УДК 51:372 А.Т.Асанова , Ш.Т.Шекербекова

УДК 51:372
А.Т.Асанова 1 , Ш.Т.Шекербекова 2
РОЛЬ МЕТОДА ПАРАМЕТРИЗАЦИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ
ОБРАЗОВАНИИ И ПЕРСПЕКТИВЫ ЕГО РАЗВИТИЯ
1
(г.Алматы , Институт математики и математического моделирования МОН РК)
(г.Алматы , Казахский Национальный педагогический университет им. Абая)
2
Дифференциалдық теңдеулер үшін шеттік есептерді зерттеу әдістеріне шолу мен талдау
жасалған. Параметрлеу әдісінің дифференциалдық теңдеулер үшін шеттік есептерді шешудің
конструктивті әдісі ретіндегі рөлі көрсетілген. Оны даму перспективасы қарастырылған.
Проведен обзор и анализ методов исследования краевых задач для дифференциальных
уравнений. Показана роль метода параметризации как конструктивного метода решения
краевых задач для дифференциальных уравнений. Рассмотрены перспективы его развития.
The review and the analysis of methods of research of a boundary value problems for the
differential equations is carried out. The parametrization method role as an constructive method for
solving of the boundary value problems for the differential equations is shown. Prospects of its
development are considered.
Кілттік сөздер: Дифференциалдық теңдеу, шеттік есеп, параметрлеу әдісі, шешім.
Ключевые слова: Дифференциальное уравнение, краевая задача, метод параметризации,
решение.
Key words: Differential equation, boundary value problem, parameterization method, solution.
Современное состояние
математического образования и тенденции его
совершенствования включает качественное изложение основных разделов математики и
предложение новых методов и подходов решения актуальных математических задач.
Дальнейшую модернизацию математического образования невозможно представить без
анализа существующих методов решения различных задач естествознания и техники.
Математическое моделирование многочисленных процессов физики, химии, биологии,
медицины, экологии и др. приводит к важному разделу математики – к краевым задачам для
дифференциальных уравнений. При исследовании построенных моделей разрабатываются и
используются конструктивные методы решения краевых задач для дифференциальных
уравнений. Отметим, что не существует устоявшегося определения, которое строго
ограничивало бы класс конструктивных методов, тем не менее этот термин получил широкое
распространение [1]. Под конструктивными методами понимаются определенные методы
построения решений различных классов уравнений, а также исследования существования и
свойств точных и приближенных решений. При этом основной характеристикой
конструктивных методов является возможность доводить решение задачи до конечного
результата, вплоть до численных значений, а также на практике проверять те теоретические
предпосылки и условия, которые обеспечивают применимость этих методов к конкретным
классам задач. Впервые на конструктивную сторону методов обратили внимание в тех разделах
математики, которые сейчас принято называть теорией нелинейных колебаний и нелинейной
механики. Несмотря на то, что исследования в современном математическом анализе и
моделировании насчитывают всего несколько десятилетий, класс конструктивных
математических методов привлекает к себе большее внимание. На сегодняшний день
разработка и развитие конструктивных методов теории краевых задач для дифференциальных
уравнений остается актуальной проблемой современной математики.
К настоящему времени теория краевых задач обладает достаточно мощным арсеналом
разнообразных методов. Эти методы можно разделить на четыре основные группы:
аналитические, функционально-аналитические, численные и численно-аналитические методы.
Аналитические и функционально-аналитические методы направлены на изучение
качественных вопросов существования, единственности решения, непрерывной зависимости от
параметров.
Группа численных методов нацелена на непосредственный поиск численных
значений приближенных решений. А численно-аналитические методы обладают определенной
универсальностью как для исследования существования, так и для практического построения
решений. Наиболее всестороннее развитие получили периодические краевые задачи, играющие
существенно важную роль в теории колебаний и нелинейной механики. В теории колебаний
среди наиболее мощных, универсальных аналитических методов выделяются асимптотические
методы нелинейной механики, метод малого параметра, методы усреднения. Большой вклад в
развитие аналитических методов внесли работы математиков, где применялись методы,
основанные на априорных оценках и дифференциальных неравенствах, а также верхние и
нижние решения. К аналитическим методам также относятся класс двусторонних процессов
последовательных приближений, монотонно сходящихся к искомым решениям, симметрийный
анализ, на основе которого некоторые многомерные задачи математической физики
редуцируются к обыкновенным дифференциальным уравнениям и строятся точные решения.
Группа функционально-аналитических методов широко использует аппарат функционального
анализа, топологические понятия, теорию приближенных методов решения операторных
уравнений. К функционально-аналитическим методам можно отнести и часто используемый в
теории колебаний метод точечных отображений. Группа численных методов исходя из
предположения о существовании решений дает практические алгоритмы приближенного
построения решений краевых задая. Причем часть численных методов направлена на
определение начальных значений искомых решений, т.е. на сведение рассмариваемой краевой
задачи к начальной задаче Коши. А другая часть численных методов ориентирована на поиск
решений краевых задач на всем промежутке изменения независимой переменной. Развитию и
обоснованию таких численных схем решения краевых задач, как методы прогонки, стрельбы,
погружений, редукции к задачам Коши, разностным и квадратурно-разностным методам,
методам подобластей, сплайн-аппроксимации, Ньютона, квазилинеаризации, задачам на
собственные значения, посвящено большое количество работ. Широкое распространение
среди современных подходов изучения нелинейных краевых задач получили численноаналитические методы исследования вопросов существования и приближенного нахождения
решений. Под численно-аналитическими будем понимать методы, позволяющие представить
искомое решение окончательно в аналитическом виде, хотя его некоторые параметры или
коэффициенты находятся численно. При таком определении, к группе численно-аналитических
методов можно отнести все прямые методы математической физики, под которыми принято
понимать все вариационные и проекционные методы. Отметим, что С.Л.Соболев [2] прямые
методы математической физики определяет как методы решения задач теории
дифференциальных и интегральных уравнений, основанных на замене этих уравнений
алгебраическими. Ясно, что в смысле этого определения к прямым методам можно отнести и
разностные методы решения краевых задач. Развитие численно-аналитических методов
проводилось также с позиций проекционных и проекционно-итеративных методов. В теории
периодических решений, первые разработки по созданию численно-аналитических схем были
предложены на основе итерационных методов. Теоретические вопросы, относящиеся к теории
приближенных методов решения операторных уравнений, дискретизационных и
аппроксимационных методов, обоснования различных методов решения широких классов
начальных и краевых задач в случае дифференциальных, интегральных и интегродифференциальных уравнений, изучались в работах многих математиков. При этом основное
внимание уделяется методам Галеркина, механических квадратур, подобластей, разностным
методам, методу коллокации. Еще одно направление в развитии численно-аналитических
методов основано на объединении идей и методов теории аппроксимации функций,
дифференциальных и интегральных уравнений, вычислительной математики. На основе такого
подхода разработаны аппроксимационный метод, аппроксимационно-итеративный метод
решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Создана теория построения
численно-аналитических
периодических
и
условно-периодических
решений
на
вычислительных машинах и компьютерах широких классов дифференциальных уравнений.
Одним из этапов в развитии класса численно-аналитических методов был период
модификации аналитических методов в численно-аналитические, а также их адаптации для
реализации в вычислительных машинах и компьютерах. Такой подход дал значительные
положительные результаты особенно в теории колебаний и в меньшей степени коснулся
методов построения решений непериодических краевых задач, но этим далеко не исчерпаны
все возможности в развитии теории численно-аналитических методов. Появляются
специальные методы, которые по своей природе и внутренней структуре являются численноаналитическими. Они, как правило, строятся на основе подходящих образом конструируемых
итерационных схем и позволяют одновременно в аналитическим виде представить
приближенное решение, а также по его свойствам установить разрешимость рассматриваемых
задач. Правда, при этом некоторые параметры, входящие в аналитическое решение, например
его начальное значение, находятся численно. В [1] обосновываются численно-аналитические
методы решения
периодических, двухточечных и многоточечных краевых задач для
различных классов дифференциальных уравнений, а также приведен обзор и анализ
существующих групп методов.
Исследование нелинейных задач, построение приближенных решений невозможно
осуществить без всестороннего анализа соответствующей линейной
задачи. Вопросы
существования и единственности решения, непрерывной зависимости решения от параметров,
построения алгоритмов нахождения приближенного решения и его сходимость к точному
решению, коэффициентные условия однозначной разрешимости являются основными
показателями качественного анализа линейной задачи. Изучение нелинейных операторных
уравнений, построение итерационных процессов метода Ньютона-Канторовича и введение
понятия линеаризатора для уравнений с неограниченным негладким оператором [3-7] привело
к необходимости получения условий однозначной разрешимости линейных краевых задач для
дифференциальных уравнений в терминах исходных данных.
Рассмотрим линейную двухточечную краевую задачу для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
dx
(1)
x  Rn ,
t  (0, T ) ,
 A(t ) x  f (t ) ,
dt
d  Rn ,
(2)
Bx(0)  Cx(T )  d ,
где x(t )  ( x1 (t ), x 2 (t ),..., x n (t )) - искомая функция, A(t ) - заданная матрица размерности n ,
непрерывная на [0, T ] , f (t ) - заданная вектор-функция размерности n , непрерывная на [0, T ] ,
B , C - заданные постоянные матрицы размерности n , d - постоянный вектор размерности n .
Если X (t ) - фундаментальная матрица решений системы дифференциальных уравнений
dx
 A(t ) x , то необходимым и достаточным условием однозначной разрешимости задачи (1),
dt
(2) является обратимость матрицы B  CX (T ) , здесь X (0)  I , I - единичная матрица
размерности n . Однако, фундаментальную матрицу X (t ) удается построить в очень редких
случаях для узкого класса дифференциальных уравнений. Достаточные условия разрешимости
задачи (1), (2) можно также получить методом функций Грина с помощью фундаментальной
матрицы X (t ) . Возникает вопрос: можно ли установить необходимые и достаточные условия
однозначной разрешимости задачи (1), (2) в терминах матрицы A(t ) , граничных матриц B ,
C ? Ответ на этот вопрос был получен в работах [8,9] с помощью метода параметризации.
Суть метода параметризации заключается во введении дополнительных параметров как
значений искомого решения в определенных точках отрезка [0, T ] и сведении задачи (1), (2) к
эквивалентной краевой задаче с параметрами путем замены. Свойства решений переходят в
свойства параметров. Новые неизвестные функции будут определяться из задач Коши на
подинтеравалах отрезка [0, T ] , а введенные параметры - из системы алгебраических
уравнений.
Таким образом,
решение двухточечной краевой задачи для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (1), (2) редуцируется к решению задач Коши для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений и системы алгебраических уравнений
относительно параметров.
В свою очередь
для решения как задачи Коши, так и
алгебраических уравнений
можно применять различные численные методы и пакеты
программ MatCad, MatLab, Matematika и др. Метод параметризации можно отнести к
конструктивному методу решения краевых задач для дифференциальных уравнений: имеется
возможность доводить решение задачи до численных значений, а также на практике проверять
условия разрешимости и применимости метода. Кроме того, метод параметризации был
успешно развит на задачу нахождения ограниченного решения дифференциальных уравнений
[10]. Установлены необходимые и достаточные условия существования единственного
ограниченного решения системы (1), построены двухточечные краевые задачи,
аппроксимирующие решения сингулярных краевых задач [10-12]. В последующем метод
параметризации распространен на краевые задачи с параметром, на краевые задачи с
импульсными воздействиями, на многоточечные краевые задачи, на новые классы
дифференциальных уравнений.
Получены критерии однозначной разрешимости
рассматриваемых задач
в терминах коэффициентов уравнений и граничных матриц.
Существенным этапом развития метода параметризации является его применение к решению
двухточечной краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма
T
dx
 A(t ) x 
dt
 K (t, s)u(s)ds  f (t) ,
x  Rn ,
t  (0, T ) ,
(3)
0
с условием (2). Здесь K (t , s) - заданная матрица размерности n , непрерывная на [0, T ]  [0, T ] .
Впервые установлены критерии однозначной разрешимости двухточечной краевой задачи для
системы интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма (3), (2) в терминах
фундаментальной матрицы X (t ) [13] и в терминах исходных данных [14].
Модификация метода параметризации была разработана для дифференциального уравнения
гиперболического типа [15-16].
Рассмотрим нелокальную краевую задачу для системы гиперболических уравнений второго
порядка на   [0, T ]  [0, ]
 2u
u
u
(4)
 A(t , x)
 B(t , x)
 C (t , x)u  f (t , x) ,
xt
x
t
u(0, x)
u(0, x)
u(T , x)
u(T , x)
P2 ( x)
 P1 ( x)
 P0 ( x)u(0, x)  S 2 ( x)
 S 1 ( x)
  S 0 ( x)u(T , x)   ( x)
x
t
x
t
x  [0,  ] ,
(5)
(6)
u(t ,0)   (t ) ,
t  [0, T ] ,
где u (t , x) - искомая вектор-функция размерности n , A(t , x) , B(t , x) , C (t , x) - заданные
матрицы размерности n , непрерывные на  , f (t , x) - заданная вектор-функция размерности
n , непрерывные на  , Pi (x ) , S i (x ) - заданные матрицы размерности n , непрерывные на
[0,  ] , i  0,1,2,  (x) - заданная вектор-функция размерности n , непрерывные на [0,  ] ,
 (t ) - заданная вектор-функция размерности n , непрерывно дифференцируемая на [0, T ] .
Решение нелокальной задачи для системы гиперболических уравнений со смешанными
производными (4)-(6) было сведено к решению эквивалентной задачи с функциональными
параметрами. Новые неизвестные функции определялись из задач Гурса для системы
гиперболических уравнений, а функциональные параметры – из задач Коши для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Установлены достаточные условия
однозначной классической разрешимости нелокальной задачи (4)-(6) в терминах матрицы
A(t , x) , граничных матриц P2 ( x) , S 2 ( x) [15-16]. Далее путем введения новых неизвестных
функций задача (4)-(6) была сведена к эквивалентной задаче, состоящей из семейства
двухточечных краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и
интегральным соотношениям.
На основе эквивалентности корректной разрешимости
нелокальной задачи и корректной разрешимости семейства двухточечных краевых задач,
установлены критерии корректной разрешимости задачи (4)-(6) [17-18]. Важные результаты
были получены для нелокальной краевой задачи с интегральным условием по временной
переменной для системы гиперболических уравнений [19].
Подведя итоги, можно отметить, метод параметризации стал конструктивным методом
решения различных классов краевых задач для дифференциальных уравнений и прочно занял
свое место в группе численно-аналитических методов теории краевых задач. Программа
математического образования вузов должно включать метод параметризации как один из
конструктивных методов решения краевых задач, разработанный в Казахстане. Можно создать
базу данных по решению краевых задач методом параметризации с помощью численных
методов и пакетов программ MatCad, MatLab [20]. При изложении теории краевых задач для
дифференциальных уравнений
необходимо уделять особое внимание роли метода
параметризации в решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и
уравнений в частных производных гиперболического типа.
Список литературы
1. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы в теории краевых задач
обыкновенных дифференциальных уравнений. Киев. Наукова думка. 1992. 280 с.
2. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. М.: Гостехиздат. 1947. 440 с.
3. Джумабаев Д.С. О разрешимости нелинейных замкнутых операторных уравнений // Известия
АН КазССР. Сер. физ.-матем. 1984. No 1. C. 4-7.
4. Джумабаев Д.С. О сходимости модификации метода Ньютона-Канторовича для замкнутых
операторных уравнений // Известия АН КазССР. Сер. физ.-матем. 1984. No 3. С.27-31.
5. Dzhumabaev D.S. Convergence of iterative methods for unbounded operator equations //
Mathematical Notes. 1987. Vol. 41. No 5. pp. 356-361.
6. Dzhumabaev D.S. On the solvability of Nonlinear Closed Operator Equations //American
Mathematical Society Translations (2). 1989. Vol.142. pp. 91-94.
7. Dzhumabaev D.S. On the Convergence of the Newton-Kantorovich Method for Closed Operator
Equations //American Mathematical Society Translations (2). 1989. Vol.142. pp.95-99.
8. Джумабаев Д.С. Метод параметризации решения краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений // Вестник АН КазССР. 1988. No 1. С.48-52.
9. Dzhumabaev D.S. Conditions the unique solvability of a linear boundary value problem for a
ordinary differential equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1989. Vol.
29. No 1. pp. 34-46.
10. Dzhumabaev D.S. Approximation of a bounded solution of a linear ordinary differential equation
by solutions of two-point boundary value problems // Computational Mathematics and Mathematical
Physics. 1990. Vol.30. No 2. pp. 34-45.
11. Dzhumabaev D.S. Approximation of a bounded solution and exponential dichotomy on the line //
Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1990. Vol.30. No 6. pp. 32-43.
12. Dzhumabaev D.S. Singular boundary value problems and their approximation for nonlinear
ordinary differential equations // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1992. Vol.
32. No 1. pp. 10-24.
13. Dzhumabaev D.S. A Method for solving the Linear Boundary Value problem for an IntegroDifferential Equation //Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. Vol. 50. No
7. P. 1150-1161.
14. Dzhumabaev D.S. An Algorithm for solving a Linear Two-point Boundary Value problem for an
Integro-Differential Equation //Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2013. Vol. 53.
No 6. P. 736-738.
15. Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Unique Solvability of the Boundary Value Problem for Systems
of Hyperbolic Equations with Data on the Characteristics // Computational Mathematics and
Mathematical Physics. 2002. Vol.42. No 11. pp. 1609-1621.
16. Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Correct Solvability of a Nonlocal Boundary Value Problem for
Systems of Hyperbolic Equations // Doklady Mathematics. 2003. Vol. 68. No 1. pp.46-49.
17. Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Unique Solvability of Nonlocal Boundary Value Problems for
Systems of Hyperbolic Equations // Differential Equations. 2003. Vol.39. No 10. pp.1414-1427.
18. Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Well-Posed Solvability of Nonlocal Boundary Value Problems
for Systems of Hyperbolic Equations // Differential Equations. 2005. Vol.41. No 3. pp.352 - 363.
19. Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Well-posedness of nonlocal boundary value problems with
integral condition for the system of hyperbolic equations // Journal of Mathematical Analysis and
Applications. 2013. Vol. 402. No 1. pp. 167-178.
20. Asanova A.T., Salgarayeva G.I., Shekerbekova Sh.T. Numerical algorithms of parametrization
method for solving sixth-order boundary value problems // Proceedings of the International scientific
conf."Differential equations and mathematical physics" (11-12 April 2014). - Almaty. 2014. P.50-53.