Exam_questions_2

1
Экзаменационные вопросы по дисциплине «Математика». Второй курс факультет
ДФО вечернее отделение
1. Числовые ряды. Основные понятия. Сходимость и расходимость ряда. Сумма ряда.
Примеры.
2. Свойства рядов. Ряд геометрической прогрессии.
3. Необходимый признак сходимости числового ряда. Достаточное условие
расходимости ряда. Примеры. Гармонический ряд.
4. Признаки сравнения знакоположительных рядов (два признака). Исследовать на
1

сходимость ряды 
,  tg .
n
5n
3 2
1
5. Признак Даламбера. Исследовать на сходимость ряд  .
n!
n2
 1
6. Радикальный признак Коши. Исследовать на сходимость ряд  1   .
 n

1
7. Интегральный признак Коши. Исследовать на сходимость ряд 
.
n  2 n  ln n
8. Обобщенный гармонический ряд.
9. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Исследовать на сходимость ряд
(1) n
 n! . Точность представления знакочередующегося ряда частичной суммой. С
(1) n 1
какой точностью частичная сумма S 5 дает сумму ряда 
?
nn
10. Знакопеременные ряды. Общий достаточный признак сходимости.
11. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Примеры. Свойства абсолютно
сходящихся рядов.
12. Определение функционального и степенного рядов. Точка сходимости, область
сходимости, сумма ряда.
13. Сходимость степенных рядов. Теорема Абеля. Следствие.
14. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Нахождение радиуса сходимости
(1) n 1 x 2 n 1
степенного ряда. Найти область сходимости ряда 
. Свойства
2n  1
степенных рядов.
15. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Ряды Тейлора и
Маклорена. Теорема о сходимости ряда Тейлора функции f(x) к функции f(x).
16. Теорема об ограниченности модулей производных функции и сходимости ряда
Тейлора.
17. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена:
e x , sin x, cos x, (1  x) .
18. Тригонометрический ряд Фурье. Тригонометрическая система функций и ее
свойства.
19. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье.
20. Теорема Дирихле (достаточное условие разложимости 2π- периодической функции
в ряд Фурье). Разложить в ряд Фурье 2π- периодическую функцию
2 x,0  x   
f ( x)  
.
 x,  x  0
2
21. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Неполные
тригонометрические ряды. Разложить в ряд Фурье 2π- периодическую функцию
f(x) = x, -π <x< π.
22. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода. Разложить в ряд Фурье
функцию f(x) = x, -4 <x< 4 с периодов Т = 8.
23. Представление непериодической функции рядом Фурье. Разложить в ряд
 x
,0  x   .
косинусов функцию f ( x) 
2
24. Комплексная форма ряда Фурье. Формула Эйлера.
25. Определение дифференциального уравнения. Обыкновенное дифференциальное
уравнение. Порядок дифференциального уравнения. Решение (интеграл)
дифференциального уравнения. Интегральная кривая.
26. Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно
производной. Его геометрическая интерпретация. Понятие изоклины. Найти
изоклины и изобразить интегральные кривые уравнения y  =2x.
27. Общее и частное решения дифференциального уравнения вида y  = f(x, y). Задача
Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Ее
геометрический смысл.
28. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общий интеграл
и особые решения. Решение уравнения вида y  = f(ax + by + c). Решить уравнение
y
y    , y (4)  1 .
x
29. Однородные дифференциальные уравнения. Понятие однородной функции n-го
порядка. Способ решения однородного дифференциального уравнения. Решить
 ax  by  c 
 .
уравнение xdy = (x + y)dx. Правило решения уравнения вида y   f 
a
x

b
y

c
1
1 
 1
30. Линейные уравнения. Решение методом Бернулли. Решить уравнение y  + 2xy = 2x.
31. Решение уравнения вида {xP(y) + Q(y)) y  = R(y). Уравнение Бернулли и способ его
y
решения. Решить уравнение y    x 2 y 4 .
x
32. Уравнение в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие
выделения полного дифференциала. Решить уравнение (2xy – 5}dx +(3y2 + x2)dy =0.
33. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Задача Коши.
34. Уравнения, допускающие понижение порядка (пять видов).
35. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные и
неоднородные уравнения. Свойства решений линейного однородного
дифференциальные уравнения n-го порядка. Определитель Вронского,
фундаментальная система решений. Общее решение линейного однородного
дифференциальные уравнения n-го порядка.
36. Интегрирование ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Характеристическое уравнение. Общее решение ЛОДУ 2-го порядка с
постоянными коэффициентами (три варианта). Решить уравнение
y   6 y   25 y  0 .
37. Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Решить
уравнение y   2 y   y   2 y  0 .
38. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с
постоянными коэффициентами. Структура его общего решения.
39. Интегрирование ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой
частью специального вида. Интегрирование нормальных систем ДУ.
3
Дополнительные вопросы
1. Определение предела функции в точке. Односторонние пределы. Связь предела
функции в точке с односторонними пределами.
2. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.
3. Определение производной, ее геометрический и механический смысл.
Односторонние производные. Связь существования производной функции с
существованием односторонних производных.
4. Правила нахождения производной. Таблица производных. Производная сложной,
обратной, параметрически и неявно заданной функций.
5. Определения непрерывности функции в точке.
6. Определение дифференцируемости функции. Определение дифференциала
функции. Геометрический смысл дифференциала.
7. Первое правило Лопиталя. Второе правило Лопиталя.
8. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функций.
9. Достаточные условия экстремума функции.
10. Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Таблица основных
неопределенных интегралов.
11. Основные методы интегрирования: замена переменной; интегрирование по частям.
12. Интегральная сумма – понятие и геометрический смысл. Понятие определенного
интеграла.
13. Формула Ньютона – Лейбница.
14. Вычисление площади, ограниченной функцией, заданной в явном виде и
параметрически заданной функцией.
15. Вычисление площади криволинейного сектора в полярной системе координат.
16. Вычисление длины дуги кривой, заданной в явном виде.
17. Вычисление длины дуги кривой, заданной в параметрическом виде и в полярной
системе координат.
18. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов. Представления в
координатном виде. Геометрическая интерпретация.
19. Уравнения плоскости: общее; через три точки; в отрезках; нормальное.
Геометрическая интерпретация.
20. Уравнения прямой: параметрические; канонические; через две точки; общие. Углы
между плоскостями и прямыми.
21. Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.. Фокусы, полуоси,
эксцентриситет, фокальные радиусы, директрисы. Рисунки.
22. Цилиндрические и конические поверхности. Их уравнения. Рисунки.
23. Канонические уравнения эллипсоида, гиперболоидов, параболоидов. Их рисунки.
24. Обратная матрица. Формулы Крамера.
25. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Правило решения общей СЛАУ.
26. Дифференцируемость
функции
двух
переменных,
дифференциалы.
Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала. Рисунки.
27. Производная от сложной функции. Дифференцирование неявно заданной функции.
28. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
29. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.
30. Двойной интеграл. Вычисление в декартовых координатах. Переход от декартовых
координат к полярным. Тройной интеграл.
31. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Геометрические и
механические приложения. Формула Грина. Поверхностный интеграл первого
рода.
32. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.