указанном стрелкой,
так, что сечения S1 и S2 cсмещаются
S1
на расстояния l1 = v1t и l2 = v2 t соответственно,
h2 занимая новые положения S1 и S2 (см. рис.). При
перемещении изменяется кинетическая и потенциальная
h1 S1
энергии выделенного элемента. По закону сохранения
энергии величина этого изменения определяется работой сил
давления f1 = p1S1 и f2 = p2S2,
Рис.41. Выделенный элемент трубки тока.
которые действуют на плоскости S1 и S2. Как видно из рис., часть элемента между сечениями
S1 и S2 остается неподвижной так, что изменение положения выделенного элемента сводится
к перемещению отрезка, ограниченного сечениями S1 и S1 в новое положение между
плоскостями S2 и S2. Пусть плотность жидкости в сечении S1 равна 1, а в сечении S2 - 2.
Масса отрезка между сечениями S1 и S1 равна m1 = 1v1S1t, тогда как масса между S2 и S2
равна m2 = 2v2S2t; поэтому кинетическая и потенциальная энергии массы m1 равны:
E
(1)
кин
m1 v 12 1S1 v 13 t
;
=
2
2
.
E(1)
пот m1gh1 1 v 1S1 tgh1
( 10-8 )
Аналогично для массы m2:
E
(2)
кин
m 2 v 22 2 S 2 v 32 t
2)
; E(пот
=
m 2 gh 2 2 v 2S 2 tgh 2 ;
2
2
( 10-9 )
где h1 и h2 - высоты центров тяжести первого и второго элементов относительно выбранного
уровня отсчета потенциальной энергии.
На основании закона сохранения механической энергии можно записать:
2)
2)
1)
1)
= f1 l 1 f 2 l 2 p1S1 v1 t p 2S2 v 2 t .
( 10-10 )
E(кин
Е(пот
Е(кин
Е(пот
Работа силы f2 взята со знаком минус потому, что направление силы и направление
перемещения противоположны друг другу.
Подставляя в уравнение (10-10) значения кинетических и потенциальных энергий
(10-8) и (10-9), получаем:
1S1 v 13 t
2 S 2 v 32 t
2 v 2 S 2 tgh 2
1 v 1S 1 tgh 1 = p 1S1 v 1 t p 2 S 2 v 2 t , ( 10-11 )
2
2
откуда после сокращения на величину t (с учетом того, что v1S1 =v2 S2) следует:
или в общем виде:
2 v 22
1 v 12
1gh 1 p1 ,
2 gh 2 + p 2 =
2
2
v 2
2
gh + р = const.
( 10-12 )
( 10-13 )
Выражения (10-12) и (10-13) представляют различные формы записи уравнения Бернулли,
имеющего ряд важных следствий практического характера. Если движение жидкости или
газа происходит на постоянной высоте, то уравнение (10-13) упрощается:
const, или
2 v 22
v2
+ p 2 = 1 1 p1 .
2
2
v 2
2
р =
( 10-14 )
Из этого уравнения следует, что давление внутри трубки тока зависит от скорости: там, где
скорость меньше, давление больше, при увеличении скорости потока
давление в нем уменьшается. Это утверждение называют принципом Бернулли.
Возникновение подъемной силы крыла.
Профиль крыла изображен на рис.42. Воздушный поток,
vп
vп+vв
обтекая крыло, образует в области позади его вихрь,
направление вращения которого показано на рис. По закону
сохранения момента импульса
vп-vв
вокруг крыла должен образоваться круговой поток с
обратным направлением вращения16 (см.рис.42). Если
обозначить скорость частиц в вихре вокруг крыла vв, то, как
Рис.42. Обтекание крыла
воздушным потоком.
видно из рис., на верхней части крыла
скорость вихря складывается со скоростью vп воздушного потока, тогда как под крылом
скорость вихря направлена против скорости потока, и они вычитаются. Таким образом
получается, что общая скорость воздуха над крылом больше, чем под крылом, и из принципа
Бернулли следует, что давление в потоке воздуха под крылом больше, чем в потоке над
крылом, т.е. возникает результирующая сила, направленная вверх и известная как подъемная
сила.
Нечто похожее наблюдается при обтекании неподвижной крыши потоками воздуха
при ураганных ветрах: внутри дома воздух неподвижен, тогда как на наружной части крыши
его скорость достигает 40 М/c. В этом случае давление воздуха изнутри, которое больше
наружного, как бы поднимает крышу вверх. При больших скоростях потока прочности
конструкции скрепляющих балок может оказаться недостаточно; в этом случае ветер снесет
крышу с дома.
резиновая
груша
пробка
Еще одним примером проявления принципа Бернулли служит
пульверизатор, который схематически изображен на рис.43. Если
пробка сосуда, содержащего жидкость, плотно прижата, то при
сжимании резиновой груши образуется ток воздуха, давление в
потоке уменьшается, и под давлением воздуха, находящегося
внутри сосуда, жидкость устремляется вверх. Оконечность
горизонтальной трубки сужена в виде сопла, что способствует
еще большему увеличению скорости потока воздуха, который
Рис.43. Пульверизатор.
увлекает за собой капли поднимающейся
жидкости. Аналогом пульверизатора является пульт для разбрызгивания краски или побелки.
В домашних условиях обычно используется упрощенный вариант этого устройства, где поток
воздуха создается обыкновенным пылесосом. Для этого достаточно всасывающий шланг
присоединить к выходному отверстию пылесоса.
Лекция. Кинетическая теория.
§ 11-1. Основные положения кинетической теории.
Кинетическая теория изучает свойства веществ, рассматривая их состоящими из
атомов, которые находятся в непрерывном хаотическом движении. Огромное число
отдельных объектов (атомов и молекул ) делает невозможным описание их состояния с точки
зрения законов Ньютона. Поэтому в молекулярной физике используется статистический
метод, когда для характеристики того или иного параметра вещества используются
усредненные значения.
Первым объектом нашего изучения явится газообразное состояние вещества. В основе
кинетической теории газов лежат следующие постулаты:
В реальных жидкостях существование такого потока доказывает эффект Магнуса: если поместить в
движущуюся жидкость горизонтально расположенный цилиндр, способный свободно вращаться вокруг своей
продольной оси, то цилиндр начинает вращаться так, что направление движения его верхних точек совпадает с
направлением потока жидкости.
16
1. все тела состоят из большого количества атомов и молекул, движущимися в случайных
направлениях с различными скоростями,
2. расстояния между молекулами значительно превышают размеры самих атомов или
молекул,
3. каждая из молекул подчиняется законам классической механики, но их кинетическая
энергия много больше, чем потенциальная энергия взаимодействия между собой,
4. взаимодействие молекул между собой носит характер упругих столкновений.
Газ, который удовлетворяет всем этим требованиям, называется идеальным.
Очевидно, что на самом деле это всего лишь некоторая абстрактная модель, т.к. в
действительности поведение реальных газов только приближенно следует закономерностям,
полученным для идеального газа. Степень приближения связана прежде всего с конечными
размерами реальных молекул, тогда как в модели идеального газа их принято считать
материальными точками. Справедливости ради необходимо отметить, что в нормальных
условиях поведение большинства реальных газов может достаточно точно описываться
законами идеального газа, но при сильных сжатиях конечный размер молекул приводит к
заметному отклонению поведения реальных газов от идеального.
§ 11-2. Описание состояния идеального газа.
Для однозначного определения положения в пространстве одной молекулы
идеального газа необходимо знать ее три координаты. Число молекул в одном кубическом
сантиметре примерно равно 2,7• 1019. Поэтому даже современный компьютер не в состоянии
решить соответствующую систему уравнений. Задача молекулярной физики состоит в том,
чтобы попытаться описать состояние газа с помощью небольшого количества физических
параметров (давления, температуры, массы, теплоемкости и т.д.), связав их со свойствами
отдельных атомов и молекул. Решение этой задачи достигается путем усреднения отдельных
микроскопических величин. Такое усреднение может быть проведено различными
способами.
Пусть, например, требуется найти среднее число молекул в определенном объеме.
Его можно найти, либо вычисляя среднее число в заданном объеме в различные моменты
времени, либо беря различные одинаковые объемы в различных частях сосуда, содержащего
идеальный газ. Обозначим среднее значение числа молекул, найденное по первому способу
как N t , а среднее по второму - N анс . Первое из них обычно называют средним по
времени, а второе - средним по ансамблю17 . В настоящее время считается, что N t = N
анс . Доказательства справедливости этого равенства до сих пор не существует, и его
принимают как некоторую эргодическую гипотезу. Величины, найденные таким способом,
называются макроскопическими. Если значения макроскопического параметра оказывается
одинаковыми для любых выбранных частей рассматриваемой системы и не изменяются с
течением времени, то говорят о равновесном значении этого параметра. Если в системе
установилось равновесие по всем параметрам, характеризующих систему, то такая система
называется равновесной.
При этом отдельные макроскопические величины оказываются связанными друг с
другом. Так, например, опытным путем были установлены так называемые газовые законы,
известные из школьного курса физики: закон Шарля (р/T = const), закон Гей-Люссака (V/T =
const) , закон Бойля - Мариотта (pV = const), а также объединенный закон Менделеева Клапейрона {pV=( m/)RT}, связывающие макроскопические величины массы газа m,
молекулярного веса , давления р, объема V и температуры Т. Из этих законов видно, что
17
Совокупность отдельных воображаемых величин принято называть статистическим ансамблем.
изменение одного параметра вызывает изменение другого. Ясно, что любое изменение
параметра влечет нарушение равновесного состояния системы. Поэтому, строго говоря, для
того, чтобы в любой момент времени система находилась бы в равновесном состоянии,
требуются бесконечно малые изменения параметров, и переход из одного равновесного
состояния в другое должен происходить бесконечно долго. В реальной жизни
рассматриваются квазиравновесные процессы, т.е. процессы, происходящие достаточно
медленно и долго. Именно такие процессы и будут рассматриваться в дальнейшем.
§ 11-3. Основное уравнение кинетической теории газов.
В кинетической теории газов предполагается, что давление газа на стенку сосуда
создается за счет упругих ударов молекул газа об эту стенку. При упругом
Х ударе
сохраняется
кинетическая
энергия
молекул,
и,
следовательно, скорость молекулы до и после ее удара об стенку.
v
mv v Т.к. при упругом ударе под некоторым углом к стенке (см. рис.44.)
mv x
никаких сил вдоль стенки не действует, то проекция импульса
молекулы на это направление сохраняет свое значение, тогда как
нормальная проекция импульса ( проекция на направление,
v
перпендикулярное стенке, - ось Х) изменяет свое значение на
mv v обратное. Таким образом изменение импульса молекулы
mv x
происходит в направлении, нормальном к стенке. По закону
сохранения импульса стенка после удара об нее молекулы также
Рис.Упругий удар
приобретает импульс в этом направлении.
молекулы об
стенку.
Выберем некоторый участок поверхности стенки площадью S и подсчитаем количество
ударяющихся о стенку в единицу времени молекул, скорости которых име-ют проекцию на
ось Х, близкую к значению v ix . Пусть концентрация таких молекул равна ni . Массы всех
молекул считаются одинаковыми и равными m.
Если до удара о стенку проекция импульса на ось Х была mv ix , то после удара она
станет равной (- mv ix ). Изменение импульса молекулы, а, следовательно, и изменение
импульса стенки ki равно:
ki = mv ix - ( - mv ix ) = 2 mv ix .
( 11-1 )
Из выделенной группы молекул за промежуток времени dt достигнут поверхности S лишь те
молекулы, скорости которых направлены к стенке ( v ix ), и которые
находятся от стенке не далее расстояния l = v ix dt . Другими словами, те молекулы, которые
находятся внутри объема V = S v ix dt . Как уже отмечалось, концентрация таких молекул ni ,
поэтому общее число их ударов о стенку за время dt равно Ni = ni S v ix dt . В результате
ударов этих молекул импульс стенки изменится на величину
2
Кi = 2 mv ix Ni = 2 m v ix ni S v ix dt = 2m ni S (v ix ) dt .
( 11-2 )
Чтобы найти общее изменение импульса всех молекул при ударах о стенку К, нужно
просуммировать выражение (11-2) по всем значениям скоростей молекул, т.е. по всем v ix :
N
К =
K i 2mSdt n i ( v ix ) 2 .
i
( 11-3 )
i 1
Умножая и деля правую часть ( 11-3 ) на концентрацию молекул n, рассмотрим величину
суммы
k 1 ( v1 ) 2 k 2 ( v 2 ) 2 .... k i ( v ix ) 2 ... k N ( v N2 ) 2
1 N
2
,
n v
n i 1 i ix
n
( 11-4 )
где числа k1 ,k2 ,..k i ,... k N - количество появления тех или иных значений скорости. Из
статистики известно, что сумма ( 11-4 ) представляет собой среднее арифметическое или
2
просто среднее значение величины ( v x ) , а числа k1 ,k2 ,...
..k i,... k N характеризуют так называемые статистические веса значений v1 ,v 2 , ..vi , ... v N. С
учетом определения ( 11-4 ) выражение ( 11-3 ) принимает следующий вид:
2
К = 2mS n ( v x ) dt.
( 11-5 )
Cреднеквадратичную проекцию скорости молекул на ось Х ( v x )
2
можно связать со
среднеквадратичной скоростью хаотического движения молекул в предположении о
2
2
2
равноправии всех трех осей координат. Т.к. v2 = v x v y v z , и все направления скорости
равновероятны, то можно считать v x
2
1 2
v .Учтем, что движение в сторону положительных
3
и отрицательных значений х также равновероятны, поэтому
( v x )2 =
Кроме
1 2
v .
6
того,
деля
обе
части
(
11-5
)
на
t
и
заме-
K dK
F по второму закону Ньютона представляет собой силу,
t
dt
1
2
действующую на стенку, получим F Snm v . Поскольку сила, деленная на площадь,
3
F
характеризует величину давления p
, которое она оказывает на единицу площади, то (
S
чая, что lim
t 0
11-5 ) принимает окончательный вид:
1
p nm v 2 ,
3
( 11-6 )
определяющий величину давления газа на стенки сосуда. Часто эту формулу называют
основным уравнением кинетической теории газов. Величину давления можно выразить через
среднюю энергию, приходящуюся на одну молекулу. Для этого достаточно умножить и
разделить на двойку (11-6):
p
2 m 2 2 mv 2
2
n
v = n
n E кин ,
3 2
3
2
3
( 11-7 )
§ 11-4. Распределение энергии по степеням свободы.
Закон Шарля устанавливает прямую зависимость между давлением газа и его
температурой ( р = const·Т); в то же время из ( 11-7 ) следует прямая пропорциональность
между давлением и средней кинетической энергией, приходящуюся на одну молекулу,
поэтому можно утверждать, что температура есть мера средней кинетической энергии
молекул. Коэффициент пропорциональности, который несложно выводится из (11-6) и
уравнения Клапейрона, получил название постоянной Больцмана k = 1,38·10-23 Дж/град:
3
E кин = kT .
2
( 11- 8)
Поскольку при выводе формулы для давления газа собственные размеры молекул не
учитывались, последние можно рассматривать как материальные точки. Положение любой
такой точки в пространстве определяется тремя координатами.
Все координаты «равноправны» так, что вся кинетическая энергия молекулы равновероятно
распределяется между ними, т.е. на одну координату (принято говорить - на одну степень
свободы) приходится энергия E кин i= (1/2)kT. Если для определения положения молекулы
требуется задать i - координат, то молекула обладает i - степенями свободы. В этом случае
кинетическая энергия молекулы
z
равна (i/2)kT. Очевидно, что материальная точка обладает
тремя степенями свободы. Для молекулы, состоящей из двух
атомов, число требуемых координат равно пяти: три
x
координаты определяют положение центра молекулы
(cм.рис.45.) , кроме того молекула может вращаться в двух
взаимно
перпендикулярных
плоскостях.
Трехатомная
y
молекула имеет шесть степеней свободы - добавляется еще
одно направление вращения. Дальнейшее увеличение числа
Рис.45. Число степеней
степеней свободы связано с возможностями колебательных
свободы двухатомной молекулы.
движений. Однако положение о величине энергии, приходящейся на одну степень свободы
сохраняется, и для сложной молекулы ее кинетическая энергия равна:
Екин =
i
kT .
2
( 11-9 )
Cумма кинетической и потенциальной энергии взаимодействия всех молекул газа
называется внутренней энергией газа U.
N
U=
E
j 1
j
кин
Wпот
( 11-10)
Для идеального газа потенциальная энергия взаимодействия молекул между собой равна
нулю, и внутренняя энергия такого газа равна суммарной кинетической
энергии хаотического движения всех его молекул.
§ 11-5. Распределение молекул по скоростям.
Понятие среднеквадратичной скорости было введено как результат усреднения по
всевозможным
значениям
скоростей,
которыми
обладают
молекулы
газа.
При этом предполагалось, что все направления скоростей равновероятны, т.е. распределение
молекул по направлению скоростей изотропно, и усреднение велось лишь по величине
скоростей. Поскольку в молекулярной физике оперируют средними значениями физических
параметров, то важно уметь вычислять такие значения величин, зависящих от скорости (
энергии, импульса, момента импульса и т.д.). Из статистики известно, что этого необходимо
знать так называемую функцию распределения, т.е. иметь количественную характеристику
того,
как
разчаются молекулы по скоростям, или какая относительная доля молекул имеет определенную
скорость ( в заданных пределах). При этом бессмысленно говорить о том, какое конкретное
значение скорости имеет та или иная молекула, т.к. в газе каждую секунду происходит 5·109
столкновений, в результате которых молекулы постоянно меняют значение своей скорости.
Если выбирать интервал скоростей достаточно малым, то число молекул, скорость которых
лежит в этом интервале, определяется тремя факторами: общим числом молекул газа Nобщ,
величиной заданного интервала скоростей dv и третьим параметром, характеризующим
распределение молекул по скоростям f(v), т.е. относительной долей молекул со значениями
скоростей в интересующем нас интервале dv:
( 11-11)
dN N общ f (v)dv
или
f (v )
1 dN
.
N dv
Явный вид функции f ( v ) определен Максвеллом, который для идеального газа с массой
молекул m при конечной температуре Т нашел, что
3/ 2
2
mv
m
2 kT 2
f ( v ) 4
e
v ,
2kT
( 11-12 )
где k - постоянная Больцмана.
График этой функции представлен на рис.46, откуда видно, функция имеет максимум
при некотором значении скорости. Значение этой скорости легко найти по обычной
процедуре исследования любой функции на экстремум: приравнивая
f (v)
к нулю первую производную f(v), получим:
v ex
vex V1 V2
v
Рис. 46.Функция распределения
Масквелла.
2kT
.
m
( 11-13)
Скорость, определяемая ( 11-13), получила название
наиболее вероятной скорости.
Число молекул, скорости которых лежат в интервале
от v1 до v2 (cм. рис.46) определяется площадью
заштрихованной кривой, которая, как известно из
математики, равна интегралу f(v) в пределах от v1 до
v2 , т.е.
N 12 v
S12
f ( v )dv .
N общ v
2
( 11-14)
1
Если интервал задаваемых скоростей расширяется от нуля до бесконечности и охватывает
всевозможные молекулы, то N12
Nобщ , и полная площадь, ограниченная кривой равна
единице:
Soo f ( v )dv
0
N
1.
N общ
( 11-15)
При повышении температуры очевидно, что скорости молекул увеличиваются, и кривая должна расширяться в сторону больших скоростей, но ее площадь остается
постоянной - кривая становится более «низкой».
§ 11-6. Барометрическая формула.
До сих пор предполагалось, что распределение молекул однородно по всему объему,
занимаемого газом. Однако в поле внешних сил эта однородность нарушается. В качестве
простого примера рассмотрим поведение газа в поле тяжести Земли. Из гидро- и аэростатики
известно, что давление внутри жидкости (газа) в заданной точке определяется высотой
вышележащего столба жидкости (газа) - см.
рис.47 , на котором изображен вертикальный столб газа.
Z
p
z+dz
dz
z
p+dp
0
Пусть ось координат Z направлена вертикально вверх. Рассмотрим
тонкий слой газа, нижняя поверхность которого имеет координату
z, а верхняя - z + dz . При малой толщине слоя можно считать, что
плотность газа внутри слоя постоянна. Тогда по известному
закону аэростатики изменение давления dp при изменении высоты
столба на dz равно:
(11- 16)
dp gdz ,
где знак минус означает, что с увеличением высоты z давление
уменьшается. Плотность газа выражается через
Рис.47.
Давление
в
столбе газа.
уравнение состояния газа в предположении о постоянстве температуры по всей высоте
выделенного вертикального столба:
pV
m
m p
.
RT ; =
V RT
Подставляя последнее выражение в (11- 16), имеем:
dp
g
dz .
p
RT
gz
d ln p d
.
RT
или
(11-17)
(11-18)
Интегрируя (11-18), получаем:
ln p C
gz
.
RT
(11-19)
Постоянную интегрирования можно определить из условия z = 0; при z = 0 р = р0, где р0 давление на поверхности Земли. Тогда С = - ln p0 и потенцируя (11-19) можно найти:
p( z) p 0 e
g
RT
z
.
(11-20)
Полученное выражение (11-20) носит название барометрической формулы. Эта
формула дает лишь приближенный характер изменения атмосферного давления с высотой,
т.к. в действительности температура в земной атмосфере не остается постоянной. Кроме того,
воздух в ней не остается неподвижным, и происходит постоянное перемешивание слоев
воздуха с различными параметрами ( температурой, влажностью и т.д.).
§ 11-7. Понятие о распределении Больцмана.
Преобразуем показатель степени в (11-20) с учетом того, что
Тогда
gz mgz U( z)
, где U(z) = mgz
RT
kT
kT
mN A m
.
R kN A
k
представляет потенциальную энергию
молекулы в поле Земли. Тогда (11-20) приобретает такой вид:
p( z) p 0 e
U( z )
kT
.
Величину давления р(z) можно выразить из основного уравнения кинетической теории газов
через концентрацию молекул n:
р=
mn v 2
3
=
2
n Wкин = nkT ,
3
откуда видно, что давление пропорционально концентрации молекул. Поэтому концентрация
молекул также экспотенциально зависит от энергии:
U(z)
n(z) = n0 e kT .
(11-21)
Л.Больцман обобщил эту формулу на случай произвольного распределения по энергиям
некоторого числа частиц в произвольном силовом поле ( не только гравитационном поле
Земли). В частности, если в системе может быть несколько энергетических уровней, то
«заселенность» этих уровней определяется распределением Больцмана:
Ei
n ( Ei) = n0 e kT ,
(11-22)
т.е. при любой конечной температуре частицы распределяются так, что их число на каждом
из уровней тем меньше, чем больше величина энергии этого уровня.
Лекция 12.
Изотермы Ван-дер-Ваальса.
§ 12-1. Реальные газы.
Как уже отмечалось, поведение реальных газов хорошо описывается в модели
идеального газа, когда расстояния между молекулами очень велики по сравнению с
размерами самих молекул. Однако при больших степенях сжатия и при низких температурах
становятся заметными отклонения в их поведении от уравнения Менделеева - Клапейрона.
Причины такого отклонения достаточно банальны. Они связаны прежде всего с тем, что
молекулы газа имеют конечный объем, тогда как в модели идеального газа они считаются
материальными точками. Кроме того, между отдельными молекулами существуют силы
взаимодействия, т.е. у молекул кроме кинетической энергии их хаотического движения
появляется потенциальная энергия. Голландский ученый Ван-дер-Ваальс первый сумел
придумать новую модель, которая учитывала бы оба этих фактора.Он предположил, что
E(r)
между молекулами действуют силы притяжения, которые по
своей природе являются электрическими 18 .
Каждую молекулу он рассматривал как твердый шар
некоторого диаметра d. В этом случае ясно, что молекулы не
могут подойти друг к другу ближе этого расстояния. В
r теории строения кристаллов показывается, что N таких шаров
при условии тесного соприкосновения друг с другом
d
занимают
объем
в
четыре
раза
больший,
чем
V0
4
d 3 d 3 N
N
, т.е пустоты между шарами имеют
3
8
6
Рис. 48. Энергия молекул объем в три раза боль-ший, чем объем самих шаров. Поэтому
в
газе
Ван-дер- величину объема газа V, входящего в уравнение Менделеева Клапейрона, надо заменить на новую величину (V-b),
Ваальса.
Эти силы принято описывать как результат диполь-дипольного взаимодействия. Электрическим диполем
называют систему из двух равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов,
разнесенных
друг от друга на некоторое расстояние.
18
где b рассматривается как некоторая поправка на истинный объем, доступный молекулам
газа. Далее он учел, что молекулы могут взаимодействовать не только друг с другом, но и с
окружающими их стенками сосуда. Если силы взаимодейстстенка
вия между молекулами (см. рис.49) вдали от стенки в
среднем компенсируют друг друга, то вблизи стенки ( при
условии, что молекула находится к стенке ближе, чем некий
эффективный радиус межмолекулярного взаимодействия, т.е
rэфф
расстояние, где заметно проявляются силы взаимного
fм
притяжения) на выделенную молекулу действует некоторая
равнодействующая сила fм , направленная от стенки и
стремящаяся уменьшить кинетическую энергию молекулы
Рис.49. Радиус эффектив- при ее ударе об стенку. Величина работы этой силы зависит
ного
взаимодейст- от количества молекул в сфере эффективного
вия.
взаимодействия, т.е. от концентрации молекул в сосуде - n. Поэтому можно утверждать, что
работа сил притяжения пропорциональна концентрации молекул: Апр = а1n, и кинетическая
энергия молекул при их подлете к стенке уменьшается на величину А пр. Уменьшив среднюю
кинетическую энергию молекул на Апр в основном уравнении кинетической теории газов,
получим новое выражение для величины давления газа на стенку сосуда:
2
2
2
n E A п р n E a 1 n 2 .
3
3
3
3
2
2
Учитывая, что E kT и обозначая a 1 n p i , получаем:
2
3
p p i nkT .
p
(12-1)
(12-2)
Умножив обе части (12-2) на молярный объем газа V0 и вспомнив, что nV0 = NA, где NA число Авогадро, а kNA = R - универсальная газовая постоянная, нетрудно придти к такому
выражению:
( p p i )V0 RT .
(12-3)
Величину pi можно выразить через V0, т.к. концентрация молекул n
pi =
1
. Тогда
V0
a
, где а - некий новый коэффициент пропорциональности, зависящий от природы
V02
молекул и количества газа. Подставляя выражение для рi в (12-3) и учитывая поправку на
конечный объем молекул (объем V0 необходимо заменить новой величиной (V0 - b)),
приходим к новому уравнению состояния, описывающего свойства реальных газов:
a
p 2 ( V0 b) RT .
V0
(12-4)
называемому уравнением Ван-дер-Ваальса.
При раскрытии скобок и освобождении от знаменателя уравнение (12-4) становится
кубическим.
(12-5)
pV03 (pb RT)V02 aV0 ab 0 .
p
Из математики известно, что такое уравнение имеет три
корня - одному значению давления при определенной
Т = const
c
a
V1
V2
а
b
d p = const
V3 p = const
температуре соответствует три значения объема, т.е.
кривая, соответствующая этому уравнению пересекает
горизонтальную прямую - изобару - в трех точках (см
рис.50), причем при малых значениях объема V0 давление
р в функции от объема изменяется довольно резко. Однако
сразу становится ясным, что не все участки теоретической
кривой могут быть реализованы. В частности, на участке
bc увеличение объема сопрово-ждается увеличением
давления, что противоречит
V0
Рис.50. Теоретическая изотерма Ван-дер-Ваальса
здравому смыслу. Поэтому важно сравнить теоретические кривые с экспериментальными изотермами реальных газов, которые изображены на рис.51. Как видно
р T1 T2 T3 T4 T5 T6 Т7
из рисунка, для сравнительно высоких температур
(T1 T2 T3 T4 T5 T6 Т7) изотермы Ван-дер-Ваальса (
Т6 и Т7) очень похожи на изотермы идеального газа.
Ткр
Однако при температурах ниже, чем некоторая температура
Ткр , называемая критической, на кривых появляются
горизонтальные участки, соответствующие фазовому
переходу жидкость - газ . После того, как вещество
полностью перейдет в жидкое состояние, кривые начинают
V
круто подниматься вверх, иллюстрируя хорошо известный
Рис.51.Экспериментальные
факт
несжимаемости
жидкости.
Имеется
изотермы реального
температура, при которой горизонтальный участок
газа.
кривой вырождается в точку. При этой температуре пропадает различие в плотности
жидкости и ее пара, и говорят, что вещество находится в критическом состоянии. Очевидно,
что при температурах, выше критической, вещество не может быть переведено в жидкое
состояние при любом сжатии.
Сравнение теоретических и экспериментальных изотерм обнаруживает еще другие
важные различия между ними. Это касается участков ab и cd теоретической изотермы,
которые отсутствуют на экспериментальных кривых. Эти участки соответствуют так
называемым метастабильным состояниям. Кривая ab может быть реализована как
перегретая жидкость, т.е. жидкость, доведенная до температуры кипения, в которой
отсутствуют центры образования пара. Дело в том, что в любой жидкости всегда
растворяется некоторое количество воздуха, причем количество растворенного воздуха
уменьшается с повышением температуры, и он начинает выделяться в виде мельчайших
пузырьков. Это явление можно наблюдать при кипячении воды в открытом сосуде.
Нагреваемая жидкость начинает испаряться прежде всего в эти пузырьки воздуха, увеличивая
давление внутри пузырька. Испарение происходит до тех пор, пока пар не станет
насыщенным, т.е. наступит динамическое равновесие между жидкостью и ее паром.
Давление насыщенного пара растет с повышением температуры, и когда оно достигает
внешнего давления (обычно это атмосферное давление) - говорят, что жидкость закипает.
При этом пузырьки смеси воздуха и насыщенного пара достигают поверхности жидкости.
Если же жидкость была предварительно обезгажена, то ее можно нагреть до температуры
выше точки кипения; при этом в жидкости не наблюдается никаких внешних признаков
кипения.
Участок кривой cd соответствует состоянию переохлажденного пара, когда в нем нет
центров конденсации. Вещество остается в газообразном состоянии, хотя его температура
может быть ниже точки росы 19. Появление центров конденсации
вызывает образование мельчайших капелек. Это явление известно как туман.
Лекция 13.
Основы термодинамики.
§ 13-1. Основные понятия термодинамики.
Первоначально термодинамика возникла как наука о закономерностях превращения
тепла в работу при помощи тепловых двигателей. Круг вопросов, которые изучает
термодинамика, связан с тепловой формой движения материи, т.е. с хаотическим движением
атомов и молекул. Термодинамика основывается на нескольких законах ( или началах),
которые получены путем обобщения огромного числа опытных фактов, касающихся
макроскопических свойств вещества. Из этих законов математическим путем выводится
большое число следствий, верных безотносительно к микроскопической структуре тел.
Следствия термодинамики используются в гидродинамике, теории упругости и других
разделах физики. Они составляют основу физической химии, находят применения в
биологии, метеорологии и др. науках. Математически термодинамика базируется на понятиях
производных от функций нескольких переменных, где широко используется понятие
частных производных и полного дифференциала.
Частная производная функции нескольких переменных (например, двух) на-ходится
путем обычного дифференцирования по интересующей нас переменной при условии, что
другие переменные рассматриваются как постоянные параметры. Частные производные
обычно обозначаются круглыми буквами: f/x. Пример: пусть задана функция
f ( x , y ) x 5 y 5 . Тогда f/x = 5у5 х4, f/у = 5х5у4. Важным понятием в термодинамике
является полный дифференциал. Например, полный дифференциал функции f ( x , y ) x y
равен
5
df
5
f
f
dx dy 5у5 х4 dx + 5х5у4dy.
x
y
Если установлено, что какая-либо величина является полным дифференциалом некоторой
функции, то сама функция находится простым интегрированием. Пример: пусть известно,
некоторая величина dz является полным дифференциалом функции f (x,y) - dz =
df
f
f
dx dy 5у5 х4 dx + 5х5у4dy. Тогда z = f ( x , y ) x 5 y 5 . Для термодинамики
x
y
важно, что в этом случае величина интеграла определяется лишь пределами интегрирования
и конкретным видом функции f(х,у) и не зависит от пути интегрирования. Такие величины
называются функциями состояния. Для пояснения изложенного рассмотрим понятие работы
в термодинамике. Из механики известно, что работой силы F на малом перемещении l
называется величина A = Fl , которая в общем случае ( если сила непотенциальна) зависит
от формы пути, на котором сила совершает работу. Поэтому элементарная работа A не
Эти свойства метастабильных состояний используются при регистрации элементарных частиц, которые
пролетая через переохлажденный пар или перегретую жидкость,производят ионизацию среды так, что
образовавшиеся ионы служат центрами конденсации или центрами испарения. Образуются видимые следы
частиц - трэки. Приборы, где используются эти явления, называются камерой Вильсона или пузырьковой
камерой и соответственно.
19
является полным дифференциалом, хотя эта работа стремится к бесконечно малой величине,
когда l d l . Другими словами, работа не есть функция состояния и ее макроскопическая
величина существенно зависит от пути интегрирования:
l2
A = Fdl .
(13-1)
l1
Чтобы различать полные дифференциалы и произвольные бесконечно малые
величины, для последних в отличие от обыкновенного знака d используется какой-нибудь
другой значок. Например, примем обозначать такие бесконечно малые величины знаком
перечеркнутого дифференциала, подчеркивая тем самым каждый раз, что d - это не есть
настоящий дифференциал.
Основным объектом внимания термодинамики является термодинамическая
система, т.е. любая совокупность физических тел. Состояние этой системы описывается с
помощью ограниченного числа макроскопических величин или фи-зических параметров.
Например, для газа - это давление, объем, температура, масса и т.д. Для разных частей
системы параметры могут принимать, вообще говоря, различные значения: так температуры
в различных местах выбранного объема газа могут отличаться друг от друга. В этом случае
говорят, что температура является неравновесным параметром. Если же параметры
системы одинаковы для различных ее частей и сохраняются неизменными длительное время,
то такое состояние системы называется равновесным. Строго говоря, термодинамика
обязана рассматривать только равновесные состояния, т.к. в противном случае
макроскопические значения параметров теряют свой смысл. В то же время термодинамику
интересуют процессы передачи теплоты и совершение механической работы, т.е. для нее
важны изменения в выбранной системе или переход из одного состояния в другое, т.е.
процессы, протекающие в системе. Для удовлетворения этих противоречивых требований
используется два приема: во-первых, любое изменение состояния рассматривается как
квазиравновесное, т.е. состоящее из ряда последовательных равновесных состояний, причем
параметры двух близких состояний отличаются друг от друга на бесконечно малую
величину20 ; во-вторых, термодинамика широко использует понятие функции состояния, т.к.
знание самой функции и ее значения в некоторый начальный момент времени позволяют
предсказать состояние системы в любой последующий момент времени безотносительно к
условиям перехода из начального положения системы в конечное.
p
Будем рассматривать далее в качестве термодинамической
I
системы один моль идеального газа. Процесс перехода из
одного равновесного состояния в другое принято изображать
A
графически
(cм.рис.52).
Такой
процесс
называется
B
равновесным. Кроме того известно, что процесс в системе
может быть обратимым и необратимым. Если процесс
II
перехода системы из одного состояния в другое по пути I
проходит через одни и те же промежуточные состояния в
независимости от направления перехода, то такой процесс
V
называется обратимым. Если же прямой и обратный переходы
Рис.52.К определению пропо пути I между состояниями А и
цессов в термодинамической системе.
(р-давление газа, V - его
При этом предполагается, что переход из одного равновесного состояния в близлежащее равновесное
состояние происходит бесконечно долго.
20
объем)
В происходят через различные промежуточные состояния, то такой переход необратим. Если
переход из состояния А в В происходит по пути I , а обратный переход из В в А
осуществляется по пути II, то такое изменение состояния системы называется циклом. Цикл
также может быть обратимым или необратимым. Необратимым цикл будет всегда, если хотя
бы одна часть его соответствует необратимому процессу.
§ 13-2. Первый закон термодинамики.
Даже при поверхностном знакомстве с принципами действия тепловых двигателей
можно заметить, что во всех случаях полезная работа совершается за счет расширения
горячих газов или пара, которые в термодинамике принято называть рабочим телом. Эта
полезная работа совершается при изменении внутренней энергии газа или пара (рабочего
тела). Поэтому важно уметь в нужный момент времени по возможности увеличивать
внутреннюю энергию рабочего тела, т.к. интуитивно можно предположить, что величина
полезной работы зависит от величины внутренней энергии рабочего тела.
Если два изолированных тела с разной температурой привести в контакт друг с
другом, то через некоторое время их температуры выровняются, - наступит тепловое
равновесие. Ясно, что при этом температура одного тела уменьшится, а другого увеличится.
Это означает, что в месте теплового контакта молекулы одного тела при хаотическом
движении передают свою энергию молекулам другого тела. Процесс передачи энергии путем
хаотических
микроскопических
взаимодействий
называется
теплообменом
(теплопередачей), а переданное при этом количество энергии - теплотой (теплом).
Тело, которое служит для передачи энергии некоторой термодинамической системе,
называется тепловым резервуаром или термостатом ( в том случае, если в процессе
теплопередачи его температура не изменяется). Температура термостата должна быть выше
температуры системы, если требуется передать тепло системе, и наоборот, для того, чтобы
отобрать некоторое количество теплоты у системы, температура резервуара должна быть
ниже температуры системы. В этом случае переданной теплоте приписывается знак минус.
Если тело не изолировано, то ему можно сообщить энергию и другим способом; в
частности, из закона сохранения механической энергии следует, что это можно сделать при
совершении механической работы внешними силами, действующими на выбранное тело. При
этом имеется ввиду, что механическая работа сил распределяется по всем частям рабочего
тела, т.е. она превращается во внутреннюю энергию тела. Возможность такого способа
передачи энергии была подробно исследована Джоулем.
В общем случае внутреннюю энергию можно изменять обоими способами:
( 13-2 )
U = A + Q .
Если вместо работы внешних сил рассматривать работу самой термодинамической системы
Асист = - А внеш , то выражение ( 13-2 ) можно переписать иначе:
Q = U + Aсист .
( 13-3 )
Для бесконечно малых изменений величин, входящих в ( 13-3 ) нужно помнить, что
бесконечно малая работа теперь обозначается как dА, поэтому
dQ = dU + dA,
( 13- 4 )
где dU означает полный дифференциал. Действительно, согласно (11-10) внутренняя энергия определяется как сумма двух членов:
N
U=
E
j 1
j
кин
Wпот ,
Первое слагаемое этой суммы зависит только от температуры, а второе - только от
расстояния между взаимодействующими частицами системы. Поэтому, если считать
внутреннюю энергию как функцию двух переменных, то ее бесконечно малое приращение
можно представить в виде полного дифференциала:
dU(r,T) =
U
U
dT +
dr ,
T
r
поскольку производные от U по Т или r совпадают с определениями частных производных.
Очевидно, что бесконечно малое приращение теплоты не является полным дифференциалом,
т.к. оно состоит из суммы двух слагаемых, одно из которых ( dA) не является полным
дифференциалом.
Выражение (13-4) представляет собой математическую запись первого закона
термодинамики, которое гласит, что теплота, полученная телом, трансформируется в
изменение внутренней энергии и совершении работы системой против внешних сил.
Однако существуют и другие формулировки этого закона. Одна из них
непосредственно связана с работой тепловых двигателей. Двигатели рассчитаны на
длительную работу, при которой в системе одни и те же процессы повторяются многократно,
т.е. работа двигателя происходит по замкнутому циклу, по завершению которого система
возвращается в первоначальное состояние. Это означает, что в системе внутренняя энергия
остается постоянной (dU=0) и количество полученной теплоты равно нулю ( dQ); но тогда из
(13-4) следует, что dA также равно нулю, и любой процесс, единственным результатом
которого было бы совершение работы без каких-либо изменений в других телах, невозможен.
Механизм, при помощи которого мог бы осуществиться этот процесс, назвали вечным
двигателем (perpetuum mobile) первого рода. За время существования патентных институтов
во всем мире было предложено несколько сот тысяч проектов таких двигателей. В конце XIX
века парижская Академия наук вынесла специальное постановление, согласно которому все
проекты подобных двигателей отвергаются без какого-либо рассмотрения.
§13-3. Работа газа при различных процессах.
Общее выражение для работы ( 13-1 ) в применении к газам может быть несколько изменено. Пусть газ находится в некотором объеме V,
плотно закрытым подвижным поршнем, пло-щадь которого S
S
(см. рис.53). Давление газа в этом начальном положении равно
F р. При расширении газа поршень, начальное положение
которого изображено пунктиром, движется вправо и
l
перемещается на расстояние l , совершая при этом работу А =
Рис.К
вычислению F l , где
работы газа.
F = pS - сила давления газа на поршень. Тогда А = pS l = рV, поскольку S l
характеризует изменение объема. Если объем газа изменяется от значения V1 до V2 , то
работа газа равна
l2
V2
l1
V1
A = Fdl = p(V)dV .
( 13-5 )
Это выражение удобно использовать для вычисления работы газа. Например, при
изохорическом ( V = const, dV = 0) процессе газ не совершает работы. При изобарическом
процессе (p = const) давление постоянно, и его можно вынести за знак интеграла. Тогда
V2
А = р dV = р( V2 - V1).
V1
( 13-6 )
При изотермическом процессе величину давления в функции от объема можно найти из
m
mRT
. В этом случае
RT : p =
V
mRT V dV mRT
mRT V2
ln
V
ln
V
ln .
А=
2
1
V V
V1
уравнения состояния pV =
2
( 13-7 )
1
§13-4. Теплоемкости идеального газа.
Формулы ( 13-6 ) и ( 13-7 ) показывают: в разных процессах одно и то же количество
газа способно совершить разную работу. Из первого закона термодинамики следует, что эту
работу газ может совершить при нагревании, т.е. при сообщении газу некоторого количества
теплоты. Способность любого тела изменять
свою температуру при сообщении ему теплоты характеризуется теплоемкостью тела.
Теплоемкость измеряется количеством теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы его
температура изменилась на один градус. Если же телу сообщается
малое количество теплоты Q, и температура тела изменяется на Т, то его теплоемкость С
определяется соотношением
Q
.
T0
T
С = lim
( 13-8 )
Обычно используют либо удельную теплоемкость, либо молярную. В первом случае
измеряется количество теплоты в расчете на один грамм (или килограмм) вещества, во
втором количество вещества определяется его атомным весом, т.е. теплоемкость
рассчитывается на один моль (один киломоль). В термодинамике предпочитают использовать
молярную теплоемкость, которая обозначается большой буквой С. Молярная теплоемкость
идеального газа определяется из первого закона термодинамики:
Q
U A
= lim(
).
T0
T T0 T T
С = lim
( 13-9 )
При этом различают две теплоемкости: теплоемкость при постоянном объеме С V и
теплоемкость при постоянном давлении Ср . При постоянном объеме газ не совершает
никакой работы, поэтому полученная теплота целиком превращается в изменение внутренней
энергии, т.е
CV
dU
.
dT
Поскольку молекулы идеального газа взаимодействуют лишь путем упругих столкновений,
его внутренняя энергия целиком состоит лишь из кинетической энергии молекул. Если
каждая молекула газа имеет i степеней свободы, то ее кинетическая энергия Еk =
Тогда энергия моля газа ЕМ =
iN A
i
T RT = U.
2
2
Поэтому теплоемкость моля идеального газа при постоянном объеме равна
CV
dU i
= R.
dT 2
( 13-10 )
Если же газ нагревается при постоянном давлении, то теплоемкость Ср равна
i
kT .
2
Cp
dU dA dU dA
dA
pdV
= CV +
= CV +
.
dT
dT dT
dT
dT
pdV
вычисляется из уравнения состояния идеального газа pV RT .
dT
RdT
Учитывая, что давление остается постоянным, находим, что dV
и
p
pdV RdT . Заменяя из этого соотношения pdV в выражении для теплоемкости
Ср находим:
( 13-11 )
Cp CV R .
Величина
Из сравнения ( 13-10 ) и ( 13-11 ) видно, что теплоемкость Ср С V . Причина этого
неравенства в том, что при постоянном давлении газ кроме изменения своей внутренней
энергии совершает определенную работу за счет поступаемой теплоты, поэтому для того,
чтобы нагреть газ на один градус требуется больше теплоты.
§13-5. Адиабатический процесс.
Как уже упоминалось, термодинамика предпочитает рассматривать равновесные,
точнее квазиравновесные процессы. Существует, однако, множество явлений, которые
принципиально нельзя моделировать равновесными процессами. Так, например, при
распространении звука в воздухе области сжатия и разряжения чередуются с частотой
несколько тысяч герц. В воздухе возникают локальные перепады температур, которые не
успевают ликвидироваться за время существования звука. Термодинамика рассматривает
распространение звука как адиабатический процесс, т.е. как процесс без теплообмена с
окружающей средой.
V2
Величину работы
A =
pdV
при адиабатическом процессе можно вычислить
V1
заменяя pdV из первого закона, который в этом случае принимает такой вид:
СV dT + pdV = 0.
( 13-12 )
Отсюда следует, что pdV = - СV dT, и работа
T2
А = - C V dT C V T1 T2 .
( 13-13 )
T1
Для получения уравнения адиабаты достаточно выразить давление р из уравнения
состояния pV= RT: p =
RT
, и подставить получившееся выражение в ( 13-12 ). Тогда СV dT
V
RT
dV = 0; разделив обе части последнего уравнения на температуру Т, находим
V
dT
dV
CV
R
0.
( 13-14 )
T
V
После интегрирования ( 13-14 ) изменяет свой вид: C V ln T R ln V const . Величину R
+
выразим через значения молярных теплоемкостей: R = Cp-CV. Потенцируя
C V ln T R ln V const , находим
TC V
const или
1
TV = сonst,
V
Cp CV
( 13-15 )
равенство
где
Cp CV
CV
Cp
CV
1 1 . Из уравнения состояния Т=
такой вид:
изотерма адиабата
p
В
В
V
pV
; тогда ( 13-15 ) принимает
R
рV = const.
( 13-16 )
Выражение ( 13-16 ) представляет собой классическое
уравнение адиабаты, а предыдущее равенство является
одним из других вариантов уравнения адиабаты.
Графическое представление адиабаты в сравнении с
изотермой изображено на рис.54. Как видно из рисунка,
адиабата имеет более крутую зависимость. Чтобы убедиться
в этом достаточно сравнить производные изотермы и
адиабаты. Пусть
Рис.Графическое представление адиабаты.
определенному состоянию газа соответствует точка В на диаграмме рис.52. При
изотермическом изменении состояния давление газа рТ = CT/V, где СТ - постоянная. При
адиабатическом процессе рА = СА/V. Т.к. эти два уравнения описывают поведение одной и
той же массы газа, то в точке В рТ = рА, откуда следует, что
CT
CA
V( B ) V( B )
( 13-17 )
Значения производных в этой же точке соответственно равны: рт = - Ст / V-2 и
рА = - СА / V- (+1), и их отношение с учетом ( 13-17 ):
( 1)
B C T V B 1
pT CT V
.
pA
C A V 2 B C A V 1 B
( 13-18 )
Поскольку 1, то рА рТ .
Лекция Второй закон термодинамики.
§ 14-1. Принцип действия тепловых машин.
Под термином «тепловая машина» можно понимать любое устройство, предназначенное
для совершения работы над внешними телами за счет энергии, поступающей в это
устройство в виде теплоты. Для простоты представим ее в виде цилиндра, содержащего газ
(рабочее тело) и снабженного подвижным поршнем.
Машина способна совершать длительную работу без изменения своих свойств. Такую
работу она может совершать циклически, т.е. по круговому процессу, повторяя его много раз.
Получение положительной работы за один цикла.
р
основано на том, величина работы зависит от cспособа
перевода газа из одного состояния в другое - на диаграмме
I
(см.рис.55) это определяется кривой, которая описывает
B
изменение состояния рабочего тела. Пусть начальному
II
D
состоянию газа соответствует точка В. Для того, чтобы газ
совершил работу, он должен увеличить свой объем.
Расширения газа можно достичь нагреванием. Нагревание
V происходит при тепловом контакте с нагревателем, т.е.
тепловым резервуаром, температура которого выше
температуры рабочего теРис.55. Диаграмма
состояния.
Процесс нагревания изображается на диаграмме кривой I. Величина работы, которую
совершает газ при нагревании, определяется выражением
V2
А1=
p V dV .
1
На диаграмме это определяется площадью, ограниченную кривой I
и
V1
ординатами точек В и D (горизонтальная штриховка). По первому закону термодинамики
количество теплоты, полученное газом, расходуется на совершение работы и изменение
внутренней энергии газа:
Q1 U D U B A1 .
( 14-1 )
Для возвращения газа в первоначальное состояние его надо сжать до прежнего объема. При
этом над ним совершить некоторую работу А2 , величина которой также зависит от того каким
образом газ переводится в первоначальное состояние.
Очевидно, что машина способна совершать полезную работу при замкнутом цикле, если А1
А2 . Для того, чтобы выполнялось это неравенство, кривая II, определяющая величину работы
А2 ( вертикальная штриховка ), должна проходить ниже кривой I, т.е. сжатие газа должно
проходить при более низких давлениях, чем расширение. Т.к. более низкие давления
соответствуют более низким температурам, то газ нужно охладить. Поэтому газ приводят в
тепловой контакт с холодильником - тепловым резервуаром, температура которого ниже
температуры газа. Если холодильник отбирает у газа теплоту Q2 , то по аналогии с процессом I
можно записать:
- Q2 U D U D A 2 ,
( 14-2 )
где отрицательный знак работы означает, что в этом случае работа совершается внешними
силами.
Сложив выражения ( 14-1) и ( 14-2 ), получим:
Q1 Q 2 A 1 A 2 A,
( 14-3 )
т.е. полезная работа, произведенная машиной, равна разности теплоты: Q1, полученной от
нагревателя, и Q2 , отданной холодильнику.
Отношение полезной работы к теплоте Q1, полученной машиной от нагревателя,
называется коэффициентом полезного действия (КПД) машины:
Q
A Q1 Q 2
1 2 .
Q1
Q1
Q1
( 14-4)
Цикл рис.55 можно осуществить ( если процессы I и II - обратимы ) и в обратном
направлении: газ расширяется по кривой II и сжимается при более высоких давлениях по
кривой I. В этом случае расширяясь, газ будет отнимать тепло у теплового резервуара.
Наоборот, при сжатии по кривой I газ будет отдавать тепло тепловому резервуару с большей
температурой, который будет нагреваться. Чтобы осуществить такой цикл, надо затратить
определенную работу. Машина, работающая по такому циклу, называется холодильной
машиной.
§ 14-2 Второй закон термодинамики.
Повышение КПД тепловой машины является важнейшей практической задачей.
Соотношение ( 14-4) показывает, наиболее эффективным способом достижения этой задачи
должно быть понижение количества теплоты, отдаваемой холодильнику. Если бы удалось
добиться того, чтобы вся полученная от нагревателя теплота превращалась в работу, то КПД
такой машины равнялся бы единице. Такая машина могла бы работать за счет тепла мирового
океана, т.е. она была бы источником «даровой» энергии и служила бы достаточно долго.
Однако многочисленные попытки приблизиться к решению этой проблемы оказались
безуспешными. Более того, английским ученым В. Томсоном ( позднее лорд Кельвин ) было
сформулировано положение о невозможности построения такого двигателя, который был
назван вечным двигателем второго рода. Это положение теперь называется вторым законом
термодинамики. Полная формулировка этого закона в редакции Томсона гласит: невозможен
круговой процесс, единственным результатом которого было бы производство работы за счет
охлаждения теплового резервуара.
Немецкий ученый Р. Клаузиус предложил другую формулировку этого закона:
невозможен самопроизвольный переход тепла от холодного тела к горячему. Термин
«самопроизвольный» означает, что такая передача теплоты должна происходить без какихлибо изменений в окружающих телах. Хотя такая формулировка кажется естественной,
однако ее эквивалентность формулировке Томсона далеко не очевидна. Доказательство
эквивалентности этих формулировок проводится от противного. Предположим, что
положение Томсона неверно: существует машина, которая работает только за счет
охлаждения одного тела - нагревателя. Пусть работа, производимая этой машиной, передается
другому телу, температура которого выше, чем температура нагревателя. Предположим, что
это тело состоит из нескольких частей, трущихся друг о друга, и вся работа, получаемая
телом, превращается в работу против сил трения, т.е. превращается в тепло. Возможность
полного превращения работы против сил трения в теплоту доказана Джоулем. В результате
произойдет нагревание выбранного тела, тогда как в машине после совершения цикла никаких
изменений не происходит, и она возвращается в первоначальное состояние. Таким образом,
единственным результатом работы машины будет передача тепла от менее нагретого тела
более горячему, что противоречит формулировке Клазиуса.
по окончании Если же наоборот, не справедлива формулировка Клаузиуса,
нагреватель
цикла отнята то с помощью тепловой машины можно осуществить цикл,
теплота Q1-Q2
схема которого показана на рис.56. Она отбирает у
Q2
Q1
нагревателя теплоту Q1, передает холодильнику теплоту Q2 ,
машина А
получена
совершает работу А = Q1- Q2 и возвращается в прежнее
работа А состояние. Если теперь теплота Q2 самопроизвольно
Q2
передастся от холодильника нагревателю, то получится
противоречие формулировке Томсона: машина собез изменения
холодильник
Рис. Цикл машины.
совершила полезную работу только за счет отбора теплоты у нагревателя, состояние
холодильника при этом не изменилось.
§ 14-3. Теоремы Карно.
Французским инженером С. Карно были исследованы различные циклы, по которым
работают тепловые машины, и сформулированы некоторые общие принципы, касающиеся
теоретически возможных КПД таких машин. Теперь эти принципы известны как теоремы
Карно, которые гласят:
1. КПД всех обратимых тепловых машин, работающих с одним и тем
же нагревателем и одним и тем же холодильником, одинаковы.
2. КПД необратимых тепловых машин, не может быть больше КПД
обратимой машины, работающей с такими же нагревателем и
холодильником, что и необратимая машина.
Для доказательства первого из этих положений рассмотрим две различные обратимые
машины, КПД которых равны 1 и 2 соответственно. Не ограничивая общности рассуждений, можно предположить, что обе машины, работая в прямом цикле,
отбирают от нагревателя одно и то же количество теплоты21 Q1.Т.к. КПД машин разные, то
холодильнику они отдают разные теплоты, величину которых
*
нагреватель
нагреватель
Q1
Q1
А2 обрат.машина
А1
обрат.машина
прямой
цикл
орбат.цикл
Q2
холодильник
холодильник
Q *2
обозначим Q2 и Q 2 соответственно. КПД обеих машин
определяются таким образом:
A1 Q1 Q 2
Q
( 14-5 )
1 2 ;
Q1
Q1
Q1
A
Q Q *2
Q*
2 2 1
1 2 .
( 14-6 )
Q1
Q1
Q1
*
Пусть 1 2 . Тогда А1 А2 и Q2 Q 2 .Объеди-ним обе
1
машины в один агрегат, где машина с большим КПД
работает по прямому циклу, а другая по обратному, причем
нагреватель и холодильник у
Рис.К доказательству
теоремы Карно.
них общие (см. рис 57). При совершении цикла в обратном направлении вторая обратимая
машина отдает нагревателю такое же количество теплоты, которое она забирает у него при
совершении прямого цикла. Кроме того, для работы второй машины по обратному циклу
требуется работа внешних сил, равная по величине той работе, которую производит эта
машина, работая по прямому циклу. При действии машин в агрегате работу внешних сил
выполняет первая машина, затрачивая на это лишь часть своей работы, т.к. А1 А2. После
завершения цикла агрегата состояние нагревателя не изменилось, ибо он отдал первой
машине
теплоту
Q1,
но такое же количество теплоты он получил от второй машины. Холодильник же получил
*
теплоту Q2 от первой машины, но отдал
второй машине Q 2 Q2 , т.е. он
охладился. При этом агрегат произвел полезную работу А = А1 - А2. Таким образом видно,
работа такого агрегата противоречит второму закону термодинамики в формулировке
Томсона, и наше предположение о том, что 1 2 неверно.
Нетрудно догадаться, что неверным является обратное предположение:12.
Для доказательства этого достаточно переномеровать машины (первая машина станет второй,
а вторая - первой), тогда, повторяя только что проведенное рассуждение, получим требуемый
результат. Поэтому остается только одна возможность: 1= 2, и первая теорема Карно
доказана.
Доказательство второй теоремы проводится аналогично. Пусть КПД необратимой
машины 1 2, где 2 - КПД обратимой машины, имеющей общие с необратимой машиной
Если одна из машин отбирает у нагревателя за цикл теплоту q1, а вторая- q2, то всегда можно подобрать такое
количество циклов N1 первой машины и N2 второй машины, чтобы N1q1=N2q2 = Q1 c любой степенью точности.
21
нагреватель и холодильник. Поскольку в рассуждении доказательства первой части первой
теоремы Карно обратимость или необратимость первой машины не играла никакой роли, то
вывод о неправильности предположения о том, что 1 2, где 1= необрат сохраняет свою
силу. Однако опровергнуть обратное предположение (необ обр ), невозможно, т.к.
необратимая машина не может работать по обратному циклу. Поэтому неравенство необ
обр остается справедливым, и вторая теорема Карно доказана.
§ 14-4. Цикл Карно.
Из теорем Карно следует, что теоретическое значение КПД тепловых машин не
зависит от конструкции машины, но могут зависеть лишь от свойств нагревателя и
холодильника. Наиболее простым является случай, когда температуры нагревателя и
холодильника остаются постоянными, и процессы теплообмена между рабочим телом и
тепловым резервуаром должны быть изотермическими.
Цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, впервые был рассмотрен
С. Карно (см рис.58), и в настоящее время носит его имя.
p
Пусть начальной точкой цикла является точка 1. В качестве
Т
1
1
2
рабочего тела выберем один моль идеального газа. Газ в
состоянии 1 приводится в тепловой контакт с тепловым
резервуаром, температура которого Т1, и квазиравновесно
нагревается при этой температуре. При нагревании газ
расширяется до объема V2 ( состояние 2) и совершает работу
4
3
А12 = RT1lnV2/V1. Из состояния 2 газ адиабатически
Т2
переводится в состояние 3. В этом случае отсутствует теV
Рис.58. Цикл Карно.
плообмен с окружающей средой, и газ, расширяясь, совершает работу, величина которой
А23=Сv(T1- T2). В точке 3 газ подвергается изотермическому сжатию при температуре Т 2, и
внешние силы совершают работу А34= RT2 ln V4/V3. Наконец путем адиабатического сжатия
до первоначального объема газ возвращается в прежнее состояние 1. В этом процессе
совершается работа А41= Сv( T2 -T1). Общая работа газа на всем цикле складывается из работ
на каждом из его участков, т.е. Аобщ = А12 + А23 + А34 + А41, или
Аобщ= RT1lnV2/V1+CV(T1+T2)+RT1lnV4/V3+CV(T2 -T1) = RT1lnV2/V1+RT1lnV4/V3.
Отношения объемов V2/V1 и V4/V3 связаны между собой. Чтобы найти эту связь,
вспомним частный вид уравнения адиабаты: TV = const. Тогда для адиабаты 2-3:
( 14-5 )
T1 V2 1 T2 V3 1 .
Аналогично для адиабаты 4-1:
( 14-6 )
T2 V4 1 T1 V1 1 .
Перемножив почленно два последних выражения и сократив обе части получившегося
результата на величину Т1Т2, получим:
( 14-7 )
V4 1 V2 1 V3 1 V1 1 .
Последнее соотношение легко преобразовать к виду:
V3 V2
.
V4 V1
Поэтому lnV2/V1= lnV3/V4 или
lnV4/V3 = - lnV2/V1.
Отсюда КПД цикла Карно равен:
( 14- 8 )
A общ 1
V
V
=
RT1 ln 2 RT2 ln 4 ,
Q
V1
V3
Q
откуда с учетом ( 14- 8 ) следует, что
=
V
V R V
1
RT1 ln 2 RT2 ln 2 = ln 2 T1 T2 .
Q
V1
V1 Q V1
( 14-9 )
Величина полученной рабочим телом теплоты Q при изотермическом нагревании газа при
температуре Т1 определяется на основании первого закона термодинамики. Поскольку при
изотермическом процессе изменения внутренней энергии не происходит, то Q = A12 =
RT1lnV2/V1. Тогда
R ln V2 / V1
T1 T2 ,
RT1 ln V2 / V1
и величина КПД определяется лишь значениями температур нагревателя и холодильника:
T1 T2
T
=1- 2 .
T1
T1
( 14-10 )
Следует отметить, что формула (14-10) получена в предположении о равновесности
(точнее, квазиравновесности) и обратимости процессов, составляющих рассмотренный цикл.
§ 14-5. Двигатель Стирлинга.
Принцип действия этого двигателя предложен в 1816 году шотландским священником
Р. Стирлингом. Диаграмма, описывающая работу этого двигателя, состоит из двух изохор и
двух изотерм. Отличительной чертой двигателя Стирлинга является наличие второго (кроме
основного - рабочего) вытеснительного поршня.Схема двигателя изображена на рис.59. В
отличие от двигателей
горячая область
область
горячая область
экономайзер
а
горячая область
горячая
поршеньвытеснитель
б
в
г
холодильник
рабочий цилиндр маховик
Рис. Схема работы двигателя Стирлинга.
внутреннего сгорания в двигателе Стирлинга рабочее тело (газ) находится в замкнутом и
изолированном объеме. Газ лишь поочередно перемещается
из горячей области с
температурой Т1 в область холодильника с температурой Т2. Важным преимуществом
двигателя Стирлинга является наличие в нем экономайзера (регенератора), в котором часть
тепла после расширения газа и совершения им работы снова возвращается двигателю. Также
как в двигателе внутреннего сгорания в работе двигателя Стирлинга можно выделить четыре
такта (см. рис.59):
а) поршень - вытеснитель находится в крайнем верхнем положении, газ под
действием рабочего поршня, движущимся направо, поступает через холодильник в область
под поршнем - вытеснителем, приобретая температуру Т2 ;
б) рабочий поршень находится в крайнем правом положении, поршень - вытеснитель
движется вниз, перегоняя газ через экономайзер в горячую область; при
этом газ получает тепло от экономайзера;
в) поршень - вытеснитель находится в крайнем нижнем положении, нагретый газ
расширяется и заставляет двигаться рабочий поршень налево, совершая полезную работу
(рабочий ход);
г) рабочий поршень находится в крайнем левом положении, поршень - вытеснитель движется
вверх,
прогоняя
часть
горячего
газа
через
экономайзер,
который
отбирает у газа некоторое количество теплоты.
Двигатель Стирлинга обладает самым высоким КПД (свыше 43%) среди других тепловых
двигателей, кроме того он практически бесшумен, т.к. в нем не происходит никаких взрывов.
К тому же он является экологически чистым двигателем, потому что рабочее тело не
расходуется, теплота же может получаться при оптимальных условиях сжигания топлива или
за счет электроэнергии. К недостаткам этого двигателя относятся сравнительно сложная
конструкция и необходимость использования материалов с высокими эксплуатационными
качествами.
Лекция Энтропия и ее свойства.
§ 15-1. Неравенство Клаузиуса.
Итак, мы получили новое и достаточно общее выражение для КПД обратимой тепловой
машины (14-10). В то же время начальное определение КПД (14-4) остается в силе, и с его
помощью можно оценивать КПД любой ( в частности, необратимой) машины. Сравнивая эти
два выражения, можно записать (на основании второй теоремы Карно):
Q2
T
1 2 ,
Q1
T1
Q 2 T2
.
Q1 T1
1
или
( 15-1 )
В свою очередь, из выражения ( 15-1 ) следует:
Q1 Q 2
0.
T1 T2
( 15-2 )
Величины Q1 и Q 2, входящие в последнее неравенство, характеризуют количества теплоты,
которые получает рабочее тело от нагревателя (Q1) при постоянной температуре Т1 и отдает
холодильнику (Q2) при постоянной температуре Т2. Если свойства нагревателя и
холодильника таковы, что в процессе теплообмена с рабочим телом их температуры
меняются,
то
каждый
из
двух
ранее
рассматриваемых
квазиравновесных процессов может быть разбит на ряд элементарных процессов, настолько
малых, чтобы передачу в ходе каждого из них элементарного количества теплоты dQi можно
было бы считать происходящим при постоянной температуре Тi . В этом случае в неравенство
(15-2) войдет сумма всех элементарных процессов:
по
dQ i 0
dQ i
Ti
по
dQ 0
dQ k
0
Tk
(15-2а)
Однако в общем случае, когда рабочее тело может обмениваться с различными нагревателями
и холодильниками (т.е. с любыми другими телами), это неравенство
удобно формализовать, приписав всем dQi алгебраический смысл: элементарная теплота
положительна, если она сообщается рабочему телу, и отрицательна, если эту теплоту
отбирают от тела. Например, в неравенстве (15-2) величине Q2 следует приписать
отрицательный знак, тогда оно приобретает такой вид:
или
Q1 Q 2
0,
T1 T2
Q1 Q 2
0.
T1 T2
( 15-3 )
Аналогично, неравенство (15-2а) становится таким:
dQ i
0.
i 1 Ti
N
( 15-3а)
Выражения (15-3) и (15-3а) известны как неравенства Клаузиуса. Следует отметить, что эти
выражения становятся равенствами, если рассматриваемый цикл является обратимым, но они
становятся строгими неравенствами, если хотя бы один из процессов, входящих в состав
цикла, необратим.
§ 15-2.Приведенная теплота как функция состояния.
Первый закон термодинамики гласит, что количество теплоты, полученное любой
термодинамической системой, идет на приращение ее внутренней энергии и совершение
работы против внешних сил. Математическое выражение этого закона (см. выражение (13-4))
использует понятия полного дифференциала и функции состояния. Поскольку величина
работы зависит от способа перевода системы из одного состояния в другое, то бесконечно
малое приращение работы не является дифференциалом. Поэтому и приращение теплоты тоже
не является дифференциалом некоторой первообразной. Однако при выводе уравнения
адиабаты можно было заметить, что после деления правой части (13-4) на абсолютную
температуру, она представлялась как сумма двух дифференциалов (выражение (13-14)).
Отсюда следует, что если обе части (13-4) разделить на абсолютную температуру, то величина
dQ
также становится дифференциалом некоторой функции. Эта функция получила название
T
dQ
приведенной теплоты или энтропии S, т.е. dS =
. Для моля идеального газа
T
dS = CV d(lnT) + Rd(lnV), и
S = S0 + CVlnT + RlnV,
( 15-4 )
где S0 - постоянная интегрирования.
Хотя понятие энтропии остается пока неясно, тем не менее уже можно указать на
некоторые свойства энтропии. Величина энтропия S определяется выражением (15-4) лишь
для одного моля идеального газа. Очевидно, что для произвольной массы газа выражение для
S должно содержать множитель m /, где m - масса газа, а - его молярный вес. Чтобы
убедиться в этом, достаточно написать первый закон термодинамики в таком виде:
m
m
dQ dU dA .
( 15-5 )
Другими словами, можно сказать, что энтропия обладает свойством аддитивности:
энтропия двух молей газа в два раза больше энтропии одного моля. Поэтому, так же как и для
потенциальной энергии, «нулевой» уровень энтропии моР необратимый
2
жет выбираться произвольным образом; абсолютная же
процесс
величина энтропии несущественна, важно знать лишь
при Т1
величину ее изменения.
при Т2
Рассмотрим произвольный цикл, состоящий из двух
1
обратимый
процессов (см. рис.60), один из которых необратим. Для
процесс
такого цикла неравенство Клаузиуса имеет вид
V
Рис.Необратимый цикл.
Q1; 2 Q 2;1
0.
T1
T2
( 15-6 )
Но процесс 2-1 является обратимым процессом, значит для него приведенное количество
теплоты равно изменению энтропии S, поэтому неравенство (15-6) можно переписать подругому :
Q 1; 2
S1 S 2 0,
T1
Q1; 2
S2 - S1
.
T1
или
( 15-7 )
Если процесс 1-2 происходит изолированно, то Q1;2 = 0, и
S2 - S1 = S 0 .
( 15-8 )
Отсюда следует важный вывод о том, что в изолированной системе энтропия может только
возрастать (или оставаться постоянной, если процесс 1-2 обратим).
В качестве примера рассмотрим процесс смешивания двух одинаковых объемов газа,
находящихся при одинаковых давлениях и одной и той же температуре.
Пусть имеются два одинаковых объема , соединенных
p ;T;V; m
р ;Т;V; m
закрывающимся краном (см.рис.61). В каждом из них
находится масса газа m при давлении р и температуре Т.
Когда открывается кран, начинается взаимодиффузия обеих
частей газа. Обозначим изменение энтропии первой массы
Рис.Схема смешивания
двух объемов газа.
газа через 1, тогда:
1
=
mR 2V m
ln
R ln 2 ,
V
(15-9 )
т.к. температура не изменяется; аналогично, для другой массы m
2
= R
m
ln 2 ,
где - молярная масса газа. Общее изменение энтропии
0
= 2m
R
ln 2 0.
(15-10 )
0
=
1+
2
равно
(15-11 )
На первый взгляд результат кажется странным, т.к. произошло простое объединение
двух масс газа, и их энтропия должна равняться сумме энтропий каждой из частей. Однако в
действительности произошло изменение состояния газа, хотя его температура, давление,
суммарная масса и суммарный объем остались неизменными. Для выяснения, что же
изменилось в системе, необходимо проследить за «судьбой» каждой молекулы.
Предположим, что мы сумели каждую молекулу в правом объеме пометить красной краской,
а в левом - синей. В действительности, конечно, это невозможно: если за одну секунду
удастся отмечать сто молекул, то за сутки будет помечено всего 107 молекул. За год число
помеченных молекул составит примерно 4 10 9 . Нетрудно подсчитать, что при такой
«скорости» маркирования на одну грамм- молекулу придется затратить 1014 лет, что
значительно превышает предполагаемый возраст нашей Галактики. Чтобы разрешить этот
парадокс, Максвелл предположил существование некого мистического всемогущего
существа, которое он условно назвал демоном. Такой «демон Максвелла» может выполнить
любую задачу, связанную с маркированием молекул, а также с их сортировкой при
необходимости. Пусть этому демону удалось выполнить нашу задачу, и все молекулы в
левом и правом объемах оказались помеченными. Если кран, соединяющий оба сосуда,
остается открытым достаточно долго, то число «синих» и «красных» молекул в каждом из
объемов окажется примерно одинаковым. Произойдет перемешивание молекул, которые в
первоначальном состоянии были рассортированы по объемам, - в одном только «красные», в
другом - только «синие». Если сначала в системе наблюдался некий порядок, то после
открывания крана он исчез. Поэтому возрастание энтропии связано со степенью порядка,
точнее, наоборот, со степенью беспорядка в системе.
Однако при «неокрашенных» молекулах никакого изменения порядка не должно
наблюдаться, т.к. молекулы неразличимы, и замена одних молекул другими не изменяет
состояния системы. В этом случае суммарная энтропия находится простым сложением
энтропий каждого из объемов, т.е. выполняется правило аддитивности энтропии.
В статистике, которая оперирует случайными величинами, любое хаотическое, т.е.
случайно происходящее событие характеризуется вероятностью. Можно показать (см.
мелкий шрифт в конце лекции), что энтропия пропорциональна вероятности пребывания
системы в определенном состоянии. Наиболее вероятным состоянием системы, состоящей из
большого числа частиц, будет состояние, когда все частицы равномерно распределены по
всему объему системы, т.е. они распределены совершенно хаотически. Поэтому возрастание
энтропии означает, что любая система стремится в состояние с наибольшей вероятностью.
Другими словами, наиболее вероятным состоянием системы является состояние полного
хаоса.
Если применить этот термодинамический вывод к нашей Вселенной, то можно придти
к заключению, что не смотря на ее огромные размеры, в ней тоже поздно или рано, но
обязательно произойдет выравнивание концентрации материи; температура всех частей
Вселенной также выровняется и наступит естественная «тепловая смерть» Вселенной.
В действительности такой вывод является несостоятельным по ряду причин. Так,
например, до сих пор никто не доказал, что Вселенную можно рассматривать как замкнутую
систему ( вывод о возрастании энтропии получен в предположении о замкнутости
рассматриваемой системы ). Кроме того, из рассмотрения других функций состояния
системы с большим количеством частиц следует, что возможны локальные отклонения в
распределении плотности (у нас нет возможности провести такой вывод) материи, которые
получили название флуктуаций. Флуктуации могут существовать достаточно долго, причем
их среднее число не меняется с течением времени.
§ 15-3. Энтропия и вероятность.
Для установления связи между энтропией и вероятностью состояния газа необходимо
определить последнее понятие, тем более, что в термодинамике обычно пользуются
понятием термодинамической вероятности, которое отличается от математического понятия
условной вероятности. Разобьем объем, который занимает газ, на отдельные ячейки,
линейный размер которой равен диаметру молекулы газа d (предполагается, что
рассматривается реальный газ при нормальных условиях). Т.к. объем ячейки d3 , то в
объеме
V
содержится
N
молекул,
где
3
N V/d . Как правило, в реальных условиях только ничтожная часть этого количества ячеек
занята молекулами газа, остальные остаются незаполненными. Например, по закону
Авогадро, одна грамм-молекула газа при нормальных условиях занимает объем 22,4 л 20
дм3 . Размер каждой молекулы оценивается примерно равным d = 10 - 9 дм, поэтому число
ячеек в 20 дм3 равно 20 / 10 -27 21028, тогда реальное число молекул составляет 6 1023, т.е.
занятой является лишь одна стотысячная всех ячеек. Ясно, что молекулы могут
распределяться по ячейкам различными способами. Число таких способов и определяет
величину термодинамической вероятности. Пусть, например, одна грамм-молекула газа
занимает некоторый объем V1. Тогда число ячеек объема равно N1 = V/d3, и в них требуется
разместить NA (число Авогадро) молекул. Подсчитаем число способов, которыми можно это
сделать. Очевидно, одну молекулу можно разместить N1 способами, вторую ( N1-1)
способами и т.д. Общее число способов определится перемножением чисел способов
размещения каждой из молекул, т.е.
= N1 (N1-1)(N1-2)....(N1 - NА +1).
(15-12)
Это выражение можно записать иначе, если правую часть (15-12) умножить и
разделить на ( N1-NA) !:
N1 !
.
( N 1 N A )!
(15-13)
Таким образом выражение (15-13) определяет число возможных способов размещения NA молекул в N1 ячейках.
Рассмотрим теперь изменение энтропии моля идеального газа при изотермическом
расширении от объема V1 до объема V2 .Из определения энтропии (15-4) следует, что при
постоянной температуре изменение энтропии моля идеального газа равно:
S R ln
V2
.
V1
(15-14)
Выразим величины V1 и V2 через соответствующие значения Г:
2 N 2 ! N 1 N A !
V2 N 2 d 3 N 2
N1 !
N2 !
,
,
;
1
2
V1 N 1d 3 N 1
N 1 N A !
N 2 N A ! 1 N1 ! N 2 N A !
(15-15)
Для упрощения последнего выражения в ряду (15-15) используем приближенную формулу
Стирлинга - n! nn /en , справедливую для очень больших чисел:
2 N 2 ! N 1 N A ! N 2 N 1 N A
=
N
N
1 N 1 ! N 2 N A ! N 1 N 2 N A
N2
1
N1 N A
2 NA
e N e(N N ) N 2 N1 N A
N (N N ) =
e e
N1 N N 2 N A N
1
2
A
2
1
A
N2
1
N1 N A
2 NA
. (15-16)
Как было показано N1NA и N2 NA , поэтому в разности N1 - NA ( и N2 -NA) можно
пренебречь вычитаемым, т.е. N1 - NA N1 и N2 -NA N2 . Тогда выражение (15-16)
упрощается:
2
1
Логарифмируя ( 15-17) , получаем:
N
2
N1
NA
V
= 2
V1
NA
V
1
ln 2 ln 2 ,
N A 1
V1
откуда изменение энтропии S = S2 - S1 равно:
S 2 S1
R 2
ln .
N A 1
.
( 15-17)
(15-18)
(15-19)
Из выражения (15-19) можно сделать вывод, что величина энтропии S определяется как:
S k ln ,
(15-20)
где k = R/NA - постоянная Больцмана, т.е. энтропия пропорциональна величине
термодинамической вероятности. Если молекулы размещаются в строгом порядке и только
одним определенным способом, то эта вероятность равна 1, если возможны два способа - то 2
и т.д. Видно, что вероятность увеличивается, по мере увеличения числа способов размещения
молекул по ячейкам, т.е. по мере снижения ограничений на способы размещения молекул.
Ясно, что наибольшая вероятность соответствует наибольшому числу способов размещения
молекул. Это достигается при хаотическом размещении молекул, когда они распределяются
примерно равномерно по всему объему, и не существует никаких ограничений в способах
размещения. Таким образом возрастание энтропии отражает направление протекания
процессов в системе ( в сторону большей вероятности).В несколько иной - запретительной форме на это же указывает второй закон термодинамики(в формулировке Клаузиуса).
Поэтому можно утверждать, что неравенство S0 является математической записью
второго закона термодинамики.
Лекция 16.
Поверхность жидкости.
§ 16-1. Поверхностное натяжение в жидкостях.
Жидкое состояние вещества обязано своим существованием взаимодействию молекул
между собой. Между молекулами действуют как силы притяжения, так и силы отталкивания.
Природа этих сил электрическая, но они по разному зависят от расстояния: силы
отталкивания оказываются более дальнодействующими. Как известно, жидкость имеет
определенные границы, поэтому молекулы, находящиеся в пограничном слое, испытывают
несколько другие воздействия по сравнению с молекулами, находящимися в «глубине»
жидкости. «Глубинные» молекулы взаимодействуют со всеми окружающими их молекулами
так, что равнодействующая всех сил для каждой «глубинной» молекулы оказывается равной
нулю, тогда как на молекулы пограничного слоя действуют силы только с одной стороны
мысленной сферы, описанной вокруг рассматриваемой молекулы. Появляется
равнодействующая всех сил притяжения, направленная внутрь от границы. Наличие же сил
отталкивания, которые тоже не компенсируются, приводит к тому, что расстояния между
молекулами в пограничном слое несколько увеличиваются по сравнению с молекулами,
находящимися внутри жидкости; в свою очередь, это приводит к тому, что энергия
взаимодействия между молекулами также увеличивается. Таким образом, молекулы
поверхностного слоя обладают добавочной потенциальной энергией Wпов ,величина которой
зависит от площади поверхности, ограничивающей жидкость. Жидкость стремится к тому,
чтобы по возможности уменьшить свою потенциальную энергию ( это свойство присуще
всем системам, обладающими потенциальной энергией), поэтому жидкость стремится
приобрести форму шара, при условии, что на нее не действуют никакие внешние силы
(например, сила тяжести), т.к. из всех геометрических тел определенного объема (массы) шар
обладает наименьшей площадью ограничивающей его поверхностью. Хотя на молекулы
пограничного слоя действуют силы, стремящиеся втянуть их вглубь жидкости, наблюдения
за поверхностью жидкости показывают, что молекулы этого слоя могут достаточно долго
оставаться на месте ( вспомните пятна бензина и масла на поверхности луж). Это означает,
что существуют еще какие-то силы, которые уравновешивают силы «втягивания». Эти силы
назвали
силами поверхностного натяжения потому, что они возникают в результате взаимодействия
между собой молекул поверхностного слоя ( см. рис.62 ). При малей
Fпов
шем смещении какой-нибудь молекулы из поверхностного
Fнат
Fнат
граница слоя вглубь жидкости возникает сила Fпов,
раздела
направленная вверх, которая компенсирует Fвтяг. В пределе
Fвтяг
бесконечно малых смещений силы взаимодействия
жидкость
направлены по касательной к поверхности. Величина силы
поверхностного натяжения зависит от природы жидкости и
l
от протяженности поверхности, т.е. от ее длины l
Рис.Возникновение
силповерхностного натяжения. (cм.риc.62).
Fпов = l ,
( 16-1 )
где - коэффициент поверхностного натяжения, характеризующий свойства жидкости. Из выражения ( 16-1 ) следует, что представляет силу, действующую на
единицу длины. Силы поверхностного натяжения
стремятся сократить поверхность
жидкости. Это приводит к тому, что при искривлении поверхности жидкости в ней возникает
добавочное давление р , величина которого легко вычисляется.
Для этого мысленно разрежем сферическую каплю
жидкости по диаметру ( рис.63). Силы поверхностного
натяжения действуют по касательной так ( см. рис.), что на
верхнюю полусферу действует результирующая сила,
направленная вниз, а на нижнюю - направленная вверх.
Величина этих сил одинакова и равна:
2R
( 16-2 )
Fдоб 2R ,
где R - радиус капли, а 2R - длина окружности,
Рис.Добавочное давле- ние под
перпендикулярно которой действуют силы поверхизогнутой
поверхностью.
ностного натяжения ( на единицу длины). Каждая из этих двух сил действует на площадь
S R 2 , поэтому величина добавочного давления р равна:
p
Fдоб 2R 2
.
S
R 2
R
( 16-3 )..
Это добавочное давление проявляется в так называемых капиллярных явлениях, когда
уровень жидкости в очень узких трубках (капиллярах) поднимается (или опускается)
относительно уровня жидкости в широкой части сосуда (см.рис.64).
Как видно из рис., поведение жидкости в капилляре определяется
2R
формой мениска: при вогнутом мениске добавочное давление
направлено вверх, и жидкость поднимается, а при выпуклом
мениске добавочное давление направлено вниз, и жидкость
h
опускается. Направление выпуклости мениска зависит от
Рис.Капиллярные
явления.
Fтж
Fжж
Fрез
сравнительной силы взаимодействия между молекулами жидкости и
жидкости и твердого тела, ограничивающего жидкость. Если
взаимодействие жидкость - жидкость меньше, чем взаимодействие
жидкость - твердое тело, то равнодействующая двух сил (см.
рис.65) Fрез направлена в сторону твердого тела. Молекулы
жидкости, находящиеся вблизи границы раздела, сильнее
притягиваются к твердому телу. В состоянии равновесия граница
раздела располагает ся так, чтобы быть перпендикулярной
результирующей силе.
Жидкость как бы стремится подняться по поверхности
твердого тела. В этом случае говорят, что наблюдается
явление смачивания. Смачивание может полным и не
полным. Степень смачивания определяется краевым
углом (см. рис.). Этот угол определяется как угол
между касательной к поверхности жидкости и
поверхностью твердого тела. При полном смачивании
крае-
мениск
жидкости
Рис. Явление смачивания.
вой угол стремится к нулю. Если же взаимодействие жидкость-твердое тело меньше, чем
жидкость - жидкость, то результирующая сила направлена вовнутрь жидкости (см. рис.), которая стремится образовать выпуклую
поверхность. Молекулы, находящиеся вблизи границы
жидкость
раздела, как бы стремятся отойти от нее, - наблюдается
явление несмачивания. Краевой угол в этом случае
становится тупым. При полном несмачивании он равен .
При полном смачивании поверхность мениска становится
полусферой (рис.64). Сила добавочного давления
Fдоб
направлена
вверх.
Добавочное
давление
р
Fтж
уравновешивается гидростатическим давлением столба
жидкости р = жgh.
Fжж Fрез
Рис.Форма мениска
при несмачивании.
Из выражения (16-3) следует, что высота подъема жидкости в капилляре равна
h=
2
.
ж gR
( 16-4 )
При промежуточных значениях краевого угла
смачивание будут неполным. В этом случае радиус
мениска R (см рис.67.) связан с радиусом капилляра r:
R
r
.
cos
( 16-5 )
Давление с выпуклой стороны мениска меньше, чем с
вогнутой стороны на величину р, где
p
2 2 cos
,
R
r
( 16-6 )
поэтому высота подъема h жидкости в капилляре
несколько меньше:
h
2 cos
.
ж gr
( 16-7 )
Рис.Подъем жидкости при
неполном смачивании.
При значениях краевого угла более 90о значения косинуса становятся отрицательными, что
приводит к отрицательным значениям высоты подъема.
Лекция. Электростатика
Мы приступаем к изучению электромагнитного взаимодействия. Это одно из четырех
фундаментальных взаимодействий, которыми оперируют физики. Электромагнетизм - слово
привычное студентам младших курсов. С электрическими и магнитными явлениями
приходится сталкиваться в повседневной жизни. Мы не представляем себе нашу жизнь без
электрического тока, радио, телевидения. Многие для зажигания газа пользуются
пьезокерамическими зажигалками, автомобилисты хорошо знают, что без системы зажигания
не будет работать двигатель внутреннего сгорания. Электрические рыбы известны
человечеству с древних времен. Электромагнетизм как наука зародился в глубокой
древности. Янтарь (по-гречески электрон) привлекал к себе внимание с весьма далеких
времен. Он притягивал пылинки, кусочки папируса, нити. Другой полезный и таинственный
камень - магнит тоже известен человечеству уже тысячи лет. Природные магниты - куски
магнитного железняка - магнетита притягивали к себе железные предметы. Это нашло
отражение в древних легендах и притчах. По Платону название магнит дано Эврипидом. Есть
и другие версии происхождения этого названия. По притче Плиния название дано в честь
сказочного пастуха волов Магниса, чья железная палка и гвозди сандалий прилипали к
неведомым камням. Есть сведения, что слово «магнит» происходит от названия провинции
Магнезия (сейчас Манисса). Об этом пишет Тит Лукреций Кар в поэме «О природе вещей». С
тех пор человечество многое узнало об электромагнитных явлениях. И не просто узнало, а
поставило очень большое число электромагнитных явлений себе на службу. Выяснилось, что
именно электромагнетизм обеспечивает существование прекрасных кристаллов, с
электромагнетизмом связаны, казалось бы совсем далекие от него, силы трения и упругости.
Да и в организме человека широко проявляются электромагнитные явления. Так, наступив
на острый камешек, босой человек узнает об этом за счет разряда конденсатора, имеющегося
в нервных волокнах и передачи электрического импульса, вызванного этим разрядом, в
головной мозг. О многих электромагнитных проявлениях мы еще поговорим по ходу нашего
курса, а пока приступим к его системному изложению.
Традиционно курс электромагнетизма начинается с изучения неподвижных
электрических зарядов, как говорят, с электростатики. Мы так и поступим. И начнем с
изучения свойств электрических зарядов, т.к. именно этим словом – заряд и описываются те
свойства тел, которые позволяют им участвовать в электромагнитном взаимодействии.
1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ВАКУУМЕ
1.1. Свойства электрических зарядов
Перечислим известные свойства электрических зарядов. В дальнейшем на многих из
этих свойств мы остановимся подробнее.
1. Фундаментальным свойством электрического заряда является его существование в
двух видах, которые с давних времен назвали положительными и отрицательными зарядами.
Названия эти, разумеется, условные. Современная физика рассматривает существование двух
видов зарядов, как свойство симметрии. Это противоположные проявления одного и того же
качества, как понятия «правый» и «левый». Наша Вселенная представляет собой хорошо
уравновешенную смесь положительных и отрицательных зарядов, что не удивительно из-за
взаимодействия зарядов.
2. Продолжим разговор о взаимодействии зарядов. Если два небольших заряда А и В
отталкиваются и заряд А притягивает третий заряд С, то заряд В тоже притянет заряд С.
Иными словами, всегда одноименные заряды отталкиваются друг от друга, а разноименные
притягиваются. Количественный закон, устанавливающий меру взаимодействия между
заряженными телами малых размеров - так называемыми точечными зарядами, был
установлен в 1785 г. Кулоном в ходе тщательных экспериментов. Кулон использовал
крутильные весы, похожие на те, которые Кавендиш использовал для определения
гравитационной постоянной. В результате опытов Кулон установил, что сила взаимодействия
двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и
обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Направлена эта сила по прямой
соединяющей заряженные тела.
Fk
q1q2
r2
(1-1)
В системе СИ коэффициент пропорциональности k, входящий в закон Кулона,
записывают в виде k
1
4 0
.
Величина
0 имеет название электрическая постоянная,
иногда её называют диэлектрическая проницаемость вакуума, но это последнее название на
самом деле не имеет физического смысла и мы им пользоваться не будем. 0 = 8,8510-12 Ф/м.
Здесь буквой Ф обозначена физическая величина Фарад, являющаяся единицей ёмкости в
системе СИ, о чём у нас впереди еще будет идти речь.
3. Разговор о третьем свойстве электрического заряда мы предварим таким
мысленным экспериментом. Возьмём два одинаковых металлических шарика. Одному из них
сообщим заряд q, а другой оставим незаряженным. Приведем шарики в соприкосновение.
Заряд распределится поровну между этими шариками. На каждом будет заряд q/2. Уберем
заряд со второго шарика и вновь приведем их в соприкосновение. Теперь на каждом шарике
будет заряд q/4. Будем продолжать операцию деления заряда. На каждом шарике остаются
заряды q/8, q/16, q/32, q/64 и т.д. Вопрос заключается в том, сможем ли мы продолжать эту
операцию как угодно долго, деля заряд на сколь угодно малые части, или есть предел такому
делению заряда? Оказалось, что такой предел есть. Физики установили это
экспериментально, о чем мы будем еще говорить в дальнейшем. Самым маленьким
электрическим зарядом является заряд по модулю равный заряду электрона е=1,610-19 Кл.
Этот заряд принято называть элементарным электрическим зарядом. Когда на одном из
наших шариков останется такой заряд, после прикосновения к нему второго незаряженного
шарика заряд е уже не разделится на части, а останется на первом шарике или перейдет на
второй, но целиком. Почему самый маленький заряд равен 1,610-19 Кл современная физика
не знает. Можно лишь отметить, что все элементарные частицы, если они заряженные, имеют
именно такой заряд положительный или отрицательный.
Последнее время физики ввели в обиход новые элементарные частицы - кварки.
Кваркам приписывают дробные электрические заряды +2/3 е и -1/3 е. Однако с введением
кварков представление о дискретности электрического заряда не снимается, а переносится на
другой уровень.
Следует сказать, что в обычных случаях с дискретностью заряда сталкиваться почти
не приходится, т.к. величины зарядов, с которыми приходится иметь дело, в тысячи, а
зачастую и миллионы раз превосходят величину элементарного заряда.
4. Четвертое свойство электрического заряда – закон его сохранения. Полный заряд
изолированной системы представляет собой величину, которая никогда не изменяется. Под
изолированной понимают систему, через границу которой не переносится вещество. Это
свойство заряда кажется естественным, но дело в том, что оно выполняется как на макро -,
так и на микро уровне. Под действием электромагнитного излучения могут возникать
электрические заряды, но возникают они всегда парами – положительный и отрицательный,
причем заряды их по модулю всегда в точности равны. Сейчас самое время обсудить вопрос
о том, как наэлектризовать тело, т.е. создать на нем электрический заряд. Самый простой
способ сделать это – перенести на тело уже имеющийся где-то заряд. Но если не хочется его
тратить, как поступить? Есть два способа разделения электрических зарядов.
Дело в том, что в любом теле имеются положительные и отрицательные заряды,
причем в равных количествах, да еще и равномерно распределенные по этим телам. Именно
такие тела называют нейтральными. Если тело является диэлектриком, т.е. очень плохо
проводит электрический ток, то наэлектризовать его проще всего в процессе трения.
Например, стеклянную палочку можно потереть о кожу. В процессе этого трения отдельные
участки стекла и кожи располагаются настолько близко, что электроны получают
способность покинуть стекло (на стекле они слабо закреплены) и перейти на кожу. Кожа
заряжается отрицательно, а стекло, на котором теперь не хватает отрицательных зарядов,
заряжается положительно. Разумеется, в процессе электризации трением не рождаются новые
заряды. Они только переходят с одного тела на другое.
Вторым способом электризации является электризация через влияние,
электростатическая индукция, как ее часто называют. Через влияние легче всего
наэлектризовать проводник. Посмотрим, как это происходит. Поднесем к нейтральному
проводнику положительно заряженное тело, не прикасаясь к нему. Электроны, которые
имеются в нашем теле и могут по нему свободно перемещаться, притягиваются к
положительному заряду и собираются в той части тела, которая обращена к положительному
заряду. Эта часть нашего тела заряжается отрицательно, а удаленная от положительного
заряда часть тела, из которой эти электроны ушли, заряжается положительно. Стоит убрать
положительный заряд, электроны вернутся на свои места, и наше тело вновь станет
нейтральным. Небольшое усложнение эксперимента позволяет сохранить заряды,
полученные в процессе электризации через влияние. Для этого электризуемое тело следует
предварительно разрезать на части. А и В. Сложив обе части вместе, следует произвести
электризацию через влияние, а затем, не убирая положительный заряд, надо раздвинуть части
А и В нашего тела.
Теперь с положительным зарядом можно делать всё, что угодно. Он сохранён и не изменился, а тела А и В заряжены соответственно отрицательно и положительно, т.к. между
частями А и В отсутствует тот мостик, по которому электроны могли бы вернуться на свои
места.
Как легко видеть, и в случае электростатической индукции выполняется закон
сохранения электрического заряда. В процессе электризации через влияние заряды только
перемещаются между телами или их частями.
+q
+q
А
В
Рис.1
Явление электростатической индукции используется в
электростатических машинах, предназначенных для непрерывного получения зарядов.
Перед тем как продолжить разговор о свойствах электрических зарядов остановимся
на одном чисто техническом, но необходимом при изучении электростатики, вопросе.
Рис. 2
Как измерять электрический заряд? Проще всего это делать с помощью электроскопа.
Электроскоп представляет собой (рис.2) неподвижный металлический стержень,
заканчивающийся в верхней части металлическим шариком.
К этому стержню шарнирно прикреплён второй стержень, который может легко
поворачиваться относительно первого. При сообщении заряда шарику оба стержня
заряжаются одноименно. Стремясь оттолкнуться от неподвижного стержня, подвижный
поворачивается на угол и чем больше заряд сообщили электроскопу, тем больше этот угол
. Разумеется, электроскоп одинаково реагирует на положительные и отрицательные заряды.
Поэтому с его помощью можно обнаруживать электрический заряд, оценивать его величину,
но нельзя без дополнительных экспериментов выяснить знак заряда.
5. Вернемся к свойствам электрических зарядов. Оказывается, что величина
электрического заряда не зависит от системы отсчета, в которой он измеряется. Как говорят
физики, заряд является релятивистки инвариантным. Его величина не зависит от того,
движется он или покоится. Все эти свойства электрических зарядов имеют далеко идущие
последствия, о которых в дальнейшем и пойдет речь
1.2. Электрическое поле. Напряженность электрического поля
Мы уже подсчитали силу электростатического взаимодействия между двумя
точечными зарядами с помощью закона Кулона. Но не задавались при этом вопросом о том,
как удаётся взаимодействовать этим зарядам. Они ведь не находятся в непосредственном
контакте. В таких случаях физики говорят, что взаимодействие происходит посредством
поля. В нашем случае это поле принято называть электрическим полем (точнее
электростатическим). О том, что собой представляет это поле, мы еще поговорим. Сейчас
введем его количественную характеристику. Сделаем это следующим образом. Поместим в
точку А точечный заряд q1, а в точку В – точечный заряд q2 (рис.3). Со стороны заряда q1, на
заряд q2
действует сила F12 (на рисунке заряды q1 и q2 –
одноимённые). Уберём заряд q2 и поместим в
точку В другой заряд q3. На него действует со стороны q1 другая сила F13 . При
помещении в точку В заряда q4 сила будет F14. Все эти силы F12, F13, F14 различны, но их
отношение к величине соответствующего заряда оказываются величиной постоянной и не
зависит от величины заряда, находящегося в точке В
F12 F13 F14
q2
q3
q3
A
B
q1
q2(q3,q4...)
Рис.3.
F12
Это отношение зависит лишь от q1 и расстояния от А до В. Таким образом, можно
рассматривать отношение как характеристику того изменения в пространстве, которое
создаётся зарядом q1, т.е. как характеристику электрического поля, создаваемого зарядом q1.
Заряд q1 принято называть зарядом – источником электрического поля, а заряд q2, с помощью
которого мы это поле обнаружили по действующей на этот заряд силе, пробным
электрическим зарядом. Исследованное нами отношение, которым мы договорились
характеризовать
электрическое
поле,
договорились
называть
напряженностью
электрического поля и обозначать Е
E
F12
q2
(1-2)
Напряжённость электрического поля находится как отношение силы, действующий на
точечный пробный заряд, помещённый в данную точку поля, к величине этого пробного
заряда. Напряженность электрического поля – величина векторная. Вектор напряженности
электрического поля направлен по направлению силы, действующей на положительный
пробный заряд
Пользуясь определением напряженности поля (1-2) и законом Кулона (1-1) можно
найти напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q1
E
F12
1 q1
q 2 4 0 r 2
(1-3)
Поле это убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда – источника до тех точек, в которых исследуется поле.
1.3. Принцип суперпозиции электрических полей
Слово суперпозиция означает наложение. Речь идет о том, как находить электрические
поля, если они создаются не одним зарядом, а несколькими. Заключается этот принцип в том,
что напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме
напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов в отдельности в отсутствии
других зарядов
Е=Е1+Е2+Е3+ . . .= E i
(1-4)
i
Этот принцип выражает одно из самых замечательных свойств поля и позволяет в
принципе вычислять напряженность любой системы зарядов, представив ее как совокупность
точечных зарядов. При всей простоте и естественности этого принципа он должен был
пройти экспериментальную проверку, которую он успешно выдержал. Так что принцип
суперпозиции электрических полей представляет собой опытный факт. Следует отметить, что
иногда этот принцип нарушается. Это происходит тогда, когда речь заходит о, так
называемых, нелинейных явлениях, происходящих в очень сильных полях.
1.4. А существует ли электрическое поле?
Понятие электрического поля оказывается весьма удобным при нахождении силы
взаимодействия между зарядами. Эту силу легко найти, если речь идет о взаимоденйствии
между двумя точечными зарядами. Как поступать, если поле создается совокупностью
электрических зарядов? В этом случае удобно задачу о нахождении силы взаимодействия
разбить на два этапа. На первом этапе можно найти напряженность поля, создаваемого
зарядами – источниками поля. На втором этапе можно уже искать силу, действующую со
стороны поля на пробный заряд.
При таком подходе возникает вопрос о том, существует ли на самом деле
электрическое поле? Может его нет, а мы вводим это понятие для удобства расчета силы,
действующей на пробный заряд? Иными словами надо ответить на такой вопрос,
действительно ли один из зарядов создает поле, а это поле действует на заряд с некоторой
силой или заряды взаимодействуют между собой непосредственно без какого-либо поля?
Выбрать между этими двумя подходами, оставаясь в рамках электростатики практически
невозможно. Электростатическое поле существует при наличии зарядов, его создавших и это
не позволяет осуществить выбор. Иная ситуация возникает при рассмотрении переменных
электромагнитных полей. Эти поля могут существовать и действовать на токи и заряды даже
без источников, их создавших, и это делает выбор между двумя подходами совершенно
однозначным. Тем не менее, оставаясь в рамках электростатики можно попробовать
осуществить выбор. Для этого попробуем осуществить некоторый мысленный эксперимент.
Возьмем два одинаковых по абсолютной величине, но противоположных по знаку
заряда. Такую систему принято называть электрическим диполем. Расположим заряды на
некотором расстоянии друг от друга. Эти заряды создают электрическое поле, которое
действует на пробный заряд q1, помещенный вдали от зарядов – источников в точке А (рис.4).
Можно рассуждать иначе. Заряды +q и -q действуют с некоторой силой на заряд q1. Как
выбрать, какой из этих подходов справедлив?
+q
A
–q
q1
Рис. 4.
Начнем сближать заряды +q и -q. В какой-то момент они соприкоснутся и
нейтрализуют друг друга. Теперь следует ответить на вопрос, сила, действующая на q1,
исчезнет в момент нейтрализации зарядов – источников или несколько позже, когда
информация об их нейтрализации достигнет точки А. Если мы стоим на позициях теории
близкодействия, основным представлением которой является конечность скорости
распространения сигнала, то выбор очевиден. После нейтрализации зарядов на заряд q1
некоторое, пусть очень небольшое время, действует сила. И теперь надо дать себе отчет о
том, со стороны какого объекта действует эта сила. Зарядов – источников уже нет, а сила
действует. Значит, она действует со стороны электрического поля.
Эти рассуждения позволяют нам теперь точно опираться на понятие поля, считать, как
принято говорить, что электростатическое поле – это объективная реальность.
1.5. Силовые линии электрического поля
Часто в силу тех или иных обстоятельств оказывается удобным задавать
электрические поля в пространстве не аналитически с пощью формул, а графически, рисуя
карты электрического поля. Такое графическое представление полей удобно проводить,
используя силовые линии электрического поля или, как их иначе называют, линии
напряженности электрического поля.
Назовем силовой линией электрического поля линию, которая начинается на
положительных зарядах и заканчивается на отрицательных. Проходят эти линии так, чтобы
касательная, проведенная к этой линии в каждой ее точке, совпала с вектором напряженности
электрического поля. Силовые линии электрического поля нигде не пересекаются (только на
зарядах), располагаются перпендикулярно к заряженным поверхностям. Их принято
проводить так, чтобы по густоте расположения линий можно было судить о величине
напряженности поля. Рассмотрим несколько примеров проведения силовых линий. На рис.5
нарисованы силовые линии положительного точечного заряда, а на рис.6 – силовые линии
диполя.
Рис. 5.
Рис. 6.
1.6. Поток вектора напряженности электрического поля
Теорема Гаусса
Принцип суперпозиции электрических полей позволяет подсчитать
электрическое поле любой системы зарядов. Но есть еще один способ подсчета
напряженности электрического поля. Им удобно пользоваться всегда, когда заряды,
создающие поле, распределены в пространстве симметрично. Причем вид симметрии может
быть любым. Прежде, чем формулировать некий физический закон, позволяющий это
сделать, введем некоторую вспомогательную физическую величину, которая называется
поток вектора напряженности электрического поля через поверхность. Обозначим этот поток
буквой N. Проще всего ввести поток вектора Е для случая однородного электрического поля.
Пусть некоторая плоская площадка S находится в однородном электрическом поле.
Назовем потоком вектора Е через
площадку (рис.7) величину N ES cos ,
E здесь – угол между нормалью n к нашей
S
n
площадке и вектором Е. Поскольку проекция
E
E
вектора Е на направление нормали может быть записана как
Рис. 7.
E n E cos последнее равенство может быть переписано в виде
N En S
(1-5)
Попробуем обобщить понятие потока вектора Е на любое, в том
числе неоднородное, поле. При помещении площадки S в неоднородное поле можно разбить
всю эту площадку на маленькие площадки S i , такие, чтобы в их пределах можно было бы
считать поле однородным. Поток вектора Е через такую площадку можно записать
N i Eni S i , а поток через всю площадку S находится суммированием N i . Итак,
N N i E ni S i
i
i
В каждом случае разбиение S на S i приходилось бы проводить заново, добиваясь
однородности поля в пределах S i . Поэтому удобней сразу разбить S на бесконечно малые
площадки dS. Поток dN через такую площадку запишется dN E n dS , а поток через S
находится, как
N E n dS
(1-6)
S
Интегрирование в формуле (1-6) ведется по всей интересующей нас поверхности S. Это самое
общее определение потока Е через поверхность S. Им мы и будем пользоваться в
дальнейшем.
Попробуем теперь подсчитать поток вектора Е через сферическую
поверхность радиуса r, в центре которой находится точечный заряд q (рис.8). Воспользуемся
для подсчета N выражением для напряженности поля точечного заряда (1-3) и определением
потока (1-6).
+q
r
Рис. 8.
S
Итак, поток вектора Е через
сферическую
N E n dS . В этом выражении кружок на
поверхность S можно записать
S
интеграле поставлен для обозначения того обстоятельства,
что интегрирование ведется по замкнутой поверхности. Подставим в последнее равенство
выражение для напряженности поля точечного заряда и учтем, что силовые линии поля
точечного заряда перпендикулярны к сферической поверхности, т.е. направлены вдоль
нормали к ней и в силу этого E n равно модулю Е.
1
N
q
2
S 4 0 r
В
dS
подынтегральном выражении все сомножители кроме dS остаются на поверхности сферы
постоянными и их можно вынести за знак интеграла. Интеграл же по сферической
поверхности от ее элемента равен площади этой поверхности. В итоге, можно записать
N
1
q
4 0 r
2
1
dS 4
S
q
0
r
2
4r 2
1
0
q
Оказывается, что этот результат получился не потому, что мы выбрали такую красивую
сферическую поверхность. Какой бы замкнутой поверхностью мы не окружали бы этот заряд,
поток через нее был бы таким же. Если внутрь этой поверхности попали бы и другие заряды,
поток Е был бы пропорционален алгебраической сумме этих зарядов. Все сказанное можно
сформулировать в виде теоремы, которую принято называть теоремой Гаусса.
Поток вектора напряженности электрического поля через
замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме зарядов, окруженных этой
поверхностью.
1
E n dS qi
S
(1-7) Как уже
0 i
говорилось, эта теорема оказывается очень удобной для подсчета напряженностей полей,
созданных зарядами, распределенными в пространстве с той или иной симметрией. Эта
теорема отражает одно из очень важных свойств электрических полей и к ней нам придется в
дальнейшем обращаться неоднократно. В заключение следует сказать, что мы не доказывали
строго эту теорему. Доказательство требует громоздких математических выкладок. Мы
рассмотрели лишь частный пример и на его основе обобщили результат на общую ситуацию.
Однако это ни в коей мере не умаляет важность полученного результата.
Литература.
1.С.Г. Калашников. Электричество.–М.: Наука,1970.
2.И.В. Савельев. Курс общей физики. Т.2.–М.: Наука, 1978.
3.Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Т.3.–М.: Наука,1977.
4.И.В. Савельев. Курс физики. Т.2.–СПб.: Минфрил.,М.: Главная ред. Физ.мат.лит.,1996.
5.И.Е. Иродов. Основные законы электромагнетизма.–М.: Высшая школа, 1983.
6.Э. Парселл. Электричество и магнетизм.–М.: Наука, 1975.
7.Р.Фейнман, Р.Лейтон, М.Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Т.5.
8.Электричество и магнетизм.–М.: Мир, 1966. и переиздания
Лекция 1.
Электростатика.
§ 1 – 1 Электрический заряд.
Электричество как особый вид материи изучалось еще древними греками, но количественная мера его - электрический заряд – была введена лишь после опытов Кулона. Основным свойством заряда является его дискретность. Наименьший заряд, известный в
настоящее время, равен 1,6·10 –19 Кулона (единица измерения – Кулон - будет определена
позднее). Предполагается, что возможны дробные части этого заряда – кварки, но они до
настоящего времени экспериментально не обнаружены. Однако, установлено, что сум-марная
величина электрического заряда в доступной нашим наблюдениями части Вселен-ной
остается постоянной. Это положение носит название закона сохранения заряда.
Существуют два различных типа электрических зарядов, один из которых по предложению Б.Франклина был назван положительным, а другой – отрицательным. Субъективный характер выбора такого названия привел к тому, что заряд электрона – наиболее
известной элементарной частицы – оказался отрицательным. Это, в свою очередь, привело к
некоторой путанице в определении направления электрического тока, но на первой стадии
изучения электричества нас будут интересовать неподвижные заряды, обычно называемые
статическими.
§ 1 – 2 Закон Кулона.
Еще из школьного курса физики известно, что электрические заряды взаимодействуют друг с другом. Величина силы взаимодействия измерена Кулоном, и закон, характеризующий силу взаимодействия двух статических точечных зарядов Q и q, носит его имя.
Если учесть, что сила – это вектор, то этот закон может быть записан в таком виде:
qQ
F k 3 r,
r
где r /r – единичный вектор, направленный вдоль прямой, соединяющей оба заряда,
расстояние между которыми равно r.
Коэффициент k вводится в связи с использованием определенной системы единиц. В
принятой у нас системе СИ этот коэффициент выражается через так называемую диэлектрическую постоянную вакуума ε0 = 8,86 · 10 –12 Ф/М ( k = 1/ 4π ε0). Причиной появления
этого коэффициента является выбор единицы измерения заряда – в системе СИ заряд
измеряется в Кулонах, являющихся производными единицами ( основной единицей служит
Ампер – единица измерения силы тока).
Замечание: понятие точечного заряда является математической абстракцией, в действительности приходится иметь дело с зарядами, заполняющими либо некоторый объем, либо
некоторую площадь, а иногда – в случае тонких длинных проводов – некоторую длину. Как
правило, заряды распределяются неравномерно, поэтому можно рассматривать объемную,
поверхностную или линейную плотности зарядов, определяемые как:
dq
dq
dq
lim
lim
; lim
;
V 0 dV
S0 dS
l0 dl
где dV,dS и dl – бесконечно малые элементы объема, площади и длины соответственно.Величина бесконечно малого заряда, который можно рассматривать как точечный, при этом
определяется как dq1= ρdV,dq2 = σdS, dq3 = τdl.
§ 1 – 3 Напряженность электрического поля.
В предыдущем разделе (механике) отмечалось, что любое взаимодействие тел, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, осуществляется посредством поля. Применительно к электрическим зарядам это означает, что вокруг любого заряда существует
особый вид материи – электрическое поле. Это поле не воспринимается непосредственно
чувствами человека. Для обнаружения поля используются другие заряды, называемые
пробными. Однако, из закона Кулона следует, что величина силы воздействия на пробный
заряд зависит от величины этого заряда. Для характеристики самого поля вводится величина силы, действующей на пробный заряд, отнесенная к величине этого пробного заряда.
Эта величина называется напряженностью электрического поля. Другими словами можно
сказать, что напряженность электрического поля есть сила, действующая на единич-ный
положительный заряд, помещенный в данную точку поля. Если обозначить заряд, поле
которого мы изучаем – Q, то напряженность поля в любой точке пространства вокруг этого
заряда, находящейся на расстоянии r от него, равна:
E=(1/4) (Qr) /r3 ;
E = (1/4)(Q/r2).
Напряженность поля от нескольких зарядов находится по принципу суперпозиции: напряженность поля от суммы зарядов равна сумме всех напряженностей от каждого заряда в отдельности, т.е. E (Σ Qi) = Σ (Ei).
Этот принцип позволяет находить напряженность поля от любых зарядов, распределенных в пространстве, причем, вместо суммы используются интегралы. Однако вычисле-ние
осложняются тем, что напряженность поля – вектор. Поэтому часто приходится сначала
вычислять отдельные составляющие вектора Е, а общую величину находить их
суммированием. Для прямоугольной системы координат это делается сравнительно просто:
E2 = Ex2 + Ey2 +Ez2.
Простой пример: найти напряженность электрического поля, которую создает бесконечная
нить, равномерно заряженная по длине с линейной плотностью τ. Для решения этой задачи
необходимо найти поле от бесконечно малого (точечного) заряда dq и затем произвести
суммирование по всей длине нити. Поле от заряда dq на расстоянии r от него (см.рис.1) равно
dE = (1/4)(dq/r2), dE = dEx + dEy;
dEx = dEcosα ; dEy = dEsinα ;
Ex = dEx , Ey = dEy.
Для суммирования (интегрирования в нашем
случае) удобно ввести одну переменную, а остальные связать с ней при помощи геометриРис.1 Вычисление поля от бесконеч- ческих соотношений. За такую переменную
ной нити.
можно взять угол . Тогда r = x/cos, y/x0 = tg.
Из последнего соотношения следует (dy/x0) = d/cos2.
1
Ex =
4 0
dy
r 2 4 0
Ey =
4 0 x 0
/2
x 0 cos3
/ 2
x 02
d =
;
2 0 x 0
/2
sin d 0 .
/ 2
Ответ : Е =
.
2 0 x 0
Из приведенного примера следует, что принцип суперпозиции позволяет вычислить
напряженность поля от любой конфигурации зарядов, представив ее как некую сумму бесконечно малых (точечных) зарядов. Дело лишь в том, как проводить суммирование (интегрирование). Для рассмотренного одномерного случая это простой интеграл. Для распределения зарядов по поверхности это будет двумерный (поверхностный) интеграл, для
объемного распределения – трехмерный (объемный) интеграл. Для наглядного представления электрическое поле принято изображать в виде линий, названных силовыми. Под си-
ловыми линиями понимаются линии, касательные к которым в данной точке совпадают с
направлением вектора напряженности в этой точке. Кроме того, было условлено, что гус-тота
силовых линий должна быть пропорциональна величине напряженности. Силовые линии
начинаются на положительных и кончаются на отрицательных зарядах. Картина силовых
линий от двух точечных зарядов изображена на рис.2. Как видно из рисунка, в промежутке
между зарядами силовые линии являются непрерывными.
Это означает, что направление векторов
напряженности во всех точках однозначно,
т.к. линии нигде не пересекаются. Для
количественного описания силовых линий
вводится понятие потока.
Потоком вектора напряженности через заданную поверхность называется скалярное произведение вектора напряженности
на величину этой поверхности: Ф = (ЕS).
При этом предполагается, что поверхность Рис.2 Линии напряженности.
– это вектор, причем направление этого вектора определяется направлением внешней
нормали n к поверхности, т.е. нормали, проведенной в сторону выпуклости поверхности (см.
рис.3): dФ = (E dS) = EdS cos = En dS. Для плоской поверхности направление внешней
нормали должно задаваться дополнительными условиями.
§ 1 – 4 Теорема Гаусса.
Полный поток вектора напряженности электрического поля
через любую замкнутую поверхность с точностью до коэффициента 1/0 равен алгебраической сумме зарядов, находящихся внутри этой поверхности.
Доказательство этого утверждения проводится в три этапа. Сначала
теорема доказывается для точечного заряда и выпуклой поверхности.Затем рассматривается поверхность любой формы, наконец , доказательство формулируется для системы зарядов.
1. Рассмотрим точечный заряд Q. Опишем вокруг его воображаемую сферу и вычислим
полный поток через эту поверхность. Для вычисления используем определение телесного
угла d (см. рис.4):
d
Рис.4.Телесный угол.
dS
cos(n; E); cos(n; E) 1; dФ EdS ER 2 d ;
2
R
2
Ф = ER d = 4 E R2,
т.к. в подинтегральном выражении величины E и R, а полный
телесный угол равен 4. Подставляя вместо Е определение напряженности поля для точечного заряда Q, находим, что
Ф=
Q
.
0
Видно, что результат не зависит от радиуса
сферы. Если поверхность несферическая, но
выпуклая, то, как известно из стериометрии,
dScos = dS = dSn (см.рис.4), и вновь результат оказывается прежним.
2. Если поверхность интегрирования имеет
произвольную форму, то для заряда внутри
Рис.5. Различные формы прверхностей поверхности линии напряженности пересекают ее нечетное количество раз (один или три) (см. рис.5), причем косинус угла между
вектором напряженности и внешней нормалью к поверхности будет два раза положительным и один раз отрицательным ( угол - тупой), так что два слагаемых общего потока
компенсируют друг друга.
Если же заряд находится вне поверхности, то поток пересекает ее четное количество
раз (два, четыре и т.д) так, что положительные и отрицательные ( для тупых углов между n и
Е) слагаемые уничтожают друг друга и общий поток оказывается равным нулю.
3. Если зарядов несколько, то в силу принципа суперпозиции Е (Еi) = Еi ; Ф = Фi . Для
каждого заряда в отдельности теорема доказана, значит она остается справедливой и для
макроскопического (конечного) заряда, который можно представить в виде суммы точеч-ных
зарядов.
Математическая форма записи теоремы Гаусса имеет следующий вид:
Ф0 =
1
1
Q i или в развернутом виде E n dS Q i .
0
0
S
Следствие: если заряды, создающие поле, находятся вне воображаемой замкнутой поверхности, то поток напряженности через эту поверхность равен нулю.
Теорема Гаусса имеет достаточно важное значение, т.к. является одним из уравнений
Максвелла, которые лежат в основе теории электромагнетизма. Кроме того, эта теорема
может быть использована для вычисления напряженности. Для этого необходимо, чтобы
величину Е можно было вынести из-под интеграла. Это можно сделать, если Е =const на всей
поверхности интегрирования. Нетрудно догадаться, что воображаемая замкнутая
поверхность должна иметь симметрию, подобную симметрии расположения зарядов. При
этом удобно ее выбрать так, чтобы косинус угла между вектором Е и нормалью к поверхности принимал значения либо 1 дибо 0. Таким условиям удовлетворяют три класса симметрии: сферическая, цилиндрическая и зеркальная, однако в двух последних случаях необходимо пренебрегать краевыми эффектами, т.к. на на краях нарушается распределение силовых
линий. Ясно, что для выбора конфигурации поверхности необходимо знать, как направлен
вектор Е. Здесь важно учитывать, что для статических зарядов напряженность поля вблизи
зарядов должна быть перпендикулярной поверхности области распределения зарядов. В
противном случае всегда будет составляющая поля, направленная вдоль поверх-ности
распределения, что может вызвать электрический ток, и статическое распределение будет
нарушено. Для иллюстрации полезно рассмотреть два примера.
Поле от бесконечной плоскости.
Пусть имеется плоскость, равномерно заряженная с
поверхностною плотностью .Требуется найти напряженность электрического поля в точке, отстоящей от
плоскости на расстояние х0. Для решения задачи проведем замкнутую поверхность через заданную точку
А (см. рис.6).Поверхность имеет форму прямоугольного параллелепипеда, боковые грани которого перпендикулярны заряженной плоскости. Выбор такой
формы поверхности связан с тем, что вектор напряженности электрического поля Е вблизи плоскости
должен быть нормален к ней. Кроме того, наша воображаемая поверхность должна быть симметричной
относительно заряженной плоскости. Полный поток
Рис.6. Поле от плоскости.
через поверхность параллелпипеда складывается из
потоков через его боковую поверхность и потоков через его верхнее и нижнее основания,
параллельные заряженной плоскости. Но поток через боковые поверхности равен нулю, т.к.
нормали ко всем четырем боковым граням перпендикулярны вектору Е и для них cos =
=cos(n ^E) = 0. В силу симметрии потоки через верхнее и нижнее основания одинаковы так,
что полный поток Ф0 = 2ЕАS. В то же время заряд, находящийся внутри нашей воображаемой
поверхности равен заряду на заштрихованном (см.рис.6) участке, т.е. Q = S. Тогда из
теоремы Гаусса следует, что 2ЕАS =(1/0) S, откуда
ЕА =
Рис.7. Поле от сферы.
1
.
2 0
Поле от заряженной сферы.
В качестве второго примера рассмотрим поле от заряженной сферы, полный заряд которой равен Q. Если точка А (см. рис7) , где требуется определить напряженность,
находится вне заряженной сферы, то очевидно в качестве
воображаемой поверхности выбрать сферу, концентрическую нашей заряженной сфере. В этом случае Е А параллельно n, и Ф0 = ЕАS.Т.к.площадь сферы равна 4R2,
то из теоремы Гаусса нетрудно найти:
EA
1 Q
.
4 0 r 2
§ 1 – 5. Работа по перемещению заряда в электрическом поле.
Как уже отмечалось, на электрический заряд q со стороны поля, созданного зарядом Q,
действует кулоновская сила. Поэтому при перемещении заряда q в поле совершается работа,величина которой определяется выражением dA = Fldlcos, где - угол между направ-
лениями силы и перемещения (см. рис 8).Учитывая, что
Fcos = Fl имеем dA = Fldl. Для нашего случая F = qE;
q Q
. Из рис. видно, что dlcos =dR, и малая
4 0 R 2
qE =
работа в поле равна
dA =
Рис.8. К расчету элементарной
работы.
R2
q Q
qQ
1 qQ
;
A
=
=
.
dR
dR
4 0
4 0 R 2
4 0 R
Из полученной форулы следует, что работа по перемещению заряда в поле не зависит от формы пути, т.е.
электростатические силы являются потенциальными.
Следовательно, заряд в поле обладает потенциальной
энергией. Работа при изменении расстояния от R1 до R2
равна
q
A qE l dl
4 0
R1
R2
Q
R
2
dR =
R1
qQ 1
1
.
4 0 R 1 R 2
Из независимости работы от формы пути перемещения следует, что работа электростатических сил по замкнутому пути равна нулю. В этом случае в первом интеграле величину
заряда q, вынесенную за знак интегрирования, можно сократить. Тогда
E dl 0 .
l
В этой формуле интеграл с кружком обозначает так называемую циркуляцию, т.е. он обозначает, что интегрировапние проводится по замкнутому контуру. Справедливость этого
утверждения следует из непосредственного выражения для элементарной работы при продвижении вдоль элементарного перемещения dl: dA = Edlcos =El dl, где - угол между
направлением силы и перемещения.
Лекция 2.
Электростатика.
§ 2 – 1 Потенциал электрического поля.
Как уже отмечалось, пробный заряд в электрическом поле обладает потенциальной
энергией. Однако величина этой энергии зависит от величины заряда q. Для того, чтобы
можно было охарактеризовать само поле, условились относить величину потенциальной
энергии заряда q к величине этого заряда. Эту величину принято называть потенциалом
электрического поля. Здесь необходимо напомнить, что само определение потенциальной
энергии содержит в себе неоднозначность, т.к. эта энергия определена с точностью до
некоторой постоянной. Для однозначной характеристики электрического поля принято
определять эту постоянную при удалении заряда q на бесконечность. Считается, что два заряда, удаленные друг от друга на бесконечность, не взаимодействуют, т.е. их энергия
взаимодействия и, следовательно, постоянная равны нулю. Поэтому можно сказать, что потенциалом электрического поля называется работа по перемещению единичного
положительного заряда из данной точки поля в бесконечность. Из выражения для работы
А следует, что потенциал равен
=
1 Q
.
4 0 R
Потенциал – величина скалярная, он удовлетворяет принципу суперпозиции, т.е. потенциал
от суммы зарядов равен сумме потенциалов от каждого заряда в отдельности. Если заряд q
равный 1 Кулону, перемещается из одной точки поля в другую, то соответствующую
работу называют разностью потенциалов или напряжением U, т.е.
=U =
Q
4 0
1
1
;
R1 R 2
где R1 и R2 соответствуют начальному и конечному положению единичного положитель-ного
зваряда. Единицей напряжения, как известно, служит один Вольт. При перемещении
произвольного заряда q величина совершаемой работы увеличивается в q раз.
Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля.
Связь между потенциалом и напряженностью поля легко установить из выражения для
элементарной работы dA. Так dA можно записать через напряженность поля Е и
перемещение dl: dA = qEcosdl, где - угол между Е и dl. С другой стороны, используя
определение потенциала, работа dA = qd . Из этих выражений следует, что d = Ecosdl =
= El dl, и
=
E dl
l
.
Обратная связь между напряженностью и приращением потенциала должна иметь вид
El
d
, однако следует отметить, что напряженность поля – вектор. Поэтому производная
dl
d
должна иметь смысл производной по направлению. Для положительного заряда вектора
dl
напряженности положительны и направлены от заряда и в сторону умень-шения потенциала.
Поэтому перед производной необходимо поставить знак минус, т.е.
El
d
.
dl
Из этого выражения видно, что величина производной зависит от угла между Е и dl. Так для
направления, перпендикулярного Е , проекция El равна нулю; наоборот, для направле-ния
вдоль Е производная по dl максимальна и равна Е, т.е.
E
d
dl
в направлении Е
.
Термин «производная по направлению» становится более понятным в применении к прямоугольным координатам. Рассматривая поочередно проекции Е на оси x,y и z можно написать:
Ex
i;
x
Ey
j;
y
Ez
k;
z
где i, j, и k - единичные вектора вдоль осей x, y и z соответственно. Сам вектор Е находится как сумма:
E = Ех + Еу + Еz .
В теории поля производная по направлению наибольшего изменения функции называется
градиентом (grad ), т.е. связь между напряженностью и потенциалом имеет вид:
E = - grad .
В направлении, перпендикулярном вектору Е, величина производной от потенциала рав-на
нулю, т.е. в этом направлении потенциал остается постоянным. Линии или поверхности,
соединяющие точки с одинаковыми потенциалами, принято называть эквипотенциальными. Примером топологии эквипотенциалей может служить рис.2 предыдущей лекции.
Соотношение Е = - l показывает, что напряженность поля можно измерять в единицах
Вольт / метр.
§ 2 – 2 Проводники в электрическом поле.
Статический заряд на проводниках распределяется так, чтобы поле внутри проводника
было бы равно нулю. В противном случае возникновение электрического поля приведет к
движению зарядов. Напомним, что проводники (металлы) характеризуются наличием свободных электронов. Нас же интересует статический случай, когда движение зарядов уже
прекратилось. Поэтому заряды могут располагаться только на поверхности проводника,
причем так, чтобы эта поверхность была эквипотенциальной, иначе при наличии разности в
проводнике опять возникнет электрический ток. Напряженность поля вблизи поверхности
можно найти по теореме Гаусса, выбирая на ней достаточно малый элемент площади так,
чтобы поле сохраняло свою однородность. Можно выбрать этот элемент так же, как и при
вычислении поля от заряженной плоскости (см. рис.6) с той лишь разницей, что поток через
основание параллелпипеда, лежащее внутри проводника, будет равнен нулю ( поля внутри
проводника нет). С учетом этого
E пов
.
0
По поверхности проводника заряды, вообще говоря,
располагаются неравномерно. Так на острых концах
наблюдается повышенная концентрация зарядов, приводящая к увеличению напряженности поля иногда до
таких значений, что окружающий острия воздух иониРис.9. Поле на остриях.
зируется, и возникает кистевой разряд (огни Св. Эльма
на топах мачт судов во время бури). Суть этих явлений в том, что элемент площади dS
заряженного тела создает поле как снаружи, так и внутри тела, по поле, направленное внутрь,
компенсируется действием соседних участков ( поле внутри проводника равно нулю). Если
кривизна поверхности мала ( см. рис.9), то суммарное поле соседей dE тоже мало, но с
увеличением кривизны оно возрастает так, что для его компенсации на выбранном элементе dS должно скапливаться больше зарядов.
На незаряженном проводнике, помещенном в электрическое поле, происходит индукция зарядов. При этом заряды на ближнем и дальнем концах проводника по отношению к
источнику поля имеют разные знаки так, что при исчезновении поля суммарный заряд на
проводнике снова оказывается равным нулю. Это явление известно как электростатическая
индукция. Однако внешнее поле не может проникнуть внутрь проводника, что используется
для так называемой электростатической экранировки: экранируемый объект обшивается металлическими листами. Обратное, ввобще говоря, неверно: если внутри металлической полости по каким-либо причинам возникли заряды, то их действие распространяется за металлический экран. Чтобы этого не происходило, экран требуется заземлить.
§ 2 – 3 Электроемкость.
Между зарядом и потенциалом проводника существует определенная взаимосвязь.
Коэффициент пропорциональности между ними носит название электроемкости или прос-то
емкости: С =q. Беря приращение от обеих частей, имеем: С =q или CU =q. Отсюда
C
q
Кулон
. Единицей емкости является фарада (1F) . 1F =
; 10-6 фарады = 1 мкф
U
Вольт
(микрофарада), 10-12 фарады = 1 пкф (пикофарада). Величину емкости любого проводника
легко определить, деля величину заряда проводника на его потенциал. Так металлический
шар радиуса R, несущий заряд Q, имеет потенциал
1 Q
.
4 0 R
Следовательно, его емкость С равна С = 40R.
Как видно из этой формулы, электроемкость пропорциональна размерам провод-ника,и
для получения больших емкостей требуются гигантские размеры проводников. Даже Земля
имеет емкость чуть больше 600 мкф. Поэтому для практических целей используется система
из двух противоположно заряженных пластин, называемая конденсатором. Геометрически
это может быть плоская, цилиндрическая или шаровая конфигурация. Самый простой случай
– это плоский конденсатор. Как уже было показано, напряженность
поля от бесконечной заряженной пластины определяется
формулой
E
,
2 0
где Q/S – заряд на единицу площади. Если пластины
расположены достаточно близко друг к другу, так что поле
сосредоточено в области между ними, то, как это видно из
расчету рис.10, поля от каждой пластины складываются в области
между пластинами и уничтожаются в области снаружи плас-
Рис.10.
К
емкости
плоского
конденсатора.
тин. В этом случае в области между пластинами напряженность поля равна E = /0 и не
зависит от расстояния (поле является однородным). Напряжение между пластинами U = Ed,
где d – расстояние между пластинами. Поэтому емкость плоского конденсатора Сплс равна
Сплс =
Q S 0 S
.
U Ed
d
Забегая немного вперед, можно обобщить это выражения для случая, когда область между
пластинами заполнена диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , C
0 S
.
d
Известны и другие формы конденсаторов. Так, например, цилиндрические обкладки,
разделенные слоем стекла, образуют так называемую лейденскую банку. В экспериментах по
наблюдению фотоэффекта часто используется шаровой конденсатор. Не так давно, когда в
радиотехнике использовались отдельные детали, был популярен трубчатый конденсатор.
Соединение конденсаторов.
Конденсаторы можно соединять параллельно и последовательно друг с другом. В первом случае заряды на всех пластинах складываются и складываются емкости, тогда как
потенциалы всех пластин одинакового знака оказываются
одинаковыми:
C0
Q0 Qi Ci U
Ci ;
U
U
U
для последовательного соединения заряды на всех конденсаторах одинаковы, а складываются в этом случае напряжения:
Ui
N
N
Qi
Q
1
1
; U0 Ui i ;
.
Ci
U
C
C
i 1
i 1
i
0
i
В частности, для двух последовательно соединенных конденсаторов общая емкость определяется как:
Рис.11.Соединение
конденсаторов.
1
1
1
.
C 0 C1 C 2
Энергия заряженного конденсатора.
Пусть имеется конденсатор емкости С, заряженный до напряжения U. Для того, чтобы
перенести на него добавочный заряд dQ требуется совершить работу dA = UdQ; но в конденсаторе заряд и напряжение связаны соотношением Q = CU, дифференцируя которое,
получим dQ =CdU. Тогда dA =CUdU, и полная работа, которую надо совершить для заряда
конденсатора
U
CU 2 Q 2 QU
.
A CUdU
2
2
C
2
0
Эта работа превращается в энергию электрического поля конденсатора W
CU 2
.
2
Если учесть, что объем конденсатора V = Sd, то можно говорить о плотности энергии w, где
w=
W
. Подставляя в последнюю формулу выражение для емкости плоского конденсатора и
V
учитывая, что U = Ed = d/0 , находим:
W
0
SE 2 d 2 0 E 2 Vd; w = 0 E 2 .
2d
2
2
Последнее выражение характеризует плотность энергии электрического поля.
Лекция 3.
Диэлектрики.
§ 3-1 Электрический диполь.
В проводниках электрические заряды свободны, т.е. они могут перемещаться по всему проводнику. Диэлектрики же характеризуются прежде всего тем, что в них нет свободных зарядов, и они не могут проводить электрический ток. В этом классе веществ заряды
находятся в связанном состоянии, однако, центры распределения положительного и отрицательного зарядов, вообще говоря, могут не совпадать. Диэлектрики, в которых такое несовпадение имеет место, называются полярными. Система, состоящая из двух равных по
величине, но противоположных по знаку зарядов, находящихся на расстоянии l друг от друга,
называется электрическим диполем. Для описания свойств диполя вводится так называемый дипольный момент р = ql, где l – вектор, проведенный
из центра отрицательного заряда к центру положительного. Хотя
в целом диполь нейтрален, тем не менее несовпадение центров
положительного и отрицательного зарядов приводит к тому, что
вокруг диполя образуется электрическое поле. Его можно
вычислить по принципу суперпозиции. Наиболее просты
расчеты для двух случаев: вычисления поля вдоль оси диполя и
для точки, находящейся на перпендикуляре, восстановленным из
середины l. Пусть точка А, где требуется найти поле диполя,
отстоит от положительного заряда на расстояние х. Тогда
напряженность поля от этого заряда в точке А равна:
E
Рис.12. Поле диполя.
а от отрицательного q
E
1 q
,
4 0 x 2
q
1
.
4 0 (l x ) 2
Общее поле Е0 двух зарядов равно (см. рис.12)
q
q (2lx l 2 )
1 q
1
E0
=
.
4 0 x 2 4 0 (l x ) 2 4 0 (l x ) 2 x 2
Для расстояний х l выражение для Е0 упрощается: (l+x) x и
E0 2
ql
.
4 0 x 3
Для вычисления напряженности в точке В достаточно вспомнить, что меньшая диагональ
Е ромба (см рис12) со стороной Е+ равна Е =2Е+сos .Кроме того, из рис.12 следует, что
cos
1
;и
2 y l /4
ql
ql 1
E
.
2
2
3/ 2
4 0 y 3
4 0 ( y l / 4)
2
Поскольку величина Е непрерывна, то при переходе от точки А к точке В значение Е
должно меняться постепенно, и для произвольной точки можно показать, что
Е0 = N
ql
,
4 0 x 3
где N – некий поправочный коэффициент, меняющийся от 1 до 2 при изменении положения
точки. Точный расчет показывает, что N = 1 3 cos , где - угол между направлением
2
радиуса- вектора точки и осью диполя. В рамках нашего курса этот расчет проводиться не
будет.
§ 3-2 Механизмы поляризации.
Кроме полярных диэлектриков существуют вещества, в которых центры положительных и отрицательных зарядов совпадают друг с другом в отсутствии внешнего поля.
Такие вещества называют неполярными диэлектриками. Однако, под действием внеш-него
поля у них наблюдается небольшое смещение зарядов. Молекулы диэлектрика как бы
раздвигаются: заряды в ней смещаются в разные стороны, и образуются электрические
диполи. В полярных и неполярных диэлектриках внешнее электрическое поле оказывает
ориентирующее действие на каждый диполь. Как следует из
рис.13, возникает вращающий момент, под действием которого все диполи стремятся выстроиться вдоль направления
поля.Однако этому стремлению противодействуют различные
причины: внутренние силы, действующие между молекулами,
тепловое движение молекул и т.п. Поэтому возникает
некоторая преимущественная пространственная ориентация
Рис.13. Ориентирующее
вектором
действие на диполь внеш- диполей, степень которой характеризуется
поляризации, определяемым как суммарный дипольный
него поля.
момент единицы объема, т.е.
Р=
p
V
i
;
для большинства диэлектриков эта величина оказывается незначительной, и ее можно
считать пропорциональной напряженности внешнего поля Р = 0 Е. Величина (каппа) называется диэлектрической восприимчивостью. Разбиение коэффициента пропорциональности на два сомножителя и 0 связано с требованиями размерности в системе СИ.
§ 3-3 Теорема о поляризационных зарядах.
Рассмотрим некоторую область внутри диэлектрика, ограниченную поверхностью S (см.рис.14).
При поляризации происходит смещение положительных зарядов в направлении напряженности и
отрицательных – в противоположном. Как видно
из рис.14, через те участки поверхности, где напряженность направлена внутрь поверхности,
часть отрицательных зарядов покинет рассматриваемую область, а через участки, где напряженность направлена наружу, в область войдет
Рис.14.Вычисление
отрицательный заряд. Если вошедший и вышедполяризационно-го заряда.
ший заряды не равны друг другу, то область приоретет поляризационный заряд Qп. Для участка поверхности S (правая часть рис.14) через
S войдут отрицательные заряды тех и только тех молекул, которые находятся в
параллелепипеде с площадью основания S и высотой lcos, где l – величина возможного
смещения зарядов в молекуле, а - угол между внешней нормалью к поверхности и вектором
поляризации. Объем параллелепипеда равен S lcos, следовательно в нем находится n0S
lcos молекул (n0 –концентрация молекул). При этом левому основанию параллелепипеда
должна соответствовать внешняя нормаль, направлен-ная налево (угол - тупой), а для
правого основания - угол - острый. Через левое основа-ние выходит, а через правое –
входит отрицательный заряд. Поэтому и для левого и для правого оснований появится знак
минус, т.е. Qп = - q n0S lcos ( q- заряд каждой моле-кулы). Учитывая, что q n0 l = Р0 –
величина вектора пояризации и Р0 cos=Рn , получим: Qп = - Рn S.
Интегрируя это выражение по всей замкнутой поверхности S, имеем:
Q п Pn dS .
S
Полученная формула, вообще говоря, спаведлива для неоднородного диэлектрика. Для
однородного же поляризационные заряды могут возникать только на поверхности, причем
поверхностная плотность зарядов = Qп /S = Pn . Действительно, подставляя в послед-нее
выражение значение Pn =0 En , нетрудно получить, что
Q п Pn dS = - 0 E n dS 0 E n dS ; но по теореме Гаусса E n dS = Q п / 0 и
S
S
S
Q п / 0 = - Q п ; при 0 , это может выполняться лишь при Q п = 0.
S
§ 3-4 Вектор электрического смещения.
Из изложенного ясно, что в диэлектриках кроме внешнего поля существует еще и собственное (внутреннее) поле, поэтому можно ожидать, что Еполн = Есвоб + Епол . Однако,
принцип суперпозиции в общем случае здесь не пригоден, т.к. он справедлив лишь для
определенно заданного распределения зарядов, в то время как распределение зарядов в
диэлектрике само определяется искомым электрическим полем. Поэтому каждое из
слагаемых должно быть определено из каких-то других соображений.
Рассмотрим замкнутую поверхность, внутри которой есть свободные Q с и поляризационные Qп заряды. Тогда теорема Гаусса принимает следующий вид:
E
n
dS
S
1
0
Q
c
i
Q п .
Заменяя величину Qп согласно теореме о поляризационных зарядах, можно найти:
1
S E n dS 0 Q i S Pn dS .
c
Домножим обе части последнего уравнения на 0 и перенесем интеграл из правой части в
левую. Получаем, что
(
0
E n Pn )dS Q i .
S
Выражение, стоящее в круглых скобках под знаком интеграла, представляет собой новый
вектор D =0 E + P, называемый вектором электрического смещения или вектором
электрической индукции. Его можно представить так:
D 0 E 0 E 0 1 E 0 E ,
где (1+) = называют относительной диэлектрической проницаемостью вещества.
Тогда
D = 0E.
Для вектора электрического смещения теорема Гаусса такова D n dS
S
Лекция 4
Постоянный ток.
Q
i
i
.
§ 4-1 Основные определения.
Известно, что электрический ток – это направленное движение электрических зарядов. Если количество зарядов, проходящее через заданную площадь в единицу времени не
меняется с течением времени, то такой ток называют постоянным. Ясно, что движение может быть направленным только под влиянием внешних электрических сил. Для того, чтобы
ток оставался постоянным с течением времени, электрическая цепь, т.е. ряд проводников,
соединенных параллельно и последовательно друг другу, должна быть замкнутой.
Отсюда следует, что силы не могут быть электростатическими, т.к. работа этих сил по
замкнутому контуру всегда равна нулю. Обычно эти силы называют сторонними,
подчеркивая их неэлектростатическое происхождение. Сила, отнесенная к величине перемещаемого заряда, по аналогии с электростатикой, называется напряженностью, а работа по
перемещению единичного положительного заряда на каком-либо участке получила назва-ние
электродвижущей силы. Однако обычно принято говорить об электродвижущей силе
источника тока E, понимая под этим работу, соверщаемую источником во всей цепи.
Поскольку ЭДС – это работа, то между нею и напряженностью сторонних сил остается
справедливым соотношение, полученное в электростатике4:
E = E l dl .
При разомкнутой цепи сторонние силы источника так перераспределяют заряды, что
создаваемое ими поле компенсирует действие сторонних сил внутри источника. При замкнутой цепи заряды рапределяются и вдоль проводников внешней цепи, создавая поле вну-три
их.
Если на каком- либо участке цепи действуют сторонние и электростатические силы, то
работа по перемещению единичного положительногозаряда будет складываться из работ
каждой из этих сил по отдельности. Величину общей работы принято называть напряжением. Если понятие “участок” распространить на всю цепь, то очевидно, что тогда общая
работа равна E.
§ 4-2 Закон Ома.
Для выяснения закономерностей постоянного тока обратимся к упрощенной микроскопической картине. Рассмотрим отдельный заряд величиной q 0 , являющийся одним из
носителей тока в проводнике ( для металлов q0 = -е, где е – заряд электрона). В силу
теплового движения каждый заряд движется хаотически, а под действием сторонних сил он
приобретает еще и направленное движение. При хаотическом движении заряд постоянно
сталкивается с ионами, масса и размеры которых значительно больше аналогичных параметров носителя. Ионы также участвуют в тепловом движении, но это, в основном, колебательные движения, амплитуда которых увеличивается с температурой. Носители, сталкиваясь с ионами, на какое – то мгновение как бы прлипают к последним (разноименные
заряды стремятся притянуться друг к другу). На языке механики это означает, что носители
испытывают неупругие столкновение с ионами так, что новый путь они начинают с нулевой
скоростью направленного движения. Пусть время между двумя последовательными
соударениями равно . Тогда под действием напряженности носитель за это время
приобретет скорость u =a. Ускорение а =F/m = q0 E/m; m – масса носителя. Вводя понятие
плотности тока j , которое определяется как количество зарядов, проходящих через
единичную площадку, перпендикулярную вектору скорости, можно записать:
nq 02
nq 02
a 0 a
j nq 0 u
E E; где u
.
;
2m
2m
2
2
Величина , определенная таким способом, называется электропроводностью материала, а
обратная ей =1/ -удельным электросопротивлением. Нетрудно заметить, что плотность
тока – вектор, направление которого совпадает с направлением вектора скорости.
Соотношение j =E носит название закона Ома в дифференциальной (векторной) форме.
Если однородный проводник имеет длину l и площадь поперечного сечения S, то закон Ома
для такого проводника может быть записан в несколько ином виде. Для этого умножим обе
части соотношения j =E на произведение lS и учтем, что для однородного проводника поле
внутри его везде одинаково, т.е. однородно, и El =U – разность потенциалов на концах проводника. Тогда получим:
jSl =El S.
Введем понятие силы тока I = (jS) и обозначим l/ S =R, теперь наше соотношение
приобретает обычный вид: U =IR, где U – напряжение на концах проводника, а I –сила тока.
Сила тока – скалярное произведение плотности тока и площади, которой в этом случае приписываются векторные свойства ( направление вектора определяется как и прежде направлением внешней нормали к площади). Величина R называется сопротивлением проводника.
Для соединения нескольких проводников величина общего сопротивления R0 находится по
известным правилам: для последовательного соединения R0 = Ri , а для параллельного
1
1
.
R0
R
i
i
Если на рассматриваемом участке имеется источник тока с ЭДС E , как уже отмечалось, общее напряжение складывается из разности потенциалов и ЭДС, т.е.
U =IR +E .
Этот вариант записи соотношения между током и напряжением носит название закона Ома
для участка цепи, содержащей ЭДС. Здесь важно учитывать правило знаков: считается, что
положительный ток проходит от положительного полюса элемента к отрицательному; при
заданном направлении тока через рассматриваемый участок, ЭДС считается положи-тельной,
если она создает ток в этом же направлении и отрицательной – если в противопо-ложном.
Для замкнутой цепи очевидно, что концы проводника замыкаются сами на себя и U=0. Тогда
закон Ома примет вид
E = (R + r)I,
где r – внутреннее сопротивление источника тока.
§ 4-3 Закон Джоуля – Ленца.
При выводе дифференциального закона Ома предполагалось, что носители тока в
момент столкновения с ионами как бы прилипают на мгновение к последним, т.е. носители
полностью теряют свою энергию, которую онм приобрели под действием ускоряющего поля.
Эта энергия передается ионам и переходит в энергию их хаотических колебаний, т.е. в
теплоту.
За время свободного пробега отдельный носитель приобретает энергию, равную работе, которая совершается за счет электрического поля: w = q0El l. Т.к. общее количество
зарядов, проходящее в единицу времени через поверхность единичной площади, определяется плотностью тока j , то для l = 1 количество энергии, переходящей в теплоту, равно
W =jE или
W = Е2.
Последнее выражение носит наименование дифференциального закона Джоуля-Ленца.
Для проводника, имеющего длину l и площадь S, оно преоразуется к известному виду,
достаточно лишь обе части этого выражения умножить на объем V =Sl .
U2
U2
WV =W0 = 2 lS
I 2 R UI ,
R
l
где в преобразованиях использован закон Ома для участка цепи. Полученная формула
описывает закон Джоуля-Ленца в интегральном виде.
Выделяющаяся теплота имеет смысл полезной лишь в нагревательных приборах; во всех
других случаях это – потери энергии, снижение этих потерь составляет одну из важнейших
задач электротехники. Эта теплота образуется зя счет энергии сторонних сил.
Для закнутой цепи полная работа по перемещению единичного положительного
заряда по определению равна E, значит полная мощность, которую может развить источник,
равна E I. Величина совершенной работы за время t определится как A =E It.
§ 4-4 Основы зонной теории.
До сих пор развитие наших представлений об электричестве происходило достаточно
последовательно с использованием довольно простых моделей. Лишь в какой-то момент
было стыдливо использовано понятие носителей с зарядом q0 , хотя тут же оговаривалось,
что в действительности надо рассматривать электроны, которые ответственны за
проводимость металлов. Однако электроны являются довольно своеобразным микроскопическими объектами, которые плохо подчиняются законам классической механики. Более
того, их свойства часто описываются лишь в представлениях квантовой теории и теории вероятности.
Наиболее известным следствием квантовомеханической теории является описание
свойств электронов с помощью квантовых чисел: n, l, m и s, где
n – главное квантовое число, характеризующее энергию электрона,
l, - орбитальное квантовое число, определяющее форму орбиты,
m – магнитное квантовое число, связанное с оринтацией орбиты,
s – спиновое число, определяющее собственный момент импульса электрона.
Первые три квантовых числа могут принимать только целочисленные значения –1, 2…и т.д, а
s – только два значения - ½, и одному набору чисел n, l и m соответствуют два электрона с
противоположно направленными спинами.
Достаточно известным является и так называемый принцип Паули: в атомах не бывает
двух электронов с одинаковыми квантовыми числами.
Из этих двух положений следует, что энергия электронов может принимать только
определенные дискретные значения так, что по мере увеличения числа электронов в атоме
внешние электроны даже при температуре 0 К обладают конечной энергией.
В твердых телах внешние электроны вступают во взаимодействие с соседними атомами, в результате чего их
энергия немного изменяется, т.к. энергия этого взаимодействия значительно меньше энергии электронов в
атоме. Однако дискретность уровней сохраняется. Взаимодействие электронов с соседними атомами означает,
что эти ” внешние” электроны теперь принадлежат как бы
всем атомам. Поэтому дискретный энергетический уровень, который соответствовал этим электронам в изолированном атоме теперь ”расплывается“ в целый набор
близко расположенных “подуровней”. Их количество
определяется числом атомов, т.е. в одной грамм –
Рис.15.
Схема молекуле вещества образуется 6,0231023 подуровней. Образовавшийся набор принято называть зоной.
расположения
зон.
Самые внешние электроны образуют зону проводимости, а следующему нижележащему уровню соответствует валентная зона (см. рис.15). Между зоной проводимости и
валентной зоной может располагаться запрещенная зона, т.е. набор значений энергии,
приобретение которых электронами в данном веществе оказывается невозможным. Теория,
оперирующая понятиями зоны, получила название зонной. С точки зрения зонной теории
вещества разделяются на три класса: проводники, изоляторы и полупроводники.
Принадлежность конкретного вещества к тому или иному классу определяется как
расположением перечисленных зон, так и степенью их заполнения. Здесь сразу надо
отметить, что валентная зона для простоты считается полностью заполненной. Если каждый
атом вещества отдает в зону проводимости один электрон, то зона оказывается заполненной
наполовину – на каждом уровне размещаются два электрона с противоположными спинами.
Под действием внешнего электрическогополя электроны приобретают дополнительную
энергию и переходят на свободные вышележащие подуровни. Может случиться и так, что
зона проводимости – пуста, но запрещенная зона отсутствует, и под действием поля
электроны из валентной зоны переходят в зону проводимости. В обоих случаях вещества
будут проводить электрический ток. Если же в веществе зона проводимости пуста, а
валентная зона отделена от нее достаточно широкой запрещенной зоной значений энергии, то
такое вещество является изолятором. Нужны крайне высокие (несколько десятков или даже
сотен киловольт) значения внешнего напряжения, чтобы электроны материала оказались бы
переброшены через запрещенную зону. Наконец существуют элементы (гер-маний и
кремний), у которых запрещенная зона довольно узкая, и энергии теплового движения
оказывается достатлчно, чтобы электроны из валентной зоны перебрасывались бы в пустую
зону проводимости. При комнатных температурах таких электронов находится сравнительно
мало, количество носителей в зоне проводимости незначительно по срав-нению с металлами,
и такие вещества получили название полупроводников.
Указанный тип проводимости в полупроводниках называется собственной проводимостью. Он наблюдается только в очень чистых материалах. Обычно же любой полупроводник содержит небольшое (примерно один атом на миллион) количество примесных
атомов. Поскольку атомов примеси мало, то они не взаимодействуют между собой, и их
энергетические уровни остаются нерасщепленнвми. Примесные энергетические уровни могут быть как пустыми, так и заполненными. Если такой заполенный примесный уровень
располагается в запрещенной зоне чуть ниже зоны проводимости, то под действием тепловых возбуждений электроны с этого уровня могут переходить в зону проводимости. Если же
пустой уровень находится чуть выше валентной зоны, то электроны из этой зоны могут быть
переброшены на вакантный примесный уровень так, что в валентной зоне образуется
«дырка», способная перемещаться от одного атома к другому, создавая «дырочную» проводимость. Возникающая в обоих случаях проводимость называется примесной. При этом
электронная примесная проводимость получила название донорной или n – проводимости, а
«дырочная» проводимость была названа акцепторной или р – проводимостью. В насто-ящее
время во всех полупроводниках предпочитают использовать примесную проводи-мость.
Комбинация полупроводников с различным типом проводимости позволили создать
целый ряд кристаллических диодов и триодов, нашедших широкое применение в радиоэлектронной промышленности. Современные технологии позволяют пролучать на кристал-ле
кремния размером в булавочную головку несколько десятков миллионов полупроводниковых элементов. Основным элементом любого электронного устройства стала микро-схема.
Премиущества их использования очевидны: они экономичны в отношении потреб-ления
энергии, малогабаритны, не боятся перегрузок и т.п. Из недостатков надо выделить два: если
в микросхеме выходит из строя всего один элемент, то починить ее невозможно. Ремонт
сводится к замене неисправной микросхемы, что стоит довольно дорого. Наконец, все
микросхемы оказываются крайне чувствительны к воздействию проникающего излуче-ния. В
условиях повышенной радиационной опасности их приходится заменять радиосхе-мами на
сверхминиатюрных лампах.
§ 4-5 Зависимость проводимости материалов от температуры.
Из рассмотрения проводимости металлов следует, что их сопротивление обусловле-но
взаимодействием носителей с колеблющимися ионами. Поскольку с повышением
температуры амплитуда тепловых колебаний увеличивается, и носители начинают чаще
сталкиваться с ними, можно сделать заключение о том, что с повышением температуры
сопротивление проводников должно увеличиваться. Для полупроводников же картина
обратная – чем выше температура, тем больше носителей, т.е. сопротивление полупроводников падает с повышением температуры.
С понижеитем температуры сопротивление проводников должно уменьшаться, достигая
минимума при абсолютном нуле. Однако в действительности при низких, но конечных
температурах сопротивление некоторых металлов скачком падает до нуля. Это явление было
открыто в 1911 г и получило название сверхпроводимости. Долгое время для его
наблюдения требовались температуры, близкие к температуре жидкого гелия, и лишь сравнительно недавно удалось повысить температуру сверхпроводящего перехода до значения
90-100 К. Сверхпроводимость стало возможным наблюдать при температуре жидкого азота.
Природа возникновения сверхпроводимости может быть объяснена только в рамках квантовой теории.
§ 4-6 Правила Кирхгофа.
Для расчета сложных электрических цепей немецким ученым Кирхгофом были
сформулированы эмпирические правила. Первое из них утверждает, чтодля любого узла
электрической цепи сумма токов, входящих и выходящих из него, равна нулю.При этом токам приписывается определеннный знак: входящие
и выходящие токи имеют различные знаки.
Пример показан на рис.16.Второе правило касается
замкнутого контура, выделенного в сложной цепи:
сумма произведений токов на сопротивления, по
которым они проходят, равняется сумме ЭДС,
включенных в данный контур. При этом токам и
ЭДС приписывается определенный знак: при заданном направлении обхода контура положи-тельными берутся только те токи (и ЭДС), которые
совпадают с выбранным направлением обхода контура. Так из рис.16 следует:
Рис.16. К правилам Кирхгофа.
1.
I1 – I2 + I3 –I4 = 0,
2. I1 R1 + I2 R2 - I4 R4 + I3 R3 = E3 – E2 – E1 .
Лекция 5
Постоянное магнитное поле.
§ 5 –1 Закон Ампера.
Опыты показывают, что два элемента тока взаимодействуют друг с другом. Принятые представления заставляют нас
предположить, что это взаимодействие осуществляется
посредством поля. Это поле названо магнитным. Изучение свойств этого поля логично бы было проводить по
аналогии с электростатическимполем, однако до настоящего времени магнитных «зарядов» не обнаружено. Принято считать, что магнитное поле всегда создается движуРис.17. Взаимодействие щимися зарядами, т.е. током. Бесконечно малый отрезок
двух
проводника, по которому проходит ток, принято называть
элементов тока.
элементом тока. Ампером было установлено, что величина сил взаимодействия двух
элементов определяется выражением:
I dl I dl
I dl I dl
dF1 k 1 1 22 2 sin sin 2 ,
dF2 k 1 1 22 2 sin 1 sin ,
r12
r12
где смысл принятых обозначений ясен из рис.17 и 18. Величина k как и прежде введена из
соображений размерности. В системе СИ она равна 0 4; значение постоянной 0 , которую
принято называть магнитной постоянной вакуума, записывается так:
0 = 4 10 –7
Генри
.
метр
Для определения силы как вектора закон Ампера должен быть изменен так, чтобы справа
стояло векторное произведение:
dF1 k
I1 I 2
dl1 [dl 2 ; r12 ],
r123
dF2 k
I1 I 2
dl 2 [dl1 ; r12 ] .
r123
По аналогии с электростатическим полем для характеристики магнитного поля можно ввести
силовую величину, отнесенную к единичному элементу тока. В теории магнитизма эту
величину принято называть магнитной индукцией, точнее вектором магнитной индукции.
Тогда закон Ампера для произвольного элемента тока I2 dl2 может быть записан как
dF2 = I2 [dl2 dB],
dB =
I1
dl1sin1 ,
r122
dB = k
I1
[dl1,r12] .
r122
Это определение как модуля, так и самого вектора dB носит название закона Био-СавараЛапласа.
Однако для установления единиц измерения величины макроскопического вектора B, его удобнее определить несколько
иным способом. Пусть исследуемое магнитное поле создается
системой проводников, а для измерения силы используется в
качестве элемента тока короткий жесткий проводник, соединенный с источником тока гибкими проводами. Сила, действующая на пробный элемент, зависит от его ориентации в пространстве. В каждой точке поля существует физически выделенное
направление В, которое замечательно тем, что, во-первых,
модуль действующей силы пропорционален синусу угла между
этим направлением и направлением элемента тока, и, во-вторых,
Рис.18. Правило право- направление силы связано с направлением элемента тока и физически выделенным направлением В известным правилом правого винта.
го винта:если вращать вектор dl по кратчайшему углу в сторону к физически выделенному
направлению, то движение оси винта покажет направление действия силы dF = BIdlsin. В
векторной записи
dF = I[dl B].
Сила максимальна, когда dl перпендикулярно направлению В. В этом случае В определяется как:
B
dFmax
.
Idl
Отсюда единица измерения магнитной индукции в системе СИ, называемая тесла,
определяется как 1Н/ (1A1M).
Магнитное поле можно наглядно изобразить с помощью силовых линий, проводя их по
тем же правилам, чио и в электростатике, но характер этих линий – другой.
Как уже отмечалось,магнитных зарядов не существует, поэтому свойства силовых линий
магнитного поля отличаются от свойств электростатического поля. Из следствия теоремы
Гаусса вытекает, что поток вектора В через любую замкнутую поверхность должен равняться
нулю, т.е. силовые линии магнитной индукции непрерывны, и
B
n
dS 0 .
S
Теоретический расчет величины В для конкретной конфигурации проводников произво-дится
на основании закона Био-Савара-Лапласа с использованием принципа суперпозиции
B dB , где суммирование произодится по всем проводникам, образующих данную
систему.
§ 5 –2 Поле прямого тока и витка с током.
В качестве примеров расчета значений вектора магнитной индукции вычислим поле
прямого тока и в центре круглого витка с током.
Поле прямого тока.
Пусть требуется найти поле отбесконечного прямого тока I
на расстоянии R от него. Выберем элемент тока dl, как
показано на рис.19. Величина модуля вектора определяется
выражением
dB
0 Idl sin
.
4 r 2
Для суммирования свяжем все переменные друг с другом,
выбирая в качестве интегрируемой переменной угол . Из
рис.19 видно, что
y
R
Rd
.
sin ;
ctg ; dy dl
r
R
sin 2
Рис.19. Поле прямого тока.
Подставляя эти выражения в формулу для В, после преобразований получим:
dB
0 I sin d
;
4R
0 I 2
I
B
sin d 0 (cos 1 cos 2 ),
4R 1
4R
где 1 и 2 – углы, соответствующие направлениям на концы проводника. Если проводник
бесконечный, то 1 0, а 2 , и B
0I
.
2R
Направление вектора В определяется правилом вычисления векторного произведения:
первый сомножитель (dl в нашем случае) вращается в направлении наименьшего угла ко
второму сомножителю (r). Направление движения оси правого винта при таком вращении
покажет направление их векторного произведения ( на рис.- от нас – значок -). Силовые
линии магнитного поля являются концентрическими окружностями, охватывающими проводник с током. Все они лежат в плоскости, перпендикулярной направлению тока.
Поле витка с током.
Вычислим значение вектора магнитной индукции в центре круглого витка, обтекаемого
током I. Как видно из рис.20, в этом случае элемент тока dl
перпендикулярен радиусу R, и суммирование сводится просто к
вычислению длины окружности. Поэтому
B
Рис.20.
Поле
центре
витка с током.
0I
4R
2
2R
0I
.
2R
Все элементы тока дают одинаковое направление вектора
dB так ,что суммарный вектор В перпендикулярен плоскости
в чертежа и направлен на нас (значок ).
§ 5 –3 Теорема о циркуляции магнитного поля.
Пусть имеется тонкий бесконечный провод, по которому проходит ток силой I. Выберем
мысленно окружность радиуса R, концентрическую заданному току и лежащую в плоскос-ти,
перпендикулярной ему. Рассмотрим сумму произведений проекций вектора магнитной
индукции на соответствующий элемент длины окружности радиуса R ( рис.21) Bldl.
Если суммирование проводится по всей длине окружности,
то результат носит название циркуляции, т.е. его можно записать так
B dl .Для выбранного нами контура в виде окружl
ности величина интеграла может быть вычислена непосредственно. Во всех точках контура вектора В направлены по
касательной к окружности, а значения В постоянны и равны
Рис.21. Вычисление
циркуляции.
В=
0I
, так что его можно вынести за знак интеграла. Тогда
2R
dl = 2R и циркуляция
2 R
0I
2R 0 I .
2R
B l dl
2 R
Если мысленный контур не концентричен току, то результат
суммирования не меняется, т.к. для любого элемента контура (см.
рис.22) Вl dl =
0I
xd и не зависит от расстояния х от тока до
2x
элемента контура. Угол d означает малый угол, под которым
виден элемент длины контура из точки пересечения его площади
Рис.22. К расчету током. Очевидно, что полное значение суммирования не изменится
элемента
и для произвольной формы контура, который удобно в этом случае
контура.
представить как ломаную линию, состоящую из элементов окружностей и приращений радиуса. Здесь следует помнить, что проекции вектора В на приращения радиуса равны нулю.
Если плоскость, в которой лежит наш мысленный контур, не перпендикулярен направлению тока, то контур можно спроектировать на плоскость, нормальную к току, снова
результат вычисления циркуляции будет прежний. Если через плоскость нашего контура
проходит несколько токов I1, I2 и т.д., то поскольку выражение для циркуляции остается
справедливым для каждого тока в отдельности, оно останется справедливым и для суммы
токов. Итак, в общем можно записать:
B dl I
l
0
k
.
k
L
Полученное выражение носит название теоремы о циркуляции и является одним из
уравнений Максвелла. Суммирование в правой части этого уравнения носит алгебраи-ческий
характер: токи могут иметь знак (+) или (-) в зависимости от того, острый или тупой углы
образуют они с направлением заданной нормали к площади, охватываемой контуром.
Поля, циркуляция которых отлична от нуля, называются вихревыми.
Словесная формулировка теоремы о циркуляции:
Циркуляция вектора магнитной индукции по закнутому контуру с точностью до постоянного множителя 0 равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим
контуром.
§ 5 –4 Поле длинного соленоида.
Применим теорему о циркуляции для вычисления поля на оси длинного соленоида. На
рис.23 показаны силовые линии магнитного поля для катушки. Мысленно удлиняя ее, можно
догадаться, что для достаточно протяженной катушки поле внутри соленоида и снаружи его
будет направлено горизонально ( относительно рис.) Выберем контур в виде
прямоугольникаАВСD так, чтобы сторона AD лежала на оси соленоида. Тогда циркуляцию
вектора магнитной индукции по такому контуру можно
представить
состоящей
из
четырех
частей:
Bn dl Bn dl + Bn dl Bn dl Bn dl .
ABCD
AB
BC
CD
AD
Однако на трех из них значения Вn равны нулю: на отрезках
АВ и СD вектор В перпендикулярен этим сторонам, а отрезок ВС можно удалить в бесконечность, где В = 0. На отрезке AD значения В постоянны, и B n dl ВlC , где l C - длиРис.23. Силовые линии
ABCD
магнитного поля
соленоида.
на соленоида. Т.к. ток I пересекает контур N раз ( N- число
витков) , то Вl C = 0 NI, откуда В =0 nI, где n =N/ l C .
Лекция 6
Силы, действующие в магнитном поле.
§ 6 – 1 Взаимодействие прямых проводников.
Вообще говоря, силу действия на проводник с током, помещенный в магнитное пол,
можно вычислить пользуясь законом Ампера, который был сформулирован на прошлой
лекции. Однако для упрощения математических выкладок предположим, что величина поля
определена заранее. Пусть это поле однородное, т.е. его значение одинаково во всех точках
рассматриваемого пространства. Тогда сила, действующая на элемент тока, записывается в
таком виде:
dF = IBdlsin,
где - угол между направлением В и элементом тока Idl.
Для конечного проводника длины L имеем:
F = IBLsin.
Наиболее простой вид эта формула приобретает
для случая взаимодействия двух прямых
проводников.Для простоты будем считать их
бесконечными так, что поле, создаваемое проводником, по которому проходит ток I1, во всех
точках другого проводника с током I2 (см.
рис.24), имеет одно и то же значение, если
Рис.24.
Взаимодействие
двуз проводники параллельны друг другу. В этом
прямых
случае сила, действующая на отрезок проводнипроводников.
ка длиной L с током I2, равна F12 =BL I2, или, подставляя в эту формулу явное выражение для
В, имеем:
F12
0 2I 1 I 2
L.
4 R
(◊)
Направление силы взаимодействия для параллельных и антипараллельных взаимодействующих токов показано на рис.24. Из рисунка видно, что параллельные токи притягиваются, а
токи с противоположным направлением отталкиваются друг от друга.
Формулу ( ◊ ) используют для определения единицы измерения силы тока – ампера. Полагая I1=I2 = 1A, R = 1M и L = 1M, можно вычислить, что сила взаимодействия равна 210-7Н,
т.е. за единицу силы тока принимают такой ток, который, протекая по параллельным проводам, отстоящим друг от друга на расстояние 1м, вызывает силу 210-7Н, действующую на
единицу длины проводника.
§ 6 – 2 Действие магнитного поля на контур с током.
Пусть прямоугольная рамка, со сторонами a и b, обтекаемая током I, помещена в
однородное магнитное поле индукции В, как показано на рис.25. Модули сил, действующих
на соответствующие стороны рамки равны: F1=F3 =
IaB sin 900 = IaB, F2 = F4 IbBsin(90-) =IbBcos.
Направления всех сил указаны на рисунке, откуда
следует, что сумма всех сил, действу-ющих на
рамку, равна нулю. Следовательно, центр масс
должен оставаться в покое, если первоначально он
был неподвижен. Однако суммарный момент сил
оказывается отличным от нуля.
Напомним, что момент силы М определяется векторным произведением радиуса-вектора, проведенРис.25. Действие магнитного ного от оси в точку приложения силы, на саму силу.
поля
Вычислим моменты всех сил относительно оси z,
на рамку с током.
проходящей через центр рамки ( см. рис.25). Из рисунка видно, что моменты сил F2 и F4
равны нулю.Момент силы F1 M1 = F1sin b/2 = IB sin b/2 = (1/2)ISBsin, где ab = S – площадь рамки. Момент силы F3 также равен М1, так что суммарный момент сил равен:
M 0 p M B sin ,
где введенная величина рм =IS носит название магнитного момента рамки. Если магнитному моменту приписать векторные свойства, определяя его направление по правилу правого
винта, движение оси которого определчется, в свою очередь, вращением винта в направлении обтекания рамки током, то общий момент сил, действующих на рамку, равен
M p M B .
Этот момент стремится повернуть рамку к положению устойчивого равновесия, при котором
магнитный момент рамки направлен вдоль направления поля.
§ 6 – 3 Сила Лоренца.
Опыт показывает, что сила, действующая на проводник с током, исчезает при выключении тока,т.е. действие силы обусловлено движением электрических зарядов. Обращаясь к
выражению силы тока I через движение отдельных зарядов, запишем:
I jS q 0 nuS .
Тогда сила, действующая на проводник с током в однородном магнитном поле В может быть
записана как
F q 0 nuSBL sin .
Из этого равенства можно определить силу, действующую на отдельный заряд q0 . Оцени- вая
количество зарядов в проводнике N = nSL, нетрудно найти, что сила, известная в физике
как сила Лоренца, равна FЛ =q0uBsin.
Учитывая, что скорость направленного движения зарядов в проводнике – u –вектор, и что направление силы
определяется по правилу правого винта, можно определить силу Лоренца как
FЛ q 0 uB .
Сила Лоренца максимальна, когда скорость отдельного
заряда перпендикулярна вектору В,и равна нулю, когда
заряд движется параллельно силовым линиям магнитРис.26. Действие силы Лоренца ного поля. В первом случае заряд вращается по окружности, радиус которой определяется законом Ньютона:
на движущийся заряд.
mu 2
mu
.
q 0 uB ; R
q0B
R
В общем случае, когда скорость заряда составляет с направлением поля произвольный угол (см. рис.26.), траектория движения представляет собой винтовую линию, ось которой совпадает с направлением поля. Движение заряда можно рассматривать в этом случае
как сложение двух движений: вращения вокруг направления поля, обусловленного составляющей вектора скорости, нормальной к направлению В, и поступательного движения со
скоростью, равной другой составляющей, параллельной полю.
Это свойство заряженных частиц вращаться в поперечном магнитном поле используется для получения элементарных частиц с большими энергтями. Устройства, предназначенные для этого, называются циклотронами. Наиболее известны модификации этих
устройств, которые называются синхрофазотронами. Усложнение конструкции ( и названия) связано с тем, что в процессе ускорения частицы приобретают скорость, близкую к
скорости света, вследствие чего их масса увеличивается, и они выпадают из условия
синхронизма. Поэтому приходится увеличивать поле или уменьшать частоту напряжения.
§ 6 – 4 Электромагнитная индукция.
Из школьного курса физики известно, что при изменении магнитного поля, пронизывающего некую поверхность, ограниченную замкнутым проводящим контуром, в этом
контуре возникает ЭДС, равная с обратным знаком скорости изменения магнитного потока.
Это явление было откпыто в 1831 году известным английским ученым М. Фарадеем, и
установленный им закон носит его имя. Определяя величину магнитного потока Ф как
Ф =BS cos =
B
n
dS ,
где - угол между направлением В и нормали к площади контура, закон Фарадея можно
записать в виде:
E=-
d(cos )
dФ
d
dB
dS
;
BS cos S cos
B cos
BS
dt
dt
dt
dt
dt
откуда видно, что возникновение индукционноготока возможно при изменении либо величины В, либо при изменении площади контура, либо при изменении ориентации контура
(вращении) относительно направления магнитного поля. Магнитный поток прято измерять в
Веберах. 1 Вебер = 1Тесла м2.
Знак минус, стоящий перед производной магнитного потока отражает правило Ленца:индукционный ток направлен так, чтобы своим действием воспрепятствовать причине, его
вызвавшей.
Проявлением индукционных токов являются токи Фуко, возникающие в массивных
проводниках, помещенных в изменяющееся магнитное поле (например, в сердечниках
трансформаторов). Для борьбы с этими токами сердечники набираются из очень тонких
листов металла, разделенных прослойкой непроводящего лака.
§ 6 – 5 Самоиндукция.
Важным частным случаем электромагнитной индукции является самоиндукция, т.е.
возникновение ЭДС индукции в самом проводнике, порождающим изменяющееся магнитное поле. В строгой теории электромагнетизма показано, что величина магнитного потока,
окружающего проводник с током, пропорциональна силе этого тока Ф = L I, где коэффициент пропорциональности L носит название коэффициента самоиндукции или индуктивности.
Качественные соображения о пропорциональности между Ф и I вытекают из закона БиоСавара-Лапласа, где установлено, что В I. Значения L определяются геометрическими
свойствами проводника. Единицей измерения L в системе СИ служит Генри.
1Генри =1Вебер/Ампер.
Учитывая взаимосвязь Ф и L, можно записать
Eсам = -
dФ
dI
dL
.
L I
dt
dt
dt
Если проводник не изменяет своей формы с течением времени, то dL/dt = 0, и
Eсам = - L
dI
.
dt
Для одного витка длинного соленоида Ф =ВS= 0 nIS, и, если полное число витков соленоида равно N= nlc, , то общий поток через весь соленоид Ф0 = Ф N = 0 n2lc IS, откуда
L = 0 n2lcS.
§ 6 – 6 Энергия магнитного поля.
Пусть имеется электрическая цепь, состоящая из источника постоянного тока, сопротивления и катушки индуктивности L. Предположим, что в некоторый момент времени
источник мгновенно удаляется из цепи, которая остается замкнутой. Как следствие явления
самоиндукции ток в цепи не исчезнет мгновенно, т.к. его будет поддерживать возникшая
ЭДС самоиндукции. В процессе убывания тока сторонние силы, ответственные за явление
самоиндукции, совершат некоторую работу. За малый промежуток времени dt, когда ток и
ЭДС остаются практически неизменными, сторонние силы совершат работу dA = Eсамdq, где
dq =Idt, или, используя выражение для ЭДС самоиндукции, dA= -IdtL dI/dt, т.е.
dA=-LidI.
Полную работу сил можно найти, суммируя малые работы dA за весь период исчезновения
тока:
0
LI 2
.
A (LIdI)
2
I
По закону сохранения энергии эта работа может быть совершена лишь за счет энергии W,
которой обладает катушка с током, поэтому
LI 2
W
.
2
Эту энергию можно приписать магнитному полю катушки (соленоида). Считая соленоид
достаточно длинным, можно использовать формулу, связывающую индукцию поля в соленоиде с током: B =0 nI, откуда I = B/0 n. Подставляя это соотношение, а также значение L
для соленоида в выражение для энергии катушки, получаем:
B2
WM
l cS .
2 0
Тогда плотность магнитной энергии, т.е. энергии, приходящейся на единицу объема V=lcS,
равна
w=
Лекция 7
Магнитное поле в веществе.
B2
.
2 0
§ 7 – 1 Модель молекулярных токов.
Под действием магнитнго поля все тела приобретают магнитные свойства – в веществе появляются собственные магнитные поля так, что теперь поле внутри вещества складывается из внешнего поля и собственного. В этом смысле принято говорить, что все тела
являются магнетиками. Простейшее объяснение проявления магнетизма связано с гипотезой молекулярных токов, высказанной еще в начале XIX века Ампером. Согласно этой гипотезе в веществе циркулируют микроскопические замкнутые токи - молекулярные токи.
С точки зрения современных представлений о строении вещества нетрудно заметить, что эта
гипотеза предвосхитила электронную теорию строения атома, где каждый вращаю-щийся
вокруг ядра атома электрон представляет собой элементарный круговой ток.
В отсутствие внешнего поля орбиты молекулярных токов, а, следовательно, и их
магнитные моменты рМ (напомним, что рМ =IS) ориентированы хаотически в пространстве
так, что вещество не проявляет никаких магнитных свойств. При наложении внешнего
магнитного поля моменты ориентируются вдоль силовых линий этого поля (также как рам-ка
с током) так, что каждый бесконечно малый объем V вещества приобретает отличный от
нуля магнитный момент, - вещество намагничивается. Суммарный магнитный момент
единицы объема называется намагниченностью и определяется выражением:
J
p
i
M
i
V
.
В большинстве случаев значение намагниченности оказывается пропорциональным величине магнитного поля JB, где коэффициент пропорциональности носит название магнитной восприимчивости. Однако существует группа веществ, у которых упорядочение моментов происходит самопроизвольным способом. Эти вещества получили название ферромагнетиков ( по названию первого известного ферромагнетика – железа).
§ 7 – 2 Связь молекулярных токов с вектором намагниченности.
Для установления соотношения между намагниченностью и молекулярными токами
мысленно выделим внутри вещества некоторую поверхность S, ограниченную контуром
L, и найдем полный молекулярный ток через
эту поверхность. Ясно, что вклад в этот ток
дадут только те молекулярные токи, которые
охватывают линию контура L.Подсчитаем
сначала ток IM на малом элементе l. Этот
элемент охватывает только те токи, центры
Рис.27. К расчету молекулярных токов.
которых лежат внутри изображенного на
рис. 27 цилиндра. Число таких токов равно произведению концентрации молекул n0 на объем
цилиндра slcos, где s – площадь молекулярного тока, - угол между элементом l и
вектором намагниченности J. Обозначая силу каждого элементарного тока i, можно найти,
что IM = i n0 lcos. Учтем, что is = pM , а n0pM = J.
Кроме того, Jcos = Jl и IM = Jl l. Полный молекулярный ток через поверхность получим
суммированием всех IM по контуру L:
I M J l dl ,
L
т.е. полный молекулярный ток определяется циркуляцией вектора намагниченности.
Строгая теория магнетизма делает вывод, что для молекулярных токов на поверхности полученная формула сохраняет свой вид, лишь вместо IM фигурируют поверхностные
тока In . В любом случае, при наличии вещества в правую часть теоремы о циркуляции
добавляются молекулярные токи, и
B dl ( I
l
0
k
k
L
I M ) 0 ( I k J l dl).
k
L
Преобразуем это выражение, перенося интеграл циркуляции в левую часть. Тогда
(B
0
J)dl 0 I k
()
k
L
Сравнивая последнее соотношение () с теоремой о циркуляции магнитного поля в ваку-уме,
находим
(B
0
) l .dl 0 I k ,
k
L
где обозначение В0 соответствует магнитному полю в вакууме; нетрудно заметить, что
подинтегральные варажения двух последних уравнений должны быть одинаковыми. Из этого
следует, что
(В - 0J) = B0 .
( )
Как уже отмечалось, для большинства магнетиков J B0 . Коэффициент пропорциональности, который требуется ввести, чтобы установить точное соотношение между J и B0 ,
зависит от выбора системы единиц. В выбранной нами системе СИ этот коэффициент равен
1/0 , т.е.
J
B 0
.
0
Подставляя это выражение для намагниченности в уравнение ( ), получим B - B0 =B0 , и
B = (1+)B0 .
Величина (1+) = называется относительной магнитной проницаемостью, т.е. В =В0 .
§ 7 – 3 Классификация магнетиков.
Принято различать три класса магнетиков:диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.
1.Диамагнетики.
Диамагнетизм – явление универсальное.Оно обусловлено законом элетромагнитной индукции. В момент включения магнитного поля элементарные молекулярные токи в веществе
изменяются таким образом, чтобы воспрепятствовать возникновению внешнего поля, т.е.
индуцированный дополнительный магнитный момент направлен против внешнего поля.
Суммарное действие всех элементарных индуцированных моментов приводит к тому, что
внешнее магнитное поле В0 уменьшается: В = В0 – В инд . Это означает, что = (1+ ) 1 или
0.Величина диам крайне незначительна и составляет около 10 –4 – 10-5.
2.Парамагнетики.
К парамагнетикам относятся вещества, атомы которых имеют незаполненные электронные
оболочки, причем число электронов на них должно быть нечетно. Тогда каждый атом можно
рассматривать как элементарный молекулярный ток, магнитный момент которого
ориентируется вдоль направления внешнего поля., т.е. В = В0 +Всобст .Очевидно, что для
этих веществ 0. Значения парам достигают величины порядка 10 –3.
…….
3.Ферромагнетики.
. В
этих веществах между отдельными атомами возникает особый вид взаимодействия,
имеющий сугубо квантовомеханическое происхождение и поэтому нами не рассматриваемый. Это взаимодействие носит название обменного. Благодаря этому взаимодействию в
ферромагнетиках возникают малые, но конечные области – так называемые домены, где все
атомные магнитные моменты оказываются упорядоченными так, что каждый домен
намагничен. Однако в макроскопическом объеме взятого образца домены ориентированы
хаотически, и суммарный магнитный момент всего образца равен нулю. Внешнее магнит-ное
поле стремится ориентировать все домены в одном направлении – образец намагничивается. Характерной особенностью ферромагнетиков является то, что собственное магнитное поле значительно превышает внешнее, т.е. для них 1 ( для некоторых сплавов железа
10 6 .
§ 7-4 Магнитное поле Земли.
Известно, что планета Земля представляет собой гигантский постоянный магнит,
северный полюс которого находится в южном полушарии Земли, а южный – на севере
Канады, примерно в 1500 км от северного географического полюса. Несовпадение магнитных
и географических полюсов приводит к тому, что стрелка компаса не указывает точно на
полюс. Это явление известно как склонение. Для Москвы склонение – восточное, оно
составляет 6,50. Установлено, что магнитное поле Земли оказывает влияние на сезонные
миграции зверей и птиц . Менее известным фактом является то, что поле Земли защищает все
живое на планете от убийственного действия космической радиации, создавая вокруг
планеты радиационные пояса.Нижний радиационный пояс находится на высоте 200–600 км,
тогда как верхний постирается до 1500 км. Кроме того, магнитное поле Земли отклоняет
потоки частиц от Солнца в области, прилегающие к полюсам, вызывая полярные сияния.
Лекция 8
Переменный ток.
§ 8 - 1 Получение переменного тока.
Переменнвм током называется ток, направление которого периодичемки изменяется с
течением времени. Основным устройством, которое используется для получения перемен-
ного тока, служит электрогенератор. Его действие основано на явлении электромагнитной
индукции. Схема, поясняющая принцип устройства электрогенератора, изображена на
рис.28. Прямоугольная рамка помещается в
зазор между полюсами магнита N и S так, что
она может вращаться вокруг оси, проходящей
через ее середину.Т.к. величины вектора магнитной индуцкии и площади рамки остаются
постоянными, величина ЭДС электромагнитной индукции (см. прошлую лекцию)
определяется выражением
Рис.28. Схема устройства электрогенератора.
E = - BS
d
(cos ) ,
dt
где - угол между направлением магнитного поля В и нормалью к площади рамки S. Направление тока в рамке в выбранный момент времени определяется по правилу правой руки.
Нетрудно видеть, что направление токов в верхнем и нижнем проводниках противо-положны
друг другу. Концы рамки подключаются к кольцам, которые, в свою очередь, с помощью
скользящих контактов подсоединены к выходным клеммам генератора. В мощных
генераторах рамка содержит несколько десятков или сотен витков, токи в ней достигают
значительной величины, поэтому сама рамка делается неподвижной, чтобы избе-жать
трущихся контактов, а магнитная система вращается вокруг рамки. Частота вращения
является госудаоственным стандартом: в США это 60Гц , в Росси –50 Гц.
§ 8 –2 Квазистационарные токи.
Квазистационарным называется переменный ток, для которого в любой омент времени
оказывается справедливым закон Ома, сформулированный ранее для постоянного тока. Это
означает, что в неразветвленных цепях сила тока, проходящего через любой элемент цепи, в
данный момент времени одинакова для всех элементов. Неквазистационарными токи
становятся тогда, когда частота колебаний достигает очень больших значений – таких, что
соответствующая им длина волны = сТ, где с –скорость света, а Т –период колебаний,
становится сравнимой с геометрическими размерами цепи. Например, для промышленного
тока 50 Гц эта длина волны равна 6000 км.
В прошлом семестре было показано, что на длине волны амплитуды колебаний в
разных точках пространства различны, изменяясь от максимума до нуля и нооборот через
каждые /4. Поэтому мгновеннве значения ока будут одинаковы тогда, когда l , где l –
длина цепи.
§ 8 –3 Закон Ома для переменного тока.
Рассмотрим цепь, состоящую из омического сопротивления, катушки индуктивности и конденсатора. Пусть все они соеденены друг с другом последовательно и подключены к источнику переменного тока с ЭДС E (см. рис. 29). Формально эта
цепь разомкнута, и ее концами являются обкладки
конденсатора, поэтому длч нее можно написать
закон Ома для участка цепи, содержащей ЭДС, полагая, что условие квазистационарности выполнено. Тогда
IR 1 2 Ek ,
( ХХ)
k
где 1 2 = UC - напряжение на конденсаторе, а суммарная ЭДС складывается из ЭДС
источника тока и ЭДС самоиндукции EL :
Ek = EL + E (t),
k
Обычно величину L
UL , т.е. UL= L
EL = - L
dI
.
dt
dI
называют падением напряжения на индуктивности и обозна-чают
dt
dI
, произведение IR =UR –падением напряжения на сопротивлении. С учетом
dt
этого уравнение (ХХ) можно преобразовать:
UR + UL + UC = E (t).
Вспоминая, что U C
q
и заменяя величины UC и UL , получим
C
dI
q
L RI. E (t).
dt
C
(ХХХ)
()
Предположим, что ток в нашей цепи изменяется по синусоидальному закону: I = I0 sint.
Тогда
UR = I0R sint ,
UL = LI0 cost = LI0 sin(t -/2),
UC
q 1
I
I 0
= I 0 sin t 0 cost
sin( t / 2) .
C
C
C C
Эти соотношения должны быть спаведливыми в любой момент времени, поэтому они справедливы
и
для
амплитудных
значений,
т.е.
( U R ) 0 I 0 R; ( U L ) 0 LI 0 ; ( U C ) 0 I 0 / C .
Трактуя эти равенства как закон Ома для участка цепи, можно заметить, что величины
ZL =L и ZC =
1
аналогичны по своему значению сопротивлению R. Используя такую
C
интерпретацию, можно видеть, что уравнение () приобретает тригонометрический
смысл: напряжения на емкости и индуктивности оказываются сдвинутыми по фазе на /2
относительно напряжения на сопротивлении R. Здесь удобнее использовать векторное
представление колебаний, которое рассматривалось в прошлом семестре. Любое гармоническое колебание y(t) = Asin( t + ) можно представить в векторном виде: длина вектора
определяется амплитудой колебаний А, начальная фаза определяет угол отклонения вектора
от горизональной оси, а - частоту, с которой вектор вращается вокруг начала координат. В
этом представлении напряжение на сопротивлении R изображается в виде горизонтально-
Рис.30. Векторная диаграмма
для последовательной цепи.
го вектора (см. рис.30), а напряжения на емкости и
индуктивности оказываются повернутыми относительно него в разные стороны на 900 . В последовательной цепи действующее в ней общее напряжение
складывается из падения напряжений на всех участках. Поэтому оно может быть найдено как геометрическая сумма падения напряжений на индуктивности, емкости и сопротивления. Тогда согласно теореме Пифагора можно записать, что
U 2 U 2R ( U L U C ) 2 ,
или, выражая UR , UL и UC через произведения тока на соответствующие сопротивления,
1 2
U 2 I 2 R 2 (L
) .
C
Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим:
1 2
U I R 2 ( L
) .
C
()
При выводе этого выражения учтено, что для последовательной цепи IR = IL= IC =I.
Полученное выражение по своей структуре аналогично закону Ома для цепи постоянного
тока. Поэтому оно называется законом Ома для переменного тока. Важно отметить, что
между током и напряжением существует сдвиг фаз, величина которого определяется из
рис.30:
tg
UL UC
или tg
UR
L
R
1
C .
§ 8 – 4 Мощность переменного тока.
Значение мгновенной мощности W определим по аналогии с законом Джоуля – Ленца
для постоянного тока: W =IU = I0U0 sint sin(t +). Однако, с практической точки зрения
более полезно вычислить среднюю мощность за единицу времени. Определим среднее
значение за время одного колебания любой переменной величины y(t) как интеграл, средний
1T
1T
за период: y( t ) y( t )dt . Тогда W U 0 I 0 sin( t ) sin tdt =
T0
T0
=
T
U0I0
1
2
U
I
{sin
t
cos
cos
t
sin
t
sin
)
cos
0 0
0 (1 cos 2t)dt
T
2T
T
T
T
U0I0
U0I0
U0I0
+
sin sin 2tdt
cos cos 2tdt = cos cos 2tdt +
2T
2
T
2
T
0
0
0
T
U 0I0
U I
sin sin2ωin2 0 0 cos .
+
2T
2
0
Интегралы в последнем выражении все равны нулю, т.к. среднее значение за период лю-бой
периодической величины равно нулю.Поэтому
Uэфф=
U0
2
; Iэфф =
I0
W
U0I0
cos U эфф I эфф cos , где
2
- так называемые эффективные значения напряжения и тока.
2
Формула мощности для переменного тока отличается от аналогичной формулы для
постоянного тока лишь коэффициентом cos , который принято называть коэффициентом
мощности. Увеличение этого коэффициента является важной практической задачей. Там, где
сдвиг фаз между током и напряжением достигает 900 , средняя мощность оказывается равной
нулю.
Лекция 9
Колебательный контур.
.
§ 9 –1 Затухающие колебания в колебательном контуре.
Рассмотрим последовательную цепь, содержащую катушку индуктивности L, емкость С, сопротивление R и ключ. Предположим, что на емкости в начальный момент времени имеется некоторый заряд . Если цепь замыкается, то в цепи возникает электрический
ток. Наличие катушки индуктивности обуславливает возникновение ЭДС самоиндукции,
которая своим действием препятствует возрастанию разрядного тока конденсатора. В тот
момент, когда напряжение на конденсаторе становится равным нулю, ток через индуктивность достигает максимума. В дальнейшем ЭДС самоиндукции стремится поддержать этот
ток, что приводит к перезарядке конденсатора до некоторого напряжения обратной полярности. Процесс перезарядки конденсатора повторяется определенное число раз в зависимости от величины потерь энергии на сопротивлении. Способность контура к переза-рядке
характеризуется качеством контура или добротностью. Добротность контура Q определяется отношением энергии, запасенной на конденсаторе или в катушке индуктивности, к
величине потерь энергии на сопротивлении за период:
Q 2
WC
W
2 L .
WR
WR
Для количественного описания процессов в последовательном колебательном контуре используется уравнение, полученное ранее при рассмотрении переменного тока:
L
dI
q
RI. E (t),
dt
C
( ++)
с той разницей, что в нашем случае внешняя ЭДС отсутствует так, что уравнение прини-мает
вид:
L
dI
q
RI. 0.
dt
C
Введем обозначения : 0
2
dq
R
1
;=
и учтем, что по опеределению I=
.Тогда наше
CL
dt
2L
уравнение принимает вид, знакомый по курсу прошлого семестра:
d 2q
dt
2
2
dq
02 q 0,
dt
где в качестве переменной выступает заряд q. Решением этого дифференциального уравнения служит функция q(t) = q0 e -t cos(t + ), где величины q0 и определяются началь2
2
2
ными условиями , а 2 = 0 0 с учетом того, что в большинстве случаев 0 .
Очевидно, что при = 0 колебания в контуре становятся незатухающими, и частота этих
колебаний равна 0 . Добротность контура Q может быть выражена через его пара-метры.
2
Энергия, запасенная в индуктивности, равна L I 0 /2., а мощность, выделяемая на сопротивлении, - RI
2
0 /2.
RI 02
2
2
За период Т =
на сопротивлении выделится энергия R I 0 T/2 =
.
0
0
Поэтому
Q = 2
LI 02
2RI
2
0
L
R LC
1
R
L
.
C
Как видно из полусенного выражения, величина добротности определяется лишь параметрами контура L,C и R.
§ 9 –2 Вынужденные колебания в контуре. Резонанс.
Включим в цепь рассматриваемого контура внешнюю переменную ЭДС E = E0 sin(t+).
Повторяя процедуру прошлого семестра, найдем графическое решение уравнения (++). Будем искать решение уравнения
d 2q
dq
2
02 q 0 sin( t ) r0 sin( t )
2
dt
L
dt
в виде q(t) = q0sin t. Тогда
dq
d 2q
q 0 cos t q 0 sin( t ); 2 2 sin t .
dt
2 dt
Подставляя эти величины в исходное уравнение, имеем:
2
0
2 q 0 sin t 2 sin( t ) r0 sin t .
2
Обращаясь к векторному представлению колебаний,
нетрудно заметить, что вектор r0 , стоящий в правой
части уравнения является суммой двух других векторов, представляющих колебания в левой части. Из
рис.31 по теореме Пифагора
q 02 (02 2 ) 4 2 2 r02 ;
откуда
q0
Рис.31.Графическое решение
дифференциального уравнения.
(
r0
2
0
) 4
2
2
.
(Р)
Из полученного выражения видно, что амплитуда заряда на конденсатора изменяется в
зависимости от частоты внешней ЭДС, достигая максимума, когда подкоренное выражение
2
2
2
минимально. Это достигается тогда, когда p 0 2 ; если 0 , то Р 0
называется резонансной частотой. В момент резонанса q0 =
0
0 LC , и напря2L0 R
жение на конденсаторе
UC
q 0
1 L
LC 0
0Q
C RC
R C
(*)
в Q раз больше,чем напряжение внешней ЭДС. Графическая зависимость напряжения на
конденсаторе UC от частоты представлена на рис.32.
Важной технической характеристикой контура является
полоса пропускания, которая определяется как область
частот ,где энергия, запасаемая в контуре на частоте ,
отличается от энергии на частоте 0 в наименьшее целое
число раз (в два). Обычно 2 0 .На границах
области =0 ..При этих условиях
2
0
2
2
4202 ;
4 2 02
W q 2
4 2
.
2 2
Wp
2q p
0 2 4 2 2 4 2 2
Рис.32. Резонансная кривая.
Из этого соотношения следует, что =. Тогда напряжение на емкости можно записать
так:
UC
0
0 0 .
2LC 0 2
Сравнивая это выражение с формулой (*), можно заметить, что Q =
0
. Последняя фор2
мула имеет важный практический смысл. Она позволяет расчитать добротность из экспериментально полученной резонанмной кривой. Для этого достаточно провести горизонталь-ную
прямую на уровне
1
qрез до пересечения с резонансной кривой и спроектировать точки
2
пересечения на ось частот. Этот интервал и определит полосу пропускания.
Колебательные контура широко применяются в телевизорах, радиоприемниках,
передатчиках, в раздичных радиоустройствах избирательного действия и т.п. Мы же рассмотрим более подробно одно из атмосферных явлений, которое можно представить как
разряд конденсатора в колебательном контуре. Это явление – гроза, точнее возникновение
молнии.
§ 9 –3 Простешая теория грозы.
Дождь, как известно, обусловлен тем, что вертикальные потоки нагретого влажного
воздуха переносят влагу в верхние слои атмосферы, где водяные пары конденсируются в
мельчайшие капельки. Током воздуха капельки увлекаются вверх, постепенно увеличиваясь в
своих размерах. Объем (вес) капельки растет пропорционально кубу ее радиуса, тогда как
подъемная сила воздушного потока пропорциональна всего лишь квадрату радиуса капли.
Поэтому наступает момент, когда капля перестает подниматься и начинает падать. При падении капли образуют целый поток, который выталкивает перед собой холодный воздух из
верхних слоев атмосферы. Когда капли достигают поверхности Земли, образуется дождь.
Началу дождя предшествует холодный вихрь. Возникновение же грозы зависит от того,
переносят капли электрический заряд или не переносят. Описание механизма переноса заряда
предложено американским ученым Вильямсом. Согласно его гипотезе все опре-деляется
структурой грозового облака. Полеты самолетов внутрь таких облаков показали,
Рис.33. Структура грозового облака.
что разные части облака несут разный заряд
(см. рис.33). Нижний слой тучи, как правило,
несет отрицательный заряд, однако в середине
слоя существует область положительного заряда. Эта область – своебразное сердце грозы.
Существующее вокруг ее электрическое поле
ионизирует окружающий воздух, постоянно
порождая положительные и отрицательные заряды.Дождевые капли, двигаясь к Земле, поляризуются. Земля несет отрицательный заряд,
поэтому на нижней части капли возникает положительный заряд. Увеличенное изображение
капли приведено в правой части рисунка. При
движении капли вниз – ее нижняя часть положительна, - и она притягивает отрицательные
ионы, тогда как положительные ионы отталкиваются. Верхняя же часть капли оказывает на
ионы меньшее влияние.В результате капли притягивают отрицательные тоны и при-обретают
отрицательный заряд. Положительный же заряд переносится в верхнюю часть ту-чи и
постепенно переходит в ионосферу. Накопление заряда в различных частях грозового облака
приводит к появлению огромной разности потенциалов, достигающей 100 млн Вольт. Эта
разность потенциалов может образовываться как между различными облаками, так и между
облаком и земной поверхностью. Рассмотрим второй случай. По мере накоп-ления заряда в
нижней части облака вблизи его нижней кромки образуется электрическое поле, которое
ионизирует воздух. Поле различно в разных точках, поэтому и степень поляризации будет
различной. Там, где воздух ионизируется полностью, образуется новое состояние вещества –
плазма. Плазма начинает светиться и для уменьшения потерь энергии на излучение
стремится образовать шарообразную форму. Внешне это выглядит так: из тучи внезапно
вываливается небольшой светящийся комок, получивший название белого лидера, и
устремляется к Земле. Скорость его движения достигает 50 000 км/сек. Но лидер двигается с
остановками, во время которых может произойти его деление. Движение лидера
подготавливает канал для основного разряда. Если лидер делится, то возможно ветвление
разряда. Когда до Земли остается около 100 метров, с земной поверхности навстречу лидеру
поднимается заряд, стремящийся двигаться вдоль острых высоких предметов. При смы-кании
лидера с этим зарядом образуется канал, по которому отрицательный заряд попадает на
Землю. Образуется гигантская искра, но длительность этого искрового разряда мала. Через
доли секунды из тучи выходит новый комок – так называемый темный лидер. Он с большой
скоростью и без остановки устремляется к Земле по подготовленному каналу. Вслед за ним
идет основной разряд. Искра возникает снова. Темный лидер может образовываться
несколько раз, вызывая несколько ударов молнии ( рекорд – 42 раза).
Каждый удар молнии переносит до 40 Кулонов, но отрицательный заряд не удерживается на Земле. Между земной поверхностью и ионосферой существует разность потенциалов около 400 киловольт, поэтому в атмосфере постоянно идет ток, направленный вверх.
Его плотность мала – несколько микроампер на кв. метр ( 1 мкА = 10 –6 А), но общее значение
тока достигает 1800 Ампер. Мощность, развиваемая в такой цепи, превышает 700 Мегаватт.
Грозы лишь компенсируют утечку заряда. Ежесекундно на Земле происходит около 300 гроз.
Средний разрядный ток в них также равен 1800 Ампер, обеспечивая неизменность заряда
Земли.
§ 9 –4 Теория Максвелла.
Рассмотрим проводящий виток, помещенный в изменяющееся магнитное поле. По за-
Рис.34. Направление
индукционного тока.
кону Фарадея в витке возникает ЭДС индукции. Направление
индукционного тока таково, что он своим действием препятствует изменению магнитного поля. Если внешнее магнитное поле
возрастает, его изменение В направлено по полю (см. рис.34), и
напрвление индукционного тока должно быть таким, чтобы магнитный момент витка Iинд S был нап равлен против поля В. Как
уже указывалось (§ 6-4) величина ЭДС индукции определяется
выражением
E=-
dФ
;
dt
Ф=
B
n
dS .
Если виток не изменяет своей формы, то знак производной можно внести под знак интеграла. Тогда получим:
E =-
t B n dS ,
где наклонные означают частную производную (предполагается, что значения В могут
зависить от времени и координат).
Согласно своему определению ЭДС характеризует работу, совершаемую стороннми силами
по всему замкнутому контуру (витку), т.е. E =
E dl ,
l
где Е представляет собой
напряженность сторонних сил, создающих индукционный ток. Виток замкнут и однороден,
поэтому силовые линии электрического поля тоже должны быть замкнутыми, т.е. индуцированное в проводнике электрическое поле является вихревым. Максвелл предположил, что
наличие проводника не является обязательным: силовые линии электрического поля
останутся замкнутыми и в свободном пространстве. На основании этого он сделал вывод, что
всякое изменяющееся во времени магнитное поле порждает вокруг себя вихревое
электрическое поле. Это положение называют первой гипотезой Максвелла, Закон Фара-дея
теперь записывается так:
dB
E ldl dl
L
S
dS .
(I)
n
Кроме этого существует второе положеие теории Максвелла, которое вытекает из
рассмотрения теоремы о циркуляции магнитного поля. Как было показано, циркуляция
магнитного поля имеет следующий вид:
Bl dl 0 I k .
k
Рис.35. К выводу теоремы о
Это значит, что любое магнитное поле порождается токами. При рассмотрении переменного тока в цепи, содержащей конденсатор, можно было заметить, что линии
тока прерываются на его пластинах - в пространстве
между пластинами ток отсутствует (см. рис.35). Тогда
оказывается, что выбирая контур интегрирования L внутри этой области, можно нарушить теорему о циркуляции.
Максвелл предоложил, что теорема о циркуляции векто-
полном токе.
ра магнитной индукции остается справедливой и для контура L за счет того, что в пространстве между пластинами также имеется некий «волшебный» ток Iволш , причем полный ток в
цепи складывается из тока проводимости I пров и этого «волшебного» тока,т.е.
I полн I пров I волш .
В проводниках I пров = Iполн , а в пространстве между пластинами Iполн = Iволш . Нетрудно
видеть, что при этих условиях теорема о циркуляции справедлива везде.
Обратимся к рассмотрению «волшебного тока» внутри пластин конденсатора. Мы
знаем, что ток I пров =dQ/dt. На конденсаторе Q = S ( - плотность поверхностных зарядов, а
S – площадь пластин конденсатора). Напряженность электрического поля внутри конденсатора равна E = /0 или D0 = , где D0 = 0 E – вектор электрического смещения. С учетом
этого запишем
I пров
dD 0
dQ
d
S
S
.
dt
dt
dt
В то же время очевидно, что I пров = Iволш, поэтому последний ток Максвелл назвал током
смещения. Теперь теорема о циркуляции принимает новый вид, где под знаком суммы стоит
полный ток Iполн:
B dl I
0 полн
l
0 I пров 0 I смещ .
L
Для проводников произвольного сечения и для проиэвольной формы пластин конденсатора
токи выражаются через соответствующее суммирование плотности токов:
dD
dS ,
S2 dt
jсмещdS
S1
S2
Iпров = jпровdS ; I смещ =
так что теорема о полном токе приобретает следующий вид:
Bl dl 0 ( jпрdS
L
S1
dD
S dt dS).
2
(II)
Если проводники отсутствуют, ток проводимости равен нулю, и уравнение (II) имеет вид:
dE
B
dl
μ
ε
l
0
0
L
S dt dS .
n
(III)
Таким образом, второе положение теории Максвелла может быть сформулировано так:
Всякое изменяющееся во времени электрическое поле порождает вокруг себя магнитное
вихревре поле.
Уравнения (I) и (II) называются уравнениями Максвелла. Вместе с уравнениями
E
S
n
dS
1
Q k и Bn dS 0 .
0 k
S
они составляют так называемую систему уравнений Максвелла, полностью описывающую свойства электрического и магнитного полей.
§ 9 –5 Электромагнитные волны.
Рис.36. К вычислению циркуляций для векторов Е и В.
Из уравнений Максвелла вытекает вывод о существовании электромагнитных волн. Для того, чтобы показать
это, рассмотрим уравнения (I) и (III) в применении к конкретным полям. Пусть имеется некоторая система координат Х,Y,Z, как показано на рис.36, и в начале координат
какими-то внешними причинами созданы электрическое и
магнитное поля, характеризующиеся векторами Е иВ соответственно. Направления этих векторов указаны на рис.
Выберем малые прямоугольники со сторонами dx, dy и dz (см. рис.) Вычислим циркуляции
векторов Е и В по периметру прямоугольников. Для вычисления используем тот же прием, с
помощью которого была определена величина вектора магнитной индукции на оси длин-ного
соленоида. Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке, и учтем, что
величины Е и В могут зависеть от х. На расстоянии dx от начала координат они принимают
значения Е + dЕ и В + dВ соответственно. При этих условиях
E dl Edy Edx cos90
0
(E dE)dy Edx cos90 0 или
E dl Edy (E dE )dy dEdy .
Аналогично для вектора В
B dl Bdz Bdx cos 90
l
0
(d dB)dz Bdx cos 90 0 dBdz .
Значения (E+dE)dy и Bdz взяты со знаком минус потому, что ветора на соответствующих
отрезках направлены против выбранного обхода контуров. Подставляя вычисленные значения циркуляции в уравнения (I) и (III), получим:
dEdy
dE B
;
dx
t
B
E
dxdy и dBdz 0 0
dxdz , откуда
t
dt
dB
E
0 0
,
dx
t
где производная по х имеет смысл частной произ-
водной, поэтому правильнее заменить знак
d
на знак частной производной
:
dx
x
E B
;
x
t
B
E
.
0 0 t
x
Диффернецируя первое уравнение по х, а второе – по t, и сравнивая полученные
результаты, имеем:
2E
2E
.
0 0 .t 2
x 2
Из курса механики известно, что это уравнение относится к так называемым волновым
уравнениям, решению которых соответствует бегущая волна. Скорость распространения
волны определяется коэффициентом, стоящим перед второй производной по времени:
v2
1
.
0 0
Аналогичное уравнение может быть получено и для вектора магнитной индукции В.Из уравнений (I) и (III) следует, что электрический и магнитный вектора связаны между собой, по-
этому волны названы электромагнитными.
Подставляя численные значения 0 и 0 ,получим,что v = c = 3108 м/c, т.е. скорость распространения электромагнитной волны равна скорости света. Если волна распространяется в среде, характеризующейся постоянными и , то
скорость электромагнитной волны
v
1
c
; n
n
- показатель
0 0
преломления среды относительно вакуума.
Рис.37. Структура электромагнитной
волны.
Электромагнитные волны
ющими свойствами:
обладают
следу-
волны поперечны, т.к. вектора Е иВ направлены по осям Y и Z, тогда как волна распространяется вдоль оси Х.
волны поляризованы, т.к. изменяющееся магнитное поле перпендикулярно индуцированному им электрическому.
Это электрическое поле создает переменное магнитное, плоскость колебаний которого совпадает с плоскостью первичного магнитного поля (см. рис.37) так, что магнитное поле сохраняет свою ориентацию в пространстве. Если в любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения, значения Е и В не зависят от координат, то волна называется
плоской, и ее можно записать так:
y( x, t ) A sin( t kx ).
2
- волновое число, = сТ, =2/T. Формула плоской электромаг
нитной волны будет часто использоваться при рассмотрении оптических явлений. Световыми являются волны, длина которых лежит в интервале от 0,4 до 0,7 мкм. Волна, в которой
колебания имеют одну частоту, называется монохроматической (одноцветной). Белый свет
содержит не менее семи основных цветов. Для упрошения математических выкладок часто
ограничиваются рассмотрением монохроматических волн.
В этом выражении k
ОПТИКА
Лекция 10
Представления о свете.
§ !0 –1 Развитие представлений о свете.
Хотя попытки дать объяснения природы света были сделаны еще в древности
(Евклид и Лукреций Кар), первая стройная теория света была разработа И.Ньютоном в кон-це
семнадца-того века. Ньютон считал, что свет – это поток мельчайших частиц – корпус-кул,
поэтому его теория получила название корпускулярной. Одновременно с ним Гук и Гюйгенс
развивали волновую теорию, однако она не получила широкого признания отчасти из-за
высокого авторитета Ньютона и отчасти из-за недостатков самой теории. которая
представляла свет как упругие колебания среды Ньютон установил, что свет в представлениях волновой теории должен быть поперечными колебаниями, что казалось маловероят-
ным, учитывая эмпирические факты распространение света в воздухе и,особенно, в межзвездном пространстве.Лишь позднее была предложена гипотеза о существовании особой
среды,заполняющей всю Вселенную,- эфира, упругие свойства которого обеспечивали требуемую скорость распространения света.Успехи волновой теории связаны с работами Юн-га,
Френеля и Пуассона, которые были выполнены в первой половине XIX века. Работы этих
исследователей позволили объяснить такие явления как интерференция и дифракция света.
Д.Максвелл установил, что свет – это электромагнитные волны. В тот момент, когда
волновая теория стала общепризнанной, были установлены закономерности излучения света
атомами и открыт фотоэффект. Эти факты противоречили волновой теории. Позднее была
развита новая теория – дуалистическая, где свету приписывались и волновые и корпускулярные свойства. Луи де Бройль высказал гипотезу о всеобщем дуализме материи:
каждая частица обладает волновыми свойствами, и каждой волне могут быть приписаны
определенная масса и импульс. Свет – лишь пример проявления дуализма в природе. В
нашем курсе мы будем рассматривать преимущественно волновые явления.
§ !0 –2 Законы отражения и преломления света.
Волновая теория широко использует принцип Гюйгенса: каждая точка среды, до
которой дошел волновой фронт, становится источником вторичных колебаний так, что
положение волнового фронта в любой последующий промежуток времени находится как
огибающая этих вторичных возбуждений. Отметим, что волновым фронтом называется
поверхность, соединяющая точки,колебания в которых имеют одинаковые фазы.
Рис.38. К выводу закона преломления света.
На рис.38 это изображается линией S. Руководствуясь
этим принципом, выведем законы преломления и отражения света.Пусть на границу раздела двух сред падает плоский волновой фронт АВ.В момент, когда его
левый край достигнет точки А (см. рис.38), в среде 2
вокруг этой точки начнет образовываться сферическая волна. Правый край фронта подойдет к границе
раздела через время t =BD/c, где с – скорость распространения света в среде1. За это время сферическая
волна из точки А успеет распространиться на расстояние АС=vt (v –скорость распространения света в
среде 2).Из рис.видно,что BAD = и АDC =
как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Поэтому можно записать:
sin
BD
ct
AC
vt
.
; sin
AD AD
AD AD
Сравнивая эти два выражения, можно заметить, что
sin c
.
sin v
Как уже упоминалось,скорость электромагнитных волн в среде v =c/ = c/n .Поэтому
отношение синусов можно приравнять к показателю преломления второй среды относительно первой:
sin
n 21 .
sin
Если свет распространяется в обратном направлении, т.е из среды 2 в среду 1, то закон
преломления остается в силе, но теперь n12 – это показатель преломления среды 1 относительно среды 2. Можно заметить, что в этом случае угол преломления становится больше
угла падения, но существует предельное значение угла преломления, т.к. синус не может
быть больше единицы. Угол падения, который соответствует этому углу преломления называется предельным. При дальнейшем увеличении угла падения свет не проходит в среду 1,
испытывая полное внутреннее отражение.
Вывод закона отражения света производится аналогичным способом, с той разницей, что теперь вторичная волна распространяется в той же среде (рис.39).
Треугольники ACD и ABD равны, т.к. сторона
AD - общая, а АВ = СD =ct, где как и прежде t – время распространения волнового фронта от точки С до
точки D. Из равенства треугольников следует, что
Рис.39. К выводу закона отражения света.
CAD = ABD, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, но CAD = и ABD = и , т.е.
угол падения равен углу отражения.
§ !0 –3 Явление интерференции.
Интерференцией называется сложение волн от двух или нескольких источников,
когда в результате сложения нарущается принцип суперпозиции интенсивностей. Как следует из прошлых лекций, плотности энергии электрического и магнитного полей пропорциональны квадратамвеличин Е и В, поэтому можно считать, что плотность энергии в электромагнитной волне также пропорциональна квадрату амплитуды волны. Принято считать,
что плотность энергии определяет интенсивность световой волны, которую человеческий
глаз оценивает как освещенность. При сложении волн должен выполняться принцип суперпозиции энергий каждой из слагаемых волн. Наша повседневная практика дает примеры
справедливости этого положения: две лампы дают в два раза больше света, чем одна. Можно
показать, однако, что этот принцип выполняется не всегда.
Пусть имеется две плоских волны y1 = A1sin(t –kx1) и y2 =
=A2sin(t –kx2), где х1 и х2 -расстояния, которые прошли волны
до момента встречи. Для того, чтобы найти сумму колебаний от
двух волн в точке встречи, представленных в векторном виде
(рис.40). Как видно из рис., по теореме косинусов можно записать
Рис.40. Сложение когерентных колебаний.
A 2 A12 A 22 2A1A 2 cos k( x 2 x 1 ) ,
т.е. результат сложения зависит от разности х2 – х1. При условии
k(x2 –x1) =2n ( n = 0,1,2 и т.д.)
A 2 A12 A 22 2A1A 2 (A1 A 2 ) 2 ,
а при k(x2 –x1) =(2n-1)
A 2 A12 A 22 2A1A 2 (A1 A 2 ) 2 .
Очевидно, что при условии А1=А2 A 2 4A12 или A 2 0 в зависимости от разности хода
x2 –x1. Если учесть, что энергия каждой волны равна А2, суммарная энергия должна
равняться 2А2, тогда как результат сложения либо в два раза больше, чем суммарная энергия,
либо равен нулю, т.е. кажется, что не выполняется закон сохранения энергии. Колебания, для
которых подобные результаты имеют место, называются когерентными. Если принцип
суперпозиции выполняется, то источники называют некогерентными. Для того, чтобы волны
давали когерентные колебания, необходимо выполнение трех условий:
1.должны иметь одинаковую частоту,
2. разность фаз колебаний должна быть постоянной хотя бы на время волны наблюдений,
3. колебания каждой из суммируемых волн должны лежать в одной плоскости.
Практическое получение когерентных колебаний связано с определенными трудностями.
Необходимо иметь в виду, что световые волны получаются при излучении атомов, когда
электорны переходят с одного энергетического уровня на другой. Время излучения крайне
незначительно и составляет около 10 –8 сек. Новый кат излучения происходит с другой начальной фазой, которая раз от раза изменяется случайным образом. На языке корпускулярных представлений такая порция излучения называется квантом, а в волновой теории ее называют цугом. Для получения
когерентных волн необходимо, чтобы они происходили из
одного цуга. Это можно сделать лишь путем его деления (см.
рис.41). Для этих целей используются специальные приспособРис.41. Схема получения ления: билинзы Бийе, бипризмы и бизеркала Френеля и др.
(рис.42). Во всех случаях явление интерференции возможно,
когерентных волн.
если максимальная разность хода не превышает длину цуга L = c, где = 10 –8 сек – время
излучения цуга,т.е. L=3м.
Рис.42. Интерференционные схемы: а)бипризма Френеля, б)билинза Френеля.
«Раздвоение» источника достигается либо преломлением в призме, либо отражением в двух
зеркалах. Угол «разворота» зеркал и преломляющий угол призмы близки к 1800 для того,
чтобы достичь наилучшей видимости картины интерференции.
Как было показано, амплитуда суммарных колебаний определяется разностью хода интерферирующих волн или разностью фаз складывающихся колебаний. Если разность фаз
изменяется случайным образом, то среднее значение cos за время наблюдения равно нулю, и мы видим обыкновенное сложение интенсивностей. Если же источники когерентны, то
при условии k(x2 –x1) = 2n колебания дадут максимум суммарной амплитуды, а при k(x2 –
x1) = (2n-1) - минимум. Учитывая, что k = 2/ , ( - длина волны ) условия макси-мума и
минимума интенсивностей можно записать так:
(x2 –x1) = 2n/2
для максимума и
(x2 –x1) = (2n-1)/2 для минимума.
Это значит, что если разность хода интерферирующих волн равна четному числу полуволн,
то получается максимум, а если нечетному – минимум интенсивности. Нарушение закона
сохранения энергии при этом не происходит. Она лишь перераспределяется – в max – больше, а в min меньше, но средняя энергия остается неизменной. Глаз воспринимает такое
перераспределение как чередование темных и светлых полос, контрастность которых
определяется соотношением интенсивностей интерферирующих источников.
§ !0 –4 Полосы равной толщины.
Наиболее часто в повседневной жизни явление интерференции проявляется в так
называемых полосах равной толщины, которые получаются при отражении света от тонких
Рис.43. Интерференция в тонких пленках.
пленок. Пусть имеется тонкая пленка переменной толщины (рис.43), на которую падают параллельные лучи
света. Выберем два луча, один из которых отражается от
верхней поверхности пленки, а другой – от нижней. Разность хода между лучами определяется удвоенной длиной
AD и участком ВС. Однако следует иметь в виду, что
пленка является более плотной оптической средой, и скорость света в ней меньше. Вследствие этого время, затрачиваемое светом на прохождение пути AD будет больше
в n раз, где n – показатель преломления пленки. Поэтому
принято говорить об оптической длине пути света, которая равна ADn. Теперь разность оптических путей лучей
1 и 2 = 2n(AD) – BC +/2. Величина /2 добавляется потому, что происходит изменение
фазы волны на 180 0, что эквивалентно увеличению пути на /2.Из рис можно увидить, что
AD = DF/cos;AF = DFtg;AC = 2AF= =2DFtg;BC =ACsin = 2DFtg sin. Согласно закону
преломления света sin = nsin. C учетом этого = 2nDF/cos - 2DFsintg + +/2 = 2nDF(1- sin2)/cos +/2 = 2DFcos +/2.
Если = (2n-1)/2, то 2DFncos =n cоответствует условию минимума освещенности, а =
=n= 2DFncos +/2 – условию максимума.Условия интерференции будут одинаковыми для
всех мест, где толщина пленки также одинакова, в связи с чем говорят, что интерференционная картина локализована на поверхности пленки. При наблюдении в белом свете карти-на
усложняется, т.к. для каждого из цветовых компонент белого света условия max и min будут
свои. На поверхности пленки будут видны цветные пятна (вспомните пленки бензи-на и
масла на поверхности луж). Частным случаем полос равной толщины являются
Рис.44. Схема для наблюдения колец Ньютона.
кольца Ньютона. Роль пленки переменной толщины здесь играет воздушная прослойка между собирающей линзой и стеклянной пластинкой (см.рис.44). Т.к. оптическая структура обладает осевой симметрией, наблюдающиеся интерференционные полосы принимают вид концентрических колец. Для
толщины прослойки h разность хода между лучами, отраженными от нижней поверхности линзы и от пластинки соответственно равна =2h +/2 - (/2) добавляется из-за условий
отражения. В то же время из рис.44 на основании свойств
перпендикуляра. опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу, следует:
2R h h rm2
,
где m – номер наблюдаеиого кольца. Пренебрегая малой величиной h2 по сравнению с радиусом линзы R,находим 2Rh rm2 . Для темных колец = (2m+1)/2 = 2h + /2 и 2h =m.
Подставляя это соотношение в формулу для квадрата радиуса кольца, получим:
rm mR .
Лекция 11
Дифракция света.
§ 11 –1Метод зон Френеля.
Дифракией называется когерентное рассеяние света на объектах, геометрические
размеры которых сранимы с длиной световой волны. Наблюдающаяся дифракционная картина является результатом интерференции вторичных источников, образующихся на поверхности объекта. Расчет интерференционной картины можно проводить пользуясь методом суперпозиции, однако применение этого метода сопряжено с известными математическими трудностями. В связи мы ограничимся рассмотрения качественного подхода к решению поставленной задачи, развитого Френелем. Основной идеей, определяющей сущность такого рассмотрения, является принцип Гюйгенса –Френеля, который представляет
собой дополненный принцип Гюйгенса. Френель постулировал, что все элементарные вторичные источники являются когерентнми. Для оценки результирующей амплитуды
колебаний в точке наблюдения был разработан специальный метод, получивший название
метода зон Френеля. Согласно этому методу волновой фронт (будем называть волновым
фронтом поверхность, которая соединяет все точки, колеблющиеся в одинаковой фазе) разбивается на отдельные участки, именуемые зонами. Разбиение на зоны должно удовлетворять двум условиям:
1.площади всех зон одинаковы,
2.расстояния от двух соседних зон до точки наблюдения отличаются на половину длины
волны.
Первое условие означает, что амплитуды колебаний от всех зон в точке наблюдения будут
одинаковыми, тогда как из второго условия следует, что колебания двух соседних зон складываются в противофазе. В этом случае вместо вычисления сложных интегралов достаточ-но
подсчитать число зон. Если оно – четно – в точке наблюдения будет минимум освещен-ности
(зоны попарно гасят друг друга), если же количество зон на участке волнового фрон-та,
видимого из точки наблюдения, окажется нечетным – в ней будет конечная освещен-ность.
§ 11 –2 Метод векторных диаграмм.
Для оценки вкладов от каждой зоны в суммарную освещенность используем метод
векторных диаграмм. Для этого разобьем каждую зону на ряд узких «подзон» так, что каждая подзона отличается от соседней лишь небольшим сдигом по фазе. Колебания каждой из
«подзон» будем представлять в виде вектора, длина которого определяется амплитудой ко-
Рис.45. Векторная
диаграмма одной
лебаний. Площади «подзон» выберем одинаковыми. Как видно из
рис.45, вектора каждой «подзоны» оказываются повернутыми относительно соседних на небоьшой угол, но «подзоны» на противоположных краях зоны отличаются по фазе на 1800 .Суммарное действие всех
«подзон» изображается вектором Е . Нетрудно сообразить, что при
устремлении ширины каждой «подзоны» к нулю, получившаяся ломаная линия превращается в плавную полуокружность.
зоны.
Действие двух зон должно быть равным нулю, но оказывается, что амплитуды колебаний зон
не совсем одтнаковые. Их величина зависит от косинуса угла между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку наблюдения. Результат сложения двух и трех зон
показан на рис.46( б,в и г).
Как видно из рис., две зоны почти уничтожаются, а
амплитуда третьей зоны
почти равна амплитуде
первой. Там же показано
(рис.46а) действие всего
Рис.46. Векторные диаграммы для разного числа зон.
волнового фронта А0, когда препятствие отсутству-
ет. Оно оказывается в два раза меньше, чем действие первой зоны. Витки спирали расположены достаточно плотно, и при большом количестве открытыз зон суммарная амплитуда А
А0 остается практически неизменной при изменении числа зон.
§ 11 –3 Дифракция Френеля на круглом отверстии.
Рис.47. К вычислению радиуса зоны.
Применим метод зон к анализу так называемой дифракции Френеля, когда источник
света – точечный, и волновая поверхность
имеет форму сферы.В качестве препятствия
рассмотрим небольшое круглое отверстие в
непрозрачном экране. выберем точку наблюдения О так, чтобы в отверстии укладывалось бы целое число зон Френеля. Пусть
волновой фронт от точечного источника S,
дошедший до экрана, имеет радиус SB = а (см. рис.47). Расстояние от точки наблюдения О
до плоскости экрана равно МО = b+. Мысленно разобьем волновой фронт на концентрические зоны ( на рис.47 показана одна зона) так, что расстояние от n – зоны до точки наблюдения О равно b + n/2. Из треугольника SBM по теореме Пифагора получим:
МВ2 = SB2 – SM2 = rn a a 2a .
2
2
2
Аналогично из ОМВ : MB SB SM = rn a a 2a .
2
2
2
2
2
2
(IV)
(V)
Члены, содержащие множители 2 и 2, отброшены как малые по сравнению с a и b. Приравнивая правые части уравнений (IV) и (V), получим 2a b bn Выражая отсюда и
подставляя его в (IV), получим формулу для радиуса любой зоны:
rn
abn
.
ab
Численные значения радиуса первой зоны можно оценить, полагая a b 1м, 0,5мкм.
Подстановка этих значений показывает, что r1 0,3 мм. Поэтому при диаметре отверстия 1 - 2 мм в нем уложится 5-7 зон. Поскольку их амплитуды примерно одинаковы, результат
сложения существенно зависит от числа зон. При нечетном числе зон в точке наблюдения
будет максимум, а при четном – минимум освещенности. Рассмотрим, как будет изменяться результат сложения колебаний при изменении положения точки О. Если точка смещается
вдоль оси SO, то характер разбиения на зоны
не изменится, произойдет лишь изменение
числа зон, укладывающихся в отверстии, т.е.
будет наблюдаться чередование максимумом и
минимумов освещенности. Если же точка О
смещается перпендикулярно оси SO, то характер разбиения на зоны также не изменится, но
произойдет поворот направления наблюдения
относительно перпендикуляра, восставленного
из центра отверстия к плоскости экрана (см.
Рис.48. Смещение зон относительно
рис. 48. Вследствие этого часть зон начнет заотверстия.
крываться, что приведет к изменению освещенности. Пусть для определенности в тот момент, когда точка наблюдения находится на оси OS, а в отверстии укладывается нечетное
число зон (например – три). Когда часть наружной зоны начнет закрываться, освещенность
уменьшится.Одновременно с противоположного края отверстия появится часть новой зоны,
которая еще больше уменьшит освещенность ( здесь нада вспомнить, что соседние зоны гасят
друг друга). Поэтому при дальнейшем удалении точки наблюдения от оси наступит момент,
когда освещенность уменьшится до нуля..Это условие будет выполняться для всех точек,
находящихся на окружности, радиус которой определяется расстоянием от точки наблюдения до оси OS. Вокруг светлой точки появится темное кольцо, продолжая рассужде-
ния подобным образом, можно придти к заключению, что дифракционная картина от круглого отверстия пред-ставляет собой чередование чветлых и темных колец.
§ 11 –4 Дифракция Френеля на круглом экране.
Рис.49. Диффракция на круглом
экране.
Пусть препятствием служит теперь небольшой непрозрачный диск, и пусть радиус волнового фронта
настолько велик, что волновая поверхность практически совпадает с плоской поверхностью диска
( рис.49). Разобьем волновой фронт на зоны способом, аналогичным изложенному в предыдущем параграфе. В точку наблюдения В приходят все колебания волнового фронта за исключением тех зон,
которые закрыты диском. Это суммарное колебание
на векторной диаграмме (см. рис.46) изобразится
вектором АД . Начало вектора соответствует точке,
лежащей на краю диска. При изменении расстоя-
ния от диска до точки В число закрытых зон будет меняться, и начало вектора А Д станет
описывать окружность вокруг центра спирали, тогда как конец вектора всегда находится в ее
центре. При большом числе открытых зон длина вектора почти не изменяется. Поэтому в
точке В будет наблюдаться светлое пятно (пятно Пуассона).
§ 11 –5 Дифракция Фраунгофера.
Этот вид дифракции наблюдается в параллельных лучах, когда волновой фронт становится плоским, а зоны Френеля принимают вид узких прямоугольных полосок. Опти-
Рис.50. Диффракция Фраунгофера на
ческая схема наблюдения этого вида дифракции представлена на рис.50. В роли препятствия здесь выступает узкая прямоугольная щель (узкая сторона щели лежит в плоскости рисунка). Разбиение поверхности щели
на зоны Френеля осуществляется следующим
образом: через край щели (точка М0 ) проводится плоскость (М0 Р), перпендикулярная
идущим в точку наблюдения лучам, а затем
проводятся параллельные ей плоскости, отстоящие друг от друга на полволны.Эти плоскости, пересекая плоскость щели, разбивают
ее на зоны Френеля, которые представляют
собой полосы, параллельные краям щели:
щели.
границы зон изображаются точками М 0,М1, М2 …, а отрезки М 0М1 , М1М2 определяют
ширину первой, второй и т.д.зон.Из рис видно,что в расчете не учитывается разность хода от
плоскости М0Р до фокуса линзы Л, предназначенной для создания резкого изображения на
экране. Это является следствием таутохронизма линзы, означающего, что лучи прохо-дят
пути от М0Р до фокуса линзы за одинаковое время. Попутно заметим, что линза Л К
предназначена для создания параллельного пучка лучей. Предположим, что угол выбран
таким образом, что на ширине щели укладывается целое число зон, т.е. МР = k/2 ( k = 1,2,3
…). В то же время из М0РМ следует, что МР = ММ0 sin или MP = bsin. Если число зон
четное ( k =2m), то выбранное направление соответствует минимуму освещенности ( зоны
попарно гасят друг друга), а если – нечетно (k = 2m-1) – то максимуму. Таким образом,
имеем:
bsin = m - условие минимума,
bsin = (2ь-1)/2 – условие максимума.
При движении точки наблюдения в направлении, перпендикулярном плоскости
рисунка (вдоль длинной стороны щели) картина не изменяется, и на экране видны чередующиеся темные и светлые полосы. Однако интенсивности светлых полос быстро убывают так, что практически с трудом удается наблюдать более двух таких полос с каждой
стороны от центрального максимума.
§ 11 –6 Дифракционная решетка.
Рис.51. Дифракция на щели.
Возьмем теперь в качестве препятствия дифракционную решетку, т.е непрозрачную пластинку с одинаковыми параллельнымии равноотстоящими друг от друга щелями(рис51).
Обозначим, как и прежде, ширину щели b, а
ширину непрозрачного участка – а . Величину d = а + b назовем периодом или постоянной решетки.Выбирая ту же волновую поверхность, что и при рассмотрении дифрак-
ции на одной щели, и применяя принцип Гюйгенса-Френеля, можно заметить, что теперь в
каждой точке экрана для наблюдений собираются лучи, идущие от всех N щелей. Для вычисления результата сложения выделим в каждой щели одинаковые точки(например- верхние).Две таких точки в соседних щелях при заданном угле имеют разность фаз, равную
2
d sin . В точке наблюдения колебания от всех щелей сложатся в одинаковых фазах,
2
d sin = 2n, откуда получается усесли разность фаз равна 2n (n =0,1,2…), т.е. =
ловие для максимумов dsin = n . Можно показать, что кроме этих максимумов существуют еще другие, положения которых зависит от числа щелей, но интенсивность их крайне не
значительна. Чтобы различать эти максимумы с теми, которые удовлетворяют условию dsin
= n, принято называть их дополнительными максимумами, а максимумы, соответ-ствующие
условию dsin = n - главными. Значение числа n определяет порядок главного максимума
(первый максимум, второй и т.д) Между максимумами должны располагаться минимумы
освещенности, но с практической точки зрения они не представляют особого интереса и в
нашем курсе не рассматриваются.
=
Полученные условия главных максимумов справедливы для одной длины волны света. Если же свет – белый, то для каждого из его составляющих цветов условия максимумов
будут соответствовать различным углам , т.е. на экране получится набор цветных полос.
Другими словами, дифракционная решетка позволяет анализировать спектральный состав
световых лучей. Поэтому решетку можно использовать как спектральный аппарат. Все
спектральные аппараты характеризуются такими величинами как дисперсионная область,
угловая дисперсия и разрешающая способность.
Дисперсионная область G определяет ширину спектрального интервала от до+ , в
котором максимумы для различных волн не перекрываются друг с другом.Величина G =/n,
где n - порядок максимума.
Угловая дисперсия D определяет угловое расстояние между волнами, длина которых
отличается на единицу (длины).Выражение для определения D можно получить, дифференцируя условия главных максимумов: dcos =nd. Отсюда D определяется как
D
n
.
d cos
Под разрешающей способностью А подразумевается возможность спектрального
аппарата различать линии, соответствующие близким значениям длин волн и + . Она
определяется выражением
A
.
§ 11 –7 Дифракция рентгеновских лучей.
Рентгеновскими лучами называют электромагнитное излучение, длина волн которого
примерно равна !0 –10 м. Длина волны рентгеновских лучей много меньше световых волн,
Рис.52. Дифракция рентгеновских лучей.
поэтому наблюдать дифракцию этих лучей в стандартных схемах не удается. Препятствиями, размеры которых сравнимы с длиной волны рентгеновских лучей,
могут служить лишь межатомные расстояния в твердых телах. Схема дифракции показана на рис.52. Атомы кристалла расположены в правильном порядке, образуя плоскости, отражающие лучи. Коэффициент преломления лучей близок к единице, и лучи отражаются
от различных плоскостей без заметного преломления
(nр 1). Обозначая угол скольжения лучей через , а
расстояние между отдельными слоями через d, можно
заметить, что разность хода между интерферирующими лучами =AD +DC – BC. Из ADF
AD = FD/sin; AF = dtg, а из АВС ВС = 2AFcos. С учетом того, что AD = DC, имеем:
2d
2d cos2
2d sin .
sin
sin
Условие максимума будет выполняться при 2dsin = k , где k –целое число. Полученная
формула носит название формулы Вульфа – Брэггов.
Рассмотренный случай дифракции относится к конкретным межатомным плоскостям
и монохроматическому излучению, что заметно упрощает анализ условий образования максимумов. В действительности же межатомные плоскости могут быть ориентированы произвольным образом, причем в роли интерферирующих лучей могут выступать лучи,
отраженные не только от соседних плоскостей. Кроме того, следует иметь ввиду, что реальные кристаллические структуры имют три измерения, каждому из которых могут соответствовать различные условия образования максимумов. Тем не менее рентгенографический
метод анализа кристаллов нашел широкое применение в петрографии, рентгеноструктур-ном
анализе и ряде других приложений.
Лекция 12
Поляризация света. Взаимодествие света с веществом.
§12-1 Явление поляризации.
Обычно считается, чтопонятие поляризации связано с сохранением неизменной ориентации плоскости колебаний. Говорить о поляризации имеет смысл только для поперечных
колебаний. Свет, как мы знаем, является электромагнитной волной, а эти волны – попереч-ны
и поляризованы (см.рис.37) так, что казалось бы, световые колебания всегда должны быть
поляризованы. Однако мы знаем, что световые волны испускаются отдельными цуга-ми,
продолжительность которых не превышает 10–8 сек. Процесс испускания является случайным, и фаза испущенной волны, а также ориентации векторов Е и В в плоскости, пер пендикулярной
направлению излучения, могут быть любыми.Т.к.
вектора Е и В в волне жестко связаны друг с другом,
имеет смысл рассматривать лишь один из них (пусть,
для определенности, это будет вектор Е). В среднем, в
любой волне все допустимые ориентации вектора Е
Рис.53. Прохождение света через
анализатор и поляризатор.
равновероятны (см. рис.53). Существуют приспобления, называемые поляризаторами, которые обладают
способностью пропускать через себя световые лучи
только с одним направлением плоскости колебаний электрического вектора Е, так что на
выходе поляризатора свет становится плоско (линейно) поляризованным. Человеческий глаз
не в состоянии обнаружить, поляризован свет или неполяризован. Для того, чтобы
обнаружить это, необходимо использовать второе такое же приспособление, которое называют анализатором. Если направление пропускания анализатора и поляризатора совпадают, луч света на выходе из анализатора имеет максимальную интенсивность. При произвольном угле между направлениями анализатора и поляризатора (см.рис.53) амплитуда
световых колебаний, выходящих из анализатора ЕА = ЕП cos, где ЕП – амплитуда колеба-ний
на выходе из поляризатора. В электромагнитной волне плотность энергии (интенсив-ность)
пропорциональна квадрату амплитуды колебаний Е, т.е. I П Е 2П и IА Е 2А . На осно-вании
этого получаем:
I A I П cos 2 .
Это соотношение называется законом Малюса.
§12-2 Закон Брюстера.
Простейшим приспособлением для поляризации света может служить прозрачное
диэлектрическое зеркало. Пусть на диэлектрик (см. рис.54) падает луч естественного све-
та. Обозначим через n2 коэффициент преломления диэлектрика,
а через n1 – коэффициент преломления среды, откуда падает свет
( - угол падения, - угол преломления). Условимся изображать
направление колебаний вектора Е в виде точек или тонких черточек, где точка изображает направление вектора, перпендикулярное плоскости чертежа, а черточка означает, что вектор Е лежит в плоскости чертежа. В естественном свете равновероятны
все направления колебаний Е, что изображается в виде того, что
количество точек и черточек одинаково. Опыт показывает, что
Рис.54. Поляризация отраженный и преломленнвй лучи становятся частично полярисвета при отражении зованными, причем в отраженном свете преобладающими становятся колебания, плоскость которых перпендикулярна плоси преломлении.
кости чертежа, а в преломленном предпочтительнее оказываются направления колебаний в
плоскости чертежа ( на рис. это изображается в виде преимущества числа точек или черточек). Существует угол падения, при котором отраженные лучи становятся полностью поляризованными. Этот угол называется углом Брюстера, его значение связано с отношением
n2/n1 = n21, т.е. относительным показателем преломления:
tg n 21 .
Качественное объяснение этого закона следует из рассмотрения микроскопической картины
распространения светв в веществе. Рассмотрим упрощенную модель взаимодействия света с
веществом, согласно которой переменное электрическое поле световой волны приводит в
двихение атомы вещества. Атом же представим как диполь, где роль отрицательного заряда
Рис.55. Индикатрисса излучения диполя.
играет внешний электрон, а вся остальная
часть атома рассматривается как положительный заряд (ион). Т.к. масса положительного иона во много раз ( более 2000) больше,
чем масса электрона, можно рассматривать
лишь колебания электрона. Строгая теория
электромагнетиза показывает, что колеблющийся диполь становится излучателем электромагнитных волн, причем интенсивность
излучения различна в разных направлениях.
Для иллюстрации анизотропности излуча-
тельной способности диполя строится диаграмма (индикатрисса), на которой интенсивность
излучения в заданном направлении изображается в виде вектора. Длина этого вектора и характеризует интенсивность излучения. Пространственное изображение индикатриссы приведено на рис.55. В правой части рисунка показано сечение диаграммы вертикальной плоскостью, проходящей через центр диаграммы.
Положения рассмотренной модели применим для объяснения закона Брюстера. В падающем на границу раздела двух сред естественном свете вектор Е принимает всевозможные направления (см.рис.53), но без ограничения общности можно рассматривать лишь два:
Рис.56. К выводу закона Брюстера.
Е и Е , т.к. любой вектор Е можно представить как их сумму (см. левую часть
рис.56). Вектор Е соответствует колебаниям, которые происходят в направлении, перпендикулярным плоскости чертежа,а Е характеризует колебания в этой плоскости.
Представляет интерес рассмотреть лишь составляющую Е .Если диполь излучает волну
Е в направлении преломленного луча ( пра-
вая часть рис.56), то из диаграммы направленности следует, что в направлении,перпендикулярном этому лучу, никакого излучения не происходит. В этом направлении излучаются
лишь волны с напряженностью Е . Из этого следует, что если луч преломленный и луч отраженный перпендикулярны друг другу, то в отраженном свете полностью отсутствуют колебания с Е .Из рисунка видно, что + + 900 = 1800,или + =900, тогда как из закона
преломления следует, что sin = n21 sin . Подставляя в закон преломления = 900 - , получим sin = n21sin(900 -) = n21cos, т.е.
tg = n21.
§12-3 Поглощение света.
При прохождении света через вещество часть энергии световой волны поглощается,
переходя во внутреннюю энергию вещества. Для оценки величины этих по-терь рассмотрим
световой поток, распространяющейся вдоль оси х (рис.57).0пыт показы-вает,что при прохождении очень тонкого слоя вещества толщиной dx относительная убыль
интенсивности, т.е.отношение изменения интенсивности dI в этом слое к интенсивности падающего света
I(х) ( см.рис.57),пропорциональна толщине слоя:
dI
Kdx ,
I
где коэффициент К, зависящий от свойств вещества,
называется коэффициентом поглощения.Знак минус
отражает убывание интенсивности с ростом х. Изменение интенсивности света при прохождении слоя конечной толщины х находится путем прямого интегрирования вышеприведенной формулы:
Рис.57. Изменение интенсивносI
x
dI
ти света при его поглощении.
I I 0 Kdx .
0
Потенцируя последнюю формулу, получим известный закон Бугера: I I 0 e Kx .
§ 12 - 4 Рассеяние света.
Плоская волна, распространяющаяся в однородной среде, остается плоской.Однако если среда неоднородна и в ней имеются включения с другими оптическими свойствами, то
кроме волны, распространяющейся в первоначальном направлении, появляются волны, рассеянные в стороны. Эти волны уносят часть энергии и уменьшают интенсивность первоначального луча. Характер рассеяния зависит от размеров и природы неоднородностей.Если их
размеры больше длины волны.то наблюдается чисто геометрическое рассеяние.Это касается
прежде всего твердых частиц, взвешенных в воздухе.Падающий на разные участки поверхности частицы солнечный свет отражается под различными углами. Если при этом спектральный состав света не меняется, то рассеянный свет остается белым (примером это-го может
служить белый цвет неба в пустынях.когда восходящие воздушные потоки пере-носят в верхние слои атмосферы мелкие частицы песка). В целом наблюдаемая картина рас-сеяния очень
чувствительна к размерам и форме неоднородностей( радуга и гало вокруг солнца, вызванные
наличием в земной атмосфере соответственно капелек и льдинок).
Если размеры неоднородносей существенно меньше длин волн света, то интенсивность рассеянного света удовлетворяет закону Рэлея: Iрас~ Io 4 , где -частота падающего света, причем интенсивность рассеянного света различна по разным направлениям (т.е
анизотропна). Сильная зависимость интенсивности рассеянного света от частоты означает,
что существенно сильнее рассеиваются волны с большей частотой. В частности, если
через среду идет волна от источника белого
света (от Солнца - см.рис.58),то при наблюдении сбоку среда кажется голубоватой, а
сам источник на просвет выглядит более
красным. Этим объясняется голубой цвет
неба и красный цвет зари. Разные цветовые
Рис.58. Рассеяние света в атмосфере.
оттенки получаются из-за разных геометрических расположении источника и наблюдателя. Так в глаз наблюдателя 1 ( см.рис.) приходит прямой луч, тогда как наблюдатель 2 видит, в основном, рассеянные лучи.
§ 12 - 5 Дисперсия света.
Дисперсией называется зависимость скорости распространения световой волны в
среде от частоты. Поскольку скорость волны однозначно связана с показателем прелом-ления
среды ( v = c/n; n = ), то нашей задачей будет выяснение характера зависимости
диэлектрической постоянной от частоты. Здесь уместно напомнить, что =1+ ( диэлектрическая восприимчивость, определяющая соотношение между поляризацией вещества Р и действующем электрическим полем Е : Р = о Е ).В то же время величина вектора
поляризации определялась как суммарный дипольный момент единичного объема: Р =Nqx,
гдe величина qx характеризует дипольный момент каждой молекулы диэлектрика. При
решении задачи будем пользоваться той же моделью.что применялась ранее при рассмотрении закона Брюстера. Под действием переменного электрического поля световой
волны расстояние электрона до положительного иона периодически изменяется.т.е. элек-трон
совершает вынужденные колебания под действием внешней периодической силы.Вид этого
уравнения, и его решение уже изучались ( см уравнение колебаний в кон-туре).Поэтому
можно сразу написать выражение для амплитуды колебаний электрона в атоме:
x
m
eE
(02
) 4
2 2
2 2
,
где характеризует затухание колебаний, а 0 может рассматриваться как собственная
частота колебаний электрона в атоме.Для упрощения математических выкладок будем
пренебрегать затуханием,т.е положим = 0.Тогда величина поляризации равна:
Р = Ne
2
m
E
02
2
.
С другой стороны,выше указывалось,что Р = 0 Е, поэтому
1
= Ne 2
.
m 0 02 2
Ne 2
Тогда
= 1 + = 1 +
;
0 m 02 2
Таким образом, имеем:
= n2 .
Ne 2
.
0 m 02 2
График частотной зависимости в сделанных упрощениях показан на рис.59. Из рис. видно,что вдали от резонансной
частоты показатель преломления (точнее n2 ) возрастает пропорционально квадрату частоты.Такая частотная зависимость
получила название нормальной дисперсии. Когда же частота
внешних колебаний приближается к частоте собственных,
амплитуда возрастает неограниченно.Ясно,однако,что этот
результат есть следствие наших упрощений. При наличии затухания кривая имеет конечный максимум ( см. рис.59 ).
Вблизи резонансной кривой показатель преломления имеет
другой характер зависимости. Говорят, что - это область аноРис.59 Частотная зависимальной дисперсии, т.к. для нее величина n2 падает с ростом
мость показателя преломчастоты, причем это наблюдается на фоне повышения погления.
лощения света (амплитуда колебаний электрона возрастает).
n2 1
Лекция 13
Законы теплового излучения.
§13 - 1 Закон Кирхгофа.
Обычно тепловым излучением считают электромагнитные волны, длина волны которых лежит в интервале от одного до нескольких десятков микрон (1 мкм = 10 - 6 м). Эти
волны, также как и свет, испускаются атомами в виде отдельных цугов, начальная фаза и
поляризация которых изменяются хаотически от одного элементарного акта испускания к
другому. Поэтому тепловое излучение является некогерентным,и его закономерности оказываются справедливыми для всего диапазона электромагнитных волн.
Опыт показывает, что тепловое излучение можно охарактеризовать некоторыми па-раметрами. Известно,например, что интенсивность излучения зависит от температуры. Дру-гим
важным свойством излучения является его спектральный состав, т.е распределение интенсивности по различным частотам. Наиболее общей величиной для характеристики теплового излучения может служить поток энергии.Количество энергии, приходящееся на единичный интервал частот, которое испускает единица площади (1м2) нагретого тела называется излучателыной способностью:
Е ,Т = d Физл / d .
Одновременно вводится понятие поглощательной способности А ,Т , определяемой
как отношение поглощенной энергии к падающей,т.е.А ,Т = dФпог / dФпад .Тело, поглощательная способность которого равна единице.называется абсолютно черным телом.
Между испускательной Е ,Т и поглощательной А ,Т способностями существует
определенная взаимосвязь. Для установления этой взаимосвязи
рассмотрим некую замкнутую полость, вырезанную внутри
изолированного от внешних воздействий тела(см.рис.60).
Каждый участок поверхности полости излучает и поглощает
лучистую энергию.Согласно законам термодинамики через некоторое время внутри полости наступит равновесие – темпераРис.60.Излучение в зам- тура всех ее частей(и излучения тоже) станет одинаковой.
Излучение, находящееся в тепловом равновесии с окружающи-
кнутой полости.
ми телами,называется равновесным. Опыт показывает, что в природе излучение всегда
равновесно, т.е.его интенсивность и спектральный состав в точности соответствует температуре излучившего его тела.
Существующий между различными участками поверхности тепловой баланс должен
выполняться для всех каналов теплообмена, т.к. в противном случае можно бы было
перекрыв любой из них добиться нарушения равновесия,что противоречит законам термодинамики.В частности.это значит.что равновесие выполняется для каждого частотного
интервала. Выделим внутри полости некоторую площадку S, излучательная способность
которой равна Е,Т, а поглощательная - А,Т , и пусть на эту площадку падает поток энергии
dФпад.B интервале частот от до + d площадка излучает поток энергии dФизл = Е,Т Sd и
поглощает dФпог = А,ТdФпад.В равновесии dФизл = dФпад. Из этого следует:
E ,T
dФпад =
dS .
A ,T
Заменим теперь площадку S участком поверхности абсолютно черного тела с излучатель-ной
способностью ,Т .Равновесие от этого нарушится не должно, и поток падающей энер-гии
должен сохранить свое значение: dФпад = ,Т S d . Сравнивая это выражение с выраже-нием
для падающего потока энергии на площадку S, получим:
E ,T
,T
A ,T
т.е. отношение испускательной и поглощательной способностей остается постоянным для
любого тела.. Другими словами, их отношение есть универсальная функция частоты и
температуры.Это положение носит название закона Кирхгофа.
§ 13 - 2 Вывод выражения для излучательной способности.
Это выражение впервые было получено М.Планком, который, опираясь на известный
ему экспериментальный материал, предположил, что энергия световой волны пропорциональна не квадрату ее амплитуды, а частоте , т.e. Есв = h , где h - коэффициент пропорциональности, известный теперь как постоянная Планка ( h = 6,62 10 -34 Дж сек.), причем процесс излучения происходит не непрерывно, а отдельными порциями - квантами. В связи с
этим предположением энергия диполей также изменяется скачком от E1 до Е2. Однако мы
приведем более простой вывод, принадлежащий А.Эйнштейну. Основная идея этого вывода
состоит в том, что кроме спонтанных актов излучения, происходящих с вероятностью А i k
существуют вынуженные элементарные акты излучения и поглощения под действием внешней периодической силы, вероятности которых Вi k или Вk i , в зависимости от направления
перехода.
Рассмотрим систему, состоящую из большого числа (No) диполей, находящуюся в состоянии равновесия с тепловым излучением, спектральная плотность энергии которого( т.е.
излучательная способность) равна ,Т .
Обозначим энергию диполя до момента излучения через E1, a энергию диполей после излучения – E2 ; число диполей в состояниях Е1 и Е2 - через N1и N2 . Количество спонтанных переcп
ходов из состояния с энергией Е1 в состояние с энергией Е2 равно N12
= A12 N1 .B то же
время под действием теплового излучения, характеризующегося излучательной способ-ностью ,Т происходят вынужденные переходы как из состояния 1 в состояние 2, так и
вын
обратно.Число этих переходов равно N 12
= N1В12 ,Т , N вын
21 = N2 B21,Т .
В состоянии теплового равновесия число переходов из состояния I в состояние 2 должно
равняться числу переходов из состояния 2 в состояние l.Ha основании этого запишем
вын
cп
N12
+ N 12
= N вын
21 или А12N1 +N1В12 ,Т = N2 B21,Т .
Отсюда находим ,Т :
A12
.
N2
B 21
B12
N1
Для оценки отношения N2 / N1 используем представления классической статистики,
позволяющей на основании распределения Больцмана вычислить число частиц с заданной
энергией:
N1 N 0 e E1 / kT ; N 2 N 0 e E 2 / kT , где N0 -общее число частиц в системе. Отсюда
,Т =
A12 N1
B 21 N 2 B12 N1
N2
e E1 E 2 / kT .
N1
Тогда с учетом того, что, как показывает эксперимент,В12 =В 21 , получим
A /B
,Т = h12/ kT 12 .
e
1
В последнем выражении использовано представление Планка, что E1 –E2 = h. Отношение
A12 / B12 не может быть вычислено в нашем курсе. Строгий расчет показывает, что оно рав-но
h3 /с2 , где с – скорость света. Поэтому выражение для излучательной способности приобретает следующий вид:
1
h 3
,Т = 2
.
h
c
kT
e 1
Графическая зависимость излучательной способности
приведена на рис.61, где по оси частот отложена угловая частота =2n.
§ 13-3 Законы Стефана- Больцмана и Вина.
Из рис.61 видно, что для каждой температуры
излучательная способность имеет максимальное
значение при определенной частоте излучения. Для
определения этой частоты проведем исследова-ние на
экстремум величины ,Т , предварительно проведя
замену перемен-ной в целях сокращения записи.
Введем новую переменную х:
h
х=
;
kT
xkT
kT
x 3 k 3T 3
3
тогда =
;
=
и
d =
dx .
3
h
h
h
Рис.61 Зависимость излучательТеперь выражение для излучательной способности
ной спосбности от частоты и
приобретает такой вид:
температуры.
k 3T 3 3 1
,Т = 2 2 x x
.
e 1
c h
Вычисляя первую производную и сокращая полученный результат на постоянную величи-ну,
имеем:
3x 2 e x 1 x 3 e x
= 0.
2
ex 1
Из этого выражения видно, что оно равно нулю, если числитель дроби равен нулю, откуда
для определения экстремального значения х получаем трансцендентное уравнение:
e x 3 x 3 .
Можно показать,что это уравнение имеет решение (приближенное значение х м =2,8214 ), для
простоты обозначим его а',т.е. х М = а', или hМ / kT = а', откуда следует закон Вина:
М =аТ.
В этом выражении постоянная а является комбинацией других постоянных: а = a’ , k / h .
Определим интегральную излучательную способность Ет (она называется энергети
ческой светимостью) как ЕT = ,T d , или в обозначениях новой переменной:
0
k 4T 4
x3
ET = 4 2 x
dx .
h c 0 e 1
Интеграл в этом выражении является табличным,его величина равна л4 / 15.0бозначая через
4k 4
получаем следующее выражение для энергети-ческой
комбинацию постоянных
15h 4 c 2
светимости: ЕТ = Т4, которое известно как закон Стефана-Больцмана.
Сравним теоретические выводы с практикой.Экспериментальные данные показывают,
.что при комнатной температуре максимум излучения лежит в далекой инфракрасной области, излучение в видимой области практически отсутствует. При температуре,
приближающейся к 1000 К, максимум по-прежнему в инфракрасной области, однако и излучение в видимой части спектра становится заметным ( см.рис.61). В силу того, что интенсивность от длинных, красных волн, к коротким, фио-летовым, падает, наибольшая интенсивность излучения приходится на красную часть спектра - это температура «красного
каления». По мере роста температуры различие в интенсивностях падает, излучение приобретает желтый, а затем белый цвет. При температуре между 5000 и 6000° К максимум проходит через область спектра, к которой человеческий глаз наиболее чувствителен. Температуре 5900 К отвечает температура поверхности Солнца, лучеиспускательная способность которого близка к лучеиспускательной способности абсолютно черного тела. Такое
излучение воспринимается глазом как белый, дневной свет. При более высоких температурах максимум смещается в ультрафиолетовую область, а интенсивность в фиолетово голубой области становится большей, чем в красной. Излучение приобретает голубой оттенок.
Лекция 14
Строение вещества.
§14-1 Теория атома Бора.
Изучая прохождение а-частиц (ядер атомов гелия) через тонкую золотую фольгу, английский ученый Э.Резерфорд обнаружил, что большинство этих частиц свободно прохо-дит
через многочис-ленные слои атомов, и вещество в этих экспериментах ведет себя как крупное
сито.свободно пропускающее довольно тяжелые заряженные частицы. Для объяс-нения полученных результатов Резерфорд разработал так называемую планетарную модель атома, где
основная масса сосредоточена в ядре, размеры которого крайне малы,а электро-ны, входящие
в состав атома, вращаются вокруг этого ядра. Планетарная модель хорошо объясняла поведение а- частиц, но противоречила выводам классической физики: двигаясь с ускорением любая заряженная частица должна излучать электромагнитные волны. Энергия электрона в этом
случае должна быстро уменьшаться,и он должен упасть на ядро.
Датский физик Н.Бор сумел разрешить это противоречие, сформулировав три постулата,
которые легли в основу боровской теории строения атома. Эти постулаты гласили:
1.в атоме существуют стационарные орбиты, на которых электрон не излучает и не поглощает энергии,
2.радиус стационарных орбит дискретен; его значения должны удовлетворять условиям
квантования момента импульса электрона:
h
mvr =n
, где n - целое число,
2
3.при переходе с одной стационарной орбиты на другую электрон испускает или поглощает
квант энергии, причем величина кванта в точности равна разности энергий этих уровней:
h = E1 – Е2.
Из этих постулатов видно,что фактически Бором были введены новые - квантовые представления о свойствах электрона в атоме. Покажем,что в этих предположениях энергия элек-трона также становится дискретной (квантуется).
Пусть Ze - заряд ядра атома, вокруг которого вращается один электрон массы m. Радиус орбиты обозначим г, а скорость электрона на орбите - v. Тогда уравнение движения электрона можно записать в следующем виде:
mv 2
1 Ze 2
,
r
40 r 2
где сила, стоящая в правой части этого уравнения, представляет собой кулоновскую силу взаимодействия двух зарядов: е и Ze, a величина v2 /r характеризует центростремительное ускорение электрона. Сокращая знаменатели обеих частей этого уравнения и используя выражение второго постулата Бора, получаем систему из двух уравнений, где неизвестными являются скорость v и радиус орбиты r :
40 mv 2 r Ze 2 ;
2mvr nh .
Деля почленно одно уравнение на другое, получаем: v =
Ze 2
.Подставим выражение
2 0 nh
для скорости во второе уравнение нашей системы и найдем выражение для радиуса орбиты:
0n 2h 2
.
mZe 2
Общая энергия электрона на орбите складывается из его кинетической энергии и потен-циальной энергии его взаимодействия с зарядом ядра:
Wo = Т кин + Uпот ,
mv 2
1 Ze 2
W0
или
.
2
40 r
r=
Знак минус отражает тот факт,что заряд электрона - отрицательный. Подставляя в это выражение полученные ранее значения скорости и радиуса, находим:
mZ 2 e 4
mZ 2 e 4
1
W0 = 2 2 2 2 2 2 R 2 ,
8 0 n h
4 0 n h
n
2 4
mZ e
где R 2 2 называют постоянной Ридберга .
8 0 h
Таким образом общая энергия электрона в атоме оказывается отрицательной, и она увеличивается с ростом n.
Частота излучения, которое соответствует переходу с орбиты номера n на орбиту с
номером m, равна:
=
R 1
1
2 2 .
h m
n
Если атомы являются изолированными и не участвуют в других взаимодействиях, то допускаемые частоты образуют набор отдельных спектральных линий, соответствующих различным значениям чисел n и m. Обычно такое состояние атомов наблюдается в газах. Каждому
химическому элементу соответствуют свои спектральные линии - на этом основан спектральный анализ, позволяющий по наблюдаемому набору линий установить химичес-кий состав исследуемого объекта. При исследовании спектров испускания наблюдаются узкие светящиеся линии, а если свет проходит через холодный газ, то наблюдаются темные линии на
тех местах, которые соответствуют положению линий излучения горячим газом. Эти темные
линии называются спектрами поглощения.
При очень низких температурах электроны в атомах стремятся занять орбиты с наименьшими
значениями энергии, но при конечных температурах за счет энергии теплового движения
атомов электроны могут приобретать дополнительную энергию и переходить на более
высоколежащие орбиты, степень заселенности которых определяется распределением
Больцмана: чем выше значения энергии, тем меньшее количество электронов занимают данный уровень. Поэтому в обычном состоянии атомы больше поглощают электромагнитные
волны ( набор разрешенных частот может лежать в любом диапазоне), чем излучают. Для
того, чтобы процесс излучения преобладал над процессом поглощения, атому необходимо
сообщать энергию. Приобретая эту энергию, атомы переходят в возбужденное состояние, но
оно является энергетически невыгодным, и обычно через очень короткий промежуток времени электроны возбужденного атома переходят на орбиты с меньшей энергией. Процесс перехода является случайным, поэтому значение начальной фазы и направления колебаний векторов электрического и магнитного полей изменяются от одного атома к дру-гому хаотическим образом. Получающееся электромагнитное излучение является некоге-рентным. Однако
существует возможность своебразной синхронизации процессов излуче-ния. Использование
такой возможности определяет принцип действия генераторов корот-коволнового излучения
- мазеров и лазеров.
§ 14 - 2 Принцип действия лазера.
Как уже отмечалось, кроме случайных переходов электронов в атоме с одной орбиты
на другую, существуют еще и вынужденные переходы, происходящие под действием
внешнего переменного поля. В этом случае фаза и направление световых колебаний жестко
связываются с аналогичными параметрами вынуждающего излучения. Если в качестве такого излучения можно бы было использовать один или несколько квантов, то возникающее
вторичное излучение носило бы когерентный характер. Для достижения этого необходимо,
чтобы один и тот же квант вынуждающего излучения инициировал излучение большого
количества возбужденных атомов, которые ждали бы такого внешнего воздействия, т.е.их
время жизни в возбужденном состоянии было бы значительно больше, чем у обычных
атомов.Это значит, что атомы, как принято говорить, должны находится в метастабильном
состоянии.
Такое метастабильное состояние обычно получается в атомах примеси, находящихся в
окружении "чужих" атомов. Причины такой метастабильности суть прямое следствие
квантовомеханических расчетов, которые в нашем курсе не проводятся. Длительность пребывания атома в метастабильном состоянии в несколько тысяч раз превышает их время
жизни в обычном возбужденном состоянии. Для того, чтобы процессы излучения превалировали над процессами поглощения, требуется создать инверсию заселенности атомных
уровней, т.е.добиться того, чтобы число атомов с энергией Е2 было больше.чем число атомов
с энергией Е1 (Е2 >E1). Такая инверсионная заселенность достигается с помощью внешнего
воздействия: это либо сильный некогерентный свет, как в рубиновом лазере, либо газовый
разряд - в газовых лазерах, где энергия передается путем ионизации при столк-новениях.
Схема получения когерентного излучения в газовом лазере, работающего на смеси гелия и неона показана на рис.62. Смесь
гелия и неона помещена в газоразрядную
трубку. Атомы гелия испытывают возбуждения в газовом разряде и переходят в метастабильное состояние. При их столкновениях с атомами неона, последние также
переходят в возбужденное метастабильное
состояние. Трубка помещена между двумя
плоскими параллельными зеркалами так, что
случайно излученный квант многократно
отражается от зеркал и проходит через всю
трубку по ее длине. Такой квант могут
Рис.62. Схема действия гелиево-неонового излучать лишь атомы неона. Проходя мимо
лазера.
метастабильно возбужденных атомов неона,
этот квант вызывает у них вынужденное излучение. Это когерентное излучение, в свою
очередь, многократно отражаясь от зеркал, вызывает новые вынужденные переходы и т. д.
Процесс развивается лавинообразно.Для того, чтобы получившийся когерентный свет мог
выйти наружу, одно из зеркал делается полупрозрачным. Для лучшей фокусировки луча
зеркала делаются немного вогнутыми. Кроме того, для улучшения условий возбуждения
зеркала размещаются так, чтобы между ними укладывалось целое число световых волн.
Когерентный свет образуется при переходе с уровня Е2 на уровень E1 . Накопления атомов в
состоянии с Е1 не происходит, т. к. вступает в действие механизм передачи энергии от этих
атомов стенкам труб-ки путем упругих столкновении, если диаметр трубки не слишком
велик. Торцевые стенки трубки имеют важную конструктивную особенность. Если сделать
их перпендикулярными лучу, то при каждом прохождении луча света на границе раздела
теряется примерно 8-10% интенсивности падающего света. При многократном про-хождении
мощность потерь во много раз может превысить мощность выходящего луча.
Чтобы этого не происходило, торцевые стороны трубки делаются наклонными так , что
угол наклона (см. рис.63) равен углу Брюстера. Как мы знаем, при падении света под
углом Брюстера на прозрачную границу в
отраженном свете полностью отсутствует
Рис.63. Конструкция выходных окон лазе- поляризация, лежащая в плоскости падения.
ра.
Другими словами, это значит, что поляризация в плоскости падения целиком проходит через границу раздела вакуум - диэлектрик.
Лазеры ( название состоит из первых букв английского light amplification by stimulated
emission of radiation) находят очень широкое применение в современной науке и технике. Их
применяют при изготовлении деталей современной электроники, для сварки тканей в
медицине, термообработке деталей в машиностроении, передаче информации и т.п. С
лазерами связываются определенные надежды в получении управляемой реакции ядерного
синтеза.
§ 14 - 3 Строение ядра атома.
Согласно современным представлениям в состав ядра атома входят протоны и
нейтроны. Размеры ядра очень малы – всего10-'5 м. Частицы удерживаются в столь малых
размерах с помощью особых ядерных сил. Эти силы характеризуются тем, что они действуют только на очень малых расстояниях. Кроме того, они сильно зависят от расстояния
(не менее.чем 1/г3) и обладают свойством насыщения. Теория ядерных сил не может быть
изложена в рамках настоящего курса ввиду отсутствия соответствующей математической
базы, но некоторые представления о природе ядерных сил можно получить из гипотезы
японского физика Х.Юкавы, который в 1935 году предположил, что нейтроны и протоны
удерживаются благодаря тому, что они обмениваются друг с другом некими частицами,
масса которых примерно равна 300 массам электрона. Эти частицы получили название
мезонов ( для теории Юкавы - это так называемый минус - мезон). Суть взаимодействия
сводится к тому, что нейтрон испускает -мезон и превращается в протон, тогда как протон в
ядре тут же захватывает получившийся мезон и превращается в нейтрон. В настоящее время
идея Юкавы получила разразвитие в рамках другой теории - так называемой теории глюонов
( от английского слова glue - клей), однако изложение основ этой теории невозможно в курсе
общей физики.
Число протонов в атоме определяет его как химический элемент, тогда как число нейтронов в атоме может меняться - при этом образуются разные изотопы. У каждого элемента
периодической таблицы может быть несколько изотопов. Например, существуют три изотопа
водорода: протий, дейтерий и тритий.
Массы нейтрона и протона измерены достаточно точно. При этом было замечено.что
суммарная масса всех протонов и нейтронов, входящих в состав ядра атома, никогда не равняется массе данного химического элемента - масса ядра меньше суммарной массы всех нейтронов и протонов. Это явление получило название дефекта масс. Сущность этого дефекта в
том, что часть массы как бы превращается в энергию связи протонов и нейтронов в ядре( для
численной оценки используется знаменитая формула Е = m с2). Чтобы атом снова распался на
составные части, ему нужно сообщить энергию. Для большинства элементов средней части
таблицы Менделеева величина энергии, необходимой для"разбиения" атома на
составляющие, очень велика, но к концу таблицы энергия связи уменьшается, и может
случится, что сообщение ядру сравнительно небольшой энергии окажется достаточным для
преодоления притяжения протонов и нейтронов. Переносчиком такой "затравочной" энергии
обычно служат свободные нейтроны. При распаде ядер тяжелых элементов энергия связи
выделяется в виде большого количества тепла.
Распад тяжелых элементов, в первую очередь, таких как уран и плутоний, используется
на практике для получения энергии. Выделение энергии может происходить либо за малый
промежуток времени (взрыв), либо достаточно плавно( атомный котел). Это выделение энергии достигается путем осуществления цепной реакции деления. Наиболее известна реакция
92
деления изотопа урана 235 U В природном уране концентрация 235 - изотопа незначительна,
поэтому добытую руду подвергают предварительному обогащению, однако даже в обогащенном уране превалирует основной изотоп - уран-238. Деление ядер урана происходит при
попадании в них нейтронов, причем разные изотопы "требуют" различных нейтронов. Так
238-изотоп делится при попадании в него быстрых нейтронов, тогда как 235 -изотоп делится
под действием медленных нейтронов (термин"медленный"означает, что скорость нейтронов
сравнима с скоростью теплового движения молекул).При каждом элементарном акте деления
кроме тепловой энергии получается некоторое число (от одного до трех) нейтронов, наличие
которых и обеспечивает цепной характер реакции. Для осуществления цепной реакции
деления урана-235 необходимо выполнение трех условий:
1.нейтроны должны быть медленными,
2-коэффициент размножения нейтронов должен быть больше единицы,
З.масса изотопа должна быть больше критической.
Для получения медленных (тепловых) нейтронов используются замедлители (тяжелая вода
или графит). Скорость размножения нейтронов регулируется путем введения специальных
поглотителей (бор или кадмий). Требование критической массы связано с тем, что процесс
поглощения вторичных нейтронов является случайным - нейтрон должен пролететь мимо
достаточного числа делящихся атомов, прежде чем он будет поглощен. Требуемые для начала реакции первичные нейтроны всегда присутствуют в окружающей среде как следствие
природной радиоактивности, или как результат воздействия на земную атмосферу космических лучей ( космические лучи - это поток тяжелых частиц с очень большой энергией ).
Кроме цепной реакции деления возможна реакция синтеза более тяжелых ядер из ядер легких
элементов. Выделяющееся при этом количество тепла во много раз превышает тепло,
образующееся при цепной реакции деления. Для возникновения такой реакции необходимо
преодолеть кулоновские силы отталкивания, что достигается сообщением ядрам высоких
скоростей встречного движения. Высокие скорости, а следовательно, и высокие энергии,
достигаются тем, что атомы разогреваются до температур порядка 10 млн. градусов. В
земных условиях это достижимо лишь при атомном взрыве. Реакция синтеза при этом носит
неуправляемый характер. Устройство, где осуществляется реакция синтеза атомов гелия из
смеси дейтерия и трития, называют водородной бомбой. Реакция синтеза сопровождается
выделением большого числа нейтронов и также является цепной (пример - Солнце).
§ 14-4 Строение элементов и периодическая таблица.
Как уже отмечалось, заряд ядра атома, а следовательно, и его положение в таблице
Менделеева определяется количеством протонов. Число электронов, окружающих ядро,
должно соответствовать числу протонов. Вследствие запрета Паули, электроны
располагаются на разных энергетических уровнях. Величина энергии зависит от значения
главного квантового числа n. Форма орбиты (в рамках теории Бора) определяется
орбитальным квантовым числом l, значения которого могут изменяться от ( n-1) до -( n-1).
0рбиты с разными l носят названия: s - оболочек ( l = 0 ), р- оболочек (l = 1), d- (l = 2), f- ( l
= 3) и т.д. На каждой оболочке размещается 2( 2l + 1) электронов, т.е. их число равно 2
(одному значению l соответствуют два электрона с противоположными направлениями
спинов), 6,10,14 и т.д. Общее число электронов в атомах, где оболочки полностью заполнены
равно 2,8,18,32 и т.д. Рассматривая таблицу, можно заметить, что этим числам соответствуют
атомы гелия, неона, аргона, криптона и т.д. ,т.е. атомы инертных газов. Свойства каждого
элемента определяются тем, как выгоднее ему достроить свою внешнюю оболочку до
замкнутой: отдавая. или получая электроны.
Заполнение оболочек происходит постепенно при переходе от одного элемента к другому, но
порядок заполнения может нарушаться для так называемых переходных элементов.
Электронам оказывается энергетически выгоднее занимать орбиты с большим квантовым
числом, оставляя незаполненной внутреннюю оболочку. По названию незаполненной оболочки переходные элементы образуют 3d-, 4d - и 5d - группы. Отдельные группы образованы
редкоземельными и трансурановыми элементами.
1. Предмет оптики.
Оптика раздел физики, изучающий свойства и физическую природу света, а также его
взаимодействие с веществом.
Под светом понимают видимый свет, а также инфракрасную и ультрафиолетовую часть
спектра. Диапазон оптического спектра: = 2мм 10нм; = 1,5*1011 Гц 3*1016Гц.
Для объяснения световых явлений в физике используются 2 теории света: корпускулярная
(И. Ньютон) и волновая (Х. Гюйгенс).
По волновой (электромагнитной) теории световое излучение представляет собой
электромагнитные волны. Свет волны поперечные.
Е световой вектор (оказывает физиологическое, фотоэлектрическое и фотохимическое и
др. воздействия).
с = 3*108м/с скорость света в вакууме = 1/ (0 * 0).
Фазовая скорость распространения электромагнитных волн: V -= с / ( * ).
Отношение скорости света в вакууме к фазовой скорости в среде называется
абсолютным показателем преломления этой среды: n = с / V = ( * ).
При помощи волновой теории объясняют законы распространения света.
По корпускулярной (фотонной) теории световое излучение представляет собой поток
фотонов (корпускул). На основе корпускулярной теории объясняют законы взаимодействия
между светом и веществом.
Волновые свойства света проявляются в явлениях интерференции и дифракции.
Интерференция света.
1. Понятие о цуге световых волн.
Излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых отдельными атомами.
Процесс излучения отдельного атома продолжается 108c. За это время успевает
образоваться последовательность горбов и впадин протяженностью 3х метров, так
называемый "цуг волн". "Погаснув" атом через некоторое время "вспыхивает" вновь.
Одновременно вспыхивают много атомов. Возбуждаемые ими цуги волн, налагаясь друг на
друга, образуют световую волну. Плоскость колебаний каждого цуга ориентирована
случайным образом. Поэтому, несмотря на то, что световые волны волны поперечные, в
результирующей световой волне колебания происходят во всевозможных направлениях.
2. Понятие о когерентности световых волн.
Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или
волновых процессов.
Колебания называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во
времени.
3. Сложение световых волн от некогерентных источников.
Естественные источники света некогерентны, т.к. фаза нового цуга волн никак не связана
с фазой предыдущего.
Пусть две волны одинаковой частоты от когерентных источников, накладываясь друг на
друга, возбуждают в некоторой точке пространства колебания одинакового направления (т.е.
векторы Е1 и Е2 однонаправлены). у1 = А1 * cos (t + 1); у2 = А2 * cos (t + 2).
Амплитуда результирующего колебания: А2 = А21 + А22 + 2 А1 А2 * cos , где = (2 1)
разность фаз колебаний, т.к. источники некогерентны, то непрерывно изменяется,
принимая с равной вероятностью любые значения. Поэтому среднее по времени значение
<cos > = 0, тогда: <А2> = <А21> + <А22>, т.к. J Е2 А2, то J = J1 + J2, т.е. интенсивность,
наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых
каждой из волн в отдельности.
1. Сложение световых волн от когерентных источников света. Интерференция света.
В случае когерентных волн cos имеет постоянное во времени для каждой точки
пространства значение.
Тогда: J = J1 + J2 + 2 (J1J2) * cos .
С тех точках пространства где:
cos > 0 , то J > J1 + J2
cos < 0 , то J < J1 + J2
т.е. при наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового
потока в пространстве: в одних местах возникают максимумы, в других минимумы
интенсивности.
Интерференция света – сложение в пространстве двух (или нескольких волн), при
котором в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны.
2. Интерференция световых волн от двух источников.
Щели S2 и S1 находящиеся на расстоянии d друг от друга и являются когерентными
источниками света. Интерференция наблюдается в производной точке А экрана,
параллельной обеим щелям и расположенным от них на расстоянии l, причем l >> d.
Интенсивность в любой точке А, лежащей на расстоянии от х до 0, определяется
оптической разностью хода = S2 S1 S22 = l2 + (x + d/2)2, S12 = l2 + (x d/2)2
S22 S12 = 2xd = S2 S1 = 2xd / (S2 + S1), т.к. l>>d, то S2 + S1 2l = xd/l.
хMAX = m * 0 * l / d условие максимума
хMIN= (m + ½) * 0 * l / d условие минимума.
Расстояние м/д двумя соседними максимумами (или минимумами), называется шириной
интерференционной полосы: ч = l * 0 / d.
Интерференционная картина, создаваемая на экране 2-мя когерентными источниками
света, представляет собой чередование светлых и темных полос параллельных друг другу.
3. Способы наблюдения интерференции.
Естественные источники света испускают некогерентные волны. Поэтому когерентность
интерферирующих волн обеспечивают искусственным способом: разделение каждой волны
на две волны в одном месте и соединение их в другом месте. Эти волны проходят различные
пути, и между ними существует разность фаз.
1) Метод Юнга. Источником света служит ярко освещенная щель S, от которой световая
волна падает на две узкие равноудаленные щели S1 и S2, параллельные щели S. Т.о. щели S1 и
S2 играют роль когерентных источников. Интерференционная картна наблюдается на экране,
расположенном на некотором расстоянии параллельно S1 и S2.
2) Зеркала Френеля. Свет от источника S падает расходящимся пучком на два плоских
зеркала А1О и А2О, расположенных относительно друг друга под углом, лишь немного
отличающимся от 1800 (угол мал). Учитывая правила построения изображения в поских
зеркалах, можно показать, что и источник, и его изображения S 1 и S2 (угловое расстояние
между которыми равно 2) лежат на одной и той же окружности радиуса r с центром в О
(точка соприкосновения зеркал).
Световые пучки, отразившиеся от обоих зеркал, можно считать выходящими из мнимых
источников S1 и S2, являющихся мнимыми изображениями S в зеркалах.
Мнимые источники S1 и S2 взаимно когерентны, и исходящие из них световые пучки,
встречаясь друг с другом, интерферируют в области взаимного перекрывания. Можно
показать, что максимальный угол расхождения перекрывающихся пучков не может быть
больше 2. Интерференционная картина наблюдается на экране, защищенном от прямого
попадания света заслонкой З.
3) Бипризма Френеля: она состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с
малыми преломляющими углами. Свет от источника S преломляется в обеих призмах, в
результате чего за бипризмой распространяются световые лучи, как бы исходящие из
мнимых источников S1 и S2, являющихся когерентными. Т.о., на поверхности экрана
происходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференция.
4. Применение интерференции.
1. Явление интерференции обусловлено волновой природой света; его количественные
закономерности зависят от длины волны 0, и поэтому это явление применяется для
измерения длин волн (интерференционная спектроскопия).
2. Явление интерференции применяется также для улучшения качества оптических
приборов (просветление оптики), и получения высокоотражающих покрытий, т.е. на
свободные поверхности линз наносят тонкие пленки с показателями преломления меньшим,
чем у материала линзы.
3. Применяется
в
очень
точных
измерительных
приборах,
называемых
интерферометрами, позволяющих определять незначительные изменения показателя
преломления прозрачных тел в зависимости от давления температуры, примесей и т.д.
1. Понятие о дифракции света.
Дифракцией называется совокупность явлений, которые обусловлены волновой природой
света и наблюдается при его распространении в среде с резко выраженными
неоднородностями. Дифракция огибание волнами препятствий. Дифракционные явления
обусловлены интерференцией элементарных волн на границе отсеченного препятствием
фронта волны. При этом, чем меньше размеры препятствия или отверстия по сравнению с
длиной волны, тем заметнее явление дифракции.
Когда размеры препятствия (отверстия) соизмеримы с длиной волны, дифракция
обнаруживается в непосредственной близости от препятствия. Однако когда препятствие
велико по сравнению с длиной волны, дифракцию тоже можно обнаружить, но на более
далеком расстоянии от препятствия. Это объясняется тем, что изменения во фронте волны,
обусловленные препятствием, по мере удаления от него делаются все заметнее.
Существует два вида дифракции:
1) Френеля – источник и экран находятся на конечном расстоянии от препятствия;
2) Фраунгофера – источник и экран бесконечно удалены друг от друга (дифракция в
параллельных лучах).
2. Принцип Гюйгенса.
Волновой поверхностью (фронтом волны) называется геометрическое место точек среды,
колеблющихся в данный момент времени в одинаковой фазе.
По принципу Гюйгенса: каждая точка до которой доходит волновое движение, служит
центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий
момент.
Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны. По
Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром
вторичных волн, которые в однородной и избранной среде будут сферическими. Построив
огибающую вторичных волн, мы убеждаемся, что за отверстием волна проникает в область
геометрической тени.
Принцип Гюйгенса не дает никаких сведений об интенсивности распространяющихся
световых волн.
3. Принцип Гюйгенса-Френеля.
Проникновение световых волн в область геометрической тени может быть объяснено с
помощью принципа Гюйгенса. Однако этот принцип не дает сведений об амплитуде, т.е. и об
интенсивности волн, распространяющихся в разных направлениях. Френель дополнил
принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн в любой точке
пространства. Развитый таким способом принцип Гюйгенса получил название принципа
Гюйгенса-Френеля.
В любой точке, находящейся вне поверхности , световая волна, возбуждаемая
источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных
волн, которые излучаются элементарными фиктивными (воображаемыми, виртуальными)
источниками, непрерывно распределенными вдоль вспомогательной поверхности .
Обычно вспомогательную поверхность совмещают в положением в некоторый момент
времени одной из волновых поверхностей первичной волны, т.е. начальные фаза всех
вторичных волн одинаковы.
Таким образом, искусственную гипотезу Гюйгенса об огибающей вторичных волн
Френель заменил физически ясным положением, согласно которому вторичные волны при
наложении интерферируют друг с другом.
Свет должен наблюдаться во всех местах пространства, где при интерференции
вторичные волны усиливаются; в тех местах, где они взаимно гасятся, должна наблюдаться
темнота.
К огибающей все вторичные волны приходят в одинаковых фазах, и их интерференция
приводит к большой интенсивности света. Становится понятным отсутствие обратной волны.
Вторичные волны, идущие от волнового фронта вперед, вступают в свободное от
возмущений пространство. Они интерферируют друг с другом. Вторичные волны, идущие
назад, вступают в пространство, где уже есть волновое возмущение прямая волна. При
интерференции вторичные волны гасят прямую волну, так что после прохождения волны
пространство за ней оказывается невозмущенным.
Принцип Гюйгенса-Френеля означает: волна, отделившаяся от своих источников, в
дальнейшем ведет автономное существование, совершенно независящее от наличия
источника.
4. Дифракция света на одномерной дифракционной решетке.
Дифракционная решетка представляет собой систему из большого числа N одинаковых по
ширине и параллельных друг другу щелей в экране, разделенных также одинаковыми по
ширине непрозрачными промежутками.
Этот случай дифракции наиболее важен, т.к. широко используется во многих
экспериментальных методах спектрального анализа света.
На рисунке показаны только две соседние щели решетки.
При расчете дифракционной картины на экране Э, установленном в фокальной плоскости
линзы Л, необходимо учитывать интерференцию вторичных волн как от разных участков
одной щели, так и от разных щелей решетки. Если плоская монохроматическая волна падает
нормально на решетку, то колебания во всех точках щелей происходят в одинаковой фазе.
Колебания, возбуждаемые в произвольной точке F экрана Э каждой из щелей, совпадают
по амплитуде и отличаются по фазе. Для каждой пары щелей сдвиг фаз 0 между этими
колебаниями одинаков:
0 = 2 d * sin /
условие главных максимумов:
d * sin = n *
условие главных минимумов:
a * sin = m *
В монохроматическом свете дифракционная картина на экране Э, имеет при больших N,
вид узких главных max, разделенных практически темными широкими промежутками.
Между каждыми двумя главными max находится (N-1) дополнительных максимумов.
При освещении решетки белым светом на экране наблюдается неокрашенный
центральный максимум нулевого порядка, а по обе стороны от него – дифракционные
спектры 1-го, 2-го и т.д. порядков. Спектры имеют вид радужных полосок, в которых
непрерывный переход от окраски сине-фиолетового света у внутреннего края спектра к
красной у внешнего края.
Поляризация света.
Поляризация возможна только у поперечных волн.
Поляризованной называется волны, в которой существует предпочтительное направление
колебаний.
Различают следующие виды колебаний: 1) линейная (плоская) поляризация; 2) круговая
(циркулярная) поляризация; 3) элептическая поляризация.
Волну с круговой и эллиптической поляризацией можно разложить на 2 линейнополяризованные волны.
Естественный и поляризованный свет.
Световые колебания – колебания поперечные.
Естественный свет неполяризован, т.к. он излучается атомами с совершенно
произвольной ориентацией в пространстве. В естественном свете результирующая
направленность (вектор Е) совершает в каждой точке поля колебания, направление которых
быстро и беспорядочно изменяется в плоскости, перпендикулярной лучу.
Плоскость колебаний вектора Е в световой волне называется плоскостью поляризации.
Поляризованным называется свет, в котором колебания вектора Е упорядочены какимлибо образом.
Если колебания вектора Е происходят только в одной проходящей через луч плоскости,
свет называется плоско(линейно)поляризованным.
Если вектор поворачивается вокруг луча, одновременно пульсируя по величине, своим
концом огибает эллипс, то свет называется эллиптически поляризованным.
Если конец вектора Е описывает окружность, то свет циркулярно поляризован.
Осевая асимметрия колебаний вектора Е сохраняется и для смеси естественного света с
нелинейно-поляризованным. Такой свет называется частично поляризованным.
Линейно-поляризованный свет можно легко получить, пропустив естественный свет через
пластину турмалина, вырезанную параллельно её кристаллографической (оптической) оси.
Турмалин сильно поглощает световые лучи, в которых вектор Е перпендикулярен к
оптической оси. Если вектор Е параллелен оси, то такие лучи проходят через турмалин почти
без поглощения. Поэтому естественный свет, пройдя через пластину турмалина, наполовину
поглощается и становится линейно-поляризованным с вектором Е, ориентированным
параллельно оптической оси турмалина.
Таким же свойством обладают поляроиды, более удобные в обращении. Они
представляют собой искусственно подготовленные коллоидные пленки, служащие для
получения поляризованного света.
Поляризатор – всякий прибор, служащий для получения поляризованного света.
Анализатор - прибор-поляризатор, применяемый для исследования поляризованного
света.
Т.о. кристаллы турмалина или поляроиды могут служить поляризаторами или
анализаторами.
1. Закон Малюса.
Допустим, что два кристалла турмалина или 2 поляроида поставлены друг за другом так,
что их оси ОА1 и ОА2 образуют между собой некоторый угол.
1-ый поляроид пропускает свет, электрический вектор Е0 которого параллелен его оси
ОА1. Пусть J0 – интенсивность этого света. Разложим Е0 на вектор Е11, параллельный оси ОА2
второго поляроида, и вектор Е, перпендикулярный к ней: Е = Е11 + Е.
составляющая Е будет задержана вторым поляроидом. Через оба поляроида пройдет свет
с электрическим вектором Е Е11, длина которого Е = Е0 * cos .
Интенсивность света, прошедшего через оба поляризатора: J = J0 * cos2 - закон Малюса,
где J – интенсивность света, вышедшего из поляроида; J0 – интенсивность падающего
плоскопараллельного света; - угол между плоскостью колебаний падающего света и
плоскостью поляризатора.
Поставим на пути естественного луча два поляризатора, плоскости которых образуют
угол . Из первого поляризатора выйдет плоскополяризованный свет, интенсивность
которого J0 составит половину интенсивности естественного света Jест. Согласно закону
Малюса из второго поляризатора выйдет свет интенсивности J0 * cos2 .
Интенсивность света, прошедшего через два поляризатора: J = ½ Jест * cos2 .
При = 0 - поляризаторы параллельны (J = ½ Jест максимальная интенсивность).
При = /2 – скрещенные поляризаторы (J = 0, поляризаторы света не пропускают).
2.
пособы получения поляризованного света.
а) поляризация при отражении и преломлении:
Если угол падения света на границу раздела двух диэлектриков отличен от нуля, то
отраженный и преломленный лучи оказываются частично поляризованными. В отраженном
луче преобладают колебания, перпендикулярные к плоскости падения, в преломленном –
колебания, параллельные плоскости падения. Степень поляризации зависит от угла падения.
Закон Брюстера: отраженный луч полностью поляризован при угле падения = Бр,
удовлетворяющем условию tg Бр = n21, где n21 относительный показатель преломления
отражающей среды.
По закону преломления:
Sin Бр / sin = n21
= 90 = 90 Бр
sin Бр / sin (90 Бр) = sin Бр / cos Бр
tg Бр = n21
Для стекла Бр = 570.
В отличие от отраженного луча при = Бр преломленный луч остается поляризованным
только частично, хотя степень его поляризации и достигает наибольшего значения.
Недостатком поляризации при отражении является малая доля отраженного от
диэлектриков излучения. Поэтому пользуются многократным отражением волны от стопы
пластины, отраженные лучи уносят колебания, перпендикулярные плоскости падения, и
проходящий луч, постепенно "очищаясь" от этих колебаний, становится почти полностью
поляризованным.
б) поляризация при двойном лучепреломлении:
двойным лучепреломлением называется способность некоторых веществ расщеплять
падающий световой луч на два луча – обыкновенный (о) и необыкновенный (е), которые
распространяются в различных направлениях с различной фазовой скоростью и
поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях.
Такими веществами являются оптически анизотропные вещества, в которых фазовая
скорость электромагнитных волн зависит от направления распространения. К ним относятся:
многие кристаллы (кроме кристаллов кубической системы; многие прозрачные вещества,
находящиеся под давлением внутренних и внешних сил; некоторые изотропные вещества,
под действием электрического поля (эффект Керра)).
Кристаллы, обладающие двойным лучепреломлением, подразделяются на одно- и
двуосные. У одноосных кристаллов один из преломленных лучей подчиняется закону
преломления, в частности, он лежит в одной плоскости с падающим лучом и нормалью к
преломляющей поверхности. Это обыкновенный луч. Для необыкновенного луча отношение
sin угла падения и угла преломления не остается постоянным при изменении угла падения.
Необыкновенный луч не лежит, как правило, в одной плоскости с падающим лучом и
нормалью к преломляющей поверхности.
У двуосных кристаллов (слюда, гипс) оба луча необыкновенные – показатели
преломления у них зависят от направления в кристалле.
У одноосных кристаллов имеется направление, вдоль которого обыкновенный и
необыкновенный лучи распространяются не разделяясь и с одинаковой скоростью. Это
направление называется оптической осью кристалла. Оптическая ось – это не прямая линия,
проходящая через некоторую точку кристалла, а определенное направление в кристалле.
Любая прямая, параллельная данному направлению, является оптической осью кристалла.
Любая плоскость, проходящая через ось, называется главным сечением или главной
плоскостью кристалла.
Обыкновенный и необыкновенный лучи полностью поляризованы во взаимно
перпендикулярных
направлениях.
Плоскость
колебаний
обыкновенного
луча
перпендикулярна главному сечению кристалла. В необыкновенном луче колебания светового
вектора совершаются в плоскости, совпадающей с главным сечением.
В некоторых кристаллах один из лучей поглощается сильнее другого. Это явление
называется дихроизмом. Очень сильным дихроизмом в видимых лучах обладает кристалл
турмалина. В нем обыкновенный луч практически полностью поглощается на длине 1 мм.
Обыкновенный и необыкновенный лучи имеют в кристалле различные скорости
распространения, т.е. различные показатели преломления. Эти и объясняется двойное
лучепреломление.
Однако поляризованные лучи выходят из кристалла под очень малым углом друг к другу,
что затрудняет их раздельное использование. Чтобы "развести" эти лучи, пользуются
различными "поляризующими призмами". Наиболее распространенной является призма
Николя, представляющая собой специальным образом обработанный кристалл исландского
шпата. Передние грани призмы отшлифованы под определенным углом, кристалл распилен и
склеен канадским бальзамом. Обыкновенный луч отводится за счет внутреннего отражения
плоскости склейки.
а) Естественное вращение.
Некоторые вещества, называемые оптически активными, обладают способностью
вызывать вращение плоскости поляризации проходящей через них плоско поляризованного
света. Плоскость поляризации при этом поворачивается вокруг направления светового луча.
К числу оптически активных веществ принадлежат кристаллические тела (кварц, киноварь...),
чистые жидкости (скипидар...) и растворы оптически активных веществ в неактивных
растворителях (водные растворы сахара, винной кислоты...).
Кристаллические вещества сильнее всего вращают плоскость поляризации в случае, когда
свет распространяется вдоль оптической оси кристалла. Угол поворота пропорционален
длине пути l, пройденному лучом в кристалле: = * l, где константа вращения,
удельное вращение (зависит от природы вещества, температуры, длины волны света в
вакууме). Зависимость от называется вращательной дисперсией.
В растворах угол поворота плоскости поляризации пропорционален пути света в растворе
l и концентрации активного вещества С: = [] * С * l, где [] удельная const вращения
(зависит от природы оптически активного вещества и растворителя, длины волны света и
температуры).
Большинство оптически активных кристаллов существует в двух модификациях. При
прохождении света через кристалл одной модификации, называемой правовращаемой, или
положительной, плоскость поляризации поворачивается вправо, т.е. по часовой стрелке (для
наблюдения, смотрящего навстречу лучу).
При прохождении света через кристалл другой модификации, называемой
левовращаемой, или отрицательной, плоскость поляризации поворачивается влево (против
ч/с). значение удельного вращения для обеих модификаций одного и того же оптически
активного кристалла отличаются только знаком: > 0 правовращающий; < 0
левовращающий.
Если между двумя скрещенными поляризаторами поместить оптически активное
вещество, то поле зрения просветляется. Чтобы снова получить темноту нужно повернуть
один из поляризаторов на угол . В случае раствора, зная константу вращения [] данного
вещества и длину l, можно, измерив угол поворота , определить концентрацию раствора C.
Такой способ определения концентрации применяется в производстве различных веществ, в
частности сахароварении.
б) Магнитное вращение плоскости поляризации.
Оптически неактивная среда приобретает под действием внешнего магнитного поля
способность вращать плоскость поляризации света, распространенную вдоль направления
поля. Это явление называется эффектом Фарадея или магнитным вращением плоскости
поляризации света. Угол поворота плоскости поляризации пропорционален длине пути
света в веществе и напряженности Н магнитного поля: = V * H * l, где V const Верде,
зависит от природы вещества и длины волны света.
Направление магнитного вращение плоскости поляризации (вдоль магнитного поля)
одинаково при распространении света по направлению вектора Н, так и в обратную сторону.
в этом отношении эффект Фарадея отличается от вращения плоскости поляризации света в
естественных оптически активных средах.
Оптически активные вещества под действием магнитного поля приобретают
дополнительную способность вращать плоскость поляризации, которая складывается с их
естественной способностью.
Взаимодействие эл/м волн с веществом с точки зрения классической электронной теории.
Макроскопическая электродинамика Максвелла не могла объяснить взаимодействие э/м
волны с веществом. Подобное взаимодействие удалось объяснить лишь с точки зрения
строения вещества, разработанной Г. Лоренцем: переменное эл/м поле световой волны,
распространяющейся в диэлектрике, вызывает вынужденные колебания связанных зарядов,
входящих в состав молекул Среды. При этом необходимо учесть, что ионы частицы
значительно массивнее электронов - совершают заметные колебания только под действием
моночастотного (инфракрасного) излучения; в области частот видимого и ультрафиолетового
излучения. Определенную роль играют вынужденные колебания внешних электронов атомов
и молекул, т.н. оптические электроны.
Электроны и ионы, совершая вынужденные колебания, излучают вторичные световые
волны. Эти волны когерентны и могут интерферировать друг с другом.
Поглощение света.
Поглощением света называется явление поглощения энергии световой волны при её
распространении в веществе.
Энергия световой волны преобразуется во внутреннюю энергию вещества и энергию
вторичного излучения.
Описывается законом Бугера-Ламберта:
J = J0 * е-L, где J0 - активность света при входе в слой вещества; J - интенсивность при
выходе; L - толщина слоя; - линейный коэффициент поглощения среды, зависит от
природы и состояния поглощающей среды и от .
В диэлектриках нет свободных электронов, и поглощение света обусловлено явлением
резонанса при вынужденных колебаниях электронов в атомах и атомов в молекулах. Поэтому
диэлектрик поглощает свет более или менее избирательно; поглощение велико лишь в
областях частот, близких к частотам собственных колебаний частиц диэлектрика.
Так для одноатомных газов характерен линейчатый спектр поглощения света: дискретные
частицы интенсивного поглощения совпадают с частотами собственного излучения
возбужденных атомов газа.
У газов с многоатомными молекулами наблюдаются полосы поглощения, состоящие из
тесно расположенных линий поглощения.
Жидкие и твердые диэлектрики имеют сплошные спектры поглощения, состоящие из
довольно широких полос поглощения: расширение полос - это результат взаимодействия
атомов друг с другом.
Ме практически непрозрачны для света. В Ме много свободных электронов. Под
действием электрического поля световой волны эти электроны приходят в движение. При
этом в Ме возникают быстропеременные токи, сопровождающиеся выделением ЛенцДжоулева тепла. При этом энергия световой волны быстро убывает, превращаясь в тепловую
энергию Ме.
Рассеяние света.
Рассеянием
света
называется
явление
преобразования
света
веществом,
сопровождающееся изменением направления распространения света и появляющимся как
несобственное сечением света.
Это свечение обусловлено вынужденными колебаниями электронов в атомах
рассеивающей среды под действием падающего света. Колеблющиеся электроны возбуждают
вторичные волны, распространяясь во всех направлениях. эти вторичные волны когерентны и
взаимно интерферируют.
В случае однородной среды вторичные волны полностью гасят друг друга. Они
дифрагируют
на
неоднородностях
среды,
дают
дифракционную
картину,
характеризующуюся довольно равномерным распределением интенсивности света по всем
направлениям. Это - рассеяние света.
Интенсивность рассеянного света пропорциональна 4-ой степени частоты или обратно
пропорциональна 4-ой степени длины волны:
J - const: 4 = const / 4 Закон Рэлея.
Вследствие этого при прохождении белого света через рассеивающую среду рассеянный
свет имеет голубоватый оттенок, а прошедший - красноватый.
Закон Рэлея справедлив при >> а, где а параметр, характеризующий линейные
размеры рассеивающихся частиц среды.
Рассеяние света может наблюдаться и в однородных средах. В этих средах из-за
беспорядочного движения молекул возможны флуктуации плотности среды. Эти флуктуации
равнозначны оптической неоднородности среды. Такое рассеяние называется молекулярным
(им объясняется голубой цвет неба).
6. Давление света. Опыты Лебедева.
Световое давление давление, производимое светом на отражающие и поглощающие
тела, частицы а также отдельные молекулы и атомы.
Гипотеза о световом давлении впервые была высказана немецким ученым И. Кеплером
(1619) для объяснения отклонения хвостов комет, пролетающих вблизи Солнца. В 1873г.
английский физик Д.К. Максвелл, исходя из электромагнитной теории, предсказал величину
светового давления, которая оказалась исключительно малой даже для самых сильных
источников света (Солнце, электрическая дуга). Согласно электромагнитной теории,
давление, которое оказывает на поверхность тела плоская электромагнитная волна, падающая
перпендикулярно к поверхности, равно плотности электромагнитной энергии поверхности.
Величина давления вычисляется по формуле: Р = Q * (1+k) / с, Дж/м3, где
Q мощность электромагнитной волны, падающей на единицу поверхности тела,
k коэффициент отражения.
Существование светового давления показывает, что поток излучения обладает не только
энергией (следовательно, и массой), но и импульсом. С точки зрения квантовой теории,
световое давление результат передачи телам импульса фотонов в процессах поглощения
или отражения света.
Давление света Р на плоскую поверхность тела S равно численному значению
нормальной составляющей суммарного импульса, передаваемого фотонами телу на единице
площади рассматриваемой поверхности за единицу времени.
Пусть монохроматический свет частоты падает на поверхность S под углом i; n число
фотонов, падающих за 1с на единицу площади поверхности S (рисунок). Если k
коэффициент отражения света от поверхности S, то из n фотонов: kn зеркально отражаются;
(1k)n поглощаются.
Каждый отраженный фотон передает поверхности импульс, направленный нормально к
поверхности: 2Р = 2 * h * * сos i / c (т.к. при отражении импульс фотона изменится на Р).
каждый поглощенный фотон передает поверхности импульс, направленный нормально к
поверхности: Р = h * * cos i / c.
Тогда kn * 2h * cos i / c суммарный импульс отраженных фотонов.
(1k)n * h * cos i / c суммарный импульс поглощенных фотонов.
Таким образом давление света:
Р = kn * 2h * cos i / c + (1k)n * h * cos i / c = (1+k)n * h * cos i / c.
Если n0 концентрация фотонов падающего света, то n = n0 * c * cos i и n0 * h = <>
среднее значение объемной плотности энергии света. Поэтому Р = (1+k)n0 * h * cos2 i =
(1+k)<>* cos2 i.
Если свет падает нормально на поверхность, то его давление Р = (1+k)<>.
Учитывая, что <>*с = J интенсивность света, последняя формула примет вид:
Р = J*(1+k) / с.
Если тело зеркально отражает падающие на него лучи, то k = 1 и Р = 2J / c.
Если тело полностью поглощает лучи (черное тело), то k = 0 и Р = J / с.
Световое давление на черное тело в два раза меньше, чем на тело, зеркально отражающее
свет.
Т.о., давление света одинаково успешно объясняется как волновой теорией, так и
квантовой.
В земных условиях световое давление маскируется побочными явлениями
(конвекционными токами, радиометрическими силами), которые могут превышать величину
светового давления в тысячи раз. Поэтому измерить величину светового давления было
чрезвычайно трудно. Впервые экспериментально измерить световое давление удалось П.Н.
Лебедеву в 1899г.
Прибор Лебедева представлял собой очень чувствительные крутильные весы,
помещенные внутри стеклянного сосуда. Подвижной частью прибора являлся легкий
стержень с укрепленными на нём "крылышками" светлыми и черными дисками толщиной
от 0,1 до 0,01 мм. На крылышки с помощью специальной оптической системы и зеркал
направлялся свет от сильной электрической дуги. Т.к. давление на черный диск почти вдвое
меньше давления на светлый, то на подвижную систему будет действовать вращающий
момент, который можно измерить по углу закручивания нити. Плотность энергии Лебедей
измерял с помощью специально сконструированного миниатюрного калориметра, направляя
на него пучок света на определенное время и регистрируя повышение температуры. Он
пришел к выводу, что в пределах погрешности эксперимента величина светового давления
согласуется с формулой, полученной на основе теории Максвелла.
В 1907 1910гг. Лебедев исследовал световое давление на газы, что было еще труднее,
т.к. оно в сотни раз меньше светового давления на твердые тела.
Понятие о тепловом излучении.
Тепловое излучение - это электромагнитное излучение, испускаемое веществом за счет
его внутренней энергии. Все остальные виды свечения называются люминесценция.
Тепловое излучение наблюдается при Т > 0К и имеет сплошной спектр. Это единственное
излучение, которое может находиться в термодинамическом равновесии с веществом.
Количественно тепловое излучение характеризуется следующими величинами:
1. излучательность Re - физическая величина, численно равная энерги электромагнитных
волн всевозможных частот, излученных за единицу времени с единицы площади поверхности
тела: R = W / t * S (Вт/м2).
2. испускательная способность r (r) - физическая величина, численно равная
отношению энергии, излученной за единицу времени с единицы площади в узком интервале
частот (от до (+d)) или длин волн (от до (+d)) к ширине этого интервала: (dW энергия, испускаемая за единицу времени с единицы площади в узком интервале или ) r =
dW / d (Дж/м2); r = dW / d (Вт/м2). Причем r r, а r = r * с/V2 = r * 2 / c.
3. Поглощательная способность а - безразмерная величина, показывающая какая доля
энергии эл/м волн с частотами от от до (+d), падающих на поверхность тела, поглощается
ими: а = dWпогл / dWпад 1.
Абсолютно черным телом называется тело, которое полностью поглощает все падающее
на него излучение, ничего не отражая, и не пропуская: а* = 1.
Закон Кирхгофа и его следствия.
Рассмотрим тепловое излучение в полости между двумя плоскопараллельными
пластинами одинаковой температуры, но из разных материалов.
a2 r1 d - энергия, поглощаемая в единицу времени единицей площади пластины 2.
a1 r2 d - энергия, поглощаемая в единицу времени единицей площади пластины 1.
Так как излучение равновесное: a2 r1 d = a1 r2 d
r1 / a1 = r2 / a2.
Можно обобщить на систему из n-тел, т.е. чем больше испускательная способность тела,
тем больше и его поглощательная способность.
r1 / a - не зависит от природы излучающего тела, а является функцией от () и
температуры.
(; Т) - формула Кирхгофа.
Для абсолютно черного тела: r* / a* = {a* =1} = (; Т) = r*
Закон Кирхгофа: отношение испускательной способности тел к их поглощательной
способности не зависит от природы излучающего тела, равно испускательной способности
абсолютно черного тела и зависит от частоты температуры тела:
r / a = r*.
Испускательная способность тела всегда меньше испускательной способности черного
тела при той же температуре r < r*.
Если тело не поглощает эл/м волны, то оно их и не излучает.
Закон Стефана-Больцмана.
Излучательность абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его
абсолютной температуры.
R*e = * Т4, где = 5,67 * 108 Вт/м2К4.
Закон смещения Вина.
m (m) - частота (длина волны), на которую приходится max энергии в спектре излучения.
С ростом температуры m стремится в сторону больших частот, а m стремится в сторону
более коротких длин волн.
m, на которую приходится максимум энергии в спектре теплового излучения обратно
пропорциональна абсолютной температуре излучающего тела.
m = b/T, где b = 2,9 * 10-3 мК.
Квантование энергии излучения. Формула Планка.
Впервые правильное выражение для функции Кирхгофа удалось Планку. Он также
рассмотрел модель полости с зеркальными стенками. При этом он полагал, что стенки
состоят из атомов. Атомы он рассматривал как электрические диполи, которые совершают
колебания со всевозможными частотами. И на основе этой модели
r* = 2 * * 2 * <> / c2
Связь между частотой и энтропией атома-осциллятора
<> = j / e -j / RT - 1, где h = j
r* = 2 * * 2 * h / (e -j / RT - 1) * c2
1. Фотоэлектрический эффект
Фотоэффект – испускание электронов веществом под действием электромагнитного
излучения.
Фотоэффект был открыт в 1887г. Г. Герцем. Первые фундаментальные исследования
фотоэффекта выполнены А.Г. Столетовым (1888), а затем немецким физиком Ф. Ленардом
(1899). Первое теоретическое объяснение законов фотоэффекта дал А. Эйнштейн (1905).
Большой вклад в теоретические и экспериментальные исследования фотоэффекта внесли
А.Ф. Иоффе (1907), П.И. Лукирский и C.С. Прилежаев (1928), И.Е. Тамм и C.Т. Шубин
(1931).
Фотоэффект наблюдается в газах и в конденсированных (твердых и жидких) телах.
Фотоэффект в газах состоит в ионизации атомов и молекул газа под действием света и
называется фотоионизацией.
В конденсированных телах различают внешний и внутренний фотоэффекты.
Внутренним
фотоэффектом
называется
перераспределение
электронов
по
энергетическим состояниям в твердых и жидких полупроводниках и диэлектриках,
происходящее под действием света. Он проявляется в изменении концентрации носителей
тока в среде и приводит к возникновению фотопроводимости или вентильного фотоэффекта.
Фотопроводимость – увеличение электрической проводимости вещества под действием
света. Вентильным фотоэффектом (фотоэффектом в запирающем слое) называется
возникновение под действием света ЭДС (фото-ЭДС) в системе, состоящей из
контактирующих полупроводника и металла или двух разнородных полупроводников
(например: в p – n переходе).
Внешним фотоэффектом (фотоэлектронной эмиссией) называется испускание
электронов твердыми телами и жидкостями под действием электромагнитного излучения в
вакуум или другую среду.
Электроны, вылетающие из вещества при внешнем фотоэффекте, называются
фотоэлектронами, а электрический ток, образуемый ими при упорядоченном движении во
внешнем электрическом поле, называется фотопотоком.
1.1.Внешний Фотоэффект. Законы Столетова.
Практическое значение имеет внешний фотоэффект из твердых тел в вакуум.
Опыт Столетова: Конденсатор, образованный проволочной сеткой и сплошной пластиной,
был включен последовательно с гальванометром Г в цепь батареи. В результате в цепи
возникал ток, регистрирующийся гальванометром.
На основании опытов Столетов пришел к выводам: 1) наибольшее действие оказывают
ультрафиолетовые лучи; 2) сила тока возрастает в увеличением освещенности пластины; 3)
испускаемые под действием света заряды имеют отрицательный знак.
Спустя 10 лет (1898) Ленард и Томсон, измерив удельный заряд испускаемых под
действием света частиц, установили, что эти частицы являются электронами.
Ленард и др. исследователи усовершенствовали прибор Столетова, поместив электроды в
эвакуированный баллон (рисунок).
Свет падает через кварцевое окно Д на фотокатод К.
Характер зависимости фототока J в трубке от разности потенциалов U анода А и катода К
при постоянной энергетической освещенности катода монохроматическим светом
(вольтамперная характеристика) изображен на рисунке.
Существование фототока при отрицательных значениях U от 0 до U0 свидетельствует о
том, что фотоэлектроны выходят из катода, имея некоторую начальную скорость и
соответственно кинетическую энергию. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов
Vmax связана с задерживающим потенциалом U0 соотношением:
m0 * V2max / 2 = e * U0, где e и me – абсолютная величина заряда и масса электрона.
Фототок увеличивается с ростом U лишь до определенного предельного значения Jн,
называемого фототоком насыщения. При фототоке насыщения все электроны, вылетающие
из катода под влиянием света, достигают анода. Если nСЕК – число фотоэлектронов,
покидающих катод за 1 с, то Jн = е * nСЕК.
Законы внешнего фотоэффекта:
5. При неизменном спектральном составе света, падающего на фотокатод, фототок
насыщения пропорционален энергетической освещенности катода: Jн Еэ и nСЕК Еэ;
6. Для данного фотокатода максимальная начальная скорость фотоэлектронов зависит от
частоты света и не зависит от его интенсивности;
7. Для каждого фотокатода существует красная граница фотоэффекта, т.е. минимальная
частота света 0, при которой ещё возможен внешний фотоэффект; частота 0 зависит от
материала фотокатода и состояния его поверхности.
Фотоэффект безынерционен, т.е. испускание фотоэлектронов начинается сразу же, как
только на фотокатод падает свет с частотой 0.
1.2. Невозможность объяснения фотоэффекта с точки зрения классической физики.
Второй и третий законы Столетова, а также безынерционность фотоэффекта находились с
резком противоречии с классическими представлениями о волновой природе света. С
волновой точки зрения качественно фотоэффект можно было объяснить следующим образом.
Электрический вектор электромагнитной волны ускоряет электроны в металле. Благодаря
этому электроны в металле начинают "раскачиваться". Если эта "раскачка" носит
резонансный характер, то амплитуда вынужденных колебаний электрона становится столь
значительной, что электрон вырывается за пределы металла, т.е. происходит фотоэффект.
Однако объяснить количественные закономерности фотоэффекта с волновой точки зрения
оказалось невозможным. Амплитуда вынужденных колебаний электрона с волновой точки
зрения пропорциональна амплитуде вектора электрической напряженности падающей
электромагнитной волны. С другой стороны, интенсивность светового потока прямо
пропорциональна квадрату амплитуды вектора электрической напряженности в световой
волне. То есть, с волновой точки зрения скорость вылетающих фотоэлектронов должна
увеличиваться с увеличением интенсивности падающего света. Однако этот вывод
противоречит второму закону фотоэффекта.
Т.к., по волновой теории, энергия, передаваемая электронам, пропорциональна
интенсивности света, то свет любой частоты, но достаточно большой должен был бы
вырывать электроны из металла; иными словами, "красной границы" фотоэффекта не должно
быть, что противоречит третьему закону фотоэффекта. Кроме того, волновая теория не могла
объяснить безынерционность фотоэффекта.
Вывод: второй и третий законы фотоэффекта не удается истолковать на основе
классической электромагнитной теории света. Согласно этой теории вырывание электронов
проводимости из металла является результатом их "раскачивания" в электромагнитном поле
световой волны, которое должно усиливаться при увеличении интенсивности света и
пропорциональной ей энергетической освещенности фотокатода.
Необъясним и факт безынерционности фотоэффекта. Согласно классическим волновым
представлениям требуется довольно значительное время для того, чтобы электромагнитная
волна заданной интенсивности могла передать электрону энергию, достаточную для
совершения им работы выхода.
Лишь квантовая теория света позволила успешно объяснить законы внешнего
фотоэффекта. Развивая идеи Планка о квантовании энергии атомов-осцилляторов, Эйнштейн
высказал гипотезу о том, что свет не только излучается, но также распространяется в
пространстве, и поглощается веществом в виде отдельных дискретных квантов
электромагнитного излучения – фотонов.
2. Фотоны.
Фотон – от греческого "свет" – элементарная частица, квант электромагнитного
излучения.Термин введен Г.Н. Льюисом в 1929г.
Энергия фотона согласно гипотезе Планка:
= h * = ћ * , где
h = 6,63 * 10-34 Дж*с, ћ = h / 2 = 1,05 * 10-34 Дж*с – постоянная Планка (квант действия).
Масса фотона может быть получена из соотношения: m = / с2 = h * / c2.
Импульс фотона и его энергия в соответствии и его энергия в соответствии с общей
формулой теории относительности связаны соотношением: = с * р2 + m20 * c2.
Для фотона m0 = 0, тогда р = / с = h * / c = m * c.
Если ввести волновое число k = 2/ , то выражение для р можно переписать в форме:
р = h * / c = h / = h * k / 2 = ћ * k.
Направление вектора импульса совпадает с направлением распространения света,
характеризуемым волновым вектором k: р = ћ * k (в векторах).
Из соотношения = h * = ћ * и общих принципов теории относительности вытекает:
1) масса покоя фотона равна нулю; 2) фотон всегда движется со скоростью с.
Выражения для связывают корпускулярные характеристики фотона – массу, импульс,
энергию – с волновой характеристикой света – его частотой .
В этом факте проявляется корпускулярно-волновой дуализм (двойственность) – это
лежащее в основе квантовой теории представление о том, что в поведении микрообъектов
проявляются как корпускулярные, так и волновые черты.
Волновые свойства сета играют определяющую роль в закономерностях его
распространения, интерференции, дифракции, поляризации; а корпускулярные – в процессах
взаимодействия света с веществом (фотоэффект, эффект Комптона и т.д.). Чем больше длина
волны. Тем меньше импульс и энергия фотона и тем труднее обнаружить квантовые свойства
света; чем меньше длина волны электромагнитного излучения, тем больше энергия и импульс
фотонов и тем сильнее проявляются корпускулярные свойства излучения.
Н-р: Красный свет: = 7 *10-7м; m = 3,2 *10-36кг.
Рентген: = 25*10-12м; m = 8,8 *10-32кг.
Гамма-лучи: = 1,24 *10-12м; m = 1,8 *10-30кг.
Однако волновой и квантовый способы описания света не противоречат, а взаимно
дополняют друг друга, т.к. свет одновременно обладает и волновыми и корпускулярными
свойствами. Он представляет собой диалектическое единство этих противоположных
свойств.
В дальнейшем оказалось, что корпускулярно-волновой дуализм присущ не только свету,
но и микрочастицам вещества.
Наглядно представить корпускулярно-волновой дуализм невозможно. Отчасти трудности
восприятия дуализма обусловлены особенностями нашего мышления. Наши зрительные
образы (модели) основаны на том, что мы видим в повседневной жизни. Корпускулярноволновой дуализм существует реально, представление о нем – результат абстрагирующей
деятельности разума высокого порядка.
3. Уравнение Эйнштейна.
Согласно гипотезе Эйнштейна в случае поглощения света веществом каждый
поглощенный фотон передает свою энергию частице вещества, в частности, электрону.
Свободный электрон не может поглотить фотон, т.к. при этом не могут быть
одновременно соблюдены законы сохранения энергии и импульса. Фотоэффект из атома,
молекулы или конденсированной среды возможен из-за связи электрона с окружением. Эта
связь характеризуется в атоме энергией ионизации, в конденсированной среде – работой
выхода Ф.
Закон сохранения энергии при фотоэффекте выражается соотношением Эйнштейна:
= ћ * i , где i – энергия ионизации атома, или = ћ * Ф.
При Т = 0 К и не очень высокой интенсивности света (когда многофотонные эффекты
практически отсутствуют), фотоэффект не возможен, если ћ * < i или
ћ * < Ф.
Фотоэффект в газах наблюдается на отдельных атомах или молекулах. Атом, поглощая
фотон, испускает электрон и ионизируется. Вся энергия ионизации передается испускаемому
электрону.
В конденсированных средах механизм поглощения фотонов зависит от их энергии. При ћ
* Ф излучение поглощается электронами проводимости (в Ме) или валентными
электронами (в полупроводниках и диэлектриках). В результате этого наблюдается либо
фотоэлектронная эмиссия, либо внутренний фотоэффект.
При ћ * во много раз превышающих энергию межатомных связей в конденсированной
среде ( - кванты), фотоэлектроны могут вырываться из глубоких оболочек атома.
Рассмотрим фотоэлектронную эмиссию из металлов.
Фотоэмиссия результат трех последовательных процессов: поглощение фотона и
появление электрона с высшей энергией; движение этого электрона к поверхности, при
котором часть энергии электрона может рассеяться; выход электрона в другую среду через
поверхность раздела.
Фотоэмиссия из металлов возникает, если энергия фотона ћ * превышает работу выхода
из Ме Ф.
Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта: h * = Ф + me * V2max / 2.
второй закон фотоэффекта: h * Ф = me * V2max / 2 = е * U0.
Таким образом, Vmax и U0 зависят только от частоты света и работы выхода электрона из
фотокатода.
Максимальная начальная кинетическая энергия фотоэлектронов зависит от частоты света
по линейному закону. Она обращается в нуль при частоте 0, соответствующей красной
границе внешнего фотоэффекта: 0 = Ф / h.
То есть, красная граница зависит только от работы выхода электрона из металла.
Для чистых поверхностей большинства металлов Ф>3 эВ, поэтому фотоэмиссия из
металлов может наблюдаться в видимой и ультрафиолетовой частях спектра (для щелочных
металлов и Ва), и только в ультрафиолетовой области спектра (для всех других металлов).
Количественной характеристикой фотоэмиссии является квантовый выход Y число
вылетевших электронов, приходящихся на один фотон, падающих на поверхность тела.
Величина Y зависит от свойств тела, состояния его поверхности и энергии фотонов. Вблизи
порога фотоэмиссии для большинства металлов Y 104 электрон/фотон. Малость Y
обусловлена тем, что свет проникает в металл на глубину 105 см, и там в основном
поглощается. Фотоэлектроны движении к поверхности сильно взаимодействуют с
электронами проводимости, которых в металле много, быстро рассеивают энергию. Энергию,
достаточную для совершения работы выхода сохраняют только те фотоэлектроны, которые
образовались вблизи поверхности, на глубине 107 см. кроме того поверхность металла
сильно отражает видимое и ближнее ультрафиолетовое излучения.
При очень больших интенсивностях света, достижимых с помощью лазера, наблюдается
многофотонный (нелинейный) фотоэффект. При этом электрон может получить энергию
не одного, а N фотонов.
В этом случае уравнение Эйнштейна: N * h * = Ф + me * V2max / 2.
Красная граница Nфотонного фотоэффекта: 0 = Ф / N * h.
9. Эффект Комптона.
Наиболее полно и ярко корпускулярные свойства света проявляются в эффекте Комптона.
А. Комптон, исследуя в 1923 году рассеяние рентгеновских монохроматических лучей
веществами с легкими атомами (парафин, бор), обнаружил, что в составе рассеянного
излучения наряду с излучением первоначальной длины волны наблюдается также излучение
более длинных волн.
Схема опытов Комптона изображена на рисунке:
Монохроматические рентгеновские лучи, возникшие в рентгеновской трубке А, проходят
через диафрагмы В и узким пучком направляются на легкое рассеивающее вещество C. Лучи,
рассеянные на угол , регистрируются приемником рентгеновских лучей рентгеновским
спектрографом Д, в котором измеряется длина волны рассеянных рентгеновских лучей.
Опыты Комптона показали, что рассеянные рентгеновские лучи имеют длину волны '
большую, чем длина волны падающих лучей. Выяснилось, что разность = '
зависит только от свойств рассеивающего вещества и длины волны падающего света:
= ' =2 k * sin 2 ( / 2) (*), где длина волны падающего излучения; ' длина
волны рассеянного излучения; угол рассеяния; k 2,43 * 1012м комптоновская длина
волны электрона, величина, постоянная для всех веществ.
Это явление получило название эффекта Комптона.
Эффект Комптона упругое рассеяние электромагнитного излучения на свободных (или
слабо связанных) электронах, сопровождающееся увеличением длины волны; наблюдается
при рассеянии излучения малых длин волн рентген и излучений.
Эффект Комптона не объяснить с точки зрения классической физики. С точки зрения
волновых представлений о свете электромагнитная волна, падающая на первоначально
непокоящийся свободный электрон, должна вызывать колебания электрона с частотой,
равной частоте падающей волны. Колеблющийся электрон должен в свою очередь излучать
электромагнитную волну, имеющую частоту, равную частоте колебаний электрона, т.е.
частоте падающей волны. Таким образом, с волновой точки зрения свободный электрон
должен рассеивать свет, причем частота рассеянного света должна равняться частоте
падающего света. Последнее не согласуется с экспериментальными данными.
Объяснение эффекта Комптона дано на основе квантовых представлений о природе света.
Согласно квантовой теории, эффект Комптона является результатом упругого
столкновения рентгеновского фотона со свободным или почти свободным электроном (у
легких атомов энергия связи электрона с атомом значительно меньше энергии
рентгеновского фотона). При этом фотон передает электрону часть своей энергии и
импульса. То есть этот эффект аналогичен соударению бильярдных шаров (рисунок).
Так как при рассеянии фотонов высокой энергии электрон отдачи может приобрести
значительную скорость, необходимо учитывать релятивистскую зависимость энергии и
импульса электрона от его скорости. На рисунке показан закон сохранения импульса при
эффекте Комптона.
Рассмотрим упругое столкновение двух частиц налетающего фотона, обладающего
импульсом Р = h * / с и энергией = h * , с покоящимся свободным электроном (энергия
покоя Е0 = me * c2, где mе масса покоя электрона).
До столкновения электрон покоится. Р и Р' импульсы налетающего и рассеянного
фотонов; Ре импульс фотона отдачи; угол рассеяния фотона; угол, под которым
лежит электрон отдачи относительно направления падающего фотона.
Фотон, столкнувшись с электроном, передает ему часть соей энергии и импульса и
изменяет направление движения (рассеивается). Уменьшение энергии фотона и означает
увеличение длины волны рассеянного излучения. Пусть импульс и энергия рассеянного
фотона равны Р' = h * ' / с и ' = h * '. Электрон, ранее покоившийся, приобретает импульс
Ре = m*V2 и энергию Е = m * с2 и приходит в движение испытывает отдачу. При каждом
таком спонтанном столкновении выполняются законы сохранения энергии и импульса.
Согласно закону сохранения энергии: Е0 + = Е + ' (1), а согласно закону сохранения
импульса: (векторно) Р = Ре + Р' (2).
Подставив в выражение (1) значения величин и представив (2) в соответствии с рисунком,
получим: me * c2 + h * = me * c2 + h * ' (3),
(mV)2 = (h * / c)2 + (h * ' / c)2 2 * (h2 * * ' * cos / c2 (4).
Масса электрона отдачи связана с его скоростью V соотношением:
m = me / (12), где = V / c
(5).
Возведя уравнение (3) в квадрат, а затем, вычитая из него (4) и учитывая (5), получим:
me c2( ') = h ' (1cos ).
Так как = с/; ' = с/' и = ',
Получим: = h * (1cos ) / me * c = 2h * sin2 (/2) / me * c (6).
Выражение (6) есть не что иное, как полученная экспериментально Комптоном формула
(*): к = h / mec = 2.43*1012м комптоновская длина волны электрона.
Так как |cos | < 1 при 0, то согласно (6), сдвиг длины волны излучения при его
рассеянии происходит в сторону более длинных волн, причем этот сдвиг не зависит от длины
волны падающего излучения и определяется только углом рассеяния .
Таким образом, теоретически выведенная формула полностью совпала с формулой,
полученной экспериментально.
Если электрон сильно связан с атомом, то при рассеянии на нем фотона последний
передает энергию и импульс не электрону, а атому в целом. Масса атома во много раз больше
массы электрона, поэтому атому передается лишь незначительная часть энергии фотона, так
что длина волны ' рассеянного излучения практически не отличается от длины волны
падающего излучения. Доля электронов, сильно связанных в атомах, увеличивается с ростом
порядкового номера элемента и соответственно с ростом массы атомов. Поэтому, чем
тяжелее атомы рассеивающего вещества, тем больше относительная интенсивность
несмещенной компоненты ( = ') в рассеянном излучении.
Согласно (7) комптоновская длина волны электрона является существенно квантовой и
существенно релятивистской величиной. В неквантовом и нерелятивистском пределе, т.е. при
h 0 и с , величина (7) обращается в нуль.
Физический смысл к заключается в том, что если длина волны излучения оказывается
меньше величины к, то такое излучение может превращаться в электроны и их античастицы
позитроны. Действительно, при < к энергия одного кванта излучения:
= hc / < 2 mec2, т.е. по порядку величина сравнима или больше удвоенной энергии
покоя электрона. Это означает, что энергия электромагнитного кванта с длиной волны <
к сравнима или превышает порог рождения электрона с его античастицей позитроном.
Еще один важный смысл комптоновской длины волны электрона состоит в том, что эта
длина ограничивает точность определения координат частиц с помощью электромагнитного
излучения. Это связано с тем, что положение частицы можно измерить только с точностью до
длины волны излучения, освещающего частицу. При этом излучение рассеивается и длина
его волны изменяется на величину порядка к.
Комптоновская длина волны существует не только у электрона. Она есть у всякой
квантовой релятивистской частицы. Если частица имеет массу m, то комптоновская длина
волны этой частицы получается из (7) после замены массы электрона mе на массу частицы m.
Если m0 = 0 (нр, для фотона) комптоновская длина получается из (7) заменой m0 на /с2, где
энергия частицы.
В отличие от рассеяния фотонов, осуществляющегося как на свободных, так и связанных
электронах, поглощать фотон могут только связанные электроны (например, фотоэффект).
Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества.
В 1924 г. Де Бройль выдвинул гипотезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм
характерен не только для света, но и для микрочастиц вещества, в частности, для электронов.
Р = h / - соотношение для импульса фотона он обобщил и распространил на
микрочастицы вещества.
Бр = h / P - формула де Бройля, где Бр- длина волны де Бройля, т.е. присущая м/ч
вещества; Р - импульс м/ч; h - const Планка.
В 1926 г. Де Висоном и Джермером были поставлены опыты, в которых была обнаружена
дифракция электронов.
Брался монокристалл Ni и на него направлялся пучок электронов из электронной пушки
обычная дифракционная картина (чередование max и min). Т.. гипотеза де Бройля была
подтверждена электрону и любым м/ч как и свету присущ корпускулярно-волновой
дуализм.
В случае макроскопических тел волновые свойства не существенны.
е порядка на 1000 меньше света, т.е. электрон размазан по атому.
Чем меньше масса частицы, тем в большей степени проявляются её волновые свойства.
Для описания волновых свойств микрочастиц де Бройль предложил по аналогии с
оптикой использовать так называемую волновую функцию, охватывающую плоскую
монохроматическую волну, эта волновая функция в комплексной форме имеет вид: * = А *
е -i (wt - kr), где А - амплитуда волны; r - радиус-вектор, проведенный в рассматриваемую точку
волнового поля; i - мнимая единица; w - циклическая частота; k - волновой вектор; Е энергия микрочастицы; р - импульс микрочастицы.
Впервые правильную интерпретацию -функции дал в 1926 г. Макс Борн: (r;t) =
(x;y;z;t), представляет собой амплитуду вероятности, т.к. амплитуда вероятности может быть
комплексной величиной, а вероятность только действительной, то вероятность нахождения
частицы в какой-либо точке пространства должна быть пропорциональна: W | (r;t)|2, т.е.
||2 = * *, где * - функция комплексно сопряженная с , т.е. * = А * е i (wt - kr).
Вероятность нахождения частицы в объеме dV: dW = ||2 dV W = ||2 = dW/dV плотность вероятности.
Физический смысл имеет не сама -функция, а ||2 определяющий плотность
вероятности того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV.
-Функция должна удовлетворять условию нормировки вероятности, т.е. в бесконечном
пространстве частица должна быть.
Из смысла -функции вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер,
она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве и траекторию её
движения. С помощью -функции можно лишь предсказать с какой вероятностью частица
может быть обнаружена в различной точке пространства. Сама -функция полностью
отличает состояние микрочастицы.
Соотношение неопределенностей Гейзенберга.
Получена в 1927 году на основе анализа процедуры измерения квантовой механики. В
классической физике считалось, что параметры, характеризующие состояние микрообъекта
могут быть определены одновременно со сколь угодно большой точностью. Считалось, что
неточность измерений связана с несовершенством методики измерения, либо с
погрешностью приборов. Гейзенберг доказал, что в квантовой физике существует
принципиальное ограничение на точность измерений, а также то, что не все величины могут
быть измерены одновременно одинаково точно.
1. Соотношение для координат и импульса: невозможно одновременно точное измерение
координат микрочастицы и собственный компонент её импульса. х * Рх ħ, у * Ру ħ,
z * Рz ħ, х, у, z - интервалы координат, в которых может быть локализована
микрочастица. Рхуz - пределы, в которых заключено значение проекций её импульса, т.е. х
0 Рх .
2. Если система находится в стационарном состоянии, то справедливо соотношение: Е *
t ħ , где Е - неопределенность энергии микрочастицы; t - длительность процесса
измерения.
Соотношение неопределенностей позволило определить: стабильность атома;
существование нулевых колебаний; естественная ширина спектральных линий; по
отношению к микрочастицам теряет смысл понятие «траектория».
Соотношение неопределенностей является результатом корпускулярно-волнового
дуализма микрочастиц. Оно указывает в какой мере можно использовать понятия
классической механики применительно к микрочастицам, понятие траектории в
микромире теряет физический смысл.
Стационарное уравнение Шредингера.
Основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики. Оно ниоткуда
не выводится, а постулируется. Справедливость его доказывается многочисленными
практическими приложениями квантовой механики.
(r) + 2m (E - U) (r) / ħ2 =0
= 2 / х2 + 2 / у2 + 2 / z2 - оператор Лапласа.
M - масса, Е = полная энергия (const), U - потенциальная энергия.
Решением уравнения является волновая функция де Бройля.
Это уравнение хорошо описывает поведение электрона в атоме водорода или
водородоподобном ионе.
Функция , удовлетворяющая уравнению называется собственной. Она существует лишь
при определенном значении Е называемом собственным значением энергии.
Совокупность собственных значений называется спектром величины.
Применительно к атому Н спектр собственных значений энергии будет дискретным, т.е. Е
квантуется.
Модель атома водорода по Бору.
Теория Бора была успешно применена к атому водорода и водородоподобным ионам.
В 1913 г. Бор предложил постулаты:
1. в атоме существует набор стационарных состояний (орбит электронов), находясь в
которых атом не излучает электромагнитных волн.
2. В стационарном состоянии атома электрон, движущийся по круговой орбите, имеет
квантовые значения момента импульса. Len = me * V * rn, где Le -момент импульса, me - масса
электрона, V - скорость электрона, rn - радиус орбиты электрона, n - главное квантовое число
(номер стационарной орбиты).
3. При переходе атома из одного стационарного состояния в другое испускается или
поглощается один фотон. Еn - Em = h.
Если Еn > Em - излучается, Еn < Em - поглощается.
Согласно 2-му постулату уравнение движения электрона в вакууме имеет вид:
me * V / rn = Z * e2 / 4 0 r2n, исключив V получим: rn = 4 0 ħ2 / me Z e2.
При n = 1 r1 = 4 0 ħ2 / me e2 = 0,529 * 10-10.
rn = r1 * n2.
Энергия электрона в атоме равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
Е = (meV2 / 2) (ze2 / 40r) = ½ ze2 / 40r
En = (z2mee4/32 2 02 ħ2 n2) = (z2mee4 / 8 02 ħ2 n2), при n = 1; 2; 3 ...
Энергия электрона в атоме (водородоподобном) квантуется.
Рассмотрим атом водорода при z = 1. При переходе этого атома в состояние ni из nk (nk >
ni) излучается 1 фотон.
ħ = Еk Ei = (mee4 / 32 2 02 ħ2) * ((1/nk2) (1/ni2)).
Частота испущенного света: = Еk Ei = (mee4 / 32 2 02 ħ3) * ((1/nk2) (1/ni2)).
Т.к. = 2 = (mee4 / 64 3 02 ħ3) * ((1/nk2) (1/ni2))
= (mee4 / 8 02 ħ3) * ((1/nk2) (1/ni2)).
mee4 / 8 02 ħ3 = R = 3,288 * 1015 с1 const Ридберга.
R' = R / с = 1,097 * 107 м1 = R * ((1/nk2) (1/ni2)) = c * R' * ((1/nk2) (1/ni2)) формула
Баймера-Ридберга.
Согласно формуле линии в спектре атома водорода объединяются в отдельные линии,
называемые сериями линий.
Квантовые числа электрона в атоме.
В квантовой механике доказывается, что уравнение Шредингера удовлетворяет
собственные волновые функции: n l m mS (r) - определяемые четырьмя квантовыми
числами.
n - главное квантовое число; l - орбитное квантовое число; m - магнитное квантовое
число; mS - магнитное спиновое квантовое число.
Главное квантовое число определяет энергетический уровень электрона в атоме.
a) Квантование момента импульса:
электрон, вращающийся по орбите вокруг ядра, обладает моментом импульса:
Le =
me * V * r.
В классической физике считалось, что момент импульса может принимать любые
значения и направления в пространстве. В квантовой физике из уравнения Шредингера
вытекает, что момент импульса электрона квантуется.
Правила квантования импульса:
Le = ħ (l * (l+1)), где l = 0 - s; 1 - p; 2 - d; 3 - f; ... (n-1).Состояние электрона, обладающего
различными значениями l, обозначаются буквами.
b) Квантование момента состояния импульса.
Из уравнения Шредингера следует, что проекция момента импульса на направление
внешнего магнитного поля также квантуется:
Le = ħ m, где m = 0; 1; 2;...l (2l + 1).
с) Спин электрона:
Электрон в вакууме кроме момента импульса, связанного с его вращением вокруг ядра
обладает также собственным моментом импульса LS.
Первоначально полагали, что этот собственный момент импульса связан с вращением
электрона вокруг собственной оси.
Этот собственный момент электрона называется спином. Оказалось, что первоначальные
полуклассические представления о спине электрона как о вращающемся волчке не верны.
Спин - это внутреннее свойство, присущее электронам и другим элементарным частицам,
подобно тому, как ему присущи заряд и масса, - это квантовая и релятивистская величина, у
спина нет классического аналога, спин также квантуется.
Le = ħ (S * (S+1)), где S = 1; 1/2 - спиновое квантовое число.
Для электрона S = 1/2, для фотона S = 1.
Проекция спина на направление внешнего магнитного поля также квантуется.
LSZ = mS * ħ, mS = S - правило квантования проекции спина.
Частицы с целочисленным спином называются базонами. С полуцелым спином фермионами.
Роль квантовых чисел электрона в атоме.
Совместно n l m mS задают состояние электрона в атоме. Энергия электрона зависит
только от главного квантового числа n. Следовательно, каждому собственному значению Еn
(кроме Е1) соответствует несколько собственных функций nlmmS, отличающихся значением
квантовых чисел l, m, mS. Т.е. атом может иметь одно и тоже значение энергии, находясь в
нескольких различных состояниях.
Состояния с одинаковой Е называются вырожденными.
Число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью
вырождения, соответствует энергетическому уровню. В квантовой механике принимается,
что квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое
число m ориентацию электронного облака в пространстве.
Принцип Паули.
Для объяснения ряда эмпирических закономерностей атомных спектров Паули предложил
постулат о том, что одну электронную орбиталь могут занимать не более 2-х электронов.
В дальнейшем постулат был обоснован теоретически: 2 и более одинаковых фермиона не
могут находиться в одинаковых состояниях состояние электрона описывается волновой
функцией.
На одной электронной орбитали могут быть 2 электрона, состояние которых отличается
лишь спином (mS = 1/2).
Т.е. в одном и том же атоме не может быть 2-х электронов обладающих одинаковой
совокупностью квантовых чисел n l m mS. Совокупность электронов в атоме, имеющих одно
и то же квантовое число n, называется электронной оболочкой. В каждой оболочке электрон
подразделяется по подоболочкам в соответствии с l. Количество электронов в подоболочке
определяется m и mS.
На основе принципа Паули удалось объяснить периодический закон Менделеева.
Образование энергетических зон в кристаллах.
Рассмотрим образование твердого кристаллического тела: пока атомы изолированы друг о
друга, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней. При образовании кристалла
по мере сближения атомов из-за взаимодействия между ними их энергетические уровни
смещаются, расщепляются и расширяются в зоны. Заметно расширяются лишь уровни
внешних валентных электронов. Уровни внутренних электронов расщепляются слабо или не
расщепляются.
Количество уровней в энергетической зоне равно числу атомов в кристалле. Образование
таких энергетических зон объясняется на основе соотношения неопределенностей
Гейзенберга для энергии и времени.
В кристаллической решетке атомы взаимодействуют друг с другом. Это приводит к тому,
что слабо связанные валентные электроны будут переходить от одного атома к другому. t
10-15c - среднее время принадлежности электрона атому. Это приводит к расширению
энергетического уровня в зону. Е2 = ħ/t2 = 1эВ.
Валентная зона, зона проводимости, запрещенная зона.
Уровни, образовавшиеся при расщеплении 1-го атомного уровня образуют разрешенную
зону. Т.е. область значений Е, которую может принимать квантовая система.
Эти зоны разделены между собой запрещенными энергетическими промежутками
называемыми запрещенными зонами, т.е. область значений Е, которая не может иметь
электронов в кристалле.
Каждая разрешенная зона вмещает в себя столько близрасположенных энергетических
уровней, сколько атомов в кристалле.
Расстояние между этими уровнями: 10-22 эВ.
Ширина зоны несколько эВ.
Разрешенная зона может быть заполнена целиком, частично или быть свободной.
Электроны в кристалле могут совершать меж- и внутризонные переходы.
Разрешенную зону, возникшую из уровня на котором находится валентный электрон в
основном состоянии атома, называют валентной зоной.
При t = 0 К - валентная зона полностью заполнена электронами.
Зона проводимости частично заполнена или пустая энергетическая зона в электрическом
спектре твердого тела.
Диэлектрики.
У диэлектриков валентная зона целиком заполнена. Под действием электрического поля
электроны валентной зоны не могут перемещаться по энергетическим уровням и не могут
преодолеть запрещенной зоны.
Полупроводники.
1) собственная проводимость: < 3 эВ.
При t = 0 К валентная зона полностью заполнена, запрещенная зона - пустая.
За счет теплового движения электроны с потолка валентной зоны могут попасть на дно
запрещенной зоны. В валентной зоне образуется дырка, в запрещенной электрон. электронно-дырочная проводимость.
2) примесная проводимость: валентность донорных примесей больше валентности атомов
полупроводника. У акцепторных ниже.
А) зонный спектр донорного проводника: в запрещенной зоне возникает примесной
донорный уровень, на котором сидят электроны.
ЕД <<Е nn < np, т.е. концентрация электронов < концентрации дырок (полупроводник
n-типа, электронная проводимость).
Б) зонный энергетический спектр акцепторного полупроводника: ЕА <<Е nn > np, т.е.
концентрация дырок > концентрации электронов. (полупроводник р-типа, дырочная
проводимость).
Металлы. Уровень Ферми.
У Металлов двоякий энергетический зонный спектр.
1) з.пр. - заполнена частично и содержит свободные верхние уровни, поэтому электроны,
получив даже малую энергию (за счет теплового движения, эл.поля), сможет перейти на
более высокий энергетический уровень той же зоны и участвовать в проводимости. Такой
характер энергетического спектра характерен для щелочных Ме.
2) Для большинства др. Ме, а также щелочноземельных Ме характерен другой
энергетический спектр: когда зона проводимости и валентная зона перекрывают друг друга и
образуют гибридную зону. (Т.е. запрещенная зона отсутствует), гибридная зона заполнена
частично электрон также может получать энергетическую добавку.
Принято считать, что кристаллическая решетка Ме играет для свободных электронов роль
потенциальной ямы (т.е. энергия электрона внутри Ме считается отрицательной). Если
принять, что вне Ме потенциальная энергия электрона = 0, то внутри Ме она равна -А, где А положительная работа выхода электрона из ме, (считается, что электрон, находящийся
внутри потенциальной ямы с вертикальными стенками и плоским дном).
В классической электронной теории работу выхода отсчитывают от дна потенциальной
ямы. В квантовой теории считается, что все электроны стремятся занять наиболее низкие
уровни, как наиболее устойчивые, поэтому они попарно заполняют дозволенные
энергетические уровни, начиная со дна.
Т.о. работу выхода электрона из Ме нужно отсчитывать не от дна потенциальной ямы, а
от верхнего из занятых энергетических уровней - называемых уровнем Ферми. Энергия
электрона на этом уровне называется энергией Ферми (ЕФ).
Электропроводимость Ме.
Электрический ток проводимости в Ме это упорядоченное движение электронов, которое
возникает под действием электрического поля. Для того, чтобы электроны начали
упорядоченно двигаться под действием внешнего электрического поля они должны
увеличить свою энергию. При обычных напряжениях цепи они принимают весьма малую
энергию. Если существуют близкие свободные энергетические уровни, осуществляется
переход на эти уровни и возникает электрический ток. Если свободные уровни отсутствуют
электроны на них не могут перейти эл.ток не возникает.
Квантовая теория рассмотрела движение электронов с учетом их взаимодействия с
кристаллической решеткой, согласно корпускулярно-волновому дуализму движению
электронов соответствует волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка (частицы
неподвижны, отсутствует нарушение периодичности) ведет себя как оптически однородная
Среда и эл.волны не рассеивает, т.е. такой Ме не оказывает сопротивления току.
В реальной кристаллической решетке всегда есть неоднородности, частицы в узлах
решетки совершают тепловые колебания. В результате этих колебаний в кристалле возникает
флуктуация (отклонение от среднего значения) плотности, но колебания частиц не
гармонические. Эти неоднородности и служат центром рассеяния эл.волн.
частота колебаний частиц в узлах решетки соответствует звуковой частоте и приводит к
распространению в решетке звуковых волн, говорят, что в кристаллической решетке
существует звуковое поле. Квантами этого поля являются квазичастицы - фононы
эл.сопротивление Ме является результатом рассеяния электронов проводимости на фононах
удельное сопротивление = 1 + 2.
1 - сопротивление, обусловленное тепловыми колебаниями решетки. Считается что при
Т = 0К, 1 = 0.
2 - сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на примесных атомах
(остаточное сопротивление).
5.5. Состав ядра
Ядро атома было открыто английским физиком Э. Резерфордом в 1911 году в опытах по
рассеянию -частиц при прохождении их через вещество.
Атомное ядро – центральная массивная часть атома, состоящая из нуклонов (протон +
нейтрон).
Масса ядра атома примерно в 4*103 больше массы всех входящих в состав атома
электронов.
Электрический заряд положителен и по абсолютной величине равен сумме зарядов
электронов нейтрального атома.
Размеры ядра атома составляют 10-14 10-15.
Плотность ядерного вещества примерно одинакова для всех ядер (примерно 1017 кг/м3).
Ко времени открытия атомного ядра были известны только две элементарные частицы
– протон и электрон. В соответствии с этим считалось вероятным, что ядро атома состоит
из них. Однако в конце 20-х гг. протонно-электронная гипотеза столкнулась с серьезной
трудностью. Состав ядра был выяснен после открытия английским физиком Дж. Чедвиком
(1932) нейтрона. Идея о том, что ядро атома состоит из протонов и нейтронов, была
впервые высказана Д. Д. Иваненко (1932) и развита В. Гейзенбергом. Предположение о
протонно-нейтронном составе ядра получило в дальнейшем полное экспериментальное
подтверждение.
Периодически на короткое время ( 10-23 10-24 с.) в ядрах появляются мезоны, в т.ч. пимезоны. Взаимодействие нуклонов сводится к многократным актам испускания -мезонов
одним из нуклонов и поглощения его другим.
В ядерной физике принято выражать массы в единицах энергии, умножая их для этой
цели на с2. Принимается также атомная единица массы: 1 а.е.м. 1,66 * 10-27 кг = 931,44 МэВ.
5.6. Нуклоны (протоны и нейтроны).
Нуклоны (р)– от греческого – первый – стабильная элементарная частица, ядро атома
водорода.
Термин введен Резерфордом.
Масса: mр = 1,673 * 10-27 кг = 938,3 МэВ = 1,836 * mе.
Электрический заряд: е = 1,6 * 10-19 Кл.
Спин протона: S = ½ , т.е. фермион.
Собственный магнитный момент: р = 2,79 * я, где я = е * ħ / 2*mр*с = 5,05 * 10-27
Дж/Тл.
По экспериментальным данным среднее время жизни протона: р > 1030 лет.
Вместе с нейтронами протоны образуют атомные ядра всех химических элементов, при
этом число протонов в ядре равно атомному номеру элемента и, следовательно, определяет
место элемента в периодической системе элементов Менделеева.
Существует античастица по отношению к протону – антипротон.
нейтрон - от латинского ни тот, ни другой – электрически нейтральная элементарная
частица. Открыта английским физиком Дж. Чедвиком (1932).
Масса: mn = 1,675 * 10-27 кг = 939,6 МэВ.
Разность масс: mn – mр = 2,5 mе.
Электрический заряд: е = 0.
Спин нейтрона: S = ½ , т.е. энтофермион.
Собственный магнитный момент: n = -1,91 * я (знак минус указывает на то, что
направления собственных механических и магнитных моментов противоположны).
В свободном состоянии нейтрон нестабилен (радиоактивен) – он самопроизвольно
распадается, превращаясь в протон и испуская электрон (е-) и антинейтрино (ύ). Период
полураспада, т.е. время, за которое распадается половина первоначального количества
нейтронов, равен = 15,3 минуты. Схему распада можно написать следующим образом:
n p + e- +ύ.
Масса нейтрино равна нулю.
5.7. Заряд и массовое число ядра.
Зарядом ядра является величина Zе, где е – заряд протона, Z – порядковый номер
химического элемента в периодической системе Менделеева, равный числу протонов в ядре.
В настоящее время известны ядра с Z от Z = 1 до Z = 107. Для всех ядер, кроме 11Н; 23Н и
некоторых других нейтронно-дефицитных ядер N Z, где N – число нейтронов в ядре. Для
мелких ядер N/Z 1; для ядер химических элементов, расположенных в конце периодической
системы, N/Z 1,6.
Число нуклонов в ядре А = N + Z называется массовым числом. Нуклонам (протону и
нейтрону) приписывают массовое число, равное единице, электрону – нулевое значение А.
Ядро химического элемента Х обозначается ZAX, где Х – символ химического элемента, Z
– атомный номер (число протонов в ядре), А – массовое число (число нуклонов в ядре).
5.8. Изотопы и изобары.
Атомные ядра с одинаковым числом нуклонов, т.е. массовым числом А и разными
числами протонов Z и нейтронов N называются изобарами.
Пример: 1840Ar, 2040Ca.
Изотопы – разновидности данного химического элемента, различаются по массе ядра, т.е.
ядра с одинаковыми Z, но различными А.
Обладая одинаковыми зарядами ядер Z, но различаясь число нейтронов, изотопы имеют
одинаковое строение электронных оболочек, т.е. очень близкие химические свойства, и
занимают одно и то же место в периодической системе.
Примеры: водород имеет три изотопа: 11Н – протий, 12Н – дейтерий, 13Н – тритий. Протий
и дейтерий стабильны, тритий – радиоактивен; Кислород имеет три стабильных изотопа: 816О,
12
18
8 О, 8 О; у олова 10 и т.д.
В природе встречаются элементы с атомным номеров Z от 1 до 92, исключая технеций
(Tc, Z=43) и прометий (Pm, Z = 64). Остальные трансурановые (т.е. зауриновые) элементы
(93-107) были получены искусственным путем.
Стабильные изотопы встречаются только у элементов с Z 83.
Всего известно около 300 устойчивых изотопов химических элементов и более 2000
естественных и искусственно полученных радиоактивных изотопов.
Первые экспериментальные данные о существовании изотопов были получены в 1906 –
10 гг. при изучении свойств радиоактивных элементов. Термин "изотоп" предложен
английским ученым Ф. Содди в 1910 г.
Ядра с одинаковым числом нейтронов N называются изотопами (613С, 714N).
Изомерами называются радиоактивные ядра с одинаковыми Z и А, отличающиеся
периодом полураспада,.
В настоящее время известно приблизительно 1500 ядер, отличающихся либо Z, либо А,
либо тем и другим.
5.9. Ядерные силы.
Ядерные силы – силы, связывающие нуклоны в ядре. Ядерные силы оно из проявлений
сильных взаимодействий. Это взаимодействие можно описать с помощью поля ядерных сил.
Особенности ядерных сил:
1) ядерные силы являются короткодействующими. Их радиус действия имеет порядок 10м. На расстояниях существенно меньших 10-15, притяжение нуклонов сменяется
отталкиванием;
2) сильное взаимодействие не зависит от заряда нуклонов. Ядерные силы, действующие
между двумя протонами, протоном и нейтроном и двумя нейтронами, имеют одинаковую
величину, это свойство называется зарядовой независимостью ядерных сил;
3) ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов нуклонов. Так, например,
нейтрон и протон удерживаются вместе, образуя ядро дейтрона только в том случае, если их
спины параллельны друг другу;
4) ядерные силы не являются центральными. Их нельзя представлять направленными
вдоль прямой, соединяющей центры взаимодействующих нуклонов. Нецентральность
ядерных сил вытекает, в частности, из того факта, что они зависят от ориентации спинов
нуклонов;
5) ядерные силы обладают свойством насыщения (это означает, что каждый нуклон в
ядре взаимодействует с ограниченным числом нуклонов). Насыщение проявляется в том. Что
удельная энергия связи нуклонов в ядре при увеличении числа нуклонов не растет. А
остается примерно постоянной.
15
5.10. Энергия связи ядра.
Энергия связи ядра (Есв) – это энергия, которую необходимо затрать, чтобы расцепить
ядро на отдельные нуклоны.
Из закона сохранения энергии следует, что при образовании ядра должна выделиться
такая же энергия, какую нужно затрать при расщеплении ядра на составляющие его нуклоны.
Энергия связи ядра является разностью между энергией всех свободных нуклонов,
составляющих ядро, и их энергия в ядре.
При образовании ядра происходит уменьшение его массы: масса ядра меньше. Чем сумма
масс составляющих его нуклонов. Уменьшение массы ядра при его образовании объясняется
выделением энергии связи. Если Есв – энергия, выделившаяся при образовании ядра, то
соответствующая ей масса: m = Есв / с2 – называется дефектом массы и характеризует
уменьшение суммарной массы при образовании ядра из составляющих его нуклонов. Если
ядра с массой Мя образовано из Z протонов с массой mр и из (А – Z) нейтронов с массой mn,
то
m = Zmp + (A – Z) * mn – Мя.
Вместо массы Мя ядра величину m можно выразить через атомную массу Ма:
m = ZmH + (A – Z) – Ма, где mH – масса атома водорода.
При практическом вычислении m массы всех частиц и атомов выражаются в а.е.м..
Дефект массы служит мерой энергии связи ядра: Есв = m * с2 = [ Zmp + (A – Z)mn – Мя]
*с .
2
Одной атомной единице массы соответствует атомная единица энергии (а.е.э.).
Удельной энергией связи ядра (св) называется энергия связи, приходящаяся на один
нуклон: св = Есв / А.
Величина св составляет в среднем 8 МэВ/нуклон.
На рисунке приведена кривая зависимости удельной энергии связи от массового числа А,
характеризующая различную прочность связей нуклонов в ядрах разных химических
элементов. Ядра химических элементов в средней части периодической системы 28 < А <
138, т.е. от 1428 Si до 50138Ba, наиболее прочны. В этих ядрах св близка к 8,7 МэВ/нуклон.
Тяжелые и легкие ядра менее устойчивы. Это значит, что энергетически выгодны следующие
процессы: деление тяжелых ядер на более легкие; слияние легких ядер друг с другом в более
тяжелые. При обоих процессах выделяется огромное количество энергии.
5.12. Радиоактивность.
Радиоактивность – способность некоторых атомных ядер самопроизвольно (спонтанно)
превращаться в другие ядра с испусканием частиц.
Открытие радиоактивности датируется 1896г., когда французский физик А. Беккерель
обнаружил испускание ураном неизвестного проникающего излучения, названного им
радиоактивностью.
Ядро, испытывающее радиоактивный распад, называется материнским; возникающее
дочернее ядро, как правило, оказывается возбужденным, и его переход в основное состояние
сопровождается испусканием -фотонов.
К числу радиоактивных процессов относят: -распад, -распад (в том числе электронный
захват), -излучение ядер, протонная радиоактивность.
Радиоактивность, наблюдающаяся у ядер, существующих в природных условиях,
называется естественной.
Радиоактивность
искусственной.
ядер,
полученных
посредством
ядерных
реакций,
называется
Между искусственной и естественной радиоактивностью нет принципиального различия.
Процесс радиоактивного превращения в обоих случаях подчиняется одинаковым законам.
Радиоактивное излучение имеет сложный состав. В магнитном поле узкий пучок
радиоактивного излучения расщепляется на три компонента: -частицы. Отклоняются
электрическим и магнитным полями, обладает высокой ионизирующей способностью
(поглощается слоем алюминия толщиной 0,05 мм). Представляет собой поток ядер гелия;
заряд q = -2, а масса совпадает с массой гелия 24Не; -частицы. Отклоняются электрическим
и магнитным полями, их ионизирующая способность значительно меньше, а проникающая
способность гораздо больше (поглощается слоем алюминия толщиной 2 мм). Представляет
собой поток быстрых электронов, испускаемых из ядра. Эти электроны образуются в
результате взаимопревращений нуклонов в ядре; -излучения. Не отклоняется электрическим
и магнитным полями, обладает относительно слабой ионизирующей способностью и очень
большой проникающей способностью (проходит через слой свинца толщиной 5 мм). При
прохождении через кристаллы обнаруживает дифракцию. Это коротковолновое
электромагнитное излучение ( < 10-10 м), обладает ярко выраженными корпускулярными
свойствами (-кванты).
5.13. Закон радиоактивного распада.
Под радиоактивным распадом понимают естественное радиоактивное превращение
ядер, происходящее самопроизвольно.
Теория радиоактивного распада строиться на предположении о том, что радиоактивный
распад является спонтанным процессом, подчиняющимся статистическим законам. Т.к.
отдельные радиоактивные ядра претерпливают превращение независимо друг от друга, то
можно считать, что количество ядер dN, распадающихся за малый промежуток времени dt,
пропорционально как числу имеющихся ядер, так и промежутку времени dt: dN = - N * dt,
где - постоянная радиоактивного распада, постоянная для данного радиоактивного
вещества величина. Знак синус указывает на то, что общее число радиоактивных ядер в
процессе распада уменьшается.
Разделив переменные, и проинтегрировав их, получим:
dN/N = - *dt dN/N = - dt ln(N/N0) = - * t.
В результате получим закон радиоактивного распада:
N = N0 * e- * t (1), где N0 – начальное число нераспавшихся ядер (в момент времени t = 0),
N – число нераспавшихся ядер в момент времени t.
Т.о. согласно закону радиоактивного распада число нераспавшихся ядер убывает со
временем по экспоненте.
Интенсивность процесса радиоактивного распада характеризуют две величины: период
полураспада Т1/2 – промежуток времени, за который в среднем число нераспавшихся ядер
уменьшается вдвое; и среднее время жизни радиоактивного ядра. Тогда: N/2 = N0 * e- T
T1/2 = ln 2 / = 0.693 / .
Период полураспада для известных в настоящее время радиоактивных ядер находится в
пределах от 3*10-7 с до 5*1015 лет.
Суммарная продолжительность жизни dN ядер равна: t * |dN| = * N * t * dt.
Проинтегрировав это выражение по всем возможным t (т.е. от 0 до ) и разделив на
начальное число ядер N0, получим среднее время жизни радиоактивного ядра:
= 1/N0 * * N * t * dt = 1/N0 * * N0 * t * e- t * dt = t * e- t * dt = надо перейти к
переменной х = t и осуществить интегрирование по частям= 1/.
Т.о. среднее время жизни радиоактивного ядра есть величина, обратная постоянной
радиоактивного распада .
Активность (А) нуклида (общее название атомных ядер, отличающихся числом
протонов Z и нейтронов N в радиоактивном источнике) называется величина, равная
отношению числа N распавшихся ядер ко времени t, за которое произошел распад: А = N
/ t (2).
В результате (1) и (2): А = - * N. Единица активности в СИ – Беккерель: [A] = Бк.
Беккерель – активность нуклида, при которой за 1с происходит один акт распада.
Внесистемная единица активности нуклида – Кюрл [Кл]: 1 Кл = 3,7 * 1010 Бк.
Естественная радиоактивность наблюдается у ядер атомов химических элементов,
расположенных за свинцом в периодической системе Менделеева. Естественная
радиоактивность легких и средних ядер наблюдается лишь у ядер:
147
175
187
62 Sm, 71 Lu, 75 Re.
9
40
K, 3787Pb, 49115Jn, 57138La,
5.20. Ядерные реакции.
Ядерные реакции – превращения атомных ядер при взаимодействии с частицами, в т.ч. с
-квантами или друг с другом.
Для осуществления ядерных реакций необходимо сближение частиц (двух ядер, ядра и
нуклона и т.д.) на расстояние 10-15 м. Энергия налетающих положительных частиц должна
быть порядка или больше высоты кулоновского потенциального барьера ядер (для
однозарядовых частиц 10МэВ). В этом случае ядерные реакции, как правило,
осуществляются бомбардировкой мишеней пучками ускоренных частиц. Для отрицательно
заряженных и нейтральных частиц кулоновский барьер отсутствует, и ядерные реакции
могут протекать при тепловых энергиях налетающих частиц.
В ядерной физике вероятность взаимодействия принято характеризовать с помощью
эффективного сечения . Пусть поток частиц, например нейтронов, падает на мишень,
настолько, тонкую, что ядра мишени не перекрывают друг друга (см.рисунок).
Если бы ядра были твердыми шариками с поперечным сечением , а падающие частицы –
твердыми шариками с исчезающе малым сечением, то вероятность того, что падающая
частица заденет одно из ядер мишени была бы равна: W = *n*, где n – концентрация ядер,
т.е. их число в единице объема мишени, - толщина мишени; (*n* определяет
относительную долю площади мишени, перекрытую ядрами-шариками).
Эффективные сечения ядерных процессов принято выражать в единицах, получивших
название барн: 1 барн = 10-24 см2.
Эффективное сечение рассеяния характеризует эффективность ядерной реакции.
Как правило, в ядерных реакциях участвуют два ядра и две частицы. Одна пара ядрочастица является исходной, другая – конечной.
Символическая запись ядерной реакции: х + а = у + b или Х(а,b)У, где Х и У – исходное и
конечное ядра, а и b – исходная и конечная частицы в реакции.
Иногда ядерные реакции могут протекать в две стадии по схеме: х + а с у + b, где с –
промежуточное ядро (комнаундядро).
Ядерные реакции подчиняются законам сохранения электрического заряда, энергии и
импульса. Закон сохранения массового числа выполняется не во всех реакциях. Так, если
кинетическая энергия вступающих в реакцию частиц достаточна для рождения нуклон –
антинуклонной кары, то массовое число может изменяться.
Ядерные реакции характеризуются энергией ядерной реакции Q, равной разности энергий
конечной и исходной пар в реакции. Если Q < 0, то реакция идет с поглощением энергии и
называется эндотермической, если Q > 0, то реакция идет с выделением энергии и называется
экзотермической.
5.23. Деление ядер.
Реакция деления атомного ядра заключается в том, что тяжёлое ядро под действием
нейтронов и других частиц делится на несколько более легких ядер (осколков), чаще всего
на два ядра, близких по массе.
Для того чтобы ядро достигло формы, предшествующей его разрыву, необходима
затрата определенной энергии для преодоления потенциального барьера называемого
барьером деления (см.рисунок).
Эту энергию ядро может получить из вне, например при захвате нейтрона. В случае
спонтанного деления ядер происходит туннельное просачивание через барьер.
Масса тяжелого ядра больше суммы масс образующихся осколков. Разница в массах
соответствует энергии, выделяемой при делении. В самом деле, удельная энергия связи
для ядер средней массы составляет 8,7 МэВ, в то время как для тяжелых ядер она равна
7,6 МэВ. Т.е. при делении тяжелого ядра на два осколка должна освобождаться энергия
порядка 1,1 МэВ/нуклон. Значительная часть этой энергии выделяется в виде
кинетической энергии осколков, равной энергии их электростатического отталкивания в
момент деления. Суммарная кинетическая энергия осколков составляет для урана и
трансурановых элементов 200 МэВ. При делении ядер, содержащихся в 1г 235U,
выделяется энергия 8*1010 Дж, или 22000 кВт*ч. Осколки быстро тормозятся в среде,
вызывая ионизацию, нагревание и нарушая её структуру.
5.24. Цепные ядерные реакции.
Цепные ядерные реакции – ядерные реакции, в которых частицы, вызывающие их,
образуются как продукты этих реакций.
Пока единственная известная цепная ядерная реакция – реакция деления урана и
некоторых трансурановых элементов под действием нейтронов.
В 1939г. Я.Б. Зельдович и Ю.Б. Харитон впервые указали на возможность
существования таких реакций. Впервые цепная реакция деления была осуществлена
итальянским физиком Э. Ферми в 1942г. После открытия деления атомных ядер Ферми, У.
Зинн, Л. Силард (США), Г.Н. Флеров показали, что при делении ядра вылетает больше 1
нейтрона:
n + U A + B + ύ, где А и В – осколки деления с массовыми числами от 90 до 150; ύ –
число вторичных нейтронов.
Цепная реакция деления характеризуется коэффициентом размножения k нейтронов,
который равен отношению числа нейтронов в данном поколении к их числу в
предыдущем поколении.
Необходимое условие для осуществления цепной ядерной реакции деления k 1.
Оказывается, что не все образующиеся вторичные нейтроны вызывают последующее
деление ядер, что приводит к уменьшению коэффициента размножения. Во-первых, из-за
конечных размеров активной зоны (пространства, где происходит цепная реакция) и
большой проникающей способности нейтронов часть из них покинет активную зону
раньше, чем будет захвачена каким-либо ядром. Во-вторых, часть нейтронов
захватывается ядрами неделящихся примесей, всегда присутствующих в активной зоне.
Кроме того, наряду с делением могут иметь место конкурирующие процессы
радиоактивного захвата и неупругого рассеивания.
Коэффициент размножения зависит от природы делящегося вещества, а для данного
изотопа – от его количества, а также размеров и формы активной зоны.
Минимальные размеры активной зоны, при которых возможно существование цепной
реакции, называются критическими размерами. Минимальная масса делящегося
вещества, находящегося в системе критических размеров, необходимая для
осуществления цепной реакции, называется критической массой.
Пример: для 235U
9 см.
= 19,5 г/см3 и при сферической форме системы: mкр = 50 кг, rкр =
При k > 1 идет развивающаяся реакция, число делений растет и реакция может стать
взрывной.
При k = 1 идет самоподдерживающаяся реакция, при которой число нейтронов со
временем не изменяется.
При k < 1 идет затухающая реакция.
Цепные реакции делятся на управляемые и неуправляемые. Взрыв атомной бомбы неуправляемая реакция. Чтобы атомная бомба при хранении не взорвалась в ней 235U и
239
Pu делится на две удаленные друг от друга части с массами ниже критических. Затем с
помощью обычного взрыва эти массы сближаются, общая масса делящегося вещества
становится больше критической и возникает цепная реакция деления. Взрывная реакция
начинается за счет нейтронов спонтанного деления или нейтронов космического
излучения.
Управляемые ядерные реакции осуществляются в ядерных реакторах.
Ядерным топливом могут служить три природных изотопа
получения 232Th и 238U.
235
U, или сырьем для его
Th служит исходным продуктом для получения искусственного ядерного топлива
U, а 238U для 293Pu:
232
233
238
U
92
+ 01n 92239U 93239N 94239Pu.
Т.о. имеется возможность воспроизведения ядерного горючего при цепной реакции
деления.
5.25. Ядерные реакторы на тепловых и быстрых нейтронах.
Большое значение в ядерной энергетике приобретает не только осуществление цепной
реакции, но и управление ею.
Ядерные реакторы – это устройства, в которых осуществляется и поддерживается
управляемая цепная реакция деления.
Взаимодействие нейтронов с ядрами состоит главным образом либо в упругом
рассеивании нейтронов на ядрах, либо в захвате нейтронов ядрами. В веществах,
называемых замедлителями (графит, тяжелая вода, соединения бериллия), быстрые
нейтроны рассеиваются на ядрах, передавая энергию атомам замедлителя. В результате
нейтроны становятся тепловыми.
При совпадении энергии тепловых нейтронов с энергией составного ядра наблюдается
резонансное поглощение (резонансный захват) нейтронов.
Первый реактор был пущен в Чикагском университете в 1942г. Э. Ферми, в СССР
подобный реактор был создан в 1946г. под руководством И.В. Курчатова.
В качестве делящегося вещества в реакторах на тепловых нейтронах служит
природный (либо несколько обогащенный изотопом 235U) уран. Чтобы предотвратить
радиационный захват нейтронов ядрами 238U, сравнительно небольшие блоки делящегося
вещества размещают на некотором расстоянии друг от друга, а промежутки между
блоками заполняют замедлителем.
В реакторах на быстрых нейтронах используются нейтроны деления и замедлитель
отсутствует.
Первая атомная электростанция была построена в СССР в г. Обнинске под
руководством И.В. Курчатова. Её мощность 5 МВт.
Схема уран-графитового реактора приведена на рисунке:
1 – замедлитель (графит); 2 – блоки из урана, тепловыделяющие элементы (твэлы); 3 –
стержни кадмия или бора, интенсивно поглощают электроны и служат для регулировки
процесса в реакторе.
Введение стержней 3 в реактор уменьшает коэффициент размножения нейтронов, и
введение увеличителя. Стержнями управляет автоматика, позволяющая поддерживать
мощность реактора на заданном уровне.
5.26. Реакция синтеза, условия их осуществления. Управляемый термоядерный синтез.
Термоядерные реакции – это ядерные реакции между легкими атомными ядрами,
протекающие при очень высоких температурах ( 108 К и выше).
Высокие температуры, т.е. достаточно большие относительные энергии
сталкивающихся ядер, необходимы для преодоления электростатического барьера,
обусловленного взаимным отталкивание ядер. Без этого невозможно сближение ядер на
расстояния порядка радиуса действия ядерных сил, т.е. и перестройка ядер.
Поэтому термоядерные реакции в природных условиях протекают лишь в недрах
звезд, а для их осуществления на Земле необходимо сильно разогреть вещество либо
ядерным взрывом, либо мощным газовым разрядом, либо гигантским импульсом
лазерного излучения или бомбардировкой интенсивным пучком частиц.
Реакция синтеза атомных ядер могут служить колоссальным источником энергии.
Удельная энергия связи резко увеличивается при переходе от ядер тяжелого водорода
(дейтерия 12Н и трития 13Н) к литию 36Li и особенно к гелию 24He, т.е. реакции синтеза
легких атомных ядер в более тяжелые должна сопровождаться выделением большого
количества энергии.
Пример реакции синтеза:
1
1
1
3
2
Н + 12Н 13Н + 11р (Q = 4,0 МэВ)
2
Н + 12Н 23Не + 01n (Q = 3,3 МэВ)
2
Н + 13Н 24Не + 01n (Q = 17,6 МэВ)
6
Li + 12Н 24Не + 24Не (Q = 22,4 МэВ)
где Q – энерговыделение.
Энергия, выделяемая на один нуклон в реакциях синтеза атомных ядер значительно
больше, чем в реакциях деления тяжелых ядер. Так, при делении ядра 92238U на один
нуклон выделяется 0,84 МэВ энергии, а в реакции синтеза эта энергия составляет 3,5
МэВ.
Термоядерные реакции являются, по-видимому, одним из источников энергии Солнца
и звезд.
Впервые искусственная управляемая термоядерная реакция была осуществлена в
СССР (1953г.), а через полгода в США в виде взрыва водородной бомбы.
РАЗДЕЛ 4. Словарь терминов (глоссарий).
1895 год - открытие рентгеновских лучей (Вильгельм Конрад Рентген),
1896 год - открытие радиоактивности (Антуан Анри Беккерель),
1897 год - открытие электрона (Джозеф Джон Томсон),
1900 год - рождение квантовой гипотезы (Макс Карл Эрнст Людвиг Планк),
1901 год - создание электронной лампы (Оуэн Уилланс Ричардсон),
1902 год - рождение фундаментальных принципов статистической физики (Джозайя
Уиллард Гиббс),
1905 год - рождение гипотезы световых квантов (Альберт Эйнштейн),
1905 год - рождение специальной теории относительности (Альберт Эйнштейн, Жюль
Анри Пуанкаре),
1911 год - экспериментальное доказательство существования атомных ядер (Эрнст
Резерфорд),
1911 год - открытие явления сверхпроводимости (Хейке Камерлинг - Оннес),
1913 - 1917 гг. - исследование столкновений электронов с атомами (Джеймс Франк и
Густав Герц),
1922 год - экспериментальное доказательство существования спина электрона (Отто
Штерн, Вальтер Герлах),
1923 год - открытие эффекта Комптона (Артур Холли Комптон),
1924 год - рождение принципа исключения Паули (Вольфганг Эрнст Паули),
1925- 1927 гг.- создание квантовой теории (Вернер Гейзенберг, Макс Борн, Паскуаль
Иордан, Поль Андриен Морис Дирак, Эрвин Шредингер),
1927 год - открытие явления интерференции при отражении электронов от кристаллов
(Клинтон Джосеф Дэвиссон, Лестер Джермер, Джордж Паджет Томсон),
1932 год - год великих открытий: открытие изотопа водорода - дейтерия (Гаральд Клейтон
Юри), открытие позитрона (Карл Дейвид Андерсон), открытие нейтрона (Джеймс
Чедвик),
1934 год - открытие искусственной радиоактивности (Ирен и Фредерик Жолио-Кюри),
1938год - открытие явления сверхтекучести жидкого гелия (Петр Леонидович Капица),
1938 год - открытие деления атомных ядер (Отто Хан, Фриц Штрассман),
1942 год - создание первого уранового котла, использующего ядерную реакцию (Энрико
Ферми с сотруд.),
1946 год - рождение первого компьютера (Джон фон Нейман и др.),
1947 год - создание голографии (Деннис Габор),
1948 год - открытие транзисторного эффекта, создание транзистора (Джон Бардин, Уолтер
Браттейн, Уильям Брэдфорд Шокли),
1954 год - создание квантового генератора (Чарльз Харт Таунс, Александр Михайлович
Прохоров, Николай Геннадьевич Басов),
1955 год - открытие антипротона (Эмилио Джино Сегре, Оуэн Чемберлен и др.),
1956 год - экспериментальное доказательство существования нейтрино (Фредерик Райнес
и Клайд Лоррен Коуэн),
1956 год - открытие несохранения четности в слабых взаимодействиях (Ли Цзун - Дао,
Янг Чжань - нин, Ву Цзянь - сюн с сотрудниками),
1957 год - создание микроскопической теории сверхпроводимости (Джон Бардин, Леон
Купер, Джон Роберт Шриффер, Николай Николаевич Боголюбов),
1960 год - рождение рубинового лазера (Чарльз Таунс, Артур Шавлов, Теодор Мейман ),
1957, 1965 гг. - открытие явлений туннелирования в твердых телах (Лео Эсаки, Айвар
Джайевер, Брайан Джозефсон),
1964 год - открытие нарушения комбинированной пространственно-зарядовой симметрии
(Вэл Логодон Фитч, Джеймс Уотсон Кронин),
1965 год - открытие реликтового фонового электромагнитного излучения (Арно Алан
Пензиас, Роберт Вудрон Вильсон),
1967-1968 гг. - создание теории электрослабого взаимодействия (Стивен Вайнберг,
Шелдон Глэшоу, Абдус Салам),
1969 год - рождение компьютерной рентгеновской томографии (Аллан Кармак,Годфри
Хаупсфилд), 1974 год - открытие / - частицы, подтверждение зы кварков (Сэмюэл Тинг,
Бертон Рихтер),
1981 год - рождение сканирующей туннельной микроскопии (Эрнст Руска, Гердт Бинниг,
Генрих Рорер),
1983 год - открытие промежуточных векторных бозонов W , W , Z W , Z, W , Z 6 0 (Карло
Руббиа, Симон ван дер Меер с сотрудниками),
1985 год - открытие квантового эффекта Холла (фон Клитцинг),
1986 - 1987 гг. - открытие высокотемпературной сверхпроводимости в керамических
металлоксидах (Дж. Г. Беднорц, К.А. Мюллер, М.Такашиге и др.)
Механическим движением называется изменение положения предмета относительно
заданной системы отсчета.
Первый закон Ньютона утверждает, что существуют такие системы отсчета, в
которых всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного
движения до тех пор, пока воздействия со стороны других тел не заставят его изменить
это состояние.
Свойство тела сохранять свое состояние неизменным называют инерцией, а системы
отсчета, в которых выполняется этот закон, - инерциальными.
Сила - количественная мера простого воздействия на тело со стороны других тел, во
время действия, которого тело или его части получают ускорения.
Теорема о движении центра масс - центр масс системы материальных точек под
действием внешних сил движется как материальная точка суммарной массы, к которой
приложены все внешние силы
Оптика раздел физики, изучающий свойства и физическую природу света, а также его
взаимодействие с веществом.
Под светом понимают видимый свет, а также инфракрасную и ультрафиолетовую часть
спектра. Диапазон оптического спектра: = 2мм 10нм; = 1,5*1011 Гц 3*1016Гц.
Для объяснения световых явлений в физике используются 2 теории света:
корпускулярная (И. Ньютон) и волновая (Х. Гюйгенс).
По волновой (электромагнитной) теории световое излучение представляет собой
электромагнитные волны. Свет волны поперечные.
Е световой вектор (оказывает физиологическое, фотоэлектрическое и фотохимическое
и др. воздействия).
с = 3*108м/с скорость света в вакууме = 1/ (0 * 0).
Фазовая скорость распространения электромагнитных волн: V -= с / ( * ).
Отношение скорости света в вакууме к фазовой скорости в среде называется абсолютным
показателем преломления этой среды: n = с / V = ( * ).
При помощи волновой теории объясняют законы распространения света.
По корпускулярной (фотонной) теории световое излучение представляет собой поток
фотонов (корпускул). На основе корпускулярной теории объясняют законы
взаимодействия между светом и веществом.
Волновые свойства света проявляются в явлениях интерференции и дифракции.
Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или
волновых процессов.
Колебания называются когерентными, если разность их фаз остается постоянной во
времени.
Интерференция света – сложение в пространстве двух (или нескольких волн), при
котором в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей
волны.
Расстояние м/д двумя соседними максимумами (или минимумами), называется шириной
интерференционной полосы: ч = l * 0 / d.
Дифракцией называется совокупность явлений, которые обусловлены волновой природой
света и наблюдается при его распространении в среде с резко выраженными
неоднородностями. Дифракция огибание волнами препятствий.
Волновой поверхностью (фронтом волны) называется геометрическое место точек
среды, колеблющихся в данный момент времени в одинаковой фазе.
Принципа Гюйгенса-Френеля: В любой точке, находящейся вне поверхности ,
световая волна, возбуждаемая источником S, может быть представлена как результат
суперпозиции когерентных вторичных волн, которые излучаются элементарными
фиктивными (воображаемыми, виртуальными) источниками, непрерывно
распределенными вдоль вспомогательной поверхности .
Дифракционная решетка представляет собой систему из большого числа N одинаковых
по ширине и параллельных друг другу щелей в экране, разделенных также одинаковыми
по ширине непрозрачными промежутками.
условие главных максимумов:d * sin = n *
условие главных минимумов:a * sin = m *
Поляризованной называется волны, в которой существует предпочтительное
направление колебаний.
Поляризатор – всякий прибор, служащий для получения поляризованного света.
Анализатор - прибор-поляризатор, применяемый для исследования поляризованного
света.
Закон Брюстера: отраженный луч полностью поляризован при угле падения = Бр,
удовлетворяющем условию tg Бр = n21, где n21 относительный показатель преломления
отражающей среды.
Любая плоскость, проходящая через ось, называется главным сечением или главной
плоскостью кристалла.
Поглощением света называется явление поглощения энергии световой волны при её
распространении в веществе.
Закон Бугера-Ламберта: J = J0 * е-L, где J0 - активность света при входе в слой
вещества; J - интенсивность при выходе; L - толщина слоя; - линейный коэффициент
поглощения среды, зависит от природы и состояния поглощающей среды и от .
Рассеянием
света
называется
явление
преобразования
света
веществом,
сопровождающееся изменением направления распространения света и появляющимся как
несобственное сечением света.
Световое давление давление, производимое светом на отражающие и поглощающие
тела, частицы а также отдельные молекулы и атомы.
Тепловое излучение - это электромагнитное излучение, испускаемое веществом за счет
его внутренней энергии. Все остальные виды свечения называются люминесценция.
Фотоэффект – испускание электронов веществом под действием электромагнитного
излучения.
Внутренним фотоэффектом называется перераспределение электронов по
энергетическим состояниям в твердых и жидких полупроводниках и диэлектриках,
происходящее под действием света. Он проявляется в изменении концентрации носителей
тока в среде и приводит к возникновению фотопроводимости или вентильного
фотоэффекта.
Фотопроводимость – увеличение электрической проводимости вещества под действием
света.
Вентильным фотоэффектом (фотоэффектом в запирающем слое) называется
возникновение под действием света ЭДС (фото-ЭДС) в системе, состоящей из
контактирующих полупроводника и металла или двух разнородных полупроводников
(например: в p – n переходе).
Внешним фотоэффектом (фотоэлектронной эмиссией) называется испускание
электронов твердыми телами и жидкостями под действием электромагнитного излучения
в вакуум или другую среду.
Фотон – от греческого "свет" – элементарная частица, квант электромагнитного
излучения.Термин введен Г.Н. Льюисом в 1929г.
Эффект Комптона упругое рассеяние электромагнитного излучения на свободных (или
слабо связанных) электронах, сопровождающееся увеличением длины волны;
наблюдается при рассеянии излучения малых длин волн рентген и излучений.
Постулаты Бора:
4. в атоме существует набор стационарных состояний (орбит электронов), находясь в
которых атом не излучает электромагнитных волн.
5. В стационарном состоянии атома электрон, движущийся по круговой орбите, имеет
квантовые значения момента импульса. Len = me * V * rn, где Le -момент импульса, me масса электрона, V - скорость электрона, rn - радиус орбиты электрона, n - главное
квантовое число (номер стационарной орбиты).
6. При переходе атома из одного стационарного состояния в другое испускается или
поглощается один фотон. Еn - Em = h.
Спин - это внутреннее свойство, присущее электронам и другим элементарным частицам,
подобно тому, как ему присущи заряд и масса, - это квантовая и релятивистская величина,
у спина нет классического аналога, спин также квантуется.
Число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью
вырождения, соответствует энергетическому уровню.
Атомное ядро – центральная массивная часть атома, состоящая из нуклонов (протон +
нейтрон).
Нуклоны (р)– от греческого – первый – стабильная элементарная частица, ядро атома
водорода.
нейтрон - от латинского ни тот, ни другой – электрически нейтральная элементарная
частица. Открыта английским физиком Дж. Чедвиком (1932).
Зарядом ядра является величина Zе, где е – заряд протона, Z – порядковый номер
химического элемента в периодической системе Менделеева, равный числу протонов в
ядре.
Изотопы – разновидности данного химического элемента, различаются по массе ядра,
т.е. ядра с одинаковыми Z, но различными А.
Изомерами называются радиоактивные ядра с одинаковыми Z и А, отличающиеся
периодом полураспада,.
Ядерные силы – силы, связывающие нуклоны в ядре. Ядерные силы оно из
проявлений сильных взаимодействий. Это взаимодействие можно описать с помощью
поля ядерных сил.
Энергия связи ядра (Есв) – это энергия, которую необходимо затрать, чтобы
расцепить ядро на отдельные нуклоны.
Радиоактивность – способность некоторых атомных ядер самопроизвольно
(спонтанно) превращаться в другие ядра с испусканием частиц.
Радиоактивность, наблюдающаяся у ядер, существующих в природных условиях,
называется естественной.
Радиоактивность ядер, полученных посредством ядерных реакций, называется
искусственной.
Под радиоактивным распадом понимают естественное радиоактивное превращение
ядер, происходящее самопроизвольно.
Интенсивность процесса радиоактивного распада характеризуют две величины: период
полураспада Т1/2 – промежуток времени, за который в среднем число нераспавшихся ядер
уменьшается вдвое;
Активность (А) нуклида (общее название атомных ядер, отличающихся числом
протонов Z и нейтронов N в радиоактивном источнике) называется величина, равная
отношению числа N распавшихся ядер ко времени t, за которое произошел распад: А =
N / t (2).
Беккерель – активность нуклида, при которой за 1с происходит один акт распада.
Ядерные реакции – превращения атомных ядер при взаимодействии с частицами, в
т.ч. с -квантами или друг с другом.
Цепные ядерные реакции – ядерные реакции, в которых частицы, вызывающие их,
образуются как продукты этих реакций.
Минимальные размеры активной зоны, при которых возможно существование цепной
реакции, называются критическими размерами
Минимальная масса делящегося вещества, находящегося в системе критических
размеров, необходимая для осуществления цепной реакции, называется критической
массой.
Ядерные реакторы – это устройства, в которых осуществляется и поддерживается
управляемая цепная реакция деления.
Термоядерные реакции – это ядерные реакции между легкими атомными ядрами,
протекающие при очень высоких температурах ( 108 К и выше).
РАЗДЕЛ 5. Практикум по решению задач (практических ситуаций) по темам лекций
(одна из составляющих частей итоговой государственной аттестации).
Данный раздел должен в себя включать:
Примеры решения задач (практических ситуаций) по темам, на которые
предложены аналогичные задания в экзаменационных (зачетных) билетах.
1. МЕХАНИКА
Примеры решения задач
Пример 1. По наклонной плоскости АО аппарата для обогащения руды по трению
скатываются два куска руды с конечными скоростями 1 и 2 м/с. На каком расстоянии ВС
(рис. 1.1) друг от друга упадут эти куски руды, если высота наклонной плоскости 1 м и
плоскость образует с горизонтом угол
30. Принять g = 10 м/с2.
V1 = 1 м/с
V2 = 2 м/с
H=1м
= 30
g = 10 м/с2
ВС - ?
Рис. 1.1
Решение
Выберем систему координат ХОУ с началом в точке О (см. рис. 1.1). Движение
тела по параболе можно представить как сумму равномерного движения по горизонтали
со скоростью VХ и равноускоренного движения по вертикали с начальной скоростью VУ
a
g
и ускорением
, направленным вниз.
Проекции начальной скорости на оси координат в этом случае для двух тел
VX1 = V1 cos ,
VУ1 = V1 sin ,
VX2 = V2 cos ,
VУ2 = V2 sin .
Уравнения движения тел по оси Х
SХ1 = VX1 · t1 = V1 t1 cos ,
SХ2 = VX2 · t2 = V2 t2 cos ;
по оси У
gt 12
H S У1 VУ1t1
2
H SУ 2
gt 12
V1t1 sin
,
2
gt 2 2
VУ 2 t 2
2
gt 2 2
V2 t 2 sin
.
2
Последние уравнения являются уравнениями парабол.
Подставляя в них числовые значения, получим следующие квадратные уравнения:
5 t12 + 0,5 t1 – 1 = 0, 5 t22 + t2 – 1 = 0.
Решая эти уравнения, находим, что t1 = 0,40 с, t2 = 0,36 с.
Расстояние
ВС = SX2 – SX1 = ( V2 t2 – V1 t1) cos .
ВС = (20,36 - 10,40) cos 30 = 0,28 м.
Небольшие куски руды с гладкой поверхностью, имеющие меньший коэффициент
трения, будут перемещаться с большей скоростью и, сойдя с наклонной плоскости,
отлетят дальше, чем куски с шероховатой поверхностью.
Тексты задач (практических ситуаций) для самостоятельного решения при
подготовке к итоговой аттестации (не более 2-х).
Вариант №1
1. Движение двух материальных точек выражается уравнениями х1 =А+Вt-Сt2 и х2 = 2+Dt+Еt2
(длина – в метрах, время – в секундах). Какова скорость первой точки в момент времени, когда
скорости этих точек будут одинаковы? А=20м, В=2м/c, С=2м/c2, D=2м/c, Е=0,5м/c2
2. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузы массами
m1=100г и m2=110г. Блок с грузами подвешен с помощью динамометра к потолку лифта. Найти
показания динамометра, если лифт покоится. Массой блока и нити, а также трением в оси блока
пренебречь.
3. Чему равна работа по подъему цепи, взятой за один конец и лежащей на плоскости, на высоту
равную длине? Длина цепи L=2м, масса m=5кг.
4. Найти плотность водорода при температуре t=1270С и давлении р=8,31*105Па.
5. Водород m=0,2 кг изобарно расширяется при нагревании его от 00С до 1000С. Определить
изменение внутренней энергии ΔU, работу газа А, совершенную при расширении, количество
теплоты Q, сообщенную газу.
_________________________________________________________________________________
Вариант №2
1. Движение двух материальных точек выражается уравнениями х1 =А+Вt-Сt3 и х2= 2+Dt+Еt3
(длина – в метрах, время – в секундах). Каково ускорение второй точки в момент времени, когда
скорости этих точек будут одинаковы? А=40м, В=2 м/c, С=4 м/c3, D=1 м/c, Е=0,5 м/c3
2. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α=450. пройдя
расстояние S=36,4см, тело приобрело скорость v= 2м/c. Чему равен коэффициент трения тела о
плоскость, если его масса m=15кг?
3. Два неупругих шара массами m1=2кг и m2=3кг движутся соответственно со скоростями v1=8 м/с
и v2=4 м/с. Определить энергию, пошедшую на деформацию шаров при их столкновении в случае,
когда меньший шар нагоняет больший.
4. В баллоне вместимостью V=30л содержит смесь водорода и гелия при температуре T=290К и
давлении р=828кПа. Масса смеси m =24г. Определить массу m1 водорода и массу m2 гелия.
5. Идеальный газ совершает цикл Карно, получив от нагревателя количеств теплоты Q=4,2 кДж,
совершил работу А=590 Дж. Найти термический КПД η этого цикла. Во сколько раз температура
Т1 нагревателя больше температуры Т2 холодильника?
РАЗДЕЛ 6. Изменения в рабочей программе, которые произошли после утверждения
программы.
Характер изменений
в программе
Номер и дата
протокола
заседания кафедры,
на котором было
принято данное
решение
Подпись
заведующего
кафедрой,
утверждающего
внесенное изменение
Подпись декана
факультета
(проректора по
учебной работе),
утверждающего
данное изменение
РАЗДЕЛ 7. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и Учебный год
степень преподавателя
Шолохов В.С.к ф- м н , доц.
2010-2011
Факультет
Специальность.
ФМОИП
050202 –Инф.