Анисимова А.И. Несимметричное натекание струи на угол

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ) ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО
КАФЕДРА АЭРОГИДРОМЕХАНИКИ
010800.62 – МЕХАНИКА И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ВЫПУСКНАЯ БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА
НЕСИММЕТРИЧНОЕ НАТЕКАНИЕ СТРУИ НА УГОЛ
Работа завершена:
«___»___________2015г.
_____________ А.И. Анисимова
Работа допущена к защите:
Научный руководитель
Кандидат физ.-мат. наук, доцент
«___»___________2015г.
_______________Р.Ф. Марданов
Заведующий кафедрой:
Доктор физ.-мат. наук, профессор
«___»___________2015г
_________________ А.Г. Егоров
Казань – 2015
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ................................................................................................................... 3
Глава I. Несимметричное натекание струи жидкости на плоскую пластину ... 4
§1. Постановка задачи .................................................................................... 4
§2. Решение ...................................................................................................... 5
§3. Результаты расчетов ................................................................................. 9
§4. Выводы ..................................................................................................... 15
Глава II. Несимметричное натекание струи жидкости на угловую пластину 16
§1. Постановка задачи .................................................................................. 16
§2. Решение .................................................................................................... 17
§3. Результаты расчетов ............................................................................... 25
Заключение ............................................................................................................ 29
Список используемой литературы ...................................................................... 30
2
ВВЕДЕНИЕ
Широкий круг проблем гидромеханики сводится к постановке задач об
отыскании потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости
(ИНЖ) в области, ограниченной частично твердыми стенками, а частично –
свободной поверхностью.
Первые задачи по теории струй были поставлены и решены
Г. Гельмгольцем и Г. Кирхгофом. Существенный вклад в эту теорию был
внесен Н.Е. Жуковским и С.А. Чаплыгиным. Современное состояние теории
струй описано в книгах [1, 2].
Метод особых точек С.А. Чаплыгина позволяет получить решение
многих задач теории струй в достаточно простой аналитической форме.
К числу таких задач относится и задача о натекании струи жидкости
конечной ширины на пластинку. Постановку этой задачи можно найти во
многих монографиях по теории струй. Метод расчета натекания струи на
криволинейную стенку предложен в работе [3].
В первой главе работы рассмотрена задача о натекании струи на
плоскую пластинку под углом. Решение построено с использованием
плоскости
годографа
скорости
в
аналитическом
виде.
Проведено
исследование формы струи, построены линии тока, а также распределение
скорости и коэффициента давления по поверхности плоской пластинки.
Во второй главе рассмотрена задача о натекании струи на угол.
Решение было построено с помощью метода параметризации, вычисление
интегралов проводилось численно. В частном случае, при котором угол –
развернутый, численное решение полностью совпало с аналитическим.
3
Глава I
НЕСИММЕТРИЧНОЕ НАТЕКАНИЕ СТРУИ
ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКУЮ ПЛАСТИНУ
§1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В физической плоскости 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 струя невесомой ИНЖ натекает на
пластинку под углом α к пластинке со скоростью 𝑣∞ на бесконечности
(рис. 1). Расход жидкости в струе задан и равен 𝑄. Обозначим точкой 𝐴
источник течения на бесконечности. Точкой 𝑂 – точку разветвления потока.
Точки 𝐵 и 𝐶 – бесконечно удаленные точки струй, образующиеся после
ударения струи о пластинку. Выберем систему координат 𝑂𝑥𝑦 с началом в
точке 𝑂, направим ось 𝑥 вдоль пластинки.
Требуется построить форму струи, распределение скорости 𝑣(𝑥) и
коэффициент давления 𝐶𝑝 (𝑥) по поверхности пластинки, а также линии тока.
Рис. 1.
4
§2. РЕШЕНИЕ
Введем
в
рассмотрение
функцию
годографа
скорости
в
параметрической области 𝑡 = 𝜏 + 𝑖𝜂:
𝑡=
1 𝑑𝑤
𝑣∞ 𝑑𝑧
(1.1)
.
Тогда область изменения параметрического переменного 𝑡 будет сектор в
виде половины круга (рис. 2). Это обосновывается тем, что в физической
плоскости на границе течения, которая проходит вдоль пластинки,
направление скорости сохраняет свое постоянное значение. Поэтому прямой
𝐵𝐶 в физической плоскости, будет соответствовать отрезок 𝐵𝐶 в плоскости
годографа, причем направление 𝑂𝐶 и 𝑂𝐵 сохраняется. На другой границе
течения, являющейся свободной поверхностью, модуль скорости сохраняет
постоянное
значение,
поэтому
ей
будет
соответствовать
верхняя
полуокружность, так как область течения при обходе должна оставаться
слева.
Теперь, определим координаты точек 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑂 в плоскости 𝑡. Для этого
вычислим комплексно сопряженную скорость в этих точках:
𝑑𝑤
|
= 𝑣∞ 𝑒 −𝑖(𝜋+α) = 𝑣∞ 𝑒 −𝑖α 𝑒 −𝑖𝜋 = −𝑣∞ 𝑒 −𝑖α ;
|
= 𝑣∞ 𝑒 −𝑖𝜋 = −𝑣∞ ;
|
= 𝑣∞ 𝑒 −𝑖0 = 𝑣∞ ;
|
= 𝑣𝑥 − 𝑖𝑣𝑦 = 0.
𝑑𝑧 𝑡=𝑡𝑎
𝑑𝑤
𝑑𝑧 𝑡=𝑡𝑏
𝑑𝑤
𝑑𝑧 𝑡=𝑡𝑐
𝑑𝑤
𝑑𝑧 𝑡=𝑡𝑜
Подставляя эти значения в (1.1) определим, что точки 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝑂 в
параметризованной области будут иметь координаты:
𝑡𝑎 = −𝑒 −𝑖α ;
𝑡𝑐 = 1;
𝑡𝑏 = −1;
𝑡𝑜 = 0.
5
Рис. 2.
Решим поставленную задачу при помощи метода особых точек
Чаплыгина [4]. Этот метод состоит в том, что, прежде всего, анализируя
поведение искомой функции комплексного переменного, находят все её нули
и особенности в области течения и соответственно в области изменения
параметрического переменного.
Так как область в параметрической плоскости является полукруг, то
функцию
𝐼𝑚
𝑑𝑤
𝑑𝑡
𝑑𝑤
𝑑𝑡
методом особых точек построить нельзя, т.к. 𝑅𝑒
𝑑𝑤
𝑑𝑡
≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 и
≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 на границе контура. Поэтому введем в рассмотрение функцию
𝑓(𝑡) = 𝑡
𝑑𝑤
𝑑𝑡
и найдем все ее нули и особенности. Функция 𝑤(𝑡) будет иметь в
точке 𝑂 нуль второго прядка (так как эта точка является критической),
следовательно, производная
𝑑𝑤
𝑑𝑡
– нуль первого порядка, а функция 𝑓(𝑡) нуль
второго порядка. В точке 𝐴 располагается источник, поэтому здесь функция
𝑓(𝑡) имеет полюс первого порядка. В точках 𝐵 и 𝐶 располагаются стоки,
поэтому в них 𝑓(𝑡) имеет также полюсы первого порядка.
Аналитически
продолжим
функцию
𝑓(𝑡)
на
всю
плоскость
параметрического переменного 𝑡 с помощью принципа симметрии Римана –
Шварца
𝐵𝐴𝐶 𝑅𝑒 𝑡
[5].
𝑑𝑤
|
На
𝑑𝑡 𝑡 = 𝑒 𝑖𝛾
участке
𝐵𝑂𝐶
границы
𝐼𝑚 𝑡
𝑑𝑤
|
𝑑𝑡 𝑡 = 𝜏
= 0,
а
на
= 0, следовательно, нули переходят в нули, а полюсы
переходят в полюсы.
6
Произведя зеркальные отображения относительно действительной оси,
получаем, что функция 𝑓(𝑡) имеет в плоскости 𝑡 нуль второго прядка в точке
𝑡 = 0 и полюсы первого порядка в точках 𝑡 = −𝑒 ±𝑖α и 𝑡 = ±1.
Метод
особенностей
основан
на
теореме
Лиувилля
[5].
Она
заключается в следующем: если аналитическая функция во всей комплексной
области не имеет ни нулей, ни особенностей, то она является константой.
Тогда, имеем
𝑡
𝑑𝑤 (𝑡+1)(𝑡−1)(𝑡+𝑒 𝑖𝛼 )(𝑡+𝑒 −𝑖𝛼 )
𝑡2
𝑑𝑡
= 𝐶1 ,
откуда выразим
𝑑𝑤
𝑑𝑡
𝐶 𝑡
1
= (𝑡−1)(𝑡+1)(𝑡+𝑒
𝑖𝛼
.
(1.2)
)(𝑡+𝑒 −𝑖𝛼 )
Для определения константы 𝐶1 рассмотрим поведение функции
𝑑𝑤
𝑑𝑡
в
окрестности точки 𝐴. Так как в этой точке расположен источник с расходом
𝑄1 = 2𝑄, то
𝑤|𝑡→𝑡𝑎 ~
𝑄1
2𝜋
𝑄
ln(𝑡 + 𝑒 −𝑖𝛼 ) = ln(𝑡 + 𝑒 −𝑖𝛼 ).
𝜋
Значит,
𝑑𝑤
|
𝑑𝑡 𝑡→𝑡𝑎
~
𝑄
1
𝜋 (𝑡+𝑒 −𝑖𝛼 )
.
(1.3)
Устремляя в выражениях (2) и (3) 𝑡 → −𝑒 −𝑖𝛼 получим
𝐶1 = −
4𝑄 sin2 𝛼
𝜋
.
В итоге запишем
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=−
4𝑄 sin2 𝛼 𝑡
.
𝜋(𝑡 2 −1)(𝑡+𝑒 𝑖𝛼 )(𝑡+𝑒 −𝑖𝛼 )
(1.4)
Найдем 𝑤(𝑡) проинтегрировав последнее выражение:
𝑤 (𝑡 ) =
𝑄
[ln(𝑡 + 𝑒 𝑖𝛼 ) + ln(𝑡 + 𝑒 −𝑖𝛼 ) + (cos 𝛼 − 1) ln(𝑡 − 1) − (cos 𝛼 + 1) ln(𝑡 + 1)] + 𝐶2 .
𝜋
Константу 𝐶2 определим из условия 𝑤(0) = 0:
𝐶2 = −𝑄(cos 𝛼 − 1)𝑖.
7
Таким образом, функция комплексного потенциала в параметрической
плоскости имеет вид
𝑄
𝑤(𝑡 ) = [ln(𝑡 + 𝑒 𝑖𝛼 ) + ln(𝑡 + 𝑒 −𝑖𝛼 ) + (cos 𝛼 − 1) ln(𝑡 − 1) − (cos 𝛼 + 1) ln(𝑡 + 1)] −
𝜋
(1.5)
−𝑄(cos 𝛼 − 1)𝑖.
Выразим комплексно сопряженную скорость в физической плоскости
из формулы (1.1)
𝑑𝑤
𝑑𝑧
= 𝑡𝑣∞ .
(1.6)
С учетом формул (1.4) и (1.6) запишем
𝑑𝑧 𝑑𝑤 𝑑𝑤
4𝑄
sin2 𝛼
⁄
=
=−
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑧
𝜋𝑣∞ (𝑡 2 − 1)(𝑡 + 𝑒 𝑖𝛼 )(𝑡 + 𝑒 −𝑖𝛼 )
и проинтегрировав, найдем функцию
𝑧 (𝑡 ) =
𝑄
𝜋𝑣∞
[2arctg (
𝑡+cos 𝛼
sin 𝛼
) + (cos 𝛼 − 1) ln(𝑡 − 1) + (cos 𝛼 + 1)ln(𝑡 + 1) −
− cos 𝛼 (ln(𝑡 + 𝑒 𝑖𝛼 ) + ln(𝑡 + 𝑒 −𝑖𝛼 ))] + 𝐶3 .
Константу 𝐶3 найдем из условия 𝑧(0) = 0:
𝐶3 =
𝑄
𝑣∞
[(
2𝛼
𝜋
− 1) sin 𝛼 − (cos 𝛼 − 1)𝑖𝜋].
В итоге имеем:
𝑧 (𝑡 ) =
𝑄
𝜋𝑣∞
[2arctg (
𝑡+cos 𝛼
sin 𝛼
) + (cos 𝛼 − 1) ln(𝑡 − 1) + (cos 𝛼 + 1)ln(𝑡 + 1) −
−cos 𝛼 (ln(𝑡 + 𝑒 𝑖𝛼 ) + ln(𝑡 + 𝑒 −𝑖𝛼 ))] +
Найдем
скорость
𝑄
𝑣∞
[(
2𝛼
𝜋
− 1) sin 𝛼 − (cos 𝛼 − 1)𝑖𝜋].
жидкости
на
поверхности
(1.7)
пластинки,
воспользовавшись формулами (1.6) и (1.7)
𝑑𝑤
𝑣 = | (𝑡)| ,
𝑑𝑧
𝑣(𝑥) = {
𝑥 = 𝑅𝑒 𝑧(𝑡),
(1.8)
где 𝑡 = 𝜏. Построим линии тока как линии равного уровня функции тока
𝜓(𝑥, 𝑦) из формул (1.5) и (1.7), где 𝑡 из параметрической области:
𝜓 = 𝐽𝑚 𝑤(𝑡)
𝜓 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, где 𝜓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 = 𝑅𝑒 𝑧(𝑡)
𝑦 = 𝐽𝑚 𝑧(𝑡 ),
8
(1.9)
Определим распределение давления в области течения. Для этого
выразим давление через скорость из интеграла Бернулли:
𝑝+
2
𝜌𝑣 2
𝜌𝑣∞
= 𝑝∞ +
.
2
2
Обезразмеривая запишем выражение для коэффициента давления
𝑝 − 𝑝∞
𝐶𝑝 = 2
.
2
𝑝𝑣∞
Подставляя значение давления 𝑝, выраженное из интеграла Бернулли,
окончательно найдем
𝐶𝑝 = 1 −
𝑑𝑤
где 𝑣 = | 𝑑𝑧 |.
9
𝑣2
2
𝑣∞
,
(1.10)
§3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Во всех расчетах примем 𝑄 = 1, 𝑣∞ = 1, границам струй при угле 𝛼 =
𝜋 𝜋 𝜋
, , соответствуют линии красного, синего и зеленого цветов.
2 3 6
В первой серии расчетов найдем форму границы струи, для этого в
функцию 𝑧(𝑡) подставим значения 𝑡 = 𝑒 𝑖𝛾 , где 𝛾 ∈ [0, 𝜋], так как верхней
полуокружности
в
плоскости
годографа
соответствует
свободная
поверхность струи в физической плоскости.
На рис. 3 представлены формы границ струй для углов 𝛼 =
𝜋 𝜋 𝜋
, , .
2 3 6
5
4
y
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Рис. 𝟑.
Из графика видно, что после ударения о стенку поток жидкости делится на
две струи, причем при 𝛼 =
𝜋
2
они симметричны. Заметим также, что при
уменьшении угла натекания струи симметрия теряется, а именно ширина
струи ℎ1 , в данном случае направленной вправо, уменьшается, а ширина
струи ℎ2 , направленной влево, увеличивается.
10
На рис. 4 представлен график зависимости
ℎ1
ℎ2
=
1−cos 𝛼
1+cos 𝛼
= 𝜘(𝛼).
Рис. 𝟒.
Из рисунка можно сделать вывод, что зависимость 𝜘(𝛼) монотонно
возрастает и не является линейной.
1.4
Во второй серии расчетов построим график распределения скорости
жидкости
1.2 𝑣(𝑥) по поверхности пластинки по формуле (1.8) (рис. 5).
1
V
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
x
Рис. 𝟓.
11
1
2
3
Анализируя 𝑣(𝑥) делаем вывод, что в момент удара струи о пластинку
скорость равна нулю, и чем меньше угол натекания струи, тем быстрее
жидкость набирает скорость после ударения о стенку.
В третьей серии расчетов построим линии тока для данного течения по
формуле (1.9). Так как рассматриваемое течение установившееся, то линии
тока будут совпадать с траекториями частиц. Для 𝛼 =
𝜋 𝜋 𝜋
, , линии тока
2 3 6
представлены на рис. 6 – 8 соответственно, на которых видно, что нулевая
линия тока приходит в критическую точку 𝑂, в которой происходит
раздвоение течения.
5
4
y
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
x
Рис. 𝟔
12
1
2
3
5
4
y
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
x
Рис. 𝟕.
Рис. 𝟖.
13
1
2
3
В последней серии расчетов построим распределение коэффициента
давления в области течения по формуле (1.10). Для
𝛼=
𝜋 𝜋 𝜋
, ,
2 3 6
распределение давления показано на рис. 9 – 11 соответственно. Можно
сделать вывод, что максимальное давление в критической точке 𝑂, и область
высокого давления уменьшается при уменьшении угла натекания струи.
Рис. 𝟗.
14
Рис. 𝟏𝟎.
Рис. 𝟏𝟏.
15
ВЫВОДЫ
Таким образом, поставлена и решена задача о натекании струи на
пластинку под заданным углом. Решение удалось выписать в аналитической
форме. Проведена серия расчетов, построены графики. Сделаны следующие
выводы о влиянии параметров задачи на форму струи:
– после ударения о стенку поток жидкости делится на две струи;
– зависимость 𝜘(𝛼) =
ℎ1
ℎ2
монотонно возрастает;
– скорость потока в критической точке равна нулю;
– чем меньше угол натекания струи, тем быстрее струи набирают
скорость после ударения о стенку;
–
наибольшее давление в критической точке 𝑂;
–
область максимального давления уменьшается при уменьшении
угла натекания струи.
16
Глава II
НЕСИММЕТИРИЧНОЕ НАТЕКАНИЕ СТРУИ
ЖИДКОСТИ НА УГЛОВУЮ ПЛАСТИНУ
§1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть плоская струя идеальной несжимаемой жидкости, наклонённая
под углом 𝛼0 к оси 𝑥, натекает на внутренний по отношению к жидкости
угол 𝐿𝐴𝑅 = 𝛼𝜋, помещенный в начало координат (рис. 12). Не теряя
общности, считаем, что луч 𝐴𝑅 направлен по оси 𝑥. Струя разделяется в
точке торможения 𝐶 и растекается по стенке.
Область течения содержит три бесконечно удаленных точки: 𝐼, 𝐿 и 𝑅.
На свободных линиях тока 𝐿𝐼 и 𝐼𝑅 скорость постоянна и равна 𝑣∞ . Расход в
бесконечно удаленной точке 𝐼 является заданной величиной, равной Q.
Положение струи по отношению к стенке определяется углом наклона струи
𝛼0 и заданным расстоянием 𝐶𝐴 = 𝑙. Если 𝑙 > 0, то точка 𝐶 находится слева,
если 𝑙 < 0, то справа.
Таким образом, форма стенки и параметры 𝑣∞ , 𝛼0 , ℎ и 𝑙 заданы, все
остальные характеристики, включая форму свободных линий тока 𝐿𝐼 и 𝐼𝑅,
подлежат определению.
Рис. 12.
17
§2. РЕШЕНИЕ
Область течения в физической плоскости 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 конформно
отобразим на верхний правый квадрант параметрической плоскости 𝜁 =
𝜁𝑥 + 𝑖𝜁𝑦 так, чтобы угловая стенка перешла в действительную ось этой
плоскости, свободная поверхность – в мнимую ось, критическая точка 𝐶 в
единицу действительной оси, бесконечно удаленная точка
𝐼 в точку 𝑖𝑑
(рис.13). Через 𝑎 обозначим координату образа вершины угла 𝐴.
Пусть 𝑤 = 𝜑 + 𝑖𝜓 – комплексный потенциал течения. Методом
особых точек найдем производную комплексного потенциала. Необходимо
выяснить характер особенностей функции
𝑑𝑤
𝑑𝜁
в параметрической плоскости
𝜁. Для этого нарисуем фиктивное течение в этой
плоскости. Жидкость
вытекает из точки 𝐼, раздваивается в точке 𝐶 и втекает в точку 𝐿 и в
бесконечно удаленную точку плоскости 𝜁 – 𝑅.
Рис. 13.
18
С помощью принципа симметрии Римана – Шварца искомая функция
𝑑𝑤
𝑑𝜁
аналитически продолжается сначала на верхнюю полуплоскость через
границу 𝜁𝑦 . Этот участок границы является линией тока, поэтому 𝑅𝑒
𝑑𝑤
𝑑𝜁
= 0.
Затем, верхнюю полуплоскость продолжаем на всю комплексную плоскость
через границу 𝜁𝑥 , также являющейся линией тока, поэтому 𝐼𝑚
𝑑𝑤
𝑑𝜁
= 0. Тогда,
согласно принципу, нули области переходят в нули, а полюсы в полюсы.
В точке 𝐶 имеем обтекание прямого угла, следовательно, функция
𝑑𝑤
𝑑𝜁
имеет нуль первого порядка в точке 𝜁 = 1. После отражения на всю
параметрическую плоскость
𝑑𝑤
𝑑𝜁
будет иметь нуль также в точке 𝜁 = −1.
Точки 𝐼 и 𝐿 – источник и сток соответственно, следовательно, функция
𝑑𝑤
𝑑𝜁
имеет полюсы первого порядка в точках 𝜁 = ±𝑖𝑑 и 𝜁 = 0.
Таким образом, функция
𝑑𝑤
𝑑𝑤
𝑑𝜁
𝑑𝜁
примет следующий вид:
= 𝜑0
𝜁 2 −1
𝜁(𝜁2 +𝑑2 )
.
Область изменения комплексного потенциала изображена на рис. 14.
Рис. 14
19
(2.1)
Обозначим через 𝑞 = ℎ𝑣∞ , 𝑞𝐿 = ℎ𝐿 𝑣∞ и 𝑞𝑅 = ℎ𝑅 𝑣∞ расходы жидкости
в бесконечно удаленных сечениях 𝐼𝐼 ′ , 𝐿𝐿′ и 𝑅𝑅′ соответственно. Очевидно,
что 𝑞 = 𝑞𝐿 + 𝑞𝑅 и ℎ = ℎ𝐿 + ℎ𝑅 . Выразим толщины струй ℎ, ℎ𝐿 и ℎ𝑅 через
параметры
𝜑0
и
𝑑.
Для
этого
проинтегрируем
функцию
𝑑𝑤
𝑑𝜁
по
полуокружности 𝐶𝐼 бесконечно малого радиуса, против часовой стрелки см.
рис. 13:
𝜁 = 𝑖𝑑 + 𝜀𝑒 𝑖𝛾
𝑑𝑤
𝜁2 − 1
𝑖𝑞 = ∫
𝑑𝜁 = 𝜑0 ∫
𝑑𝜁 = 𝛾 ∈ (− 𝜋 ; 𝜋) =
𝑑𝜁
𝜁(𝜁 − 𝑖𝑑)(𝜁 + 𝑖𝑑)
2 2
𝐶𝐼
𝐶𝐼
[ 𝑑𝜁 = 𝑖𝜀𝑒 𝑖𝛾 𝑑𝛾]
𝜋
2
−𝑑 2 − 1
𝑑2 + 1
= −𝑖 𝜑0
∫ 𝑑𝛾 = 𝑖𝜑0 𝜋
.
𝑖𝑑 2𝑖𝑑
2𝑑 2
−
Отсюда выразим параметр 𝜑0
𝜑0 =
𝜋
2
2𝑑2 𝑞
𝜋(1+𝑑2 )
Аналогично проинтегрируем функцию
𝑑𝑤
𝑑𝜁
.
(2.2)
по четверти окружности 𝐶𝑅
бесконечно большого радиуса:
𝜁 = 𝑅𝑒 𝑖𝛾 , 𝑅 → ∞
𝑑𝑤
𝜁2 − 1
𝜋
𝑖𝑞𝐿 = ∫
𝑑𝜁 = 𝜑0 ∫
𝑑𝜁 =
=
𝛾 ∈ (0; )
𝑑𝜁
𝜁(𝜁 2 + 𝑑 2 )
2
𝐶𝑅
𝐶𝐿
[ 𝑑𝜁 = 𝑖𝑅𝑒 𝑖𝛾 𝑑𝛾 ]
𝜋
2
𝜋
2
(𝑅2 𝑒 2𝑖𝛾 − 1) 𝑖𝑒 𝑖𝛾 𝑅
𝜋
= 𝜑0 ∫ 𝑖𝛾 2 2𝑖𝛾
𝑑𝛾
=
𝑖𝜑
∫
𝑑𝛾
=
𝑖
𝜑
0
0 .
2
𝑅𝑒 (𝑅 𝑒 + 𝑑 2 )
0
Наконец проинтегрируем функцию
𝑑𝑤
𝑑𝜁
0
четверти окружности 𝐶𝐿 бесконечно
малого радиуса:
𝜁 = 𝜀𝑒 𝑖𝛾 , 𝜀 → 0
𝑑𝑤
𝜁2 − 1
𝜋
−𝑖𝑞𝑅 = ∫
𝑑𝜁 = 𝜑0 ∫
𝑑𝜁 =
=
𝛾 ∈ (0; )
𝑑𝜁
𝜁(𝜁 2 + 𝑑 2 )
2
𝐶𝐿
𝐶𝐿
[ 𝑑𝜁 = 𝑖𝜀𝑒 𝑖𝛾 𝑑𝛾 ]
𝜋
2
𝜋
2
(𝜀 2 𝑒 2𝑖𝛾 − 1) 𝑖𝑒 𝑖𝛾 𝜀
𝑑𝛾
𝜋
= 𝜑0 ∫ 𝑖𝛾 2 2𝑖𝛾
𝑑𝛾
=
𝜑
∫
=
−𝑖
𝜑
.
0
0
𝑑2
2𝑑 2
𝜀𝑒 (𝜀 𝑒 + 𝑑 2 )
0
0
20
Таким образом
𝜋(𝑑2 +1)
𝑞 = 𝜑0
2𝑑2
𝜋
𝜋
2
2𝑑 2
, 𝑞𝐿 = 𝜑0 , 𝑞𝑅 = 𝜑0
.
Отсюда найдем
ℎ=
𝜑0 𝜋
(1 +
𝑣∞ 2
1
𝑑2
) , ℎ𝑅 =
Для построения функции
𝑑𝑤
𝜑0 𝜋
𝑣∞ 2
, ℎ𝐿 =
𝜑0 𝜋 1
𝑣∞ 2 𝑑2
.
(2.3)
применим так же метод особых точек
𝑑𝑧
С.А. Чаплыгина и получим
𝑑𝑤
𝑑𝑧
𝜁−1 𝜁+𝑎 𝛼−1
= 𝑣∞
(
𝜁+1 𝜁−𝑎
)
.
(2.4)
С учетом формул (2.1) и (2.4) запишем
𝑑𝑧
𝑑𝜁
Функцию 𝑧(𝜁) = ∫
𝑑𝑤
=
𝑑𝜁
𝑑𝑧
𝑑𝜁
𝑑𝜁
/
𝑑𝑤
=
𝑑𝑧
𝜁−𝑎 𝛼−1
𝜑0 (𝜁+1)2
(
𝑣∞ 𝜁(𝜁2 +𝑑2 ) 𝜁+𝑎
)
(2.5)
будем определять численно.
В частном случае при 𝛼 = 1 формула (2.5) примет вид
𝑑𝑧
𝑑𝜁
=
𝜑0 (𝜁+1)2
𝑣∞ 𝜁(𝜁2 +𝑑2 )
.
Проинтегрировав ее, запишем
𝑧(𝜁 ) =
𝜑0
𝑣∞
𝜁
2 arctg(𝑑)
(
𝑑
+
ln 𝜁
𝑑2
+
(𝑑2 −1) ln(𝑑2 +𝜁 2 )
2𝑑2
) + 𝐶2
(2.6)
Константу 𝐶2 определим из условия 𝑧(1) = 0:
𝐶2 =
𝜑0
𝑣∞
2𝑑 2
(4𝑑 arctg(𝑑) + (1 − 𝑑 2 ) ln 1 + 𝑑 2 ).
(2.7)
Определим параметр 𝑑 при 𝛼 = 1 из условия, что
𝑑𝑤
|
𝑑𝑧 𝜁=𝑖𝑑
= 𝑣∞
𝑖𝑑−1
𝑖𝑑+1
= 𝑣∞ 𝑒 𝑖(𝜋−𝛼0 ) ,
откуда
𝑑=
1−𝑒 −𝑖𝛼0
(1+𝑒 −𝑖𝛼0 )𝑖
21
= tg
𝛼0
2
.
(2.8)
Если 𝛼 ≠ 1, то параметр 𝑑 явно выразить не удается.
𝑑𝑤
|
𝑑𝑧 𝜁=𝑖𝑑,𝛼≠1
𝑖𝑑−1 𝑖𝑑+𝑎 𝛼−1
= 𝑣∞
(
𝑖𝑑+1 𝑖𝑑−𝑎
)
= 𝑣∞ 𝑒 𝑖(𝜋−𝛼0 )
Из последнего равенства следует
𝑖𝑑−1 𝑖𝑑+𝑎 𝛼−1
𝜋 − 𝛼0 = arg [
(
𝑖𝑑+1 𝑖𝑑−𝑎
)
].
Выразим 𝛼0 :
𝛼0 = π − arg(𝑖𝑑 − 1) + arg(𝑖𝑑 + 1) − (𝛼 − 1) arg(𝑖𝑑 + 𝑎) +
+(𝛼 − 1) arg(𝑖𝑑 − 𝑎).
(2.9)
Условие заданности расстояния 𝑙 в физической плоскости запишем в виде
𝑎
∫|
1
𝑑𝑧
| 𝑑𝜁𝑥 − 𝑙 = 0 .
𝑑𝜁
(2.10)
Соотношения (2.9) и (2.10) представляют собой систему двух нелинейных
уравнений для определения параметров 𝑑 и 𝑎.
Вычислим силу и момент, действующие на стенку с помощью
интегральных соотношений. Выделим в области течения контрольный объем,
проведя через удаленные точки 𝐼, 𝐿 и 𝑅 сечения, перпендикулярные осям
струй. Границу контрольного объема обозначим Σ = Σ1 + Σ2 + Σ3 , где Σ1 –
стенка, Σ2 – сечения, Σ3 – свободная поверхность. Запишем уравнение
изменения количества движения применительно к этому объему [6].
⃗ 𝑉𝑛 𝑑𝑠 = − ∮(𝑝 − 𝑝0 )𝑛⃗ 𝑑𝑠
∮ 𝜌𝑉
Σ
Σ
⃗ – вектор скорости, 𝑉𝑛 – нормальная
Здесь 𝜌 – плотность жидкости, 𝑉
скорость, 𝑛⃗ – внешняя нормаль, 𝑝 и 𝑝0 – давления в жидкости и в
окружающей среде соответственно, 𝑑𝑠 – элемент длины контура Σ.
Сила, действующая на стенку со стороны жидкости очевидно равна
𝑅⃗ = ∫(𝑝 − 𝑝0 )𝑛⃗ 𝑑𝑠.
Σ1
22
Так как всюду на струях 𝑝 = 𝑝0 , то
⃗ 𝑉𝑛 𝑑𝑠 = −𝑅⃗.
∫ 𝜌𝑉
Σ3
Но 𝑉𝑛 = 0 всюду на границах контрольного объема за исключением сечений,
проведенных в точках 𝐼, 𝐿 и 𝑅. Тогда
⃗ 𝑉𝑛 𝑑𝑠 + ∫ 𝜌𝑉
⃗ 𝑉𝑛 𝑑𝑠 + ∫ 𝜌𝑉
⃗ 𝑉𝑛 𝑑𝑠.
−𝑅⃗ = ∫ 𝜌𝑉
𝐼𝐼 ′
𝐿𝐿′
𝑅𝑅 ′
Имеем:
⃗ = −𝑉0 cos 𝛼0 𝑖−𝑉0 sin 𝛼0 𝑗, 𝑉𝑛 = −𝑉0 ;
В точке 𝐼: 𝑉
В точке 𝐿: 𝑉0 cos(𝛼𝜋) 𝑖−𝑉0 sin(𝛼𝜋) 𝑗, 𝑉𝑛 = 𝑉0 ;
В точке 𝑅: 𝑉̅ = 𝑉0 𝑖, 𝑉𝑛 = 𝑉0 .
Поэтому
−𝑅⃗ = 𝜌𝑉02 cos 𝛼0 ℎ 𝑖 + 𝜌𝑉02 sin 𝛼0 ℎ 𝑗 + 𝜌𝑉02 cos(𝛼𝜋) ℎ𝐿 𝑖 + 𝜌𝑉02 sin(𝛼𝜋)ℎ𝐿 𝑗
+ 𝜌𝑉02 ℎ𝑅 𝑖.
Или
𝑅𝑥 = 𝜌𝑉02 (cos 𝛼0 ℎ + cos(𝛼𝜋) ℎ𝐿 + ℎ𝑅 ); 𝑅𝑦 = 𝜌𝑉02 (sin 𝛼0 ℎ + sin(𝛼𝜋)ℎ𝐿 )
𝐶𝑥 =
2𝑅𝑥
𝜌𝑉02 ℎ
𝐶𝑦 =
= 2 cos 𝛼0 + 2 cos(𝛼𝜋)
2𝑅𝑦
𝜌𝑉02 ℎ
ℎ𝐿
ℎ
= 2 sin 𝛼0 + 2 sin(𝛼𝜋)
+2
ℎ𝑅
ℎ
ℎ𝐿
ℎ
(2.11)
Формула (2.11) позволяет подсчитать коэффициент гидродинамической
силы 𝑅⃗, если известны ℎ, ℎ𝐿 , ℎ𝑅 , 𝛼, 𝛼0 .
Теперь запишем уравнение моментов количества движения:
⃗ )𝑉𝑛 𝑑𝑠 = − ∮(𝑟 × 𝑝𝑛⃗)𝑑𝑠,
∮ 𝜌(𝑟 × 𝑉
Σ
Σ
где 𝑟 = (𝑥, 𝑦) – радиус-вектор текущей точки интегрирования. Так как задача
⃗ ) и (𝑟 × 𝑃𝑛⃗) будем
плоская, то под векторным произведением (𝑟 × 𝑉
понимать проекции этого векторного произведения на ось 𝑧.
23
Искомый момент
𝑀 = ∫ 𝑟 × 𝑛⃗(𝑝 − 𝑝0 ) 𝑑𝑠.
Σ1
Заметим, что на струях 𝑝 = 𝑝0 , получаем
⃗ )𝑉𝑛 𝑑𝑠 = −𝑀.
∫ 𝜌(𝑟 × 𝑉
Σ3
Учитываем, что 𝑉𝑛 = 0 всюду, кроме сечений в точках 𝐼, 𝐿 и 𝑅. Тогда
⃗ )𝑉𝑛 𝑑𝑠 + ∫ 𝜌(𝑟 × 𝑉
⃗ )𝑉𝑛 𝑑𝑠 + ∫ 𝜌(𝑟 × 𝑉
⃗ )𝑉𝑛 𝑑𝑠.
−𝑀 = ∫ 𝜌(𝑟 × 𝑉
𝐼𝐼 ′
𝐿𝐿′
𝑅𝑅 ′
Проведем оси струй в удаленных точках 𝐼, 𝐿 и 𝑅. Обозначим через 𝛿𝐼 , 𝛿𝐿
и 𝛿𝑅 расстояния этих осей до начала координат. Знак 𝛿𝐼 совпадает со знаком
алгебраического момента вектора 𝑣𝐼 = −𝑣0 𝑒 𝑖𝛼0 по отношению к началу
координат. Знак 𝛿𝐿 определяется также, то есть совпадает
со знаком
алгебраического момента вектора 𝑣𝐿 = −𝑣0 𝑒 (𝑖𝛼𝜋−𝜋) , направленного по лучу
𝐴𝐿.
После вычисления интегралов получим
𝑀 = 𝜌𝑉02 (𝛿𝐼 ℎ − 𝛿𝐿 ℎ𝐿 − 𝛿𝑅 ℎ𝑅 ).
𝐶𝑚 =
2𝑀
𝜌𝑉02 ℎ2
(2.12)
Формула (2.12) позволяет найти коэффициент момента действующего на
стенку.
24
§3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Для проведения расчетов разработан алгоритм и составлена программа
для ЭВМ на языке Fortran.
Проведено несколько серий расчетов для
построения формы границ струи. Во всех расчетах полагалось 𝑣∞ = 1, ℎ = 1.
В первой серии расчетов, носившей тестовый характер, рассмотрен
вышеупомянутый частный случай
при 𝛼 = 1 (рис. 15). Результаты,
полученные в первой главе при помощи аналитического решения (1.7)
(показано линиями), полностью совпали с решением (2.6) (показано
точками).
Рис. 15
𝛼0
𝐶𝑦
𝐶𝑥
𝐶𝑚
𝜋/2 0.00000 1.00000 0.00000
𝜋/3 0.00000 0.86603 -1.70427
𝜋/6 0.00000 0.50000 -2.31792
Во второй серии расчетов для построения картины натекания струи
жидкости на угол будем интегрировать (2.5) численно. Для проведения
численных расчетов в программе Fortran использовали
25
подпрограмму
DQDAGS, которая использует адаптированную схему, уменьшающую
абсолютную ошибку. Подпрограмма делит отрезок [a,b] на подынтервалы и
использует 21-точное правило Гаусса-Крондрода для оценки интеграла на
каждом
подынтервале.
Оценка
ошибки
на
каждом
подынтервале
выполняется путем сравнения результата с величиной, получаемой 10точным квадратурным правилом Гаусса.
Рис. 16. 𝛼0 =
𝛼0
2𝜋
3
,
𝜋
,
2
𝜋
; 𝛼=
6
𝐶𝑦
𝐶𝑥
5𝜋
4
; 𝑙 = −1.
𝐶𝑚
2𝜋/3 0.07132 0.68846 3.42819
𝜋/2
0.10280 0.62837 1.85487
𝜋/6
0.23192 -0.1768 -1.23693
26
Рис. 17. 𝛼0 =
𝛼0
2𝜋
3
,
𝜋
; 𝛼=
3
𝐶𝑦
𝐶𝑥
7𝜋
4
; 𝑙 = −0,5
𝐶𝑚
2𝜋/3 0.41615 0.66358 2.31748
𝜋/3
1.22910 0.21202 -1.09118
27
𝜋
𝜋
Рис. 18. 𝛼0 = 2 ; 𝛼 = 2 ; 𝑙 = 2, 1, −1
𝑙
𝐶𝑦
𝐶𝑥
𝐶𝑚
−1
0.68239 1.31761 3.44797
1
0.81761 1.18239 3.06817
2
0.96161 1.03839 2.49595
28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Решена задача о натекании струи жидкости на угловую пластинку.
В частном случае, при котором угол – развернутый, численное решение
полностью совпало с аналитическим, полученным в настоящей работе.
С помощью интегральных теорем найдены сила и момент, действующие на
пластинку. Проведены числовые расчеты, демонстрирующие влияние
наклона струи и сдвига ее оси на геометрию течения и силовые
характеристики.
29
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Franc, J.-P. Michel, J.-M. 2004 Fundamentals of Cavitation. Fluid Mechanics
and its Applications, vol. 76, Kluwer Academic.
2. Alexey G.Terentiev, Ivan N.Kirschner, James S.Uhlman.
The hidrodinamics of cavitating flow, 2011 Backbone Publishing Company.
3. Маклаков
Д.В.
О
натекании
струи
на
стенку
произвольной
конфигурации, 2014
4. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536с.
5. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного
переменного. М.: Наука, 1973. 736с.
6. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. М.: Наука, 1973. 584с
30