Теорема

Часть 3
Глава 1 Числовые и функциональные ряды
1.1 Числовые ряды, сходимость. Необходимый признак сходимости.
Связь с несобственными интегралами 1 рода. Ряды Дирихле. Признаки
сравнения для знакоположительных рядов. Признаки Даламбера и Коши.
Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютной сходимости.
Примеры.
1.2Функциональные ряды. Сходимость. Равномерная сходимость.
Возможность почленного интегрирования и дифференцирования.
1.3Степенные ряды. Радиус сходимости, формула для него. Почленное
интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
1.4 Ряды Маклорена.Достаточное условие сходимости.
Стандартные разложения Маклорена.
1.1 Числовые ряды, сходимость. Необходимый признак сходимости.
Связь с несобственными интегралами 1 рода. Ряды Дирихле. Признаки
сравнения для знакоположительных рядов. Признаки Даламбера и
Коши.
Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютной сходимости.
Признак Лейбница. Примеры.
Теория числовых рядов тесно связана с теорией несобственных интегралов.
Дадим соответствующие определения.
Определение 1.(числового ряда, частичной суммы, сходимости)
Выражение вида

a
n 1
n
_ где _ a n  числовая _ последовательность _ называется
числовым рядом. Частичной суммой числового ряда называется конечная
n
сумма Sn=  a k , n=1,… Если последовательность частичных сумм имеет
k 1
конечный предел, то он называется суммой ряда, а сам ряд в этом случае
называется сходящимся.

a
1
n
 lim S n .
n 
Пример.(геометрическая прогрессия)
известно _ из _ школы n1
q 1
bq

b
. при q  1. и
1 bq . Частичные суммы Sn= 
q 1
k 1

n
n
k
Sn=bn при q=1, Sn=b(-1)n при q=-1.
Исследуем сходимость в разных случаях.
При q=1 предел частичных сумм бесконечен и ряд расходится. При q=-1
предел частичных сумм не существует и ряд расходится.
При q  1 _ lim S n  lim b
n 
n
q n1
 , ряд расходится. При
q
0 1
b
q  1 _ lim S n  b

. Предел конечный и ряд сходится.
q 1 1 q
n 
Т.е геометрическая прогрессия сходится только при знаменателе, по модулю
меньшем 1.
Теорема 1.(необходимый признак сходимости и достаточный признак
расходимости)
Если ряд

a
n
сходится, то
Обратно, если
lim a
n 
1
lim a
n
n
n
 0.
 0 либо не существует, то ряд расходится.
Доказательство.
an=Sn-Sn-1. Если ряд сходится, то
lim S  lim S  S - конечен. Тогда по
свойству пределов существует lim a  lim S  lim S  S  S  0,
n
n 
n 
n
n 1
n 
n 
n
n 
n 1
что и требовалось.
Если же этот предел не равен 0 или не существует, то ряд сходится не
может(ибо тогда предел равен 0!).
Пример. Этот признак позволяет доказать расходимость геометрической
прогрессии при q  1. Тогда предел общего члена не существует, либо
 1 . Поэтому он расходится по достаточному признаку расходимости.
Далее попытаемся сопоставить числовой ряд с несобственным интегралом,
Сопоставим любую последовательность an c кусочно-постоянной функцией,
a(x), график которой является простым продолжением графика
последовательности из точки n на полуинтервал [n,n+1) значением an.
(см. рис. 1) Полученная функция будет определена на [1, ) и интегрируема
на конечных отрезках, являясь там кусочно-постоянной. Поэтому можно

рассматривать несобственный интеграл  a ( x )dx .
1
Рис.1
Теорема 2(связь рядов и несобственных интегралов)
1) Описанное соответствие {an }  a( x) сохраняет все арифметические
операции, т.е. сумме последовательностей соответствует сумма
функций, произведению последовательности соответствует
произведение функций и частному последовательностей соответствует
частное функций. Кроме того нулевой последовательности
соответствует нулевая функция, постоянной последовательностипостоянная функция.
2) Сохраняются неравенства: если an
 bn _  _ n  N _{an }  a( x), _{bn }  b( x), _ то, _ a( x)  b( x) _  _ x  1. Строгие
неравенства тоже сохраняются.
3)Сохраняются пределы на бесконечности: если
lim a
n 
n
 A, _{a n }  ax , _ lim a( x)  A.
x 
4)Последовательности из модулей соответствует модуль функции.
an  a(x) . Отсюда и из линейности соответствия последовательностям

a n , _ a n _ соответствуют _ a  ( x), _ a  ( x).


1
1
5) a n _ сходится _ одновременно _ с _  a ( x)dx __ и _ их _ значения _ совпадают _


1
1
 an 
 a( x)dx.
Все свойства 1-2 следуют из определения, поясним 3и 5 . 3 следует из того,
что график функции
является «растяжением» параллельно OX графика последовательности и
если график последовательности при n>N попадает в горизонтальную
полосу, либо в полуплоскость, то туда же попадает при x>N+1 и график
функции.
А это есть графический смысл одного и того же предела на бесконечности у
последовательности и у функции (рис. 2).
Что касается 5), то из рис 1 видно, что
k 1
k 1
n
k
k
k 1
an= ak *1   ak dx   a( x)dx, _ S n   ak  
n

n  1
1
аддитивность n

 a( x)dx
 a( x)dx.
n k 1
1
k
1
lim S n  lim  a( x)dx   a( x)dx,
n 
если последний интеграл сходится. Тогда сходится ряд и сумма его рабна
несобственному интегралу. Если сходится ряд, то сходится
n
последовательность интегралов S= lim S n  lim  a( x)dx . Из-за свойств
n 
n  1
a(x) (рис.3)
b
n
1
1
 a( x)dx   a( x)dx  an (b  n), _ n  [b]. Тогда b  n  1, _ an  0 _ при _ n  
по необходимому признаку сходимости. Поэтому
b
n
1
1
 a( x)dx   a( x)dx   (b)  бесконечно _ малая _ при _ b   Поэтому сходится

b
n
1
b  1
n  1

 a( x)dx  lim  a( x)dx  lim  a( x)dx   ( x)  lim S n   an .
n 
1
Рис.3
На основании этих свойств мы можем сразу доказать для неотрицательных
рядов теоремы, аналогичные теоремам для несобственных интегралов.
Теорема 3
Сопоставим как в теореме 2 an   a( x), _ x  [1, ).
Тогда по этой теореме ряд

a
n
1
сходится или расходится одновременно с

 a( x)dx
1
По теореме 17 ч2,гл.2 об аддитивности несобственных интегралов

 a( x)dx
1
сходится или расходится одновременно с
считаем _ из _ рис.3а N 1

a
(
x
)
dx
_
и
_
a
(
x
)
dx

a
(
x
)
dx

a
(
x
)
dx
.

a

 n  d ( x)dx,






N

N
1
1
N
где
 a ( x), x  N
d ( x)  
.
0 _ при _ x  [1, N )
Причем
_ d ( x)  0
,...,
0, a N , a N 1 ,...

N 1 _ раз
(см.рис.3а).
1
1
Поэтому ряд

a
1
n
сходится или расходится одновременно с



N
1
N
 a( x)dx   d ( x)dx   a
n
,
для любого фиксированного N и

N 1

1
1
N
 an   an   an .
Теорема 4(непредельный признак сходимости)
Пусть 0  an  bn _ n  N .
Тогда если ряд


 bn сходится, то сходится и ряд  a n .
1
Если ряд

a
1

n
расходится, то расходится и ряд  bn .
1
1
Доказательство.
Рассматриваем построенное соответствие


1
1
 an  a( x), _  bn  b( x).
Из свойства сохранения неравенств
0  a ( x)  b( x) _ x  1
Тогда по непредельному признаку сходимости для интегралов
из сходимости


1
1
 b( x)dx _ следует _ сходимость _  a( x)dx.
Из расходимости


1
1
 a( x)dx _ следует _ расходимость _  b( x)dx.
Отсюда из эквивалентности сходимости ряда и сопоставленного ему
интеграла следует наш признак для рядов:
если ряд


 bn сходится, то сходится и ряд  a n .
1
Если ряд
1


1
1
 a n расходится, то расходится и ряд  bn .
Теорема 5(предельный признак сходимости)
Пусть 0  an ;0  bn _ n  N. _ И _ при __ n   _ an ~ bn .
Тогда ряды

 an и
1

b
1
n
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Опять обратимся к построенному соответствию
последовательностей и функций. В силу сохранения при этом соответствия
операции деления, а также пределов на бесконечности последовательностей
и соответствующих функций функции a(x) и b(x), соответствующие нашим
последовательностям, будут эквивалентны. Они также положительны.
По предельному признаку для интегралов интегралы от этих функций будут
сходиться или расходиться одновременно. Из сохранения сходимости при
соответствии ряды

a
n
и
1

b
n
сходятся или расходятся одновременно.
1
Теорема 6(интегральный признак Коши)
Пусть f(x)>0 непрерывна на на _[1, _ ) и монотонно убывает. Тогда ряд

 f (n)
1
сходится или расходится одновременно с

 f ( x)dx .
1
Доказательство.
Пусть ряд сходится. Сопоставим последовательности {f(n)} n=1,2…
функцию f1(x)=f(n) на [n,n+1). Тогда f1 ( x)  f ( x) так как f(x) убывает(см.
рис.4а). Т.е. если ряд сходится и с ним вместе сходится

 f ( x)dx . Тогда по
1
1
непредельному признаку сходится и

 f ( x)dx . Наоборот, пусть сходится
1
интеграл . Рассмотрим ряд

 f (n) . По теореме 2 он сходится одновременно с
2

 f (n) .
1

Пусть сходится  f ( x)dx . Сопоставим последовательности {f(n)} n=2,3…
1
функцию f2(x)=f(n+1) на [n,n+1). Тогда f 2 ( x)  f ( x) так как f(x) убывает(см.
рис.4б). По непредельному признаку сходится

f
1
сходится ряд


2
1
 f (n) , а значит и  f (n) .
2
( x)dx , одновременно с ним
Следующие 2 признака получаются сравнением знакоположительных рядов
с геометрической прогрессией.
Теорема 7(радикальный признак Коши)

Пусть дан ряд  a n , an  0, n  N и существует конечный или бесконечный
1
предел
lim
n 
n
an  q .
Тогда при q<1 ряд

a
n
сходится, при q>1–расходится (при q=1 ничего
1
сказать нельзя).
Доказательство.
Пусть q<1. Возьмем q<q1<1(рис.5).
Тогда при   q1  q и больших n>N
по определению предела lim n a n  q
n 
будет q    an  q    q1  1, _ an  q1n  1 (рис.5).
n
Но

q
N 1
1
n
сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем меньше 1.
Из неравенства an  q1n _ при _ n  N по непредельному признаку сравнения
следует тогда сходимость

a
N 1
n
, а значит по теореме 2 сходится и

a
n
1
Пусть q>1. Возьмем q>q1>1(рис.6). Тогда при   q  q1 и больших n>N
по определению предела конечного lim n a n  q
n 
будет 1  q1  q   .  an  q   , _ an  q  1 (рис.6).
.
n
n
1
.
При q   по определению предела при n>N будет an >2>1 Поэтому в обоих
случаях не может быть lim a n  0 и ряд расходится по достаточному
n
признаку расходимости
Теорема доказана.
Пример. Исследовать на сходимость
2

n2
2
1
n2
nn
n
. Имеем 0  n an  n  n
2
2
n
 0  q  1 . Ряд сходится по радикальному
при знаку Коши.
Теорема 8( признак Даламбера)
Пусть дан ряд

a
n
, an  0, n  N и существует конечный или бесконечный
1
предел
lim
n 
a n1
q.
an
Тогда при q<1 ряд

a
n
сходится, при q>1–расходится (при q=1теорема
1
ответа не дает)
Доказательство.
Пусть q<1. Возьмем q<q1<1(рис.7).
Тогда при   q1  q и больших n>N
по определению предела
lim
n 
будет q   
a n1
q
an
an1
 q    q1  1, _ an  q1n  1 (рис.7). Т.е. an+1<q1an при n>N.
an
Распишем это подробно:
aN+2<q1aN+1,
aN+3<q1aN+2,
……………
aN+k<q1aN+k-1, k>1.
Перемножив все эти положительные неравенства. Получим
aN+k<q1 k-1 *aN+1, k>1.
Но

a
k 2
q
k 1
N 1 1
сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем q1
меньше 1.
Из неравенства aN+k<q1aN+k-1, k>1 по непредельному признаку сравнения
следует тогда сходимость

 a n , а значит по теореме 2 сходится и
N 1

a
1
Пусть q>1. Возьмем q>q1>1(рис.8). Тогда по определению конечного
предела
lim
n 
a n1
q
an
n
.
при   q  q1 и больших n>N
будет 1  q1  q   . 
an1
 q   , _ an1  q1an  an  0 (рис.8).
an
.
При q   по определению предела при n>N будет
обоих случаях an+1>an>0 при n>N и не может быть
a n1
 2  1 Поэтому в
an
lim a
n
n
 0 , т.е. ряд
расходится по достаточному признаку расходимости

Пример. Исследовать на сходимость
ln n  2n 3  3n 2 * 2 n
1
7 * 3 n  n100
3n 2 * 2 n
. По предельному признаку достаточно исследовать
7 * 3n

n 2 2n
и по линейности  n . По Даламберу
3
1
Имеем an ~
3  n2 2n

7 1 3n
a n 1
(n  1) 2 2 n 13 n
n2 2 2


  q 1
lim
lim
lim
2
3
3 n 1 n 2 2 n
n  a n
n 
n  3n
И ряд сходится.
Как видим для знакоположительных рядов существует достаточно много
признаков сходимости. Поэтому аналогично несобственным интегралам
принято исследовать на сходимость ряд из модулей. Определения бьудут
аналогичные.
Определение 2(абсолютная и условная сходимость).

a
Ряд
n
1
называется абсолютно сходящимся, если сходится


an .
1

a
Ряд
n
1
называется условно сходящимся, если он сходится, а


an
1
расходится.
Теорема 9(об абсолютно сходящихся рядах)
Если ряд

a
n
1
сходится абсолютно, то он сходится.
Доказательство. С помощью сопоставления с несобственными интегралами.
Пусть последовательности отвечает функция
{an }  a( x) .
Тогда по свойству сопоставления
{ a n }  a ( x) .

И при сходимости

an
1
сходится

 a( x) dx.
1
По теореме об абсолютной сходимости несобственных интегралов отсюда
следует сходимость

 a( x)dx,
1
что в силу свойств сопоставления означает сходимость

a
n
.
1
Теорема доказана.
Пример. Исследовать на сходимость


cos n
1
n
3
2
.
Имеем
an 
cos n
n
3
2

1
n
3
2
.
Ряд


1
1
n2
3
сходится как ряд Дирихле с показателем 3/2>1. Отсюда и из неравенства
следует по непредельному признаку сравнения сходимость


an .
1
Это значит, что по теореме об абсолютной сходимости сходится и исходный
ряд, причем сходится абсолютно.
Дадим теперь признак условной сходимости для знакочередующихся рядов
(рядов Лейбница).
Теорема 10(признак Лейбница)
Пусть дан знакочередующийся ряд

 (1)
n
a n , где an  0 . Причем выполнены
1
два условия:
1) lim a n  0;
n 
2)последовательность a n  монотонно убывает.
Тогда ряд

 (1) n a n сходится и
1

 (1)
n
an
 a1 .
1
Следствие
Обозначив Rn 

 (1)
k  n 1
k
a k остаток исходного ряда Лейбница, получившийся
отбрасыванием n-ой частичной суммы, и применив к нему оценку теоремы,
получим Rn  an1 .
Это можно сформулировать так: Остаток ряда Лейбница не превосходит
модуля первого отброшенного слагаемого.
Доказательство теоремы..
Рассмотрим частичные суммы с четными и нечетными номерами и покажем,
что они имеют равные пределы.
Действительно
S2n=-a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n=-a1+( a2-a3)+(a4-a5)…+(a2n-2-a2n-1)+a2n  -a1,
Так как каждая скобка неотрицательна из-за монотонного убывания
последовательности, а a 2 n  0 по условию. Т.е. последовательность четных
сумм ограничена снизу. Покажем, что она убывает.
Имеем S2n+2=-a1+a2-a3+a4-…-a2n+1+a2n+2=( -a1+a2-a3+a4-…-a2n-1+a2n)+ -a2n+1+a2n+2=
S2n+a2n+2-a2n+1  S 2n , т.к. a2n+1  a2n+2 из-за убывания последовательности.
Т.е по признаку Вайерштрасса у монотонно убывающей и ограниченной
снизу последовательности четных сумм существует предел
S  lim S 2 n . Так как для нечетных сумм S2n+1=(-a1+a2-…-a2n-1+a2n)-a2n+1=S2nn 
lim a
a2n+1, то
lim S
n 
2n
 a 2 n 1  lim S 2 n  lim a 2 n 1
n 
n 
n
 0 _ по _ условию

S 0  S .
n 
Так как четные и нечетные суммы имеют одинаковые пределы, то
существует равный им
lim S n  S и ряд сходится. Получим неравенство для суммы ряда.
n 
Имеем

 (1)
n
an  S 
1
lim a
n 
1
lim S
n 
2n
каждая _ скобка  0
 lim (a1  a 2 )  ...(a 2 n1  a 2 n )

 lim . S 2 n
n 
n 
 a 2  ...  a 2 n1  a 2 n  lim a1  (a 2  a3 )  (a 2 n2
n 
все _ скобки  0
 a 2 n 1 )  (a 2 n )
 a1
.
Теорема доказана.
Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
(1) n
1 n . Так как из абсолютной сходимости следует сходимость, то лучше

сначала исследовать на абсолютную сходимость,т.е. рассмотреть ряд из
модулей

1
 n . Это ряд Дирихле с показателем 1. Он расходится.
Значит
1
абсолютной сходимости нет. Может быть только условная сходимость.
Поскольку ряд знакочередующийся, то применим признак Лейбница.
Имеем an=1/n, монотонно убывая, стремится к 0 при n  . поэтому по
признаку Лейбница ряд сходится условно.
1.2Функциональные последовательности и ряды. Сходимость.
Равномерная сходимость. Достаточные условия. Возможность
почленного интегрирования и дифференцирования.
Кроме числовых рядов можно рассматривать функциональные ряды
-ряды из функций.
Определение 3(функционального ряда, области сходимости)
Ряд вида

f
n
( x ) , где fn(x) для любого натурального n-функции,
1
определенные на одном и том же множестве M. В каждой точке
x0  M получаем числовой ряд

f
n
( x 0 ) . МножествоD точек x0 из M,
1
где эти ряды сходятся к f(x0), называется областью сходимости
функционального ряда, а f(x)-его суммой:

f(x)=
f
n
( x), x  D. .
1
Пример. Функциональный ряд

x
n
представляет собой на всей числовой
n 0
прямой геометрическую прогрессию со знаменателем x. Как мы видели ранее
его областью сходимости является интервал (-1,1).
Кроме рядов, по аналогии с числовыми последовательностями
рассматривают последовательности из функций
Определение 3(функциональной последовательности, области сходимости)
Пусть fn(x) для любого натурального n-функции, определенные на одном и
том же множестве M. В каждой точке
x0  M получаем числовую последовательность fn(x0). МножествоD точек x0
из M, где эти последовательности сходятся к f(x0), называется областью
сходимости
Функциональной последовательности, а f(x)-ее пределом:
f(x)= lim f n ( x), x  D. .
n 
Пример. Как известно из предыдущего последовательность xn сходится на
 0 _ на _(1.1)
. (см. рис.9)
1 _ в _ точке _ 1
D=(-1,1] к функции f(x)= 
Рис.9
Для определения понятия равномерной сходимости последовательности
функций введем окрестности радиуса  графика функции f(x) на плоскости :
Определение 4(окрестности графика)
Пусть f(x) определена на множестве A прямой. Тогда  –окрестностью ее
графика на A называется следующее множество точек плоскости :
O ( f ( x))  ( x. y) : f ( x)    y  f ( x)   _ x  A
Замечание. Как видно из рис. 10, окрестность радиуса  графика функции
f(x) на плоскости представляет собой «коридорчик» ширины 2  вокруг
графика.
Определение 5(равномерной сходимости последовательности функций)
Последовательность fn(x) называется равномерно сходящейся к f(x) на
множестве A , если для любого  >0 при n>N все графики fn(x) при x из A
лежат внутри 2  -коридорчика O ( f ( x)) .
Следствие. При равномерной сходимости имеем для любого  >0 при n>N
f ( x)  f n ( x)   , x  A. Это следует из определения 2  -коридорчика
O ( f ( x))  ( x. y) : f ( x)    y  f ( x)   _ x  A , где лежат fn(x) при n>N
(рис.10а).
Т.е.
( f ( x)    f
n
,
( x)  f ( x)   _ x  A
что эквивалентно
f ( x)  f n ( x)   .
Пример . Последовательность xn сходится равномерно к 0 на (-1+a,1+a)
при 0<a<1 (рис.11) и не сходится равномерно на всей области сходимости
(-1,1](рис.12).
Теорема 11 (непрерывность предела равном. сход. последовательности
непр.функций)
Пусть последовательность fn(x) из непрерывных на отрезке[a,b] функций
равномерно сходится к f(x) на этом отрезке. Тогда f(x) непрерывна на [a,b].
Доказательство.
Пусть  >0. Рассмотрим сходящуюся к точке x0 из [a,b] последовательность
xm точек отрезка : lim x m  x0 . Из-за равномерной сходимости при n>N
m 
все графики fn(x) на отрезке лежат внутри 2  /3-коридорчика O ( f ( x)) .А
значит
f N 1 ( x)  f ( x)   / 3, x  [a, b]. Но fN+1(x) непрерывна в x0. Поэтому
подстановкой получим lim f N 1 ( x)  f N ! ( x0 ). Поэтому при x  x0   будет
x  x0
f N ! ( x)  f N 1 ( x0 )   / 3. Рассмотрим теперь
модуль _ суммы
f ( x0 )  f ( x)  f ( x0 )  f N 1 ( x0 )  f N 1 ( x0 )  f N ! ( x)  f N ! ( x )  f ( x)

f N ! ( x0 )  f ( x0 )  f N ! ( x0 )  f N ! ( x)  f n ! ( x)  f ( x)   / 3   / 3   / 3   _  x  x0   .
(первый и последний модули меньше  /3 -из-за равномерной сходимости,
средний- из-за непрерывности функции fN+!(x))
А это есть определение lim f ( x)  f ( x0 ). Т.е. предел для f(x) при x,
x  x0
стремящемся к x0 , вычисляется подстановкой, что доказывает ее
непрерывность в x0, в качестве которой была взята любая точка отрезка.
Теорема 12 (интегрирование равном. сход. последовательности)
Пусть последовательность fn(x) из непрерывных на отрезке[a,b] функций
равномерно сходится к f(x) на этом отрезке.
Тогда
b
lim 
n  a
b
f n ( x)dx   f ( x)dx.
a
Доказательство.
По теореме 11 f(x) непрерывна, fn(x) непрерывны по условию. Значит все
они интегрируемы на отрезке. По следствию из определения равномерной
сходимости получаем для любого  >0 при n>N
f ( x)  f n ( x) 
b
 f ( x)  f
n

, x  [a, b]. Оценим
ba
оценка _ интеграла b
( x)dx

a

a

ba
(b  a )   . Это и означает
нер  во _ для _ равн. _ сход. b

f ( x)  f n ( x) dx

a b  adx 
b
lim 
n  a
b
f n ( x)dx   f ( x)dx.
a
Теорема 13 (связь дифференцируемости с равномерной сходимостью)
Пусть fn(x) непрерывно дифференцируемы и сходятся к f(x) на отрезке
[a,b].
Пусть кроме того последовательность производных f n  (x) равномерно
сходится к g(x) на отрезке[a,b] .
Тогда f(x) дифференцируема на отрезке и f ( x)  g ( x).
Доказательство.
Имеем по формуле Ньютона-Лейбница
x

(*) f n ( x)   f n (t )dt  f n (a) _ x  [a, b].

f n (t ) _ сходятся равномерно на [a,x]так же,
a
как на [a,b] потому, что «коридорчик» ширины 2  вокруг графика f(x) на
[a,x]есть часть «коридорчика» ширины 2  вокруг ее графика на [a,b] (рис.13).
По
x
x
a
n  a
теореме 12 получим  g (t )dt  lim  f n (t )dt .Кроме того, по условию
lim f
n 
n
( x)  f ( x).
Используя все это, перейдем к пределу в (*) при n   . Получим
x
f ( x)   g (t )dt  f (a). Т.к. g(x) непрерывна по теореме 11, то по теореме о
a
существовании первообразной
x
 g (t )dt, _ а также
отличающаяся на константу
a
f(x) будут первообразными для g(x) и поэтому f ( x)  g ( x).
Примеры.
1. lim x n  0 . Функции непрерывны и сходимость равномерная на
n
[0,1-a](рис.12)
Поэтому
1 a
n
 x dx 
lim
n 
0
n
n
 x dx  lim
n 
0
n
2. lim
n
 xn

 n
x
0
n
 0dx  0 по теореме 12. Проверим это.
0
1 a
lim
1 a
n 1
x
n 1
1 a
0
 lim
n 
(1  a) n1 0
  0, как и следовало ожидать.
n 1

на [0,1-a].


  nx n 1 / n  x n 1  непрерывны и сходятся равномерно к 0 на

[0,1-a] (рис.12). Поэтому по теореме 13 имеем 0  0. Ничего необычного!
Сформулируем теперь понятие равномерной сходимости и аналогичные
теоремы для рядов.
Теорема 12.1 (интегрирование равном. сход. ряда)


Пусть ряд
fn(x) из непрерывных на отрезке[a,b] функций равномерно
1
сходится к f(x) на этом отрезке.
Тогда

b
1
a

b
f n ( x)dx   f ( x)dx.
a
Доказательство. Частичные суммы ряда непрерывны на отрезке вместе с
членами ряда и равномерно по определению сходятся к f(x).
Поэтому по теореме 12 об интегрировании равномерно сходящейся
последовательности получим
b

линейность _ интеграла
опр.суммы _ ряда
N b
f ( x)dx  lim   f n ( x)dx


lim   f n ( x)dx
b N
N  a
a
 b
 f
1
a
n
1
( x)dx. Теорема доказана.
N 
1
a
Теорема 13.1 (связь дифференцируемости суммы ряда с равномерной
сходимостью)

f
Пусть ряд
n
( x ) из непрерывно дифференцируемых функций сходится
1
к f(x) на отрезке [a,b].
Пусть кроме того ряд из производных



f n ( x) равномерно сходится к
1
g(x) на отрезке[a,b] .
Тогда f(x) дифференцируема на отрезке и f ( x)  g ( x).
Доказательство.
Частичные суммы ряда непрерывны на отрезке вместе с членами ряда и по
определению сходятся к f(x).
Кроме того частичные суммы ряда из производных, являющиеся
производными частичных сумм членов ряда , непрерывные вместе с
производными, сходятся к g(x) равномерно.
Поэтому по теореме 13 о дифференцировании такой последовательности
получим
N
f ( x)  lim ( f n ( x))
N 
1
линейность _ производной

N
lim 
N 

опред.суммы _ ряда

f n ( x)
1

f

n
1
Теорема доказана.
Теорема 14(достаточное условие равномерной сходимости
последовательности) Пусть f ( x)  f n ( x)  M n _ x  A _ и _ lim M n  0,
n
то последовательность  f n (x)_ равномерно сходится к f(x) на A.
Доказательство.
Т.к. Mn- бесконечно малая, то   0 при n>N будет 0  M n   . Тогда
f ( x)  f n ( x)  M n   _ x  A _ и _ n  N. Это значит, что при n>N все графики
находятся внутри 2  «коридорчика» ( x, y) : x  A, y  f ( x)   . А это и есть
равномерная сходимость.
Определение 6.(равном. сходимость функционального ряда)
( x)
Функциональный ряд

f
n
( x ) называется равномерно сходящимся на
1
множестве , если на этом множестве равномерно сходится
N
последовательность его частичных сумм S N ( x)   f n ( x). .
1
Теорема 15(достаточное условие равномерной сходимости ряда)

Пусть f n ( x)  с n _ x  A, _ n  1,2,... _ и _  c n
1
сходится.
Тогда ряд

f
n
( x ) _ равномерно сходится на A.
1
Доказательство.
Для фиксированного x0 по непредельному признаку сравнения сходится



f
f n ( x0 ) . Значит
n
( x0 )  f ( x0 ) сходится абсолютно для любого x0 из A.
1
1
Далее, т.к. ряд

с
 c сходится, то его «остаток» RN=
n
1
N

c
N 1
n

N
1
1
c
  cn   cn
1
n
c
c  c  0 - бесконечно малая.

N 
N
Рассмотрим теперь частичные суммы SN(x)=  f n ( x). Тогда
1
f ( x)  S N ( x) 

f
1
N
n
( x)   f n ( x) 
1

f
N 1

n
( x)  
N 1
f n ( x)  c n 
f n ( x)

cn  RN  0

N 1
N 
Это значит, что по теореме 14 частичные суммы функционального ряда
сходятся равномерно и сам ряд равномерно сходится на A по определению.
Теорема 16(почленное интегрирование функционального ряда)

sin( nx)
сходится равномерно на всей прямой по достаточному
n2
1

sin nx
1
1

_

x
условию равномерной сходимости, так как
и
ряд

2
2
2
n
n
1 n
Пример. Ряд

сходится как ряд Дирихле с показателем 2, большим 1.
1.3Степенные ряды. Радиус сходимости, формула для него. Почленное
интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
Определение 6.(степенного ряда)
Функциональный ряд вида

a
n 0
n
( x  x0 ) n называется степенным рядом с
центром x0 и коэффициентами an.
Замечание. Степенной ряд с центром x0 заменой y=x-x0 сводится к
степенному ряду

a
n
y n с центром 0. При этом сходимость в
0
соответствующих точках сохраняется, а область сходимости и равномерной
сходимости сдвигаются на x0 влево, если x0>0 и вправо, если x0<0.
В силу замечания далее будем изучать ряды с центром 0.
Найдем сначала область сходимости степенного ряда.
Теорема (Лемма Абеля)
Если ряд

a
n
x n сходится в точке b, то он и ряд из его производных
0

 na
n
x n 1 сходятся абсолютно во всех точках x  b .
1
Доказательство.

a b
Ряд
n
n
сходится, поэтому по необходимому признаку сходимости
0
lim a
n 
b  0, и существует номер Nтакой, что при n>N будет a n b  1
n
n
n
Т.е. при n>N будет an 
xn
1
bn
. Пусть x  b . Тогда по полученному неравенству
n
x
x
an x  n 
. _ Но _  1 по условию. Поэтому
b
b
b
n


0
n
x
сходится как
b
геометрическая прогрессия . Поэтому по непредельному признаку сравнения

a
N 1
n
x n сходится абсолютно, а с ним сходится и отличающийся на N
слагаемых ряд

a
N 1
n
x n при x  b .
Для ряда из производных имеем оценку члена при n>N
n an x
n 1
n
x n 1
bn
n
x n 1
x
. _ Но _  1. Поэтому
n
b
b
Даламбера, так как
lim
n 

n
1
x n1
сходится по признаку
bn
(n  1) x
x
 1  q  1 Поэтому по непредельному
n b
b

признаку сравнения  na n x n 1 сходится абсолютно, а с ним сходится и
N 1
отличающийся на N слагаемых ряд

 na
N 1
n
x n 1 при x  b .
Следствие 1 Область сходимости степенного ряда с центром 0 есть
интервал
интервал (-R, R) и, может быть его концы(R может быть 0 или
бесконечностью). Действительно, область сходимости вместе с каждой своей
точкой x содержит симметричный относительно 0 интервал (-x,x). Поэтому
она есть объединение бесконечного числа симметричных относительно 0
интервалов, которое есть такой же симметричный интервал (-R, R) и, может
быть, его концы, если они входят в область сходимости(см. рис.14) .
Из результата для ряда из производных следует, что его область
сходимости есть тот же интервал и, возможно уже другие его концы.
Заметим, что ряд
x
an
 n  1x
n 1
dx имеет ту же область сходимости, что и исходный ряд,
0
кроме.может быть точек  R , так как исходный ряд есть ряд из его
производных.
Следствие 2. Пользуясь замечанием к определению степенного ряда
с центром x0

a
n 0
n
( x  x0 ) n область сходимости для него и ряда из его
производных получается сдвигом
на x0 интервала (-R,R) , где радиус сходимости для

a
n 0
n
x n Это будет
интервал (x0 -R, x0+ R) и, может быть его концы, возможно, разные для
самого ряда и ряда из производных.
Следствие 3. На любом отрезке [c, d ]  ( R, R) ряд

a
n
x n и ряд из его
N
производных

 na
n
x n 1 сходятся равномерно при некотором N .
N
Доказательство этого следствия. Возьмем b : _ m  max c , d   b  R,
m
 1.
b
(рис.15)
.
По определению общего радиуса сходимости оба ряда сходятся в b.
Поэтому для них верны при n>N оценки из доказательства теоремы
an x 
n
xn
bn
n
n
x n1
x
m
m n1
m
n 1


. n an x  n n  n n . _ Но _  1 . Поэтому так же
b
b
b
b
b
показываем сходимость рядов


0
n
m
и
b
m n1
1 n b n . Из этого и приведенных

Оценок по достаточному признаку равномерной сходимости рядов получим
равномерную сходимость ряда

a
n
x n и ряда из его производных
N

 na
n
x n 1
N
при некотором N.
Определение 7. Если область сходимости для ряда

a
n 0
n
( x  x0 ) n есть
интервал (x0 -R, x0+ R) и, может быть его концы, то R называется радиусом
сходимости, а интервал (x0 -R, x0+ R) называется интервалом сходимости.
Теорема 16(вычисление радиуса сходимости).
Пусть существует
lim
n 

an
 R  число или бесконечность. Тогда ряд  a n x n
a n 1
0
сходится при
x  R, расходится при x  R, при x   R могут быть любые варианты,
требуется отдельное исследование.
Доказательство.
Рассмотрим ряд из модулей

a
x . При x  0 члены этого ряда
n
n
0
положительны. Поэтому при каждом фиксированном применим признак
Даламбера. Он дает
lim
a n 1 x
n 
an x
n 1
n
 x lim
n 
a n 1

an
x
lim
n 
R  
x
R
 q (при
будет q=0)
По Даламберу ряд сходится при q  1, _ т.е. _ при _
R  
an
a n 1

x
R
 1 _ или _ x  R (при
сходимость на всей прямой)
Аналогично ряд расходится при q  1, _ т.е. _ при _
x
R
 1 _ или _ x  R (при R=0
ряд сходится только в 0)
Теорема доказана.
Следствие 1. Область сходимости для ряда с центром в 0 является
интервалом (-R,R) и ,возможно, содержит его концы.(При бесконечном R
это вся прямая, при R =0 это одна точка 0.)
Замечание. Есди
an
lim a
n 
не существует то область сходимости имеет тот же
n 1
вид . интервал ( -R, R) и, может быть его концы, только R находится
по-другому.
Теорема 17 (О дифференцировании и интегрировании суммы степенного
ряда внутри интервала сходимости)
Пусть ряд

a
n
x n  S (x) сходится при x  R
N
Тогда для любого отрезка
d

d

c
0
c
0
[c, d ]  ( R, R) _ имеем _  S ( x)dx   an  x n dx  
a n n1
(d  c n1 ),
n

n 1
и для любого x из интерт-вала сходимости S ( x)   a n nx .
1
Заметим, что любую точку с
x R
можно поместить в некоторый отрезок, целиком лежащий в интервале
сходимости. Тогда по следствию 1 и 3 теоремы 15
следует равномерная сходимость самого ряда и ряда из производных,
начиная с некоторого номера N, на любом отрезке из интервала сходимости.
Отсюда по теоремам 3, 12.1, 13.1 получим
1 _ слаг.  линейность,2  равн.сход.  d

 an  x n dx.
 S ( x)dx    an x   an x dx
d

d N
n
с
c
n
N 1
0
0
c
1 _ слаг.  линейность,2  е  равн.сход. N

S ( x)  ( a n x   a n x )

 an nx n1   an nx n1 .

N
n
0
n
N 1
1
1
Следствие. Сумма степенного ряда имеет в интервале сходимости
производные любого порядка, получающиеся почленным
дифференцированием.
Действительно, первая производная суммы получается почленным
дифференцированием и представляет собой степенной ряд с тем же
интервалом сходимости. Аналогично эта первая производная имеет
Производную . получающуюся ее почленным дифференцированием, и,
значит двукратным почленным дифференцированием исходного ряда с тем
же интервалом сходимости и т. д. до бесконечности.
Т.е . n-ая производная суммы степенного ряда существует внутри
интервавла сходимости и получается n-кратным почленным
дифференцированием исходного ряда.
Пример 1. Найти область сходимости производную и первообразную
суммы ряда.
ln n * (n  1)
ln n * n
ln n
( x  1) n . R  lim
 lim
 1.
n ln( n  1)
n 
n  n * ln n
n 1 n

ln n
( 1) n . Это ряд Лейбница.
Интервал сходимости (0.2). При x=0 получаем 
n
1
ln n
ln n
1  ln n
 0. _(
) 
 0 _ при _ n  3. Значит с n=3 ряд сходится по
lim
n
n
n2
n

S ( x)  
признаку Лейбница , а следовательно и весь сходится по теор.3.
При x=2 получаем


1

1
n
ln n 1
ln n n
 при n>2.
(1) . . Это знакоположительный ряд.
n
n
n
расходится как ряд Дирихле с показателем 1. Значит, исходный ряд
1
расходится по непредельному признаку сравнения при n>2, а значит, по
теореме 3 расходится и весь.
Итак, область сходимости [0,2).
Найдем теперь производную и первообразную почленным
дифференцированием и интегрированием внутри интервала сходимости.


ln n
(( x  1) n )   ln n( x  1) n1 .
n 1 n
1
S ( x)  
x
x 
1
1
 S ( x)dx   
1

ln n
ln n
(t  1) n dt  
( x  1) n  C
n
n
(
n

1
)
1
Пример 2. Руководствуясь правилом вычисления n-ой производной суммы

степенного ряда S ( x)   a k x k , выведенным в следствии к теореме 17,
k 0
получим ряд для n-ой производной:

S ( n ) ( x)   a k (x k ) ( n ) 
k 0

  a k k (k  1)( k  2)...( k  n  1) x k  n  a n (n)! a n 1 (n  1)! x  a n  2 (n  2)( n  1) * ... * 3x 2  ...
k n

Подставивx=0, получим S ( n ) (0)   a k (x k ) ( n )
k 0
x 0
 a n * (n)! _  _ n  1,2,...
Отсюда
an 
S n (0)
.
(n)!
Мы видим, что коэффициенты степенного ряда находятся по значаениям
в 0 производных его суммы.
1.4 Ряды Тейлора.Достаточное условие сходимости.
Стандартные разложения Маклорена
Зададимся теперь обратной задачей.
Пусть S(x) бесконечно дифференцируема на (-R,R). Тогда можно
вычислить последовательность чисел
an 
S n (0)
.
(n)!
Определение 8. Пусть S(x) бесконечно дифференцируема на (-R,R).
Тогда
ряд


0
S n (0) n
.x
(n)!
называется рядом Маклорена для S(x) в точке x0=0.
Найдем условие сходимости ряда Маклорена к S(x) в некотором интервале
( , ).
Дадим аналогичное определение ряда Тейлора .
Определение 9. Пусть S(x) бесконечно дифференцируема на (x0-R, x0+R ).
Тогда
ряд


0
S n ( x0 )
.( x  x0 ) n
(n)!
называется рядом Тейлора для S(x) в точке x0.
Теорема 18. Пусть S(x) бесконечно дифференцируема на
( , ) _ и _ x  ( ,  ) _ и _  _ натурального _ n _ имеем _ S ( n ) ( x)  M
для одного и того же M.
Тогда ряд Маклорена в x0=0 сходится к S(x) на
( , ).
Доказательство.
В части 1 главе 4 была рассмотрена формула Маклорена для S(x), n раз
дифференцируемой на
( , ) :
S ( x)  Tn ( x)  Rn ( x), _ x  ( ,  ).
Здесь многочлен Маклорена
S ( k ) (0) k
Tn ( x)  
x
(k )!
k 0
n
для
каждого x является частичной суммой ряда Тейлора. Поэтому условием
сходимости ряда Маклорена к S(x) на
( , )
является стремление к 0 в этих точках остатка в формуле Маклорена
S ( x)  Tn ( x)  Rn ( x), _ x  ( ,  ).
Проверим это при наших условиях. Для этого запишем остаток в форме
Лагранжа и оценим его модуль:
S ( n 1) ( ) n 1
Rn ( x ) 
x
(n  1)!
условие _ на _ производные
n 1 x  
Mx
M n 1


0
(n  1)!
(n  1)!
n
как член сходящегося ряда
M n
0 (n)! .

В сходимости этого ряда можно убедиться по признаку Даламбера.
Действительно,
M n 1 (n)!

 lim
 0  q  1.
lim
n
n  ( n  1)! M
n  ( n  1)
Итак имеем
lim S
т 
n
( x)  Tn ( x)  0
на
( , )
.
Так как Tn(x) являются частичными суммами ряда Тейлора, то по
определению ряд Маклорена сходится к S(x) на
( , ).
Замечание. Аналогично, заменой х-x0=y сводя ряд Тейлора к ряду
Маклорена, получаем, что ограниченность одной константой всех
производных бесконечно дифференцируемой функции на интервале
(x0-R, x0+R ) является достаточным условием разложимости этой функции на
этом интервале в ряд Тейлора.
Примеры(стандартные разложения Маклорена)
1. S(x)=sinx имеет ограниченные производные на всей прямой:
S (0)  sin 0  0,
S ( x)  cos x, _ S (0)  1,
S ( x)   sin x, _ S (0)  0,
S ( x)   cos x, S (0)  1
Далее все производные и значения в 0 повторяются.
Имеем все четные производные в 0 равны0. Поэтому в ряде Маклорена
присутствуют только нечетные степени икса. Причем нечетные
производные в 0 поочередно равны +1 и -1.
Получим разложение с бесконечным радиусом сходимости
sin x  x 

x3 x5 x7
x 2n1 (1) n


 ...  
.
3! 5! 7!
n 0 (2n  1)!
2. Аналогично для S(x)=cosx
S (0)  cos 0  1,
S ( x)   sin x, _ S (0)  0,
S ( x)   cos x, _ S (0)  1,
S ( x)  sin x, S (0)  0.
Далее все производные и значения в 0 повторяются.
Имеем все нечетные производные в 0 равны0. Поэтому в ряде
Маклорена
присутствуют только четные степени икса. Причем четныве
производные в 0 поочередно равны +1 и -1.
Получим разложение с бесконечным радиусом сходимости
cos x  1 

x2 x4 x6
x 2 n (1) n


 ...  
.
2! 4! 6!
(2n)!
n 0
3 S(x)=ex.
Все производные
S(n)(x)=ex, S(n)(0)=1. На любом интервале
(-R,R) производные ограничены по модулю одним и тем же числом M=eR.
Поэтому ряд Маклорена сходится к ex на любом интервале (-R,R), а потому
также имеет бесконечный радиус сходимости и получаем в любой точке

x2 x3
xn

 ...  
.
2! 3!
0 (n)!
ex  1 x 
.
4.S(x)=ln(1+x) ,
x  1.
Воспользуемся здесь возможностью интегрирования степенного ряда.
x
1
dt.
1

t
0
ln( 1  x)  
По формуле для суммы геометрической прогрессии при знаменателе
t _ с _ t  1 _ имеем __

1
  (1) n t n . Радиус сходимости этого ряда 1 и там его
1 t
0
можно почленно интегрировать:

ln( 1  t ) 0   (1) n
x
0
t n1
n
x
0

  (1) n1
1
xn
.
n
Окончательно

ln( 1  x)   (1) n1
1
xn
x2 x3 x4
 x


 ....
n
2
3
4
5. S(x)=(1+x)a.
Имеем
S ( x)  a(1  x) a1 _ и _ выполнено соотношение
S ( x)(1  x)  a(1  x) a  aS ( x).
С другой стороны, верна
Лемма 1
Если функция f(x) удовлетворяет соотношению
(***) f ( x)(1  x)  af ( x), и f ( x)  0, _ x  1, то
f ( x)  (1  x) a  C  S ( x)  C .
Доказательство
f ( x)
a

,
f ( x) 1  x
ln( f ( x))  ln(( 1  x) a ).
И в силу свойств первообразных
f ( x)  (1  x) a  C  S ( x)  C
Лемма доказана.
Напишем ряд Маклорена для S(x) и назовем его f(x).
Имеем
S (0)  1,
S ( x)  a(1  x) a 1 _ и _ S (0)  a,
S ( x)  a(a  1)(1  x) a 2 _ и _ S (0)  a(a  1),
S ( x)  a(a  1)( a  2)(1  x) a 3 _ и _ S (0)  a(a  1)( a  2),
…………………
S ( n ) ( x)  a(a  1)( a  2) * ... * (a  n  1)(1  x) a n _ и _ S ( n) (0)  a(a  1)( a  2) * ... * (a  n  1),
…………………

И положим f ( x)  1  
1
a (a  1) * ... * (a  n  1) n
x .
(n)!
Осталось показать, что f(x)=S(x) на общем интервале сходимости.
Заметим сначала , что S(x) определена при
x  1.
Максимальный симметричный относительно 0 интервал, принадлежащий
этой области есть (-1,1). Покажем, что это будет интервал сходимости для
f(x), т.е. радиус сходимости соответствующего ряда равен 1.
Действительно,
lim
n
an
a(a  1) * ... * (a  n  1)( n  1)!
n 1
n
 lim
 lim
 lim  1.
an1
(n)! a(a  1) * ... * (a  n)
n
n a  n
n n
Покажем теперь, что наша f(x) удовлетворяет соотношению (***)
в интервале сходимости (-1.1).
Найдем для этого ее производную по правилу дифференцирования рдов
и подставим ее в левую часть соотношения.
a (a  1) * ... * (a  n  1) n
x .
(n)!
1

a(a  1) * ... * (a  n  1)n n 1  a(a  1) * ... * (a  n  1) n 1
f ( x)  
x 
x .
(n)!
(n  1)!
1
1

f ( x)  1  
Далее, левая часть(***) равна

f ( x)(1  x)  (
1
a (a  1) * ... * (a  n  1) n 1
x )(1  x) 
(n  1)!

a(a  1) * ... * (a  n  1) n 1
a(a  1) * ... * (a  n  1) n 1
 (
x )1  (
x )* x
(n  1)!
1
1

a(a  1) * ... * (a  k ) k  a(a  1) * ... * (a  n  1) n

x 
x
(k )!
(n  1)!
0
1

в _ 1 _ сумме _ выпишем _ k  0 _ и _

.
a(a  1) * ... * (a  k ) k  a(a  1) * ... * (a  n  1) n
a
x 
x
(k )!
(n  1)!
1
1

в _ 1 _ сумме _ k  n  1

.
в _ 1 _ ряде _ положим _ k  n _

.
сложим _ коэф. _ при _ x n _
a(a  1) * ... * (a  n) n
a(a  1) * ... * (a  n  1) n
a
x 
x

.
(n)!
(n  1)!
1
1


a
1


a (a  1) * ... * (( a  n)  n) n
a(a  1) * ...(a  n  1)
x  a (1  
)  af ( x).
(n)!
(n)!
1
Итак,
f ( x)(1  x)  af ( x),
И, следовательно, по лемме 1
f ( x)  (1  x) a  C
Найдем С.
f (0)  (1  0) a  C  С  1.
С другой стороны

f(0)= f ( x)
x 0
 1 
1
a(a  1) * ... * (a  n  1) n
x
(n)!
1=C+1.
Значит С=0. И

(1  x)   1  
1
при
x  1.
a(a  1) * ... * (a  n  1) n
x
(n)!
x 0
 1  0  1.