Часть 1 - Кафедра ?Физика горных пород и процессов?

Федеральное агентство по образованию
Московский государственный горный университет
Кафедра физики горных пород и процессов
Допущено Учебно-методическим объединением
вузов Российской Федерации по образованию в области
горного дела в качестве учебного пособия для студентов
вузов, обучающихся по направлению подготовки
«Горное дело»
И. М. Шведов
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО ГИДРОМЕХАНИКЕ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ
ЗАНЯТИЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Физические свойства жидкостей, гидростатическое давление при относительном равновесии
ЧАСТЬ I
Москва – 2008
УДК 532.5(075.8):622.5
Шведов И.М. Сборник задач и упражнений по гидромеханике для практических занятий и самостоятельной работы. - Учебное пособие.
Часть I. Физические свойства жидкостей, гидростатическое давление
при относительном равновесии. М.: МГГУ, 2008. – 135 с.
Рассмотрены основные понятия и положения раздела гидростатики из теоретической и прикладной гидромеханики. Приведены примеры подробного решения
задач на физические свойства жидкостей, определения величины гидростатического
давления при относительном равновесии.
По каждому из разделов предложены задачи различной сложности для практических занятий и варианты задач для самостоятельных работ. Приведены указания к решению задач и ответы для самопроверки.
Сборник содержит 363 задачи и упражнения для практических занятий и самостоятельной работы, из них 200 вариантов заданий для самостоятельной работы
на физические свойства жидкостей и расчетов элементов гидростатических машин и
приводов, 135 задач и упражнений из раздела гидростатики, подробно разобраны 28
типовых задач.
Сборник рекомендован для студентов вузов, обучающихся по направлению
подготовки «Горное дело».
Рецензенты:
Астрахан И.М., канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Нефтегазовая и подземная гидромеханика» Российского государственного университета нефти и газа;
Бинги В.Н., докт. физ.-мат. наук, заведующий лабораторией Института общей физики РАН
© Московский государственный горный университет, 2008
© И.М.Шведов, 2008
2
Содержание
Введение………………………………………………………………….....7
1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ
1.1 Основные понятия и модели, используемые в гидромеханике….....10
1.2 Плотность ……………………………………………………….……..11
1.3 Удельный вес ………………………………………………………….12
1.4 Коэффициент объемного сжатия………………………………..……12
1.5 Коэффициент температурного расширения …………………………13
1.6 Вязкость……………..……………………………………………….…14
1.7 Поверхностное натяжение, смачивание, капиллярные явления ...…15
1.8 Примеры решения задач........................................................................24
1.9 Задачи ……………………………………………………………….…36
1.10 Варианты заданий для самостоятельной работы …………….……39
1.11 Ответы, указания к решению задач …………………...……………50
2 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
2.1 Силовое поле в жидкости…………………………………………..…56
2.2 Гидростатическое давление и его свойства……………………….…57
2.3 Основное уравнение гидростатики. Гидростатический напор..……58
2.4 Передача силы и давления через жидкость. Простейшие гидравлические машины ………...………..…………………………….…………60
2.5 Примеры решения задач………………………………………………62
2.6 Задачи…………………………………………………………………..70
2.7 Самостоятельные работы для расчета элементов гидростатических
машин и приводов………………..…………….……………………...71
3
2.8 Ответы, указания к решению задач…………………………...…......98
3 ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ ПРИ ОТНОСИТЕЛЬНОМ РАВНОВЕСИИ
3.1 Понятие относительного равновесия жидкости…………………....103
3.2 Прямолинейное равноускоренное или равнозамедленное
движение ……………………….………………………………….....103
3.3 Относительное равновесие при вращении вокруг вертикальной
оси ………………………………………………………………….....104
3.4 Примеры решения задач……………………………...…………..….105
3.6 Задачи…………………………………………...............…………….111
3.7 Ответы, указания к решению задач ………………………..…….....118
Список использованных источников……………………………..……120
ПРИЛОЖЕНИЕ А Единицы величин, применяемые в гидромеханики
согласно ГОСТ 8.417-2002………………………………...……...….....122
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Физические свойства жидкостей……………...…..126
ПРИЛОЖЕНИЕ В Радиус кривизны…………..……………….…..….133
4
Условные обозначения
ρ
- плотность, кг/м3
M, m
Ω,
- масса, кг
- объём, м3
ω
- площадь, м2
γ
- удельный вес, Н/м3
G
- вес (сила тяжести), Н
g
- ускорение свободного падения, м/с2
- модуль постоянного ускорения, м/с2
ω
- угловая скорость, с-1

- коэффициент объемного сжатия, Па-1
t
- температурный коэффициент объемного расширения, 0С -1
E0
- модуль упругости жидкости, Па
μ
- вязкость динамическая, Па·с
- вязкость кинематическая, м2/с
ν
- сила механическая Ньютона , Н

- касательные напряжения, Па
σ
- коэффициент поверхностного натяжения, Н/м
θ
- краевой угол смачивания, градус
1/R
- кривизны поверхности, м-1
R
радиус кривизны поверхности, м
Δр
- гидростатическое давление Лапласа, Па
D
- диаметр внешний, м
d
- диаметр внутренний, м
h
- глубина (высота), м
L, l
- длина, м
C
- жесткость пружины, Н
f
- коэффициент трения
5
X,Y,Z
- проекции массовых (объемных) сил на координатные оси,
Н/кг
pабс
- давление полное (абсолютное), Па
po
- давление внешнее, Па
pатм
- давление атмосферное, Па
pизб
- давление избыточное, Па
pман
- давление манометрическое, Па
H
- напор гидростатический , м
z
- напор (высота) геометрический, м
hp
- напор (высота) пьезометрический, м
HТ
- координата центра тяжести, м
R
- полная сила гидростатического давления , Н
Rx(y)
- горизонтальные составляющие полной силы давления, Н
Rz
- вертикальная составляющая полной силы давления, Н
Δ
- абсолютная шероховатость стенок труб, мм
T
- температура абсолютная по Кельвину, K
t°
- температура по Цельсию, °C
Rг
- газовая постоянная для воздуха, Дж/кг· K
6
«При изучении наук примеры полезнее правил»
Исаак Ньютон
Введение
В предлагаемом сборнике обобщен апробированный практический материал, используемый на практический занятиях и контрольных
работах в период с 2000 по 2007 гг по курсу «Гидромеханика» для студентов, обучающихся по направлению подготовки 130400 «Горное дело».
Цель сборника - выработать у студентов навыки применения теоретических знаний и освоить практику решения конкретных задач по
курсу «Гидромеханика».
Теоретический материал необходимый для решения задач изложен в учебнике В.А.Винников, Г.Г. Каркашадзе «Гидромеханика»:
Учебник для вузов.- М.: МГГУ, 2003.- 302 с.
Ввиду большого объёма фактического материала сборник состоит
из нескольких частей.
В первой части сборник содержит задачи по гидростатике и включает следующие разделы: “Физические свойства жидкости”, “Основные
свойства гидростатического давления”, “Определение давления при относительном равновесии жидкости“.
Каждый раздел сборника содержит необходимые краткие сведения из теории, необходимые для повторения и закрепления пройденного
материала, изложенного детально в лекциях, методические указания и
примеры решения типовых задач. Надо понимать, что творческий подход к решению конкретной задачи допускает различные варианты алгоритма её решения, приводящие к одному и тому же результату. В данном пособии не ставилась задача рассмотрения всех таких возможных
случаев.
В трёх приложениях представлены материалы справочного характера, которые необходимы для самостоятельного решения задач, а так7
же приведена система единиц, используемых в гидромеханике согласно
ГОСТ 8.417-2002. Единицы величин.
В сборнике представлен весь необходимый справочный материал,
позволяющий студенту наиболее рационально использовать время для
самоподготовки к практическим занятиям и контрольным работам.
В решениях задач константу ускорения свободного падения принять g = 9,81 кг/м2, плотность воды ρ = 1000 кг/м3 .
Свойства жидкостей и процессы определять (если в задаче не конкретизированы) при стандартных физических условиях (t = 20 0C, атмосферное давление р = 101,325 кПа = 760 мм рт. ст. = 10 м вод. ст.).
Учебное пособие подготовлено в полном соответствии с рядом
разделов примерной программы учебной дисциплины ОПД Ф.02 « Механика» курс «Гидромеханика» для студентов, обучающихся по направлению подготовки 130400 «Горное дело».
Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность
заведующему кафедрой «Физики горных пород и процессов» профессору, доктору технических наук С.А. Гончарову за инициирование работы
над учебным пособием.
Особую благодарность - пионерам развития курса «Гидромеханика» для студентов специальности «Горное дело» - доценту, кандидату
технических наук В.А. Винникову и профессору, доктору технических
наук Г.Г Каркашадзе – в подготовке данного пособия автор опирался на
плоды их титанической работы по развитию учебно-методического
обеспечения данного курса; а так же профессору, доктору технических
наук Г.А.Янченко за неоценимое внимание и помощь в подготовке
учебного пособия; профессору, доктору технических наук С.В Ржевской
за ценные указания и методические советы по оформлению рукописи;
профессору, кандидату технических наук К.И Наумову и докторанту
А.В. Дугарцыренову за полезные предложения и моральную поддержку
8
и всем членам кафедры ФГПиП за доброжелательное отношение и внимание к работе.
9
1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ
1.1Основные понятия и модели, используемые в гидромеханике
Гидромеханика – раздел механики, занимающийся изучением законов движения и равновесия жидкости и ее взаимодействия с омываемыми твердыми телами.
Под жидкостью понимают всякую среду, обладающую двумя основными свойствами:
- сплошностью;
- текучестью (легкой подвижностью).
Сплошность выражается в непрерывном изменении величин, характеризующих распределение массы в среде (плотность), и ее движением (скорость, ускорение) во всей области, заполненной жидкостью.
Представление о сплошности сближает рассматриваемую в гидромеханики жидкость с абсолютно твердыми и упругими телами.
Абсолютно твердое тело – материальное тело, в котором расстояние между любыми двумя точками всегда остается неизменным.
Жидкости отличаются сильным межмолекулярным взаимодействием и вследствие этого малой сжимаемостью, что объясняется тем,
что сближение молекул на малых взаимных расстояниях приводит к появлению больших сил межмолекулярного отталкивания.
Отличие: - текучесть выражается в незначительности величин
сопротивлений жидкости деформациям сдвига при достаточной малой
скорости этих деформаций. Мерой текучести жидкости служит величина 1/μ , где μ- коэффициент вязкости.
Текучесть отличает жидкость от сыпучего тела.
С точки зрения молекулярного строения жидкости рассматривают как тела, состоящие из очень большого числа субмикроскопических
беспорядочно ориентированных кристалликов (сиботаксические обла-
сти). В пределах каждой из таких областей расположение частиц обладает определенной ориентацией.
Данное определение жидкости охватывает как мало сжимаемые
капельные жидкости, так и сравнительно легко сжимаемые и не сопротивляющиеся растяжению газы.
В гидромеханике все процессы рассматривают с позиции макромодели. Особо выделяют для исследования процессов две, теоретически
наиболее простые, но вместе с тем вполне удовлетворяющие запросам
практики:
Лишенная внутреннего трения, идеальная (несжимаемая или
сжимаемая) жидкость;
Изотропная
вязкая жидкость
(реальная), удовлетворяющая
обобщенному закону Ньютона о пропорциональности напряжений и
скоростей деформации.
1.2 Плотность
Плотностью  называется величина, определяемая для однородной жидкости, отношением массы вещества к его объему:

m
3
, кг м

(1.1)
где m – масса жидкости, кг;  – объем, занимаемый жидкостью, м 3 .
Плотность жидкостей уменьшается с увеличением температуры.
Исключение представляет вода в диапазоне температур от 0 до 4 0 C , когда ее плотность увеличивается, достигая наибольшего значения при
температуре 4 0 C   1000 кг
м3
. Аномалия плотности воды показана на
рис.1.1. Экспериментальные результаты и теоретические модели прояв11
ления аномальных свойств воды наиболее полно обобщены в монографии Бинги В.Н.[2].
Рис.1.1 Зависимость плотности воды от температуры
1.3 Удельный вес
Удельным весом  жидкости называется вес единицы объема этой
жидкости:
 
G
3
, Н м

(1.2)
3
где G – вес жидкости, Н ;  – объем, занимаемый жидкостью, м .
Между плотностью и удельным весом существует связь:
  g,
(1.3)
где g – ускорение свободного падения.
1.4 Коэффициент объемного сжатия
Коэффициент объемного сжатия   ( Па 1 ) –характеризует относительное изменение объема жидкости при изменении давления на единицу:
  


, Па-1

  р   р
12
(1.4)
где  – изменение объема  ;  – изменение плотности  , при изменении давления на величину р .
Знак минус показывает, что приращению давления соответствует
уменьшение объема жидкости.
Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется
модулем упругости жидкостей E0 ( Па ):
E0 
1

, Па
(1.5)
Значение модуля упругости жидкостей зависит от давления и
температуры. Если принять, что приращение давления р  р  р0 , а изменение объема      0 , то:
   0  1     p 
(1.6)
   0  1     p 
(1.7)
Коэффициент объемного сжатия воды зависит от давления и изменяется в незначительных пределах. При изменении давления в пределах от 9,81  10 4 до 2,5  108 Па , коэффициент   изменяется от 4,9  10 10
до 2,85  10 10 м 2 Н .
В гидравлических расчетах значение коэффициента   принимают
равное 4,9  10 10 м 2 Н .
1.5 Коэффициент температурного расширения
Коэффициент температурного расширения  t ( 0 C ) 1 , характеризует относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на один градус:
t 

,
  t
(1.8)
где  – изменение объема  , соответствующее изменению температуры на величину t .
13
Коэффициент температурного расширения воды увеличивается с
возрастанием температуры и давления (табл.1.1); для большинства других капельных жидкостей  t с увеличением давления уменьшается. Если принять, что приращение температуры t  t  t 0 , а изменение объема
     0 , то:
   0  1   t  t 
(1.9)
   0 / 1   t  t 
(1.10)
Таблица 1.1 Значения  t для воды в диапазоне t от1 0С до 100 0С
t, 0 С
Давление p , Па
1-10
105-107
10-20
40-50
60-70
90-100
0,000014 0,000150 0,000422 0,000556 0,000719
Следует отметить, что при понижении температуры от  100 0 С до
4 0 C вода уменьшается в объеме. В интервале от  4 0 C до 0 0 C вода не
сжимается, а расширяется, имея наибольшую плотность при 4 0 C . Вода
при замерзании увеличивается в объеме приблизительно на 10% .
1.6 Вязкость
Вязкостью называется свойство жидкости оказывать сопротивление перемещению одной части жидкости относительно другой. Вязкость проявляется только при движении жидкости и сказывается на
распределении скоростей по живому сечению потока (рис. 1.1).
14
Рис. 1.2 Эпюра скоростей вязкой жидкости вблизи твердой поверхности
стенки.
Согласно гипотезе Ньютона сила внутреннего трения F в жидкостях пропорциональна градиенту изменения скорости dv/dn , площади
соприкосновения слоев ω, зависит от рода жидкости:
(1.11)
где ω – площадь соприкасающихся слоев, м 2 ; dv – скорость смещения
слоя b относительно слоя a, м с ; dn – расстояние, на котором скорость
движения слоев изменилась на dv, м ; dv/dn – градиент скорости, изме1
нение скорости по нормали к направлению движения ( с );  – коэффициент динамической вязкости ( Па с ).
Если силу трения F отнести к единице площади соприкасающихся слоев, то получим величину касательного напряжения  , и тогда
(1.11) примет вид:
(1.12)
Из (1.12) следует, что коэффициент динамической вязкости может
быть определен как:
(1.13)
Из (1.13) нетрудно установить физический смысл коэффициента динамической вязкости: при градиенте скорости dv/dn =1; и    выражает
15
силу внутреннего трения, приходящуюся на единицу площади поверхности соприкасающихся слоев жидкости.
Динамическая вязкость – физическая величина, равная отношению тангенциальной силы, необходимой для поддержания градиента
скорости, равного единице, между двумя параллельными слоями жидкости (газа), к площади соприкосновения этих слоев.
В практике, для характеристики вязкости жидкости, используют
коэффициент кинематической вязкости  ( м 2 с ). Коэффициентом кинематической вязкости называется отношение коэффициента динамической вязкости к плотности жидкости:
 

, м2/с

(1.14)
где  – плотность. Размерность  в системе СИ – м 2 с .
Вязкость зависит от рода жидкости (см. Приложение Б), от температуры (табл.1.2) и от давления.
7
При вариации давления до 2  10 Па изменения вязкости воды
незначительны и часто в расчетах не учитывается.
Таблица 1.2 Значения  м 2 с для воды в зависимости от температуры
t 0C
0
2
4
6
8
0
179
167
157
147
138
10
131
124
117
112
106
20
101
96
92
87
84
30
80
75
72
69
67
40
66
62
60
58
56
50
56
52
51
49
48
Значения динамической вязкости некоторых жидкостей при нормальном атмосферном давлении приведены в таблице 1.3.
16
Таблица 1.3 Значения динамической вязкости некоторых жидкостей при t =18 0С и р =101,3 КПа
Жидкость
μ , Па ∙с
Анилин
0,00460
Ацетон
0,00034
Бром
0,00102
Вода
0,00105
Глицерин
1,39300
Масло машинное
0,11300
Нефть
0,0080 – 0,1000
Спирт этиловый
0,00122
Зависимость вязкости минеральных масел, применяемых в гидросистемах, от давления p при возрастании его до 50 МПа , можно определять с помощью приближенной эмпирической формулы:
 p    1  K  p  ,
(1.15)
где  p и  – кинематическая вязкость соответственно при давлении p
и 0,1 МПа (нормальном); K – опытный коэффициент, зависящий от
6
марки масла: для легких масел ( 50  15  10 м 2 с ) K  0,02 ; для тяже6
2
лых масел ( 50  15  10 м с ) K  0,03 .
С повышением температуры вязкость жидкости уменьшается. Зависимость коэффициента кинематической вязкости от температуры
определяется по эмпирической формуле:
1,78  10 6

1  0,0337  t  0,000221  t 2
17
(1.16)
Для смазочных масел, применяемых в машинах и гидросистемах,
рекомендуется следующая зависимость:
 50 
 t   50  
 t 
n
(1.17)
где  t – кинематическая вязкость при температуре
t ;  50
– кинемати-
ческая вязкость при температуре 50 0 C ; n – показатель степени, зависящий от  50 , определяемый по формуле:
n  lg  50   10 4  2,7
(1.18)
Экспериментально вязкость жидкостей определяют приборами –
вискозиметрами, принцип действия которых основан на падении шарика в жидкости. Сила сопротивления F, действующая со стороны жидкости на медленно движущееся в ней тело шарообразной формы, определяется по формуле Стокса:
F = - 6 πμr v,
(1.19)
где r – радиус тела, v –скорость падения, μ – динамическая вязкость.
Сила сопротивления и скорость установившегося падения шарообразной капли жидкости:
,
(1.20)
,
(1.21)
где μ1 и ρ1 – динамическая вязкость и плотность жидкости, образующей
каплю, μ и ρ - динамическая вязкость и плотность газовой среды, где
происходит падение капли.
Для маленького пузырька газа, всплывающего в жидкости, сила
сопротивления и скорость перемещения пузырька равны:
(1.22)
18
(1.23)
μ и ρ – динамическая вязкость и плотность жидкости.
На рисунке 1.3 показаны экспериментальные зависимости кинематической вязкости некоторых веществ от изменения температуры в диапазоне от 0 до 150 0С при нормальном атмосферном давлении.
Рис. 1.3 Экспериментальная зависимость кинематической вязкости веществ от температуры: 1 - вода; 2 – машинное масло; 3 – воздух
1.7 Поверхностное натяжение, смачивание, капиллярные явления
Молекула жидкости, находящаяся внутри жидкости, взаимодействует с окружающими её молекулами. Такое взаимодействие симметрично и равнодействующая их равна нулю. Для молекулы, находящейся
вблизи поверхности, симметрия нарушается и возникает сила некомпенсированная другими молекулами, направленная внутрь жидкости.
При этом потенциальная энергия для молекул, находящихся на поверхности пропорциональна её площади.
19
Поверхностное натяжение σ (коэффициент) представляет собой отношение изменения свободной поверхностной энергии жидкости,
отнесенной к изменению единицы площади поверхностного слоя:
σ = ΔЕ/Δω, Дж/м2
(1.24)
или сила поверхностного натяжения, отнесенная к единице длины
на свободной поверхности:
σ = F/L, Н/м
(1.25)
Условием устойчивого равновесия жидкостей является минимум
свободной энергии жидкости. В условиях отсутствия внешних сил и заданного объема, жидкость стремится принять минимальную площадь
поверхности – сферическую форму.
На границе соприкосновения трех фаз: жидкость, газ, твердое тело
наблюдается явление называемое смачиванием, заключающее в возникновении искривления свободной поверхности жидкости и возникновения мениска.
Мерой смачивания является величина cos Θ, где Θ – краевой угол
смачивания между смоченной поверхностью твердого тела и мениском
в точках их пересечения - периметра смачивания (рис.1.4). При Θ < π/2
жидкость имеет вогнутый мениск и смачивает твердое тело – гидрофильные поверхности. При Θ > π/2 мениск жидкости выпуклый – гидрофобные поверхности. При Θ → 0 мениск касателен к поверхности тела, условие идеального смачивания.
Рис.1.4. Пример гидрофобной и гидрофильной поверхностей
20
На рис.1.5 показано взаиморасположение коэффициентов поверхностного натяжения σ на границах раздела фаз: твердая поверхность –
жидкость – газ.
Рис.1.5 Жидкость (2) на границе раздела фаз: 1- твердое тело, 3 – газовая среда. Взаиморасположение коэффициентов поверхностного натяжения.
Величина дополнительного давления за счет искривления поверхностного слоя при средней кривизне поверхности (закон Лапласа - зависимость перепада гидростатического давления Δp на поверхности раздела двух фаз: жидкость — жидкость, жидкость — газ или пар от межфазного поверхностного натяжения σ и средней кривизны поверхности
в рассматриваемой точке):
(1.26)
где 2σ –удвоенный коэффициент поверхностного натяжения (для газовых пузырей в жидкостях, мыльных пузырей), 1/R1 и 1/R2 –кривизна
двух взаимно перпендикулярных, нормальных сечений поверхности в
данной точке (подробнее о понятиях: кривизна поверхности и радиус
кривизны см. Приложение В); Δр = р1-р2 , где р1 – давление с вогнутой
стороны поверхности, р2 – давление с выпуклой стороны поверхности.
Применение закона Лапласа к поверхности раздела вода — пар в
капилляре: Δр = р1 - p2; R1 и R2 — радиусы кривизны в точке О вогнутой
21
поверхности (R1 = ОА и R2 = ОВ) определяются в двух взаимно перпендикулярных сечениях ACD и BEF (рис.1.6).
Рис.1.6 К определению радиуса кривизны поверхности мениска воды в
капилляре
Величина избыточного давления для сферических менисков:
Δр =2σ/R
(1.27)
Для цилиндрических менисков:
Δр =σ/R
(1.28)
Капиллярность – свойство жидкости изменять положение её поверхности, вызванное натяжением и силой взаимодействия между нею и
стенками узких цилиндрических трубок (1-2 мм в диаметре) или мелкими порами грунта. Капиллярность зависит от температуры, уменьшаясь
с ее ростом (рис.1.7).
Рис.1.7 Поднятие воды в капилляре
22
Если сближать плоские стенки сосуда таким образом, чтобы зоны
искривления начали перекрываться, то образуется вогнутый мениск —
полностью искривленная поверхность. В жидкости под мениском капиллярное давление отрицательно, под его действием жидкость всасывается в щель до тех пор, пока вес столба жидкости (высотой h) не
уравновесит действующее капиллярное давление Δp. В состоянии равновесия:
(ρ1 —ρ2) gh = Δp = 2σ12/r,
(1.29)
где ρ1 и ρ2 — плотности жидкости 1 и газа 2. Это выражение, известно как формула Д. Жюрена (J. Jurin, 1684—1750), определяет высоту капиллярного поднятия жидкости h, полностью смачивающей стенки
капилляра. Жидкость, не смачивающая поверхность, образует выпуклый мениск, что вызывает сё опускание в капилляре ниже уровня свободной поверхности (h < 0).
Высота поднятия (смачивающей) или опускания (не смачивающей) жидкости в капилляре, диаметром d, равна (формула Жюрена):
(1.30)
Вода из всех жидкостей имеет наибольшее значение поверхностное натяжение σ = 0,0726 Н/м. Для воды при температуре 20 0С в трубке
диаметром d мм высота капиллярного поднятия выражается формулой:
h=30/d, мм.
23
1.8 Примеры решения задач
Пример 1. Удельный вес бензина γ = 7063, Н/м3. Определить его
плотность.
Решение.     g ;  

g
; 
7063
 720
9,81
кг м 3 .
Ответ: ρ = 720 кг/м3.
Пример 2. Плотность дизельного мазута ρ = 878 кг/м3. Определить
его удельный вес.
Решение.     g ;   878  9,81  8613 H м 3 .
Ответ: γ = 8613 Н/м3.
Пример 3. При нормальных условиях коэффициент объемного
сжатия бензола составляет βΩ = 9∙ 10-10 Па-1, а температурный коэффициент объемного расширения βt =2,4∙ 10-4 К-1 . При его нагревании на Δt
= 1 К, объем бензола не изменился. Определить величину изменения
внешнего давления Δp.
Решение. βΩ =
и βt =
не меняется, то Δp =
, т.к. по условию задачи объем бензол
1,38∙ 106 Па.
Ответ: Δp = 1,38 МПа
Пример 4. Трубопровод диаметром d  500 мм и длиной L  1000
м наполнен водой при давлении 400 кПа , и температуре воды 5 0 C .
Определить, пренебрегая деформациями и расширением стенок труб,
0
давление в трубопроводе при нагревании воды в нем до 15 C , коэффи-
10
Па 1 , коэффициент температурциент объемного сжатия    5,18  10
6 0
1
ного расширения  t  150  10 C .
24
0
Решение. Находим объем воды в трубе при t  5 C
  0,785  d 2  L ;   0,785  0,5 2  1000  196,25
м 3 ; находим увели-
чение объема  при изменении температуры:
t 

  t ;     t   t ;
  196,25  10  150  10 6  0,29
м3 ;
находим приращение давления в связи с увеличением объема воды:
p 

0,29
p 
 2850
   ;
196,25  5,18  10 10
кПа ;
давление в трубопроводе после увеличения температуры:
р = 400 кПа + 2850 кПа = 3250 кПа = 3.25 МПа.
Ответ: р = 3,25 МПа
Пример 5. Найти плотность морской воды на глубине h= 5000 м,
если ее плотность на поверхности ρ0 = 1030 кг/м3, а модуль упругости
составляет Е0 =2,083 ГПа. (При вычислении гидростатического давления морской воды ее плотность принять равной плотности воды на поверхности).
Решение. Относительное изменение объема при сжатии
=
; вели-
чина гидростатического давления на глубине, при условии не изменения плотности, равна Δp = ρ0 g h, ρ0 = , за счет сжимаемости воды
происходит изменение ее плотности пропорционально изменению ее
объема ( при неизменной массы), тогда
= 1055 кг/м3
Ответ: ρ = 1055 кг/м3.
25
=
, откуда ρ =
Пример 6. Удельный вес морской воды на её поверхности составляет γп = 10,070 кН/м3 . Определить величину удельного веса воды γ на
глубине, где величина гидростатического давления составляет p = 100
ат. Принять, что температура и концентрация соли в морской воде не
меняются с глубиной, коэффициент объемного сжатия βΩ = 0,495 нм2/Н.
Решение. Величина гидростатического давления возрастает с глубиной, при этом за счет сжимаемости воды происходит уменьшение
объема воды на величину ΔΩ по сравнению с объемом воды Ω п, испытывающему давление на поверхности:
ΔΩ = Ωп βΩ Δp,
где Δp – изменение давления. Из условия задачи Δp = р.
Удельный вес воды определяется как:
γ = mg/ Ω,
где mg – вес воды в объеме Ω. Так как масса воды, а, следовательно, её
вес, остается неизменной при повышении давления, то справедливо
следующее соотношение:
γп// γ = Ωг/ Ωп ,
где Ωп, Ωг – объем воды на поверхности и на глубине соответственно, а
ΔΩ = Ωп - Ωг, откуда Ωг = Ωп – ΔΩ.
Удельный вес на глубине:
γ = γп Ωп/ Ωг = γп /(1 - βΩ Δp)
Подставляем значения (в системе СИ 1атм = 0,981 бар):
γ = 10070/(1 – 0,495٠10-9 · 100 · 0.981 · 105) = 10120 Н/м3
Ответ: γ = 10,120 кН/м3
Пример 7. Определить коэффициент динамической и кинематиче3
3
ской вязкости воды, если шарик d = 2 мм из эбонита с   1,2  10 кг м
26
падает в воде с постоянной скоростью u  0,33 м с . Плотность воды
  10 3 кг м 3 .
Решение. При движении шарика в жидкости с постоянной скоростью сила сопротивления равняется весу шарика. Сила сопротивления
определяется по формуле Стокса (1.19):
F  3    u  d .
Вес шарика определяется по формуле
d3
G    g   .
6
Так как
G  F , то
  g  
d
 3    u  d .
6
Следовательно, коэффициент динамической вязкости определится
 g d2

2  10 3 
3

 0,008
;   1,2  10  9,81 
18  0,33
18  u
2
Па с .
Коэффициент кинематической вязкости


;

0,008
 8  10 6 м 2 с .
3
10
Ответ: ν = 8 мкм2/с.
Пример 8. При гидравлическом испытании системы объединенного внутреннего противопожарного водоснабжения допускается падение
давления в течение 10 мин на p  4,97104
Па . Определить допустимую
3
утечку  при испытании системы вместимостью   80 м .
10
Па 1 .
Коэффициент объемного сжатия    5  10
27
Решение. Допустимую утечку  определяем из формулы
  

;        p ;
  p
  5  10 10  80  4,9  10 4  1,96  10 3 м 3 .
Ответ: ΔΩ = 1,96·10-3 м3.
Пример 9. Участок трубопровода заполнен водой при атмосферном давлении. Требуется определить повышение давления в трубопроводе при нагреве воды на t 0 C и закрытых задвижках на концах участка.
Примечание. Коэффициенты температурного расширения и объ4 0 1
10
1
емного сжатия принять  t  10 C ;    5  10 Па .
Указания к решению задачи. При решении задачи необходимо
воспользоваться коэффициентами объемного сжатия   и температурного расширения
t .
 


; t 
 H 1  p
 H  t
где  – изменение начального объема  H , соответствующее изменению давления на величину  p или температуры на величину t ;  H
– начальный объем, занимаемый жидкостью, до ее нагрева;  H 1 –
начальный объем, занимаемый жидкостью при атмосферном давлении
после ее нагрева.
Из этих формул находим искомую величину  p при изменении
температуры на заданную величину t
28
0
C.
Пример 10. П-образная каp
p
пиллярная трубка с длиной колен
l  10 см и диаметрами d1
p  p1
d 2  0,2
h
 0,1
мм и
мм опускается вертикально
открытыми концами в воду и погружается настолько, что бы уроp  p2
вень воды в более узком колене был
вровень с уровнем воды в сосуде.
Рис.1.8
Найти положение уровня воды в
широком колене. Объёмом горизонтальной трубки пренебречь. Атмосферное давление нормальное. Коэффициент поверхностного натяжения воды σ = 76 дин см .
Решение. Давление под изогнутой сферической поверхностью
жидкости отличается от давления газа над ней на величину p 
где
r
2
,
r
- радиус сферы.
В условиях полного смачивания стенок трубки водой, мениски, в
узком и широком коленах, можно принять за полусферы радиусов:
r1  d1 2 и r2  d 2 2 (рис.1.7). Следовательно, если мениск не располагается на одном из концов соответствующего капилляра, давление воздуха над жидкостью в узком колене больше давления воды под поверхностью на p1  4 d1  28,6 см вод.
p2  4 d 2  14,3
см
ст. ,
а в широком колене – на
вод. ст. , поэтому разность уровней таких ме-
ниском (см. рис.1.7) может быть равной лишь
h 
p1 p 2

 14,3 см .
g g
В нашем случае l  h . Значит, хотя бы один из менисков располагается на конце колена.
29
При одновременном соприкосновении концов П-образной трубки
с поверхностью воды подъём жидкости в узком капилляре приведёт к
такому повышению давления воздуха в трубке, что он будет выходить
(пробулькивать) через конец широкого капилляра.
Таким образом, вода в узком капилляре дойдёт до самого верха,
где образуется мениск радиуса R1  r1 . Следовательно, трубку необходимо погрузить в жидкость на всю длину l .
У нижнего конца широкой трубки мениск может иметь радиус
R2  r2 . Если R2  r2 давление воздуха в погруженной трубке максимально и равно:
p max  p атм    g  l 
2
.
r2
Пробулькивание будет продолжаться до тех пор, пока масса воздуха не уменьшиться настолько, что его давление станет равным p max
или немного меньше. Мениск радиуса R2  r2 в широком колене будет
располагаться у нижнего конца капилляра, то есть на глубине
l .
Если концы трубки коснутся поверхности воды не одновременно,
то пробулькивание полностью или частично не будет. В этом случае ответ задачи получиться другим.
Пример 11. Два мыльных пузыря радиусами r1 и r2 сливаются в
один пузырь радиусом r3 , известен коэффициент поверхностного натяжения σ. Выразить величину внешнего давления (атмосферного) через
данные величины.
Решение. Очевидно, что при слиянии двух мыльных пузырей в один,
суммарная масса воздуха в них не меняется:
m1 + m2 = m3 (1)
30
Массу воздуха в пузыре определяем из уравнения МенделееваКлайперона:
m=
p
,
RT
(2)
4
где Ω = 3 πr3 – объем пузыря; μ – молекулярная масса воздуха, Т –
температура окружающего воздуха (одинакова для всех пузырей), R –
газовая постоянная.
Условие равновесия пузыря или давление внутри него:
р = р0 + рr= р0 +
2
,
r
(3)
2
где р0 – внешнее давление (атмосферное); r - добавочное дав-
ление обусловленное формой пузыря с радиусом R.
Из соотношений (2) и (3) получаем значения масс воздуха для
каждого пузыря и для вновь образованного при слиянии:
m1 = (р0 +

4
πr33 RT
3

2 4
) πr13 RT
3
r1
;
m2 = (р0 +

2 4
) πr23 RT
3
r2
;
m3 = (р0 +
2
)
r3
;
Полученные значения масс подставляем в равенство (1):
(р0 +
2
2
2
) r13 + (р0 +
) r23 = (р0 +
) r3 3
r1
r2
r3
Выражаем из полученного равенства значение р0 :
2 (r32  r22  r12 )
р0 =
.
r13  r23  r33
Ответ. Выражение для определения внешнего давления имеет вид:
2 (r32  r22  r12 )
3
3
3
р0 = r1  r2  r3
(Па).
31
Пример 12. Определить максимальную скорость падения в воздухе (μ =1,2∙10-5 Па с) дождевой капли диаметром d= 0,3 мм.
Решение. При падении на каплю действуют две противоположно
направленные силы: сила тяжести mg и сила сопротивления воздуха F=
6πμrv (закон Стокса). Максимальная скорость достигается каплей при
равенстве этих сил. Откуда: 3πμdv =mg. Выразим массу капли как m=ρΩ
=ρ
, где ρ – плотность воды. Выражаем значение скорости из полу-
ченного равенства: v=
= 4,1 м/с.
Ответ: v = 4,1 м/с.
Пример 13. В резервуар с водой опущен Г- образный стеклянный
капилляр, диаметром d = 0,2 мм (рис.1.9). Определить диапазон температур, в котором вся вода вытечет из резервуара, если H = 0,15 м, h =
14,1 см. Известна зависимость коэффициента поверхностного натяжения воды от температуры (рис.1.10). Условие полного смачивания.
Рис.1.9
Рис.1.10
Решение. Для вытекания воды из резервуара, она поднимается на
высоту h, затем протекает по горизонтальному участку. При вытекании
всей воды из резервуара, она должна подняться на высоту h + L , где L –
высота начального уровня воды в резервуаре. Такое возможно, если ко32
эффициент поверхностного натяжения σ, таков, что высота поднятия
воды в капилляре (формула Жюрена) не менее, чем h + L , то есть
Поднявшись в правом колене, вода заполнит левое колено, на
конце которого образуется выпуклый мениск, способный удержать
определенный столб воды, высотой H + L в начальный момент времени, и высотой H – в конечный момент. Вода в верхней части капилляра
– от его горизонтального участка до уровня воды в сосуде находится в
равновесии. Добавочное давление под мениском не может быть больше
чем 2σ/r , где r – радиус мениска (не может быть меньше радиуса капилляра d/2). Поэтому, вода будет вытекать из капилляра, если гидростатическое давление окажется больше добавочного, то есть
Условие, при котором вся вода вытечет из резервуара:
или
Для перехода от диапазона значений коэффициента поверхностного натяжения к диапазону температур, воспользуемся графиком, приведенным на рисунке. Зависимость σ(t) – линейная, описывается функцией вида
σ = σ0 + αT, (1)
где σ0 = 76∙10-3 Н/м. Из графика видно, что при Т = 20 0С
σ =73∙10-3 Н/м, подставляем в формулу (1 ), получим:
73∙10-3 = 76∙10-3 + α∙20
Откуда α = - 0,15∙10-3 Н/(м∙град), находим граничные значения
диапазона σ:
33
Запишем уравнение (1) значений для температур Тmax и Tmin , соответствующих значениям σmax σmin :
Откуда Тmax = 36,7 0С, Тmin = 6,7 0С, поэтому вся вода вытечет из резервуара через капилляр в диапазоне температур: 6,7 0С< T< 36,7 0С.
Пример 14. В стеклянном цилиндрическом сосуде с радиусом основания R1 (рис. 1.11.) свободная поверхность жидкости, находящейся в состоянии невесомости представляет собой выпуклый мениск радиусом
R0. При помещении той же жидкости в стеклянную сферу (в условиях
действия силы тяжести) радиусом R2 свободная поверхность становится
плоской (рис. 1.12.) . Найти уровень жидкости в сфере.
Рис.1.11
Рис.1.12
34
Решение. Известно, что краевой угол смачивания не зависит от силы
тяжести, а определяется только характером взаимодействия соприкасающихся сред. В данном случае вода-воздух-стекло, поэтому в условиях невесомости и действия силы тяжести краевой угол будет один и
тот же и определяет форму поверхности жидкости. Из приведенных
рисунков выражаем: cosα = R1/R2 и cosα = h/R2 откуда h =R1R2/R0 и,
следовательно, высота уровня жидкости в сфере H = h + R2 = R2(R1 +
R0)/R0.
Пример 15. Капилляр с запаянным верхним концом опускают вертикально в сосуд с водой на 0,015 его длины, при этом уровень воды в
трубке и сосуде сравнялись. Определить внутренний диаметр капилляра.
Решение. Пусть p0 – давление воздуха в капилляре до погружения его в
воду; р1 – давление воздуха в капилляре после погружения его в воду,
Ω0 и Ω1 – объемы воздуха в капилляре до и после погружения. По закону Бойля – Мариотта:
p0 Ω0 = p1 Ω1
В уравнение (1) р1 = p0 +
(1).
2
; Ω0 = ωh0, где ω – площадь сечения каr
пилляра, h0- длина капилляра. Ω1= ωh1, h1 – длина трубки, выступающей
над жидкостью после погружения. После подстановки в (1), получим
p0h0 = (p0 +
По условию
2
2h1
)h1; откуда r =
r
p0 (h0  h1 )
(2).
h1
h0  h1
= 0, 015, или
= 67,5. Подставляя в (2), полуh0  h1
h0
чим r = 10-4 м = 0,1 мм.
Ответ: r = 0,1 мм.
35
1.9 Задачи
1 .Найти плотность ртути при t = 300 0C, если βt = 1,85 10-4 К-1.
2. Определить изменение уровня нефти в цилиндрическом вертикально
стоящем резервуаре при увеличении температуры от 15 до 400С. Плотность нефти при 150С ρ15=900 кг/м3. Диаметр резервуара d=10 м; нефть
заполняет резервуар при 150С до высоты H=12 м. Коэффициент объёмного теплового расширения нефти β t=6,4 10-4 1/градус. Расширением
резервуара пренебречь.
3. Найти при какой температуре плотность ртути составляет 13100 кг/м3.
4. В U образном открытом сосуде (рис.1.13), доверху наполненном водой, имеется в нижней части кран. Температура воды в левой и правой
части сосуда поддерживается постоянной, причем t1  t 2  4 0 C . Что будет происходить с водой, если открыть кран? Ответ обосновать.
Рис.1.13
5.Участок трубопровода диаметром 0,2 м полностью заполнен водой
при t1= 10 0 С . Определить повышение давления в трубопроводе при
нагреве воды до t2= 30 0 С и закрытых задвижках на концах участка длиной 250 м.
6.Нефть сжимается в толстостенной цилиндрической трубе (рис.1.14).
Вычислить модуль упругости нефти E0 , если при увеличении давления
P на промежуточную жидкость ПЖ от 0 до 50 ат , уровень А  А рту-
36
ти поднялся на величину h  3,70 мм . Первоначальная высота столба
нефти была h  100 см .
Рис.1.14
7.Винтовой пресс работает на масле с E0  1,6 ГПа (рис.1.15).
Определить на сколько оборотов надо повернуть маховик винта, чтобы
поднять давление на P  1 ат , если начальный объем рабочей камеры
составляет 628 см 3 . Диаметр плунжера 20 мм , шаг винта 2 мм .
Рис.1.15
8.Для измерения глубины морского дна служит прибор, состоящий из
стальной банки с двойным дном. Верхняя ее половина заполняется дистиллированной водой в объеме 800 см 3 , нижняя - ртутью. При опускании прибора морская вода заходит через трубку в нижний сосуд и выдавливает ртуть через клапан в верхнюю камеру (рис.1.16).. Определить
какое количество ртути (в кг) пройдет в верхний сосуд, если глубина
моря 10 км , удельный вес воды у поверхности 1,02 Т м 3 . Коэффициенты объемного сжатия: для воды 4,59  10 6 см 2 кГ , для ртути 3,91  10 6
см 2 кГ .
37
Рис.1.16
9. При гидравлическом испытании системы объединенного внутреннего
противопожарного водоснабжения допускается падение давления в течение 10 мин. на p  497104 Па . Определить допустимую утечку ( в
литрах) при испытании системы вместимостью   80 м 3 , температура
воды в системе t = 30 0C.
10.При опрессовке системы водоснабжения допускается падение давления на Δр = 512304 Па. Определить допустимую утечку при испытании
системы с диаметром трубы 150 мм на участке 4,5 км.
11. Найти плотность морской воды на глубине 7500 м, если плотность
на поверхности составляет 1020 кг/м3 . Коэффициент объемного сжатия
воды 4,59 ГПа-1.
12. Найти коэффициент объемного сжатия ртути, если известно, что для
постоянства ее объема при нагревании на 10 необходимо увеличить
внешнее давление на 4761,1 КПа.
13. Коэффициент объемного расширения бензола при t = 0 0C составляет βt = 1,24 10-3 К-1 , а Е0 = 1,26 ГПа. Определить величину внешнего
38
давления, при котором при нагревании бензола на 10 его объем не изменился.
14. Ртуть налита в U –образную стеклянную трубку одинакового диаметра. Левый конец трубки находится при комнатной температуре, а
правый – нагрели до 100 0С. Найти разность уровней ртути в трубках,
если высота в левом колене 0,9 м. Расширением стекла пренебречь.
Принять для ртути βt = 1,8 10-4 К-1
15. Посередине запаянной барометрической трубки имеется столбик
воздуха (рис.1.17). При температуре Т0 = 273 К высота столбика составляет 10 см. Изменится ли высота столбика и на сколько при увеличении
температуры на 20 К?
Рис.1.17
16. В стеклянную колбу высотой Н = 0,1 м при комнатной температуре
налили ртуть на h = 1 мм ниже верхнего края. До какой температуры
можно нагреть ртуть, чтобы она не вылилась из сосуда. Расширением
стекла пренебречь.
17. Колба с ртутью, наполненная до краев при комнатной температуре
весит 10 Н, что на порядок выше веса пустой колбы. Найти количество
ртути (кг) в сосуде при t = 100 0C, если температурный коэффициент
объемного расширения стекла равен βtс = 3 10-5 К-1. Принять для ртути
βtр = 1,8 10-4 К-1
39
18. Железный бак вмещает 50 л керосина и при t  0 0 C оказывается заполненным целиком. Сколько керосина (кг) выльется из бака, если его
внести в комнату с t  20 0 C . (Для железа  t  0,000036  1 0 С , для керосина
 t  0,001  1 0 С ). Плотность керосина принять 800 кг м 3
19. Резервуар, до краев наполненный минеральным маслом при температуре 0 0С, нагрет до температуры 100 0С. При этом 6% налитого масла
вылилось. Найти температурный коэффициент объемного расширения
масла, если для стенок резервуара βt = 3 10-5 К-1 .
20. Нефть, имеющая удельный вес 9 кН м 3 , обладает при t  50 0 C динамической вязкостью 0,0058 кг  с м . Определить её кинематическую
вязкость.
21. Кинематическая вязкость нефти плотностью 0,890 г/см3 при t  10 0 C
составляет 12 сСт . Определить динамическую вязкость при t  20 0 C .
Ответ дать в Пуазах.
22. Рассчитать изменение кинематической вязкость воды при ее остывании с 90 0 C до 27 0 C при нормальном атмосферном давлении.
23. При перекачке нефтепродукта произошло его нагревание с 3 0С до
10 0С, проведенные замеры кинематической вязкости показали её изменение от 3,6 см2/с до 2,1 см2/с. Определить кинематическую вязкость
жидкости при температуре 6 0С, если известен закон изменения:
 = 0e-at , где  0 -кинематическая вязкость при t = 0 0C. Ответ выразить
в Стоксах.
40
24. Капилляр, открытый с обоих концов, диаметром d  2 мм , наполнен
водой и поставлен вертикально. Определить высоту удерживаемого
столба воды в капилляре.
25. Спичка длиной 0,4 дм лежит на поверхности воды и приходит в
движение, когда по одну сторону от неё налили мыльный раствор.
Определить силу, движущую спичку. (Для мыла   0,04 Н м ).
26. Тонкое алюминиевое кольцо диаметром 15,6 см и весом 0,07 Н плавает на поверхности раствора мыла, Определить усилие, необходимое
чтобы оторвать кольцо от раствора. (Для мыла   0,04 Н м ).
27. Капли дождя диаметрами d1 = 6 мм и d2 = 2 мм падают вертикально.
Будет ли меняться форма капель при падении и как?
2
28. Два стекла площадью   10 м 2 смочены водой и сложены вме-
сте. Найти дополнительное усилие, необходимое для отрыва верхней
пластины от нижней. Шероховатость пластин не превышает Δ = 10-6 м .
29. Два стекла площадью   10 2 м 2 смочены водой и сложены вместе.
Найти величину удерживающей силы между пластинами, делающую
практически невозможным отделение верхней части от нижней. Толщина слоя воды между пластинами 10 6 м .
30. Кольцо толщиной 0,01 мм и диаметрами 17 ,3 см и 16,5 см плавает на поверхности раствора мыла. Определить усилие, необходимое
чтобы оторвать кольцо от раствора. (Для мыла   0,04 Н м , плотность
материала кольца 2,3 г см 3 ).
41
31. Капля дождя равномерно падает в воздухе. Насколько отличается
радиус кривизны R1 поверхности капли в её верхней точке от радиуса
кривизны R2 в нижней точке, если расстояние между этими точками
h  2  10 3 м .
32. Для определения  опытным путем какой-либо жидкости пользуются методом отрыва капель из вертикальной трубки и ее сравнение с
σ0 стандартной жидкости (воды). Вывести формулу для вычисления σ0,
если объем наполнения трубки для всех жидкостей одинаков Ω, а плотности жидкостей  0 и  известны.
33. Облако состоит из капель диаметром 2 мкм. Определить добавочное
давление в капле на высоте 8 км. Чему будет равна гидростатическая
разность давлений для падающей капли во время грозы? Диаметр капли
6 мм.
34. Определить какое количество энергии освобождается при слиянии n
мелких водных капель радиусом 2  10 3 мм в одну большую каплю радиусом 2 мм ?
35. Два мыльных пузыря радиусами R1 и R2 соединены друг с другом.
На рис.1.18 показан разрез пузырей в плоскости, проходящей через их
центры. Точки А и В – точки пересечения с плоскостью чертежа окружности, по которой соприкасаются пузыри. Определить радиус кривизны
общей перегородки R3. Чему равна величина углов пересечения пузырей в точке А?
42
Рис.1.18
36. Ртутный термометр имеет тонкую перетяжку (диаметром 30 мкм)
между баллончиком со ртутью и капилляром (рис. 1.19). После измерения температуры в капилляре диаметром d = 6·10-5 м остался столбик ртути длиной 4 см. Определить величину минимального ускорения, которое необходимо сообщить термометру для того, чтобы его
стряхнуть после измерения температуры.
(Коэффициент поверхностного натяжения ртути σ = 0,486 Н/м).
Рис.1.19
37. На Земле вода в стеклянной сферической колбе (частично заполненной) слегка поднимается у краев стенок колбы, образуя некоторый
краевой угол смачивания θ рис. 20а. Какой будет форма жидкости в
колбе в состоянии невесомости? Как будет зависеть величина краевого угла смачивания от силы тяжести и формы поверхности? Ответ
обосновать.
43
Рис.1.20 а .
рис.1.20 б.
рис.1.20 в .
рис. 1.20.г.
38. Стеклянный капилляр в виде усеченного конуса с высотой Н и радиусами оснований R0 – верхнего и 3R0 – нижнего, плавно опускают на
поверхность жидкости. Определить максимальный радиус капилляра R0
при котором жидкость поднимется на всю его высоту, если известен коэффициент поверхностного натяжения σ. Верхнюю поверхность капилляра считать абсолютно смачиваемой.
39. В сосуд с водой вертикально опущен открытый с двух сторон капилляр с внутренним диаметром 0,32 мм, причем уровень воды в сосуде
и капилляре был одинаков. Определить величину внешнего давления
над жидкостью в капилляре. Давление над свободной поверхностью в
сосуде 101,3 КПа.
40. При опускании капилляра диаметром 4 мм в сосуд, вес жидкости
поднявшейся по капилляру составил 10-5 Н. Определить коэффициент
поверхностного натяжения данной жидкости.
41. Определить диаметр цилиндрических пор в фильтре, чтобы гидрофильная жидкость с σ = 0,03 Н/м поднялась на высоту h = 0,1 м.
42. В U- образные сообщающиеся капилляры налита ртуть. Определить
разность уровней, если диаметры капилляров 1 мм и 2 мм.
44
43. Определить внутренний диаметр капилляра, если при полном смачивании вода в нем поднялась на 2 10-2 м.
44. Открытый с двух сторон капилляр внутренним диаметром d = 2 мм
опущен в сосуд с ртутью. Разность уровней ртути в сосуде и в капилляре Δh = 2,9 мм. Определить радиус кривизны ртутного мениска в капилляре.
45. Воздушный пузырек диаметром 0,01 мм и плотностью воздуха в нем
2 кг/м3 находится на глубине в воде. Определить расстояние от центра
пузырька до свободной поверхности.
46. Определить диаметр мыльного пузыря, если давление внутри него
на 133,332 Па больше атмосферного.
47. Определить давление в воздушном пузырьке диаметром d = 0,01 мм
выходящем из трубки, погруженной на глубину h = 20 см в воду. Внешнее давление составляет 765 мм рт ст.
48. Начальный объем мыльного пузыря диаметром 0.02 м был увеличен
вдвое. Определить величину работы, какая была совершена при этом
против сил поверхностного натяжения. (σ = 0,043 Н/м.).
49. Определить величину работы, которую необходимо совершить для
выдувания мыльного пузыря диаметром 0,04 м. (σ = 0,043 Н/м).
50. Раствор минерального масла вытекает по каплям из вертикальной
трубки диаметром 2 мм. Отрыв капель происходит через время t =1 с.
Определить время, через которое вытечет 10 г раствора.
45
51. Какую часть от силы, которую необходимо приложить к алюминиевой шайбе высотой 5 мм, с диаметрами d1 = 52 мм и d2= 50 мм, для
отрыва ее от поверхности глицерина, составляют силы поверхностного
натяжения?
52. На поверхность воды положили стальную иглу с полной гидрофобной поверхностью. Найти максимальный диаметр иглы, при котором
она еще может держаться на воде.
53. Высота налитой ртути в сосуде h = 30 мм. Найти наибольший диаметр отверстия, которое можно сделать в дне сосуда, чтобы ртуть при
этом еще не выливалась.
54. Две стеклянные пластины размером 5 х 5 см смочили водой, толщина водяной прослойки между пластинами составляет d = 0,05 мм
(рис.1.21). Определить величину силы (нормальной к поверхности пластин), которую необходимо приложить, чтобы оторвать их друг от друга.
Рис.1.21
55. В зазор 0,25 мм между двумя вертикальными плоскопараллельными
стеклянными пластинами (поверхность гидрофильная) налили жидкость, при этом ее высота поднятия между пластинами составила 31 мм.
(σ = 30 дин/см). Найти плотность жидкости.
46
1.10 Варианты заданий для самостоятельной работы
ЗАДАНИЕ № 1
Плотность нефти равна ρ, кг/м3. Определить её удельный вес γ в единицах СИ и подсчитать, какой объём занимает нефть весом G, кН:
Исходные
данные
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ρ, кг/м3
950
700
840
910
870
750
825
720
900
790
G, кН
130
80
110
128
116
90
104
84
120
103
ЗАДАНИЕ № 2
Кинематическая вязкость жидкости равна ν, см2/с. Определить её динамическую вязкость в единицах СИ, если удельный вес жидкости равен γ
, кН/ м3:
Исходные
данные
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ν, см2/с
0,27 0,32 0,28 0,34 0,31 0,25 0,29 0,26 0,30 0,22
γ , кН/м3
6,23 8,83 6,87 9,08 8,34 5,27 7,36 5,88 7,85 5,04
ЗАДАНИЕ № 3
Объём ёмкости Ω, литров. Сколько будет весить она, если её заполнить
жидкостью плотностью ρ, кг/м3. Собственный вес ёмкости 2 Н. Ответ
дать в единицах системы СИ:
Исходные
Вариант
данные
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ω, л
14
60
10
16
40
36
50
30
12
20
825 1020 800
875
950
920 1000 900
820
850
ρ, кг/м3
47
ЗАДАНИЕ № 4
Барометрическая трубка, заполнена ртутью, имеет внутренний
диаметр, d мм
Вариант
Вариант
d,
d, Варимм
ант
d, Варимм
ант
d,
мм
мм
1
1
9
3,75
17
6,8
26
10,5
2
1,2
10
4
18
7
27
11
3
1,5
11
4,05
19
7,45
28
13
4
2
12
4,65
20
8
29
14
5
2,1
13
5
21
8,7
30
15
6
2,3
14
5,23
22
9,08
7
2,5
15
5,6
23
9,25
8
3
16
6
24
10
1. Найти высоты ртутного столба h при внешнем давлении H,
мм рт. ст.:
745
758
760
765
2. Можно ли определить величину атмосферного давления
непосредственно по высоте ртутного столба? Ответ обосновать.
3. Определить величину относительной ошибки x при вычислении давления по высоте ртутного столба для каждого из вариантов.
48
ЗАДАНИЕ № 5
Капля воды, в вертикальном открытом капилляре, образует столбик
длиной l мм:
Вари-
l, Вари-
ант
мм
l,
ант
мм
Вариант
l,
мм
Вари-
l, мм
ант
1
40
9
11
17
15,3
26
20
2
15
10
32
18
37
27
27,8
3
17,6
11
14.5
19
12
28
47
4
20
12
17.3
20
44,7
29
21,5
5
23
13
43
21
24
30
14,7
6
26.4
14
27,6
22
31
7
29.8
15
23,9
23
22,9
8
30
16
18
24
28,2
Внутренний диаметр капилляра, d мм :
1
2
3.5
5
Вычислить радиусы кривизны верхнего и нижнего менисков.
Во всех вариантах принять условие полного смачивания.
49
1.11 Ответы, указания к решению задач
1. ρ = 1,29·104 кг/м3
3. Сравнить с плотностью ртути при стандартных условиях.
4. Учесть величины давлений слева и справа в сосудах.
5. Использовать βt и βΩ для воды (значения взять из таблиц) откуда
определить Δр,
6. Е0 = 1/ β Ω =1,36 ГПа.
7. 0,06 оборота (или 1/16)
8. M= 0,587 кг
9. 18,5 л
10. Допустимая утечка ΔΩ = 0,163 м3
14. Δh = 16,4 мм
15. 10,7 см. При изменении температуры масса жидкости в объеме не
меняется, поэтому остается неизменным и вес столбика, следовательно,
давление воздуха не изменится. Поэтому отношение объемов воздушного столбика равно отношению температур: Т/Т0.
17. m =
= 0,887 кг.
18. Δm = 0,8 кг
19. βtм = 7 10-4 К-1
20.  = 6,4· 10-6 м2/с
21. μ = 0,1032 П
22. Используя табличные данные по свойства определить изменение
значения плотности.
23.  6= 2,85 Ст. Определить постоянные  0 и a входящие в формулу и
вычислить необходимое значение  .
24. Вода в трубке удерживается силой поверх. натяжения в 2-х менисках- верхнем и нижнем F, равной весу столба жидкости в капилляре G.
Откуда h = 0,03 м.
25. Сравнить силы, действующие на спичку со стороны воды и мыльного раствора. F= 1,36∙10-3 Н.
26. Рассмотреть силы, действующие на кольцо. Кольцо соприкасается с
раствором с внешней и внутренней стороны. F= 11 ∙ 10-2 Н.
27. Равномерное падение капли приводит к искажению её сферической
формы (рис.1.22). Рассмотреть величину гидростатического давления в
нижней и верхней точке падающей капли, сравнить с величиной дополнительного давления формы. Обосновать радиус кривизны поверхности
в нижней и верхней точке капли. Учесть, в каких случаях необходимо
учитывать величину гидростатического давления между точками А и Б.
Рис.1.22
28. В состоянии равновесия поверхности стекол соприкасаются друг с
другом в вершинах бугорков (шероховатости Δ – в расчетах соответствует значению d – диаметру мениска или расстоянию между пластинами). Возникающие при этом силы реакции, действующие со стороны
нижней пластины на верхнюю, таковы, что в сумме с силой давления,
действующей на пластину со стороны жидкости, они уравновешивают
силу тяжести и силу внешнего давления. Поэтому дополнительное усилие, необходимое для отрыва мокрой пластины от другой определяется
только величиной давления за счет сил поверхностного натяжения. Δр =
1,4·105 Н/м2
29. Вода полностью смачивает стекло, поэтому её свободная поверхность – это часть поверхности цилиндра с r = d/2. Дополнительное усилие, необходимое для отрыва мокрой пластины от стекла (без учета силы тяжести): Δр =2σ/d. Величина удерживающей силы: F = 1, 48 ٠103 Н.
30. Рассмотреть силы, действующие на кольцо. Кольцо соприкасается с
раствором с внешней и внутренней стороны.
51
31. Пусть ратм – внешнее атмосферное давление, рв – давление в верхней
точке падающей капли. Разность давлений внутри и снаружи сферической капли радиуса R равна 2σ/R. Найти давление для верхней и нижней точки. Т.к. размеры капли малы (d=2 мм), то радиусы кривизны мало отличаются друг от друга. Тогда Δ R= ρgd3/8 σ = 0,14 мм
32. В момент отрыва капли сила поверх. натяжения равна силе тяжести:
F1 = 2πrσ; F2 = ρgΩкап, откуда σ = ρgΩкап/2πr, т.к. измерить радиус шейки
капли сложно, прибегают к сравнительному способу, если известна величина σ0 = ρ0gΩ0/2πr стандартной жидкости (воды), то взяв одинаковые
объемы воды и исследуемой жидкости Ω и подсчитав количество капель
в этих объемах, можно вычислить объем одной капли: Ω0 = Ω/n0 для воды n0 – количество капель, Ωж = Ω/nж.
33. Принимая, что капля имеет сферическую форму дополнительное
давления Δр = 1,45 ат. Величина гидростатической разности давлений
Δр = 5,8·10-4 ат.
34. Количество энергии, выделенное за счет уменьшения поверхности
пленки ΔЕ= σ(ω1 – ω) = 4π R2 σ(R/r – 1) = 3,5 10-3 Дж.
35. Избыточное давление внутри пузырей различно. Дополнительное
давление на перегородке находится исходя из этого условия, откуда
определяем радиус её кривизны. Величину углов определять из условия
равновесия трех пленок (рис.1.23).
Рис.1.23
36. a ≈ 80 м/с2
52
37. Величина краевого угла зависит только от природы соприкасающихся сред: вода-воздух-стекло и определяется величиной поверхностного натяжения на их границе. В невесомости на контакте чистая водастекло краевой угол смачивания равен нулю, и жидкость заключает воздух в сферический пузырь, находящийся внутри её самой.
38. R0 = 16σ/(9ρgH)
39. р = р0 +
2
, Н/м2 .
r
40. σ = 0,07 Н/м.
41. d = 0,15 мм.
42. Условие полного несмачивания. Δh = 7,5 мм.
43. d = 1,5 мм.
44. Радиус мениска R связан с радиусом трубки r: r = Rcosφ = Rcos(1800
– θ), где θ – краевой угол смачивания. Тогда добавочное давление, вызванное кривизной мениска,
Δр = -
2 cos 

. Для ртути θ > , т.е. cos θ < 0 , то это добавочное давлеr
2
ние положительно, и уровень ртути в капилляре будет ниже чем в сосуде. Разность уровней
Δh = -
4 cos 
hgd
. Отсюда - cos θ =
. Подставляя числовые значения,
r
4
получим
- cos θ = 0, ….. . Следовательно, радиус кривизны мениска ртути R = r
= ….10-3 м.(Знак “-“ означает, что происходит опускание ртути в
cos 
капилляре.).
45. В задачи РТ условия принять нормальные. (4-5 м).
46. D = 2,6 мм. Давление внутри пузыря радиусом r зависит от сил поверхностного натяжения по внутренней и внешней поверхности пленки
p = 4σ/r.
47. р = 999 мм рт.ст. Давление воздуха в пузырьке складывается из атмосферного давления р1, гидростатического давления воды р2 = ρgh и
53
добавочного давления, обусловленного кривизной поверхности р3 =
Поэтому: р = р1 + ρgh +
2
.
r
2
. Из условия задачи р1 = 765 мм рт. ст. Поr
лученные значения давления перевести из Н/м2 в мм рт.ст.
48. А = 6,4 10-5 Дж.
49. А = 4,32 10-4 Дж.
50.Вес капли в момент ее отрыва должен разорвать поверхностную
пленку на длине l = 2πr, где r – радиус шейки капли. Отсюда вес капли Р
= 2πr σ = π σd. В М граммах минерального масла содержится N капель,
причем N =
Mg
Mg
=
. Из условия задачи капли отрываются через 1 с
P
d
одна после другой, то вся жидкость вытечет через : N t = c
51. Сила, необходимая для отрыва кольца от поверхности воды, складывается из веса шайбы и из силы поверхностного натяжения: F = F1 + F2.
Вес кольца F1 = ρh

4
2
(d 2 - d 1 )g .
2
При отрыве кольца поверхностная пленка
разрывается по внешней и внутренней окружности шайбы, поэтому сила поверхностного натяжения F2 = πσ(d1 + d2). Откуда х = F2 / F1 100 =
…
%.
52. Чтобы игла держалась на поверхности воды, необходимо, чтобы
давление, оказываемое весом иглы на площадь ее опоры, не превышало
давления, вызванного кривизной поверхности жидкости в углублении
под иголкой и направленного вверх. Давление иголки на воду р1 =
mg g dg


, где d – диаметр иголки, l –ее длина и Ω – ее объем.
ld
ld
4
Давление, вызванное кривизной поверхности жидкости, определяется
формулой Лапласа: р2 = σ(
1
1

). В нашем случае поверхность жидкоR1 R2
сти цилиндрическая, т.е. R1 =  и R2 = r – радиус иголки. Тогда : р2 =
2
gd 2

. Необходимо, чтобы р1 < р2 , то
, откуда d 
d
4
d
54
8
 1,6 мм
g
53. d = 0,5 мм
54. Поверхность воды между пластинами представляет собой криволинейную цилиндрическую поверхность с радиусом кривизны R =
d
, где
2
d – расстояние между пластинами. Отрицательное добавочное давление
под цилиндрической поверхностью р =

R

2
, величина р- избыток
d
внешнего давления, действующего на площадь пластин ω. Сила, которую надо приложить, чтобы оторвать пластинки друг от друга: F = p ω =
2
.
d
55. ρ = 790 кг/м3 .
Задание 4. Указание:1. Например, для варианта 13 и давления 758 мм рт
ст., h = 755 мм.
2. Принять во внимание диаметр трубки, – при каких условиях происходит образование мениска, т.е. дополнительного давления, которое прибавляется к давлению столба.
3. x = (H-h)|h = …%
Задание 5. Указание к выполнению работы.
При полном смачивании р1 =
2
, r – радиус кривизны верхнего менисr
ка (в условиях полного смачивания r =d/2). При вертикальном положении капилляра, заполненного водой, верхний мениск вогнут и давление,
вызванное кривизной этого мениска, направлено вверх.
р2 = ρgh – гидростатическое давление направлено всегда вниз. Если р1 >
р2, то результирующее давление, направлено вверх, заставляет нижней
мениск быть вогнутым. При этом давление р3 , вызванное кривизной
нижнего мениска (R) , направлено вниз и равно р3 =
2
. В равновесии:
R
р1 = р2 + р3. При р1<p2 результирующее давление направлено вниз, ниж55
ний мениск будет выпуклым. Направление давления р2 - вверх. В этом
случае р1 + р3 = р2.При р1 < р2 , то результирующее давление направлено
вниз, и нижний мениск будет выпуклым. При этом давление р3 =
2
буR
дет направлено уже вверх. Если р1 = р2 , то нижний мениск плоский и р3
= 0. (Знак R может быть -, +,  ).
2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
2.1 Силовое поле в жидкости
Гидростатика – раздел гидромеханики, изучающий законы равновесия
жидкостей, находящихся в условиях скомпенсированного действия всех
сил.
По характеру действия силы, действующие в жидкостях, различают:
массовые (объемные) и поверхностные. Величина массовых сил пропорциональна массе жидкости (каждой её частицы) в рассматриваемом
объеме. К их числу относят: силы тяжести, силы инерции, центробежные силы, электромагнитные силы. Проекции таких сил на координатные оси обозначают как X, Y, Z.
Поверхностные силы приложены к частицам жидкости, находящимся на рассматриваемой поверхности выбранного объема данной
жидкости или раздела жидкости и другой среды (реакция стенки сосуда, сила давления поршня, сила давления газа на свободную поверхность). Величина таких сил пропорциональна площади той поверхности, на которую эти силы действуют. По направлению действия таких
сил к поверхности различают: нормальные силы (силы сжатия или дав56
ления и силы растяжения, проекции таких сил обозначают как pxx, pyy,
pzz) и касательные (силы трения, их проекции pxy, pxz, pyz).
В условиях гидростатического равновесия проявляются только
нормальные поверхностные силы.
2.2 Гидростатическое давление и его свойства.
Основным понятием гидростатики является понятие гидростатического давления: отношение силы воздействия со стороны жидкости
ΔF к рассматриваемой единицы площади поверхности Δω (или точки)
внутри самой жидкости или твердого тела.
Отношение силы к площади:
p ср 
F

(2.1)
представляет среднее гидростатическое давление.
При Δω
0 получают значение истинной величины гидростатического
давления (давление в точке). Гидростатическое давление имеет размерность напряжения, в системе СИ Н/м2 (Паскаль). (Размерности единиц в
системе СИ приведены в. Приложение А)
Основные свойства гидростатического давления:
- действует всегда по нормали к рассматриваемой площадке и является
сжимающим напряжением;
- величина гидростатического давления зависит только от положения
рассматриваемой точки в жидкости и по всем направлениям имеет одинаковое значение.
Различают несколько понятий гидростатического давления (в зависимости от точки отсчета): рабс - абсолютное (полное), рвес - весовое, рман манометрическое (избыточное), вакуум:
рабс = р0 + рвес ,
(2.2)
где р0 – внешнее давление по отношению к свободной поверхности
жидкости,
57
рвес = ρgh,
(2.3)
соответствует весу вышележащего столба жидкости,
Рман = Рабс - Ратм = Р0 + Рвес - Ратм,
(2.4)
представляет собой превышение (избыток) абсолютного давления над
атмосферным,
рвак = ратм –рабс ,
(2.5)
вакуум (разрежение) недостаток давления до атмосферного или отрицательное избыточное давление.
2.3 Основное уравнение гидростатики. Гидростатический напор.
Дифференциальная форма записи основного уравнения гидростатики:
dp = ρ (Xdx + Ydy + Zdz)
(2.6)
Данное уравнение выражает изменение давления (его полный дифференциал) вдоль координатных осей в общем случае условия гидростатического равновесия.
Уравнение поверхности равного давления (эквипотенциальная поверхность), где dp =0 или р = const), учитывая, что ρ
Xdx +Ydy +Zdz = 0
0 , имеет вид:
(2.7)
Поверхность равного давления имеет следующие свойства:
- две поверхности равного давления не пересекаются между собой;
- массовые силы ориентированы по нормали к любой точке на поверхности равного давления.
Поверхность равного давления на границе раздела жидкой и газообразной среды называется свободной поверхностью жидкости.
Гидростатическое равновесие жидкости со свободной горизонтальной
поверхностью и внешним давлением p0 (рис.2.1) имеет следующие значения проекций массовых сил X = 0, Y = 0, Z = - g.
58
Рис. 2.1 Определение гидростатического давления в точке А.
После подстановки в уравнение (2.6) и интегрирования, для нахождения
величины давления в произвольной точке А, имеем:
PA = -ρgzA + C
(2.8)
Постоянная интегрирования при заданных граничных условий: z = z0 и
p = p0 равна:
C = p0 + ρgz0
(2.9)
После подстановки (2.9) в (2.8), учитывая, что zo – zA = hA , получим:
PA = p0 + ρghA
(2.10)
Полученное уравнение является основным уравнением гидростатики,
позволяющее определять величину любого давления в произвольной
точки под свободной поверхностью жидкости при абсолютном покое.
Гидростатический напор h - энергетическая характеристика покоящейся жидкости. Характеризует потенциальную энергию жидкости
в рассматриваемой точке. Размерность величины напора – метры.
Рис.2.2 К определению гидростатического напора.
59
Гидростатический напор h складывается из двух величин (рис.2.2):
h = z + Hp = z + pман/ρg
(2.11)
где z — геометрическая высота точки (её координата) над нулевой произвольно выбранной горизонтальной плоскостью отсчёта О-О; Hp —
пьезометрическая высота рассматриваемой точки жидкости.
Геометрическая составляющая z отражает энергию положения.
Например, чем выше водонапорная башня, тем больший напор она
обеспечивает в системе водопровода. Величина hp связана с давлением чем выше избыточное давление в водопроводной трубе, тем больше
напор в ней и вода поднимется на большую высоту. Hа практике высотные отметки (z и Hp отсчёта напоров от О-О) соотносят с абсолютными
геодезическими, отсчитываемыми от среднего уровня поверхности океана. (В России они отсчитываются от уровня Балтийского моря).
Важная особенность гидростатического напора состоит в том, что
он одинаков для всех точек покоящейся жидкости, гидравлически взаимосвязанных.
2.4 Передача силы и давления через жидкость. Простейшие гидравлические машины.
Для передачи силы и давления через жидкость в гидравлических машинах используют закон Паскаля – давление от внешней силы передается
на весь объем жидкости внутри нее во все стороны с одинаковой силой.
К простейшим гидравлическим машинам относят: гидравлические прессы (рис 2.3), мультипликатор (генератор давления), домкраты, гидроподъемники и другие.
60
Рис.2.3 Гидравлический пресс
Если к поршню П1 площадью ω1 приложить силу F1, то величина
возникающего давления в жидкости будет равна F1/ ω1, которое по
всему объему жидкости передается без изменения. Поэтому на втором
поршне П2 появится сила F2 = р1 ω1. Имеет место соотношение:
F1/ ω1 = F2/ ω2
(2.12)
или F1/ F2 = ω1 / ω2
(2.13)
Силы, действующие на поверхности жидкости, пропорциональны их
площадям. Это используется в технике для получения больших усилий.
При передаче давления через жидкость отношение его величины
обратно пропорционально отношению площадей поверхностей на
которое оно действует:
P1 = P2 ω2/ ω1
(2.14)
Поэтому, за счет увеличения отношения площадей поршней можно
повысить давление в жидкости. На этом принципе работают
мультипликаторы давления (рис.2.4) способные повышать давление до
десятков тысяч атмосфер (камера B) при начальном давлении в камере в
100 -500 атмосфер (камера A).
61
Рис.2.4 Мультипликатор давления
2.5 Примеры решения задач
Пример1. Барометрическая трубка погружена в чашку с ртутью
(рис.2.5). Определить величину абсолютного рабс и манометрического
давления рман на глубине Н = 40 см под свободной поверхностью ртути.
Барометрическое давление соответствует высоте h = 750 мм рт. ст. Чему
равно барометрическое давление в метрах столба воды?
Рис.2.5
Решение. Манометрическое (избыточное) давление на глубине Н в случае открытой чашки с ртутью численно будет равно весовому давлению:
рман = рвес = ρртgH = 13600· 9,81·0,4 = 53366 Н/м2 ≈ 53,4 кПа
62
Абсолютное давление на глубине Н в барометрической трубке равно
сумме барометрического давления рб и манометрического давления рман
рабс = рб + рман
Зная высоту поднятия ртути в трубке h, находим величину барометрического давления:
рб = ρртgh = 13600· 9,81· 750 · 10-3 = 100062 Н/м2 = 100,062 кПа
Величина абсолютного давления:
рабс = 100,062 + 53,4 = 153,462 кПа
Для выражения барометрического давления в метрах ртутного столба
следует исходить из соотношения плотностей ртути и воды (в задачах
принимаем плотность воды ρ равную 1000 кг/м3):
hб1 = рб · ρрт/ρ = 750· 10-3 ·13,6 =10, 2 м вод.ст.
Пример 2. Определить высоту поднятия hp жидкости в открытой
сверху трубке, присоединенной в точке А к открытому резервуару
(рис.2.6).
Рис.2.6
Решение. Под действием весового или избыточного давления РА = ρgh,
жидкость поднимется в трубке на высоту hp. Такая трубка называется
пьезометром (обычно диаметр трубки составляет 10 -12 мм для устранения краевых эффектов смачивания), а высота hp – пьезометрической
высотой. Составим основное уравнение гидростатики для точки А со
63
стороны резервуара и со стороны пьезометра. Величина абсолютного
давления в точке А со стороны резервуара:
PA = Pатм + ρgh
Со стороны пьезометра:
РА = Pатм + ρghр
Приравниваем левые и правые части: Pатм + ρgh = РА = Pатм + ρghр
Откуда находим: hp = h
Ответ: hp = h, то есть пьезометрическая высота для данного случая характеризует величину избыточного давления в точке присоединения
пьезометра в линейных единицах размерности.
Пример 3. Определить высоту поднятия жидкости в открытом пьезометре hp, если свободная поверхность жидкости в резервуаре испытывает давление Р0, причем Р0 > Ратм (рис.2.7).
Рис.2.7. Условие равновесия для закрытого резервуара
Решение. Под действием внешнего давления Р0 > Ратм и весового давления ρgh жидкость в пьезометре поднимется на высоту hp большую, чем
в случае открытого резервуара. Давление в точке А со стороны закрытого резервуара находится как:
PA = P0 + ρgh
Со стороны открытого пьезометра:
РА = Pатм + ρghр
Тогда: P0 + ρgh = Pатм + ρghр
Из равенства получаем выражение для hp :
64
=
Ответ:
=
, то есть и в данном случае пьезометрическая
высота соответствует величине избыточного давления в точке присоединения пьезометра, но при этом избыточное давление складывается
из внешнего избыточного давления на свободной поверхности ( р0 –ратм)
и весового (ρgh).
Пример 4. Из закрытого резервуара (1) при помощи вакуумного насоса
откачана часть воздуха. Резервуар с помощью изогнутой трубки (3) соединен с открытой ёмкостью (2), заполненной жидкостью (рис.2.8).
Свободная поверхность жидкости в данной ёмкости находится при атмосферном давлении. Определить высоту поднятия жидкости в трубке.
Рис.2.8 Определение вакуумметрической высоты
Решение. Из условия задачи следует, что в резервуаре (1) давление
меньше атмосферного, поэтому жидкость из ёмкости (2) поднимется в
трубке (3) на некоторую высоту, называемой вакуумметрической высотой hв. Величина hв определяется из условия гидростатического равновесия:
Ратм = Рабс + ρghв
65
Откуда
Ответ: hв =
hв =
.Теоретически максимальное значение вакууммет-
рического давления составляет 98,1 кПа или 10 м. вод.ст., на практике
создать разрежение в жидкости меньше давления насыщенный паров не
возможно (предельное значение составляет 7-8 м.вод.ст.).
Пример 5 Два сообщающихся закрытых сосуда наполнены жидкостями
с различными плотностями ρ1 и ρ2. Давления Р01 и Р02 на свободной поверхностью жидкостей различны. Линия 0-0 - линия раздела несмешиваемых жидкостей (рис.2.9). Определить величину гидростатического
давления в точках С1 и С2.
Рис.2.9 Условия равновесия жидкости в сообщающихся сосудах
Решение. Точки С1 и С2 лежат на горизонтальной плоскости, проходящей через линию 0-0, которая является плоскостью равного давления.
Согласно основному уравнению гидростатики:
Рс1 = Р01 + ρ1gh1
Рс2= Р02 + ρ2gh2
В условиях гидростатического равновесия Рс1 = Рс2, поэтому :
Р01 + ρ1gh1 = Р02 + ρ2gh2
Р01 - Р02 = ρ2gh2 - ρ1gh1
Ответ: Р01 - Р02 = ρ2gh2 - ρ1gh1 , полученная зависимость характеризует
общее условие равновесия в сообщающихся сосудах, на основе, которой
решаются частные задачи.
66
Пример.6 . Определить величину изменения давления, действующего
на материальную точку, находящуюся в резервуаре с маслом для холодильных машин с μ = 15,68 мПа·с при t = 50 0С (рис.2.10). Точка расположена на расстоянии Z = 2 м от плоскости сравнения О-О, если дно сосуда расположено от неё на расстоянии Z1 =180 см, при опускании материальной точки на дно (в точку m).
Рис.2.10
Решение. Использовать уравнение Эйлера (основное уравнение гидростатики) для точек, находящихся на свободной поверхности и на дне сосуда при выбранной плоскости сравнения: О-О: z0 + p0/ρg = z1 + p1/ρg ,
откуда р1 = р0 + ρgH. Из последнего соотношения для двух заданных точек получим: Δр = ρg(Z – Z1). Значение плотности находим, используя
заданные в условии задачи параметры – значение динамической вязкости и температуры. По таблице Б.6 найдем значение кинематической
вязкости в разделе компрессорные масла, определенные при t = 50 0С,
затем, используя соотношение: υ = μ/ρ выразим значение плотности.
Сделать проверку размерности.
Подставляя полученное значение плотности, получим Δр = 980х9,81(2 –
1,8) = 1922,76 Па
Ответ. Δр =1922,76 Па
67
Пример.7. Определить величину и направление силы F, приложенной к
штоку диаметром d = 50 мм поршня диаметром D = 100 мм для удержания его на месте. В камере справа от штока воздух, слева от поршня в
и резервуаре – вода (рис.2.11). Манометр показывает давление Рм = 0,02
МПа, Н = 5 м.
Рис.2.11
Решение. Величина давления на левом торце поршня равная: р1 = р0 +
ρgH, соответствует силе F1 = р1(πD2)/4 , которая действует на поршень
слева - направо. Для её уравновешивания необходимо, чтобы справа
действовала сила F2 = Fм + F. Величину силы Fм определяем следующим
образом: Fм = (р0 –рм)(D2 –d2)π/4. Учитывая равенство приложенных к
поршню сил, искомая величина силы будет равна: F = (р0 +ρgH)(πD2)/4 –
(p0 – рм)(D2 – d2)π/4 = 702,011Н
Ответ. F = 702,011Н.
Пример. 8. Груз массой М = 1100 кг находится на платформе малого
поршня подъёмника диаметром d = 0,06 м (рис.2.12). Определить величину силы Q, которую необходимо приложить к концу рычага малого
гидравлического подъёмника для подъёма груза, если D = 20 см, а плечи
рычага равны: ОВ = 8 см, ВА = 50 см.
68
Рис.2.12
Решение. Величина давления в левом поршне р = F/ω1, где F = Mg, а ω1
= πD2/4. Учитывая равенство давления под поршнями (закон Паскаля),
определим величину силы Q, которую необходимо приложить в точке
В: q = рπd2/4. Из равенства моментов сил относительно точки закрепления рычага О, имеем: (ОВ)q = (ОА)Q. Откуда выразим значение Q =
Mg(ОВ)d2/[D2(ОВ + ВА)] = 134Н.
Ответ. Q = 134 Н.
Пример.9. Резервуар квадратной формы с выступом установлен на четыре опоры и заполнен водой (рис.2.13). Определить силу давления воды на дно резервуара и на каждую из его четырёх опор. Геометрические
параметры резервуара: h = 3 м, h1 = 1 м , h2 = 3 м.
Рис. 2.13
69
Решение. Избыточное (манометрическое) давление в каждой точке дна
сосуда равно:
рм = ρgH= 1000х9,81х4 = 39,24 кПа,
где Н = h1 + h2.
Все точки дна резервуара находятся на одной глубине, поэтому давление в них одинаково и сила давления на дно будет:
F = pм·ω =353,15 кН.
Эта сила внутренняя. На опоры действует внешняя сила – вес воды (сила тяжести):
G = ρgΩ,
где Ω – объём воды в сосуде.
Подставляя данные, получим:
G = 1000х9,81х(1х1х1 + 3х3х3)= 274,68 кН.
Каждая из опор испытывает силу давления : Rоп = G/4 = 68,67 кН.
Ответ: F = 353,15 кН; Rоп =68,67 кН.
2.6 Задачи
1. Три резервуара одинакового объема и высоты заполнены водой, вес
которой G (рис.2.14). Найти силы гидростатического давления на дно
каждого сосуда, если отношение радиусов R:R1 =1:2.
Величину сил сравнить между собой.
Рис.2.14
70
2. Определить манометрическое давление в закрытом котле с водой
(рис.2.15), и пьезометрическую высоту поднятия воды h1, если высота
поднятия ртути в трубке манометра h2 = 50 мм.
Рис.2.15
3. Какую силу F2 нужно приложить к большому поршню, чтобы система
с водой находилась в равновесии (рис.2.16)? F1=117 Н, d= 30 мм, D=
280 мм, h= 25 см.
Рис.2.16
4. В гидравлический пресс (объем заполнен машинным маслом) вставлены два плунжера, расположенные в одной горизонтальной плоскости,
площади плунжеров: ω1 = 24 см2 и ω2= 8 см2 (рис.2.17). Определить показание манометра Рм и силу F2, удерживающую в равновесии второй
плунжер, если сила F1=365 H.
Рис.2.17
71
5. Для измерения высоты налива нефти в открытом резервуаре установлена вертикальная труба, открытый конец которой почти доходит до
днища (рис.2.18). В эту трубу с очень малой скоростью подают воздух,
что позволяет пренебречь гидравлическим сопротивлением. Определить
высоту Н налива нефти с удельным весом 890 кГ/м3, если давление воздуха, поступающего в резервуар эквивалентно высоте ртути h=89 см.
Рис.2.18
6. Определить высоты перепада уровня масла h1 и h2 в прессе (рис.2.19),
если на поршни площадью ω1, ω2 и ω3 действуют силы G1, G2 ,G3.
Рис.2.19
7.Определить величину манометрического давления в точках А и В в
резервуаре с водой, нагретой до 30 0С (рис.2.20). На поршень диаметром
200 мм производится давление силой 3,08 кН. (h = 2 м).
Рис.2.20
72
8. Поршень весом G = 300 H диаметром d = 0,5 м давит на свободную
поверхность скипидарного масла, заполняющего герметичный цилиндр
с нижним диаметром D = 100 см, высота масла в цилиндре H = 0,7 м.
Определить силу гидростатического давления на дно цилиндра.
9. В сосуд с ртутью вертикально погружена открытая с нижнего конца
трубка (рис.2.21). Уровень ртути в сосуде и трубке одинаков, когда
поршень находится выше этого уровня на h0 = 1 м. Найти высоту поднятия уровня ртути в трубке h над уровнем ртути в сосуде, если высота
подъема поршня стала H = 75 см.
Рис.2.21
10. В U- образную трубку наливают ртуть. Затем в одно из колен наливают масло, а в другую воду. Поверхности раздела ртути с маслом и водой в обоих коленах находятся на одном уровне. Определить высоту
столба воды h, если высота столба масла H = 20 см, а γ = 0,9 Г/ см3.
11. U- образном ртутным манометром можно измерить давление до 1
атм (рис.2.22). Какое наибольшее давление можно измерить, если соединить последовательно два таких манометра короткой трубкой. Принять сжатие воздуха в соединительной трубке изотермическим. Площадь сечения трубки ω считать известной.
73
Рис.2.22
12. Манометр состоит из трех стеклянных трубок, нижняя часть которого заполнена ртутью, слева над ртутью налито масло. Определить изменение давления ΔР в манометре, если уровень масла поднялся на Δh =
10 мм (рис.2.23). Отношение плотностей ртуть/масло = 14, отношение
сечений трубок ω3/ω2 = 2, ω2/ω1 = 50.
Рис.2.23
13. Определить величину манометрического давления в точках А, B, C
(рис.2.24), если на поршень диаметром d = 180 мм действует сила F =
6,15٠103 Н. (h =1,4 м).
Рис.2.24
74
14. Определить разницу уровней ртути в U образном запаянном капиллярном сосуде разного диаметра и частично заполненного ртутью. Воздух из сосуда откачен.
15. Определить разницу уровней воды в U образном запаянном капиллярном сосуде разного диаметра и частично заполненного водой. Воздух из сосуда откачен. (Над поверхностью жидкости имеются только ее
пары).
16. В двух открытых вертикально расположенных цилиндрах радиусам
r1 =0,3 м и r2 =0,15 м, площади, сечения которых ω1 и ω2 находятся два
невесомых поршня, соединенные тонкой невесомой нитью длины L =
0,1 м (рис.2.25). Пространство между поршнями заполнено водой.
Найти натяжение нити Т. (Внешнее давление принять за р0 , поршень
находится в равновесии).
Рис.2.25
17. В открытый цилиндрический сосуд налиты равные по весу количества воды и ртути. Общая высота столба жидкости в сосуде Н= 143 см.
Чему равно абсолютное давление на дно сосуда?
18. Широкое колено U- образного ртутного манометра имеет втрое
больший диаметр, чем узкое. К какому колену следует прикрепить шкалу для отсчета измерения давления, чтобы точность измерения была
выше? Ответ обосновать.
75
19. В сообщающиеся сосуды налита ртуть, а поверх неё в один сосуд
налита вода высотой 1,2 м, а в другой – нефть высотой 0,38 м. Определить разность уровней ртути в сосудах.
20. Определить все виды гидростатического давления и величину напора в баке с нефтью на глубине 3 м, если давление на свободной поверхности составляет 200 кПа. Высота налива нефти H= 7м.
21. Два вертикальных сообщающихся сосуда диаметрами d1 и d2 заполнены водой и закрыты поршнями массой М1 =2 кг и М2=3 кг. Когда на
первый поршень поместили гирю массы m=1 кг, то в положении равновесия он установился на h=10 см ниже второго поршня, если эту гирю
переставить на второй поршень, то он оказался на 10 см ниже первого
(рис.2.26). Найти расположение поршней в отсутствие гири.
Рис.2.26
22. Резервуар с трансформаторным маслом с = 886 кг/м3 испытывает
давление над свободной поверхностью в 150 ат. Определить все виды
гидростатического давления в резервуаре, если глубина заполнение 2,5
м.
23. Показания ртутного манометра h2 =0,25 м, h3 =1,8 м (рис.2.27).
Определить давление в резервуаре и высоту поднятия уровня воды h1.
76
Рис.2.27
24. Манометр, расположенный на высоте z = 1,25 м от основания открытого резервуара с нефтью, показывает давление 0,75 атм. Найти высоту налива нефти и величину абсолютного давления на дно резервуара.
25. Определить манометрическое давление в точке А, расположенной на
глубине 3 м. Определить пьезометрическую высоту для точки А, если
давление на свободной поверхности равно 163,4 кПа (рис.2.28).
Рис.2.28
26. В резервуаре, заполненном керосином, свободная поверхность жидкости испытывает давление в 1 МПа. Определить все виды гидростатического давления на глубине 1,8 м. Геометрическая высота свободной
поверхности равна 3 м. Определить величину напора на дне резервуара.
27. Поршень с площадью ω шарнирно связан с шайбой С, скользящий
без трения по рычагу АВ. Длина рычага L (рис.2.29). Какую наимень77
шую силу нужно приложить к рычагу, чтобы давление в жидкости увеличилось на р?
Рис.2.29
28. Открытый широкий сосуд с водой глубиной h = 0,9 м удерживает
равновесие на тонком ребре параллелепипеда. Нарушится ли равновесие, если на поверхность воды положить квадрат со стороной а = 0,3 м
из пенопласта с грузом на нём в 1кг, свободно перемещающийся по поверхности? Определить величину манометрического давления на дно
сосуда.
29. Определить избыточное давление в трубе с водой по показаниям батарейного ртутного манометра (рис.2.30). Отметки уровней ртути от оси
трубы z1= 1, 75 м, z2 = 3 м, z3 = 1,5 м, z4 = 2,5 м. (другие части колен манометра заполняет вода).
Рис.2.30
78
30. Манометр Менделеева (рис.2.31) состоит из нескольких колен заполненных ртутью (высоты Н) и водой (высоты h). Чему равно давление, измеренное таким манометром? Сколько колен и какой высоты
должен быть манометр для измерения давления в 200 атм?
Рис.2.31.
31. К герметическому резервуару, заполненному водой, присоединен
пьезометр с открытой трубкой. В трубке установился уровень воды.
Определить величину абсолютного и избыточного давления для двух
случаев (рис.2.32).
Рис.2.32
32. Чему равна пьезометрическая высота, если манометр, присоединенный к цилиндру с машинным маслом, показывает величину избыточного давления в 10 бар?
79
33. В U-образной трубке находится ртуть. Затем в одно из колен налили
воду, а в другое глицерин, причем поверхность раздела ртути с водой и
глицерином находится на одном уровне. Определить высоту столба воды hв, если высота столба глицерина hг = 18 см.
34.Для измерения плотности жидкостей при атмосферном давлении и
любых температурах, применяют простой метод – гидростатического
давления. Схема установки для определения плотности по этому методу
показана на рис.2.33: в сосуд с исследуемой жидкостью 1 по трубке 4
подается из баллона 3 газ, не взаимодействующий с жидкостью. Давление газа в трубке измеряется жидкостным манометром 2.
Выведите формулу для определения плотности исследуемой жидкости.
Предложите рациональный способ проведения замеров для упрощения
вычисления значения плотности.
Рис.2.33
35. В гидравлическом прессе при опускании малого поршня на h = 25
см, большой поршень поднимается на H = 0,01 м. Определить силу, с
которой будет действовать пресс на зажатое в нем тело, если приложенное усилие к малому поршню составляет 500 Н.
36. В цилиндрический сосуд налиты равные по весу количества ртути и
глицерина. Общая высота столба жидкости в сосуде H = 138 см. Определить величину гидростатического давления на дно сосуда.
80
37. Сферу радиуса r = 0,2 м, состоящую из двух одинаковых тонкостенных никелевых полусфер, полностью заполняют ртутью. Верхняя полусфера прочно закреплена (рис.2.34). Определить вертикальную силу,
которую необходимо приложить к нижней полусфере, чтобы ртуть не
выливалась. (Плотность никеля 8600 кг/м3)
Рис.2.34
38. Замкнутая в кольцо тонкая цилиндрическая трубка, заполнена тремя
несмешиваемыми жидкостями с известными плотностями, расположена
в вертикальной плоскости (рис.2.35). Жидкость с плотность ρ1 заполняет
дугу кольца с углом α1, жидкость с плотностью ρ2 – дугу с углом α2.
Определить угол α, который образует с вертикалью радиус кольца,
проведенный к границам этих жидкостей.
Рис.2.35
39. Полая сфера диаметром D = 4м затонула на глубине Н в озере
(рис.2.36). В верхней части сферы имеется воздушная прослойка в
виде шарового сегмента толщиной h =1 м (при затоплении образова81
лась течь, и часть сферы заполнилась водой). Известно, что давление
воздуха в сфере равно гидростатическому давлению в воде на глубине 10 м. Определить глубину Н на которой находится сфера.
Рис.2.36
40. На глубине H= 20 м в морской воде установлена бетонная катушка
(ρб = 2000 кг/м3) высотой h = 4 м имеющая следующие размеры: верхний диаметр D1 = 6 м, нижний диаметр D2 = 3 м, толщина стенок h1 =1
м, центральный диаметр d = 1 м (рис.2.37). Определить силу давления
конструкции на дно.
D1
H
h1
d
h
h1
D2
Рис.2.37
41. Поршень диаметром D = 0,04 м и весом G = 45 Н имеет в центре
отверстие, в которое вставлена тонкая трубка диаметром d = 2 см,
лежит на дне цилиндрического стакана. Определить высоту поднятия
поршня Н, если в трубку влили воды массой m = 1840 г (рис.2.38).
Поршень плотно и без трения входит в стакан.
82
Рис.2.38
42. Цилиндрический сосуд без дна плотно стоит на горизонтальной поверхности (рис.2.39). Вес сосуда G =94,3 Н. В сосуд наливают жидкость.
При достижении уровня жидкости h = 0,9 м, сосуд отрывается от горизонтальной поверхности. Определить плотность ρ наливаемой жидкости, если 2R = 12см; r = 0,03 м.
Рис.2.39
43. Поршневые насосы, сделанные из труб большого D = 10 см и малого
d =6 см диаметров, подняли воду на одинаковую высоту. H = 0,5 м; h =
0,2 м . Определить, какой из четырех поршней надо тянуть с большей
силой и её величину, чтобы удержать его в равновесии (рис.2.40). Вес
поршней не учитывать.
83
Рис.2.40
44. Гидравлическим домкратом поднимают груз весом 1,5 т затрачивая
работу равную А = 36 Дж. При этом малый поршень сделал n =10 ходов,
перемещаясь за один ход на h = 0,1 м. Сравнить площади поршней.
45. В конический сосуд с радиусом большого основания R =0,15 м без
дна, плотно стоящего на горизонтальной поверхности постепенно наливают жидкость при t = 10 0C (рис.2.41). При достижении уровня h = 9
см, давление жидкости приподнимает сосуд. Определить плотность
жидкости, если известен вес сосуда G = 230,7 Н, и угол α = 270 между
образующей конуса и вертикалью. Полученное значение плотности
сравнить с табличным (см. Приложение Б)
Рис.2.41
46.Определить величину абсолютного и манометрического давления на
выпускной клапан резервуара, находящейся под уровнем нефти плот84
ности 840 кг/м3 на глубине 4,6 м. Барометрическое давление составляет
760 мм рт.ст.
47. Манометр, присоединенный к резервуару с нефтью плотности 840
кг/м3 , показывает давление 121 кПа, Определить уровень налива нефти
в резервуаре.
48. Определить пьезометрическую высоту для жидкости плотности 830
кг/м3, соответствующую манометрическому давлению 5 бар.
49. Бетонная дамба (ρб = 2000 кг/м3) высотой h = 4 м, находится на глубине 6 м, имеет размеры: В = 2 м, длина дамбы 3 м. Слева в дамбе на
всю длину имеется паз размеров в сечении 0,8 х 0,8 м (рис.2.42). Определить силу давления дамбы на грунт.
Рис.2.42
50. В U-образной трубке в равновесии находится жидкости с плотностями ρ1 и ρ2 (ρ1 <ρ2) так, что граница раздела проходит точно через низ
трубки. На высоте a от нижней точки трубки появляется небольшое отверстие, и началось перетекание жидкости (рис.2.43). Определить,
насколько измениться уровень в колене с жидкостью плотностью ρ2, когда перетекание жидкости прекратиться. ( Перемешивание жидкостей
не происходит, возможен разрыв столба жидкости в месте появления
отверстия).
85
Рис.2.43
51. Паровой прямодействующий насос качает нефть на высоту Н = 10 м
(рис.2.44). Определить рабочее давление пара, если диаметр парового
цилиндра D = 300 мм, а насосного цилиндра d = 150 мм. Потери на трение не учитывать.
Рис.2.44
86
2.7 Самостоятельные работы для расчета элементов гидростатических машин и приводов
Задание 1
Гидравлический мультипликатор (рис.2.45) состоит из подвижного цилиндра 1 с внешним диаметром D,
неподвижной скалки 2 диаметром d и
неподвижного цилиндра 3, в который
под давлением р1 подается рабочая
жидкость. При заполнении рабочей
жидкостью цилиндр 1 начинает
скользить по скалке, создавая в проточном канале давление р2.
Рис.2.45
Определить величину давления р2,
если известен вес цилиндра G. (Силой трения пренебречь).
Исходные данные для расчета
Вариант
D, мм
d, мм
G, кН
р1, МПа
1
200
50
2
0,55
2
250
50
2,45
0,5
3
300
75
2,55
0.45
4
350
75
2,65
0,42
5
400
75
2,75
0,4
6
450
75
2,85
0,37
7
500
100
2,95
0,35
8
550
100
3,2
0,32
9
600
100
3,45
0,3
10
650
120
3,7
0,25
87
Задание 2
Гидравлический мультипликатор состоит из
поршня диаметром D и скалки диаметром d.
(рис.2.46). Определить, под каким давлением р1
необходимо подводить рабочую жидкость под
большой поршень, чтобы на выходе из мультип
рис.2.46
ликатора получить давление р2. (Трением и ве-
сом поршня со скалкой пренебречь).
Вариант
Исходные данные для расчета
D, мм
d, мм
Р2, МПа
1
100
40
5
2
125
45
4
3
130
34
9
4
140
56
7
5
145
70
6
6
150
52,5
8
7
160
47
2
8
170
65
4
9
180
60
3
10
200
36
6
88
Задание 3
Для штамповки изделий применяется гидравлических аккумулятор
(рис.2.47). Вес рамы с грузами равен G, диаметр плунжера d, а диаметр
гидравлического пресса D. Определить усилие F, которое развивает
пресс при штамповке. (Трением и высотой h столба жидкости пренебречь)
Рис.2.47
Вариант
Исходные данные для расчета
D, мм
d, мм
G, кН
1
300
120
150
2
325
125
155
3
350
150
160
4
375
175
165
5
400
200
170
6
425
210
173
7
450
220
175
8
475
230
180
9
500
235
185
10
525
240
190
89
Задание 4
Hа плунжер 1 гидравлического пресса диаметром d1 действует сила F1.
В результате на плунжере 2 развивается усилие F2 (рис.2.48). Определить диаметр D плунжера 2. (Весом подвижных частей и трением пренебречь).
Рис.2.48
Вариант
Исходные данные для расчета
d, мм
F1, кН
F2, кН
1
30
0,35
12
2
35
0,5
18
3
40
0,25
5,5
4
45
0,4
15
5
50
0,2
6
6
55
0,6
30
7
60
0,3
10
8
65
0,15
12
9
70
0,45
20
10
75
0, 27
23
90
Задание 5
Определить величину сжимающего усилия F2 гидравлического пресса
(рис.2.49), если с- длина большого плеча рычага, b – длина малого плеча
рычага, d – диаметр поршня насоса,
D – диаметр поршня пресса.
F1 – прилагаемое усилие на рычаг
η – к.п.д. пресса.
Рис.2.49
Вариант
Исходные данные для расчета
d, мм
D, мм
с, м
b, м
F1, кН
η
1
16
225
1,2
0,14
0,13
0,92
2
18
200
1,1
0,16
0,12
0,82
3
20
275
1,1
0,08
0,11
0,94
4
22
300
1,15
0,12
0,14
0,91
5
24
280
1,18
0,13
0,12
0,87
6
25
250
1,0
0,1
0,15
0,85
7
27
270
1,25
0,14
0,16
0,90
8
28
325
1,22
0,15
0,14
0,85
9
30
330
1,16
0,11
0,14
0,89
10
32
338
1,20
0,09
0,13
0,93
91
Задание 6
Ручной плунжерный насос 1 диаметром d подает рабочую жидкость
(масло) в цилиндр диаметром D гидравлического пресса 2 (рис.2.50).
Определить силу F1, которую нужно приложить в точке А рукоятки
насоса для создания прессом силы F2. Плечи рычага с и b. (Трением подвижных частей пресса пренебречь).
Рис.2.50
Вариант
Исходные данные для расчета
d, мм
D, мм
с, м
b, м
F2, кН
1
10
250
2,0
0,3
1
2
10
500
1,7
0,35
3,5
3
12
300
2,1
0,25
1,5
4
12
450
1,9
0,25
3
5
15
350
2,25
0,2
2
6
15
400
2,0
0,18
2,5
7
18
420
1,8
0,3
3,8
8
18
510
2,3
0,4
4,0
9
20
270
1,6
0,15
2,7
10
20
220
2,75
0,44
1,5
92
Задание 7
Определить давление, создаваемое гидравлическим грузовым аккумулятором, и запасаемую им энергию (рис.2.51). Диаметр плунжера – d, ход
плунжера – h, вес движущихся частей устройства – G. Коэффициент полезного действия аккумулятора – η.
Рис.2.51
Вариант
Исходные данные для расчета
d, мм
G, кН
h, м
η
1
200
725
6
0,85
2
210
740
5,8
0,86
3
220
750
5,75
0,86
4
240
775
5,5
0,87
5
250
800
5,25
0,87
6
280
825
5,0
0,88
7
300
850
4,8
0,89
8
320
875
5,9
0,88
9
350
900
4,9
0,9
10
375
920
5,45
0,88
93
Задание 8
Определить давление создаваемое насосом 1, подводящим рабочую
жидкость к силовому цилиндру 2 (рис.2.52).
Диаметр цилиндра – D, диаметр штока – d, усилие, приложенное к штоку – F,
η – к.п.д. цилиндра, Dp – потери давления в гидросистеме.
Рис.2.52
Вариант
Исходные данные для расчета
F, кН
D, мм
d, мм
η
Dp, кПа
1
1
60
40
0,98
2,92
2
2
50
25
0,97
2,37
3
3
55
28
0,96
3,67
4
4
70
36
0,95
5,02
5
5
80
40
0,94
3,0
6
6
90
45
0,93
5,36
7
7
65
30
0,92
2,5
8
8
74
40
0,98
5,6
9
9
86
38
0,94
4,03
10
10
75
28
0,92
4,8
94
Задание 9
Определить величину усилия F, развиваемую силовым цилиндром (рис.
2.53).
Диаметр цилиндра – D,
Диаметр штока – d,
Величина давления в цилиндре справа от поршня – р1, слева – р2. К.п.д.
– η.
Рис.2.53
Вариант
Исходные данные для расчета
d, мм
D, мм
р1, МПа
р2, МПа
η
1
55
110
10
0,2
0,9
2
60
125
9
0,18
0,88
3
65
130
4
0,09
0,8
4
70
140
8
0,16
0,86
5
75
145
8
0,18
0,87
6
80
160
7
0,16
0,85
7
90
180
7
0,15
0,84
8
100
200
6
0,12
0,82
9
115
210
5
0,11
0,81
10
125
220
5
0,1
0,8
95
Задание 10
Определить величину усилие F (Н), которое необходимо приложить к
рукоятке гидравлического домкрата и его к.п.д., для того, чтобы поднять груз весом G (рис.2.54). Размеры рукоятки масляного насоса c и b,
диаметр его поршня –d, диаметр плунжера –D, вес плунжера – Gп, высота кожаного манжета h, а его коэффициент трения о металл –f.
Рис.2.54
Исходные данные для расчета
Вариант
G, кН
Gп, кН
D, мм
d, мм
1
100
0,2
120
16
300
25
15
0,15
2
110
0,21
122
14
310
26
16
0,15
3
120
0,22
125
17
320
28
16
0,14
4
125
0,18
130
14
340
26
17
0,16
5
130
0,25
135
15
350
24
18
0,16
6
135
0,28
140
19
360
26
19
0,15
7
140
0,24
145
20
380
25
20
0,14
8
145
0,25
128
21
310
30
14
0,15
9
150
0,3
125
18
315
26
18
0,16
10
160
0,26
130
15
330
24
16
0,14
96
с, мм
b, мм
h, мм
f
Задание 11
Запорное устройство в предохранительно клапане состоит из двух жестко соединенных поршней 1 и 2, диаметры который соответственно d1 и
d2 (рис.2.55). Клапан открывается, когда запорное устройство перемещается вправо, сжимая пружину 3. Пружина поджимается винтом 4 в зависимости от расчетного давления, необходимого для открытия клапана.
Определить поджатие пружины Х. Известна жесткость пружины –С и
величина давления в системе –р.
Рис.2.55
Вариант
Исходные данные для расчета
d1, мм
d2, мм
С, кН
p, МПа
1
16
18
6
1,0
2
17
19
7
1,1
3
18
20
10
0,8
4
20
22
6
0,5
5
21
23
8
1,6
6
22
24
6
0,3
7
23
25
10
2,0
8
24
26
9
0,5
9
26
28
8
1,5
10
28
30
10
2,2
97
2.8 Ответы, указания к решению задач
1. Гидростатическое давление на дно у всех сосудов одинаково р = ρgh ;
сила давления F= p∙ ω ; произведение h ∙ Ω=G, где G- вес жидкости.
Объем усеченного конуса Ω= 1/3 πh (r12 + r1r2 + r22) ; откуда F1 = 12/7 G
; F2 = 3/7 G ; F0 = G.
2., h1 = 0,68 м, рман = 6,8 кПа
3. F2 = 5088 H
4. Р1 = 1,52 ат; F2 = 121,68 Н
5. H =13,6 м
6. h1 = 1/ρg (G3/ω3 – G2/ ω3) ; h2 = 1/ρg (G2/ω2 – G1/ ω1)
7. Использовать значение плотности воды при заданной температуре.
9. Объем воздуха в трубке первоначальный: Ω0 =ωh0, после подъема на
высоту Н: Ω1 = ω(Н-h), а его давление р1 = р0- ρgh, (т.к.р0 = р1+ ρgh); согласно закону Бойлья-Мариотта р0Ω0 =р1Ω1 или р0ωh0 = р1 ω(Н-h) подставляем сюда выражение для h и решив уравнение относительно р1,
найдем
р1 = (р0 - Н ρg)/2
, т.к. давление в трубке не может
быть отрицательным, то берем знак (+). h = 0,675 м.
11. U-образный манометр измеряет избыточное давление: Δр = р -р0 где
р0 –атмосферное давление, р – давление в левом колене, видно, что Δр
=ρgH = 1 атм = р0, для 2-х манометров: р1 = ρgH + р2 =р0 +р2 , а р2 = р0
столба жидкости при изменении давления в сообщающихся сосудах.
Сделать вывод.
19. Δh = 0,065 м при плотности нефти 825 кг/м3
21. Δh = h1-h2= 1/60 = 0,0167 м = 1,67 см.
23. Рассмотреть условие равновесия для плоскости m-n со стороны резервуара и со стороны жидкости, откуда выразить р0. Из уравнения гидростатического равновесия для трубки 1, найти значение h1 = …м.
98
25. Pман = 92,1кПа, h вода = 9,21 м , h ртуть = 0,67 м
27. Для увеличения давления на Δp, сила, действующая на шток, должна
возрасти на Δp∙ω Это значит, что сила, действующая на шайбу «С» со
стороны рычага, должна возрасти на N= Δp∙ω/ cosα эта сила при отсутствии трения перпендикулярна рычагу. Т.к. сам рычаг находится в равновесии, то сумма моментов приложенных к нему относительно (.) А =
0, т.е. момент силы N, действующий на рычаг со стороны шайбы, должен быть равен моменту силы F, приложенной к рычагу. Cоставить
уравнение равновесия и выразит+ρртgh, с другой стороны р2 - давление
сжатого воздуха, занимающего объем ω(H/2 +h/2), ω –площадь сечения
трубки, первоначально этот воздух занимал объем ωH/2 в правом колене манометра 1 и такой же объем в левом колене манометра 2 ( Ω0
=2ωH/2). Давление воздуха было р0. По условию р0Ω0 = р2Ω2.
Давление р1 может превышать атмосферное давление на величину р1-р0
= 1,4 атм.
12. Для определения величины Δр, необходимо найти изменение высот
жидкостей в каждой из трубок манометра по изменению объема.
14. При равновесии давление у правого и левого конца (точки «А» и
«В») горизонтальной трубки должно быть одинаковым: р = рнп+рвес+рп ,
где соответственно давление насыщенных паров, весовое давление, дополнительное давление за счет сил поверхностного натяжения. Учесть
направление действия рп.
15. См. указание к задаче 14.
16. Рассмотреть все силы, действующие на поршни с ω1 и ω2 .Составить
уравнения гидростатического равновесия с учетом направления действия сил. Решая совместно уравнения, найдем Т= ρgLω1ω2/(ω1-ω2) =
923 Н
17. рабс = 127,43 кПа
99
18. Пусть при измерении давления уровень ртути в широком колене
поднялся на Δh1 , а в узком – опустился на Δh2. Рассмотреть условие неразрывности ь значение F.
28. Обосновать, используя закона Паскаля.
29. Рассмотреть равновесие в каждом колене: pатм + ρртg(z4-z3) = ρg(z2-z3)
, тогда избыточное давление pизб = 0,3 МПа.
30. Манометр на 200 атм будет состоять из 9 колен по 18 м высоты. Рассмотреть отдельно равновесие в каждом колене.
32. Решать в системе СИ.
33. Вода и глицерин согласно условию задачи оказывают одинаковое
давление на ртуть. Откуда находим искомую высоту.
34. Использовать равенство ρhg = ρжНg +
2
; дать обоснование : ρж =
r
h
 .
H
35. Давление жидкости внутри пресса р=f/ω1 , где ω1 – площадь малого
поршня. Искомая сила F = p ω2, где ω2 – площадь большого поршня.
Считаем жидкость несжимаемой, запишем Н ω2 = h ω1. Откуда ω2 / ω1
=h/Н.
36. Искомое давление находится с учетом высот столбов ртути и глицерина.
37. Рассмотреть условие равновесия нижней полусферы, заполненной
ртутью. Давление в жидкости в центре сферы находится согласно закону Паскаля.
38. Составить уравнение гидростатического равновесия для точек поверхностей равного давления.
α = arctg[(ρ1 – ρ3)(1 – cosα1) – (ρ2 – ρ3)(1 – cosα2)] / [(ρ1 – ρ3)sinα1 + (ρ2 –
ρ3)sinα2]
39. Глубина водоема находится из условия, что масса воздуха, находящегося внутри сферы остается прежней (закон Бойля – Мариот-
100
та).Давление в точке А – дно водоема складывается из атмосферного
давления и давления слоя воды толщиной Н. Н= 57 м.
40. Учесть направление сил гидростатического давления на поверхности
дамбы.
41. Давление на дно сосуда равно р = ρg(H+h), с другой стороны, т.к.
сосуд цилиндрический
р =(G+mg)/πR2. Высоту h найдем, приравнивая силы, действующие на
поршень. H = 0,25 м.
42. ρ = 1260 кг/м3
43. Давление воды под поршнем каждого из насосов меньше атмосферного на величину ρg(H+h).
F = 215,6 Н.
44. Работа А=Fhn, где F=P ωм / ωб - сила действующая на малый поршень, ω – площади малого и большого поршней. Решая полученные
уравнения получим: ωб / ωм = Fhn/А .
45. Давление на дно сосуда р= ρgh. Сила, с которой заштрихованная
часть жидкости давит на горизонтальную поверхность, равна F=
ρghπ(2Rhtgα – h2tg2α). По 3 закону Ньютона такая же сила действует на
жидкость. Условие равновесия жидкости в момент, когда сосуд перестает давить на горизонталь: G + G1 = F, где G1 – вес заштрихованной
части жидкости (усеченный конус минус объем цилиндра). Откуда
находим ρ = 13570 кг/м3 .
46. рабс = 138,3 кПа, рман = 37 кПа.
47. z = 14,7 м
48. h = 61,4 м
50. Давление на уровне отверстия в левом колене > чем в правом. Первая жидкость, разорвав столб второй на две части, будет втекать в правое колено: часть второй жидкости (была над отверстием) поднимется,
а которая была под отверстием, начнет перетекать в левое колено через
101
низ трубки (рис.2.56). Движение прекратиться, когда давление слева и
справа на уровне отверстий сравняются.
х = а/2(ρ1/ρ2 -1), где h1, h2 – начальные высоты первой и второй жидкости соответственно
Рис.2.56
51. рп = 46,566 кПа.
Проверочные ответы самостоятельной работы :
Задание
Вариант
Ответ
1
1
7,781 МПа
2
1
0,8 МПа
3
1
937,5 кН
4
1
176 мм
5
1
202,7 кН
6
1
0,209 кН
7
1
19,616 МПа; 3,698 МДж
8
1
0,364 МПа
9
1
149,99 кН
10
1
160,5 Н ; 92,3 %
11
1
8,9 мм
102
3 ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ ПРИ ОТНОСИТЕЛЬНОМ РАВНОВЕСИИ
3.1 Понятие относительного равновесия жидкости
Под относительным равновесием понимается такое состояние, при котором в движущейся жидкости не происходит смещения отдельных частиц относительно друг друга. При этом жидкость перемещается, в модельном представлении, как твердое тело. Для такого состояния характерно постоянство формы объема жидкости, поэтому рассматриваемая
масса жидкости будет неподвижна в координатной системе, связанной с
движущимся резервуаром.
На жидкость, находящуюся в относительном покое, действуют массовые силы: силы тяжести, силы инерции или центробежные силы, а из
поверхностных сил – силы давления. Величина давления в любой точке
жидкости определяется конфигурацией её свободной поверхности.
3.2 Прямолинейное равноускоренное или равнозамедленное движение
Характерно для прямолинейного движения жидкости с постоянным
ускорением
по горизонтали, по наклонной плоскости образующей
угол с горизонталью или вертикали.
Жидкость в движущемся резервуаре находится под действием силы
давления, силы тяжести и силы инерции, причем ускорение силы инерции по величине соответствует значению
и направлено в сторону,
обратную ускорению резервуара a. Результирующий вектор массивных
сил определяется диагональю параллелограмма, построенного на ускорениях сил тяжести g и инерции. Свободная поверхность жидкости
наклонена к горизонту под углом α, тангенс которого равен tg α = α/g.
Величина давления под свободной поверхностью определяется по формуле:
103
P = ρg(H+ x)
(3.1)
где Н- глубина погружения точки с координатой х под свободной поверхностью в состоянии покоя.
При движении резервуара с жидкостью по наклонной плоскости, образующей угол β с горизонтом, тангенс угла наклона свободной поверхности определяется по формуле:
tg α =
(3.2)
Резервуар с жидкостью скатывается под действием силы тяжести (сила
трения резервуара о плоскость скатывания отсутствует):
= g sinα (3.3)
или tgα =tgβ, откуда α = β.
При перемещении резервуара вертикально (β = 900):
tga= 0, а =0 (3.4)
3.2 Относительное равновесие при вращении вокруг вертикальной
оси
Конфигурация свободной поверхности при равномерном вращении
жидкости вокруг вертикальной оси представляет собой параболоид
вращения (рис.3.1), описываемая уравнением вида:
(3.5)
где ω – угловая скорость, с-1, ω = 2π·n, где n- число оборотов об/с; ω =
v/R, an =ω2R, где an -нормальное ускорение, v – линейная скорость, R –
радиус вращения.
Высота параболоида вращения (делится исходным уровнем при вращении пополам z0 = H0 –H/2):
(3.6)
104
Рис.3.1 Вращение жидкости вокруг вертикальной оси в цилиндрическом
сосуде
Значение гидростатического давления на дно вращающегося сосуда
определяется из уравнения:
p=
(3.7)
3.3 Примеры решения задач
Пример1. Определить величину давления на дно сосуда, двигающегося
вертикально с ускорением а . Чему будет равно давление на дно в случае свободного падения?
Решение. Найдем закон распределения давления в вертикальной плоскости х = const. Учитывая, что система координат перемещается вместе
с резервуаром, y = 0, а для выбранной плоскости dx =0, уравнение свободной поверхности (2.6) примет вид:
dp = ρZdz
105
где Z =
sinβ – g , тогда dp = ρ(
sinβ – g) dz или
После интегрирования, получим:
Значение постоянной интегрирования определим при условии z = 0,
следовательно, и const = 0.
Для двух точек с координатам z0 =0 b z1 =1 имеем:
или p1 = p0 + ρ(g –asinβ)h
где h – высота смещения рассматриваемой точки жидкости по вертикале.
В случае свободного падения резервуара a =g, и р1 =р2 =р0 давление
жидкости во всем объеме будет одинаково.
Пример 2. Сосуд с прямоугольным основанием размерами L x B наполнен водой до высоты h и движется по горизонтальной поверхности с
ускорением a (рис.3.2). Определить избыточное давление воды на дно
сосуда у передней и задней стенок в точках 1 и 2.
106
Рис.3.2
Решение. При горизонтальном движении сосуда с ускорением a свободная поверхность жидкости станет наклонной к горизонту под углом α,
тангенс которого равен: tg α = - a/g. Учитывая что объем воды не изменяется, поэтому свободная поверхность повернется вокруг оси О, расположенной на середине длины сосуда, а повышение и понижение свободной поверхности у торцовых стенок будет одинаковым и равным Δh
= L/2.
Избыточное давление в точке 1 будет равно: p1 = ρg(h + Δh ٠tgα) = ρg(h
+ L/2 ٠a/g)
Для точки 2 величину избыточного давления находим как: p2 = ρg(h - Δh
٠tgα) = ρg(h - L/2٠a/g)
Пример 3. Цилиндр гидроциклона высотой Н и диаметром D заполнен
водой до уровня H/2 (рис.3.3). Определить предельное число оборотов
вращения n вокруг вертикальной оси Z, при котором не происходит выливания из него воды.
107
Рис.3.3
Решение. Свободная поверхность жидкости, при вращении вокруг вертикальной оси Z, принимает форму параболоида вращения и описывается уравнением:
,
где x –расстояние от точки на свободной поверхности до оси вращения
(радиус параболоида в данной точке);
Z – высота параболоида вращения в точке с координатой x.
Для выполнения условия задачи, чтобы вода не выливалась из цилиндра
при его вращении с числом оборотов n, величина координаты x должна
быть не более D/2. Известно, что при вращении параболоид делится исходным уровнем пополам. Тогда объем части параболоида вращения Ω,
отсекаемой плоскостью, перпендикулярной вертикальной оси на высоте Z будет равен половине объема цилиндра Ω ц диаметром D и высотой
Z:
Ω=½Ωц=
Так как цилиндр заполнен водой до половины, то при x = D/2 высоту
параболоида вращения находим из условия:
Ωв = Ω ц – Ω,
где Ωв – объем воды в цилиндре:
108
Ωв =
Ω ц – объем цилиндра:
Ωц=
Подставляя значения, получим:
=
-
Учитывая условие задачи, x = D/2 и Z =H, уравнение свободной поверхности параболоида вращения принимает вид:
H=
;
Откуда находим предельное число оборотов цилиндра, при котором не
будет выливаться вода:
, об/с
n=
Пример. 4. Для изготовления бетонной трубы центробежным способом
(литьё) в цилиндрическую форму с внутренним диаметром D = 120 см и
высотой L = 100 см был залит цементный раствор удельного веса γ = 16
кН/м3. Число оборотов вращения цилиндрической формы вокруг вертикальной оси Z составляла n = 500 об/мин (рис.3.4). Определить толщину стенки трубы δ2 , если толщина стенки цементной трубы δ1 = 60 мм.
Как уменьшить величину δ?
109
Решение. Находим угловую
скорость вращения цилиндра:
ω = πn/30 = 3,14·500/30 = 52,4
с-1.
Высота параболоида вращения
составляет: Н = (ω·R)2/2g =
43,8 м, где R = D/2
Найдём высоту параболоида
вращения h1: h1 = (ω·r1)2/2g,
где r1 – радиус параболоида
вращения на высоте h1.
r1 = D/2 – δ1 = 0,56 – 0,6 = 0,5
м, тогда h1 = 139,5·0,5 = 34,9
м.
Рис.3.4
Определим радиус параболоида вращения r2 на высоте h2:
h2 = h1 + L = (ω·r2)2/2g, откуда выразим значение r2:
=
.
Тогда толщина стенки трубы δ2 на высоте h2 : δ2 = R - r2 = 0,56 – 0,507 =
0,053 м.
Сравнив величины δ1 и δ2, находим, что толщина стенки трубы в верхней её части меньше на 7 мм, чем в нижней.
Для уменьшения разницы между δ1 и δ2 необходимо увеличить угловую
скорость вращения формы, то есть повысить число оборотов в минуту n.
110
3.4 Задачи
1. Цистерна, представляющая собой правильный параллелепипед длиной L, высотой h и шириной d, закрыта сверху крышкой и целиком заполнена водой, движется с ускорением a в горизонтальном направлении. Определить силу давления воды на крышку.
2. Прямоугольный танк без крышки движется с постоянным ускорением
а (рис.3.5). В танк налит анилин до глубины h. Определить величину
предельного ускорения, при котором анилин начнет выплескиваться из
танка.
Рис.3.5
3. Цистерна, представляющая собой правильный параллелепипед длиной L, высотой h и шириной d, закрыта сверху крышкой и целиком заполнена водой, движется с ускорением a в горизонтальном направлении. Определить силу давления воды на дно цистерны.
4. Закрытый цилиндрический сосуд высотой Н и диаметром D наполнен жидкостью на ¾ высоты (рис.3.6). С какой угловой скоростью ω
надо вращать сосуд вокруг вертикальной оси, чтобы параболоид вращения коснулся дна?
111
Рис.3.6
5. Сосуд, имеющий форму прямого круглого конуса, радиуса R и высотой Н, поставлен на вершину, наполнен до краев водою и вращается вокруг оси Z (рис.3.7). Определить какая часть жидкости выльется, когда
параболоид вращения касается поверхности конуса вдоль окружности
основания.
Рис.3.7
6. Сосуд, имеющий форму прямого круглого конуса, диаметром D и высотой Н, поставлен на вершину, наполнен до краев водою и вращается
вокруг оси Z (рис.3.8). Определить, с какой угловой скоростью ω надо
вращать сосуд, чтобы параболоид вращения касался поверхности конуса вдоль окружности основания.
Рис.3.8
112
7. Цилиндрический сосуд радиусом R1 наполнен жидкостью плотностью ρ до уровня h в открытой трубке малого диаметра, установленной
на крышке сосуда на расстоянии R2 от центра, и приведен в равномерное вращение относительно центральной вертикальной оси (рис.3.9).
Определить угловую скорость вращения сосуда, при которой избыточное давление под крышкой в центре сосуда будет равно нулю.
Рис.3.9
8. Сосуд с водой вращают с постоянной угловой скоростью ω=10 c-1 .
Определить диаметр сосуда, если высота параболоида вращения равна
0,46 м. Чему равна линейная скорость частицы на боковой стенке сосуда?
9. Сосуд, частично заполнен ртутью, движется с горизонтальным ускорением a. Свободная поверхность при этом наклонена под углом α к горизонту. Как изменится этот угол, если сосуд доверху заполнить водой?
(Сверху сосуд закрыт крышкой). Нарисовать эквипотенциальные поверхности для воды и ртути.
10. Цилиндр, наполненный ртутью, вращают вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω = 20 c-1 . При этом свободная поверхность
ртути образует параболическое зеркало. Определить фокусное расстояние этого зеркала.
113
11. В сосуд высотой H = 0,3 м залита жидкость до уровня h = 0,2 м
(рис.3.10). Опре
сосуд, с тем, чтобы жидкость не выплеснулась из него, если его диаметр
D = 100 мм.
Рис.3.10
12. Открытый сосуд с водой высотой 0,67 м радиусом 32 см перемещают вертикально с ускорением a = 0,7 м/с2. Определить величину давления на глубине 40 см. Что будут представлять собой эквипотенциальные поверхности в этом случае?
13. Определить характер эквипотенциальной поверхности жидкости, если сосуд, в котором она находится, движется вертикально вниз с ускорением a = 0,5g.
14. Определить кинетическую энергию, которой обладает элементарная
частица воды (куб с ребром 10-6 см) на свободной поверхности при её
вращении с угловой скоростью ω = 14 с-1 в гидроциклоне диаметром 1,2
м.
15. В сосуд высотой 78 см и радиусом r = 26 см налита вода на глубину
0,55 м. Будет ли выплескиваться жидкость, если сосуд равномерно вращать вокруг вертикальной оси с постоянной угловой
скоростью ω=12 c-1.
114
16. Определить диаметр сосуда, наполненного водой и вращающегося с
постоянной угловой скоростью ω=9 c-1. Высота параболоида вращения
составляет 0,38 м. Вычислить величину нормального ускорения частицы, расположенной на боковой стенке сосуда.
17. При отливке цилиндрической полой заготовки во вращающейся относительно вертикальной оси форме из-за действия сил тяжести нижний
внутренний радиус r1 будет меньше верхнего внутреннего радиуса r2
(рис.3.11). Определить их разность, если высота отливки Н = 0,5 м,
форма вращается с угловой скоростью ω = 200 с-1, ее диаметр D = 200
мм и она в начальный момент заполнена на 30% своего объема.
Рис.3.11
18. Открытый сосуд диаметром d = 0,45 м заполнен водой наполовину и
вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью ω . Определить такую угловую скорость вращения, при которой вода начнёт выливаться из сосуда высотой h = 1м.
19. Цилиндрический сосуд диаметром D = 80 мм вращается на вертикальном валу диаметром d = 30 мм (рис.3.12). Определить минималь115
ную угловую скорость ω , при которой жидкость не будет соприкасаться
с валом, если первоначально сосуд был заполнен до уровня h = 0,05 м.
Считать, что высота сосуда Н достаточно велика, чтобы при этой угловой скорости жидкость не доставала до крышки сосуда.
Рис.3.12
20. Определить минимальную частоту вращения n, которую нужно сообщить сосуду, изображенному на рисунке 3.13, вокруг его вертикальной оси для полного его опорожнения. Размеры: D = 200 мм; d = 100
мм; H= 50 мм.
Рис.3.13
21. Цилиндрическое ведро, полностью заполненное водой, высотой L
вращают в вертикальной плоскости YX c угловой скоростью ω
(рис.3.14). Расстояние от центра вращения О до уровня воды равно R.
Определить величину гидростатического давления на дно ведра, если
116
ведро вращают с минимальным числом оборотов n, при котором вода не
него выливается.
Рис.3.14
Контрольные вопросы.
1. Какое движение совершает жидкость, находящаяся в цилиндрическом резервуаре относительно его стенок при его вращении вокруг
вертикальной оси?
2. От каких параметров зависит высота подъема жидкости у стенок
цилиндрического резервуара при его вращении?
3. Как зависит размер диаметра цилиндра на высоту параболоида
вращения?
4. Увеличили угловую скорость вращения цилиндра вдвое, что будет
с высотой подъема жидкости у его стенок?
5. Как направлена сила давления жидкости на боковую поверхность
цилиндра при его вращении вокруг вертикальной оси?
6. Какой закон изменения избыточного давления по мере вертикального погружения под свободной поверхностью параболоида вращения, в какой либо точке?
7. Как изменяется избыточное давление жидкости по мере удаления
от оси вращения цилиндра в горизонтальной плоскости?
8. Угловую скорость вращения цилиндра увеличили в 1,5 раза. Как
изменится избыточное давление жидкости.
117
3.5 Ответы, указания к решению задач
1. Давление линейно возрастает по мере удаления от передней стенки,
искомая сила равна: F = [(ρaL+0)/2]∙Ld = ρL2da/2.
2.
3. F =ρhLdg + ρ∙(L2d/2)a.
4.
. Сосуд закрыт - жидкость не выплёскивается, поэтому ис-
ходный объем жидкости перераспределится внутри цилиндра. Из равенства исходному объему жидкости выразить ω.
5. Объем параболоида вращения АBC соответствует объему вылившейся жидкости, первоначальный объем – объему конуса (рис.3.15). Отношение объемов составляет ¾ , следовательно, выльется ¾ объёма конуса.
Рис.3.15
6.
7.
.Давление в центре под крышкой на оси вращения опре-
деляется высотой параболоида вращения и имеет знак “-“, т.к. по условию задачи ризб = 0. Составляя уравнение распределения давления на
линии поверхности под крышкой, координата z =0, получим значение ω.
8. v = 3 м/с.
118
9. Линии постоянного давления будут составлять с горизонтом угол α.
Угол наклона границы раздела жидкостей будет таким же, как и угол
наклона поверхности ртути до доливания в сосуд воды. Привести доказательство.
10. На свободной поверхности параболоида вращения выбрать элементарный объем массой m, с координатой х от оси вращения. Рассмотреть
действия всех сил на этот объем. Результирующая сила является центробежной – массовая сила Х = ω2х . Тангенс угла наклона касательной
к поверхности жидкости в данной точке равен: tgα = ω2х/g
.Предположив, что данная точка одновременно принадлежит некоторой
сфере радиуса R, найдем угол наклона β касательной к этой сфере в
точке, находящейся на расстоянии х от вертикального диаметра
(рис.3.16). Из рисунка видно, что sinβ = x/R. При малом удалении х рассматриваемой точки от оси вращения, углы наклона достаточно малы, и
значения тангенса и синуса можно заменить самими углами. Отсюда
следует, что наилучшим в модельном представлении к поверхности
вращающейся жидкости является сфера с радиусом R. Фокусное расстояние такой поверхности (вогнутое зеркало) f = R/2. Подставляя численные значения, получил результат.
Рис.3.16
21. р = ρg[(ω2L/2g)·(2R+L) - L·sinα] ; n = (30/π)
119
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Винников В.А., Каркашадзе Г.Г. Гидромеханика: Учебник для
вузов. – М.: Издательство МГГУ, 2003, - 302 с.
2. В.Н.Бинги. Магнитобиология: эксперименты и модели.
М.,МИЛТА, 2002, - 592 с.
3. ГОСТ 8.417-2002. Единицы величин.
4. В.С. Яблонский, И.А. Исаев. Сборник задач и упражнений по
технической гидромеханике. М., Гос. Изд.физ-мат. лит., 1963 ,
200 с.
5. И.Л. Повх. Техническая гидромеханика. Л., Энергоиздат, 1982,
524 с.
6. Б.М. Яворский, А.А. Детлаф. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. М., Изд. Наука, 1974, -942 с.
7. В.И. Соголаев. Механика жидкости и газа. Конспекты лекций.
СибАДИ- Омск, 1995,- 56 с.
8. В.И. Соголаев. Задачи по механики жидкости и газа. Учебное
пособие. СибАДИ – Омск, 1995,- 24 с.
9. Б.О. Ботук. Гидравлика. Высшая школа. Москва , 1962, -450 с.
10. Д.Н. Попов, С.С. Панаиотти, М.В.Рябинин. Гидромеханика.
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 384 с.
11. Розенберг Г.Д. Сборник задач по гидравлике и газовой динамике для нефтяных вузов. М., Недра, 1990, -238 с.
12. Чугаев Р.Р. Гидравлика. Техническая механика жидкостей. Л.,
Энергоиздат, 1982, -672 с.
13. Арустамова Ц.Т., Иванников В.Г. Гидравлика. М., Недра,
1995, -198 с.
14. Альтшуль А.Д., Киселев П.Г. Гидравлика и аэродинамика. М.,
Стройиздат, 1975, - 274 с.
120
15. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. М., Машиностроение,
1987, 440 с.
16. Фабер Т.Е. Гидрогазодинамика. М., Постмаркет, 2001, -559 с.
17. И.А. Гулак. Задачи по гидравлике. М., Недра, 1972, -128 с.
18. В.С. Волькенштейн. Сборник задач по общему курсу физики.
М., Наука, 1973, -464 с.
19. Квант. Науч.-попул. Физ-мат. журнал.М.,Наука, 1970-2005 гг.
20. Internet ресурсы.
121
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Единицы международной системы единиц (СИ), применяемые в
гидромеханики
Таблица А.1 – Основные единицы СИ:
Величина
Длина
L
Единица
Обозначение
Наименовамеждународ- русние
ное
ское
метр
m
м
Масса
M
килограмм
kg
кг
Время
T
секунда
s
с
Θ
кельвин
K
К
Наименование
Размерность
Термодинамическая температура
Таблица А.2 – Производные единицы СИ образованные с использованием наименований и обозначений основных единиц СИ:
Величина
Единица
Наименование Размерность Наименование
Площадь
L2
Объем, вместимость
Скорость
LT-1
Ускорение
LT-2
Плотность
L-3M
Удельный
объем
L3M-1
L3
квадратный
метр
кубический
метр
метр в секунду
метр на секунду в квадрате
килограмм на
кубический
метр
кубический
метр на килограмм
122
Обозначение
международное русское
m2
м2
m3
м3
m /s
м /с
m /s2
м /с2
kg/m3
кг/м3
m3/kg
м3/кг
Таблица А.3 – Производные единицы СИ, имеющие специальное
наименование и обозначение:
Величина
Наименова-
Единица
Обозначение
международное
русское
ньютон
N
Н
Выражение через
основные
и производные
единицы
СИ
m∙kg∙s-2
L-1MT-2
паскаль
Pa
Па
m-1∙kg∙s-2
L2MT-2
джоуль
J
Дж
m2∙kg∙s-2
Θ
градус
Цельсия
Размерность
Наименование
Сила
LMT-2
Давление
ние
Энергия,
работа
Температура Цельсия
0
0
C
C
K
Таблица А.4 – Производные единицы СИ, наименования и обозначения которых образованы с использованием специальных наименований и обозначений:
Величина
Единица
Обозначение
Наименование
Размерность
Наименование
международное
русское
Момент
силы
Поверхностное
натяжение
Динамическая
вязкость
Удельная
энергия
L2MT-2
ньютонметр
ньютон на
метр
N∙m
Н∙м
Выражение
через основные и
производные единицы СИ
m2∙kg∙s-2
N/m
Н/м
kg∙s-2
паскальсекунда
Ра∙s
Па∙с
m1∙kg∙s-1
джоуль на
килограмм
J/kg
Дж/кг
m2∙s-2
MT-2
L-1MT-1
2 -2
LT
123
ТаблицаА.5 - Соотношение внесистемных единиц, применяемых в
гидромеханики с единицами СИ
Наименование величины
Сила
Давление
Наименование
Единица
Обозначение
междунарусродное
ское
дина
килограмм-сила
грамм-сила
килограмм-сила на
квадратный сантиметр
килопонд на квадратный сантиметр
миллиметр водяного столба
миллиметр ртутного
столба
торр
бар
dyn
kgf
gf
дин
кгс
гс
kgf/cm2
кгс/см
Соотношение
с единицей
СИ
1∙10-5 N
9,80665 N
9,80665∙10-3
N
98066,5 Ра
2
980066,5 Ра
kp/cm2
--
9,80665 Ра
mm H2O
mm Hg
мм
вод.ст.
133,322 Ра
Torr
bar
мм
рт.ст.
133,322 Ра
1∙105 Ра
-бар
Динамическая
вязкость
Кинематическая
вязкость
пуаз
Р
П
0,1 Ра∙s
стокс
St
Ст
1∙10-4 m2/s
124
Таблица А.6 – Множители и приставки, используемые для образования наименований и обозначений десятичных кратных и дольных единиц СИ:
Десятич-
При-
Обозначение
Десятич-
При-
Обозначение
ный мно-
ставка
приставки
ный мно-
ставка
приставки
меж-
рус-
житель
дуна-
ское
житель
родное
меж-
рус-
дуна-
ское
родное
1024
иотта
Y
И
10-1
деци
d
д
1021
зета
Z
З
10-2
санти
c
с
1018
экса
E
Э
10-3
милли
m
м
1015
пета
P
П
10-6
микро
μ
мк
1012
тера
T
Т
10-9
нано
n
н
109
гига
G
Г
10-12
пико
p
п
106
мега
M
М
10-15
фемто
f
ф
103
кило
k
к
10-18
атто
a
а
102
гекто
h
г
10-21
зепто
z
з
101
дека
da
да
10-24
иокто
y
и
125
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Физические свойства жидкостей
Таблица Б.1-Плотности (ρ) некоторых жидкостей при давлении р =
1 ат и t =20 0C
Жидкость
Ацетон
Бензин
Бензол
Бром
Водород
Вода тяжелая, D2O
Глицерин
Керосин
Кислота азотная
Кислота серная
Кислота уксусная
Кислород
Масло вазелиновое
Масло креозот
Масло машинное
Масло скипидарное
Масла растительные
Молоко
Морская вода
Нефть
Ртуть
Ртуть
Спирт бутиловый
Спирт изобутиловый
Спирт изопропиловый
Спирт пропиловый
Спирт метиловый
Спирт этиловый
Спирт этиловый
Сероуглерод
Углерод четыреххлористый
Хлороформ
Хлорбензол
Эфир
ρ ∙10-3, кг/м3
0,792
0,69 – 0,72
0,899
3,12
0,0432
1,109
1,26
0,82
1,502
1,840
1,049
0,1225
0,8
1,04 – 1,10
0,90 – 0,92
0,87
0,914 – 0,962
1,03
1,01 – 1,05
0,81 – 0,85
13,596
13,546
0,80978
0,8011
0,7854
0,8044
0,7928
0,7893
0,790
1,293
1,595
1,489
1,066
0,736
126
Примечание
При 0 0С
При 0 0С
При –240 0С
При 0 0С
При –200 0С
При 15 0С
При 15 0С
При 0 0С
При 0 0С
При 0 0С
При 0 0С
Таблица Б.2-Значения плотности воды при различных температурах и атмосферном давлении р =101,3 КПа:
Темпе-
Темпе-
Плот-
ратура,
ность,
С
кг/м3
999,73
200
868,00
20
998,23
250
794,00
999,87
50
988,07
300
710,00
2
999,97
100
958,38
350
574,00
4
1000,00
150
917,30
374,15
307,00
Плотность,
Темпера-
Плотность,
кг/м3
тура, 0С
кг/м3
-10
998,15
10
-5
999,30
0
ратура,
0
С
127
0
Таблица Б.4 - Значения коэффициента поверхностного натяжения
воды σ при р = 101,3 кПа в диапазоне температур от 0 0С до 100 0С:
t, 0C
σ, 10–3 Н/м
0
75,64
10
74,22
20
72,25
30
71,18
40
69,56
50
67,91
60
66,18
70
64,42
80
62,61
90
60,75
100
58,85
Таблица Б.5 – Значение коэффициент поверхностного натяжения
некоторых жидкостей в стандартных физических условиях:
Коэффициент поверхностного
Жидкость
натяжения σ, Н/м
(при t = 20 0C)
Спирт
0,02
Керосин
0.03
Бензол
0.03
Касторовое масло
0.035
Вода
0.073
Глицерин
0.064
Ртуть
0.5
129
Таблица Б.5- Динамическая вязкость (μ) некоторых жидкостей при
давлении р = 101,3· 103 Па в диапазоне температур от 0 до 100 0С:
μ 103, Па с
Температура,
С
Вода
Ртуть
Этанол
Глицерин
0
1,7921
1,685
1,773
12100
10
1,3094
1,615
1,466
3950
20
1,0053
1,554
1,200
1480
30
0,7985
1,499
1,003
600
40
0,6589
1,450
0,834
330
50
0,5494
---
0,702
180
100
0,2838
1,240
---
13
0
Таблица.Б.6 Давление насыщенных паров воды при разных температурах
t, 0C
рн , Н/м2
t, 0C
рн , Н/м2
-5
401,30
16
1813,18
0
610,61
18
2066,49
1
657,78
20
2333,14
2
705,27
25
3173,06
3
758,60
30
4239,64
4
813,26
40
7372,71
5
871,93
50
12332,29
6
934,59
60
19864,98
7
1027,91
70
31197,35
8
1073,24
80
47329,31
9
1147,90
90
70127,37
10
1227,89
100
101324,72
12
1399,88
150
4,8 атм
130
14
1599,86
200
15,3 атм
Таблица Б.7 - Значения кинематической вязкости ν смазочных масел при t = 50 0C и нормальном атмосферном давлении:
Тип масла
Наименование масла
1
2
Кинематическая вязкость, ν 50 ,
сСт
3
Велосит
4,0 – 5,1
Вазелиновое
5,1 – 8,5
Приборное
МВП
6,3 – 8,5
Швейное
6,0 – 10,0
Индустриальные
масла
Сепараторное
Веретенное 2
Сепараторное Т
Веретенное
3В (выщелоченное)
Индустриальное 30
Машинное
СВ
Индустриальное 50
Судовое
6,10 – 10,0
10 - 14
14 – 17
17 -23
27 - 33
38 - 52
42 – 58
79 -90
131
Область применения
4
Для механизмов, работающих с большими скоростями и небольшими нагрузками
Для механизмов, работающих с большими скоростями и небольшими нагрузками
Для контрольноизмерительных приборов,
работающих при низких
температурах
Для механизмов швейных,
вязальных и вышивальных
машин
Для подшипников центрифуг и сепараторов
Для различных механизмов
Для подшипников центрифуг и сепараторов
Для различных механизмов
при проточной системе
смазки
Для различных механизмов
Для различных механизмов
при проточной системе
смазки
Назначается в особых случаях
Для судовых механизмов
1
2
Автомобильное специальное зимАвтомонее
бильные,
Автомобильтракторные
ное специи дизельные
альное летом
масла
Авиационные масла
Масла для
паровых
машин
3
Продолжение таблицы Б.7
4
29 - 33
Для автомобильных двигателей зимой
45 – 60
Для автомобильных двигателей летом
Моторное Т
62 -68
Для тихоходных дизельных
двигателей ( до 600
об/мин)
Авиационные МС, МК
14 – 24 (при
100 0С)
Цилиндровое
легкое 11
9 – 13 (при
100 0С)
Цилиндровое
тяжелое 38
32 – 44 (при
100 0С)
Цилиндровое
тяжелое 52
(вапор)
44 – 59 (при
100 0С
132
Для паровых машин, работающих на насыщенном
паре, и механизмов, работающих с большими
нагрузками и малыми скоростями
Для паровых машин, работающих на перегретом паре, и механизмов, работающих с большими нагрузками и малыми скоростями
Для паровых машин, работающих на перегретом паре, и механизмов, работающих с большими нагрузками и малыми скоростями
1
2
3
Осевые
масла
Осевое С
12 - 14
Осевое Л
36 -52
Полугудрон
133 - 185
Турбинное
22
20 -23
Турбинное
46
44 - 48
Турборедукторное
55 – 59
Турбинные
масла
Масло для
Компрессорные мас- холодильных
машин
ла
16
Компрессорное М
8,5 – 14
Компрессорное Т
15 -21
Окончание таблицы Б.7
4
Для шеек осей колесных
пар подвижного состава
железных дорог зимой
Для шеек осей колесных
пар подвижного состава
железных дорог летом
Для осей повозок и вагонеток с открытыми подшипниками
Для подшипников и механизмов паровых и водяных
турбин
Для подшипников и механизмов паровых и водяных
турбин
Для подшипников и механизмов паровых и водяных
турбин
Для компрессоров холодильных машин
Для одноступенчатых компрессоров низкого давления
Для многоступенчатых
компрессоров повышенного давления
ПРИЛОЖЕНИЕ В
Радиус кривизны
Радиусом кривизны кривой L в точке
R-- кривизна линии L в точке
называется число r= 1/R, где
. Если кривизна в точке
радиус кривизны формально полагают равным
равна 0, то
. Для окружности
это определение даёт значение радиуса кривизны, совпадающее с радиусом окружности (постоянное во всех точках окружности).
Из всех окружностей, касающихся линии L в фиксированной точке M
(x0,y0), наиболее плотно прилегает к линии L та окружность, которая
имеет радиус, равный радиусу кривизны кривой в точке
, и выпук-
лость в ту же сторону, что кривая L. Эта окружность называется окружностью кривизны линии L в точке M (рис В.1).
Рис. В.1. К определению радиуса кривизны. Окружности, касающиеся
линии L, и окружность кривизны
Средней кривизной поверхности в точке М называется величина r = r1
+ r2 = 1/R1 + 1/R2 , где R1 и r1= 1/R1 – радиус кривизны и кривизна первой
кривой в точке М, где R2 и r2= 1/R2 – радиус кривизны и кривизна второй кривой в точке М. В случае сферической поверхности r1 = r2 = R ,
где R – радиус сферы и r = r1 + r2 = 2/R (рис.В.2).
Рис.В.2 К определению «кривизна поверхности»
135