Графики функций с модулем_

1
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа
городского округа город Буй Костромской области
Графики функций
с модулем
Работу выполнила:
Торопова И.В. учитель математики
2004 г.
2
В курсе математики основной и средней школы незначительное место
отводится построению графиков функций, аналитическое выражение
которых содержит знак модуля. И поэтому учащиеся испытывают
определённые затруднения при их построении.
Впервые с модулем числа учащиеся встречаются в курсе математики 6
класса, и больше не упоминается о нем до 9 класса, и немного заданий на
построение графиков таких функций встречается в курсе алгебры и начала
анализа 10 класса.
Поэтому, я считаю, что формировать навыки построения графиков
функций, аналитическое выражение которых содержит знак модуля, можно
начинать с учащимися 7 – 8 классов, проявляющими интерес к изучению
математики на занятиях математического кружка или факультатива.
В 7 классе после изучения тем «Линейная функция» и « Прямая
пропорциональность» стоит попробовать построить график функции y = |2х|.
Учащиеся
уже
хорошо
умеют
строить
графики
прямой
пропорциональности и предварительно надо построить график функции
y = 2х, затем вспомнить с учащимися определение модуля числа и
попросить их составить таблицу значений для функции y = |2х| (значения
переменной х необходимо взять как положительные так и отрицательные),
затем отметить полученные точки на координатной плоскости, соединить их
и сравнить полученные графики, ответив на следующие вопросы:
а) Какие значения принимает функция y = |2х| при х≥0, х<0?
б) чем сходны графики функций y = 2х и y = |2х|, чем различаются?
в) Можно ли получить график функции из графика функции y = 2х?
y = 2х
y = |2х|
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
х
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-6
-4
-2
0
2
4
6
y
6
4
2
0
2
4
6
Учащиеся заметят, что для построения графика функции y = |2х| можно
построить график функции y = 2х, затем оставить без изменения часть
графика при х≥0, а часть графика расположенную ниже оси х ( при х<0 )
отобразить симметрично относительно оси Ох.
3
Таких заданий можно подобрать много, а способные учащиеся вполне
могут построить графики следующих функций: y = |х + 1|, y = |2х + 1|,
используя выводы, полученные при построении графика функции y = |2х|.
y = | х + 1|
y = |2х + 1|
В 8 классе учащиеся знакомятся с графиком обратной
пропорциональности и продолжая формировать умения строить графики,
сильным учащимся стоит
построить графики функций типа y =
4
и
х
y=
4
, опираясь на знания,
х
полученные при построении графиков функций, содержащих модуль
в 7 классе.
y=
4
х
y=
4
х
В курсе алгебры 9 класса при изучении темы «Функция. Область
определения и область значения функции» ребята знакомятся с графиком
функции y = |х| , её областью определения и областью значения. Но заданий
в учебнике под редакцией С.А. Теляковского с использованием функции
y = |х| нет, кроме №17 и то предлагаемого на дом. А вот в дидактических
материалах для 9 класса авторов Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка,
Л.М. Коротковой предлагаются задания из второго блока, способствующие
развитию учащихся в алгоритмическом и логическом плане.
С-8 «График квадратичной функции»
Задание №6
Постройте график функции: а) y = |х| - 3 ; б) y = |х +3| .
4
y = |х +3|
y = |х| - 3
При построении данных графиков функций можно воспользоваться
знаниями, полученными при преобразовании графиков функций y =aх2+n c
одной стороны , т. е. график функции y = |х| - 3 можно получить из графика
y = |х| с помощью параллельного переноса вдоль оси Оy на три единицы
масштаба вниз, а график функции y = |х +3| из графика функции y = |х| с
помощью параллельного переноса вдоль оси Ох на три единицы масштаба
влево. Затем сильных учащихся попросить сделать вывод о построении
графиков функций вида y = |х| + n ; y = |х - m|.
y = |х - m|
y = |х| + n
m<0
n>0
n<0
m>0
А с другой стороны (возможно учащиеся и этот способ вспомнят, который
чаще всего и используется) построить график функции y = |х - m| можно из
графика функции y = х – m , оставив без изменения все части графика,
которые лежат выше оси абсцисс, а части расположенные ниже её отобразить
симметрично.
С-14 «Графический способ решения систем уравнений» предлагается задание
№5, также из второго блока.
Решите графически систему уравнений:
а) y =х2 – 3
y = |х|
Ответ: (≈ -2,3; ≈2,3) (≈ 2,3; ≈2,3)
5
Учащиеся легко с этим заданием справляются, поэтому можно предложить
ёще ряд аналогичных заданий.
Задание: Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли решение
система уравнений и если имеет, то сколько:
а) y = х2 – 3 б) y = х2 – 3 в) y = х2 – 3 г) y = х2 – 3 д) y = х2 – 3
y = |х| - 3
y = -|х|
y = 4 - |х|
y = -|х| - 3
y =-|х| - 4
(3 решения) (2 решения) (2 решения) (1 решение)
(нет решения)
Решение.
а)
б)
в)
д)
г)
6
Отработав навыки построения графика квадратичной функции сильные
учащиеся могут попробовать построить графики следующих функций:
а) y = |х2- 1|
Для построения достаточно сначала построить график функции y = х2- 1 , а
на интервале (-1; 1) часть графика отобразить симметрично относительно
оси абсцисс, остальную часть оставить без изменения.
Аналогичных заданий можно
подобрать достаточно много,
но после их выполнения необходимо
с учащимися сделать вывод о
построении графиков функций
вида y = |f(х)|.
Здесь же надо рассмотреть построение графиков функций вида y = f(|х|). т.е.
графики функций содержащие модуль аргумента.
б) y = х
После его построения учащиеся заметят,
что данный график получается из графика
функции
y
= х путем
симметрии
относительно уже оси Оy . Необходимо
еще раз обратить внимание учащихся, что
под знаком модуля находится аргумент
и вновь сделать выводы.
в) y = х2 - 6|х| + 4
Некоторые учащиеся заметят, что под
знаком модуля стоит
аргумент, учитывая
2
2
что
х
=|х| , тогда достаточно будет
построить
график
функции
для
х≥0,
а затем
полученную кривую отобразить
относительно оси у.
7
И закончить рассмотрение графиков функций в 9 классе, аналитическое
выражение которых содержит знак модуля построением графиков вида
y = |f(|х|)|.
Предложить учащимся построить графики следующих функций:
а) y = |х| ; б) y = |х| - 1; в) y = | |х| - 1|.
Задания а) и б) легко учащиеся выполнят, но их выполнение должно
натолкнуть их на мысль, что построение графика функции под в) следует
выполнять поэтапно: строим график функции y = |х|, затем выполнить
параллельный перенос вдоль оси Оу на одну единицу масштаба вниз и
наконец, часть графика расположенного под осью Ох симметрично
отобразить относительно её.
а)
б)
в)
Тренировочные упражнения:
а) y = | |2х|-3 |
б) y = | 3|х| + 1|
г) y = |х| + х
д)
y = 2|х| + х
в) y =| х2 - 4|х| + 3 |
е) y = х 2 + 3
8
Вывод: Для построения графика функции y = |f(|х|)| надо построить
график функции y = f(|х|), далее оставить без изменения все части
построенного графика, которые лежат выше оси абсцисс, а части,
расположенные ниже её, отобразить симметрично относительно этой оси.
Такая работа с графиками закрепит знания учащихся о модуле числа и
даст неплохие навыки для их построения.
В 10-11 классах эту работу следует продолжить, т.к. учащиеся
основательно знакомятся со свойствами функций и их исследованием.
В 10 классе большое место отводится изучению тригонометрических
функций и, конечно же, их графикам. Здесь можно такие задания:
1. Построить графики функций у = cos|x| и у = |cosx|.
Решение.
а)у = cos|x|, cos|x| = cosx, т.к. cos x = cos(-x). Следовательно, график данной
функции тот же, что и график функции у = cosx;
б) у=- |cosx|, при cos x ≥ 0 у = cos x. Следовательно, на участке, где
cos x ≥ 0, график будет тот же, что и график функции у = cosx. При cos x < О
у = - cosx. Следовательно, части графика функции у = cos x, расположенные
ниже оси абсцисс, зеркально отобразятся и будут расположены в верхней
полуплоскости.
2. Построить графики функций у = sin[x| и у = |sin x |.
Решение.
Чтобы построить график у = sin|x|, надо построить сначала график
у = sin х
при х > 0, а затем построить кривую, симметричную с
построенным графиком относительно оси ординат.
9
3. Построить график функции у = sin х + |sin х |.
4. Построить график функции у =tg|x|.
Решение.
Функция чётная, так как tg|-x| = tg|x|. При х > 0 график искомой функции
тот же, что и график функции у = tg x.
5. Построить график функции у = |tgx|.
Решение.
Часть графика функции у = tgx, расположенную в верхней полуплоскости,
оставить без изменений, а часть графика, расположенную в нижней
полуплоскости, зеркально отобразить относительно оси ОХ.
10
В теме «Функции и их графики» при изучении нового материала и
говоря о преобразовании графиков вновь вспомнить и о графиках функции у
= |f(х)| и y = f(|х|):
а) график у = |f(х)| функции получается из графика функции у = f(х) следующим образом: часть графика у = f(х), лежащая над осью Ох, сохраняется,
часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно
оси Ох:
б) график функции y = f(|х|) получается из графика функции у = f(х) так: при
х≥0 график у = f(х) сохраняется, а при х < 0 полученная часть графика
отображается симметрично относительно оси Oу:
На следующем уроке рассмотреть построение нескольких
таких графиков функций.
а) построить графики функций:
11
б) построить график функции у = |х-1| + |х+3|.
Решение.
Находим значения переменной, при которых выражения, стоящие под
знаком модуля, обращаются в нуль: х - 1 = 0 или х + 3 = 0;
х= 1
или х = -3.
1) при х <-3, у = -х+ 1-х-3 =-2Х -2; У = -2Х-2;
2) при -3<х<1, у= -х+ 1 +х + 3 = 4; у = 4;
3) при х>1, у = х- 1 + х + 3=2х + 2; у= 2Х + 2.
В теме «Исследование функций» в учебнике «Алгебра и начала анализа»
для учащихся 10-11 классов Колмогорова А.Н. включены функции,
содержащие знак модуля, но таких заданий всего два - это №99(а, в), №55(а).
В качестве дополнительного задания на исследования тригонометрических
функций сильным учащимся предложить построить график функции


у = 2 – sin| х+ |
Решение.
1 способ. Строим график функции у = —sin|х|


Ось ординат переносим на + , а ось абсцисс — на -2.
2 способ. График имеет две ветви, уравнения которых различны.
12










2) если х+ < 0, то есть х<- , то у = 2 – sin( -(х+ ))= 2+ sin( х+ ).




1)если х+ ≥ 0, то есть х≥- , то у = 2 – sin( х+ ).
Область определения функции - вся числовая прямая.


Область значения функции определим из условия -1≤– sin| х+ |≤1


-1+2≤ у ≤ 1+2
1≤ у ≤3


Общая точка обеих ветвей графика: х= - ; у=- sin| 0|+2=2: точка (- ; 2).
Можно учащимся, конечно, предложить построить и исследовать графики
таких функций, как у= arcsin| x| , у= arcsin| x-1|, у=arccos| x|, у= arctg| x|, но с
этим заданием справятся только сильные учащиеся или проявляющие
интерес к данной теме.
13
И закончить построение таких графиков функций в 11 классе
рассмотрением графиков показательной и логарифмической функций типа:
у = 2| x|
График функции у = 2 x при х≥0
И его зеркальное отображение
относительно оси Оу дадут в
совокупности график заданной
функции.
у =| log аx |
Строим график функции у = log аx.
На интервале (0;1) у = log аx <0
(кривая расположена под осью Ох)
эта часть графика функции симмет
рично отобразится относительно
оси Ох, а остальная часть останется
без изменения.
у = 2| x-1|
у = log | x ||
у = |log | x ||
Литература
1. Афанасьева Т.Л., Тапилина Л.А. Алгебра 10 класс (поурочные планы).Волгоград . -2002. С.13-45.
2. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И. Графики функций:
Справочник. –Киев: Наукова думка. -1979. - С.100-107.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала
анализа: Учебник для 10-11 класса средней школы. – М.: Просвещение,
1990. – С. 47-54.
4. Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре для 9
класса. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – С. 10-19.