Компьют. практикум - Высшая школа экономики

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Компьютерных наук
Департамент Программной Инженерии
Утверждаю
Декан факультета
компьютерных наук
И.В. Аржанцев
«___»____________
2014 г.
Программа дисциплины
Компьютерный практикум по математическому анализу в среде Mathcad
для направления 09.03.04 «Программная инженерия»
подготовки бакалавра
Авторы программы:
доцент, к.ф.-м.н. Набебин А.А.
anabebin@hse.ru
Одобрена на заседании департамента программной инженерии «___»____________ 2014 г.
Руководитель департамента
Авдошин С.М.
Рекомендована академическим советом образовательной программы
«Программная инженерия» «___»____________ 2014 г.
Академический руководитель образовательной программы
Дегтярев К.Ю.
Москва, 2014
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и
отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 09.03.04 «Программная инженерия» подготовки
бакалавра, изучающих дисциплину «Компьютерный практикум по математическому
анализу в среде Mathcad».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного
учреждения высшего профессионального образования «Государственный
университет – Высшая школа экономики», в отношении которого установлена
категория «Национальный исследовательский университет»;
 Образовательной программой 09.03.04, направление «Программная инженерия»
подготовки бакалавра;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 09.03.04 «Программная
инженерия» подготовки бакалавра, утвержденным в 2014 г.
2. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математический алализ» являются:
• Развитие математического кругозора студентов.
• Обучение студентов важнейшим теоретическим положениям математического
анализа, вычислительным методам.
•
Выработка у студентов навыков решения конкретных задач, требующих
исследования функций и вычисления связанных с ними величин.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
• Знать
- точные формулировки основных понятий;
- основные вычислительные теоремы и алгоритмы функций одной и нескольких
переменных; решение линейных и нелинейных уравнений и их систем.
- основные теоремы и вычислительные алгоритмы дифференциального исчисления
функций одной и нескольких переменных;
- основные теоремы и вычислительные алгоритмы аппроксимации функций:
- основные теоремы и вычислительные алгоритмы интегрирования функций.
- основные теоремы и вычислительные алгоритмы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений и их систем;
- основные теоремы и вычислительные алгоритмы решения простейших уравнений
математической физики (задача Дирихле, задача колебаний, задача теплопроводности).
• Уметь написать компьютерную программу, чтобы
- приближенно решать линейные и нелинейные уравнения и их системы;
- приближенно вычислять производные и частные производные;
- приближенно вычислять определенные интегралы с заданной точностью;
- аппроксимировать функцию одной переменной;
- приближенно решать задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений;
- приближенно решать простейшие основные задачи математической физики.
2
• Владеть
- методами вычислительного математического анализа;
- методами составления математических моделей, требующих применения
вычислительных методов.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Формы и методы
обучения,
способствующие
формированию и
развитию компетенции
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
ОНК-1
Способность к анализу и
синтезу на основе системного
подхода
Стандартные
(лекционные,
семинарские,
лабораторные)
ОНК-2
Способность перейти от
проблемной ситуации к
проблемам, задачам и
лежащим в их основе
противоречиям
Стандартные
(лекционные,
семинарские,
лабораторные)
ОНК-3
Способность использовать
методы критического анализа,
развития научных теорий,
опровержения и
фальсификации, оценить
качество исследований в
некоторой предметной области
Стандартные
(лекционные,
семинарские,
лабораторные)
ОНК-4
Готовность использовать
основные законы
естественнонаучных
дисциплин в
профессиональной
деятельности, применять
методы математического
анализа и моделирования,
теоретического и
экспериментального
исследования при работе в
какой-либо предметной
области
Стандартные
(лекционные,
семинарские,
лабораторные)
Общенаучная
ОНК-5
Готовность выявить
естественнонаучную сущность
проблем, возникающих в ходе
профессиональной
деятельности, привлечь их для
решения соответствующий
аппарат дисциплины
Стандартные
(лекционные,
семинарские,
лабораторные)
Общенаучная
ОНК-6
Способность приобретать
новые знания с
использованием научной
Стандартные
(лекционные,
семинарские,
Компетенция
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
Общенаучная
3
Компетенция
Код по
ФГОС /
НИУ
Дескрипторы – основные
признаки освоения
(показатели достижения
результата)
методологии и современных
образовательных и
информационных технологий
Общенаучная
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
Профессиональные
Формы и методы
обучения,
способствующие
формированию и
развитию компетенции
лабораторные)
ОНК-7
Способность порождать новые
идеи (креативность)
Стандартные
(лекционные,
семинарские,
лабораторные)
ПК-1
Способность демонстрации
общенаучных базовых знаний
естественных наук,
математики и информатики,
понимание основных фактов,
концепций, принципов теорий,
связанных с прикладной
математикой и информатикой
Стандартные
(лекционные,
семинарские,
лабораторные)
ПК-2
Способность понимать и
применять в
исследовательской и
прикладной деятельности
современный математический
аппарат
Стандартные
(лекционные,
семинарские,
лабораторные)
ПК-4
способность критически
оценивать собственную
квалификацию и её
востребованность,
переосмысливать
накопленный практический
опыт, изменять при
необходимости вид и характер
своей профессиональной
деятельности
Стандартные
(лекционные,
семинарские,
лабораторные)
ПК-8
Способность решать задачи
производственной и
технологической деятельности
на профессиональном уровне,
включая разработку
математических моделей,
алгоритмических и
программных решений
Стандартные
(лекционные,
семинарские,
лабораторные)
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина является обязательной и
математическому и естественнонаучному циклу МЕ.00.
4
относится
к
программистско-
Для освоения учебной дисциплины не требуются знания и компетенции, выходящие за
пределы требований к поступающим на программу бакалавриата, и доступно всем
студентам, принятым на 1 курс.
Изучение данной дисциплины базируется на школьном курсе алгебры и начал анализа.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 знание элементарной алгебры и начал математического анализа;
 знание простейших понятий теории множеств.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин:
 Дифференциальные уравнения;
 Теория вероятностей и математическая статистика;
 Эконометрика;
 Исследование операций;
 Экономика.
5. Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
5
6
7
Название темы
2 модуль
Итерационные методы
решения линейных и
нелинейных уравнений и
их систем.
Трехдиагональные
линейные системы.
Аппроксимация функций.
Численное
дифференцирование и
интегрирование.
3 модуль
Численное решение
задачи Коши.
Линейная краевая задача
для ОДУ второй степени
4 модуль
Численное решение
основных задач
математической физики
(задача Дирихле,
уравнение колебаний,
уравнение
теплопроводности)
Экзамен
Итого
Аудиторные часы
Лекции
Семинары
Всего
часов
Самостоятельная
работа
37
--
12
25
38
--
12
26
37
--
12
25
--
2
38
76
2
114
5
6. Формы контроля знаний студентов
Тип контроля Форма
контроля
Текущий
(неделя в
модуле)
Промежуточный
Итоговый
1 год
Контрольная
работа
Домашнее
задание
Параметры
1
2
3
4
(неделя проведения в модуле)
7
7
7
9
Экзамен
10
Письменная работа на 80
минут
Выполнение домашних
заданий. Письменная
работа на 80 минут для
проверки качества
выполнения домашних
заданий.
Письменная работа на 80
минут
Письменная работа на 80
минут
6.1. Критерии оценки знаний, навыков
Для прохождения контроля студент должен, как минимум, продемонстрировать знания
основных определений и формулировок теорем; умение решать типовые задачи,
разобранные на семинарских занятиях.
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
6.2. Порядок формирования оценок по дисциплине
Предусмотрены две контрольные работы К1 и К2 (во втором и третьем модулях) и
индивидуальное домашнее задание И. Оно выдается на каждом занятии, на следующем
занятии сдается и оценивается. В конце курса вычисляется среднее арифметическое И всех
полученных оценок за для оценки выполнения домашнего задания проводятся письменные
работы во втором и четвертом модулях). В четвертом модуле проводится экзамен.
Итоговая экзаменационная оценка Э по дисциплине формируется как взвешенная сумма
полученных оценок, по формуле Э = 0,3К1 + 0,3К2 + 0,4И с учетом правил округления до
целого числа баллов. Здесь:
К1 - оценка за первую контрольную работу,
К2 - оценка за вторую контрольную работу,
И – среднее арифметическое оценок за выполнение индивидуального домашнего задания в
компьютерной форме.
При пересдаче итогового экзамена (независимо от предыдущих оценок) итоговая
экзаменационная оценка Э по дисциплине формируется как взвешенная сумма
полученных оценок, по формуле Э = 0,8( 0,3К1 + 0,3К2 + 0,4И) с учетом правил
округления до целого числа баллов по десятибалльной шкале.
Таблица соответствия оценок за зачет
6
10шкала при
балльная проведении
шкала
зачета
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
не зачтено
зачтено
Таблица соответствия оценок за экзамен
по десятибалльной и пятибалльной системам
5-балльная шкала
10при проведении балльная
экзамена
шкала
0
неудовлетворительно
удовлетворительно
хорошо
отлично
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7. Содержание программы
1. Методы решения cистем линейных и нелинейных уравнений и их систем.
Трехдиагональные линейные системы.
2. Аппроксимация функций. Численное дифференцирование и интегрирование.
3. Численное решение задачи Коши. Линейная краевая задача для ОДУ второй степени.
4. Численное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
5. Численное решение уравнения колебаний.
6. Численное решение уравнения теплопроводности.
7
8. Образовательные технологии
Проводятся стандартные лекционно-семинарские занятия и регулярные консультации с
ответами на вопросы студентов. Применяются индивидуальные домашние задания.
9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Образцы задач контрольных работ, работ для проверки домашних заданий, зачетных и
экзаменационных работ по математическому анализу.
Типовые задачи для подготовки к контрольной работе за 2 модуль
1. Используя определение предела последовательности, доказать, что lim an  a , для
n 
1
9n
, a .
3
2
1  2n
2. Используя определение предела функции в точке, доказать, что
an 
3
9 x2 1
lim
 6 .
x  1 x  1
3
3
3. Используя определение непрерывности функции в точке, доказать, что функция
f ( x)  ln(4 x 1) непрерывна в точке x0  1 .
2
4. Доказать, что последовательность xn  8  n  5 является сходящейся.
5. Используя признак Вейерштрасса, доказать, что последовательность
1
1
1
xn 

 ... 
является сходящейся.
3 3
3 3
n  1 3 n3  2
n  n 1
n
n
2
n
Вычислить пределы последовательностей (6, 7)
6. lim
1  2  3  4  ...  (2n  1)  2n
n 
3

n3  2n  2
2
2
2
2
lim
(
n

1)(
n

2)

(
n

1)(
n
 2)
7.
n 
Вычислить пределы функций (8 – 14)
8.
10.
12.
( x 3  2 x  1)3
lim
x 1
x4  2x  1
lim
x 2
x  7  11  x
x2 2
. 9.
. 11.
lim
x 


x2  2x  4  x2  4x  3
 5  3x 
lim 

x  7  3 x


2 x
.
1  cos 4 x 2
sin x  cos x
. 13. lim
.
lim
2
2
x 
ln tgx
x 0 arcsin 3 x ln(1  sin 5 x)
4
lim arcsin
14. x 
1 x
1 x
8

.
Типовые задачи для домашних заданий по математическому анализу (2 модуль)
1.
а) Используя определение непрерывности функции в точке, доказать, что функция
f ( x)  2 x  2
б) Найти
f ( x0 ), f ( x0 ) , используя определение, где f ( x)  arctg ( x 1)  x 1 ,
x0  1 .
2. Вычислить
а)
непрерывна в точке x0  1 .
f ( x ) :
1
1
 cos 2 б) f ( x )  ( x  x 4 ) 24  e 2 x ctgx .
;
4
2x
f ( x)  log5 (arcsin 2 x 2 ) 
3. Найти
df ( x0 ) для функции
f ( x)  (3 cos 5 x)e
x  4
5
, x0 
4. Найти y( A), y( A) для функции y(x), заданной неявно уравнением
4
.
5
15 x  4 xy 2  5 x3 y  4 xy  10  0 , а также их значения в точке А(1,1).
y  f ( x) ,
5. Найти касательную прямую и нормаль, проведенные к графику функции
заданной параметрически:

t 2  2t
x 


1 t3

2 , в точке А, соответствующей значению параметра t0  1 .
 y  2t  t

t3 1

(n)
10 x  6
 (3 x  1) cos 2 x
6. Найти y ( x ) , если y ( x ) 
.
5x  2
100
f (0) для f ( x)  16  4 x .
7. Найти d
8. Решить уравнение
f ( x)  0
для функции
( x  1) 2
f ( x)  4
x3
.
Типовые задачи для подготовки к зачетной работе за 3 модуль
1. Используя таблицу эквивалентных функций, вычислить предел
x 2 sin(12 x3 )
lim
x 0 ln(1  2 x )tg 2 3 x
.
2. Вычислить пределы: а)
б)
ln(tgx )
; в)
lim
cos
2
x
x 
4
 3x  7 
lim 

x  3 x  2


f ( x0 ), f ( x0 ) , где
2. Вычислить f ( x ) :
3. Найти
( x 2  3x  2)2
lim
;
x 1 x 3  2 x 2  x  2
 x 3
.
f ( x)  esin x  tgx , x0  0 .
9
а) y  e
arctg
x
2
3
x
x
2 20
2
f
(
x
)

(8
x

cos
4
x
)

arcsin


3
e
б)
.
;
3
( x  1)3
3. Найти производную функции
f ( x )  (2 sin( x 

4
)  3) 2 tgx 1 в точке x0   .
4
4. Найти первый и второй дифференциалы функции y(x), заданной неявно уравнением
2 x3 y 2  2 xy  4 x2  y 2  2 x  6 y  6  0 , в точке А(1,0).
5. Найти касательную прямую и нормаль, проведенные к графику функции
y  f ( x) ,

1 t  t
x 

1 t2
заданной параметрически: 
, в точке А, соответствующей значению

2
t
y 

1 t2

2
параметра t0  0 .
6. Найти y
(n)
( x) , если y ( x)  (2 x  1) sin 2 x 
x2  3
x2 1 .
7. Разложить по формуле Маклорена до о(хn ) функцию f ( x)  x 2 ln(2 x  3) . Вычислить
f (50) (0) .
8.Вычислить предел с помощью формулы Маклорена:
lim
e arctgx  ln(1  x)  1
x 0
2
4  x3
.
9. Найти участки возрастания, убывания и точки экстремума
функции
f ( x)  8 x 2  x 4
.
10.Найти асимптоты графика функции y 
x2  2x .
11. Провести полное исследование и построить график функции
y  ln(tgx) .
Типовые задачи для подготовки к контрольной работе за 4 модуль
1. Разложить по формуле Маклорена функцию:
x5
а) f ( x)  2
до o( x n ) ; б) f ( x)  x 2 1  2 x 2 до o( x 2 n ) . Вычислить f (100) (0) .
x  5x  6
2. Разложить функцию f ( x)  ln 3 8 x  7 по формуле Тейлора в окрестности точки x0  1
до o(( x  x0 ) n ) .
3. Вычислить предел с помощью формулы Маклорена:
lim
e arctg 2 x  ln(1  2 x)  1
2
x 0
4  8 x3
.
4. Является ли множество, на котором определена функция:
(а) u  arccos
y

x
1
x  y 9
2
2
; (б) u  arcsin( x  y )  9  x 2  y 2 
1
:
x y
(а) ограниченным (неограниченным); (б) замкнутым; (в) открытым;
(г) связным; (д) областью; (е) компактом?
5. Вычислить предел функции двух переменных или доказать, что он не существует:
(а)
lim
x 0
y 0
4x2  y2
; (б)
x2  2x2 y 2
lim
x 0
y 1
x  2 y2  2
5
10
3  5 1 x  2 y2
.
6. Выяснить, будет ли функция
 y3  x2
2
2
 3 2 npu x  y  0,
F ( x, y )   y  x

npu x 2  y 2  0
 0
непрерывной в точке (0,0). Ответ обосновать.
1. Вычислить частные производные первого порядка функции
x3
 x ln(sin y ) ;
а) f ( x, y ) 
б) f ( x, y, z )  ( x 2  2 y 2  xz )arcsin 2 x .
2 y
2. Найти частные производные второго порядка
f xx'' , f xy'' , f yy''
.
для
f ( x, y )  ln( x  e xy ) .
3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к графику функции
2
x
в точке M (1,3, ) .
f ( x, y )  arccos
3
x y
4. Вычислить
f t  для
2  cos x
f ( x, y, t )  t e
5. Найти дифференциал функции
точке M (1, 0,3) .
6. Найти производную функции
y3
x
  sin
y
t
, где x 
3
t , y  et .
f ( x, y, z )  ( z cos 2 y  y 2  1)2 x  z
f ( x, y, z )  arctg
в
xy 1
 tg ( x  2 y )
2z 2
в точке M (2,1,1) по направлению вектора MM 0 , где M 0 (0, 2, 1) .
Найти значение параметра k, при котором векторы (k ,1  k ) и grad M
3y
x
зависимы, если f ( x, y )  arcsin( x  )  arccos
, M (1,1) .
2
2y
7.
x2 y
xy 2  z3


8. Найти f xxz для f ( x, y, z )  2
.
z
15. Исследовать на экстремум функцию z  x 4  x 2 y 2  y 4  6 x 2  9 y 2 .
16. Найти экстремумы функции
при условии
f ( x, y )  8 x  4 y  1
8x2  y 2  2  0 .
Типовые задачи для домашних заданий (4 модуль)
Вычислить неопределенные интегралы:

1.
arccos 2 2 x  2
1  4x2
x2  x  1
3. 
dx .
( x  1)3 ( x 2  4)
dx . 2.  e 3 x (5 x  3)dx .
Вычислить определенные интегралы:
e2
1
5x
dx .
4.  x
5 1
0
5.

1

x 2  ln x 2
dx ;
x
6.
2

0
11
cos x  sin x
dx
(1  sin x) 2
f линейно
7.Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций: (а)
(1) y  ( x  3)3 , y  4 x  12 ;
(б) (1) y  x 2  x  2 , 0  x  5 .
8. (а) (1) Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной графиками функций y  4sin x, y  2sin x, 0  x   ,
вокруг оси ОХ.
(б) (1) Используя полярную систему координат, вычислить площадь криволинейного
сектора, ограниченного линиями y 2  6 y  x 2  0, y 2  4 y  x 2  0, y  x, x  0 .
Типовые задачи для подготовки к экзаменационной работе за 4 модуль (итоговой по
курсу)
1. Вычислить предел lim
x  

( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  3)

2. Провести полное исследование и построить график функции y 
2x 1
.
x2 1
3. Разложить по формуле Маклорена до o( x n ) функцию f ( x)  (3  x) ln(1  4 x) .
x
4. Найти производную функции u  ( x2  2 y)e z
в точке N по направлению вектора MN , где M 1, 1, 1 , N (2,1, 1) .
5. Найти точки экстремума функции z  16 x  18 xy  20 x  9 y .
3
2
2
2
6. Найти экстремумы функции z  xy  2 y при условии x 2 y 2  y 2  8 , используя
функцию Лагранжа.
7. Вычислить неопределенные интегралы
а)

arcsin 2 x  1
1  x2
dx
; б)  e
2 x
(4 x  3) dx ;
2 x3  7 x 2  7 x  1
в) 
dx .
( x  2)2 ( x 2  x  1)
8. Вычислить определенные интегралы
1
а)
2x
0 2 x  1 dx ;

x 2  ln x 2
1 x dx ;
e
б)
в)
2

0
cos x  sin x
dx
(1  sin x) 2
9. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций
y  ( x  2)3 , y  4 x  8 .
10. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной графиками функций y  3sin x, y  sin x, 0  x   ,
вокруг оси ОХ.

11. Вычислить несобственный интеграл:

3
2x  5
dx .
2
x  3 x  10
12.Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

1
ex
5  2 3 x  x2
dx ;
а) 
б) 
dx .
x
x
7 4
x
0 e  e
0
12
13.Используя признак сравнения, исследовать на сходимость несобственные интегралы:

1
sin 4 2 x
ln(2  3 x )
а) 
;
б)
xdx
0 3 3  5 x 4 dx
3
x
0
13. Вычислить двойные интегралы
а)
 y sin 2 xydxdy , область Е ограничена линиями
E
б)
 (18x
2
y 2  32 x3 y3 )dxdy ,
1

3
x  , x  3, y  , y 
.
2
2
2
область Е ограничена линиями
E
x  1, y  x3 , y   x
.
14. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле
1
0
 dy  f ( x, y)dx
0
2

y
0
 dy 
f ( x, y )dx
 2 y 2
1
15.Вычислить тройные интегралы
а)
 x e
xy
 
dxdydz
2
2
dxdydz ,
E : x  1, x  0, y  0, y  2, z  1, z  0,
E
б)
E
x y z
1    
2 3 4

x y z
, E :    1, x  0, y  0, z  0 .
2 3 4
6
16.Пластина задана неравенствами: 1  x 2 
 ( x, y ) 
y2
 9, y  0, y  4 x ,
16
y
– поверхностная плотность. Найти массу пластины.
x3
17.Найти объем тела, ограниченного поверхностями
18. Найти сумму ряда
z  36  x 2  y 2 ,9 z  x 2  y 2 .
6n  5
.

7n
n 1

19. Исследовать на сходимость числовые ряды:


ln n
14n (n3  2n)
а) 
; б)  8 .
(n  2)!
n 1 n
n 1
20. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

 (1)n1 
n 1
21. Будет ли данный ряд

 (1)
n ( n 1)
2
n 2  2n  3
.
5n3
1
:
n n
а) абсолютно сходящимся; б) условно сходящимся?
sin
n 1
22. Найти радиус и области сходимости и расходимости степенного ряда
13
n2  5n  4
( x  2)n .

n2
3
n 0

23. Разложить функцию в ряд Маклорена: f ( x) 
1
.
5  2x
COLLECTION OF PROBLEMS FOR COMPUTATIONAL MATHEMATICS
LESSON 1. Computational errors
Problem 1. Function f(a,b,c) is given. Values of variables are specified (given) in a
variant with all true digits. To estimate the error of result, using:
a) estimations of errors for arithmetic operations;
b) the general formula of errors.
Result should be presented in two forms of record: with the explicit indication of
errors, and with the number of true digits.
№ f (a, b, c)
1
a
a 2  bc
2
a b
a 2  bc
3
a2
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
ab  bc
ab
a 2  bc
ab
a 2  b2
ab
a 2  bc
a b
a 2  b2
a 2b
c
a3b
c
ab  b 2
a2  c2
ab3
c
a
b
0.012 0.283
5
14.29 13.81
12.28 13.21
0.328 0.781
14.85 15.49
12.31 0.035
2
12.45 11.98
3.456 0.642
1.245 0.121
Variants of problems
№ f (a, b, c)
c
0.018 16
a  b2
7
a2  b
10.98 17
a  b2
a2  b
12.19 18
ab
bc
0.012 19 ac  bc
9
a 2  b2
20 ac  bc
a 2  b2
10.82 21 a 2  b 2
abc
2
22 a  b 2
a b
7.12 23
c
a 2  b2
2.34 24
ab 2
c
ab
2
a  b2
ac  b
ac  b
13.12 0.145 15.18 25
0.643 2.17
5.843 26
14
a
4.41
b
18.5
c
16.5
4.2
52.31
48.95
47.81
4.81
4.52
9.28
16.21
16.18
21.23
121
0.324
1.25
25.18
24.98
3.1415 3.1411 10.91
3.14
1.57
14.85
15.49
5.325
5.152
0.0921
5.481
1
2
1
3
1
4
1
5
ab
c2
ab  b 2
a2  c2
ac
a  b2
0.357 2.63 0.854 27
5
14.91 0.485 14.18 28
16.5
4.12
0.198 29
c2
a2  b
5.21
14.9
0.295 30
ac
a 2  b2
a2  b
c
3
a b
c
ab
c3
71.4
4.82
49.5
4.356
4.32
0.246
3.42
5.124
0.221
0.5761 3.622
0.0685
Problem 2. Evaluate expression Z and estimate absolute and relative errors of
result, including what values of initial data are received as a result of a rounding off.
Write down result and the error.
№
1
2
Variants of problems
№
Z
Z
3
4
ln(3.3)sin(5.13  3.61)
16
sin( 1.01  2.02  3.03)
17
0.5391tg 15.31/ 9.814 
e3.14 cos(2.12  7.97)


3
ln 10.28  8.312  5.252
4
(1.01)2  (2.02)3  (4.04)2
ln(5.55)(cos(1.111)  sin(2.222))
5
6
7
8
e
1.913
 e1.913

18
1.312  12.199
10.1  (10.1)2  4.3  1.1
1.32cos(0.22)  sin(3.14)
9
19
3 1.03
e
 e1.01  3.14159
20
(18.1)2  (1.3)2  (40.5)3
sin(8.0  3.14)  cos(1.0)
21
sin 2 (2.0  5.0)  cos(6.0)
22
ln(sin(1.5)  0.01)  1.0
23


3.03  2.02  1.01


1.18  cos2 (1.3 1.2)
24
10
3.14 (8.73)2  (8.09)2
25
sin3.1  cos2.9 e0.01
11
ln 1.345  3 1.2312  0.4292
26
sin(e2.152.51  100.0)
12
3
27
e3.81 / 1.282  0.03212
28
2
29
30
3.01e2.18  2.18e3.01
0.0452e2.45  6.06e2.45
13

3
6.291  0.0231e4.828
10.82  9.37 / 0.28
14 16.3arcsin(4.83/ 4.98)
15 e 4.61.52.48

15
2
1.01  0.05 sin(3.14)

3.18
3
4.21
 / 5.13

2
 a11x  a12 y  c1
Problem 3. Solve system of the linear equations 
by Kramer’s
 a21x  a22 y  c2
rule. Coefficients a21, a22, c1, c2 are given exactly. Estimate the error of the solution
and write down the answer with the error.
INDICATION. For formation of a matrix of coefficients of system of the equations
it is necessary: a) compute standard functions (arguments of trigonometric functions
to compute in radians); b) make the rounding off up to six significant digits.
Variants of problems
№
№ a11
a11
a12
a12
c1
c1
a21
1
2
3
4
5
6
7
8
3.005
1.733
1.32
4.81
16
5
2.236
5.005
2.238
2.76
1.95
17
7
2.645
7.005
2.647
1.89
18
9.1
3.017
9.005
3.000
10.97
3
1732
.
27
5190
.
10.73
0.923
20
3
1732
.
19
4.359
11.23
21
3
1732
.
17
4.122
1087
.
ln(5)
3
1732
.
17
4.122
ln(4)
1.386
10
13
19
 175
.
0.827
a22
c2
e1.2
3.320
e0.8
2.225
e1.3
3.669
e1.5
4.481
sin(15
. )
4.32
0.997
2.87
sin(14
. )
3.51
2.25
ln(4)
0.985
sin( 08
.)
0.717
9.17
sin( 0.7)
0.644
9.17
7.005
2.647
6.81
4.29
4.29
 0.532
5
1.710
e1.2
3.320
1192
.
3
1081
.
22
3
6
1817
.
e0.8
2.225
8.75
7.21
8.71
0.929
23
3
7
1.913
e1.3
3.669
8.75
7.21
8.71
24
3
9
2.080
e1.5
4.481
8.75
7.21
25
3
10
2.154
e1.7
5.474
17
4.122
e1.2
3.320
9.17
5
2.236
sin(15
. )
8.71
0.997
0.929
ln(5)
27
5190
.
1192
.
1293
.
0.929
27
5190
.
389
.
0.321
26
27
5190
.
sin(15
. )
7.32
27
0.997
 0.731
19
4.359
sin(14
. )
6.81
0.985
 0.532
ln(6)
a21
1.386
8.71
1.791
12
5.76
19
4.359
ln(5)
1.609
11
c2
3
1732
.
1.609
9
a22
0.929
28
1.609
16
1121
.
8.72
4.29
1081
.
14
15
ln(10)
2.302
3
1732
.
17
4.122
sin( 08
.)
0.717
7.32
29
 0.731
6.81
30
 0.532
e1.3
3.669
sin( 08
.)
0.717
4.32
ln(5)
19
4.359
8.71
1.609
2.87
0.929
LESSON 2. Solution of non-linear equations
Problem 4. By the bisection method, find solution of the nonlinear equation on
the segment [a, b] with accuracy  = 10-2. Having chosen the received solution as
initial approximation, find solution of the equation by method of simple iteration with
accuracy  = 10-4. For the method of simple iteration, prove convergence and
estimate sufficiency of number of iterations for achievement of the given accuracy.
Variants of problems
[ a, b]
[ a, b]
№
Уравнение
№
Уравнение
ln x  tgx
1
[3.5,4.5] 16 2 x  2  x 2
[0.5,0.8]
2
2
[-1.3,17 sin x  1/(1  x )
[0.5,1]
ln( x  2.5)  x 2  1
0.7]
3
[1.8,2.2] 18 ln(1  x )  cos x
[0.3,1.3]
x cos x  sin x  0
2
4
[2.7,2.9] 19 x  ctgx
[0.5,1]
x sin x  cos x  0
5
[0,0.6]
20 x  1/ x  2  cos( x  1)
[1.8,2.3]
e x  sin x
2
x
x
6
[1.5,2]
21 e  e  3  x
[1,1.5]
ln x  4  x
2
7
[2.6,3]
22 sin x  cos( x )
[0.7,1]
x  x 2  10
5
2
8
[1,1.5]
23 cos x  sin( x )
[1.5,2]
x  2x  8  0
9
[0.5,0.7] 24 tgx  e x
[3,3.3]
x  cos x  0
x
10 e x  x 2  2 x
[-1,-0.5 ] 25 xe  3
[1,1.5]
x
11 e  1/ x
[0.3,0.8] 26 e2sin x  x
[2.5,3]
12
[0.5,1]
27
[1,1.5]
cos x  x 2
x  x3  1
4
3
13 ln(2  x)  x
[1.4,2]
28 x  x  1  0
[-1,-0.5]
14 ln( x  1)  4  x2
[1,2]
29
[1.5,2]
 x2 / 4
2
2
15
x  1  x  0.5
[0.2,1]
30
e
2 x x
ln x  cos x
[1,1.5]
Problem 5. Polynominal of third degree P(x) = x3 + bx2 + c is given. Find the real
root of a polynominal located on an interval (-3,0), with accuracy  = 10-6 by the
Newton method. Estimate the interval of uncertainty of the root. Investigate the
influence of the error of the task for coefficient b of the solution of problem: make
the theoretical estimation of the error and execute computing experiment.
№
1
2
3
b
-1
-2
-3
c
30
29
28
№
7
8
9
b
-7
-8
-9
Variants of problems
c № b
c
№ b
24 13 -13 18
19 -19
23 14 -14 17
20 -20
22 15 -15 16
21 -21
17
c
12
11
10
№
25
26
27
b
-25
-26
-27
c
6
5
4
4
5
6
-4 27
-5 26
-6 25
10 -10
11 -11
12 -12
21 16 -16
20 17 -17
19 18 -18
15
14
13
22 -22
23 -23
24 -24
9
8
7
28 -28
29 -29
30 -31
3
2
1
LESSON 3. System of linear equations
Problem 6. Compute the norms
of matrix A for the problem 3
e , and
1,

of typical tasks. Compute the stipulation number of the matrix under the formula
cond(A) = A   A1  .
Problem 7. Find LU-decomposition of matrix A.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
8
-40
32
-24
3
0
-9
6
-8
0
48
16
A
-8
-7
41 43
-29 3
10 5
5
5
-6 -6
-9 -10
15
-1
5
-3
8
-7
-86 76
4
-6
-2 7
8 -19
-4 -58
4 -15
2 -5
-16 48
0 24
8 21
-1 5
-4 27
9 -94
5 -25
-9
7
36 -29
72 -61
27 –2
-9 6
9 –10
№
11
7
-42
-5
15
-3 12
8
1
-3
8 13
5
-43
-2
-8 -3
41 33
-82 25
6 24
6 1
-55 –5
-25 10
30 4
-3 2
-18 9
74 -20
16 -10
-3 7
18 36
58 -42
13 -22
-3 6
3 -15
14
15
16
17
18
Variants of problems
A
-3
4
3 -4
27 -44 -24 37
27
4 -38 36
-18 -20 18 -25
9
5
0 -5
63
40
1 -37
-45 -20 -7 26
-9
-6 -1 7
-7
3 -9 0
56 -26 75 50
7
-1
5 7
28 -13 30 25
-1
0
0 1
6
-8
8 -6
7 -16 18 19
2
3 -4
5
-6
-5
0 -8
-6
-1
-2 3
-24
8
-8 –32
12
11 -1 35
-1
-5 -9
3
-5 -19 -54 15
-5 -61
8 -15
1 10
9 -4
-6
0
4 -4
-24
9
16 -17
-54
0
44 -35
12 -3
-9 9
-6
4
-4 5
-24 21 -10 22
18
№
21
22
23
24
25
26
27
28
A
9
3 -5
-63 -24 36
0
18 -7
18
7 -9
-5 -4 -4
-5 -2 -8
15 12
7
-30 -27 –27
9
5 -6
-45 -24 34
-18 -8 23
-9 -10
7
8
-6 3
0
18 -16
-1
36 -53 -11
-24 13
4
5
3
9
20 18 37
-15 -51 -31
10
7 19
-1 -7
6
-6 -40 36
0 -6
-1
5 37 -32
-8 -5 6
24 22 -27
48 -26 35
-40 -25 31
-4
5
-3
-4
0
-5
-6
43
-7
-12
6
7
-20
40
5
26
-11
-8
25
50
-33
6
25
-19
13
1
6
-6
-3
4
-20
25
21
-2
-3
81
-18
9
1
-8
-5
-3
10 4
-24
28
-20
-50
-15
8
-63
-39
-26
-1
14
-63
5
18 54
9 -11
4 -2
-37 17
-18 12
-14 8
-3 1
18 -8
-16 14
18 -6
19
20
12
-30
7
-35
21
-7
6
24
0
1
-38
18
5
-27
17
-8
-6
-32
56
-1
-20
-22
-9
44
-32
9
6
23
12
-1
-13
25
-3
17
-10
5
-6
-25
6
1
29
30
-32 40 -21 -10
8
11 13 -9
-7
-7
6 -6
14 11 -4 11
49 25 20 42
7
7
-7 7
3 4 -9 5
-15 -12 50 -16
-27 -36 73 8
9 12 -10 -16
Problem 8. Solve linear system of equations Aх=b by the Holetski method.
Variants of problems
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
A
25 0
-5
0 9
-3
-5 -3
83
9 15 -18
15 50 -60
-18 -60 73
81 54 -18
54 45 -6
-18 -6 72
36 54 12
54 85 8
12 8 65
49 -42 -21
-42 61 23
-21 23 14
81 63 -9
63 58 11
-9 11 53
36 6 -48
6 65 -48
-48 -48 90
10 –5 –4
-5 74 34
-4 34 45
16 -4 32
-4 10 8
32 -8 89
4 -18 14
-18 85 -73
14 -73 75
b
№
-10
51
52
-21
-10
12
-27
-36
570
62
255
24
-196
278
94
-873
-661
213
288
408
-618
-57
625
377
-348
150
-871
-30
107
-31
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A
1 -8 -1
-8 65 1
-1 1 59
64 64 8
64 68 16
8 16 66
16 -8 8
-8 40 20
8 20 24
16 16 0
16 97 72
0 72 68
4 -12 8
-12 72 -48
8 -48 57
36 -42 18
-42 74 -26
18 -26 59
1 -6 -5
-6 72 48
-5 48 50
49 7 0
7 10 0
0 0 36
16 8 -20
8 20 -6
-20 -6 35
25 -30 20
-30 37 -21
20 -21 41
19
b
№
34
-320
356
64
60
0
-56
-152
-148
64
793
684
108
-672
548
-264
548
-572
69
-774
-557
-105
-87
288
168
-12
-270
70
-55
287
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
A
36 30 18
30 61 15
18 15 58
16 -28 -12
-28 65 -7
-12 -7 83
49 42 0
42 40 -2
0 -2 37
16 8 32
8 15 16
32 16 80
4 6 -16
6 10 -23
-16 -23 69
81 -45 0
-45 41 8
0 8 68
64 48 16
48 45 12
16 12 29
49 35 28
35 26 20
28 20 52
16 0 4
0 49 -28
4 -28 26
81 -45 45 45 50 -15
45 -15 38
b
48
-140
-123
248
-306
-610
392
338
-37
32
16
160
82
115
-356
-72
-32
-356
-112
-12
97
-483
-354
-492
120
336
-144
531
-460
193
Problem 9. Execute 3 iterations by Seidel’s method for system of equations Aх =
b. As initial approximation, take the vector specified in the variant x(0). Represent
graphically behaviour of iterative process. Analyse the received results from the point
of view of convergence (divergence) of the method.
Variants of problems
№
A
3 –1
-1 3
2
1 -2
-2 1
3
2 -0.5
-0.5 2
4 0.5 -1
-1 0.5
5 1 2
2 1
6 1 1
1 4
7 2 3
3 5
8 5 -5
5 5
9 0 0.5
0.5 3
10 2 -2
2 2
1
b
x
(0)
2
5
2
4
-1
3
-1
-1
-1.5 3
-1.5 7
1
0
1
-4
1.5 1
1.5 2
5
5
5
5
4
1
4
0
0
5
10
5
-3.5 4
-3.5 -6
0
2
4
3
№
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A
3
-6
-2
-2
4
-1
1
-2
2
2
4
-2
-1
-1
1
2
1
1
6
2
–6
3
2
-2
–1
4
-2
1
-2
2
–2
4
1
-1
2
1
–1
1
2
6
b
x (0)
№
3
3
0
4
6
6
2
2
0
-4
0
-4
0
2
3
3
0
4
-8
-8
0
-2
-1
3
-2
-2
-3
-3
2
-3
-3
-1
0
0
2
0
0
0
3
-2
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
A
5 –2
-2 5
2 -3
-3 2
-1 1
-1 -1
8 3
3 8
2 3
3 2
1 –1
1 1
7 -4
-4 7
1 -3
-3 1
1 3
3 1
8 –3
-3 8
b
x (0)
-1.5
-1.5
-2
-2
0
-4
-22
-22
10
10
0
-4
-6
-6
-1
-1
-4
-4
-5
-5
-2
-2
1
4
2
-2
-4
2
1
-1
-2
3
-1
-1
1
1
-3
0
1
0
Problem 10. Solve system of the linear equations Ax = b by the following
methods.
1. The Gauss method with the choice of the main element;
2. Method of simple iterations.
3. Seidel’s method.
By iterative methods, find solution of the problem with accuracy  =10-3.
INDICATION. To satisfy sufficient condition of convergence, make
rearrangement of rows in initial system of the equations.
№
1
Variants of problems
№
b
A
3
-5
2
12
12
2
0
3
-1
0
16
0
0
32
-3
0
18 16
-15
0
21
20
4
2
2 30
36 0
0
0
b
A
32
0
4
11
0
-4
-5
40
-19
39
40
31
2
3
4
5
6
4
16
-4
2
2
-8
25
0
5
4
20
0
-7
9
25
0
8
-7
8
32
20
2
0
0
16
5
0
-3
-2
25
0
0
2
-5
0
32
40
5
0
0
1
0
4
10
-3
0
-2
20
32
0
2
-9
40
0
4
0
-3
0
64
0
0
-2
32
0
0
40
3
0
0
-3
-7
40
0
50
-1
9
0
50
-11
5
24
-13
0
7
17
9
98
5
-7
18
27
34
-28
5
19
21
-14
13
21
28
0
18
12
20
21
4
10
32
0
9
12
-4
36
7
9
0
40
11
50
0
17
15
64
0
0
-5
40
-4
0
0
4
32
0
40
2
-4
0
0
64
0
0
-5
64
50
0
9
-7
11
0
64
-2
3
0
13
-9
0 80
80
-4
7
0
11
-8
37 100
19
0
34
-49
0
50
-4
-9
0
96
8
9
0
-4
80
0
0
-12
100
0
0
-5
128
0
81
119
-15
7
18
0
128
-19
-34
0
131
85
93
131
-34
125
LESSON 4. Approximation of function by the method of the least squares
Problem 11. Function y = f(x) is given by the following table.
-2
y0
x
y
-1
y1
0
y2
1
y3
2
y4
Applying the least squares method, approximate function by polynomials of the 1st and 2-nd degrees. For each approximation, define the size of the root-mean-square
error. Draw the graphs of function and polynomials.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y0№
y1
y2
Variants of problems
y3
y4
y№
y1
0
3.1
-0.4
6.4
7.5
5.7
-1.3
-0.8
0.8
0.9
0.9
1.7
0.2
3.3
4.5
2.9
1.2
-1.6
1.6
0.6
1.4
0.9
1.0
1.4
3.0
1.2
2.8
-1.3
1.2
1.2
1.1
0.7
1.2
1.3
1.8
0.8
3.0
0.4
-0.4
1.6
0.4
1.05
0.9
2.5
2.5
1.8
2.5
3.2
-5.7
3.1
-1.2
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
21
5.2
4.8
1.4
-1.2
-2.0
-0.7
1.8
2.6
-2.4
-0.6
2.4
2.6
3.2
0.8
0.6
1.6
2.5
0.4
0.2
1.6
y2
y3
y4
1.2
1.8
2.8
2.8
2.2
2.5
1.6
-1.2
1.4
-1.3
0.8
1.3
1.6
2.9
2.5
1.2
0.3
-1.6
2.2
-0.5
1.5
1.0
0.2
0.7
0.9
-1.8
21.5
-1.0
1.8
1.5
11
12
13
14
15
-4.8
11.0
1.3
0.8
2.8
0
6.5
0.7
1.1
1.4
3.2
3.2
0.9
1.6
2.1
4.0
1.8
1.5
2.9
3.6
2.8
3.5
3.5
4.5
4.8
26
27
28
29
30
0.0
3.2
2.4
1.8
1.6
-1.4
2.8
1.0
0.92
0.88
-1.6
2.2
0.05
0.25
0.35
-0.5
0.6
-0.17
0.12
0.28
1.2
-1.5
0.4
0.0
0.2
Problem 12. Compute the normal system of the equations for defining coefficients
a, b, and function g ( x)  a0 ( x)  b1( x)  c2 ( x) which gives root-mean-square
approximation for the table function y(x), which is given by table at n+1 points.
Variants of problems
 0 ( x)
 0 ( x)
 1 ( x)
 2 ( x)
 1 ( x)
 2 ( x)
№
№
1
2x 2
4x 4
1
16
1
1
2 x
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
ln x
x
x
1
x
e x1
1
2
1
x 1
x
x 1
ex
sin( 2 x )
cos(2 x)
1
 x 1
( x  1)3
x
sin x
x sin x
x2
ex
1 x
cos x
x
x5
ln x
x2
2
x
x
sin x
x 0.5
x4
1
x 1
x7
17
18
19
x2
3
20
21
22
23
24
25
cos(3x)
x 1
x3
e
sin x
1
4x
26
27
28
29
x
sin(3x)
30
ln x
1
cos( x  2)
x
3
x
x
( x  2)2
3
ex
x
x5
sin x
sin(3x)
x2
x3
x2
ln x  2
2
x2
2 x
1
x sin x
1
cos x
x2
x4
1
x
( x  1)2
x
x
1
x 1
e3x
e3x
x
cos x
x cos( x)
LESSON 5. Approximation of functions by interpolation.
Numerical integration
Problem 13. For the table given function, write the Lagrange and Newton
interpolating polynomials. Using the Newton polynomial, compute approximate
value of function at the given point x0.
№ Table
1 x -2
y
4
2 x -1
y
1
-1 0
1 -2
0 1
-2 -3
1
-3
2
-1
Variants of problems
№
Table
x0
-1.25 16 x
-3
y
-2
-0.25 17 x
-2
y
-3
22
-2
-3
-1
-1
-1
-1
0
0
0
0
1
7
x0
-2.25
-1.25
3
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Y
x
y
x
y
x
y
x
y
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
0
-2
1
-3
2
-1
3
0
1
4
-4
1
3
-2
4
-3
5
-1
6
0
-5
-2
3
4
2
1
1
-3
2
-1
3
0
4
7
2
1
-3
-2
4
-3
5
-1
6
0
7
7
-4
-3
4
1
3
-2
2
-1
3
0
4
7
5
4
3
-2
-2
-3
5
-1
6
0
7
7
8
4
-3
-1
5
-2
4
-3
3
0
4
7
5
4
6
1
4
-3
-1
-1
6
0
7
7
8
4
9
1
-2
0
6
-3
5
-1
0.75
18
1.75
19
2.75
20
3.75
21
1.75
22
-3.25 23
3.75
24
4.75
25
5.75
26
6.75
27
-4.25 28
3.75
29
2.75
30
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
-1
-1
0
0
-4
-3
-5
4
4
1
5
-2
6
-3
-3
-1
-2
0
0
0
1
1
4
-1
5
0
0
0
1
7
-3
-1
-4
1
5
-2
6
-3
7
-1
-2
0
-1
7
1
1
2
-2
5
0
6
7
1
7
2
4
-2
0
-3
-2
6
-3
7
-1
8
0
-1
7
0
4
2
2
3
-3
6
7
7
4
2
4
3
1
-1
7
-2
-3
7
-1
8
0
9
7
0
4
1
1
3
3
4
-1
7
4
8
1
-0.25
0.75
-3.25
-4.25
4.75
5.75
6.75
-2.25
-1.25
0.75
1.75
4.75
5.75
Problem 14. For the table given function, find the approximate value f (x0), using
the Newton interpolating polynomials of the 1-st and 2-nd degrees. Estimate the error
under the formula of the remainder term.
N
1
2
3
2
Variants of problems
y  f ( x)
Таблица
x0
0.53 x
0.5
0.6
0.67 y
0.461281 0.535153
0.84 x
0.8
0.9
y
0.657670 0.706241
dt
0.57
0.62
0.78
f ( x)
x
t
 e dt
0
x
4
5
6
e
7
x
t2
0
t
 e dt
0
3/ 2
0.47
x
y
x
y
x
0.5
0.6
0.548987 0.680492
0.8
1.009122
0.4
0.5
23
0.7
0.600685
0.7
0.833304
0.6
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0.69
0.72
x
0.53
0.78
0.92
t
 e dt
3/ 2
0
dt
0.64
0.73
0.89
dt
0.43
0.52
0.77
x
 cos t
2
0
x
 sin t
2
0
0.64
0.73
0.89
x
3/ 2
 cos t dt
0
x

1  0.8sin 2 tdt
0
x

0
dt
1  0.8sin 2 t
x

2.58
2.78
2.93
2.53
2.77
2.96
0.68
0.92
1.36
arctgtdt
0
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
0.362528
0.7
0.562204
0.5
0.579250
0.8
1.090475
0.6
0.496883
0.9
0.767847
0.4
0.021294
0.7
0.112387
0.6
0.599500
0.9
0.891509
2.5
1.749416
2.8
2.020652
2.5
3.835176
2.8
4.167403
0.6
0.301770
1.2
0.811346
0.436468
0.8
0.614452
0.6
0.729755
0.9
1.309671
0.7
0.592270
0.502979
0.5
0.041480
0.8
0.165737
0.7
0.698531
0.6
0.071336
2.6
1.836064
2.9
2.117259
2.6
3.950609
2.9
4.270920
0.8
0.457854
1.4
1.002592
2.7
1.926688
3.0
2.215765
2.7
4.060970
3.0
4.372438
1.0
0.628915
0.7
0.898808
1.0
1.562402
0.8
0.683378
0.8
0.796265
Problem 15. Construct a parabolic spline of defect 1 for the table given
function with the additional condition specified in the individual variant. On the same
draught, draw the graph of the found spline and mark initial points (xi, yi), i=0,1,2,3.
INDICATION. For simplification of computations, write down a polynomial on the
segment [xi-1, xi] in the form of
Pi(x) = ai,0 + ai,1(x - xi-1) + ai,2(x - xi-1)(x - xi).
Variants of problems
№
1
x0
x1
x2
x3
Additional
y0
y1
y2
y3
condition
0.2
1.22
0.7
1.96
1.4
2.68
1.8
2.65
24
S " (1.8)= -2.44
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
3.2
-0.187
1.5
0.106
0
13.6
0
10.87
3.3
-0.745
4
-3.027
2.4
-1.770
0.3
13
0.5
9.62
3.9
-0.968
4.6
-4.571
2.8
-2.638
0.9
9.3
0.9
7.45
4.3
-1.340
5
-4.795
3.5
-3.278
1.3
6.5
1.2
5.75
4.7
-1.975
0.1
1.01
-0.7
6.088
-2
-1.3
-0.5
-4.601
0.9
22.00
5.1
-4.722
1.6
0.047
-1.2
7.18
-1
6.87
2.5
-0.898
0
4.66
0.1
7.493
-1.5
-2
0.7
3.18
-0.2
0.820
4.8
-4.782
2.6
0.7
1.26
-0.6
5.102
-0.5
-5.2
-0.2
-2.875
1.5
27.15
5.6
-3.535
2.4
1.770
-0.8
10.04
-0.5
9.62
3
-0.743
0.4
4.38
0.3
7.303
-1
-3.25
1.4
2.25
0.5
1.615
5.4
-4.173
3.2
1.2
1.81
-0.5
4.571
0
-6.5
0.6
-1.438
1.9
25.76
5.9
-2.206
2.9
2.816
-0.3
12.99
0.1
10.82
3.8
-0.907
1.2
1.71
0.6
6.168
0
-6.5
1.9
1.86
1.1
2.438
5.6
-3.535
3.5
1.6
2.58
-0.3
4.111
0.5
-5.2
0.9
-1.211
2.3
21.08
6.3
0.106
3.4
3.287
0
13.59
0.6
9.13
4.5
-0.620
1.6
0.91
1
3.750
1
-3.25
2.4
1.60
1.6
2.717
6.2
-0.515
4
25
S " (3.2)= -1.81
S ' (1.5)= -1.426
S ' (1.3)= -6.3
S " (0.5-0) = S " (0.5+0)
S " (4.3-0) =
S " (4.3+0)
S " (1.6)=2.58
S " (-0.7)=100
S ' (-2)= -1.04
S ' (0.9)=0.637
S " (2.3)= -0.636
S " (5.1)=5.478
S ' (1.6)=1.629
S ' (0) = 0
S " (-0.5-0)= S " (-0.5+0)
S " (3.8-0)= S " (3.8+0)
S " (1.6)=2.43
S " (0.1)= -4.478
S ' (-1.5)= -1.85
S ' (2.4)= -0.5
S " (1.6)= -2.714
S " (4.8)=4.957
S ' (2.6)=2.2
24
25
26
27
28
29
30
2.228
1.3
6.533
3.195
1.8
3.984
3.278
2.3
2.568
2.615
2.8
1.949
-2.5
1.347
0.5
-4.81
0
3.56
0
-6.50
-0.4
3.333
0.8
3.00
-1.8
2.390
1
-3.43
0.4
3.35
0.2
-6.25
-0.1
2.222
1.5
2.16
-0.8
6.021
1.8
-1.59
0.8
2.35
0.6
-4.78
0.4
1.429
2.1
1.74
0
8.155
2.5
-0.90
1.4
0.95
1
-3.25
1.2
0.909
2.6
1.50
S ' (2.8)= -0.653
S " (-1.8-0) = S " (-1.8+0)
S " (1.8-0) = S " (1.8+0)
S " (1.4)=2.56
S " (0) = 13
S ' (-0.4)= -5.555
S ' (2.6)= -0.4
2.6
Problem 16. Evaluate integral

f ( x)dx , using the following formulas.
1.0
1. Formula of the central rectangles with the step h=0.4; compute the aprioristic
estimation of the error.
2. Formula of trapezes with the steps h=0.4 and h=0.2; to estimate the error of the
result under Runge’s formula and make the result more precisely by Runge.
3. Simpson's formula with step h=0.4. Compute intermediate results with six
significant digits. Compute the arguments of trigonometric functions in radians.
Variants of problems
f(x)
№
0.1/x
21
e-
f(x)
2
ecos x
22
23
24
25
sin(0.5x x )
№ f(x)
1 e 0.5x 2
2 sin(0.5x2)
3 ecos(x)
4 sin(1/ x )
5 esin( x)
№
11
12
13
14
15
sin(1/x2)
6
3sin(0.06 x 3 )
16
cos( x x )
26
esin(1/ x)
7
8
e1/ x
cos(1 / x 2 )
2cos(0.2 x 2 )
17
18
e 1/ x
27
28
e1/( x x )
ecos(1/ x)
9
ecos( x)
19
cos(1 / x)
29
e0.5x
20
e0.02x
30
e0.3x
10 4cos(0.02 x 3 )
sin2 ( x )
e
e 0.2sin x
e0.3/ x
2
2
x
26
esin(1/x)
e0.4cos(1/ x)
e0.6/( x x )
x
2
Problem 17. By the method of undefined coefficient, find the formula for
b
numerical integration of the form:
a f ( x)dx = A0f(x0) + A1f(x1) + A2f(x2) which is
exact for polynomials of degrees 0,1,2.
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
a
0
0
-2
0
-1
0
-2
1
0
-1
0
0
-2
1
-1
Variants of problems
b x0 x1
x2 N a b
1 0 1/2 1
16 1 2
1 0 2/5 1
17 0 1
-1 -2 -3/2 -1 18 -2 -1
1 1/4 1/2 ¾ 19 1 2
0 -1 -1/2 0
20 -1 0
1 0 1/3 1
21 0 1
-1 -2 -7/4 -1 22 -1 0
2 1 3/2 2
23 0 1
1 1/3 2/3 1
24 1 2
0 -1 -3/4 0
25 -1 0
1 1/5 3/5 4/5 26 0 1
1 0 2/3 1
27 1 2
-1 -2 -7/5 -1 28 0 1
2 1 4/3 2
29 -2 -1
0 -1 -1/4 0
30 0 1
x0
1
0
-2
1
-3/4
0
-1
0
4/3
-3/5
0
1
0
-7/4
0
x1
5/3
1/4
-9/5
7/4
-1/2
4/5
-1/5
3/4
7/4
-2/5
1/5
4/3
3/5
-3/2
1/3
x2
2
1
-1
2
-1/4
1
0
1
2
-1/5
1
7/4
1
-5/4
2/3
LESSON 6. Numerical solution of Cauchy problem
Problem 18. Numerically to solve Cauchy problem for the ordinary differential of
the 1-st order y (t) = f(t,y(t)), t[t0, T], y(t0)=y0, y(t0)=y0, on the segment
t  [t0, T] with the step h=0.2 by the following methods.
1. Euler's method.
2. Runge-Kutta’s method of 2-nd order with the estimation of the error by Runge’s
rule.
Find exact solution of the problem. Draw the graphs of the exact and approximate
solution.
Solve numerically the Cauchy problem for the ordinary differential equation of the
1-st order y (t) = f(t,y(t)), t[t0, T], y(t0)=y0, on the segment t[t0, T] with the step
h=0.2 by the following methods. 1. Euler's method. 2. Runge-Kutta’s method of 2-nd
order with the estimation of the error by Runge’s rule. Find exact solution of the
problem. Draw on the same draught the graphs of the exact and approximate
solutions.
Variants of problems
№
f(t,y)
t0
T
y0
№
f(t,y)
1
y / t  t2
1
2
0
16
 y / t  3t
27
t T
0
1 2
y0
1
yctgt  2t sin t
2

2

+
2
0
17
1 t2
1
3
 y cos t 
0
sin(2t )
2
1

4
 ytgt  cos2 t
4
2ty
y
 t 2  2t
t2
y
 et (t  1)
t 1
y / t  t sin t
6
7
2
3
1
2
1
2t  1
0.
5
19
t2
3y 2
  3
t t
1
2
1
1
5
1
18
0

+
4
1 t2
y 1
-1
0
1.
5
20
2ty  2t 3
1
2
e1
0
1
1
21
y / t  2/ t 2
1
2
1

2

+
2
1
22
ty  t 3
0
1
3
1

23
2
y  et (t  1)2
t 1
0
1
1
8
 y / t  sin t

1
+1
9
y
  t2
2t
1
2
1
24
2ty  tet sin t
0
1
1
0
1
2
3
25
0
1
0.5
2
3
4
26
2y
 (t  1)3
t 1
y cos t  sin 2t
0
1
3
1
2
e
27
4ty  4t 3
0
1 -0.5
2
2
1
4
28
29
y / t  ln t / t
y / t  12/ t 3
1
1
1
0
2
1
1
0
2 y / t  t 3
1
2
5
6
30
0
1
-1
10

11
12
13
14
15
2t
y
2t 2
1 t2
1 t2
2t  5
y5
t2
t 1 t
y /t 
e
t
y / t  2ln t / t
-
2
3t 2 y  t 2 (1  t 3 ) / 3
y cos t  sin 2t
Problem 19. Find the order of approximation of the 2-step method
(a0yi + a1yi-1 + a2yi-2)/h = b0f(ti, yi) + b1f(ti-1, yi-1) + b2f(ti-2, yi-2), i=2,3,…
 y '  f (t , y ),
for solution of Cauchy problem 
 y (t0 )  y 0.
Variants of problems
№
1
2
3
4
5
6
a0
a1
a2
b0
b1
b2
1.5
2.5
1
3.5
1
2
-2
-4
-1.5
-6
0
-3
0.5
1.5
0.5
2.5
-1
1
1
0
2
1
1/3
0
0
3
4
2
4/3
2.5
0
-2
-5.5
-2
1/3
-1.5
№
16
17
18
19
20
21
28
a0
a1
-1.4
2.4
7
3
8
4.2
2
-3
-13
-3.2
-15
-8
a2
b0
b1
b2
-0.6
0.6
6
0.2
7
3.8
4
2
0
0
0
2
-3.8
0
7.5
2.8
8.5
0
-1
-0.2
-6.5
0
-7.5
-1.6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4.5
1.7
10
1.2
0.7
3
4
5
6
-8
-2.4
-19
-2
-1
-5
-7
-9
-11
3.5
0.7
9
0.88
0.3
2
3
4
5
0
1
0
0
1
5/4
5/4
0
0
5
3
1.5
2
-2.6
1
2
5.5
6.5
-4
-3
-9.5
-1.6
2
-5/4
-9/4
-4.5
-5.5
22
23
24
25
26
27
28
29
30
7
6.5
9
5.1
4.3
1.9
6.5
1.8
5.5
-10
-8
-17
-6
-7
-2.8
-12
-2.6
-9
3
1.5
8
0.9
2.7
0.9
5.5
0.8
4.5
0
0
0
1
3.6
0
0
1
1
5
0
9.5
0
-1
2
7
1
4
-1
5
-8.5
5.2
-1
-1
-6
-1
-4
LESSON 7. Boundary value problem for linear ordinary differential equation
of the second order
Problem 20. Find solution of the boundary value problem
y  p( x) y  q ( x) y  f ( x) , y(a)  ya , y(b)  yb
by the method of finite differences with the steps h1  (b  a ) / 5 , h2  (b  a ) /10 and
estimate the error by the Runge rule. Draw the graphs of the solution.
5x 2
8cos(x)
Variants of problems
f ( x)
a b
15cos(x)
0
1
0
1
7  14x 2
1
2
5e  x 1
1
2
x2  3
1/(1  10 x)
0
1
2
3
20x
8sin(x)
1
3
3/(3  x)
1
2
0
1
15  15x
ln(1  x)
1
2
10
0
1
10  10sin( x)
0
1
1
2
( x  5)3
0
0
0
3
8
2
2
0
7
1
-2
-3
0
yb
-2
4
-4
0
4
6
2
-2
2
6
2
2
5
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
p( x)
0.6
0.7
0.4
1
0.8
0.6
0.3
0.3x
14
0.4
6
1/(1  x) 2
0
1
1
2
15
16
17
18
19
20
21
0.7
1.4
1.4
0.6
sin(x)
x+3
0.2x
3
2.4
7
3
6
5
5
0.5e x
-14cos(x)
1  0.7x 2
3e x  2
-5
1/(1  0.1x)
3
1
2
0
1.5
1
0
4
2
3
1
3
2
1
3
0
1
3
-3
2
0
0
2
1
0
1
3
0
2x 2
0.2
0.4x 2
1.2
0.8
q ( x)
2.6
4
5
7
4
12
0.6x
5
6
3x
5x
5  e 2 x
29
ya
22
23
0.2
0.4
24
25
26
0.6
0.2x
0.5
27
28
29
30
2x2  1
0.3e x 1
1.6
0.3
4x 2
4cos(2x)
2  2/ sin( x  5)
( x  2)3
2ln(2  x)
2x 2
1.8
2sin(x-4)
5x
20 /(2  x 2 )
6
15-5x
6
13
3.6cos(x-1) -10
30/ ln( x  1)
6x 2
-1
1
1
2
1
0
2
5
0
1
0
1
3
1.2
2
1
1
3
1
3
-1
0
1
1
1
1
2
2
6
3
0
1
2
1
8
1
Problem 21. Find the order of approximation of the method:
( yi1  2 yi  yi1)
h2

(
ay

by

cy
)

f

f ''( xi ), y0  y N  0
i
i
i 1
i 1
12
h2
u '' u  f ( x),
i=1,2,…,n-1, at the solution of BVP 
u (0)  u (1)  0.

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
a
b
1/12
-1/12
0
1
2/3
1
-1/12
-1
-1/6
-2
0
2
0
1/3
2
5/6
1
3
1
-1/3
1/3
2
1
4/3
5
2
0
0
1/3
-3
Variants of problems
№
c
a
1/12
16
1
1/12
17
1/2
-2
18
1/4
1
19
0
2/3
20
1
2/3
21
0
-1/12
22
1/2
1
23
0
-1/6
24
2
-2
25
0
0
26
2/3
-1
27
1
0
28
0
1/3
29
1
2
30
-1
b
c
0
1/2
1/2
1/3
-1
1/2
0
-1/3
0
1
5/3
-2
0
-1/2
3
0
0
1/4
2/3
1
1/2
1/2
4/3
-1
0
-4/3
1
1
1/2
-1
LESSON 8. Numerical solution of the heat spreading problem
Problem 22. Find the approximate solution of the initial-boundary problem for the
equation of the heat spreading:
u
 2u
 k 2  f ( x, t ) , a  x  b , 0  t  T ,
t
x
u (a, t )  g1 (t ) , u(b, t )  g 2 (t ) , 0  t  T
u( x,0)   ( x) , a  x  b ,
30
using explicit differential scheme. Take h=(b-a)/10. Choose the step  from the
stability condition. Draw the graphs of dependence of solution u from x at t= 0 ,
2 , 4 ,…T.
INDICATION. Сondition of stability for explicit difference scheme has the form
  0.5(h2 / k ) .
Variants of problems
 ( x)
f ( x, t )
g1 (t )
g2 (t )
№
b
a
k
T
1
0
1
1
0.05
0
0
0
x
2
-1
1
0.5
0.4
1
1
0
x
3
0
1
0.1
0.5
x (1-x)
5t
5t
0
4
0
2
1
0.2
0
0
0
x
2 sin(t )
cos(t )
5
0
1
0.1
0.5
x
0
2
6
-1
1
2
0.1
1
1
0
x
sin(10t )
7
0
1
2
0.02
0
0
x (1-x)
2
8
-1
1
0.5
0.4
0
0
x
1 x
2
9
0
1
0.1
0.5
0
1
t
x
10
-1
1
0.2
1
0
0
0
1  x2
11
0
1
1
0.05
0.5
0.5
0
x  0.5
12
-1
1
0.5
0.4
1
1
x
x2
sin( x)
sin(1  2t )
13
0
1
0.2
0.25
0
1 x
sin( x)
sin(2)
14
0
2
1
0.2
0
2 x
t
10t
15
0
1
1
0.05
1
0
e
e
t
16
0
2
1
0.2
1
0
e
e10t
t

10t
17
0
1
0.5
0.1
1
2
e
e
t
18
0
2
0.5
0.4
1
2
e
e5t
2
19
0
1
0.2
0.2
1
0
0
1 x
20
0
2
2
0.1
0
0
10t
1
21
0
1
0.5
0.1
0
0
10t
t

5t
cos(t )
22
0
2
1
0.2
1
1
e
23
0
1
0.4
0.1
x
0
1
1
2
24
-1
1
1
0.2
0
5t
0
1 x
25
0
1
0.4
0.1
1
0
2
1 x
26
0
2
1
0.2
x
0
2
x
3
27
0
1
0.25
0.2
0
1
5
x
28
0
2
1
0.2
x
0
2
x
29
0
1
0.5
0.1
0
0
1
e10t -1
30
-1
1
0.2
1
0
0
1
1- |x|
10. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Список литературы
10.1. Базовый учебник
31
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа в трех томах. Учебник для
бакалавров. М.: Юрайт, 2012 - 2013.
10.2. Основная литература
2. Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 1. Предел.
Непрерывность. Дифференцируемость. Т. 2. Интегралы и ряды. Т. 3. Функции
нескольких переменных. М.: Физматлит, 2003.
3. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М: Физматлит, 2005.
10.3. Дополнительная литература
4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. М.: Изд-во
Моск. ун-та, 2006.
5. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. М.:
Физматлит, 2003.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и и упражнений по математическому анализу. М.:
«Наука», 1997.
10.6
Дистанционная поддержка дисциплины
Дистанционная поддержка дисциплины обеспечивается использованием LMS.
32