5. Список используемой литературы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Кемеровский государственный университет»
Кафедра теоретической физики
Учебно-методический комплекс по дисциплине
Физика фононов
для направления 011200.68 Физика
Кемерово 2011
1
СОГЛАСОВАНО:
СОГЛАСОВАНО:
Декан физического факультета
Проректор
по учебно-организационной работе
Т. Н. Семенкова
/Ф. В. Титов
/
( Ф.И.О. )
от «
»
( Ф.И.О. )
201___г.
от «
УМК обсужден и одобрен на заседании
Ученого совета физического факультета
Председатель Ученого совета
/ Ф. В. Титов
УМК обсужден и одобрен
научно-методическим советом КемГУ
Председатель НМС
Т. Н. Семенкова
/
/ Ф.И.О. /
Протокол №
от «
»
( Ф.И.О. )
Протокол №
от «
»
201___г.
ОБСУЖДЕНО:
201___г.
РАССМОТРЕНО:
УМК обсужден и одобрен на заседании
кафедры теоретической физики
УМК обсужден и одобрен методической
комиссией физического факультета
Зав. кафедрой
/А. С. Поплавной
/
Председатель методической комиссии
/М. Л. Золотарев
(Ф.И.О.)
Протокол №
от «
»
201___г.
»
201___г.
/
(Ф.И.О. )
Протокол №
от «
»
201___г.
2
СОДЕРЖАНИЕ
Рабочая программа
Методические указания для преподавателей
Методические рекомендации** по изучению дисциплины для студентов
- по организации самостоятельной работы
- по освоению лекционного материала, подготовке к лекциям
- по подготовке к практическим занятиям
- по подготовке к контрольной работе и т.д.
Учебно-методические материалы
- конспект лекций
Контрольно-измерительные материалы
- тестовые задания
- варианты контрольных работ
Приложения***
*
(стр.)
4
12
12
12
12
12
13
13
46
50
54
3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
“Кемеровский государственный университет” (КемГУ)
Физический факультет
Кафедра теоретической физики
УТВЕРЖДАЮ
Декан физического факультета
________________Ф. В. Титов
“__”________________ 20__г.
Рабочая программа дисциплины
Физика фононов
Направление подготовки
011200.68 Физика
Магистерская программа
«Физика конденсированного состояния вещества»
Квалификация (степень) выпускника
Магистр
Форма обучения
очная
Кемерово
2011 г.
4
1. Цели освоения дисциплины
1. Целями освоения дисциплины «Физика фононов» является формирование базовых
знаний в области физики колебательных состояний молекул, кластеров, кристаллов и
является фундаментальной составляющей в подготовке по программе «Физика
конденсированного состояния». Помимо фундаментального значения, «Физика фононов»
является основой для многих прикладных направлений, технологий, благодаря чему его
изучение необходимо как будущим научным работникам, преподавателям, так и
практическим специалистам.
Задачи дисциплины:
• Изучение основных приближений первопринципных расчетов, реализованных в
современных программных продуктах и принципов высокопроизводительных
вычислений;
• Уметь выполнять компьютерное моделирование колебательных свойств молекул с
использованием пакета Gamess;
• Уметь выполнять компьютерное моделирование колебательных свойств твердых тел
с использование пакетов Abinit, Crystall;
• Формирование представлений об использовании современных программных
продуктов для прогнозирования свойств материалов.
2. Место дисциплины в структуре ООП магистратуры
«Физика фононов» представляет собой дисциплину профессионального цикла
вариативной части (M2 ДВ3). Дисциплина «Физика фононов» базируется на курсах цикла
дисциплин естественнонаучных и профессиональных дисциплин (Б2 и Б3), входящих в
модули математика и теоретическая физика соответственно, а также на дисциплины
общенаучного цикла базовой и вариативной частей (М1 В3 и М1 ДВ2) и профессионального
цикла (М2 В1). Студенты, обучающиеся по данному курсу должны знать основы
математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, векторного и
тензорного анализа, физики конденсированного состояния, основы механики сплошных
сред, теории групп, теории симметрии в физике, методы электронной теории твердого тела
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
«Физика фононов»:
1. способность свободно владеть фундаментальными основами физики, необходимыми для
решения научно-исследовательских задач (в соответствии со своей магистерской
программой) (ПК-1):
 Знать: 1. основные методы решения задач в области физики колебательных
состояний молекул; 2. классические методы теоретического исследования
колебательных состояний кристаллов; 3. элементы феноменологической теории
упругости, связь с динамикой кристаллической решетки;
 Уметь: 1. соотносить возможности программного обеспечения и поставленных
задач. 2. задавать необходимые в программах параметры для моделирования
колебательных свойств. 3. вычислять термодинамические и механические
характеристики молекул, кластеров и кристаллов.
 Владеть: 1. навыками для применения специализированных программных пакетов
в области физики колебательных состояний; 2. методами теоретико-группового
исследования физических свойств кристаллов.
2. Способность использовать знания современных проблем физики, новейших
достижений физики в своей научно-исследовательской деятельности (ПК-2).
 Знать: 1. современные подходы к решению задач в области физики колебательных
состояний кристаллов;
 Уметь: 1. активно и целенаправленно применять полученные знания, навыки и
умения при выполнении индивидуальной научно-исследовательской работы.
5
 Владеть: 1. методами обработки полученных данных, а также визуализации
результатов работы с применением современного программного обеспечения;
4. Структура и содержание дисциплины «Физика фононов»
Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы (72 час.), из которых 36
часов – аудиторные занятия и 36 часов – самостоятельная работа; учебное время
распределено в течение 1 семестра.
4.1. Объём дисциплины и виды учебной работы (в часах)
4.1.1. Объём и виды учебной работы (в часах) по дисциплине в целом
Вид учебной работы
Общая трудоемкость базового модуля
дисциплины
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Семинары
Самостоятельная работа
В том числе:
реферат
Индивидуальные работы
Вид промежуточного контроля
Всего часов
72
36
18
18
36
28
контрольная работа, защита 2
индивидуальных работ
2 (зачет)
Вид итогового контроля зачёт
Виды учебной работы, включая
самостоятельную работу
студентов и трудоемкость (в
часах)
Общая
трудоёмкость
(часах)
Раздел
Дисциплины
Неделя семестра
№
п/
п
Семестр
4.1.2. Разделы базового обязательного модуля дисциплины и трудоемкость по
видам занятий (в часах)
Учебная работа
всег
о
лекции
Практ.
1
Гармонически 3
е колебания
молекул
1-2
2
2
2
Общая теория
динамики
решетки в
гармоническо
м
3-6
4
4
3
Формы
текущего
контроля
успеваемост
и (по
В.т.ч.
Само
неделям
активн стоят
семестра)
ых
ельна
Форма
форм
я
промежуточ
работ
ной
а
аттестации
(по
семестрам)
1
12
Защита
индивидуаль
ной работы
№1
2
6
6
приближении
3
4
5
Элементы
3
феноменологи
ческой теории
упругости
Некоторые
3
приложения
общей теории
колебаний
решетки
Расчет
3
динамики
решетки
кристаллов из
первых
принципов.
Всего за
семестр
Контр.
работа
7-9
4
2
1
6
10,
11,
18
4
2
1
2
1217
4
8
4
10
Защита
индивидуаль
ной работы
№2
18
18
36
зачет
4.2 Содержание дисциплины
Содержание лекций базового обязательного модуля дисциплины
№
Наименование раздела Содержание раздела дисциплины
дисциплины
1. Гармонические
колебания молекул
2-3. Общая теория
динамики решетки в
гармоническом
приближении
4-5. Элементы
феноменологической
теории упругости
6-7. Некоторые приложения
общей теории
колебаний решетки
Результат
обучения,
формируемые
компетенции
Нахождение частот колебаний молекул в ПК-1
гармоническом приближении, расчет
Знать:1
термодинамических функций
Уметь:1,2
Владеть:2
Уравнение движения кристаллической
решетки в гармоническом приближении,
свойства силовых констант, механика
пространственной решетки
Тензор деформации, тензор напряжения,
закон Гука, свойства упругих
постоянных, упругие волны, связь с
динамикой кристаллической решетки
Неустойчивость одномерных и
двумерных кристаллов. Модели для
вычисления дисперсионных кривых
фононов. Колебания решетки в
приближении парного межатомного
взаимодействия. Особенности динамики
ОЦК решетки. Термодинамика
фононной подсистемы кристаллов.
ПК-1
Знать:2
Уметь:1,2
Владеть:2
ПК-1
Знать:3
Уметь:1,2
Владеть:2
ПК-1
Знать:2
Уметь:2,3
Владеть:2
7
8-9. Расчет динамики
решетки кристаллов из
первых принципов.
Многочастичная теория динамики
решетки. Метод функционала плотности
и динамика решетки. Метод линейных
МТ-орбиталей для расчета зонной
структуры. Вариационная теория
линейного отклика.
ПК-1
Уметь: 2
Владеть: 3
ПК-2
Знать:1
Содержание практических занятий базового обязательного модуля дисциплины
№
Наименование
раздела
дисциплины
1 Гармонические
колебания
молекул
2,3 Общая
теория
динамики
решетки
в
гармоническом
приближении
4 Элементы
феноменологичес
кой
теории
упругости
5,6 Расчет динамики
решетки
кристаллов из
первых
принципов.
7,8 Расчет динамики
решетки
кристаллов из
первых
принципов.
9 Некоторые
приложения
общей теории
колебаний
решетки
Содержание раздела дисциплины
Расчет
частот
колебаний
молекул,
термодинамических
функций
с
помощью
квантово - химической программы Gamess
Нахождение вида матриц силовых постоянных,
расчет фононного спектра в гармоническом
приближении
Результат
обучения,
формируем
ые
компетенци
и
ПК-1
Знать:1
Уметь:1-3
Владеть:1,2
ПК-2
Уметь:1
Владеть:1
ПК-1
Знать:2
Уметь:1,2
Владеть:2
Нахождение вида тензора упругих постоянных, ПК-1
решение задачи о распространении упругих волн Знать:3
в кристалле
Уметь:1,2
Владеть:2
Вычисление фононного спектра кристаллов в ПК-1
точке Г с помощью программы Crystal 09
Уметь:1,2
Владеть:1,2
ПК-2
Знать:1
Уметь:1
Владеть:1
Вычисление фононного спектра кристаллов с ПК-1
помощью программы Abinit
Уметь:1,2
Владеть:1,2
ПК-2
Знать:1
Уметь:1
Владеть:1
Вычисление термодинамических характеристик ПК-1
кристаллов на основе фононной плотности Знать:3
состояний,
вычисление
механических Уметь:1-3
характеристик кристаллов.
Владеть:1
ПК-2
Уметь:1
Владеть:1
8
5. Образовательные технологии:
Лекции, практические занятия, индивидуальные работы, контрольная работа, разбор
конкретных ситуаций, зачет.
При реализации программы дисциплины Компьютерные технологии в науке и
производстве используются различные образовательные технологии – во время аудиторных
занятий (80 часов) занятия проводятся в виде лекций и практических занятий в
образовательно-теоретическом модуле лаборатории прикладных исследований и разработок
физического факультета КемГУ с использованием специальных и вычислительных
программ. Часть занятий посвящена разбору конкретных ситуаций, а самостоятельная
работа студентов подразумевает работу под руководством преподавателей (консультации и
помощь в написании рефератов и при выполнении практических работ) и индивидуальную
работу студента в образовательно-теоретическом модуле лаборатории прикладных
исследований и разработок физического факультета КемГУ.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные
средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины.
6.1. Примерные темы рефератов по разделам дисциплин
Не предусмотрено
6.2. Контрольные вопросы и задания для промежуточной аттестации по
итогам освоения дисциплины
В течение преподавания курса Физика фононов в качестве форм текущей аттестации
студентов используются такие формы, контрольная работа, 2 индивидуальные работы. По
итогам обучения в семестре проводится зачет.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Задания к контрольной работе:
Найти вид матрицы силовых постоянных для первых соседей гранецентрированной
кубической решетки
Найти вид матрицы силовых постоянных для вторых соседей простой кубической
решетки
Найти вид матрицы силовых постоянных для третьих соседей простой кубической
решетки
Найти вид матрицы силовых постоянных для вторых соседей объемно-центрированной
кубической решетки
Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов ромбической сингонии
Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов тетрагональной сингонии
   
Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   , ,0  ,
a a 
            
k   , ,  , k   0, ,0  , k   ,0,  для кристаллов ромбической системы
 a 
a a
a a a
   
Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   , ,0  , для
a a 
кристаллов тетрагональной системы
    
Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   , ,  для
a a a
кристаллов кубической сингонии
9
10. Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти
 1   
 1  
 1  
1  
частоты ω в точках L  b1  b2  b3 , X  b1  b2  , W  b1  b2   b2  b3  .
2
2
4
2
11. Для объемноцентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти
 1   
 1  1   
частоты ω в точке P  b1  b2  b3  , N  b3 , L  b1  b2  b3 
4
2
2
1.
2.
3.
1.
2.
Задание к индивидуальной работе №1
Для молекулярных структур провести теоретико-групповой расчет
колебаний
найти частоты колебаний атомов
вычислить термодинамические характеристики
(MNO3, N6, NO3- в различной симметрии, кластеры CuInSe2, MgO, NaCl)
симметрии
Задание к индивидуальной работе №2
Представить вычисленный фононный спектр кубических кристаллов и описать его
особенности.
Представить вычисленные термодинамические характеристики кубического кристалла.
(Кристаллы MCl, MO, MF2)
Вопросы к зачету.
1. Нахождение частот колебаний молекул в гармоническом приближении.
2. Расчет термодинамических функций молекул.
3. Гармоническое приближение, разложение потенциальной энергии.
4. Уравнение движения кристаллической решетки в гармоническом приближении
5. Свойства силовых констант
6. Динамика кристаллической решетки. Общая теория.
7. Тензор деформации, тензор напряжения.
8. Закон Гука.
9. Свойства упругих постоянных.
10.Вычисление механических характеристик кристаллов.
11.Упругие волны.
12.Связь между микроскопической теорией и теорией упругости.
13.Модели для вычисления дисперсионных кривых фононов.
14.Колебания решетки в приближении парного межатомного взаимодействия.
15.Вычисление термодинамических характеристик кристаллов на основе фононной
плотности состояний.
16.Возможности программных пакетов Gamess, Abinit, Crystall
17.Структура входных файлов программных пакетов Gamess, Abinit, Crystall
1.
2.
3.
4.
5. Список используемой литературы
а) основная литература:
Гуревич А.Г. Физика твердого тела. / СпБ: Невский диалект, БХВ-Петербург, 2004. – 318
с.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости. / изд. 5–е,
стер. – М.: Физматлит, 2001 - 259 с. (1987 – 3 экз.)
Зиненко В.И., Сорокин Б.Г., Турчин П.П. Основы физики твердого тела. / М.:
Физматлит, 2001, 335 с.
Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. В 2-х томах/ перевод с английского А.С.
Михайлова, под ред. М.И. Коганова. – М.: Мир, 1979
10
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
В.И. Минкин, Б.Я. Симкин, Р.М. Миняев. Теория строения молекул. / Серия «Учебники
и учебные пособия». Ростов-на Дону: Феникс, 1997-560 с. (1979 – 43 экз.)
Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела, Изд-во «Высшая школа», 2000
б) дополнительная литература:
П. Ю, М. Кардона. Основы физики полупроводников. / Пер. с англ. И.И. Решиной. Под
ред. Захарчени. – 3-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 560 с.
Г. Лебфрид. Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов. /
Пер. с нем. В.С. Оскотского. Под ред. Б.Я. Мойжеса. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. – 312 с.
P. Bruesch. Phonons: Theory and Experiments. I. Lattice Dynamic and Models of Interatomic
Forces. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1982
М. Борн, Х. Кунь. Динамическая теория кристаллических решеток. / Пер. с англ. В.И.
Когана. Под ред. И.М. Лифшица. М: ИЛ, 488 с., 1958.
М.И. Кацнельсон, А.В. Трефилов. Введение в физику твердого тела. / М.: изд-во МГУ,
1984 – 293 с.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
Crystal 06 (http://www.crystal.unito.it/)
Gamess (http://www.msg.chem.iastate.edu/gamess/)
Abinit (http://www.abinit.org/)
Molekel (http://molekel.cscs.ch/wiki/pmwiki.php)
Powder Cell (http://www.ccp14.ac.uk/tutorial/powdcell/)
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Компьютерные технологии в
науке и производстве»
Для материально-технического обеспечения дисциплины Компьютерные технологии в
науке и производстве используется: образовательно-теоретический модуль лаборатории
прикладных исследований и разработок физического факультета КемГУ.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и
ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки 011200 Физика – Современные
проблемы физики и производства.
Автор: Кравченко Н.Г. (доцент кафедры теоретической физики, к.ф.-м.н.)
Рабочая программа дисциплины обсуждена на
заседании кафедры теоретической физики
Протокол № ______ от «______»_______________2011 г.
Зав. кафедрой ________________________Поплавной А.С.
Одобрено методической комиссией физического факультета
Протокол № ______ от «______»_______________2011 г.
Председатель _________________________Золотарев М.Л.
11
Методические указания для преподавателей
1. При подведении рейтинга студента принимаются во внимание следующие позиции:
-посещение и работа студентов на лекционных занятиях;
- работа на практических занятиях (обсуждение теоретических вопросов, выполнение практических
заданий);
- написание контрольной работы и защита индивидуальной работы по предложенной теме.
2. В ходе лекционного занятия преподаватель должен назвать тему, учебные вопросы,
ознакомить студентов с перечнем основной и дополнительной литературы по теме занятия.
Во вступительной части лекции обосновать место и роль изучаемой темы в учебной
дисциплине, раскрыть ее практическое значение.
3. При проведении практического занятия необходимо ознакомиться с новыми
публикациями по теме семинара. Оказывать методическую помощь студентам при
проведении практических занятий и выполнении индивидуальной работы.
Методические рекомендации по изучению дисциплины для студентов
По освоению лекционного материала, подготовке к лекциям:
1. Конспектирование лекций;
2. Работа с лекционным материалом: проработка конспекта лекций, дополнение конспекта
материалами из рекомендованной литературы.
По подготовке к практическим занятиям:
1. Решение задач на практических занятиях;
2. При выполнении индивидуальных заданий пользоваться лекционным материалом,
рекомендуемой литературой, технологией решения задач рассмотренных на практических
занятиях.
По организации самостоятельной работы:
1. Познавательная деятельность во время основных аудиторных занятий;
2. Самостоятельная работа в компьютерных классах под контролем преподавателя в форме
плановых консультаций;
3. Внеаудиторная самостоятельная работа студентов по выполнению домашних заданий
учебного и творческого характера (в том числе с электронными ресурсами);
4. Самостоятельная работа студентов по поиску материала, который может быть
использован для написания рефератов, курсовых и квалификационных работ;
По подготовке к контрольной работе:
1. Проработка лекционного материала;
2. Разбор решений рассмотренных на практике и заданных на дом задач;
3. Самостоятельное решение дополнительных задач, рекомендованных преподавателем, при
подготовке к контрольной работе.
12
Лекционные материалы, материалы практических занятий.
Методы расчета электронной структуры и динамических свойств молекул и кластеров.
Молекулы и кластеры можно рассматривать как систему взаимодействующих
электронов и ядер, для которой можно записать стационарное уравнение Шредингера:
Tя  Tэ  Vээ  Vяэ  Vяя  r, R   E r, R 
(1)
1 n 2
где Tэ     i — кинетическая энергия электронов
2 i
Tя  
1 N 1 2
 — кинетическая энергия ядер

2  M
V яя  
N N
Z Z 
 
N n
R
V яэ  
Z
— энергия притяжения электронов к ядрам;
Ri

n
i
n
i
j
Vээ  
— энергия отталкивания ядер;
1
— энергия отталкивания электронов.
rij
Здесь индексы  и  принадлежат атомным ядрам, а индексы i и j относятся к


электронам, N  число ядер, n – число электронов. Введены обозначения R  R  R ,
 
Ri  ri  R , rij  ri  rj .
То, что волновая функция  r, R  зависит не только от координат электронов, но и от
координат ядер значительно усложняет задачу ее математического поиска. Поэтому в
конкретных расчетах молекулярных свойств стремятся обычно к раздельному рассмотрению
движения ядер и электронов.
Приближение Борна – Оппенгеймера.
Приближение Борна – Оппенгеймера базируется на том, что масса ядра значительно
превышает массу электрона и скорость движения ядер мала по сравнению со скоростью
движения электронов. В результате медленно движущиеся ядра образуют
электростатическое поле, в котором с намного большей скоростью движутся электроны,
успевающие почти мгновенно подстроиться к любому изменению координат ядер. Поэтому
в первом приближении можно считать ядра атомов фиксированными и рассматривать только
движение электронов. Тогда полная волновая функция молекулы ( r, R ) может быть
выражена в виде произведения электронной э ( r, R ) и ядерной я (R ) функций:
( r, R)  э ( r, R)я ( R) .
(2)
Координаты ядер R входят в э ( r, R ) в качестве параметров.
Обозначим
H э  Tэ  Vээ  Vяэ  Vяя
(3)
H я  Tя
(4)
Электронная функция э ( r , R ) определяется как собственная функция для оператора
Hэ :
H э э (r , R)  E э э (r , R)
(5)
где Eэ  электронная энергия, обусловленная движением n электронов в поле N ядер
молекулы, плюс энергия взаимодействия между ядрами V яя .
13
Уравнение для определения я имеет вид:
(6)
( H я  Eэ )я  Eя .
Приближение (2) является весьма существенным для квантовой химии, его называют
приближением Борна – Оппенгеймера или простым адиабатическим приближением.
Для случая устойчивых многоатомных молекул существует простой критерий
применимости адиабатического приближения:
h
(7)
 1 ,
э
En  Emэ
где ν — наибольшая из частот малых колебаний ядер вблизи точки равновесия, E nэ и
Emэ — энергия двух соседних электронных состояний. Критерий (7) обычно выполняется
для многих молекул, вследствие этого расчёты различных физических характеристик
молекул позволяют получить данные, хорошо согласующиеся с экспериментальными
результатами.
Одноэлектронное приближение.
Уравнение (5) соответствует все еще очень сложной задаче многих тел. Точно решить
ее пока невозможно, и для ее упрощения используется одноэлектронное приближение. В
рамках последнего волновые функции системы электронов в кристалле представляются в
виде «детерминантных волновых функций», т.е. в виде антисимметризованных
произведений волновых функций отдельных электронов («одноэлектронных функций»).
Состояние, описываемое этим детерминантом волновых функций, определяется заданием
всех его одноэлектронных составляющих. С помощью вариационного принципа можно
показать, что лучшие одноэлектронные функции, из которых надо составлять детерминанты,
удовлетворяют уравнениям Хартри-Фока:
H ХФ n ( r )  En n ( r ) ,
(8)
где
ZI
2
(9)
H ХФ  

 Vкул  Vобм ,
2
|
r

R
|
I
I
Vкул ( r )   
j
|  j ( r1 ) |2
| r  r1 |
Vобм ( r )   j ( r ) 
j
dr1 ,
|  *j ( r1 ) n ( r1 )
| r  r1 |
(10)
dr1 .
(11)
В выражениях (8) – (11) интегрирование включает также суммирование по спиновым
переменным. Гамильтониан Хартри – Фока представляет собой одноэлектронный оператор,
зависящий от своих собственных функций, т.е. от функций, составляющих детерминант.
Следует отметить, что в некоторых случаях замена многоэлектронной задачи на
одноэлектронную может оказаться слишком грубым приближением. Так, хорошо известно,
что в приближении Хартри – Фока нельзя получить надежные результаты для полной
энергии основного состояния атомов. Известно также, что это приближение непригодно для
рассмотрения газа свободных электронов. По аналогии с результатами, полученными для
атомов и для газа свободных электронов, можно ожидать, что приближение Хартри – Фока
достаточно хорошо воспроизведет разности энергий между электронными состояниями
системы, хотя энергия каждого состояния в отдельности может получаться и с заметной
ошибкой.
Теория функционала плотности.
Теория функционала плотности основана на теореме Хоэнберга и Кона, согласно
которой все свойства основного состояния неоднородного взаимодействующего
электронного газа могут быть описаны с помощью введения некоторых функционалов от
14
электронной плотности  r  . В этом методе полная энергия Et и электронная плотность
 r  совпадают с аналогичными функциями реальной системы, а все эффекты
межэлектронных взаимодействий описываются некоторым внешним полем.
В теории функционала плотности для системы взаимодействующих электронов,

движущихся во внешнем статическом потенциале Vext r , полная энергия в основном
состоянии является однозначным функционалом плотности [6], и может быть записана в
виде [7]:


1  ( r )   ( r)  


(12)
E   Vext (r )   ( r )dr    
 dr  dr   G  ,
2
r  r
где G[  ] также является функционалом плотности и равен сумме кинетической
энергии невзаимодействующих электронов Ts[  ] и обменно-корреляционной энергии
Exc[  ]:
G[  ]=Ts[  ]+Exc[  ]
(13)
 Как показано в [6], выражение (12) имеет минимум при истинном значении плотности
 (r ) . Полученные уравнения точно определяют распределение электронной плотности и
полную энергию в том случае, если будет точно известен вид функционала Exc[  ].
Функционал Exc[  ] определяется корреляцией движения электронов в пространстве,
которая обусловлена тремя причинами:
1.
Между электронами действуют силы кулоновского отталкивания. Энергия
1
кулоновского взаимодействия между электронами
становится бесконечно большой при
rij
rij  0 , и тогда плотность вероятности того, что два электрона будут находиться в одной и
той же области пространства должна обращаться в нуль. Другими словами, вероятность
того, что электроны будут находиться в тесном соседстве мала. Такой тип корреляции
электронов приводит к существованию так называемой кулоновской или корреляционной
дырки.
2.
Второй тип корреляционных эффектов связан с принципом Паули. При этом
требуется, чтобы вероятность обнаружения двух электронов с одинаковыми спинами в
одной точке пространства была равна нулю. Такой тип корреляции называется фермикорреляцией и приводит к существованию дырки Ферми, что является следствием
обменного взаимодействия.
3.
Третий тип корреляционных эффектов связан с симметрией рассматриваемой
системы. Корреляционные эффекты зависят не только от спиновых, но и от
пространственных свойств симметрии.
Точное определение обменно–корреляционного функционала представляет сложную и
до сих пор не решенную задачу. Существует, однако, ряд хороших приближений для его
определения как для однородных, так и для неоднородных систем. В рамках теории
функционала плотности удалось подвести теоретическую основу под различные модели
обменно– корреляционного потенциала. В частности, приближение Слэтера, являющееся
развитием метода Хартри – Фока, может быть получено в рамках ТФП с
3
2



E xc      ( r )   xc (  ( r ))  dr . Если слейтеровский потенциал взять с множителем , то
2
3
получим потенциал Гаспара-Кона-Шема VGKS .
Обычно в теории функционала плотности эффекты обмена и корреляции учитываются
путем представления обменно-корреляционного потенциала в виде


(14)
Vxc r    re VGKS r  ,
величина re задается выражением
15
1
  3
 3
re r     r  .
(15)
 4

В (14) обменные эффекты заключены в VGKS , а все корреляционные эффекты
определяются множителем  re  .
В общем случае довольно сложно записать выражение для Exc, однако в [7] показано,
что для систем с медленно меняющейся плотностью обменно-корреляционная энергия
может быть представлена в виде:



E xc      ( r )   xc (  ( r ))  dr ,
(16)
где  xc (  ) – обменно-корреляционная энергия, приходящаяся на один электрон,

однородного газа плотности  (r ) .
Из стационарности (12) следует, что
 
(17)
 (r )  dr  0 .
Тогда можно записать [7]:

 T (  )


(18)
 (r ){ (r )  s (r )   xc (  (r ))}  dr  0 ,
d (    xc (  ))
 ( r) 


 xc (  ) 
здесь  ( r )  Vext ( r )      dr  ,
а
– вклад обмена и

d ( r )
r  r
корреляции в химический потенциал однородного газа плотности  .


Далее для заданных (r ) и  xc (  ) можно найти плотность  (r ) и полную энергию
Et , решая самосогласованно одночастичное уравнение Шредингера:
 1 2



  2   Veff r   i ( r )   i  i ( r ) ,
 (r) 





Veff r    ( r )   xc (  ( r ))  Vext ( r )      dr    xc (  ( r )) ,
r  r
(19) где
(20)
N
e
2
 ( r )    i ( r ) ,
(21)
i 1
Ne – число электронов. Множители  i образуют спектр энергий одночастичных
состояний. Таким образом, теория функционала плотности сводит многоэлектронную задачу

к одноэлектронной с эффективным локальным потенциалом Veff r  .
Из (19) следует [8]:
 1

 i    i (r )   2  2   (r )   xc (  )  i (r )  dr 
i
i

 
 
 Ts (  )    ( r )   (r )  dr   xc   ( r )  dr .
(22)
Тогда полная энергия для системы запишется в следующем виде [6]:



Et    n    r ( xc  r    xc  r  
n

z  z 
1  ( r ) 

      dr )  dr   
 .
2 r  r
R

R


 ,
(23)
Последнее слагаемое является результатом вклада взаимодействия остова атома  (ему


соответствует радиус-вектор R ) c остовом атома  (ему соответствует радиус-вектор R ).
В (23) подразумевается суммирование по спиновым переменным.
16
Выбор базисных функций.
Выбором базисных атомных функций в приближении линейной комбинации атомных
орбиталей (ЛКАО) определяется, насколько точно ряд ЛКАО аппроксимирует
молекулярную орбиталь (МО). Этот ряд должен достаточно быстро сходиться, т.е. малое
число атомных орбиталей (АО) должно аппроксимировать МО с требуемой точностью.
Существует три основных критерия для выбора базисных функций:
1.
Базисные функции должны давать в основном хорошее приближение к
истинной волновой функции.
2.
Базисные функции должны допускать аналитическое вычисление
нужных интегралов.
3.
Полное число базисных функций не должно быть очень большим.
Любую непрерывную функцию можно разложить по полному набору функций.
Например, непрерывную функцию одной переменной f (x) можно разложить в ряд по
полиномам Лягерра:
f ( x) 

 cn Ln ( x) .
(24)
n 0
Функцию нескольких переменных также можно разложить по каждому ее аргументу в
такой же ряд:
(25)
f ( x, y, z )   cmnk Lm ( x ) Ln ( y ) Lk ( z ) .
m n
k
Можно использовать такие ряды в разложении молекулярной орбитали. Трудность
состоит в том, что не для всякой функции эти ряды быстро сходятся, т.е. небольшое
количество членов хорошо аппроксимирует функцию f (x) . Для разложения волновой
функции в такой ряд необходимо брать большое число членов (1000 и более), чтобы
получить достаточно хорошие результаты.
Наиболее быстро сходящиеся ряды строятся на базисе атомных орбиталей. Лучшими
атомными функциями являются самосогласованные атомные орбитали, вычисленные Э.
Клементи и Р. Ватсоном путем решения уравнений Хартри – Фока для атомов. Однако эти
функции получаются не в аналитическом виде, а в табличном. Проводить расчеты с
функциями, заданными в числовом виде, крайне трудно и неудобно. В качестве базиса АО
можно использовать слэтеровские орбитали. Однако слэтеровская АО плохо описывает
хартри – фоковскую АО вблизи ядра. В то же время две слэтеровские АО достаточно
хорошо аппроксимируют точную хартри – фоковскую функцию атома, в связи с чем был
предложен весьма распространенный дубль-зета-базис (DZ), где каждая атомная функция
аппроксимируется двумя слэтеровскими функциями с разными экспонентами.
Расчеты можно разделить на два класса: расчеты с минимальным атомным базисом и с
расширенным. Минимальный базисный ряд состоит только из АО внутренних и валентных
оболочек свободных атомов, расширенный базис включает дополнительно атомные
орбитали, не занятые в основном состоянии. Расчеты с минимальным базисом легче, однако
расшиненный базис дает более точные результаты. Основная сложность заключается в
вычислении кулоновских и обменных интегралов, вычисления которых на слэтеровских
функциях чрезвычайно сложны и трудоемки. Для упрощения расчетов Бойс использовал
набор гауссовского типа для аппроксимации каждой слэтеровской АО:
Gnlm  N n ( )r n 1 exp( r 2 )Ylm ( , ) ,
(26)
где N n ( ) – нормировочный множитель;  – варьируемый параметр.
Преимущество такой замены заключается в том, что вычисление интеграла становится
значительно проще. Основной недостаток гауссовских функций в том, что они плохо
отражают поведение АО. Для аппроксимации АО с достаточной точностью необходимо
брать большее число гауссовских АО, чем слэтеровских.
Для улучшения описания молекулярных орбиталей на больших расстояниях от ядра
17
часто используют базисные ряды с включением поляризационных функций.
В настоящий момент доступны стандартные базисы на основе слейтеровских (STO) и
гауссовых (GTO) орбиталей на сайте http://www.emsl.pnl.gov:2080/forms/basisform.html.
Динамика молекул. Гармоническое приближение.
Ядерная волновая функция я (R ) , получаемая из решения уравнения
( H я  э )я  Eя ,
(27)
зависит от 3N переменных R( x1, y1, z1, x2 , y2, z2 ,..., x N , y N , z N ) , из которых только 3N  6
координат относятся к внутренним координатам, а остальные шесть координат описывают
поступательное и вращательное движения молекулы как целой. Оператор H я можно
представить в виде
H я  H якол  H япост  H явращ  H явзаим ,
H якол
где
2

2
3N 6

 ,
a
(28)
2
q q
зависит только от внутренних координат q и является оператором кинетической энергии
молекулы во внутренних координатах; коэффициенты
члены
H япост , H явращ
и
a есть функции от q . Остальные
H явзаим относятся к движению молекулы как целого и
взаимодействию этого движения с колебаниями. Для малых колебаний влияние
вращательного и поступательного движения молекулы на ее колебания мало. Это означает,
что последним членом в уравнении (28) можно пренебречь и ядерную функцию можно
представить как произведение функций, каждая из которых зависит только от
колебательных, поступательных и вращательных координат (степеней свободы), причем
только колебательная функция зависит от внутренних координат:
 я  колпост вращ .
(29)
В этом случае уравнения для каждого из этих движений решаются отдельно и
электронная энергия
Eэ
как функция от внутренних координат входит только в
колебательное уравнение:
( H якол  E э ) кол  E кол кол ;
H япост пост  E пост пост ;
(30)
H явращ  вращ  E вращ вращ .
18
Полная энергия молекулы ― это сумма отдельных ее компонент:
E  E э  E кол  E пост  E вращ .
(31)
Уравнение для колебаний молекулы можно записать в виде:
 2 3N  6

2
э
a

E
(
q
,
q
,...,
q
)

  q q
1 2
3N 6  
2


 
 ,
  кол ( q1, q2 ,..., q3N 6 )  E кол кол .
(32)
Можно ввести новые координаты Q , которые называют нормальными, тогда (32)
распадается на 3N  6 независимых уравнений:
 2  2
1
2
кол кол

 кол

f
Q
 2 M Q 2 2    n (Q )  En n (Q ) ,




(33)
  1,2,...,3N  6 ,
которые
представляют
Собственные значения
собой
E nкол

уравнения
состояний
гармонического
гармонического осциллятора выражаются формулой
Enкол
 h (n  1 / 2) ,

где
осциллятора.
(34)
   ( f / M  )1/ 2 ― частоты нормальных колебаний; n ― колебательные
квантовые числа, принимающие значения 0, 1, 2, … .
Собственные функции гармонического осциллятора имеют вид
1/ 2
  1 / 2

1
кол

n (Q )  


n

2
(
n
)!



 
4 2 M  
где  
;
h
H n
e 1 / 2  Q H n ( 1 / 2Q ) ,
2
(35)
― полином Чебышева – Эрмита степени n относительно
Q . Формула для полной колебательной энергии молекулы имеет вид
E
кол

3N 6

 1
1

h   n   .
2

(36)
Каждому колебательному уровню энергии многоатомной молекулы отвечает свой
набор колебательных квантовых чисел
уровень, для которого все
n отдельных нормальных колебаний. Нижний
n  0 , называют нулевым колебательным уровнем
19
многоатомной молекулы, а энергию, ему соответствующую, ― энергией нулевых колебаний
E0кол
молекулы:

3N  6
 h .
(37)
 1
Таким образом, для того чтобы решить задачу о движении ядер, необходимо
рассчитать (в приближении Борна – Оппенгеймера) ППЭ соответствующего электронного
состояния в окрестности минимума, аппроксимировать эту ППЭ в окрестности минимума
параболоидом (гармоническим потенциалом) и только после этого решать задачу (28) о
колебаниях ядер в молекуле. Несмотря на столь многие допущения, к которым приходится
прибегать в таких расчетах, вычисленные указанным способом частоты (энергии) колебаний
для низших пяти-шести колебательных уровней достаточно хорошо совпадают с
экспериментальными значениями.
Практическое занятие. Исследование электронной структуры, динамики молекулярных
комплексов N6.
0
Возможные комплексы N 6 , представлены на рис. 1. В таблице приведены
равновесные параметры и полная энергия.
Комплекс
R1, Å
R2, Å
R3, Å
1, ˚
2, ˚
Etot, a.e.
N 60 (a)
1.881
1.407
1.407
43.93
68.04
-327.77211
N 60 (b)
1.318
1.318
1.318
120.00
120.00
-328.21776
N 60 (c)
1.233
1.233
1.898
107.19
53.60
-327.99608
N 60 (d)
1.135
1.243
1.446
115.92
172.98
-328.26576
N 60 (e)
1.152
1.173
1.250
180.00
180.00
-328.15523
N 60 (f)
1.131
1.240
1.445
109.36
172.31
-328.27800
N 60 (g)
1.519
1.195
1.468
103.75
46.35
-328.16176
N 60 (h)
1.478
1.478
1.518
60.00
90.00
-328.02723
N 60 (i)
1.519
1.295
2.042
71.84
97.48
-328.10748
N 60 (j)
1.247
1.464
1.496
94.87
110.43
-328.16594
N 60 (k)
1.299
1.502
1.462
105.48
49.13
-328.13036
N 60 (l)
1.179
1.179
2.090
96.70
166.61
-328.23745
N 60 (m)
1.115
1.831
1.329
42.55
158.71
-328.16854
20
R3

1
R1

2
R3
R
2
R2
1
R1
d
R2
1
2
R1
R
2
R3
2
e
R2
R
1
f
1
R3
R3
g
2
R
2

2
R
1 
2
R
3
h
R2
1
1
R

1 1
R
2
R1
R3
l
R2

2
R1
j
m
1 R3

2
R2

2
R1
1
R3

2
i
R3
k
R1
R
3

1
R2
R
3

1
1
c
b
1
R1
R2
2
R1
a

R1 2
R3
R2

2
конфигурации N 60 .
Теоретико-групповой анализ молекулярных комплексов N6
0
1. Структура N 6 (a) имеет группу симметрии D4 h , которая состоит из элементов:
E,
C41 , C42 , C43 , C 2x , C 2y , C2(1) , C2( 2) ,  h , S 41 , S 43 , I ,  zx ,  zy ,  v(1) ,  v( 2 ) . В таблице 11
приведены характеры неприводимых представлений.
Характеры неприводимых представлений группы
A1g
A1u
E
2C4
1
1
1
1
C42 2 C 2 2 C 2
1
1
1
1
1
1
h
2S 4
1
-1
1
-1
D4 h .
2 d
1
1
-1
-1
I
2 d
1
-1
21
A2g
A2u
B1g
B1u
B2g
B2u
Eu
Eg
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
-1
-1
-1
-1
0
0
1
1
1
1
1
1
-2
-2
-1
-1
-1
-1
1
1
0
0
-1
-1
1
1
-1
-1
0
0
1
-1
1
-1
1
-1
2
-2
1
-1
-1
1
-1
1
0
0
1
-1
1
-1
1
-1
-2
2
-1
1
-1
1
1
-1
0
0
-1
1
1
-1
-1
1
0
0
z
N6
N3
a
N2
N1
y
N4
x
N5
D4 h .
Характеры неприводимых представлений группы
A1g
A1u
A2g
A2u
B1g
B1u
B2g
B2u
Eu
Eg
E
2C4
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
0
0
C42 2 C 2 2 C 2
h
2S 4
I
1
1
1
1
1
1
1
1
-2
-2
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
2
-2
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
0
0
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-2
2
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
0
0
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
0
0
2 d
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
0
0
2 d
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
0
0
0
Таблица переходов атомов в структуре N 6 (a)
E
C41 C43
C42
C 2x C 2y
N1
N1
N2 N4
N3
N3
N1
N4
N2
N2
N2
N 3 N1
N4
N2 N4
N3
N1
N3
N3
N4 N2
N1
N1 N 3
N2
N4
C2(1) C2( 2)
22
N4
N4
N1 N 3
N2
N4 N2
N1
N3
N5
N5
N5 N5
N5
N6 N6
N6
N6
N6
N6
N6 N6
N6
N5 N5
N5
N5
h
S 41 S 43
I
 zx  zy
N1
N1
N2 N4
N3
N3
N1
N4
N2
N2
N2
N 3 N1
N4
N2 N4
N3
N1
N3
N3
N4 N2
N1
N1 N 3
N2
N4
N4
N4
N1 N 3
N2
N4 N2
N1
N3
N5
N6
N6 N6
N6
N5 N5
N5
N5
N6
N5
N5 N5
N5
N6 N6
N6
N6
 v(1)  v( 2 )
0
Классификация колебаний структуры N 6 (a)
Сим-ия
кол-ий
A1g
A1u
A2g
A2u
B1g
B1u
B2g
B2u
Eu
Eg
Крат-ть
выр-ия
ч-т
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
Полное
число
кол-ий
2
0
1
2
1
1
1
0
3
2
Тр-ые
кол-ия
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
Оптические
кол-ия
2
0
1
1
1
1
1
0
2
2
Кол-ия
типа
вр-ия
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
В.м-ые
кол-ия
2
0
0
1
1
1
1
0
2
1
Акт-ть в
ИК и КР
спектрах
КР
ИК
КР
КР
ИК
КР
Полученные вектора поляризации имеют вид:
A1g
 0 


 a 
 0 


 a
 0 


 0 


 0 
 a


 0 
 
a 


 0 
 0 


 0 


 0 
 b 


 0 
 0 

 b



A1u
0
 
0
0
 
0
0
 
0
 
0
0
 
0
 
0
 
0
0
 
0
 
0
0
 
0
0

0

 
A 2g
 c 


 0 
 0 


 0 
 c 


 0 


 c
 0 


 0 

0 


 c
 0 


 0 


 0 
 0 


 0 
 0 

 0 



A 2u
0
 
0
d 
 
0
0
 
d 
 
0
0
 
d 
 
0
 
0
d 
 
0
 
0
e
 
0
0

e

 
B1g
 f

 0
 0

 0
 f

 0

 f
 0

 0

0

 f
 0

 0

 0
 0

 0
 0

 0






























23
B1u
 0 


 0 
 g 


 0 
 0 


 g 


 0 
 0 


 g 

0 


 0 
 g 


 0 


 0 
 0 


 0 
 0 

 0 



B 2g
 0 


 h 
 0 


 h 
 0 


 0 


 0 
 h


 0 

 h


 0 
 0 


 0 


 0 
 0 


 0 
 0 

 0 



B 2u
Eg
 0 


 0 
 m 


 0 
 0 


 m 


 0 
 0 


m

0 


 0 
  m 


 n 


 p 
 0 


 n 
 p


 0 


2. Структура N 6 (b) имеет группу симметрии
N3
D6h , которая состоит из элементов: E , C 61 , C 62 , C63 ,
N2
N4
x
C 64 , C65 , C 2(1) , C2( 2) , C2(3) , C2( 4) , C2(5) , C2( 6) ,  v(1) ,
 v( 2 ) ,  v( 3) ,  v( 4 ) ,  v( 5) ,  v( 6 ) ,  h , S 61 , S 62 , I , S 64 , S 65 .
z
N1
N5
A1g
B1u
A2g
A2u
B2u
B2g
B1u
B1g
E1u
E1g
E2g
E2u
E u
 i 
 
 j
0
 
 i 
 j 
 
0
 
 i 
 j
 
0
 
i
 
 j 
0
 
k
 
 l 
0
 
k
 l 

0

 
0
y
N6
0
 
0
0
 
0
0
 
0
 
0
0
 
0
  
0
 
0
0
 
0
 
0
0
 
0
0

0

 
Характеры неприводимых представлений группы
D6h .
b
E
C 61 C65
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
-1
-1
C 62 C 64
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
C63
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
-2
-2
2
2
C 2(1) C2(3) C2(5)
1
1
-1
1
1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
0
0
0
0
-1
-1
-1
1
1
0
0
0
0
-1
-1
-1
1
1
0
0
0
0
C2( 2) C2( 4) C2( 6)
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
0
0
0
0
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
0
0
0
0
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
0
0
0
0
24
A1g
B1u
A2g
A2u
B2u
B2g
B1u
B1g
E1u
E1g
E2g
E2u
h
S 61 S 65
S 62 S 64
I
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
2
-2
2
-2
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
-2
2
2
-2
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
-1
1
 v( 2 )  v( 4 )  v( 6 )
 v(1)  v( 3)  v( 5)
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
0
0
0
0
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
0
0
0
0
1
-1
-1
1
-1
1
1
-1
0
0
0
0
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
0
0
0
0
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
0
0
0
0
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
0
0
0
0
0
Таблица перехода атомов друг в друга в структуре N 6 (b).
N1
N2
N3
N4
N5
N6
E
C 61 C65
N1
N2
N3
N4
N5
N6
N2
N3
N4
N5
N6
N1
h
N1
N2
N3
N4
N5
N6
N6
N1
N2
N3
N4
N5
S 61 S 65
N1
N2
N3
N4
N5
N6
N2
N3
N4
N5
N6
N1
N6
N1
N2
N3
N4
N5
C 62 C 64
C63
N3
N4
N5
N6
N1
N2
N4
N5
N6
N1
N2
N3
N5
N6
N1
N2
N3
N4
S 62 S 64
I
N3
N4
N5
N6
N1
N2
N4
N5
N6
N1
N2
N3
N5
N6
N1
N2
N3
N4
C 2(1) C2(3) C2(5)
N2
N1
N6
N5
N4
N3
N4
N3
N2
N1
N6
N5
N6
N5
N4
N3
N2
N1
N3
N2
N1
N6
N5
N4
 v(1)  v( 3)  v( 5)
N2
N1
N6
N5
N4
N3
N4
N3
N2
N1
N6
N5
C2( 2) C2( 4) C2( 6)
N5
N4
N3
N2
N1
N6
N1
N6
N5
N4
N3
N2
 v( 2 )  v( 4 )  v( 6 )
N6
N5
N4
N3
N2
N1
N3
N2
N1
N6
N5
N4
N5
N4
N3
N2
N1
N6
N1
N6
N5
N4
N3
N2
0
Классификация колебаний структуры N 6 (b)
A1g
Крат-ть
выр-ия
ч-т
1
B1u
1
0
0
0
0
0
A2g
1
1
0
1
1
0
A2u
1
1
1
0
0
0
B2u
1
1
0
1
0
1
B2g
1
0
0
0
0
0
Сим-ия
кол-ий
Полное
число
кол-ий
1
0
Оптические
кол-ия
1
Кол-ия
типа
вр-ия
0
Тр-ые
кол-ия
В.м-ые
кол-ия
1
Акт-ть в
ИК и КР
спектрах
КР
ИК
25
B1u
1
1
0
1
0
1
B1g
1
1
0
1
0
1
E1u
2
2
1
1
0
1
ИК
E1g
2
1
0
1
1
0
КР
E2g
2
2
0
2
0
2
КР
E2u
2
1
0
1
0
1
Вектора поляризации для неприводимых представлений:
A1g
B1u
a


0

a
a

0

0
a

0



a
0




0

0

 0



a











a




a

a



a


a 


a 
0 


a 
 a


0 


 a
0 


0 

a 


a 
0 


a 


 a
0 


 a
0 

0 



B1u
B1g
0
 
0
0
 
0
0
 
0
 
0
0
 
0
 
0
 
0
0
 
0
 
0
0
 
0
0
 


0
0 


0 
a 


0 
0 


 a


0 
0 


a 

0 


0 
 a


0 


0 
a 


0 
0 

 a



A 2g
a 


a 
0 


 a
a 


0 


 a
0 


0 

 a


 a
0 


a 


 a
0 


a 
0 




0 
E1u
a

b
0

c
d

0

e
 f

0

a

b
0

c

d
0

e
 f

0

A 2u





























E1g
0
 
0
a
 
0
0
 
a
 
0
0
 
a
 
0
 
0
a
 
0
 
0
a
 
0
0
 


a
B2u
0 


0 
a 


0 
0 


b 


0 
0 


c 

0 


0 
 a


0 


0 
b


0 
0 

 c 



a 


 a
0 


 a
 a


0 


0 
a 


0 

a 


 a
0 


 a


 a
0 


0 
a 




0 
E 2g
a

b
0

c
d

0

e
 f

0

a

b
0

 c

 d
0

 e
 f

0

B2g





























0
 
0
0
 
0
0
 
0
 
0
0
 
0
 
0
 
0
0
 
0
 
0
0
 
0
0
 


0
E 2u
0
 
0
a
 
0
0
 
b 
 
0
0
 
c 
 
0
 
0
a
 
0
 
0
b 
 
0
0

c 

 
Расчет динамических свойств с помощью программы Gamess US
26
В гармоническом приближении получены частоты колебаний и вектора поляризации.
Для каждой структуры найдено по двенадцать частот. С помощью программы Molekel были
построены вектора смещения для структур.
N 60 (a)
N 60 (b)
B1u
Частота,
см-1
217
E2u
263
E2g
727
B1g
A1g
B2u
880
997
1156
E1u
1156
E2g
1341
Симметрия Частота, см-1 Симметрия
Eu
198
B1u
A2u
A1g
258
334
606
Eg
853
Eu
924
B1g
B2g
A1g
1047
1136
1193
N 60 (c)
Симметрия
B3u
Au
B2u
Ag
B2g
B3g
B1u
Ag
B3u
B2g
B1u
Ag
Частота,
см-1
44
78
186
214
380
383
490
599
1139
1240
1491
1592
Колебания с частотами 198, 853 и 924 см-1 являются двукратно вырожденными. Эти
ν=198 см-1
ν=198 см-1
ν=258 см-1
ν=334 см-1
ν=606 см-1
ν=853 см-1
ν=853 см-1
ν=924 см-1
ν=924 см-1
ν=1047 см-1
ν=1136 см-1
ν=1193 см-1
Вектора смещений для структуры N6 (a)
27
колебания имеют симметрию Eg и Eu. Частоты 606 и 1193 см-1 соответствуют
полносимметричным колебаниям.
Все колебания в плоских структурах можно разделить на плоские, которые происходят
в плоскости структуры, и неплоские. Из всех возможных девять колебаний являются
плоскими, а три — неплоскими.
0
Для структуры N 6 (b) неплоским колебаниям соответствуют частоты 263 и 880 см -1,
ν=217 см-1
ν=263 см-1
ν=263 см-1
ν=727 см-1
ν=727 см-1
ν=880 см-1
ν=997 см-1
ν=1156 см-1
ν=1156 см-1
ν=1156 см-1
ν=1341 см-1
ν=1341 см-1
Рис. 19 Вектора смещений для структуры N6 (b)
ν=44 см-1
ν=78 см-1
ν=186 см-1
ν=214 см-1
ν=380 см-1
ν=383 см-1
ν=490 см-1
ν=599 см-1
ν=1139 см-1
ν=1240 см-1
ν=1491 см-1
ν=1592 см-1
Вектора смещений для структуры N6 (c)
28
причем частота 263 см-1 двукратно вырождена. Также двукратно вырожденными являются
частоты 727, 1156 и 1341 см-1. Полносимметричное колебание имеет частоту 997 см-1. Всего
двенадцати возможным видам смещений соответствует два колебания E2g, по одному
колебанию A1g, B1g, B1u, B2u и E2u.
0
Все частоты для структуры N 6 (с) невырождены. Неплоскими колебаниями являются
колебания с частотами 78, 186 и 383 см-1. Они принадлежат к типам симметрии Au, Ag, Bu.
Всем видам смещений соответствует три колебания Ag, по два колебания B1u, B2g и B3u, по
одному колебанию Au, B2u и B3g. Полносимметричные колебания имеют частоты 214, 599 и
1592 см-1.
Элементы феноменологической
теории упругости.
§ I. Тензор деформации
Механика твердых тел, рассматриваемых как сплошные среды, составляет содержание так
называемой теории упругости.
Под влиянием приложенных сил твердые тела в той или иной степени деформируются, т.е.
меняют свою форму и объем. Для математического описания деформации тела поступают

следующим образом. Положение каждой точки тела определяется её радиус-вектором r (с
компонентами x1= x, x2=y, x3=z) в некоторой системе координат. При деформации тела все его точки,
вообще говоря, смещаются. Рассмотрим какую-нибудь определенную точку тела. Если ее радиус
вектор до деформации был r , то в деформированном теле он будет иметь некоторое другое значение

 
r  . Смещение точки тела при деформировании изобразится тогда вектором
r   r , который мы

обозначим посредством u :
ui  xi  xi
Вектор

u
(1.1)
называется вектором деформации (или вектором смещения). Координаты xi
смещённой точки являются, конечно, функциями xi той же точки до ее смещения. Поэтому и вектор


деформации u является функцией координат xi . Задание вектора u как функции от xi полностью
определяет деформацию тела.
При деформировании тела меняются расстояния между его точками. Рассмотрим какие-нибудь

две бесконечно близкие точки. Если радиус-вектор между ними до деформирования был dr , то в



деформированном теле радиус-вектор между теми же двумя точками будет dr   dr  du . Расстояние
между точками было до деформирования
dl  dx12  dx22  dx32
и после деформирования dl   dx12  dx22  dx32 .
29
Для квадратов длин имеем соотношения:
dl 2   dxi2 , dl 2   dxi2   dxi  dui  .
2
i
Подставляя dui  
k
i
ui
dxk , перепишем dl 2 :
xk
dl 2  dl 2  2
i ,k
i
ui
u u
dxi dxk   i i dxk dxl
xk
i ,k ,l xk xl
Поскольку во втором члене справа производится суммирование по обоим индексам i и k, то можно
написать
u
u
 x i dxi dxk  xk dxi dxk
i ,k
k
i ,k
i
В третьем члене поменяем местами индексы i и с, тогда для dl 2 окончательно получим
dl 2  dl 2  2  ik dxi dxk ,
(1.2)
i ,k
где тензор  ik определяется посредством
1  u
u
u u 
 ik   i  k   l l 
2  xk xi
l xk xi 
(1.3)
Этими выражениями определяется изменение элемента длины при деформировании тела.
Тензор  ik называется тензором деформации. Из его определения видно, что он симметричен,
т.е.  ik   ki (1.4)
Как и всякий симметричный тензор, можно привести тензор  ik в каждой данной точке к
главным осям. Это значит, в каждой данной точке можно выбрать такую систему координат (главные
оси тензора), в которой из всех компонент  ik отличны от нуля только диагональные компоненты
11 ,  22 ,  33 . Эти компоненты - главные значения тензора деформации обозначаются посредством
  x  ,   y  ,   z  . Надо, конечно, полагать, что если тензор  ik приведен к главным осям в некоторой
точке тела, то он, вообще говоря, недиагонален во всех других точках.
Мы в дальнейшем будем рассматривать малые деформации объемных тел; в этом случае в
выражении для тензора деформации можно пренебречь третьим слагаемым как бесконечно малым
второго порядка и записать
30
1  u
u 
 ik   i  k 
2  xk xi 
(3.1.5)
§ 2. Тензор напряжения
В не деформированном теле расположение молекул соответствует состоянию его
теплового равновесия. При этом все его части находится друг с другом и в механическом
равновесии. Это значит, что если выделить внутри тела какой-нибудь объем, то
равнодействующая всех сил, действующих на этот объем со стороны других частой, равна
нулю.
При деформации расположение молекул меняется, и тело выводится из состояния
равновесия, в котором оно находилось первоначально. В результате в нем возникают силы,
стремящиеся вернуть тело в состояние равновесия. Эти возникающие при деформации силы
называются внутренними напряжениями. Если тело не деформировано, то внутренние
напряжения в нем отсутствуют.
Внутренние напряжения обусловливаются молекулярными силами, т.е. силами
взаимодействия молекул тела друг с другом. Весьма существенным для теории упругости
является то обстоятельство, что молекулярные силы обладают очень незначительным
"радиусом действия". Их влияние простирается вокруг создающей их частицы лишь на
расстояния порядка межмолекулярных. Но в теории упругости, как в макроскопической
теории, рассматриваются только расстояния большие по сравнению с межмолекулярными.
Поэтому "радиус действия" молекулярных сил в теории упругости должен считаться равным
нулю. Можно сказать, что силы, обусловливающие внутренние напряжения, являются в
теории упругости силами "близкодействующими", передающимися от каждой точки только
к ближайшей. Отсюда следует, что силы, оказываемые на какую-либо часть тела со стороны
окружающих её частей, действуют только непосредственно через поверхность этих частей.
Необходимо, однако, сделать следующую оговорку - сделанное утверждение
несправедливо в тех случаях, когда деформирование тела сопровождается появлением в нем
макроскопических электрических полей (пьезоэлектрики, сегнетоэлектрики). Здесь мы не
будем рассматривать свойства таких тел.
Выделим в теле какой-нибудь объем и рассмотрим действующую на него суммарную
силу. С одной стороны, эта суммарная сила равна сумме всех сил, действующих на каждый
из элементов рассматриваемого объема, т.е. может быть представлена в виде объемного


интеграла  FdV , где F есть сила, действующая на единицу объема тела, так что на элемент

объема dV действует сила FdV . С другой стороны, силы, с которыми действуют друг на
31
друга различные части самого рассматриваемого объема, не могут привести к появлению
отличной от нуля суммарной равнодействующей силы, поскольку они в силу закона
равенства действия и противодействия в сумме уничтожают друг друга. Поэтому искомую
полную силу можно рассматривать как сумму только тех сил, которые действуют на данный
объем со стороны окружающих
его частей тела. Но согласно сказанному выше силы
действуют на рассматриваемый объем через его поверхность, и поэтому результирующая
сила может быть представлена в виде суммы сил, действующих на каждый элемент объема,
т.е. в виде некоторого интеграла по этой поверхности.
Таким образом, для любого объема тела каждая из трех компонент
 Fi dV
равнодействующей всех внутренних напряжений может быть преобразована в интеграл по
поверхности этого объема. Как известно из векторного анализа интеграл от скаляра по
произволному объему может быть преобразован в интеграл по поверхности в том случае,
если этот скаляр является дивергенцией некоторого вектора. В данном случае мы имеем дело
с интегралом не от скаляра, а от некоторого вектора, проекции которого, следовательно,
должны иметь вид
Fi  
k
 ik
(2.1)
xk
Тогда сила, действующая на некоторый объем, может быть записана в виде интеграла
по замкнутой поверхности, охватывающей данный объем

 Fi dV    xkik dV     ik dSk
k V
(2.2)
k

где dSk - компоненты вектора S элемента поверхности, направленного по внешней нормали к
поверхности. Строго говоря, при определении полной силы, действующей на деформированный
объем тела, интегрирование должно производиться не по старым координатам xi , а по
координатам xi точек деформированного тела. Соответственно этому и производные (2.1)
должны браться по xi . Однако, ввиду малости деформации, производные по xi и xi
отличаются друг от друга на величины высших порядков милости, и потому можно все
дифференцирования производить по координатам
xi .
Тензор  ik называется тензором напряжений. Как видно из (2.2),  ik dSk есть i -тая

компонента силы, действующей на элемент поверхности dS . Выбирая элементы
поверхности в плоскостях xy, yz , xz, находим, что компонента  ik тензора напряжений есть i32
тая компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярную к оси хk. Так,
на единичную площадку, перпендикулярную к оси x: действует нормальная к ней
(направленная вдоль оси x) сила  xx , и тангенциальные (направленные по осям у и z) силы
 xy и  xz . Нормальная составляющая  xx - типа давления, тангенциальные  xy ,  xz - "скалывающие" напряжения, стремящиеся сдвинуть параллельные элементы поверхности
относительно друг друга.
Необходимо сделать следующие замечания по поводу знака силы
 ik dSk . В (2.2)
k
интеграл по поверхности представляет собой силу, действующую на ограниченный объем со
стороны окружающих частей тела. Наоборот, сила, с которой этот объем действует сам на
окружающую
его поверхность, имеет
обратный
знак. Поэтому, например, сила,
действующая со стороны внутренних напряжений на всю поверхность тела, есть

    ik dSk , где интеграл берется по поверхности тела, a dS направлен по внешней
k
нормали.
Легко написать тензор напряжений в случае равномерного всестороннего сжатия. При
таком сжатии на каждую единицу поверхности тела действует одинаковое по величине
давление, направленное везде по нормали внутрь объема тела. Если обозначить это давление
посредством "Р", то на элемент поверхности dSi действует сила  PdSi . С другой стороны,
эта сила, будучи выражена через тензор напряжении, должна иметь вид
 ik dSk .
k
Сравнивая эти выражения, видим, что в случае равномерного, всестороннего сжатия тензор
напряжений имеет вид  ik   Pik (2.3)
Выясним свойства тензора напряжений. Определим момент сил, действующих на некоторый

объем тела. Момент силы F можно, как известно, написать в виде антисимметричного
тензора второго ранга с компонентами Fi xk  Fk xi , где xi - координаты точки приложения
 
силы. (Момент силы определяется как векторное произведение F , r , из векторного анализа
известно, что компоненты векторного произведения двух векторов составляют антисимметрический тензор второго ранга). Поэтому момент сил, действующих на элемент объема
dV есть Fi xk  Fk xi dV .
M ik   Fi xk  Fk xi dV
(2.4)
Как и полная сила, действующая на любой объем, момент этих сил тоже должен
выражаться в виде интеграла по поверхности объема. Подставляя в (2.4) выражение для Fi
(2.1), находим
33
 


M ik     il xk  kl xi dV 
xl

l  xl
 
l
 x
 il xk   kl xi 
x 
dV      il k   kl i dV
xl
xl
xl 
l 
(3.2.5)
Во втором члене замечаем, что производные от одной координаты по другой равны
единице, если обе координаты одинаковы, или нулю, если координаты разные (три
координаты являются независимыми переменными). Таким образом,
xk
  kl , за счет чего
xl
суммы во втором слагаемом пропадают, и мы получаем под знаком интеграла разность
 ki   ik  . В первом же слагаемом под интегралом стоит дивергенция некоторого тензора;
по формуле Остроградского интеграл можно преобразовать в интеграл по поверхности. В
результате находим:
M ik     il xk   kl xi dSl    ki   ik dV
l
Для того чтобы
M ik
было выражено в виде интеграла по поверхности, необходимо, чтобы
второй член здесь тождественно исчезал, т.е. должно быть  ki   ik  0 , или  ki   ik (2.6)
Таким образом, мы приходим к существенному результату, что тензор напряжения
является симметрическим тензором. Момент сил, действующих на некоторый объем тела,
может быть теперь написан в простом виде:
M ik   Fi xk  Fk xi dV     il xk   kl xi dSl (2.7)
l
§ 3. Термодинамика деформирования
Рассмотрим какое-либо деформированное тело и предположим, что его деформация
меняется так, что вектор деформации
ui
изменяется на малую величину
ui . Определим
работу, производимую при этом силами внутренних напряжений. Умножая силу
Fi  
k
 ik
на перемещение ui и интегрируя по всему объему, имеем:
xk

 R  dV   xkik ui dV
i ,k
Посредством R мы обозначим работу сил внутренних напряжений и единице объема
тела. Интегрируя по частям и используя формулу Остроградского, получим:
 R  dV    ik ui dSk     ik
V
S i ,k
i ,k V
ui
dV
xk
34
Рассматривая неограниченную среду, не деформированную на бесконечности, стремим
поверхность интегрирования в первом интеграле к бесконечности; тогда на ней
 ik  0
и
интеграл исчезает. Второй же интеграл можно, воспользовавшись симметрией тензора  ik ,
переписать в виде
 u
1
 R  dV   2    ik  xki 
i ,k V
V
uk
xi

dV      ik ik dV

i ,k V
Таким образом, мы можем написать
R   ik ik
(3.1)
ik
Эта формула определяет работу R сил внутренних напряжений в единице объема тела
по изменению тензора деформации.
Если деформация тела достаточно мала, то по прекращении действий, вызвавших
деформацию внешних сил, тело возвращается в исходное недеформированное состояние.
Такие деформации называются упругими. При больших деформациях прекращение действия
внешних сил не приводит к полному исчезновению деформации - остается, как говорят,
некоторая остаточная деформация, так что состояние тела отличается от того, в котором оно
находилось до начала действия сил. Такие деформации называются пластическими. В
дальнейшем рассматриваются только упругие деформации.
Предположим далее, что процесс деформирования совершается настолько медленно,
что в каждый момент времени в теле успевает установиться состояние термодинамического
равновесия, соответствующее тем внешним условиям, в которых тело в данный момент
находится (фактически это условие почти всегда выполняется). Тогда, как известно, процесс
будет термодинамически обратимым.
Условимся в дальнейшем все экстенсивные термодинамические величины, такие, как
энтропия S, внутренняя энергия U и т.д. относить к единице объема тела. Бесконечно малое
изменение внутренней энергии dU
равно разности полученного данной единицей объема
тепла и произведенной силами внутренних напряжений работы R . Количество тепла при
обратимом процессе равно TdS , где Т - температура тела; таким образом
dU  TdS  dR  TdS   ik d ik (3.2)
ik
Вводя вместо энергии U свободную энергию тела F  U  TS , получим термодинамическое
тождество в виде
dF   SdT   ik d ik
(3.3)
ik
35
Компоненты тензора напряжений можно получить, дифференцируя (3.2) или (3.3) по
компонентам тензора деформации, соответственно при постоянной энтропии S, или
температуре Т:
 U 
 F 
  

 ik  
  ik  S   ik T
§4. Закон Гука
Для того чтобы иметь возможность применять общие термодинамические соотношения
к тем или иным конкретным случаям деформации, необходимо иметь выражение для
свободной энергии тела F, как функции от тензора деформации. Это выражение легко
получить, воспользовавшись малостью деформации и разлагая F в ряд по степеням
 F
F  F0   
ik   ik
 ik :
 2F 

1

  ik   
     ik  nm
2
ik nm 0,T
0,T
ik ,nm 
Значок "0" у производных означает, что они вычисляются для состояния тела, в котором
отсутствуют деформации. Значок "T" показывает, что мы рассматриваем деформацию тела
при постоянной температуре, - чтобы отвлечься от рассмотрения теплового расширения.
При  ik  0 должны отсутствовать и внутренние напряжения, т.е. должно быть  ik  0 .
 F
Поскольку  ik  
  ik

 , то отсюда следует, что в разложении F по степеням
T
 ik
должны
отсутствовать линейные члены. Вводя далее обозначения:
Cik ,nm
 2F 

 





 ik nm 0,T
(4.1)
и выбирая начало отсчета энергии так, что F0  0 , запишем выражение для свободной
энергии при T  const в виде:
F
1
 Cik ,nm ik  nm
2 ik ,nm
(4.2)
Коэффициенты Cik ,nm (4.1) носят название изотермических модулей упругости (или упругих
постоянных).
Пользуясь выражениями (3.4) и (4.2), получим линейное соотношение между тензором
напряжений и тензором деформаций
 ik   Cik ,nm nm
(4.3)
nm
известное под названием закона Гука.
36
§5. Свойства упругих постоянных.
Упругие свойства кристаллов определяются величинами Cik ,nm . Установим свойства
этих величин. Как это видно
непосредственно из определения (4.1), имеют место
соотношения симметрии между величинами
Cik ,nm относительно перестановки индексов
внутри первой и второй пары и относительно перестановки пар индексов:
Cik ,nm  Cki,nm  Cik ,mn  Cnm,ik
(5.1)
Первое свойство следует из симметрии тензоров деформации, второе из существования
вторых производных от свободной энергии по компонентам тензора деформации.
Упругие постоянные Cik ,nm представляют собой тензор четвертого ранга - это следует
непосредственно из их определения (4.1) и того факта, что  ik есть тензор второго ранга.
Поэтому эти величины преобразуются при вращениях координатной системы по правилам
преобразования компонент тензора. Если Dik есть некоторая унитарная матрица, которая
описывает вращение координатной системы, так что


ˆ R или Ri   Dik Rk ,
R  D
k


где R - вектор в исходной системе координат и R - в преобразованной системе координат;
то в преобразованной системе координат имеем:
Cik ,nm 
 DiiDkk DnnDmmCik ,nm (5.2)
i k nm
Аналогичным образом преобразуется тензор модулей упругости и при точечных
преобразованиях симметрии кристалла.
Так как при преобразованиях симметрии кристалл совмещается сам с собой, тензор
модулей упругости должен оставаться инвариантным Cˆ   Cˆ  . Все эти преобразования
имеют действительные ортогональные матрицы D̂ . Число и вид этих преобразований
зависит от симметрии кристалла. Симметрия кристалла уменьшает число независимых
упругих постоянных.
Соотношения (5.1) могут быть частично учтены путем введения место Cik ,nm более
просто индексированных величин C , , =1,2,…,6, введенных впервые Фойгтом по
следующей схеме:
ik или nm
 или 
11
22
33
1
2
3
23
13
12
32
31
21
4
5
6
37
Матрица C , согласно (5.1) симметрична C  C , и поэтому, как нетрудно
сосчитать, содержит 21 независимую величину. Таким образом, учет только соотношения
(5.1) уменьшает число независимых модулей упругости с 81 до 21 величины. Эти величины
можно записать в виде матрицы:
Cik ,nm
11
22
33
11
С11
С12
С13
22
С21
С22
33
С31
23
23
13
12
С14
С15
С16
С23
С24
С25
С26
С32
С33
С34
С35
С36
С41
С42
С43
С44
С45
С46
13
С51
С52
С53
С54
С55
С56
12
С61
С62
С63
С64
С65
С66
Наличие той или иной симметрии кристалла (учет соотношений (5.2)) приводит к появлению
зависимостей между различными компонентами тензора Cik ,nm , так что число его
независимых компонент оказывается меньше 21. При этом оказывается, что число
независимых компонент этого тензора зависит от кристаллической системы, будучи
одинаковым для всех классов, относящихся к одной системе (сингонии), но различным для
классов разных систем. Определим эти числа для всех систем, рассматривая в каждой из них
только по одному классу.
I. Триклинная система.
Группа S2 ; в группе симметрии S2 имеется только два элемента - единичный и
инверсия. Элементарная ячейка является произвольным параллелепипедом, в вершинах
которого находятся узлы решетки Браве. Наличие триклинной симметрии не накладывает
никаких ограничений на компоненты тензора Cik ,nm - для единичного элемента симметрии
это очевидно: в случае инверсии матрица D̂ отличается от единичной знаком минус, действие четырех матриц операции инверсии в соотношении (5.2) эквивалентно действию
четырех единичных матриц.
Мы можем, однако, выбрать произвольным образом систему координат, в которой мы
описываем деформацию. Поскольку ориентация системы координат относительно тела
определяется тремя величинами-углами поворота, то произвольность в её выборе означает,
что мы можем наложить на компоненты тензора Cik ,nm , три дополнительных условия,
например, мы можем выбрать такую систему координат, в которой три компоненты тензора
обратятся в нуль. Таким образом, кристаллы триклинной системы обладают 18
независимыми модулями упругости.
38
II. Моноклинная система.
Рассмотрим класс
Cs , выбираем систему координат с плоскостью ХОУ, совпадающей
с плоскостью симметрии. При отражении в этой плоскости координаты подвергаются
xx,
преобразованию:
произведения
y  y,
соответствующих
z   z . Компоненты тензора преобразуются как
координат.
Поэтому
ясно,
что
при
указанном
преобразовании все компоненты Cik ,nm среди индексов которых индекс z содержится
нечетное число раз, изменяют знак, а остальные компоненты остаются неизменными. С
другой стороны, тензор Ĉ должен остаться инвариантным при отражении в плоскости
симметрии. Поэтому ясно, что все компоненты с нечетным числом индексов z должны быть
равны нулю. Соответственно этому, матрицу упругих постоянных можно записать:
С11
C12
С13
0
0
С16
С21
С22
С23
0
0
С26
С31
С32
С33
0
0
C36
0
0
0
C44
C45
0
0
0
0
C54
С55
0
C61
С62
C63
0
0
C66
Видно, что с учетом симметрии матрицы C имеется 13 независимых величин. Из этих
независимых величин ещё одна может быть выбрана произвольным образом в силу
возможности произвольного поворота системы координат относительно оси z. Таким
образом, кристаллы моноклинной системы обладают 12 независимыми модулями упругости.
III. Ромбическая система.
Рассмотрим класс D2h и выберем плоскости координат в трех плоскостях симметрии
этого класса. Отражение в каждой из этих плоскостей представляет собой преобразование,
при котором одна из координат меняет знак, а две другие не меняются. Очевидно, поэтому,
что из всех компонент Cik ,nm отличными от нуля останутся только те, среди индексов
которых каждое из их значений x, у, или z встречается четное число раз; все остальные
компоненты должны менять знак при отражении в какой-нибудь плоскости симметрии.
Таким образом, матрица C имеет вид
С11
C12
С13
0
0
0
С21
С22
С23
0
0
0
С31
С32
С33
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
С55
0
39
0
0
0
0
0
C66
Она содержит всего 9 независимых модулей упругости. 4. Тетрагональная система.
IV. Тетрагональная система.
Рассмотрим класс C4v . Выбираем координаты с осью z по оси C4 , а оси x, y перпендикулярными к двум из вертикальных плоскостей симметрии. Отражения в этих двух
плоскостях означают соответственно преобразования
x   x , y   y , z  z , в силу этого исчезают все компоненты Cik ,nm с нечетным числом
индексов (одинаковых). Далее, порот на угол  4 вокруг оси
C4 представляет собой
преобразование x  y , y   x , z  z . Отсюда вытекают соотношения:
C xx , xx  C yy , yy , C xx , zz  C yy , zz , C xz , xz  C yz , yz .
Остальные преобразования, входящие в класс C4v , ничего не добавляют к этим условиям.
Таким образом, имеется всего 6 независимых модулей упругостей и матрица C
записывается:
С11
C12
С13
0
0
0
С21
С11
С13
0
0
0
С31
С31
С33
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
С44
0
0
0
0
0
0
C66
V. Ромбоэдрическая система (класс C3v ).
VI. Гексагональная система (класс C6 ).
В случае ромбоэдрической системы среди операций симметрии имеется ось третьего
порядка, в случае гексагональной системы ось шестого порядка. Для получения
соотношений между компонентами тензора модулей упругости при наличии этих операций
симметрии необходимо ввести координаты, отличные от декартовых: не вдаваясь в
подробности соответствующих выкладок (которые могут быть найдены в любой книге по
упругим свойствам кристаллов), сообщим, что имеется 6 независимых модулей упругости в
случае гексагональной - 5.
VII. Кубическая система.
Направим оси x, y, z по трем осям четвертого порядка кубической системы. Уже
наличие тетрагональной симметрии (с осью 4-го порядка вдоль оси z) ограничивало число
различ ных компонент тензора С следующими шестью: C xx , xx ; C zz, zz ; C xx , zz ; C xx , yy ; C xy , xy ;
40
C xz , xz . Повороты на 90° вокруг осей x и y дают соответственно преобразования
xx,
y   z , z  y и x  z , y  y , z   x . В силу их из написанных шести компонент
делаются равными первая со второй, третья с четвертой и пятая с шестой. Таким образом,
остается всего три различных модуля упругости и тензор упругих констант можно записать:
С11
C12
С12
0
0
0
С21
С11
С12
0
0
0
С21
С21
С11
0
0
0
0
0
0
C44
0
0
0
0
0
0
С44
0
0
0
0
0
0
C44
VIII. Изотропный кристалл.
Кроме соотношений для кубических кристаллов, выраженными таблицей, выполняется
ещё условие
C11  C12  2C44 .
(5.4)
Таким образом, упругие свойства изотропного материала полностью определяются с
помощью только двух постоянных C12 и C44 :
Cik ,nm  C12 ik  mn  C44  im kn   in km 
(5.5)
Отметим также, что запись тензора упругих постоянных изотропного материала в виде (5.5)
справедлива в любой (декартовой) системе координат, поскольку для таких материалов все
направления эквивалентны. Выпишем ещё раз число модулей упругости кристаллов
различных систем:
триклинная
- 18
моноклинная
- 12
ромбическая
-9
тетрагональная
-6
ромбоэдрическая
-6
гексагональная
-5
кубическая
-3
изотропные тела
-2
§ 6. Упругие волны
Если в деформированном теле происходит движение, то температура тела, вообще
говоря, не постоянна, а меняется как со временем, так
обстоятельство
сильно
усложняет
точные
уравнения
И
от точки к точке тела. Это
движения
в
общем
случае
41
произвольных движений. Обычно, однако, положение упрощается благодаря тому, что передача
тепла из одного участка тела в другой (посредством простой теплопроводности) происходит очень медленно.
Если теплообмен практически не происходит в течение промежутков времени порядка периода колебательных
движений в теле, то можно рассматривать каждый участок тела как теплоизолированный, т.е. движение будет
адиабатическим. Но при адиабатических деформациях  ik выражается через
 ik
по формулам обычного
вида с той лишь разницей, что вместо обычных (изотермических) значений тензора деформаций необходимо
брать их адиабатические значения. Ниже мы будем считать это условие выполнимым и соответственно этому
подразумевать под  ik их адиабатические значения.
Для того чтобы получить уравнения движения упругой среды, надо приравнять силу
внутренних напряжений Fi  
k
 ik
произведению ускорения ui на массу единицы объема
xk
тела, т.е. на его плотность  :
ui  
k
 ik
xk
(6.1)
Воспользуемся для  ik общим выражением (4.3), где в соответствии со сказанным
выше, под Cik ,lm подразумеваются адиабатические значения модулей упругости. Подставляя
 ik в уравнения движения, получим
ui   Cik ,lm
klm

 lm 1
  ul um 


  Cik ,lm

xk
2 klm
xk  xm xl 
1
 2ul
1
 2um
C

C
 ik ,lm x x 2  ik ,lm x x
2 klm
k m
k l
klm
Поскольку тензор Cik ,lm симметричен по индексам l и m , то меняя во втором члене
обозначение индексов суммирования l и m на обратное, находим, что первый и второй
члены тождественны. Таким образом, мы получим уравнения движения в виде
ui   Cik ,lm
klm
 2um
xk xl
(6.2)
Простейшими решениями уравнений теории упругости (6.2) для бесконечного кристалла
являются упругие плоские волны вида




(6.3)
u r , t   e  ei kr t 



где k - волновой вектор, 2 k - длина волны и  k - скорость звука. Подставляя (6.3) в

уравнение движения (6.2), получим систему уравнений для определения частоты  k  и векторов
 
поляризации e k  звуковых волн:
42
 ei   Cik ,lm kk kn em   Tim 
2
klm
m


k em
(6.4)
Система уравнений (6.4) имеет нетривиальные решения при условии

det 2im  Tim k   0

дисперсионное уравнение (6.5) имеет три решения  j k  j  1,2,3 для каждого значения волнового
вектора; из системы линейных однородных уравнений (6.4) определяются три вектора поляризации

e j . Упругие движения общего вида описываются суперпозицией этих решений с различными
волновыми векторами.
Простые решения уравнений (6.4) и (6.5) получаются для кубических кристаллов, в случае
направления распространения волн вдоль ребер элементарного куба, и для изотропных материалов.

Вычислим матрицу Tim k  для случая кубического кристалла. Диагональные элементы

матрицы Tii k   Cik ,in kk kn .
kn
Очевидно, что при k  n , Cik ,in  0 , следовательно, имеем


Tii k    Cin ,in kn2  C11ki2  C44 k 2  ki2

(6.6)
n

Недиагональные элементы Tim k  , i  m

Tim k    Cik ,mnkk kn  C12  C44 ki km
(6.7)
kn
Объединяя формулы (6.6) и (6.7), получим выражение для Tim


Tim k   C12  C44 ki km  im C44k 2  C11  C12  2C44 ki2

Подставляя Tim k  в (6.4), получим


k .

(6.8)

 2ei   C12  C44 ki km em  C44k 2  C11  C12  2C44 ki2 ei
(6.9)
m
Решение системы уравнений (6.9) рассмотрим отдельно для кубических и изотропных материалов.

k k1,0,0 ,
а) Кубические
кристаллы.
Пусть
тогда
система
уравнений запишется
2ei  C11  C44 k 2i1e1  C44k 2ei
или, подробнее
  2e1  C11k 2e1
 2
2
 e2,3  C44k e2,3
(6.10)
Система уравнений (6.10) легко решается, имеем
43
l  k
C11
,

el  e1,0,0 ,
t  k
C44
,


et  0, e2 ,0 , et  0,0, e3 


(6.11)
Таким образом, в направлении оси х распространяются одна продольная и две поперечных
волны. Скорость продольных волн Vl и поперечных Vt , очевидно, равны
Vl 
C11

, Vt 
C44
(6.12)

б) Изотропные материалы. Учитывая соотношение (5.4) систему уравнений (6.9) запишем
 2ei   C12  C44 ki km em  C44k 2ei
m
или
 
 2e   C12  C44 k k , e   C44k 2e
(6.13)
m
Из уравнений (6.13) непосредственно видно, что имеется одна продольная волна
l2  C12  2C44 k 2  C11k 2
l k 
с
(6.14)
 
и две независимые поперечные волны l  k
t2  C44k 2
(6. 1 5 )
Скорости продольных и поперечных волн при этом находятся из соотношений (6.11) и частоты - из
соотношений (6.11). В отличие от кубических кристаллов формулы для частот и скорости имеют один
и тот же вид для любого направления распространения волн - результат физически очевидный для
изотропного случая.
Решения в виде продольных и поперечных волн получаются только для изотропного случая, а
также для выделенных направлений в кристаллах (кубических). Однако, в общем случае, тройка ортогональных друг другу векторов поляризации ориентирована произвольно относительно направления
распространения.
Плотность спектрального распределения частот можно найти так же, как и в случае колебаний
решетки. Примем в качестве основной периодической области куб с ребром L и объемом V  L3 , из
условий периодичности смещений (6.3) на границах объема выделим векторы

k
со следующими
проекциями:
 2
k
mi ,
L
mi=0,±1,±2,…
(6.16)
44

k , в противоположность теории решетки не ограничена. В изотропном

случае легко вычислить плотность частот. Число возможных значений k - в шаровом слое k , k  dk 
здесь область значений
3
 L 
2
согласно (6.16) равно 
 4k dk . Для продольных волн   cl k , поэтому число продольных
 2 
колебаний в интервале ,   d  равно
3
V 1
 L  4
zl  d    3  2d  2 3  2d
2 Vl
 2  Vl
Число поперечных колебаний соответственно равно
V 2
zt  d  2 3  2d
2 Vt
Множитель 2 появляется из-за того, что каждому

k
соответствуют два независимых поперечных
колебания. В целом получается следующая функция плотности частот
z упр   
V  1
2 
 3  2
2 3
2  Vl Vt 
Пропорциональность упругого спектра  2 сохраняется также и для анизотропной среды,
однако коэффициент пропорциональности может быть найден только численно.
45
ВЫБОРОЧНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕСТОВЫХ МАТЕРИАЛОВ
1. Задание {{ 28 }} Н.Г.
Отметить правильный ответ
1.Матрицы силовых постоянных для решетки ОЦК в приближении первых соседей имеют
вид:





2. Задание {{ 29 }} Н.Г.
Отметьте правильный ответ
2.Свойство симметрии для силовых констант, следующее из однородности пространства
имеет вид:





3. Задание {{ 30 }} Н.Г.
Ответ ввести цифрами
Число первых соседей в гранецентрированной кубической решетке равно
Правильные варианты ответа: 12;
4. Задание {{ 31 }} Н.Г.
46
Ввести название



 h 
~
~ 
 ik h  R



exp

R

 ij     

 

M  M h
 
k  
 
Матрица Dij
1
носит название
………….. матрицы.
Правильные варианты ответа: динамическая; динамической; Динамическая;
Динамической;
5. Задание {{ 32 }} Н.Г.
Выберите правильный ответ
Число акустических ветвей в кристалле, содержащем s атомов в элементарной ячейке, равно:
 3
 3(s-1)
 s
 3s
 в зависимости от кристаллов
6. Задание {{ 33 }} Н.Г.
Выберите правильный ответ
 
При k  0 акустические ветви
 Всегда обращаются в нуль
 Никогда не обращаются в нул
 Иногда обращаются в нуль
7. Задание {{ 34 }} Н.Г.
Введите нужное
В длинноволновом приближении, для анизотропного кубического кристалла, содержащего
два разноименных заряда в элементарной ячейке, вся макроскопическая теория содержится в
следующей паре уравнений:
..
W i  ikWk   ik Ek
k
k
Pi    kiWk    ik Ek
k
k
Данные феноменологические уравнения необходимо решать совместно с системой
уравнений ………..
Правильные варианты ответа: Максвелла; максвелла; Максвэлла; максвэлла; Моксвэлла;
моксвэлла; Максвела; максвела; Максвэла; максвэла; Моксвэла; моксвэла;
8. Задание {{ 35 }} Н.Г.
Отметьте правильный ответ
Мнимая часть диэлектрической проницаемости
 не имеет физического смысла


 определяет связь между D и E
 определяет поглощение энергии в среде
 показывает, во сколько раз уменьшится кулоновское взаимодействие зарядов, не
испытывающих обратного влияния среды
9. Задание {{ 36 }} Н.Г.
Отметьте правильное
Гармоническое приближение - заключается в:
 том, что при разложении потенциальной энергии в ряд по смещениям ионов, оставляют
только члены второго порядка по смещениям.
47
 предположении, что ионы много тяжелее электронов, и поэтому двигаются значительно
медленнее. Это приводит к тому, что волновая функция системы может быть выражена в
виде произведения электронной и ядерной функций.
 разделении электронов на две группы: валентные электроны и электроны атомного
остова.
 использовании гармонических функций в качестве базисных.
10. Задание {{ 159 }} А.С.
Ответ ввести цифрами
Число ненулевых компонент матрицы модулей упругости кубического кристалла равно
Правильные варианты ответа: 12;
11. Задание {{ 179 }} А.С.
Закончите утверждение двумя словами
Независимые колебания линейной цепочки атомов описываются зависимостью w(k) в ... .
Правильные варианты ответа: зоне Бриллюэна; зоне бриллюэна; зоне Брилюэна; зоне
брилюэна; зоне Бреллюэна; зоне брелюэна; зоне Брелюэна;
12. Задание {{ 2 }} А.С.
Отметьте правильное утверждение
Адиабатический потенциал, это:
 Потенциал электрона в поле покоящихся ядер
 Потенциал многоэлектронной системы при коллективном движении ядер
 Потенциал одного электрона в поле движущихся ядер
13. Задание {{ 3 }} А.С.
Отметьте правильное утверждение
Переходное состояние отвечает
 Максимуму адиабатического потенциала
 Седловой точке адиабатического потенциала
 Минимуму адиабатического потенциала
14. Задание {{ 4 }} А.С.
Отметьте правильное утверждение
Деформационный потенциал описывает:
 напряжения кристаллической решетки
 смещения энергетических зон при деформациях
 величины смещений ядер в решетке
15. Задание {{ 222 }} А.С.
Отметьте все правильные утверждения
Центр масс элементарной ячейки при акустических колебаниях ...
 смещается вдоль волнового вектора
 смещается против волнового вектора
 смещается перпендикулярно волновому вектору
 не смещается
16. Задание {{ 223 }} А.С.
Отметьте правильное утверждение
Частоты акустических колебаний в сравнении с частотами оптических колебаний ...
 больше
 меньше
 равны
 равны в центре зоны Бриллюэна
17. Задание {{ 224 }} А.С.
Введите название
Рассеяние света на акустических колебаниях называется эффектом
Правильные варианты ответа: Мандельштама-Бриллюэна; Мандельштама - Бриллюэна;
Мандельштама Бриллюэна; Мандельштамма-Бриллюэна; Мандельштама-Брилюэна;
48
18. Задание {{ 225 }} А.С.
Введите название
Рассеяние света на оптических колебаниях решетки называется эффектом ...
Правильные варианты ответа: Рамана; рамана; Раманна;
19. Задание {{ 226 }} А.С.
Введите название
Рассеяние фотона с образованием фонона называется ...
Правильные варианты ответа: неупругим; не упругим;
20. Задание {{ 227 }} А.С.
Отметьте правильное утверждение
При неупругом рассеянии фотона с образованием фонона его энергия ...
 не изменится
 увеличится
 уменьшится
21. Задание {{ 228 }} А.С.
Отметьте правильное утверждение
Спектр колебаний легких примесных атомов в фононном спектре ...
 локализован внутри оптической ветви
 локализован внутри акустической ветви
 локализован выше оптической ветви
 локализован ниже оптической ветви
22. Задание {{ 218 }} А.С.
Отметьте правильное утверждение
Поляризация кристалла происходит при участии ...
 продольных акустических фононов
 поперечных акустических фононов
 продольных оптических фононов
 поперечных оптических фононов
23. Задание {{ 219 }} А.С.
Отметьте все правильные утверждения
Экспериментальным доказательством квантования энергии колебаний решетки служат опыты по
рассеянию:
 фотонов
 рентгеновских лучей
 фононов
 нейтронов
 света
24. Задание {{ 220 }} А.С.
Отметьте все правильные утверждения
В адиабатическом приближении электроны ...
 смещены относительно ионов
 отвечают мгновенному положению ионов
 находятся в основном состоянии
 возбуждены
25. Задание {{ 221 }} А.С.
Отметьте правильное утверждение
В длинноволновом пределе частота акустической волны пропорциональна ...
 параметру элементарной ячейки
 волновому вектору
 упругой постоянной взаимодействия атомов
 массе атомов
49
Варианты контрольных работ
Вариант 1
1. Найти вид матрицы силовых постоянных для первых соседей гранецентрированной
кубической решетки
2. Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти
 1   
частоты ω в точке L  b1  b2  b3 
2
Вариант 2
1. Найти вид матрицы силовых постоянных для первых соседей гранецентрированной
кубической решетки
2. Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти
 1  
частоты ω в точке X  b1  b2 
2
Вариант 3
1. Найти вид матрицы силовых постоянных для первых соседей гранецентрированной
кубической решетки
2. Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти
 1  
1  
частоты ω в точке W  b1  b2   b2  b3 
4
2
Вариант 4
1. Найти вид матрицы силовых постоянных для вторых соседей простой кубической
решетки
2. Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти
 1   
частоты ω в точке L  b1  b2  b3 
2
Вариант 5
1. Найти вид матрицы силовых постоянных для вторых соседей простой кубической
решетки
2. Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти
 1  
частоты ω в точке X  b1  b2 
2
Вариант 6
1. Найти вид матрицы силовых постоянных для вторых соседей простой кубической
решетки
2. Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти
 1  
1  
частоты ω в точке W  b1  b2   b2  b3 
4
2
Вариант 7
1. Найти вид матрицы силовых постоянных для третьих соседей простой кубической
решетки
50
2. Для объемноцентрированной кубической решетки в приближении первых соседей
 1   
найти частоты ω в точке P  b1  b2  b3 
4
Вариант 8
1. Найти вид матрицы силовых постоянных для третьих соседей простой кубической
решетки
2. Для объемноцентрированной кубической решетки в приближении первых соседей
 1   
найти частоты ω в точке P  b1  b2  b3 
2
Вариант 9
1. Найти вид матрицы силовых постоянных для третьих соседей простой кубической
решетки
2. Для объемноцентрированной кубической решетки в приближении первых соседей
 1
найти частоты ω в точке N  b3
2
Вариант 10
1. Найти вид матрицы силовых постоянных для вторых соседей
объемноцентрированной кубической решетки
2. Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти
 1   
частоты ω в точке L  b1  b2  b3 
2
Вариант 11
1. Найти вид матрицы силовых постоянных для вторых соседей
объемноцентрированной кубической решетки
2. Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти
 1  
частоты ω в точке X  b1  b2 
2
Вариант 12
1. Найти вид матрицы силовых постоянных для вторых соседей
объемноцентрированной кубической решетки
2. Для гранецентрированной кубической решетки в приближении первых соседей найти
 1  
1  
частоты ω в точке W  b1  b2   b2  b3 
4
2
Вариант 1
3. Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов ромбической сингонии
   
4. Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   , ,0  для
a a 
кристаллов ромбической системы
Вариант 2
3. Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов тетрагональной сингонии
51
   
4. Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   , ,0  для
a a 
кристаллов тетрагональной системы
Вариант 3
3. Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов кубической сингонии
   
4. Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   , ,0  для
a a 
кристаллов кубической сингонии
Вариант 4
3. Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов ромбической сингонии
    
4. Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   , ,  для
a a a
кристаллов ромбической системы
Вариант 5
3. Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов тетрагональной сингонии
4. Для гранецентрированной кубической решетки найти частоты ω в точке Решить
    
задачу о распространении упругих волн в направлениях k   , ,  для
a a a
кристаллов тетрагональной системы
Вариант 6
3. Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов кубической сингонии
    
4. Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   , ,  для
a a a
кристаллов кубической сингонии
Вариант 7
3. Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов ромбической сингонии
   
4. Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   0, ,0  для
 a 
кристаллов ромбической системы
Вариант 8
3. Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов тетрагональной сингонии
   
4. Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   0, ,0  для
 a 
кристаллов тетрагональной системы
Вариант 9
3. Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов кубической сингонии
52
   
4. Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   0, ,0  для
 a 
кристаллов кубической сингонии
Вариант 10
3. Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов ромбической сингонии
   
4. Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   ,0,  для
a
a
кристаллов ромбической системы
Вариант 11
3. Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов тетрагональной сингонии
   
4. Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   0, ,  для
 a a
кристаллов тетрагональной системы
Вариант 12
1. Найти вид матрицы упругих постоянных для кристаллов кубической сингонии
   
2. Решить задачу о распространении упругих волн в направлениях k   0, ,  для
 a a
кристаллов кубической сингонии
53
Раздаточный материал.
Параметры ячеек Бравэ
Кол-во
Сингония, Число Периоды,
единичных виды решеток ячеек
углы
направлен
ий
Характерная
симметрия
Кристаллич
еские
классы
симметрии
Низшая категория
Нескольк
о
Триклинная,
P
Монокл
инная
P, C
Ромбическая
P, C, F, I
1
2
4
a bc,
β
a bc,
==90ºβ
Ось C1 или S1
C1 , Ci  S 2
Ось C2 или
плоскость 
C 2 , C s , C 2h
a  b  c , Три оси C2 или D2 , C 2v , D2h
=β==90º три плоскости 
Средняя категория
Одно
Тригональная
(ромбоэдриче
ская), P
Гексагональная,
C
1
Тетрагональная,
P, I
2
1
a=bc,
=β=90º,
=120º
Ось C3 или S3
Ось C6 или S6
C 3 , S 6 , C3v ,
D3 , D3d
C 6 , C3h , C 6h ,
C6v , D3h , D6 ,
D6h
a=bc,
=β==90º
Ось C4 или S4
C 4 , S 4 , C 4v ,
C 4h , D2d ,
D4h , D4
Высшая категория
Нет
Кубическая,
P, F, I
3
a=b=c,
=β==90º
Четыре оси C3 T , Th , Td , O ,
Oh
54
P
Триклинная
a  b  c,     
С
P
P
C
P
Моноклинная
a  b  c , ==90ºβ
Ромбическая
a  b  c , =β==90º
I
Тетрагональная
a  b  c , =β==90º
F
I
P
P
Тригональная Гексагональная
a  b  c , =β=90º, =120º
F
P
Кубическая
a  b  c , =β==90º
I
Типы ячеек Бравэ.
55