Неопределенный интеграл и его свойства. Определение 1

Неопределенный интеграл и его свойства.
Определение 1.: Функция F(x) называется
первообразной для функции ƒ(x) на
некотором отрезке [a,b], если для всех из
этого отрезка выполняется равенство:
F'(x)= ƒ(x).
Пример: F(x)=cos(x)+C; ƒ(x)=sin(x);
Теорема1. Если F1(x) и F2(x) какие-либо
первообразные для функции ƒ(x) на отрезке
[a,b], то выполняется соотношение:
F1(x) – F2(x) = C;
Замечание: из теоремы следует, что, если
F(x) первообразная для ƒ(x), то (F(x)+С ) тоже
первообразная.
Определение 2.: Совокупность
первообразных, т.е. (F(x)+С), для ƒ(x) на [a,b]
называется неопределенным интегралом от
f(x) и обозначается:
∫ ƒ(x) dx = F(x) + C,
причем F'(x) = ƒ(x),
ƒ(x) – называется подынтегральной функцией;
ƒ(x)dx – называется подынтегральным
выражением;
Свойства неопределенного интеграла:
1. (∫ƒ(x)dx)' = ƒ(x);
2. d ∫ƒ(x)dx = ƒ(x)dx;
3. ∫d F(x) = F(x) + C;
4. ∫(ƒ1(x)+ ƒ2(x))dx = ∫ƒ1(x)dx + ∫ƒ2(x)dx.
5. ∫k·ƒ(x)dx = k·∫ƒ(x)dx, где k – постоянный
множитель.
6. Формулы интегрирования не меняет свой
вид при подстановке вместо независимой
переменной x некоторой функции u(x), т.е.
если ∫ƒ(x)dx = F(x) + C;
∫ƒ(u)du = F(u) + C;
Замена переменной в неопределенном
интеграле (метод подстановки).
Теорема.: Пусть функция x = φ(t) – строго
монотонная и непрерывно дифференцируемая
на некотором интервале функции φ(t). Если
функция ƒ(x) интегрируема на
соответствующем интервале изменений x, то
имеет место равенство:
∫ ƒ(x)dx = ∫ ƒ(φ(t))·φ'(t)dt
Определени1: Если функция ƒ(x) непрерывна
на отрезке [a,b], то существует
неопределенный интеграл ∫ ƒ(x)dx, а функция
ƒ(x) в этом случае называется
интегрируемой.
Интегрирование по частям.
Пусть U(x) и V(x) дифференцируемые
функции на некотором интервале, известно,
что
d(UV) = U ∙ dV + V ∙ dU.
Проинтегрируем это равенство:
∫d(UV) = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;
UV = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;
∫U ∙ dV = UV - ∫V ∙ dU – формула
интегрирования по частям.
Замечание: классы функций интегрируем по
частям.
I класс – это интегралы вида:
∫ Pn(x) · eax dx;
∫ Pn(x) · sin(a·x) dx;
∫ Pn(x) · cos(a·x)dx , где Pn(x) – это
многочлен первой степени, в этом случае U
= Pn(x);
II класс – это интегралы вида:
1.∫ Pn(x) · ln(a·x) dx;
2.∫ Pn(x) · arcsin(x) dx;
3.∫ Pn(x) · arctg(x) dx , где в качестве 1.U =
ln(a·x); 2.U = arcsin(x); 3.U = arctg(x);
Интегрирование рациональных дробей.
Дробь вида: Pn(x) = A0 xn + A1 xn-1 + … +
An-1 x + An называется рациональной
Qm(x) B0 xn + B1 xn-1 + … + Bn-1 x + Bn
дробью или дробно-рациональной
функцией.
Если степень числителя меньше степени
знаменателя (n<m), то дробь называется
правильной, в противном случае (n≥m)
называется не правильной.
В случае не правильной дроби, ее можно
представить в виде суммы некоторого
многочлена и правильной рациональной
дроби.
Pn(x) = Mk(x) + Tk(x)
Qm(x)
Qm(x)
Теорема1: Если в правильной рациональной
дроби знаменатель разложен в виде
произведения линейных двучленов и
квадратных трехчленов, не имеющих
действительных корней:
Правило интегрирования рациональных
дробей:
1. Если дробь неправильная, то надо выделить
целую часть
2. Знаменатель дроби разложить на
множители, то есть представить в виде
двучленов первой степени и квадратных
трехчленов, не имеющих действительных
корней. И разложить правильную дробь на
элементарные дроби по указанной выше
схеме.
3 Интеграл от рациональной дроби взять как
сумму интегралов от целой части и от
элементарных дробей.
Интегрирование иррациона
функций.
I. Интеграл вида R(X,((ax+b)/(cx+
R(X,((ax+b)/(cx+d))(1/n)) - рационал
функция относительно x и ((ax+b)
подстановкой (ax+b)/(cx+d)=tn св
интегралу от рациональной функц
относительно t.
II. Интегралы от дифференцирова
биномов (биномиальный диффере
Определение : xm(a + bxn)P dx – на
дифференциальным биномом.
Академик Чебышев доказал, что ∫
dx выражается через элементарны
трех случаях:
1) если P-целое, то следует сделат
подстановку
(x)λ=t, где λ – общий знаменатель
n.
2)P – не целое, (m+1)/n - целое, то
a+bxn=ts, где s – знаменатель P.
3) P+(m+1)/n- целое, тогда замена
ax–n + b = tS , где s – знаменатель P
В остальных случаях интеграл не
III. Тригонометрические подстано
R(X,(a2-x2)(1/2) ))
а) Интеграл вида ∫R(X,(a2-x2)(1/2) )d
подстановкой x = a∙sin(t) сводится
от рациональной функции относит
и cos(t).
б) интеграл вида ∫R(X,(a2-x2)(1/2) )d
подстановкой x= a∙ sec(t) сводится
от рациональной функции относит
и cos(t).
в) интеграл вида ∫R(X,(a2-x2)(1/2) )d
подстановкой x = a∙tg(t) сводится
от рациональной функции относит
и cos(t).
Интегрирование тригонометрич
функций.
I. Интеграл вида ∫R(sinx;cosx)dx, г
cos(x)) – это рациональная функци
относительно sin(x) и cos(x) подст
tg(x/2) = t сводится к интегралу от
рациональной функции относител
Такая подстановка называется
универсальной, т.е. она пригодна
вычислений интеграла sin(x) и co
II. Интеграл вида ∫(sinmx)*(cosnx)d
m и n – положительные, одно из н
Пусть m=2p+1 , тогда ∫sin2p(x)cosn
= – ∫(sin2x) p cosn(x) d(cos(x)) =
= – ∫(1 –cos2x) p cosn(x) d(cos(x)).
II.случай. m и n – целые, положит
четные.
Пусть m=2p, n=2q, тогда
∫sinm(x)cosn(x)dx = ∫sin2p(x)cos2q(x)d
p(cos2x) qdx =((1-cos2x)/2)p*((1+cos
Возводя скобки в соответствующи
разбивая интеграл на сумму интег
результате получаем интегралы ли
либо типа б).
III.случай. m + n = –2k; tg(x)=t; ct
Интегралы, не выражающиеся
элементарные функции (не беру
1. ∫R(x,(pn(x))(1/2))dx, где Pn(x) – м
ой степени; не берется, если n выш
степени; при n = 2,3,4.. – интеграл
эллиптического типа.
2. ∫e-x2dx- интеграл Пуассона.
3. ∫sinx2dx; ∫cosx2dx;- интегралы Ф
4. ∫(ln(x))(-1)dx и сводящийся к нем
интегральный логарифм.
5. ∫(sin(x)/x)dx; ∫(cos(x)/x)dx; - инте
синус, интегральный косинус.