Простые идеалы в частичных полукольцах непрерывных [0,∞]-значных функций М А

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2014
Вып.1(24)
МАТЕМАТИКА
УДК 512.556
Простые идеалы в частичных полукольцах
непрерывных [0,∞]-значных функций
Е. М. Вечтомов, Н. В. Шалагинова
Вятский государственный гуманитарный университет (ВятГГУ)
Россия, 610002, Киров, ул. Красноармейская, 26
vecht@mail.ru; korshunnv@mail.ru; (8332)67-88-54
Исследуются частичные полукольца C  X  непрерывных функций на топологических
пространствах X со значениями в полукольце [0, ∞], рассматриваемом с обычной топологией. Описаны максимальные идеалы и установлены основополагающие свойства про
стых идеалов в
C  X  .
Ключевые слова: частичное полукольцо непрерывных функций, максимальный идеал, простой идеал.
Введение
Идеал I полукольца S называется: собственным, если он отличен от полукольца;
строгим (полустрогим), если a+bI  a, bI
(a+b, aI  bI) для любых a, bS. Собственный идеал I полукольца S называется:
максимальным, если в S нет собственных идеалов, строго содержащих I; простым (полупростым), если для любых a, bS принадлежность abI влечет aI или bI (a2I влечет aI).
Мы будем рассматривать частичные
полукольца S, которые отличаются от полуколец только тем, что сумма или произведение
некоторых элементов в S могут быть не определены. Непустое подмножество I частичного
полукольца S называется идеалом в S, если
для любых x, yI и sS элементы x+y, sxI,
если они определены. Различные виды идеалов в частичных полукольцах определяются
точно так же, как в обычных полукольцах.
Замыкание подмножества A топологи-
В статье начато изучение нового объекта функциональной алгебры – частичных полуколец C  X  . Отметим, что кольца непрерывных функций определенного вида со значениями в расширенной числовой прямой
изучались в работе [7].
Некоторые результаты данной статьи
анонсированы в [8].
Дадим определения исходных понятий.
Полукольцом [2] называется алгебраическая система <S, +, ·, 0, 1>, в которой
<S, + ,0> – коммутативный моноид, <S, ·, 1> –
моноид, выполняются законы дистрибутивности операции умножения · относительно сложения +, тождественно 0·x=x·0=0 и 01.
Полукольцо с коммутативной операцией умножения называется коммутативным.
Элемент aS называется аддитивно (мультипликативно) поглощающим, если a+s=s+a=a
(as=sa=a) для любого sS.
Y
ческого пространства Y обозначим A , внутренность множества A – через A0.
© Вечтомов Е. М., Шалагинова Н. В., 2014
5
Е. М. Вечтомов, Н. В. Шалагинова
Пусть C(X) (C+(X)) – кольцо всех непрерывных (полукольцо всех непрерывных неотрицательных) действительнозначных функций
на топологическом пространстве X с поточечно
определенными операциями сложения и
умножения функций. Отметим, что основы
теории колец C(X) изложены в книге [3], полукольцам C+(X) посвящена монография [6].
Хаусдорфово пространство называется
тихоновским (хьюиттовским), если оно гомеоморфно (замкнутому) подпространству
некоторой тихоновской степени R. Хаусдорфово пространство X будет тихоновским тогда и только тогда, когда любые замкнутое
множество BX и точка xX\B функционально отделимы, то есть существует такая функция fC(X), что f=0 на B и f(x)=1.
Для любого тихоновского пространства
X существует стоун-чеховская компактификация βX [4], которая определяется следующими
условиями:
1) βX – компакт, то есть компактное хаусдорфово пространство;
2) X – плотное подпространство в βX, то
x·y[0, ∞], таким свойством не обладает.
Умножение непрерывно всюду, кроме случая
0·∞. Следовательно, [0, ∞] не является топологическим полукольцом.
Идеалами полукольца R+ будут: тривиальные идеалы – само полукольцо и нулевой
идеал, а также собственный идеал {0, ∞}, являющийся максимальным. Идеалы {0} и
{0, ∞} – простые.
Пусть C  X  – множество всех непрерывных функций на произвольном топологическом пространстве X со значениями в [0, ∞]
с поточечными операциями сложения и
умножения функций. Множество C  X  замкнуто относительно операции сложения, но
не обязано быть замкнутым относительно
умножения, так как произведение непрерывных функций может дать разрывную функцию. В C  X  полукольцевые тождества выполняются, если все участвующие в них произведения функций непрерывны. Поэтому
система C  X  является частичным полукольцом.
Непустое множество I  C  X  будет
X
есть X  X ;
3) любая ограниченная функция из C(X)
продолжается до некоторой функции из
C(βX).
К множеству R+ всех неотрицательных
действительных чисел присоединим элемент
«бесконечность» ∞ и обозначим полученное
множество [0, ∞]. С топологической точки
зрения [0, ∞]=R+  {∞} – одноточечная компактификация Александрова пространства R+,
рассматриваемого с обычной топологией.
Операции сложения и умножения чисел в
[0, ∞] определяются так же, как в R+, и для
любого a[0, ∞] выполняются равенства
∞+a=a+∞=∞ и 0a=a0=0, а также ∞a=a∞=∞
при a0. Число 0 остается в [0, ∞] мультипликативно поглощающим, элемент ∞ является
аддитивно поглощающим в [0, ∞] и мультипликативно поглощающим в (0, ∞].
Как алгебраический объект [0, ∞] будет
коммутативным полукольцом с единицей без
делителей нуля, причем все a(0, ∞) обратимы.
Алгебраическое полукольцо [0, ∞] не
будет топологическим. Операция сложения +:
[0, ∞][0, ∞]→[0, ∞], ставящая в соответствие
каждой паре (x, y)[0, ∞][0, ∞] элемент
x+y[0, ∞], непрерывна. Операция умножения
· : [0, ∞][0, ∞]→[0, ∞], ставящая в соответствие каждой паре (x, y)[0, ∞][0, ∞] элемент
идеалом в частичном полукольце C  X  , если
для любых f, gI и h C  X  функций
f+g, fhI при условии, что fh является непрерывной функцией.
В качестве иллюстрации рассмотрим
следующий пример. Пусть X – дискретное nэлементное пространство, nN. Непрерывными функциями в C  X  служат всевозможные
n-ки элементов из [0, ∞]. Любой идеал в
C  X  имеет вид I1I2...In, где IiId[0, ∞]. Число всех идеалов в полукольце C  X  равно 3n.
Максимальными идеалами будут идеалы I=I1I2...In, где Ik={0, ∞} для некоторого
k=1,...,n и Ij=[0, ∞] для всех j=1,...,n, jk. У
простых идеалов I k-я координата – это идеал
{0, ∞} или {0}, остальные координаты [0, ∞].
Таким образом, в C  X  существует ровно n
максимальных идеалов и 2n простых идеалов.
1. Предварительные сведения
Каждой функции f  C  X  сопоставляются: нуль-множество Z(f)=f −1(0), его
внутренность
Z0(f),
конуль-множество
cozf={xX: f(x)(0, ∞)} и замкнутое множе-
6
Простые идеалы в частичных полукольцах непрерывных [0,∞]-значных функций
На множестве C  X  определены опе-
ство H(f)=f −1(∞), также являющееся нульмножеством на X.
Лемма 1. Если функции f,g C  X  такие, что H(f)Z0(g) и H(g)Z0(f), то их произведение fg C  X  .
Доказательство. Если функция непрерывна на каждом из открытых множеств, покрывающих все пространство X, то она будет
непрерывна и на всем X. Возьмем открытые
множества A=X\(H(f)  H(g)) и B=Z0(f)  Z0(g).
По условию A  B=X. Функция fg непрерывна
на A, так как обе функции f и g принимают на
A значения из R+. На множестве B функция
fg=0 и поэтому непрерывна. Следовательно,
функция fg непрерывна на X. □
Для любой функции f C  X  определим функцию
, если x  Z f ;

1
f * x    f x  , если x  cozf ;
0, если x  H f .

Ясно, что f *  C  X  . Произведение
рации  и  , именно для любых f, g C  X 
и всех xX:
 f  g x   max  f x , g x  ,
 f  g x   min  f x , g x  .
Функцию-константу
со
значением
r[0, ∞] будем обозначать r.
Для функций f C  X  удобно ввести
обозначения
 f на f 1 0,1 ,
f 1  f  1  
1 на f 1 1, 
и
1

1 на f 0,1 ,
f 1  f  1  
1

 f на f 1,  .
Функции f, f(1) и f (1) связаны соотношениями
f 1  f  f 1 ,

Z f   Z f 1  ,
функций ff * равно 1 на cozf и 0 на
Z f   H  f  , поэтому не обязано быть непрерывной функцией. Непрерывность функции
ff * равносильна тому, что замкнутые множества Z f  и H  f  открыты. Поэтому частич-
h
r>0 существует степень f r C  X  функции f.
Лемма 2. Если P – полупростой идеал
частичного полукольца C  X  и fP, то f rP.
Доказательство.
Поскольку
f  f
1
2
f , то f
1
2
 P вместе с функцией f.
1
верно
f
2 f 
n
... f  P .
найдется такое nN, что
1
f  f
r
2n
r
f
r
Для
r>0
1
. Тогда
2n
1
2n
 
H f   H f 1 .
f 1  g 1
f
 g 1
на B. На каждом из множеств
A и B функция h непрерывна, значит, будет
A  B  X . Имеем
непрерывна и на
f(1)+g(1)=(f+g)(1)h. Числовая функция h−1 также
непрерывна и (f+g)(1)=(f(1)+g(1))h−1. □
Для любого пространства X существует
его тихоновизация X, для которой частичные
полукольца C  X  и C X  естественным
образом отождествляются (см. [5. C. 157]).
Поэтому можно считать все рассматриваемые
пространства тихоновскими.
Пусть X – тихоновское пространство.
Продолжение функции f C  X  на βX определяется единственным образом и обознача-
Поэтому для любого натурального числа n
2n
f  f 1 f 1 ,
Если P – простой идеал, то функция fP тогда
и только тогда, когда f(1)P или f(1)P.
Лемма 3.
Для
любых
функций
f , g  C  X  функции f(1)+g(1) и (f+g)(1) делятся друг на друга в полукольце C+(X).
Доказательство. Возьмем два замкнутых
множества
A={xX:(f+g)(x)≤1}
и
B={xX:(f+g)(x)≥1}. На множестве A выполняется равенство f(1)+g(1)=(f+g)(1), а на множестве B верно f(1)+g(1)≥(f+g)(1)=1. Определим
числовую функцию h, полагая h=1 на A и
ное полукольцо C  X  является полукольцом
тогда и только тогда, когда X будет Pпространством. Напомним, что тихоновское
пространство называется P-пространством,
если каждое нуль-множество открыто в нем [3].
Для любых функции f C  X  и числа
1
2

f  f 1  f 1  1 ,
P. □
7
Е. М. Вечтомов, Н. В. Шалагинова
ется f β C X  [4]. Для всякой функции
2. Максимальные идеалы в C  X 
f C X  имеем f=(f |X)β и для любой функ-
Зафиксируем точку pX. Следующие
множества будут идеалами в C  X  :
ции g C  X  выполняется равенство g=gβ|X..
Понятие изоморфизма частичных полуколец определяется естественным образом.
Частичные полукольца C  X  и C X  , вообще говоря, не изоморфны. Чтобы показать
это, достаточно взять X=(0, 1) неограниченную снизу функцию fC+(X) с Z(f)= и g=f−1.
Произведение fg=1 C  X  , но произведение
X
Mp={f C  X  : p Z f  },
X
Mp,∞={f C  X  : p Z f   H f 
X
Op={f C  X  : p  Z f   },



Op,∞={f C  X  :
0
β
 C
Если pX, то Mp={f C  X  | f(p)=0} и
Mp,∞={f C  X  | f(p){0,∞}}.
Для каждой точки pβX очевидны
включения OpMpMp,∞.
Лемма 5. Если идеал J частичного полукольца C  X  не лежит в Mp,∞, то существует функция gJ\Mp,∞ со значениями в
[0, 1].
Доказательство. Возьмем функцию
fJ\Mp,∞. В силу тихоновости компакта βX
найдется функция g1 C  X  , для которой
функций f β C X  . Функцию f  C  X 
назовем строго ограниченной, если значения
функции f лежат в некотором числовом отрезке [a, b], где 0<ab<∞. Функция f β C X 
обратима тогда и только тогда, когда функция
f строго ограничена.
Лемма 4. Для любой функции f C  X 
X
справедливы равенства Z (f )=  Z f  


0
β
X
0
0
g1  0 на некоторой окрестности V множе-
ства
X
Z f 
Так
и
Тогда

X
H( g 2 )= и p Hg 2  , откуда g2Mp,∞. Значит, функция fg2J\Mp,∞ – числовая и
g=fg21J – искомая функция со значениями
в [0, 1]. □
Лемма 6. Для любых двух различных
точек
p, qX
верно
равенство

Op  Oq  C  X  .
как
Доказательство. Точки p и q имеют
непересекающиеся окрестности Vp и Vq в  X.
В силу тихоновости пространства X найдутся такие функции f1, f2C+(X), что f1(p)={0},
f1(X\Vp)={1} и f2(q)={0}, f2(X\Vq)={1}. Рассмотрим
числовые
функции
g1=2((f1–
1/2)0)Op и g2=2((f2–1/2)0)Oq. Имеем
Z(g1)∩Z(g2)=. Поэтому функция g1+g2Op+Oq
обратима. Значит, Op+Oq= C  X  . □
Легко проверить, что идеалы Mp и Mp,∞ –
простые.
Действительно,
пусть

f, g, fg C  X  .
0
X
g1  p   1 .
имеем Z( g 2 )=Z( g1 ) и pZ( g 2 ). Поэтому
 Z f X  . Тогда непустое открытое в βX


X
и
VZ( g1 ) и pZ( g1 ). Для функции g2=g11
 Z(f β), то  Z f   Z0(f β). Дока

жем обратное включение. Предположим от
противного, что Z0(f β) не содержится в
множество Z0(f β)\ Z f 
что
невозможно.
X
Z f   H f 

0
X
H0(f β)=  H f   .


Доказательство.
0
X
X
p   Z f   или p   H f   }.




X  , так как найдется хотя бы одна
f g
точка pβX\X, в которой f β(p)=0 и g β(p)=∞.
Легко видеть, что частичные полукольца
C  X  и C X  изоморфны тогда и только
тогда, когда пространство X псевдокомпактно, то есть любая непрерывная функция X→R
– ограниченная.
В частичном полукольце C  X  функция f обратима тогда и только тогда, когда
H(f)  Z(f)=. Укажем критерий обратимости
β
},
0
содержится в βX\X,
Следовательно,
0
Z0 ( f  )   Z f   . Так как множество H(f)


является
нуль-имножеством
функции
*

f  C  X  , то доказательство леммы закончено. □
8
Простые идеалы в частичных полукольцах непрерывных [0,∞]-значных функций
X
Если p  Z fg
X
p  Z f 
X
 Z f 
X
или p  Zg 
X
p  H fg
X
 Zg 
симальные идеалы в C  X  имеют искомый
вид Mp,∞. □
Замечание 1. Подобно классической
теореме Гельфанда – Колмогорова для колец
C(X) на тихоновских пространствах X
[3, chap. 7] существует гомеоморфизм между
максимальным спектром частичного полукольца C  X  и компактификацией βX. Мно-
, то
. Аналогично, если
X
 H f 
X
 Hg  ,
то p  H f  или p  Hg  .
Теорема 1. Для любого тихоновского
пространства X максимальные идеалы в частичном полукольце C  X  суть в точности
идеалы Mp,∞, pβX, и каждый собственный
идеал в C  X  содержится в некотором максимальном идеале.
Доказательство. Докажем, что идеалы
вида Mp,∞ максимальны. Зафиксируем произвольную точку pβX. Пусть M – идеал в
C  X  , строго содержащий в себе идеал Mp,∞.
Покажем, что он совпадает со всем частичным полукольцом C  X  . Возьмем произX
X
жество Max C  X  всех максимальных идеа-
лов частичного полукольца C  X  с топологией Стоуна – Зарисского называется максимальным спектром частичного полукольца
В
результате
получаем
C  X  .
Max C  X  βX.
3. Простые идеалы в C  X 
Лемма 7. Если J – идеал частичного полукольца C  X  , pβX и Op∩C+(X)J, то
OpJ.
Доказательство. Пусть выполнено
условие леммы. Возьмем произвольную
функцию fOp и покажем, что fJ. Для этого
представим f=f·g, где gOp∩C+(X). Множество
вольную функцию f C  X  , такую, что
fM\Mp,∞. По лемме 5 существует числовая
ограниченная функция gM\Mp,∞. Так как
функция fgMp,∞, то pZ(fg). Найдется такая
X
функция hC+(X), что hβ  Z fg   ={1} и hβ=0


на некоторой окрестности точки p. Тогда по
лемме 4 hMp,∞M. Числовая функция
g+hM и Z(f+g)=. Следовательно, M содержит обратимый элемент, стало быть, совпадает с C  X  .
Пусть J – собственный идеал частичного полукольца C  X  . Покажем, что он содержится в идеале Mp,∞ для некоторой точки
pβX. Предположим от противного, что для
каждой точки pβX существует функция
 
X
X
0
βX\  Z f   = B замкнуто и pB. В силу ти

хоновости компакта βX найдется такая числовая функция hC+(X), что hβ(B)={1} и hβ(p)=0.


1
Положим g  2  h    0  . По лемме 4
2


0
X
Z0(gβ)=  Zg   ,
то
есть


gOp∩C+(X)J. Так как J – идеал, то f=fgJ. □
имеем
ция f= f p1 +...+ f p n J будет положительной в
Лемма 8. Если P – простой идеал в
 X  и PMp, pβX, то fP тогда и только
тогда, когда f(1)P для любой функции
f  C  X  .
Доказательство. Если f(1)P, то
f=f(1)f (1)P. Обратно, пусть fP, то есть
f(1)f (1)P. Тогда f(1)P или f (1)P. Так как
PMp, то f (1)Mp, стало быть, f(1)P. Следовательно, f(1)P. □
каждой точке пространства X и, следовательно, обратимой. Значит, идеал J= C  X  ; противоречие. Поэтому JMp,∞ для некоторой
точки pβX. Отсюда следует также, что мак-
Теорема 2. Для произвольного тихоновского пространства X любой простой идеал P частичного полукольца C  X  обладает
следующими свойствами:
fpJ\Mp∞, то есть p  Z f p
(по лемме 5
C
можно считать функцию fp числовой). Рассмотрим
открытое
покрытие
X
 X \ Z f  
пространства βX. Выберем
p

 pX
из
него
конечное
подпокрытие
 
βX\ Z f p1
X
 
,…, βX\ Z f pn
X
. Числовая функ-
9
Е. М. Вечтомов, Н. В. Шалагинова
1) P содержит идеал Op для некоторой
однозначно определенной точки pβX;
2) если OpP при pβX, то PMp,∞;
3) если PM p , pβX, то P – строгий
идеал;
4) если OpP для некоторой точки pβX
и P не содержится в Mp, то идеал P не является полустрогим и Op,∞P.
Доказательство. 1. Пусть P – простой
идеал в C  X  . Докажем, что найдется такая
точка pβX, что OpP. Предположим от противного, что для каждой точки pβX найдется
функция fpOp\P. В силу леммы 7 эту функцию будем считать числовой. Выберем в отX 0 

крытом покрытии  Z f p   
компакта
  pX


βX конечное подпокрытие  Z f pi

Рассмотрим случай, когда Z(f)=.
Найдутся окрестность V точки p в βX и функция g C  X  со значениями в [1, ∞], для которых gβ(βX\H0(f β))={∞} и gβ(V)={1}. Произведение fg=∞P. Поскольку gMp,∞, то gP.
Значит, fP.
Пусть теперь Z(f). В тихоновском
пространстве βX найдутся окрестность V точки p и функция h C  X  со значениями в
[1, ∞], для которых h(βX\H0(f β))={1} и
hβ(V)={∞}. Имеем fh=f, pH0(hβ) и hOp,∞\Op.
По предыдущему случаю hP. Значит,
f=fhP. □
Теорема 2 влечет:
Следствие 1. Каждый простой идеал
частичного полукольца C  X  содержится в
единственном максимальном идеале.
Следствие 2. Для любого простого идеала P в C  X  эквивалентны следующие
условия:
1) P – строгий;
2) P – полустрогий;
3) PMp для единственной точки pβX.
Поскольку Mp – строгие простые идеалы, то из следствия 2 вытекает
Теорема 3. Для любого тихоновского
пространства X идеалы Mp, pβX, суть в точности максимальные среди строгих (полустрогих) простых идеалов частичного полукольца C  X  .
0
 
.

 i 1.. n
Все произведения f p1  f p 2 , ..., f p1  f p2  ...  f pn
 
X
лежат в C+(X), причем f p1  f p2  ... f pn  0 P,
что противоречит простоте идеала P.
Единственность идеала OpP вытекает
из леммы 6.
2. По условию OpP. В силу теоремы 1
PMq,∞ для некоторой точки qβX. Так как
OqMq,∞, то p=q по лемме 6.
3.
Пусть
f+gP
для
функций

f , g  C  X  . Поскольку PMp, то по лемме 8
функция (f+g)(1)P. По лемме 3 числовые
функции f(1)+g(1) и (f+g)(1) делятся друг на друга. Значит, f(1)+g(1)P∩C+(X). Простой идеал
P∩C+(X) будет строгим в полукольце C+(X)
[1, С.501]. Откуда f(1)P∩C+(X). Поэтому
f=f (1)f(1)P. Следовательно, идеал P строгий.
4. Пусть OpP для некоторой точки
pβX и P не содержится в Mp. В силу 2)
PMp,∞. Значит, существует функция fP, для
4. Приложения
Для произвольной функции f C  X 
имеем:
x  X H f     f  M p,  f  M p ,


x  X Z f      f  M
p ,
 f M p

.
Поэтому в силу теорем 1 и 3 имеет место
Лемма 9. Для любой функции f C  X 
справедливы следующе утверждения:
1) H(f)= тогда и только тогда, когда
для любого максимального идеала M частичного полукольца C  X  , если fM, то fP для
максимального строгого простого идеала
PM;
2) Z(f)= тогда и только тогда, когда
для любого максимального идеала M частичного полукольца C  X  , если fM, то fP для
максимального строгого простого идеала
PM.
X
которой p H f  . В силу тихоновости пространства βX найдутся такие функция gC+(X)
и окрестность U точки p в βX, что
X
g   Z f   ={1} и gβ(U)={0}. Получаем


gOpP, f+gP и Z(f+g)=. Поэтому
∞=(f+g)∞P. Следовательно, идеал P не является полустрогим, так как 1+∞=∞.
Покажем, что Op,∞P. Для этого достаточно проверить, что Op,∞\OpP. Пусть
fOp,∞\Op. Тогда pH0(f β) по лемме 4.
10
Простые идеалы в частичных полукольцах непрерывных [0,∞]-значных функций
существует такая функция g C  X  , что
fgf=f.
Предложение 3. Для любой точки pβX
равносильны следующие утверждения:
По лемме 9 условия H(f)= и Z(f)=
выражаются на алгебраическом языке частичного полукольца C  X  . Поэтому справедливо утверждение:
Предложение 1. Для любого изоморфизма
: C  X   C Y 
выполняется
(C+(X))=C+(Y).
Из предложения 1 и [6] вытекает
Теорема 4. Любое хьюиттовское пространство X определяется однозначно, с точностью до гомеоморфизма, частичным полукольцом C  X  .
Заметим, что множество M p  O p, яв-
1) p – F-точка;
2) Op – простой идеал;
3) Op,∞ – простой идеал;
4) M p  O p, – простой идеал.
В самом деле, в силу леммы 4 верны
импликации 1)  2) 3) 4) 1). □
Из предложения 3 и теоремы 2 вытекает
Следствие 4. Для любого тихоновского
пространства X эквивалентны условия:
1) X – F-пространство;
2) βX – F-пространство;
3) минимальные простые идеалы в

C  X  суть в точности идеалы Op, pβX.
Отметим, что эквивалентность условий
1) и 2) следствия 4 хорошо известна
[3, chap. 14].
Замечание 2. При исследовании идеалов частичных полуколец непрерывных
функций можно применить метод соответствий между решеткой IdC  X  идеалов ча-
ляется идеалом в C  X  для любой точки
pβX. Действительно, Mp и Op,∞ – идеалы и
M p  O p,  M p  O p, .
Тихоновское пространство называется и
F-пространством, если любые два его непересекающиеся конуль-множества функционально отделимы (см. [3]). Так как H(f)=Z(f *)
для всех f C  X  , то можно дать следующие
определения F-точки и P-точки.
Точка p пространства X называется Pточкой, если для любой функции f C  X  из
pZ(f) следует, что pZ0(f), равносильно,
pH(f) влечет pH0(f). Точка p пространства X
называется F-точкой, если для любых функций f,g C  X  из pZ0(fg) следует, что
pZ0(f) или pZ0(g), эквивалентно pH0(fg)
влечет pH0(f) или pH0(g).
Легко видеть, что тихоновское пространство
будет
P-пространством
(Fпространством) тогда и только тогда, когда
все его точки являются P-точками (соответственно, F-точками).
Предложение 2. Для любой точки pX
эквивалентны следующие утверждения:
1) p – P-точка;
2) Op=Mp;
3) Op,∞=Mp,∞;
4) M p  O p ,  M p , .
стичного полукольца C  X  и решеткой
IdC+(X) идеалов полукольца C+(X), рассматриваемых относительно включения  идеалов.
Положим
 : IdC  X   IdC   X  ,  I   I  C   X  ,
 : IdC   X   IdC  X  ,
  J  – идеал в C  X  , порожденный J.
Отображение
γ
является
гомоморфизмом, δ сохраняет отношение .
Отметим, что идеалы вида γ(I) – полупростые.
1
В самом деле, если f 2   I  , то  C   X  и
f
1
f  f 2  I  C   X    I  .
f
В качестве иллюстрации такого подхода
укажем доказательство свойства 3) теоремы 2.
Идея применения соответствий γ и δ к
изучению частичных полуколец C  X  будет
развита авторами в очередной работе.
Очевидно, что 1)  2) 3) 4) 1). □
Следствие 3. Для тихоновсого пространства X эквивалентны условия:
1) X – P-пространство;
2) C  X  – полукольцо;
3) частичное полукольцо
C
лярно, то есть для любой функции
X 
Список литературы
регу-
f C
1. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеа-
X 
11
Е. М. Вечтомов, Н. В. Шалагинова
2.
3.
4.
5.
лы, конгруэнции // Фундаментальная и
прикладная математика. 1998. Т. 4, № 2.
С. 493–510.
Golan J. S. Semirings and their applications.
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers,
1999. 381 p.
Gillman L., Jerison M. Rings of continuous
functions. N.J.: Springer-Verlag, 1976.
300 p.
Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир,
1986. 752 c.
Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н., Чермных В. В. Элементы теории полуколец.
Киров: Изд-во ООО "Радуга-ПРЕСС",
2012. 228 c.
6. Вечтомов Е. М., Сидоров В. В., Чупраков Д. В. Полукольца непрерывных функций. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2011. 312 c.
7. Ipate D., Lupu R. About rings of continuouse
functions in the expanded field of numbers //
Buletinul academiei de stiinte a republicii
Moldova. Matematica. 2010. № 1(62).
P. 47–54.
8. Вечтомов Е. М., Шалагинова Н. В. О частичных полукольцах непререрывных
[0, ∞]-значных функций // Современные
проблемы математики и ее приложений:
труды 45-й Международной молодежной
школы-конференции, посвященной 75летию В. И. Бердышева. Екатеринбург:
ИММ УрО РАН, 2014. С. 16–19.
Prime ideals in the partial semirings of
continuous [0, ∞]-valued functions
E. M. Vechtomov, N. V. Shalaginova
Vyatka State Humanities University, Krasnoarmeyskaya Street, 26, Kirov, Russia, 610002
vecht@mail.ru; korshunnv@mail.ru: (8332)67-88-54
Partial semirings C  X  of continuous functions on topological spaces X with values in the
semiring [0, ∞] considered with the usual topology are investigated. In the partial semirings
C  X  maximal ideals are described and fundamental properties of prime ideals are estab-
lished.
Key words: partial semiring of continuous functions; maximal ideal; prime ideal.
12