В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы

Контрольные работы по алгебре и геометрии в 10 классе
(профильный уровень).
Каждая контрольная работа содержит разноуровневые задания.
Контрольная работа № 4 по теме « Корень n – ой степени. Иррациональные уравнения и
неравенства « Алгебра 10 класс Вариант 1
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1.Упростите выражение
А) 5 c ; Б) 8 c ;
6
В)
4
c ; Г)
c
4
c
2. Вычислите значение выражение (
А) 1;
Б)
1
;
2
В)
1
;
8
14 4
2)
2
Г) 4.
3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби
18
4
27
2
А) 6 4 27 ; Б) 9 4 3 ; В) 4 27 ; Г)6 4 3 .
3
4. Найдите значение выражения 0,25  3 0,008
А) 0,3;
Б) 0,1;
В)0,7; Г)0,4;
5. Сократите дробь
А)
x -3) ; Б)
4
x 9
4
x 3
x +3;
В)
4
x - 3; Г) x +3;
6. Найдите сумму корней уравнения x  3  3 x  2  4 4  x =0
А)7; Б)9; В)1; Г)- 1;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
3x 2  7 x  4 = -х
 a 8
a  8  16 a
:

8. Упростите выражение 
 a 8
 64  a
a

8


7. Решите уравнение
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
 x  25 y  10 xy  100,
9. Решите систему уравнений 
 x  y  4.
x  8  2 x  1 =2
10. Решите уравнение
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)
11. Решите неравенство (х-3) x 2  x  2 ≥0
 y  a  x,
12. Определите количество решений системы 
2 x  y  1  0
в зависимости от значений
параметра а.
Контрольная работа № 4 по теме « Корень n – ой степени. Иррациональные уравнения и
неравенства « Алгебра 10 класс Вариант 2
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1.Упростите выражение
А) а15;
Б) а4; В) 15 a ; Г)
4
20
a5
a.
(3 3 ) 3
2. Вычислить значение выражения
6
1
1
3
9
А) ; Б) ; В)
; Г) ;
2
3
2
2
3. Значение какого из выражений не является целым числом?
4
12
А) (3)
12
Б)
64 4
;
3
3
В)
54
3
2
; Г) 3  64 ;
4. При каких значениях х выполняется равенство
А)1; Б) 2; В) 4; Г) 16;
5. Сократите дробь
А)
x -3; Б)
4
2 x =4?
x 9
4
x +3;
x 3
В)
4
x - 3; Г)
x +3;
6. Найдите сумму корней уравнения x  3  3 x  2  4 4  x =0
А)7; Б)9; В)1; Г)- 1;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Решите уравнение 3 1  x 2 = 3-х
8. Вычислите значение выражения
1

62 6
1
62 6
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)

9 x 2  2 y  9 x 2  2 y  1  1,
9. Решите систему уравнений 

6 x  2 y  3
10. Решите уравнение 4 5x  x 2  6 = х-1
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)
2 x 3  2 x 2  3x  3 = х+1

x y
20

x  y 
x y x y
12. Решите систему уравнений 
 2
2
 x  y  34
11. Решите уравнение
Контрольная работа № 4 по теме « Корень n – ой степени. Иррациональные уравнения и
неравенства « Алгебра 10 класс Вариант 3
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
3
1.Упростите выражение √√𝑚15
А) √𝑚5 ;
3
Б) √𝑚5 ;
В) √𝑚3 ;
2. Вычислить значение выражения
Г)√𝑚9 ;
 18  1
А) 17; Б) 19; В)17-12 2 ; Г) 19-12 2 .
3.Решить уравнение √х + 7 = 4
А) 1; Б)-5; В) -3; Г) 9.
4. Решить неравенство √х − 5> -6
А) х>-6; Б) х>0; В) х>5; Г) ∅
3
5. Сократите дробь
3
a 3 b
a2  3 b2
2
6 2
3
3
А) √а + √b ;
Б)
1
3
a b
3
3
3
В) √а − √b;
;
1
Г)
3
a 3 b
;
6. Решить неравенство √x − 3> 6
А) х>39; Б) х>3; В) х>6; Г) х>9
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Решите неравенство
23  x >√х
8. Вычислите значение выражения ( 9  4 5  9  4 5 )2
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
4 x  y  4 x  y  2,
9. Решите систему уравнений 
 x  y  x  y  8
x  2  3x  2  4
10. Решите уравнение
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)
11. Решите уравнение 3 x  2  x  6  6
12. Решите неравенство (х-3)√х − 1≥0
Контрольная работа № 4 по теме « Корень n – ой степени. Иррациональные уравнения и
неравенства « Алгебра 10 класс Вариант 4
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1.Вычислите значение выражение
А) 8; Б) 16; В)32; Г) 64.
2. Упростите выражение
А) 6 a ;
Б)
3
a2 ;
3
4
212
a a
В) a ; Г)
3
a;
4
3. При каких значениях а выполняется равенство
А) а<0; Б) а<-1; В) а≥0; Г) а – любое число.
2 x =4?
4. При каких значениях х выполняется равенство
А)1; Б) 2; В) 4; Г) 16;
3
5. Чему равно значение выражения
А) 4; Б) 3; В) 2; Г) 1;
a 4 = а?
52  5  3
52  5 ?
6. Чему равен корень уравнения 2 x  3 = 3?
А)2; Б)9; В)3; Г)6;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Решите уравнение
х- x  1 = 5



8. Вычислите значение выражения 3  2 3  2 3 
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
4
9. Упростите выражение

4

2
a  2 8 a 
4
4

2


2
a 2 8 a
3
a2 a
4
a3 3 a
10. Доказать, что при любом а>0 верно равенство
=1
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)
11. Решите неравенство (х-4) x 2  x  2 ≥ 0
12. При каких значениях параметра а уравнение
решение?


9

x  a  x   = 0 имеет единственное
x

Контрольная работа № 4 по теме « Корень n – ой степени. Иррациональные уравнения и
неравенства « Алгебра 10 класс Вариант 5
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
x  7 = 5.
1.Найти корень уравнения
А)18; Б)-5; В)-2; Г) 9.
2. Вычислить значение выражения
А)7;
Б)- 7;
1 8 8
 42
3
В)14; Г)- 14;
3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби
6
3
9
А)3 3 9 ; Б)2 3 9 ; В)3 3 3 ; Г)2 3 3 ;
В) 3 m 2 ; Г) m 3 ;
А) 3 m ; Б) m ;
3
5. Сократите дробь
А) 3 a + 3 b ; Б)
3
a 3 b
a2  3 b2
1
3
m3
6
4. Упростите выражение
;
a 3 b
В)
3
a - 3 b ; Г)
1
3
a 3 b
;
6. Решить неравенство √x − 3> -6
А) х>-6; Б) х>0; В) х>3; Г) ∅
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
8
 6 x =2
6 x
4
a
a
8. Упростите выражение
4
a 1
a 1
7. Решите уравнение
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
3 x  3 y  2,
 x  y  56
9. Решите систему уравнений 
10. Решите уравнение
x  2  3x  2 =4.
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)

11. Выполните действия
4
1 2. Решите уравнение
3
 
2
m 4 n  4 m 4 n
2m  n 

2
:
1
m3  n3
 3 mn
x6  x2  4
Контрольная работа № 4 по теме « Корень n – ой степени. Иррациональные уравнения и
неравенства « Алгебра 10 класс Вариант 6
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1.Упростите выражение
А)
7
n16 ;
Б)
3
n4 ;
В)
4 3
n16
n 3 ; Г) 4 n 3
2. Вычислить значение выражения (33 2 ) 3  4 6 4
А) 0; Б) 12; В) 36; Г) 48;
3. Значение какого из выражений является натуральным числом?
 2
Г)
2
3
1

4
А)  3 2  ; Б) 4  10 ;
2

В)  32 ;
5
4
;
4. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби
3
А)2 4 ; Б) 4
3
3
8
3
4
3
4 ; В) 2 2 ; Г)4 2 ;
3
m 3 n
5. Сократите дробь
m2  3 n2
1
1
А)
; Б)
; В) 3 m  3 n ; Г)
3
3
3
m n
m 3 n
6. Найдите корень уравнения x  2 =5
3
3
m 3 n;
А)27; Б)23; В) 3; Г) 7;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
x  1  x  15 = 2
7. Решите уравнение



8. Вычислите значение выражения 6 8  4 25 6 8  4 25
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
 4 b  4 4 b  4  4 b  64
1

 4 b  4  4 b  4  : 16  b   2


9. Докажите тождество 


10. Решите уравнение x 2  4 x  3 5 x  2  2 x 2 =0
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)
3 x  y  2  0,
11. Определите количество решений системы 
y  a  x
в зависимости от значений
параметра а.
12.Вычислите 3 1  2  6 3  2 2
Контрольная работа № 4 по теме « Корень n – ой степени. Иррациональные уравнения и
неравенства « Алгебра 10 класс Вариант 7
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1.Упростите выражение
А)
n ; Б)
5
n;
В)
5
10
n2 ;
n5
n3
Г)
2. Вычислить значение выражения
А)36; Б) 12; В)144; Г) 13;
3
4 3  36
3. При каких значениях х определено данное выражение
А); (7; ∞);
Б) (- ∞; -7)  (-7; ∞);
4. Найдите значение выражения
А)0,2; Б) 0,3; В) 0,5; Г)0,6;
5. Сократите дробь
0,16  3 0,001
x 9
4
x 3
4
А) 3;
Б) 3;
x +3;
4
x - 3; Г) x +3;
6. Найдите корень уравнения 3x  1 = 5
А)
x -3; Б)
4
В)[ -7;∞); Г) (- ∞; ∞);
В)
В) 6; Г) 8;
5
3
x7
?
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
x 2  4x  5 = х – 1
m  4 mn
m  24 mn  n
:
4
m
mn
7. Решите уравнение
8. Выполните деление
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
4 x  y  4 x  y  6,
9. Решите систему уравнений 
 x  y  x  y  12
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)

3x 2  2 y  3 3x 2  2 y  3  15,
11. Решите систему уравнений 

2 x  y  1
Контрольная работа № 4 по теме « Корень n – ой степени. Иррациональные уравнения и
неравенства « Алгебра 10 класс Вариант 8
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
6
1.Упростите выражение
А)
7
b ; Б)
12
b;
В)
6
b
b ; Г) 8 b
2. Вычислить значение выражения 6 318
А)3; Б)9; В) 27; Г) 81;
3. Значение какого из выражений не является целым числом?
4
А);
12
(3)12
Б)
64 4
;
3
3
В)
54
3
2
4. Найдите значение выражения
А)0,2; Б) 0,3; В) 0,5; Г)0,6;
; Г) 3  64 ;
0,16  3 0,001
x  16
5. Сократите дробь
4
x 4
А) x +4; Б) 4 x -4; В) 4 x + 4; Г) x -4;
6. Какое из неравенств выполняется при всех действительных значениях х?
А) ( 4 x ) 4 ≤0;
Б) 4 x 4 ≥0; В) 4 x ≥0; Г) ( 4 x ) 4 ≥0.
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Решите уравнение
8  7x = - х


6

4 2 7
8. Вычислите значение выражения 6 8  7
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)

4
16 x  y  8 xy  81,
9. Решите систему уравнений 
10. Решите уравнение
 x  y  1
x  3  5x  1  4
Контрольная работа № 4 по теме « Корень n – ой степени. Иррациональные уравнения и
неравенства « Алгебра 10 класс Вариант 9
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1.Упростите выражение
А)
10
a ; Б)
9
a2 ;
В)
5
a4 a
a ; Г) 4 a
2. Вычислить значение выражения 6 6 6  312
А)18; Б) 36; В)54; Г)72;
3. Значение какого из выражений не является целым числом?
64 4
;
3
4
А);
12
(3)12
Б)
3
В)
54
3
2
; Г) 3  64 ;
4. Областью определения какого из выражений является интервал [6; ∞)?
4
А)√6 − х;
1
Б)
x  6 ; Г)
4
В)
6 x
x 9
4
5. Сократите дробь
А)
;
4
x -3; Б)
1
4
x6
;
x 3
4
Б)4;
В)
4
x - 3; Г) x +3;
6. Найдите корень уравнения x  1 =5
А)6;
x +3;
В)26 Г)27;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
6
19  2 x = х – 2
7. Решите уравнение
8. Вычислите значение выражения
57 5 5
7
25
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
4 x  y  4 x  y  2,
9. Решите систему уравнений 
 x  y  x  y  8
10. Чему равно значение выражения
3
5  2 6  6 49  20 6
Контрольная работа № 4 по теме « Корень n – ой степени. Иррациональные уравнения и
неравенства « Алгебра 10 класс Вариант 10
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
5
1.Упростите выражение
А)
10
a ; Б)
9
a2 ;
a4 a
a ; Г) 4 a
В)
2. Вычислить значение выражения 3 53  2 9
А)20; Б)40; В)80; Г) 100;
3. Значение какого из выражений не является целым числом?
4
А);
12
(3)12
Б)
64 4
;
3
3
В)
3
54
2
; Г) 3  64 ;
4. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби
5
5
5
5
А) 12 2 ; Б) 3 2 ; В) 3 8 ; Г) 12 4 ;
5. Сократите дробь
А)
x -3; Б)
4
x 9
x 3
4
x +3;
3
В)
4
x - 3; Г)
x +3;
6. Решите уравнение x = - 4
А) – 12; Б) – 64; 64; В) -64; Г) корней нет.
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
24
5
8
2 x
x3
1
=3

3
x3
2 x
 x 1
x 1 4 x
;
8. Упростите выражение 

 x 1
x  1  x  1

7. Решите уравнение
Контрольная работа № 4 по теме « Корень n – ой степени. Иррациональные уравнения и
неравенства « Алгебра 10 класс Вариант 11
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1.Упростите выражение
m9
1
2. Вычислить значение выражения ( 3 3 ) 3
3
1
1
А) 1; Б) 9; В) ; Г) ;
3
9
А)
m 5 ; Б)
3
m5 ;
m 3 ; Г)
В)
3. Значение какого из выражений не является целым числом?
4
А);
12
(3)12
Б)
64 4
;
3
3
В)
3
54
2
; Г) 3  64 ;
4. При каких значениях а выполняется равенство
А) а≤0; Б) а>0; В) а>0,1; Г) а – любое число;
5. Сократите дробь
А)
x -3; Б)
4
6
a 6 = а?
x 9
4
x 3
x +3;
В)
4
x - 3; Г)
x +3;
6. Сколько корней имеет уравнение (х+3)(х-6) x  1 = 0?
А) один; Б)два; В)три; Г) ни одного;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
3
7. Решите уравнение
x 1
9
=4
3
2
x 2
8. Вычислите значение выражения  5  2 6  5  2 6 


2
Контрольная работа № 8 по теме «Тригонометрические уравнения (образец)
Алгебра 10 класс
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Найдите корень уравнения sin 4х = −1
А)−
π
+
2
2π𝑘, 𝑘𝜖𝑍; Б) −
π
+
4
πk, kϵZ); В)-
2. Решите уравнение 𝑐𝑜𝑠 3х =
𝜋
𝜋
1
2
π
πk
+ 2 , kϵZ;
8
π
Г)- 8 +
𝜋
𝜋
πk
, kϵZ;
2
А) 3 + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍; Б)± 3 + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍; В)± 9 + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍; Г) ± 9 +
3. Решите уравнение 3tgx+12=0
1
А)arctg4+𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍; Б) - arctg4+2𝜋𝑘, kϵZ; В) − 3 arctg12+
2𝜋𝑘
, 𝑘𝜖𝑍;
3
πk
, kϵZ;
3
Г) - arctg4+πk, kϵZ;
x
4. Решите уравнение cos = 0
3
π
3π
3π
π
π𝑘
А) 2 + πk, kϵZ; Б) 2 + 3πk, kϵZ; В) 2 + 6πk, kϵZ; Г) 6 + 3 , kϵZ;
π
√3
5. Решите уравнение cos ( + x) =
2
2
π
π
π
А) (−1)k+1 + πk, kϵZ; Б)± + 2πk, kϵZ; В) (−1)k+1 + πk, kϵZ;
3
3
6
1
π
6. Решите уравнение sin 2x = −
А) (−1)k+1 + πk, kϵZ;
2
3
π
k+1 π
k π
(−1)
(−1)
Б)± 3 + 2πk, kϵZ; В)
+ πk, kϵZ; Г)
+ πk, kϵZ
6
3
Г) (−1)k
π
+
3
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Решите уравнение 2sin2x=1+cosx
8. Решите уравнение sin2x+4sinxcosx+3cos2x = 0
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9. Решите уравнение cos9x-cos5x=√3sin2x
10 Решите уравнение 1+sin2x = (sin2x-cos2x)2
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)
11. Постройте график уравнения cos х + cos у = −2
12. Докажите, что функция 𝑓(𝑥) = cos х + cos(х√2) не является периодической.
Контрольная работа № 8(профиль) «Тригонометрические уравнения«
Алгебра 10 класс Вариант 2 .
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
x
1. Решите уравнение tg = 1
4
π
π
А)π + 4πk, kϵZ; Б)π + πk, kϵZ; В) + 2πk, kϵZ; Г) +
4
16
2. Решите уравнение sin x = 0
π
А)πk, kϵZ; Б)2 + πk, kϵZ; В)π+2πk, kϵZ; Г) 2πk, kϵZ;
π𝑘
, kϵZ;
4
3. Решите уравнение cos2x- sin2x=√2
π
π
1
А) нет корней; Б)± 4 + 2πk, kϵZ; В)± 8 + πk, kϵZ; Г) ± 2 arccos√2 + πk, kϵZ;
1
4. Решите уравнение cos x = 2
А) (−1)k
π
+ πk, kϵZ;
3
π
5. Вычислите значение выражения
А)-
√3
;
2
Б)
√3
;
2
π
Б)± 3 + πk, kϵZ; В)± 6 + 2πk, kϵZ; Г) (−1)k
1
1
В)2; Г) - 2
х
6. Решите уравнение sin 2 = −1
√3
cos(arcsin(− 2 ))
π
+
6
πk, kϵZ
πk, kϵZ
π
π
А)π + 4πk, kϵZ; Б)−π + 4πk, kϵZ; В)− 4 + πk, kϵZ; Г) − 2 + 2π𝑘, kϵZ;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Решите уравнение cos2x-5cosx-2=0
8. Решите уравнение 3cos2x+7sinx-5 =0
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением23 бала)
9. Решите уравнение 6 sin2x-3sinxcosx-5cos2x=2
10. Решите уравнение 2sinx-3cosx = 2
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)
π
11. Сколько корней уравнения cos22x+cos26x = 1 принадлежит промежутку [0; ]?
4
Контрольная работа № 8(профиль) «Тригонометрические уравнения «
Алгебра 10 класс Вариант 3.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Решите уравнение tg 2x = 0
π
2
π
4
1
=
2
А)πk, kϵZ; Б) + 2πk, kϵZ; В) +
2. Решите уравнение sin 2x
πk
, kϵZ;
2
Г)
π𝑘
, kϵZ;
2
π
πk
+ , kϵZ;
12
2
π
π
πk
π
Б)± 12 + πk, kϵZ; В)± 12 + 2 , kϵZ; Г) (−1)k 12 + πk, kϵZ
x
3. Решите уравнение 2cos2 −1=2
4
π
А)нет корней; Б)± 4 + πk, kϵZ; В)4πk, kϵZ; Г) ±2arccos2 +
x
4. Решите уравнение cos = 1
2
А) (−1)k
А) 2πk, kϵZ; Б)4πk, kϵZ; В) πk, kϵZ; Г) 𝜋+2𝜋k, kϵZ;
х
6. Решите уравнение sin 2 = −1
π
4πk, kϵZ;
π
А)π + 4πk, kϵZ; Б)−π + 4πk, kϵZ; В)− 4 + πk, kϵZ; Г) − 2 + 2π𝑘, kϵZ;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Решите уравнение sinx+√3cosx = 0
8. Решите уравнение cos2x+sinx = 0
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9. Решите уравнение 2 cos x – 1 = √cosx
10. Решите уравнение 2 cos 2
x
1  sin x   cos 2 x  0
2
Контрольная работа № 8(профиль) «Тригонометрические уравнения «
Алгебра 10 класс Вариант 4.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Решите уравнение cos 4x = −
3π
2.
А)
π
πk
+ 4 , kϵZ;
16
π
πk
(−1)k
+ 2 , kϵZ
16
А) (−1)k+1
π
πk
+ 2 , kϵZ; Г)
16
π
Решите уравнение sin (4x + 2 ) = 1
π
π
πk
2πk, kϵZ; Б)2 + 2πk, kϵZ; В)8 + 2 , kϵZ;
Б)± 16 +
πk
, kϵZ;
2
√2
2
В) 
3. Какое из уравнений не имеет корней?
4. Решите уравнение cos
πх
4
=
π𝑘
, kϵZ;
2
1
А)sin х = ; Б)sin х
2
Г)
√2
2
1
k
А)8k  1, kϵZ; Б) (−1)k + 4k, kϵZ; В)  16 + 2 , kϵZ;
π
5. Решите уравнение tg(x + 4 ) = √3
А)
π
12
+ πk, kϵZ; Б) −
π
+
12
7π
+
12
πk, kϵZ; В)
6. Вычислите значение выражения
πk, kϵZ; Г)
√3
cos(arcsin(− ))
2
(−1)k
Г)
16
5π
+
12
7
8
π
4
= ; В)sin х = π; Г)sin х = − ;
k
+ 4 , kϵZ;
πk, kϵZ;
А)-
√3
;
2
Б)
√3
;
2
1
2
В) ; Г) -
1
2
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Решите уравнение 1-cos8x = sin4x
8. Решите уравнение 2cos2x = 3sinx+2
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
x
x
9. Решите уравнение 2tg4 − 2ctg 4 = 3
10. Решите уравнение cos2x+3sinx=2
Контрольная работа № 8(профиль) «Тригонометрические уравнения”
Алгебра 10 класс Вариант 5 .
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Вычислите значение выражения cos(arcsin(−
1
2. Решите уравнение cos 3х = − 2
А) ±
2π
+ 2πk, kϵZ;
3
Б)±
2π
2πk
+ 3 , kϵZ;
3
√3
))
2
А)-
2π
2πk
+ 3 , kϵZ;
9
√3
tg(arccos ) А)√3;
2
В)±
√3
;
2
Б)
π
√3
;
2
1
1
В)2; Г) - 2
2πk
, kϵZ;
3
1
√3
В) ; Г)
2
3
Г) ± 9 +
√3
3. Вычислите значение выражения
Б) ;
2
4. Сколько корней имеет уравнение sin х = sin 2? А) один; Б)ни одного; А) два корня;
Г)бесчисленное множество;
5. Решите уравнение sin х −
2πk, kϵZ
π
Б)± 4 +
=0
π
+ πk, kϵZ;
4
1
6. Решите уравнение sin 4x cos 3x + cos 4x sin 3x = 2
А)
π
π
2πk
π
πk
Б)± + 2πk, kϵZ; В) ± +
, kϵ; Г) (−1)k
+ , kϵZ
3
21
7
42
7
А)
3π
± 4 +
√2
2
2πk, kϵZ; В) (−1)k+1
Г) (−1)k
(−1)k
π
6
π
+
4
πk, kϵZ
+ πk, kϵZ;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
3 sin 2 x  sin 2 x  3 cos 2 x  0
7. Решите уравнение
8. Решите уравнение cos2x = cosx
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9. Решите уравнение sin3x+cos2x = 0
10. Решите уравнение
sinx+sin2x+sin3x
1+cosx
=0
Контрольная работа № 8(профиль) «Тригонометрические уравнения«
Алгебра 10 класс Вариант 6 .
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Решите уравнение 6 tgx- 12 =0
1
π𝑘
А) arctg2+πk, kϵZ; Б)arctg2+2πk, kϵZ; В) –arctg2+πk, kϵZ; Г) 6 arctg12 + 6 , kϵZ;
x
2. Решите уравнение sin 3 = 0
А)6πk, kϵZ; Б)
3π
+
2
πk
3πk, kϵZ; В) 3 , kϵZ; Г) 3πk, kϵZ;
3. Решите уравнение cos2x- sin2x=√2
1
1
1
1
А)(−1)k arcsin 5 + πk, kϵZ; Б)arctg 5 + πk, kϵZ; В)arcctg 5 + πk, kϵZ; Г) ±arccos 5 + 2πk, kϵZ;
4. Решите уравнение ctgx=0
π
Г)(−1)k+1 12 + 2πk, kϵZ;
5. Решите уравнение tg 2x = 4
𝜋
𝜋
А) 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍; Б)2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍; В)2 + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍; Г) 2 +2𝜋k, 𝑘𝜖𝑍;
1
πk
1
π𝑘
, kϵZ;
2
1
1
В) ; Г) 2
2
А)𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 + πk, kϵZ; Б)2 arctg4 + πk, kϵZ; В)arctg2+ 2 , kϵZ; Г) 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔4 +
√3
√3
6. Вычислите значение выражения cos(arcsin(− )) А)- ; Б)
2
2
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
√3
;
2
7. Решите уравнение 2 sin 2 x +2,5sin2x - 3 cos 2 x = 0
8. Решите уравнение √3sin2x + cos5x − cos9x = 0
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9. Решите уравнение cosx - √3sinx = 2sin3x
10. Решите уравнение sin2x + sinx = 2cosx + 1
Контрольная работа № 8(профиль) «Тригонометрические уравнения «
Алгебра 10 класс Вариант 7.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Решите уравнение tg x = tg3
А)3 + πk, kϵZ; Б)arctg3 + πk, kϵZ; В)3; Г) корней нет
π
π
2 Решите уравнение sin x = cosx А) 4 + πk, kϵZ; Б) 4 + 2πk, kϵZ; В)±
3. Решите уравнение cos2x =-
√3
2
4. Решите уравнение 5sin x = cos x
π
π
А)  + πk, kϵZ; Б)
6
π
Б)± 3 + πk, kϵZ; В)± 6 + 2πk, kϵZ;
5. Решите уравнение cos9x= - 1
π
+
6
2πk, kϵZ; В)
π
А) (−1)k 3 + πk, kϵZ;
π
Г) (−1)k 6 + πk, kϵZ
π
π
π
+ πk, kϵZ; Г) 4
4
5π
 12 + πk, kϵZ;
2πk
, kϵZ;
9
√3
2
A) 𝜋 + πk, kϵZ; Б) π+2πk, kϵZ; В) 9 +
√3
1
6. Вычислите значение выражения sin(arccos ) А) - ; Б)
2
2
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Решите уравнение cos2x + sinx =0
8. Решите уравнение 2 cos 2 x = 3sinx+2
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9. Решите уравнение sin 2 x + sin 2 2 x  cos 2 3x  cos 2 4 x
10. Решите уравнение 2sinx-3cosx =2
√3
;
2
1
2
В) ; Г)
π
Г) 9 + 2πk, kϵZ;
Контрольная работа № 8(профиль) «Тригонометрические уравнения «
Алгебра 10 класс Вариант 8.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1
π
2πk
1. Решите уравнение sin3x=
А) (−1)k
+
, kϵZ;
3
π
πk
В) 
Г)
+ 3 , kϵZ
18
π
π
πk
π𝑘
2. Решите уравнение ctg3x=0 А) πk, kϵZ; Б) + πk, kϵZ; В) + , kϵZ; Г) , kϵZ;
2
6
3
3
1
7
3. Какое из уравнений не имеет корней? А)sin х = ; Б)sin х = ; В)sin х = π; Г)sin х
2
8
π
√2
4. Решите уравнение cos ( 2 + x) = 2
3π
π
π
π
А)  + 2πk, kϵZ; Б) (−1)k + πk, kϵZ; В)  + 2πk, kϵZ; Г)(−1)k+1 + πk, kϵZ;
4
4
4
4
√3
5. Решите уравнение tg 3x =
3
π
π
πk
π πk
π
А) 6 + πk, kϵZ; Б) 9 + 3 , kϵZ; В)18 + 3 , kϵZ; Г) 18 + πk, kϵZ;
1
√3
√3
√3
6. Вычислите значение выражения tg(arccos 2 ) А)√3; Б) 2 ; В)2; Г) 3
π
2πk
Б)± 18 + 3 , kϵZ;
2
π
πk
+ 3 , kϵZ;
18
18
(−1)k
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Решите уравнение √3 sin 2 x - sin2x - √3 cos 2 x = 0
8. Решите уравнение sinx cosx - cos 2 x = 0
Контрольная работа № 8(профиль) «Тригонометрические уравнения”
Алгебра 10 класс Вариант 9 .
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
π
4
=− ;
1. Вычислите значение выражения cos(arcsin(−
2. Решите уравнение cos х = 0 А)
π
2
√3
))
2
А)-
√3
;
2
Б)
√3
;
2
1
1
В)2; Г) - 2
+ πk, kϵZ; Б) 𝜋k, kϵZ; В)2𝜋k, kϵZ; Г) 𝜋+2𝜋k, kϵZ;
1
3. Решите уравнение cos 3х = −
2
2𝜋
2𝜋
2𝜋𝑘
2𝜋
2𝜋𝑘
𝜋
2𝜋𝑘
А) ± 3 + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍; Б)± 3 + 3 , 𝑘𝜖𝑍; В)± 9 + 3 , 𝑘𝜖𝑍; Г) ± 9 + 3 , 𝑘𝜖𝑍;
π
πk
π
√2
4 . Решите уравнение cosx = 2 А)  4 + πk, kϵZ; Б) 4 , kϵZ; В)  4 + 2πk, kϵZ;
π
Г)(−1)k 4 + πk, kϵZ;
√3
5. Решите уравнение cos 2x = 2
π
π
π
πk
π
А) ± + 2πk, kϵZ Б)± + πk, kϵZ; В) (−1)k + , kϵZ; Г) (−1)k
+ πk, kϵZ
6
12
6
2
12
6. Решите уравнение 1-2sin22x=√2
А)
πk
, kϵZ;
4
π
4
1
4
Б)± + 2πk, kϵZ; В) ± arccos√2 +
πk
, kϵ;
2
Г) корней нет
Контрольная работа № 8(профиль) «Тригонометрические уравнения«
Алгебра 10 класс Вариант 10 .
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Решите уравнение 6 tgx- 12 =0
1
π𝑘
А) arctg2+πk, kϵZ; Б)arctg2+2πk, kϵZ; В) –arctg2+πk, kϵZ; Г) arctg12 + , kϵZ;
2. Решите уравнение
x
sin
3
= 0 А)6πk, kϵZ;
6
3π
Б) +
2
3πk, kϵZ;
πk
В) , kϵZ;
3
6
Г) 3πk, kϵZ;
3. Решите уравнение 2sinxcosx=√2
πk
π
π
πk
А)(−1)k arcsin√2 + , kϵZ; Б) (−1)k + πk, kϵZ; В) (−1)k + , kϵZ; Г) корней нет.
2
4
А) (−1)k
4. Решите уравнение 5sin x = cos x
π
π
π
+
6
√3
tg(arccos 2 )
Б)± 3 + πk, kϵZ; В)± 6 + 2πk, kϵZ; Г) (−1)k
5. Вычислите значение выражения
π
+
3
2πk, kϵZ;
π
2πk
В) ± +
, kϵ;
21
7
Г)
2
√3
;
2
В)2; Г)
πk, kϵZ
А)√3; Б)
1
2
πk
, kϵZ
7
6. Решите уравнение sin 4x cos 3x + cos 4x sin 3x =
π
Б)± +
3
4
πk, kϵZ;
π
(−1)k
+
42
1
А) (−1)k
√3
3
π
+
6
πk, kϵZ;
Контрольная работа № 7 по теме «Тригонометрические формулы«
Алгебра 10 класс Вариант 1.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
13𝜋
1. Найти значение выражения cos 6 .
1
√3
1
√3
А) - 2; Б)- 2 ; В) 2; Г) 2 ;
2. Bычислить значение выражения cos390cos210- sin390sin210
√2
√3
1
А) 2 ; Б) 2 ; В) 2; Г) 1
3. Какое из равенств является тождеством?
𝜋
3𝜋
А) cos (𝜋 − 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠 ∝; Б)tg(2 −∝) = 𝑡𝑔 ∝; В)cos(𝜋 − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝛼; Г)ctg( 2 −∝) = −𝑡𝑔 ∝;
4 Bычислить значение выражения 2sin22,50 cos22,50
√2
А) 2 ;
Б)
√3
;
3
1
В) 2; Г) -
5. Упростите выражение
√3
;
2
sin 5  sin 
cos 3
А) 2sin3α; Б)2sin2α; В) 2cos3α;
Г) cos2α;
𝑡𝑔4∝ +𝑡𝑔3∝
6. Упростите выражение 1−tg4∝tg3∝
А) tgα; Б) сtgα; В)сtg7α; Г) tg7α;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Упростите выражение
cos(∝÷β)+sin α sin β
sin(α−β)−sin α cos β
cos 430 cos 170 −sin 430 sin 170
8. Вычислите значение выражения
sin 370 cos 230 +cos 370 sin 230
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
∝−β
9. Докажите тождество (sin ∝÷ sin β)2 + (cos α + cos β)2 = 4𝑐𝑜𝑠 2
2
sin∝− cos α
1
10. Найдите значение выражения
, если tgα= 3 Указание: Числитель и знаменатель
sin α+cos α
дроби поделите на cos ∝≠ 0
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)
π
2
3
5
11. Найдите sin ∝, если cos ( − α) = π
и
5π
6
4π
<α< 3 .
Указание: Представьте sin ∝ = sin (3 − α)
12. Упростите выражение
sin 4∝
1
√ctg∝−tgα × sin 2∝ + 1
3π
4
<α<  .
Контрольная работа № 7(профиль) « Тригонометрические формулы«
Алгебра 10 класс Вариант 2 .
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Вычислить sin2100
1
√3
1
√3
А) - 2; Б)- 2 ; В) 2; Г) 2 ;
2. Упростите выражение cos3αcosα+sin3αsinα
А) sin4α; Б) sin2α; В) cos4α;
Г) cos2α
3. Упростите выражение cos2α-2cos 2 ∝
А)sin2α;
Б)1-4cos2 ∝;
В)1; Г) -1;
4. Упростите выражение tgαcosα
1
1
А) sinα; Б)
; В) cosα;
Г)
cos∝
π
sin∝
5. Упростите выражение cos ( 2 +∝) + sin(π − α)
А) 0; Б)2sinα; В) - 2cosα; Г) cosα + sin ∝;
6. Bычислить значение выражения cos 2 15 0  sin 2 15 0
1
√3
1
√3
А)2; Б) − 2 ; В) - 2; Г) 2 ;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
sin∝
+
1+cos α
7. Упростите выражение
π
cos ( +
6
1+cos α
sin α
√3
−
3
3π
8. Найти
α), если sin α =
и π <α<
2
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9. Докажите тождество (𝑡𝑔
9𝜋
4
5𝜋
2
+ 𝑡𝑔 ( 2 − 𝛼)) +(ctg
5π
+
4
2
ctg(π − α)) =
2
sin 2 
10. Найти наибольшее значение выражения 2 sin ∝ − cos α
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)




 3
  3

    cos 2      sin 
   cos
  tg    
4
4
2
2





 

11. Упростите выражение cos 2 
8 cos 200
√3
12. Докажите тождество tg300+tg400+tg500+tg600 =
Контрольная работа № 7(профиль) « Тригонометрические формулы«
Алгебра 10 класс Вариант 3.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
7𝜋
1. Найти значение выражения cos 6 .
А) -
1
;
2
Б)-
√3
;
2
1
В) 2; Г)
√3
;
2
1−𝑐𝑜𝑠2 ∝
sin2 ∝
2
2 Упростите выражение
А)0; Б)1; В)tg 2 ∝;
Г) ctg ∝
3. Упростите выражение cos8∝cos2∝- sin8αsin2α
А) cos 6 ∝; Б)sin6α; В) cos 10α; Г) sin10 ∝;
sin 4∝
4. Сократите дробь 2 sin 2∝
1
1
А) 2 sin 2 ∝; Б) 2 cos 2 ∝; В) sin ∝; Г) cos 2 ∝.
5. Bычислить значение выражения cos 2 15 0  sin 2 15 0
1
А)2; Б) −
√3
;
2
В) -
1
;
2
Г)
√3
;
2
π
6. Упростите выражение cos ( +∝) + sin(π − α)
2
А) 0; Б)2sinα; В) - 2cosα; Г) cosα + sin ∝;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Упростите выражение
sin∝
+
1+cos α
π
cos ( +
6
1+cos α
sin α
√3
−
3
3π
8. Найти
α), если sin α =
и π <α<
2
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9. Докажите тождество (𝑡𝑔
9𝜋
4
5𝜋
2
+ 𝑡𝑔 ( 2 − 𝛼)) +(ctg
5π
+
4
2
ctg(π − α)) =
10. Найти наибольшее значение выражения 2 sin ∝ − cos α
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)
2
sin 2 




 3
  3

    cos 2      sin 
   cos
  tg    
4

4

 2
  2

11. Упростите выражение cos 2 
8 cos 200
√3
12. Докажите тождество tg300+tg400+tg500+tg600 =
Контрольная работа № 7(профиль) « Тригонометрические формулы«
Алгебра 10 класс Вариант 4.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
π
1.Привести cos(2 + ∝) к тригонометрической функции угла α
А) cosα; Б) - cosα; В) sinα; Г) - sinα;
cos 4  cos 2
cos 
2. Упростите выражение
А) cos3α; Б)2 cos4α; В) 2cos3α; Г) cos4α;
3. Упростите выражение (1 − cos ∝) (1 + cos ∝)
А) - 1; Б) sin2α; В) 1; Г) - sin2α;
4. Упростите выражение cos(∝ +β) + sin α sin β
А) sin ∝ sin β; Б) cos ∝ cos β; В) sin ∝ cos β; Г) cos ∝ sin β.
3
5. Чему равно значение cos 2 ∝, если cos 2  = 8?
1
1
1
1
А) - ; Б) ; В) ; Г) – .
4
4
2
2
6. Bычислить значение выражения 2sin750cos750
1
А)2;
Б)
√3
;
3
1
В) − 2; Г) -
√3
;
2
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Вычислите значение выражения 2cos2400+3tg1350
2
3π
8. Найти sinα, если cos ∝= − 5 и π <α< 2
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9. Докажите тождество
sin 2 2  4 sin 2 
 tg 4
2
2
sin 2  4 sin   4
10 Упростите выражение
cos 4 ∝ − sin 4αctg2α
Контрольная работа №7(профиль) « Тригонометрические формулы«
Алгебра 10 класс Вариант 5.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Привести cos( 6π− ∝) к тригонометрической функции угла α
А) cosα; Б)- cosα; В) sinα; Г) - sinα;
sin 2∝
2. Упростите выражение cos∝
А) 2cos ∝; Б) 2sin ∝; В) 2; Г) sin ∝ cos ∝.
cos 8∝
3. Сократите дробь cos 4∝+ sin 4∝
А) cos 4 ∝ − sin 4α ; Б) cos 4 ∝ + sin 4α; В) cos 4 ∝; Г) ctg 4α.
4. Bычислить значение выражения 2sin750cos750
1
√3
1
√3
А)2; Б) 3 ; В) − 2; Г) - 2 ;
5. Упростите выражение cos4∝cos∝- sin4αsinα
А) cos 5α; Б)sin5α; В) cos3α; Г)sin3α;
6. Упростите выражение
cos 4  cos 2
cos 
А) cos3α; Б)2 cos4α; В) 2cos3α;
Г) cos4α;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
cos 7∝cos 4∝+ sin 7α sin 4α
7. Упростите выражение
sin 2α cos α+cos 2α sin α
3π
8. Вычислите значение выражения 4sin(π − α) + cos ( 2 + α), если sin α=0,3
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
∝−β
9. Докажите тождество (sin ∝÷ sin β)2 + (cos α + cos β)2 = 4𝑐𝑜𝑠 2 2
Контрольная работа № 7(профиль) « Тригонометрические формулы«
Алгебра 10 класс Вариант 6
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
3π
1. Привести cos( 2 − ∝) к тригонометрической функции угла α
А) cosα; Б) - cosα; В) sinα; Г) - sinα;
1
 ctg 2
2
sin 
2. Упростите выражение
А) - 1; Б) sin2α; В) 1; Г) cos2α;
3. Bычислить значение выражения cos520cos380- sin520sin380
А) 0; Б)
√3
;
2
1
В) 2; Г) 1
4. Упростите выражение 2sin2 α+cos2 α
А) 1; Б) sin2α; В) 4sin2α - 1; Г) - 1;
1
5. Чему равно значение cos 2 ∝, если sin2 α = ?
2
2
1
6
1
А) − 3; Б) 3; В) − 3; Г) 3.
6. Упростите выражение
𝑡𝑔5∝ −𝑡𝑔2∝
1+tg5∝tg2∝
А) tg3α; Б) сtg3α; В)сtg7α; Г) tg7α;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
π
7. Упростите выражение cos ( 2 − α) + sin(π + α)
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
α
α
π
9. Докажите тождество 1 - cos ∝ + sin α = 2√2 sin 2 sin (2 + 4 )
∝
2
10. Найти cos , если sin α = −
√3
3
∝
2
и 900 < <1350
Контрольная работа №7(профиль) « Тригонометрические формулы«
Алгебра 10 класс Вариант 7
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
11𝜋
1. Найти значение выражения cos 6 .
А) −√3; Б) −
√3
;
3
В) √3; Г)
√3
.
3
2. Упростите выражение sin 4   sin 2  cos 2 
А) 1; Б) sin2α; В) 1 + sin2α; Г) cos2α;
3. Bычислить значение выражения sin170cos130+cos170sin130
√2
√3
1
А) 2 ; Б) 2 ; В) 2; Г) 1.
4. Упростите выражение 2sin2 α+cos2 α
А) 1; Б) sin2α; В) 4sin2α - 1; Г) - 1;
5. Упростите выражение
cos 7  cos 3
sin 2
А) – 2cos5α; Б)2 cos5α; В) 2sin 5α; Г) - 2sin 5α;
6. Сократите дробь
sin 6∝
2 cos 3∝
А) cos3α; Б) sin2α; В) соs2α; Г) sin3α;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Упростите выражение ctgα+
sin∝
1+cos∝
8. Вычислите значение выражения cos ∝, если 𝑡𝑔 ∝= −3 и
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
3π
2
<α <2 π
sin 2 2  4 cos 2 
 ctg 4
sin 2 2  4 cos 2   4
9. Докажите тождество
Контрольная работа № 7(профиль) « Тригонометрические формулы«
Алгебра 10 класс Вариант 8.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
π
1. Упростите выражение tg( +∝) tg(π + α)
2
А)ctg2α; Б)tg2α; В)1; Г)-1 .
2. Упростите выражение 1 – sin2α+cos2α
А) 2sin2α; Б) 2cos2α; В)0; Г)2 .
3. Упростите выражение sin4α cosα - sinαcos4α
А) cos3α; Б) cos5α; В) sin3α; Г) sin5α;
4. Bычислить значение выражения - 2sin150cos150
1
2
√3
;
2
А) ; Б)
1
2
В) − ; Г) -
√3
;
2
sin 7∝+ sin∝
cos 3∝
5. Упростите выражение
А) cos3α; Б) sin4α; В) 2sin4α; Г) 2sin3α;
6. Сократите дробь
sin 6∝
2 cos 3∝
А) cos3α; Б) sin2α; В) соs2α; Г) sin3α;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
sin∝+ sin 3∝
7. Упростите выражение
cos ∝+ cos 3∝
3π
8. Вычислите значение выражения sin(2 ∝ −3π), если sin ∝= −0,6 и π <α< 2
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9. Докажите тождество
∝
α
α
4
4
8
7π α
α
α
cos( − )+cos( −3π)ctg
2 4
4
8
cos(2π+ )−sin(2π+ )ctg
cos∝
10. Упростите выражение
sin∝
(cos 4∝ − sin 4∝) ×
∝
= tg 8
cos 6∝− cos 10∝
sin 3∝
Контрольная работа №7(профиль) « Тригонометрические формулы«
Алгебра 10 класс Вариант 9.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1 Bычислить значение выражения sin560cos340+cos560sin340
√3
1
А)0; Б) 2 ; В) 2; Г) 1
2. Упростите выражение 2cos2 3α - 1
А) sin2 3α; Б) - cos6α; В)- sin2 3α; Г) cos6α.
7π
3. Bычислить значение выражения sin 6
1
А)2;
Б)
√3
;
3
1
В) − 2; Г) -
√3
;
2
sin 7∝+ sin∝
cos 3∝
4. Упростите выражение
А) cos3α; Б) sin4α; В) 2sin4α; Г) 2sin3α;
5. Bычислить значение выражения - 2sin150cos150
1
А)2;
Б)
√3
;
2
1
В) − 2; Г) -
√3
;
2
6. Упростите выражение sin 4   sin 2  cos 2 
А) 1; Б) sin2α; В) 1 + sin2α; Г) cos2α;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Упростите выражение
sin(300 +α)−cos(600 +α)
sin(300 +α)+cos(600 +α)
 3

    2 cos 2 3 , если cos α=0,2
 2

8. Вычислите значение выражения 2 sin 2 3  5 sin 
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9. Докажите тождество
(sin( π−3α )−cos(
3π
π
+α))(sin( +3α)+cos(π+α))
2
2
1+cos(π−2α)
= - sin4α
Контрольная работа №7(профиль) « Тригонометрические формулы«
Алгебра 10 класс Вариант 10.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1
1. Bычислить значение выражения cos1260cos360+sin1260sin360
А)0; Б) – 1; В) 2; Г) 1
2. Упростите выражение ctgαsinα
А) sinα; Б)tg∝; В) cosα;
Г) ctg∝
11π
6
1
3. Bычислить значение выражения sin
sin 6∝
4. Сократите дробь 2 cos 3∝
А)2; Б)
√3
;
3
1
В) − 2; Г) -
А) cos3α; Б) sin2α; В) соs2α; Г) sin3α;
1
5. Чему равно значение cos 2 ∝, если если sin2 α = 6 ?
1
2
2
1
1
А) − 3; Б) 3; В) − 3; Г) 3.
√3
1
6. Bычислить значение выражения cos2400
А)2; Б) 3 ; В) − 2; Г) В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Упростите выражение
√3
;
2
√3
;
2
π
tg( 2 − α) ctg(π + α)
cos 430 cos 170 −sin 430 sin 170
8. Вычислите значение выражения
sin 370 cos 230 +cos 370 sin 230
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
∝−β
9. Докажите тождество (sin ∝÷ sin β)2 + (cos α + cos β)2 = 4𝑐𝑜𝑠 2
2
Контрольная работа № 6(профиль) «Тригонометрические функции (образец)
Алгебра 10 класс В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал) 1. На каком из
рисунков изображен график функции
π
у = tg( 2 − х) ?
2.Укажите верное неравенство
А)sin 1000<0; Б)cos 2000>0;
В)tg 1600>0; Г)ctg 2200>0;
3. Найдите множество значений функции
у = sinx -2.
А)  1;1 ; Б)[-2;1]; В)[-3; -1]; Г)[3;2];
4.Какое число является периодом функции y = sin2x?
𝜋
𝜋
𝜋
А) - ; Б) ; В)𝜋; Г) ;
2
4
2
5. Как небходимо перенести параллельно график функции y=sinx, чтобы получить
π
график функции
y = sin (x - 5 )?
π
π
π
π
А) на 5 единиц вверх; Б) на 5 единиц вниз; В) на 5 единиц вправо; Г) на 5 единиц влево.
6. Какая из функций является четной?
2
А) y = sinx; Б) y = cosx;
В) y = x; Г) y = tgx;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
х
7. Найдите главный период функции f(x) = cos(2 + 2)
8. Исследуйте на четность функцию f(x) = x3+cosx
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
π
9. Постройте график функции у = 2соs (х + 4 )-1
1
10. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения cos∝−2
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)
11. Постройте график уравнения cos х + cos у = −2
12. Докажите, что функция 𝑓(𝑥) = cos х + cos(х√2) не является периодической.
Контрольная работа № 6(профиль) «Тригонометрические функции «
Алгебра 10 класс
Вариант 2 .
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Какое из чисел является периодом функции у = sinx?
𝜋
𝜋
𝜋
А) - 2 ; Б) 4 ; В)𝜋; Г) 2 ;
2. Сравните sin2 и sin3.
А) sin2 = sin3;
Б) sin2 > sin3; В) sin2 < sin3; Г) sin2 ≤ sin3;
𝜋
π
3. Вычислить значение выражение 2 sin 6 - 3 cos (− 3 )
5
1
А) 2; Б) - 2; В) 1+√3; Г) 1- √3.
4. Укажите неверное неравенство
А)sin 2000<sin10; Б)cos 1100<sin200;
В)tg 400>ctg1700; Г)ctg 900>sin800;
π
5. Чему равен cos(− 3 )?
А) 6.
√3
;
2
Б)
√3
;
2
1
1
В) -2; Г) 2.
π
3π
Вычислить 4cos 3 +2sin 2
А)4; Б) 2; В)0 Г)2√3.
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)

7. Постройте график функции у =2sin(2x+ ) -1
3
8. Вычислите значение выражения 6 cos 0  4 sin 2  4 sin 2
2
3
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением23 бала)
sin x  tgx
9. Исследуйте на четность функцию f(x) =
sin x  tgx
10. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения 2sinx - 3
Задание 11 или 12 решите с полным пояснением (2 бала)
11. Постройте график функции y = cos 2 x 
12. Постройте график функции y =

ctgx


3
2
Контрольная работа № 6(профиль) «Тригонометрические функции «
Алгебра 10 класс Вариант 3.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
x
1. Какое число является периодом функции y = tg2?
𝜋
𝜋
А) 2 ; Б)4 ; В)𝜋; Г) 2𝜋;
2 Записать значения функции sin(−200 ); sin 900 ; sin(200 ) в порядке возрастания
А) sin 900; sin(200 ); sin(−200 ) Б)sin(−200 ); sin 200 ; sin 900 ; В)другой ответ.
3. График какой из данных функций проходит через начало координат ?
2
А) y = sinx; Б) y = cosx;
В) y = x; Г) y = -1;
4. Укажите верное неравенство
А)sin 1000< 0; Б)cos 2000> 0; В)tg 1600> 0; Г)ctg 2200>0;
π
4
5. Чему равен sin(− )?
√3
√3
√2
√2
А) - 2 ; Б) 2 ; В) - 2 ; Г) 2 .
6. График какой из функций изображен на рисунке?
А) у = sinx; Б) у=cosx; В) у =- sinx; Г) у = - cosx
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Найдите главный период функции f(x) = sin(2x-

)
6
8. Найдите область значений функции у = cosx + 3
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9.Расставьте в порядке возрастания числа cos150; cos700; cos(-250); cos2300; cos(-1300)
sin x
10. Постройте график функции f(x)=
sin x
Контрольная работа № 6(профиль) «Тригонометрические функции «
Алгебра 10 класс
Вариант 4.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
2π
1. Какое число является периодом функции y = cos3x? А)2𝜋; Б) 3 ; В)𝜋; Г) 6𝜋;
2. Как небходимо перенести параллельно график функции y=cosx, чтобы получить график
функции
π
π
π
π
π
y =cos x + 8 ? А) на 8 единиц вверх; Б) на 8 единиц вниз; В) на 8 единиц вправо; Г) на 8 единиц
влево.
𝜋
3π
3. Вычислить значение выражение 6 sin 6 + 3 cos 2 А)0; Б) 3; В)6; Г) 3√3.
𝜋
4. Через какую из данных точек проходит график функции у = sin 2х? А)(0;0); Б)( ; 1) ; В)(0;1);
2
5. Какая из функций является четной?
2
А) y = sinx; Б) y = cosx;
В) y = x; Г) y = tgx;
6. Укажите неверное неравенство А)Sin1000<0;
Б)сos1000<0; В) tg1000<0; Г)ctg1000<0;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Постройте график функции y =
1


ctg  x    1
2
4

8. Исследуйте на четность функцию f(x) =
x
2

 1 ctgx
x2 1
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9. Найдите главный период функции f(x) = сtg(3πx − 4)
10. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения сosx + sinx
Kонтрольная работа № 6(профиль) «Тригонометрические функции «
Алгебра 10 класс Вариант 5.
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
х
1. Через какую из данных точек проходит график функции у = cos 3?
3𝜋
1
А)( 2 ; 0); Б)(𝜋; − 2); В)(0; - 1);
2. Укажите верное неравенство
А)sin 1000<cos1600; Б)cos 1000<sin100; В)sin 1000 < 𝑡𝑔1000 ;Г)cos1000<cos1800;
sin
3. Вычислите значение выражения

 cos   ctg
2
2 sin
1
2
А) ; Б)


4
6
2
; В) 2 ; Г)1.
2
4. На каком из промежутков функция y = sinx убывает?
π π
7π
5π
5π 7π
А)[−π; 0]; Б)[− 2 ; 2 ]; В)[− 2 ; − 2 ]; Г)[ 2 ; 2 ];
5. Проходит ли график функции у = ctgх через точку
A) (

4
;1 ) ;
Б)(
3
4
;0 ); В) (π;1); Г) (
; 3)
2
3
6. Сравните cos 1 cos2.
А) cos 1 ≤ cos2; Б) cos 1 < cos2;
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
7. Постройте график функции у =
В) cos 1> cos2; Г) cos 1 = cos2;
1


ctg  x    1
2
4

x
8. Исследуйте на четность функцию f(x) =
2

 1 ctgx
x2 1
Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9. Найдите главный период функции f(x) = tg(5πx − 4)
10. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения sinx - cosx
Контрольная работа № 6(профиль) «Тригонометрические функции «
Алгебра 10 класс
Вариант 6
В заданиях 1 -6 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Найти область значений функции у = sin2x.
А)  1;1 ; Б)  2;2 ; В)другой ответ;
2. Какое из перечисленных свойств функции у = 2sinx является верным?
А)четная; Б)возрастает на R; В)нечетная; Г)непериодическая;
3. На каком из промежутков функция y = sinx убывает?
  
 7
5 
 5 7 
;  ; Г)  ;  ;
А)   ;0; Б)  ;  ; В) 
2 
 2 2 
 2 2
 2
4. Сравните cos 1 cos2.
А) cos 1 ≤ cos2; Б) cos 1 < cos2;
5. Какая из функций является четной?
А) y = sinx; Б) y = cosx;
В) y =
В) cos 1> cos2; Г) cos 1 = cos2;
x
; Г) y = tgx;
2
6. Укажите верное равенство А)cos  

3
;
Б)sin  
9
;
8
В заданиях 7 или 8 укажите правильные ответы (2 бала)
В)sin  
5
; Г)ctg   26 ;
2
7. Найдите главный период функции f(x) = sin(2x -

)
6
8. Найдите область значений функции y = cosx + 3
В Задания 9 или 10 решите с кратким объяснением(2 бала)
9.Расставьте в порядке возрастания числа сos150; cos700; cos(-250); cos2300; cos(-1300).
10. Постройте график функции f(x) =
sin x
sin x
Контрольная работа № 6 (профиль) « Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Вариант 1 В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр, длиной 12см и наклонная, длиной 13см.
Найдите длину проекции наклонной на плоскость.
А)4см; Б) 5см; В)6см; Г)9см;
2. Прямые а и b перпендикулярны плоскости. Каково взаимное
расположение этих прямых? А) пересекаются; Б) перпендикулярны;
В) параллельны; Г) скрещивающиеся;
3. На рисунке изображены треугольники АВС и ВDС такие, что  АВС =
 ВDС= 900. Какова длина отрезка АВ (длины отрезков на рисунке указаны
в сантиметрах)? А)6см; Б)8см; В)√20см; Г) √6см;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Из вершины А квадрата АВСD к его плоскости проведен перпендикуляр
АК. Найти длину этого перпендикуляра, если длина отрезка КС равна 10см,
а длина стороны квадрата 3√2см.
5. Из точки С к плоскости α проведены две наклонные СХ и СZ и перпендикуляр СУ. СХ = 15см,
СZ = 13см, длина проекции наклонной СХ на плоскость α равна 9см. Найдите длину проекции
наклонной СZ на эту же плоскость.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 12см и две наклонные, длиной 13см и
12√2см. Угол между проекциями этих наклонных на плоскость равен 900. Вычислите расстояние
между основаниями наклонных.
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
7. Отрезок длиной 25см опирается концами на две перпендикулярные плоскости. Проекции
отрезка на эти плоскости равны 24см и 20см. Вычислите длину перпендикуляров к данным
плоскостям.
Контрольная работа № 6 (профиль) « Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Вариант 2
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр, длиной 15см и наклонная. Найдите длину
этой наклонной , если ее проекция на плоскость равна 8см.
А)23см; Б) 17см; В)16см; Г)19см
2. Прямая а перпендикулярна прямой b, а прямая b параллельна прямой с. Каково взаимное
расположение прямых а и с? А) другой ответ; Б) перпендикулярны; В) параллельны;
Г) скрещивающиеся;
3. Из точки С к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен
600. Длина перпендикуляра 16см. Найдите длину наклонной.
А)8см; Б)4см; В)4√2см; Г)32см; Д)2√3см;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Точка F не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD , FB  AB, FB  BC, CD = 6см,
CF = 8см. Найдите площадь треугольника FCD
5. Точка О – центр квадрата со стороной 4см. АО – прямая, перпендикулярная к плоскости
квадрата; АО = 2√2см. Вычислите расстояние от точки А до вершин квадрата.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведен перпендикуляр к плоскости
треугольника. Гипотенуза треугольника равна 12см, а один из острых углов равен 600. Найдите
расстояние от верхнего конца перпендикуляра до вершин острых углов, если длина
перпендикуляра равна 8см.
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
7. Из точек M и N, лежащих в перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры MK и
NT на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка MN, если MT = a. NK = b, KT = c.
Контрольная работа № 6 (профиль) « Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Вариант 3
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина перпендикуляра равна
длине проекции наклонной. Найдите угол между перпендикуляром наклонной .
А)300; Б) 600; В) 450; Г) 400;
2. Прямая , которая лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна
линии их пересечения. Как размещена эта прямая относительно другой плоскости?
А) другой ответ; Б) перпендикулярна ей; В) параллельна; Г) лежит в плоскости;
3. К плоскости квадрата АВСD проведен перпендикуляр SB. Точка S
соединена с вершиной А квадрата. Определите вид треугольника SAD.
А) правильный; Б) прямоугольный; В) остроугольный; Г) тупоугольный;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Отрезок СD перпендикулярен плоскости треугольника АВС,
 АВС = 900, DС =7см, DА = DВ = 11см. Найти длину гипотенузы АВ
(см. рисунок).
5. Два отрезка, длины которых 5см и 7см, упираются в две параллельные плоскости. Проекция
меньшего отрезка на одну из плоскостей равна 4см. Вычислите проекцию другого отрезка.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. В равнобедренном ∆АВС основание ВС = 12см, боковая сторона равна 10см. Из вершины А
проведен перпендикуляр АD к плоскости (АВС), АD = 6см. Найдите длину перпендикуляра,
проведенного из точки D к стороне ВС.
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
7. Из точек M и N, лежащих в перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры MF и
MH на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка MN, если FH = 8дм, NH = 9дм,
MF =12дм.
Контрольная работа № 6 (профиль) « Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Вариант 4
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина перпендикуляра равна
длине проекции наклонной. Найдите угол между наклонной и ее проекцией .
А)300; Б) 600; В) 450; Г) 400;
2. Плоскость перпендикулярна одной из двух
параллельных прямых. Как расположена вторая из этих
прямых относительно плоскости? А) другой ответ; Б)
перпендикулярна ей; В) параллельна плоскости; Г)
лежит в ней;
3. Плоскости прямоугольного треугольника АВС
(  С = 900) и квадрата АСРR перпендикулярны. (см. рис.).
Сторона квадрата 6см, гипотенуза АВ = 12см. Найдите
длину отрезка ВР. А)6см; Б)12см; В)10см; Г)8см;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Из точки М к плоскости проведены перпендикуляр МО и наклонные МА и МВ. Найдите МО,
если длины наклонных пропорциональны числам 5 и 13, а их проекции равны 4см и 4√10 см.
5. Отрезок МК перпендикулярен плоскости прямоугольного
треугольника АВС C  90 0 , KN IIAC, AK= KB, AC = 12cм, MK = 8cм.
Найдите длину отрезка MN.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Из некоторой точки пространства проведены к данной плоскости
перпендикуляр, равный 12см и наклонная, равная 13см. Вычислите
проекцию перпендикуляра на наклонную.
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
7. О – точка пересечения диагоналей ромба АВСD, АВ = 10см, АС: ВD= 4:3. МО – перпендикуляр,
проведенный к плоскости ромба. Найдите длину отрезков, проведенных из точки М
перпендикулярно к сторонам ромба, если МО = 2см.


Контрольная работа № 6 (профиль) « Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Вариант 5
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина перпендикуляра равна
половине длины наклонной. Найдите угол между перпендикуляром и наклонной .
А)300; Б) 600; В) 450; Г) 400;
2. Сколько прямых, перпендикулярных данной плоскости, можно провести через точку, не
принадлежащую плоскости? А)две; Б) много; В) одну; Г) ни одной;
3. Из точки В к плоскости квадрата АСРR проведены перпендикуляр BС и наклонные BP и BR.
Определите вид треугольника BPR
А) тупоугольный;
Б) остроугольный; В)прямоугольный; Г)определить нельзя;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Сторона квадрата АВСD равна √2см. Через вершину В к
плоскости квадрата проведен перпендикуляр SB = 1 см. Вычислите
длину отрезка SA.
5. Дан прямоугольник АВСD. АК – перпендикуляр к плоскости (АВС),
КD = 6см, КВ = 7см, КС = 9см. Найти: АК (см. рис.)
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. В правильном треугольнике АВС со стороной 8см провели медиану АО. Через точку О
построили перпендикуляр ОD к плоскости треугольника длиной 4см. Найдите длину отрезка АD.
Контрольная работа № 6 (профиль) « Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Вариант 6
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина перпендикуляра равна
половине длины наклонной. Найдите угол между наклонной и ее проекцией.
А)300; Б) 600; В) 450; Г) 400;
2. Плоскость α проходит через прямую, перпендикулярную плоскости β. Как размещены эти
плоскости? А) другой ответ; Б) перпендикулярны; В) параллельны; Г) совпадают;
3. Из точки В к плоскости квадрата АСРR проведены
перпендикуляр BС и наклонные BА и BR. Определите вид
треугольника BАR
А)тупоугольный;
Б)остроугольный; В)прямоугольный; Г)определить нельзя;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Из точки А к плоскости α проведены две наклонные АВ =
15см и АС = 13см. Вычислите проекцию наклонной АС, если проекция наклонной АВ равна 9см.
5.
Контрольная работа № 6 (профиль) « Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Вариант 7
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина проекции наклонной
равна половине длины наклонной. Найдите угол между перпендикуляром и наклонной .
А)300; Б) 600; В) 450; Г) 400;
2. Известно, что прямая а перпендикулярна плоскости β, а плоскость β параллельна прямой с.
Каково взаимное расположение прямых а и с? А) другой ответ;
Б) перпендикулярны; В) параллельны; Г) скрещивающиеся;
3. Из точки В к плоскости квадрата АСРR проведены
перпендикуляр BС и наклонные BА и BR. Определите вид
треугольника BАR
А)тупоугольный;
Б)остроугольный; В)прямоугольный; Г)определить нельзя;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
Контрольная работа № 6 (профиль) « Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Вариант 8
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина проекции наклонной
равна половине длины наклонной. Найдите угол между наклонной и ее проекцией.
А)300; Б) 600; В) 450; Г) 400;
2. Даны прямая а и точка М. Сколько существует прямых, которые проходят через М,
пересекают прямую а и перпендикулярны к ней? А) ни
одной; Б ) одна; В)одна или множество; Г) множество;
Д)ни одной или множество;
3. Из точки В к плоскости квадрата АСРR проведены
перпендикуляр BС и наклонные BP и BR. Определите вид
треугольника BPR (см. рис).
А)тупоугольный;
Б)остроугольный; В)прямоугольный; Г)определить нельзя;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
Контрольная работа № 6 (профиль) « Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Вариант 9
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная. Длина проекции наклонной
равна 4см, а длина наклонной – 8см. Найдите угол между перпендикуляром и наклонной .
А)300; Б) 600; В) 450; Г) 400;
2. Даны плоскость α и точка М. Сколько существует плоскостей, которые проходят через М и
перпендикулярны α? А) ни одной; Б ) одна; В)одна или ни одной; Г) множество; Д)ни одной
или множество;
3. Из точки С к плоскости проведены перпендикуляр и
наклонная, длина которой 20см. Угол между наклонной и ее
проекцией равен 600. Найдите длину перпендикуляра .
А)10см; Б)√20см; В)10√2см; Г) другой ответ; Д)10√3см;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Прямая а перпендикулярна плоскости (АВС). МD = 13, АС = 15,
ВС = 20. АС  ВС, МD  АВ. Найти МС.
5. Из точек А и С, не принадлежащих плоскости α, проведены к плоскости два перпендикуляра АВ
и СD. АВ = 9см, СD= 17см, АС = 10см. Найдите длину отрезка ВD.
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 1
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Сечением куба плоскостью не может быть:
А) треугольник; Б) пятиугольник; В) восьмиугольник; Г) шестиугольник;
2. Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает прямую
с. Как расположены прямая а и плоскость β? А) пересекаются; Б) а лежит в плоскости β;
В) не имеют общих точек; Г) установить нельзя;
3. Боковая сторона трапеции параллельна плоскости α. Каково взаимное размещение плоскости α
и плоскости трапеции? А) пересекаются;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Две прямые а и b , пересекаясь в точке О, пересекают параллельные
плоскости α и β соответственно в точках A, B, C, D. Найдите длину отрезка
СО, если СО : ОВ= 2:3, СВ = 12см.
5. Сделайте рисунок и постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью
АВС, если прямая MN не параллельна ребру АВ.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки P, M, H.
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
7. Два луча OF и OP пересекают параллельные плоскости α и β в точках
F1, P1, F2, P2 соответственно. Определите OP1, если F1P1= 3см, F2P2= 5см, P1P2= 4см.
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 2
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Определите взаимное расположение плоскостей α и β, если прямая а пересекает плоскость α и
принадлежит плоскости β.
А) пересекаются; Б) параллельны; В)совпадают; Г)установить нельзя
2. Дано k – направление параллельного проецирования. АВ не параллельна k. Выберите фигуру,
которая может быть проекцией отрезка АВ. А) прямая; Б)точка; В)отрезок; Г)луч; Д)две точки
3. Даны две параллельные плоскости α и β. Точка М не лежит ни на одной из них. Сколько всего
существует прямых, которые проходят через М и параллельны плоскостям α и β?
А)одна; Б)две; В)бесконечное множество; Г)установить нельзя
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Точки А, В, С принадлежат плоскости α, параллельной плоскости β.
Через эти точки провели параллельные прямые, которые пересекли
плоскость β в точках А1, В1, С1( смотри рисунок). Найдите периметр
∆А1В1С1, если  АВС =900, АВ = 6см и ВС = 8см.
5. Даны куб АВСDA1B1C1D1 и точки M, N, R – середины отрезков
A1D1, C1D1, D1D соответственно. Докажите, что плоскость (MNR)
параллельна плоскости (A1DC1).
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Построить сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки F,
M, KЗадачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 3
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Какая из фигур не может быть параллельной проекцией ни одной из перечисленных фигур:
параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата, прямоугольного треугольника?
А) параллелограмм; Б) трапеция; В) треугольник; Г) квадрат;
2. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает АС в точке М, а сторону
ВС – в точке К. Какова длина МК, если М – середина АС, точка К – середина ВС и АВ = 16см? А)4см;
Б)6см; В)8см; Г)12см;
3. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости АВ1D и плоскость
грани СС1D1D
А) D1D ; Б) С1D; В) СD; Г)плоскости не пересекаются;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки P, M, N.
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 4
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1 Диагонали параллелограмма параллельны плоскости α. Каково взаимное размещение
плоскости α и плоскости параллелограмма?
А) пересекаются; Б) параллельны; В)совпадают; Г)установить нельзя
2. На рисунке изображен куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой
пересекаются плоскости АВС1 и плоскость грани АА1D1D
А) АD1 ; Б) АD; В)АА1; Г)плоскости не пересекаются;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K, L, N.
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 5
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Сечением тетраэдра плоскостью не может быть А) треугольник; Б) квадрат; В)восьмиугольник;
Г) четырехугольник;
2. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой пересекаются
плоскости АВ1D и плоскость грани СС1D1D
А) D1D ; Б) С1D; В) СD; Г)плоскости не пересекаются;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
5. Даны параллельные плоскости α и β. Точки K и F лежат на плоскости α, точки
C, L- в плоскости β. Отрезки К L и СF пересекаются в точке О. Найдите отрезок
OL , если KF = 13,5см, KO = 9,6см, CL = 4,5см.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки X, Y, Z
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 6
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Укажите фигуру, которой не может быть параллельная проекция параллелограмма.
А) ромбом; Б) квадратом; В) прямоугольником; Г)трапецией;
2. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает АС в точке М, а сторону
ВС – в точке К. Какова длина МК, если М – середина АС, точка К – середина ВС и МК = 12см?
А)24см; Б)6см; В)18см; Г)12см;
3. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости АВ1D и плоскость
грани СС1D1D
А) D1D ; Б) С1D; В) СD; Г)плоскости не пересекаются;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Две прямые а и b , пересекаясь в точке О, пересекают параллельные плоскости α и β
соответственно в точках A, B, C, D. Найдите длину отрезка СО, если СО : ОВ= 2:3, СВ = 12см.
5. Нарисуйте произвольный треугольник, выберите прямую параллельного проецирования и
постройте параллельную проекцию этого треугольника на некоторую плоскость α.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки M, P, H
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 7
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Укажите фигуру, которой не может быть параллельная проекция параллелограмма.
А) ромбом; Б) квадратом; В) прямоугольником; Г) трапецией;
2. Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает прямую
с. Как расположены прямая а и плоскость β. А) пересекаются; Б) а лежит в плоскости β;
В) не имеют общих точек; Г) установить нельзя;
3. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости АВ1D
и плоскость грани СС1D1D
А) D1D ; Б) С1D; В) СD; Г)плоскости не пересекаются;
5. Две прямые а и b , пересекаясь в точке О, пересекают параллельные плоскости α и β
соответственно в точках A, B, C, D. Найдите длину отрезка СО,
если СD:АВ= 1:4, ОВ = 6см.
Pешите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через
точки K, M, N.
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 8
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Укажите фигуру, которой не может быть параллельная проекция параллелограмма.
А) ромбом; Б) квадратом; В) прямоугольником; Г)трапецией;
2. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает АС в точке М, а сторону
ВС – в точке К. Какова длина МК, если М – середина АС, точка К – середина ВС и МК = 12см?
А)24см; Б)6см; В)18см; Г)12см;
3. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости АВ1D и плоскость
грани СС1D1D
А) D1D ; Б) С1D; В) СD; Г)плоскости не пересекаются;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Две прямые а и b , пересекаясь в точке О, пересекают параллельные плоскости α и β
соответственно в точках A, B, C, D. Найдите длину отрезка СО, если СО : ОВ= 2:3, СВ = 12см.
5. Нарисуйте произвольный треугольник, выберите прямую параллельного проецирования и
постройте параллельную проекцию этого треугольника на некоторую плоскость α.
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 9
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Укажите фигуру, которой не может быть параллельная проекция параллелограмма.
А) ромбом; Б) квадратом; В) прямоугольником; Г) трапецией;
2. Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает прямую
с. Как расположены прямая а и плоскость β. А) пересекаются; Б) а лежит в плоскости β;
В) не имеют общих точек; Г) установить нельзя;
3. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости АВ1D и плоскость
грани СС1D1D
А) D1D ; Б) С1D; В) СD; Г)плоскости не пересекаются;
5. Две прямые а и b , пересекаясь в точке О, пересекают параллельные плоскости α и β
соответственно в точках A, B, C, D. Найдите длину отрезка СО,
если СD:АВ= 1:4, ОВ = 6см.
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 10
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Укажите фигуру, которой не может быть параллельная проекция параллелограмма.
А) ромбом; Б) квадратом; В) прямоугольником; Г)трапецией;
2. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает АС в точке М, а сторону
ВС – в точке К. Какова длина МК, если М – середина АС, точка К – середина ВС и МК = 12см?
А)24см; Б)6см; В)18см; Г)12см;
3. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости АВ1D и плоскость
грани СС1D1D
А) D1D ; Б) С1D; В) СD; Г)плоскости не пересекаются;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Две прямые а и b , пересекаясь в точке О, пересекают параллельные плоскости α и β
соответственно в точках A, B, C, D. Найдите длину отрезка СО, если СО : ОВ= 2:3, СВ = 12см.
5. Нарисуйте произвольный треугольник, выберите прямую параллельного проецирования и
постройте параллельную проекцию этого треугольника на некоторую плоскость α.
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 11
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Укажите фигуру, которой не может быть параллельная проекция параллелограмма.
А) ромбом; Б) квадратом; В) прямоугольником; Г) трапецией;
2. Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает прямую
с. Как расположены прямая а и плоскость β. А) пересекаются; Б) а лежит в плоскости β;
В) не имеют общих точек; Г) установить нельзя;
3. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости АВ1D и плоскость
грани СС1D1D
А) D1D ; Б) С1D; В) СD; Г)плоскости не пересекаются;
5. Две прямые а и b , пересекаясь в точке О, пересекают параллельные плоскости α и β
соответственно в точках A, B, C, D. Найдите длину отрезка СО,
если СD:АВ= 1:4, ОВ = 6см.
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений»Вариант 12
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Укажите фигуру, которой не может быть параллельная проекция параллелограмма.
А) ромбом; Б) квадратом; В) прямоугольником; Г)трапецией;
2. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает АС в точке М, а сторону
ВС – в точке К. Какова длина МК, если М – середина АС, точка К – середина ВС и МК = 12см?
А)24см; Б)6см; В)18см; Г)12см;
3. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости АВ1D и плоскость
грани СС1D1D
А) D1D ; Б) С1D; В) СD; Г)плоскости не пересекаются;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Две прямые а и b , пересекаясь в точке О, пересекают параллельные плоскости α и β
соответственно в точках A, B, C, D. Найдите длину отрезка СО, если СО : ОВ= 2:3, СВ = 12см.
5. Нарисуйте произвольный треугольник, выберите прямую параллельного проецирования и
постройте параллельную проекцию этого треугольника на некоторую плоскость α.
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 13
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Укажите фигуру, которой не может быть параллельная проекция параллелограмма.
А) ромбом; Б) квадратом; В) прямоугольником; Г) трапецией;
2. Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает прямую
с. Как расположены прямая а и плоскость β. А) пересекаются; Б) а лежит в плоскости β;
В) не имеют общих точек; Г) установить нельзя;
3. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости АВ1D
и плоскость грани СС1D1D
А) D1D ; Б) С1D; В) СD; Г)плоскости не пересекаются;
5. Две прямые а и b , пересекаясь в точке О, пересекают параллельные плоскости α и
β соответственно в точках A, B, C, D. Найдите длину отрезка СО,
если СD:АВ= 1:4, ОВ = 6см.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Объясните, как построить сечение куба АВСDA1B1C1D1 плоскостью,
проходящей через точки M N K.
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 14
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Укажите фигуру, которой не может быть параллельная проекция параллелограмма.
А) ромбом; Б) квадратом; В) прямоугольником; Г)трапецией;
2. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой АВ, пересекает АС в точке М, а сторону
ВС – в точке К. Какова длина МК, если М – середина АС, точка К – середина ВС и МК = 12см?
А)24см; Б)6см; В)18см; Г)12см;
3. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости АВ1D и плоскость
грани СС1D1D
А) D1D ; Б) С1D; В) СD; Г)плоскости не пересекаются;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Две прямые а и b , пересекаясь в точке О, пересекают параллельные плоскости α и β
соответственно в точках A, B, C, D. Найдите длину отрезка СО, если СО : ОВ= 2:3, СВ = 12см.
5. Нарисуйте произвольный треугольник, выберите прямую параллельного проецирования и
постройте параллельную проекцию этого треугольника на некоторую плоскость α.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки M, N, K
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
Контрольная работа № 5 (профиль) « Параллельное проектирование,
построение сечений» Вариант 15
В заданиях 1 -4 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Укажите фигуру, которой не может быть параллельная проекция параллелограмма.
А) ромбом; Б) квадратом; В) прямоугольником; Г) трапецией;
2. Плоскости α и β пересекаются по прямой с. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает прямую
с. Как расположены прямая а и плоскость β. А) пересекаются; Б) а лежит в плоскости β;
В) не имеют общих точек; Г) установить нельзя;
3. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Укажите прямую, по которой пересекаются плоскости АВ1D и плоскость
грани СС1D1D
А) D1D ; Б) С1D; В) СD; Г)плоскости не пересекаются;
5. Две прямые а и b , пересекаясь в точке О, пересекают параллельные плоскости α и β
соответственно в точках A, B, C, D. Найдите длину отрезка СО,
если СD:АВ= 1:4, ОВ = 6см.
Pешите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки
K, M, N.
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 1. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, длина которой равна
20см. Угол между наклонной и плоскостью 600. Найдите длину перпендикуляра.
А)10√2см; Б)10см; В)10√3 см; Г)√20см; Д) другой ответ;
2. Дан куб АВСDA1B1C1D1. Найти угол между плоскостями АСС1А1 и
ВDD1В1 А)450; Б)300; В)900; Г)1200; Д)600;
3. Точка К не принадлежит плоскости ω, а точки А, В, С, М, D лежат на
плоскости (см. рис.). Укажите отрезок, который является расстоянием
между точками К и С. А) АК; Б)КС; В)КВ; Г)АС; Д)СВ;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)\
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 2. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого
равна 20см. Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)20√2см; Б)40см; В)10√3 см; Г)√20см; Д) другой ответ;
2. Угол между образующей МА и плоскостью основания конуса,
изображенного на рисунке, равен 300, радиус АО равен 6√3см. Найдите
высоту МО. А)6см; Б)18см; В)12√3 см; Г)3√3см;
3. Точки А, В, С принадлежат плоскости α, а точки К, М, L – плоскости β,
αIIβ, ВК  β, А L = 4см, СМ = 6см, ВК = 3см, ВМ = 5см, АК = 7см. Укажите
расстояние между плоскостями α и β. А)3см; Б)4см; В)5см; Г)6см; Д)7см;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 3. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная длиной 9см и
перпендикуляр, длина которого равна 6см. Найдите длину проекции
перпендикуляра на наклонную.
А)3√2смс; Б)4см; В)6√2 см; Г)√20см; Д) другой ответ;
2. Прямая КО перпендикулярна плоскости ромба DLTF, изображенного
на рисунке. Укажите угол между KF и плоскостью ромба.
А)  KOF; Б)  KFD; В)  KFT; Г)  KFO;
3. МВ – перпендикуляр к плоскости квадрата АВСD (см. рис.). О – центр
квадрата, N - середина стороны CD. Укажите отрезок, выражающий
расстояние от точки М до стороны CD.
А)MO; Б)MC; В)MN; Г)MD;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Расстояние от точки М до сторон квадрата равно 13см. Найдите расстояние от точки М
до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна 10см.
5. Найдите длину ВD1 – диагонали куба АВСDA1B1C1D1.если ребро куба равно 2см.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12см. Вне плоскости треугольника
дана точка, удаленная от каждой вершины на расстоянии 10см. Найдите расстояние от
этой точки до плоскости треугольника.
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
7. Стороны прямоугольника равны 9см и 12см. Из середины большей стороны восставлен
перпендикуляр длиной 4,8см к плоскости прямоугольника. Найти расстояние от конца
этого перпендикуляра до одной из диагоналей.
4. Расстояние от точки М до всех вершин квадрата равно 5см. Найдите расстояние от точки
М до плоскости квадрата, если диагональ квадрата равна 6см.
5. Отрезок SB - перпендикуляр, проведенный к плоскости квадрата АВСD. Найдите
длину отрезка SD, если AB = 12см, SC = 16см.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Две плоскости α и β взаимно перпендикулярны. Точка М удалена от плоскости α на 12см,
а от прямой пересечения плоскостей – на 37 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости β.
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
7. Отрезок длиной 25см опирается концами на две перпендикулярные плоскости. Проекции
отрезка на эти плоскости равны 24см и 20см. Вычислите длину перпендикуляров к данным
плоскостям.
4. Точка О – центр квадрата АВСD. МО – прямая, перпендикулярная к плоскости
квадрата; АВ = 8 см. Прямая МА наклонена к плоскости квадрата под углом 600.
Вычислите расстояние между точками М и В.
5. Отрезок КМ не пересекает плоскость α. Точка К удалена от нее на 1,8см, а точка
С – середина отрезка КМ - на 4см. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Равнобедренные треугольники АВС и АВD с общим основанием АВ лежат в разных
плоскостях, угол между которыми равен α. АВ = 32см, АС = 65см, АD = 20см, СD = 53см.
Найдите угол α и площадь ортогональной проекции треугольника АВD на плоскость
треугольника АВС.
Задачу 7 решите с полным пояснением (3 бала)
7. Из одной точки проведены к плоскости две наклонные, проекции которых равны
4,5м и 1,5м. Найдите длины наклонных, если одна из них образует с плоскостью
угол, в 2 раза больший, чем вторая.
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 4. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого равна 10см.
Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)10√2см ; Б)20см; В)5√3 см; Г)√20см; Д) другой ответ;
2. Прямая МВ перпендикулярна плоскости квадрата АВСD, изображенного на
рисунке. Укажите угол между прямой МD и плоскостью квадрата. А)  MDA;
Б)  MDB; В)  MDC; Г)  MBD;
3. Отрезок SO – перпендикуляр к плоскости ромба ABCD. Укажите отрезок,
выражающий расстояние от точки S до диагонали BD
А)SB; Б)SD; В)SO; Г)OC;
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 5. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина
которого равна 30см. Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите
длину наклонной. А)15√2см; Б)60см; В)15√3 см; Г)√20см;
2. Точка А лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей, изображенных
на рисунке. Из точки А опущен перпендикуляр на прямую, по которой эти
плоскости пересекаются и перпендикуляр на другую плоскость. АВ = 14см, АС
= 4см. Найдите величину угла между плоскостями. А)450; Б)300; В)900;
Г)1200; Д)600;
3. Из точки М к плоскости ω проведен перпендикуляр МО. Точка М не
принадлежит ω, а точки Т, Р, Q, F Є плоскости ω . Выберите отрезок,
выражающий расстояние от точки М до плоскости ω. А)MO; Б)MT; В)MF; Г)MQ;
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 6. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого равна 5см.
Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)5√2ссм ; Б)10см; В)5√3 см; Г)√20см; Д) другой ответ;
2. Точка В лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей,
изображенных на рисунке. Из точки В опущен перпендикуляр ВА на прямую
МК, по которой эти плоскости пересекаются и перпендикуляр ВС на другую
плоскость. СВ = 2√3см, АС = 2см. Найдите величину угла между
плоскостями. А)450; Б)300; В)900; Г)1200; Д)600;
3. Прямые а и b, расположенные в пространстве перпендикулярны и угол между ними равен α.
Выберите правильное утверждение. А) α = 300; Б) α = 450; В) α = 600; Г) α = 900; Д) α = 1200;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Расстояние от точки М до сторон квадрата равно 13см. Найдите расстояние до точки
пересечения диагоналей квадрата, если сторона квадрата равна 10см.
5. В правильном треугольнике АВС со стороной 8см провели медиану АО. Через точку О
построили перпендикуляр ОD к плоскости треугольника, длиной 4см. Найдите длину отрезка АD.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Из концов отрезка, который принадлежит двум перпендикулярным плоскостям, к линии
пересечения данных плоскостей проведены перпендикуляры, расстояние между
основаниями которых, равно 3см. Проекции отрезка на эти плоскости равны
3√2см и 3√3см. Вычислите углы, образованные этим отрезком с данными плоскостями
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Точка О – центр квадрата со стороной 4см. АО – прямая, перпендикулярная к плоскости
квадрата; АО = 2√2 см. Вычислите расстояние от точки А до вершин квадрата.
5. Дан параллелограмм со сторонами 6см и 7см и углом между ними 450. Найдите площадь
ортогональной проекции параллелограмма на плоскость, наклоненную к его плоскости под
углом 600.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Две плоскости α и β взаимно перпендикулярны. Точка М удалена от них на 20см и 21см.
Найдите расстояние от точки М до линии пересечения этих плоскостей.
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Стороны треугольника АВС равны 11см, 13см и 20см. Через вершину наименьшего угла к
плоскости треугольника проведен перпендикуляр ВМ. Найдите расстояние от точки М до
плоскости треугольника, если расстояние от точки М до наименьшей стороны треугольника
равно 15см.
5. Из точки, удаленной от плоскости на 24см, проведены к ней две наклонные,
угол между которыми 900. Проекции этих наклонных на плоскость равны 18см и 32см. Вычислите
расстояние между основаниями наклонных.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6.Из концов отрезка, который принадлежит двум перпендикулярным плоскостям, к линии
пересечения данных плоскостей проведены перпендикуляры, равные, 4см и 4√2см. Расстояние
между основаниями перпендикуляров равно 4см. Вычислите углы, образованные этим отрезком
с данными плоскостями.
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 7. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого равна 5см.
Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)5√2см ; Б)10см; В)5√3 см; Г)√20см; Д) другой ответ;
2. Угол между образующей МА и плоскостью основания конуса,
изображенного на рисунке, равен 600, образующая АМ равна 16√3см.
Найдите высоту МО.
А)16см; Б)24см; В)12√3 см; Г)8√3см;
3. Через вершину В ромба АВСD проведена прямая SB, перпендикулярная к
плоскости ромба. Выберите правильное утверждение.
А)SB  AD; Б)SB  DC; В)SB  BD; Г)𝑆𝐵  AC;
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 8. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого равна 2 5см.
Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)25√2см ; Б)50см; В)25√3см; Г)√20см; Д) другой ответ;
2. Точка В лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей,
изображенных на рисунке. Из точки В опущен перпендикуляр ВА на прямую
МК, по которой эти плоскости пересекаются и перпендикуляр ВС на другую
плоскость. СВ = 2√3см, АС = 2см. Найдите величину угла между
плоскостями. А)450; Б)300; В)900; Г)1200; Д)600;
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 9. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина
которого равна 6см. Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите
длину наклонной. А)6√2см; Б)12см; В)6√3 см; Г)√20см; Д) другой ответ;
2. Точка А лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей, изображенных
на рисунке. Из точки А опущен перпендикуляр АВ на прямую, по которой эти
плоскости пересекаются и перпендикуляр АС на другую плоскость. АВ = 6√2см, ВС = 6см. Найдите
величину угла между плоскостями. А)450; Б)300; В)900; Г)1200; Д)600;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. В равнобедренном ∆АВС основание ВС = 12см, боковая сторона равна 10см. Из
вершины А проведен перпендикуляр АD к плоскости (АВС), АD = 6см. Найдите
расстояние от точки D до стороны ВС.
5. Из точки, удаленной от плоскости на 12см, проведены к ней две наклонные,
длиной 13см и 12√2см. Угол между проекциями этих наклонных равен 900.
Вычислите расстояние между основаниями наклонных.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведен перпендикуляр к
плоскости треугольника. Гипотенуза треугольника равна 12см, а один из острых углов
равен 600. Найдите расстояние от верхнего конца перпендикуляра до вершин острых
углов, если длина перпендикуляра равна 8см.
3. Отрезок КС  плоскости параллелограмма АВСD. Укажите взаимное расположение
плоскостей (КСD) и (АВСD). А) параллельны; Б) совпадают; В) перпендикулярны;
Г)пересекаются, но не перпендикулярны;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Из точки М к плоскости проведены перпендикуляр МО и наклонные МА и МВ. Найдите МО,
если длины наклонных пропорциональны числам 5 и 13, а их проекции равны 4см и 4√10 см
5. Сторона квадрата АВСD равна √2см. Через вершину В к плоскости квадрата проведен
перпендикуляр SB = 1 см. Вычислите длину отрезка SA.
Решите задачу 6 с кратким пояснением.(2 бала)
6. В правильном треугольнике АВС со стороной 8см провели медиану АО. Через точку О
построили перпендикуляр ОD к плоскости треугольника длиной 4см. Найдите длину отрезка АD.
3. Через вершину В квадрата АВСD проведен перпендикуляр ВН (см. рис.).
Укажите взаимное расположение диагонали квадрата АС и наклонной НО
(О – точка пересечения диагоналей квадрата). А) параллельны;
Б) скрещиваются; В)перпендикулярны; Г)пересекаются
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Из точки А к плоскости α проведены две наклонные АВ = 15см и АС = 13см. Вычислите
проекцию наклонной АС, если проекция наклонной АВ равна 9см.
5. Две плоскости пересекаются под углом 600. Точка А находится на расстоянии 10см от этих
плоскостей. Найдите расстояние от точки А до прямой пересечения этих плоскостей.
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 10. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого
равна 7см. Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)7√2см; Б)14см; В)7√3см; Г)√20см; Д) другой ответ;
2. Точка В лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей, изображенных на
рисунке. Из точки В опущен перпендикуляр ВА на прямую МК, по которой эти
плоскости пересекаются и перпендикуляр ВС на другую плоскость. АВ = 4√3см,
ВС = 6см. Найдите величину угла между плоскостями. А)450; Б)300; В)900;
Г)1200; Д)600;
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 11. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого равна 5см.
Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)5√2см ; Б)10см; В)5√3см; Г)√20см; Д) другой ответ;
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 12. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого равна 7см.
Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)7√2см; Б)14см; В)7√3см; Г)√20см; Д) другой ответ;
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 13. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого равна 5см.
Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)5√2см; Б)10см; В)5√3 см; Г)√20см; Д) другой ответ;
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 14. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого равна 7см.
Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)7√2см; Б)14см; В)7√3 см; Г)√20см; Д) другой ответ;
3. Отрезок КС  плоскости параллелограмма АВСD. Укажите взаимное расположение
плоскостей (КСD) и (АВСD). А) параллельны; Б)совпадают; В)перпендикулярны;
Г)пересекаются, но не перпендикулярны;
В заданиях 4 – 5 укажите правильные ответы (2 бала)
4. Из точек А и С, не принадлежащих плоскости α, проведены к плоскости два перпендикуляра АВ
и СD. АВ = 9см, СD = 17см, АС = 10см. Найдите длину отрезка ВD.
5. Точка F не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD , FB  AB, FB  BC, CD = 6см,
CF = 8см. Найдите площадь треугольника FCD
2. Основанием пирамиды МАВСD, изображенной на рисунке , является
квадрат АВСD. Боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания
пирамиды, точка К – середина CD. Укажите угол между плоскостями (MCD)
и ABCD . А)  MAB; Б)  MDB; В)  MKB; Г)  MCB;
3. Отрезок КС  плоскости параллелограмма АВСD. Укажите взаимное
расположение плоскостей (КСD) и (АВСD). А) параллельны; Б) совпадают;
В)перпендикулярны; Г)пересекаются, но не перпендикулярны;
2. Точка В лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей, изображенных на
рисунке. Из точки В опущен перпендикуляр ВА на прямую МК, по которой эти
плоскости пересекаются и перпендикуляр ВС на другую плоскость. АВ = 4√3см,
ВС = 6см. Найдите величину угла между плоскостями. А)450; Б)300; В)900;
Г)1200; Д)600;
3. Отрезок КС  плоскости параллелограмма АВСD. Укажите взаимное
расположение плоскостей (КСD) и (АВСD). А) параллельны; Б) совпадают; В)перпендикулярны;
Г)пересекаются, но не перпендикулярны;
2. Основанием пирамиды МАВСD, изображенной на рисунке , является
квадрат АВСD. Боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания
пирамиды, точка К – середина CD. Укажите угол между плоскостями (MCD)
и ABCD . А)  MAB; Б)  MDB; В)  MKB; Г)  MCB;
3. Отрезок КС  плоскости параллелограмма АВСD. Укажите взаимное расположение
плоскостей (КСD) и (АВСD). А)параллельны; Б)совпадают; В)перпендикулярны; Г)пересекаются,
но не перпендикулярны;
2. Точка В лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей, изображенных на
рисунке. Из точки В опущен перпендикуляр ВА на прямую МК, по которой эти
плоскости пересекаются и перпендикуляр ВС на другую плоскость. АВ = 4√3см,
ВС = 6см. Найдите величину угла между плоскостями. А)450; Б)300; В)900;
Г)1200; Д)600;
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 15. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого равна 5см.
Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)5√2см; Б)10см; В)5√3 см; Г)√20см; Д) другой ответ;
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 16. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого равна 7см.
Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)7√2см; Б)14см; В)7√3 см; Г)√20см; Д) другой ответ;
Контрольная работа № 7(профиль) « Расстояния и углы в пространстве».
Вариант 17. В заданиях 1 -3 укажите правильные ответы (1 бал)
1. Из точки А к плоскости проведены наклонная и перпендикуляр, длина которого равна 5см.
Угол между наклонной и перпендикуляром 600. Найдите длину наклонной.
А)5√2см ; Б)10см; В)5√3 см; Г)√20см; Д) другой ответ;
2. Основанием пирамиды МАВСD, изображенной на рисунке , является
квадрат АВСD. Боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания
пирамиды, точка К – середина CD. Укажите угол между плоскостями (MCD) и
ABCD . А)  MAB; Б)  MDB; В)  MKB; Г)  MCB;
3. Отрезок КС  плоскости параллелограмма АВСD. Укажите взаимное
расположение плоскостей (КСD) и (АВСD). А) параллельны; Б) совпадают;
В)перпендикулярны; Г)пересекаются, но не перпендикулярны;
2. Основанием пирамиды МАВСD, изображенной на рисунке , является
квадрат АВСD. Боковое ребро МВ перпендикулярно плоскости основания
пирамиды, точка К – середина CD. Укажите угол между плоскостями (MCD)
и ABCD . А)  MAB; Б)  MDB; В)  MKB; Г)  MCB;
3. Отрезок КС  плоскости параллелограмма АВСD. Укажите взаимное
расположение плоскостей (КСD) и (АВСD). А)параллельны; Б)совпадают;
В)перпендикулярны; Г)пересекаются, но не перпендикулярны;
2. Точка В лежит в одной из двух пересекающихся плоскостей,
изображенных на рисунке. Из точки В опущен перпендикуляр ВА на прямую
МК, по которой эти плоскости пересекаются и перпендикуляр ВС на другую
плоскость. АВ = 4√3см, ВС = 6см. Найдите величину угла между
плоскостями. А)450; Б)300; В)900; Г)1200; Д)600;
3. Отрезок КС  плоскости параллелограмма АВСD. Укажите взаимное
расположение плоскостей (КСD) и (АВСD). А)параллельны; Б)совпадают;
В)перпендикулярны; Г)пересекаются, но не перпендикулярны;