Домашнее задание 9 класс

Домашнее задание 9 класс
1. Изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющее условиям:
а) |x | = |y| , б) (x - y) (|y| - 7) = 0,
г) | x – 1 | + | x+1 |  1 д) |x| > у2
в) |у| ≤ | x2 - 1 |,
2. Даны точки М, N, K - середины трех разных сторон выпуклого четырехугольника. Постройте
четырехугольник.
3. Дан круг и точка внутри него. Провести через данную точку хорду заданной длины а.
4. Cреди точек данной прямой l найти такую, что сумма расстояний от нее до двух данных точек А,
B - наименьшая.
5. Внутри выпуклого четырехугольника найти точку, сумма расстояний от которой до вершин
имеет наименьшую длину.
6. Даны координаты двух вершин треугольника D (2 , -1). В(--3 , 5) и координаты точки
пересечения медиан этого треугольника - М(1 , 1). Найти координаты вершины С.
7. Доказать, если x2 + y2 делится на 3 и x ,y - целые, то x и y делятся на 3.
6. Может ли квадратное уравнение a x2 + bx + c = 0 с целыми коэффициентами иметь
дискриминант, равный 23?
9. Можно ли 1973 телефона соединить между собой так, чтобы каждый был соединен с 1971
телефоном?
10. Решить уравнения с параметром а:
а) | x - 5| + |x + 2| = a
b) |x - a| + |x + 7| = 5
11. Докажите, что при любом натуральном n число
55n + 1 + 45n+2 + 35n делится на 11.
12. Пусть а, b - положительные числа и a3 + b3 = a5 + b5 . Доказать, что
a2 + b2 ≤ 1 + ab
13. Доказать, что при любых целых положительных n число
25n + 3 + 5n 3n + 2 делится на 17.
4a  1 +
14. Доказать, что
4b  1 +
4c  1 ≥ 5 при условии, что
a + b + c = 1, 4a + 1 ≥ 0, 4b + 1 ≥ 0, 4c + 1 ≥ 0.
15.
Доказать,
что если x,y,z
-- действительные числа, удовлетворяющие равенствам
x + у + z = 5 и ху +xz + уz = 8 , то 1 ≤ x ≤
7
,
3
19. Пусть a + b + c = 1. Доказать, что a2 + b2 + c2 ≥
1≤y≤
7
,
3
1≤z≤
7
.
3
1
3
16. Пусть для неотрицательных чисел a, b, c выполняется условие a2 + b2 + c2 = 1. Доказать,
что a + b + c ≤
3
17. Доказать, что при любых действительных х, у имеет место неравенство x2 + 2 xy +
3y2 +2x +6y +4 ≥ 1.
18. Доказать, что если a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, то
abc
a 2  b2  c 2
≤
.
3
3
Комбинаторика(9 класс)
1. Имеются 2m одинаковых белых, 3n одинаковых черных шаров и 10 красных шаров.
Сколькими способами из них можно взять m + n шаров?
2. Сколько диагоналей у выпуклого n-угольника?
3.Сколько существует разных пятизначных чисел, все цифры которых четны?
4.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляют всевозможные семизначные числа, в записи которых
каждая цифра участвует только один раз. Доказать, что сумма всех этих чисел делятся на 9.
3.
На
окружности
отмечены
10
точек.
Сколько
можно
провести
незамкнутых
несамопересекающихся ломаных с вершинами в этих точках?
Информатика
Задача 1. Рациональное выражение. Назовем рациональным выражением отношение
R1
, где каждое из R1 и R2 выражение вида ab + cd Здесь a, b, c, d -- заданные целые
R2
числа. Написать программу, сравнивающую два рациональных выражения, т.е.
отвечающую на вопросы
б) которое из них больше? Например, выражения
7 * 8  ( 5) * 10
,
8 2*2
1
2
равны.
Задача 2. Сектор. Из круга радиуса R с центром в начале координат выделен сектор двумя
радиусами, от угла 1 до 2 с положительным направлением оси Оx. Из конца дуги,
определяемой углом 1, проведена прямая, делящая площадь сектора на две равные
части. Определить ее уравнение. Изобразить на экране ЭВМ.
Задача 3. Гири. Имеются гири с массами 1г. 2г. ...,N г (N  10000), Написать алгоритм и
программу, распределяющую эти гири на максимально возможное количество пар так,
чтобы суммарный вес гирь в каждой паре выражался простым числом.
Задача 4. Найти количество натуральных n - значных чисел, цифры которых идут в
неубывающем порядке, вводится - n. Результат - количество чисел.
Центр масс
1. Пусть АВСD - выпуклый четырехугольник, K, L, M и N -- середины сторон АВ, BС, СD и
DА, Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN является серединой этих
отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
2. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника AВС взяты точки C1 , A1 и B1 так, что прямые
CC1 , AA1 и BB1 пересекаются в некоторой точке О. Докажите, что:
а)
CO CA1 CB1


OC1 A1 B B1 A
б)
AO BO CO
AO BO CO





28
OA1 OB1 OC1 OA1 OB1 OC1
Комплексные числа
1. Решить уравнения в комплексных числах: а) x2 + 4x + 7 = 0
c)
x2 = 3 + 4i
2.
Изобразить
b) (1 + i)x2 + x + 5 - i = 0
d) x6 = 1 .
на комплексной
плоскости
множество
чисел
z,
удовлетворяющим
неравенствам:
а) │z│≤ 1
b) 0° ≤ Arg(z) ≤ 90° c) Im(z) ≤ 5
d) Im(z) + Re(z) ≤ 1
Комплексные числа
1. Решить уравнения в комплексных числах: а) x2 + 4x + 7 = 0
c)
x2 = 3 + 4i
2.
Изобразить
b) (1 + i)x2 + x + 5 - i = 0
d) x6 = 1 .
на
комплексной
плоскости
множество
чисел
z,
удовлетворяющим
неравенствам:
а) │z│≤ 1
b) 0° ≤ Arg(z) ≤ 90° c) Im(z) ≤ 5
d) Im(z) + Re(z) ≤ 1
Комплексные числа
1. Решить уравнения в комплексных числах: а) x2 + 4x + 7 = 0
c)
x2 = 3 + 4i
2.
Изобразить
b) (1 + i)x2 + x + 5 - i = 0
d) x6 = 1 .
на комплексной
плоскости
множество
чисел
z,
удовлетворяющим
неравенствам:
а) │z│≤ 1
b) 0° ≤ Arg(z) ≤ 90° c) Im(z) ≤ 5
d) Im(z) + Re(z) ≤ 1
Комплексные числа
1. Решить уравнения в комплексных числах: а) x2 + 4x + 7 = 0
c)
x2 = 3 + 4i
2.
Изобразить
b) (1 + i)x2 + x + 5 - i = 0
d) x6 = 1 .
на комплексной
неравенствам:
а) │z│≤ 1
плоскости
множество
чисел
z,
b) 0° ≤ Arg(z) ≤ 90° c) Im(z) ≤ 5
удовлетворяющим
d) Im(z) + Re(z) ≤ 1
Комплексные числа
1. Решить уравнения в комплексных числах: а) x2 + 4x + 7 = 0
c)
x2 = 3 + 4i
2.
Изобразить
b) (1 + i)x2 + x + 5 - i = 0
d) x6 = 1 .
на комплексной
плоскости
множество
чисел
z,
удовлетворяющим
неравенствам:
а) │z│≤ 1
b) 0° ≤ Arg(z) ≤ 90° c) Im(z) ≤ 5
d) Im(z) + Re(z) ≤ 1
Комплексные числа
1. Решить уравнения в комплексных числах: а) x2 + 4x + 7 = 0
c)
x2 = 3 + 4i
2.
Изобразить
b) (1 + i)x2 + x + 5 - i = 0
d) x6 = 1 .
на комплексной
неравенствам:
а) │z│≤ 1
плоскости
множество
чисел
z,
b) 0° ≤ Arg(z) ≤ 90° c) Im(z) ≤ 5
удовлетворяющим
d) Im(z) + Re(z) ≤ 1