Формулы приведения для тригонометрических функций

Формулы приведения для тригонометрических функций
Формулы приведения – это формулы, позволяющие упростить сложные выражения
тригонометрической функции.
Выражения типа π + t, 3π/2 – t, π/2 + t и т.п. можно упростить настолько, что они будут
состоять лишь из одного аргумента t. В предыдущих разделах мы имели дело с
несколькими такими упрощениями – например, sin (π + t) = –sin t.
Формул приведения очень много. Запомнить их трудно – но самое главное, в этом нет
необходимости. Достаточно запомнить одно-единственное правило – и вы легко сможете
самостоятельно выводить формулы и упрощать выражения.
Правило приведения:
Для выражений
π + t, π – t, 2π + t, 2π – t
1) В приведенном выражении следует
сохранить тригонометрическую функцию
преобразуемого выражения.
Для выражений
π/2 + t, π/2 – t, 3π/2 + t, 3π/2 – t
1) В приведенном выражении следует
изменить тригонометрическую функцию
преобразуемого выражения на
противоположную.
2) Перед полученной функцией следует
поставить тот знак, который имела бы
2) Перед полученной функцией следует
преобразуемая функция при условии, что 0 < поставить тот знак, который имела бы
t < π/2.
преобразуемая функция при условии, что 0 <
t < π/2.
Обратите внимание: в левом и правом столбцах различаются только первые пункты
правила. Вторые пункты абсолютно идентичны.
Пример 1: Надо преобразовать выражение cos (π + t).
Решение.
Следуем правилу:
1) Выражение не имеет дроби – значит, применяем левое правило. То есть функция после
приведения остается прежней:
cos (π + t) = cos t.
2) Осталось определиться со знаком полученной функции.
Если предположить, что аргумент t больше нуля и меньше π/2, то π + t – это аргумент
третьей четверти (то есть отмерили полукруг от точки А, а потом еще прошли дугу t
длиной меньше π/2 и оказались в третьей четверти). А в третьей четверти косинус имеет
знак минус. Значит, после преобразования наша функция обрела следующий
тождественный вид:
cos (π + t) = –cos t.
Пример решен.
Пример 2: Надо преобразовать выражение sin (3π/2 – t).
Решение.
Следуем правилу:
1) Выражение имеет дробь – поэтому применяем правое правило. То есть функция
меняется на обратную:
sin (3π/2 – t) = cos t
2) Теперь выясним, с каким знаком должно быть наше приведенное выражение. Снова
предположим, что 0 < t < π/2. Тогда аргумент 3π/2 – t находится в третьей четверти. А в
третьей четверти преобразуемая функция синус имеет знак минус. Значит, наше новое
тождественное выражение тоже со знаком минус:
sin (3π/2 – t) = –cos t.
Пример решен.
Следуя этому правилу, можно составить другие формулы приведения.
Формулы приведения.
cos (π + t) = –cos t
sin (π + t) = –sin t
tg (π + t) = tg t
ctg (π + t) = ctg t
cos (π – t) = –cos t
sin (π – t) = sin t
tg (π – t) = –tg t
ctg (π – t) = –ctg t
cos (2π + t) = cos t
sin (2π + t) = sin t
tg (2π + t) = tg t
ctg (2π + t) = ctg t
cos (2π – t) = cos t
sin (2π – t) = –sin t
tg (2π – t) = –tg t
ctg (2π – t) = –ctg t
cos (π/2 + t) = –sin t
sin (π/2 + t) = cos t
tg (π/2 + t) = –ctg t
ctg (π/2 + t) = –tg t
cos (π/2 – t) = sin t
sin (π/2 – t) = cos t
tg (π/2 – t) = ctg t
ctg (π/2 – t) = tg t
cos (3π/2 + t) = sin t
sin (3π/2 + t) = –cos t
tg (3π/2 + t) = –ctg t
ctg (3π/2 + t) = –tg t
cos (3π/2 – t) = –sin t
sin (3π/2 – t) = –cos t
tg (3π/2 – t) = ctg t
ctg (3π/2 – t) = tg t
Примечание:
Часто встречаются более сложные выражения, но они не меняют правила.
Например, если cos (2π + t) = cos t, то cos (2π + 3t) = cos 3t.