З А Д А Ч Н И К К ... «МЕТОДЫ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ»
advertisement
ЗАДАЧНИК К УЧЕБНИКУ «МЕТОДЫ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ» Писарева О.М. 2 ВВЕДЕНИЕ Сборник задач экономического по дисциплине развития" иллюстрирующих "Прогнозирование представляет практические набор постановки социально- типовых проблем, задач, связанные с лекционным материалом, читаемым в рамках специальной дисциплины учебного плана специальности 061800 - "Прогнозирование социальноэкономического развития". Предлагаемые в сборнике задачи, рассматриваются авторами, как исходный материал для проведения практических занятий по данной учебной дисциплине. Сборник включает задачи на иллюстрацию применения различных методов прогнозирования и логически состоит из двух частей. В первой части представлены примеры типовых задач, связанных с общими методами прогнозирования. Задания в нем сгруппированы в соответствии с наиболее распространенными типовыми методами прогнозирования, основывающимися, как правило, на фактографической информации об исследуемом объекте прогнозирования и характерными для чрезвычайно широких областей исследования. Вторая часть - представляет типовые задачи на специальные методы прогнозирования, в данных постановках, как правило, связанных со спецификой макроэкономического прогнозирования. Задачи, требующие достаточно громоздких расчетов, в качестве вспомогательного материала содержат результаты промежуточных вычислений, сделанные с помощью специализированных программных продуктов - Statgraphics, BLP. Сборник снабжен обширными ссылками на учебную и учебнометодическую литературу по общим и специальным методам прогнозирования, что может быть полезным студентам при решении ряда предлагаемых задач. 3 РАЗДЕЛ 1. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ 1.1 Экономико-статистические методы прогнозирования. 1.1.1 Прогнозирование с помощью моделей средних. 1. На основании данных об изменении кросс-курса (Х) выявить тенденцию развития при помощи метода простой скользящей средней и осуществить интервальный прогноз изменения кросс-курса на один период вперед, если период сглаживания m = 3 . Принять уровень значимости равным 0.01. Дата X 12.09 19.27 22.09 19.61 23.09 19.05 13.09 19.57 14.09 20.24 24.09 17.85 15.09 18.75 25.09 17.30 16.09 18.96 26.09 16.99 17.09 18.70 18.09 17.55 19.09 16.20 20.09 17.56 21.09 18.35 27.09 16.67 2. На основании данных об изменении кросс-курса (Х) выявить тенденцию развития при помощи метода адаптивной скользящей средней и осуществить интервальный прогноз изменения кросс-курса на один период вперед, если период сглаживания m = 5 . (уровень значимости равен 0.005) Период X 11 17.44 1 17.44 12 18.15 2 16.66 13 18.87 3 16.38 14 18.10 4 16.05 15 18.68 5 15.71 6 15.84 7 15.21 8 15.58 9 16.50 10 16.37 16 18.24 3. Выявить тенденцию развития при помощи метода взвешенной скользящей средней и осуществить интервальный прогноз изменения показателя Х на один период вперед с надежностью 80%, если период сглаживания m = 5 . Дата X 10.11 18 20.11 20.43 21.11 20.42 11.11 19.58 22.11 20.90 12.11 19.59 23.11 19.66 13.11 19.22 24.11 20.09 14.11 20.06 15.11 20.08 16.11 19.17 17.11 19.15 18.11 19.39 19.11 18.96 25.11 21.29 4. Вывести коэффициенты взвешенной скользящей средней, если период сглаживания m равен 7, а сглаживающий полином имеет вид: 2 F c i bi a , i p; p , если p=(m-1)/2. 5. Докажите, что при периоде сглаживания m=3, и форме 2 сглаживающего полинома F c i bi a , i p; p , при p=(m-1)/2, весовые коэффициенты будут одинаковыми и будут равны g1=g2=g3=1/3. 4 6. В результате работы ППП Statgraphics с данными об изменении курса немецкой марки (dm) с 1 января 1973 года по 1 января 1975 г. в режиме Special/Time-Series-Analysis/Smoothing, были получены следующие результаты: Data Table for dm First smoother: simple moving average of 7 terms Second smoother: none Period Data Smooth Rough ---------------------------------------------------------------1.73 3.196 2.73 3.005 3.73 2.813 4.73 2.836 2.79329 0.0427143 5.73 2.79 2.68329 0.106714 6.73 2.578 2.60029 -0.0222857 7.73 2.335 2.54314 -0.208143 8.73 2.426 2.50643 -0.0804286 9.73 2.424 2.48743 -0.0634286 10.73 2.413 2.52114 -0.108143 11.73 2.579 2.57529 0.00371429 12.73 2.657 2.60257 0.0544286 1.74 2.814 2.617 0.197 2.74 2.714 2.62371 0.0902857 3.74 2.617 2.616 0.001 4.74 2.525 2.601 -0.076 5.74 2.46 2.573 -0.113 6.74 2.525 2.56529 -0.0402857 7.74 2.552 2.56171 -0.00971429 8.74 2.618 2.55957 0.0584286 9.74 2.66 2.55814 0.101857 10.74 2.592 11.74 2.51 12.74 2.45 ---------------------------------------------------------------- The StatAdvisor --------------This table shows the results of applying the selected smoothers to dm. It shows the data, the smoothed value, and the rough (data-smooth). You can adjust the amount of smoothing by increasing or decreasing the length of the moving average. The longer the moving average, the smoother the result. , где Period - период времени в формате месяц.год; Data -данные об изменении курса немецкой марки; Smooth – сглаженные значения курса немецкой марки. На основании полученных результатов осуществить интервальный прогноз курса немецкой марки на один период вперед, если надежность прогноза равна 99%. 7. В результате работы ППП Statgraphics с данными об изменении курса немецкой марки (dm) с 1 января 1973 года по 1 января 1975 г. в режиме Special/Time-Series-Analysis/Forecasting, были получены следующие результаты: 5 Data variable: dm Number of observations = 24 Start index = 1.73 Sampling interval = 1.0 month(s) Forecast Summary ---------------Forecast model selected: Simple moving average of 9 terms Number of forecasts generated: 0 Number of periods withheld for validation: 9 Estimation Validation Statistic Period Period -------------------------------------------MSE 0.0318882 0.00436807 MAE 0.150463 0.055716 MAPE 5.75773 2.21978 ME 0.0358333 -0.0414691 MPE 1.04764 -1.68241 Model: Simple moving average of 9 terms V = withheld for validation Period Data Forecast Residual -----------------------------------------------------------------------------1.73 3.196 2.73 3.005 3.73 2.813 4.73 2.836 5.73 2.79 6.73 2.578 7.73 2.335 8.73 2.426 9.73 2.424 10.73 2.413 2.71144 -0.298444 11.73 2.579 2.62444 -0.0454444 12.73 2.657 2.57711 0.0798889 1.74 2.814 2.55978 0.254222 2.74 2.714 2.55733 0.156667 3.74 2.617 2.54889 0.0681111 4.74 2.525 2.55322 V-0.0282222 5.74 2.46 2.57433 V-0.114333 6.74 2.525 2.57811 V-0.0531111 7.74 2.552 2.58933 V-0.0373333 8.74 2.618 2.60478 V0.0132222 9.74 2.66 2.60911 V0.0508889 10.74 2.592 2.60944 V-0.0174444 11.74 2.51 2.58478 V-0.0747778 12.74 2.45 2.56211 V-0.112111 ------------------------------------------------------------------------------ , где Period - период времени в формате месяц.год; Data -данные об изменении курса немецкой марки. На основании полученных результатов осуществить интервальный прогноз курса немецкой марки на один период вперед с вероятностью 95%. 8.Выявить тенденцию развития при помощи метода простого экспоненциального сглаживания Брауна и осуществить интервальный прогноз изменения показателя Х на один период вперед с надежностью 80%, ссссесли значение сглаживающего фильтра а = 0.45 Месяц X нояб. 17.4 янв. 16.7 декаб. 18.18 февр. 17.6 янв. 17.9 март 17.1 февр. 17.06 апр. 15.0 март 17.47 май 14.2 апр. 17.57 июнь 16.1 июль 14.7 авг. 13.6 сент. 15.5 окт. 15.6 6 9. Имеются данные о индексе Доу-Джонс (Y) за период 20 дней: День Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110.7 110.43 110.56 110.75 110.84 110.46 110.56 110.46 110.05 109.6 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 109.31 109.31 109.25 109.02 108.54 108.77 109.02 109.44 109.38 109.53 С помощью статистического пакета было проведено сглаживание временного ряда различными способами. Использовалась простая скользящая средняя с периодом усреднения 3 и 5, простая и линейная модели Брауна с параметрами сглаживающего фильтра a= 0.2; 0.6; 0.8 соответственно, а также взвешенная скользящая средняя Гендерсона с периодом усреднения m=5. Результаты расчетов представлены в Приложении 1. Используя критерии качества моделей, полученные в результате расчетов, определите: 1. наилучшую (с точки зрения выбранных критериев) модель для прогнозирования данного временного ряда; 2. по выбранной модели постройте точечный и интервальный прогноз показателя на один период вперед, если вероятность попадания в доверительные границы равна 90%. 1.1.2 Выявление тенденции во временных рядах. Прогнозирование динамики временных рядов. 1. Данные о средних ежеквартальных затратах, приходящихся на одну корову, в $, (Y) на ферме “Новая” приведены в Таблице. На основании данных представленной выборки определить наличие тенденции во временном ряду различными методами: - используя метод равенства средних (принять уровень значимости равным 10%); - используя метод Фостера-Стюарта (принять уровень значимости равным 10%); - используя Критерий Аббе (принять уровень значимости равным 10%); квартал Y III 50 I 53 IV 50 II 95 I 48 III 70 II 59 IV 69 III 50 I 56 II 70 III 70 IV 60 I 60 II 60 IV 60 2. Данные о средних ежеквартальных затратах, приходящихся на одну корову, в $, (Y) на ферме “Новая” приведены в Таблице. На основании приведенных данных построить трендовую модель, предварительно выполнив следующие процедуры: на основании абсолютных приростов определить тип роста показателя Y; 7 - подобрать форму кривой. 3. С помощью статистического пакета были получены следующие результаты относительно однородности некоторой выборки, предварительно разбитой на две равные подвыборки Y1 и Y2. Используя результаты расчетов, проверить гипотезу о существовании тенденции в ряду, представленному выборкой, по методу равенства средних, приняв уровень значимости, равной 0.05. Результаты работы статистического пакета: 1) Общая статистика по подвыборкам Y1, Y2. Summary Statistics Y1 Y2 -----------------------------------------------------------Count 10 10 Average 49.5 50.5 Variance 45.1667 38.7222 Standard deviation 6.72062 6.22272 Minimum 41.0 40.0 Maximum 62.0 60.0 Stnd. skewness 0.574158 -0.0692045 Stnd. kurtosis -0.289829 -0.428581 Sum 495.0 505.0 ------------------------------------------------------------ 2) Проверка однородности подвыборок Y1,Y2. Comparison of Standard Deviations --------------------------------Y1 Y2 -----------------------------------------------------------Standard deviation 6.72062 6.22272 Variance 45.1667 38.7222 Df 9 9 Ratio of Variances = 1.16643 95.0% Confidence Intervals Standard deviation of Y1: [4.62268;12.2692] Standard deviation of Y2: [4.2802;11.3603] Ratio of Variances: [0.289724;4.69603] F-tests to Compare Standard Deviations Null hypothesis: sigma1 = sigma2 (1) Alt. hypothesis: sigma1 NE sigma2 F = 1.16643 P-value = 0.82237 (2) Alt. hypothesis: sigma1 > sigma2 4. С помощью статистического пакета были оценены коэффициенты a0,a1 линейного тренда вида: y a0 a1t по данным, представленным в Приложении 4. 8 Результаты оценки статистического пакета. параметров трендовой модели с помощью Multiple Regression Analysis ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Y ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------CONSTANT 88,3036 4,07338 21,6782 0,0000 count(1;33;1) -1,71554 0,209051 -8,20631 0,0000 ----------------------------------------------------------------------------Analysis of Variance ----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value ----------------------------------------------------------------------------Model 8805,7 1 8805,7 67,34 0,0000 Residual 4053,5 31 130,758 ----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 12859,2 32 R-squared = 68,4778 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 67,461 percent Standard Error of Est. = 11,4349 Mean absolute error = 9,01534 Durbin-Watson statistic = 0,909792 Докажите, что остаточная компонента подчинена нормальному закону распределения и выполняется условие ее случайности и независимости. 5. Имеются данные об ежемесячном потреблении электроэнергии в регионе (Y) за период два года. (Приложение 2). Покажите, что ряд Y стационарен. 6. Деканату была представлена информация об ежегодном приросте красных дипломов на факультете экономическая кибернетика (в процентах к предыдущему году) в совокупности по дневному и вечернему отделению с 1985 по 2001 год. Данные представлены в Таблице. а)можно ли считать , что с вероятностью 90% в динамике количества красных дипломов существует тенденция. Если да, то постройте уравнение линейного тренда вида Y=a0+a1t и дайте интерпретацию его параметров; б)администрация предполагает, что среднегодовой абсолютный прирост количества красных дипломов составляет не менее 6 штук. Подтверждается ли это предположение результатами, которые вы получили. в)спрогнозируйте количество красных дипломов в 2002 году. Дайте точечную интервальную оценку с вероятностью 95%. Будет ли доверительный интервал прогноза содержать среднее значение количества красных дипломов ? 9 Год количество красных дипломов, шт. (Y) 1995 20 1996 22 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 5 4 6 5 7 10 8 13 15 17 1997 26 1998 20 1999 25 2000 26 2001 23 7. Изучается динамика потребления мяса в регионе. Для этого были собраны данные об объемах среднедушевого потребления мяса y (кг) за год. Предварительная обработка данных путем логарифмирования привела к получению следующих результатов: месяц ln (yt) 1 1.99 2 2.10 3 2.12 4 2.17 5 2.22 6 2.20 7 2.25 8 2.28 9 2.30 10 2.31 11 2.29 12 2.31 t Постройте уравнение экспоненциального тренда вида Y a0 ea . Дайте интерпретацию его параметров. 1 8. Обследование любителей пива о количестве пива, выпиваемого ими в среднем за день, в литрах, (Y) за двухнедельный период дало следующие результаты. День Y 11 1.92 01 1.4 12 1.97 02 1.48 13 1.93 03 1.52 04 1.44 05 1.55 06 1.25 07 1.53 08 1.46 09 1.9 10 1.92 14 1.63 Обоснуйте необходимость построения трендовой модели. Подберите форму уравнения тренда (линейный, степенной, экспоненциальный, логарифмический, гипербола, S-образная), на основании типа роста показателя. 9. По выборочным данным о темпе прироста продаваемого бутылочного пива по ЗАО "Алина", (в процентах к предыдущему дню) за двухнедельный период с помощью статистического пакета построено следующее уравнение линейного тренда: Y=13.21+1.19t Выборочные данные представлены в таблице: День Y 11 19.2 01 14 12 19.7 02 14.8 13 19.3 03 15.2 04 14.4 05 15.5 06 12.5 07 15.3 08 14.6 09 19.0 10 19.2 14 16.3 а)рассчитайте характеристики, определяющие качество модели и прогностические способности полученной модели. Сделайте выводы. Для обучающей выборки принять период упреждения l=3. б)постройте точечный и интервальный прогноз на следующий, 15-й день торговли, предполагая что прогнозное значение попадет в доверительный интервал с вероятностью 99%. 10 1.1.3 Прогнозирование на основе регрессионных моделей. 1.Наблюдения 16 пар (X,Y) дали следующие результаты: 16 Y 2 16 X 526 i 1 2 526 i 1 16 16 X Y 64 i 1 64 16 XY 492 i 1 i 1 Оцените коэффициенты линейной регрессии Yt=a+bXt +et 2.Рассмотрим модель Y t X t et , где ошибки являются независимыми одинаково распределенными нормальными случайными величинами. Почему для оценивания параметров нельзя применять метод наименьших квадратов ? 3. Из нижеперечисленных функций, определите, какие являются линейными по переменным, линейными по параметрам, нелинейными ни по переменным, ни по параметрам. - Y t 0 1 x t ; 3 - Y t 0 1 ln( x) t ; - ln( Y t ) 0 a1 ln x t ; - Y t 0 1 x t ; c - Y a 0 1 x t ; 2 b) - Y t 1 a 0 (1 x ) t ; x 10 - Y t 0 1 t . 4. Могут ли следующие уравнения быть преобразованы в уравнения, линейные по параметрам. Если да, то преобразуйте их. X а) Y t e t ; b) Y t e x t i c) Y t e d) Y t X t t ( X ti) t 11 5. По исходным данным, представленным в Таблице, о еженедельном среднедушевом потреблении мяса вычислите следующие величины: 1. коэффициент детерминации R2 в регрессии среднедушевого потребления (Y) на уровень доходов населения (X) при наличии свободного члена; 2. коэффициент детерминации R2 регрессии среднедушевого потребления (Y) на уровень доходов населения (X) при отсутствии свободного члена; 3. определите значимость коэффициента детерминации и в том и в другом случае. 4. изменятся ли результаты расчетов, и как, если использовать скорректированный коэффициент детерминации R2adj Х, $ Y, кг. 500 4.3 50 0.7 700 5 70 0.8 900 6.1 75 0.8 1200 6.2 90 1 1500 6.1 100 1.2 150 1.3 200 2 300 2.5 350 2.5 400 3 2000 6.3 6. Рассмотрим следующие факторные модели: , Y log( i ) log W i S i i 1 2 3 a) log( Y i) 1 2 log W i 3 S i i b) где Wi Yi –годовой доход i- го индивидуума; Wi- число рабочих недель i-го индивидуума в году; Si- полное число лет, потраченных i-ым индивидуумом на образование. а) Покажите, что для соответствующих оценок МНК выполнены соотношения: a1 b1; a3 b3 ; b2 a1 1 б) Покажите, что остатки этих регрессий совпадают. 7. Всегда ли доверительный интервал для оценок параметров линейной регрессии 1 2 шире каждого из доверительных интервалов для 1 и 2 ? Если да, то почему, докажите утверждение ? 8. Ответьте на следующие вопросы, приведите доказательства. а) Что произойдет с оценками МНК парной регрессии Y на X, если добавить константу к каждому наблюдению Y , к каждому наблюдению X ? Что произойдет с оценками МНК в множественной регрессии Y на Х1, Х2, если добавить константу c1 к каждому наблюдению Х1, и константу c2 к каждому наблюдению X2. б) Что произойдет с оценками МНК а1 ; а2 в регрессии Yt =а1X1+а2Х2+еt, если вместо переменных X1;Х2 взять центрированные ' ' переменные: X 1 X 1 X 1; X 2 X 2 X 2 12 9. Предположим, что вы оцениваете линейную функцию потребления Ct Y t t среди n индивидуумов. Как учесть возможный сдвиг этой функции при переходе от городского к сельскому потребителю, если вы считаете, что предельная склонность к потреблению постоянна, в то время как средняя склонность к потреблению может меняться ? Как проверить гипотезу о том, что предельная склонность к потреблению индивидуумов с доходом выше и ниже уровня Y*отличаются ? 10. Предположим, что некоторые ежегодные данные удовлетворяют соотношениям: Y t 0 1 X t 2t t (истинная модель) причем выполнены все условия классической регрессии. Однако оценивается “неправильная” модель без составляющей времени t: Y t b0 b1 X t t а) Какие из условий классической регрессии не выполнены для модели без временной составляющей ? б) Будет ли равна нулю сумма остатков для этой регрессии ? Как это связано с ошибочным предположением, что M(vt)=0 ? 11. Для трех видов продукции А,В,С модели зависимости удельных постоянных расходов (Y) от объема выпускаемой продукции (x) выглядят следующим образом: y y y A B C 30 0.8 x 200 60 x 0.3 -определите коэффициенты эластичности по каждому виду продукции, поясните их смысл; -сравните при х=400 эластичность затрат для продукции А и С; -определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности для продукции А и С были равны. 12. На основании 32 данных о зависимости ожидаемой продолжительности жизни от суточной калорийности питания населения, представленных в Приложении 3, построена следующая регрессионная модель, характеризующая зависимость y (ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 1999 г.) от х (суточной калорийности питания населения в различных странах) : y = 44.4+0.009x Известно также, что парный коэффициент корреляции между x и y равен 0.5562 13 Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии а1 (при х) в этой модели с вероятностью 90% и 95%. Проанализируйте результаты для различных вероятностей, поясните причины различий результатов. Результаты расчетов, полученные с помощью статистического пакета (для вероятности 95%): Multiple Regression Analysis ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Y ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------CONSTANT 44,4075 7,97873 5,56573 0,0000 x 0,00911632 0,00248666 3,66609 0,0009 ----------------------------------------------------------------------------Analysis of Variance ----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value ----------------------------------------------------------------------------Model 254,587 1 254,587 13,44 0,0009 Residual 568,267 30 18,9422 ----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 822,855 31 R-squared = 30,9395 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 28,6375 percent Standard Error of Est. = 4,35227 Mean absolute error = 3,51837 Durbin-Watson statistic = 2,28654 13. По случайной выборке из 25 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: x- средняя величина покупки в торговом центре, тыс. руб.; Y –выручка торгового предприятия, млн. руб. При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты: 25 2 1300 Qост y j y j i 1 25 Qобщ y j y j i 1 2 2000 Какой показатель корреляции можно определить по этим данным. Постройте таблицу дисперсионного анализа для расчета значений Fкритерия Фишера. Является ли модель существенной. Если Да, то с какой вероятностью ? 14.Зависимость производительности труда (Y) от продолжительности рабочего дня (х), часов по 20 заводам концерна характеризуется следующим образом: Уравнение регрессии: Y= 200+0.2х-0.06х2; Доля остаточной дисперсии в общей составляет 25%. 14 - определите значимость уравнения регрессии, используя критерий Фишера, приняв уровень значимости, равным 0.1; - определите коэффициент эластичности, предполагая, что средняя продолжительность рабочего дня равна 7 часа. 15. По 20 фермам области получена информация, представленная в Таблице: Показатель Среднее значение Коэффициент вариации Урожайность, ц/га (Y) 27 20 Внесено удобрений на 1 5 15 га посева, кг (X) Фактическое значение F-критерия Фишера составило 45. Определите: - линейный коэффициент детерминации; - восстановите уравнение линейной регрессии Y на Х; - с вероятностью 90% определите доверительный интервал ожидаемого значения урожайности в предположении роста количества внесенных удобрений на 15% от своего среднего уровня. 16. Для двух видов продукции А и Б зависимость расходов предприятия Y (тыс. руб.) от объема производства х (шт.) характеризуется данными, представленными в таблице: Уравнение регрессии Показатель корреляции Число наблюдений YA=130+0.85x 0.76 40 0.8 YB=30x 0.82 50 a) Поясните смысл величин 0.85 и 0.8 в уравнениях регрессии; б) Оцените значимость каждого уравнения регрессии с помощью критерия Фишера, приняв уровень значимости, равным 0.01 17. Зависимость объема продаж товара –Y (тыс. $) от расходов на рекламу х (тыс. $) характеризуется по 12 филиалам торгового предприятия следующим образом: Уравнение регрессии Y=12.42+0.729x Среднее квадратическое отклонение х 0.5629 Среднее квадратическое отклонение Y 0.0399 a) определить парный коэффициент корреляции между Y и x; б) построить таблицу дисперсионного анализа для оценки существенности уравнения регрессии; оценить существенность модели, используя для оценки критерий Фишера (принять уровень значимости равным 0.05); в) найти стандартную ошибку оценки коэффициента регрессии; 15 г) Оценить значимость параметра регрессии, используя критерий Стъюдента. д) Определить доверительный интервал параметра регрессионной модели с вероятностью 90% и представить анализ сложившейся ситуации. 18. В целях прогнозирования объема экспорта страны на будущие периоды были собраны данные за 30 лет по следующим показателям: yt – объемы экспорта (млрд. $, в сопоставимых ценах); хt –индекс физического объема промышленного производства (в % к предыдущему году). Ниже представлены результаты предварительной обработки исходных данных. 1. Уравнения линейных трендов: а) для ряда Y t Y t 3.1 1.35t t ; б ) для ряда X t X R 0.91; DW 2.31 2 t 8.4 4.8t t ; R 2 0.89; DW 2.08 2.Уравнение регрессии по уровням временных рядов: Y t 10.5 0.5 xt t ; R 2 0.95; DW 2.21 3.Уравнение регрессии по первым разностям уровней временных рядов: Y t 1.4 0.03 xt t ; R 2 0.86; DW 2.25 4.Уравнение регрессии по вторым разностям уровней временных рядов: Y 2 t 0.7 0.012 2 x ; R t 2 t 0.47; DW 2.69 5.Уравнение регрессии по уровням временных рядов с включением фактора времени: Y t 4.23 0.24 xt 0.78t t ; R 2 0.97; DW 0.9 а)Сформулируйте свои предположения относительно величины коэффициента автокорреляции первого порядка в каждом из рядов. Обоснуйте ответ. б)Выберите наилучшее уравнение регрессии, которое можно использовать для прогнозирования объема экспорта, и дайте интерпретацию его параметров. 19.Изучается зависимость объема продаж товара А (y) от динамики потребительских цен (xj). Полученные за 12 кварталов данные представлены в Таблице: Квартал Индекс потребительски х цен, в % к I кварталу Средний за день объем продаж товара А в течение квартала, кг. I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII 100 102 104 110 112 112 114 117 120 124 124 130 20 24 22 30 35 37 45 47 46 50 54 60 16 Известно также, что 12 x t 1 t 1360; 12 y t 1 t 470; 12 x y t 1 t t 54945; 12 x t 1 2 t 20320 Постройте модель зависимости объема продаж товара А от индекса потребительских цен с включением фактора времени (Y=a1Xt+a2t) и дайте интерпретацию параметров полученной Вами модели. 20. Провести оценку коэффициентов линейной регрессии, если X1независимая переменная, Y- зависимая: X1 1.2 1.7 2.1 3.4 3.2 4.1 5.5 4.9 4.3 4.0 Y 31 30.8 29.2 28.3 27.1 26.3 26.1 28.2 28 27 a) точечную; б) интервальную, приняв вероятность попадания значения в доверительный интервал равной 90%. Является ли параметр а1 значимым. Если ДА, то с какой вероятностью ? 21. Бюджетное обследование 12-ти случайно выбранных семей представлено в Таблице. С помощью статистического пакета были оценены коэффициенты факторной модели, определяющей зависимость накоплений индивидуума (S) от величины его ежемесячного дохода (Y) и имеющегося в его распоряжении имущества (W): S=0.275W+0.543Y Наблюдение 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Накопления (S) 3 6 5 3.5 1.5 2 4.5 5 2.5 1.7 2.7 4 Доход (Y) 6 10 5 4 3 2 4 5 3 3.5 3 4.7 Результаты работы статистического пакета: Имущество (W) 3 2 4 2 5 3 7 6 3 2.8 4 5 17 Multiple Regression Analysis ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: S ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------W 0.275018 0.100022 2.74958 0.0205 Y 0.543654 0.0860766 6.31593 0.0001 ----------------------------------------------------------------------------Analysis of Variance ----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value ----------------------------------------------------------------------------Model 159.212 2 79.6058 114.24 0.0000 Residual 6.96838 10 0.696838 ----------------------------------------------------------------------------Total 166.18 12 R-squared = 95.8067 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 95.3874 percent Standard Error of Est. = 0.834769 Mean absolute error = 0.566714 Durbin-Watson statistic = 1.85309 По построенной модели спрогнозируйте накопления семьи, имеющей имущество стоимостью 4.7 млн. руб. и доход в 4.8 млн. руб. на один период вперед. Представьте точечный и интервальный прогноз, если надежность прогноза равна 95%. 1.1.4 Выявление сезонных и циклических составляющих во временных рядах. Прогнозирование сезонных колебаний во временном ряду. 1. Для прогнозирования объема продаж компании АВС (млн. руб.) на основе поквартальных данных за 1993 –1997 гг. была построена аддитивная модель временного ряда объема продаж. Уравнение, моделирующее динамику трендовой компоненты этой модели, имеет вид: Т=100+2t (при моделировании тренда для моделирования переменной времени использовались натуральные числа, начиная с 1). Показатели за 1996 г., полученные в ходе построения аддитивной модели, представлены в Таблице: Компонента, полученная по аддитивной Фактический модели Время года объем продаж в 1996 г. трендовая сезонная случайная Зима 100 ? ? +4 Весна ? ? 10 +5 Лето 150 ? 25 ? Осень ? ? ? ? Определите недостающие данные в Таблице, учитывая, что объем продаж компании АВС за1996 г. в целом составил 490 млн. руб. 18 2. На основе помесячных данных об удое коров в регионе (л/сутки) за последние 4 года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся ниже: Месяц январь февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь Корректировка - 15 -10 -5 +1 +6 +12 +15 +14 +13 +6 -3 -7 С помощью статистического пакета было получено следующее уравнение линейного тренда: Y=20+1.1t а) Определите значение сезонной компоненты за декабрь. б) Определите параметры циклического тренда и на основании построенной модели, дайте точечный и интервальный прогноз ожидаемых удоев молока в течение первого полугодия следующего года, если принять уровень значимости, равным 0.01%. 3. Имеются данные о среднемесячных удоях молока на одну корову по ферме «Клеверок» за 1998-2001 гг. 1998 1999 2000 2001 Январь 140 143 148 138 Февраль 147 144 150 143 Март 196 188 202 157 Апрель 210 200 216 170 Май 259 247 263 229 Июнь 288 284 295 275 Июль 271 275 296 269 Август 244 250 260 219 Сентябрь 190 181 198 148 Октябрь 136 138 146 141 Ноябрь 104 105 110 101 Декабрь 116 118 127 116 19 По исходным данным с помощью статистического пакета была получена следующая модель линейного тренда: Y=202.2-0.53t. а). Исследуйте остатки за последние два года на независимость. Если в остатках наблюдается зависимость, проверьте гипотезу о наличии сезонной составляющей. б) На основании автокорреляционной функции определите периодичность сезонной составляющей. 4. Имеются данные о среднемесячных удоях молока на одну корову по ферме «Клеверок» за 1998-2001 гг. (исходные данные см. Задача 3). Из представленного временного ряда был выделен линейный тренд Y=202.2-0.53t и получена остаточная компонента, представленная в Таблице: Месяц/Год Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь 1998 -61.6 -54.1 -4.6 9.8 59.4 88.9 72.4 45.9 -7.4 -60.9 -92.4 -79.9 1999 -52.4 -50.8 -6.3 6.1 53.6 91.2 82.7 58.2 -10.2 -52.7 -85.1 -71.6 2000 -41.1 -38.6 13.9 28.4 75.9 108.4 110.0 74.5 13.0 -38.4 -73.9 -56.3 2001 -44.8 -39.3 -24.8 -11.2 48.2 94.7 89.2 39.7 -30.61 -37.1 -76.6 -61.1 С помощью статистического пакета по остаткам был построен циклический тренд вида: E t 6 t 2j 2j a0 a j cos( t ) a2 j 1 sin( t ) am 2 (1) m 12 m m j 1 а) Определите, является ли существенной периодичность данной регрессии (m=12). б) Проведите верификацию модели, определите мощность гармоник и значимость всех гармоник. в) По верифицированной модели осуществите прогноз зависимой переменой (среднемесячных удоев молока) на I полугодие 2002 года. Найдите доверительный интервал прогноза с надежностью 99%. Результаты расчетов статистического пакета: 20 Multiple Regression Analysis Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------a0 -0.0289966 2.58284 -0.0112267 0.9911 a1 -80.6336 3.65353 -22.07 0.0000 a2 -5.1571 3.65183 -1.4122 0.1662 a3 11.2347 3.65327 3.07524 0.0039 a4 -1.18602 3.65274 -0.324694 0.7472 a5 -0.0580095 3.65263 -0.0158816 0.9874 a6 3.64612 3.65167 0.998479 0.3245 a7 1.88594 3.65371 0.516171 0.6088 a8 0.469771 3.64869 0.128751 0.8983 a9 7.20318 3.65673 1.96984 0.0564 a10 -0.256759 2.58285 -0.099409 0.9214 ----------------------------------------------------------------------------Analysis of Variance ----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value ----------------------------------------------------------------------------Model 161403.0 10 16140.3 50.41 0.0000 Residual 11847.7 37 320.209 ----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 173250.0 47 R-squared = 93.1615 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 91.3133 percent Standard Error of Est. = 17.8944 Mean absolute error = 12.6778 Durbin-Watson statistic = 0.837327 5. Оцените параметры циклического тренда и дисперсию случайной составляющей. Имеется информация об изменении зависимой переменной Y в течение трех периодов, в каждом из них осуществлялось по четыре наблюдения. Период Наблюдение Y 1 1 10 2 20 2 3 40 4 5 1 7 2 21 3 3 42 4 6 1 11 2 22 3 38 4 4 6. По данным об изменении зависимой переменной Y получено уравнение линейной регрессии: Yt= 5.2+1.2t Имеется априорное предположение о присутствии сезонной составляющей. Проверьте предположение и при его подтверждении оцените параметры циклического тренда. II III IV I II III IV I II III IV квартал I 6 8.1 9.25 10.3 10.8 12.91 14.6 15.1 15.58 17.69 18.84 19.9 Y 7. По данным об изменении зависимой переменной Y получен циклический тренд: Yt = 9.75 + 0.5 cos(пt/2) + 1.5 sin(пt/2) - 0.25(- 1)t . Исходные данные представлены в Таблице: Год Y 1989 10 Определите, регрессии. 1990 15 1991 10 является 1992 9 ли 1993 11 существенной 1994 7 1995 9 периодичность 1996 7 данной 21 8. На основе некоторых ежемесячных данных с 1996 по 2001 год, с помощью статистического пакета на основании МНК было получено следующее уравнение регрессии: Y 1.12 0.0098 X t1 5.62 X t 2 0.044 X t 3 t S (2.14) (0.0034) (3.42) ост 18.42 мод 452.1 , где (0.009) S В скобках указаны стандартные ошибки оценок. Когда в уравнение были добавлены три фиктивные переменные, соответствующие первым трем месяцам года, величина Sост выросла до 118.2. Проверьте гипотезу о наличии сезонности, сформулировав необходимые предположения о виде этой сезонности. 1.1.5 Прогнозирование на основе авторегрессионных и лаговых моделей. 1. На основании данных о темпе роста продаж автомобилей марки ВАЗ21043, в процентах к предыдущему году, с помощью статистического пакета была получена следующая трендовая модель Y=exp(7.2+0.12t). В таблице указаны остатки (Еt) после построения трендовой модели: Период Et 11 1325 12 1485 1 -519 2 -417 13 246 3 -214 14 -162 4 -282 15 -160 5 -146 6 407 16 -501 7 1000 17 -886 8 1199 18 -1804 9 1373 19 -1844 10 1399 20 -3338 а) Примените критерий Дарбина-Уотсона и сделайте выводы относительно наличия автокорреляции в остатках в рассматриваемой регрессии. б) Определите глубину авторегрессии при подтверждении гипотезы о ее наличии. в) Сделайте выводы относительно того, можно ли применять выявленную трендовую модель для прогнозирования. г) Осуществите точечный и интервальный прогноз зависимой переменной на 21-й период, приняв уровень значимости равным 0.1. 2.Осуществить проверку наличия автокорреляции в ряду Y по следующим данным, используя известные Вам критерии: год месяц Y X год месяц Y X 1 16.3 2 1 29.3 4 2 16.8 3 2 21.7 3 3 15.5 1 3 23.7 6 4 18.2 4 4 10.4 10 5 15.2 7 2000 год 6 7 17.5 19.8 8 4 8 19 6 9 17.5 3 10 16.0 8 11 19.6 7 12 18 1 5 29.7 12 2001 год 6 7 11.9 9.0 7 12 8 23.4 6 9 17.8 7 10 30.0 3 11 8.6 5 12 11.8 12 22 При наличии автокорреляции постройте авторегрессионную модель 1-го порядка вида: Yt=a0+a1Yt-1+et 3.Осуществить оценку автокорреляции остатков, предварительно построив однофакторную модель. Между зависимой ( Y ) и независимой ( X ) переменными предполагается наличие линейной связи. Период 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Y X 14 2 16.8 2.4 20.3 3 22.2 4 20.8 4.5 20.1 4.9 28.4 5 24.1 5.1 26.7 5.4 Период Y X 10 11 12 13 14 15 16 17 18 23.3 6 30 7 32.7 7.3 35.5 8 37.2 9 38 9.2 40.2 10 41.4 12 42.5 12.9 4. Имеются данные о ежемесячном потреблении электроэнергии населением Австралии с октября 1992 года по август 1995 года, квт/час. В результате работы статистического пакета были получены таблицы автокорреляционной функции временного ряда и функции частных автокорреляций (Table 1 и 2). Результаты статистического пакета: Table 1 Estimated Autocorrelations for Electro Lower 95.0% Upper 95.0% Lag Autocorrelation Stnd. Error Prob. Limit Prob. Limit ---------------------------------------------------------------------------------1 0.519742 0.166667 -0.326661 0.326661 2 0.364528 0.206846 -0.405411 0.405411 3 -0.0435447 0.223981 -0.438995 0.438995 4 -0.170959 0.224216 -0.439456 0.439456 5 -0.172701 0.227808 -0.446496 0.446496 6 -0.353366 0.231416 -0.453568 0.453568 7 -0.202468 0.245948 -0.48205 0.48205 8 -0.287009 0.250535 -0.491041 0.491041 9 -0.101198 0.259508 -0.508627 0.508627 10 0.150544 0.260602 -0.510771 0.510771 11 0.283417 0.263006 -0.515484 0.515484 12 0.535394 0.271357 -0.531851 0.531851 Table 2 Estimated Partial Autocorrelations for Electro Partial Lower 95.0% Upper 95.0% Lag Autocorrelation Stnd. Error Prob. Limit Prob. Limit ---------------------------------------------------------------------------------1 0.519742 0.166667 -0.326661 0.326661 2 0.129333 0.166667 -0.326661 0.326661 3 -0.384195 0.166667 -0.326661 0.326661 4 -0.0979671 0.166667 -0.326661 0.326661 5 0.155565 0.166667 -0.326661 0.326661 6 -0.4065 0.166667 -0.326661 0.326661 7 0.0685594 0.166667 -0.326661 0.326661 8 -0.0358965 0.166667 -0.326661 0.326661 9 -0.0898228 0.166667 -0.326661 0.326661 10 0.432106 0.166667 -0.326661 0.326661 11 0.0635168 0.166667 -0.326661 0.326661 12 0.121991 0.166667 -0.326661 0.326661 23 Проанализируйте автокорреляции. полученные результаты и определите глубину 5. Имеются данные о среднем темпе роста за квартал преступлений в регионе (карманные кражи)- Y. t Y 1 41 t Y 14 59 2 39 3 50 15 63 4 40 16 32 17 39 5 43 6 38 18 47 С помощью статистического автокорреляции в ряду (см. Table 1). Распечатки статистического пакета: 7 44 19 53 8 35 20 60 пакета 9 39 21 57 было 10 35 22 52 11 29 23 70 выявлено 12 49 13 50 24 90 наличие Table 1. Estimated Autocorrelations for Y Lower 95.0% Upper 95.0% Lag Autocorrelation Stnd. Error Prob. Limit Prob. Limit ---------------------------------------------------------------------------------1 0.460162 0.204124 -0.400077 0.400077 2 0.174653 0.243541 -0.477333 0.477333 3 0.153017 0.248705 -0.487455 0.487455 4 0.0889412 0.252598 -0.495083 0.495083 5 0.144375 0.253899 -0.497634 0.497634 6 0.0892079 0.257297 -0.504294 0.504294 7 -0.0518025 0.258583 -0.506814 0.506814 8 -0.024231 0.259015 -0.50766 0.50766 Постройте автокорреляционную модель вида Y= а1Yt-1+еt и осуществите прогноз зависимой переменной на один период вперед, если надежность прогноза равна 95%. 6. В эконометрической модели изучается зависимость заработной платы Wt (тыс. $) от получаемого дохода хt (тыс. $) по данным за 40 лет. Оценка параметров модели дала следующие результаты: W W t t a 01 a11 X t a 21 X t 1 a L1 X t L a L 1,1 t 1 4.79 0.237 X t 0.201 X t 1 0.229 X t 2 0.512t 2 (3.87) (2.10) R 2 0.9689 R 2 adj (1.49) (2.32) (4.79) 0.9652 DW 0.4919 В скобках указаны расчетные значения критерия Стъюдента для коэффициентов регрессии, t- переменная времени. a) Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа: определите краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы, охарактеризуйте структуру лага. б) Перечислите основные эконометрические проблемы, возникающие при построении моделей с распределенным лагом. 24 7. На основании данных 30-ти летней выборки были построены две модели регрессии, описывающие динамику заработной платы. 1) W 8.56 0.36 Pt 0.741 Pt 1 0.24 Pt 2 2.53U t 2 t (2.3) (3.7) R 0.9 DW 1.7 2) W 9.01 0.32 P 2.7U (2.8) (4.1) 2 t t (3.5) R 2 (4.7) t 0.2W t 1 2 (2.7) 0.85 DW 2.1 , где Wt – средняя заработная плата в году t; Pt – индекс цен в году t (в процентах по сравнению с базисным периодом); Ut – уровень безработицы в году t; t –текущий период; t-1 –предыдущий период; t-k – период отдаленный от текущего периода на k-шагов, k- лаг. В скобках указаны расчетные значения критерия Стъюдента для коэффициентов регрессии. а) Используя модель 1, охарактеризуйте силу связи между изменением цен и уровнем средней заработной платы. б) Используя модель 2, охарактеризуйте силу связи между изменением цен и уровнем средней заработной платы. в) Что вы можете сказать относительно автокорреляции в остатках по моделям 1 и 2. Обоснуйте ответ. г) Какая из двух моделей лучше ? По каким критериям ? Обоснуйте ответ. 1.1.5 Прогнозирование на основе эконометрических моделей. 1. Известна модель денежного рынка. R a Y a t 01 t 02 a11 M t a 21Y t 1 a12 R t a 22 I t 2 , где R – процентная ставка; Y- валовый внутренний продукт; M- денежная масса; I- внутренние инвестиции; t –время. а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. б) Определите метод оценки параметров модели. 25 в) Запишите приведенную форму модели. г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей. 2. Известна эконометрическая модель Менгеса: Y a a Y a I I a a Y a Q C a a Y a C a P Q a a Q a R t t 01 02 11 t 1 12 t t 03 13 t 04 14 t 21 22 t 2 t 23 t 1 1 t 1 33 t 4 24 t 3 , где Y –национальный доход; C- расходы на личное потребление; I – чистые инвестиции; Q – валовая прибыль экономики; P- индекс стоимости жизни; R – объем продукции промышленности; t – текущий период; t-1 – предыдущий период. а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. б) Определите метод оценки параметров модели. в) Запишите приведенную форму модели. г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей. 3. Модифицированная модель Кейнса выглядит следующим образом: C a a Y a Y I a a Y a Y Y C I G t t 01 02 t t t 11 12 t 21 t 22 t 1 t 1 1 2 t , где Y –национальный доход; C- расходы на личное потребление; I – чистые инвестиции; G –государственные расходы, не связанные с заработной платой; t – текущий период; t-1 – предыдущий период. а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. б) Определите метод оценки параметров модели. в) Запишите приведенную форму модели. г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей. 26 4. Модель мультипликатора-акселератора может быть представлена следующим образом: C a a R a C I a a R R R C I t t 01 02 t t t 11 t 12 t 1 21 t 1 1 2 t C- расходы на личное потребление; R – совокупный доход индивидуума; I – накопления индивидуума; t – текущий период; t-1 – предыдущий период. а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. б) Определите метод оценки параметров модели. в) Запишите приведенную форму модели. г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей. 5. Макроэкономическая модель (упрощенная модель Кейнса) выглядит следующим образом: C a a Y a T I a a Y a K Y C I t t 01 02 t t t 11 12 t 21 22 t t 1 1 2 t , где Y –национальный доход; C- совокупные расходы на личное потребление; I – чистые инвестиции; T –совокупный объем собираемых налогов; К –объем основных производственных фондов; t – текущий период; t-1 – предыдущий период. а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. б) Определите метод оценки параметров модели. в) Запишите приведенную форму модели. г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей. 6. Одна из версий модели Кейнса представлена следующей системой одновременных уравнений: C t a01 a11Y t a12Y t 1 1 I t a02 a21Y t 2 Y t C t I t Gt 27 , где Y –валовый внутренний продукт; C- расходы на личное потребление; I – валовые инвестиции; G- государственные расходы; t – текущий период; t-1 – предыдущий период. а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. б) Определите метод оценки параметров модели. в) Запишите приведенную форму модели. г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей. 7. Макроэкономическая модель следующей системой уравнений: экономики США представлена C t a01 a11Y t a12 C t 1 1 I t a02 a21Y t a22 it 2 it a03 a31Y t a32 M t a33it 1 3 Y t C t I t Gt , где Y –валовый внутренний продукт; C- расходы на личное потребление; I – валовые инвестиции; G- государственные расходы; М –денежная масса; i -процентная ставка на капитал; t – текущий период; t-1 – предыдущий период. а) Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. б) Определите метод оценки параметров модели. в) Запишите приведенную форму модели. г) Нарисуйте схему взаимодействия показателей. 8. Упрощенная модель закрытой экономики состоит из уравнений функции потребления, инвестиционной функции и тождества для национального дохода: 28 C a a Y e I b b i e Y C I G t 1 t 1 t t 2 2 2 t t t t , где С – совокупный объем личных потребительских расходов; I – объем инвестиций; G – совокупные государственные расходы; Y – валовой выпуск; i - ставка процента; t – текущий период; t-1 – предыдущий период. Произведите деление переменных модели на эндогенные, экзогенные, лаговые. Обоснуйте ответ. Нарисуйте схему взаимодействия показателей. 9. Модель закрытой экономики состоит из уравнений функции потребления, инвестиционной функции, тождества для национального дохода, а также описан рынок денег, представленный уравнением спроса на деньги и условием равновесия: C a a Y e I b b i e Y C I G M a a Y a i e M M t 1 t 1 t t 2 2 t 2 t t t d t 3 4 t 5 t 3 d t t ,где С – совокупный объем личных потребительских расходов; I – объем инвестиций; G – совокупные государственные расходы; Y – валовой выпуск; i - ставка процента на капитал; Md- спрос на деньги; M- предложение денег, величина которого задана экзогенно; t – текущий период; t-1 – предыдущий период. Произведите деление переменных на эндогенные, экзогенные, лаговые. Обоснуйте ответ. Нарисуйте схему взаимодействия показателей. 10. Упрощенная модель рынка представлена уравнением спроса, уравнением предложения, и условием равновесия. 29 s Q a p e Q b p b y e Q Q t 2 t t 1 t 2 d t s d t t t 2 ,где Q s – предложение товара; Q d – спрос на товар; p – цена товара; y – величина совокупного дохода; t – текущий период. Укажите, какие переменные в модели являются эндогенными, какие экзогенными, какие лаговыми. Нарисуйте схему взаимодействия показателей. 11.Два исследователя пришли к выводу, что следующая простая модель формирования дохода применима для описания некоторой закрытой экономики. C a a Y e Y C I t 1 2 t t t t t , где С – совокупный объем личных потребительских расходов; Y – валовой выпуск; I – чистые инвестиции; t – текущий период; t-1 – предыдущий период. Используя одинаковые временные ряды для Y, C, I один исследователь построил уравнение регрессионной зависимости C от I, другой – регрессионной зависимости Y от I, и они получили следующие результаты: C Y оц t оц t 4120 4.0Y t 4120 5.0 I t Покажите, что оба подхода дают одинаковые оценки a1, a2. Обоснуйте математически, почему полученные оценки должны быть одинаковыми. 12. Спрос на товар в некоторой стране, его внутреннее предложение и импорт заданы следующими уравнениями: 30 s Qt a2 pt e1 d Qt b1 pt b2 yt e2 m с1 с 2 p c3 wt e3 t d s m Qt Qt Qt Qt ,где Q s – внутреннее предложение товара; Q d – спрос на товар в некоторой стране; Q m – импорт товара; p – цена товара на внутреннем рынке; w – цена товара на мировом рынке; y – совокупный доход страны; t – текущий период; t-1 – предыдущий период. Имеются временные ряды значений каждой из переменных за 25 лет. Объясните, почему попытка оценить эти три уравнения с помощью 1МНК приведет к получению несостоятельных оценок. Какие свойства будут нарушены и как ? 13. Спрос на товар в некоторой стране, его внутреннее предложение и импорт заданы следующими уравнениями: s Qt a2 pt e1 d Qt b1 pt b2 yt e2 m с1 с 2 p c3 wt e3 t d s m Qt Qt Qt Qt ,где Q s – внутреннее предложение товара; Q d – спрос на товар в некоторой стране; Q m – импорт товара; p – цена товара на внутреннем рынке; w – цена товара на мировом рынке; y – совокупный доход страны; t – текущий период; t-1 – предыдущий период. Имеются временные ряды значений каждой из переменных за 30 лет. 31 Объясните, возможно ли получение состоятельных оценок коэффициентов данных трех уравнений, и опишите ваши действия для достижения этого результата. 14. Оцените коэффициенты эконометрической модели (a,b) при помощи 2МНК. Принять Х1 , Х2 - экзогенными переменными, Y1 , Y2 - эндогенными переменными. Предполагаемый вид модели: Y1 = аY2 + bX1 ; Y2 = cY1 + dX2 . Исходные данные модели: X1 X2 Y1 Y2 1.6 10.2 22.4 8.8 1.8 8.4 16.8 9.1 1.6 8.6 18.9 9.4 2.0 9.5 21.0 9.7 2.1 10.0 22.4 9.3 2.4 11.4 22.6 10.8 2.8 12.0 22.0 10.5 2.6 10.6 24.2 11.0 2.9 11.6 25.1 13.0 15. С помощью статистического пакета были оценены параметры эконометрической системы на первом шаге МНК. Оцените параметры модели на втором шаге МНК и осуществите точечный прогноз всех показателей на один период вперед. Исходные данные модели. X1 X2 Y1 Y2 1.6 10.2 22.4 8.8 1.8 8.4 16.8 9.1 1.6 8.6 18.9 9.4 2.0 9.5 21.0 9.7 2.1 10.0 22.4 9.3 2.4 11.4 22.6 10.8 2.8 12.0 22.0 10.5 2.6 10.6 24.2 11.0 2.9 11.6 25.1 13.0 Результаты статистического пакета (оценка параметров k1,k2,k3,k4 на первом шаге 2 МНК) Model: Y1=k1X1+k2X2 Multiple Regression Analysis ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Y1 ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------X1 -0.846249 2.02681 -0.417527 0.6888 X2 2.29286 0.441514 5.19318 0.0013 ----------------------------------------------------------------------------Analysis of Variance ----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value ----------------------------------------------------------------------------Model 4273.22 2 2136.61 706.89 0.0000 Residual 21.1577 7 3.02253 ----------------------------------------------------------------------------Total 4294.38 9 R-squared = 99.5073 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 99.4369 percent Standard Error of Est. = 1.73854 Mean absolute error = 1.30034 Durbin-Watson statistic = 2.03997 32 Model: Y2=k3X1+k4X2 Multiple Regression Analysis ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Y2 ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------X1 1.44399 1.13972 1.26696 0.2457 X2 0.676557 0.248274 2.72504 0.0295 ----------------------------------------------------------------------------Analysis of Variance ----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value ----------------------------------------------------------------------------Model 939.39 2 469.695 491.44 0.0000 Residual 6.69022 7 0.955745 ----------------------------------------------------------------------------Total 946.08 9 R-squared = 99.2928 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 99.1918 percent Standard Error of Est. = 0.977622 Mean absolute error = 0.717954 Durbin-Watson statistic = 1.30773 Примите Х1 , Х2 - экзогенными переменными, Y1 , Y2 - эндогенными переменными. Предполагаемый вид модели: Y1 = аY2 + bX1 ; Y2 = cY1 + dX2 . При каких значениях переменных будет достигнуто значение Y2 в размере 14 условных единиц ? 33 1.2 Экспертные методы прогнозирования. 1. В результате опроса 420 экспертов относительно предельной величины среднемесячного дохода, с которого должен взиматься налог по минимальной ставке, была составлена следующая таблица: Величина дохода (тыс. руб.) до 6 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24 Эксперты (чел.) 5 10 40 55 100 160 25 10 10 5 Необходимо спрогнозировать вероятную величину среднемесячного дохода, с которого должен взиматься налог по минимальной ставке. Проведите расчеты по: - моде; - медиане. 2. Для принятия управленческого решения была создана экспертная группа в количестве четырех человек. Чтобы быть уверенным, в качестве группового прогноза, необходимо провести оценку компетентности экспертов. В Таблице представлена матрицы взаимных оценок экспертов, где i - индекс эксперта. i\i 1 2 3 4 1 0 2 3 8 2 3 4 1 2 3 7 5 0 1 4 1 0 9 0 а) провести процедуру оценки компетентности итеративно, приняв погрешность ее вычислений равной 0.05; б) найти аналитическое решение задачи, составив характеристическое уравнение; в) сравнить полученные результаты. 3. Для принятия управленческого решения была создана экспертная группа в количестве четырех человек. Отобранные эксперты уже участвовали в подобного рода экспертизах по сходным вопросам. Информация об их ответах представлена в Таблице. Необходимо провести оценку компетентности экспертов на основе результатов прошлых экспертиз ( j индекс эксперта ; i - индекс проекта ). i\j 1 2 3 1 0 3 1 2 2 1 8 3 1 0 3 4 7 5 0 а) провести процедуру оценки компетентности итеративно, приняв погрешность ее вычислений равной 0.01; 34 б) найти аналитическое решение задачи; в) сравнить полученные результаты. 4. Пять экспертов упорядочивают по предпочтительности десять фирм – конкурентов по производству стиральных машин. Выявить единое групповое упорядочение по имеющейся совокупности субъективных ранжировок. эксперты 1 1 2 1 5 2 1 2 3 4 5 2 4 3 3 4 3 3 4 4 6 4 5 4 7 4 9 7 8 кон куренты 5 6 9 7 5 1 9 7 8 6 7 4 7 4 7 3 3 1 8 2 9 3 7 6 9 1 8 2 1 2 10 2 6 1 2 3 5. На основании проведенного анализа было выделено несколько ядер в экспертной группе из 15 экспертов. Для того, чтобы убедиться в правильности группировки, из двух ядер случайным образом было взято 2 эксперта. Покажите, является ли значимой согласованность двух случайно выбранных экспертов (принять уровень значимости, равным 0.1). Индивидуальные оценки экспертов относительно сроков окупаемости 10 проектов приведены в Таблице. Для проверки воспользуйтесь коэффициентами: а) коэффициентом ранговой корреляции Спирмена; б) коэффициентом парной корреляции Кендалла. Эксперты 1 2 1 1 1.2 2 1.5 1 срок окупаемости по i-му объекту, лет 3 4 5 6 7 8 1.2 1.6 1 2 1.4 1.5 1.6 1.3 1.4 2 2 1.3 9 2 1.5 10 2.5 2.3 6. На основании проведенного анализа было выделено несколько ядер в экспертной группе из 20 экспертов. Наиболее мощное ядро включило 5 экспертов. Оцените согласованность 5-ти экспертов, индивидуальные ранжировки которых представлены в Таблице. Используйте коэффициент конкордации Кендалла. Эксперты Факторы 1 2 3 4 5 1 5 5 7 5 6 2 3 2 1 2 2 3 3 4 5 3 4 4 6 4 3 4 7 5 1 2 4 4 5 6 2 1 2 2 1 7 4 3 6 3 3 35 7. Провести дисперсионный анализ ранговых переменных на основе данных опроса группы экспертов о степени важности ряда факторов, представленных в Таблице. Эксперты Факторы 1 2 3 4 5 1 3 2 2 1 2 2 2 2 1 2 3 3 2 3 2 2 2 4 1 2 1 2 3 5 5 4 5 4 4 6 5 5 4 4 5 8 8 9 7 7 9 7 10 8 8 6 8 9 7 9 10 9 9 10 9 10 9 10 10 11 11 10 10 11 11 8. Для принятия решения об отборе проектов для финансирования была создана экспертная группа, состоящая из 10 экспертов. По совокупности характеристик 5 проектов были упорядочены по возрастанию важности проекта. На основании прикладной программы, были получены результаты относительно согласованности мнений пар экспертов. Из представленных экспертов, в соответствии с этой информацией, выделите наибольшее по численности ядро и определите, какие проекты следует отобрать для финансирования. Необходимая информация представлена ниже: Проекты Эксперты 1 2 3 4 5 1 5 4 1.5 3 1.5 2 1.5 4 1.5 3 5 3 3 4 1 5 2 4 1 2 3.5 5 3.5 5 2 4 4 1 4 6 1 4 2 3 5 7 5 1 4 2.5 2.5 8 5 1 2.5 2.5 4 9 3 2 5 4 1 Результаты работы прикладной программы: 1)Массив коэффициентов Спирмена 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Эксперт 1 1.000 -0.289 0.564 -0.684 -0.459 -0.462 0.132 0.132 -0.103 0.667 Эксперт 2 -0.289 1.000 0.205 0.237 0.344 0.975 -0.789 -0.237 -0.821 -0.410 Эксперт 3 0.564 0.205 1.000 0.154 -0.671 0.100 -0.462 -0.308 -0.100 -0.200 Эксперт 4 -0.684 0.237 0.154 1.000 -0.229 0.359 -0.289 -0.289 0.308 -0.975 Эксперт 5 -0.459 0.344 -0.671 -0.229 1.000 0.447 -0.287 -0.287 -0.335 0.224 Эксперт 6 -0.462 0.975 0.100 0.359 0.447 1.000 -0.821 -0.359 -0.700 -0.500 Эксперт 7 0.132 -0.789 -0.462 -0.289 -0.287 -0.821 1.000 0.763 0.462 0.359 Эксперт 8 0.132 -0.237 -0.308 -0.289 -0.287 -0.359 0.763 1.000 -0.154 0.205 Эксперт 9 -0.103 -0.821 -0.100 0.308 -0.335 -0.700 0.462 -0.154 1.000 -0.100 Эксперт 10 0.667 -0.410 -0.200 -0.975 0.224 -0.500 0.359 0.205 -0.100 1.000 2) Коэффициент конкордации Кендалла 0.007 10 5 4 3 1 2 36 1.3 Дескриптивные модели прогнозирования. 1.3.1 Статические имитационные модели прогнозирования. 1. Для составления плана выпуска четырех видов продукции Р1,Р2,Р3 и Р4 на предприятии используются три вида сырья S1,S2,S3. Объемы выделенного сырья, нормы расхода сырья и прибыль, полученная в результате выпуска каждого вида продукции приведены в Таблице: Вид сырья S1 S2 S3 Прибыль Запасы сырья Вид продукции Р1 Р2 Р3 Приложение 5 4 2 2 (распечатка BLP) 1 1 2 3 1 2 Приложение 5 (распечатка BLP) Р4 3 3 1 Была составлена экономико-математическая модель использования ресурсов на оптимальное значение прибыли. В качестве неизвестных были приняты Xj –объем выпуска продукции j-го вида (J=1,2,3,4) С помощью пакета BLP было получено решение данной задачи ( Приложение 5) а)Определить как изменит решение прямой и двойственной задачи одновременное изменение вектора ограничений ресурсов и целевой функции (первый ресурс (S1) увеличится на 5 единиц, а третий ресурс (S3) уменьшится на 15 единиц, при том, что прибыль, приносимая третьим видом продукции (P3) уменьшится на 2 единицы. Определить допустимые границы изменений. б) Определить как количественно изменится оптимальное значение целевой функции, а также решение прямой и двойственной задач, если затраты первого ресурса для производства первого вида продукта (P1) уменьшится на 1, а затраты первого ресурса для производства второго вида продукции (P2) увеличатся на 1. 2. Осуществить построение доверительных интервалов прогноза изменения производственной программы фирмы, описанной в задаче 1 текущего раздела Прогноз осуществляется с использованием статической имитационной модели. Последняя симплекс таблица представлена в Приложении 5. В прогнозном периоде предполагаются следующие изменения: -вектора коэффициентов целевой функции; -вектора правых частей ограничений; -вектор-столбца матрицы ограничений; -вектор-строки матрицы ограничений. 37 1.3.2 Теоретико -игровые методы прогнозирования. 1.Три человека владели каждый третью частью акций. решение принимается большинством акций- значит, решение принимается, если за него проголосовали двое из этих трех. Рассмотрите возможные коалиции и способы их действий. 2. На рынке два продавца и один покупатель. Рассмотрите возможные коалиции и способы их действий. 3. Рассмотрите следующие биматричные игры в некооперативном варианте и выясните особенности действий игроков в этих играх: 5,5 6,4 а) 4,6 3,3 4,3000 12,8 б) Найдите множество множество в этих играх. 10,6 5,4 оптимальности в) 1,2 0,200 по 5,1 2,300 Парето и переговорное 4.Рассмотрим задачу взаимодействия двух фирм на рынке одного товара. Пусть xi –выпуск продукции i-ой фирмы. Произведенный обеими фирмами товар поступает на общий рынок. Прибыль i-ой фирмы равна W ( x , x ) b x (d ( x x )), где d 0 i 1 2 i 1 2 Предположим, что возможные выпуски фирм есть 0, d/4, d/3, d/2. Тогда моделью их взаимодействия будет биматричная игра с матрицей 4Х4, в которой элемент aij , bij W 1id / 4, jd / 4,W 2 jd / 4, id / 4. Найдите несколько элементов этой матрицы, например, вблизи точек Курно и Стакельберга. если же предположить, что выпуски фирм могут принимать всевозможные значения в промежутке [0,d], то получится непрерывный аналог биматричной игры. 1 2 1 5.Найти решение матричной игры 4 3 0 1 7 2 2 2 2 6. Укажите какие-нибудь границы для цены игры 4 4 0 1 5 1 6 2 0 7. В матричной игре 8 10 2 игроки играют со стратегиями: 10 25 10 0 .5 первый 0.5 , второй 0.5 0.5 0. Найдите средний выигрыш первого при 0 такой игре. Является ли такая стратегия оптимальной для игрока ? 38 1 6 3 2 8. Решите матричную игру: . С помощью каких случайных 4 0 6 2 механизмов игроки могут реализовывать свои оптимальные стратегии ? 9. Отыскать ситуацию равновесия в биматричной игре студентпреподаватель, заданной следующим образом. 2 1 1 3 , П C 1 0 2 1 10. Записать характеристическую функцию игры. Игра моделирует ситуацию, описанную ниже. Три предприятия используют для своей работы воду из одного водоема. Сбрасывая воду обратно, они могут ее очищать либо нет. Предполагается, что если неочищенную воду сбрасывает не более одного предприятия, то вода остается пригодной к употреблению, если неочищенную воду сбрасывают не мене двух предприятий, то каждый пользователь воды несет убытки в размере трех единиц. Стоимость очистки воды обходится каждому из предприятий в одну единицу. 11. Определить С-ядро, предварительно записав характеристическую функцию игры. Игра моделирует ситуацию, описанную ниже. Объединение из четырех фирм-производителей может вместе выпустить некоторый уникальный вид изделия. известно, что с этим заказом может справиться первая фирма с любой другой, либо все оставшиеся без первой. 39 ЛИТЕРАТУРА 1. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: основы эконометрики. Том 2.. - М.: Юнити, 2001. 2. Блинов О.Е. Статистические имитационные модели прогнозирования. -М.: ГАУ, 1991. 3. Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. -М.: Наука, 1985. 4. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. -М.: Экономика, 1985. 5. Доугерти К. Введение в эконометрику. –М: МГУ, 1997 6. Дудорин В.И. и др. Методы социально-экономического прогнозирования (общие методы прогнозирования). -М. :ГАУ, 1991. 7. Дудорин В.И. и др. Методы социально-экономического прогнозирования (специальные методы прогнозирования). -М.: ГАУ, 1992 8. Капитоненко В.В., Писарева О.М. Модели рыночной экономики и равновесия: Учебное пособие/ ГАУ. М., 1995 9. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу Эконометрики. –М: Дело, 1999. 10.Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Инфра-М, 1997. 11.Литвак Б.Г. Экспертная информация: Методы получения и анализа. - М.: Радио и связь, 1982. 12.Литвак Б.Г. Экспертные оценки и принятие решений. – М.: Патент, 1997. 13.Льюис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. -М.: Высшая школа, 1988. 14.Магнус Я.Р., и др. Эконометрика. Начальный курс. –М: Дело, 2000. 15.Практикум по эконометрике. /Под ред. РАН И.И. Елисеевой. –М: Финансы и статистка, 2001 г. 16.Рабочая книга по прогнозированию / Отв. редактор И.В. Бестужев-Лада. М.: Мысль, 1982. 17.Сборник задач по дисциплине " Моделирование рыночной экономики" для студентов специальности "Математические методы и исследование операций в экономике" -061800, -М.: ГАУ, 1996. 18.Сборник задач по дисциплине «Моделирование рыночной экономики» для студентов специальности «Математические методы и исследование операций в экономике» -061800 . –М: ГАУ, 1996. 19.Статистическое моделирование и прогнозирование / под ред. А.Г. Гранберга. -М.: Финансы и статистика, 1990. 20.Теория прогнозирования и принятия решений /под ред. С.А. Саркисяна. М.: Высшая школа, 1977 21.Эконометрика. Учебник. /Под ред. РАН И.И. Елисеевой. –М: Финансы и статистка, 2001 г. 40 Приложение 1 1. Результаты сглаживания динамического ряда с помощью простой скользящей средней для периода сглаживания m=3. Analysis Summary Data variable: Y Number of observations = 20 Start index = 1 Sampling interval = 1,0 year(s) Forecast Summary ---------------Forecast model selected: Simple moving average of 3 terms Number of forecasts generated: 0 Number of periods withheld for validation: 3 Estimation Validation Statistic Period Period -------------------------------------------MSE 0,159673 0,198174 MAE 0,339048 0,405556 MAPE 0,309529 0,370562 ME -0,240476 0,405556 MPE -0,220055 0,370562 The StatAdvisor --------------This model assumes that the best forecast for future data is given by the average of the 3 most recent data values.You can select a different forecasting model by pressing the alternate mouse button and selecting Analysis Options. The table also summarizes the performance of the currently selected model in fitting the previous data. It displays: (1) the mean squared error (MSE) (2) the mean absolute error (MAE) (3) the mean absolute percentage error (MAPE) (4) the mean error (ME) (5) the mean percentage error (MPE) Each of the statistics is based on the one-ahead forecast errors, which are the differences between the data value at time t and the forecast of that value made at time t-1. The first three statistics measure the magnitude of the errors. A better model will give a smaller value. The last two statistics measure bias. A better model will give a value close to 0.0. In this case, the model was estimated from the first 17 data values. 3 data values at the end of the time series were withheld to validate the model. The table shows the error statistics for both the estimation and validation periods. If the results are considerably worse in the validation period, it means that the model is not likely to perform as well as otherwise expected in forecasting the future. 41 продолжение Приложение 1 2. Результаты сглаживания динамического ряда с помощью простой скользящей средней для периода сглаживания m=5. Analysis Summary Data variable: Y Number of observations = 20 Start index = 1 Sampling interval = 1,0 year(s) Forecast Summary ---------------Forecast model selected: Simple moving average of 5 terms Number of forecasts generated: 0 Number of periods withheld for validation: 3 Estimation Validation Statistic Period Period -------------------------------------------MSE 0,30159 0,232828 MAE 0,462833 0,480667 MAPE 0,42327 0,439151 ME -0,455833 0,480667 MPE -0,416849 0,439151 The StatAdvisor --------------This model assumes that the best forecast for future data is given by the average of the 5 most recent data values.You can select a different forecasting model by pressing the alternate mouse button and selecting Analysis Options. The table also summarizes the performance of the currently selected model in fitting the previous data. It displays: (1) the mean squared error (MSE) (2) the mean absolute error (MAE) (3) the mean absolute percentage error (MAPE) (4) the mean error (ME) (5) the mean percentage error (MPE) Each of the statistics is based on the one-ahead forecast errors, which are the differences between the data value at time t and the forecast of that value made at time t-1. The first three statistics measure the magnitude of the errors. A better model will give a smaller value. The last two statistics measure bias. A better model will give a value close to 0.0. In this case, the model was estimated from the first 17 data values. 3 data values at the end of the time series were withheld to validate the model. The table shows the error statistics for both the estimation and validation periods. If the results are considerably worse in the validation period, it means that the model is not likely to perform as well as otherwise expected in forecasting the future. 42 продолжение Приложение 1 3. Результаты сглаживания динамического ряда с помощью простой модели Брауна со значением сглаживающего фильтра а=0.2 Analysis Summary Data variable: Y Number of observations = 20 Start index = 1 Sampling interval = 1,0 year(s) Forecast Summary ---------------Forecast model selected: Simple exponential smoothing with alpha = 0,2 Number of forecasts generated: 0 Number of periods withheld for validation: 3 Estimation Validation Statistic Period Period -------------------------------------------MSE 0,326181 0,0356784 MAE 0,459061 0,180559 MAPE 0,41959 0,164943 ME -0,345388 0,180559 MPE -0,316946 0,164943 4. Результаты сглаживания динамического ряда с помощью линейной модели Брауна со значением сглаживающего фильтра а=0.2 Analysis Summary Data variable: Y Number of observations = 20 Start index = 1 Sampling interval = 1,0 year(s) Forecast Summary ---------------Forecast model selected: Brown's linear exp. smoothing with alpha = 0,2 Number of forecasts generated: 0 Number of periods withheld for validation: 3 Estimation Validation Statistic Period Period -------------------------------------------MSE 0,176464 0,391422 MAE 0,34374 0,614892 MAPE 0,313454 0,561804 ME -0,294976 0,614892 MPE -0,268786 0,561804 43 продолжение Приложение 1 Forecast Table for Y Model: Brown's linear exp. smoothing with alpha = 0,2 V = withheld for validation Period Data Forecast Residual -----------------------------------------------------------------------------1 110,7 110,84 -0,13971 2 110,43 110,87 -0,439861 3 110,56 110,774 -0,214363 4 110,75 110,751 -0,00147029 5 110,84 110,805 0,0348401 6 110,46 110,873 -0,413315 7 110,56 110,764 -0,203601 8 110,46 110,721 -0,261241 9 110,05 110,648 -0,59768 10 109,6 110,429 -0,829094 11 109,31 110,094 -0,784036 12 109,31 109,744 -0,433837 13 109,25 109,502 -0,252356 14 109,02 109,316 -0,296114 15 108,54 109,102 -0,562274 16 108,77 108,77 -0,000126172 17 109,02 108,64 0,379654 18 109,44 108,662 V0,777527 19 109,38 108,859 V0,521064 20 109,53 108,984 V0,546086 ------------------------------------------------------------------------------ 5. Результаты сглаживания динамического ряда с помощью простой модели Брауна со значением сглаживающего фильтра а=0.6/ Analysis Summary Data variable: Y Number of observations = 20 Start index = 1 Sampling interval = 1,0 year(s) Forecast Summary ---------------Forecast model selected: Simple exponential smoothing with alpha = 0,6 Number of forecasts generated: 0 Number of periods withheld for validation: 3 Estimation Validation Statistic Period Period -------------------------------------------MSE 0,100696 0,111488 MAE 0,253088 0,291718 MAPE 0,230865 0,266528 ME -0,166852 0,291718 MPE -0,152588 0,266528 6. Результаты сглаживания динамического ряда с помощью линейной модели Брауна со значением сглаживающего фильтра а=0.6 44 продолжение Приложение 1 Analysis Summary Data variable: Y Number of observations = 20 Start index = 1 Sampling interval = 1,0 year(s) Forecast Summary ---------------Forecast model selected: Brown's linear exp. smoothing with alpha = 0,6 Number of forecasts generated: 0 Number of periods withheld for validation: 3 Estimation Validation Statistic Period Period -------------------------------------------MSE 0,0752937 0,0789312 MAE 0,228438 0,218233 MAPE 0,208312 0,199437 ME 0,000828752 0,0795161 MPE 0,00107297 0,072629 Forecast Table for Y Model: Brown's linear exp. smoothing with alpha = 0,6 V = withheld for validation Period Data Forecast Residual -----------------------------------------------------------------------------1 110,7 110,687 0,0131897 2 110,43 110,741 -0,310805 3 110,56 110,411 0,149245 4 110,75 110,521 0,229125 5 110,84 110,781 0,0594209 6 110,46 110,919 -0,459123 7 110,56 110,457 0,103194 8 110,46 110,504 -0,0439851 9 110,05 110,412 -0,361699 10 109,6 109,922 -0,322322 11 109,31 109,35 -0,0399855 12 109,31 109,0 0,309583 13 109,25 109,056 0,194064 14 109,02 109,084 -0,064282 15 108,54 108,872 -0,332476 16 108,77 108,316 0,454304 17 109,02 108,583 0,43664 18 109,44 108,993 V0,446623 19 109,38 109,573 V-0,192564 20 109,53 109,546 V-0,0155108 ------------------------------------------------------------------------------ 7. Результаты сглаживания динамического ряда с помощью простой модели Брауна со значением сглаживающего фильтра а=0.8 45 продолжение Приложение 1 Analysis Summary Data variable: Y Number of observations = 20 Start index = 1 Sampling interval = 1,0 year(s) Forecast Summary ---------------Forecast model selected: Simple exponential smoothing with alpha = 0,8 Number of forecasts generated: 0 Number of periods withheld for validation: 3 Estimation Validation Statistic Period Period -------------------------------------------MSE 0,0789533 0,0838225 MAE 0,228816 0,22232 MAPE 0,208676 0,20311 ME -0,124097 0,22232 MPE -0,113408 0,20311 8. Результаты сглаживания динамического ряда с помощью линейной модели Брауна со значением сглаживающего фильтра а=0.8 Analysis Summary Data variable: Y Number of observations = 20 Start index = 1 Sampling interval = 1,0 year(s) Forecast Summary ---------------Forecast model selected: Brown's linear exp. smoothing with alpha = 0,8 Number of forecasts generated: 0 Number of periods withheld for validation: 3 Estimation Validation Statistic Period Period -------------------------------------------MSE 0,0813894 0,0726256 MAE 0,243593 0,229078 MAPE 0,221975 0,209372 ME 0,00477102 -0,030389 MPE 0,00470013 -0,0278438 46 продолжение Приложение 1 Forecast Table for Y Model: Brown's linear exp. smoothing with alpha = 0,8 V = withheld for validation Period Data Forecast Residual -----------------------------------------------------------------------------1 110,7 110,809 -0,10896 2 110,43 110,76 -0,329595 3 110,56 110,287 0,27252 4 110,75 110,568 0,182192 5 110,84 110,878 -0,038024 6 110,46 110,952 -0,492497 7 110,56 110,275 0,284522 8 110,46 110,526 -0,0664913 9 110,05 110,398 -0,347977 10 109,6 109,777 -0,176531 11 109,31 109,207 0,103307 12 109,31 108,972 0,338384 13 109,25 109,179 0,0712213 14 109,02 109,175 -0,155047 15 108,54 108,855 -0,314868 16 108,77 108,18 0,590255 17 109,02 108,751 0,268697 18 109,44 109,186 V0,253868 19 109,38 109,769 V-0,3892 20 109,53 109,486 V0,0441651 ------------------------------------------------------------------------------ 47 Приложение 2 Ежемесячное потребление электроэнергии в Новгородской области за период январь 2000-декабрь 2001 Период Потребление Период Потребление электроэнергии, электроэнергии, квт/час квт/час (Y) (Y) 2000 год 2001 год январь январь февраль февраль март март апрель апрель май май июнь июнь июль июль август август сентябрь сентябрь октябрь октябрь ноябрь ноябрь декабрь декабрь 48 Приложение 3 Данные по странам за 1999 г. об ожидаемой продолжительности жизни и суточной калорийности питания населения Страна Бельгия Бразилия Великобритания Венгрия Германия Греция Дания Египет Израиль Индия Испания Италия Канада Казахстан Китай Латвия Нидерланды Норвегия Польша Республика Корея Россия Румыния США Турция Украина Финляндия Франция Чехия Швейцария Швеция ЮАР Япония Ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 1999 г., лет 77.2 66.8 77.2 70.9 77.2 78.1 75.7 66.3 77.8 62.6 78.0 78.2 79.0 67.7 69.8 68.4 77.9 78.1 72.5 72.4 66.6 69.9 76.6 69.0 68.8 76.8 78.1 73.9 78.6 78.5 64.1 80.0 Суточная калорийность питания населения, ккал на душу 3543 2938 3237 3402 3330 3575 3808 3289 3272 2415 3295 3504 3056 3007 2844 2861 3259 3350 3344 3336 2704 2943 3642 3568 2753 2916 3551 3177 3280 3160 2933 2905 49 Приложение 4 Данные об изменении некоторого экономического показателя Время 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Y 2 103.7 89.4 79.0 71.0 61.2 60.7 73.2 96.7 81.2 91.2 83.3 67.5 65.8 64.1 64.9 57.3 56.5 56.5 47.0 41.7 37.9 32.7 43.6 60.1 30.5 29.6 49.1 54.1 48.6 41.6 39.5 36.3 36.1 Yрасчетное 3 86.2 84.5 82.8 81.1 79.5 77.8 76.1 74.4 72.8 71.1 69.4 67.7 66.0 64.4 62.7 61.0 59.3 57.7 56.0 54.3 52.6 50.9 49.3 47.6 45.9 44.2 42.5 40.9 39.2 37.5 35.8 34.2 32.5 Остатки 4 17.5 4.9 -3.8 -10.2 -18.3 -17.1 -2.9 22.3 8.4 20.1 13.9 -0.3 -0.3 -0.3 2.2 -3.7 -2.9 -1.2 -9.0 -12.6 -14.7 -18.3 -5.7 12.6 -15.4 -14.7 6.6 13.3 9.4 4.1 3.7 2.1 3.6 50 Приложение 5 Результаты расчетов в BLP b15 MAXIMUM PIVOTS: LAST INV SOLUTION I S OPTIMAL ENTERS: 3 LEAVES: : 0 DELTA BASIS PRIMAL DUAL X.2 X.3 5 12.5 3 4 b15 SOLUTION I S MAXIMUM RETUR N 225 PRIMAL PRO BLEM SOLU TION STATUS VALUE LOWER UPPER RETURN NONBASIS 0 NONE NONE BASIS 5 NONE NONE BASIS 12.5 NONE NONE NONBASIS 0 NONE NONE NONBASIS 0 NONE NONE NONBASIS 0 NONE NONE BASIS 10 NONE NONE VARIABLE X.1 X.2 X.3 X.4 S.1 S.2 S.3 DATE 01.08.2002 TIME 1:34:59 BASIS X: 2 VARIABLE S: 4 BASIS S: 1 SLACKS: 3 0 RETUR N 225 CONSTRAI NTS: 3 S.3 10 0 b15 SOLUTION I S MAXIMUM DUAL PROBL EM SOLUTI ON ROW ID Y.1 Y.2 Y.3 STATUS DUAL VA BINDING BINDING NONBINDING b15 SOLUTION I S MAXIMUM OBJECTIVE ROW RANGE S VARIABLE X.1 X.2 X.3 X.4 STATUS NONBASIS BASIS BASIS NONBASIS b15 SOLUTION I S MAXIMUM RIGHT HAND SIDE RAN GES ROW ID Y.1 Y.2 Y.3 STATUS DUAL VA BINDING BINDING NONBINDING b15 SOLUTION I S MAXIMUM INVERSE CO EFFICIENT S RETURN X.2 X.3 S.3 0 1 -1 0 -.5 1 X.2 X.3 RETUR N 225 RHS VAL LUE 3 4 0 UE 35 30 40 RETUR N 225 DATE TIME VALUE 14 10 14 11 0 0 0 DATE TIME USAG E 35 30 30 DATE TIME RETUR N/U NIT MINIM UM 14 NONE 10 9.33 14 10 11 NONE VALUE 0 5 12.5 0 RETUR N 225 RHS VAL LUE 3 4 0 UE 35 30 40 RETUR N 225 0 0 DATE TIME MINIM UM 30 17.5 30 DATE TIME 01.08.2002 1:35:20 NET 16 -2 10 0 14 0 21 -10 3 -3 4 -4 0 0 01.08.2002 1:35:21 SLACK 0 0 10 01.08.2002 1:35:23 MAXIMUM 16 3333 14 16 21 01.08.2002 1:35:23 MAXIMUM 60 35 NONE 01.08.2002 1:35:25 51 S.3 0 b15 SOLUTION I S MAXIMUM RETUR N 225 INVERSE * NONBASIS COLUMNS RETURN X.2 X.3 S.3 -2 3 -1 2 -10 0 1.5 -2 X.1 X.4 0 -1 1 DATE TIME 01.08.2002 1:35:26