Решения второй части

Вариант 6401
21. Сократите дробь
12𝑛
22𝑛−3 ∙ 3𝑛−1
Решение.
12𝑛
22𝑛−3 ∙ 3𝑛−1
=
3𝑛 ∙ 4 𝑛
22𝑛−3 ∙ 3𝑛−1
=
3𝑛 ∙ 22𝑛
22𝑛−3 ∙ 3𝑛−1
= 3𝑛−𝑛+1 ∙ 22𝑛−2𝑛+3 = 31 ∙ 23 = 3 ∙ 8 =24
Ответ: 24.
22. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем
причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 5 часов от начала путешествия.
На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а
собственная скорость лодки 8 км/ч?
Решение.
Туристы затратили на дорогу туда и обратно 2 часа. Пусть х – расстояние, которое проплыли
туристы в одну сторону, составим и решим уравнение
𝑥
10
+
𝑥
6
= 2; 6х + 10 х = 120; 16х = 120; х = 7,5
Ответ: 7,5 км
23. Постройте график функции y =
(𝑥−2)(𝑥 2 −5𝑥+4)
и определите, при каких значениях m
𝑥−4
прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.
Преобразуем выражение функции, разложим квадратный трёхчлен в числителе на множители
х2 – 5х + 4 = (х – 1)(х – 4)
y=
(𝑥−2)(𝑥−1)(𝑥−4)
; y = (x - 2)(x – 1).
𝑥−4
Получили квадратичную функцию, построим ее график
Y
1
0
2
-1
-2
1,5; - 2,25
X
прямая y = m будет иметь одну общую точку с графиком функции при трех значениях m.
Первый случай, когда прямая касается вершины параболы, т.е. при m = -2,25.
Второй случай, когда прямая пересекает параболу в точке x = 1. Подставляя это х в параболу
получаем y = m = 0.
Третий случай, когда прямая пересекает параболу в точке x = 2. Подставляя это х в параболу
получаем y = m = 0.
Ответ: -2,25; 0
24. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С известны катеты: АС = 8, ВС = 15.
Найдите медиану СМ.
Решение.
В
М
С
А
Медиана из прямого угла на гипотенузу равна половине гипотенузы (радиусу описанной
окружности около данного треугольника). Гипотенуза равна корню квадратному из 8*8+15*15
= 289 или 17 см. Отсюда медиана 1/2 *17 = 8,5
Ответ: 8,5.
25. В параллелограмме ABCD точка Е – середина стороны CD. Известно, что ЕА = ЕВ.
Докажите, что данный параллелограмм – четырехугольник.
Решение.
B
C
E
А
D
Проведем дополнительное построение, диагонали AC и BD. Треугольники AED и BEC равны
(CE и ED, EA и EB (по условию), CB и AD (свойство)), значит соответствующие углы равны,
т.е. DEA = CEB.
Треугольник BED = CEA(CE и ED, EA и EB (условие), угол BEA общий, DEA = CEB,
значит BD = AC, которые являются диагоналями параллелограмма, значит ABCD прямоугольник.
26. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 10. Окружность радиуса 6 с
центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается
основания АС в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Решение.
1-й способ.
Соединим центры окружностей - вписанной в треугольник АВС и вневписанной.
Точку С также соединим с этими центрами.
Угол КСО прямой, т.к. равен сумме половин смежных углов ( центры окружностей
лежат на биссектрисах углов). Треугольник КСО - прямоугольный.
СН в нем -высота и равна половине АС, т.е. равна 5 см.
Отрезок ОН равен радиусу вневписанной окружности и равен 6 см.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого
угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые
делится гипотенуза этой высотой.
Из этого следует равенство: СН² = ОН·КН; 25 = 6КН
r =КН=25/6 = 4
1
6
2-й способ.
Четырехугольники AHO1K и MAKO подобны, так как если стороны одного
многоугольника пропорциональны сторонам другого многоугольника и
соответственные углы (т. е. углы, лежащие между пропорциональными
сторонами) этих многоугольников равны, то такие многоугольники подобны.
1
5 : r = 6 : 5; 6r = 25; r = 25/6 = 4
6
1
Ответ: 4
6
Вариант 6402
21. Сократите дробь
45𝑛
32𝑛−3 ∙ 5𝑛−1
Решение.
45𝑛
32𝑛−1 ∙ 5𝑛−2
=
9𝑛 ∙ 5 𝑛
32𝑛−1 ∙ 5𝑛−2
=
32𝑛 ∙ 5𝑛
32𝑛−1 ∙ 5𝑛−2
= 32n – 2n + 1 ∙ 5n –n + 2 = 31 ∙ 52 = 3 ∙ 25 = 75
Ответ: 75.
22. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем
причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 7 часов от начала путешествия.
На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а
собственная скорость лодки 5 км/ч?
Решение.
Туристы затратили на дорогу туда и обратно 4 часа. Пусть х – расстояние, которое проплыли
туристы в одну сторону, составим и решим уравнение
𝑥
8
+
𝑥
2
= 4; х + 4 х = 32; 5х = 32; х = 6,4
Ответ: 6,4 км
23. Постройте график функции y =
(𝑥−5)(𝑥 2 −6𝑥+8)
и определите, при каких значениях m
𝑥−2
прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение.
Преобразуем выражение функции, разложим квадратный трёхчлен в числителе на множители
х2 – 6х + 8 = (х – 2)(х – 4)
y=
(𝑥−5)(𝑥−2)(𝑥−4)
; y = (x - 5)(x – 4).
𝑥−2
Получили квадратичную функцию, построим ее график
Y
0
4
-1
5
X
4,5; - 0,25
прямая y = m будет иметь одну общую точку с графиком функции при трех значениях m.
Первый случай, когда прямая касается вершины параболы, т.е. при m = -0,25.
Второй случай, когда прямая пересекает параболу в точке x = 4. Подставляя это х в параболу
получаем y = m = 0.
Третий случай, когда прямая пересекает параболу в точке x = 5. Подставляя это х в параболу
получаем y = m = 0.
Ответ: -0,25; 0
24. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С известны катеты: АС = 15, ВС = 20.
Найдите медиану СМ этого треугольника.
Решение.
В
М
С
А
Медиана из прямого угла на гипотенузу равна половине гипотенузы (радиусу описанной
окружности около данного треугольника). Гипотенуза равна корню квадратному из 15*15 +
20*20 = 625 или 25 см. Отсюда медиана 1/2 *25 = 12,5
Ответ: 12,5.
25. В параллелограмме KLMN точка B – середина стороны LM. Известно, что BK = ВN.
Докажите, что данный параллелограмм – четырехугольник.
Решение.
L
M
B
K
N
Проведем дополнительное построение, диагонали AM и LN. Треугольники KBN и LBM равны
(MB и BN, LB и KB (по условию), LM и KN (свойство)), значит соответствующие углы равны,
т.е. NBK = MBL.
Треугольник LBN = MBK(MB и BN, KB и LB (условие), угол LBK общий, NBK = MBL,
значит LN = KM, которые являются диагоналями параллелограмма, значит KLMN прямоугольник.
26. Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 10. Окружность радиуса 9 с
центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается
основания АС в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.
Решение.
1-й способ.
Соединим центры окружностей - вписанной в треугольник АВС и вневписанной.
Точку С также соединим с этими центрами.
Угол КСО прямой, т.к. равен сумме половин смежных углов ( центры окружностей
лежат на биссектрисах углов). Треугольник КСО - прямоугольный.
СН в нем -высота и равна половине АС, т.е. равна 5 см.
Отрезок ОН равен радиусу вневписанной окружности и равен 9 см.
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого
угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые
делится гипотенуза этой высотой.
Из этого следует равенство: СН² = ОН·КН; 25 = 9КН
r =КН=25/9 = 2
7
9
2-й способ.
Четырехугольники AHO1K и MAKO подобны, так как если стороны одного
многоугольника пропорциональны сторонам другого многоугольника и
соответственные углы (т. е. углы, лежащие между пропорциональными
сторонами) этих многоугольников равны, то такие многоугольники подобны.
7
5 : r = 9 : 5; 9r = 25; r = 25/9 = 2
7
Ответ: 2
9
9