Учебный элемент = Преобразование тригонометрических выражений

Учебный элемент
Преобразование тригонометрических выражений
1. 1+
1. cos t  sin t  1
2. tg t = sin t
2
2
2. 1 + ctg2 t
cos t
3. ctg t =
1.
2.
3.
4.
5.
tg 2t =
cos t
sin t
1
cos 2 t
= 12
sin t
3. tg t * ctg t = 1
соs(x + y) = cos x cos y – sin x sin y
соs(x - y) = cos x cos y + sin x sin y
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x - y) = sin x cos y – cos x sin y
tgx  tgy
tg (x+y) =
6. tg (x- y) =
1  tgxtgy
tgx  tgy
1  tgxtgy
1. cos 2x = cos2x – sin2x
2. sin 2x = 2 sin x cosx
cos2 x  1 (1 cos2x)
2
1
sin 2x= (1-cos2x)
2
(sin x + соs х)2 = 1 + sin 2x
1
x y
x y
cos
2
2
x y
x y
3) sin x + sin у = 2 sin
cos
2
2
x y
x y
sin
2
2
x y
x y
4) sin x - sin у = 2 sin
cos
2
2
5) tg x +tg y =
6) tg x - tg y =
1) cos х + соs у = 2 cos
2) cos х - соs у = 2 sin
sin( x  y )
cos x cos y
7) ctg x + ctg y =
sin( x  y )
sin x sin y
sin( x  y )
cos x cos y
8) ctg x - ctg y =
sin( y  x)
sin x sin y
1
(cos( x  y )  cos( x  y ))
2
1
sin x • sin у = (cos( x  y )  cos( x  y ))
2
1
sin x cos y= (sin( x  y )  sin( x  y ))
2
cos x • cos y =
Значения тригонометрических функций некоторых углов
α, рад
α
0
0°

6
30°

4
45°

3
60°


2
90°
180°
3
2
270º
sin α
0
1
0
-1
cos α
1
0
-1
0
tg α
0
1
не опр.
0
не опр.
1
0
не опр.
0
ctg α
не опр.
2
1.Чему равен sin 105 ?
А)
6  3
4
Б) 2 +
6
2
В)
6
3

3
3
Г)
6 2
4
сos120 cos 50+sin120sin50
cos 25 cos 45  sin 25 sin 45
б) sin 69 cos 21  cos 21 sin 69
в) cos123 cos 57  sin123 sin 57
2. Вычислите: а)

3. Вычислите cos(
6
4. Докажите тождество:
5.Вычислите : a)
 t ), если sin t =
4 
,
5 2
.

2 sin(   )  cos   sin 
4
tg 85  tg 25
1  tg 85tg 25
б)
6.Известно, что sin  
Найдите cos 2 .
7.Известно, что cos  
Найдите sin 2 .
8.Упростите : а)
t
1  cos 2
;
sin 2
tg 4  tg 26
1  tg 4tg 26
7
, 0
25

8
, 0
17

б)

2

2
.
.
sin 2
.
1  cos 2
3
Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение
Представьте в виде произведения:
1. a) sin 40° + sin 16°;
в) sin 10° + sin 50°;
б) sin 20° - sin 40°;
г) sin 52° - sin 36°;
б) cos46°- cos74°;
г) cos 75°- cos 15°.
2. a) cosl5° + cos45°;
в) cos 20° + cos 40°;
3. a) sin3t – sin t ;
6) cos(α-2β) - cos(α+2β);
в) cos 6t + cos 4t ;
г) sin(α-2β) - sin(α+2β).
в) tg 20° + tg 40°;
4. a) tg 25° + tg 35°;
5. Вычислите:
a) cos 68° - cos 22°
sin 68° - sin 22°
б) sin 130° + sin 110°
cos 130° + cos 110°
6. Проверьте равенство:
а) sin 35° + sin 25° = cos5°;
б) sin 40° + cos 70° = cos 10°;
в) cos 12° - cos 48° = sin 18°;
г) cos 20° - sin 50° = sin 10°.
7. Докажите, что верно равенство:
а) sin 20° + sin 40° - cos 10° = 0;
б) cos 85° + cos 35° - cos 25° = 0.
Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму
Преобразуйте произведение в сумму:
1. а) sin 23° sin 32°;
б) cos
2. а) sin(α + β) sin(α – β)

12
cos

; в) sin 14° cos 16°;
8
6) cos(α + β) cos(α - β);
3. a) cos α sin(α + p);
6) sin(60° + α) sin(60° - α);

8
г)2sin cos

5
в) 2sin(α + β) cos(α - β).
в) sinp cos(α + p);
г) cos( α +


) cos(α - ) .
4
4
4. Преобразуйте произведение в сумму:
a) sinl0°cos8°cos6°;
б) 4sin25°cos 15° sin5°
5. Докажите тождество:
а) 2 sin t sin 2t + cos 3t = cos t;
6. Вычислите:
а) cos2 3° + cos21° - cos 4° cos 2°;
б) sin210° + cos 50° cos 70°.
4