Затухание плазменных волн в нанотрубках

Санкт-Петербургский государственный университет
Физический факультет
Кафедра статистической физики
Затухание плазменных волн в нанотрубках
Магистерская диссертация студента
дневного отделения
_________________ Гурьевского Дениса Валерьевича
Научный руководитель:
д. ф.-м. н., профессор
________________________________________________ Кучма А.Е.
Рецензент:
к. ф.-м. н.
_______________________________________ Ковалевский Д.В.
Санкт-Петербург
2013
Оглавление
Введение. ........................................................................................................................................................................3
Постановка задачи и основные соотношения. ............................................................................................6
Плазменные волны в идеальной нанотрубке. ......................................................................................... 10
Учёт неоднородности проводимости. .......................................................................................................... 12
Радиационное затухание плазменных волн. ............................................................................................ 15
Заключение................................................................................................................................................................. 17
Литература.................................................................................................................................................................. 18
2
Введение.
В последние годы нанотрубки стали одним из самых обсуждаемых материалов
для применения в различных областях науки и техники [1,2]. Если кратко проследить
историю их открытия, то начать можно с открытия фуллеренов в 1985 году [3],
удостоенного Нобелевской премии по химии за 1996 год. Разработка технологий для
получения фуллеренов в макроскопическом количестве [4] привела к открытию
Ииджимой в 1991 году [5] углеродных нанотрубок в качестве побочных продуктов
синтеза. Метод получения фуллеренов в макроскопическом количестве был основан на
термическом распылении графита в электрической дуге с графитовыми электродами в
атмосфере гелия. В процессе дугового разряда в инертной атмосфере графитовые
электроды выделяют большое количество сажи, содержащей молекулы C60 и С70.
Ииджима заинтересовался отходами реакции, вырастающими на катоде. Как показали
соответствующие исследования, выполнение с помощью электронного микроскопа, это
были протяжённые полые объекты диаметром в несколько нанометров, состоящие, как
правило, из нескольких графитовых монослоёв вложенных друг в друга или навитых на
общую ось. Расстояние между слоями составляет примерно 0,34 нм, что соответствует
расстоянию между слоями в кристаллическом графите.
Монослойную углеродную нанотрубку можно представить в виде полого
цилиндра, полученного после свёртывания плоской гексагональной сетки графита.
Поэтому не удивительно, что научный интерес к этим объектам дополнительно возрос
после открытия квазидвумерной моноплёнки кристалла углерода – графена, за
создание которого А. Гейм и К. Новосёлов [6,7] были награждены Нобелевской премией
по физике за 2010 год. Данное открытие позволяет сравнивать свойства моноплёнки и
монотрубки и тем самым выявлять свойства, связанные с геометрией объекта. Различие
в свойствах искривлённых и плоских объектов кроется, по-видимому, в особенностях
электронной и атомной структуры этих соединений. К примеру, если в плоских слоях σи π- связи являются геометрически ортогональными, то в нанотрубках и фуллеренах, за
счёт искривления поверхности, это уже не так.
Нанотрубки демонстрируют целый ряд неожиданных электрических, магнитных
и оптических свойств. В зависимости от типа сворачивания графитовой плоскости
углеродные нанотрубки могут являться как полупроводниками, так и проводниками
или полуметаллами. Также у однослойных углеродных нанотрубок с диаметром 1нм
наблюдается переход в сверхпроводящее состояние при Tc ~ 1oK [8] и при Tc ~ 16oK для
нанотрубок с диаметром 0,4нм [9]. Что касается механических свойств, то нанотрубки
оказались весьма прочными структурами как на растяжение, так и на изгиб. Так,
результаты эксперимента и численного моделирования показывают, что модуль Юнга
однослойной нанотрубки достигает величин порядка 1-5ТПа, а при достижении
критических механических напряжений, они не рвутся и не ломаются, а перестраивают
свою структуру. Эти и другие свойства определяют разнообразие областей применения
таких объектов.
3
Сейчас активно обсуждается возможность применения различных углеродных
наноструктур в электронике (одноэлектронные транзисторы, проводки тока, ячейки
памяти, создание гетероструктур типа металл/полупроводник на стыке двух различных
нанотрубок), при создании квантовых компьютеров, уже созданы прототипы тонких
плоских дисплеев, работающих на матрице нанотрубок. Нанотрубка может
рассматриваться в качестве острия для сканирующего туннельного или атомного
силового микроскопа или использоваться при построении других различных
композитных
материалов.
Большие
перспективы
открывает
возможность
использования нанотрубок в медицине в качестве оболочки для каких-либо лекарств
или вспомогательных объектов для транспортировки последних внутрь клеток.
Обсуждается создание на их основе мышечных волокон. Такой разброс в области
применения нанотрубок связан отчасти с их разнообразием. Так, их длина изменяется
от нанометров до десятков сантиметров (без сшивки). В зависимости от типа
«скручивания» графенового листа, они обладают различной хиральностью. Нанотрубки
могут быть как с открытыми, так и закрытыми концами, а их толщина зависит от
многослойности структуры. Вместе с тем, имеющееся разнообразие структур имеет и
свои недостатки - весьма проблематично создать нанотрубку с конкретными, наперед
заданными параметрами. На сегодняшний день эта проблема решается путем отбора
нужных нанотрубок из множества получающихся в ходе технологического процесса их
приготовления.
Стоит отметить, что активно ведётся синтез и полупроводниковых нанотрубок.
Так в 1995-1996 годах появились первые публикации по получению нанотрубок
нитрида бора[10,11]. В начале 21 века начались интенсивные исследования по синтезу
нанотрубок карбида кремния[12]. Основное отличие полупроводниковых нанотрубок
от углеродных состоит в их размере. Так, например, в работе [13] рассмотрен
газофазный метод получения волокон карбида кремния диаметром примерно 100 нм.
Теоретическое исследование фуллеренов, нанотрубок и других искривлённых
углеродных структур началось ещё до их практического создания - примерно в 70-ых
годах прошлого века [14]. Одним из развиваемых в настоящее время направлений этих
исследований является описание коллективных возбуждений электронной системы
нанотрубок, в том числе – плазменных и спиновых волн [15-19]. Получены, в частности,
дисперсионные соотношения для продольных плазменных волн, распространяющихся
вдоль оси нанотрубки. Как в случае монослойной нанотрубки, так и для нанотрубки,
состоящей из нескольких монослоев, расчеты спектра плазмонов проведены в
потенциальном приближении для самосогласованного электромагнитного поля волны
[19]. Пренебрежение эффектами запаздывания в межэлектронном взаимодействии
ограничивает область применимости указанного приближения условием малости
фазовой скорости исследуемых волн по сравнению со скоростью света в окружающей
нанотрубку диэлектрической среде. Кроме того, пренебрежение вихревой
составляющей электрического поля и магнитным полем волны исключает возможность
описания процессов возбуждения плазменных волн электромагнитным излучением и
радиационного затухания плазмонов в электронной системе нанотрубки. В связи с этим
представляет интерес описание спектра плазмонов в нанотрубке, основанное на полной
системе уравнений Максвелла.
4
Целью настоящей работы являются получение дисперсионного уравнения для
плазменных колебаний, применимость которого не ограничивается областью малых
фазовых скоростей волны, и оценка излучательного вклада в затухание волны,
распространяющейся вдоль нанотрубки. Рассмотрены аксиально симметричные
плазменные колебания в нанотрубке, имеющей форму кругового цилиндра. Как и в
предшествующих работах, для проводимости нанотрубки используется простая модель
свободных электронов. Неидеальность нанотрубки моделируется зависимостью
электронной проводимости нанотрубки от расстояния вдоль ее оси.
5
Постановка задачи и основные соотношения.
В данной работе рассматривается нанотрубка в виде кругового цилиндра,
толщина стенок которого много меньше его радиуса R. Длина цилиндра L полагается
настолько большой, чтобы можно было пренебречь краевыми эффектами. Нанотрубка
помещена в однородную и изотропную по свойствам непроводящую среду с постоянной
диэлектрической проницаемостью ε. Магнитными свойствами среды в данной работе
пренебрегается. Задачей является исследование спектра плазменных возбуждений в
такой системе. Так же, как и в предшествующих работах, межэлектронное
взаимодействие учитывается в приближении самосогласованного поля. При этом мы не
ограничиваемся, однако, описанием области длин волн, где справедливо
предположение о потенциальном характере поля собственных колебаний.
Система уравнений Максвелла применительно к рассматриваемой системе
может быть записана в следующем виде
divD  4 ,
(1.1)
divB  0 ,
(1.2)
rotB 
4
1 D
J
,
c
c t
rotE  
1 B
,
c t
(1.3)
(1.4)
где под J и ρ понимаются плотность электрического тока и плотность заряда
электронов проводимости на поверхности нанотрубки.
В силу предполагаемой изотропности свойств диэлектрической среды связь между
индукцией D и напряженностью E электрического поля представима в виде
D E .
Вводя скалярный 
соотношениями
(1.5)
и векторный A
потенциалы электромагнитного поля
B  rotA ,
E   grad  
(1.6)
1 A
,
с t
(1.7)
0 ,
(1.8)
а также используя калибровку Лоренца
divA 
 
c t
из уравнений Максвелла можно получить следующие волновые уравнения
 
  2
c t
2
2

6
4

 ,
(1.9)
A 
 2 A
c t
2
2

4
J .
c
(1.10)
В силу соответствующей симметрии рассматриваемой системы, удобно
использовать цилиндрическую систему координат, в которой ось цилиндра совпадает с
осью z. Тогда, интересуясь лишь возмущениями с аксиальной симметрией, решения
волновых уравнений (1.9) и (1.10) будем искать в виде F (r , z )eit . В этом случае
плотность тока имеет единственную ненулевую компоненту J z . С учётом сказанного, а
также того, что рассматриваемая нанотрубка имеет бесконечно тонкие стенки,
плотности заряда и тока, входящие в правые части волновых уравнений, можно
представить через поверхностные величины, а именно
 ( r, z, t )   ( z )eit ( r  R)
(1.11)
J z ( r, z, t )  J z ( z )e  it ( r  R )
(1.12)
С учетом (1.11) и (1.12) волновые уравнения для потенциалов приобретают
следующий вид
( r, z ) 
Az (r , z ) 
 2
c
2
 2
c
2
 ( r, z )  
Az (r , z )  
4

 ( z ) ( r  R) ,
4
J z ( z ) (r  R) .
c
(1.13)
(1.14)
Уравнение (1.14) представляет собой, очевидно, z-компоненту векторного волнового
уравнения (1.10). Две другие компоненты векторного потенциала в рассматриваемой
ситуации отсутствуют.
Определим преобразование Фурье по координате z и обратное к нему
соотношениями
L
1
fˆ (k ) 
L
f ( z) 
2

dze  ikz f ( z )
(1.15)
1
eikz fˆ (k ) ,

L k
(1.16)
L
2
2
n , n . Тогда применяя преобразование Фурье к уравнениям (1.13) и (1.14),
L
можно получить
где k 

 2  ˆ
4
2


k

 ( r, k )  
ˆ (k ) ( r  R)
 2
2 
c 


(1.17)

 2  ˆ
4 ˆ
2


k

A (r , k )  
J z (k ) (r  R) ,
 2
2  z
c 
c

(1.18)
7
где
2 
через
2
обозначена радиальная часть двумерного оператора Лапласа:

1 

.
2
r
r r
2
Уравнение неразрывности, которое следует из уравнений (1.1) и (1.3), а именно,
divJ 

0 ,
t
(1.19)
k ˆ
J z (k ) .
(1.20)
в фурье-представлении принимает вид
ˆ ( k ) 

В силу калибровки Лоренца (1.8) фурье-образы скалярного и векторного потенциалов
связаны между собой соотношением
 ˆ
(r , k )  Aˆ z (r , k ) .
(1.21)
ck
С использованием соотношений (1.20) и (1.21) нетрудно убедиться в эквивалентности
уравнений (1.17) и (1.18). Поэтому далее будем рассматривать только волновое
уравнение (1.18) для векторного потенциал, имея в виду, что скалярный потенциал
выражается при этом с помощью (1.21).
Уравнение (1.18) следует рассматривать совместно с материальным уравнением,
устанавливающим связь между поверхностной плотностью тока Jˆ (k ) векторным
z
потенциалом Aˆ z ( R, k ) . Чтобы конкретизировать эту связь, воспользуемся линейной
формой закона Ома в пренебрежении эффектами пространственной нелокальности
проводимости:
J z ( z )   ( z ) Ez ( R, z ) .
(1.22)
При этом предполагается , что неидеальность нанотрубки моделируется слабой
случайной неоднородностью ее локальной проводимости в направлении вдоль оси
трубки:
 ( z )   0 (1   ( z)) .
(1.23)
В свою очередь, для проводимости  0 воспользуемся выражением, получаемым в
простейшей модели проводимости электронного газа (модель Друде):
n0e2
0  i
,
me
(1.24)
где me - эффективная масса электронов, а n0 - их поверхностная концентрация в
нанотрубке.
С учетом соотношений (1.23) и (1.7) выражение (1.22) для поверхностной плотности
тока может быть записано как
8
i


J z ( z )   0 (1   ( z )) E z ( R, z )   0 (1   ( z ))   ( R, z )  Az ( R, z )  .
c
 z

Чтобы полученное выражение записать в фурье-представлении, воспользуемся тем, что
фурье-образ произведения функций имеет вид свертки их фурье-образов
L
1
L
L
2

L
dze
 ikz
2
1
g ( z) f ( z) 
L
L
1
1

L k' L

2

L
2
2

L
2
dzeikz g ( z )
1
eik ' z fˆ (k ') 

L k'
1
dzei ( k k ') z g ( z ) fˆ (k ') 
gˆ (k  k ') fˆ (k ')

L k'
.
Учитывая, кроме того, связь фурье-образов скалярного и векторного потенциалов (1.19)
, для Jˆ (k ) после некоторых преобразований получим
z
 2  2  ˆ
i 0c  2  2  ˆ
i 0c 1
ˆ
ˆ
J z (k )  
k  2  Az ( R, k ) 
 (k  s)  s  c2  Az ( R, s) . (1.25)
 
c 
 L s


Подставляя найденное выражение для плотности поверхностного тока в (1.19),
получаем замкнутое интегро-дифференциальное уравнение для векторного потенциала
Aˆ (r, k ) , отвечающего электромагнитному полю собственных колебаний в исследуемой
z
системе:

2
4 i 0  2 ˆ
1

  k2  Aˆ z ( r, k )   ( r  R )
 k Az ( R, k ) 
ˆ (k  s ) s2 Aˆ z ( R, s)  (1.26)


  
L s

где
 q2  q 2 
 2
c2
(1.27)
Наличие неоднородности проводимости нанотрубки приводит к связыванию
компонент поля с различными волновыми векторами, что обеспечивает, в частности,
возможность связи потенциальных колебаний в нанотрубке (коротковолновых
плазмонов) с полем излучения. Уравнение (1.26) составляет основу дальнейшего
рассмотрения.
9
Плазменные волны в идеальной нанотрубке.
Рассмотрим вначале ситуацию, когда исследуемая нанотрубка идеальна
(однородна по структуре), то есть в отсутствие неоднородной добавки к проводимости.
В этом случае уравнение (1.26) сводится к

2
4 i 0 2 ˆ
  k2  Aˆ z ( r, k )   ( r  R )
 k Az ( R, k ) .
(2.1)
 
Данное уравнение имеет вид одномерного неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка. Так как вся неоднородность этого уравнения
сосредоточена на границе трубки (r=R), то решение данного уравнения можно найти
стандартным образом, произведя на границе сшивку решений соответствующего
однородного уравнения для областей внутри трубки (r<R) и снаружи (r>R).
Однородное дифференциальное уравнение

2
  k2  Aˆ z (r , k )  0 ,
(2.2)
после перехода к безразмерной переменной z   k r , принимает вид уравнения Бесселя
нулевого порядка. Интересуясь теми решениями, которые отвечают распространению
плазменных волн, локализованных на трубке (поле таких волн монотонно стремится к
нулю при r   ), замечаем, что такие решения возможны только в области, где фазовая
скорость волны меньше скорости света в среде, то есть при k 2 
 2
. При выполнении
c2
этого условия уравнение (2.2) можно привести к виду модифицированного уравнения
Бесселя нулевого порядка (уравнение Бесселя мнимого аргумента). Решениями такого
уравнения могут выступать функции Инфельда и Макдональда.
1

( z 2)
2
I ( z ) 
dt (1  t ) 2 ch( zt )
 (  1 2) 1
1
(2.3)


1
 
1
 z
t 
K ( z ) 
e  dte  t t 2 1  
(  1 2) 2 z 0
 2z 
1
2
(2.4)
Учитывая, что векторный потенциал поля волны не имеет разрыва на поверхности
трубки, а также из требования его конечности на оси цилиндра и стремления к нулю
при бесконечном удалении от оси, получаем решение уравнения (2.2) в следующем
виде:
 PK0 ( k R) I 0 ( k r )
Aˆ z ( r, k )  
 PK0 ( k r ) I 0 ( k R)
rR
rR
,
(2.5)
где P - произвольная постоянная. Далее, интегрируя уравнение (2.1) по бесконечно
малой окрестности точки R, можно получить условие сшивки производных векторного
потенциала на поверхности трубки в следующем виде
 ˆ

4 i 0 2 ˆ
Ak ( r, k )
 Aˆk ( r, k )

 A ( R, k ) .
r
r
  k k
r R
r R
10
(2.6)
Подставляя выражения (2.5) для векторного потенциала
функций Бесселя справедливы тождества
в (2.6),учитывая, что для
 
z I ( z )   z  I 1 ( z )

z
(2.7)
 
 z K ( z )    z  K 1 ( z ) ,
z
(2.8)
и
после некоторых преобразований получаем
2 
4 n0e2
K 0 ( k R) I 0 ( k R)
.
k
 me
K1 ( k R) I 0 ( k R)  K 0 ( k R) I1 ( k R)
(2.9)
При этом использовано также явное выражение (1.24) для проводимости  0 .
Уравнение (2.9) и является искомым дисперсионным уравнением - при заданном
значении волнового вектора оно определяет соответствующую частоту плазменной
волны. Область его применимости не ограничивается условием малости фазовой
скорости волны.
1/2

 2 
В пределе малых фазовых скоростей, когда  k   k 2  2   k , уравнение (2.9)
c 

сводится к раннее полученному в работах [18,19] выражению для частоты плазменных
волн на поверхности нанотрубки в потенциальном приближении.
В длинноволновой области, при  k R
1 , для функций Инфельда и Макдональда в
(2.9) можно использовать следующие приближенные выражения
I0 ( z)  1
(2.10)
z
z 0 2
(2.11)
z 0
I1 ( z ) 
2
z
(2.12)
1
,
z
(2.13)
K 0 ( z )  ln
z 0
K1 ( z ) 
z 0
где   1.78 – константа Эйлера. В этой области дисперсионное уравнение (2.9)
принимает вид
 2 
4 n0e2 2
 
 k R ln 
 .
 me
  k R 
2
(2.14)
Следует отметить, что в случае, когда выполнено двойное неравенство
R / c  kR  1 , уравнение (2.14) приводит к известному закону дисперсии плазмонов
в одномерном проводнике, например, в квантовой проволоке.
11
Учёт неоднородности проводимости.
 ( z)  1 , решение уравнения (1.26), учитывающее
В случае  ( z )  0 , но
зацепление мод с различными длинами волн, можно строить по теории возмущений.
Считаем, что изначально в нанотрубке был возбуждён плазмон с некоторым волновым
вектором k  k0 таким, что k 
 2
. Тогда фурье-компоненты поля при всех k '  k0
c2
возникают только в результате рассеяния исходной волны на неоднородностях
структуры трубки. Как следствие, в линейном по степени неоднородности
проводимости приближении из (1.26) находим, что уравнение для величин Aˆ (r, k ') при
2
0
z
k '  k0 имеет следующий вид:

2
  k2'  Aˆ z ( r, k ')   ( r  R )
4 i 0  2 ˆ
1

 k ' Az ( R, k ') 
ˆ (k ' k0 ) k20 Aˆ z ( R, k0 )  . (3.1)

  
L

Полагая, что добавка к проводимости носит случайный характер (α(z) есть
случайная функция, среднее значение которой по достаточно большой длине
нанотрубки равно нулю), имеем в фурье-представлении равенство
ˆ (k ) k 0  0 .
(3.2)
В силу условия (3.2) исходное уравнение (1.26) при k  k0 будет содержать под знаком
суммы в правой части только слагаемые с волновыми векторами k '  k0 :

2
4 i 0  2 ˆ
1
  k20 Aˆ z ( r, k0 )   ( r  R )
  k0 Az ( R, k0 ) 
  
L

 ˆ (k
s  k0
0

 s ) s2 Aˆ z ( R, s )  (3.3)

Чтобы найти поправку к дисперсионному уравнению (2.9), прежде всего необходимо,
решая уравнение (3.1), выразить Aˆ ( R, k ') через Aˆ ( R, k ) и подставить полученное
z
z
0
выражение в уравнение (3.3). Уравнение (3.1), как и рассмотренное в предыдущей части
уравнение (2.1) для векторного потенциала в случае идеальной трубки, представляет
собой одномерное дифференциальное уравнение с неоднородностью сосредоточенной
лишь на поверхности цилиндра (r=R); поэтому для вкладов с волновыми векторами k’
такими, что фазовая скорость соответствующей волны не превышает скорости света в


 2
среде  k '2  2   k2  0  решение уравнения (3.1) будет иметь тот же вид, что и для
c


идеального случая (2.5):
 P ' K0 ( k ' R) I 0 ( k 'r )
Aˆ z (r , k ')  
 P ' K0 ( k ' r ) I 0 ( k ' R)
rR
rR
.
(3.4)
Для тех же вкладов в поле плазменной волны, у которых волновой вектор


 2
отвечает фазовой скорости, превышающей скорость света  k '2  2   k2  0  ,
c


соответствующее однородное уравнение
12

2

  k2' Aˆ z (r , k ')  0 ,
после введения безразмерной переменной z   k ' r , сводится к уравнению Бесселя
нулевого порядка вещественного аргумента (в отличие от ранее рассмотренного случая,
когда однородное уравнение приводилось к модифицированному уравнению Бесселя).
Решениями такого уравнения в рассматриваемом случае могут выступать функции
Бесселя и Ханкеля

1
1

( z 2)
2
2
dt
(1

t
)
cos( zt ) ,

 (  1 2) 1
J ( z ) 
(3.5)

 
1
i( z   )
 
z
it 
H ( z ) 
e 2 4  dte  zt t 2 1  
 (  1 2)
 2
0
Известно,
свойствами:

(1)
2
что
данные
функции
обладают
1
2
.
следующими
(3.6)
рекуррентными
 
z J ( z )    z  J 1 ( z ) ,

z
(3.7)
  (1)
z H ( z )    z  H(1)1 ( z ) .

z
(3.8)
Непрерывное решение, конечное на оси трубки и имеющее вид уходящей волны
вне цилиндра записывается в виде
(1)

CH 0 (  k ' R) J 0 (  k ' r )
ˆ
Az (r , k ')  
(1)

CJ 0 (  k ' R) H 0 (  k ' r )
rR
rR
.
(3.9)
Условие сшивки производных на поверхности трубки получаем, интегрируя
уравнение (3.1) по переменной r от R-0 до R+0
 ˆ

4 i 0  2 ˆ
1

Az (r , k ')
 Aˆ z (r , k ')

 k ' Az ( R, k ') 
ˆ (k ' k0 ) k20 Aˆ z ( R, k0 )  . (3.10)

r
r
  
L

r R
r  R
Используя явный вид решений (3.4) и (3.9), из условия (3.10) при учете соотношений
(2.7) и (2.8), а также (3.7) и (3.8) можно найти связь между Aˆ z ( R, k ') и Aˆ z ( R, k0 ) . Так, при
выполнении неравенства k '2 
 2
c2
имеет место следующее выражение
4 n0 e2
1
 k0
ˆ (k ' k0 )
2

m

L
e
Aˆ k ( R, k ') 
Aˆ z ( R, k0 ) ,
 K 0 ( k ' R) I1 ( k ' R)  K1 ( k ' R) I 0 ( k ' R) 4 n0e 2


 

K 0 ( k ' R) I 0 ( k ' R)
 me 2 k ' 

13
(3.11)
а при k '2 
 2
c2
получаем
4 n0 e 2
1
 k0
ˆ (k ' k0 )
2
 me
L
ˆ
Az ( R, k ')  
Aˆ z ( R, k0 ) (3.12)
 H 0(1) (  k ' R) J1 (  k ' R)  H1(1) (  k ' R) J 0 (  k ' R ) 4 n0 e 2


 

H 0(1) (  k ' R) J 0 (  k ' R )
 me 2 k ' 

Подставляя найденные выражения (3.11) и (3.12) в уравнение (3.3) и интегрируя
получившиеся выражение по бесконечно малой окрестности точки r  R , можно
получить дисперсионное уравнение для плазменной волны с учетом поправки,
порождаемой слабой неоднородностью трубки:
 
2
4 n0 e 2 k0
K 0 ( k0 R) I 0 ( k0 R )
 me
K1 ( k0 R) I 0 ( k0 R)  K 0 ( k0 R) I1 ( k0 R)


4 n0 e 2
  , k0       , k0   
1 
2  
  me L


.
(3.13)
Для компактности записи в (3.13) введены обозначения
    , k0  

 k2 '  0
 k ' ˆ (k0  k ')
K 0 ( k ' R) I1 ( k ' R)  K1 ( k ' R) I 0 ( k ' R) 4 n0e 2


K0 ( k ' R) I 0 ( k ' R)
 me 2 k '
2
(3.14)
и
    , k0  

 k2 '  0
 k ' ˆ (k0  k ')
H 0(1) (  k ' R) J1 (  k ' R)  H1(1) (  k ' R) J 0 (  k ' R) 4 n0 e2


H 0(1) (  k ' R) J 0 (  k ' R)
 me 2 k '
2
(3.15)
Вклад в (3.13), содержащий  ,k0  , учитывает процессы рассеяния исходной волны в
состояния поля, локализованные в окрестности нанотрубки. В свою очередь, слагаемое
с  ,k0  учитывает эффекты рассеяния исходной волны на неоднородностях
проводимости нанотрубки, сопровождающегося излучением электромагнитных волн.
Интересуясь эффектом именно радиационного распада плазмонов, в следующем
разделе мы рассмотрим вклад с  ,k0  более подробно.
14
Радиационное затухание плазменных волн.
Как уже указывалось, эффекты рассеяния исходной волны на неоднородностях
проводимости нанотрубки, сопровождающегося излучением электромагнитных волн, в
том числе – излучательное затухание плазменной волны, распространяющейся вдоль
нанотрубки, учитываются вкладом в дисперсионном уравнении (3.13), содержащим
 ,k0  . Это объясняется тем, что только при k 2 
2
выражение для векторного
c2
потенциала поля имеет вид уходящей волны при r   , как это следует из
асимптотического поведения функции Ханкеля. В качестве примера для оценки
радиационного вклада в затухание плазмонов рассмотрим случай, когда исходное
возбуждение лежит в коротковолновой области, так что выполнено условие

k0  1/2  k r . Очевидно, что основное поле такой волны является почти
c
потенциальным.
Суммирование в выражении (3.15) идет по области значений k  , определяемой
условием k   kr . При выполнении условия kr  k0 имеем k   k0 , что позволяет в
ˆ (k )
случае достаточной гладкости функции
равенством
воспользоваться приближенным
ˆ (k0  k ')  ˆ (k0 ) . В этих условиях выражение для  ,k0  можно
2
2
представить в виде
    , k0  
ˆ (k0 )
2
R
zk 
,
J1 ( zk  ) H1(1) ( zk  )

 bzk 
J 0 ( zk  ) H 0(1) ( zk  )

k   kr
(4.1)
где введено обозначение zk    k ' R , а параметр b определен равенством
b
4 n0 e 2 1
.
 me R  2
Рассматривая длинноволновый предел  k ' R  zk 
(4.2)
1 , функции Бесселя и Ханкеля
в (4.1) можно заменить соответствующими приближенными выражениями:
J 0 ( z)  1 ,
(4.3)
z
,
z 0 2
(4.4)
z 0
J1 ( z ) 
H 0(1) ( z )  1  i
z 0
H1(1) ( z ) 
z 0
2

ln
z
,
2
z
21
i
,
2  z
15
(4.5)
(4.6)
где
 – константа Эйлера. С использованием соотношений (4.3) – (4.6) получаем для
 ,k0  после несложных преобразований, пренебрегая малыми членами, следующее
выражение:
ˆ (k0 )
    , k0  
2
R
z
k   kr
2
k
 zk   
 ln  i  .
2
 2
(4.7)
Для мнимой части величины  ,k0  , которая и отвечает интересующему нас
радиационному затуханию исследуемых волн, из полученного выражения имеем
Im    , k0   
 ˆ (k0 )
2
2R
z
k   kr
 ˆ (k0 ) R
2
2
k

2
 k
k   kr
2
r
 k 2  .
(4.8)
Переходя в (4.8) от суммирования по волновому вектору k  к интегрированию путем
замены


k   kr
L
2
kr
 dk 
,
(4.9)
 kr
Получим
Im   , k0   
ˆ (k0 ) RL
2
3
ˆ (k0 ) RL   1/2 
2
k 
3
r


 c 
3
3
(4.10)
Используя (4.10),из дисперсионного уравнения (3.13) получаем следующую оценку для
затухания плазменной волны в результате ее трансформации в излучение при
рассеянии на неоднородностях проводимости нанотрубки:
Im  2
2
4 n0 e2 ˆ (k0 ) R   1/2 



 me 2
3
 c 
2
3
(4.11)
Очевидно, что в силу малости поправки к частоте, обусловленной излучением, в
качестве величины  в правой части соотношения (4.11) следует использовать
решение дисперсионного уравнения (2.9) для частоты плазменной волны с волновым
вектором k0 в идеальной нанотрубке.
16
Заключение.
Проведенное рассмотрение иллюстрирует, каким образом учет запаздывания в
межэлектронном взаимодействии меняет результаты расчета спектра плазменных
волн в электронной системе нанотрубок,
полученные с использованием
потенциального приближении. Одним из следствий учета такого запаздывания
является модификация дисперсионных зависимостей плазменных волн. Явный вид
соответствующего дисперсионного уравнения для случая аксиально-симметричных
плазменных возбуждений в цилиндрической нанотрубке дается формулой (2.9).
Поправки к закону дисперсии весьма существенны в длиноволной области, где фазовая
скорость волны не может считаться пренебрежимо малой по сравнению со скоростью
света. Другое следствие непотенциальности поля заключается в возможности
трансформации плазменной волны в электромагнитное излучение в случае, когда, к
примеру, нарушена однородность свойств электронной системы нанотрубки. Формула
(4.11) дает оценку обусловленного такой трансформацией затухания плазмона в
нанотрубке,
неоднородность свойств которой моделируется наличием малой
случайной добавки к локальной проводимости. Следует отметить, что только на основе
полной системы уравнений Максвелла возможно описание как
указанной
трансформации, так и обратного процесса, в котором плазменные колебания в
нанотрубке возбуждаются внешним электромагнитным излучением.
В данной работе мы ограничились рассмотрением сравнительно простых ситуаций с
использованием моделей и приближений, когда интересующие нас результаты
оказывается возможным получить в явном аналитическом виде. Дальнейшее
исследование роли непотенциальности, в том числе - при описании коллективных
возбуждений более сложной симметрии в электронной плазме нанотрубок с
возможностью детального учета реальных особенностей их электронного спектра и
других характеристик, потребует проведения соответствующих численных расчетов.
17
Литература
1. Елецкий А.В. Углеродные нанотрубки// УФН -1997 -V.167. -N.9. -P.945-972.
2. Дьячков П.Н. Углеродные нанотрубки: строение, свойства, применения. // М.:БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2006. -293с.
3. Kroto H.W et al. C60: Buckminsterfullerene. // Nature -1985. –V.318 –P.162-163
4. Kraetschmer W. et al. C60: a new form of carbon. // Nature -1990. –V.347 –P.354-358
5. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon. // Nature –1991. –V.354. –P.56-58
6. Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V. et al. Reports electric field effect in atomically thin
carbon films. // Science. – 2004. – V. 306. P. 666–669.
7. Novoselov K.S., Geim A.K., Morozov S.V.et al. Two-dimensional gas of massless Dirac
fermions in graphene. // Nature. – 2005. – V. 438. – P. 197–200.
8. Kosiak M. et al. Superconductivity in ropes of single-walled carbon nanotubes.// Phys. Rev.
Lett. –2001. –V.86. –P. 2416–2419
9. Tang Z.K. et al. Ultra-small single walled carbon nanotubes and their superconductivity
properties. // Synthetic Met. –2003. –V.133-134. –P.689-693
10. Chopra N.G., Willaime F., Demoncy N. et al. Boron nitride nanotubes. // Science.–1995.–
V.269. –N.5226. –P.966-967
11. Cheetham A.K. Terrones H., Terrones M. et al. Metal particle catalyzed production of
nanoscale BN structures.//Chem. Phys. Lett. –1996. –V.259. –N.5-6. –P.568-573
12. Харламов А.И., Лойченко С.В., Кириллова Н.В., Фоменко В.В. Гетерогенный процесс
синтеза волокон карбида кремния. //Теор. эксп. Химия. –2002. –V.38. –N.1 –P.49-53
13. Харламов А.И., Кириллова Н.В. Газофазные реакции образования нанонитевидного
карбида кремния из порошкообразных кремния и углерода. //Теор. Эксп. Химия. –2002.
–V.38. –N.1 –P.54-58
14. Jensen H.,Koppe H. //Ann. Phys. –1971 –V. 63. –P. 586
15. Ермолаев А.М., Рашба Г.И., Соляник М.А. Электронные спиновые волны на
поверхности нанотрубки. // ФТТ –2011. – V.53 –N.8 –P.1518- 1522
16. Ермолаев А.М., Рашба Г.И., Соляник М.А. Коллективные возбуждения электронного
газа на поверхности нанотрубки в магнитном поле.//Физ.низ.темп. –2011, -V.37. –N.11. –
P.1156-1162
17. Витлина Р.З., Магарилл Л.И., Чаплик А.В. Коротковолновые плазмоны в
низкоразмерных системах.//ЖЭТФ. –2008. –V.133. –N.4. –P.906-913
18. Ведерников А.И., Говоров А.О., Чаплик А.В. Плазменные колебания в нанотрубках и
эффект Ааронова-Бома для плазмонов.// ЖЭТФ -2001. -V.120. -N.4(10). -P.979-985.
19. Lin and Kenneth M.F., Shung W.K. Elementary excitations in cylindrical tubules.
//Phys.Rev.B. –1993 –V.47. –P.6617-6624
18