6.учебно-методическое обеспечение дисциплины
advertisement
НОУ ВПО ИНСТИТУТ
УПРАВЛЕНИЯ,
БИЗНЕСА И ПРАВА
Алексеенко А.В.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Методы оптимальных
решений»
для студентов очной формы обучения
Ростов-на-Дону
2014
Учебно-методический
комплекс
по
дисциплине
«Методы
оптимальных решений» разработан в соответствии с требованиями
Федерального Государственного образовательного стандарта высшего
профессионального образования для студентов очной формы обучения,
обучающихся по направлению подготовки 080100 «Экономика»
квалификация (степень) «бакалавр».
Учебно-методический
комплекс
рекомендован
кафедрой
«Информационные технологии» (протокол №1 от 31.08.13) и утвержден
Учебно-методическим советом Академии Управления (протокол №1 от
31.08.13) НОУ ВПО Института управления, бизнеса и права.
Учебно-методический комплекс предназначен для студентов очной
формы обучения, содержит план лекционных, практических и
лабораторных занятий, рекомендации по выполнению самостоятельной
работы, требования к уровню освоения программы и аттестации по
дисциплине, учебно-методическое и учебно-информационное обеспечение
дисциплины.
Составитель: к.т.н. Алексеенко А.В. (НОУ ВПО ИУБиП)
Рецензенты: к.т.н., доц. Филин Н.Н. (НОУ ВПО ИУБиП)
к.т.н., доц. Храмов В.В. (ФГБОУ ВПО РГУПС)
2
СОДЕРЖАНИЕ
1. ЛЕКЦИОННЫЕ ЗАНЯТИЯ .................................................................................. 4
2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ .............................................................................. 13
3. КОНТРОЛЬ ОВЛАДЕНИЯ КОМПЕТЕНЦИЯМИ ............................................ 54
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ............................................. 56
5. АТТЕСТАЦИЯ ...................................................................................................... 57
5.1 Примерные вопросы к промежуточному тестированию ................................ 58
5.2 Практические задания ......................................................................................... 65
5.3 Вопросы и задания к итоговой аттестации ....................................................... 66
6.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ .................... 68
6.1
Основная литература .................................................................................... 68
6.2 Дополнительная литература ............................................................................... 68
7. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ ........................................................................................................ 69
КОНТАКТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ........................................ 70
3
1. ЛЕКЦИОННЫЕ ЗАНЯТИЯ
Модуль 1
Тема 1. Введение в методы оптимальных решений
Цель лекции:
- ознакомить с основными понятиями теории принятия оптимальных
решений.
Задачи лекции:
- раскрыть сущность понятия оптимальности;
- выделить основные этапы принятия решений;
- привести и пояснить основные показатели и критерии
эффективности.
План:
1.Основные понятия теории оптимизации.
2.Показатели и критерии эффективности.
3.Постановка
задач
математического
программирования.
Классификация задач математического программирования.
Выводы:
1.Оптимальность – базовое понятие, характеризующее процесс
управления с точки зрения степени достижения конечных целей.
2.Для формализации оценивания качества принятия решения
необходимо использовать математический аппарат функционалов в
интегральном или аддитивном виде.
3.Большая группа задач экономического и производственного
характера может быть описана в терминах математического
программирования.
Литература:
1.Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике : учебное
пособие / Н.Ш. Кремер - Москва : ЮНИТИ, 2004. 407 c.
2.Бережная Е.В. Математические методы моделирования
экономических систем : учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной Москва : Финансы и статистика, 2002. 368 c.
3.Малыхин В.И. Математика в экономике : учебное пособие / В.И.
Малыхин - Москва : ИНФРА-М, 2001. 356 c.
4.Орлова И.В. Экономико - математические методы и модели
(Выполнение расчетов в среде Excel) : учебное пособие / И.В. Орлова Москва : АО "Финстатинформ", 2000. 136 c.
Тема 2. Постановка задачи линейного программирования
Цель лекции:
- ознакомить с
программирования.
основными
формами
задач
математического
4
Задачи лекции:
- показать
экономическую
сущность
задачи
линейного
программирования ;
- раскрыть суть основных форм постановки задач линейного
программирования.
План:
1.Линейные модели в экономике. Постановки ЗЛП.
2.Общая постановка задачи линейного программирования.
3.Основная задача линейного программирования.
4.Каноническая задача линейного программирования.
Выводы:
1.Основные понятия и определения теории оптимизации, виды
функционалов качества могут быть применены для поиска оптимальных
решений при управлении экономическими процессами.
2.Постановка задачи математического программирования в линейном
случае целевой функции существенно облегчает поиск ее экстремума.
3.Содержание постановки задачи линейного программирования
включает уравнения связи в виде математической модели системы,
ограничения на значения искомых переменных, и функционал качества в
форме линейного полинома.
Литература:
1.Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике : учебное
пособие / Н.Ш. Кремер - Москва : ЮНИТИ, 2004. 407 c.
2.Бережная Е.В. Математические методы моделирования
экономических систем : учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной Москва : Финансы и статистика, 2002. 368 c.
3.Малыхин В.И. Математика в экономике : учебное пособие / В.И.
Малыхин - Москва : ИНФРА-М, 2001. 356 c.
4.Орлова И.В. Экономико - математические методы и модели
(Выполнение расчетов в среде Excel) : учебное пособие / И.В. Орлова Москва : АО "Финстатинформ", 2000. 136 c.
Тема 3. Графический метод решения задачи линейного
программирования
Цель лекции:
- ознакомить с методом решения задачи линейного программирования
для функции двух переменных.
Задачи лекции:
- раскрыть суть построения области допустимых значений;
- показать методику построения оптимального плана на основе
градиента целевой функции.
План:
5
1.Каноническая форма задачи линейного программирования.
2.Построение области допустимых значений.
3.Построение вектора градиента целевой функции.
4.Определение оптимального плана из системы уравнений граничной
точки.
Выводы:
1.Задача для двух переменных может быть решена на
двухкоординатной плоскости графическим методом.
2.Область допустимых значений может быть построена в этом случае
на основе системы уравнений для канонической формы задачи линейного
программирования.
3.Выбор точки в этой области, доставляющей экстремум целевой
функции, может быть построен по вектору ее градиента.
4.Оптимальный план получается решением системы уравнений
прямых, образующих крайнюю в направлении вектора градиента вершину
выпуклой области допустимых значений.
Литература:
1.Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике : учебное
пособие / Н.Ш. Кремер - Москва : ЮНИТИ, 2004. 407 c.
2.Бережная Е.В. Математические методы моделирования
экономических систем : учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной Москва : Финансы и статистика, 2002. 368 c.
3.Малыхин В.И. Математика в экономике : учебное пособие / В.И.
Малыхин - Москва : ИНФРА-М, 2001. 356 c.
4.Орлова И.В. Экономико - математические методы и модели
(Выполнение расчетов в среде Excel) : учебное пособие / И.В. Орлова Москва : АО "Финстатинформ", 2000. 136 c.
Тема 4. Симплекс-метод решения задачи линейного
программирования
Цель лекции:
- ознакомить с методом решения задачи линейного программирования
для случая больше двух переменных.
Задачи лекции:
-показать порядок построение опорного плана;
-обосновать способ перехода от одного опорного плана к другому;
-указать признак оптимальности, позволяющего проверить, является
ли данный опорный план оптимальным;
-пояснить способ построения нового опорного плана, более близкого
к оптимальному;
-привести признак отсутствия конечного решения.
План:
1.Методика построение опорного плана.
2.Переход от одного опорного плана к другому.
6
3.Признак оптимальности текущего плана и условие отсутствия
оптимального решения.
4.Алгоритм
симплекс-метода
решения
задачи
линейного
программирования.
Выводы:
1.Решение задачи в случае большого количества переменных
требуется проводить на основе матричного аппарата и преобразований
Жордана-Гаусса.
2.Переход от одного опорного плана к другому производится на
основе анализа величин симплекс-разности.
3.Признак оптимальности плана также включает проверку знака
симплекс-разности, что легло в основу названия метода.
4.Метод достаточно просто автоматизирует расчеты, что позволяет
использовать математические процессоры
Литература:
1.Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике : учебное
пособие / Н.Ш. Кремер - Москва : ЮНИТИ, 2004. 407 c.
2.Бережная Е.В. Математические методы моделирования
экономических систем : учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной Москва : Финансы и статистика, 2002. 368 c.
3.Малыхин В.И. Математика в экономике : учебное пособие / В.И.
Малыхин - Москва : ИНФРА-М, 2001. 356 c.
4.Орлова И.В. Экономико - математические методы и модели
(Выполнение расчетов в среде Excel) : учебное пособие / И.В. Орлова Москва : АО "Финстатинформ", 2000. 136 c.
Тема 5. Решение задачи линейного программирования на основе
теории двойственности
Цель лекции:
- ознакомить с основными положениями теории двойственности и их
применением для решения задачи линейного программирования.
Задачи лекции:
- раскрыть сущность основных положений теории двойственности;
- показать
их применимость для решения задачи линейного
программирования;
- продемонстрировать возможности метода.
План:
1.Определение двойственной задачи.
2.Теоремы двойственности.
3.Получение оптимального решения двойственной задачи на
основании теорем двойственности.
Выводы:
1.В присутствии проблем, препятствующих решению прямой задачи
7
линейного программирования, объективным выходом становится решение
двойственной задачи и использование следствий теорем двойственности
для получения искомого решения прямой задачи .
2.На основе применения теории двойственности возможен обход
некоторых неприемлемых условий и ограничений прямой постановки.
Литература:
1.Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике : учебное
пособие / Н.Ш. Кремер - Москва : ЮНИТИ, 2004. 407 c.
2.Бережная Е.В. Математические методы моделирования
экономических систем : учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной Москва : Финансы и статистика, 2002. 368 c.
3.Малыхин В.И. Математика в экономике : учебное пособие / В.И.
Малыхин - Москва : ИНФРА-М, 2001. 356 c.
4.Орлова И.В. Экономико - математические методы и модели
(Выполнение расчетов в среде Excel) : учебное пособие / И.В. Орлова Москва : АО "Финстатинформ", 2000. 136 c.
Модуль 2
Тема 6. Специальные задачи линейного программирования
Цель лекции:
- ознакомить
с
методами
решения
задачи
линейного
программирования в случае целочисленных значений переменных.
Задачи лекции:
- раскрыть суть проблемы целочисленного решения задачи линейного
программирования;
- показать порядок формирования полного перечня задачи линейного
программирования и их отсечения;
- привести пример использования алгоритма целочисленного решения
задачи линейного программирования.
План:
1.Постановка целочисленной задачи линейного программирования.
2.Решение целочисленной задачи линейного программирования
методом ветвей и границ.
3.Решение целочисленной задачи линейного программирования
методом Гомори.
4.Алгоритм
целочисленного
решения
задачи
линейного
программирования.
Выводы:
1.В случае целочисленных ограничений поиск оптимальных решений
традиционным симплекс-методом может не дать желаемых результатов.
2.Основная цель применения методов Гомори и метода ветвей и
границ – поиск решения на основе перебора полного списка задач и
отсечения решений, не удовлетворяющих требования целочисленности.
8
Литература:
1.Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике : учебное
пособие / Н.Ш. Кремер - Москва : ЮНИТИ, 2004. 407 c.
2.Бережная Е.В. Математические методы моделирования
экономических систем : учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной Москва : Финансы и статистика, 2002. 368 c.
3.Малыхин В.И. Математика в экономике : учебное пособие / В.И.
Малыхин - Москва : ИНФРА-М, 2001. 356 c.
4.Орлова И.В. Экономико - математические методы и модели
(Выполнение расчетов в среде Excel) : учебное пособие / И.В. Орлова Москва : АО "Финстатинформ", 2000. 136 c.
Тема 7. Транспортные задачи
Цель лекции:
- ознакомить с основными положениями теории транспортных задач
для поиска оптимальных решений.
Задачи лекции:
- раскрыть суть постановки транспортной задачи и ее основные типы;
- определить виды ограничений;
- показать способы построения первоначального опорного плана;
- рассмотреть сущность применения метода потенциалов для поиска
оптимального решения.
План:
1.Постановка транспортной задачи.
2.Методы формирования первоначального опорного плана.
3.Поиск оптимального решения на основе метода потенциалов.
Выводы:
1.Транспортная задача может быть решена на основе положений
теории двойственности.
2.Поиск
решений
на основе транспортной задачи требует
формирования ее в закрытой форме. В противном случае оптимальное
решение может быть не получено.
3.Построение первоначального опорного плана возможно любым
известным методом – северо-западного угла, минимального элемента и др.
4.Применение метода потенциалов для поиска оптимального плана
гарантирует получение решения при выполнении условия - оптимальный
план М-задачи содержит положительные перевозки по запрещенным
маршрутам.
Литература:
1. Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике : учебное
пособие / Н.Ш. Кремер - Москва : ЮНИТИ, 2004. 407 c.
9
2. Бережная Е.В. Математические методы моделирования
экономических систем : учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И.
Бережной - Москва : Финансы и статистика, 2002. 368 c.
3. Малыхин В.И. Математика в экономике : учебное пособие / В.И.
Малыхин - Москва : ИНФРА-М, 2001. 356 c.
4. Орлова И.В. Экономико - математические методы и модели
(Выполнение расчетов в среде Excel) : учебное пособие / И.В.
Орлова - Москва : АО "Финстатинформ", 2000. 136 c.
Тема 8. Принятие оптимальных решений на основе метода
динамического программирования
Цель лекции:
- ознакомить с применением принципа оптимальности метода
динамического программирования для формирования оптимальных
решений .
Задачи лекции:
- раскрыть суть принципа оптимальности метода динамического
программирования ;
- дать определение классам задач, для которых применяется принцип
оптимальности метода динамического программирования;
- привести рекурсивный алгоритм оптимальных решений для обоих
классов задач.
План:
1.Принцип оптимальности метода динамического программирования.
2.Классы задач, в которых применяется принцип оптимальности
метода динамического программирования.
3.Алгоритмы прямой и обратной вычислительной схемы метода
динамического программирования.
Выводы:
1.Метод динамического программирования позволяет наиболее
эффективно решать два больших класса задач по распределению
капиталовложений и ресурсов(запасов).
2.Характерным для ДП является подход к решению задачи по этапам,
с каждым из которых связана только одна управляемая переменная. Набор
рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы,
обеспечивает получение допустимого оптимального решения задач в
целом при достижении последнего этапа.
3.При решении задач управления запасами обычно пользуются
прямой схемой вычислений, а при решении задач по распределению
капиталовложений используют обратную схему вычислений.
Литература:
1. Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике : учебное
10
пособие / Н.Ш. Кремер - Москва : ЮНИТИ, 2004. 407 c.
2. Бережная Е.В. Математические методы моделирования
экономических систем : учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И.
Бережной - Москва : Финансы и статистика, 2002. 368 c.
3. Малыхин В.И. Математика в экономике : учебное пособие / В.И.
Малыхин - Москва : ИНФРА-М, 2001. 356 c.
4. Орлова И.В. Экономико - математические методы и модели
(Выполнение расчетов в среде Excel) : учебное пособие / И.В.
Орлова - Москва : АО "Финстатинформ", 2000. 136 c.
Тема 9. Принятие оптимальных решений на основе методов
безусловной оптимизации
Цель лекции:
- ознакомить с основными методами поиска оптимальных решений
для случая безусловной оптимизации.
Задачи лекции:
- пояснить сложность получения оптимального решения при
нелинейной модели;
- раскрыть суть одномерной оптимизации ;
- показать возможность безусловной оптимизации на основе
вариационного исчисления.
План:
1.Суть нелинейной оптимизации.
2.Методы скалярной оптимизации (метод Свена, метод золотого
сечения).
3.Классическое вариационное исчисление безусловной оптимизации.
Выводы:
1. Методы одномерной оптимизации условно подразделяются на три
группы. К первой группе относятся методы, основанные лишь на
вычислении значений самой функции f(x) (методы нулевого
порядка). Вторую группу составляют методы, использующие
значение как самой функции, так и ее первой производной (методы
первого порядка). К третьей группе относятся методы,
использующие значение функции, ее первой и второй производной
(методы второго порядка).
2. В процессе применения методов одномерной оптимизации можно
выделить два этапа: поиск отрезка, содержащего точку максимума, и
уточнение координаты точки максимума на данном отрезке.
3. В случае поиска оптимальных решений для непрерывных систем
возможно применение уравнения Эйлера, которое позволяет
получить экстремаль.
Литература:
11
1. Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике : учебное
пособие / Н.Ш. Кремер - Москва : ЮНИТИ, 2004. 407 c.
2. Бережная Е.В. Математические методы моделирования
экономических систем : учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И.
Бережной - Москва : Финансы и статистика, 2002. 368 c.
3. Малыхин В.И. Математика в экономике : учебное пособие / В.И.
Малыхин - Москва : ИНФРА-М, 2001. 356 c.
Тема 10. Принятие оптимальных решений на основе методов
условной оптимизации
Цель лекции:
- ознакомить с поиском оптимальных решений методами условной
оптимизации.
Задачи лекции:
- привести постановку задачи условной оптимизации;
- показать математические проблемы определения решения при
наличии ограничений;
- пояснить общую схему методов условной оптимизации
- дать подробную характеристику метода Зойтендейка .
План:
1. Методы условной оптимизации.
2. Постановка задачи. Классификация методов.
3. Общая схема методов условной оптимизации.
4. Алгоритм метода Зойтендейка.
Выводы:
1. При решении задач нелинейного программирования ввиду
нелинейности функции g(x) выпуклость допустимого множества
решений P и конечность числа его крайних точек (в отличие от ЗЛП)
необязательны.
2. Задача нелинейного программирования не всегда имеет решение.
Если задача имеет решение, то максимум функции f (x ) может
достигаться в крайней точке допустимой области значений P, в
одной из граничных точек или в точке, расположенной внутри
допустимой области P.
Литература:
1. Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике : учебное
пособие / Н.Ш. Кремер - Москва : ЮНИТИ, 2004. 407 c.
2. Бережная Е.В. Математические методы моделирования
экономических систем : учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И.
Бережной - Москва : Финансы и статистика, 2002. 368 c.
3. Малыхин В.И. Математика в экономике : учебное пособие / В.И.
Малыхин - Москва : ИНФРА-М, 2001. 356 c.
12
2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Модуль 1
Задание 1. Формализация задач линейного программирования
Пример 1.1. Фабрика выпускает продукцию двух видов: П1 и П2.
Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства
этой продукции используются три исходных продукта - A, B, C.
Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6, 8
и 5 т соответственно. Расходы сырья A, B, C на 1 тыс. изделий П1 и П2
приведены в табл. 1.1.
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на изделия П2
никогда не превышает спроса изделия П1 более чем на 1 тыс. шт.
Кроме того, установлено, что спрос на изделия П2 никогда не
превышает 2 тыс. шт. в сутки.
Оптовые цены за 1 тыс. шт. изделий равны, соответственно,
П1 3 тыс. руб., П2 - 2 тыс. руб.
Таблица 1.1
Расход
исходных
на
Исходн продуктов
Максималь
производство
ый
но возможный
1 тыс. изделий (т.)
продукт
запас (т.)
П1
П2
A
1
2
6
B
2
1
8
C
1
0.8
5
Необходимо спланировать производство так, чтобы доход от
реализации продукции фабрики был максимальным?
Построение математической модели следует начать с идентификации
переменных (искомых величин), но так, чтобы после этого целевая
функция и ограничения могли быть выражены через соответствующие
переменные.
В рассматриваемом примере имеем следующее:
Переменные. Так как нужно максимизировать прибыль, а она зависит
от объемов производства каждого вида продукции, то переменными
являются:
x1 - суточный объем производства изделия П в тыс. шт.;
1
x2 - суточный объем производства изделия П в тыс. шт.
2
Целевая функция. Так как стоимость 1 тыс. изделий П1 равна 3 тыс.
руб., суточный доход от ее продажи составит 3 x1 тыс. руб. Аналогично
доход от реализации x2 тыс. шт. П2 составит 2 x2 тыс. руб. в сутки. При
13
допущении независимости объемов сбыта каждого из изделий общий
доход равен сумме двух слагаемых - дохода от продажи изделий П1 и
дохода от продажи изделий П2.
Обозначив доход (в тыс. руб.) через f (x) , можно дать следующую
математическую
формулировку
целевой
функции:
определить
(допустимые) значения x1 и x2 , максимизирующие величину общего
дохода:
f ( x) 3 x1 2 x2 , x ( x1 , x2 )
Ограничения. При решении рассматриваемой задачи должны быть
учтены ограничения на расход исходных продуктов A, B и С и спрос на
изготовляемую продукцию, что можно записать так:
Суточный
расход
Максимально
исходного
продукта
для
возможный суточный запас
производства обоих видов
данного
исходного
изделия
продукта
Это приводит к трем ограничениям:
x1 + 2 x2 6 (для А),
2 x1 + x2 8 (для В),
x1 + 0.8 x2 5 (для С).
Ограничения на величину спроса на продукцию имеют вид:
x2 - x1 1 (соотношение величин спроса на изделия П и П ),
1
2
x2 2 (максимальная величина спроса на изделия П ).
2
Вводятся также условия неотрицательности переменных, т. е.
ограничения на их знак:
x1 0 (объем производства П ),
1
x2 0 (объем производства П ).
2
Эти ограничения заключаются в том, что объемы производства
продукции не могут принимать отрицательных значений.
Следовательно, математическая модель записывается следующим
образом.
Определить суточные объемы производства ( x1 и x2 ) изделий П и П
1
2
в тыс. шт., при которых достигается
max f ( x) max3x1 2 x2
x
x
при наличии ограничений
14
x1 2 x2 6;
2 x x 8;
2
1
x1 0.8 x2 5;
x1 x2 1;
x 2;
2
x1 0;
x2 0.
Математическая модель задачи получена. Отметим, что на 3 этапе
исследования операций следует выбрать метод решения задачи, для чего её
нужно отнести к некоторому классу задач. Полученная модель относится к
задачам линейного программирования, так как целевая функция и функции
ограничений – линейные, а на переменные наложено ограничение
неотрицательности. Следовательно, решить задачу, провести анализ
полученного решения можно с помощью методов решения задач
линейного программирования, которые будут рассмотрены ниже.
Составить математические модели следующих задач.
Вариант № 1. Завод-производитель высокоточных элементов для
автомобилей выпускает два различных типа деталей: Х и Y. Завод
располагает фондом рабочего времени в 4000 чел. - ч. в неделю. Для
производства одной детали типа Х требуется 1 чел. - ч, а для производства
одной детали типа Y — 2 чел. - ч. Производственные мощности завода
позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа
Y в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и
5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y
необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла.
Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю.
Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему
постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в
соответствии с которым общее число производимых в течение одной
недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.
Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы
максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства
одной детали типа Х составляет 30 ф. ст., а от производства одной детали
типа Y—40 ф. ст.?
Вариант № 2. Завод по производству электронного оборудования
выпускает персональные компьютеры и системы подготовки текстов. В
настоящее время освоены четыре модели:
а) "Юпитер" — объем памяти 512 Кбайт, одинарный дисковод;
б) "Венера" — объем памяти 512 Кбайт, двойной дисковод;
15
в) "Марс" — объем памяти 640 Кбайт, двойной дисковод;
г) "Сатурн" — объем памяти 640 Кбайт, жесткий диск.
В производственный процесс вовлечены три цеха завода — цех
узловой сборки, сборочный и испытательный. Распределение времени,
требуемого для обработки каждой модели в каждом цехе, а также
максимальные производственные мощности цехов приведены в табл.
Отдел исследований рынка производит периодическую оценку
потребительского спроса на каждую модель. Максимальные прогнозные
значения спроса и доходы от реализации единицы продукции каждой
модели также содержатся в таблице.
Построить модель задачи для изложенной проблемы производства
изделий в ассортименте, если цель состоит в максимизации общего
ежемесячного дохода.
Время, требуемое на обработку каждой модели в каждом цехе
Максимал
Время на единицу продукции, ч
ьная
Цех
производс
"Ю
"Ве
"Мар
"Сату
твенная
питер" нера"
с"
рн"
мощность
Узловой
5
8
20
25
800
сборки
Сборочны
2
3
8
14
420
й
Испытател
0,1
0.2
2
4
150
ьный
Максимал
ьное
100
45
25
20
прогнозное
значение
спроса за месяц
Доход,
15
30
120
130
ф.ст.
Вариант № 3. Менеджер по ценным бумагам намерен разместить
100000 ф. ст. капитала таким образом, чтобы получать максимальные
годовые проценты с дохода. Его выбор ограничен четырьмя возможными
объектами инвестиций: А, В, С и D. Объект А позволяет получать 6%
годовых, объект В — 8% годовых, объект С— 10%, а объект D — 9%
годовых. Для всех четырех объектов степень риска и условия размещения
капитала различны. Чтобы не подвергать риску имеющийся капитал,
менеджер принял решение, что не менее половины инвестиций
необходимо вложить в объекты А и В. Чтобы обеспечить ликвидность, не
менее 25% общей суммы капитала нужно поместить в объект D. Учитывая
16
возможные изменения в политике правительства, предусматривается, что в
объект С следует вкладывать не более 20% инвестиций, тогда как
особенности налоговой политики требуют, чтобы в объект А было
вложено не менее 30% капитала.
Вариант № 4. Компания "Princetown Paints Ltd" выпускает три
основных типа румян — жидкие, перламутровые и матовые — с
использованием одинаковых смесеобразующих машин и видов работ. Для
обеспечения максимального значения получаемой за неделю прибыли
главному бухгалтеру фирмы было поручено разработать для компании
план производства на неделю. Информация о ценах продаж и стоимости
100 л товара приведена в таблице (ф. ст.). Стоимость 1 чел.-ч составляет 3
ф. ст. а стоимость 1 ч приготовления смеси — 4 ф. ст. Фонд рабочего
времени ограничен 8000 чел.-ч. в неделю, а ограничение на фонд работы
смесеобразующих машин равно 5900 ч в неделю.
В соответствии с контрактными соглашениями компания должна
производить 25000 л матовых румян в неделю. Максимальный спрос на
жидкие румяна равен 35000 л в неделю, а на перламутровые румяна —
29000 л в неделю.
Румяна
Исходные данные
Жи
Перламутр
Матов
дкие
овые
ые
Цена продажи на 100 л
120
126
110
Издержки производства товаров на 100 л:
- стоимость сырья
11
25
20
стоимость
30
36
24
трудозатрат
стоимость
32
20
36
приготовления смеси
- другие издержки
12
15
10
Вариант № 5. Администрация компании "Nemesis Company",
осуществляя рационализаторскую программу корпорации, приняла
решение о слиянии двух своих заводов в Аббатсфилде и Берчвуде.
Предусматривается закрытие завода в Аббатсфилде и за счет этого —
расширение производственных мощностей предприятия в Берчвуде. На
настоящий момент распределение рабочих высокой и низкой
квалификации, занятых на обоих заводах, является следующим:
Квалификация
Аббатс
Берчвуд
рабочих
филд
Высокая
200
100
Низкая
300
200
Итого
500
300
17
В то же время после слияния завод в Берчвуде должен насчитывать
240 рабочих высокой и 320 рабочих низкой квалификации.
После проведения всесторонних переговоров с привлечением
руководителей профсоюзов были выработаны следующие финансовые
соглашения:
1. Все рабочие, которые попали под сокращение штатов, получат
выходные пособия следующих размеров:
- квалифицированные рабочие: 2000 ф. ст.;
- неквалифицированные рабочие: 1500 ф. ст.
2. Рабочие завода в Аббатсфилде, которые должны будут переехать,
получат пособие по переезду в размере 2000 ф. ст.
3. Во избежание каких-либо преимуществ для рабочих Берчвудского
завода доля бывших рабочих завода в Аббатсфилде на новом предприятии
должна совпадать с долей бывших рабочих Берчвудского завода.
Построить модель задачи, в которой определяется, как осуществить
выбор работников нового предприятия из числа рабочих двух бывших
заводов таким образом, чтобы минимизировать общие издержки,
связанные с увольнением и переменой места жительства части рабочих.
Вариант № 6. Компания "Bermuda Paint" — частная промышленная
фирма, специализирующаяся на производстве технических лаков.
Представленная ниже таблица содержит информацию о ценах продажи и
соответствующих издержках производства единицы полировочного и
матового лаков.
Издержки
Цена продажи 1
Лак
производства 1 галлона, ф.
галлона, ф. ст.
ст.
Матовый
13,0
9,0
Полировочн
16,0
10,0
ый
Для производства 1 галлона матового лака необходимо затратить 6
мин трудозатрат, а для производства одного галлона полировочного лака
— 12 мин. Резерв фонда рабочего времени составляет 400 чел. -ч. в день.
Размер ежедневного запаса необходимой химической смеси равен 100
унциям, тогда как ее расход на один галлон матового и полировочного
лаков составляет 0,05 и 0,02 унции соответственно. Технологические
возможности завода позволяют выпускать не более 3000 галлонов лака в
день.
В соответствии с соглашением с основным оптовым покупателем
компания должна поставлять ему 5000 галлонов матового лака и 2500
галлонов полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5
дней). Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором
оговаривается минимальный объем производства в день, равный 2000
галлонов. Администрации данной компании необходимо определить
18
ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволяют
получать максимальный общий доход.
Вариант № 7. На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры
необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно
равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на
заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при
данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина
отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа
фанеры.
Вид
Количество заготовок (шт.) при расходе по
заготовки
способу
1
2
I
2
6
II
5
4
III
2
3
Величина
12
16
2
отходов (см )
Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует
раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества
заготовок при минимальных отходах.
Вариант № 8. В отделе технического контроля (ОТК) некоторой
фирмы работают контролеры разрядов 1 и 2. Норма выработки ОТК за 8часовой рабочий день составляет не менее 1800 изделий. Контролер
разряда 1 проверяет 25 изделий в час, причем не ошибается в 98% случаев.
Контролер разряда 2 проверяет 15 изделий в час; и его точность составляет
95%.
Заработная плата контролера разряда 1 равна 4 долл. в час, контролер
разряда 2 получает 3 долл. в час. При каждой ошибке контролера фирма
несет убыток в размере 2 долл. Фирма может использовать 8 контролеров
разряда 1 и 10 контролеров разряда 2. Руководство фирмы хочет
определить оптимальный состав ОТК, при котором общие затраты на
контроль будут минимальными.
Вариант № 9. Фирма, специализирующаяся на производстве
полуфабрикатов, выпускает три различных продукта, каждый из которых
получается путем определенной обработки картофеля. Фирма может
закупить картофель у двух различных поставщиков. При этом объемы
продуктов 1, 2, 3, которые можно получить из одной тонны картофеля
первого поставщика, отличаются от объемов, получаемых из того же
количества картофеля второго поставщика. Соответствующие показатели
приведены в таблице:
Продукт
Постав
Постав
Ограничения на объем
19
щик 1
щик 2
выпускаемой продукции
1
0.2
0.3
1.8
2
0.2
0.1
1.2
3
0.3
0.3
2.4
прибыль
5
6
Цель фирмы – получение максимальной прибыли.
Вариант № 10. Фирма, имеющая лесопильный завод и фабрику, на
которой изготавливается фанера, столкнулась с проблемой наиболее
рационального использования лесоматериалов. Чтобы получить 2.5 м3
комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2.5 куб. м еловых
и 7.5 куб. м пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100 кв. м
фанеры требуется 5 куб. м еловых и 10 куб. м пихтовых материалов.
Фирма имеет 80 куб. м еловых и 180 куб. м пихтовых лесоматериалов.
Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода
необходимо произвести, по крайней мере, 10 куб. м пиломатериалов и 1200
кв. м фанеры. Доход с 1 куб. м пиломатериалов составляет 16 долл., а со
100 кв. м фанеры 60 долл. Цель фирмы – получение максимальной
прибыли.
Вариант № 11. Производитель элементов центрального отопления
изготавливает радиаторы 4 моделей (A,B,C,D). Ограничения на
производство обусловлены количеством рабочей силы и количеством
стальных листов, из которых изготавливают радиаторы.
Модель радиатора
A
B
C
D
Необходимое кол-во раб.
0,7
1,6
2
1,8
силы, чел.-ч.
Необходимое
кол-во
4
3
5
6
2
стального листа, м
Прибыль от продажи одного
15
15
22,
10
радиатора, долл.
5
2
Количество стального листа - не более 2500 м , количество человекочасов - не более 500. Цель фирмы – получение максимальной прибыли.
Вариант № 12. Фирма производит три вида продукции (A, B, C), для
выпуска каждого из них требуется определенное время обработки на всех
4 устройствах I, II, III, IV.
Вид
Время обработки
Прибыль,
продукции
I
II
III
IV долл.
A
1
3
1
2
300
B
6
1
3
3
600
C
3
3
2
4
400
20
Пусть время работы на устройствах соответственно 64, 32, 41 и 52
часа. Рынок сбыта каждого продукта неограничен. Цель фирмы –
получение максимальной прибыли.
Задание 2. Решение
графическим методом
задач
линейного
программирования
f ( x) 4,8 x1 0,8 x2 528 min
x
1) x1 x2 15;
2) x1 8;
3) x2 10;
4) x1 x2 9;
5) 80 x1 40 x2 560;
6) x1, 2 0.
1) x1 x2 15;
2) x1 8;
3) x2 10;
4) x1 x2 9;
5) 80 x1 40 x2 560 .
Рассмотрим алгоритм графического метода для ЗЛП, содержащих не более
двух переменных и имеющих вид
f ( x1 , x2 ) с1 x1 с2 x2 max
x1 , x 2
(2.1)
ai1x1 ai 2 x2 bi , i 1, m ,
x1 0 , x2 0 .
(1.2)
(2.3)
Алгоритм графического метода рассмотрим на примере применительно к
задаче:
1 шаг. Строим область допустимых решений - область Р, т.е.
геометрическое место точек, в котором одновременно удовлетворяются все
ограничения ЗЛП. Каждое из неравенств (1-5) системы ограничений нашей
21
задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с
граничными прямыми
Условия неотрицательности переменных 6) ограничивают область
допустимых решений первым квадратом. Области, в которых выполняются
соответствующие ограничения в виде неравенств, указываются стрелками,
направленными в сторону допустимых значений переменных.
Построим первую прямую x1 x2 15 . Для этого запишем уравнение в
x1 x2
1
15
15
виде:
.
При такой форме записи в знаменатели показаны отрезки, которые отсекает
прямая на осях координат, поэтому прямая будет проходить через две
точки (0;15) и (15;0).
Если от уравнения перейти к неравенству: x1 x2 15 , то его можно
представить графически в виде полуплоскости. Часть плоскости, которая
удовлетворяет неравенству, будет лежать по левую сторону от этой
прямой, как показано стрелкой. Эта полуплоскость является областью
допустимых решений (см. рис. 2.1).
Рис. 2.1
Алгоритм построения остальных прямых-ограничений аналогичен и
результат построения показан на рис. 2.2.
Рис. 2.2
Если система неравенств совместна, то область ее решений есть множество
точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям.
22
Полученное таким образом область допустимых решений Р - планов ЗЛП
есть многоугольник ABCDE - замкнутое, ограниченное, выпуклое
множество с пятью крайними или угловыми точками: A, B, C, D, E.
2 шаг. Строим вектор c (c1 , c2 )
градиент
целевой функции
f ( x) 4,8 x1 0,8 x2 528 . В условиях примера c (4,8;0,8) . Напомним, что
этот вектор указывает направление возрастания целевой функции.
3 шаг. Строим прямую с1 x1 с2 x2 const - линию уровня (т.е. линию, где
4,8 x1 0,8 x2 const ),
функция
принимает
постоянное
значение,
перпендикулярную вектору-градиенту c (4,8;0,8) .
Результаты построений, соответствующие 2 и 3 шагу приведены на рис.
2.3.
Рис. 2.3
4 шаг. Линию уровня целевой функции передвигаем вдоль градиента (в
случае её максимизации) или вдоль антиградиента (в случае её
минимизации) до тех пор, пока она в какой-нибудь из крайних (или
угловых) точек не покинет область Р. Координаты этой точки (функция в
ней будет иметь максимальное или минимальное значение) являются
оптимальным планом или решением задачи (см. рис. 2.4).
Крайняя точка С - точка минимума f ( x) 4,8x1 0,8x2 528 ,
лежит на пересечении прямых (3) и (5). Она имеет координаты (2;10), что
*
*
означает x1 2, x2 10 . Подставляя эти значения в целевую функцию,
23
*
найдем f ( x ) 4,8 2 0,8 10 528 545,6 .
Рис. 2.4
Отметим, что если допустимая область решений Р представляет собой
неограниченную область и прямая (линия уровня целевой функции) при
движении в направлении вектора c (или противоположном ему) не
покидает Р, то в этом случае f (x) не ограничена сверху (или снизу), т.е.
max f ( x) или min f ( x) .
Решить задачу линейного программирования в соответствии с номером в
журнале группы.
24
Задание 3. Решение задач линейного программирования
симплекс-методом
Пример. Симплекс-методом решить ЗЛП:
25
f ( x) 3x1 2 x2 max
(3.1)
x
при наличии ограничений:
x1 2 x2 6,
2 x1 x2 8,
x x 1,
1 2
x2 2,
(3.1)
x j 0 , j 1,2 .
Приводим систему линейных неравенств
(3.2)
(3.1) к каноническому
виду, вводя в каждое неравенство дополнительную переменную si
0 ,
i 1,4 . Получим систему линейных уравнений:
x1 2 x2 s1 6,
2 x1 x2 s2 8,
x x s 1,
1 2 3
x2 s4 2,
(3.3)
Целевая функция принимает вид
f ( x) 3x1 2 x2 0 s1 0 s2 0 s3 0 s4 max
(3.4)
x, s
1
2
Расширенная матрица K 0
1
0
2 1 0 0 0 6
1 0 1 0 0 8
1 0 0 1 0 1
1 0 0 0 1 2
системы линейных уравнений (3.3) является исходной К-матрицей ЗЛП,
которая определяет исходный опорный план:
x N ( 0 ) (6 8 1 2)T , N (0) (3 4 5 6)T .
Кроме того, с N ( 0 ) (0 0 0 0)T .
Результаты последовательных итераций симплекс-алгоритма удобно
оформить в виде симплекс-таблицы (см. табл. 3.1).
26
Таблица 3.1
S
0
i
1
2
3
4
N
(0)
сj
j
с N (0)
3
4
5
6
x N (S ) b j
0
0
0
0
1
2
1
2
3
4
2
2
0
3
0
4
0
5
0
6
1
2
-1
0
2
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
( 0j )
-3
-2
0
0
0
0
2
4
5
2
0
1
0
0
3/2
1/2
3/2
1
1
0
0
0
-1/2
1/2
1/2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
f ( x) 12
(1j )
0
-1/2
0
3/2
0
0
2
2
1
3
5
0
6
0
f ( x) 38 / 3
4/3
10/3
3
2/3
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
2/3 -1/3
-1/3 2/3
-1
1
-2/3 1/3
1/3 4/3
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
3
1
5
6
0
3
0
0
( j2)
(s)
a*(1S ) a*( 2S ) a*(3S ) a*( 4S ) a*(5S ) a*(6S )
6
8
1
2
f ( x) 0
1
2
3
4
3
1
6
4
k=1
l=2
4/3
8
10/3
2
k=2
l=1
На второй итерации S = 2, все ( j2) 0 , следовательно, опорный план
T
x N ( 2)
2
4 10
3 , N ( 2) (2 1 5 6)T ,
3
3 3
определяемый К-матрицей К(2), оптимальный. Тогда
T
2
*
10 4
x
0 0 3 , f ( x ) 38 / 3 .
3
3 3
*
Задания для самостоятельного выполнения
Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя
сырье двух видов: В1 и В2. Известны затраты сырья i-го вида на единицу
изделия j-го вида ( aij ), количество сырья каждого вида bi (i=1,2), а так же
прибыль, полученная от единицы изделия j-го вида сj (j=1,2,3).
27
Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы
получить: 1) максимум прибыли;
2) максимум товарной продукции?
Обозначения для вариантов: в таблице приведена матрица затрат:
А=(аij), справа от таблицы значение bi (i=1,2) и внизу - сj (j=1,2,3).
1 2 2 1100
1 .
3 4 2 1500
2 3 4 1200
2 .
3 1 2 1600
2 1 3
2 1 3
4 1 3 1500
5 .
4 2 1 2000
2 1 1 800
6 .
2 3 2 1200
2 1 3
3 3 3
2 2 1 1300
9 .
3 2 2 900
2 1 2 2100
10 .
2 2 1 1200
3 3 2
3 3
1 2 1 1000
3 .
3 5 2 1500
2
1 3
3 1 2 900
7 .
1 2 3 100
3
3 2
2 1 4 1600
4 .
2 1 3 1800
2 1 3
3 1 1 1800
8 .
2 3 1 2400
3 3 2
2
Задание 4. Решение задач линейного программирования на основе
теории двойственности
Рассмотрим пример построения двойственных задач.
Пусть прямая задача записана в виде основной ЗЛП:
max (5x 1 + 12 x 2 + 4 x 3 )
x 1 + 2 x 2 + x 3 ≤10
2x1
x 2 + 3x 3 ≤8
x 1 , x 2 , x 3 ≥0
Каноническая форма прямой задачи примет вид
max (5x 1 + 12 x 2 + 4 x 3 + 0S1 + 0S2 )
x 1 + 2 x 2 + x 3 + S1 = 10
2x1
x 2 + 3x 3 + S 2 = 8
x 1 , x 2 , x 3 ≥0
Двойственная задача примет вид:
min (10 y1 + 8 y 2 )
y1 + 2 y 2 ≥5
2 y1
y 2 ≥12
y1 + 3y 2 ≥4
y1 + 0 y 2 ≥0
0 y1 + y 2 ≥0
y1 , y 2
неограниче нны в знаке
28
Теоремы двойственности позволяют получить оптимальное решение
двойственной задачи по известному оптимальному решению прямой
задачи.
Пусть есть прямая ЗЛП:
min (2 x 1 + 4 x 2 )
3x 1 + x 2 ≥3
4 x 1 + 3x 2 ≥6
x 1 + 2 x 2 ≤3
x 1 , x 2 ≥0
Пусть известно ее прямое решение
x * = (3 / 2, 0)
min f ( x ) = 3
Двойственная задача примет вид :
max (3y 1 + 6 y 2 + 3y 3 )
3y 1 + 4 y 2 + y 3 ≤2
y1
3 y 2 + 2 y 3 ≤4
y 1 , y 2 ≥0
y 3 ≤0
Т.к. х1 >0, то решение будем искать из первого ограничения
двойственной задачи
3y1 + 4 y 2 + y 3 ≤2 .
Т.к.
первое и третье ограничение
прямой задачи обращается в строгое неравенство при решении прямой
задачи, то
y1 = y 3 = 0 .
Таким образом,
y 2 = 0.5 .
Построить двойственные задачи в соответствии с вариантами:
29
30
Задание 5. Решение целочисленных задач линейного
программирования на основе метода ветвей и границ
Рассмотрим задачу ЦЛП вида
n
f ( x1 , x2 ,..., xn ) с j x j max
j 1
n
a x
j 1
ij
j
x j , j 1, n
bi , i 1, m ,
x j 0 , j 1, n , bi 0 , i 1, m ,
x j — целые, j I .
На первом шаге необходимо решить сформулированную задачу как
задачу ЛП, рассматривая все ее переменные как непрерывные. Получаемая
таким образом задача ЛП обозначается через ЛП-1, оптимальное значение
*1
ее целевой функции – через f ( x ) . Пусть в оптимальном решении задачи
ЛП-1
некоторые
целочисленные
переменные
принимают
дробные
31
значения; тогда оптимальное решение исходной задачи не совпадает с
оптимальным
решением
ЛП-1.
В
этом
случае
величина
f ( x*1 )
представляет собой верхнюю границу оптимального значения исходной
задачи.
На следующем шаге производится ветвление по одной из
целочисленных переменных, имеющих дробное значение в оптимальном
решении задачи ЛП-1. Часто выбирают переменную, которая имеет
наибольшее дробное значение.
Пусть ветвление происходит по целочисленной переменной xj,
значение которой в оптимальном решении ЛП-1 равно
x *j . Далее
рассматриваются две новые задачи ЛП, обозначаемые через ЛП-2 и ЛП-3.
Они получаются путем введения ограничений x j [ x *j ] и x j [ x *j ] + 1
соответственно. Условия задач ЛП-2 и ЛП-3 можно записать следующим
образом:
ЛП-2
ЛП-3
n
f ( x1 , x2 ,..., xn ) с j x j max
x j , j 1, n
j 1
n
a x
j 1
ij
j
n
f ( x1 , x2 ,..., xn ) с j x j max
bi , i 1, m ,
j 1
n
a x
j 1
ij
j
bi , i 1, m ,
x j 0 , j 1, n ,
x j 0 , j 1, n ,
bi 0 , i 1, m ,
bi 0 , i 1, m ,
xj [ x ]
x j [ x *j ] + 1
*
j
x j — целые, j I .
x j , j 1, n
x j — целые, j I ..
Допустим, что оптимальные решения задач ЛП-2 и ЛП-3 также
содержат дробные значения целочисленных переменных и поэтому не
являются допустимыми для исходной задачи.
На следующем шаге необходимо выбрать задачу ЛП-2 или ЛП-3 и
произвести
ветвление
в
соответствующей
вершине,
вводя
новое
32
ограничение. Выбор вершины (ЗЛП) для дальнейшего ветвления часто
осуществляется
с использованием оптимального
значения целевой
функции, т.е. выбирается вершина, соответствующая наибольшему
оптимальному значению целевой функции ЗЛП.
После выбора вершины для дальнейшего ветвления выбирается
целочисленная переменная, которая имеет в оптимальном решении
соответствующей ЗЛП дробное значение, и производится ветвление по
этой переменной. Процесс ветвления и решения ЗЛП продолжается до
получения целочисленного оптимального решения одной из ЗЛП. значение
Z0 в полученной точке представляет собой текущую нижнюю границу
оптимального значения целевой функции исходной задачи ЦЛП. На этом
этапе отбрасываются все вершины (ЗЛП), для которых оптимальное
значение f ( x* ) не превосходит полученной нижней границы. Про такие
вершины также говорят, что они являются прозондированными, поскольку
в соответствующих им допустимых областях нет целочисленных решений,
лучших, чем уже полученное, следовательно, промежуточная вершина
(ЗЛП) является прозондированной (явным или неявным образом) в том
случае, если она удовлетворяет хотя бы одному из следующих условий:
1.Оптимальное решение, соответствующее данной вершине,
целочисленно.
2.ЗЛП, соответствующая рассматриваемой вершине, не имеет
допустимых решений.
3.Оптимальное значение
f ( x* )
соответствующей ЗЛП не
превосходит текущей нижней границы Z0.
Дальнейшее ветвление можно производить только в вершинах, для
которых f ( x* ) Z0. Как только полученное допустимое целочисленное
решение одной из ЗЛП окажется лучше имеющегося текущего значения Z0,
оно фиксируется вместо зафиксированного ранее (т.е. меняется значение
Z0).
33
При использовании метода ветвей и границ выбор вершин для
дальнейшего ветвления происходит до тех пор, пока остается хотя бы одна
непрозондированная вершина. Прозондированная вершина с наилучшим
значением Z0 дает решение исходной задачи ЦЛП.
Решить задачу целочисленного программирования методом ветвей и
границ, учитывая целочисленность переменных.
max( 3x1 4 x2 )
4 x1 3x2 18
1.
3.
max( 3x1 2 x2 )
3x1 7 x2 21
2.
x1 6 x2 10
x1 x2 14
0 x1 3
0 x1 4
0 x2 4
0 x2 3
max( x1 3x2 )
4. max( 4 x1 x2 )
3x1 4 x2 12
3x1 2 x2 6
5.
0 x1 4
0 x1 2
0 x2 2
0 x2 3
max( 3x1 x2 )
4 x1 3x2 18
7.
9.
2 x1 3x2 6
4 x1 9 x2 18
6.
max( x1 2 x2 )
x1 x2 5
x1 2 x2 6
0 x1 5
3x1 8 x2 24
0 x1 5
0 x2 3
0 x2 3
max( 2 x1 x2 )
5x1 2 x2 30
8. max( 3x1 2 x2 )
2 x1 3x2 6
3x1 8 x2 48
0 x1 6
x1 2 x2 2
0 x1 3
0 x2 6
0 x2 3
max( 3x1 2 x2 )
2 x1 x2 6
4 x1 3x2 11
0 x1 3
1 x2 2
10. max( x1 2 x2 )
5x1 9 x2 45
x1 3x2 12
0 x1 9
0 x2 4
Задание 6. Решение транспортных задач на основе метода
потенциалов
34
Решить транспортную задачу:
5
1
2
150
4
10
3
150
6
2
3
250
3
1
1
50
200
300
100
Решение. Условие баланса выполнено. Следовательно, имеем ТЗ
закрытого типа.
Предварительный этап. Находим исходный опорный план X° методом
«минимального элемента ».
Число занятых клеток равно 6 и совпадает с рангом матрицы ограничений
ТЗ:
r = m + n - 1 = 3+4-1 = 6.
Итерация 1. Для проверки полученного опорного плана на оптимальность
находим
систему потенциалов для занятых клеток ( хij>0). Для этого, например,
полагаем, что U1= 0 ( записываем U1= 0 в левой вертикальной графе в
табл. 2.2). Далее, исходя из занятых клеток (1 , 2) и (1 , 3) , находим V2=
С12-U1 = 4 - 0 = 4, V3 = 6 - 0 = 6 (записываем в верхней строке в таблице ).
На основе базисной клетки (2 , 3) получаем U2=2 - 6 =-4 , затем V1= 1-(-4)
= 5; U3=3 - 4= -1; V4=2.
Далее вычисляем сумму потенциалов для каждой из свободных
клеток и записываем их в верхнем левом углу. Так как для клеток (3,1) и
(3,3) критерий оптимальности ( условие B) не выполняется:
U3+ V1 = 4 > 2,
U3+ V3 = 5 > 3,
то полученный опорный план не оптимальный.
Так как Δ31= U3+ V1- Cij = 2 = Δ33, то в любую из клеток,
например, в (3,1), ставим некоторое число θ1.
35
Для того чтобы не нарушился баланс в 3-ей строке, вычитаем θ1 из
величины перевозки, стоящей в клетке ( 3, 2) , прибавляем к Х12,
вычитаем от Х13, прибавляем к Х23 и вычитаем от Х21, т.е. составляем
цикл:
(3,1)->(3,2)->(1,2)->(1,3)->(2,3)->(2,1)->(3,1).
Знаки + и - в клетках чередуются.
Заметим, что движение от одной клетки к другой происходит только
по занятым , кроме первой , в которую θ1 проставляется. Максимальное
значение θ1 равно наименьшему уменьшаемому : θ1= 50. Если θ1 взять
больше, то получаем отрицательную величину в плане перевозок , а если
меньше , то нарушается опорность плана.
Итерация 2 . Проверяем полученный план Х(1) на оптимальность.
Находим систему потенциалов. Они записаны в таблице слева и сверху,
вычисляем сумму потенциалов для свободных клеток (записаны в левом
верхнем углу клетки). Так как U1+ V4 = 4 > 3, то план Х(1) не является
оптимальным. Для построения нового опорного плана проставляем
величину θ2 в клетку (1,4) и составляем цикл:
(1,4)->(3,4)>(3,1)->(2,1)->(2,3)->(1,3)->(1,4).
Определяем значение θ2 =50, при этом две клетки (1,3) и (3, 4)
обращаются в нулевые. Следовательно, план Х(2) будет вырожденным.
Для дальнейшего решения необходимо оставить нуль в одной из клеток и
считать ее за базисную. Целесообразнее нуль оставить в клетке с меньшей
стоимостью перевозок, т.е. в клетке (3,4).
Итерация 3. Число занятых клеток равно 6. Находим значения
потенциалов и их сумму для свободных клеток. Критерий оптимальности
выполняется:
Ui+ Vj≤ Cij для Хij= 0; i=1,m;j=1,n
поэтому полученный план является оптимальным: f (x)* = 1500
-
150
-
50
200
36
50
-
250
-
300
100
-
-
-
100
150
150
250
50
Решить транспортную задачу методом потенциалов:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Задание 7. Решение задач линейного программирования на основе
использования вычислителя OpenOffice Calc.org
37
Для решения задач оптимизации в MS Excel используют надстройку
Поиск решения, которая вызывается из пункта главного меню «Сервис»
(рис. 7.1).
Рис. 7.1.
Если в версии Excel, установленной на Вашем компьютере,
отсутствует данный подпункт меню «Сервис», необходимо вызвать пункт
меню «Надстройки» и в предложенном списке дополнительных модулей
выбрать «Поиск решения» (рис. 7.2).
Рис. 7.2.
38
Рассмотрим
на
примере
использование
данной
надстройки.
Математическая модель задачи имеет вид:
max f ( x) max 3x1 2 x 2
x
x
x1 2 x 2 6;
2 x x 8;
2
1
x1 0.8 x 2 5;
x1 x 2 1;
x 2;
2
x1 0;
x 2 0.
Составим шаблон в редакторе Excel, как показано на рис. 7.3.
Рис. 7.3. Шаблон оформления задачи.
Теперь занесём данную в задаче числовую информацию (рис.7.4).
39
Рис.7.4. Исходные данные задачи
В выделенные пустые ячейки (значения целевой функции и левых
частей неравенств) необходимо занести формулы, отображающие связи и
отношения между числами на рабочем листе.
Ячейки B4 – С4 называются в Excel изменяемыми (в нашей модели
это неизвестные переменные), т.е., изменяя их Поиск решения будет
находить оптимальное значение целевой функции. Значения, которые
первоначально вводят в эти ячейки, обычно нули (незаполненные клетки
трактуются по умолчанию как содержащие нулевые значения).
Теперь необходимо ввести формулы. В нашей математической
модели, целевая функция представляет собой произведение вектора
коэффициентов на вектор неизвестных. Действительно, выражение 3x1 2x2
можно рассматривать как произведение вектора (3,2) на вектор 3x1 2x2 .
В Excel существует функция СУММПРОИЗВ, которая позволяет
найти скалярное произведение векторов. В ячейку Е4 необходимо вызвать
данную функцию, а в качестве перемножаемых векторов задать адреса
ячеек, содержащих коэффициенты уравнений (в данном случае, это В5:С5)
и ячеек, в которые в результате решения будут помещены значения
( x1 , x 2 ) T (ячейки
В4:С4) (рис. 7.5).
40
Рис. 7.5. Вызов функции СУММПРОИЗВ.
Каждая
левая
часть
ограничения
тоже
представляет
собой
произведение двух векторов: соответствующей строки матрицы затрат и
вектора неизвестных.
То есть, выражение
x1 2x2
(для первого
ограничения x1 2x2 6 ) будем рассматривать как произведение вектора
коэффициентов (1,2) и вектора пока переменных ( x1 , x 2 ) T .
В ячейке, отведенной для формулы левой части первого ограничения
(D9),
вызовем
функцию
СУММПРОИЗВ.
В
качестве
адресов
перемножаемых векторов занесем адрес строки коэффициентов В9:С9 и
адрес значений переменных В4:С4 (рис. 7.6).
41
Рис. 7.6
В четыре оставшиеся ячейки графы «Левая часть» вводим
аналогичные формулы, используя соответствующую строку матрицы
затрат. Фрагмент экрана с введёнными формулами показан на рис.7.7.
Рис. 7.7
42
Важно! К моменту вызова сервиса «Поиск решения» на рабочем
листе с задачей должны быть занесены формулы для левых частей
ограничений и формула для значения целевой функции.
В меню Сервис выбираем Поиск решения. В появившемся окне
задаём следующую информацию:
1. в качестве целевой ячейки устанавливаем адрес ячейки для значения
целевой функции Е4;
2. «флажок» устанавливаем на вариант «максимальному значению», т.к. в
данном случае, целевая функция дохода подлежит максимизации;
3. в качестве изменяемых ячеек заносится адрес строки значений
переменных В4:С4;
4. справа от окна, предназначенного для занесения ограничений,
нажимаем кнопку «Добавить», появится форма для занесения
ограничения (рис. 7.8)
Рис.7.8. Форма для занесения одного ограничения ЗЛП.
5. в левой части формы «Ссылка на ячейку» заносится адрес формулы
для левой части первого ограничения D9, выбирается требуемый знак
неравенства (в нашем случае, <=), в поле «Ограничение» заносится
ссылка на правую часть ограничения F9 (рис. 7.9).
43
Рис.7.9. Занесение первого ограничения задачи.
Аналогично заносятся все ограничения задачи, после чего нажимается
кнопка «ОК».
Таким образом, окно «Поиск решения» с занесенной информацией
выглядит следующим образом (рис.7.10):
Рис. 7.10.
Далее
«флажки»
необходимо
«Линейная
нажать
модель»
кнопку
и
Параметры,
установить
«Неотрицательные
значения»,
поскольку в данном случае задача является ЗЛП, а ограничение 6) требует
неотрицательности значений (рис.7.11).
44
Рис. 7.11. Установка параметров
Затем следует нажать «ОК», «Выполнить», после чего появляется
окно результата решения (рис.7.12).
Рис. 7.12. Окно результата решения
Если в результате всех действий получено окно с сообщением
«Решение найдено», то Вам предоставляется возможность получения трех
типов отчета, которые полезны при анализе модели на чувствительность. В
данном примере достаточно сохранить найденное решение, нажав «ОК». В
результате получено решение задачи (рис.7.13).
45
Рис.7.13. Результат применения «Поиска решения»
Если в результате решения задачи выдано окно с сообщением о
невозможности нахождения решения (рис.7.14), это означает, что при
оформлении задачи была допущена ошибка (не заполнены формулы для
ограничений,
неправильно
установлен
«флажок»
максимизации/минимизации и т.д.).
Рис.7.14. Сообщение об ошибке
В данном разделе рассмотрен общий формат решения задач
оптимизации в Excel. В зависимости от экономических моделей,
выполняют его соответствующие модификации.
Например,
можно
установить
условие
на
целочисленность
некоторых переменных.
46
Задание 8. Решение транспортных задач на основе использования
вычислителя MS Office Excel или OpenOffice Calc.org
Решить транспортную задачу:
5
4
6
3
200
1
10
2
1
300
2
3
3
1
100
150
150
250
50
Решение. Условие баланса выполнено. Следовательно, имеем ТЗ
закрытого типа.
Для решения задач оптимизации в MS Excel используют надстройку
Поиск решения, которая вызывается из пункта главного меню «Данные»
(рис. 8.1).
Рис. 8.1.
47
Составим шаблон в редакторе Excel, как показано на рис. 8.2.
Рис.8.2
Введем исходные данные по рассматриваемой задаче, как показано на
рисунке 8.3.
Рис.8.3
48
В выделенные пустые ячейки (значения целевой функции и левых
частей неравенств) необходимо занести формулы, отображающие связи и
отношения между числами на рабочем листе.
Ячейки А13 – D15 называются изменяемыми, т.е., изменяя их Поиск
решения будет находить оптимальное значение целевой функции. Теперь
необходимо ввести формулы. В нашей математической модели, целевая
функция представляет собой произведение матрицы стоимостей перевозок
на матрицу изменяемых ячеек, являющейся матрицей перевозок. Для этого
используем функцию СУММПРОИЗВ, которая позволяет найти искомую
общую стоимость перевозок. В ячейку J4 необходимо вызвать данную
функцию, а в качестве перемножаемых матриц задать адреса ячеек,
содержащих стоимости перевозки единиц запасов (в данном случае, это А4
– D6) и ячеек, в которые в результате решения будут помещены значения
объемов перевозок (ячейки А13 – D15) (рис. 8.4).
Рис.8.4.
49
В ячейке, отведенной для формулы левой части первого
ограничения (L9), вызовем функцию СУММА. В качестве адресов занесем
адрес строки матрицы перевозок А13:D13 (рис.8.5).
Рис.8.5
Таким образом вводятся ограничения на перевозки первой базы
запаса. Аналогично вводятся ограничения для второй (L10) и третьей (L11)
баз запасов (суммы ячеек А14:D14, А15:D15 соответственно). В ячейки
L12-L15 вводятся ограничения на перевозки потребителей с 1 по 4 как
суммы ячеек столбцов матрицы перевозок от A13:А15 до D13:D15.
В меню Данные выбираем Поиск решения. В появившемся окне
задаём следующую информацию:
1.в качестве целевой ячейки устанавливаем адрес ячейки для
значения целевой функции J4.
2.«флажок» устанавливаем на вариант «минимальному значению»,
т.к. в данном случае, целевая функция транспортных издержек подлежит
минимизации;
50
3.в качестве изменяемых ячеек заносится адрес ячеек А13 – D15;
4.справа от окна, предназначенного для занесения ограничений,
нажимаем кнопку «Добавить», появится форма для занесения ограничения
(рис. 8.6)
Рис.8.6.
5. в левой части формы «Ссылка на ячейки» заносится адрес формулы
для левой части первого ограничения L9, выбирается требуемый знак
неравенства (в нашем случае, =), в поле «Ограничение» заносится ссылка
на правую часть ограничения N9 (рис. 8.7).
Рис.8.7.
Аналогично заносятся все ограничения задачи, после чего нажимается
кнопка «ОК». Общий вид готовой экранной формы приведена на рисунке
8.8.
51
Рис.8.8.
После нажатия кнопки Найти решение выводится результат решения
(рис.8.9)
Рис.8.9.
52
После сохранения результата в ячейках А13 – D15, окрашенных
желтым цветом, приводится решение транспортной задачи (8.10).
Рис.8.10.
Если в результате решения задачи выдано окно с сообщением о
невозможности нахождения решения, это означает, что при оформлении
задачи была допущена ошибка (не заполнены формулы для ограничений,
неправильно установлен «флажок» минимизации и т.д.).
Рассмотренный пример решения транспортной задачи в MS Excel
практически не отличается от аналогичного в OpenOffice Calc.org, только
там вместо инструмента Поиск решения применяется Решатель.
53
3. КОНТРОЛЬ ОВЛАДЕНИЯ КОМПЕТЕНЦИЯМИ
Перечень названий и шифров компетенций в соответствии с
ФГОС ВПО:
- способен собрать и проанализировать исходные данные,
необходимые
для
расчета
экономических
и
социально-
экономических показателей, характеризующих деятельность
хозяйствующих субъектов (ПК-1);
- способен на основе описания экономических процессов и
явлений
строить
стандартные
теоретические
и
эконометрические модели, анализировать и содержательно
интерпретировать полученные результаты (ПК-6);
- способен
критически
управленческих
оценить
решений
и
предлагаемые
разработать
и
варианты
обосновать
предложения по их совершенствованию с учетом критериев
социально-экономической эффективности, рисков и возможных
социально-экономических последствий (ПК-13).
Табл. 3.1 - Перечень практических заданий для контроля степени
овладения компетенциями
№
Задание
Содержани
Компетенции
е задания
1
Формализация
задач
ПК-1, ПК-6
линейного
программирования
Решение
задач
линейного
программирования
графическим методом
3
Решение
задач
линейного
программирования
симплекс-методом
4
Решение
задач
линейного
программирования
на
ПК-6
2
См. раздел
2 УМК
ПК-1, ПК-6,
ПК-13
ПК-1, ПК-6
54
5
6
7
8
основе
теории
двойственности
Решение
целочисленных
задач
линейного
программирования
на
основе метода ветвей и
границ
Решение транспортных
задач на основе метода
потенциалов
Решение
задач
линейного
программирования
на
основе
использования
вычислителя OpenOffice
Calc.org
Решение транспортных
задач
на
основе
использования
вычислителя MS Office
Excel или OpenOffice
Calc.org
ПК-1, ПК-6,
ПК-13
ПК-6, ПК-13
ПК-1, ПК-13
ПК-6, ПК-13
55
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ
Запланированные часы учебной программы по самостоятельной
работе предусмотрены для приобретения студентами навыков работы со
специальной литературой, развития творческого мышления, исследования
реального сектора экономики, применения теоретических знаний в
конкретных ситуациях, а так же закрепления знаний, полученных в
процессе изучения дисциплины на аудиторных занятиях. Это достигается
за счет выполнения студентами учебных проектов и подготовки к
промежуточным тестам и итоговым аттестационным мероприятиям.
Содержание аттестационных мероприятий приведено в 6 разделе учебнометодического комплекса, учебных проектов – в 4 разделе, материалов для
подготовки – 1 разделе.
Табл. 4.1 – Содержание самостоятельной работы студента
№
Наименование
Содержание
1 Выполнение
По определенной теме готовится
учебного проекта
презентация и доклад (см. 4 раздел УМК)
2 Подготовка к
По лекционным материалам курса (см. 1
промежуточным
раздел УМК) повторяются и закрепляются
тестам
вопросы (см. 6 раздел УМК), рассмотренные
на аудиторных занятиях, самостоятельно
прорабатываются вопросы (см. 6 раздел
УМК), не освещенные на аудиторных
занятиях, выполняется тест на самопроверку
в системе Moodle.
3 Подготовка к
По лекционным материалам курса (см. 1
итоговым
раздел УМК) повторяются и закрепляются
аттестационным
вопросы (см. 6 раздел УМК), рассмотренные
мероприятиям
на аудиторных занятиях, самостоятельно
прорабатываются вопросы (см. 6 раздел
УМК), не освещенные на аудиторных
занятиях, выполняется тест на самопроверку
в системе Moodle.
56
5. АТТЕСТАЦИЯ
Структура аттестации
1. Аттестация студентов очной формы обучения проводится по
четырем элементам: посещаемость, практические работы, промежуточное
компьютерное тестирование, итоговая аттестация. За каждый элемент в
учебном модуле студент набирает баллы, и итоговая оценка
(неудовлетворительно / удовлетворительно / хорошо / отлично, зачет /
незачет) выводится в зависимости от набранной суммы балов по всем
четырем элементам (0-20 для одномодульной дисциплины, 0-40 для
двухмодульной дисциплины). Все элементы должны выполняться вовремя
в соответствие с установленным расписанием занятием и определенными
преподавателем сроки.
2. Баллы за посещаемость (от 0 до 5 баллов) начисляются в
зависимости от процента посещенных занятий, который рассчитывается
отношением количества посещенных занятий студентом к общему
количеству проведенных занятий по дисциплине.
3. Баллы за практические работы (от 0 до 5 баллов) начисляются в
зависимости от процента выполненных работ, который рассчитывается
отношением количества выполненных работ студентом к общему
количеству определенных преподавателем работ.
4. Баллы за промежуточное компьютерное тестирование (от 0 до 5
баллов) начисляются в зависимости от процента правильных ответов
студентов на тестовые задания, который рассчитывается отношением
количества правильных ответов студента к общему количеству тестовых
заданий.
5. Баллы за итоговую аттестацию (0, от 3 до 5 баллов), которая может
проводиться
в форме письменного экзамена, устного
экзамена,
компьютерного теста или защиты учебного проекта, начисляются в
зависимости от соответствия ответа студента требованиям к этим формам.
Если ответ студента на итоговой аттестации оценивается отрицательно или
он не явился на итоговую аттестацию, то за нее он получает 0 баллов, а за
дисциплину - неудовлетворительно или незачет.
Табл.5.1 – Баллы по элементам аттестации
Элементы
аттестации
Крите
рий оценки
%
Посещаемост
посещ.
ь
20
занятий
Практические
%
работы
выпол.
20
работ
Промежуточн
%
ое компьютерное прав.
20
тестирование
ответов
Баллы
0
1
2
3
4
5
<
≥
≥
≥
≥
≥8
20
40
≥
<
20
≥
40
≥
<
20
60
≥
60
≥
40
70
≥
70
≥
60
5
≥8
5
≥
70
≥8
5
57
Итоговая
аттестация
н
е сдал,
не
явился
-
-
Требования к устному
экзамену,
письменному
экзамену, компьютерному
тесту, учебному проекту
Табл.5.2 – Перевод итоговых баллов в оценку
Кол-во
баллов в
одномодульной
дисциплине
18-20
15-17
12-14
0-11
Кол-во
баллов в
двухмодульной
дисциплине
36-40
30-35
24-29
0-23
Оцен
ка
Зачет
Экзамен
5
4
3
2
зачет
зачет
зачет
незаче
т
отлично
хорошо
удовлетворительно
неудовлетворитель
но
6. В случае если студент получил оценку неудовлетворительно или
незачет, то на основании полученного им направления на пересдачу в
соответствие с графиком пересдач дисциплина сдается повторно. Если не
сдана итоговая аттестация, то она пересдается в обязательном порядке.
Компьютерное тестирование и выполнение практических работ
обязательно пересдаются студентом в случае нехватки баллов для
положительной аттестации.
5.1 Примерные вопросы к промежуточному тестированию
Модуль 1
К задачам оптимизации относятся задачи на отыскание
-целевой функции
-максимума или минимума целевой функции
-решения системы уравнений
-решения системы неравенств
Критерием оптимальности задачи математического
программирования является
-целевая функция
-система уравнений
-система неравенств
-условие неотрицательности переменных
Задача математического программирования является задачей
линейного программирования, если
-целевая функция является линейной, а система ограничений нелинейная
-система ограничений – это система линейных уравнений или неравенств,
а целевая функция нелинейная
-целевая функция является линейной, а система ограничений – система
линейных уравнений или неравенств
-условие неотрицательности переменных - линейно
58
Задача математического программирования является задачей
нелинейного программирования, если
-условие неотрицательности переменных нелинейно
-целевая функция является нелинейной
-целевая функция является линейной
-условие неотрицательности переменных не выполняется
Задача нелинейного программирования называется квадратичной,
если
-Xj2>0,j=1,n
-Z=E Cj2Xj
-Z=E CjXj +EEdijXiXj
-E aij2xj{<=,=,=>}bi,i=1,m
Задача нелинейного программирования называется задачей дробно –
линейного программирования, если
-Xi/Xj>0,i=1,m,j=1,n
-Z=E Cj/dj xj
-E Xj/aij<=b,i=1,m
-Z=E CjXj /E djXj
Задача математического программирования называется задачей
целочисленного программирования, если
-все коэффициенты целевой функции – целые числа
-все коэффициенты системы ограничений – целые числа
-все bi - целые числа
-все Xj - целые числа,j=1,n
Абстрактное отображение реального экономического процесса с
помощью математических выражений, уравнений, неравенств – это
-система ограничений
-целевая функция
-экономико–математическая модель
-условие неотрицательных переменных
Абстрактное отображение реального экономического процесса с
помощью математических выражений, уравнений, неравенств – это
-система ограничений
-целевая функция
-экономико–математическая модель
-условие неотрицательных переменных
Вопрос №3432:
Любая экономико – математическая модель задачи линейного
программирования состоит из
-целевой функции и системы ограничений
59
-целевой функции, системы ограничений и условия неотрицательности
переменных
-системы ограничений и условия неотрицательности переменных
-целевой функции и условия неотрицательности переменных
Оптимальное решение задачи математического программирования –
это
-допустимое решение системы ограничений
-любое решение системы ограничений
-допустимое решение системы ограничений, приводящее к максимуму или
минимуму целевой функции
-максимальное или минимальное решение системы ограничений
Если целевая функция Z=E CjXj + EEdijXiXjзадача математического
программирования является задачей
-линейного программирования
-целочисленного программирования
-дробно – линейного программирования
-квадратичного программирования
Динамическое программирование – это математический аппарат,
позволяющий
-осуществить оптимальное планирование многошаговых управляемых
процессов
-исследовать динамику функции
-оказывать влияние на развитие процесса
-наблюдать процесс в его развитии
Если целевая функция Z=E CjXj/E djXj , то задача математического
программирования, называется задачей
-линейного программирования
-квадратичного программирования
-дробно – линейного программирования
-дробно – квадратичного программирования
Все ограничения в задаче математического программирования
должны быть
-одинакового смысла
-противоречивы
-непротиворечивы
-противоположного смысла
ЗЛП имеет бесконечное множество оптимальных решений, если хотя
бы одна оценка j j C Z ? , которая не относится к базисному вектору,
равна бесконечность
--1
60
-0
-1
В методе искусственного базиса M равно
-бесконечно малой величине
-бесконечно большой величине
-произвольному большому числу
-нулю
Если имеется оптимальное решение, полученное методом
искусственного базиса, в котором хотя бы одна из искусственных
переменных отлична от нуля, то система ограничений исходной
задачи в области допустимых значений является
-совместной
-несовместной
-невырожденной
-оптимальной
Если в разрешающем столбце имеется нулевой элемент, то
соответствующая строка после очередной итерации решения ЗЛП
-будет содержать только нули
-останется неизменной
-будет содержать только единицы
-поменяет знак на противоположный
Если хотя бы одна оценка j j C Z ? , которая не относится к базисному
вектору, равна нулю, то ЗЛП
-имеет не единственное оптимальное решение
-не имеет оптимальных решений
-имеет одно оптимальное решение
-имеет конечное число оптимальных решений, равное числу ограничений
Если в разрешающей строке имеется нулевой элемент, то в
соответствующем столбце после очередной итерации решения ЗЛП все
элементы
-будут равны нулю
-будут равны единице
-поменяют знак на противоположный
-останутся без изменения
Если все оценки j j C Z ? , не относящиеся к базисным векторам, не
равны нулю, то ЗЛП
-имеет бесконечное множество оптимальных решений
-не имеет оптимальных решений
-имеет одно оптимальное решение
-имеет конечное число оптимальных решений, равное числу ограничений
Строка останется без изменения после очередной итерации решения
ЗЛП, если на месте ее пересечения с разрешающим столбцом стоит
--1
-0
-1
61
-бесконечность
Модуль 2
Если исходная ЗЛП имеет вид Z=CX(max),AX<=B,X>=0, то
ограничения симметричной двойственной задачи имеют вид
-YA<=C,Y<=0
-YA>=C,Y>=0
-YA<=B,X>=0
-YA>=B,Y>=0
Если исходная ЗЛП имеет вид Z=CX(min),AX>=B,X>=0, то
ограничения симметричной двойственной задачи имеют вид
-YA<=C,Y>=0
-YA>=C,Y>=0
-YA<=B,X>=0
-YA>=B,Y<=0
Коэффициентами при неизвестных целевой функции двойственной
задачи являются
-коэффициенты при неизвестных целевой функции исходной задачи
-свободные члены системы ограничений исходной задачи
-неизвестные исходной задачи
-коэффициенты при неизвестных системы ограничений исходной задачи
Свободными членами системы ограничений двойственной задачи
являются
-неизвестные исходной задачи
-коэффициенты при неизвестных исходной задачи
-свободные члены исходной задачи
-коэффициенты целевой функции исходной задачи
Если исходная ЗЛП была на максимум целевой функции, то
двойственная задача будет
-тоже на максимум
-либо на максимум, либо на минимум
-и на максимум, и на минимум
-на минимум
Если исходная ЗЛП была на минимум целевой функции, то
двойственная задача будет
-на максимум
-либо на максимум, либо на минимум
-и на максимум, и на минимум
-тоже на минимум
При составлении симметричной пары двойственных задач, если
исходная ЗЛП Z=CX(max),AX<=B,X>=0, то двойственная задача имеет
вид
-T=YB(max),YA=C,Y<=0
62
-T=YB(min),YA>=C,Y>=0
-T=BY(max),AY>=C,Y>=0
-T=BY(min),AY<=C,Y>=0
При решении прямой ЗЛП решение двойственной задачи в симплекс –
таблице с оптимальным планом получается
-на пересечении столбца свободных членов и строки оценок
-на пересечении последнего столбца и строки оценок
-на пересечении строки оценок и столбцов, соответствующих начальному
базису ЗЛП
-на пересечении первой строки и столбцов, соответствующих начальному
базису ЗЛП.
Если i – е ограничение прямой ЗЛП при подстановке ее оптимального
плана обращается в строгое неравенство, то соответствующая
компонента двойственной задачи
-не равна нулю
-равна нулю
-положительна
-отрицательна
Если j – е ограничение двойственной задачи ее оптимальным планом
обращается в строгое неравенство, то соответствующая компонента
прямой ЗЛП
-отрицательна
-положительна
-не равна нулю
-равна нулю
Если одна из пары двойственных задач обладает оптимальным
планом, то другая
-имеет оптимальное решение и min Z=max T или max Z=min T
-не имеет решения и min Z=/=max T или max Z=/=min T
-имеет оптимальное решение и min Zmin T
-не имеет решения и min Z=max T или max Z=min T
Если план транспортной задачи Х=Xij является оптимальным, то ему
соответствует система чисел, называемых потенциалами, для которых
выполняются следующие условия
-Ui+Vj>=Cij для Xij>0, yij=Cij-Ui-Vj>0 для Xij=0
-Ui+Vj0, yij=Cij-Ui-Vj>0 для Xij=0
-Ui+Vj=Cij для Xij>0, yij=Cij-Ui-Vj>=0 для Xij=0
-Ui+Vj<=Cij для Xij>0, yij=Cij-Ui-Vj>0 для Xij=0
Модель транспортной задачи закрытая, если
-E ai>E bi
-E ai=E bi
-E ai=/=E bi
-E ai
Модель транспортной задачи открытия, если
63
-E ai=/=E bi
-E ai=E bi
-не зависит от E ai и E bi
-E ai<=E bi
Целевая функция транспортной задачи имеет вид
-Z=EE Xij - min
-Z=EE CijXij - max
-Z=EE CijXij2 - max
-Z=EE CijXij - min
Цикл в транспортной задаче – это
-замкнутая прямоугольная ломаная линия, все вершины которой находятся
в занятых клетках
-замкнутая прямоугольная ломаная линия, все вершины которых находятся
свободных клетках
-замкнутая прямоугольная ломаная линия, одна вершина которой в занятой
клетке, остальные в свободных клетках
-замкнутая прямоугольная ломаная линия, одна вершина которой в
свободной клетке, а остальные в занятых клетках
Если число занятых клеток меньше, чем (m+n-1), то одну свободную
клетку делают занятой с нулевой перевозкой. Эта клетка
-должна образовывать цикл с вершинами только в занятых клетках
- не должна образовывать цикл с вершинами только в занятых клетках
-должна образовывать цикл с вершинами только в свободных клетках
-может быть любой свободной клеткой
Потенциалами транспортной задачи размерности (m*n) называются
m+n чисел ui и vj, для которых выполняются условия
-ui+vj=cij для занятых клеток
-ui+vj=cij для свободных клеток
-ui+vj=cij для первых двух столбцов распределительной таблицы
-ui+vj=cij для первых двух строк распределительной таблицы
Оценками транспортной задачи размерности (m+n) называются числа
yij=cij-ui-vj, которые вычисляются
-для занятых клеток
-для свободных клеток
-для первых двух строк распределительной таблицы
-для первых двух столбцов распределительной таблицы
При составлении первоначального плана транспортной задачи по
методу минимальной стоимости в первую очередь заполняются
клетки
-расположенные по главной диваглнали распределительной таблицы
-с максимальными тарифами
-с минимальными тарифами
-расположенные в первых строках и столбцах распределительной таблицы
При решении транспортной задачи значение целевой функции должно
от итерации к итерации
64
-увеличиваться
-увеличиваться или не меняться
-увеличиваться на yij
-уменьшаться или не меняться
В клетках распределительной таблицы располагаются
-только тарифы перевозок cij
-только планы перевозок xij
-планы перевозок xij и соответствующие тарифы cij
-значения поизведений cijxij
Чтобы произвести блокировку некоторой клетки транспортной
задачи, в этой клетке тариф
-заменяют на нуль
-удваивают
-заменяют на достаточно большое число М
-уменьшают в два раза
Число занятых клеток невырожденного плана транспортной задачи
должно быть равно
-m+n
-m+n+2
-m+n-1
-m+n+1
5.2 Практические задания
Модуль 1
Формализация задач линейного программирования
Решение задач линейного программирования графическим методом
Решение задач линейного программирования симплекс-методом
Решение задач линейного программирования на основе теории
двойственности
Модуль 2
Решение целочисленных задач линейного программирования на
основе метода ветвей и границ
Решение транспортных задач на основе метода потенциалов
Решение задач линейного программирования на основе использования
вычислителя OpenOffice Calc.org
Решение транспортных задач на основе использования вычислителя
MS Office Excel или OpenOffice Calc.org
65
5.3 Вопросы и задания к итоговой аттестации
1.Основные понятия теории оптимизации.
2.Показатели и критерии эффективности.
3.Постановка задач математического программирования.
4.Классификация задач математического программирования.
5.Линейные модели в экономике.
6.Постановки ЗЛП.
7.Общая постановка задачи линейного программирования.
8.Основная задача линейного программирования.
9.Каноническая задача линейного программирования.
10.Каноническая форма задачи линейного программирования.
11.Построение области допустимых значений.
12.Построение вектора градиента целевой функции.
13.Определение оптимального плана из системы уравнений граничной
точки.
14.Методика построение опорного плана.
15.Переход от одного опорного плана к другому.
16.Признак оптимальности текущего плана и условие отсутствия
оптимального решения.
17.Алгоритм
симплекс-метода
решения
задачи
линейного
программирования.
18.Определение двойственной задачи.
19.Теоремы двойственности.
20.Получение оптимального
решения
двойственной
задачи
на
основании теорем двойственности.
Модуль 2
21.Постановка целочисленной задачи линейного программирования.
22.Решение целочисленной задачи линейного программирования
методом ветвей и границ.
66
23.Решение целочисленной задачи линейного программирования
методом Гомори.
24.Алгоритм
целочисленного
решения
задачи
линейного
программирования.
25.Постановка транспортной задачи.
26.Методы формирования первоначального опорного плана.
27.Поиск оптимального решения на основе метода потенциалов.
28.Принцип
оптимальности
метода
динамического
программирования.
29.Классы задач, в которых применяется принцип оптимальности
метода динамического программирования.
30.Алгоритмы прямой и обратной вычислительной схемы метода
динамического программирования.
31.Суть нелинейной оптимизации.
32.Методы скалярной оптимизации (метод Свена, метод золотого
сечения).
33.Классическое вариационное исчисление безусловной оптимизации.
34.Методы условной оптимизации.
35.Постановка задачи. Классификация методов.
36.Общая схема методов условной оптимизации.
37.Алгоритм метода Зойтендейка.
67
6.УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1 Основная литература
№
п/п
1
2
3
4
5
Перечень литературы
Методы оптимальных решений. Общие положения. Математическое
программирование Том 1. Учебное пособие, 2011, Соколов А.В.,
Токарев В.В., Физматлит– [электронный ресурс] http://www.iprbookshop.ru/
Методы и алгоритмы принятия решений в экономике. Учебное
пособие 2009, Баллод Б.А., Елизарова Н.Н., Финансы и статистика –
[электронный ресурс] - http://www.iprbookshop.ru/
Методы оптимальных решений. Многокритериальность. Динамика.
Неопределенность Том 2. Учебное пособие, 2009, Токарев В.В.,
Физматлит– [электронный ресурс] - http://www.iprbookshop.ru/
Методы оптимизации. Линейные и нелинейные методы и модели в
экономике. Учебное пособие, 2011, Мастяева И.Н., Семенихина
О.Н., Евразийский открытый институт– [электронный ресурс] http://www.iprbookshop.ru/
Методы оптимизации. Учебное пособие
2011, Пантелеев А.В., Летова Т.А., Логос– [электронный ресурс] http://www.iprbookshop.ru/
6.2 Дополнительная литература
№
п/п
1
2
3
4
Перечень литературы
Методы оптимизации. Учебное пособие, 2010, Розова В.Н.,
Максимова И.С., Российский университет дружбы народов–
[электронный ресурс] - http://www.iprbookshop.ru/
Введение в методы оптимизации. Учебное пособие 2008, Аттетков
А.В., Зарубин В.С., Канатников А.Н., Финансы и статистика–
[электронный ресурс] - http://www.iprbookshop.ru/
Методы оптимизации в прикладных задачах. Учебное пособие,
2009, Струченков В.И., СОЛОН-ПРЕСС– [электронный ресурс] http://www.iprbookshop.ru/
Математические методы исследования операций в экономике.
Учебное пособие , 2009, Грызина Н.Ю., Мастяева И.Н., Семенихина
О.Н., Евразийский открытый институт - [электронный ресурс] http://www.iprbookshop.ru/
68
7. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
№
п/п
Перечень
Алексеенко А.В. УМК по дисциплине «Методы оптимальных
решений» для студентов очной формы обучения – Ростов-на-Дону:
ИУБиП, 2014 г.
2
Алексеенко А.В. УМК по дисциплине «Методы оптимальных
решений» для студентов заочной формы обучения – Ростов-наДону: ИУБиП, 2014 г.
1
69
КОНТАКТНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ
Фамилия, имя,
отчество:
Алексеенко Алексей Владимирович
Ученая степень:
К.т.н.
Должность:
Доцент
Кабинет:
606
Телефон:
89043418177
e-mail:
alekseenkoaleksei@rambler.ru
70