Х - pedportal.net

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ТЮМЕНСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТЮМЕНСКОЙ ОБЛАСТИ
«ЗАВОДОУКОВСКИЙ АГРОПРОМЫШЛЕННЫЙ ТЕХНИКУМ»
СБОРНИК ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
по дисциплине «Математики»
для специальности 260807 «Технология продукции общественного питания»
2014
Составлена в соответствии
с
требованиями ФГОС СПО к уровню,
содержанию и качеству подготовки
выпускников
РАССМОТРЕН
предметно-цикловой комиссией
Председатель _________Е. В. Дементьева
Протокол №___«___»____________2014 г.
УТВЕРЖДЕНО
методическим советом
Председатель ________ Ж.А. Харлова
Протокол №____«___»______________2014 г.
Разработчики:
Сычева Ж.П., преподаватель высшей квалификационной категории
Рецензенты:
Харлова Ж.А., заместитель директора по научно-методической работе ГАОУ СПО ТО «Заводоуковский
агропромышленный техникум»
Темпель Л.В., методист филиала ТюмГНГУ в г. Заводоуковске
2
Содержание
Пояснительная записка
4
Методические рекомендации
5
Практическое занятие №1: Нахождение пределов функций
6
Практическое занятие №2: Вычисление производных
7
Практическое занятие №3: Нахождение интегралов методом замены
10
Практическое занятие №4: Нахождение интегралов методом интегрирования по частям
12
Практическое занятие №5: Вычисление определенного интеграла
13
Практическое занятие № 6: Нахождение вероятностей
15
Практическое занятие №7: Нахождение числовых характеристик дискретной случайной величи-
17
ны и от непрерывной случайной величины
Практическое занятие №8: Решение прикладных задач
19
Список литературы
23
3
Пояснительная записка
Сборник практических работ составлен в соответствии с рабочей программой по дисциплине
«Математика» для специальности 260807 «Технология продукции общественного питания».
Практические работы занимают важное место в изучении дисциплины «Математика».
Цель выполнения практических работ:
 обобщение и углубление теоретических знаний;
 формирование умений применять знания на практике;
 развитие творческой инициативы при выполнении заданий.
В результате выполнения практических работ студент должен:
знать:
 значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы;
 основные понятия и методы математического анализа, теории вероятностей и математической
статистики;
 основы математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.
уметь:
 решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;
 применять простые математические модели систем и процессов в сфере профессиональной деятельности.
В процессе выполнения практических работ осуществляется контроль формирования следующий компетенций: ОК1, ОК2.1, ОК2.3, ОК3.2, ОК3.3, ОК4.1, ОК4.2, ОК4.3, ОК5, ОК6.1, ОК6.2,
ОК7, ОК8.1, ОК9, ОК10, ПК1.1, ПК1.2, ПК1.3, ПК2.1, ПК2.2, ПК2.3, ПК3.1, ПК3.2, ПК3.3,
ПК3.4, ПК4.1, ПК4.2, ПК4.3, ПК4.4, ПК5.1, ПК5.2, ПК6.1, ПК6.2, ПК6.3, ПК6.4, ПК6.5.
Сборник состоит из пояснительной записки, описаний практических занятий, которые снабжены
общими теоретическими сведениями, контрольными вопросами, заданиями в соответствии с программой, списка рекомендуемой литературы.
4
Методические рекомендации по выполнению практических работ:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
внимательно изучите задание;
запишите тему занятия в тетради;
просмотрите теоретический материал;
выполните упражнения, решите задачи;
ответьте на контрольные вопросы;
оформите задания в тетради.
Критерий оценки:
70% выполненной работы и менее – оценка «2»,
71% – 80% - оценка «3»,
81% – 90% - оценка «4»,
91% – 100% - оценка «5».
5
Практическое занятие № 1
Тема: Нахождение пределов функций
Цель: сформировать и закрепить навыки нахождения пределов функций различными способами.
Время выполнения: 2 часа.
Теоретический материал
Число a называется пределом последовательности
x1 , x 2 ,....x n ,... , если для всякого сколь
угодно малого положительного числа  найдется такое положительное число N, что x n  a   при
n>N. В этом случае пишут lim x n  a.
n
Число А называется пределом функции f (x) при x  a , если для любого сколь угодно малого
  0 найдется такое   0 , что
lim f ( x)  A.
x a
f ( x)  A   при 0  x  a   . В этом случае пишут
Условно записывают lim f ( x)   , если f ( x)  M при 0  x  a   , где М - произвольxa
ное положительное число. В этом случае функция f (x) называется бесконечно большой при x  a .
Если lim
x a
 ( x)  0 , то функция  (x) называется бесконечно малой при x  a .
Если x  a и x  a , то употребляют запись x  a  0 ; если x  a и x  a , то употребляют
запись x  a  0 . Числа f (a  0)  lim f ( x) и f (a  0)  lim f ( x) называются соответxa 0
x a 0
ственно левым и правым пределом функции f (x) в точке a.
Для существования предела передела функции f (x) при x  a необходимо и достаточно,
чтобы f (a  0)  f (a  0).
Вычисление пределов основывается на следующих теоремах:
Если существуют lim f ( x) и lim g ( x) , то
xa
xa
1. lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x);
xa
xa
xa
2. lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x);
xa
xa
xa
lim f ( x)
f ( x ) x a
3. lim

(при lim g ( x)  0).
x a g ( x )
x a
lim g ( x)
x a
sin x
 1.
x 0 x
Первый замечательный предел lim
Упражнения:
1) Вычислите пределы последовательностей и функций
1. lim
3n  5
3. lim
n   2n  7
3
2
3
2
т  т  т 1
т   т  т  т 1
2
2. lim
n 9
3
4. lim
2
n  3 n  3n
x  1000
3
2
x  10 x  20 x  100 x
6
x42
5. lim
2
8. lim
x
x0
x3
x  5x  6
2
x 9
6. lim ( x 2  8 x  3  x 2  4 x  3 )
x
2
x  6x  8
7. lim
2
x  2 x  8 x  12
2) Вычислите пределы с помощью замечательного предела
9. lim
tgmx
x  0 sin nx
sin 6 x
x0
10. lim
x0
11. lim
x
sin 5 x  sin 3x
sin x
x0
1  cos 5 x
x
12. lim
2
Контрольные вопросы:
1. Что такое предел последовательности?
0 
, 0  ,   , 00 , 1 ,  0 ?
2. Как раскрываются неопределенности ,
0 
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5.
Практическое занятие № 2
Тема: Вычисление производных
Цель: сформировать и закрепить навыки вычисления производных и дифференциалов различных
порядков.
Время выполнения: 4 часа.
Теоретический материал
Производной функции y=f(x) в точке х0 называется пределом при x  0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).
Производная обозначается y x0  или f x0 .
f x0  x   f x 0 
y
 lim
.
x 0 x
x 0
x
Нахождение производной называется дифференцированием функции.
Пример. Используя определение производной, найти производную функции f ( x)  x 2 в точке
Итак, по определению, f x0   lim
х=х0.
Решение: Придавая аргументу х в точке х0 приращение ∆х, найдем соответствующее приращение
функции:
2
y  f x0  x  f ( x0 )  x0  x   x02  x02  2 x0 x  (x) 2  x02  2 x0 x  (x) 2 .
y 2 x0 x  (x) 2

Составим соотношение
и найдем предел этого отношения при ∆х→0:
x
x
2 x0 x  (x) 2
y
lim
 lim
 2 x0 . Следовательно, производная функции f ( x)  x 2 в точке х0
x 0 x
x 0
x
f ( x0 )  2 x0 .
равна числу 2х0 что в принятых обозначениях можно записать так:
Производные можно находить с помощью формул дифференцирования:
7
1. C   0
2. x   1
13. ctgx  
3.
14. e
4.

u  v   u   v 
u  v   u   v  u  v 
   e

15. a   a
x
x
x

u   v  u  v
u
 
v2
v
Cu   Cu 

x n  nx n 1

1
x 
2 x

1
1
   2
x
 x
sin x   cos x
cos x    sin x
tgx  12
cos x

x
 ln a
1
x
5. 
16. ln x  
6.
17. log a x  
7.
8.
9.
10.
11.
12.

 
1
sin 2 x
1
1
  log a e
x ln a x

1
 0,4343
x
arcsin x   1 2
1 x
arccos x    1 2
1 x
arctgx  1 2
1 x
arcctgx   1 2
1 x
18. lg x  
 
19.
20.
21.
22.
Пример.
Используя формулы дифференцирования, найти производную
3
2
f ( x)  5  x  3x  sin x  cos x  2tgx  3ctgx  log 2 x  3 ln x .
Решение:
f ( x)  (5  x 3  3x 2  sin x  cos x  2tgx  3ctgx  log 2 x  3 ln x)  (5)  ( x 3 )  (3x 2 ) 
 (sin x)  (cos x)  (2tgx)  (3ctgx)  (log 2 x)  (3 ln x)  3x 2  6 x  cos x  sin x 
функции
2

cos 2 x
3
1
3
 log 2 e  ;
2
x
sin x x
Если функция y=f(x) дифференцируема в точке х, т.е. имеет в этой точке конечную производную
f (x), то ее приращение ∆у можно записать в виде y  f ( x)x  a(x)x, где lim a(x)  0 .

x 0
Главная, линейная относительно ∆х часть f ( x)x приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy: dy  f ( x)x. (1)
Положив в формуле (1) f ( x)  x, получим dx  ( x)x  1  x  x, окончательно соотношение
(1) принимает вид dy  f ( x)dx. (2)
При достаточно малых ∆х приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е.
y  dy.
Пример. Найти дифференциал функции y  x 2  x  1 в точке х=2, причем сделать это двумя способами: 1) выделяя главную, линейную относительно ∆х часть приращения функции ∆у; 2) по формуле
(2).
Решение:
2
y  f ( x  x)  f ( x)  f (2  x)  f (2)  2  x   (2  x)  1  2 2  2  1 
1)
 5x  (x) 2 ,
Отсюда dy  5x;

8
 

2) по формуле (2) dy  ( x 2  x  1)dx  (2 x  1)dx, f (2)  2  2  1  5. Следовательно, получаем
dy  5dx  5x.
Производная f (x) называется производной первого порядка производная от f (x) называется
производной второго порядка (или второй производной) от функции f (x) и обозначается y или _ f ( x).
Производная от f (x) называется производной третьего порядка
(или третьей производной ) от






функции f (x) и обозначается y или _ f ( x) и т.д.
Дифференциал dy  f ( x)dx называется дифференциалом первого порядка.
Дифференциал d(dy) от дифференциала dy называется дифференциалом второго порядка функции f(x) и обозначается d2y называется дифференциалом третьего порядка функции f(x) и обозначается d3y и т.д.
Дифференциал d d n 1 y
от дифференциала dn-1y называется дифференциалом n-го порядка
функции f(x) и обозначается dny.
Дифференциал n-го порядка индуктивно определяется по формуле
d n y  y n  (dx) n , n  1,2...,


dny
, т.е. n-я производная функции y=f(x) в некоторой точке х равна отноше(dx) n
нию n-го дифференциала этой функции в точке х к дифференциалу аргумента в степени n .
Откуда
y x 
Упражнения:
1). Найдите производные функций:
1. y  log 2 x  3 log 3 x
7. y 
2. y  4e  arctgx  arcsin x
x
1
3. y  5 x  6 x   
7
7
4. y  x  ln x
ctgx
x
8. y  1  5 cos x
1 x3
9. y  ln
6 x3
1  2x
10. y  ln
1  2x
x
5. y  x 2  log 3 x
x2  1
x2  1
2) Найдите дифференциалы функций:
1
1. y  3  4 x 5  5 x 3  2  sin x  cos x  ln x
x
2
2. y  x  tgx
6. y 
3. y 
4. y  sin( x 2  5 x  2)
5. y  ln sin x
1
x
6. y 
 arctg
3
3
x
x 1
Контрольные вопросы:
1. Назовите правила дифференцирования.
2. Назовите правила нахождения производных и дифференциалов высших порядков.
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5.
9
Практическое занятие № 3
Тема: Нахождение интегралов методом замены
Цель: сформировать и закрепить навыки нахождения интеграла методом замены.
Время выполнения: 2 часа.
Теоретический материал
Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на промежутке Х, если для любого хХ
выполняется равенство F´(х) = f (х).
Пример. Функция F (х) = sin x является первообразной для функции f (х) = cos x на Х= (-∞ , + ∞),
так как при любом х (sin х)´ = cos x.
Если функция F (x) – первообразная для функции f (x) , то множество функций F (x)+ C, где С –
произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается
символом  f ( x)dx  F ( x)  C .
При этом функция f (х) называется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральным выражением, а переменная х – переменной интегрирования.
Восстановление функции по ее производной, т. е. отыскание неопределенного интеграла, называется интегрированием. Интегрирование – операция, обратная дифференцированию.
Основные свойства неопределенного интеграла:
1. (∫ f (x) dx )´ = f (x).
2. d ∫ f (x) dx = f (x) dx.
3. ∫ d F (x) = F (x) + C.
4. ∫ kf (x) dx = k ∫ f (x) dx.
5. ∫ [f (x) + g (x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g (x) dx.
Таблица основных интегралов:
du
1.  du u  c
tgu  c
14.
2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
 cos
u n 1
u
dx

c

n 1
du
 u  ln u  c
du
1
ua
 u 2  a 2  2a  ln u  a  c
du
2
 u 2  a  ln u  u  a  c
au
u
 a du  ln a  c
1 a ku
ku
a
du


c

k ln a
u
u
 e du e  c
n
ku
1
du
1

 cos 2 ku k tgku  c
16.
 sin
17.
 sin
1
 sin kudu   k cos ku  c
12.  cos udu  sin u  c
1
 cos kudu  k sin ku  c
10
du
2
u
du
2
  ctgu  c
1
  ctgu  c
k
ku
du

1 u2
du
 arcsin u  c
u
c
a
a2  u2
du
1
b
 arcsin u  c
a
a 2  (bu ) 2 b
19.

20.

21.
1 u
22.
a
23.
a
ku
11.
13.
15.
18.
 e du  k e  c
10.  sin udu   cos u  c
9.
u
du
2
2
 arcsin
arctgu  c
du
1
u
 arctg  c
2
a
a
u
2
du
1
b
 arctg u  c
2
ab
a
 (bu )
Кроме непосредственного интегрирования для нахождения интегралов применят метод подстановки (замены переменной) и метод интегрирования по частям.
Метод подстановки (или замена переменной) заключается в том, что заменяют х на φ (t), где φ(t)непрерывно дифференцируемая функция, полагают dx=φ´(t)dt и получают
'
 f x dx x (t )   f  (t ) (t )dt.
При этом получают искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменой х значением t = ψ(х), которое находится из соотношения х= φ(t).
Указанную формулу применяют также и в обратном направлении:
'
 f  (t ) (t )dt t  ( x )   f ( x)dx, где t = ψ(x) – функция, обратная функции x = φ(t).
Пример. Вычислить интеграл  cos 3 xdx.
Решение. Интеграл не табличный. Применим подстановку:


3x  t 


cos tdt 1
1
1
 cos 3xdx  3dx  dt    3  3  cos tdt  3 sin t  C  возвращаемся к переменной x  3 sin 3x  C

dt 
dx 

3 

xdx
Пример. Вычислить интеграл 
.
1 x2
Решение. Вычислим данный интеграл непосредственно, выделяя дифференциал новой переменной интегрирования.
Имеем
xdx
1 / 2d x 2 
 1 / 2d 1  x 2 
1
1
2 1 / 2
2
2 1/ 2
2 1/ 2


 1  x 2  1  x 2  1  x 2   2  1  x  d 1  x    2 * 21  x   C  1  x   C.
Данный интеграл вычисляется с помощью подстановки t=1  x 2 . Существует другой несложный,
но весьма эффективный прием, позволяющий упростить вычисление интегралов. Если числитель
подынтегральной функции f(х) равен производной знаменателя, то справедлива формула
f ' ( x)
 f ( x) dx  ln f ( x)  C.
Действительно, используя подстановку t =f(x), dt =f´(x)dx, имеем
f x 
dt
 f x  dx   t  ln t  C  ln f x   C.
Упражнения:
Найдите интегралы:
dx
1.  cos 5 xdx
9.  cos3 x  sin xdx
5. 
cos 2 3x
2.  sin( 3x  5)dx
10.  e cos x  sin xdx
6.  (2  5 x)9 dx
3.
e
2x
dx
x4
dx
4.  5
x 7
7.

8.
 5x  2
2 x  5dx
dx
Контрольные вопросы:
1.Что называют неопределенным интегралом?
2.Как выполняется интегрирование методом замены переменной?
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5.
11
11.
earctgx
 1  x2 dx
12.
 sin
cos x
dx
3
x
Практическое занятие № 4
Тема: Нахождение интегралов методом интегрирования по частям
Цель: сформировать и закрепить навыки нахождения неопределенного интеграла методом интегрирования по частям.
Время выполнения: 4 часа.
Теоретический материал
Формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле называется формула
 udv  uv   vdu, где u и v – дифференцируемые функции от х. Она позволяет свести вычисление
 udv к вычислению интеграла  vdu, который может оказаться более простым для интегрирования.
Большую часть интегралов, вычисляемых интегрированием по частям можно разбить на три
группы.
1) Интегралы вида  P( x)arctgxdx,  P( x)arcctgxdx,  P( x) ln xdx,  P( x) arcsin xdx,  P( x) arccosxdx,
где Р(х) – многочлен. Для их вычисления следует положить u равным одной из указанных выше функций, а dv=P(x)dx.
Пример. Вычислить интеграл  arctgxdx.
Решение:
dx 

u  arctgx du 
xdx


1  x 2   u  v   vdu  x  arctgx  
 arctgxdx.  

1 x2
vx
dv  dx



1  x 2  t 

xdx 
1 dt
1
1
 x  arctgx  
2 xdx  dt   x  arctgx    x  arctgx  ln t  C  x  arctgx  ln( 1  x 2 )  C.
2 
2 t
2
2
1 x 
dt 
 xdx 

2 

2) Интегралы вида  P( x)e kx dx,  P( x) sin kxdx,  P( x) cos kxdx,где  P( x)  многочлен, а k - некото-
рое число. Для их вычисления следует положить u  P( x), аdv  e kx dx, dv  sin kxdx, dv  cos kxdx соответственно.
Пример. Вычислить интеграл  xe x dx.
Решение.
u  x
du  dx
x
x
x
x
  x  e   e dx  x  e  e  C.
x
x
ve 
ax
ax
 e cos bxdx,  e sin bxdx, где a и b – некоторые числа. Эти интегралы вычисля-
 xe dx  dv  e dx
3) Интегралы
x
ются двукратным интегрированием по частям.
Пример. Вычислить интеграл  e x cos xdx.
Решение: Положим u=eх, dv = cos xdx (можно положить также u = cosx, dv= exdx). Тогда

du  e x dx  e x dx;  dv   cos xdx, v  sin x.
 
По формуле (1) имеем
e
x
cos xdx  e x sin x   e x sin xdx.
(2)
Полученный интеграл снова вычисляем интегрированием по частям, положив u=ex, dv=sinxdx,
откуда du=ex, v=-cosx. Тогда  e x sin dx  e x cos x   e x cos xdx.
Подставляя значение полученного интеграла в выражение (2), находим
x
x
x
x
x
x
x
 e cos xdx  e sin x   e cos x   e cos xdx  e sin x  e cos x   e cos xdx.


12
Перенося интеграл из правой части равенства в левую, получаем
2 e x cos xdx  e x sin x  cos x   C1
И окончательно получаем
ex
sin x  cos x   C ,
2
где С=С1/2 (так как С – произвольная постоянная, то и С1/2 - также произвольная постоянная).
x
 e cos xdx 
Упражнения:
Найдите интегралы:
1.  xarctgxdx
5.
 x ln( 3x  2)dx
9.
x
10.
 cos
2.
 arcsin xdx
6.
 xe
3.
 ln xdx
7.
x e
4.

8.
 ( x  1) cos xdx
arcsin x
dx
x
x
dx
3 x
2
sin xdx
xdx
2
x
dx
Контрольные вопросы:
1.Что называют неопределенным интегралом?
2.Как выполняется интегрирование по частям?
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5.
Практическое занятие № 5
Тема: Вычисление определенного интеграла
Цель: сформировать и закрепить навыки вычисления определенного интеграла методом замены
и интегрирования по частям.
Время выполнения: 2 часа.
Теоретический материал
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b], a<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных
частей точками a  x0  x1  x 2  ...  x j 1 x  x j  ...  x n  b. В каждом из полученных частичных отрезков
[xj-1,xj]
выберем
произвольную
точку
(  j 1   j  x j )
и
составим
сумму
  f 1 x1  f  2 x 2  ...  f  n x n   f  j x j (1), где xi  xi  xi 1 .
n
j 1
Сумма вида (1) называется интегральной суммой для функции f(x) на [a,b].
Обозначим через  длину наибольшего частичного отрезка разбиения:   MAX xi .
Если существует конечный предел I интегральной суммы (1) при   0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается следующим образом:
b
I   f x dx или
a
b

a
n
f ( x)dx  lim  f ( i )xi .
 0 i 1
В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на [a,b]. Числа a,b называются соответственно нижнем и верхним пределами интегрирования , f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.
Для интегрируемости функции достаточно ее непрерывности на отрезке [a,b].
13
Основные свойства определенного интеграла:
a
1. По определению,
 f ( x)dx  0.
a
2. По определению,
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx.
b
3. Каковы бы ни были a,b,c, всегда имеет место равенство

c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx.
a
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла т.е.
b
b
a
a
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx.
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.
b
b
b
a
a
a
  f ( x)g ( x)dxdx   f ( x)dx  g ( x)dx.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и функция f(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона –Лейбница
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a).
a
Геометрический смысл определенного интеграла: интеграл – это площадь криволинейной трапеПоэтому площадь фигуры, ограниченной линиями можно найти по формуле
ции.
b
S   f ( x)dx  F (b)  F (a).
a
Упражнения:
1). Вычислите интегралы:
1
dx
1. 
2
0 1 x
 /4

2.
0
e
5.  ln xdx.
1
3
2
x
dx
1 x2
6.
0

1
3.  sin 2 xdx
7.
 xe
 x2
dx
1
0
 /2
3
4.
 arctgxdx
 x sin xdx.
8.
 sin x cos
0
2
2). Найдите площади фигур, ограниченных линиями:
1. y  4 x, x  3, x  1 и осью абсцисс.
2
2. y   , x  1, x  5 .
x
3. y  6 x  x 2 , x  1, x  3 и осью абсцисс.
4. y  2 x, y  5 x, x  2, x  6 .
Контрольные вопросы:
1.Перечислите свойства определенного интеграла.
2.Назовите формулу Ньютона-Лейбница.
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2, 2.4, 2.5.
14
2
xdx.
Практическая работа № 6
Тема: Нахождение вероятностей
Цель: Формирование навыков нахождения вероятностей с использованием теорем сложения и
умножения вероятностей.
Время выполнения: 2 часа.
Теоретический материал
Вероятность, есть число, характеризующее степень возможности появления события.
Появление цветного шара (т. е. синего или красного) рассматривают в качестве события A. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит из извлечения шара из урны) называют
элементарным исходом (или элементарным событием).
Элементарные исходы обозначаются 1 ,  2 , ...,  n . Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими.
Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную
m
группу. Вероятность события А определяется формулой: P ( A)  .
n
Свойства вероятности:
1. Вероятность достоверного события равна единице.
2. Вероятность невозможного события равна нулю.
3. Вероятность случайного события есть положительное число больше нуля, но меньше единицы.
Основные формулы комбинаторики:
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и
отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок равно Pn  n! ,
где n!  1 2  3  ...  n . Известно, что 0!=1.
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по
m
элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных
размещений вычисляется по формуле: A nm  n  (n  1)  (n  2)  ...  (n  m  1) .
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов,
которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетания определяется по формуле:
С nm 
n!
m!( n  m )!
Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А,
или события В, или обоих этих событий.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А)+Р(В).
Теорема. Сумма вероятностей событий A1  A2  ...  An , образующих полную группу, равна
единице: P( A1 )  P( A2 )  ...  P( An )  1 .
Противоположными, называют два единственно возможных события, образующих полную
группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать А .
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице P( A)  P( A )  1 .
Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А—деталь годная, В — деталь окрашенная,
то АВ — деталь годна и окрашена.
Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по опредеP( AB)
, P( A)  0 .
лению, равна PA ( B) 
P( A)
15
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие
уже наступило: Р(АВ)=Р(А) РА (В).
Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.
Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми),
если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2,…,An, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий
А1 , А2 ,..., Аn :
Р( А)  1  q1  q 2  ...q n .
Частный случай. Если события A1, A2,…,An, имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
Р( А)  1  q n .
Задачи:
1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в
переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найдите вероятность того, что хотя бы
один из взятых учебников окажется в переплете.
2. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найдите
вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
3. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9
для второго. Найдите вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
4. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найдите вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго
орудия эта вероятность равна 0,8.
5. Брошены три игральные кости. Найдите вероятности следующих событий: а) на каждой из выпавших граней появиться пять очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число
очков.
6. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов
должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не
будет ни одного промаха?
7. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете.
Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найдите вероятность того, что оба учебника окажутся
в переплете.
8. Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найдите вероятность того, что 2 наудачу
выбранных билета окажутся выигрышными.
9. В цехе работает 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найдите вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
10.
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найдите вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Контрольные вопросы:
1. Что такое вероятность события?
2. Перечислите свойства вероятности.
3. Чему равна вероятность суммы событий?
4. Чему равна вероятность произведения событий?
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 2.3.
16
Практическая работа № 7
Тема: Нахождение числовых характеристик дискретной случайной величины и от непрерывной случайной величины
Цель: Формирование навыков вычисления числовых характеристик ДСВ и от НСВ.
Время выполнения: 2 часа.
Теоретический материал
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически (в виде фо рмулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая
строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:
Х х1 х2 … хn
р р1 р2 … рn
В одном испытании случайная величина примет одно и только одно возможное значение,
следовательно события Х  х1 , Х  х2 , …, Х  х n образуют полную группу и сумма вероятностей
событий равна 1 ( р1  р 2  ...  р n  1 ).
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить
графически, построив в прямоугольной системе координат точки (хi , рi ) и соединив их отрезками
прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина Х принимает значения x1 , x2 ,..., xn , вероятности которых равны
p1 , p2 ,..., pn . Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством M ( X )  x1 p1  x2 p2  ...  xn pn .
Свойства математического ожидания:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
М (С )  С .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М (С  Х )  С  М ( Х ) .
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно
произведению их математических ожиданий: М ( ХY )  M ( X ) М (Y ) .
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математич еских ожиданий слагаемых: М ( Х  Y )  M ( X )  М (Y ) .
Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: М ( Х )  np .
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D( X )  M [ X  M ( X )]2 .
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной
величины Х и квадратом ее математического ожидания:
D( X )  M ( X 2 )  [ M ( X )]2 .
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия постоянной величины С равно нулю: D(C )  0 .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D(CX )  C 2 D( X ) .
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих
величин: D( X  Y )  D( X )  D(Y ) .
17
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна
сумме дисперсий этих величин: D( X  Y  Z )  D( X )  D(Y )  D( Z ) .
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины: D(C  X )  D( X ) .
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D( X  Y )  D( X )  D(Y ) .
Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность р появлений события постоянна, равна произведению числа испытаний на
вероятности появления и непоявления события в одном испытании:
D (C )  npq .
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:  ( X )  D( X ) .
Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых
случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических откл онений этих величин:
 ( X1  X 2  ...  X n )   2 ( X1 )   2 ( X 2 )  ...   2 ( X n ) .
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a; b], называют определенный интеграл
b
M ( x)   xf ( x)dx .
a

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то M ( x) 
 xf ( x)dx .

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата
ее отклонения.
b
Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a; b], то D( x)   [ x  M ( X )] 2 f ( x)dx .
a

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то D( x)   [ x  M ( X )] 2 f ( x)dx .

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и
для дискретной, равенством  ( X )  D( X ) .
Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии сохраняются и для непрерывных случайных величин.
Замечание 2. Для вычисления дисперсии можно использовать следующие форм улы:
b
D( x)   x f ( x)dx  [ M ( X )] и D( x) 
2
a
2

x
2
f ( x)dx  [ M ( X )] 2 .

Задачи:
1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х
1
2
6
8
р
0,2
0,1
0,4
0,3
Постройте многоугольник распределения. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадра-
тическое отклонение.
2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х
2
4
5
6
р
0,3
0,1
0,2
0,4
Постройте многоугольник распределения. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадра-
тическое отклонение.
18
3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Х
10
15
20
р
0,1
0,7
0,2
Постройте многоугольник распределения. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадра-
тическое отклонение.
4. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной функцией распределения
0, x  0
x

F X    , 0  x  4 .
4
1, x  4
5. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x) = (1/2)sinх в интервале (0, ); вне этого
интервала f(x)=0. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
6. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, заданной функцией распределения
0, x  2
x 1

F X     ,  2  x  2 .
4 2
1, x  2
Контрольные вопросы:
1. Что такое математическое ожидание?
2. Как найти математическое ожидание для ДСВ, НСВ?
3. Что такое дисперсия?
4. Как найти дисперсию для ДСВ, НСВ?
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 2.3.
Практическая работа № 8
Тема: Решение прикладных задач
Цель: Формирование навыков решения транспортной задачи.
Время выполнения: 4 часа.
Теоретический материал
Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок
некоторого однородного груза из т пунктов отправления А1 , А2 ,... Аm в п пунктов назначения
В1 , В2 ,...Вп . При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость
перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим
через
тарифы перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через
запасы груза в i-м пункте отправления, через
–
– потребности в грузе в j–м пункте назначения, а через
– количество единиц груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Тогда
математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции
(1)
19
при условиях
(2)
(3)
(4)
Поскольку переменные
удовлетворяют системам уравнений (2) и (3) и условию неотрицательности (4), обеспечиваются доставка необходимого количества груза в каждый из пунктов
назначения, вывоз имеющегося груза из всех пунктов отправления, а также исключаются обратные перевозки.
Определение 1. Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений (2) и (3), определяемое
матрицей
, называется планом транспортной задачи.
Определение 2. План
, при котором функция (1) принимает свое минимальное
значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.
Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы 1.
Таблица 1.
Очевидно, общее наличие груза у поставщиков равно
, а общая потребность в грузе в пунктах
назначения равна
единиц. Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т. е.
(5)
то модель такой транспортной задачи называется закрытой. Если же указанное условие не выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой.
20
Теорема 1. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в
пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, т. е. чтобы выполнялось
равенство (5).
В случае превышения запаса над потребностью, т. е.
назначения с потребностью
вводится фиктивный (n+1)–й пункт
и соответствующие тарифы считаются равными нулю:
Полученная задача является транспортной задачей, для которой выполняется равенство
(5).
Аналогично, при
вводится фиктивный (m+1)–й пункт отправления с запасом груза
и тарифы полагаются равными нулю:
Этим задача сводится к обычной
транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи. В
дальнейшем будем рассматривать закрытую модель транспортной задачи. Если же модель конкретной
задачи является открытой, то, исходя из сказанного выше, перепишем таблицу условий задачи так, чтобы выполнялось равенство (5).
Число переменных в транспортной задаче с т пунктами отправления и п пунктами назначения равно
пт, а число уравнений в системах (2) и (3) равно п+т. Так как мы предполагаем, что выполняется условие (5), то число линейно независимых уравнений равно п+т–1. Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь не более п + т–1 отличных от нуля неизвестных.
Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точности п+т–1, то план является
невырожденным, а если меньше – то вырожденным.
Как и для всякой задачи линейного программирования, оптимальный план транспортной задачи является и опорным планом.
Для определения оптимального плана транспортной задачи можно использовать изложенные выше методы.
Пример. Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют
три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190 и 110
ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170 ед.
На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок
являются известными величинами и задаются матрицей
Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.
Решение. Обозначим через количество единиц сырья, перевозимого из i–го пункта его получения на
j–е предприятие. Тогда условия доставки и вывоза необходимого и имеющегося сырья обеспечиваются
за счет выполнения следующих равенств:
21
(6)
При данном плане
перевозок общая стоимость перевозок составит
(7)
Таким образом, математическая постановка данной транспортной задачи состоит в нахождении такого
неотрицательного решения системы линейных уравнений (6), при котором целевая функция (7) принимает минимальное значение.
Задачи:
1. Решить следующую транспортную задачу. В трех пунктах отправления сосредоточен запас одного груза в количестве 40, 30, и 50 т. Нужно доставить этот груз в четыре пункта назначения соответственно в количествах 20, 40, 25 и 35 т. стоимость перевозки 1 т. груза из каждого пункта отправления в
каждый пункт назначения дана в виде матрицы:
1 2 4 3


c   2 1 5 6
3 4 2 1


2. На двух складах А и Б находится по 90 т горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада
А в пункты 1, 2, 3 соответственно стоит 1, 3 и 5 ден. ед., а перевозка одной тонны со склада в те же
пункты – соответственно 2, 5 и 4 ден. ед. В каждый пункт надо доставить по одинаковому количеству
тонн горючего. Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортные расходы будут
наименьшими.
Контрольные вопросы:
1. Что называют планом транспортной задачи?
2. Какой план транспортной задачи называется оптимальным?
3. Перечислите методы решения транспортной задачи?
Рекомендуемая литература: 1.3, 2.2.
22
Список литературы
Основные источники:
1.1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник: Допущено Минобразования России. – ИЦ Академия, 2013.
1.2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб. Пособие: Рекомендовано ФГУ «ФИРО». – ИЦ Академия, 2013.
1.3. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика: учебник: Рекомендовано ФГУ «ФИРО»/ Под. Ред.
В.А. Гусева. – ИЦ Академия, 2013.
Дополнительные источники:
2.1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике. Учеб. Пособие. – М.: Высшая школа,
2007.
2.2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнения и задачах / в
2-х томах. – М.: Высшая школа, 2007.
2.3. Спирина М.С., Спирин П.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник:
Допущено Минобразования России. – М.: Высшая школа, 2009.
2.4. Щипачев В. С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2008.
2.5. Щипачев В. С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа. 2008.
23