«Уравнение есть равенство, которое ещё не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенным, что этого можно достичь. А. Фуше Составила учитель математики МБОУ «ЦО №3» Константинова Е.Ю. Цели: Ввести понятие арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, формулы корней простейших тригонометрических уравнений вида: sin x = a, cos x = a, tg x = a. Научить учащихся «видеть различные типы тригонометрических уравнений. Рассмотреть примеры решения простейших тригонометрических уравнений, однородных уравнений и уравнений, приводимых к ним, а также уравнений, решаемых методом группировки, и разложением на множители. Способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении тригонометрических уравнений. В результате изучения темы учащиеся должны: Уметь решать различные типы тригонометрических уравнений. Арксинусом числа а называется такое число из отрезка которого равен а. 2 ; 2 , синус 2 Пример 1 Найдём arcsin 2 . аrcsin 2 = 4 , так как sin 4 = 2 и 4 є 2 ; 2 . 2 2 1 Пример 2 Найдём arcsin 2 . 1 Число из промежутка 2 ; 2 , синус которого есть 2 , равно 6 . 1 Поэтому arcsin 2 = 6 Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0; π], косинус которого равен а. 3 Пример 3 Найдём arccos 2 . 3 3 аrcсos 2 = 6 , так как cos 6 = 2 и 6 є [0; π]. 2 Пример 4 Найдём arcсos 2 . 2 3 3 2 3 arcсos 2 = 4 , так как cos 4 = 2 и 4 є [0; π]. Арктангенсом числа а называется такое число из интервала тангенс которого равен а. Пример 5 Найдём arctg 1. arctg 1 = 4 , так как tg 4 = 1 и 4 є 2 ; 2 . Пример 6 Найдём arctg (–1). arctg (–1) = 4 , так как tg 4 = –1 и 4 є 2 ; 2 . ; , 2 2 Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; π), котангенс которого равен а. Пример 7 Найдём arcctg (–1). 3 3 3 arcctg (–1) = 4 , так как ctg 4 = –1 и 4 є (0; π). Выполнить самостоятельно. Вычислите: 1 1) arcsin 0; 5) arccos 2 ; 3 2) arcsin 2 ; 6) arcсos 2 ; 2 10) arctg (–1); 3 7) arcсos 2 ; 11) arctg 0; 8) arcсos 1; 12) arcctg (–1). 3) arcsin 1; 9) arctg 1; 2 4) arcsin 2 ; Имеют ли смысл выражения: 2 1) arcsin 3 ; 5) arcсos π; 2) arcsin 1,5; _ 3) arcсos √5; _ 6) arcsin (3 – √20); _ 7) arcсos (– √3); 4) arcсos 2 3; 2 8) arcsin 7 . Найдите значения выражений: 3 3 1) arcsin 0 + arcсos 0; 4) arcsin 2 + arcсos 2 ; 1 2 2) arcsin 2 + arcсos 2 ; 5) arctg 1 – arctg √3; 3 3) arcsin (–1) + arcсos 2 ; 6) arctg (– √3) + arctg 0. Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим. sin x = a, –1 ≤ a ≤ 1 x = (–1)n ∙ arcsin a + πn, nєZ sin x = –1 sin x = 1 x = 2 + 2πn, nєZ x = 2 + 2πn, nєZ sin x = 0 x = πn, nєZ cos x = a, –1 ≤ a ≤ 1 x = ± arccos a + 2πn, nєZ cos x = –1 x = π + 2πn, nєZ cos x = 0 x = 2 + πn, nєZ cos x = 1 x = 2πn, nєZ tg x = a, а – любое x = arctg a + πn, nєZ tg x = –1 tg x = 1 x = 4 + πn, nєZ x = 4 + πn, nєZ tg x = 0 x = πn, nєZ Примеры решения простейших тригонометрических уравнений. _ 1) 2cos x + √3 = 0, _ 2cos x = – √3, _ 2) 2 sin x – √2 = 0, _ 2 sin x = √2, 3 2 cos x = 2 , sin x = 2 , 3 x = ± arccos 2 + 2πn, nєZ, 5 x = ± 6 + 2πn, nєZ. 2 x = (– 1)n ∙ arcsin 2 + πn, nєZ, x = (– 1)n ∙ 4 + πn, nєZ. _ 4) √3 tg x + 1 = 0, _ √3 tg x = – 1, 3) 2cos x – 1 = 0, 2cos x = 1, 1 1 tg x = 3 , cos x = 2 , 1 1 x = ± arccos 2 + 2πn, nєZ, x = arctg 3 + πn, nєZ, x = ± 3 + 2πn, nєZ, x = 6 + πn, nєZ. ő 2 1 6) cos 3 = 2 , 5) sin 2x = 2 , 2 2x = (–1)n ∙ arcsin 2 + πn, nєZ, n 2x = (–1) ∙ 4 + πn, nєZ, ő 1 3 = ± arccos 2 + 2πn, nєZ, ő 2 = ± 3 3 + 2πn, nєZ, Разделим обе части уравнения на 2, получим: Умножим обе части уравнения на 3, получим: х = (–1)n ∙ 8 + 2 , nєZ. х = ± 2π + 6πn, nєZ. n _ 7) 2sin x + √2 = 0, _ 2sin x = – √2, 8) sin x – 1 = 0, sin x = 1, 2 sin x = 2 , x = 2 + 2πn, nєZ. 2 x = (–1)n ∙ arcsin 2 + πn, nєZ, x = (–1)n ∙ 4 + πn, nєZ. Решите самостоятельно: _ √2 sin x + 1 = 0 1) (–1)n ∙ 3 + πn, nєZ, 3) ± 4 + 2πn, nєZ, 2) (–1)n + 1 ∙ 4 + πn, nєZ, _ 2 sin x + √3 = 0 4) ± 8 + 2πn, nєZ. 1) (–1) ∙ 3 + πn, nєZ, 2) ± 3 + 2πn, nєZ, n 3) ± 6 + 2πn, nєZ, 4) (–1)n + 1 ∙ 3 + 2πn, nєZ. _ 2 cos x + √2 = 0 3 1) (–1)n ∙ 4 + πn, nєZ, 3) ± 4 + 2πn, nєZ, 2) ± 4 + 2πn, nєZ, 4) ± 4 + πn, nєZ. 3 2 cos x + 1 = 0 3 1) ± 4 + 2πn, nєZ, 3) ± 3 + 2πn, nєZ, 2) (–1)n ∙ 4 + πn, nєZ, 4) (–1)n ∙ 3 + πn, nєZ. 3 cos x – 1 = 0 1) ± 3 + πn, nєZ, 2) (–1) ∙ 6 + πn, nєZ, n 3) 2πn, nєZ, 4) ± 4 + 2πn, nєZ. _ tg x + √3 = 0 1) ± 3 + 2πn, nєZ, 3) 3 + πn, nєZ, 2) (–1)n ∙ 6 + πn, nєZ, 4) 3 + πn, nєZ. cos 4x = 0 n 1) 2 + πn, nєZ, 3) 8 + 4 , nєZ, 2) 4 + πn, nєZ. 4) ± 8 + 4 , nєZ. n Примеры решения тригонометрических уравнений. Ранее были представлены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin x = a, cos x = a, tg x = a. К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений. п/п Способы решения тригонометрических уравнений. I. Данные уравнения решаются путём введения новой переменной. Образцы решения тригонометрических уравнений. 2 sin2 x + sin x = 0. Пусть sin x = y, тогда данное уравнение можно записать в виде: 2y2 + y – 1 = 0. Мы получим квадратное уравнение. Решим его. D = b2 – 4ac = 12 – 4 ∙ 2 ∙ (–1) = 9 D > 0 (2 корня). b D 1 9 1 3 = = 4 ; 2a 22 1 y1 = 2 ; y2 = –1. y= Следовательно: 1 sin x = 2 1 x = (–1)n ∙ arcsin 2 + πn, nєZ, x = (–1)n ∙ 6 + πn, nєZ. sin x = –1 x = 2 + 2πn, nєZ. Ответ: (–1)n ∙ 6 + πn, nєZ 2 + 2πn, nєZ Примеры для самостоятельного решения. 2 sin2 x – sin x – 1 = 0 3 sin2 x – 5 sin x – 2 = 0 6 cos2 x + cos x – 1 = 0 4 cos2 x – 8 cos x + 3 =0 II Данные уравнения решаются путём введения новой переменной. Используются формулы: sin2 x = 1 – cos2 x cos2 x = 1 – sin2 x. 6 sin2 x + 5 cos x – 2 = 0 Заменяя sin2 x на 1 – cos2 x, получим: 6 ∙ (1 – cos2 x) + 5 cos x – 2 = 0, 6 – 6 cos2 x + 5 cos x – 2 = 0, –6 cos2 x + 5 cos x + 4 = 0, Введём новую переменную: cos2 x = y, тогда данное уравнение можно записать в виде: –6 y2 + 5 y + 4 = 0. Решим квадратное уравнение: D = b2 – 4ac = 52 – 4 ∙ (–6) ∙ 4 =121, D > 0 (2 корня) 5 sin2 x + 6 cos x – 6 =0 2 cos2 x + sin x + 1 = 0 cos2 x + 3 sin x = 3 2 sin2 x + 3 cos x = 0 b D 5 121 5 11 = 2 (6) = 12 ; 2a 1 4 y1 = 2 , y2 = 3 следовательно: 1 cos x = 2 1 x = ± arccos 2 + 2 πn, nєZ, 2 x = ± 3 + 2 πn, nєZ. 4 cos x = 3 нет корней, так как 4 3 > 1. 2 Ответ: ± 3 + 2 πn, nєZ. y= III Данные уравнения решаются путём введения новой переменной. Обе части уравнения разделим на cos2 x, при этом получим уравнение, равносильное данному. Используем формулу: sin x tg x = cos x . 3 sin2 x – 4 sin x cos x + cos2 x =0 Разделим обе части уравнения на cos2 x. Получим уравнение: 3 tg2 x – 4 tg x + 1 = 0. Введём новую переменную: tg x = y, получим квадратное уравнение 3 y2 – 4 y + 1 = 0, и решим его. D = b2 – 4ac = (–4)2 – 4 ∙ 3 ∙ 1 =4, D > 0 (2 корня) b D 4 4 42 y = 2a = 2 3 = 6 ; 1 y1 = 1, y2 = 3 , следовательно: tg x = 1, x = arctg 1 + πn, nєZ, x = 4 + πn, nєZ. 3 sin2 x + sin x cos x – 2 cos2 x = 0 2 cos2 x – 3 sin x cos x + sin2 x = 0 1 tg x = 3 , 1 x = arctg 3 + πn, nєZ. Ответ: 4 + πn, nєZ. 1 arctg 3 + πn, nєZ. IV Данные уравнения решаются путём деления обеих частей уравнения на cos x. Уравнение имеет вид: a sin x + b cos x = c 2 sin x – 3 cos x = 0 _ Разделим обе части уравнения √3 cos x + sin x = 0 на cos x ≠ 0, получим уравнение вида: sin x – 2 cos x = 0 2 tg x – 3 = 0 2 tg x = 3 3 tg x = 2 3 x = arctg 2 + πn, nєZ. 3 Ответ: arctg 2 + πn, nєZ. V Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна 0, решаются разложением их левой части на множители. Используется формула: sin 2x = 2sinx cosx. sin2x – sinx = 0, 2sinx cosx – sinx = 0, sinx ∙ (2cosx – 1) = 0, sinx = 0 x = πn, nєZ или 2cosx – 1 = 0, 2cosx = 1, sin2x – cosx = 0 1 cosx = 2 , 1 x = ± arccos 2 + 2πn, nєZ, x = ± 3 + 2πn, nєZ. Ответ: πn, nєZ ± 3 + 2πn, nєZ Тема завершена. Предлагается контрольная работа. Успехов вам!!! 1. Найдите значение выражения: а) arccos 1 + arcsin 0, б) arccos 2 – arcsin 2 . 2. Решите уравнения: а) 3sin2 x – 5 sinx – 2 = 0, б) 8cos2 x – 12sin x + 7 = 0, в) 2sin2 x + sinx = 0, 1 3 г) 2sinx + sin2x = 0, д) sin2x = 1, е) 9sinx cosx – 7cos2 x = 2sin2 x.