Федеральное агентство по образованию Форма Ульяновский государственный университет Ф-Рабочая программа по дисциплине

Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
УТВЕРЖДЕНО
Ученым советом факультета математики и
информационных технологий
Протокол №________ от «____»_________2008 г.
Председатель __________________А.А. Бутов
(подпись, расшифровка подписи)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Дисциплина:
Теория функций комплексного переменного (4 курс)
Кафедра:
Алгебро-геометрических вычислений ____(АГВ)____
(аббревиатура)
Специальность (направление): 01.01.00 математика____________________________
(код специальности (направления), полное наименование)
Дата введения в учебный процесс УлГУ:
«_____» ___________ 2008 г.
Сведения о разработчиках:
ФИО
Петроградский Виктор Михайлович
Аббревиатура
кафедры
АГВ
Ученая степень,
звание
д.ф.м.н.,
доцент
Заведующего кафедрой
Мищенко С.П.
(ФИО)
/_____________/
(Подпись)
«______»__________ 2008 г.
Форма А
Страница 1 из 7
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
Оглавление
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ. ...................................... 3
1.1. Цели ........................................................................................................... 3
1.2. Задачи ........................................................................................................ 3
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ...................... 3
3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ. ............................................................................... 4
3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы: ....................................... 4
3.2. Распределение часов по темам и видам учебной работы: ................... 4
4. СОДЕРЖАНИЕ ................................................................................................ 5
Тема 1. Целые функции. ..................................................................................... 5
Тема 2. Особые точки ......................................................................................... 5
Тема 3. Риманова поверхность .......................................................................... 5
Тема 4. Эллиптические функции ....................................................................... 5
Тема 5. Модулярная группа ............................................................................... 5
5. ТЕМЫ СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ ............................................................ 5
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО
ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ ............................................................................ 6
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.............. 7
7.1. Список литературы: ............................... Error! Bookmark not defined.
Форма А
Страница 2 из 7
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ.
Учебная дисциплина «Теория функций комплексного переменного» является
одной из фундаментальных математических дисциплин, изучаемых студентами старших
курсов, обучающихся на специальностях математического профиля. Она является
обязательной общепрофессиональной дисциплиной
Дисциплина «Теория функций комплексного переменного» базируется на знаниях
и умениях, полученных студентами на первых трех курсах.
1.1. Цели
Целями учебной дисциплины являются:
1. овладение углубленными знаниями по теории функций комплексного
переменного
2. развитие навыков решения задач
1.2.
Задачи
Основными задачами учебной дисциплины являются:
 формирование у будущих математиков фундаментальных знаний об основах
теории функций комплексного переменного
 приобретение студентами навыков и умений по решению основных задач
2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения дисциплины «Теория функций комплексного переменного»
студенты должны
знать:
 понятия типа, порядка и индикатриссы целой функции
 особые точки на границе области аналитичности
 владеть понятием аналитического продолжения
 определение и свойства эллиптических функций
 определение и свойства модулярной группы
уметь:
 вычислять порядок и тип целой функции, строить индикатрису
 исследовать границу круга сходимости ряда на особые точки
 строить поверхность Римана
 раскладывать функцию в ряд в алгебраической точке ветвления
Форма А
Страница 3 из 7
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ
3.1.
Объем дисциплины и виды учебной работы:
Вид учебной работы
1
Аудиторные занятия:
Лекции
практические и семинарские занятия
Самостоятельная работа
Всего часов по дисциплине
Текущий контроль (количество и вид,
контрольные работы)
Курсовая работа
Виды промежуточной аттестации
(экзамен, зачет)
Количество часов (форма обучения очная__)
В т.ч. по семестрам
Всего по плану
1
2
3
2
3
4
5
68
68
34
34
34
34
68
68
136
136
1
1
экзамен
экзамен
3.2.
Распределение часов по темам и видам учебной работы:
Форма обучения ___очная____
Название и разделов и тем
1
Всего
2
Виды учебных занятий
Аудиторные занятия
практиче Самосто
ятельная
ские
лекции
работа
занятия,
семинар
3
4
5
1. Целые функции
2. Особые точки
3. Риманова поверхность
4. Эллиптические функции
5. Модулярная группа
16
12
12
16
12
8
6
6
8
6
8
6
6
8
6
16
12
12
16
12
Итого
68
34
34
68
Форма А
Страница 4 из 7
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
4. СОДЕРЖАНИЕ
Тема 1. Целые функции.
Примеры целых функций. Рост целых функций. Порядок и тип целой функции. Формула
Адамара для порядка и типа целой функции. Индикаторная функция и индикатрисса
роста целой функции.
Тема 2. Особые точки.
Особые точки на границе круга сходимости степенного ряда. Теорема Прингсгейма для
ряда с положительными коэффициентами. Пример степенного ряда, абсолютно
сходящегося на границе круга сходимости, все граница которого состоит из особых
точек. Изолированные особые точки многозначного характера и их классификация.
Разложение в ряд для алгебраических точек ветвления.
Тема 3. Риманова поверхность.
Аналитическое продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии. Построение
Римановой поверхности функции. Риманова поверхность для корня и Ln(z).
Функция Жуковского. Функция sin(z) как конформное отображение.
Тема 4. Эллиптические функции.
Эллиптические функции и их порядок. Эллиптическая функция порядка 3.
Эллиптическая функция Вейерштрасса порядка 2. Функциональное уравнение для
функции Вейерштрасса. Дву-порожденность поля эллиптических функций.
Алгебраическое соотношение между эллиптическими функциями.
Тема 5. Модулярная группа.
Определяющие соотношения, фундаментальная область модулярной группы.
5. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1. Вычислить порядок и тип целой функции exp(z), exp(zn), sin(z), cos(z),
sin(sqrt(z))/sqrt(z), exp(zn).
2. Построить индикатриссу роста целой функции.
3. Исследовать границу сходимости степенного ряда на особые точки.
4. Найти радиус сходимости для разложения в ряд Тейлора по расположению особых
точек функции функций
5. Построить риманову поверхность sqrt(z(z-1)), Ln(z/(z-1)).
6. Исследовать изолированные точки многозначного характера.
7. Разложение в ряд для алгебраических точек ветвления.
8. Свойства эллиптических функций.
9. Свойства модулярной группы.
Форма А
Страница 5 из 7
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
6. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО
ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНУ
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
Порядок и тип целой функции.
Формула Адамара для порядка целой функции
Индикатрисса роста целой функции
Особые точки на границе круга сходимости степенного ряда
Теорема Прингсгейма для ряда с положительными коэффициентами.
Пример степенного ряда, абсолютно сходящегося на границе круга сходимости, все
граница которого состоит из особых точек.
7. Изолированные особые точки многозначного характера и их классификация.
8. Аналитическое продолжение вдоль кривой. Теорема о монодромии.
9. Построение Римановой поверхности функции. Риманова поверхность для корня и
Ln(z).
10. Функция Жуковского.
11. Функция sin(z) как конформное отображение.
12. Эллиптические функции и их порядок.
13. Эллиптическая функция порядка 3.
14. Эллиптическая функция Вейерштрасса порядка 2.
15. Функциональное уравнение для функции Вейерштрасса.
16. Дву-порожденность поля эллиптических функций.
17. Алгебраическое соотношение между эллиптическими функциями.
18. Модулярная группа, определяющие соотношения, фундаментальная область.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Форма А
Страница 6 из 7
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
7.1.
Рекомендуемая литература:
1. А.И. Маркушевич., Краткий курс теории аналитических функций.
Москва. Наука. 1978.
2. Б.В.Шабат., Введение в комплексный анализ. Часть I. Москва. Наука.
1976.
3. С.Лэнг. Эллиптические функции. Москва. Мир. 1973.
4. Серр Ж.-П. Курс Арифметики. Москва. 1972.
5. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г., Сборник задач по
теории функций комплексного переменного. Москва. Наука. 1970.
6. М.А. Евграфов, К.А.Бежанов, Ю.В.Сидоров, М.В.Федорюк,
М.И.Шабунин. Сборник задач по теории аналитических функций.
М.Наука. 1982.
Форма А
Страница 7 из 7