Российская Федерация

Российская Федерация
Министерство путей сообщения
ГОУ ВПО “Дальневосточный государственный
университет путей сообщения МПС России”
Кафедра “Высшая математика”
Л.Н. Гамоля Г.П. Кузнецова Л.В. Марченко
ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Рекомендовано
Дальневосточным региональным
учебно-методическим центром в качестве учебного пособия
для студентов вузов региона
Хабаровск
Издательство ДВГУПС
2004
Рецензенты
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
“Математические методы и информационные технологии”
Дальневосточной академии государственной службы
С.А. Луковенко
Кафедра “Математический анализ” Хабаровского государственного
педагогического университета (заведующий кафедрой кандидат физикоматематических наук,
доцент В.А. Казинец)
Гамоля, Л.Н. Интегральное исчисление функции одной переменной:
Г
Учеб. пособие / Л.Н. Гамоля, Г.П. Кузнецова, Л.В. Марченко. –
186
Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. – 102 с.: ил.
Учебное пособие соответствует государственному образовательному
стандарту дисциплины “Высшая математика” для технических
специальностей вузов.
Работа представляет собой курс интегрального исчисления функции
одной переменной, начиная с понятия неопределенного интеграла и
заканчивая приложениями и методами приближенного вычисления
определенного интеграла.
Рассмотрены основные теоремы математического анализа, даны
примеры с решениями и задания для самостоятельной работы.
Предназначено для студентов первого курса нематематических
специальностей вузов всех форм обучения, изучающих дисциплину
“Высшая математика”. Может быть рекомендовано преподавателям для
использования на практических занятиях.
ГОУ ВПО “Дальневосточный государственный университет путей
сообщения МПС России” (ДВГУПС), 2004
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ТАБЛИЦА
ИНТЕГРАЛОВ
2.1. Таблица основных интегралов
2.2. Простейшие правила интегрирования
3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
3.1. Метод интегрирования по частям
3.2. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в
знаменателе
3.3. Интегрирование рациональных дробей
3.4. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
3.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций
3.6. Интегрирование дифференциального бинома
3.7. Интегрирование выражений вида
. Подстановки
Эйлера
3.8. Обзор методов интегрирования
4. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
4.1. Вычисление площади криволинейной трапеции.
4.2. Вычисление пути, пройденного материальной точкой
5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
5.1. Основное определение
5.2. Условия существования определенного интеграла
6. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ
ПРЕДЕЛОМА
8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
8.1. Формула Ньютона–Лейбница
8.2. Замена переменной в определенном интеграле
8.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле
9. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
9.1.Интегралы с бесконечными пределами
9.2. Интегралы от неограниченных функций
10. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
10.1. Вычисление пределов сумм с помощью определенного интеграла
10.2. Вычисление средних значений функции
10.3. Вычисление площади в декартовых координатах
10.4. Вычисление площади в полярных координатах
10.5. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в
параметрическом виде.
10.6. Вычисление длины дуги кривой
10.7. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных
сечений
10.8 Вычисление объема тела вращения
10.9. Вычисление площади поверхности вращения
10.10. Вычисление некоторых физических и механических величин с
помощью определенного интеграла
11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
11.1. Метод прямоугольников
11.2. Метод трапеций
11.3. Метод Симпсона
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Библиографический СПИСОК
ВВЕДЕНИЕ
Сложно представить современный мир и современную науку без
математики, роль которой со временем будет только возрастать. Задача
данного пособия – помочь в освоении базовых разделов
математического анализа будущему специалисту, научить применять
полученные знания в практической работе.
В пособии дано систематическое изложение раздела математического
анализа “Интегральное исчисление функции одной переменной” в
объеме, соответствующем государственным образовательным
стандартам высшего профессионального образования по техническим
специальностям.
Теоретический материал каждого раздела, содержащий важнейшие
определения и теоремы математического анализа, сопровождается
большим количеством задач и примеров с подробным решением.
Такое изложение позволяет преподавателю на лекциях и практических
занятиях уделить больше внимания содержательным вопросам, а
студентам дает возможность самостоятельно разобраться в решениях
стандартных задач. Особенно полезной такая форма изложения будет
студентам ИИФО.
В пособии приведены упражнения для самостоятельной работы.
Несмотря на то что эти примеры отражают основные темы курса
интегрального исчисления, студентам рекомендуется не ограничиваться
этим набором, а обращаться к задачникам из приведенного
библиографического списка.
Настоящее учебное пособие написано на основе опыта преподавания
высшей математики студентам Дальневосточного государственного
университета путей сообщения.
Авторы надеются, что усвоение данного раздела математического
анализа поможет студентам в изучении других разделов математики, а
также общеинженерных и специальных дисциплин.
1. ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ И НЕОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Во многих задачах науки и техники приходится восстанавливать
функцию по известной производной. Зная закон изменения пути с
течением времени
, мы можем найти сначала скорость
,
а затем и ускорение
. На практике, однако, часто приходится
решать обратную задачу: ускорение задано как функция от времени ,
то есть
, требуется определить скорость
и пройденный путь
в зависимости от . Таким образом, нужно по функции
восстановить функцию
затем, зная функцию
производной будет
Определение. Функция
, для которой
, найти функцию
является производной, а
, для которой
.
называется первообразной для функции
на заданном промежутке, если на этом промежутке функция
непрерывна, и в каждой внутренней точке промежутка справедливо
равенство
.
Отыскание для функции всех ее первообразных называется
интегрированием и составляет одну из задач интегрального исчисления.
Следующая теорема позволяет свести нахождение всех первообразных
данной функции к отысканию одной их них.
Теорема 1. Если функция
имеет на промежутке первообразную
, то и все функции вида
будут для нее
первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная
для функции
может быть представлена в виде
, где
– одна из первообразных функций, а
произвольная постоянная.
–
Доказательство. По определению первообразной имеем
Учитывая, что производная постоянной равна нулю, получаем
. Это и означает, что
является первообразной для
.
Покажем теперь, что если функция
задана на некотором
промежутке и
– одна из ее первообразных, то
представлена в виде
может быть
.
В самом деле, по определению первообразной имеем
и
.
Но две функции, имеющие на промежутке равные производные,
отличаются друг от друга лишь на постоянное слагаемое. Значит,
, что и требовалось доказать.
Учитывая важность множества всех первообразных функций, для него
ввели специальное название и обозначение.
Определение. Совокупность всех первообразных для функции
на заданном промежутке называется неопределенным интегралом этой
функции и обозначается
.
Функция
называется подынтегральной функцией, а произведение
– подынтегральным выражением.
.
Часто говорят: “взять неопределенный интеграл” или “вычислить
неопределенный интеграл”, понимая под этим следующее: найти
множество всех первообразных для подынтегральной функции.
Пример. Пусть
, тогда одной из первообразных будет
, и, как не трудно видеть, неопределенный интеграл этой
функции
.
Равенство легко проверить обратным действием –
дифференцированием:
.
2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА. ТАБЛИЦА
ИНТЕГРАЛОВ
Остановимся первоначально на двух свойствах неопределенного
интеграла, следующих из определения.
Свойство 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению, а производная неопределенного
интеграла равна подынтегральной функции
.
Доказательство. Так как
, где
, то
.
Но тогда
.
Свойство 2. Неопределенный интеграл от производной некоторой
функции равен сумме этой функции и некоторой произвольной
постоянной:
.
Доказательство. Так как
, то по определению
неопределенного интеграла
доказать.
Учитывая, что
, что и требовалось
, свойство (2) можно записать в виде:
.
2.1. Таблица основных интегралов
Пользуясь свойством 1 и обращаясь к формулам для производных
основных элементарных функций, можно составить таблицу основных
интегралов.
Например, из формулы
Формулу
получаем
.
лучше переписать в виде
откуда получаем
,
.
Аналогично
пишут просто
,
.
Неопределенный интеграл – это множество всех первообразных
подынтегральной функции, то есть выбор определенной первообразной
неоднозначен. Известно, что
.
Из формулы
, поэтому
(2.1)
вытекает, что
.
(2.2)
На первый взгляд кажется, что эта формула противоречит предыдущей.
Но это не так: на основании формулы
следует, что
, где
.
Итак, дело в том, что в правых частях равенств (2.1) и (2.2)
произвольные постоянные различные. Такое различие формы ответов
бывает и в других примерах неопределенных интегралов. Естественно,
что при решении задач из двух формул (2.1) и (2.2) надо выбрать какуюто одну, например, (2.1). Для основных элементарных функций можно
составить таблицу интегралов:
1)
;
2)
3)
;
, на любом промежутке, на котором х
4)
;
5)
;
6)
7)
8)
9)
;
;
;
;
0;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
.
2.2. Простейшие правила интегрирования
Рамки приведенной выше таблицы интегралов раздвигаются при
помощи правил интегрирования. Рассмотрим некоторые из них.
1. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного
интеграла:
(2.3)
Доказательство. Продифференцировав правую часть равенства,
получим
.
Таким образом, дифференциал правой части доказываемого равенства
равен подынтегральному выражению левой части, а это и означает
справедливость формулы (2.3).
2. Если существуют интегралы
и
, то неопределенный
интеграл суммы (разности)
равен сумме (разности)
неопределенных интегралов от этих функций:
.
(2.4)
Доказательство. Продифференцируем правую часть равенства (2.4):
Мы получили подынтегральное выражение неопределенного интеграла,
стоящего в левой части равенства (2.4), откуда и следует
справедливость утверждения.
Замечание. В эти две формулы входят неопределенные интегралы,
содержащие каждый произвольное постоянное слагаемое. Равенства
подобного типа понимаются в том смысле, что разность между правой и
левой частями его есть постоянная. Можно понимать эти равенства и
буквально, но тогда один из фигурирующих в них интегралов перестает
быть произвольной первообразной: постоянная в нем устанавливается
после выбора постоянных в других интегралах. Это важное замечание
следует иметь в виду и впредь.
3. Если существует
, то
Особенно часто встречаются случаи, когда
,
.
или
:
.
4. Если подынтегральное выражение можно представить в виде
, то можно использовать замену переменной.
Подстановка
сводит исходный интеграл к интегралу вида
.
Применение рассмотренных правил дает возможность представить
данный интеграл в виде суммы табличных интегралов, после чего
произвести почленное интегрирование и написать общий ответ.
Примеры. Вычислить неопределенные интегралы:
1)
2)
3)
;
4)
.
Записав единицу, стоящую в числителе, как тригонометрическую, то есть
, разделим числитель почленно на знаменатель,
получим:
5)
.
Преобразуем числитель, прибавив к единице
получим
6)
и отняв
, тогда
.
Если подынтегральное выражение представляет собой дробь, то
следует проверить, не является ли числитель производной знаменателя.
Если это условие выполнено, то можно ввести замену переменной,
полагая этой новой переменной знаменатель дроби.
В данном примере
, поэтому домножив числитель на 2,
можно свести интеграл к табличному:
.
Поскольку формулы интегрирования не зависят от наименования
переменной, то можно было не вводить переменную , а оперировать с
переменной (
7)
);
.
Сравнивая данный интеграл с табличным
, можно заметить, что в
табличном интеграле показатель степени является переменной
интегрирования. Поэтому следует принять за новую переменную
показатель степени
, тогда
, и интеграл
,
примет вид
.
3. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
3.1. Метод интегрирования по частям
К сожалению, не существует формулы, выражающей интеграл от
произведения функций через интегралы от сомножителей. С этим
связано то обстоятельство, что в отличие от производных интеграл от
элементарной функции не всегда является элементарной функцией.
Например, интегралы
и
– табличные, тогда как интеграл
не выражается через основные элементарные функции.
Для того чтобы найти интеграл от произведения некоторого класса
функций, таких как
,
,
,
,
,
и других, рассмотрим прием интегрирования, обратный приему
дифференцирования произведения двух функций.
Пусть
и
производные
функций
– две функции, имеющие непрерывные
и
и
. Найдем дифференциал произведения
:
.
Вычислив неопределенные интегралы от обеих частей этого равенства,
получим
. Так как
, то получаем
,а
, откуда
.
Поскольку
уже содержит произвольную постоянную, в правой части
полученного равенства можно опустить и записать равенство в виде
(3.1)
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.
Этой формулой обычно пользуются в том случае, когда
подынтегральное выражение
проще, чем подынтегральное
выражение
.
Заметим, что одно и то же подынтегральное выражение можно
различными способами записать в виде
. Например,
и так далее. Поэтому
иногда приходится испытывать различные формы такой записи, прежде
чем метод приведет к успеху. Обычно стараются подынтегральное
выражение разбить на части и
так, чтобы вид был не сложнее,
чем вид , а вид проще, чем вид . В частности, полезно иметь в
виду, что для таких функций, как
, производные имеют вид более
простой для интегрирования, чем сами функции. Поэтому в большинстве
случаев эти функции удобно принимать за .
Примеры. Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по
частям.
1. Вычислить
.
Решение:
.
2. Вычислить
Решение:
.
3. Вычислить
.
Решение:
Любопытный пример представляют интегралы, в которых после
применения формулы (3.1) и преобразований в правой части получается
исходный интеграл, но с другим коэффициентом. Тогда, приводя
подобные члены, можно прийти относительно первого интеграла к
алгебраическому уравнению, решая которое получим результат. К таким
интегралам относятся, например:
.
Примеры
1. Вычислить
Решение:
.
,
,
Обозначим
, тогда получим уравнение
.
Решая его, получаем
таким образом,
и
,
.
2. Вычислить
.
Решение:
(еще раз применим формулу (3.1))
;
и
.
.
3.2. Интегрирование выражений, содержащих квадратный
трехчлен в знаменателе
Рассмотрим методику вычисления интегралов типа
.
Вычислим вначале
.
С этой целью преобразуем знаменатель дроби:
и
таким образом
.
В зависимости от знака В последний интеграл является табличным (№16
или 17).
Вычисление
осуществляется по той же методике, но в
результате линейной подстановки
, в зависимости от знака
коэффициента , приходим к табличным интегралам №18 или 19.
Примеры
1. Вычислить
Решение:
2. Вычислим
Решение:
3.3. Интегрирование рациональных дробей
Рассмотрим рациональные функции, интегралы от которых выражаются
через элементарные функции.
Определение. Рациональной функцией или рациональной дробью
называется отношение двух многочленов:
.
Будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней.
Определение. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то
дробь называется правильной, а если степень числителя выше или
равна степени знаменателя, то дробь – неправильная.
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель по
правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде
суммы многочлена и некоторой правильной дроби:
;
где
– многочлен, а
Пример 1. Представить дробь
правильной дроби.
– правильная дробь.
в виде суммы многочлена и
Решение. Разделим числитель на знаменатель
получим
.
Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то
возникает вопрос об интегрировании рациональных дробей, каждая из
которых может быть представлена в виде алгебраической суммы
правильных дробей I, II, III и IV типов:
I тип:
;
II тип:
, где
III тип:
,
IV тип:
– натуральное число;
;
– натуральное число; корни знаменателя
,(
комплексные,
– числа).
Рассмотрим интегралы от простейших дробей:
I.
II.
.
,
.
При интегрировании дробей III и IV типов используется та же методика,
что и при интегрировании функций, содержащих квадратный трехчлен в
знаменателе. Для вычисления интегралов вида
возможно
применение рекуррентной формулы, указанной в таблице раздела 3.8.
Интегрирование произвольной правильной дроби основано на теореме
из курса алгебры.
Теорема. Каждая правильная дробь
, где
и
–
алгебраические многочлены, может быть представлена единственным
образом в виде суммы конечного числа простейших дробей.
Разложение правильной дроби на простейшие связано с разложением ее
знаменателя на простые множители. Как известно, каждый целый
многочлен с действительными коэффициентами разлагается, и притом
единственным образом, на множители типа
и
; при
этом квадратичные множители предполагаются не имеющими
действительных корней и, следовательно, неразложимыми на линейные
множители. Объединяя одинаковые множители и полагая для простоты
старший коэффициент многочлена
равным единице, можно
записать разложение этого многочлена схематически в виде
.
Тогда правильная дробь
может быть представлена в виде
Коэффициенты
можно определить методом
неопределенных коэффициентов. Написанное равенство есть
тождество, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим в
числителях тождественные многочлены справа и слева. Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений
для определения неизвестных коэффициентов
Пример. Разложить дробь
.
на простейшие.
Решение. На основании сформулированной теоремы имеем
.
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим
,
или
.
Сравнивая коэффициенты при
и
,
(свободный член), получим
систему уравнений для определения коэффициентов
Решая эту систему, найдем
;
;
.
В результате получаем разложение
.
Приведем алгоритм интегрирования рациональных дробей вида
.
1. Если данная дробь неправильная, то представляем ее в виде суммы
многочлена
и правильной рациональной дроби
2. Разлагаем знаменатель правильной дроби
множители.
.
на простые
3. Представляем правильную дробь в виде суммы простейших
рациональных дробей.
4. Производим вычисление интеграла с использованием
соответствующих методик интегрирования простейших дробей и
многочленов.
Пример. Вычислить
.
Решение. Подынтегральное выражение – неправильная дробь, поэтому
выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель.
Получим
.
Следовательно,
.
Разлагаем правильную дробь на простейшие:
.
Отсюда
или
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
систему
Решая ее, найдем
;
;
В результате дробь будет иметь вид
и
.
, составим
Вычисляем интеграл от простейшей дроби III типа. Для этого выполним
подстановку
,
,
.
Таким образом,
а данный интеграл
.
3.4. Интегрирование некоторых классов тригонометрических
функций
Рассмотрим интегралы вида
рациональная дробь относительно
и
, где
–
. Покажем, что этот
интеграл с помощью подстановки
рациональной функции. Выразим
всегда сводится к интегралу от
и
через
:
;
;
,
.
Таким образом,
,
и
выражаются рационально через .
Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, получим
интеграл от рациональной функции
.
Рассмотренная подстановка дает возможность свести всякую функцию
вида
к рациональной алгебраической дроби. Поэтому
подстановку иногда называют универсальной тригонометрической.
Однако на практике она часто приводит к слишком сложным
рациональным функциям, поэтому наряду с универсальной
подстановкой бывает полезно знать также другие подстановки, которые
быстрее приводят к цели.
1. Если интеграл имеет вид
приводит этот интеграл к виду
, то подстановка
,
.
2. Если интеграл имеет вид
, то он приводится к
интегралу от рациональной функции заменой
,
.
3. Если подынтегральная функция зависит только от
,
, то замена
приводит этот интеграл к интегралу от
,
рациональной функции
.
4. Если подынтегральная функция имеет вид
, но
и
входят только в четных степенях, то применяется подстановка
, так как
и
выражаются рационально через
:
,
,
.
После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции.
Примеры
1. Вычислить интеграл
.
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической
подстановкой
. Получим
2. Вычислить интеграл
.
Решение. Этот интеграл легко привести к виду
Действительно,
3. Вычислить интеграл
.
Решение. Введем замену
и выразим
.
:
Остановимся отдельно на интегралах вида
, где
и –
рациональные числа. Они интегрируются в элементарных функциях в
следующих случаях:
1) если
– нечетное положительное число, то применяется подстановка
;
2) если
– нечетное положительное число, то применяется подстановка
;
3) если
и – четные положительные числа, то применяется метод
понижения степени с помощью тригонометрических преобразований
,
4) если
или
;
;
– четное отрицательное число, то удобна подстановка
.
Примеры
1. Вычислить
.
Решение. Так как
тогда
5 – нечетное, то применим подстановку
и
,
2. Вычислить
.
Решение. Так как
4и
2 – четные положительные числа, то
применяем метод понижения степени:
.
К последнему интегралу применим формулу
,
.
Таким образом,
3. Вычислить
.
Решение. Здесь
поэтому применим подстановку
– четное отрицательное число,
,
,
,
следовательно,
Рассмотрим интегралы вида
,
,
.
Эти интегралы непосредственно вычисляются, если в них
подынтегральные функции преобразовать согласно формулам:
,
,
.
Пример. Вычислить
.
Решение:
3.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через
элементарные функции. Рассмотрим те функции, интегралы от которых с
помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных
функций и интегрируются в элементарных функциях.
1. Если под знаком интеграла стоит рациональная функция от дробных
степеней независимой переменной , то есть рассматривается
, то подынтегральная функция преобразуется в
рациональную функцию от с помощью подстановки
общий знаменатель дробей
:
Пример. Вычислить
.
Решение:
–
.
.
Общий знаменатель дробей
подстановку
,
, где
,
равен 12, поэтому выполняем
. Получим
Выразив из равенства
,
и подставив в полученный
результат, получим окончательный ответ
2. Если под знаком интеграла стоит рациональная функция от дробных
степеней выражения
, то есть
помощью подстановки
, то с
, где
– общий знаменатель дробей
, подынтегральная функция преобразуется в рациональную
дробь. Для нахождения
выполним преобразования: выразим
,
и
Пример. Вычислить интеграл
Решение. Выполним подстановку
тогда
.
.
,
,
,
3. Рассмотрим интеграл вида
.
Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с
помощью подстановки
, где
. Для нахождения
из равенства
– общий знаменатель дробей
необходимо предварительно выразить
. Поясним на примере.
Пример. Вычислить
.
Решение. Введем подстановку
,
, откуда
,
.
Следовательно,
.
Возвращаясь к переменной
, получим
и
3.6. Интегрирование дифференциального бинома
Выражение вида
называется дифференциальным
биномом, где
– любые постоянные, а показатели
–
рациональные числа. Выясним случаи, когда эти выражения
интегрируются в конечном виде.
Один такой случай ясен непосредственно: если – число
целое,то рассматриваемое выражение относится к типу, описанному в
подразд. 3.5. Пусть – дробное число, тогда, если через обозначить
наименьшее общее кратное знаменателей дробей
, то получим
выражение вида
подстановка
, для рационализации которого достаточна
.
Преобразуем исходное выражение с помощью подстановки
Тогда
.
.
Пусть
, тогда будем иметь
(3.2)
Если – целое число, то вновь приходим к выражению изученного вида.
Действительно, если обозначить через знаменатель дроби , то
преобразованное выражение имеет вид
. Рационализации
подынтегрального выражения можно достигнуть подстановкой
или
.
Перепишем второй из интегралов (3.2) так:
.
Если
– целое число, то также имеем изученный
случай: преобразованное выражение имеет вид
рационализируется подстановкой
, где – знаменатель дроби .
, которое
, или
Таким образом, оба интеграла (3.2) выражаются в конечном виде, если
оказывается целым одно из чисел
,
,
.
Эти случаи интегрируемости были известны еще Ньютону. Однако, лишь
в середине XIX века Чебышев установил замечательный факт, что
других случаев интегрируемости в конечном виде для
дифференциальных биномов нет. Все три случая интегрируемости
дифференциального бинома приведены в таблице подразд. 3.8.
Рассмотрим примеры.
Примеры
1. Вычислить
Решение. Преобразуем
, здесь
,
,
, так как
– целое число, то имеем второй случай
интегрируемости. Заметив, что
– знаменатель дроби
,
,
, положим
, тогда
.
2. Вычислить
.
Решение. Преобразуем
, здесь
– третий случай, так как
, отсюда
и
,
,
, тогда
, так что
,
и
Вернувшись к переменной
, получим окончательный ответ:
.
3.7. Интегрирование выражений вида
Эйлера
. Подстановки
Переходим к рассмотрению очень важного класса интегралов вида
.
Предполагаем, что квадратный трехчлен не имеет равных корней, так
что корень из него не может быть заменен рациональным выражением.
Изучим три подстановки, называемые подстановками Эйлера, с
помощью которых можно достичь рационализации подынтегрального
выражения.
Первая подстановка применима в случае, если
. Тогда полагаем
(можно ввести замену
есть знак выбирается в зависимости от конкретного примера).
Возводя это равенство в квадрат, находим
, то
.
Отсюда
;
;
.
Если полученные выражения подставить в подынтегральное выражение,
то вопрос сведется к интегрированию рациональной функции от . В
результате, возвращаясь к , нужно будет положить
.
Вторая подстановка применима, если
. В этом случае полагаем
(или
).
Если возвести в квадрат и выполнить преобразования, то получим
– уравнение первой степени относительно
;
. Отсюда
;
.
Подставив полученное значение в подынтегральное выражение, придем
к рациональной функции. Проинтегрировав и сделав обратную замену
, получим результат относительно переменной
Замечание 1. Случаи, рассмотренные выше (
и
), приводятся
один к другому подстановкой
. Поэтому можно избежать
использования второй подстановки.
Третья подстановка удобна в том случае, если квадратный трехчлен
имеет различные действительные корни и
этот трехчлен, как известно, разлагается на множители
. Тогда
.
Положим
. Возводя в квадрат и сокращая на
, получим
, отсюда
;
;
.
.
Замечание 2. Третья подстановка Эйлера, которую можно записать
, тождественна уже рассмотренной в подразд. 3.5
подстановке. Покажем теперь, что достаточно первой и третьей
подстановок Эйлера, для того чтобы осуществить рационализацию
подынтегрального выражения во всех возможных случаях.
Действительно, если трехчлен
имеет действительные корни,
то применима третья подстановка. Если же действительных корней нет,
то трехчлен
переменной имеет знак
подстановка, а в случае
значений.
при всех значениях
. В случае
применима первая
радикал не имел бы вещественных
Примеры
1. Вычислить
.
Решение. Поскольку
, то применим первую подстановку:
,
,
,
.
Если подставить вместо
, то получим
.
.
2. Вычислить
.
Решение. Воспользуемся второй подстановкой, так как
Полагаем
, тогда
.
и
,
.
Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, находим
3. Вычислить
.
Решение. Так как подкоренное выражение разлагается на множители, то
можно применить третью подстановку
Имеем
,
.
,
,
.
Для получения окончательного результата введем обратную замену
и получим
и
.
3.8. Обзор методов интегрирования
Представим ранее изложенные методы интегрирования в виде таблицы.
№
п/п
Вид интеграла
1
Метод интегрирования
Подстановка
Интегрирование по частям
.
Метод интегрирования по частям применяется,
например, к интегралам вида
2
– многочлен, а
функций:
;
;
;
, где
– одна из следующих
;
;
и т. п.,
а также к интегралам от произведений
показательной функции на косинус или синус
3
,
Подстановка
Применение рекуррентной формулы
4
Подынтегральную дробь представляют в виде
суммы простейших дробей
5
, где
–
правильная
рациональная дробь,
,
где
6
Приводится к интегралу от рациональной дроби
подстановкой
дробей
, где
– общий знаменатель
– рациональная
функция своих
аргументов.
Сводится к интегралу от рациональной дроби
подстановкой
, где
рациональная функция
своих аргументов
–
Подстановкой
интеграл приводится
к сумме двух интегралов:
8
Приводится к интегралу от рациональной
дроби подстановками Эйлера:
,
9
, где
– рациональная функция от
и
,
.
,
где
10
– корень трехчлена
Универсальная подстановка
.
Если
,
то подстановка
Если
.
,
то подстановка
.
Если
,
то подстановка
11
,
где
–
рациональные числа
(интеграл от
биноминального
дифференциала).
Интеграл от биномиального дифференциала
выражается через элементарные функции
только при выполнении одного из следующих
условий:
1) если
– целое число,
2) если
– целое число,
3) если
– целое число.
1-й случай
а) если
– целое положительное число, то
нужно раскрыть скобки
по биному
Ньютона и вычислить интегралы от степеней;
б) если
– целое отрицательное число, то
подстановка
, где – общий знаменатель
дробей
и , приводит к интегралу от
рациональной дроби;
2-й случай
если
– целое число, то применяется
подстановка
дроби ;
, где
3-й случай
– знаменатель
если
– целое число, то применяется
подстановка
знаменатель дроби
, где
–
Необходимо преобразовать произведение
тригонометрических функций в сумму или
разность, пользуясь одной из следующих
формул:
;
12
;
Если
– нечетное положительное, то
подстановка
.
Если – нечетное положительное, то
подстановка
.
,
13
где
и
– целые числа.
Если
– четное отрицательное, то
подстановка
.
Если
– четные неотрицательные, то
применяют формулы:
;
.
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
2. Укажите, каковы отличия первообразного и неопределенного
интеграла?
3. Пусть на некотором промежутке существует интеграл
ли утверждать, что существует интеграл
?
. Можно
4. Известно, что
. Найдите
при 0 <
х < 1.
5. Вычислите интегралы:
.
4. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ПОНЯТИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Определенный интеграл – одно из основных понятий математического
анализа – является мощным средством исследования в математике,
физике, механике и других дисциплинах.
4.1. Вычисление площади криволинейной трапеции.
Пусть на промежутке [a; b] задана функция f(x) 0. Криволинейной
трапецией называется плоская фигура, ограниченная указанной кривой y
= f(x), прямыми x = a, x = b и осью ОХ. (рис. 4.1). Для вычисления ее
площади проделаем несколько операций.
Рис. 4.1.
1. Разобьем промежуток [a; b] произвольными точками
на n частей. Положим
, то есть
есть длина i-го частичного отрезка, а
наибольшую из этих длин обозначим
,(
= max
.
2. На каждом отрезке [
возьмем по произвольной точке
и вычислим
Построим прямоугольник с основанием
и высотой f(
Его площадь равна
Проделаем это для каждого i = 1, 2, …, n.
3. Площадь всей заштрихованной ступенчатой фигуры, составленной из
прямоугольников, равна сумме
Площадь
криволинейной трапеции будет приближенно равна площади
ступенчатой фигуры:
Чем мельче отрезки деления, тем точнее полученная фигура
“отображает” криволинейную трапецию.
4. За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому
стремятся площади ступенчатых фигур, когда длины отрезков деления
стремятся к нулю, а их число неограниченно увеличивается
Таким образом,
(4.1)
4.2. Вычисление пути, пройденного материальной точкой
Пусть известен закон изменения мгновенной скорости
.
Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток
времени от
до
. Движение в общем случае предполагается
неравномерным. Поступим следующим образом.
1. Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов
, где
участке
. На произвольном
будем считать движение близким к равномерному с
постоянной скоростью
,
пройденный путь приближенно равен
для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).
Тогда за время
Результат справедлив
2. Если указанные интервалы достаточно малы, то весь путь
приближенно равен сумме
. Эта формула тем точнее, чем
мельче разбиение данного промежутка времени.
3. Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая
число дроблений
и бесконечно измельчая сами интервалы.
Обозначим
, тогда
(4.2)
.
К нахождению такого рода пределов как (4.1) и (4.2) приводит огромное
количество математических и прикладных задач. Это дает основание
для введения общего определения.
5. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
5.1. Основное определение
Пусть некоторая функция
задана при
. Разобьем
этот интервал на произвольных частей точками
и составим сумму, которая
называется интегральной суммой для функции
,
где
на отрезке [
]:
(5.1)
, а каждая точка
произвольно выбрана между
и
Пример. Рассмотрим функцию
, заданную на отрезке [0, 1].
Составим для нее интегральную сумму вида (5.1). Для этого разобьем
отрезок [0; 1] на 5 равных частей точками
За точки
точки каждого из отрезков, тогда
Составим интегральную сумму:
возьмем крайние левые
и т. д.
.
Если участок разбить на 10 частей, то получим интегральную сумму
если на 100 частей, то
Этот простой пример показывает, что интегральная сумма (5.1) меняется
в зависимости от числа элементарных участков, на которые разбивается
отрезок [a; b] и от выбора на каждом из них точки
длину наибольшего из отрезков:
. Устремим к нулю
.
Определение. Предел, к которому стремится интегральная сумма (5.1)
при
называется определенным интегралом от функции
на отрезке [a; b] и обозначается
.
(5.2)
Другими словами, если предел интегральной суммы в равенстве (5.2)
конечен и не зависит от способа разбиения [a; b] и от выбора точек
он называется определенным интегралом от
, то
на [a; b].
Геометрический смысл определенного интеграла. В подразд. 4.1
получено равенство (4.1), из которого следует, что если
, то
определенный интеграл численно равен площади S криволинейной
трапеции, ограниченной указанной кривой, прямыми
ОХ:
.
и осью
(5.3)
Используя соотношение (4.2) из подразд. 4.2, получим формулу для
нахождения пройденного пути:
5.2. Условия существования определенного интеграла
Определение. Функция
, для которой на отрезке [a; b] существует
определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.
Естественно возникает вопрос: при каких условиях функция
,
определенная на [a; b], интегрируема на этом отрезке? Не приводя
доказательств, рассмотрим эти условия.
Теорема 1. Если функция
непрерывна на отрезке [a; b], то она
интегрируема на этом отрезке.
Сформулируем и более общую теорему об интегрируемости.
Теорема 2. Если функция
ограничена на [a; b] и непрерывна на нем
всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом
отрезке.
6. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Будем предполагать, что все рассматриваемые ниже функции
интегрируемы на заданных промежутках.
Свойство 1.
.
(6.1)
Для доказательства составим интегральные суммы (5.1) в обоих случаях
с теми же точками деления. Они будут отличаться только знаком за счет
знаков
: слева
>0, справа
пределе получится нужное равенство.
Свойство 2.
.
<0. Значит, в
(6.2)
В этом случае отрезок интегрирования равен нулю и интегральная сумма
– тоже.
Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак
определенного интеграла: если
, то
.
(6.3)
Доказательство:
(см.(5.2)) =
=
=
Свойство 4. Определенный интеграл от алгебраической суммы
нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих
функций:
.
(6.4)
Доказательство предлагается провести самостоятельно, используя
равенство (5.2).
Свойство 5. Если отрезок [a; b] разбит точкой с на две части [a, c] и [c,
b], то
.
(6.5)
Доказательство. Составим интегральную сумму для
на [a; b]. Так
как предел этих сумм не зависит от способа разбиения [a; b] на части, то
рассмотрим только те разбиения, в которых точка с входит в качестве
точки деления. Тогда
,
где
– суммы, соответствующие отрезкам [a, c] и [c, b]. Переходя в
последнем равенстве к пределу при
соотношение (6.5).
, получим
Рис. 6.1.
Замечание. Свойство сохраняется при любом взаимном расположении
точек a, b, c. На рис. 6.1 дана геометрическая иллюстрация свойства 5
для случая, когда
и a < c < b: площадь трапеции aABb равна
сумме площадей трапеций aACc и cCBb.
Свойство 6. Если всюду на отрезке [a, b] функция неотрицательна
то
а если
то
Доказательство. В самом деле, любая интегральная сумма
для
на [a; b] неотрицательна, так как
Переходя к пределу в
неравенстве
Для случая
, получаем
на [a; b] доказательство аналогичное.
Геометрический смысл утверждения очевиден.
Следствие из свойств 5 и 6. Интегрирование в симметричных пределах
можно упростить, если воспользоваться формулами:
a)
, если
– четная функция;
б)
, если
– нечетная функция.
Эти утверждения наглядно иллюстрируются геометрически (рис. 6.2).
Рис. 6.2.
Свойство 7. (Интегрирование неравенств). Если на отрезке [a; b]
функции
и
удовлетворяют условию
.
, то
(6.6)
Доказательство. На отрезке [a, b] разность
свойству 6:
, тогда по
Применим затем свойство 4:
Отсюда следует неравенство (6.6).
Если
>0 и
>0 на [a; b], то свойство 7 иллюстрируется
геометрически (рис. 6.3). Так как
, то площадь криволинейной
трапеции
.
не больше площади
Рис. 6.3.
Свойство 8. (Оценка определенного интеграла). Если на отрезке [a; b]
функция удовлетворяет условию
интеграл удовлетворяет неравенству
, то определенный
(6.7)
Доказательство. Предварительно вычислим с помощью интегральной
суммы
По условию
используя свойство 7:
Проинтегрируем данное неравенство,
.
Затем, используя свойство 3 и только что полученный результат, имеем
Подставляя их в предыдущее неравенство, получим нужное неравенство
(6.7).
Если
, то свойство имеет простую геометрическую иллюстрацию
(рис. 6.4): площадь криволинейной трапеции aABb заключена между
площадями двух прямоугольников
Рис. 6.4.
Свойство 9. (Теорема о среднем). Определенный интеграл от функции
, непрерывной на отрезке [a; b], равен значению подынтегральной
функции в некоторой “средней” точке с промежутка интегрирования,
умноженному на длину этого промежутка:
(6.8)
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке
достигает своего наименьшего
и наибольшего
значений и
принимает все промежуточные значения между
и
В силу формулы (6.7), предположив, что a<b , имеем
:
.
Обозначим
тогда
По свойству непрерывных функций найдется значение
такое, что
,
Следовательно, из равенства
(6.9)
получим нужное соотношение (6.8).
Замечание. В выражении (6.9)
называют средним (средним
интегральным) значением функции
Геометрический смысл среднего значения
рис. 6.5. Значение
на отрезке
показан на
должно быть таким, чтобы площадь
прямоугольника
равнялась площади криволинейной
трапеции
Заметим, что теорема говорит о существовании
точки
,
но не дает способа ее нахождения.
Рис. 6.5.
Свойство 10. Абсолютное значение интеграла не превосходит
интеграла от абсолютного значения функции
Доказательство. Это неравенство получится, если для интегральной
суммы (5.1) записать, что абсолютное значение суммы не превосходит
суммы абсолютных значений
затем перейти к пределу.
(Подумайте, когда неравенство обращается в равенство?).
Пример 1. Оценить интеграл
,а
Решение. Так как функция
возрастает на [1; 2], то ее значения
заключены в пределах
.
Применяя затем соотношение (6.7), получим нужную оценку:
Пример 2. Оценить интеграл
Решение. Поскольку
.
, имеем
и по свойству 8
Это означает, что неизвестное значение определенного интеграла
заключено в пределах от
до
Отметим, что интегралы в обоих примерах “не берутся” в элементарных
функциях, поэтому вопрос об оценке является весьма актуальным.
7. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ
ПРЕДЕЛОМ
Понятие определенного интеграла, введенное в предыдущих разделах, а
также его свойства базируются на интегральных суммах. Если
оставаться в рамках этой теории, то вычисление всякого определенного
интеграла будет сводиться к вычислению некоторой суммы, а затем и к
поиску предела этой суммы. При этом возникает естественный вопрос:
почему некоторая сумма и совокупность первообразных, два ничем не
связанных понятия, обозначаются одним и тем же словом “интеграл”?
Ответом на этот вопрос является основная формула интегрального
исчисления – формула Ньютона–Лейбница, устанавливающая связь
между определенными и неопределенными интегралами.
Пусть на отрезке [a; b] задана интегрируемая функция
. Известно,
что определенный интеграл
с геометрической точки зрения
численно равен площади криволинейной трапеции (см. (5.3)).
Будем считать, что нижний предел закреплен, а верхний предел
меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, то есть он будет
функцией верхнего предела интегрирования. Зададим любое значение
из отрезка [a; b] и введем в рассмотрение интеграл с переменным
верхним пределом:
.
(7.1)
(От обозначения переменной интегрирования под знаком интеграла
величина интеграла не зависит).
Если
, то величина
криволинейной трапеции
численно равна площади
(рис. 7.1).
Очевидно, что эта площадь меняется в зависимости от изменения
Рис. 7.1
Рассмотрим свойства интеграла
1. Функция
непрерывна на [a; b].
.
Для доказательства фиксируем любую точку
приращение
. При этом функция
отрезка и зададим
получит приращение
(свойство 5) =
Устремим
, тогда
(свойство 2). Это и означает
непрерывность функции
2. Функция
дифференцируема на отрезке [a; b].
Доказательство. Применим теорему о среднем (свойство 9) к
интегралу
на
Получаем, что
, где
Делим обе части последнего равенства
и переходим к пределу при
:
так как при
переменная
существует производная
Следовательно, в точке
, причем
Таким образом, доказано важное свойство.
Свойство. Производная определенного интеграла от непрерывной
функции
по его верхнему пределу равна подынтегральной функции,
вычисленной при верхнем пределе
=
(7.2)
Замечание. Из доказанного свойства следует, в частности, что всякая
непрерывная функция имеет первообразную. Согласно подразд. 5.2 для
непрерывной на [a; b] функции
существует определенный интеграл
то есть существует функция
как
b].
то
является первообразной для
Так
на отрезке [a;
8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
8.1. Формула Ньютона–Лейбница
Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен
разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего
и нижнего пределов интегрирования:
.
(8.1)
Доказательство. Пусть
функции
есть некоторая первообразная для
на отрезке [a; b].
С другой стороны, в подразд. 5.4. установлено, что одной из
первообразных для
на отрезке [a; b] является функция
, так как для нее справедливо равенство (7.2). Известно,
что две любые первообразные от данной функции отличаются друг от
друга на постоянное слагаемое С:
;
(8.2)
При соответствующем выборе C равенство (8.2) справедливо при всех
значениях .
Подставим в него значение
:
Следовательно,
для любого значения
Полагая в последнем равенстве
, получим
Заменим переменную на более привычную
принято условно записывать в виде
.
. Разность
.
Формула
выражающая определенный
интеграл от непрерывной функции через неопределенный, называется
формулой Ньютона–Лейбница.
Формула (8.1) дает простой и удобный метод вычисления определенного
интеграла от непрерывной функции, если известна первообразная
подынтегральной функции. Только с появлением этой формулы
определенный интеграл смог занять в математике то важное место,
какое он занимает в настоящее время.
Рассмотрим примеры вычисления определенного интеграла.
Пример 1. Вычислить
Решение.
Пример 2. Вычислить
Решение.
.
8.2. Замена переменной в определенном интеграле
Пусть требуется вычислить
, где функция
непрерывна на
отрезке [a; b]. Введем новую переменную по формуле
. Не
приводя доказательства, запишем формулу замены переменных
.
(8.3)
При этом функции
], концы которого
и
и
должны быть непрерывны на отрезке [
находятся из условий
Замечание. Отметим, что при вычислении определенного интеграла по
формуле (8.3) не нужно возвращаться к первоначальной переменной ,
но необходимо пересчитать пределы интегрирования. В некоторых
случаях бывает удобнее вернуться к переменной и ее пределам
интегрирования.
Пример 3. Вычислить
Решение. Сделаем замену переменной
определим новые пределы интегрирования
и
при
,
при
Следовательно,
8.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть
– дифференцируемые по
Проинтегрируем тождество
в пределах от
Так как функция
до
функции.
:
является первообразной для функции
, то имеем
,
или окончательно
(8.4)
Соотношение (8.4) называют формулой интегрирования по частям в
определенном интеграле.
Пример 4. Вычислить
Решение. Обозначим
тогда
Применяя формулу (8.4), получим
Пример 5. Вычислим полезный в приложениях интеграл
Решение.
,
=
=
=
В выбранных обозначениях имеем:
откуда получим рекуррентное соотношение
.
(8.5)
Используя тот же прием, найдем
соотношением (8.5), получим
Пользуясь
, где
Обозначим для краткости произведения только четных или только
нечетных натуральных чисел:
Тогда формула для
примет окончательный вид
(8.6)
Аналогично получится, что
(8.7)
Пример 6. Покажем применение полученных формул на конкретных
примерах:
1.
При решении воспользовались
формулой (8.6) для нечетного n = 7;
2.
.
После замены переменных применяем формулу (8.7) для n = 6 .
Заметим, что соотношения (8.6) и (8.7) справедливы только в пределах
интегрирования от 0 до
.
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение определенного интеграла и укажите его
геометрический смысл.
2. Укажите основные свойства, применяемые при вычислении
определенного интеграла.
3. Сформулируйте теорему о среднем для определенного интеграла и
поясните ее геометрический смысл.
4. Докажите, что
а)
,
б)
(не вычисляя!).
5. Покажите, что
является первообразной функцией для
.
6. Выведите формулу Ньютона–Лейбница для вычисления
определенного интеграла. Укажите связь между неопределенным и
определенным интегралами.
7. Укажите формулу замены переменной в определенном интеграле и
найдите целесообразные подстановки для нахождения интегралов в
п. 11.
8. Выпишите формулу интегрирования по частям в определенном
интеграле и укажите, как следует ее применять в примерах из п. 12.
9. Как оценить определенные интегралы, первообразная которых не
выражается через элементарные функции?
Например,
?
10. Пользуясь формулой Ньютона–Лейбница, вычислить определенные
интегралы:
1.
.
Ответ:
;
2.
.
Ответ:
;
3.
4.
5.
6.
Ответ:
.
Ответ:
.
.
;
;
Ответ:
. Ответ:
;
;
7.
Ответ: 2;
.
8.
Ответ: 0. (Почему?);
.
9.
. Ответ:
10.
.
;
Ответ:
.
11. Вычислить интегралы, применяя метод замены переменной:
1.
2.
Ответ:
.
Ответ:
.
4.
.
Ответ:
6.
.
Ответ:
9.
.
;
Ответ:
.
5.
8.
;
. Ответ:
3.
7.
;
;
;
;
Ответ:
. Ответ:
. Ответ:
;
;
;
. Ответ:
10.
.
12. Применяя интегрирование по частям, вычислить интегралы:
1.
Ответ:
.
2.
Ответ:
.
3.
.
4.
5.
.
.
;
;
Ответ:
Ответ:
;
;
Ответ:
6.
. Ответ:
7.
. Ответ:
8.
. Ответ:
9.
. Ответ:
10.
.
;
;
;
;
Ответ:
;
.
9. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рассмотрим обобщения понятия интеграла – интегралы с бесконечными
пределами и интегралы от неограниченных функций. Это, по существу,
новые понятия, поскольку при определении интеграла предполагалось,
что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция
определена и ограничена на этом отрезке. В новой же конструкции
придется рассматривать пределы не только интегральных сумм, но и
пределы определенных интегралов.
9.1. Интегралы с бесконечными пределами
Определение. Пусть функция
определена для всех
где – некоторое число, и интегрируема на любом отрезке
. Если существует конечный предел
,
, где
,
то говорят, что функция
интегрируема в несобственном смысле на
промежутке
. Этот предел называется несобственным интегралом с
бесконечным пределом, или несобственным интегралом первого рода и
обозначается
.
Обычно, если конечный предел существует, то говорят, что
несобственный интеграл сходится (существует). Если же конечного
предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл
расходится.
Если с > a, то несобственные интегралы
и
сходятся или
расходятся одновременно (при условии, что существует
Действительно, если для любого b>a функция
).
интегрируема, то
, откуда и следует, что оба несобственных
интеграла одновременно или существуют, или не существуют.
Аналогично можно определить несобственные интегралы и для других
бесконечных промежутков.
Если функция
любом отрезке
определена при
, где
, то
и интегрируема на
.
Если же для функции
существуют несобственные интегралы
и
, то существует и несобственный интеграл
определенный формулой
,
,
причем существование и значение несобственного интеграла
зависят от выбора точки .
не
Чтобы лучше осознать идею, лежащую в основе понятия несобственного
интеграла, рассмотрим положительную убывающую на промежутке
функцию
.
Интеграл
на рис. 9.1.
Рис. 9.1.
численно равен площади фигуры, изображенной
При возрастании эта площадь увеличивается, и если
, то
площадь может возрастать или безгранично, или оставаться
ограниченной, то есть стремиться к некоторому пределу, который
представляет собой площадь, заключенную между осью ОХ и кривой
вправо от точки
.
Пример. Вычислить несобственный интеграл
.
Решение. По определению
.
Несобственный интеграл сходится.
Иногда, при вычислении несобственного интеграла, для краткости
опускается предельный переход, например:
.
На несобственные интегралы переносятся многие свойства
определенного интеграла. Сформулируем эти свойства для интегралов
вида
. Для других видов интегралов на бесконечных
промежутках эти свойства также справедливы.
1. Если интеграл
сходится, С – некоторое число, то интеграл
также сходится и
2. Если интегралы
и
.
сходятся, то интеграл
также сходится, и
3. Если функции
и
.
интегрируемы при
, то
.
4. Пусть функция
непрерывна при
, функция
определена,
непрерывна и имеет непрерывную производную на промежутке
конечном или бесконечном, где
<
, тогда
.
Полученная формула называется формулой замены переменной в
несобственном интеграле.
Доказательства перечисленных утверждений следуют из свойств
определенных интегралов и пределов функций.
Часто бывает достаточно только установить, сходится интеграл или
расходится, не вычисляя его значения. Для этого используются
следующие признаки сходимости.
Критерий Коши. Если функция
интегрируема на отрезке
>
, то для сходимости несобственного интеграла
необходимо и
достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого положительного
числа
>
>0 существовало число
и
>
такое, что для любых двух чисел
выполнялось неравенство
<
Признак сравнения. Пусть функции
неотрицательны при
<
и
.
и
определены и
, интегрируемы на любом отрезке
при
,тогда, если интеграл
сходится, то сходится и интеграл
. А если интеграл
расходится, то расходится и интеграл
.
Замечание. Запись
при
означает, что существует
такое число С > 0, что в некоторой окрестности точки выполняется
неравенство
. При этом говорят, что функция
является ограниченной по сравнению с функцией
точки .
в окрестности
При исследовании часто используются следствия признака сравнения.
Следствие 1. Если при
интеграл
,
сходится, то сходится и интеграл
расходится, то расходится и интеграл
, а если интеграл
.
Следствие 2. Если при
0<k<
,то интегралы
одновременно.
>0 и
,
и
, где
сходятся или расходятся
Определение. Интеграл
называется абсолютно сходящимся,
если сходится интеграл
. Несобственный интеграл
называется условно сходящимся, если он сходится, а
расходится.
Из сходимости интеграла
следует сходимость интеграла
.
Методы, при которых исследование сходимости данного интеграла
сводится к исследованию другого интеграла, сходящегося лучше
исходного, называются методами улучшения сходимости.
Признак сходимости Дирихле. Пусть функция
имеет ограниченную первообразную
при
непрерывна, дифференцируема при
причем
, функция
и монотонно убывает,
, тогда интеграл
сходится.
Доказательство. По условию, функция
следовательно и интегрируема на любом отрезке
– первообразная функции
Рассмотрим интеграл
непрерывна и
непрерывна,
< <
.
и вычислим его по частям:
.
.
Так как функция
ограничена при
, то
некоторое число, тогда
Поскольку функция
< M, где M>0 –
, поэтому
.
монотонно убывает, то производная
при
, тогда
,
поскольку
. Если интегралы
ограничены в
совокупности при всех b>a, то интеграл
и следует сходимость интеграла
.
Частный признак сравнения. Если при
является бесконечно малой порядка
сходится при
Замечание. Функция
сравнению с
при
сходится, откуда
функция
>0 по сравнению с
>1 и расходится при
, то интеграл
.
называется бесконечно малой n-го порядка по
, если
Пример. Исследовать сходимость интеграла
, где 0<
<
.
Решение. Подынтегральная функция положительна и непрерывна для
всех . Определим порядок ее малости:
.
Так как
, то
является бесконечно малой порядка 4
по сравнению с при
. Поскольку 4>1, то по частному признаку
сравнения интеграл сходится.
Замечание. Сходимость интеграла можно было установить с помощью
следствия 1 признака сравнения, сравнивая, например,
подынтегральную функцию с функцией
промежутке
, интеграл от которой на
сходится.
9.2. Интегралы от неограниченных функций
Перейдем ко второму случаю обобщения понятия определенного
интеграла – к интегралу от неограниченной функции. Простое
геометрическое соображение позволяет показать, что введение понятия
несобственного интеграла как интеграла от неограниченной функции не
имеет принципиальных различий от уже рассмотренных несобственных
интегралов первого рода.
Рассмотрим рис. 9.1 и проведем на нем следующие преобразования:
поменяем названия осей (ось OX станет осью OY, а ось OY – осью OX) и
рассмотрим изображение, которое даст нам рис. 9.2.
Рис. 9.2.
В окрестности точки
интеграл
.
функция становится неограниченной, тогда
определяется как предел интеграла
Определение. Пусть функция
полуинтервале
при
определена и неограничена на
, причем она ограничена и интегрируема на любом
отрезке
>0. Если существует конечный предел
то он называется несобственным интегралом от неограниченной
,
функции или несобственным интегралом второго рода на отрезке
обозначается
и
:
.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции
, определенной на полуинтервале
Если же функция определена на отрезке
точки
:
.
во всех точках, кроме
, в окрестности которой функция неограничена, то
несобственный интеграл
определяется суммой интегралов
,
где слагаемые в правой части вычисляются как пределы определенных
интегралов. Если пределы конечны, то говорят, что несобственный
интеграл сходится, в противном случае – расходится.
Все свойства несобственных интегралов 1-го рода, а также признаки
сходимости, распространяются на случай несобственных интегралов
второго рода.
Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его
расходимость:
.
Решение. Подынтегральная функция
определена на
полуинтервале
и
. Таким образом, функция является
неограниченной в окрестности точки
.
Представим функцию
в виде суммы простых дробей:
;
;
;
.
Коэффициенты А, В, С найдем из системы:
;
,
,
;
;
.
Второе слагаемое – обычный определенный интеграл, значит,
сходимость несобственного интеграла зависит от первого слагаемого
.
Интеграл расходится, значит, расходится и интеграл
.
Контрольные вопросы и задания
1. Какой интеграл называется несобственным?
2. Дайте определение несобственных интегралов 1-го и 2-го родов.
3. Сформулируйте свойства несобственных интегралов.
4. Укажите признаки сходимости несобственных интегралов для
неотрицательных функций.
5. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:
а)
; б)
; в)
; г)
; д)
.
6. Исследуйте сходимость интегралов:
а)
; б)
; в)
; г)
.
10. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим некоторые задачи, при решении которых используется
определенный интеграл.
10.1. Вычисление пределов сумм с помощью определенного
интеграла
Если требуется вычислить предел суммы, когда число слагаемых
неограниченно возрастает, то в некоторых случаях можно
воспользоваться определенным интегралом. Например, когда искомую
сумму удается преобразовать так, чтобы она оказалась интегральной, то
есть суммой вида
.
Пример. Вычислить предел
.
Решение. Попытаемся представить выражение
в виде интегральной суммы
.
Числа, стоящие в скобках, представляют собой значения функции
в точках
, делящих отрезок [0;1] на n
равных частей длиной
, поэтому данная сумма является
интегральной и ее можно записать в виде
.
Предел этой интегральной суммы при
интеграл
есть определенный
.
Таким образом, искомый предел равен
.
10.2. Вычисление средних значений функции
Среднее значение функции определяется теоремой о среднем для
определенного интеграла: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b],
то существует точка
9 разд. 6).
такая, что
. (свойство
Число
находится между наибольшим и наименьшим
значениями функции на отрезке [a;b] и называется средним значением
функции f(х) на отрезке.
Корень квадратный из среднего значения квадрата функции
называется средним квадратичным значением
функции f(x) на [a;b].
Пример 1. Найти среднее значение функции
.
на отрезке
Решение. Запишем формулу среднего значения функции для данного
случая: а=0, b=2 ,
,
– среднее значение функции на отрезке [0; 2 ]
Пример 2. Найти среднее значение
давления р при его изменении от
2 до 10 атм., если давление p и объем V связаны соотношением:
.
Решение. При изменении p от 2 до 10 атм. V пробегает отрезок
, отсюда
Пример 3. Вычислить предел
.
Решение. Подынтегральная функция
определена и
непрерывна на отрезке [0; 1], поэтому, по теореме о среднем значении,
существует такая точка
, что
.
Поскольку 0<
<1, то
, поэтому
.
10.3. Вычисление площади в декартовых координатах
Если плоская фигура ограничена прямыми x = a, x = b, a < b, и кривыми
, то ее площадь вычисляется по
формуле
(рис. 10.1).
Аналогично можно рассматривать фигуру относительно оси ОУ.
В некоторых случаях границы х = а и х = b могут вырождаться в точку
пересечения кривых
Рис. 10.1.
.
В сложных случаях область следует разбить на фигуры, границы
которых удовлетворяют указанным соотношениям.
При решении задач удобно придерживаться следующего порядка:



построить в декартовых координатах фигуру, площадь которой
требуется найти;
найти точки пересечения кривых, образующих границу области для
определения пределов интегрирования;
записать формулу для вычисления и найти площадь.
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
прямой х + у=3.
и
Решение. Выполним построение и найдем точки пересечения параболы
и прямой из системы уравнений
.
Исключив
из системы, получим уравнение
Корнями этого уравнения являются
и
.
.
Из рис. 10.2 видно, что
на отрезке [-2; 1], поэтому
формула для вычисления площади имеет вид
Рис. 10.2.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, лежащей в первом квадранте,
ограниченной кривыми
.
Решение. Заданные уравнения определяют следующие кривые:
– парабола с вершиной в точке (0;0) и осью симметрии ОХ;
– парабола с вершиной в точке (0;0) и осью симметрии ОУ;
– окружность радиуса
с центром в точке (0;0). Фигура,
образованная кривыми, изображена на рис. 10.3.
Найдем координаты точек А, В, О.
Очевидно, что О – начало координат. Точка А образована
пересечением кривых
решения системы
и
. Найдем ее координаты из
Рис. 10.3.
Исключая у, получим уравнение
, корнями которого
являются значения:
. Поскольку фигура располагается в
первом квадранте, то следует оставить только значение х = 1, которому
соответствует ордината у = 2, то есть точка А (1;2).
Найдем координаты точки В, полученной пересечением параболы
и окружности
:
При решении системы удобно исключить х, тогда из уравнения
получим, рассуждая по аналогии с предыдущим случаем,
координаты точки В (2;1).
Если теперь обратиться к общей формуле вычисления площади
, то можно заметить, что верхняя кривая
задана двумя разными уравнениями: на отрезке [0;1] – это парабола
, а на отрезке [1;2] – дуга окружности
. Нижняя кривая
задана одним уравнением
на всем отрезке [0;2]. Таким образом,
при вычислении площади основную фигуру придется разбить на две и
вычислить площадь как сумму двух интегралов
.
Вычислим каждый из интегралов отдельно.
.
Окончательно получаем
.
Замечание 1. Интеграл
был вычислен по частям:
;
;
.
Замечание 2. Поскольку искомая фигура симметрична относительно
биссектрисы первого координатного угла, то вычисление интеграла
можно было выполнять по переменной у совершенно аналогично:
.
10.4. Вычисление площади в полярных координатах
Пусть фигура представляет собой сектор, заданный в полярной системе
координат
кривой
отрезке
<…<
, где
– неотрицательная непрерывная кривая на
. Разобьем угол
на n частей лучами
<
и обозначим
(рис. 10.4).
Площадь криволинейного сектора равна сумме n площадей
Рис. 10.4.
заданных разбиением
, i = 1, 2, …, n,
Выберем один из элементов разбиения
,
.
, соответствующий сектору
, и зафиксируем на этом промежутке произвольное
значение
. Значение функции
в точке
обозначим
и заменим площадь криволинейного сектора круговым
сектором радиуса
, площадь которого
такую же операцию на каждом участке разбиения
полученные значения.
. Выполним
и просуммируем
Сумма площадей круговых секторов
представляет собой интегральную сумму, предел которой,
существующий в силу непрерывности функции
, равен
определенному интегралу, выражающему площадь фигуры в полярных
координатах
.
При вычислении площади фигуры в полярных координатах
рекомендуется придерживаться такого же порядка исследования, что и в
декартовых координатах: построение чертежа, вычисление точек
пересечения кривых, образующих границу фигуры; запись формулы.
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
и окружностью
.
Решение. Выполним построение фигуры (рис. 10.5).
Из рис. 10.5 видно, что пересечение кривых образует три различные
фигуры: вне круга, вне кардиоиды и внутренняя часть кардиоиды и
окружности. Рассмотрим вычисление площади одной из них,
расположенной вне кардиоиды (заштрихованная часть на рисунке).
Найдем точки пересечения кривых из системы
Рис. 10.5.
, откуда
;
.
При
искомая площадь представляет собой часть круга,
вырезанного кардиоидой, поэтому следует рассмотреть разность
площадей
, где
– площадь полукруга, а
ограниченная кардиоидой и лучами
Согласно формуле
– площадь,
.
запишем,
Замечание. Для вычисления площади, образованной пересечением
заданных кривых, расположенной вне круга, надо рассмотреть разность
площадей, ограниченных кардиоидой и кругом при
.
Для вычисления внутренней части кардиоиды и окружности надо
рассмотреть сумму площадей, одна из которых представляет половину
круга при
, а вторая – сегмент кардиоиды при
.
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
.
Решение. Перейдем к полярным координатам и, используя формулы
, запишем уравнение кривой:
;
;
.
Так как
уравнение примет вид
;
;
, то
.
Из формулы следует, что
значения
определено для
, принимает наибольшее значение
целое, и наименьшее значение
при
,
для любого
при
,n–
(рис. 10.6).
Площадь ограничена замкнутой кривой, симметричной относительно
полярной оси и лучей
, потому достаточно вычислить
одну восьмую часть площади и умножить полученный результат на
восемь:
Рис. 10.6.
;
10.5. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой,
заданной в параметрическом виде.
Пусть x = x(t), y = y(t), где
– параметрические
уравнения кусочно-гладкой кривой. Если данные уравнения определяют
некоторую функцию y = f(x) на отрезке [a,b] (без ограничения общности
будем считать, что
на отрезке [a,b]), то площадь криволинейной
трапеции, ограниченной осью OX, кривой y = f(x) и прямыми x = a и x = b,
может быть найдена по формуле
.
Вводя замену переменной y = y(t), x = x(t), dx = x’(t)dt, получим формулу
для вычисления площади фигуры при параметрическом задании
границы:
.
Аналогично может быть получена формула
.
Таким образом, вычисление площади фигуры, ограниченной кривой в
параметрической форме, может быть рассмотрено как замена
переменной при вычислении площади в декартовых координатах.
Если x = x(t), y = y(t),
– параметрические уравнения кусочногладкой замкнутой кривой, пробегаемой в положительном направлении
(то есть таким образом, что фигура, ограниченная заданным контуром
остается слева), то площадь
,
где
– значения параметра, соответствующие началу и концу обхода
контура фигуры в положительном направлении.
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной
параметрически:
.
Решение. Выясним, какую фигуру ограничивает заданная кривая.
Функции x = x(t) и y = y(t) определены, непрерывны и дифференцируемы
при любом действительном значении параметра
то
, а если
, то
. Если
.
,
Наибольшее значение x принимает при x’(t) = 0, 2–2t = 0; t = 1,
x(1) = 1; y(1) = 1. Если x = 0, то t = 2 или t = 0. При этих же
значениях параметра y = 0. Таким образом, точка с
координатами (0;0) является точкой самопересечения.
Следовательно, искомая площадь ограничена петлей
кривой, расположенной в первом квадранте, и
соответствует изменению параметра от t = 0 до t = 2 при
положительном направлении обхода (рис. 10.7).
Рис. 10.7.
Площадь искомой фигуры можно вычислить по формуле
.
Тогда
Поскольку некоторые кривые могут быть заданы простыми
параметрическими уравнениями, то вычисление площади фигуры,
ограниченной замкнутой кривой, в декартовых координатах зачастую
удобнее проводить, перейдя к параметрической форме записи.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
.
Решение. Запишем уравнение эллипса в параметрической форме: x = a
cost, y = b sint,
. Возрастание параметра от 0 до 2 соответствует
положительному направлению обхода. Наиболее простой вид
подынтегральное выражение примет, если воспользоваться формулой
.
Тогда
;
.
10.6. Вычисление длины дуги кривой
Пусть в декартовой системе координат на плоскости дана кривая,
являющаяся графиком непрерывной дифференцируемой функции y=f(x)
с непрерывной производной на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок [a,b]
произвольным образом на n частей точками
.
Найдем значения функции f(x) в точках разбиения. Тогда дуга кривой f(x)
на [a; b] разобьется на n частей точками
.
Проведем хорды
и обозначим их длины
соответственно. Полученная ломаная
длину
имеет
.
Определение. Длиной дуги кривой y = f(x) на отрезке [a; b] называется
предел, к которому стремится длина вписанной ломаной при стремлении
к нулю длины ее наибольшего звена (или, что то же самое, при
неограниченном увеличении числа точек деления)
.
Длина отдельного звена ломаной может быть найдена как длина отрезка
:
.
Поскольку функция f(x) непрерывна и дифференцируема на всем
промежутке [a; b], то по теореме Лагранжа о дифференцируемых
функциях, найдется такая точка
на отрезке
, что
.
Если обозначить
виде
, то формулу для
можно переписать в
Таким образом, длина дуги y = f(x) на отрезке [a; b] определяется
формулой
в силу непрерывности f’(x) и определения интегральной суммы.
Выражение
называется дифференциалом дуги.
Если кривая задана уравнением x = f(y), y  [a;b], то, рассуждая
аналогично, можно получить формулу
,
.
Если кривая на плоскости задана параметрически: x = x(t), y = y(t),
;
, где x(t), y(t) – дифференцируемые функции,
имеющие на отрезке
непрерывную производную, то, выполнив
замену переменной в предыдущих формулах, получим
,
.
Если задана пространственная кривая параметрическими уравнениями x
= x(t), y = y(t), z = z(t),
, где x(t), y(t), z(t) – дифференцируемые на
отрезке
функции с непрерывной производной, то длина кривой
вычисляется по формуле
,
.
Пусть в полярных координатах кривая задана уравнением
, где
непрерывной на
– дифференцируемая функция с
производной
. Запишем формулы перехода
от декартовой системы координат к полярной:
. Если
в эти формулы подставить
, то получится параметрическое
задание кривой, где параметр – полярный угол. Тогда по формуле для
параметрически заданной функции можно найти длину дуги кривой
.
,
.
Рассмотрим некоторые примеры вычисления длины дуги кривой.
Пример 1. Вычислить длину дуги кривой
точки
от точки
, (b>a).
Решение. Воспользуемся формулой
:
;
;
до
.
Пример 2. На циклоиде x = a(t-sint), y = a(1-cost), a >0, найти точку,
которая делит первую арку циклоиды по длине в отношении 1:3.
Решение. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра t
от t = 0 до t = 2 . Вычислим длину первой арки циклоиды:
;
Таким образом, искомая точка, соответствующая значению параметра
, определяет часть кривой, имеющую длину 2а, то есть
.
Найдем из этого равенства значение
:
Исходя из условий задачи, следует выбрать значение
Если
.
, то
.
Искомая точка имеет координаты
.
Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах
уравнением
, a >0.
Решение. Уравнение
, a >0, определяет замкнутую кривую
соответствующую изменению  от 0 до 3 (рис. 10.8).
Рис. 10.8.
Воспользуемся формулой
:
.
10.7. Вычисление объема тела по известным площадям
поперечных сечений
Пусть в декартовой системе координат задано некоторое
пространственное тело, абсцисса проекции которого – отрезок
(рис. 10.9).
Разобьем отрезок [a;b] на n частей произвольным образом и
обозначим точки деления:
.
Рис. 10.9.
Через каждую точку деления проведем плоскость, перпендикулярную к
оси ОХ и обозначим площади полученных поперечных сечений
. Будем предполагать, что значения
при любом выборе разбиения отрезка [a,b] и
функция.
На каждом отрезке разбиения
непрерывная на [a,b]
выберем произвольную точку
, вычислим значение
промежутке
известно
и построим на каждом
цилиндрическое тело, образующая которого
параллельна оси ОХ, а направляющей является контур сечения
Объем каждого цилиндра с основанием
и высотой
, а объем всего ступенчатого тела
.
равен
.
Предел полученной интегральной суммы, который существует в силу
непрерывности функции S(x), при n
называется объемом заданного
тела и равен определенному интегралу:
.
Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
,
>0, b>0, c>0.
Решение. Уравнение
определяет эллиптический цилиндр,
направляющая которого – эллипс, а образующая – прямая, параллельная
оси OZ. Уравнение
определяет плоскость, проходящую через ось
OY, а уравнение z = 0 – координатную плоскость XOY. Тело, ограниченное
заданными поверхностями, изображено на рис. 10.10.
Для каждого x [0;
] поперечное сечение (сечение
плоскостью, перпендикулярной оси ОХ) будет
представлять собой прямоугольник, смежные стороны
которого
Рис. 10.10.
(из уравнения плоскости
)и
(из уравнения эллипса
). Таким
образом, площадь поперечного сечения определяется
формулой
,
откуда объем V заданного тела равен
.
10.8 Вычисление объема тела вращения
Пусть функция y = f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на
отрезке [a; b], тогда график кривой на [a; b], ось OX, прямые x = a, x = b
образуют криволинейную трапецию. Рассмотрим тело, образованное
вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси OX и найдем его
объем (рис. 10.11), воспользовавшись результатом подразд. 10.7.
Очевидно, что любое поперечное сечение тела вращения – круг. Площадь
этого круга, образованного при сечении тела плоскостью,
перпендикулярной оси OX в точке x [a;b]
Рис. 10.11.
.
Тогда, по формуле подразд. 10.7 получим объем тела вращения вокруг оси
ОХ:
.
Если криволинейная трапеция, ограниченная прямыми y = a, y = b, осью OY
и графиком непрерывной функции x =  (y), вращается вокруг оси OY, то
объем тела вращения находится по формуле
.
Замечание. Формулу объема тела, полученного вращением вокруг оси OX
криволинейной трапеции
, где f(x) – непрерывная
функция, можно было вывести и обычным составлением интегральной
суммы. Если
отрезка,
– произвольное разбиение
,
отрезке, то произведение
цилиндра высотой
и радиуса
– произвольно выбранная точка на
представляет собой объем
, а интегральная сумма
– объем ступенчатой фигуры. Предел интегральной суммы,
существующий в силу непрерывности функции f(x), равен объему тела
вращения
.
Пример 1. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
, вокруг оси OX.
Решение. Графиком функции
является
парабола с вершиной в точке (1;1), пересекающая ось OX в
точках (0;0) и (2;0). Таким образом, отрезок интегрирования
– [0;2] (рис. 10.12).
Рис. 10.12.
Вычислим объем:
.
Пример 2. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями
, вокруг оси OY.
Решение. Тело образовано вращением фигуры, ограниченной параболой
и осью OX, вокруг оси OY на отрезке [0;1] (рис. 10.12). Запишем
уравнение параболы
в виде
и найдем обратные
функции
при
и
при
. Таким
образом, искомый объем представляет собой разность двух объемов,
образованных вращением вокруг оси OY криволинейных трапеций,
ограниченных линиями
на отрезке y [0;1]:
и
,
,
;
;
.
Пример 3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси
OX петли кривой
, (рис. 10.13).
Решение. Искомый объем может быть получен вращением верхней
части петли кривой на отрезке x [0;3a], соответствующем изменению
параметра t от t = 0 до
. Запишем формулу:
Рис. 10.13.
.
Сделаем замену переменной
t = 0, если x = 3a, то
. Если x = 0, то
.
Пример 4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг полярной
оси кривой
(a>0).
Решение. Перейдем к параметрическому заданию кривой, приняв за
параметр полярный угол  :
;
.
Поскольку в декартовых координатах фигура симметрична оси OY
достаточно рассмотреть фигуру,
полученную вращением кривой на
отрезке x [0;a] (рис. 10.14) и вычислить
Введем замену переменной:
Рис. 10.14.
.
Если x = 0, то
, если x = a, то  = 0.
,
.
10.9. Вычисление площади поверхности вращения
.
Пусть функция y = f(x) определена, неотрицательна, дифференцируема на
отрезке [a; b] и имеет на этом отрезке непрерывную производную.
Разобьем отрезок [a; b] произвольным образом на n частей точками
. Впишем в
график функции y = f(x) ломаную в точках
, где
. Каждая трапеция с вершинами в точках
при вращении ломаной вокруг оси OX
образует усеченный конус, площадь боковой поверхности которого
,
где R и r – длины радиусов оснований усеченного конуса,
– длина
образующей конуса. В данном случае
, то есть
, где
.
Для площади поверхности, полученной вращением вокруг оси OX всей
ломаной, будет справедлива формула
.
Площадью Р поверхности тела, полученного вращением графика функции
y = f(x) вокруг оси ОХ на отрезке [a; b], называется предел, к которому
стремится площадь
, образованная вращением вписанной в кривую
ломаной, при стремлении к нулю наибольшей из ее сторон (или при n
что равносильно):
.
Преобразуем выражение для
:
.
,
Оценим вторую сумму. Функция y = f(x) – непрерывна на отрезке [a; b],
следовательно, по теореме Кантора, и равномерно непрерывна на нем.
Это означает, что для любого e >0 существует такое d >0, что для
любых двух точек
и
отрезка, удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
. Таким образом, для всякого
сколь угодно малого e >0 найдется такое d >0, что как только
, то
(по условию
), тогда
,
где l – длина дуги кривой y = f(x) на отрезке [a; b].
Поскольку  l – фиксированная величина для заданной функции на
указанном отрезке, а  – сколь угодно малое число, то полученная оценка
показывает, что при измельчении разбиения (при n ) вторая сумма по
модулю будет меньше любого наперед заданного положительного числа,
то есть
.
Первая из сумм является интегральной, так что получаем
.
Площадь поверхности, полученной вращением кривой y = f(x) вокруг оси
ОХ, вычисляется по формуле
.
Если кривая x =  (y) непрерывна и имеет непрерывную производную на
отрезке y [a; b], то площадь поверхности, полученной вращением кривой
вокруг оси ОУ
.
Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то
достаточно произвести замену переменной в полученных формулах.
Пример 1. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
части кривой
, отсеченной прямой х = 2, вокруг оси ОХ.
Решение. Уравнение
определяет параболу с вершиной в точке
(-4; 0) и осью симметрии ОХ, потому для вычисления площади
поверхности вращения достаточно рассмотреть одну ветвь параболы
на отрезке [-4;2]:
;
.
Подставив полученные выражения в формулу, получим
.
Пример 2. Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги
кривой
вокруг оси ОХ от t = 0 до
.
Решение. Преобразуем формулу вычисления поверхности тела вращения
для случая параметрического задания кривой x = x(t), y = y(t):
.
В рассматриваемой задаче
;
.
Подстановка полученных выражений в формулу дает следующий
результат:
.
Пример 3. Найти площадь поверхности, образованной вращением
кардиоиды r =a(1+cos ) вокруг полярной оси.
Решение. Для полярной системы координат (если вращение
производится вокруг полярной оси) формула для вычисления площади
поверхности тела вращения принимает вид
.
Поскольку кардиоида симметрична относительно лучей j = p k, где k –
целое число, то пределами интегрирования можно взять значения  = 0, 
=  . Тогда
.
10.10. Вычисление некоторых физических и механических
величин с помощью определенного интеграла
Идея суммирования бесконечно малых элементов является весьма
эффективной в приложениях. Пусть требуется определить некоторую
величину Q на промежутке [a; b], при этом каждому частичному
промежутку [ ;  ] [a; b] отвечает соответствующая часть величины Q.
Таким образом, каждому элементарному промежутку
элемент
отвечает
, приближенное значение которого можно представить в
виде
, где q(x) –некоторая функция, а точное значение –
интегралом
.
В ранее рассмотренных примерах приложений определенного интеграла
величина Q представляла собой соответственно площадь фигуры, длину
дуги, объем тела. Поскольку величин указанного типа достаточно много,
то определенный интеграл широко применяется для вычислений.
Рассмотрим путь S, пройденный за время от момента
Известно, что скорость на промежутке
промежутка
времени
, где
. Тогда
до момента
.
определяется формулой
V=V(t). Каждому элементарному промежутку
приближенно равный
до момента
отвечает элемент
,
– произвольная точка
– путь, пройденный телом от момента
.
Аналогичным образом можно получить формулы для вычисления работы
силы, статических моментов, центра тяжести и др. Некоторые из этих
формул далее будут приведены. Перечисление всех возможных
приложений определенного интеграла вряд ли целесообразно, поскольку
главной идеей остается составление интегральной суммы. А операция
построения интегральной суммы однотипна для всех видов
исследований. Остается только следить за тем, чтобы полученное
подынтегральное выражение удовлетворяло условиям интегрируемости
на рассматриваемом промежутке.
Работа силы. Пусть материальная точка М движется по непрерывно
дифференцируемой кривой l под воздействием некоторой силы F,
направленной по касательной к кривой. Сила F меняется в зависимости
от положения точки на кривой, то есть F = F(l), тогда величина
представляет элементарную работу. Работа силы F на кривой от точки a
до точки b выражается интегралом
.
Если непрерывная переменная сила F(x) действует в направлении оси
ОХ, то работа силы на отрезке [a; b] определяется интегралом
.
Пример 1. Сила трения постоянна по величине и направлена в сторону,
противоположную скорости, то есть F = -h при V > 0 и F = h при V < 0.
Тело движется по закону x = B sin t. Найдите работу силы трения за
время от t = 0 до
, если
, В > 0.
Решение. Воспользуемся формулой
.
Поскольку x = x(t), то формула приобретает вид
.
Если уравнение движения тела x = B sin t, то скорость определяется по
формуле V(t) = x’(t) = B  cos t.
Период функции V(t) равен
, поэтому на промежутке от t = 0 до
скорость принимает как положительное, так и отрицательное
значения.
Если
, то V(t) > 0, тогда F = -h.
Если
, то V(t) < 0, тогда F = h.
.
Статические моменты плоской кривой.Пусть М – материальная
точка массы m с координатами х и у. Произведения my и mx называются
статическими моментами материальной точки относительно осей ОХ
и ОУ соответственно. Пусть L – плоская кривая с массой,
пропорциональной длине дуги, то есть дуга длины
имеет массу
, где  – некоторая постоянная, называемая линейной
плотностью кривой L. В частности, если  = 1, то
, тогда
статические моменты
и
плоской кривой L относительно
координатных осей ОХ и ОУ на участке от а до b выражаются формулами
,
где dl записывается по одной из формул подразд. 10.6 в зависимости от
заданной кривой.
Пример 2. Найти статические моменты дуги кривой y = cosx от точки
до точки
относительно оси ОХ.
Решение. Поскольку кривая задана уравнением y = y(x), то
,
.
Согласно формуле
.
Статические моменты фигуры на плоскости. Пусть в декартовой
системе координат на плоскости задана фигура, ограниченная кривыми
, x = a, x = b
и для x  [a; b]
.
Если плотность постоянна ( = 1), то статические моменты фигуры
относительно осей координат выражаются формулами:
;
.
Пример 3. Вычислить статический момент фигуры, ограниченной
линиями
относительно оси ОХ.
Решение. Кривые
пересекаются в точках (0;0) и (1;1). На
отрезке x [0,1] выполняется неравенство
, поэтому
.
Координаты центра тяжести плоской кривой. Центр тяжести
плоской кривой имеет координаты
где L – длина кривой на рассматриваемом участке,
моменты кривой относительно осей координат.
– статические
Пример 4. Найти центр тяжести полуокружности
расположенной над осью ОХ.
,
Решение. Уравнение
определяет окружность радиуса а с
центром в начале координат. Длина половины окружности L =  a. Центр
тяжести дуги лежит на оси ОУ, поскольку линия симметрична
относительно оси ординат, то есть
центра тяжести вычислим
. Для нахождения ординаты
:
;
;
.
Таким образом
.
Центр тяжести полуокружности имеет координаты
.
Координаты центра тяжести плоской фигуры. Центр тяжести
фигуры, заданной на плоскости, имеет координаты
,
где
– статические моменты фигуры относительно осей
координат; S – площадь фигуры.
Пример 5. Определить координаты центра тяжести области,
ограниченной первой аркой циклоиды x = a(t – sint), y = a(1 – cost),
, a > 0 и осью ОХ.
Решение. Вычислим площадь фигуры и статические моменты:
;
;
.
Подставив полученные результаты в формулы, найдем координаты
центра тяжести:
.
Контрольные вопросы и задания
1. Напишите формулы для вычисления площади плоской фигуры с
помощью определенного интеграла в декартовой и полярной системах
координат.
2. Напишите формулы вычисления объема тела, образованного
вращением криволинейной трапеции: а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси ОУ.
3. Запишите формулу вычисления объема тела, образованного
вращением криволинейной трапеции вокруг прямой
.
, где
4. Составляя соответствующие интегральные суммы и находя их
пределы, решите задачу.
Какую работу надо затратить, чтобы тело массы m поднять с
поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? Чему равна эта
работа, если тело удаляется в бесконечность?
5. Определить среднее значение функции f(x)=10+2sinx+3cosx на
промежутке [0;2 ].
6. Сила переменного тока меняется по закону
– амплитуда; t – время; Т – период;  – начальная фаза.
, где А
Найдите среднее значение квадрата силы тока.
7. Вычислите предел
.
8. Найдите площадь фигур, ограниченных кривыми в декартовой
прямоугольной системе координат:
а)
б)
в)
.
9. Найдите, в каком отношении парабола
.
делит площадь круга
10. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой в полярной системе
координат
.
11. Найдите площадь фигуры, ограниченной астроидой
12. Найдите длину дуги кривой
на отрезке у
13. Докажите, что длина дуги эллипса
одной волны синусоиды
.
[1;e].
равна длине
, где
14. Найдите длину кардиоиды
.
.
15. Найдите объем эллипсоида
.
16. Найдите объем тела, полученного при вращении фигуры,
ограниченной линиями
вокруг оси ОУ.
: а) вокруг оси ОХ; б)
17. Найдите объем тела, полученного при вращении фигуры,
ограниченной линиями:
и y = 0,
, вокруг оси ОХ.
18. Найдите объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной полувитком спирали Архимеда
вокруг полярной оси.
19. Найдите площадь поверхности, образованной вращением кривой
y=tg(x),
, вокруг оси ОХ.
20. Вычислите площадь поверхности, образованной вращением дуги
циклоиды
,
, вокруг оси ОХ.
21. Найдите центр тяжести дуги циклоиды
.
22. Найдите центр тяжести плоской фигуры, ограниченной прямой
, синусоидой y = sin(x), осью абсцисс y = 0, (x > 0).
11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Если решение той или иной практической задачи привело к
определенному интегралу, то, естественно, возникает вопрос
вычисления этого интеграла. В случае, когда подынтегральная функция
имеет первообразные среди элементарных функций, величину
определенного интеграла можно получить, пользуясь формулой
Ньютона–Лейбница. Но процесс нахождения первообразной иногда
бывает довольно трудоемким, а сама полученная формула очень
сложной.
Нередко приходится сталкиваться с интегралами, которые не
выражаются через элементарные функции. Это, например, интегралы
вида
.
Несмотря на то, что эти интегралы представляют неэлементарные
функции, они играют большую роль как в математическом анализе, так и
в его разнообразных приложениях. Некоторые из них даже имеют
специальные названия: интеграл ошибок, интегральный синус,
эллиптические интегралы. Вычислить такие интегралы иногда удается,
разложив подынтегральную функцию в ряд.
Если эти методы не дают результата или неприменимы, то величину
определенного интеграла можно вычислить с помощью формул
численного интегрирования, которые также называются квадратурными
формулами. К ним относятся квадратурные формулы прямоугольников,
трапеций и Симпсона (метод парабол).
Существуют и другие методы приближенного вычисления определенного
интеграла, но они не рассматриваются в данном пособии.
Основой способов приближенного вычисления является определение
интеграла как предела интегральных сумм.
11.1. Метод прямоугольников
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
, где
функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Будем полагать, что
на [a; b]. Это предположение не изменит формулы, но позволит
прибегнуть к геометрической интерпретации результата: интеграл
равен площади криволинейной трапеции, ограниченной
графиком функции y = f(x), осью ОХ и прямыми x = a, x = b.
Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей точками:
. Обозначим
длины частичных отрезков. По условию
–
.
Вычислим
– ординаты
точек деления. Таким образом, исходная криволинейная трапеция
разбита на n полос, каждая из которых также является криволинейной
трапецией. Площадь каждой такой трапеции будем считать приближенно
равной площади прямоугольника, основание которого
, а высота –
правая ордината полосы:
. Сумма площадей всех полученных
прямоугольников выражает площадь ступенчатой фигуры
. С другой стороны, сумма S является интегральной
для функции f(x) на отрезке [a; b], поэтому приближенно равна интегралу
.
(11.1)
Таким образом, площадь криволинейной трапеции аппроксимируется
(приближается) площадью ступенчатой фигуры, состоящей из
прямоугольников. Формула (11.1) называется формулой “правых”
прямоугольников.
Аналогично, рассматривая в качестве высоты каждого прямоугольника
левую ординату, можно получить формулу “левых” прямоугольников:
.
(11.2)
За высоту прямоугольника при разбиении можно взять любую точку на
промежутке
, например, середину этого отрезка.
Ошибка вычисления
будет тем меньше, чем больше число n, и для
метода прямоугольников она будет иметь оценку
.
11.2. Метод трапеций
Найдем среднее арифметическое формул (11.1) и (11.2):
.
Каждое слагаемое в данной формуле
представляет
площадь трапеции с основаниями
и
, и высотой
. Таким
образом, площадь криволинейной трапеции аппроксимируется суммой
площадей прямолинейных трапеций, и полученная формула
(11.3)
называется формулой трапеций. Формулу трапеций также можно
записать в виде
.
(12.4).
В формуле трапеций на каждом участке разбиения
дуга графика
функции y = f(x) замещается хордой. Ошибка вычисления оценивается
аналогично предыдущему методу.
11.3. Метод Симпсона
Еще более точную формулу для вычислений можно получить, если на
отдельных участках заменить кривую y = f(x) параболой.
Известно, что через три заданные точки можно провести параболу
единственным образом, поэтому отрезок интегрирования [a; b] надо
разбить на n частей таким образом, чтобы полученные точки деления
позволяли построить параболы. Очевидно, что число точек деления
должно быть четным: n = 2m. Границами промежутков будут точки
, а длина каждого промежутка
.
Ординаты точек деления обозначим
.
Рассмотрим первые два промежутка деления. Функцию f(x) на отрезке
заменим параболой, проходящей через точки
. Будем искать уравнение параболы в виде
многочлена второй степени
.
(11.5)
Неизвестные коэффициенты А, В, С найдем из условий
. Подставим в формулу (11.5) значение
, получим
, то
. Поскольку
, откуда
. Аналогично при
и
, а при
получим
найдем коэффициент
. Заменив площадь криволинейной трапеции, ограниченной
кривой y = f(x), на площадь криволинейной трапеции, ограниченной
параболой, получим приближенную формулу
.
Введем замену переменной
,тогда данный интеграл примет вид
.
Воспользуемся найденными значениями для А, В, С и запишем
.
(11.6)
Теперь для всего промежутка [a; b] можно указать формулу
приближенного вычисления
,
или
.
(11.7)
Формула (11.7) называется формулой Симпсона.
При разбиении промежутка на одно и то же число частей, формула
Симпсона, как правило, дает более точное значение, чем формулы
прямоугольников и трапеций. Ошибка вычисления для метода
Симпсона имеет оценку
.
Простота методов численного интегрирования позволяет быстро
находить значения определенных интегралов даже в тех случаях, когда
можно воспользоваться формулой Ньютона–Лейбница. Но если для
нахождения первообразной требуется некоторая изобретательность, то
квадратурные формулы сводятся к простой вычислительной работе,
которую можно перепоручить ЭВМ.
Пример. Вычислить приближенное значение интеграла
методами прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбив промежуток
интегрирования на 10 равных частей.
Решение. Поскольку данный интеграл можно вычислить по формуле
Ньютона-Лейбница, то найдем его точное значение, с которым и будем
сравнивать приближенные результаты:
.
Разобьем отрезок [0; 2] на 10 частей, найдем длину частичного
интервала, ординаты точек деления и составим таблицу значений
подынтегральной функции
. Длина частичного отрезка
. В таблице значений при вычислении значений
функции ограничимся пятью знаками после запятой.
X
Y
По формуле “правых” прямоугольников (11.1) приближенное значение
интеграла равно
.
Формула “левых” прямоугольников (11.2) дает результат
.
Формула трапеций дает значение, равное среднему арифметическому
двух предыдущих результатов
.
Вычисления по формуле Симпсона (11.7) приводят к значению
.
Сравнивая со значением, полученным по формуле Ньютона–Лейбница,
можно заметить, что наибольшую точность дает формула Симпсона.
Поскольку функция
монотонно убывает на отрезке [0; 2], то
формулы прямоугольников дают результат с недостатком в первом
случае, и с избытком – во втором.
Выбор формулы, количество интервалов разбиения и точность
вычисления определяются характером решаемой задачи в каждом
конкретном случае.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Курс интегрального исчисления, представленный в данном пособии,
является одним из основных разделов высшей математики, изучаемой
студентами технических вузов. Математика как базовая дисциплина
является основой многих других наук, как общеинженерных, так и
специальных. Практически любые задачи динамики требуют составления
и решения дифференциальных уравнений, а следовательно, и
применения интегрального исчисления. Интегралы помогают и при
решении других практических задач, примеры которых представлены в
настоящем пособии.
Авторы надеются, что овладение теорией и практикой интегрирования
поможет формированию инженерного мышления будущего специалиста.
Подробное изложение учебного материала, большое количество
примеров позволяют студенту самостоятельно освоить некоторые
разделы программы. Авторы полагают, что часть приведенных в данной
работе примеров подвинут наиболее любознательных студентов к более
глубокому изучению математики и ее приложений.
Библиографический СПИСОК
1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.
Учеб. для вузов: В 2 т. Т.1 / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2000. –
416 с.
2. Марон, И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в
примерах и задачах. / И.А. Марон. – М.: Наука, 1973. – 400 с.
3. Шестаков, А.А. Курс высшей математики / А.А. Шестаков,
И.А.Малышева, Д.П. Полозков. – М.: Высшая школа, 1987. – 320 с.
4. Зельдович, Я.Б. Элементы прикладной математики. / Я.Б.
Зельдович, А.Д. Мышкис. – М.: Наука, 1965. – 616 с.
5. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т. Т. 1 /
Л.Д. Кудрявцев. – М.: Дрофа, 1973. – 614 с.
6. Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу / Б.П. Демидович. – М.: Наука, 1990. – 624 с.
7. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н.
Берман. – М.: Наука, 1972