Докажите, что

Экзаменационныебилеты по геометрии для 8 класса.
Билет №1.
1. Дайте определение параллелограмма и сформулируйте его свойства.
2. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.
3. А Треугольники ABC и DEFподобны. ∠A = ∠D, ∠C = ∠F, EF = 14,
DF = 20, BC = 21. Найдите AC.
B Периметры подобных треугольников относятся как 2: 3, сумма их
площадей равна 260 см2 . Найдите площадь каждого треугольника.
Билет №2.
1. Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников.
2. Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.
3. А В прямоугольном треугольнике ACB (∠ С = 900 ), AB = 10,
∠ABC= 300 ). С центром в точке А проведена окружность . Каким
должен быть радиус окружности , чтобы:
а) окружность касалась прямойBC;
б) не имела с ней общих точек ;
в) имела с ней две общие точки?
В AB и CD – два взаимно перпендикулярных диаметра окружности.
Хорда CB продолжена за точку B на отрезок BE, равный CB. Каково
взаимное положение прямой DE и окружности?
Билет №3.
1. Что называется отношением двух отрезков? В каком случае говорят,
что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам 𝐴1 𝐵1 и 𝐶1 𝐷1 .
2. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной к
окружности.
3. А В четырехугольнике ABCDAB∥CD, BC∥AD, AC = 20 см, BD = 10
см, AB = 13 см. Диагонали четырехугольника пересекаются в точке О.
Найдите периметр треугольника COD.
В В четырехугольнике ABCD∠𝐴 + ∠𝐵 = 1800 , 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷. На сторонах
BC и AD отмечены точки M и K соответственно так, что BM = KD.
Докажите, что точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от
точки пересечения диагоналей четырехугольника.
Билет № 4.
1. Взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от
соотношения между радиусом окружности и расстояния от ее центра
до прямой.
2. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и
противоположные углы равны.
3. А В параллелограммеABCD угол B тупой. На продолжении стороны
AD за вершину D отмечена точка E так, что ∠ECD = 600 , ∠CED = 900 ,
AB = 4 см, AD = 10 см. Найдите площадь параллелограмма.
В Найдите углы параллелограмма, если его площадь равна 20 см2 , а
высота, проведенная из вершины тупого угла, делит одну из сторон на
отрезки 2см и 8 см, считая от вершины острого угла.
Билет № 5.
1. Дайте определение прямоугольника. Сформулируйте особое
свойство прямоугольника.
2. Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведенные из
одной точки, равны и составляют равные углы с прямой,
проходящей через эту точку и центр окружности.
3. А Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 13 см, а
большее основание 12 см. Найдите площадь трапеции, если ее
меньшее основание равно 8 см.
В В некоторой трапеции диагональ и боковая сторона,
выходящие из вершины тупого угла, равны 26 см и √577 см
соответственно, высота трапеции 24 см, меньшее основание 7 см.
Найдите площадь трапеции.
Билет № 6.
1. Сформулируйте теорему о вычислении площади прямоугольника.
2. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и
противоположные углы равны.
3. А В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О,
K – середина стороны AB, AK = 3см, KO = 4см. Найдите периметр
параллелограмма.
В Четырехугольники ABCD и DCEF имеют общую сторону CD.
Точки A, D, F не лежат на одной прямой, AB = CD = EF, AB ∥CD∥EF.
Диагонали четырехугольниковABCD и DCEF пересекаются
соответственно в точкахО1 и О2 . Докажите, что AF∥ О1 О2 и AF =
2О1 О2 .
Билет № 7.
1. Дайте определение подобных треугольников.
2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
прямоугольника.
3. А Дуга AB окружности с центром в точке O равна 600 . Найдите
расстояние от точки A до радиуса OB, если радиус окружности
равен
6см.
В MA и MB – хорды окружности с центром в точкеO∠AMB =
300 . Найдите длину хорды AB, если радиус окружности равен 10
см.
Билет № 8.
1. Какая прямая называется касательной к окружности? Какая точка
называется точкой касания прямой и окружности? Свойство
касательной.
2. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей
подобных треугольников.
3. А В выпуклом четырехугольнике ABCDAB = CD, ∠B = 700 ,
∠BCA= 600 , ∠ACD = 500 . Докажите, что BC = AD.
B На основании AC равнобедренного треугольника ABC
отмечена точка K, а на сторонах AB и BC – точки M и P
соответственно, причем PK = MB, ∠KPC= 800 , ∠C = 500 . Докажите,
что ∠KMB + ∠MBP = 1800 .
Билет № 9.
1. Сформулируйте признаки параллелограмма.
2. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак
подобия треугольников.
3. А Через точку M, расположенную внутри круга, проведены две
хорды AB и CD, причем AM = MB, CM = 16 см, DM :MC = 1 : 4.
Найдите AB.
В Диаметр CDокружности перпендикулярен хорде AB, AB и CD
пересекаются в точке E, CE = 2 см. Сумма AB и CE равна диаметру
окружности . Найдите радиус окружности.
Билет № 10.
1. Сформулируйте теорему о вычислении площади параллелограмма.
2. Сформулируйте и докажите теорему о признаке касательной.
3. А В трапеции ABCDBC – меньшее основание. На отрезке AD
взята точка E так, что BE∥CD; ∠ABE = 700 ,
∠BEA = 500 . Найдите углы трапеции.
В В равнобедренной трапеции диагональ составляет с боковой
стороной угол в 1200 . Боковая сторона равна меньшему основанию.
Найдите углы трапеции.
Билет № 11.
1. Какой отрезок называется средней линией треугольника? Свойства
средней линии треугольника.
2. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам.
3. А В прямоугольнике ABCDBD = 12см. Вершина B удалена
отпрямойAC на 4 см. Найдите площадь треугольника ABC.
B Втреугольнике ABC ∠ B = 1300 , AB = a, BC = b,
авпараллелограмме MPKH MP = a, MH = b, ∠ M = 500 . Найдите
отношение площади треугольника к площади параллелограмма .
Билет № 12.
1. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте теорему о
вписанном угле.
2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
параллелограмма.
3. А В прямоугольном треугольнике ACB( ∠C = 900 ) CD⊥AB,
𝐴𝐶
𝐶𝐵
В
1
= . Найдите отношение площадей треугольников ACD и CDB.
2
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC
проведена медиана BD, DE⊥BC,
𝐵𝐷
𝐷𝐶
2
= . Площадь треугольника DEC
1
2
равна 20 см . Найдите площадь треугольника ABC.
Билет № 13.
1. Дайте определение ромба. Сформулируйте особое свойство
ромба.
2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
треугольника.
3. А В окружность, радиус которой равен 10 см, вписан
прямоугольный треугольник , один из катетов которого равен 16
см. Найдите площадь этого треугольника.
В Периметр ромба равен 80 см, а одна из диагоналей 32 см.
Найдите радиус вписанной в ромб окружности.
Билет № 14.
1. Сформулируйте теорему о вычислении площади треугольника.
Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его
катетам?
2. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках
пересекающихся хорд.
3. A В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке
O. E – середина стороныAB, ∠BAC = 500 . Найдите угол EOD.
B В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке
O. BH и DE – высоты треугольника ABO и COD соответственно,
∠BOH= 600 , AH = 5 см. Найдите OE.
Билет № 15.
1. Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла
прямоугольного треугольника?
2. Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.
3. А Периметр равнобедренной трапеции равен 32 см, боковая
сторона равна 5см, площадь 44 см2 . Найдите высоту трапеции.
В В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна
3 дм и составляет с меньшей диагональю угол в 450 . Острый угол
трапеции также равен 450 . Найдите площадь трапеции.
Билет № 16.
1. Сформулируйте теорему Пифагора.
2. Докажите, что если в четырехугольнике две стороны равны и
параллельны, то четырехугольник – параллелограмм.
3. А В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 20, а
боковая сторона равна 15. Найдите синус, косинус и тангенс
острого угла трапеции.
В В прямоугольной трапеции ABCD (∠D = ∠C = 900 , AC и BD
– основания) AB = 9, BD = 12, AD = 15. Найдите синус, косинус и
тангенс угла CBD.
Билет № 17.
1. Дайте определение квадрата. Сформулируйте основные свойства
квадрата.
2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
трапеции.
3. А
Данный отрезок разделите в отношении 2: 3 : 5.
В Постройте треугольник ABC по тупому углу B, отношению
сторон AB: BC = 3:2 высоте AD.
Билет № 18.
1. Сформулируйте теорему о вычислении площади трапеции.
2. Докажите, что если в четырехугольнике диагонали
пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то
четырехугольник – параллелограмм.
3. А Через вершину A параллелограмма ABCD проведена
прямая, пересекающая сторону BC в точке E, а продолжение
стороны DC – в точке F. Докажите, что ΔABE∾ Δ EFC.
B В треугольнике ABC через точку P, лежащую на стороне
BC, проведены прямые, пересекающие стороны AB и AC
соответственно в точках Q и R и параллельные AC и AB.
Докажите, что PQ∙ PR = BQ∙ CR.
Билет № 19.
1. Сформулируйте теорему, выражающую первый признак подобия
треугольников.
2. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.
3. А Постройте параллелограмм по большей стороне, меньшей
диагонали и углу между ними.
В Постройте параллелограмм по двум диагоналям и большей
стороне.
Билет № 20.
1. Какой четырехугольник называется трапецией? Какая трапеция
называется равнобедренной, прямоугольной?
2. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.
3. А В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 900 ) ∠ BAC = 450 ,
AB = 10, D𝜖BC (B – D – C), ∠ DAC = 300 . Найдите DC.
В В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 900 ) точка M лежит
на катете BC. Эта точка находится на равном расстоянии от AB и
AC, MC =2,7, AM = 4,1. Найдите углы треугольника ABC.
Билет № 21.
1. Сформулируйте утверждения о пропорциональных отрезках в
прямоугольном треугольнике.
2. Докажите, что если в четырехугольнике противоположные
стороны попарно равны, то четырехугольник –
параллелограмм.
3. А Определите углы треугольника со сторонами 1, √3, 2.
В В треугольнике ABCAB = √2, BC = 2. На стороне AC
отмечена точка M так, что AM = 1, BM = 1. Найдите ∠ ABC.