Центр масс системы материальных точек

Министерство образования РБ
Муниципальное образовательное учреждение
Советский район Городской округ г. Уфа РБ
Гимназия№115
Центр масс системы материальных точек
Мартынова Дарья
Владимировна,
ученица 10а класса
Научный руководитель:
Кутянина Е.Г.
учитель математики
Уфа - 2009
1
Оглавление
1. Введение. ............................................................................................................ 3
2. Введение понятия центра масс....................................................................... 5
3. Примеры применения барицентрического метода к задачам..................... 9
3.1 Готовые решения задач, предложенные в математической
литературе ........................................................................................................... 9
3.2
Решение геометрических задач барицентрическим методом............ 11
4. Заключение ....................................................................................................... 17
5. Список литературы ....................................................................................... 18
2
1. Введение.
Решая геометрические задачи, думаю, все, однажды задавалась
вопросом, нельзя ли одну и ту же задачу решить другими способами. В
математической литературой можно встретить интересный
метод,
позволяющий быстрее и проще доказывать уже известные нам теоремы и
решать некоторые задачи. В его основе лежит понятие центра масс или
барицентра.
Основоположником этого метода был великий древнегреческий
мыслитель Архимед. Еще в III в до н. э. он обнаружил возможность
доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. В
своем послании к Эратосфену «О механических теоремах» Архимед писал:
«…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи
которого ты получишь возможность находить некоторые математические
теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для
доказательства самих теорем».
В частности, этим способом Архимед доказал теорему о том, что три
медианы треугольника пересекаются в одной точке. Ее способ
доказательства отличается от варианта, который рассматривается в
школьном курсе геометрии, и мы тоже докажем эту теорему, используя этот
метод. Кроме того, интересна возможность применения этого метода к
решению задач.
Цель данной работы –
исследовать возможность применения
барицентрического метода при решении геометрических задач. Однако
сначала для того, чтобы с помощью понятия центра масс получать
математически корректные решения задач, было необходимо разобрать
точный математический смысл этого понятия.
Таким образом, в ходе реализации цели были поставлены следующие
задачи:
1.
Изучить теорию вопроса «Центр масс».
2.
Ознакомиться с готовыми решениями задач, приведенными в
справочной литературе.
3.
Показать практическое применение барицентрического метода
при решении задач.
3
Практическая значимость результатов заключается в полученных
знаниях и овладении методом, который позволяет более точно, просто и
наглядно решить геометрические задачи.
4
2. Введение понятия центра масс
В литературе можно встретить такие утверждения о том, что
рассуждения с использованием свойств центра масс не могут дать
математически строгих решений задач, и позволяют только угадывать
правдоподобные ответы. Однако такое мнение глубоко ошибочно.
Соображения Архимеда были использованы и развиты многими геометрами
– Чева, Папп, Гюльден, Люилье и др. Идеи Архимеда живут и обогащаются
новым содержанием. Несколько свойств центра масс позволяют решать
различные задачи геометрии и алгебры. Эффективен барицентрический
метод и при решении неравенств. Кроме того возможно применение
барицентрического метода к вопросам химии, проблемам цветового зрения,
задачам популяционной генетики, топологии, вычислительной математики.
Чтобы получить физическую картину понятия центра масс, рассмотрим
два небольших шарика с массой m1 и m2, соединенных жестким «невесомым
стержнем». На этом стрежне имеется такая замечательная точка О, что если
подвесить всю систему в этой точке, то она будет в равновесии. Эта точка О
и есть центр масс или барицентр двух рассматриваемых материальных точек
с массами m1 и m2. Та же картина наблюдается и для большего числа
материальных точек.
При применении этого понятия к решению задач используются
следующие свойства центра масс.
1)
Всякая система, состоящая из конечного числа материальных
точек, имеет центр масс и притом единственный.
2)
Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке,
соединяющем эти точки; его положение определяется правилом архимедова
рычага: произведение массы материальной точки на расстояние от нее до
центра масс одинаково для обеих точек, т.е. m1d1=m2d2, где m1 и m2 – массы
материальных точек, а d1, d2 – соответствующие плечи.
3)
Если в системе, состоящей из конечного числа материальных
точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных
точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей
системы не изменится.
Эти свойства интуитивно ясные и имеют простой механический смысл.
Однако для корректного решения задач необходимо перевести эти свойства
5
на математический язык и доказать их справедливость, а так же ввести
точное математическое определение барицентра.
Чтобы выяснить, как может выглядеть математическое определение
центра масс (или барицентра), проведем предварительное эвристическое
рассмотрение.
Даны две материальные точки m1A1 и m2A2, и пусть т. Z –их центр масс.
Равенство m1d1=m2d2 можно записать в виде m1ZA1 = m2ZA2. Учитывая, что
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 и ZA
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 имеют противоположное направление, получаем отсюда
векторы ZA
m1ZA1 = - m2ZA2, т.е
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + m2𝑍𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = 0. (1)
m1𝑍𝐴
Пусть теперь даны три материальные точки m1A1, m2A2 и m3A3, то
свойства (1–3) будут выполняться, если
⃗⃗⃗⃗⃗ + m3⃗⃗⃗⃗⃗
(m1+m2)𝑍𝐶
𝑍𝐴3 = 0, где С – центр масс материальных точек m1A1,
m2A2.
m 1A1
(m 1 + m 2)C
Z
m 3А3
m 2A2
⃗⃗⃗⃗⃗ = m1 ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 - ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 - ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 –
(m1+m2)𝑍𝐶
𝑍𝐶 + m2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑍𝐶 = m1(ZA
CA1) + m2(ZA
CA2) = m1 ZA
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + m2ZA
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 – m2CA
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = m1ZA
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + m2ZA
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 – (m1CA
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + m2CA
⃗⃗⃗⃗⃗ 2) = m1ZA
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + m2ZA
⃗⃗⃗⃗⃗ 2.
m1CA
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + m2ZA
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + m3𝑍𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ 3 = 0. (2)
Тогда m1ZA
Можно было бы аналогично рассмотреть случай четырех, пяти и более
материальных точек, однако равенства (1) и (2) делают закономерность
совершенно понятной.
Итак, в соответствии с приведенным эвристическим разбором можно
дать следующее определение:
6
Центром масс (или барицентром) системы материальных точек
m1A1, m2A2,…, mnAn
называется точка Z, для которой имеет место равенство
⃗⃗⃗⃗⃗ 1 + m2ZA
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + … + mn⃗⃗⃗⃗⃗
m1ZA
𝑍𝐴n = 0. (3)
Теперь, исходя из определения можно доказать, что центр масс системы
материальных точек обладает свойствами:
1)
Если точка Z – центр масс системы материальных точек m1A1,
m2A2,…, mnAn, то при любом выборе в пространстве точки О справедливо
равенство
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
m OA1 + m2 OA2 + … + mn 𝑂𝐴n
⃗⃗⃗⃗⃗
OZ = 1
. (4)
m1 + m2 + … +mn
Справедливо и обратное утверждение: Если при хотя бы одном выборе в
пространстве т. О верно равенство (4), то точка Z – центр масс системы m1A1,
m2A2,…, mnAn.
2)
Если в системе, состоящей из n материальных точек, отметить k
материальных точек и сосредоточить их массу в их центре масс, то
положение центра масс всей системы от этого не изменится.
Теперь можно рассмотреть предложенное Архимедом доказательство
теоремы о медианах треугольника. На этом примере видно, насколько
мощное средство для решения и доказательства задач представляют собой
свойства центра масс.
Три медианы треугольника имеют общую точку, и каждая из медиан
делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
Дано: △АВС, AA’, BB’, CC’ –
медианы
B
C'
O
Док-ть: т. О – точка пересечения
медиан
A'
AO
A
B'
C
OA′
=
BO
OB′
=
CO
OC′
2
= .
1
Решение.
7
Загрузим вершины А, В и С равными массами. Получающаяся система
трех материальных точек 1А, 1В и 1С имеет однозначно определенный центр
масс О. Положение центра масс не изменится, если массы материальных
точек 1В и 1С мы перенесем в их центр масс, т.е. в точку А’. Тогда O
окажется центром масс лишь двух материальных точек 2A’ и 1А. Значит O ∈
AA’. Аналогично убедимся, что O ∈ ВВ’ и O ∈ СС’. Таким образом, все три
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1OA
⃗⃗⃗⃗⃗ , т.е.
медианы имеют общую точку O. И тогда, по правилу рычага 2OA’
OA
OA′
2
= .
1
8
3. Примеры применения барицентрического метода к задачам
Рассмотрим, как применяется барицентрический метод при решении
некоторых задач планиметрии.
Готовые решения задач, предложенные в математической
литературе
Для того, чтобы более глубоко понять сущность барицентрического
подхода к решению задач, сначала разберем несколько примеров, решения
которых были приведены в справочной литературе.
3.1
Задача 1.
ABCD – трапеция. Найти центр масс.
В (1)
M (2)
Z
А (1)
1)
С (1)
K
N (2)
D (1)
L
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1MA
2
; ⃗⃗⃗⃗⃗
ON =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1ND
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1NC
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2OM +2ON
OZ
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
O𝐾
2)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1KC
⃗⃗⃗⃗⃗
1KB
2
⃗⃗⃗⃗⃗ =
; OL
⃗⃗⃗⃗⃗ + 1LD
⃗⃗⃗⃗⃗
1LA
2
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = 2OK +2OL
OZ
2
Задача 2.
На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты точки С’, A’, B’
соответственно. Докажите, что прямые CC’, AA’, BB’ пересекаются в одной
точке тогда и только тогда, когда
𝐴𝐶′ BA′ CB′
*
*
C′B A′C B′A
= 1. (Теорема Чевы).
9
B (p)
C'
A'
O
A (1)
B'
C (pq)
Пусть прямые AA’ и CC’ пересекаются в т. О; AC’:C’B=p; BA’:A’C=q.
Доказать, что прямая BB’ проходит через т.О тогда и только тогда, когда
CB’:B’A=1:pq.
Доказательство.
1)
Поместим в точки А, В и С массы 1, p,pq соответственно.
2)
Т. С’ – центр масс точек А и В,
Т. A’ – центр масс точек В и С ,
Прямая CC’ пересекает прямую AA’ в т. О ⇒ т. О – центр масс точек А,
В, С;
3)
Т. О лежит на отрезке, соединяющем т.В и центр масс точек А и
С. Если B’ – центр масс точек А и С с массами 1 и pq, то AB’:B’C=pq:1. На
отрезке АС существует единственная тоска B’, делящая его в данном
отношении AB’:B’C.
Задача 3.
10
Дано: BF:FC = 3:1
6PC = AC
6AM = AB
Найти: MZ:ZP = ?
AZ:ZF = ?
A
M (6)
Z
P
B (1)
F (4)
C (3)
3CF = 1BF; 1BM= 5MA; 3CP = 0,6AP ⇒ 4F; 3,6P; 6M.
5A + 0,6A = 5,6A
5,6A + 4F = 9,6Z’ ⇒Z’ ∈ AF
6M + 3,6P = 9,6Z” ⇒ Z” ∈ MP, т.е Z’=Z”=Z, Z ∈ AF∩MP.
MZ:ZP = 3,6:6 = 3:5
AZ:ZF = 5,6:4 = 7:5.
3.2
Решение геометрических задач барицентрическим методом
После изучения теоретического материала и разбора решений задач я
решила проверить возможность применения приобретенных знаний к
решению задач. Предлагаю подборку задач, которые я решила
самостоятельно.
Задача 1.
Точка С лежит на отрезке АВ и делит его в отношении 2:7, считая от
точки А. Выразить этот факт с помощью понятия центра масс.
A
m 1=7
C
B
m 2=2
11
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
7CB+ 2CA
⃗⃗⃗⃗⃗
OZ =
;
9
Задача 2.
Точка L служит центром масс двух материальных точек αА и βВ.
⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ :BA
Вычислите отношение 𝐵𝐿
A
C
B
⃗⃗⃗⃗⃗ = βLB
⃗⃗⃗⃗
- αLA
⃗⃗⃗⃗⃗ = α:(α + β).
⃗⃗⃗⃗ : BA
BL
Следовательно, точка пересечения KL и MN есть центр масс.
Задача 3.
1
На стороне АС треугольника АВС взята точка М, так что АМ = АС, а
3
на продолжении стороны СВ т. N, так что BN = CB. MN пересекает АВ в
точке P. В каком отношении делит эта точка сторону АВ и отрезок NM?
N(1)
B(2)
P(4)
A(2)
M(3)
C(1)
12
Пусть т. Z – центр масс системы точек A, C, N.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2OA + 1OC
1OC + 1ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
OM =
; ⃗⃗⃗⃗⃗
OB =
;
3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2OA + 1OC+ 1ON
⃗⃗⃗⃗⃗
OZ =
,
4
⃗⃗⃗⃗⃗
OZ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 1ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3OM
⃗⃗⃗⃗⃗
OZ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2OA
4
4
⇒ т. Z принадлежит MN
т. Z принадлежит АВ;
⇒
Т. Z = AB∩MN ⇒ т. P = т. Z;
Отсюда AP:PB = 1:1; NP:PM = 3:1.
Задача 4.
Площадь параллелограмма ABCD равна 1 м2. Точка М делит сторону
ВС в отношении 3:5 (считая от т. В). Прямые АМ и DB пересекаются в точке
P. Вычислите площадь четырехугольника CMPD.
M (8)
B (5)
C (3)
h2
P
h1
D (5)
A (3)
△BPM ∼ △DPA ⇒ h1:h2 = AP: PM
3
AP:PM = 8:3; h2 =
h;
11
1
1
2
2
𝑆△ABD = м2; 𝑆△ABD = AD*h
1
3
3
2
8
11
𝑆△BMP = ∗ AD* h =
𝑆PMCD = 1 -
1
2
-
9
176
=
9
1
* AD*h =
88 2
79
176
9
176
м2;
м2.
13
Задача 5.
На сторонах LK и LM треугольника KLM взяты такие точки А и В, что
LA=3AK, LB=4BM. Пусть точка С – точка пересечения прямых AM и KB, S
и s – площади треугольников KLM и KMC. Вычислите S:s.
L (1)
h
A
B (5)
C
h2
h1
K (3)
M (4)
1
h1:h2 = KC: KB; h2 = h
5
1
1
S
2
2
s
S = KM*h ; s = KM*h1 ⇒
B=
C=
4M+1L
5
4A+4M
2
;A=
3K+1L
4
;C=
=
h
h1
3K+5B
8
⇒ C=Z
h1:h2 = KC:KB ; h1:h2 = 5:8
5h2 = 8h1; h1 =
5h2
8
1
= h
8
S:s = 8:1.
Задача 6.
На стороне ВС треугольника АВС взята такая точка D, что BD:DC = 5:1.
В каком отношении медиана СЕ делит отрезок AD?
14
A (1)
E (2)
Z
B (1)
D=
E=
D (6)
1B+5C
1A+6D
6
7
;Z=
,
1B+1A
2E+5C
2
7
;Z=
C (5)
,
Следовательно т. Z – центр масс системы точек А, В, С ⇒
𝐴𝑍
ZD
6
= .
1
Задача 7.
На сторонах треугольника АВС взяты такие точки A’, B’, C’, что ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AC′ =
1
1
1
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AB , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
BA′ = BC
CB′ = ⃗⃗⃗⃗⃗
CA . При пересечении отрезков AA’, BB’, CC’
3
3
3
образовался треугольник А””є. Найдите, в каком отношении делятся
отрезки AA’, BB’, CC’ точками А”, В”, С”.
B (2)
A' (3)
A" (7)
C' (6)
C" (7)
A (4)
B" (14)
B' (12)
C (1)
(8)
Так как 3AC = AB, то 2BA’ = 1A’C ⇒ 2B; 1C; 3A’
15
AC’:C’B = 1:2 ⇒ 4A; 6C’
AB’:B’C = 2:1 ⇒ 8C; 12B
Тогда:
AC"
C"A′
3
C′C"
4
C′C
= ;
1
C′B"
6
B"C
= ;
8
BB"
6
B"B′
= ;
12
= .
2
Рассматривая решения этих задач, можно убедиться, что метод с
использованием центра масс позволяет решить задачи, которые ранее
казались неразрешимыми.
16
4. Заключение
Мы рассмотрели оригинальный способ доказательства теорем,
основанный на применении свойств центра масс системы материальных
точек. Это позволяет по-новому изложить решения многих геометрических
задач, причем эти решения проводятся на языке механике и являются
математически строгими.
Были рассмотрены готовые решения задач, которые позволили более
глубоко понять материал. Так же в работе приведены задачи, решенные мной
самостоятельно, что свидетельствует об усвоении полученных знаний и
приобретении умения применять их на практике, при подготовке к
экзаменам.
Сущность барицентрического подхода состоит в том, что наше
внимание концентрируется на определенных точках – центрах масс систем
материальных точек, связанных с рассматриваемой геометрической задачей.
Искусство применения барицентрического метода заключается в том, чтобы
осуществить такой выбор точек и помещаемых в эти точки масс, при
которых задача легко и красиво решается.
17
5. Список литературы
1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия, 10 –
11. – М.: Просвещение, 2008. – 255 с.
2. Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. – М.: Наука,1987. – 160
с.
3. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Ч. II. – М.: Наука,1986. – 228
с.
18