Коммунальное государственное учреждение акимата города Караганды государственного учреждения «Отдел образования города Караганды»

Коммунальное государственное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 85»
акимата города Караганды государственного
учреждения «Отдел образования города Караганды»
Разработал
учитель математики
КГУ СОШ № 85:
Смирнова Е.Ю.
Караганда, 2013г.
1
Введение
В условиях быстроизменяющегося мира и увеличения потоков
информации фундаментальные предметные знания являются обязательной, но не
достаточной целью образования. Гораздо сложнее и важнее прививать
обучающимся
умения
самостоятельно
добывать,
анализировать,
структурировать и эффективно использовать информацию для максимальной
реализации и полезного участия в жизни общества. Это стало насущной
необходимостью. Требования сегодняшнего дня – регулярно следить за
нововведениями в мире, их изучать и использовать, т.е. учиться всю жизнь для
сохранения статуса хорошего специалиста любой сферы общества. И тут
возникает необходимость научить методам самостоятельной работы учащихся с
новым, изучаемым материалом в школе, чтобы использовать это умение в
дальнейшем.
В нашем проекте разработаны задания для самостоятельной работы
каждого учащегося по принципу: от простого к сложному. При выполнении
появляется необходимость самому работать с изучаемым материалом, используя
учебник или благодаря гибкости ума и своих индивидуальных способностей,
догадываясь, правильно выполняя поставленные задачи под контролем учителя.
В тетради содержится семь самостоятельных работ. Они охватывают все
основные вопросы темы «Тригонометрические выражения и их преобразования»
курса 9 класса. Они предлагаются для изучения и закрепления изученного
материала. Первый этап – обязательное выполнение, второй – сложнее, третий –
более сложные, требующие нестандартного решения задания.
После завершения изучения темы учащимся предлагается тестовое
задание,
соответствующее
требованиям
государственного
стандарта
образования. По результатам выполнения задания наглядно видно степень
усвоения нового материала и сам учащийся объективно оценивается по
результатам тестирования.
Цель создания страниц рабочей тетради – научить самостоятельной работе
учащихся с изучаемым материалом, самому оценивать свои способности и
привить умение работать, начиная с простого, постепенно переходя к более
сложному.
2
Тема: Страницы рабочей тетради по теме: «Элементы тригонометрии» по
учебникам Алгебра 9, 10, автор А.Е.Абылкасимова, Алматы «Мектеп»
1. Актуальная тема.
Элементы тригонометрии – одна из ключевых проблем курса
математики старших классов, способствующая развитию логического
мышления. Она является основой определения тригонометрической
функции для любых углов, дающая возможность, применяя основные
формулы упрощать тригонометрические уравнения и неравенства.
2. Проектная тема:
1) Учебники нового поколения не имеют на местах дидактического
материала, который должен способствовать глубокому усвоению
темы;
2) Учащиеся не достаточно логически мыслят, а тригонометрия
способствует развитию мышления ребенка;
3) Повышение статуса тригонометрических знаний в курсе
образовательной школы.
3. Противоречие между объемом материала и количеством часов
отведенных на усвоение тригонометрических знаний.
4. Цель:
Создать модель страниц рабочей тетради с применением блочномодульной технологии на уроках (9 класс).
5. Задачи:
1/ Ознакомление с литературой по проблеме блочно-модульной
технологии.
2/ Изучение видов и подходов блочно-модульной технологии.
3/Анализ компонентов блочно-модульной технологии по Жанпеисовой.
4/ Синтез модели рабочей тетради с применением блочно-модульной
технологии.
5/ Компоновка модели рабочей тетради.
6/ Оформление проекта.
6. Объектом исследования является блочно-модульная технология.
7. Предмет проекта – страницы рабочей тетради.
8. Гипотеза:
Если использовать страницы рабочей тетради, построенные с учетом
блочно-модульной технологии, то можно добиться успешного усвоения
изученного материала.
3
Применение блочно-модульного принципа в создании страниц рабочей
тетради
Страницы рабочей тетради по модулю
«Элементы тригонометрии»
Задания для предварительной подготовки к теме
Теоретический материал
Вопросы по теме
Практическая часть
Примеры
Задачи-упражнения
Устная задача
Теоретические примеры
III уровень
IIуровень
I уровень
Задания для устного
повторения
Тематические
задания
4
1800
Урок 1.
§ 1. Углы и дуги. Радианная мера угла.
I ЭТАП. Самостоятельное усвоение новой темы.
у
Круг с радианом равным 1 называется
900 1
тригонометрическим кругом.
II π/2 I
При повороте по часовой стрелке угол
π
+α 3600
поворота считается – отрицательным.
-1 III
IV
O
1
x
Полный угол равен 3600.
-α
3π/2
-1 2700
I четверть – от 00 до 900
II четверть – от 900 до 1800
III четверть – от 1800 до 2700
IV четверть – от 2700 до 3600
1 радиан = 57017'48''
R
R
d0 =
 d0
180 0
- перевод градусов в радианы
1 рад
O
300 =
R
  30 0
180
0


6
1200= 
  120 0
180
0

2
3
Перевод радиан в градусы:
3 3  180 0

 135 0
4
4

2
 90 0
2 рад = 2·570 = 1140

4
4  57 0
228
225 0  30
225 180
рад  




 45 0 36
5
5
5
5
5
5
Проверь себя:
Углом какой четверти является угол:
d0 = -400
d0 =
7
6
d0 = 10000
II ЭТАП.
1 уровень /5 баллов/:
1. Выразите угол 1400 в радианах
5
А.
7
9
Б.

В. 140π
4
2. Выразите в градусах угол
А. 300
Б. 1350
Г.

7
3
:
4
В. 450
Г. 750

3
3. Вычислите значение cos .
А.
3
2
Б. 0
В.
1
2
Г.
2
2
4. Какое выражение не имеет смысла?
3
2
А. tg 
Б. tg π
В. sin 2π
5. В какой четверти расположен угол
А. I
Б. II
Г. cos 2π
10
?
9
В. III
Г. IV
2 УРОВЕНЬ /10 баллов/:
1. Углом какой четверти является угол α, если …
7
6
3
б/ α = 5
а/ α =
Ответ __________________
Ответ __________________
в/ α = 12300
Ответ __________________
2. Найдите градусную меру угла:
3

4

1

3
-2 =
3. Найдите значение выражения:
2 cos

4
sin

4
 2 cos

3

4. Углы треугольника относятся как 2:6:4. Найдите градусные меры
углов треугольника.
5. Величина дуги единичной окружности равна

3
. Чему равна длина
этой дуги?
3 УРОВЕНЬ /15 баллов/:
1. Как расположены точки, соответствующие числам:
6
1/ β и -β
2/ γ и γ+2πn
__________
3/ α
_______________
и α+π
_______________
2. На тригонометрическом круге укажите точки координат, которые
удовлетворяют условия:
1 у
-1
1. у = ½
х>0
2. у = - ½
х>0
3. у>0
х=-½
4. у<0
х=-½
1 х
0
А
В
С
Д
-1
3. Найдите значение выражения:
А) sin α – cos 3α – cos 2α, если α=300
Б) tg 2

6
 2 sin

3
 tg

4
 cos 2

6

4. Найдите угловую скорость диска в рад/сек, который совершает 20
оборотов в минуту.
7
Урок 2.
§ 2. Определение тригонометрических функций.
I ЭТАП. Актуализация знаний.
Подготовка к новой теме.
а/ устно:
выразить градусную меру в радианах:
00
300
450
600
900
1800
2700
3600
и обратно переведите радиан в градусы:

3

5

6
20
б/ углом какой четверти является угол α, если:



4
2

3
3000
12400
в/ что называется синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла?
II ЭТАП. Самостоятельное изучение темы.
у
В
в ΔОВК, ОВ = R, R = 1.
у R
Найдите:
α
sin α =
О х К х
cos α =
tg α =
ctg α =
Т.к. R = 1, то
sin α = у (синус угла есть ордината т.В)
cos α = х (косинус угла есть абсцисса т.В)
tg α =
у sin 

х cos 
x
y
ctg α = 
cos 
1

sin  tg
ΔОВК
записать теорему Пифагора __________________________________
Сделать замену на основании определения sin α, cos α.
Получим
sin2 α + cos2 α = 1 – данное тождество называется основным
тригонометрическим
тождеством
Для
у  sin x 
 область определения (-∞; ∞); область значения [-1; 1]
y  cos x 
sin α = 0,7; sin β = -0,9; но sin γ ≠ -2, не существует, т.к. sin γ ≤ 1
8
cos α =
3
2
; cos β =
11
17
; но cos γ ≠ , не существует, т.к. cos γ ≤ 1
15
10
Примеры:
1. Верны ли равенства:
sin α=
5
7
cos α =-
3
2
да
нет
да
нет
sin α = 1,2
да
нет
tg α = 7
да
нет
2. Дописать пропущенные строки так,
тригонометрическое тождество:
__________ + cos2 α = 1
1- cos2 α = ____________
1- sin2 α = _____________
tg α· ctg α = ____________
чтобы
получилось
основное
3. Применяя таблицу из учебника на стр. 42-43 найдите значение выражения:
а/ 2 cos 300 + 3 sin 600 =
б/ cos
3
3
3
 sin
 tg

4
4
4
4. Упростите выражение:
а/ (1-sin α)·(1+sin α) =
по формуле (а-в)·(а+в) = а2 – в2
б/ (sin α + cos α)2 =
по формуле квадрат суммы:
в/ sin 4β - cos4 β =
разложить на множители по формуле разность квадратов.
5. Найдите значение выражения:
3 cos   2 sin 
sin   2 cos  , если tg φ = 3
РЕШЕНИЕ
Каждый член числителя и знаменателя поделим на cos φ, где cos φ≠0
cos 
sin 
2
36
3
sin 
3  2tg
cos 
cos 

   0,6
 / tg 
/

sin 
cos 
6
cos 
tg  2 /подставим tg φ = 3/ 3  2
2
cos 
cos 
3
6. Доказать тождество:
sin 2 
sin   cos 

 sin   cos 
sin   cos 
1  tg 2
9
Для упрощения выпишем левую часть тождества:
sin 2 
sin   cos 
sin 2 
sin 2 
sin   cos 
2

 / tg  
/


2
2
sin   cos 
sin   cos 
1  tg 
cos 
sin 2 
1
cos 2 
sin 2 
(sin   cos  )  cos 2 



sin   cos 
cos 2   sin 2 
= /приведем к общему знаменателю/ =
1/
sin 2 
(sin   cos  )  cos 2 
sin 2   cos 2 



sin   cos  ( cos   sin  )(cos   sin  )
sin   cos 
=
(sin   cos  )(sin   cos  )

 sin  cos 
sin   cos 
1/
sinα cosα = sinα cosα, тождество доказано.
III ЭТАП. Разноуровневые задания
I УРОВЕНЬ/5 баллов/
1. Верны ли равенства:
sin α =
cos α =
1
3
2
2
да
нет
да
нет
sin α = - 1.6
да
tg α = 4
да
2. Найдите значение выражения:
а/ 4 tg 450+ tg 600 =
б/ 5 sin

6
 2ctg

4
нет
нет

3. Определите знаки тригонометрических функций (>0; <0)
а/ sin 3100
5
б/ cos   

в/ tg 2
6 
4. Упростите:
а/ (1-cos α)(1+cos α) =
б/ (sin α – cos α)2 =
1  cos2 
в/
=
sin 
5. Вычислите:
2 sin   3 cos 
, если tg φ = 2
sin   4 cos 
II УРОВЕНЬ/10 баллов/
1. Верно ли равенство:
sin α =
3
2
да
нет
10
cos α = 4- 10
да
tg α = 5 2  3
да
2. Определите знак выражения (>0; <0)
нет
нет
11
6
5
7
cos
sin
3
4
sin
ctg 3
3. Найдите значение выражения:
а/ cos
3
3
5
sin
- tg
=
4
4
3


6
3
б/ 2 sin cos
=
4. Вычислите:
3
3 cos   4 sin 
, если ctg φ = 4
2 sin   cos 
5. Доказать тождество:
1+ tg2α =
1
cos 2 
1+ ctg2α =
1
sin 2 
III УРОВЕНЬ/15 баллов/
1. Верно ли равенство:
sin α =
2
3
cos α = 13  19
sin α = -a2-14a-50
да
нет
да
да
нет
нет
11
5
3
2. Найдите значение выражения, если α = 
sin2 α- cos α+ 3 tg α =
3. Докажите тождество:
tg 2   tg  1
 tg 2 
2
ctg   ctg  1
12
Урок 3-4. §3. Свойства тригонометрических функций.
I ЭТАП. Актуализация знаний.
Подготовка к новой теме.
а/ Что называется косинусом, синусом, тангенсом и котангенсом угла?
б/ Найдите значение cos 300 =
, sin 600 =
, tg 2700 =
в/ Найдите значение выражения: 4 cos 900-8 sin 600 =
.
II ЭТАП. Самостоятельное изучение темы:
1. Знаки функций:
1 у
+
-1
1 у
+
1 х -1
0
-
-
-
Знаки синуса
1 у
+
0
-
-
1х
+
Знаки косинуса
-1
+
1х
0
+
-
Знаки тангенса
котангенса
2. Четность функции:
Четная функция f (-x) = f (x) – симметрична относительно оси ОУ.
Нечетная функция f (-x) = - f (x) – симметрична относительно начала
координат.
Функции sin α, tg α, ctg α –нечетные функции.
Функция cos α – четная функция.
3. Периодичность функции.
Периодичность функции записывается f (x+Т) = f (x), где Т – период
функции f (x)
Период функции sin α, cos α равен Т = 2πn, T =3600; nЄZ
Период функции tg α, ctg α равен Т = πn, T =1800; nЄZ
Проверь себя:
1. Какое число меньше нуля?
а/ sin 1400
б/ cos 1400
в/ sin 500
г/ cos 500
2. Найдите значение sin (-600)
13
3
2
а/
б/ -
3
2
в/ -
1
2
г/
1
2
3. Углом какой четверти является угол α, если sin α<0, cos α<0:
б/ II
в/ III
г/ IV
а/ I
4. Найдите значение cos 3900
3
2
а/
б/ -
3
2
в/ -
1
2
г/
1
2
III ЭТАП. Разноуровневые задания
I УРОВЕНЬ /5 баллов/
1. Определите знаки тригонометрических функций угла:
3
5
а/
sin _______ =
б/ -3820
cos ______ =
tg _______ =
ctg _______ =
2. Определите знаки выражения:
cos 400· tg1500 =
cos 1980· tg2000·sin330=
sin _______ =
cos ______ =
tg _______ =
ctg _______ =
5
4
sin

3
9
5
3
ctg
sin

6
5
tg
3. В какой тригонометрической плоскости знаки одинаковые для:
tg α и sin α _______________
sin α и сtg α _______________
4. Исследуйте функцию на четность:
f (x) = 15 sin x
f (x) = cos x
____________
__________
II УРОВЕНЬ /10 баллов/
1. Определите, является ли функция четной или нечетной
у
1  cos x
1  cos x
Ответ: ______________
2. Используя периодичность тригонометрических функций, найдите значение
выражений:
0
sin 420 =
III УРОВЕНЬ /15 баллов/
11
tg 6
14
1. Пусть f (x) определена на всей числовой прямой. Докажите, что
f (x) = f (-x) – четная функция.
15
Урок 5-6. §4.Формулы приведений.
I ЭТАП. Актуализация знаний.
Подготовка к новой теме.
1/ Какие знаки имеют косинус, синус, тангенс и котангенс в каждой из
координатных четвертей /устно/?
2/ Выразите в радианной мере углы:
а/ 30 0 = _________
б/ 900 = _____________
в/ 2700 = _________
г/ 600 = _____________
II ЭТАП. Самостоятельное изучение темы:
Пример 1. Выразим tg (π-α) через тригонометрическую функцию угла α.
Α – угол 1 четверти, тогда (π-α) – угол II четверти. tg α во II четверти
отрицателен, и название исходной функции сохраняется для угла (π-α), значит
tg (π-α) = - tg α
Пример 2. Найти значение cos
Имеем: cos
8
.
3
8
2
2


1
= cos ( 2  ) = cos
= cos (   ) = -cos = 3
2
3
3
3
3
Ответ: cos
8
1
=- .
3
2
Проверь себя:
1. Замените тригонометрической функций угла α выражения:

2
a/ sin (   )
A) sin α
B) cos α
0
б/ cos (270 + α)
A) sin α
B) cos α
2. Найдите значение sin
A)
3
2
B)
1
2
C) - sin α
D) - cos α
C) - sin α
D) - cos α
7
6
C) -
3
2
D) -
1
2
II ЭТАП. Разноуровневые задания.
I УРОВЕНЬ /5 баллов/
1. Замените тригонометрической функцией угла α
16

2
3
 )
2
а/ sin (   ) = ___________
б/ cos (
в/ tg (1800+α) = ___________
2. Найдите значение выражения:
sin 2100 = _______________
г/ сtg (3600-α) = ___________
сtg
3
= ________________
4
cos 3000 = ________________
tg
5
= ________________
4
II УРОВЕНЬ /10 баллов/
1. Известно, что sin α = 0,6 и 900 < α < 1800. Найти:
tg (1800+α) = ___________
2. Упростите выражение:

2
сtg (π-α)·cos (   ) – sin (
3
  )=
2
III УРОВЕНЬ /15 баллов/
1. Докажите тождество:
а/
cos(   )  cos 2 (2700   )
 sin   cos 
tg (   )  sin( 900   )

ctg (   )
sin(    )
cos(2   )
2


 sin 
б/
tg (   ) tg (    )
sin(  )
2
17
Урок 7-8. §5.Преобразование тригонометрических выражений
доказательство тождеств.
I ЭТАП. Актуализация знаний.
а/ проверка домашнего задания.
б/ подготовка к новой теме
- понятие синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов.
и
II ЭТАП. Самостоятельное изучение новой темы.
Формулы основных тождеств (работа с учебником)
а/ Проверь себя:
1. Запиши тождественную правую часть равенства: ctg α = ______
2. Запиши тождественную левую часть равенства: _______ =
sin 
cos 
3. Запиши верное тождество: sin2 α + ______ = 1
4. Запиши верное тождество: 1 + _______ =
1
sin 2 
5. Запиши тождество, дополнив левую часть равенства: ______· ctg α = 1.
II ЭТАП. Разноуровневые задания:
I УРОВЕНЬ /5 баллов/
1. Упростите выражение: cos2 α – 1 =
a/ sin2 α
б/ - sin2 α
в/ tg2 α
г/ -tg2 α
2. Преобразуйте выражение: 1- sin2 α- cos2 α =
a/ 1
б/ 2
в/ 0
г/ -2
2
2
3. Упростите выражение: cos α – (1-2 sin α) =
a/ sin2 α
б/ - sin2 α
в/ -3sin2 α
г/ cos2 α
4. Преобразуйте выражение: sin α· cos α· сtg α
a/ cos2 α
б/ - cos2 α
в/ sin2 α
г/ -sin2 α
5. Упростите выражение: (1- sin α)( 1+ sin α).
2
a/ -sin α
б/ - cos2 α
в/ sin2 α
г/ cos2 α
II УРОВЕНЬ /10 баллов/
1. Упростите выражение: cos2β – сtg β·tg β
a/ cos2 β
б/ - cos2 β
в/ sin2 β
г/ -sin2 β
2. Преобразуйте выражение: tg α· ctg α+ сtg2 α =
a/ - 1
б/
1
sin 
в/
1
cos 
г/
1
cos 2 
д/ сtg2 α
д/ -1
д/ - cos2 α
д/ сtg2 α
д/ 1
д/ tg2 β
д/
1
sin 2 
18
3. Упростите выражение:
sin 2 
1  cos2 
б/ 1
в/ 0
г/ tg γ
4. Найдите sin α, если cos α = 0,8. 0<α<π/2
a/ ±0,8
б/±0,6
в/ 0,6
г/ -0,6
5. Найдите наибольшее значение выражения: 1- (cos2 α-sin2 α)
a/ 1
б/2
в/ 3
г/ 0
a/ - 1
д/ tg2 γ
д/ -0,8
д/ -1
III УРОВЕНЬ /15 баллов/
1. Докажите тождество: (tg α + сtg α)2 - (tg α - сtg α)2 = 4
2. Зная, что sin α + cos α = 0,8; найдите sin α · cos α
3. Докажите, что при всех допустимых значениях α, верно равенство:
(sin α+ cos α)2 + (sin α - cos α)2 = 2
4. Упростите выражение и найдите его значение: 1-sin γ· cos γ· tg γ , если
sin γ = 0,7
a/ 0,49
б/1
в/ 1,5
г/ 1,49
д/ 0,51
5. Докажите тождество: (sinα + sinβ)(sinβ - sinα) – (cosβ + cosα)(cosα + cosβ)=0
19
ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
«ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО».
ВАРИАНТ 1
1. Известно, что
ВАРИАНТ 2
2
3
tg α = -2
sin α =
Найдите:
cos α
sin α
tg α
ctg α
Найдите:
cos α
sin α
tg α
ctg α

2
   2
2. Вычислите:
2
2 sin   3 cos 
, если tg φ =
3
4 sin   2 cos 
1
2 cos   5 sin 
, если tg φ = 
4
2 sin   cos 
3. Докажите тождество:
1  tg

3  tg 

3
1  ctg
3
1  ctg 2
 ctg 2
1  tg 2
4. Возможно ли равенство?
sin α =

3
2
да
нет
sin α =
да
нет
cos α = 2  3
да
cos α = a2–6a +10 да
нет
нет
cos α = 3  7
да
cos α = -a2–8a-17 да
нет
нет
5
5. Вычислить:
sin
4
=
3
cos
4
=
3
20
Урок 9.
§6. Формулы сложения.
I ЭТАП. Актуализация знаний.
Подготовка к новой теме:
Заполни пропуски так, чтобы получились тригонометрические функции или
верные утверждения:
а/ sin2 α = 1 - _________
б/ ctg α =
sin 
в/ tg α · __________ = 1
г/ 1 + ctg2 α =_________
II ЭТАП. Самостоятельное изучение новой темы.
Записать в рабочую тетрадь формулы, выражающие тригонометрические
функции суммы и разности через тригонометрические функции этих же углов:
cos (α±β)= ____________________
sin (α±β)= ____________________
tg (α±β)= ____________________
ctg (α±β)= ____________________
Примеры:
Найдите значение выражений:
cos 1050 = cos (450 + 600) = _____________________
sin 150 = sin (450 -300) = ________________________
III ЭТАП. Разноуровневые задания:
I УРОВЕНЬ /5 баллов/
1. Упростите выражения:
cos 2190· cos 1590+ sin 2190· sin 1590 = _________________________

tg ( -x) = ______________________________________________
4
cos (450 + 300) = _________________________________________
cos 760· cos 160+ sin 760· sin 160 = ___________________________
sin
7

7

cos  cos
sin
= __________________________________
24
8
24
8
21
II УРОВЕНЬ /10 баллов/
1. Вычислите с помощью формул сложения:
sin α· cos 2α+ cos α · sin 2α = ___________________________
3
2
3
2
  )  cos( 
)  cos(   )  sin(  
) = __________________________
5
5
5
5
2

cos(
  )  cos(  ) = ________________________________
3
3
sin(
III УРОВЕНЬ /15 баллов/
1. Докажите тождество:
tg ( x  y )  tgy cos( x  y )

tg ( x  y )  tgy cos( x  y )
cos 2 (α-β ) – sin 2 (α+β )= cos 2α cos 2β
sin 3α = 3 sin α – 4 sin3 α
22
Урок 10-11.
§7.Формулы двойного и половинного угла.
I ЭТАП. Актуализация знаний.
Подготовка к новой теме:
1. Запишите основное тригонометрическое тождество:
1 = _________________________
2. Запишите формулы сложения:
cos (α+β)= ____________________
sin (α+β)= ____________________
tg (α+β)= ____________________
ctg (α+β)= ____________________
II ЭТАП. Самостоятельное изучение новой темы.
а/ формулы двойного и половинного угла:
1. sin 2α = 2 sin α · cos α.
2. cos 2α = cos2 α – sin2 α
3. tg 2α =
2tg
1  tg 2

4. 1+ cos α = 2 cos2 2

5. 1- cos α = 2 sin2 2
б/ докажите формулы 1-3, используя формулы сложения, представив угол 2α в
виде суммы двух углов, т.е. 2α = α+ α
1. sin 2α = _____________________________________________________
____________________________________________________________
2. cos 2α = _____________________________________________________
____________________________________________________________
3. tg 2α = ______________________________________________________
_____________________________________________________________
в/ ЗАМЕЧАНИЕ. Не следует думать, что двойной угол обязательно содержит
четное число градусов или радианов: 200, 600, 4, 6 и т.д. Под двойным углом
можно понимать любой угол. Поэтому доказанные выше формулы можно
записать в виде:


· cos .
2
2


2. cos α = cos2
– sin2
2
2
1. sin α = 2 sin
23

2
3. tg α =
2 
1  tg
2
2tg
г/ Докажите формулы 4 и 5. Используя основное тригонометрическое тождество
и формулу косинуса двойного угла, записав их в виде:


+ sin2
2
2


cos α = cos2
– sin2
2
2
1 = cos2
(1)
(2)
1. Для доказательства формулы 4 надо выражения (1) и (2) сложить:
______________________________________________________________
2. Для доказательства формулы 5 надо из выражения (1) вычесть выражение
(2):
______________________________________________________________
д/ Проверьте усвоение формул:
Заполните пропуски так, чтобы получились формулы:
2 sin α · ____________ = sin 2α
_________ - sin2 α = cos 2α
2tg
 tg 2
2 __________________ = 1+cos α
___________ sin2

= 1- cos α
2
е/ Применение формул при решении упражнений:
2tg 600
2 3
2 3 2 3



 3
1. Вычислите: tg 120 =
2
0
2
1  tg 60
1 3  2
1  ( 3)
0
2. Упростите: sin2 (450 – β) - cos2 (450 – β) = -( cos2 (450 – β)- sin2 (450 – β)) =
= -cos(900 – 2β) = - sin 2β
3. Докажите тождество:
 
)
4 2

 
1+sin α = 1+cos (   ) = 2 cos2 (  )
2
4 2
 
 
2 cos2 (  ) = 2 cos2 (  )
4 2
4 2
1+sin α = 2 cos2 ( 
| По формулам
| приведения:

2
| sin α = cos (   )
24
III ЭТАП. Разноуровневые задания:
I УРОВЕНЬ /5 баллов/
1. Вычислите:
2 sin


· cos
=
12
12
cos2 22030' - sin222030' =
2tg150
=
1  tg 215
2. Упростите:
cos 2α + sin2 α = _________________________________________
tg 2α · (1- tg2 α) = ________________________________________
2tg50
= _______________________________________________
1  tg 2 5
sin 2
= ________________________________________________
sin 
1  cos 
= _______________________________________________
1  cos 
3. Сократите:
sin 400
= _________________________________________________
sin 200
cos 800
= __________________________________________
cos 400  sin 40
II УРОВЕНЬ /10 баллов/
1. Известно, что sin α =
5
и
13
900<α<1800
Найдите:
sin 2α =___________________________
cos 2α = ___________________________
tg 2α =____________________________
2. Упростите выражение:
tg α + (1+ cos 2α) = ________________________________________
sin 2  2 sin 
= ___________________________________________
cos   1
1
1
(

)  sin 2 2 = _____________________________________
sin  cos 
25
3. Сократите дробь:
cos 360  sin 180
= ___________________________________________
cos180
III УРОВЕНЬ /15 баллов/
1. Упростите выражение:
4 sin

2
 sin
 
2
 sin
3
= _____________________________________
2
(tg 2α – 2 tg α)(ctg α + tg α) = ________________________________
2. Дано: cos

2n
=
. Найдите sin α
1 n
2
________________________________________________________
3. Если cos x =
1 3
, то верное равенство cos 2x = 2 cos x. Докажите это.
2
4. Докажите тождество:
2
1
(
 tg 2 )  (cos   )  cos 
1  tg
2
26
Урок 12.
§8.1 Формулы суммы и разности /одноименных/
тригонометрических функций.
I ЭТАП. Актуализация знаний.
Подготовка к новой теме:
Повторение формул сложения, необходимых для усвоения новой темы.
а/ записать косинус суммы и разности двух углов.
cos (α±β)= cos α cos β  sin α sin β
б/ записать синус суммы и разности двух углов
sin (α±β)= sin α cos β ± cos α sin β
в/ примеры:
вычислите: cos 150 и sin 150
cos150=cos(450–300)=cos450cos300+sin450sin300=
2 3
2 1
6
2


 


2 2
2 2
4
4
sin 150 = sin(450–300)= sin450 cos300-cos450 sin300 
6 2
4
6 2
4
г/ упростите:
sin 3β cos β – cos 3β sin β = ______________
sin 630 cos 270 – cos 630 sin 270 = ______________________
II ЭТАП. Самостоятельное изучение новой темы.
а/ найдите ответы и запишите в рабочей тетради:
формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение:
sin α ± sin β = 2 sin
 
2
cos

2
формулы преобразования суммы и разности косинусов в произведение:
cos α + cos β = 2 cos
 
cos
 
2
2
 
 
sin
cos α - cos β = - 2 sin
2
2
б/ примеры:
cos 580 + cos 240 = _________________________________
sin 170 - sin 350 = __________________________________
cos 470 - cos 150 = _________________________________
III ЭТАП. Разноуровневые задания.
I УРОВЕНЬ /5 БАЛЛОВ/
1. Преобразуйте в произведение:
27
sin 700 + sin 200 =
cos 2α + cos 3α =
sin
2

+ sin =
5
5
cos α - cos 3α =
sin 150 + cos 650 =
II УРОВЕНЬ /10 БАЛЛОВ/
1. Преобразуйте в произведение:
cos
sin
11
9
+ cos
=
12
12

- sin
6

9
=
2. Напишите в виде произведения и найдите значение выражения:
sin 40 - cos 400 =
0

3
cos (   ) – cos 3α =
cos 360 + sin 540 =
III УРОВЕНЬ /15 БАЛЛОВ/
а/ Напишите в виде произведения:
cos β - sin β sin 2β = __________________________________
2 - 2 cos β = _______________________________________
б/ Упростите:
tg 2 y  tgy

tg 2 y  tgy
в/ докажите тождество:
sin 4   2 sin 2 
 cos tg 2 
2(cos   cos 3 )
28
Урок 13.
§8.2 Формулы преобразования произведения в сумму.
I ЭТАП. Актуализация знаний.
Подготовка к новой теме:
Повторить формулы суммы и разности тригонометрических функций
(синусов и косинусов):
а/ записать формулы в рабочую тетрадь:
sin α ± sin β = 2 sin
 
cos

2
2
 
 
cos
cos α + cos β = 2 cos
2
2
cos α - cos β = - 2 sin
 
2
sin
 
2
Примеры:
б/ вычислите (применяя вышеуказанные формулы):
sin 500 + cos 100 =
sin 400 - cos 600 =


6
9
cos + cos
в/
=
sin x  sin y

cos x  cos y
II ЭТАП. Самостоятельное изучение темы.
а/ найти и записать формулы преобразования
тригонометрических функций в сумму (в рабочую тетрадь):
произведения
sin(    )  sin(    )
2
соs (   )  cos(   )
cos α cos β =
2
соs (   )  cos(   )
sin α sin β =
2
sin α cos β =
б/ примеры:
cos 170 cos 730 =
sin 40 sin 860 =
sin 150 cos 70 =
29
III ЭТАП.Разноуровневые задания
I УРОВЕНЬ /5 баллов/:
Преобразуйте произведение в сумму:
а/ sin 750 sin 150 =
б/ cos 400 cos 200 =
в/ sin (400 +х) cos (600 –х)=
II УРОВЕНЬ /10 баллов/:
Представьте произведение в виде суммы:
а/ sin (x+300) cos (450-x) =


8
8
б/ sin (x+ ) sin (x- ) =
в/ cos 3х cos 5х =
III УРОВЕНЬ /15 баллов/:
1. Преобразуйте в сумму произведение:
 
 
) sin (  ) =
2 6
2 6


б/ cos (  у ) sin(  у ) =
4
6
а/ sin ( 
2. Упростите:
cos2 α + cos2 β – cos (α-β) cos (α+β) = ______________________________
sin 150 cos 70 - cos 110 cos 790 - sin 40 sin 860 = ______________________
30
Урок 14.
Коррекция.
Урок 15. Тестовая работа.
Итоговая работа по модулю «Элементы тригонометрии»
31
ГЛОССАРИЙ
Модуль – определяемая, относительно самостоятельная часть какой-либо
системы, организации. Учебный модуль как воспроизводимый учебный
цикл. Учебный модуль /каждый/ из разного количества часов.
Схема – 1. Схема вычислений, расположение математических преобразований и
действий, решающих данную задачу.
2. Изложение, описание, изображение чего-нибудь в главных чертежах.
Например: собственное сочинение.
Технология – совокупность процессов отработки или переработки материалов в
определенной области производства, а также научное описание
способов производства.
Актуализация – деятельность, существующая для настоящего момента.
Тригонометрия – 1. Раздел математики, изучающий соотношения между
сторонами и углами треугольника.
2. Раздел математики, в котором изучаются зависимости между
величинами углов и длинами сторон треугольников, а также свойства
тригонометрических функций и связи между ними.
32
Список литературы:
1. А.Е.Абылкасимова, Алгебра 9, Алматы «Мектеп», 2009г
2. А.Е.Абылкасимова, Алгебра 10, Алматы «Мектеп», 2010г
3. Программа по математике для общеобразовательных школ, 2005г.
4. М.М.Жанпеисова «Технология модульного обучения»
5. А.А.Таланова, Н.С.Антонова «Алгебра 9», М., 2003г.
6. С.И.Ожегов «Словари русского языка», М., «Русский язык», 1989г.
7. Советская энциклопедия
8. «Толковый математический словарь», М., «Русский язык, 1989г.
9. «Словарь иностранных слов», М., «Русский язык, 1980г
33
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Каждый учитель является обладателем большого поля «рассеянных»
методических знаний, в процессе обучения происходит применение
«инвентаризации» этих «рассеянных» знаний. Известно, что на уроке важно не
только и даже не столько «передавать» учащимся новую информацию, сколько
формировать умение учиться самостоятельно, учиться работать с различными
источниками информации, обучать планированию собственной деятельности,
собранности и аккуратности.
Самостоятельная работа с учебником. При выполнении самостоятельной
работы с источником новых знаний учащиеся используют текстовый материал,
вопросы и задания, таблицы и схемы, формулы, рисунки и чертежи и т.д. Таким
образом, у них развивается самостоятельность, творческая активность и
содержание учебного материала, способствует развитию мыслительной
деятельности. Большую помощь в проведении самостоятельной работы
оказывают вопросы и задания, они составлены с таким расчетом, чтобы дать
мышлению максимальную нагрузку. После самостоятельной работы идет
проработка учебного материала. Учебный материал или задания готовятся на 3-х
уровнях сложности /элементарный, средней сложности, сложный – творческий/.
При такой организации учебного процесса каждый приобщается к
ежедневному трудовому напряжению, воспитывается трудолюбие, воля;
возникает познавательная самостоятельная уверенность в силах, способностях,
формируется ответственность.
Неоднократное возвращение к содержанию от простого к сложному, от
репродуктивных заданий к творческому поиску дает возможность каждому
ученику усвоить учебный материал от уровня элементарных до уровня «оценки
знаний».
34
РЕКОМЕНДАЦИИ
Предлагаемые страницы рабочей тетради могут быть использованы как
дополнительный материал к учебнику средней школы А.Н.Шыныбекова
Алгебра9 по модулю «Элементы тригонометрии», для успешного изучения и
закрепления, развития мышления данной главы.
Данные страницы рабочей тетради рекомендуются для формирования
навыков работы с книгой и самостоятельной поисковой цели.
35
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1.
Глава 2.
Заключение
Глоссарий
Список литературы.
36
ТЕСТ 1
ВАРИАНТ 1
Ф.___________ класс______
§ 1. Углы и дуги. Радианная мера угла.
Обязательная часть
1. Как определяется мера угла?
а/ в положительном направлении…
б/ в отрицательном направлении …
2. На какую дугу опирается угол в 1 радиан?
3. В какой координатной четверти находится радиус-вектор, определяющий
угол:
0
а/ 276 лежит _______ четверти
г/ -400 лежит _______ четверти
б/ 1640 лежит _______ четверти
д/ 10260 лежит ______ четверти
в/ 1100 лежит _______ четверти
4. Выразите углы через радианную меру:
а/ 30 =
в/ 2700 =
б/ -450 =
г/ 500 =
д/ -1400 =
е/ 2400 =
0
5. Выразите углы через градусную меру:

7
а/ =
в/
=
3
б/ -
4
=
9
д/ 2 =
е/ -3 =
2
3
г/
=
4
6. В какой четверти расположен угол:
7
б/ -2 = _____ четверти
а/
= _____ четверти
в/ 4060 = _____ четверти
6
7. Возможно ли равенство /подчеркните правильный ответ/:
а/ sin γ = 2
да
нет
в/ sin γ = 0,2 да
нет
б/ cos γ = -0.8
да
нет
5
г/ cos γ =
да
2
нет
Дополнительная часть
8. Углы треугольника АВС относятся как 2:3:4. Найдите градусные и
радианные меры углов этого треугольника.
А = ______ =_______
В =______ = _______
С = _____ = _______
9. Угловая мера дуги равна 720, а радиус равен 4см. Найдите длину дуги.
37
_____________________________________________________________________
38
ТЕСТ 1
ВАРИАНТ 2
Ф.___________ класс______
§ 1. Углы и дуги. Радианная мера угла.
Обязательная часть
1. Как определяется мера угла?
а/ в положительном направлении…
б/ в отрицательном направлении …
2. На какую дугу опирается угол в 1 радиан?
3. В какой координатной четверти находится радиус-вектор, определяющий угол:
а/ 1000 лежит _______ четверти
г/ -1040 лежит _______ четверти
б/ 2500 лежит _______ четверти
д/ 14260 лежит ______ четверти
в/ 1730 лежит _______ четверти
4. Выразите углы через радианную меру:
а/ 450 =
в/ -300 =
б/ 740 =
г/ -1500 =
д/ 1800 =
е/ 1350 =
5. Выразите углы через градусную меру:

5
в/ - =
6
а/ 3 =
5
7
г/
=
б/ - 2 =
д/ -2 =
е/ 3 =
4
6. В какой четверти расположен угол:
5
б/ -3 = _____
а/
= _____
3
четверти
четверти
в/ 6050 = _____
четверти
7. Возможно ли равенство /подчеркните правильный ответ/:
а/ sin γ = 1
да
нет
в/ sin γ = -3
да
б/ cos γ = 1,5 да
нет
8
г/ cos γ =
да
2
нет
нет
Дополнительная часть
8. Углы треугольника KLM относятся как 1:3:5. Найдите градусные и радианные
меры углов этого треугольника.
K = _____ =______
L =_____ = ______
M=_____=_______
39
9. Угловая мера дуги равна

8
, а радиус равен 3см. Найдите длину дуги.
40
ТЕСТ 2
ВАРИАНТ 1
Ф.___________ класс______
§ 2. Определение тригонометрических функций.
Обязательная часть
1. Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом R, где R=1. На
этой окружности возьмем точку В так, чтобы угол между радиус-вектором ОВ и
положительным направлением оси ОХ был равен γ. Пусть точка В имеет
координаты Х, У, то:
х
есть ________________
R
х
б/ отношение
есть ________________
y
а/ отношение
у R
y
есть ________________
x
y
г/ отношение
есть ________________
R
в/ отношение
O
x
2. Основное тригонометрическое тождество: sin2 α + ________ = 1
3. Определите значение выражения:
а/ cos 600 =
в/ sin 450 =
б/ tg 450 =
г/ sin 900 =
4. Вычислите:


а/ 2 sin cos =
6
б/ tg

4
cos
в/ 4 cos
6

3
д/ ctg 600 =
е/ cos 00 =
г/ 5 sin
=

3

2
cos

4
- 4 cos
=

2
=
5. Сравните значения выражения:



2 sin cos
и
sin
4
4
6. Верно ли равенство:
сos 450 + sin600 > 1
7. Упростите:
а/ (1-sin α)(1+sin α) =
2
да
нет
б/ cos2α + sin α tg α cos α =
Дополнительная часть:
8. Найдите значение выражения:
а/ sin α - cos 3α - cos 2α,
если α = 300
Ответ ___________
41
б/ tg2

6
+ 2 sin

6
- tg

4
+cos2

6
Ответ ___________
9. Упростите выражение:
1  sin  1  2 sin 


1  sin  1  sin 
42
ТЕСТ 2
ВАРИАНТ 2
Ф.___________ класс______
§ 2. Определение тригонометрических функций.
Обязательная часть
1. Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом R, где R=1.
На этой окружности возьмем точку В так, чтобы угол между радиус-вектором
ОВ и положительным направлением оси ОХ был равен γ. Пусть точка В имеет
координаты Х, У, то:
х
есть ________________
R
х
б/ отношение
есть ________________
y
а/ отношение
у R
y
есть ________________
x
y
г/ отношение
есть ________________
R
в/ отношение
O
x
2. Основное тригонометрическое тождество: sin2 α + cos2α = _____
3. Определите значение выражения:
а/ cos 450 =
в/ sin 300 =
б/ tg 300 =
г/ sin 900 =
4. Вычислите:


а/ 2 sin cos =
4
б/ 5 cos

2
в/ 4 cos
4
+ 2 sin
д/ ctg 450 =
е/ cos 1800 =
3
=
2
г/ 2 sin

3

6
=
ctg

4
=
5. Сравните значения выражения:



cos2 - sin2
и
sin
4
4
6. Верно ли равенство:
сos 300 + sin 450 > 1
7. Упростите:
а/ (1-cos α)(1+cos α) =
2
да
нет
б/ tg α ctg α – sin2 α =
Дополнительная часть:
8. Найдите значение выражения:
а/ sin 2α - 2ctg α + tg α,
если α = 450
Ответ ___________
43
б/
2 sin  sin 
,
sin(    )  sin(    )
если α=600, β=300 Ответ ___________
9. Упростите выражение:
1  cos  1  2 cos 


1  cos  1  cos 
44
ТЕСТ 3
ВАРИАНТ 1
Ф.___________ класс______
§ 3. Свойства тригонометрических функций.
Обязательная часть
1. Определите значение выражения:
а/ cos 300 =
в/ sin 450 =
д/ ctg 300 =
б/ tg 450 =
г/ tg 600 =
е/ cos 600 =
2. Какой знак имеют: а/ sin α, б/ cos α, в/ tg α, г/ ctg α, если α = 1350
а/ ______
б/ ______
в/ _______
г/ _______
3. Определите знак выражений:
cos 2100· sin 1000
ctg 300· sin 1500
Ответ ___________
Ответ ___________
4. Углом, какой четверти является угол α, если:
α = -400
Ответ _________ четверть
0
α = 130
Ответ _________ четверть
0
α = 620
Ответ _________ четверть
5. Сравните значение выражений:
1+ctg2600
1
sin 60 0
6. Найдите градусную меру угла, заданного в радианах:
а/
3
 = _______
4
1
3
б/   = ________
7. Найдите значение выражений:
(2sin900-tg450)·3 =
в/ -3π = ________
2cos

4
-3 sin π =
Дополнительная часть:
8. Найдите значение выражения:
sin 2α – 2tg α + tg α, если α=450
2 sin  sin 
, если α = 600, β = 300
sin(    )  sin(    )
45
ТЕСТ 3
ВАРИАНТ 2
Ф.___________ класс______
§ 3. Свойства тригонометрических функций.
Обязательная часть
1. Определите значение выражения:
а/ cos 300 =
в/ sin 600 =
д/ ctg 600 =
б/ сtg 450 =
г/ tg 300 =
е/ cos 450 =
2. Какой знак имеют: а/ sin α, б/ cos α, в/ tg α, г/ ctg α, если α = 2400
а/ ______
б/ ______
в/ _______
г/ _______
3. Определите знак выражений:
cos 1600· tg 2000
cos 1400· sin 800
Ответ ___________
Ответ ___________
4. Углом, какой четверти является угол α, если:
α = -300
Ответ _________ четверть
0
α = 200
Ответ _________ четверть
0
α = 710
Ответ _________ четверть
5. Сравните значение выражений:
1+tg2600
1
cos 600
6. Найдите градусную меру угла, заданного в радианах:
а/
5
 = _______
4
б/   = ________
7. Найдите значение выражений:
7(ctg300-2sin500) =
в/ -2π = ________
3tg

6
-4 sin

3
=
Дополнительная часть:
8. Найдите значение выражения:
sin α – cos 3α - cos 2α, если α=350
sin 3  sin 
, если α = 300
sin(   300 )  sin 450
46
ТЕСТ 4
ВАРИАНТ 1
Ф.___________ класс______
§ 4.Формулы приведения.
Обязательная часть
1. Заполните пропуски так, чтобы получились верные тождества:

3
а/ sin ( +α) = ____________
в/ cos ( +α) = ____________
2
2
б/ tg (180 +α) = ____________
г/ сtg (π-α) = ____________
0
2. Найдите значение выражения:
sin 2100 = _________________
сtg (
3. Найдите значение cos α и tg α, если α=
а/ ______________
3
+α) = ____________
4
2
3
б/ ______________
4. Упростите выражение:

3
ctg (π-α)·cos( -α)-sin ( +α) =
2
4
5. Известно, что sin α=0,6 и 900<α<1800
Найдите tg (1800+α) =
Дополнительная часть:
6. Докажите тождество:
cos(  2 )  cos( 2700   )
 sin  cos 
tg (   ) sin( 900   )
7. Упростите выражение:
3

1-sin(α-π)·sin(α+ )·ctg( -α) =
2
2
47
ТЕСТ 4
ВАРИАНТ 2
Ф.___________ класс______
§ 4.Формулы приведения.
Обязательная часть
1. Заполните пропуски так, чтобы получились верные тождества:
3

а/ cos ( +α) = ____________
в/ ctg ( +α) = ____________
2
2
б/ sin (2π-α) = ____________
г/ tg (π-α) = ____________
2. Найдите значение выражения:
cos 3000 = _________________
tg (
3. Найдите значение sin α и ctg α, если α=
а/ ______________
5
+α) = ____________
4
3
4
б/ ______________
4. Упростите выражение:

3
tg (π+α)·cos( -α)-cos ( -α) =
2
4
5. Известно, что sin α=0,8 и 2700<α<3600
Найдите ctg (900+α) =
Дополнительная часть:
6. Докажите тождество:
sin(    )  sin( 900   )
 ctg 2

0
ctg (  ) cos( 270   )
2
7. Упростите выражение:

3
1-cos(α- ) cos (α+π)·ctg (α+ )=
2
2
48
ТЕСТ 5
ВАРИАНТ 1
Ф.___________ класс______
§ 5.Преобразование тригонометрических выражений
и доказательство тождеств.
Обязательная часть
1. Заполните пропуски так, чтобы получилась тригонометрическая формула или
верное утверждение:
cos (α+β) = cos α cos β - ________________
sin (α-β)= ______________ + cos α sin β
tg (α+β) =
tg  tg
_______  tgtg
2. Упростите выражение:
sin 480 cos 120 + cos 480 sin120 = ____________________
cos 1050 cos 150 + sin 1050sin150 = ____________________
cos (1200+ α) + cos (1200- α) = _______________________
8
7
8
7
cos
cos
+ sin
sin = _____________________
3
3
3
3
3. Найдите cos (300-α), если cos α = -
5
, α – угол III четверти.
13
cos (300-α) =
4. Докажите тождество:
sin 240 cos 60  sin 60 cos 240
1
sin 210 sin 390  cos 210 cos 390
Дополнительная часть:
5. Докажите формулу:
3
cos( +α) = sin α
2
6. Упростите выражение:
2

cos ( +α) – cos (α + ) =
3
3
49
ТЕСТ 5
ВАРИАНТ 2
Ф.___________ класс______
§ 5.Преобразование тригонометрических выражений
и доказательство тождеств.
Обязательная часть
1. Заполните пропуски так, чтобы получилась тригонометрическая формула или
верное утверждение:
cos (α+β) = ___________- ________________
sin (α-β)= ______________ + _____________
tg (α+β) =
tg  tg
_______ _________
2. Упростите выражение:
sin 1050 cos 150 - cos 150 sin 1050= ____________________
cos 230 cos 370 - sin 230 sin370 = ____________________
cos (600- α) + cos (600+ α) = _______________________
8
7
8
7
cos
cos
+ sin
sin = _____________________
6
6
6
6
3. Найдите sin (300-α), если sin α = -
5
, α – угол III четверти.
13
sin (300-α) =
4. Докажите тождество:
sin 140 cos160  sin 160 cos140
1
sin 110 sin 490  cos 490 cos110
Дополнительная часть:
5. Докажите формулу:
3
sin( +α) = -cos α
2
6. Упростите выражение:

2
cos (α + ) + cos (
+α) =
3
3
50
ТЕСТ 6
ВАРИАНТ 1
Ф.___________ класс______
§ 6.Формулы суммы.
Обязательная часть
1. Запишите тождественную правую часть равенства:
tg α = ____________
2. Запишите тождественную левую часть равенства:
cos 
____________ =
sin 
3. Закончите основное тождество:
sin2 α + __________ = 1
4. Закончите верное тождество:
1 + ____________ =
1
sin 
5. Запишите тождественную правую часть равенства:
сtg α = ____________
6. Запишите тождество, дополнив левую часть:
________ · ctg α = 1
7. Заполните, чтобы получилось верное тождество:
_________ + tg2 α =
1
cos 
Дополнительная часть
8. Упростите выражение:
1-
1
= ___________
cos 
9. Преобразуйте выражение:
ctg β -
cos   1
= _____________
sin 
10. Найдите наибольшее значение выражения:
cos2 α – sin2 α = ______________
51
ТЕСТ 6
ВАРИАНТ 2
Ф.___________ класс______
§ 6.Формулы суммы.
Обязательная часть
1. Запишите тождественную правую часть равенства:
ctg α = ____________
2. Запишите тождественную левую часть равенства:
sin 
____________ =
cos 
3. Закончите основное тождество:
cos2 α + __________ = 1
4. Закончите верное тождество:
__________ + ctg2 α =
1
sin 
5. Запишите тождественную правую часть равенства:
tg α ·_________ = 1
6. Запишите тождество, дополнив левую часть:
________ · tg α = 1
7. Заполните, чтобы получилось верное тождество:
1+ _____ =
1
cos 
Дополнительная часть
8. Упростите выражение:
1-
1
= ___________
sin 
9. Преобразуйте выражение:
tg β -
sin   1
= _____________
cos 
10. Найдите наибольшее значение выражения:
1 + (sin2 α –cos2 α) = ______________
52
ТЕСТ 7
ВАРИАНТ 1
Ф.___________ класс______
§ 7.Формулы двойного и половинного углов.
Обязательная часть
1. Заполните пропуски так, чтобы получились тригонометрические формулы:
2tg
а/ tg 2α =
1  _________
б/ sin 2α = 2 sin α · ______
в/ cos 2α = cos2 α - ______
2. Вычислите:
cos2 22030' - sin222030' = _____________
3. Найдите наиболее рациональным способом значение выражения:
sin 2
,
sin 
при α = 1350
sin 2
= ______________
sin 
4. Сократите:
sin 80

sin 40
5. Вычислите:

1  tg
tg
6 

6
6. Упростите:


sin cos cos α =
2
2
7. Упростите:
sin 2  sin 

sin 
Дополнительная часть:
8. Приведите к простейшему виду выражение:
1  cos 


cos
2
9. Найдите числовые выражения:
sin 

24

, если sin
=
и угол
- угол II четверти

25
2
2
sin
2
10. Вычислите:
2 sin 150 sin 750 =
53
ТЕСТ 7
ВАРИАНТ 2
Ф.___________ класс______
§ 7.Формулы двойного и половинного углов.
Обязательная часть
1. Заполните пропуски так, чтобы получились тригонометрические формулы:
1  tg
а/ tg 2α =
______
б/ sin 2α = 2 ____·cos α
в/ cos 2α = _____ - sin2 α
2. Вычислите:
2 cos 22030' sin 22030' = _____________
3. Найдите наиболее рациональным способом значение выражения:
sin 2
,
sin 
при α = 1200
sin 2
= ______________
sin 
4. Сократите:
sin 160

sin 80
5. Вычислите:
tg 22030,

1  tg 22030,
6. Упростите:
sin 2
-cos α + tg α =
2 sin 
7. Упростите:
cos 2  cos 

cos 
Дополнительная часть:
8. Приведите к простейшему виду выражение:
sin 2

1  cos 2
9. Найдите числовые выражения:
sin 

24

, если sin
=и угол
- угол IIIчетверти

145
2
2
sin
2
10. Вычислите:
cos2150 – sin2 750 =
54
ТЕСТ 8
ВАРИАНТ 1
Ф.___________ класс______
§ 8.Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических
функций в произведение и из произведения в сумму.
Обязательная часть
1. Заполните пропуски так, чтобы получились формулы:
sin α cos β =
1
[
2
(
)+
(
)]
sin α sin β = … [cos(α - β) +
(
)]
cos α cos β = … [cos(
)+
(
)]
sin α + sin β =___________________________
cos α - cos β = __________________________
2. Преобразуйте произведение в сумму и вычислите:
sin 150· sin 450 = __________________________
cos 750cos 1050 = ________________________
sin 250 cos 200 = __________________________
3. Вычислите, не пользуясь таблицами:
sin 37030'· sin 7030' = __________________________
cos 750cos 150 = ________________________
4. Представьте в виде произведения:
sin 160+ sin 400 = __________________________
cos 460 - cos 740 = ________________________
5. Вычислите:
cos 1050 + cos 750 = ________________________
sin 750- sin 150 = __________________________
Дополнительная часть:
6. Преобразуйте в сумму:


sin (x+ ) sin (x- ) = ________________________
3
3
sin 3x· cos 5x = ______________________________
7. Упростите:
sin 2x + 2 sin (
5
5
 -x) cos (  +x) = ___________________
12
12
sin x· cos 3x· cos 3x = ________________________________
55
8. Докажите тождество:
sin x = 4 sin x sin (600 – x) sin (600+ x)
56
ТЕСТ 8
ВАРИАНТ 2
Ф.___________ класс______
§ 8.Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических
функций в произведение и из произведения в сумму.
Обязательная часть
1. Запишите формулы преобразования произведения тригонометрических
функций в сумму:
…=…
…=…
…=…
Запишите в виде произведения:
sin α - sin β =___________________________
cos α + cos β = __________________________
2. Преобразуйте произведение в сумму и вычислите:


sin · sin
= __________________________
6
3
0
cos 75 cos 150 = ________________________
sin 360 cos 240 = __________________________
3. Вычислите, не пользуясь таблицами:
sin 52030'· sin 7030' = __________________________
cos 750cos 1050 = ________________________
4. Представьте в виде произведения:
sin 200- sin 400 = __________________________
cos 740+ cos 140 = ________________________
5. Вычислите:
sin 1050 + sin 750 = ________________________
cos 150- cos 750 = __________________________
Дополнительная часть:
6. Преобразуйте в сумму:

 
cos (α- ) cos (  ) = ________________________
3
2
6
sin 2x· cos 4x = ______________________________
7. Упростите:
sin 40 · sin 860 - cos 20·cos 60 +
1
sin 40 = ___________________
2
cos 3x· cos 5x· cos 7x = ________________________________
8. Докажите тождество:
57
sin2 x + cos (600 – x) sin (600+ x) =
1
4
58