Федеральное агентство по образованию Форма Ульяновский государственный университет Ф-Рабочая программа по дисциплине

Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ПО ПОДГОТОВКЕ
К ЗАЧЕТАМ И ЭКЗАМЕНАМ
Требования к зачету
Необходимо знать следующие алгоритмы и решать задачи:
1. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
a. Нахождение тригонометрической формы комплексного числа.
b. Умножение, деление и возведение в степень (формула Муавра) чисел, заданных в
тригонометрической форме.
2. Формула извлечения корня n-ой степени.
3. Применение условий Коши-Римана для изучения аналитичности функции.
4. Нахождение аналитической функции по гармонической компоненте.
5. Явные формулы для функций: Exp(z), Sin(z), Cos(z), Ln(z), степень с произвольным
показателем, гиперболические функции.
6. Алгоритм вычисления функций Arcsin(z), Arccos(z), Arctg(z), Arcctg(z).
7. Нахождение образа обобщенной окружности при дробно-линейном отображении.
8. Нахождение образа области, ограниченной частями обобщенных окружностей, при
дробно-линейном отображении.
9. Нахождение образа области, ограниченной отрезками прямых, при отображении
Exp(z).
10. Ряды Тейлора функций Exp(z), Sin(z), Cos(z), ln(1+z), (1+z)α и области их сходимости.
11. Разложение функций в ряд Лорана (Тейлора) в заданном кольце, нахождение области
сходимости ряда Лорана (Тейлора).
12. Определение типа изолированной особой точки (в том числе бесконечной)
a. с помощью изучения предела.
b. путем разложения в ряд Лорана.
13. Нахождение вычета в конечной точке
a. Полюс первого порядка - путем вычисления предела, 2 формулы;
b. Формула вычета для полюса k-ого порядка;
c. Нахождение коэффициента С-1 – для произвольного типа особой точки.
14. Нахождение вычета в бесконечной точке:
a. Использование теоремы о полной сумме вычетов;
b. Равенство нулю вычета в бесконечности для быстро убывающей рациональной
функции;
c. Нахождение коэффициента – С-1.
15. Вычисление комплексных интегралов вдоль кусочно-гладкой кривой
a. С использованием параметризации
b. Путем вычисления вычетов внутри области
c. Путем вычисления вычета в бесконечности и использование теоремы о полной
сумме вычетов
16. Применение комплексных интегралов для вычисления вещественных интегралов.
a. рациональных функций
b. рациональных функций от Sin(z) и Cos(z).
c. Вычисление вещественных интегралов при помощи леммы Жордана.
ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА
Форма А
Страница 1 из 3
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
1. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Сопряжение. Формула Муавра.
Извлечение корней.
2. Условия Коши-Римана.
3. Гармонические функции.
4. Элементарные функции: Exp(z), Sin(z), Cos(z), Ln(z), Arcsin(z).
5. Геометрический смысл производной.
6. Свойства дробно-линейного отображения.
7. Задание дробно-линейного отображения по 3 точкам.
8. Интеграл вдоль кривой и его свойства.
9. Теорема Коши. Теорема Коши для неодносвязной области.
10. Формула Коши.
11. Степенные ряды и операции над ними.
12. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
13. Дифференцируемость степенных рядов в круге сходимости.
14. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Теорема Лиувилля.
Основная теорема алгебры.
15. Существование первообразной. Теорема Морера. Эквивалентные определения
аналитической функции.
16. Разложение в ряд Лорана функции, аналитичной в кольце.
17. Классификация изолированных особых точек.
18. Теорема Сохоцкого. Бесконечность как изолированная особая точка.
19. Вычеты и их вычисление.
20. Вычет в бесконечности.
21. Вычисление вещественных интегралов.
22. Вычисление вещественных интегралов при помощи леммы Жордана.
23. Теорема единственности. Примеры применения.
24. Риманова поверхность для корня и Ln(z).
25. Функция Жуковского.
26. Функция sin(z) как конформное отображение.
27. Принцип аргумента. Теорема Руше.
28. Лемма о сохранении области. Принцип максимума.
29. Теорема Римана (доказательство единственности).
Форма А
Страница 2 из 3
Федеральное агентство по образованию
Ульяновский государственный университет
Форма
Ф-Рабочая программа по дисциплине
1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.
7.1.
Рекомендуемая литература:
1. А.И. Маркушевич. Краткий курс теории аналитических функций.
Москва. Наука. 1978.
2. Б.В.Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть I.
Москва. Наука. 1976.
3. Волковыский Л.И. Лунц Г.Л. Араманович И.Г.
Сборник задач по теории функций комплексного переменного.
Москва. Наука. 1970.
Форма А
Страница 3 из 3