ТРИГОНОМЕТРИЯ 

ТРИГОНОМЕТРИЯ
Формулы сложения аргументов
sin (x  y) = sin x cos y  cos x sin y
cos (x  y) = cos x cos y  sin x sin y
tgx  tgy
ctgxctgy  1
tg (x  y) =
ctg (x  y) =
1  tgxtgy
ctgy  ctgx
Формулы понижения степени
1 + cos 2x = 2 cos2x
1 – cos 2x = 2 sin2x
1  cos 2 x
1  cos 2 x
cos2x =
sin2x =
2
2
Формулы половинного угла
x
1  cos x
x
1  cos x
sin 
cos 
2
2
2
2
x
sin x
x 1  cos x
x
1  cos x
tg 
tg 
tg 
2 1  cos x
2
sin x
2
1  cos x
Универсальная тригонометрическая подстановка
sin x 
2tg
x
2
1  tg 2
x
2
cos x 
x
1  tg 2
2
1  tg 2
x
2
Формулы двойного угла
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2x – sin2x
cos 2x = 2 cos2x – 1
cos 2x = 1 – 2 sin2x
ctg 2 x  1
2tgx
tg 2x =
ctg
2x
=
1  tg 2 x
2ctgx
Аsin x + В cos y =
С sin  x  t ,
где
С
С cos x  t ,
где
С
B
А  В , t  arcsin
C
B
2
2
А  В , t  arccos
C
2
2
6. Метод оценки. sin x + sin 3x = 2
7. Универсальная тригонометрическая подстановка.
Преобразование суммы в произведение
x y
x y
sin x  sin y  2 sin
cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 sin
sin
2
2
sin x  y 
tgx  tgy 
cos x cos y
sin x  y 
ctgx  ctgy 
sin x sin y
Преобразование произведения в сумму
sin  x  y   sin  x  y 
sin x cos y 
2
cosx  y   cos x  y 
cos x cos y 
2
cos x  y   cos x  y 
sin x sin y 
2
Решение тригонометрических
уравнений
sin x = a ,
x = (– 1)narcsin a +  n ,
где | a | < 1
nZ
cos x = a , x =  arccos a + 2  n ,
где | a | < 1
nZ
tg x = a
x = arctg a +  n
Частные случаи

x =  2n
sin x = 1
2
sin x = 0
x=n


 2n
x
=
sin x = – 1
2

 n
x
=
cos x = 0
2
cos x = 1
x = 2 n
cos x = – 1
x =  + 2 n
Методы решения тригонометрических уравнений
1. Уравнения, приводимые к квадратным.
а) 2 sin2x + sin x – 1 = 0 б) tg x + 2 ctg x = 3
2. Разложение левой части на множители.
а) sin 2x – cos x = 0 б) cos 3x + sin 2x – cos x = 0
в) sin x sin 5x = sin 2x sin 4x
3. Однородные уравнения. a) 3 cos 7x – 5 sin 7x = 0
б) 5 cos2x + sin2x = 4 sin x cos x
1

4. Понижение степени. а) sin2(х + ) =
2
3
x
x
б) 4 cos4 2 = 4 cos x cos2 2 + sin 2x – sin x
5. Метод дополнительного угла.
4 sin3x + 3 cos 3x = 5,2
x
а) sin x + ctg 2 = 2
б) 3 sin 4x = (cos 2x – 1) tg x
8. Уравнения вида F (sin  x  cos  x ; sin 2  x) = 0 ( замена : t = sin  x  cos  x ; sin 2  x =  (t – 1))
а) 2 sin 2x + sin x + cos x = 1
б) sin3x – cos3x = 3 sin x cos x – 1
2

0
/6
/3
/4
sin
1
2
cos
3
2
3
3
3
3
2
1
2
2
2
2
2
1
tg
ctg
3
3
3
1