первый этап задание

ПЕРВЫЙ ЭТАП
ЗАДАНИЕ. Найти производную функции, правильный ответ заменить
соответствующей буквой и получить фамилию известного математика (таблицу с
кодами ответов можно показать на экране с помощью медиапроектора или сделать на
ватмане и повесить на видном месте)
Ш
16х𝟑
Ь
Ф
−х𝟐 +4
Р
1-
Т
𝟏
х𝟐
Ю
𝟑
𝟏𝟔 -8(𝟏 − 𝟐х)𝟑
𝟐
𝟓√х
− 𝟓
х
𝟑
ЗЕЛЕНАЯ ДОРОЖКА
К
2
Е
М
-6(𝟓 − 𝟑х)𝟑
𝟏
Н
И
𝟏
𝟑
√𝟐х − 𝟒
𝟐√ х
у′ =2
у′ =2х – 3
у′ = 16х3
4) у = 3√х
у′ = 2
К
О
Ш
И
√х
ЖЕЛТАЯ ДОРОЖКА
2) у =
ОТВЕТЫ:
3
1
√х
2
ОТВЕТЫ:
у′ = - х2 +4
Ф
1
Е
у′ =
1
4√х
1
3) у = х + х
у′ =1 -
4) у = (5 − 3х)2
5) у = х3 + √2
у′ = -6(5 − 3х)3
у′ = 3 х2
4
2) у =
Р
х2
КРАСНАЯ ДОРОЖКА
1) у = √2х − 4
М
А
ОТВЕТЫ:
у′ =
1
Н
√2х−4
16
у′ = − х3
х4
3
у′ =
3) у = √х5
4
А
3х𝟐
𝟒√ х
1) у = 2х – 3
2) у = х2 - 3х + 4
3) у = 4х4
1) у = − 3 х3 +4х - 3
О
2х-3
Ь
3
5 √х2
Ю
3
′
4) у = (1 − 2х)
5) у = х2 - 3х + 4
у = -8(1 − 2х)
у′ =2х – 3
6) у = √2х − 4
у′ =
1
√2х−4
3
Т
О
Н
Комментарий учителя. После завершения первого этапа на экране появляется
информация о математиках, имена которых ученики получили: Огюстен Луи Коши,
Пьер Ферма, Исаак Ньютон.
ВТОРОЙ ЭТАП
ЗАДАНИЕ. Найти производную функции в заданной точке, сложить целые части
ответов и сообщить жюри.
ЗЕЛЕНАЯ ДОРОЖКА
ОТВЕТЫ:
1) f(x) =х3 + √2 ; 𝑓 ′ (−1)
2) f(x) =(х − 3)7 ; 𝑓 ′ (4)
3х−2
𝑓 ′ (х) = 3х2 ,
𝑓 ′ (−1)= 3
𝑓 ′ (х) = 7(х − 3)6, 𝑓 ′ (4)=7
1
34
𝑓 ′ (5)
3) f(x) = 5х+8;
1
𝑓 ′ (х) = (5х+8)2 ;
34
𝑓 ′ (5) = 81
Ответ: 3+7+0 =10
ЖЕЛТАЯ ДОРОЖКА
1
ОТВЕТЫ:
4
1) f(x) = 6 х6 - х ; 𝑓 ′ (−1)
2х+3
4
𝑓 ′ (х) = х5 +
1
х2
𝑓 ′ (−1)=3
;
−5
𝑓 ′ (3)
1
5
𝑓 ′ (х) = (3х+2)2 ;
𝑓 ′ (3) =− 9
3) f(x) =2х(1–х ); 𝑓 ′ (1)
𝑓 ′ (х) =2-4х ;
𝑓 ′ (1) = -2
4) f(x) =√1 + √х ; 𝑓 ′ (4)
𝑓 ′ (х) =
2) f(x) = 3х+2;
1
1
4√х(1+√х)
; 𝑓 ′ (4) = 8√3
Ответ: 3+0-2+0=1
КРАСНАЯ ДОРОЖКА
2 √х
ОТВЕТЫ:
𝑓 ′ (1)
1) f(x) = 2−х;
𝑓 ′ (х) =
𝜋
2) f(x) =√х 𝑠𝑖𝑛х; 𝑓 ′ ( 2 )
𝑓 ′ (х) =
2+х
2√𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
или
1
3) f(x) =(2х + 1)5
6
2
𝜋
; 𝑓 ′ ( 2 )=
𝜋
1
2√
𝜋
2
√2𝜋
𝑓 ′ ( 2 )= 2𝜋
1
𝑓 ′ (− 2)
4) f(x) =− х2 + х − х
𝑓 ′ (1) =3
;
√х((2−х)2 )
𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑓 ′ (х) =10(2х + 1)4 ; 𝑓 ′ (− 2)=0
6
𝑓 ′ (1)
2
𝑓 ′ (х) = =− х3 + 1 + х2 ; 𝑓 ′ (1)=-3
Ответ: 3+0+0-3=0
ТРЕТИЙ ЭТАП
ЗАДАНИЕ. Решить уравнение 𝑓 ′ (х) =0
ЗЕЛЕНАЯ ДОРОЖКА
f(х) = sin 3x
Найти х при n=0.
ОТВЕТ:
𝜋 𝜋
𝑓 ′ (х) =3cos 3x, 3cos 3x=0, х= 6 +3 n, n ∈ Z
𝜋
при n=0, х= 6
𝜋
Ответ: 6
ЖЕЛТАЯ ДОРОЖКА
ОТВЕТ:
f(х) = cos (5x -
𝜋
3
𝑓 ′ (х)=-5sin (5x -
)
𝜋
Найти х при n=1.
𝜋
3
), -5sin (5x -
𝜋
3
)=0,
𝜋
х= 15 +5 n, n ∈ Z
4𝜋
при n = 1, х= 15
4𝜋
Ответ: 15
КРАСНАЯ ДОРОЖКА
ОТВЕТ:
1
𝑓 ′ (х)= cos x +cos 3x, cos x +cos 3x=0
f(х) = sin x + 3 sin3x
𝜋
𝜋
х1 = 4 +2 n, n ∈ Z ;
𝜋
х2 = 2 + 𝜋n, n ∈ Z;
Найти сумму корней, принадлежащих промежутку [0;𝜋]
𝜋
𝜋
𝜋
х1 = 4 +2 n, n ∈ Z ;
при n =0, х= 4 ;
при n =1, х =
𝜋
𝜋
3𝜋
4
𝜋
+2=
4
𝜋
при n =0, х= 2 ;
х2 = 2 + 𝜋n, n ∈ Z;
Ответ: 4 +
3𝜋
3𝜋
2
ЧЕТВЕРТЫЙ ЭТАП
Задание 1. При каких значениях переменной верно равенство 𝑓 ′ (х) = 𝑔′ (1), если
1
𝜋
3
f(x) = 6sin(3 + 2х), g(х) = √ √х
Решение.
1
𝜋
1
𝜋
f(x) = 6 sin ( 3 + 2х), тогда 𝑓 ′ (х)= 3 cos ( 3 + 2х)
1
3
g(х) = √ √х , тогда 𝑔′ (х)=
Решим уравнение
1
3
6
6
1
√х5
, 𝑔′ (1)=6
𝜋
1
3
6
cos ( + 2х) =
𝜋
cos ( 3 + 2х) =
𝜋
3
𝜋
3
1
2
1
+ 2х = +
−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2+2𝜋𝑛, n ∈ 𝑍
+ 2х =
х=
+𝜋
−12
+𝜋
−6
+2𝜋𝑛, n ∈ 𝑍
𝜋
+ 6 +𝜋𝑛, n ∈ 𝑍
Ответ:
+𝜋
𝜋
+ 6 +𝜋𝑛, n ∈ 𝑍
−12
1+𝑠𝑖𝑛2 х
Задание 2. Решить уравнение 𝑓 ′ (х)=0, если f(x) =√
6
Решение.
1+𝑠𝑖𝑛2 х
Если f(x) =√
6
Решим уравнение
, то 𝑓 ′ (х)=
𝑠𝑖𝑛2х
2√6 √1+𝑠𝑖𝑛2 х
𝑠𝑖𝑛2х
2√6 √1+𝑠𝑖𝑛2 х
= 0 ⟺ sin2х =0 и 1 + 𝑠𝑖𝑛2 х >0
sin2х =0
1 + 𝑠𝑖𝑛2 х >0
2х =𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝑠𝑖𝑛2 х >-1 верно для любого х ∈ 𝑅,
𝜋
х = 2 n, 𝑛 ∈ 𝑍
Ответ:
𝜋
2
т.к. 𝑠𝑖𝑛2 х ≥ 0 ∀х∈ 𝑅
n, 𝑛 ∈ 𝑍
Итоги урока
Учитель сообщает итоги восхождения, выставляет оценки в журнал.
Вы сегодня взошли на Пик знаний, но это еще не пик всех знаний. Если вы будете также
упорно идти к поставленной цели, как на сегодняшнем уроке, будете трудолюбивыми,
настойчивыми и не будете бояться трудностей, то и другие высокие вершины Пика знаний
вам покорятся. Я желаю вам успехов! Спасибо всем за урок. До свидания.