Задача №1 - Web

Задача №1.
Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: а)
методом Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.
х – 4у – 2z = 0,
3x – 5y – 6z = - 21,
3x + y + z = - 4.
Решение:
а) Решим систему уравнений методом Крамера:
│ 1 - 4 - 2│
∆ = │ 3 - 5 - 6 │= - 5 + 72 – 6 – 30 + 6 + 12 = 49 ≠ 0, значит система
│ 3 1 1│
совместна и имеет единственное решение.
│ 0 - 4 - 2│
∆х = │ - 21 - 5 - 6 │= 0 – 96 + 42 + 40 – 0 – 84 = - 98
│ - 4 1 1│
=> х = ∆х / ∆ = - 98 / 49 = - 2;
│ 1 0 - 2│
∆2 =│ 3 - 21 - 6 │= - 21 + 0 + 24 – 126 – 24 – 0 = - 147
│ 3 - 4 1│
=> у = ∆у / ∆ = - 147 / 49 = - 3;
│ 1 - 4 0│
∆3 =│ 3 - 5 - 21│= 20 + 252 + 0 – 0 + 21 - 48 = 245
│ 3 1 - 4│
=> z = ∆z / ∆ = 245 / 49 = 5.
Таким образом, Х = (- 2; - 3; 5)Т
б) Решим систему с помощью обратной матрицы.
Вычислим обратную матрицу А-1 по классической формуле:
А11 = -5 -6 = 1;
1 1
А12 = - 3 -6 = -21;
3 1
А13 = 3 -5 = 18;
3 1
А21 = - -4 -2 = 2;
1 1
А22 = 1 -2 = 7;
3 1
А23 = - 1 -4 = -13;
3 1
А31 = -4 -2 = 14;
-5 -6
А32 = - 1 -2 = 0;
3 -6
А33 = 1 -4 = 7;
3 -5
тогда det А = а11*А11 + а12*А12 + а13*А13 = 1*1 – 4*(-21) – 2*18 = 49.
А
-1
1 2
= 1/49 -21 7
18 -13
14
0
7
А*Х = В, тогда Х = А-1 *В
1 2 14
0
-98
Х = 1/49 * -21 7 0 * -21 = 1/49 * -147
18 -13 7
-4
245
-2
= -3
5
т. е. х = - 2, у = - 3 и z = 5.
в) Решим систему методом Гаусса:
Решим систему методом Гаусса:
1 -4
-2
0
1
-4
-2
3 -5
- 6 - 21 →
0
7
0
0
6
7
3
→
1
1 -4
1
0
0
-2
0
1
0
-3
0
0
1
5
Ответ: Х = (- 2; - 3; 5)Т
0
- 21 →
17
х = - 2;
, т.е.
у = - 3;
z = 5.
1
0
- 2 - 12
0
1
0 -3
0
0
7
35
→
Задача №2.
Построить прямую 9х + 3у – 12 = 0. Определить ее угловой коэффициент.
Составить уравнения нескольких прямых, параллельных ей. Записать
уравнение прямой, перпендикулярной к данной и проходящей через
начало координат.
Решение:
Преобразуем заданное уравнение прямой:
у = - 3х + 4, отсюда ее угловой коэффициент k = - 3.
Для построения прямой нам нужно знать координаты двух ее точек.
Задавая х = 0, получаем у = 4, задавая х = 3, получаем у = - 5. Значит
прямая проходит через точки А(0;4) и В(3;-5).
8
6
4
2
у
0
-3
-2
-1
-2 0
1
2
3
4
5
-4
-6
-8
-10
х
Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент,
значит для заданной прямой параллельными будут, например, прямые:
у = - 3х + 8, у = - 3х, у = - 3х – 15 и т.д.
Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых
равно - 1, поэтому угловой коэффициент прямых перпендикулярных
заданной будет равен 1/3.
Уравнение прямой, перпендикулярной заданной и проходящей через
начало координат: у = 1/3х.
Задача №3.
Вычислить предел:
lim 3х2 – 5х – 2
х→2
2х2 – х - 6
Решение:
lim 3х2 – 5х – 2 = 0 = lim (х – 2)(3х + 1) =
х→2
х→2
2х2 – х – 6
0
(х – 2)(2х + 3)
= lim 3х + 1 = 3*2 + 1 = 7 = 1.
х→2
2х + 3
2*2 + 3 7
Ответ: 1.
Задача №4.
Найти производные функций:
а) у = х lnх; б) у = cos4(х/2).
Решение:
а) y’ = (x)’ * lnx + x* (lnx)’ = 1 * lnx + x * (1/x) = lnx + 1;
б) у’ = 4 * cos3(х/2) * (cos(x/2))’ = 4 * cos3(х/2) * (- sin(x/2)) * (x/2)’ =
= 4 * cos3(х/2) * (- sin(x/2)) * 1/2 = - 2 * sin(x/2) * cos3(x/2) =
1
= - — sin x * (1 + cos x).
2
Ответ: а) lnx + 1; б) - sin x * (1 + cos x) / 2.
Задача №5.
Выполнить исследование функции по следующей схеме:
1) найти область определения;
2) проверить четность-нечетность функции;
3) найти точки пересечения с осями координат;
4) найти экстремумы и интервалы монотонности;
5) найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости;
6) найти пределы функции при х → ± ∞;
7) построить график функции.
у = 2х4 – 4х2 + 3.
Решение:
1) Область определения функции: D(у) = ( - ∞; + ∞), т.е. функция всюду
определена;
2) у(- х) = 2(- х)4 – 4(- х)2 + 3 = 2х4 – 4х2 + 3 = у(х), значит функция четная,
график функции симметричен относительно оси Оу;
3) Найдем точку пересечения с осью Оу: х = 0, тогда у = 3, т.е. А(0;3).
Найдем точки пересечения с осью Ох: у = 0, тогда 2х4 – 4х2 + 3 = 0,
D < 0, значит решения нет, причем 2х4 – 4х2 + 3 > 0 на всей своей
области определения, т.е. график функции лежит выше оси Ох;
4) у’ = 8x3 – 8x = 8x(x2 – 1) = 8x(x – 1)(x + 1) = 0
т.е. х = 0 и х = ± 1.
у'(х)
у(х)
-
+
-1
+
0
х
1
Таким образом, х = - 1 и х = 1 - точки минимума, х = 0 – точка максимума.
уmin(- 1) = уmin(1) = 1 - минимумы функции
уmах(0) = 3 - максимум функции
(- ∞; -1) U (0; 1) - интервалы убывания;
(- 1; 0) U (1; + ∞) – интервалы возрастания.
__
5) у” = 24х – 8 = 24(х – 1/3) = 0, значит х = ± 1/ √ 3 ≈ ± 0,58 – точки
перегиба.
2
2
у(- 0,58) = у (0,58) = 1,89.
у"(х)
+
у(х)
+
- 0,58
х
0,58
(- ∞; -0,58) U (0,58; + ∞) - интервалы вогнутости;
(- 0,58; 0,58) – интервалы выпуклости.
6)
lim (2х4 – 4х2 + 3) = + ∞.
х→± ∞
7) Построим график функции:
у
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
-2
-1,5
-1
-0,5
0
х
0,5
1
1,5
2