ПРОГРАММА Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского

Брянский государственный университет
имени академика И.Г. Петровского
ПРОГРАММА
вступительного экзамена по математике.
Направление магистратуры «Математика», магистерская программа
«Комплексный анализ и алгебра»
Программа вступительного экзамена по математике составлена в соответствии с
требованиями к аттестации бакалавра образования направления 540200 –Физикоматематическое образование, согласована с требованиями к уровню подготовленности
выпускника
по
специальностью.
специальности
032100.00
Математика
с
дополнительной
1 часть - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1.
ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА, СВОЙСТВА,
ВЫРАЖАЕМЫЕ НЕРАВЕНСТВАМИ. ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЕ МОНОТОННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
ТЕОРЕМА О СЖАТОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА e
Основные вопросы
Определение числовой последовательности. Ограниченная, неограниченная, стационарная, монотонная
последовательности.
Предел числовой последовательности. Сходящаяся, расходящаяся, бесконечно малая, бесконечно большая
последовательности. Необходимое условие сходимости последовательности (ограниченность сходящейся
последовательности). Теорема о единственности предела.
Предел суммы, разности, произведения, частного сходящихся последовательностей. Предельный переход в
неравенствах, теорема о сжатой переменной.
Теорема о пределе монотонной последовательности (существование пре-дела монотонной и ограниченной
последовательности). Определение числа e.
[1], гл. 3, §§ 1-3.
[3], гл. 1, § 4, пп. 1-5, 8, 9.
[5], гл. 3, § 1, пп. 27-31, § 2, пп. 36, 38-41, § 3, п. 44, § 4, п. 48.
[7], гл. 3, §§ 1-7.
2.
ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ.
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ
БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА. КРИТЕРИЙ КОШИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
ТЕОРЕМА
Основные вопросы
Подпоследовательность. Теорема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности. Теорема о
вложенных отрезках. Теорема Больцано-Вейерштрасса (существование сходящейся подпоследовательности у
ограниченной последовательности).
Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
[1], гл. 3, § 4.
[3], гл. 1, § 4, пп. 6, 7.
[5], гл. 3, § 5, пп. 51, 52.
[7], гл. 3, §§ 8, 9.
[8], гл. 20, § 6.
3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ. ОДНОСТОРОННИЕ
ПРЕДЕЛЫ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ,
ВЫРАЖАЕМЫЕ НЕРАВЕНСТВАМИ. ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЕ МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ. ПЕРВЫЙ И
ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Основные вопросы
Определение предела функции в точке по Коши и по Гейне и их эквивалентность. Односторонние пределы.
Предел суммы, разности, произведения, частного функций. Предельный переход в неравенствах. Теорема о
существовании конечного или бесконечного предела монотонной функции.
Первый и второй замечательные пределы.
[1],
[3],
[5],
[7],
гл. 4, §§ 2, 6; гл. 8, § 1.
гл. 1, § 5, пп. 4, 7, 9, 10, 14, § 8, п. 1.
гл. 3, § 1, пп. 32-35, § 2, пп. 42, 43, § 3, п. 47, § 4, п. 50.
гл. 3, §§ 10, 11, 12.
4.
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ. ОДНОСТОРОННЯЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ
КЛАССИФИКАЦИЯ.
ТЕОРЕМА О НЕПРЕРЫВНОСТИ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМА О
СУЩЕСТВОВАНИИ И НЕПРЕРЫВНОСТИ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОСНОВНЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Основные вопросы
Определение функции, непрерывной в точке. Односторонняя непрерывность.
Точки разрыва и их классификация.
Теорема о непрерывности в точке сложной функции.
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. Непрерывность основных элементарных функций (ax,

x , logax, sinx, cosx, tgx, ctgx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx).
Определение элементарной функции и теорема об ее непрерывности.
[1], гл. 4, §§ 3, 4, 5.
[3], гл. 1, § 5, пп. 3, 5, 9, 10, 12, 13, 16, § 6, п. 3, § 7, пп. 2, 3.
[5], гл. 4, § 1, пп. 60, 63, 64, 67, § 2, п. 71.
[7], гл. 4, §§ 1, 2, 4, 6-9.
5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ. СВОЙСТВА
ФУНКЦИЙ,
НЕПРЕРЫВНЫХ
НА
ОТРЕЗКЕ: ОГРАНИЧЕННОСТЬ, СУЩЕСТВОВАНИЕ НАИМЕНЬШЕГО И
НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ, ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ
Основные вопросы
Непрерывность функции на множестве. Непрерывность суммы, произве-дения, частного непрерывных функций.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
- ограниченность (1-я теорема Вейерштрасса);
- существование наименьшего и наибольшего значений (2-я теорема Вейерштрасса);
- теорема о нулях непрерывной на отрезке функции, принимающей на концах этого отрезка значения разных
знаков (1-я теорема Больцано-Коши);
- теорема о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции (2-я теорема Больцано-Коши).
[1],
[3],
[5],
[7],
гл. 8, §§ 4-6, 8.
гл. 1, §5, пп. 10, § 6, пп. 1, 2.
гл. 4, § 2, пп. 62, 68, 70, 72, 73.
гл. 4, §§ 1, 5.
6.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ
СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНОЙ, ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ И ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНЫЕ
ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Основные вопросы
Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл.
Правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного функций, производная сложной и
обратной функции.
Производные основных элементарных функций: ax, x, logax, sinx, cosx, tgx, ctgx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.
[1], гл. 5, §§ 1, 3-8.
[3], гл. 1, § 9, пп. 1, 3-7.
[5], гл. 5, § 1, пп. 76-84.
[7], гл. 5, §§ 1-3, 5, 6.
7. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ, СВЯЗЬ С ПРОИЗВОДНОЙ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛА. ПРОИЗВОДНЫЕ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Основные вопросы
Приращение функции в точке. Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости
(непрерывность дифференцируемой функции). Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
Дифференциал функции, его связь с производной. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал суммы,
разности, произведения, частного двух функций.
Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
[1],
[3],
[5],
[7],
8.
гл. 5, §§ 2, 9, 10, 14.
гл. 1, § 9, пп. 2, 3, 5, 7, § 10, пп. 1, 2, 3, 4, § 13, пп. 1, 3.
гл. 5, § 1, п. 82, § 2, пп. 89-92, § 3, гл. 6, § 2, пп. 105-108 .
гл. 5, §§ 4, 8, 9, гл. 6, § 3.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Основные вопросы
Теорема Ролля (о нулях производной), ее геометрический смысл. Теорема Ферма. Теорема о приращении функции
(теорема Лагранжа). Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Теорема Коши (формулировка).
[1],
[3],
[5],
[7],
гл. 8, §§ 7, 9, 11-13.
гл. 1, §§ 11, 12.
гл. 6, § 1, пп. 100-102, 104, гл. 7, § 3.
гл. 6, § 1, 2.
9. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ: УСЛОВИЯ ПОСТОЯНСТВА
МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ, ЭКСТРЕМУМЫ, УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ, ВЫПУКЛОСТЬ
ПЕРЕГИБ
И
И
Основные вопросы
Условия постоянства и монотонности функции на интервале.
Определение экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
Определение функции, выпуклой вверх и вниз на интервале. Направления выпуклости и вогнутости графика функции.
Достаточные условия выпуклости. Точка перегиба функции (определение, необходимое условие перегиба, достаточное
условие).
[1],
[3],
[5],
[7],
гл. 9, §§ 1-3.
гл. 1, § 14, пп. 1-3.
гл. 7, § 1, пп. 110-114.
гл. 7, §§ 1-4.
10. ПЕРВООБРАЗНАЯ. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ПОДСТАНОВКОЙ И ПО ЧАСТЯМ
Основные вопросы
Определение первообразной. Теоремы о множестве и общем виде первообразных. Определение неопределенного
интеграла. Основные свойства: линейность, интеграл от дифференциала функции, дифференциал (производная) от
интеграла.
Основные методы интегрирования: замена переменной (метод подстановки) и интегрирование по частям.
[1],
[3],
[5],
[7],
11.
гл. 6, §§ 1, 2.
гл. 3, § 22, пп. 1-5.
гл. 10, § 1, пп. 155, 157-163.
гл. 8, §§ 1-5.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ.
КРИТЕРИЙ
НЕПРЕРЫВНОЙ И МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ
ИНТЕГРИРУЕМОСТИ.
ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
Основные вопросы
Определение интегральной суммы и определенного интеграла Римана.
Ограниченность интегрируемой функции (необходимое условие интегрируемости).
Основные свойства определенного интеграла: линейность, аддитивность, интегрирование неравенств, теорема о
среднем.
Верхние и нижние суммы Дарбу. Критерий интегрируемости.
Равномерная непрерывность функции на отрезке. Теорема Кантора. Теорема об интегрируемости непрерывной
функции.
Теорема об интегрируемости монотонной функции.
[1],
[3],
[5],
[7],
гл. 10, §§ 1-3, § 4, п. 3, § 5.
гл. 3, § 27, пп. 1, 3-6, § 28, пп. 1, 2.
гл. 4, § 2, пп. 74, 75; гл. 11, § 1, § 2, пп. 180-182.
гл. 9, §§ 2-4
12. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ. ФОРМУЛА НЬЮТОНАЛЕЙБНИЦА. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ
ИНТЕГРАЛЕ
Основные вопросы
Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о существовании первообразной для непрерывной
функции.
Вычисление определенного интеграла: формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной (метод подстановки) и интегрирование по частям в определенном интеграле.
[1],
[3],
[5],
[7],
гл. 10, § 7.
гл. 3, § 29, пп. 1-3, § 30, пп. 1, 2.
гл. 11, § 2, п. 183, § 3, пп. 185-187.
гл. 9, §§ 7-9.
13. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ВЫЧИСЛЕ-НИЮ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР,
ДЛИН КРИВЫХ, ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ И ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ
Основные вопросы
Определение длины кривой. Различные способы задания кривой на плоскости (параметрическое, явным уравнением
y  f (x) или x  h( y) , в полярных координатах   f ( ) ) и соответствующие им формулы длины кривой.
Определение криволинейной трапеции, теорема о площади криволинейной трапеции. Площадь плоских фигур более
сложного вида.
Определение тела вращения и теорема о вычислении его объема.
Определение поверхности вращения. Теорема о вычислении площади поверхности вращения.
[1],
[3],
[5],
[7],
гл. 11, § 1, пп. 1, 2, 4, 5, §§ 2, 3.
гл. 3, § 32, пп. 1-3.
гл. 12, §§ 1, 2.
гл. 10, §§ 1, 2, 4, 5.
14. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ
Основные вопросы
Определение числового ряда, суммы ряда. Сходящийся, расходящийся ряд. Необходимое условие сходимости.
Геометрический ряд.
Ряды с положительными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда. Признаки
сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости. Гармонический ряд и его сходимость.
[1],
[4],
[6],
[8],
[9],
гл. 13, § 1, пп. 1, 2, § 2, пп. 1-4.
гл. 4, § 35, пп. 1, 2, 4-7.
гл. 15, § 1, § 2, пп. 236, 237, 239, 241.
гл. 20, §§ 1-3.
гл. 1, §§ 1, 2; гл. 2, § 6, пп. 1-3, § 9.
15. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ, АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ. ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА.
СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Основные вопросы
Критерий Коши сходимости ряда. Связь между сходимостью данного ряда и ряда из его модулей. Определение
абсолютно и условно сходящихся рядов.
Признак Лейбница. Оценка остатка ряда Лейбница.
[1],
[4],
[6],
[8],
[9],
гл. 13, § 1, п. 2, § 3, пп. 1, 3, § 5, п.1.
гл. 4, § 35, пп. 3, 9, 10.
гл. 15, § 3, пп. 242-244, 246.
гл. 20, §§ 4-6.
гл. 2, § 8, пп. 1-3.
16. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ. ПРИЗНАК
ВЕЙЕРШТРАССА
Основные вопросы
Определение функциональной последовательности и функционального ряда. Область определения функциональной
последовательности и ряда. Область сходимости.
Определение равномерной сходимости последовательности и ряда. Геометрический смысл.
Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и ряда.
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
[2],
[4],
[6],
[8],
[9],
гл. 1, § 1, пп. 1-6.
гл. 4, § 36, пп. 1-3.
гл. 16, § 1.
гл. 21, §§ 1.
гл. 3, § 10, § 11, пп. 1-5.
17. СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Основные вопросы
Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Почленное интегрирование и
дифференцирование функциональных рядов.
[2],
[4],
[6],
[8],
[9],
гл. 1, § 2, пп. 1, 2.
гл. 4, § 36, п. 4.
гл. 16, § 2, пп. 266, 268-270.
гл. 21, § 2.
гл. 3, § 12.
18. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ТЕОРЕМА АБЕЛЯ. ИНТЕРВАЛ
И РАДИУС СХОДИМОСТИ. СВОЙСТВА
СТЕПЕННЫХ РЯДОВ ВНУТРИ ИНТЕРВАЛА СХОДИМОСТИ
Основные вопросы
Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Определение радиуса сходимости степенного ряда. Область
сходимости степенного ряда. Формулы Даламбера и Коши для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.
Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
[2],
[4],
[6],
[8],
[9],
гл. 1, § 4, пп. 1, 2.
гл. 4, § 37, пп. 1, 4.
гл. 6, § 3, п. 272- 276.
гл. 31, § 3.
гл. 4, §§ 14, 15.
19. РЯД ТЕЙЛОРА. ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИИ В РЯД ТЕЙЛОРА. РАЗЛОЖЕНИЕ В
СТЕПЕННОЙ РЯД ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Основные вопросы
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (без вывода).
Определение ряда Тейлора. Необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора. Достаточное
условие. Разложение в ряд Тейлора функций e x , sin x, cos x , ln 1  x  .
[2],
[4],
[6],
[8],
[9],
гл. 1, § 5, пп. 1, 2.
гл. 4, § 37, пп. 5-7.
гл. 15, § 6, пп. 252, 253.
гл. 22, §§ 1, 3-5.
гл. 1, § 4, § 5, пп. 1, 2, 4-6.
20. ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ n ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ.
ЧАСТНЫЕ
ПРОИЗВОДНЫЕ.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
И
ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
УСЛОВИЯ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
Основные вопросы
Определение предела и непрерывности функции n действительных переменных как функции на метрическом
пространстве Rn . Единственность предела, арифметические свойства предела функции и непрерывных функций.
Определение частных производных, дифференцируемости и дифференциала. Необходимые условия
дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости.
[1],
[3],
[5],
[7],
гл. 14, § 2, п. 3, § 3, § 4, пп. 1-3.
гл. 2, § 19, пп. 1-3, § 20, пп. 1, 2, 5.
гл. 8, § 1, п. 129, § 2, п. 132; гл. 9, § 1, пп. 138, 139, 142.
гл. 14, §§ 1-3; гл. 15, §§ 1, 2, 4; гл. 16, §3.
21. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
СМЫСЛ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Основные вопросы
Задача об объеме цилиндрического бруса. Определение и геометрический смысл двойного интеграла.
Критерий интегрируемости. Существование двойного интеграла от непрерывной функции. Свойства двойного
интеграла (линейность и аддитивность). Теорема о среднем.
Вычисление двойного интеграла сведением его к повторному.
[2], гл. 2, §§ 1-3, 5.
[4], гл. 6, § 45, п. 1.
[6], гл. 21, § 1, пп. 336-341, § 2, пп. 343-344.
[8], гл. 17, §§ 2-6.
22. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО КООРДИНАТАМ. ФОРМУЛА
ПРИЛОЖЕНИЕ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР
ГРИНА-ОСТРОГРАДСКОГО.
Основные вопросы
Определение криволинейного интеграла второго рода, условие существования и физический смысл. Основные
свойства: линейность, аддитивность, зависимость от направления.
Формулы вычисления криволинейного интеграла: для кривых, заданных параметрически, и для кривых, заданных
явным уравнением y  f (x) или x  h( y ) .
Формула Грина-Остроградского. Формула вычисления площади плоской фигуры с помощью криволинейного
интеграла.
[2]
[4]
[6]
[8]
гл. 4, §§ 1, 2; гл. 7, § 1.
гл. 6, § 47, пп. 2-6.
гл. 20, § 2, пп. 330, 331; гл. 21, § 3.
гл. 19, §§ 3-5, § 7, п. 2.
23. ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВ. МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА. СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ СВОЙСТВА.
СЧЕТНОСТЬ
МНОЖЕСТВА
РАЦИОНАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ.
НЕСЧЕТНОСТЬ
МНОЖЕСТВА
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Основные вопросы
Определение отображения. Сюрьекция, иньекция, биекция. Определение равномощности множеств. Понятие
мощности. Определение счетных множеств и их свойства: счетность конечного или счетного объединения счетных
множеств, существование счетного подмножества в бесконечном множестве. Теорема о счетности множества
рациональных чисел Q. Теорема о несчетности множества действительных чисел R. Определение множества мощности
континуума.
[11], гл. 1, § 1, пп. 1, 2, § 2.
[15], гл. 1, §§ 5, 6, 9.
[16], гл. 1, §§ 2, 3.
24. МЕТРИЧЕСКИЕ И ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
ПРОСТРАНСТВАХ. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
МНОЖЕСТВА В МЕТРИЧЕСКИХ
Основные вопросы
Определения метрических и нормированных пространств, их связь. Примеры: пространства Rn , C[a,b].
Определения открытых, замкнутых, ограниченных и неограниченных множеств. Определение области. Внутренние,
внешние, граничные и предельные точки. Теоремы об объединении и пересечении (конечного числа и счетной
совокупности) открытых и замкнутых множеств.
Предел последовательности в метрическом пространстве. Единственность предела. Определения фундаментальной
последовательности и полного метрического пространства. Теоремы о полноте пространств Rn.
[11], гл. 2, §§ 5, 6, 8, § 9, пп. 1, 3, 4, § 13, пп.1, 2.
[15], гл. 2, §§ 5, 6, гл. 7, §§ 1-3.
[16], гл. 2, §§ 1-3, гл. 8, § 1.
25. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ, ОДНОРОДНЫЕ И ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Основные вопросы
Определение дифференциального уравнения первого порядка и его решения. Задача Коши. Общее и частное решения.
Геометрический смысл дифференциального уравнения.
Уравнения с разделяющимися переменными. Формула общего решения. План решения уравнения с разделяющимися
переменными.
Однородные уравнения и способ их решения.
Определение линейного уравнения первого порядка. Алгоритм решения линейного уравнения первого порядка.
[8], гл. 25, §§ 2-7.
[12], гл. 1, § 1, пп. 1-3; гл. 2, § 1, § 2, п. 1, § 3, пп. 1, 2.
26. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Основные вопросы
Определение фундаментальной системы решений. Характеристическое уравнение, фундаментальная система решений
и общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Общее решение неоднородного уравнения. Нахождение частного решения методом неопределенных коэффициентов.
[8], гл. 27, §§ 1-5.
[12], гл. 3, § 1, пп. 2-4, 8, § 2, пп. 2-5.
27. ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ. УСЛОВИЯ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Основные вопросы
Определение функции комплексного переменного и ее геометрический смысл. Действительная и мнимая части
функции комплексного переменного. Предел функции комплексного переменного в точке и его свойства. Непрерывность
и свойства непрерывных функций комплексного переменного.
Производная функции комплексного переменного. Связь дифференцируемости и непрерывности. Условие
дифференцируемости Коши-Римана. Определение аналитической функции.
Определение функций exp z , cos z ,sin z , Ln z , z
n
и их основные свойства (перечислить). Формулы Эйлера.
[8], гл. 23, §§ 1, 4-6; гл. 24, §§ 2, 6.
[10], гл. 1, § 2, пп. 1-4, § 3, пп. 1, 2.
28. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Основные вопросы
Понятие интеграла по кусочно-гладкой кривой от функции комплексного переменного, его вычисление и основные
свойства: линейность, аддитивность, зависимость от направления интегрирования. Интегральная теорема Коши.
Первообразная функции комплексного переменного. Интегральная формула Коши.
[10], гл. 2, § 5, пп. 1-3, гл. 3, § 7, § 8, пп. 1-3, § 9, пп. 1.
[14], гл. 2, § 3, пп. 1-3, 5, гл. 4, § 1, пп. 1, 2, § 2, пп. 1-5, § 3, пп. 1, гл. 5, § 2, пп. 1-3.
29. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ. РЯД ТЕЙЛОРА. РЯД ЛОРАНА
Степенной ряд, его радиус сходимости. Ряд Тейлора. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд
Лорана, его область сходимости. Разложение аналитической функции в ряд Лорана в окрестности изолированной особой
точки. Изолированные особые точки и их классификация.
[10], гл. 2, § 8, пп. 1-3, § 9, пп. 1, гл. 3, §§ 10.
[14], гл. 5, § 2, пп. 1-3, гл. 6, §§ 1, 2.
30. ВЫЧЕТЫ
Основные вопросы
Понятие вычета относительно изолированной особой точки. Основная теорема о вычетах. Методы вычисления
вычетов. Применение вычетов к вычислению интегралов (контурных, определенных, несобственных). Примеры.
[10], гл. 3, §§ 10, 11.
[14], гл. 6, §§ 1, 2, гл. 7, § 1, пп. 1-3, § 2, пп. 3.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1. – М.: Наука, 1982.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.2. – М.: Наука, 1980.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Высшая школа, 1981.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2. – М.: Высшая школа, 1981.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1. – М.: Наука, 1960.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.2. – М.: Наука, 1964.
Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т.1 – М.: Просвещение, 1972.
Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. Т.2 – М.: Просвещение, 1972.
Виленкин Н.Я. и др. Ряды. – М.: Просвещение, 1982.
10. Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ. Теория аналитических функций. – М.: Просвещение,
1985.
11. Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ. Мощность. Метрика. Интеграл. – М.: Просвещение,
1980.
12. Виленкин Н.Я., Доброхотов М.А., Сафонов Г.Н. Дифференциальные уравнения. – М.: Просвещение, 1984.
13. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука,
1974.
14. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Высшая школа, 1999.
15. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. – М.: Просвещение, 1968.
16. Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. – М.: Наука, 1968.
2 часть – АЛГЕБРА, ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ И ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ
1.
БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ, ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА
КЛАССЫ, ФАКТОР-МНОЖЕСТВО.
Основные вопросы
Декартово (прямое) произведение множеств. Бинарные отношения, их свойства – рефлексивность, симметричность,
транзитивность, антисимметричность, связность. Примеры. Отношение эквивалентности. Разбиение множества на
непересекающиеся классы. Критерий отношения эквивалентности. Фактор-множество, естественное отображение.
Примеры из алгебры и теории чисел, геометрии, математического анализа, школьного курса математики.
1, Гл.1, § 2.
13, § 1.
2.
 5 ], Гл.2. §2 ,4.
 6], Гл.1. § 6.
ГРУППА. ПРИМЕРЫ ГРУПП. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ГРУПП. ПОДГРУППА. КРИТЕРИЙ
ПОДГРУППЫ. ГОМОМОРФИЗМЫ И ИЗОМОРФИЗМЫ ГРУПП.
Основные вопросы.
Определение бинарной операции. Аддитивная и мультипликативная форма записи операции. Свойства бинарной
операции – ассоциативность, коммутативность, существование нейтрального (единичного, нулевого) и симметричного
(противоположного, обратного) элементов. Определение группы. Примеры групп (числовых и нечисловых, конечных и
бесконечных, абелевых и неабелевых). Простейшие свойства групп – обобщенный закон ассоциативности;
единственность нейтрального, симметричного элементов. Гомоморфизм групп. Изоморфизм групп.
2, Гл.1, § 1-5.
6, Гл.4, § 1,2.
3.
 13 ], §2.
5, Гл.3 §1.3; Гл.10, § 1.
КОЛЬЦО. ПРИМЕРЫ КОЛЕЦ. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА КОЛЕЦ. ПОДКОЛЬЦО. КРИТЕРИЙ
ПОДКОЛЬЦА. ИЗОМОРФИЗМ КОЛЕЦ.
Основные вопросы
Определение кольца. Примеры колец. Простейшие свойства кольца (единственность нулевого и противоположного
элементов, выполнимость вычитания).Аддитивная группа кольца. Определение и критерий подкольца. Определение
гомоморфизма и изоморфизма колец, их простейшие свойства.
2, Гл.1, § 6
3, Гл.2, § 1,2,3
 6 ], Гл.4, §3.
4.
 5 ], Гл.3, §12,4
13], § 3
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ПРИНЦИП
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ.
Основные вопросы
Определение системы натуральных чисел на основании аксиом Пеано. Операции сложения и умножения на множестве
натуральных чисел, их свойства. Сравнение натуральных чисел по величине. Принцип математической индукции.
1, Гл.1, § 6
6, Гл..1 §7
5, Гл.4, §1-3
 7 ], Гл.2, §1-6
13], § 4
5.
ПОЛЕ. ПРИМЕРЫ ПОЛЕЙ. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПОЛЯ. ПОДПОЛЕ. КРИТЕРИЙ ПОДПОЛЯ.
ИЗОМОРФИЗМ ПОЛЕЙ.
Основные вопросы
Определение поля. Примеры полей (бесконечных и конечных). Простейшие свойства поля. Характеристика поля.
Подполе – определение и критерий. Определение изоморфизма полей, примеры.
2, Гл.1, § 6,7
5, Гл.4, §5
6.
6, Гл..4 §3
[13], § 7
ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В
АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ.
Основные вопросы.
Необходимость расширения поля действительных чисел. Построение поля С комплексных чисел. Алгебраическая форма
комплексного числа. Операции сложения, умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме.
Сопряженные комплексные числа, их свойства. Геометрическая интерпретация комплексных чисел и операции над ними.
2, Гл.1, § 7
5, Гл..4 §7
 6 ], Гл..5, §1
7.
7, Гл.6, §1-3
13, §8
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ,
ВОЗВЕДЕНИЕ В НАТУРАЛЬНУЮ СТЕПЕНЬ, ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ n-ОЙ СТЕПЕНИ ИЗ
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ. ГРУППА КОРНЕЙ n-ОЙ СТЕПЕНИ ИЗ
ЕДИНИЦЫ.
Основные вопросы
Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и обратно.
Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение комплексного числа в натуральную
степень (формула Муавра). Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа. Мультипликативная группа корней nой степени из единицы. Первообразные корни. Двучленные уравнения.
2, Гл.1, § 7
5, Гл.4 §8
6, Гл.5 §1
8.
[8], Гл.1 § 3,4
13, §9
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ПРИМЕРЫ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРНЫХ
ПРОСТРАНСТВ. ПОДПРОСТРАНСТВО. КРИТЕРИЙ ПОДПРОСТРАНСТВА. ЛИНЕЙНАЯ
ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. БАЗИС И РАНГ КОНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ
ВЕКТОРОВ.
Основные вопросы
Определение векторного пространства над полем. Примеры. Арифметическое векторное пространство. Простейшие
свойства векторных пространств. Определение и свойства линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.
Базис и ранг конечной системы векторов, их нахождение. Определение подпространства. Критерий подпространства.
2, Гл.2, § 1,2
5, Гл..7, §1
9.
8, Гл. 8 ,§44
13, §10
БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ КОНЕЧНОМЕРНОГО ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА. КООРДИНАТЫ
ВЕКТОРА. ИЗМЕНЕНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ПЕРЕХОДЕ ОТ ОДНОГО БАЗИСА К ДРУГОМУ.
Основные вопросы
Определение базиса пространства, примеры конечномерных векторных пространств. Размерность. Координаты вектора в
данном базисе, их единственность. Матрица перехода от одного базиса к другому. Формула, связывающая координаты
одного и того же вектора в разных базисах.
2, Гл.2, § 1-3
5, Гл..7, §3
8, Гл..8, § 45-47
13, §11
10. СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ (МЕТОД ГАУССА). КРИТЕРИЙ
СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (КРИТЕРИЙ КРОНЕКЕРА-КАПЕЛЛИ).
ФОРМУЛЫ КРАМЕРА.
Основные вопросы
Определение решения системы линейных уравнений. Понятия совместной, несовместной, определенной,
неопределенной, однородной, неоднородной системы линейных уравнений. Следствие системы уравнений.
Равносильные системы уравнений и элементарные преобразования над уравнениями системы. Строчечный и столбцовый
ранг матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Решение системы методом последовательного исключения
переменных – методом Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных уравнений. Запись и
решение системы n линейных уравнений с n переменными методом Крамера.
8], Гл.6 §34,36
13, §12
5, Гл.5, §2,3
11. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ НАД ПОЛЕМ. ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ ДЛЯ
МНОГОЧЛЕНОВ. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ И АЛГОРИТМ
ЕВКЛИДА. ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА ДВУЧЛЕН (x-a). СХЕМА ГОРНЕРА. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА.
ТЕОРЕМА БЕЗУ.
Основные вопросы.
Многочлены от одной переменной над полем. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов. Сумма и
произведение многочленов. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, алгоритм
Евклида. Наименьшее общее кратное двух многочленов, его нахождение. Деление многочлена на двучлен (х-а), схема
Горнера. Корни многочлена – определение, критерий, примеры. Наибольшее возможное число корней многочлена.
Теорема Безу.
4, Гл.1, § 1,2
5, Гл.14 §1,2
6, Гл.5, §2,3
8, Гл.2, §7,8,9
[13], § 15
12. НЕПРИВОДИМЫЕ И ПРИВОДИМЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА В
ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕПРИВОДИМЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ И ЕГО ЕДИНСТВЕННОСТЬ.
Основные вопросы.
Неприводимые над полем многочлены. Разложение многочлена над полем в произведение неприводимых множителей и
его единственность.
4, Гл.1, § 1,2
5, Гл.14 §1,2
6, Гл.5, §2,3
8, Гл.2, §7,8,9
[13], § 15
13. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ. НЕПРИВОДИМЫЕ НАД ПОЛЕМ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ МНОГОЧЛЕНЫ. ФОРМУЛЫ ВИЕТА.
Основные вопросы
Основная теорема алгебры. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Разложение многочлена над С в
произведение неприводимых множителей. Количество комплексных корней многочлена n-ой степени над С. Формулы
Виета.
4, Гл.4, § 2
5, Гл..16 §1
8, Гл.2, §12; Гл.3, §13
6, Гл.6, §1
13], § 17
14. СОПРЯЖЕННОСТЬ КОМПЛЕКСНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ. НЕПРИВОДИМЫЕ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ МНОГОЧЛЕНЫ.
Основные вопросы
Многочлены над полем R. Сопряженность мнимых корней над R. Неприводимые над R многочлены. Разложение
многочлена над R в произведение неприводимых множителей.
4, Гл.4, § 3
5, Гл..1 §2
8, Гл.3, §14
13, §18
6, Гл..6 §4
15. СТРОЕНИЕ ПРОСТОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ. ОСВОБОЖДЕНИЕ ОТ
АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ДРОБИ.
Основные вопросы
Алгебраические и трансцендентные числа над полем P. Минимальный многочлен алгебраического числа  и его
свойства. Поле отношений P() кольца P[], ℂ, в поле ℂ. Простое расширение поля P. Если  – алгебраическое число,
то P() = P[]. Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби с помощью алгоритма Евклида.
4, Гл.5, § 3-4.
14, Гл.9, §1.
16. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ С ОСТАТКОМ. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ
И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ ДВУХ ЧИСЕЛ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.
Основные вопросы
Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД двух чисел. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД.
НОК двух чисел и его вычисление.
3, Гл.1, § 1,2,4
5, Гл.4, §4, Гл.11, § 2
6, Гл..1 §9
13, §6
17. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА. БЕСКОНЕЧНОСТЬ МНОЖЕСТВА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
АРИФМЕТИКИ. КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ.
Основные вопросы
Определение простого и составного натурального числа. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.
Решето Эратосфена. Основная теорема арифметики о разложении натурального числа на простые множители и его
единственность. Каноническое представление натурального числа.
3, Гл.1, § 5
5, Гл..11 §1
13, §5
18. ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ ПО МОДУЛЮ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. ПОЛНАЯ И ПРИВЕДЕННАЯ
СИСТЕМЫ ВЫЧЕТОВ. ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ. ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА И ФЕРМА.
Основные вопросы
Сравнения по модулю в кольце целых чисел, их свойства. Классы вычетов по данному модулю. Полная система вычетов,
ее свойства, примеры. Приведенная система вычетов, ее свойства, примеры. Функция Эйлера, ее вычисление, примеры.
Теоремы Эйлера и Ферма, их применение.
3, Гл.3, § 1-5
5, Гл..12 §1-3
13, §13
19. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ В АРИФМЕТИКЕ ПРИ РАЗЛОЖЕНИИ
РАЦИОНАЛЬНОГО ЧИСЛА В КОНЕЧНУЮ ЦЕПНУЮ ДРОБЬ И ПРИ ОТЫСКАНИИ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ
РЕШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО (ДИОФАНТОВА) УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
Основные вопросы.
Представление рациональных чисел конечными цепными дробями. Подходящие дроби и их свойства. Отыскание
целочисленных решений неопределенного (диофантова) уравнения первой степени с помощью цепных дробей и свойств
их подходящих дробей.
3, Гл.1, § 9, Гл.3 §6 п.2
15, Гл.1 §4
20. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ.
Основные вопросы.
Определение кольца рациональных чисел. Поле рациональных чисел как расширение кольца целых чисел. Построение
поля рациональных чисел. Основные свойства системы рациональных чисел. Представление любого рационального
числа в виде частного двух чисел. Единственность системы рациональных чисел.
7, Гл.4, § 1-3
21. ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ: ЧИСЛО И СУММА ВСЕХ НАТУРАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ
ДАННОГО НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА.
Основные вопросы.
Каноническое разложение натурального числа. Числовые функции для вычисления числа и суммы всех натуральных
делителей данного натурального числа и их аналитическое задание (в виде формул). Мультипликативность этих
функций.
3, Гл.1, §6 п.1, п.2
15, Гл.2 §2
22. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ.
Основные вопросы.
Определение кольца целых чисел. Кольцо целых чисел как расширение полукольца натуральных чисел. Построение
кольца целых чисел. Основные свойства системы целых чисел. Представление любого целого числа в виде разности двух
натуральных чисел. Единственность системы целых чисел.
7, Гл.3, § 1-3
ЛИТЕРАТУРА:
Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра. Элементы теории множеств. Линейные уравнения и неравенства.
Арифметические векторы. Матрицы и определителти – М.: Просвещение, 1981.
2. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра. Группы, кольца, поля. Векторные и евклидовы
пространства. Линейные отображения. – М.: Просвещение, 1981.
3. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и теория чисел. – М.: Просвещение, 1984.
4. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: Просвещение, 1980.
5. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.
5. Кострикин А.И. Введение в алгебру.- М.: Физ.-мат. литература, Ч.1, 2000.
7. Ларин С.В. Числовые системы. – М: Академия, 2001.
8. Окунев Л.Я.Высшая алгебра. – М.: Просвещение, 1966.
9. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре. – Ч.1. - М.: Просвещение, 1982.
10. Лельчук М.П. и др. Практические занятия по алгебре и теории чисел. - Минск.: Вышэйшая школа, 1986.
11. Кочева А.А. Задачник-практикум по алгебре. – Ч.3. - М.: Просвещение, 1984.
12. Нечаев В.А. Задачник-практикум по алгебре. - Ч.2. - М.: Просвещение, 1983.
13. Путилов С.В. Алгебра. - Брянск, 2003.
14. Кострикин А.И. Введение в алгебру – М.: Наука, 1977.
15. Виноградов И.М. Основы теории чисел – М.: Наука, 1972.
1.
3 часть - ГЕОМЕТРИЯ
1.Трехмерное векторное пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение
векторов.
Основные вопросы
Определение скалярного произведения. Механический смысл. Свойства. Длина вектора. Угол между векторами. Вывод
формулы скалярного произведения в ортонормированном базисе. Определение векторного произведения двух векторов.
Свойства. Геометрический и физический смысл векторного произведения. Координаты векторного произведения в
ортонормированном базисе. Определение смешанного произведения трех векторов. Геометрический смысл. Формула
смешанного произведения в ортонормированном базисе.
[1], радел I, гл.1.§9, раздел 2,гл.I, §§4,5.[3],гл.1, §§6,7,8; гл.VI,§§55,56.
2.Метод координат на плоскости и в пространстве. Аффинная и декартова прямоугольная
система координат. Прямая на плоскости. Различные способы задания прямой. Взаимное
расположения прямых на плоскости.
Основные вопросы
Сущность метода координат на плоскости. Понятия аффинной и прямоугольной системы координат на плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через две точки, через точку параллельно вектору (каноническое уравнение);
параметрические уравнения прямой; уравнения прямой «в отрезках»; уравнения прямой с угловым коэффициентом.
Общее уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении Aх+By+C=0 в аффинной и
прямоугольной декартовой системе координат. Формулы угла между прямыми.
[1], гл.II, §§16-19; [6],гл.III, §§20,21.
3.Движения на плоскости и в пространстве: свойства, способы задания, инварианты движения.
Группа движений плоскости и пространства. Основные теоремы о движениях на плоскости.
Основные вопросы
Определение движения. Примеры движений плоскости и пространства и их аналитическое выражение. (Формулы
параллельного переноса, осевой симметрии, скользящей симметрии). Движения пространства, отличные от движений
плоскости. Группа движений и ее подгруппы . Задание движения парой ортонормированных реперов. Определения
движений I и II рода.
[1], радел I,гл.3.§§26,27,28,29., [3],гл.V, §§29,30; [6],гл.V,§§41-44.
4. Подобие и гомотетия на плоскости и в пространстве.
Основные вопросы
Определение преобразования подобия. Определение гомотетии. Формулы подобия в ортонормированном репере. Группа
преобразований подобия, ее подгруппы. Подобия I и II рода. Теорема о подобии как композиции движения и гомотетии.
[1], радел I,гл.3.§§31,32,33. [3],гл.V, §§28,29; [6],гл.V,§§41-44.
5.Линии второго порядка. Каноническое уравнение эллипса, гиперболы и параболы.
Эксцентриситет и директрисы линий второго порядка. Фокальные радиусы и их свойства.
Основные вопросы
Определения эллипса, гиперболы и параболы. Вывести уравнение одной из этих линий (по желанию). Определения
эксцентриситета, директрисы и фокальных радиусов. Уравнение асимптот гиперболы. Теорема о директрисах эллипса и
гиперболы.
[1], радел I,гл.IV.§§36-39; [6],гл.IV,§§27-29.
6.Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение
двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями.
Основные вопросы
Уравнение плоскости, проходящей через три точки, уравнение плоскости, проходящей через данную точку и
коллинеарной двум векторам, параметрическое уравнение плоскости, уравнение плоскости «в отрезках». Общее
уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору. Геометрический смысл
коэффициентов при текущих координатах в общем уравнении плоскости в аффинных и прямоугольных декартовых
координатах. Условия, при которых две плоскости, заданные общими уравнениями , будут параллельны , ортогональны.
[1], радел 2,гл.II, §§7-10, [6],гл.IV,§§27-29.
7.Различные способы задания прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и
плоскости. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение
прямых в пространстве.
Основные вопросы
Уравнение прямой, проходящей через две точки, канонические и параметрические уравнения. Прямая как пересечение
двух плоскостей. Условия пересечения и скрещивание двух прямых. Параллельность и перпендикулярность прямых.
Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
[1], радел 2,гл.II, §§11-13. [6], раздел 2. гл.VII,§§63-65.
8. Цилиндрические и конические поверхности
эллипсоида, гиперболоидов и параболоидов.
второго порядка. Канонические уравнения
Основные вопросы
Определение цилиндрической поверхности. Направляющие и образующие цилиндрической поверхности. Вывод
уравнения цилиндрической поверхности в аффинной системе координат. Канонические уравнения цилиндрических
поверхностей в прямоугольных декартовых координатах. Канонические уравнения конуса, эллипсоида,
однополостного и двуполостного гиперболоидов, эллиптического и гиперболического параболоидов. Изучение
поверхностей 2-го порядка методом сечений.
9.Центральное проектирование и его свойства. Предмет проективной геометрии. Понятия
проективной прямой и плоскости. Модели проективной прямой и проективной и плоскости.
Проективные координаты. Уравнение прямой. Теорема Дезарга. Принципы двойственности:
на проективной плоскости и в проективном пространстве.
Основные вопросы
Определение центрального проектирования. Инварианты центрального проектирования. Понятие несобственных
элементов. Расширенная евклидова прямая и расширенная евклидова плоскость. Модели проективной прямой и
проективной плоскости. Координаты точек на проективной плоскости, как упорядоченные пары и тройки чисел.
Уравнение прямой. Теорема Дезарга.
[2], радел 3,гл.I, §§1,2,3,8,9. [4], раздел 1.,§1 п.п.1,2.§§3,4,11,14.
[5], гл. 5, §§77-83, §§84-88. [7], раздел 3,гл.1, §§1-4, §§7,8.
10.Изображение фигур на плоскости с помощью параллельного проектирования.
Основные вопросы
Параллельное проектирование и его свойства. Доказать, что изображением данного треугольника может служить любой
треугольник. Изображение плоских фигур (четырехугольника, трапеции, параллелограмма, окружности). Теорема
Польке-Шварца (без доказательства). Изображение пространственных фигур (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса,
шара). Основные требования к проекционным чертежам. Определение полного изображения и позиционной задачи.
Полнота изображения как достаточный признак разрешимости позиционной задачи.
[2],гл.4, §§28,29,31,33. [7], гл.3.§§26-29,31.
[8], гл. 1, §§1,2,5,6; гл.2, §§7,9.
11.Аксиоматический метод. Понятие об интерпретации, модели системы аксиом. Системы
аксиом евклидовой геометрии. Системы аксиом школьного курса геометрии (обзор).
Эквивалентность систем аксиом.
Основные вопросы
Аксиоматика Евклида. Аксиоматика Гильберта и Вейля. Обзор аксиоматики школьного курса геометрии.
Сформулировать теорему об их эквивалентности.
[2],гл.2, §5,гл.3 §§10,11.
[5], гл. 2, §§1-8. [7], гл. 9, §§73,75.
12.Плоскость Лобачевского. Аксиомы плоскости Лобачевского. Взаимное расположение
прямых на плоскости Лобачевского. Угол параллельности. Свойства треугольников на
плоскости Лобачевского.
Основные вопросы
Системы аксиом плоскости Лобачевского. Параллельные прямые на плоскости
Лобачевского и их свойства. Угол параллельности, функция Лобачевского, ее свойства. Модели плоскости Лобачевского
(Бельтрами, Клейна, Кэли-Клейна,Пуанкаре). Теоремы о сумме углов треугольника (доказать одну из них). Признак
равенства треугольников по трем углам.
13.Длина отрезка. Аксиомы длины. Площадь многоугольника. Аксиомы площади. Теоремы
существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность.
Основные вопросы
Аксиомы длины и площади. Теорема о существовании и единственности площади многоугольника.Формулы площади
прямоугольника, треугольника, трапеции. Определение равновеликих и равносоставленных фигур. Теорема ГервинаБойяи о связи равновеликих и равносоставленных фигур на плоскости. Понятие о теореме Дена-Кагана в теории
объемов.
[2],гл.4, §§13,14,15,17.
[7], гл. 9, §§73-76. Школьный учебник по геометрии под ред. Л.С.Атанасяна «Геометрия 7-9».
14.Понятие линии. Гладкие линии в трехмерном евклидовом пространстве, их параметризация
с помощью вектор-функции. Касательная. Длина дуги.
Основные вопросы
Определение векторной функции одного скалярного аргумента. Векторное и параметрическое уравнения линии. Доказать
теорему о существовании касательной к гладкой линии. Формула длины дуги кривой.
[2], раздел 5.гл.2, §§11,12.
[4], гл. 14, §§72,73. [7], гл. 6, §§48-51.
15.Понятие поверхности. Гладкие поверхности, их параметризация с помощью
вектор-функции двух скалярных аргументов. Касательная плоскость и
поверхности, теорема о существовании касательной плоскости.
нормаль
к
Основные вопросы
Определение векторной функции двух скалярных аргументов. Определение поверхности. Векторное и параметрическое
уравнения поверхности. Криволинейные координаты точек на поверхности. Теорема о существовании касательной
плоскости к поверхности. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной различными
уравнениями.
Литература:
а) Основная.
1.БазылевВ.Т.,ДуничевК.И..ИваницкаяВ.П. Геометрия, ч.I М.,Просвещение,1974.
2.БазылевВ.Т.,ДуничевК.И..ИваницкаяВ.П. Геометрия, ч.II М.,Просвещение,1975.
3.Атанасян Л.С. Геометрия, ч.I М.,Просвещение,1973.
4.Атанасян Л.С. , Гуревич Г.Б. Геометрия, ч.II М.,Просвещение,1975.
5.Ефимов Н.В. Высшая геометрия, М.Наука,1976.
6. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, ч.I М.,Просвещение,1986.
7. Атанасян Л.С. , Базылев В.Т. Геометрия, ч.II М.,Просвещение,1987.
8.Панкратов А.А. Начертательная геометрия. М.Учпедгиз,1959.
б) Дополнительная.
1.Вернер А.Л.,Кантор Б.Е.,Франгулов С.А. Геометрия .ч.I.,ч.II, С.-П.,Специальная литература,1997.
2.Певзнер С.Л.Проективная геометрия М.Просвещение,1980.
3.Погорелов А.В.Геометрия. Учебное пособие для пединститутов.,М.Наука,1983.
Программу подготовили
Н.Г. Дука, И.С. Курсина, С.В. Путилов, О.В. Ярославцева