объект защиты – система безопасности» с нечеткими

Оценка показателей надежности автоматизированного технологического комплекса...
А.И. ПЕРЕГУДА, Д.А. ТИМАШОВ
Обнинский институт атомной энергетики НИЯУ МИФИ, Калужская обл.
ОЦЕНКА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА «ОБЪЕКТ ЗАЩИТЫ – СИСТЕМА БЕЗОПАСНОСТИ» С НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
Предложен подход к оценке показателей надежности автоматизированного технологического комплекса «объект защиты – система безопасности» с нечеткими параметрами и неполным восстановлением оборудования на основе
метода Монте-Карло. Неполное восстановление описано на основе модели Киджимы. Нечетко-вероятностная модель
надежности построена на основе случайно-нечетких величин. Для вычислений с нечеткими величинами применен численный метод трансформации. Погрешность результатов описывается при помощи нечетко-нечетких величин.
Целью настоящей работы является разработка математической модели надежности автоматизированного технологического комплекса «объект защиты – система безопасности» с размытыми параметрами с учетом старения и неполного восстановления оборудования.
Системы, состоящие из объекта защиты и системы безопасности, применяются там, где
необходимо обеспечить безопасную эксплуатацию потенциально опасных объектов. В качестве
примера можно привести атомную промышленность. Назначение системы безопасности – переводить аварийные ситуации при нарушении нормального функционирования объекта защиты в
ранг неопасных. Математические модели надежности систем такого типа рассматривались,
например, в работах [1, 2, 3].
При анализе надежности систем может иметь место неопределенность результатов анализа,
обусловленная различными причинами. В настоящей работе мы рассмотрим влияние неопределенности параметров модели на результат анализа. Данная разновидность неопределенности может возникать, поскольку точные значения параметров математической модели могут быть неизвестны вследствие недостаточности данных и изменчивости характеристик.
Для моделирования неопределенности разработаны различные подходы, обзор и сравнение
которых можно найти, например, в [4]. В настоящей работе для построения математической модели надежности, учитывающей неопределенность параметров модели, мы применили сочетание
теоретико-вероятностного подхода и теории нечетких мер. Нами взят за основу подход, основанный на мере правдоподобия (credibility measure), который предложен в работе Лю [5]. Для объединения в рамках одной модели двух видов неопределенности выбран математический аппарат
случайно-нечетких величин (random fuzzy variables), описанный в [6], который наилучшим образом описывает интересующий нас случай.
Оценка надежности оборудования в случае его неполного восстановления является актуальной задачей для систем, в которых производится ремонт отказавших компонентов, а не их замена новыми. К настоящему моменту в большинстве исследований, посвященных исследованию
надежности сложных систем, предполагается либо полное, либо минимальное восстановление. В
нашей работе мы взяли за основу модель неполного восстановления, предложенную Киджимой
[7], которая позволяет рассматривать промежуточные случаи, когда восстановление уже не полное, но еще не минимальное. Одной из важных особенностей данной модели является то, что она
описывает неполное восстановление только для стареющих систем.
Анализ сформулированных требований к модели показывает, что существующий аналитический аппарат теории вероятностей и теории нечетких мер не позволяет получить аналитическое
решение поставленной задачи. Поэтому в данном случае для оценки показателей надежности
комплекса необходимо применить численные методы, а именно метод Монте-Карло.
Таким образом, для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.
Во-первых, необходимо выбрать модель надежности оборудования, учитывающую старение и
неполное восстановление, и применить выбранную модель для описания АТК ОЗ-СБ. Во-вторых,
необходимо перейти от вероятностной к нечетко-вероятностной модели надежности. В-третьих,
необходимо разработать процедуру оценки показателей надежности для нечетко-вероятностной
модели на основе метода Монте-Карло.
Рассмотрим подробнее используемую модель надежности, которая учитывает неполное
восстановление оборудования. Пусть i , i  1, 2,
– последовательность неотрицательных слу-
Оценка показателей надежности автоматизированного технологического комплекса...
чайных наработок системы до отказа. Введем понятие виртуального возраста системы Vi после
i-го восстановления. Если Vi  y , то условное распределение (i + 1)-й наработки системы до отказа i1 записывается в виде
F ( x  y )  F1 ( y )
P(i 1  x | Vi  y )  1
 P(1  x  y | 1  y ) ,
1  F1 ( y)
где F1 ( x) – функция распределения наработки до отказа новой системы. Виртуальный возраст
системы после (i + 1)-го восстановления вычисляется по формуле Vi 1  Vi  qi 1 , причем V0  0 .
Здесь q – степень восстановления, 0  q  1 , причем q  0 соответствует полному восстановлению, а q  1 – минимальному восстановлению. Оценка параметров такой модели может выполняться, например, посредством метода максимального правдоподобия.
Обозначим через i , i  1, 2, , наработку до i-го отказа объекта защиты. Тогда условное
распределение (i + 1)-й наработки объекта защиты до отказа запишется в виде
P(i 1  x | ViОЗ  y)  P(1  x  y | 1  y) ,
ОЗ  q 
где виртуальный возраст объекта защиты вычисляется по формуле ViОЗ
ОЗ i 1 . Длитель1  Vi
ность восстановления после i-го отказа объекта защиты обозначим  i , i  1, 2, , причем все
 i , i  1, 2, , независимы и одинаково распределены.
Обозначим i , i  1, 2, , наработку до i-го отказа системы безопасности после ее очередного восстановления. Тогда условное распределение (i + 1)-й наработки системы безопасности до
отказа запишется в виде
P(i 1  x | ViСБ  y)  P(1  x  y | 1  y) ,
СБ  q W , пригде виртуальный возраст системы безопасности вычисляется по формуле ViСБ
СБ i
1  Vi
чем Wi – суммарная продолжительность работы системы безопасности после i-го восстановления.
Отказ системы безопасности обнаруживается только во время контроля, который выполняется с
периодом T и имеет длительность . После обнаружения i-го отказа системы безопасности выполняется восстановление длительностью i , причем все i , i  1, 2, , независимы и одинаково
распределены. Если система безопасности исправна в момент отказа объекта защиты, тогда происходит останов комплекса. Условное распределение наработки системы безопасности до отказа
после останова на (i + 1)-м цикле записывается в виде
P(i 1  x | ViСБ  y; Wi  z)  P(1  x  y  z | 1  y  z) .
Если же система безопасности неисправна в момент отказа объекта защиты, то происходит
авария комплекса.
В рамках настоящей работы было разработано программное обеспечение, позволяющее посредством метода Монте-Карло оценить среднюю наработку комплекса до аварии. На рис. 1 показана зависимость средней наработки до аварии комплекса от неполноты восстановления.
Рис. 1. Зависимость средней наработки до аварии комплекса от неполноты восстановления
Оценка показателей надежности автоматизированного технологического комплекса...
Здесь наработки до отказа нового оборудования имеют распределение Вейбулла–Гнеденко,
а времена восстановления – усеченное нормальное распределение.
На следующем этапе работы была разработана нечетко-вероятностная модель надежности.
Сущность используемого подхода заключается в том, что случайным величинам приписывается
нечеткая мера правдоподобия. Случайно-нечеткую величину  будем задавать посредством задания семейства вероятностных распределений F (t; ()),  на вероятностном пространстве
 , A, P  , где  – нечеткий вектор, определенный на пространстве правдоподобия (, , Cr ) ,
которому соответствует совместная функция принадлежности  ( x ) . Для случайно-нечеткой величины, заданной таким образом P( A) , где A  R , и M  являются нечеткими величинами.
Для практического применения предложенного подхода необходимо оценивать функции
принадлежности параметров модели. Для построения функций принадлежности традиционно
применялись экспертные методы, однако для анализа надежности желательно иметь оценки, основанные на объективных данных о надежности оборудования. Поэтому для получения нечетких
оценок параметров модели в данной работе используется метод, предложенный Бакли [8]. Его
сущность заключается в том, что функция принадлежности искомого параметра распределения
определяется своими множествами -уровня. При этом в качестве множества -уровня берется
интервальная оценка искомого параметра распределения с уровнем доверия 1   . При этом получаемая оценка является более наглядной и содержит больше информации об оцениваемом параметре, нежели точечная оценка или единственный доверительный интервал.
Используя определение функции от случайно-нечетких величин и принцип расширения Заде (Zadeh extension principle), не трудно показать, что для функции принадлежности нечеткого
математического ожидания наработки до аварии справедливо соотношение
 M ( y ) ( y) 
sup
y  M  x1 , xM 

min  ( x1 ),
1

,  ( xM ) ,
M
где 1 , ,  M – параметры модели.
Как нетрудно заметить, нахождение функции принадлежности в соответствии с приведенным выше соотношением сопряжено со значительными вычислительными трудностями. Для решения этой задачи в данной работе применен численный метод трансформации, предложенный
Ханссом [9]. Этот метод включает следующие этапы:
1.
Для нечетких аргументов функции выполняется декомпозиция на множества -уровня.
2.
Выполняется преобразование полученных множеств -уровня в набор
входных векторов, при этом вводятся дополнительные промежуточные точки.
3.
Производится вычисление функции от четких величин для каждого из
входных векторов.
4.
Выполняется обратная трансформация с тем, чтобы получить результирующую функцию принадлежности.
Как мы уже отмечали ранее, для рассматриваемого комплекса не удается записать в явном
виде функцию M ( x1 , , xM ) , вследствие чего для оценки показателей надежности применяется
метод Монте-Карло. Таким образом, синтез метода трансформации и метода Монте-Карло позволит получать нечеткие оценки показателей надежности комплекса.
Поскольку для вычисления искомой функции принадлежности мы применяем метод МонтеКарло, то нам необходимо оценивать погрешность получаемого результата. Вопросы сходимости
и точности классического метода Монте-Карло, положенного в основу рассматриваемой процедуры, подробно исследованы в [10]. Для формального описания неопределенности оцениваемой
функции принадлежности  M  ( y ) мы воспользуемся понятием нечетко-нечеткой величины [6],
концепция которых была предложена Заде (нечеткие множества типа 2) [11]. Нечетко-нечеткая
величина представляет собой функцию из пространства правдоподобия в набор нечетких величин. Функция принадлежности нечетко-нечеткой величины сама является размытой.
Таким образом, мы предлагаем следующий алгоритм моделирования:
Оценка показателей надежности автоматизированного технологического комплекса...
1.
Для нечетких параметров системы выполняется декомпозиция на множества -уровня.
2.
Выполняется преобразование полученных множеств -уровня в набор
входных векторов, при этом вводятся дополнительные промежуточные точки.
3.
Оцениваются значения функции M ( x1 , , xM ) методом Монте-Карло для
каждого из входных векторов, строятся соответствующие нечеткие оценки.
4.
Выполняется обратная трансформация для полученных нечетких оценок с
тем, чтобы получить результирующую размытую функцию принадлежности  M  ( y ) .
Пример результирующей размытой функции принадлежности показан на рис. 2.
Рис. 2. Функция принадлежности средней наработки до аварии комплекса
Таким образом, в настоящей работе рассмотрена математическая модель надежности автоматизированного технологического комплекса «объект защиты – система безопасности» с размытыми параметрами с учетом старения и неполного восстановления оборудования. Предложен алгоритм оценки показателей надежности комплекса с нечеткими параметрами на основе метода
Монте-Карло.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Перегуда А.И.,Тимашов Д.А. // Известия вузов. Ядерная энергетика. 2009. № 4. С. 45.
2. Перегуда А.И., Тимашов Д.А. // Информационные технологии. 2009. № 8. С. 10.
3. Перегуда А.И., Тимашов Д.А. // Надежность. 2008. № 3. С. 26.
4. Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применение. – М.: Физматлит, 2007.
5. Liu B. Uncertainty Theory. 2nd edition. Berlin: Springer-Verlag, 2007.
6. Лю Б. Теория и практика неопределенного программирования: пер. с англ. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.
7. Kijima M. // J. Appl. Prob. 1989. V. 26. P. 89.
8. Buckley J.J. Fuzzy Probability and Statistics. Springer-Verlag, 2006.
9. Hanss M. Applied Fuzzy Arithmetic: An Introduction with Engineering Applications. Springer-Verlag,
2005.
10. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.
11. Zadeh L.A. // Information Sciences. 1975. V. 8. P. 199.