Энергетика УДК 681.516.73+621.365 СИНТЕЗ СИСТЕМЫ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ВЕСТН. САМАР. ГОС. ТЕХН. УН-ТА. СЕР. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2011. № 4 (32)
Энергетика
УДК 681.516.73+621.365
СИНТЕЗ СИСТЕМЫ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
МНОГОСЕКЦИОННЫМ ИНДУКЦИОННЫМ НАГРЕВАТЕЛЕМ НЕФТИ1
М.А. Гусева
Самарский государственный технический университет
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244
В работе рассматривается задача синтеза системы модального управления объектом
с распределенными параметрами на примере индукционной установки по нагреву нефти
с учетом ограничений на пространственную конфигурацию теплоисточников. Ставится задача по поддержанию температуры стенки нагревателя на предельно допустимом уровне, температурное распределение потока нефти учитывается как возмущение. Приведены результаты численных экспериментов полученной системы.
Ключевые слова: индукционный нагрев, нагрев потока жидкости, объект с распределенными параметрами, система модального управления.
Транспортировка высоковязких нефтей в северных районах затруднена в связи с
изменяющимися реологическими свойствами нефти при низких температурах. При
перекачке подобных жидкостей необходим подогрев. Параметры потока (температура, расход) могут меняться в процессе эксплуатации трубопровода в зависимости от
внешних условий, поэтому установка подогрева нефти должна оснащаться системой
управления, обеспечивающей автоматическое поддержание желаемых параметров ее
работы. Исследуемая конструкция индукционной установки по подогреву нефти [1]
представлена на рис. 1.
Lc
1
2
3
4
L
Р ис. 1 . Упрощенная схема многосекционного индукционного нагревателя нефти:
1 – нефть; 2 – труба; 3 – индуктор; 4 – расширитель.
Lc – длина одной секции индукционного нагревателя, L – длина трубы
1
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ №10-08-00754-а, АВЦП
«Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011годы)» №2.1.2/13988.
Мария Александровна Гусева, аспирант, каф. автоматики и управления в технических
системах.
150
Нагреватель представляет собой теплообменный аппарат, в который для увеличения площади соприкосновения жидкости с поверхностью нагрева установлен осесимметричный расширитель 4. Жидкость нагревается за счет конвективного теплообмена со стенками труб, нагрев которых, в свою очередь, осуществляется с помощью многосекционного индукционного нагревателя. Индукционный нагрев обладает рядом преимуществ по сравнению с традиционными методами: высокая скорость
и точность нагрева, сниженные энергозатраты [1, 2].
Процесс теплообмена между стенкой трубы и ламинарным потоком нефти может быть описан системой дифференциальных уравнений в частных производных:
Tst ( x, t )
 2Tst ( x, t )
1
a

 F ( x, t )  1  T fl ( x, t )  Tst ( x, t ) ;
(1)
2
t
c

x
T fl ( x, t )
T fl ( x, t )
v
  2  Tst ( x, t )  T fl ( x, t ) ;
(2)
t
x
0 x  L, t  0, a  0
с граничными и начальными условиями:




T fl (0, t )  g (t ) , T fl ( x,0)  T fl 0 x   0 ,
Tst ( x, t )
x
x 0
Tst ( x, t )
x
 g1  p   0,
xL
 g 2  p   0,
Tst ( x,0)  Tst 0 ( x)  0 ,
где Tst(x,t) – распределение температуры стенки трубы по длине, град; F(x,p) –
мощность внутреннего тепловыделения (индукционный нагрев), Вт/м3; Tfl(x,t) –
распределение температуры потока жидкости по длине, град; v – скорость потока
жидкости, м/c; β1, β2 – приведенные коэффициенты конвективного теплообмена
стенки с потоком и потока со стенкой, 1/с; a=λ/(c·γ) – коэффициент температуропроводности, м2/c; λ – теплопроводность, Вт/(м·град); с – удельная теплоемкость материала, Дж/(кг·град); γ – плотность, кг/м3; L – длина нагревателя, м.
Режим течения потока нефти принят ламинарным, значения скорости и коэффициентов приведенного теплообмена постоянны по всей длине трубы.
Распределенная передаточная функция температуры стенки нагревателя имеет
вид [3, 4]
Wst ( x, , p) 

 ( x )   n ( )
 p  n

,
(3)
 an2  2 L2
где p – оператор преобразования по Лапласу;  n (x) – собственные функции решения задачи (1) с граничными условиями второго рода:

1 L , n  0;

 n ( x)  

 2 L  cos(nx / L), n  1,2,, N .
Распределенная передаточная функция температуры потока нефти
1
 p  β2

(4)
W fl ( x,ξ , p)  1( x  )   exp
 ( x  ) ,
v
v


где 1( x  ξ ) – единичная функция:
n 0
1
151
0, npu x  ,
1( x  ξ )  
1, npu x  .
Взаимное влияние температурных полей стенки и потока жидкости, неоднородные начальные и граничные условия учитываются с помощью стандартизирующих
функций:
F ( x, p )
 st ( x, p ) 
 1  T fl ( x, p )  Tst 0 ( x)  a  ( x)  g1 ( p )  a  ( L  x)  g 2 ( p ) ,
(5)
c
 fl ( x, p)   2  Tst ( x, p)  T fl 0 ( x)  v  ( x)  g ( p) ,
(6)
которые используются для расчета температурного распределения стенки трубы и
потока жидкости соответственно с помощью выражений [3]:
L

Tst ( x, p)  Wst ( x, , p)  st (, p)d .
(7)
0
L

T fl ( x, p)  W fl ( x, , p)   fl (, p)d .
(8)
0
Конструктивные ограничения на пространственную конфигурацию распределения мощности теплоисточников задаются с помощью функции F ( x, p) . Многосекционный индукционный нагреватель состоит из шести секций нагрева. Каждая секция нагрева формирует теплоисточники на участке bн j ; bк j с мощностью, опреде-


ляемой сосредоточенным сигналом q j ( p) , j  1;6, поэтому F ( x, p) задается в виде
F ( x, p) 
6
1( x  bн j ) 1(bk j  x)  q j ( p) .
(9)
j 1
Тогда стандартизирующая функция (5) с учетом нулевых граничных и начальных условий примет вид:
6
q j ( p)
(10)
st ( x, p)  1( x  bн j ) 1(bk j  x) 
 1  T fl ( x, p) .
c


j 1

Структурная схема системы с распределенными параметрами, учитывающая
взаимосвязь между температурным распределением стенки и потока, приведена на
рис. 2. Прохождение распределенного сигнала через блок соответствует операции
интегрирования по области определения пространственной переменной [3].
q1( p)
q6 ( p)
Tst 0 ( x )
1( x  bн1 ) 1(bк 1  x )

1( x  bн6 ) 1(bк 6  x)
T fl ( x , p )
1
c
ωst (x,p)
Tst ( x, p)
Wst ( x, , p)
 2 ( x  ) T ( x )
fl 0
1( x  )
W fl ( x, , p)
ω fl ( x,p )
( x )
v g(p)
Р ис. 2 . Структурная схема взаимного влияния температурного распределения
стенки и потока нефти
152
В данной работе ставится задача по поддержанию температурного распределения стенки теплообменного аппарата на предельно допустимом уровне, что соответствует режиму работы теплообменного аппарата с максимальной эффективностью
при расчетных параметрах нагреваемого потока. Тогда задача автоматического
управления объектом на рис. 2 может быть сформулирована следующим образом.
Необходимо обеспечить такие значения мощностей секций индукционного нагревателя, при которых желаемое температурное распределение стенки нагревателя будет
соответствовать заданному Tst* ( x, p ) .
Поиск выражения для передаточной функции замкнутой системы с распределенными параметрами по каналам q j ( p) – Tst ( x, p ) приводит к необходимости решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода [3], точное решение которого для исследуемой системы не может быть найдено. Поэтому в работе предлагается реализовать систему модального управления температурным распределением
стенки нагревателя, а температурное распределение потока учитывать при моделировании системы как неизмеряемое возмущение. Получение желаемого температурного распределения достигается путем изменения мощности нагревателей по длине
трубы q j ( p) (см. рис. 2).
Температурное распределение стенки может быть представлено разложением
по собственным функциям в бесконечный сходящийся ряд [5]:
Tst ( x, p) 

 i ( x)  Ti ( p) .
(11)
i 0
Представление распределенного сигнала в виде суммы произведений временной
и пространственной мод позволяет использовать модальный регулятор в системе
управления температурным распределением стенки по длине (рис. 3). На практике в
выражении (11) ограничиваются учетом конечного (М+1) числа мод.
Желаемое температурное распределение Tst* x, p  сравнивается с фактическим
Tst x, p  (рис. 3). Полученный сигнал рассогласования поступает на вход модального анализатора (МА), выходы которого представляют собой временные моды ошибки:
L
i ( p)  ε(x,p) i ( x)dx , i  0, 1, ..., M  .

(12)
0
0 ( p)
Tst* ( x, p)
Tst ( x, p)
ε ( x, p)
1 ( p )
МА

M (p)
ПИрегуляторы
u0 ( p)
u1 ( p )

Q
ОУ
МС
Tst (x,p)
(Стенка)
uM ( p)
Поток
g ( p)
Р ис. 3 . Структурная схема системы модального управления
Моды сигнала ошибки подаются на входы (М+1) – одномерных ПИрегуляторов, настроенных на технический оптимум. На выходах регуляторов фор153
мируются управляющие воздействия u i ( p) для выбранного числа (М+1) мод объекта.
В работе [6] проводилось исследование модального представления рассматриваемого объекта при ограничениях на конфигурацию распределения теплоисточников
и были предложены выражения для количественной оценки влияния управляющих
воздействий по отдельным модам объекта друг на друга. Анализ взаимного влияния
мод для нагревателя, состоящего из шести одинаковых секций нагрева, выявил
определенную закономерность: первые шесть временных мод управляющих воздействий влияния друг на друга не оказывают. Седьмая мода является неуправляемой, а
учет при управлении числа мод больше семи приводит к появлению паразитных
связей с другими модами и не позволяет осуществлять регулирование модами высокого порядка. Поэтому для управления в системе были учтены первые шесть мод
разложения в ряд (11), (M+1)=6.
Сигналы u i ( p) поступают на модальный синтезатор (МС), который формирует
необходимое управляющее воздействие q j ( p) на участке bн j , bк j :

bк j
1 5
q j ( p) 
 ui ( p)  i ( x)dx ,
Lc i 0



j  1, 2, ..., 6 .
(13)
bн j
Q  q1 ( p ) q2 ( p )  q6 ( p )T – вектор управляющих воздействий.
Исследование модального регулятора проводилось с использованием численной
модели системы, где взаимное влияние температурных распределений стенки
Tst ( x, p ) и потока учтено с помощью методики пространственной аппроксимации
распределенного сигнала. Данная методика позволяет аппроксимировать распределенный сигнал различными способами: полиномиальной зависимостью [7, 8], разложением в ряд по ортонормированному базису и т. д.
При построении системы модального управления (см. рис. 3) обратная связь по
распределенному сигналу на практике является нереализуемой, поскольку невозможно полное измерение состояния распределенного объекта управления. Сигнал
ошибки вычисляется с использованием обратных связей по температуре в различных
точках по длине стенки. С учетом конструктивных особенностей установки по подогреву нефти датчики температуры стенки нагревателя будут размещаться между
секциями нагревателя, а также перед первой и за последней секциями. Тогда временные моды сигнала ошибки могут быть получены из решения системы [9]
( xm , p)  Tst* ( xm , p)  Tst ( xm , p) 
5
 i ( p )   i ( p ) ,
m  1, 2, ..., 7 ,
(14)
i 0
которая может быть решена методом квазиобращений.
В данной работе при исследовании системы модального управления желаемая
температура стенки трубы была установлена на уровне 120 градусов, так чтобы температура потока нефти не превышала 90 градусов, что обусловлено технологией перекачки высоковязких нефтей. В численно-аналитических моделях для стенки и потока использовались теплофизические параметры для стали и нефти. Длина теплообменного аппарата L=6,36 м; длина одной секции Lc=1 м.
В процессе исследования системы модального управления входная температура
потока была скачкообразно изменена с 20 до 30 градусов. Значения температур в
семи точках на выходе стенки в разные моменты времени – установившийся режим
154
до подачи возмущения, установившийся режим после подачи возмущения, во время
максимального температурного отклонения двух режимов – представлены в таблице.
Отклонение температуры от заданного значения 120 градусов (см. таблицу) обусловлено учетом конечного числа мод при синтезе модального регулятора и остается
в пределах одного градуса, что отвечает техническим требованиям.
Момент времени
Значения температуры в семи точках по длине стенки, град
До возмущения
Максимальное
отклонение
После нанесения
возмущения
119,54
120,83
119,21
120,83
119,13
120,832
119,63
119,85
120,64
119,34
120,72
119,23
120,74
119,64
119,6
120,75
119,26
120,75
119,23
120,75
119,64
Графики вектора управляющих воздействий Q представлены на рис. 4. Возмущение нанесено в момент времени 100 секунд, до нанесения возмущения объект
находился в установившемся режиме. Порядковые номера кривых на рис. 4 соответствуют номеру индукционных нагревателей на поверхности трубы (см. рис. 1).
1,4
3
q i , МВт/м
1
1,2
1
3
2
0,8
5
4
0,6
6
0,4
0
100
200
300
400
500
t,c
600
700
Р ис. 4 . Графики управляющих воздействий по шести индукционным нагревателям
Моменты резкого изменения характера графиков функций на рис. 4 обусловлены моментами достижения потоком очередного датчика температуры.
Проведенный анализ полученных результатов выявил высокое качество системы
в динамике, которое позволяет выполнить технологические требования, предъявляемые к исследуемому объекту.
155
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Данилушкин В.А., Калашников С.А., Шумаков М.А. Применение индукционных нагревателей в
трубопроводном транспорте высоковязких нефтей // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Технические науки. Вып. 14. Самара, 2002. – С. 178-181.
Данилушкин В.А. Разработка и исследование индукционных установок косвенного нагрева в технологических комплексах транспортировки нефти: Автореф. дис. … канд. техн. наук: 05.09.10 / Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2004. – 20 с.
Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. – М.: Наука, 1977.
Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – М: Наука, 1964. – 488 с.
Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными
параметрами: Учеб. пособие / Э.Я. Рапопорт. – М.: Высш. шк., 2003. – 299 с.
Гусева М.А. Исследование модального представления объекта при ограничениях на конфигурацию
распределенного управления // Вестник Самарского государственного технического университета.
Сер. Технические науки. Вып. 3(31). Самара, 2011. – С. 225-227.
Гусева М.А., Данилушкин И.А. Применение пространственной аппроксимации распределенных
сигналов при моделировании теплообменных аппаратов // Вестник Самарского государственного
технического университета. Сер. Технические науки. Вып. 7(28). Самара, 2010. – С. 151-157.
Данилушкин И.А., Гусева М.А. Структура системы модального управления теплообменным аппаратом // Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распред. параметрами. Труды 8-й Всерос. науч. конф. с международ. участ. – Самара: СамГТУ, 2011. – С. 44-47.
Рэй У. Методы управления технологическими процессами. Пер. с англ. – М.: Мир, 1983. – 368 с.
Статья поступила в редакцию 28 сентября 2011 г.
SYNTHESIS OF MODAL CONTROL SYSTEM OF OIL MULTISECTION
HEATER
M.A. Guseva
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100
A problem of synthesis of modal control system of an object with the distributed parameters is
considered. An induction heater of an oil flow is used as a control plant. There are taking into
account restrictions of spatial configuration of heat sources. A problem of temperature
maintenance in the heater wall at maximum allowable level is solved. The oil flow temperature
distribution is considered as a disturbance. Simulation results of created system are mentioned.
Keywords: induction heating, heating of liquid flow, object with the distributed parameters,
modal control system.

156
Maria A. Guseva, Postgraduate student.
УДК 681.5.015
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ *
А.Н. Дилигенская, Э.Я. Рапопорт
Самарский государственный технический университет
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Обратная задача теплопроводности, состоящая в идентификации функции пространственного распределения источников тепла, формулируется как задача оптимального
управления объектом с распределенными параметрами при ограничении множества
управляющих воздействий до класса непрерывных и непрерывно-дифференцируемых
функций и редуцируется к негладкой задаче математического программирования, решение которой осуществляется на основе специального метода, учитывающего альтернансные свойства искомых экстремалей.
Ключевые слова: обратная задача теплопроводности, специальные задачи математического программирования, альтернансный метод, параметрическая оптимизация.
Методы идентификации и диагностики теплообменных процессов по результатам экспериментов, охватывающие широкий круг задач инженерной теплофизики,
часто основаны на решении обратных задач теплопроводности. В большинстве случаев для получения устойчивых решений приходится использовать специальные методы регуляризации [1, 2], поэтому поиск способов решения обратных задач, позволяющих обойтись без процедур регуляризации, является актуальным.
Особый интерес представляет задача идентификации функции пространственного распределения тепла по экспериментально полученной характеристике изменения
температурного поля в процессе непрерывного нагрева в некоторой фиксированной
точке контроля.
Рассматривается типовая модель нестационарного процесса теплопроводности с
внутренним тепловыделением, описываемая линейным одномерным неоднородным
уравнением Фурье в относительных единицах при краевых условиях третьего рода:
 ( x,  )  2 ( x,  )

 F ( x,  ) ,
0  x  1, 0     0 ;
2

x
 (1,  )
 (0,  )
 Bi (1,  )  0,
 0,   [0,  0 ];  ( x,0)  0, x  [0,1].
x
x
(1)
(2)
Здесь  ( x, ) – температурное поле, зависящее от безразмерного времени (число
Фурье)  и пространственной координаты x  0,1 ; Bi – безразмерный критерий
Био, определяющий уровень тепловых потерь с поверхности нагреваемого тела;
F ( x, ) – пространственно-временное управление по мощности внутреннего тепло-
Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей
школы», проект №2.1.2/13988.
Анна Николаевна Дилигенская (к.т.н.), доцент, каф. автоматики и управления в технических системах.
Эдгар Яковлевич Рапопорт (д.т.н., проф.), профессор, каф. автоматики и управления в технических системах..
*
157
выделения, которое (например при индукционном нагреве) может быть представлено в виде произведения двух функций от одной переменной [3, 4]
(3)
F ( x, )  ( x)u( ) ,
где u ( ) – удельная величина полной мощности источников тепла, выделяемого в
нагреваемом теле, а  (x) – закон их распределения по пространственной координате.
В стандартных технологических условиях сосредоточенное внешнее воздействие u ( ) по мощности тепловыделения является известным и задача идентификации сводится к определению закона распределения теплоисточников  (x) .
Реальные распределенные воздействия  (x) обычно подчинены ограничению
( x) V , 0  x  1
(4)
принадлежности заданному множеству V соответствующих управляющих воздействий.
Приведем рассмотренную обратную задачу теплопроводности к экстремальной
постановке [1]. Требуется по заданной температурной зависимости  * ( ) в некоторой фиксированной точке контроля x *  0,1 восстановить закон распределения источников тепла  (x) по пространственной координате, минимизирующий отклонение от  * ( ) решения  ( x * , ) краевой задачи (1), (2), соответствующего искомой
функции  * ( x) при заданном характере изменения во времени мощности u ( )
внутреннего тепловыделения.
В случае оценки ошибки приближения  ( x * , ) к  * ( ) в равномерной метрике
[3, 4] на заданном временном интервале  [0,  0 ] соответствующая задача оптимального управления формулируется следующим образом. Для объекта (1), (2)
необходимо найти подчиненное ограничению (4) управляющее воздействие  * ( x) с
заданной полной мощностью тепловыделения u ( ) в (3), при котором на заданном
временном интервале достигается минимакс
I ( )  max0  ( x * , )   * ( )  min .
[ 0, ]
V
(5)
Для поиска решения подобных обратных задач [1] необходимо сужение исходного множества V управляющих воздействий до класса физически реализуемых на
интервале идентификации функций, обычно осуществляемое на основе требований
их достаточной гладкости. В большинстве физически обоснованных случаев поиск
 (x) достаточно осуществлять в классе непрерывных и непрерывнодифференцируемых на интервале [0,1]  x функций, в соответствии с чем за управление вместо  (x) достаточно принять ее вторую производную [5]
w( x)  ' ' ( x) ,
(6)
на которую накладывается типовое ограничение
w( x)  wmax , x  0,1 ,
(7)
гарантирующее непрерывность функции  (x) вместе с ее первой производной на
интервале [0,1] .
158
Связь искомой функции  (x) с новым управлением w(x) осуществляется на
основе соотношений
d
 v,  (0)   0 ;
(8)
dx
dv
 w, v(0)   ' (0)  v0 .
(9)
dx
Априори неизвестные величины wmax ,  (0),  ' (0) могут быть учтены при формировании вектора подлежащих определению параметров.
Для решения подобных задач математического программирования можно использовать точное решение краевой задачи (1), (2) в виде бесконечного ряда разложения
температурного
поля
по
собственным
функциям
 ( x, )
2 m
cos  m x рассматриваемой тепловой задачи [3, 4], где собственные
 m  sin  m cos  m
числа  m определяются решением уравнения  tg  Bi  0 .
Температурное поле в этом случае описывается выражением


1
2 m
cos( m x) exp(   m2 (   ))u ( )d cos( m  ) ( )d .


sin

cos

m
m
m 1 m
 ( x,  )  


0
0
(10)
Переходя к новому управляющему воздействию w(x) , получим следующую задачу оптимального управления.
Для объекта управления (1)-(3), (8), (9) требуется найти подчиненное ограничению (7) управляющее воздействие w( x)  w* ( x) , при котором для заданной функ-
 
ции u ( ) в (10) на заданном временном интервале   0,  0 достигается минимакс
I ( w)  max0  ( x * ,  )   * ( )  min .
[ 0, ]
w( x )
(11)
Для решения сформулированной задачи могут быть использованы известные
необходимые условия оптимальности. Существенная особенность по сравнению с
типичной ситуацией отыскания сосредоточенных управляющих воздействий, изменяющихся во времени [3-5], состоит здесь в определении пространственного управления в пределах заданного интервала изменения пространственной координаты
x  0,1 .
Перейдем к эквивалентной задаче оптимального управления объектом (1)-(3),
(8), (9) [2, 5] со стандартным интегральным функционалом качества
I ( w,  ) 
*
1
0
0
 d    min
w,
(12)
0
при дополнительном фазовом ограничении
 ( x* , )   * ( )    0,
 
  0, 0 , x*  0,1 ,
(13)
заменяющим в совокупности минимаксный критерий (11), где  – вспомогательный
параметр.
Используя преобразование Лапласа по времени в (1)-(3), (7)-(9), (11) с оператором " p" , получим описание модели объекта управления в форме следующей систе159
мы обыкновенных дифференциальных уравнений по пространственной переменной
~
~
~( x, p) соответствующих
относительно изображений  ( x, p), ( x, p), u~( p),~( x, p), w
функций  ( x, t ), ( x), u (t ), (t ) и w(t ) :
~
 d 2 ( x, p)
~
(14)
 p ( x, p)  u~ ( p) ( x)  0;

2
 dx
~

d ( x, p) ~
(15)
  ( x, p);

dx


d~ ( x, p) ~
(16)
 w( x, p)

dx

с граничными условиями
~
~
~
d (1, p)
d (0, p)
 (0) ~
 ' (0)
~
 Bi (1, p)  0;
 0;  (0, p) 
;  (0, p) 
(17)
dx
dx
p
p
~ ( x, p) , стесненным ограничением
и управляющим воздействием w
~ ( x, p )  wmax .
w
p
(18)
Здесь
~ ( x, p) 
 ( x) ~
p
;  ( x, p ) 
 ( x) ~
w( x)
; w( x, p) 
.
p
p
(19)
Критерий оптимальности (12) и фазовое ограничение (13) в изображениях по
Лапласу принимают следующий вид, где постоянный параметр  может быть опять
записан в интегральной форме, но теперь уже по пространственной координате:
1
~,  )    1 dx  min ,
I * (w
w,
p p

(20)
0
~
~*
 ( x* , p)   ( p)    0.
(21)
~ * ( x, p) , подчиВ итоге задача сводится к поиску управляющего воздействия w
ненного ограничению (18), обеспечивающего при управлении объектом (14)-(17)
минимизацию критерия качества (20) в условиях фазового ограничения (21).
Ограничимся вначале решением этой задачи без ограничения (21). Если при
~ ** ( x, p) выполняется неравенство (21), то
найденном таким образом управлении w
~ ** ( x, p) совпадает с искомым оптимальным управляющим воздействитем самым w
~ * ( x, p) . Переход в модели объекта к изображениям по Лапласу позволяет исем w
~ ** ( x, p) принцип максимума Понтрягина, непосредпользовать для отыскания w
ственно ориентированный на описание объекта управления в форме, подобной (14),
(16), интегральную форму критерия (20) и ограничения вида (18) на управляющее
воздействие. Стандартная процедура принципа максимума в задаче оптимизации
~ ** ( x, p) в форме кусочно-постоянной (релейной)
(14)-(20) приводит к отысканию w
функции пространственной координаты, попеременно принимающей только свои
предельно допустимые согласно (18) значения.
160
В соответствии с этим при переходе к оригиналам управляющее воздействие
w ( x) состоит из знакочередующихся участков его постоянства и определяется их
~
общим числом n и протяженностями  i , i  1, n
~

wmax , x  1 ;

j 1
j
w** ( x)  
(22)
~
~
j 1
(

1
)
w
,

x
:


x

 i , j  2, n ,
max
i

i 1
i 1

**

где 0  x  1 
n

 i .
~
i 1
Параметризованная форма искомого управляющего воздействия  (x) получается интегрированием соотношений (8), (9) и имеет вид


wmax 2
~

при x  0, 1 , n  1;
  ( 0)   ' ( 0) x  2 x ,

2
j
k 1

wmax 2

~ 
k 1 
 ** ( x )   (0)   ' (0) x  2 x  wmax ( 1)  x   i  ,
k 2
i 1



j 1
j

~
~
при
i  x 
 i , j  2, n, n  2.

i 1
i 1



(23)

В соответствии с (23) управляющее воздействие однозначно характеризуется
~ ~
вектором параметров, содержащим протяженности   ( i ), i  1, n знакочередующихся интервалов постоянства w** ( x) , а также априори неизвестные значения
wmax ,  (0),  ' (0) . Ограничимся далее без потери общности основных результатов
случаем постоянства во времени полной мощности внутреннего тепловыделения
u ( )  1,   0,  0 в (3). Тогда температурное поле также определяется указанным
 
~
вектором параметров   (, wmax , (0), ' (0)) , заданным при
n
 i  1
~
на замкну-
i 1
том ограниченном множестве Gn2 :   Gn 2 , и может быть представлено как реакция на сумму составляющих искомого пространственного управления (23):
~

 ( x * , ,  (0),  ' (0))   ( x * , , wmax ), x *  0, 1 , n  1;
*
( x , ,  )  
(24)
~
 ( x * , ,  (0),  ' (0))   ( x * , , wmax )   ( x * , , wmax ,  ), n  2.


Здесь ( x * ,  ,  (0),  ' (0)) – решение краевой задачи (1), (2) при управляющем воздействии ( x)  (0)  ' (0) x , которое имеет следующий вид при u ( )  1 :
( x * ,  ,  (0),  ' (0)) 
2
1
  m  sin mm cos  m cos( m x * )  2 1  exp( m2  )

m 1
m
  ( 0)

 (0)
 (0)


sin(  m ) 
cos( m )  1 
sin(  m ) ,
2
 m

m
m


'
(25)
'
( x* , , wmax ) – решение той же краевой задачи для ( x) 
wmax 2
x :
2
161
( x * ,  , wmax ) 
  m  sin mm cos  m cos( m x* )1  exp( m2  )

2
m1
(26)
 2

 1
2 
 3  sin(  m ).
 2 cos( m )  


  m

 m m 
~
Слагаемое  ( x * , , wmax , ) представляет собой реакцию температурного поля
1 wmax

m 2 2
при n  2 в точке x* на управление
 ( x)  wmax
j
 (1)
k 2
k 1
2
k 1

~ 

 x   i  , при


i 1



j 1

~
i  x 
i 1
j
 i , j  2, n, n  2
~
(27)
i 1
и имеет вид
~
 ( x * ,  , wmax , ) 
2
1
  m  sin mm cos  m cos( m x* )  2 1  exp( m2  )wmax 

m 1
m
2

 
j
j
j
j
n j


~
~  1  2  ~ 
~ 
 
k 1  2


(1)


cos






2
sin


i
m
i
m
i
m
i
 

  3  

  m2 i 1

j 2 k 2
i

1
m
i

1
i

1









2


 
j 1
j 1
j 1
j 1

2
~
~  1  2  ~ 
~   k 1 ~
 

 2
 i  cos  m  i  3   m
 i  2  sin  m  i   2  i 

   


 m i 1
 
i 1
m
i 1
i 1
i 1











j
 1

~  1
  2  cos  m  i  

 

i 1
m


 m


1
m


j





j

i 1
~ 


j 1
~ 

i 1

(28)
  i  sin   m   i    2  cos  m   i  
~
i 1
j 1

~
~    k 1 ~ 

 i  sin  m  i     i 


 
i 1
i 1

   i 1 
j 1


2

1
m

j
j 1
 1


~  1
~  



 sin  m  i 
 sin  m  i .

 

 

i 1
m
i 1



 
 m


Используя полученное описание (22)-(28), можно перейти от исходной постановки задачи (1)-(5) к специальной негладкой задаче математического программиро~
вания относительно искомого вектора параметров   (, wmax , (0), ' (0)) , принадлежащего замкнутому ограниченному множеству Gn2 :
I 0 ()  max0  ( x * ,  , )   * ( )  min .
[ 0, ]
Gn  2
(29)
Соответствующим выбором числа n и вектора параметров  можно аппроксимировать искомую функцию  (x) с любой требуемой точностью, при этом значения функционала при n   будут образовывать сходящийся ряд [2]. Таким образом, возможно решение последовательности задач при возрастании значений
n  1,2,... до некоторого значения n 0 , соответствующего требуемой погрешности
восстановления искомой функции в (11).
В соответствии с [3], [4] ошибка приближения температурного поля
*
 ( x , , 0 )   * ( ) , определяемая решением   0 задачи (29), обладает свойствами чебышевского альтернанса, фиксирующего на интервале   [0,  0 ] достижение
162
знакочередующихся максимальных по абсолютной величине отклонений, равных
 I 0 (0 ) в точках  q0 , q  1, R , число которых R  (n  2)  1 на единицу превышает
число искомых параметров. Указанное свойство позволяет составить замкнутую систему n  3 соотношений для предельных разностей температур в этих точках относительно всех неизвестных – вектора параметров 0 и значения минимакса
I 0 (0 ) [5]. В зависимости от расположения точек достижения минимакса на заданном интервале для точек, не совпадающих с его границами, система дополняется
условиями существования экстремума.
Решение системы уравнений стандартными численными методами позволяет
получить значения вектора параметров 0 , на основе которых определяется аппрок-
симация искомой функции  ** ( x ) вида (23).
Тем самым управление w** ( x ) в задаче оптимального управления (1)-(3), (8),
(9), (12) не нарушает фазового ограничения (13) при min   I (0 ) , которое достигается только в отдельных точках альтернанса  q0 на отрезке [0,  0 ]   , и, следовательно, w** ( x ) совпадает с искомым управлением w* ( x ) в исходной задаче оптимизации (1)-(3), (7)-(9), (11).
Некоторые результаты расчета по изложенной методике при идентификации
функции внутреннего тепловыделения объекта (1), (2) представлены на рисунке.
(x)
   -   *(x)
 (x),
     *(x)
6
1
4
0.5
2
0
2
1
2
0
1
-0.5
3
-2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
-1
а
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
б
Рисунок
*
а) заданное управляющее воздействие  (x) - (1) и аппроксимирующие функции  ( x) :
кривая (2) при n  1 ; кривая (3) при n  2 ;
б) ошибка аппроксимации при n  1 - кривая (1); при n  2 - кривая (2)
Погрешность восстановления заданной функции  (x) часто является удовлетворительной уже при n  1  3 . При этом максимальная погрешность, как правило,
достигается на границах интервала идентификации x  0,1 (см. рисунок) и при
n  2 составляет около 10%.
Проведенные расчеты показывают возможность идентификации функции пространственного распределения внутренних источников тепла при решении обратных
задач теплопроводности в экстремальной постановке с ограничением на вторые производные управляющих воздействий путем решения специальной задачи математического программирования с помощью альтернансного метода.
163
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
3.
4.
5.
Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. – М.: Машиностроение, 1988. – 280 с.
Цирлин А.М., Балакирев В.С., Дудников Е.Г. Вариационные методы оптимизации управляемых объектов. – М.: Энергия, 1976. – 448 с.
Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. – М.: Металлургия,
1993. – 278 с.
Рапопорт Э.Я. Альтернансный метод в прикладных задачах оптимизации. – М.: Наука, 2000. –
336 с.
Рапопорт Э.Я., Плешивцева Ю.Э. Специальные методы оптимизации в обратных задачах теплопроводности // Известия РАН. Энергетика. – 2002. – № 5. – С. 144-155.
Статья поступила в редакцию 3 октября 2011 г.
IDENTIFICATION OF SPATIAL DISTRIBUTION OF INTERNAL HEAT
SOURCES IN THE INVERSE PROBLEM OF THERMAL CONDUCTIVITY
A.N. Diligenskaya, E.Ya. Rapoport
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100
Identification of inside heat emission function is considered. Inverse heat conductivity problem
be stated as an optimal control of object with distributed parameters under the restrictions of
the set of control actions to the class of continuous and continuously differentiable functions.
The problem reduces to a nonsmooth problem of mathematical programming, and solution is
based on the special alternance method.
Keywords: inverse heat conduction problem, the special problem of mathematical programming, alternance method, parametric optimization.

164
Anna N. Diligenskaya (Ph.D. (Techn.)), Associate professor.
Edgar Ya. Rapoport (Dr. Sci. (Techn.)), Professor.
УДК 517.977.56
АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО
РЕГУЛЯТОРА В СИСТЕМЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ
ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЗАГОТОВОК
М.Х. Лапицкая
Самарский государственный технический университет
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Решается задача поиска оптимального алгоритма управления внутренними источниками тепла в системе с обратной связью для стабилизации температурного распределения по объему нагреваемой алюминиевой заготовки цилиндрической формы. Для решения задачи используются методы динамического программирования и конечных интегральных преобразований.
Ключевые слова: объект с распределенными параметрами, критерий оптимальности,
конечное интегральное преобразование, температурное поле, удельная мощность внутренних источников тепла, замкнутая система.
Введение. В работе рассматривается проблема синтеза замкнутой системы оптимального управления процессом индукционного нагрева алюминиевой заготовки
цилиндрической формы, представляющего собой объект с распределенными параметрами (ОРП). Для случая полного измерения функции состояния формулируется и
решается задача поиска оптимального алгоритма пространственно-временного
управления внутренними источниками тепла F * (( x, t )), определяемого как функция управляемой величины, представляющей собой распределение температурного
поля ( x, t ) по пространственной координате x и во времени t . В роли показателя
качества выступает взвешенная с постоянными коэффициентами сумма интегральных квадратичных ошибок приближения температурного поля на всем протяжении
процесса управления к заданному распределению и энергетических затрат.
Для поиска алгоритма оптимального управления применяется метод динамического программирования, основное соотношение которого находится с использованием принципа оптимальности Беллмана.
Постановка задачи аналитического конструирования регулятора. Рассмотрим задачу аналитического конструирования регулятора (АКОР) при управлении
распределением температурного поля ( x, t ) по радиусу R бесконечного цилиндра
в процессе его индукционного нагрева.
Для объекта управления, описываемого в отклонениях от невозмущенного состояния ( x, t )  0 уравнением теплопроводности Фурье вида
( x, t )
 2 ( x, t ) a ( x, t ) 1
a

 F ( x, t ); 0  x  R, t  0
t
x 2
x x
c
(1)
с граничными и начальными условиями

Мария Хамильевна Лапицкая, аспирант, каф. автоматики и управления в технических
системах.
165
( R, t )
 ( R, t )  0;
x
(0, t )
 0; ( x,0)   0 ( x); x  [0, R],
x

(2)
требуется найти алгоритм управления с обратной связью F * (, x, t ) , обеспечивающий минимум следующего критерия оптимальности:


I  S dt  min ,
(3)
0
где
R
R
0
0
S  1   2 ( x, t ) dx  2  F 2 ( x, t ) dx.
(4)
Здесь F ( x, t ) – управляющее воздействие, в роли которого выступает удельная
мощность внутреннего тепловыделения;  – коэффициент теплопроводности; c –
удельная теплоемкость;  – плотность; a – коэффициент температуропроводности;
 – коэффициент конвективной теплоотдачи;  1 и  2 – заранее фиксируемые весовые коэффициенты. Отклонения от заданного состояния ( x, t )  0 возникают за
счет ненулевых начальных условий.
Критерий оптимальности (4) представляет собой взвешенную сумму интегральных квадратичных ошибок приближения температурного поля на всем протяжении
процесса управления к невозмущенному состоянию ( x, t )  0 и энергетических затрат, оцениваемых величиной интеграла от квадрата управляющего воздействия по
области его определения.
Решение задачи АКОР. Используя принцип оптимальности Беллмана [1], получим основное уравнение метода динамического программирования:
 dV (( x, t ), t )
  dV (( x, t ), t )

min 
 S (, F , t )   
 S (,F , t ) 
 0,
(5)
F ( x ,t ) 
dt
dt
 
 F F *
согласно которому в любой момент времени t  [0, t1 ] в оптимальном процессе
должно выполняться равенство (5). Здесь функционал S (,F , t ) задается при выборе
критерия оптимальности в форме (3), а заранее неизвестный функционал V (( x, t ), t )
представляет собой минимальную величину его составляющей на участке (t' , t1 ) оптимального процесса:
 t1



V ( , t )  min
 S dt ,
(6)
F ( x ,t ),t[ t ,t1 ] 

 t
где t  – произвольное значение времени, принимаемое в качестве начального момента.
Уравнение динамического программирования при t   следует дополнить
условием
lim V (( x, t ), t )  0 ,
(7)

t 
которое эквивалентно требованию асимптотической устойчивости процесса управления [2].
166
Для поиска алгоритма оптимального управления используем метод динамического программирования. Решение уравнения (5) относительно V будем искать в
форме, зависящей от произведения ( x, t ) (, t ) :
RR
V   ( x,  ) ( x, t ) ( , t ) dx d ,
0 0
(
8)
где ( x, ) – подлежащая определению функция только пространственных координат;  – переменная интегрирования по пространственной координате [1].
После преобразований получим алгоритм оптимального управления в искомой
форме закона обратной связи по управляемой функции состояния (уравнения регулятора), определяемый через функцию ( x, ) [1]:
F * (( x, t ))  

2 2
R
 ( x, )  (, x)(, t ) d,
0
(
9)
1
где   .
с
Функция ( x, ) является решением интегро-дифференциального уравнения
следующего вида [1]:
L( )  1 
1 2
4 2
R
 (, x)  ( x, )(, )  (, )d  0,
(10)
0
где
L() 
2

2




a ( x, )    a ( x, )
a

(
x
,

)


(
x
,

)

2
2
x
  
x

.
(
1)
Уравнение (10) можно рассматривать с учетом выражения (11) для оператора
L() как нелинейное интегро-дифференциальное по пространственным переменным
x и  уравнение относительно искомой функции ( x, ) с граничными условиями
следующего вида:

a


( x1 , ) a   a( x, ) 
 ( x1 , )  0;

 x
 x  x1 x1
a



( x 0 , )  0;
 x a ( x, ) 

 x  x0 x 0



a
( x, x1 ) a   a ( x, ) 
 ( x, x1 )  0;

 
  x x1
(
2)
1


a
 ( x, x0 )  0, x0  0, x1  R.
  a ( x, ) 

  x0 x0
Отсюда следует, что ( x, )  (, x) , т. е. эти функции симметричны.
Используя метод конечных интегральных преобразований [2], можно привести
уравнение (10) к бесконечной системе квадратичных алгебраических уравнений и
построить итерационную процедуру приближенного отыскания ее корней с требуемой точностью [1].
В качестве ядра преобразования используем собственные функции
~
~ ( , ) составляющих L и L оператора L() в (11) с собственными
 n ( n , x ), 
1
2
m
m
167
~2 ,
~ 2 , т. е. такие функции, для которых выполняются равенства:
числами 
n
m
2
 a

L1 ~n ( ~n , x)   2 a ~n ( ~n , x)   ~n ( ~n , x)   ~n2~n ( ~n , x);
x
x  x


2
 a ~ ~
L2 ~m ( ~m ,  )   2 a ~m ( ~m ,  ) 
 m (  m , x)   ~m2~m ( ~m ,  ),


  

n  1,2,..., m  1,2,...
(3)
~ ) ортого~ ) и L (
~ (
~ , x ) n  1,2,..., операторов L (
Собственные функции 
n
n
1
n
2
m
r ( x) [1,2],
нальны друг другу с весом ~
x1
 ~
~
~
m ( m , x )  n ( n , x ) r ( x ) dx
 0 для всех m  n ,
x0
(
4)
x
~
r ( x)  .
а
(
5)
Представим далее функцию ( x, ) в (8) форме ее разложения в бесконечный
~ (
~ , x ) [1]:
ряд по ортонормированному семейству 
n

n

 ( x,  )  nm~n ( ~n , x) ~n ( ~m ,  ),
(
6)
~
~
где остается при известных собственных функциях  n ,  m определить коэффициенты
n 1 m 1
x1 x1
nm    ( x,  )~n ( ~n , x)~m ( ~m ,  ) ~
r ( x) ~
r ( ) dx d .
x0 x0
(
7)
~ (
~ (
~ , x) , 
~ , ) и 
~ ,
~ могут быть найдены как решения уравФункции 
n
m
n
n
m
m
нений (13) со следующими из (12) при представлении ( x, ) в форме (16) , граничными условиями:

d~ ( ~ , x )
a ~ ~
 n (  n , x0 )  a n n 0  0;
x0
dx
(
8)
~ (
~ ,x )

d
a ~ ~
(
m
m 1
 a    
(

,
x
)

a
 0.
m
m 1
9)

x
d

1

Общие решение уравнений (13) определяется следующим выражением:
~n ( ~n , x)  D1xJ 0(
~n
a
x)  D2 xY 0(
~n
a
x),
(2
010)
где J 0( z ) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Y 0( z ) – функция Бесселя второго рода нулевого порядка.
~ . Подставив в
Далее необходимо найти значения коэффициентов D1 , D 2 , и 
n
~
~
выражение (18) общее решение для  ( , x) в форме (20), после некоторых преобn
n
разований получим, что равенства (18) выполняются при любых коэффициентах D1 ,
D 2 . Для удобства примем значения D1  1 , D 2  0 .
168
Далее, используя замену вида
2
~ 2  an , n  0 ,1,2 ,...,

n
R2
(
11)
запишем граничное условие (19) в виде уравнения
R
(
.
12)

Тогда собственные функции будут иметь следующий вид:
(
~ (
~ , x)  xJ   x , n  0,1,2,...

n
n
n
0
13)
 R
Для дальнейшего решения необходимо вместо D1  1 принять D1  1 / E n , т.е.
(
~ (
~ * (
~ , x)  1 
~ , x) ,

n
n
n
n
14)
En
* ~
~
где  n ( n , x ) есть решение (13), (12) с единичным множителем, а E n2 – квадрат нормы собственных функций, который определяется по формуле
BiJ 0  n    n J 1  n   0, Bi 
 ~
R
E n2 

2~
*
n ( n , x ) r ( x ) dx, n
 0,1,2,...
0
(
15)
~  становится ортонормированной.
Таким образом, система 
n
Подставив ( x, ) в форме (16) в выражение (11), после преобразований в силу
равенств (13), получим выражение для L() следующего вида [1]:




L( )  nm ~n2  ~m2  n ( ~n , x)  m ( ~m ,  ).
(16)
n 1 m 1
Аналогично ( x ,  ), представим весовой множитель 1 в (10) его разложением в
бесконечный ряд
1 


 
1nm
~ (
~ (
~ , x) 
~ , ) ,

n
n
m
m
(17)
n 1 m 1
где
RR
1nm 

1
~ (
~ (
~ , x) 
~ ,) ~

r ( x) ~
r () dx d .
n
n
m
m
(18)
0 0
Далее найдем выражение для подынтегральной функции в (10), используя формулу (16), из которой, в частности, следует, что nm  m n для симметричных функций ( x, ) .
В рассматриваемом случае уравнение (10) после преобразований сводится к бесконечной системе квадратичных уравнений относительно коэффициентов nm разложения искомой функции ( x, ) в ряд (16) [1]:
~
2
n


~ 2    I     ; n, m  1,2,...

m
nm
n1m1 nn1 mm1
1nm
n1 ,m1 1
(19)
где
I n1m1 
2
2
R

~ (
~ (
~ , ) 
~ , ) d .
n1
n1
m1
m1
(30)
0
169
~ , 
~ , a, c,  ,  , 
Система уравнений (29) при заданных значениях 
n
2
m
1nm
решается методом последовательных приближений, предложенным в [1].
По найденным корням системы (29) искомая функция ( x, ) восстанавливается
в форме суммы N 2 учитываемых членов бесконечного ряда (16).
Подстановка этой суммы в уравнение регулятора приводит с учетом равенства
nm  mn к явной форме зависимости оптимального управления от пространственной координаты и сигнала обратной связи по измеряемой функции состояния:
F * (( x, t ))  

2
N
N

x1

~ (
~ (
~ , x) (, t ) 
~ , ) d.
nm 
n
n
m
m
n 1 m 1
x0
(
20)
Согласно [2], функция состояния ( x, t ) рассматриваемого объекта может быть
представлена ее разложением в сходящийся в среднем ряд по ортонормированной с
весом r (x) системе собственных функций:
( x, t ) 

 n ( n , t ) ( n , x),
(
21)
n 1
где ( n , x ) – собственные функции,  n – собственные числа, весовой коэффициент
r ( x) ,  ( , t ) – моды разложения, определяемые сив данном случае равен r ( x)  ~
n
n
стемой уравнений следующего вида [1, 2]:
N
d k*
2 *
  k k 
Pkv  v*  0,  k ( k ,0)   0(0) ( k ), k  1, N ,
dt
v 1

(22)
где Pkv определяются следующим выражением [1]:
Р и с. 1. Температурное поле в различные моменты
времени оптимального процесса:
1  t  0c, 2  t  100c, 3  t  320c
Р и с. 2. Распределенное управляющее воздействие в различные моменты времени:
1  t  0c, 2  t  100c, 3 
t  320c
170
2
Pkv 
2
x1

x0
N N

~ (
~ , ) 

(

,

)
r
(

)
nm 
 k k
n
n
n 1 m 1


(23)

~
~

  m ( m ,)  v ( v , ) d d  const, k , v  1, N .

x0

На рис. 1-2 приведены некоторые результаты вычислений для значений N  3
для равномерного начального распределения температурного поля  0 ( x)  440 C
x1

в процессе нагрева алюминиевого цилиндра радиусом R  0,24 м при следующих
теплофизических
параметрах
процесса:
  171,4 Вт м С ,
a  7,66  10 5 м 2 с ,
1 ( x, t )  1,  2 ( x)  10 10 , критерий Био Bi  0,05 .
Заключение. В результате работы получен оптимальный по критерию (3) алгоритм пространственно-временного управления внутренними источниками тепла в
процессе индукционного нагрева алюминиевой заготовки цилиндрической формы.
Полученный алгоритм оптимального управления обеспечивает асимптотическую
сходимость температурного поля к заданному состоянию.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
Рапопорт Э.Я. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. – М.: Высш.
шк., 2008. – 677 с.
Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными
параметрами. – М.: Высш. шк., 2003. – 299 с.
Статья поступила в редакцию 4 октября 2011 г.
ANALYTICAL CONTROLLERS DESIGN IN CONTROL PROBLEM
FOR INDUCTION HEATING PROCESS OF CYLINDRICAL BILLET
M.H. Lapitskaya
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100
This paper considers the problem of searching for optimal control algorithm by internal heat
sources in feed-back system for stabilization of temperature field within the volume of heated
aluminum billet. The problem is solved by using dynamic programming method and finite integral transform method.
Keywords: оbject with distributed parameters, optimization criterion, finite integral transform
method, temperature field, internal heat source density, feedback system.
Maria H. Lapitskaya, Postgraduate student.
171
УДК 621.785, 669.2, 519.6
ЭНЕРГОСБЕРЕГАЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССАМИ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА1
Ю.Э. Плешивцева, О.Ю. Шарапова
Самарский государственный технический университет
443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244
Сформулированы и решены задачи оптимального по критерию минимума расхода энергии управления процессами индукционного нагрева металла в установках периодического и непрерывного действия с применением двумерных численных нелинейных моделей
взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей.
Ключевые слова: оптимальное управление, численные модели, альтернансный метод,
индукционные установки, периодический и проходной нагрев, минимальные энергозатраты.
Энергоемкие индукционные нагревательные установки (ИНУ), предназначенные для сквозного нагрева металлических полуфабрикатов перед последующими
операциями пластической деформации, обладают рядом технико-экономических
преимуществ по сравнению с конкурентоспособными технологиями, что обуславливает их широкое и непрерывно возрастающее применение в различных отраслях
промышленности. При этом основную статью себестоимости продукции в электротехнологических комплексах обработки металлов давлением составляют затраты на
электроэнергию.
Поскольку ближайшие перспективы развития производства определяются ориентацией на промышленное внедрение высокопроизводительных энергоемких ИНУ,
проблема оптимизации их режимов работы по критерию минимального расхода
энергии становится особенно актуальной.
Статья посвящена решению задач оптимизации энергозатрат в процессах индукционного нагрева стальных цилиндрических заготовок в проходных и периодических ИНУ, которые описываются двумерными электромагнитно-тепловыми моделями, разработанными в программном пакете FLUX.
Математические модели процессов индукционного нагрева металла. Процесс периодического индукционного нагрева заготовки цилиндрической формы описывается взаимосвязанной нелинейной системой уравнений для электромагнитного
и температурного полей [1]:
(  а ( H ( l , y ,  ), T )H ( l , y ,  )) 1   1 H ( l , y ,  )    1 H ( l , y ,  ) 
l
  
  0 ;


l l  ( T )
l
y
 y  ( T )

(1)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проект 10-08-00622) и Федеральной целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России на 2009-2013 гг.» (проект №14.740.11.1282).
Юлия Эдгаровна Плешивцева (д.т.н., доц.), профессор, каф. управления и системного
анализа в теплоэнергетике..
Ольга Юрьевна Шарапова, аспирант, каф. управления и системного анализа в теплоэнергетике.
172
1
2
с( T )  (T )
T (l , y, ) 1  
T (l , y, )   
T (l , y, ) 
1  H (l , y, ) 
 

 (T )l
   (T )

 ,

l l 
l
y
l
 y 

 (T ) 
(2)
0  l  R; 0  y  L; 0     0
дополняемой граничными условиями:
H (0, у, )
 0; H ( R, y, )  H L ; H (l ,0, )  H R1 ; H (l , L, )  H R 2 ;
l
(3)
T ( 0 , y ,  )
T ( R , y ,  )
 0 ; ( T )
 ( T )( T ( R , y ,  )  Ta );
l
l
T ( l ,0 ,  )
T ( l , L ,  )
( T )
 ( T )( T ( l , 0 ,  )  Ta ); ( T )
 ( T )( T ( l , L ,  )  Ta ) ,
y
y
(4)
где l, y – радиальная и осевая пространственные координаты соответственно; L –
длина цилиндра; R – радиус; H ( l , y ,  ) – напряженность магнитного поля;  а ( H ,T ) –
абсолютная магнитная проницаемость; T ( l , y ,  ) – пространственно-временное распределение температуры по объему заготовки; (T ), c(T ), (T ), (T ) – соответственно удельные значения электропроводности, теплоемкости, плотности и коэффициент
теплопроводности нагреваемого металла; (T ) – коэффициент теплоотдачи в окружающую среду; T а – температура окружающей среды.
Температурное поле в процессе непрерывного индукционного нагрева столба
заготовок цилиндрической формы описывается следующим нелинейным уравнением
стационарной теплопроводности [1]:
с( y )  ( y )V
T (l , y ) 1  
T (l , y )   
T (l , y ) 
  W1 ( y )W Д (l , y )

 ( y )l
   ( y )
y
l l 
l  y 
y 
0  l  R; 0  y  L
(5)
с граничными условиями
Т ( R , y )
T ( 0 , y )
 ( y )( T ( R , y )  Ta );
 0;
l
l
Т ( l , L )
T ( l ,0 )
 ( y )( T ( l , L )  Ta );
 0.
y
y
(6)
В целях упрощения модели в (5) принимается пренебрежимо малым эффект передачи тепла теплопроводностью вдоль оси заготовки. Действительный характер
зависимостей удельной теплоемкости, плотности и коэффициента теплопроводности
нагреваемого металла, а также радиального распределения источников тепла от температуры W Д (l , y) учитывается эквивалентными их зависимостями от продольной
координаты у.
Решение сложных систем взаимосвязанных нелинейных, многомерных уравнений Максвелла и Фурье (1)-(4), (5)-(6) можно реализовать только численными методами. Для численного моделирования ИНУ используется конечно-элементный специализированный программный пакет Cedrat FLUX, предназначенный для многопараметрического электромагнитного и теплового анализа. Алгоритм совместного решения электромагнитной и тепловой задачи представляет собой последовательную
173
итерационную процедуру, включающую гармонический электромагнитный анализ и
переходный тепловой анализ [2].
Постановка и решение задачи оптимального по энергозатратам управления
ИНУ периодического действия. Для решения задачи оптимального управления
(ЗОУ) нагревом металлических цилиндрических заготовок периодический процесс
индукционного нагрева металла (ПИНМ), описываемый уравнениями (1)-(2) с краевыми условиями (3)-(4), рассматривается в качестве объекта управления с распределенными параметрами, состояние которого определяется пространственновременным распределением температуры T ( l , y ,  ) по объему нагреваемого тела
[1, 3]. В качестве сосредоточенного управляющего воздействия выступает напряжение индуктора u() , которое связано нелинейной функцией f ( H (l , y, ), T (l , y, )) с
напряженностью магнитного поля на поверхности нагреваемого тела и подчинено
ограничению
0  u ()  u max ,   (0;  0 ) .
(7)
В качестве критерия оптимальности рассматривается минимальный расход энергии на нагрев заготовки
0
J   P(  )d  min ,
(8)
0
где P() – закон изменения во времени потребляемой ИНУ мощности, связанной
квадратичной зависимостью с напряжением на индукторе u() , что позволяет записать критерий (8) в виде
0
J Э   u 2 (  )d  min .
(9)
0
Начальное условие записывается в виде
T ( l , y ,  )  T ( l , y ,0 )  T0 ( l , y ), l  [ 0 , R ]; y  [ 0 , L ] .
(10)
Точность приближения результирующего температурного распределения к требуемому оценивается по максимальной величине ε 0 абсолютного температурного
отклонения в пределах пространственной области, занимаемой объектом, т. е. в равномерной чебышевской метрике:
max T (l , y, 0 )  T *   0 .
l[ 0; R ]
y[ 0; L ]
(11)
Задача оптимального по энергозатратам управления ИНУ периодического действия сводится к задаче поиска такого переменного во времени управляющего воздействия u ()  u опт () , стесненного ограничением (7), которое обеспечивает перевод объекта (1)-(4) из начального состояния (10) в заданное целевое множество (11)
при минимальном значении критерия оптимальности (9) [3].
Для рассматриваемых нелинейных двумерных моделей ПИНМ справедлив вывод о релейном характере изменения во времени оптимального по критерию (9)
управления u опт () , что позволяет записать его Δ ( N ) – параметризованное представление в виде кусочно-постоянной функции времени [4]:
174

 
j 1
j
u max
(12)
1  (1) j 1 ,
i   
 i , j  1, N ,
2
i 1
i 1
попеременно принимающей свои предельно допустимые, согласно (7), значения и
однозначно задаваемой с точностью до числа N и длительностей  i , i  1, N интервалов своего постоянства, выступающих в роли искомых параметров, зависящих
только от требуемой точности нагрева  0 в (11).
Поскольку при управлении по напряжению вида (12) энергопотребление происходит только на интервалах с максимально допустимым значением управляющего
воздействия uопт(  )  umax , величина энергозатрат, описываемых критерием (9), может быть оценена эквивалентным критерием, представляющим собой сумму длительностей нечетных интервалов управляющего воздействия вида (12). Это позволяет произвести редукцию исходной ЗОУ к следующей задаче полубесконечной оптимизации (ЗПО):
u опт () 
JЭ ( Δ ) 

N1
 i  min ,Ф( Δ )  max T ( l , y , Δ )  T *   0 ; Δ  ( 1 ,  2 , ...,  N ),
i 1, 3 , 5 , ...,N1

l [ 0 ; R ]
y[ 0 ; L ]
(13)
N1  N для нечётных N , N1  N  1 для чётных N ,
на минимум функции I Э конечного числа N переменных  i , i  1, N c бесконечным
числом ограничений, записываемых в (13) в форме требования, предъявляемого к
конечному состоянию объекта.
Решение ЗПО (13) проводится по общей схеме альтернансного метода [1] с учетом установленных качественных характеристик температурных полей T (l , y, Δ) ,
рассчитываемых по численной двумерной электротепловой модели, разработанной в
программном пакете FLUX при управлении вида (12) [3].
Применение альтернансного метода в задаче на минимум расхода энергии в
процессе нагрева отличается существенной спецификой [5]. В данной задаче остаются справедливыми базовые свойства результирующего температурного распределения в конце оптимального процесса, характеризуемого вектором Δ 0  01 , 02 , .., 0N
оптимальных решений ЗПО (13). Согласно этим свойствам, температура в конце оптимального процесса отличается от требуемой на предельно допустимую величину

0
в некоторых K точках
x 0j  (l 0j , у 0j ), j  1, K

по объему заготовки, где
К  N , N  1, общее число которых оказывается равным числу всех искомых неизвестных, что приводит к замкнутой системе соотношений
 T ( l 0 , y 0 Δ 0 )  T *   , j  1, 2 , ..., K ; 0  l 0  l 0  ..  l 0  R ;
j
j
0
1
2
K

(
N
)
(
N

1
)
 N , если 

min   0   min ;
K  
(N)
 N  1, если  0   min .

(14)
N)
Здесь  (min
– предельно достижимые отклонения результирующей температуры
от заданной в классе управляющих воздействий с N интервалами постоянства, составляющие убывающий ряд неравенств
1)
2)
N)
N 1)
N )
 (min
  (min
 ...   (min
  (min
 ...   (min
  inf  0 ,
*
(15)
175
где  inf – предельно достижимая точность нагрева в классе кусочно-постоянных
управлений вида (12) с любым числом интервалов постоянства.
Однако в задаче на минимум расхода энергии уже не имеет место альтернансное
свойство результирующего температурного распределения в конце оптимального
процесса и установленное в альтернансом методе правило выбора числа N интервалов постоянства оптимального управления. Кроме того, известные выводы о пространственной конфигурации температурного распределения в конце оптимального
по быстродействию управления и следующие из них обоснования для конструирования расчетных систем уравнений нельзя распространить на энергосберегающие
алгоритмы управления.
В частности, при решении ЗОУ по критерию минимума расхода энергии необ1)
ходимо учитывать, что при точности нагрева  0   (min
алгоритм оптимального
управления значительно отличается от оптимальных по быстродействию алгоритмов
управления [1]. Вместо одноинтервального алгоритма в задаче быстродействия оптимальное по энергозатратам управление является двухинтервальным и представляет собой интервал нагрева длительностью 01 при uопт(  )  umax и интервал выравнивания температуры длительностью 02 при uопт(  )  0 . Можно показать, что в
данном случае результирующее температурное распределение в конце процесса, оптимального по расходу энергии (рис. 1, а), характеризуется предельно допустимым
недогревом в центре нагреваемой заготовки и на ее поверхности в одном из поперечных сечений (рис. 1, б, кривая 2). При этом максимальная конечная температура,
которая достигается в другом поперечном сечении заготовки, не достигает своего
предельно допустимого значения (рис. 1, б, кривая 1) [3].
а
б
1)
Р и с. 1. Результирующие распределения температур при  0   (min
:
а – по объему заготовки; б – в поперечных сечениях с максимальными температурными отклонениями: 1 – у  32 мм ; 2 – у  у10  у20  450 мм
Алгоритмы, оптимальные по быстродействию и энергозатратам, совпадают
2)
лишь при точности нагрева  0   (min
, которой соответствует единственно возможная пространственная конфигурация результирующего температурного распределения, по-прежнему характеризуемая предельно допустимым недогревом в центре
нагреваемой заготовки и на ее поверхности в одном из поперечных сечений (рис. 2,
б, кривая 2). Однако при этом максимальная конечная температура, которая достига-
176
ется в другом поперечном сечении заготовки, достигает предельно допустимого значения (рис. 2, б, кривая 1).
Решение ЗОУ процессом периодического индукционного нагрева проводилось
для следующих исходных данных: радиус заготовки – 52,5 мм; длина заготовки –
900 мм; начальная температура – 20 ºC; заданная температура заготовки – 1200 ºC;
длина индуктора – 1046 мм. В качестве материала заготовки выбрана конструкционная углеродистая качественная сталь марки 40.
Температурные распределения по объему заготовки в конце оптимальных по
1)
2)
энергозатратам процессов нагрева для  0   (min
и  0   (min
представлены на
рис. 1, а и 2, а соответственно.
При максимальном значении напряжения источника питания u max  470 B и за1)
данной точности  (min
 90,15 0 С время нагрева составило 01 = 530 с, время вырав-
нивания температур 02 =15,1 с, расход энергии на нагрев одной заготовки –
9,175 Вт/ч, поверхностные тепловые потери – 2,317 кВт/ч.
2)
При максимальной точности нагрева (min
 66,40 С длительность интервала
нагрева при максимальном напряжении источника питания u max  470 B составляет
01 =563,85 с, продолжительность интервала выравнивания температур 02 =13,3 с.
Расход энергии, необходимый для индукционного нагрева одной заготовки, равен
9,682 кВт/ч, при этом потери с ее поверхности составляют 2,637 кВт/ч.
а
б
Р и с. 2. Результирующее распределение температур при  min :
( 2)
а – по объему заготовки; б – в поперечных сечениях с максимальными температурными отклонениями: 1 –
у  у Э 2  415 мм ; 2 – у  у10  у30  450 мм
Постановка и решение задачи оптимального по энергозатратам управления
двумерной численной моделью ИНУ непрерывного действия. Рассмотрим стационарный процесс непрерывного индукционного нагрева в качестве объекта управления с распределенными параметрами, описываемого уравнениями (1), (5) с граничными условиями (2), (6) [1, 3].
В качестве управляющего воздействия выступает распределение удельной мощности источников тепла W1 ( y ) по длине индуктора L, определяющей расход энергии
на нагрев заготовок и подчиненной ограничению
177
0  W1 ( y )  W1 max , 0  y  L .
(16)
T (l , y )  T (l ,0)  T0 (l ) .
(17)
Начальное условие:
Точность приближения радиального температурного распределения в поперечном сечении заготовки на выходе индуктора T (l , L) к требуемой температуре T *
оценивается по максимальной величине  0 абсолютного отклонения:
max T (l , L)  T *   0 .
(18)
l[ 0, R ]
Для объекта, описываемого уравнениями (1), (5) с краевыми условиями (2), (6),
(17), необходимо определить такое оптимальное управление W1 ( y )  W1опт ( y ) , при
котором требование (18) выполняется при минимально возможном в условиях (16)
значении критерия оптимальности (8).
Аналогично ЗОУ периодическим процессом нагрева для рассматриваемого
класса моделей оптимальное управление W1опт ( y ) также есть релейная функция в
данном случае пространственной координаты, которая в условиях ограничения (16)
может быть записана в виде [4]
W1опт ( у) 


W1max
1  (1) j 1 , y j 1  у  y j , j  1, N , y N  L .
2
(19)
Таким образом, оптимальное распределение мощности представляет собой чередующиеся по длине нагревателя участки с максимальной мощностью источников
тепла и ее отсутствием протяженностью  j  y j  y j 1 , j  1, N .
Поскольку входным параметром численной модели ИНУ непрерывного действия является ток источника питания, которым однозначно определяется мощность
внутренних источников тепла, можно перейти от управления W1 ( y ) к алгоритму оптимального управления по току индуктора I ( y ) , аналогичному (19),
I опт ( y ) 

 
I max
1  (1) j 1 ,
2
j 1
i
 у
i 1
j
 i ,
j  1, N
(20)
i 1
при ограничении на I ( y ) вида
0  I ( y )  I max , 0  y  L .
(21)
Тогда в рассматриваемом случае исходная ЗОУ вновь сводится к задаче определения числа N и длительностей i , i  1, N интервалов постоянства релейного оптимального управления. При этом величина энергозатрат, описываемых критерием (8),
может быть оценена эквивалентным критерием, представляющим собой сумму длительностей нечетных интервалов управляющего воздействия. Сказанное вновь позволяет произвести редукцию исходной ЗОУ к ЗПО вида [1, 3]
J (Δ ( N ) ) 
N1
 i
i 1, 3, 5, ..., N1
 min ;

max T (l , L, Δ)  T *   0 ; Δ  (1 ,  2 , ...,  N ),
l[ 0, R ]
N1  N для нечётных N , N1  N  1 для чётных N ,
которая решается по общей схеме альтернансного метода.
178
(22)
Решение задачи оптимального по энергозатратам управления процессом непрерывного индукционного нагрева стальных цилиндрических заготовок проводилось
для следующих исходных данных: радиус заготовки – 17 мм, скорость движения –
35,2 мм/с, начальная температура заготовок – 20 ºC, требуемая температура на выходе из печи – 1200 ºC.
При максимальном значении тока источника питания I max  5096 А и заданной
1)
точности  (min
 14,50 С длина активной секции составляет 1307 мм, пассивной секции – 63,36 мм. Расход энергии на нагрев заготовок в оптимальном по энергопотреблению процессе составляет 2,7045 кВт/ч, тепловые потери – 0,1797 кВт/ч.
2)
При максимальной точности нагрева  0   (min
 7,6 0 С длина активной секции
индуктора составляет 1396 мм, пассивной секции – 39,4 мм, расход энергии на
нагрев заготовок в оптимальном по энергопотреблении процессе управления составляет 2,857 кВт/ч, тепловые потери – 0,1968 кВт/ч.
а
б
Р и с. 3. Результирующие температурные распределения на выходе из двухсекционного
нагревателя: а – при  0   min ; б – при  0   min
(1)
( 2)
Радиальные температурные распределения на выходе двухсекционного нагревателя для рассмотренных случаев представлены на рис. 3.
Заключение. В работе сформулированы и решены задачи оптимального по
энергопотреблению управления процессами сквозного индукционного нагрева
стальных цилиндрических заготовок. Применение энергосберегающих алгоритмов
приводит к повышению энергоэффективности процесса периодического индукционного нагрева на 5 % по сравнению с типовым режимом работы нагревательной установки, которому соответствует напряжение источника питания, равное 440 В. Выигрыш по расходу энергии для непрерывной ИНУ по сравнению с типовым режимом
работы нагревателя при токе источника питания, равном 5100 А, составляет 15 % [1,
3].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
2.
Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. – М.: Металлургия,
1993. – 279 с.
Шарапова О.Ю. Численное моделирование процесса периодического индукционного нагрева на
базе конечно-элементного программного пакета FLUX // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер.
Технические науки. – 2011. – №7 (28). – C. 180-185.
179
3.
4.
Rapoport E., Pleshivtseva Y. Optimal Control of Induction Heating Processes, CRC Press, London, New
York, 2007.
Рапопорт Э.Я. Оптимальное по быстродействию управление нелинейными объектами технологической теплофизики // Элементы и системы опт. идент. и упр. технолог. процессами. – Тула, 1996.
– С. 81-91.
Статья поступила в редакцию 5 октября 2011 г.
ENERGY-SAVING ALGORITHMS OF OPTIMAL CONTROL
OF INDUCTION HEATING PROCESSES
Yu.E. Pleshivtseva, O.Yu. Sharapova
Samara State Technical University
244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100
The problems of optimal control by processes of metal induction heating in batch and continuous installations have been formulated and solved regarding to criterion of minimum energy
consumption. The solution is based on two-dimensional numerical nonlinear models of interrelated electromagnetic and thermal fields that have been developed in FLUX software.
Keywords: optimal control, numerical simulation, alternance method, induction heating, batch
and continuous heating, minimum of energy consumption.

180
Yulia E. Pleshivtseva (Dr. Sci. (Techn.)), Professor.
Olga Yu. Sharapova, Postgraduate student.