Герман Гюнтер Грассман

Герман Гюнтер Грассман
(15.04.1809- 26.09 1877), родился и умер в Штеттине, Германия.
Отец Германа Грассмана – Юстус Гюнтер Грассман. Мать – Йоханна Луиза Фредерика Меденвальд,
дочь министра Кляйн-Шёнфельда. Юстусу прочили должность министра, но он устроился на работу
в Штеттинскую гимназию учителем математики и физики. Он был хорошим преподавателем.
Написал несколько учебников по физике и математике, а также провел исследования по
кристаллографии. Всего у Йоханны и Юстуса было 12 детей. Герман был их третьим ребенком. Брат
Германа – Роберт также стал математиком. Они оба сотрудничали во многих проектах.
В детстве Германа учила мать, которая была вполне образованной женщиной. Затем он посещал
частную школу до поступления в Штеттинскую гимназию, где преподавал его отец. Многие
будущие математики этого учебного заведения поражали своих учителей с малых лет, но, как ни
странно, несмотря на прекрасные образовательные возможности в образованной семье, Герман не
выделялся в первые годы в гимназии. Его отец был уверен, что ему нужна практическая работа –
вроде садовника или ремесленника. Герман проявил склонность к музыке и учился игре на
фортепиано. Постепенно совершенствуясь, он сдал школьные экзамены в 18 лет и стал вторым по
успехам.
Герман решил изучать теологию. Прибыв в Берлин в 1827 году со старшим братом, стал учиться в
Берлинском университете. Он выбрал себе курсы – теологию, древние языки, философию и
литературу, не взяв курсы по математике и физике.
Хотя он не занимался математикой в университете, она его заинтересовала по возвращении в
Штеттин в 1830-м году, после завершения учебы в Берлине. В принятии этого решения сказалось
влияние его отца. В это время он решил стать школьным учителем, и был вынужден сам изучать
математику. После года изучения математики и подготовки к экзаменам, чтобы преподавать в
гимназии, в декабре 1831 он приехал в Берлин сдавать экзамены. Его документы не соответствовали
стандартам, и ему разрешили преподавать только в начальных классах. Чтобы преподавать в более
старших классах, ему нужно было пересдать экзамены и показать лучшее знание предмета, который
он собирается вести. Весной 1832 года он был принят помощником учителя в Штеттинскую
гимназию.
Первые успехи, сделанные им в изучении математики, привели его к важным идеям, которые он
развил несколькими годами позже. В предисловии к его “Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer
Zweig der Mathematik”(“Линейная теория протяженностей, новая ветвь математики”) (1844)
Грассман описал, как он пришел к этим идеям еще в 1832-м году.
В 1834 Грассман сдал экзамен по теологии, первый уровень, установленный Советом Лютеранской
Церкви Штеттина. Но, не смотря на то, что это был его первый шаг на пути к должности священника
Лютеранской Церкви, вместо этого он поехал в Берлин осенью этого же года, чтобы стать учителем
математики в ремесленном училище. Вакансия образовалась после того, как предыдущего учителя,
Якоба Штейнера, приняли в Берлинский университет на кафедру математики. После года в
ремесленном училище, Грассману представилась возможность вернуться домой, в Штеттин. Новая
школа, Отто-шуле, только что открылась, и Грассмана позвали туда преподавать математику,
физику, немецкий язык, латынь и религиоведение…
В следующие четыре года Грассман серьезно взялся за преподавание, но он еще умудрялся находить
время заниматься математикой и подготовкой к предстоящим экзаменам. В 1839 он сдал экзамены по
теологии, второй уровень; а в 1840 он приехал в Берлин сдавать экзамены, которые позволили бы
ему вести точные предметы на высшем гимназическом уровне. С этого момента он мог преподавать
математику, физику, химию и минералогию на всех уровнях средней школы.
В действительности экзамены, которые Грассман сдал в 1840-м году, были важны для него и в
другом отношении. Он должен был представить эссе по теории приливов-отливов, как часть
экзамена. За основу он взял теорию из «Mechanique celeste» Лапласа и из «Mechanique analitique»
Лагранжа, но он осознал, что мог использовать векторные методы, которые он развивал с 1832 года,
чтобы осуществить более простой и оригинальный подход. Его эссе было длиной 200 стр. и в начале
включало в себя анализ, основанный на векторах, включая векторное сложение и умножение,
векторные дифференциалы и теорию вектор-функций. Экзаменаторы приняли его эссе, но не смогли
оценить важность инноваций, которые ввел Грассман. С другой стороны, это продемонстрировало
Грассману, что его теория была широко применима, и он решил посвящать как можно больше
времени дальнейшему развитию своих идей векторных пространств.
Конечно, Грассман не мог уделять слишком много времени исследованиям с тех пор, как он был
назначен учителем. Он прикладывал большие усилия, чтобы достойно выполнить эту работу. Он
написал несколько учебников, два из которых были опубликованы в 1842 году: один на немецком,
другой – на латыни. После написания этих учебников он полностью сконцентрировался на
написании “Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik” Начал он весной 1842-го и
к осени 1843 он закончил рукопись. Она была опубликована в следующем году. В этой работе,
которую нужно рассматривать как шедевр оригинальности, он представил идею алгебры, в которой
символы, представляющие геометрические объекты, такие как точки, линии и плоскости,
подчиняются определенным правилам действий. Он представил подпространства некоторого
пространства координатами точки, отмеченной на алгебраическом многообразии, которое сейчас
называется Грассманианом.
<…> «Он рассматривает формальные линейные комбинации a1e1+a2e2+a3e3+…, где e1, e2, e3,… −
набор базисных единиц; aj – действительные числа. Тем самым он определяет порождаемые этими
единицами свободные линейные пространства. …Он разрабатывает теорию линейной
независимости способом, удивительно похожим на тот, который можно найти в теперешних
книгах по линейной алгебре.
…Он рассматривает конечные множества и их независимые подмножества и доказывает важное
равенство
dim(U+W) = dim U + dim W – dim(U∩W).»
<…>
Грассман изобрел то, что сейчас называется «внешней алгеброй». Клиффорд в 1878 соединил это с
кватернионами Гамильтона. <…> Сейчас алгебры Клиффорда используются в теории квадратичных
форм и в релятивистской квантовой механике. Алгебры Клиффорда появляются вместе с
Грассмановской внешней алгеброй в дифференциальной геометрии.
Что же математики сделали с этим революционным текстом? К сожалению, его не смогли оценить,
т.к. он опережал своё время. Мёбиус не смог понять значение Грассманского подхода и отказался
писать рецензию. Как следствие, книга была вообще проигнорирована. Грассман, тем не менее,
продолжал развивать свои идеи, осознавая, что в конце концов его идеи воспримут серьезно. В 1845
он опубликовал «Neue Theorie der Elektrodynamik» и в течение 10 лет написал различные статьи с
приложениями теории к алгебраическим кривым и поверхностям. <…> 1 июля 1846 Грассман
получил приз Яблоновского общества за свою работу «Die geometrische Analyse geknuepft an die von
Leibniz erfundene Characteristik». Но не все складывалось для Грассмана удачно. Мёбиус, который
был одним из судей, критиковал его подход и абстрактные идеи, непонятные читателю.
Грассмана огорчало то, что он сделал множество важных, как он чувствовал, открытий в математике,
а все еще продолжает быть учителем в средней школе. После Отто-шуле он был назначен в
Штеттинскую гимназию, затем в Фридрих-Вильгельм-шуле. В мае 1847 он получил должность
старшего учителя в Фридрих-Вильгельм-шуле, и в этом же месяце написал прусскому министру
образования с просьбой назначить его в университет. Министр образования спросил мнение
Куммера о Грассмане, который читал его эссе «Geometrische Analyse». Ответ Куммера − «достойный
похвалы, хороший материал, представленный в недостаточной форме» − перечеркнул все надежды
Грассмана на работу в университете. Интересно наблюдать, как ведущие математики не могли
оценить находки Грассмана, которые станут основаниями науки через 100 лет.
1848-49 годы были отмечены революциями. Свержение короля Франции Луи-Филиппа в феврале
1848 была сигналом к началу революции и в Германии. В период революции 1848-49 Грассман,
вместе со своим братом Робертом, издавали еженедельную политическую газету. <…>
12 апреля 1849 он женился на Терезе Кнапп, дочери землевладельца. У них было 11 детей, семь из
которых достигли зрелого возраста. Один из их сыновей получил докторскую степень в 1893. <…>
Потом он стал профессором математики в Гиссенском университете.
В марте 1852 умер отец Грассмана – Юстус и в этом же году Грассман занял место отца в
Штеттинской гимназии. Это значило, что он получил звание профессора. Важно отметить, что два
его сына – Юстус и Макс – впоследствии тоже стали учителями в этой гимназии. Отчаявшись в
получении признания своей математики, Грассман занялся другим любимым делом − изучению
санскрита и готского языка. Следует отметить, что за изучение языков он получил при жизни гораздо
большее признание.
<…>
Но Грассман также изучал и проблемы физики: в частности, в 1853 он опубликовал теорию
смешения цветов. В середине следующего года он вернулся к математике и своей теории
протяженностей. В действительности, несмотря на то, что он полностью переписал свою работу, и
она с теперешней точки зрения написана в современном научном стиле, Грассману не удалось
убедить математиков своего времени. Его вторая книга “Die Ausdehnungslehre: Vollstaendig und in
strenger Form bearbeitet”, опубликованная в 1862 году, имела не больший успех, чем её первая версия
1844 года.
Разочаровавшись в попытке убедить математическое сообщество, он снова занялся
лингвистическими исследованиями. Здесь его успехи были лучше. Он был избран в Американское
Восточное общество и награжден званием почетного члена университета Тюбингена. В последние
несколько лет он вновь вернулся к математике и, несмотря на плохое здоровье, подготовил еще одно
издание своей первой работы для публикации. Она появилась уже после смерти Грассмана. Он умер
от болезни сердца.
Математические методы Грассмана медленно входили в научный обиход, но именно они легли в
основу работы Эли Картана и с тех пор используются при изучении дифференциальных форм и их
применении в анализе и геометрии. Среди других ученых можно назвать Хенкеля, Пеано, Уайтхэда и
Клейна. Многие из достижений Пеано, как он сам признавался, основывались на идеях Грассмана…
…«Кажется, это судьба Грассмана: быть заново открытым в разные периоды времени, причем
каждый раз как будто его полностью забыли после смерти…»
…«Все математики стоят, как говорил Ньютон про себя, на плечах гигантов, но лишь немногие из
них подошли ближе, чем Грассман, к собственноручному созданию новой науки…»
J J O’Connor and E F Robertson
MacTutor History of Mathematics
(Перевод А.Мещерова и А.Алексеева)