ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ ... ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Е.К. Болтвина

УДК 517.958, 519.711.3, 519.6
ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Е.К. Болтвина1, Та Чунг Тхань2
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет,
664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Изучена первая краевая задача с подвижными границами и найдены решения численным методом
конечных разностей, а также проведена оценка точности полученных приближенных решений. Разработана и апробирована методика численного решения первой краевой задачи с подвижными границами для уравнения теплопроводности.
Ил. 6. Табл. 1. Библиогр. 12 назв.
Ключевые слова: уравнение теплопроводности; краевая задача; разностные схемы; системы линейных алгебраических уравнений.
FIRST BOUNDARY-VALUE PROBLEM WITH MOVABLE BOUNDARIES FOR HEAT CONDUCTION
EQUATION
E.K. Boltvina¹, T. Ta Chung ²
National Research Irkutsk State Technical University,
83 Lermontov St., Irkutsk, 664074
The authors have studied the first boundary-value problem with movable boundaries and revealed the solutions by the numerical method of finite differences. In addition, the authors have evaluated the accuracy of
the approximate solutions. The researchers have developed and tested a method for numerical solution of
the first boundary-value problem with movable boundaries for the heat conduction equation.
Illustrations: 6 pic. Table 1. Sources: 12 refs.
Keywords: heat conduction equation, boundary-value problem, finite-difference schemes, system of linear
algebraic equations
Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с
частными производными второго порядка. Их изучение дает возможность построить теорию широкого
круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач, которые встречаются в
различных областях науки и приложениях [1–2].
Так, например, процессы распространения тепла связаны с изучением поведения температурного поля u и описываются уравнением теплопроводности (или уравнением передачи тепла [3, с.
23]:
u t  a 2  2u x 2 ( ut  a 2u xx ),
(1)
где константа a   с  (  – плотность, c – удельная теплоемкость,  – коэффициент теплопроводности), которую Кельвин назвал коэффициентом тепловой диффузии, а Максвелл – коэффициентом температуропроводности [4, с. 18].
Для этого уравнения рассматривается краевая задача специального вида и решения методом
конечных разностей на основе явной, неявной схем и схемы Кранка-Николсона.
Данное уравнение представляет собой дифференциальную форму записи основного закона
теплопроводности (закона Фурье), если предположить, что температурная функция u (t , x ) имеет не2
прерывные производные
uxx и ut , источники тепла отсутствуют и температурное поле зависит только
от одной декартовой координаты.
Уравнение теплопроводности описывает процесс, протекающий в некоторой области с неравномерной температурой. В этой области возникают тепловые потоки, направленные из мест с более
высокой температурой в места с более низкой температурой, иначе говоря, происходит теплообмен
и, согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность площадью S за время  , пропорционально температурному градиенту: Q   grad t S (знак минус
указывает на то, что теплота передается в направлении уменьшения температуры) [5, с. 7], [6, с. 181].
Болтвина Екатерина Константиновна, студентка, e-mail: boltvina@gmail.com
Boltvina Ekaterina, a student, e-mail: boltvina@gmail.com
2 Та Чунг Тхань, студент, e-mail: tatrungthanh@mail.ru
Ta Chung Thanh, a student, e-mail: tatrungthanh@mail.ru
1
1
Уравнение (1) описывает не только процессы распространения тепла, но также процессы диффузии
частиц в среде, тогда функция u (t , x ) имеет смысл концентрации вещества в данной точке в данный
момент времени, a – коэффициент пористости и основополагающим является закон Нернста. [2, с.
49].
Результатами работы стали постановка задачи специального вида с подвижными границами и
реализация её численного решения с применением модифицированной разностной схемы.
Обзор известных методов решения
Существует ряд методов для решения уравнения теплопроводности. Укажем наиболее важные методы, пригодные для практического использования.
Методы, которые позволяют свести уравнение теплопроводности к обыкновенным дифференциальным уравнениям или их системам: метод интегральных преобразований, метод разделения
переменных (метод Фурье), метод преобразования координат.
К численным (приближенным) методам решения относятся: разложение в ряды Фурье (применяются к линейным задачам), методы Ритца и Галеркина (применимы и к некоторым нелинейным
задачам), разностный метод (в случае нелинейных задач является итерационным; построение хорошо сходящихся итерационных процессов оказывается достаточно сложным, но во многих случаях –
это единственный способ решить уравнение теплопроводности) [7, с. 262], методы, основанные на
аппроксимации решения полиномиальными поверхностями, метод Монте-Карло (для задач, полностью неразрешимых другими методами из-за сложной природы физических систем, таких как
нейтронная цепная реакция в системе с размножением; эксперимент моделируется на ЭВМ с использованием случайных чисел и известных вероятностных законов для элементарных процессов) [8, с.
323–326].
Метод теории возмущений (линеаризации) позволяет исходную нелинейную задачу свести к
последовательности аппроксимирующих её линейных задач. Сущность метода функции Грина –
начальные и граничные условия заменяются системой простейших источников, и задача решается
для каждого такого источника. Метод интегральных уравнений – уравнение теплопроводности сводится к интегральному. Вариационные методы заключаются в том, что вместо уравнения с частными
производными решается некоторая задача минимизации, поскольку функция, доставляющая минимум некоторому выражению, является в то же время решением исходного уравнения. При использовании метода разложения по собственным функциям решение ищется в виде ряда по собственным
функциям, которые находятся как решения так называемой задачи на собственные значения, соответствующей исходной задаче для уравнения теплопроводности [9, с. 11].
Постановка первой краевой задачи
При интегрировании дифференциального уравнения в частных производных получается бесконечное множество различных решений. Чтобы получить из этого множества одно частное решение,
соответствующее определенной конкретной задаче, необходимо иметь дополнительные данные, не
содержащиеся в исходном дифференциальном уравнении. Этими дополнительными условиями являются начальные условия, геометрическая форма области и закон взаимодействия между окружающей средой и поверхностью области (граничные условия). Для области определенной геометрической формы с определенными (известными) физическими свойствами совокупность граничных и
начальных условий называется краевыми условиями. Итак, начальное условие является временным
краевым условием, а граничные условия – пространственным краевым условием [2, 4].
Дифференциальное уравнение теплопроводности (1) вместе с краевыми условиями составляет краевую задачу для уравнения теплопроводности (или тепловую задачу).
Если на границах x  0 и x  l заданы значения искомой функции u (t , x ) в виде
u (t , 0)  1 (t ), x  0, 0  t  T ; u (t , l )  2 (t ), x  l , 0  t  T
где
1 (t ), 2 (t )
– функции, заданные в некотором промежутке времени
(2)
,
t0  t  T , в котором изуча-
ется процесс. Таким образом, заданы граничные условия первого рода. И если, кроме того, задано
начальное условие, которое состоит в задании значений функции u (t , x ) в начальный момент времени
t 0 [10, с. 188]:
u (0, x)   ( x), 0  x  l , t  0 ,
то задачу (1)–(3) называют первой краевой задачей для уравнения теплопроводности (1) [11].
2
(3)
Первая краевая задача является наиболее естественной и поэтому наиболее изучаемой краевой задачей в математической физике.
Метод конечных разностей для решения первой краевой задачи
Основным способом численного решения уравнения теплопроводности является разностный
метод или метод сеток, заключающийся в аппроксимации производных конечными разностями, поскольку найти точное решение краевой задачи в элементарных функциях удается редко.
Сущность этого наиболее универсального численного метода заключается в том, что на область изменения независимых переменных t и x накладывается сетка и решение ищется не в виде
непрерывной функции u (t , x ) , а в виде дискретного, конечного множества чисел ui , k , представляющих (заменяющих) функцию u (t , x ) на дискретном, конечном множестве значений независимых переменных, то есть в узлах сетки. Геометрическое место точек (узлов), в которых используются значения функции в разностном уравнении при фиксированных i , k , называется шаблоном разностного
уравнения [10, с. 220]. Функция, определенная в точках сетки, называется сеточной функцией ( ui , k –
значение сеточной функции в узле
ti , xk ). Для вычисления искомых значений используются алгебра-
ические уравнения специального вида, приближенно заменяющие дифференциальное, – разностные
уравнения [12, с. 11]. Шаги по времени

определяются как
ti ,k  ti 1,k ,
по пространству
h –
xi ,k  xi ,k 1 . Разностные уравнения на каждом слое по времени связаны между собой рекуррентно.
Значения в каждом неизвестном узле на (i  1) -м слое выражаются через уже вычисленные значения
с предыдущего i -го слоя. При этом, получаются трехдиагональные СЛАУ из ( n  1) уравнений, где
n - количество точек на слое. Решается система методом прогонки [7, с. 370]. Корректное построение
разностной схемы обязательно подразумевает одинаковое число уравнений и неизвестных значений
искомой функции в узлах сетки. В этом случае решение системы разностных уравнений (реализация
разностной схемы) существует.
Поскольку уравнение теплопроводности зависит от производных неизвестных функций по
двум переменным, то вариантов аппроксимации разностными уравнениями одного и того же уравнения может быть несколько. В зависимости от выбранного шаблона, получаются те или иные разностные схемы, в связи с чем, они подразделяются на несколько групп. Наиболее важная классификация
разностных схем связана с отнесением их к явным или неявным - представлено на рис. 1. Указанные
разностные схемы можно записать в общем виде с параметром
0    1, где i  0, N  1 ,
k  1, K  1 :
ui 1,k  ui ,k a 2
 2   ui 1,k 1  2ui 1,k  ui 1,k 1   1     ui,k 1  2ui,k  ui,k 1   fi,k ,

h
при
 0
  12
– явная четырехточечная схема;
 1
– неявная четырехточечная схема (чисто неявная);
– схема Кранка-Николсона (с полусуммой или симметричная по времени) [7, с. 370–371].
i  1, k  1
i, k
i  1, k  1
i  1, k
i  1, k  1
i  1, k
i  1, k  1
i, k
i  1, k  1
i  1, k
i  1, k  1
i, k  1
i, k
i, k  1
Шаблон явной схемы
Шаблон неявной схемы
Шаблон схемы
Кранка-Николсона
(  h2 )
(  h2 )
( 2  h2 )
Рис. 1. Сеточные шаблоны разностных схем
Если неизвестные значения функции в узлах сетки выражаются явно, то шаблон называется
явным. Если же неявно, то шаблон разностной схемы называется неявным и для получения сеточно-
3
го решения приходится решать систему линейных или нелинейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих исходное дифференциальное уравнение теплопроводности. Явная разностная схема обладает тем недостатком, что является условно устойчивой и решение по ней можно получить
только при выполнении условия Куранта, накладывающего ограничения на

и
h : a2 
h2
1
2
[7, с.
338], [12, с. 211].
Реализация разностной схемы позволяет отыскать значения функции в узлах сетки вместо
поиска непрерывных зависимостей u (t , x ) . Поведение функции в промежутках между узлами может
быть получено при помощи построения какой-либо интерполяции. Численное решение сеточных
уравнений отличается от точного решения исходной задачи.
Постановка первой краевой задачи с подвижными границами
Рассмотрим первую краевую задачу специального вида с подвижными границами. Пусть границы области, в которой следует решить уравнение математической физики 0  l  L , представляют
собой не задание значений функции u (t , x ) , при x  0 и x  l , а задаются в виде функций на соответствующих границах области L . Таким образом, имеем постановку первой краевой задачи с подвижными границами:
u(t , b(t ))  1 (t ), x  b(t ), 0  t  T ; u(t , a(t ))  2 (t ), x  a(t ), 0  t  T ,
где
1 (t ), 2 (t )
ется процесс;
– функции, заданные в некотором промежутке времени
(4)
t0  t  T , в котором изуча-
b(t ) и a (t ) – функции от времени; b(t )  b0  b1t , a(t )  a0  a1t . В случае, когда
a0  b0 , получается задача без начальных данных.
Модифицированная схема Кранка-Николсона
1. Рассмотрим первую краевую задачу с подвижной границей, когда
a(t )  0 , a0  0 ,
b(t )  0 :
ut  uxx ,

 2t
u

e
, u x at   e  a  t .
 x 0
(5)
Для задачи поставлены только краевые условия при
x  0 и x  a1t . Численное решение
можно получить, применив неявную разностную схему. В этом случае на каждом слое для нахождения неизвестных значений функции в узлах сетки необходимо решать СЛАУ из (i  1) уравнений, где
i – номер слоя по времени,    h2 , i  2, N , k  1, i :
ui ,0   i, ui ,i  0

.
 ui 1,k 1  1  2  ui 1,k   ui 1,k 1  ui ,k
На первом ( i  0 ) и втором ( i  1 ) слоях значения функции u (t , x ) определяются только граничными условиями, на третьем слое ( i  2 ) одно неизвестное значение функции и т.д. При составлении систем уравнений получаются трехдиагональные матрицы с коэффициентами главной диагонали (1  2 ) и коэффициентами побочных диагоналей  . Для решения таких систем наиболее
эффективным методом является метод прогонки.
При использовании более точной разностной схемы Кранка-Николсона возникает проблема граничные узлы становятся нерегулярными (такие, что взятый около этого узла шаблон выходит за
границу области) [8, с. 300]. Во избежание этого предлагается использовать модифицированную схему Кранка-Николсона и решать следующую СЛАУ:
4
ui ,0   i, ui ,i  0

1
1
1
 1
  ui 1,k 1  (1   )ui 1,k   ui 1,k 1   ui ,k 1  (1   )ui ,k   ui ,k 1 , k  1, i  1 .
2
2
2
 2
 ui 1,k 1  (1  2 )ui 1,k   ui 1,k 1  ui ,k , k  i
Графическая интерпретация представлена на рис. 2.
Рис. 2. Графическая интерпретация модифицированной схемы Кранка-Николсона
Параметры для численных расчетов: 
 0, 01 , h  0, 005 ,   1,1 , N  200 , a0  0 . Рас-
пределение температур в различные фиксированные моменты времени представлено на рис. 3.
40
u
t=1,1
t=1,2
t=1,3
t=1,4
t=1,5
t=1,6
t=1,7
t=1,8
t=1,9
t=2,0
35
30
25
20
15
10
5
X
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Рис. 3. Графическое представление решения
Для оценки точности каждого из примененных методов введем норму
определим относительную погрешность Pi  max uтр  uпр
t ti
Ri  max uтр  uпр и
t ti
uтр , где uтр – точное решение, u пр –
численное решение. Данные результаты представлены в таблице.
Погрешность вычислений относительно точного решения
i
40
80
120
160
200
ti
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
Riнеяв
6,41776E-05
0,000448782
0,001755326
0,00540258
0,014576664
RiК . Н .
2,75279E-07
1,28369E-06
4,60191E-06
1,37358E-05
3,6543E-05
Pi неяв
3,54879E-05
0,00013755
0,000298884
0,000511888
0,000769275
Pi К . Н .
1,48678E-07
3,87885E-07
7,75131E-07
1,29028E-06
1,91445E-06
В таблице показано, что решение по модифицированной схеме Кранка-Николсона точнее, чем
решение с применением только неявной разностной схемы.
5
2. Рассмотрим первую краевую задачу с подвижной границей, когда
a(t )  0 , a0  0 ,
b(t )  0 :
ut  uxx
.
u
 x 0   t , u x a0  a1t  0
Задача численно решается по неявной схеме и по модифицированной схеме КранкаНиколсона. На первом слое (i=0) необходимо решить ((a0 h)  1) уравнений, на втором слое (i=1) -
(a0 h) , на третьем (i=2) - ((a0 h)  1) и т.д., то есть на каждом i -м слое необходимо решать СЛАУ
из (i  (a0 h)  1) уравнений.
Параметры для численных расчетов:
  0,01, h  0,01,   1, N  200, a0  0,01 .
Рас-
пределение температур в различные фиксированные моменты времени представлено на рис. 4.
2,2
u
t=0,2
t=0,4
t=0,6
t=0,8
t=1,0
t=1,2
t=1,4
t=1,6
t=1,8
t=2,0
2
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
X
2,2
Рис. 4. Графическое представление решения
Несимметричная задача с подвижными границами
Рассмотрим случай, когда b(t )  0 . Запишем следующую систему:
ut  uxx
,
u
 x at   f  t  , u x bt   g  t  .
где
(6)
a(t )  a0  a1t , b(t )  b0  b1t , b1  a1 , когда a0  0 и b0  0  f (0)  g (0)  0 , графическое
представление задания граничных условий показано на рис. 5.
Рис. 5. Графическое представление задания граничных условий
6
В данном случае применение разностной схемы сопряжено с некоторыми трудностями, обусловленными невозможностью корректно описать значения искомой функции аппроксимирующими её
значениями сеточной функции, поскольку шаг по пространству в первом квадранте и во втором – неодинаков. По этой причине численное решение получает неустранимую погрешность и потому это
численное решение будет неадекватно возможному точному решению. Ввиду этого предлагается перейти к новым независимым переменным:
y  x  at
, z t .
Поскольку произошла замена переменных, то необходимо переписать задачу (6) следующим
образом, где c  b  a :
uz  au y  u yy ,
.

u y 0  f  z  , u y cz  g  z 
(7)
Полученные граничные условия (7) инвариантны (5) и эквивалентны (6). Теперь для численного решения можно применить модифицированную схему Кранка-Николсона, предварительно аппроксимировав полученное дифференциальное уравнение отношением конечных разностей. Для этого
воспользуемся центральным разностным отношением, так как это позволит аппроксимировать со
вторым порядком точности по временной и пространственной переменным (можно убедиться разложением в ряд Тейлора), сохранив, тем самым, порядок точности схемы Кранка-Николсона. Таким образом, разностная схема Кранка-Николсона для нахождения значений сеточной функции примет вид:
ui 1,k  ui ,k
1 ui ,k 1  2ui ,k  ui ,k 1 1 ui 1,k 1  2ui 1,k  ui 1,k 1 a ui ,k 1  ui ,k 1
, а неявная раз


2
h2
2
h2
2
h
ui 1,k  ui ,k ui 1,k 1  2ui 1,k  ui 1,k 1
u u
ностная схема примет такой вид:

 a i ,k 1 i ,k 1 .
2

h
h

Запишем СЛАУ, которую необходимо решать для получения численных значений искомой
функции, где
   h2 ,    h , i  1, N  1 , k  1, i :
ui ,0  1  z  , ui ,i  2  z 

  a  ui 1,k 1    1 ui 1,k    a  ui 1,k 1   ui ,k 1    1 ui ,k   ui ,k 1 , k  1, i  1 .

  a  ui 1,k 1   2  1  a  ui 1,k   ui 1,k 1  ui ,k , k  i
Для получения решения в исходном поле параметров (до преобразований) нужно провести
замену: x  y  az , t  z .
3. Рассмотрим первую краевую задачу с подвижными границами, когда
a(t )  0 , a0  0 ,
b(t )  0 , b0  0 , a  b :
ut  u xx ,

u x  at  f  t  , u x bt  g  t  .
Поскольку данная задача имеет специфические граничные условия - проведем замену переменных и получим следующие эквивалентные условия, где c  b  a :
u z  au y  u yy ,

u y 0  f  z  , u y cz  g  z  .
7
Аналитическое
(точное)
решение
может
быть
выражено
формулой:
u  1 y 2  a 2 1 z 2  2a1 zy  6 y  (21  a6 ) z , а функции f ( z ) и g ( z ) – тогда определяются таким
образом: f ( z )  a
ры для численных
1 z 2  (21  a6 ) z , g ( z )  (c 21  a 21  2ac1 ) z 2  (c6  21  a6 ) z . Параметрасчетов:   0, 01 , h  0, 03 , a0  0 , b0  0 , N  100 , 1  1 , 6  0 , a  0 ,
2
2
b  3 . Распределение температур в различные фиксированные моменты времени представлено на
рис. 6.
u
2,5
t=0,1
t=0,2
t=0,3
t=0,4
t=0,5
t=0,6
t=0,7
t=0,8
t=0,9
t=1,0
2
1,5
1
0,5
X
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
Рис. 6. Графическое представление решения
Выводы
Рассмотрена первая краевая задача специального вида с подвижными границами для уравнения теплопроводности, которая численно решается методом конечных разностей (сеток) по неявной схеме и модифицированной схеме Кранка-Николсона.
Получены следующие результаты:
 для построения численного решения в нерегулярных узлах сетки предложена модифицированная схема Кранка-Николсона и реализован алгоритм решения;
 применение модифицированной схемы Кранка-Николсона позволяет получить более точное
численное решение, чем явная и неявная разностные схемы;
 проведен вычислительный эксперимент, показавший эффективность методики.
Библиографический список
1. Курант Р. Уравнения с частными производными. – М.: Мир, 1964. – 830 с.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – 4-е изд., испр. – М.: Наука, 1981. –
512 с.
3. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. – 4-е изд. – М.: Наука, 1966. – 446 с.
4. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. – М.: Наука, 1964. – 489 с.
5. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высш. шк., 1967. – 599 с.
6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – 5-е изд., испр. – М.:
Наука, 1977. – 735 с.
7. Калиткин Н.Н. Численные методы. – СПб.: БХВ-Петербург, 1978. – 508 с.
8. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики / Пер. с англ. – М.: Мир, 1984.
– 381 с.
9. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров /
Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 383 с.
10. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 249 с.
11. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 400 c.
12. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. – М.: Наука, 1977. – 439 с.
8
.
9